曾谨言量子力学导论习题答案 75页

'第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，,x,0xaV(x),00xa试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有an(n,3,2,1)22a/n（1）又据deBroglie关系ph/（2）而能量222Ep2/m2/mh2n222n2（3）n,3,2,1222m4a2ma1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有pdxnh,n,3,2,1xxx即p2anh（2a：一来一回为一个周期）xxpnh2/a,xx同理可得，pnh2/b,pnh2/c,yyzzn,n,n,3,2,1xyz粒子能量222n221222nxynzE(ppp)nxnynz2mxyz2ma2b2c2n,n,n,3,2,1xyz1 1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)mx中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示：利用pdxnh,n,2,1,p2m[EV(x)]V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为xa（1）122其中a由下式决定：EV(x)mx。a0axxa22由此得a2E/m，（2）xa即为粒子运动的转折点。有量子化条件aa122222pdx22m(Emx)dx2maxdx2aa222mamanh22nh2n得a（3）mm代入（2），解出En,n,3,2,1（4）n222u22au积分公式：auduauarcsinc22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。22提示：利用pdnh,n,2,1,p是平面转子的角动量。转子的能量Ep2/I。0解：平面转子的转角（角位移）记为。.它的角动量pI（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件2pdx2pmh,m,3,2,10pmh，因而平面转子的能量222Ep2/Im2/I，mm,3,2,12 第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。3（a）证明粒子的能量平均值为Edrw，2**wV（能量密度）2mw（b）证明能量守恒公式s0t2**s（能流密度）2mtt证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）2*23EVdrTV（1）2m3*VdrV（势能平均值）（2）23*2Tdr(动能平均值)2m23**dr2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此23*Tdr（3）2m结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度2**wV,（4）2m3且能量平均值Edrw。（b）由（4）式，得w2....****VVt2m2......***22***VV2m.2.2*22*sVV2m2m..**sE1 sE（：几率密度）ts（定态波函数，几率密度不随时间改变）w所以s0。t2.2考虑单粒子的Schrödinger方程22ir,tr,tVriVrr,t（1）12t2mV与V为实函数。12（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为d3***2V23*drSddrdt2imS证：（a）式（1）取复共轭，得2*2**iViV（2）12t2m*（1）-（2）,得2**22**i2iV2t2m2***2iV22m***2V2*（3）t2im2V2即j0，t此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得3***323*drdrdrV2t2im2**3*SddrV22imS2 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（jSd），而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3设和是Schrödinger方程的两个解，证明12d3*drr,tr,t0。12dt212证：iV（1）1t2m222iV（2）2t2m*212*取（1）之复共轭：iV（3）1t2m*（3）（2）,得212*2**2i122112t2m对全空间积分：2d3*32**2idrr,tr,tdr122112dt2m23****dr221122112m23**dr22112m2**Sd0，（无穷远边界面上，,0）2112122md3*即drr,.tr,t0。12dt2.4）设一维自由粒子的初态x0,eip0x/，求x,t。p2ipx0t/02m解：x,te22.5设一维自由粒子的初态x0,x，求x,t。3 22提示：利用积分公式cosdsind22或expidexpi4。1ipx解：作Fourier变换：x0,pedp，21ipx1ipx1px0,edx(x)edx，2221ipxEt/2x,tpedp（Ep2m）2ip2tpx12medp（指数配方）221imx22titmxeexppdp22mt22tmx令p，则2mt1imx22t2mi2x,teed2t12mimx22ti4/ee2t2mmxexpi2t2t42mx,t。2t2.6设一维自由粒子的初态为x0,，证明在足够长时间后，mimx2mxx,texpi4expt2tt1ikx式中kx0,edx是x0,的Fourier变换。2i4/ix2提示：利用limeex。4 证：根据平面波的时间变化规律ikxikxt2ee，Ek2m，任意时刻的波函数为1ikxtk22/mx,tkedk221imx22/ttmxedkkexpik（1）22mt当时间足够长后（所谓t），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取mxt2m，uk，（2）t参照本题的解题提示，即得1imx22t2mi4/mxx,teekkdk2ttmi4/imx22/tmxee（3）tt22mmxx,t（4）tt物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为kmxt，即22xktm，强度k，因子mt描述整个波包的扩散，波包强度1t。22设整个波包中最强的动量成分为k，即kk时k最大，由（4）式可见，当t足够大以后，的最00大值出现在mxtk处，即xktm处，这表明波包中心处波群的主要成分为k。0002.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。2p解：经典能量方程EVr。2md在动量表象中，只要作变换pp，ridp所以在动量表象中，Schrödinger为：2pdVipEp。2mdp5 第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，,00xaV(x,y),其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如ab，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为222n2nxyEnxny2ma2b22nxxnyysinsin,n,n,2,1nnxyxyabab2222若ab，则E(nn)nxny2xy2ma2nxxnyysinsinnnxyaaa这时，若nn，则能级不简并;若nn，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如n10,n5xyxyxy""与n11,n2）xy3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即,00xa0,yb0,zcV(x,y,z),其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如abc，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为222n22nxynzE(),222nnn2mabcxyz8nxnynzxyzsinsinsin,nxnynzabcabcn,n,n,3,2,1xyz当abc时，22222E(nnn)2xyznnn2maxyz322nxnynyxyzsinsinsinnxnynzaaaannn时，能级不简并；xyzn,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。xyz n,n,n三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。xyz2222225683410)9,7,1(,3,1(11)如2222221012166820,5,1(10))9,6,3(3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，,00xaV(x,y),x0,xa证明处于定态(x)的粒子n2a2a6x,(x-)x1()22212n讨论n的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数2n(x)sinx.naaa22an分部a2xxdxxsinxdx（1）0n0aa22222a22a(xx)xxxdxn0422a212nxax1(cos)dxa02a42a61()（2）2212n在经典情况下，在,0a区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于xxdx范围的几率为dx，故aadxaxx，（3）0a222a2dxaxx，0a322222aa(xx)xx（4）34当n时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中， ,0xa2V(x,y),xa2处于基态(n)1，求粒子的动量分布。2x解：基态波函数为cos,（参P57，（12））1aa1a2ipx2x(p)ecosdxaaa221a2ipx1ixixe(eaea)dxa2a2pp1ai()i()2eaeadxa2a2ipaipaipaipa11a2a21a2a2eeeea2ip2ipaa11pa1pacoscosap2p2aa32qpacos动量的几率分2222ap2324a2pa布(p)(p)cos222222ap3.5）设粒子处于半壁高的势场中,x0V(x)V0,0xa（1）,0xa求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出s.eq:"2"(x)k(x),00xa11（2）"2(x)k(x),0xa222"222E其中kVE,k（3）202""ikxikx(x)AeBe1方程的解为（4）kxkx(x)CeDe2根据对波函数的有限性要求，当x时，(x)有限，则2 C0当x0时，(x)0，则AB01"(x)Fsinkx,0xa1于是（5）kx(x)De,xa2在xa处，波函数及其一级导数连续，得"ka""kaFsinkaDe,kFcoskakDe（6）""k上两方程相比，得tgka（7）k2V0E即tga2V0E（7’）E"若令ka,ka（8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：ctg(9)2V02（10）式是以a(10)22r2Va为半径的圆。对于束缚态来说，VE0，00结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线ctg在第一象限的交点可决定束缚2V0态能级。当r2，即a2，亦即2222Va8（11）0时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即0EV，22d2mVE2dx当x时，0，故有Aek1x,x,0k2mVE111Asinkx,0xa,k2mEAek2x,ax,k2mVE222dln由在x0、xa处的连续条件，得dx kkctg,kkctgka（1）12k由（1a）可得sin（2）2mV1由于k,k,k皆为正值，故由（1b），知ka为二，四象限的角。12k因而sinka（3）2mV2又由（1），余切函数ctg的周期为，故由(2)式，1knsin(4)12mV11k由(3)，得kansin(5)2mV21k1k结合(4),(5)，得kansinnsin212mV2mV211k1k或kansinsin（6）2mV2mV12n,3,2,1一般而言，给定一个n值，有一个解k，相当于有一个能级：n22knE（7）n2ma2mV21V2当VV时，仅当sin212V11V2才有束缚态，故V,V给定时，仅当asin（8）122mV2V21时才有束缚态（若VVV，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级）12当V,V,a给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:12kkxAen,x0,k2mVEn1n12mV1nAnsinknxn,0xa,A1n1k2nek2nxa,xa,k2mVEn2n22mV2 其中A2a1k1kn1n2n3—7）设粒子（能量E0）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。V0,x,0解：势阱为V(x),0x.0在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故Aeik1xBeik1x,k2mVE110Ceik2x,k2mE22由)0()0(，得ABC。12""由)0()0(，得kABkC。1212从上二式消去c,得kkAkkB。1212222Bk1k2反射系数Rr22Akk12将k,k代入运算，可得12222V0V016E,EV0R414EV,EVVEE0003—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明谐振子波函数满足下列关系1nn1xn(x)n1(x)n1(x)2221x(x)nn1(x)2n1(x)n1n2(x)n2n2nn22并由此证明，在态下，x,0VE2nn22x2证：谐振子波函数(x)AeH(x)（1）nnn其中，归一化常数A,m（2）nn2n!H(x)的递推关系为H(x)2xH(x)2nH(x).0（3）nn1nn1 2x2212x22x(x)AexH(x)Ae2xH(x)nnnnn212x22AeH(x)2nH(x)nn1n12x12x2212x22enH(x)eH(x)nn1nn12n!22n!1n2x22eH(x)2n11!2n1n1n12x22eH(x)n12n12n1!1nn1n1(x)n1(x)2221nn1xn(x)xn1(x)xn1(x)221nn1nn1n1n22n2(x)n(x)n(x)n2(x)2222221nn1(x)2n1(x)n1n2(x)2n2nn22**1nn1xnxndxn(x)n1(x)n1(x)dx022*122V(x)mx(x)dxnn2*121(x)m2n1(x)dxn2n2212111m22n1nEn222223—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））dnn1n(x)n1n1dx2222d(x)nn12n1n1n22nn2nn2dx2"dHn(x)证：A3.式（12）：H()2nH(),2nH(x)nn1n1dx d222x222x22(x)AxeH(x)e2nH(x)nnnn1dx2x(x)2n(x)nn1nn1n1(x)n1(x)2nn1(x)22nn1n1(x)n1(x)22d2nn1nn1n1n22n(x)n2nnn2dx2222222nn12n1n1n2n2nn22*d*nn1pnindxinn1n1dx0dx22222p*dTdx2mn2m2ndx22*nn12n1n1n2dxnn2nn22m2222*m11En2n1nndx2n1n4m4m2223—10）谐振子处于态下，计算n112222xxx，ppp，xp?1n22VEn2解：由题3—6），x,0x22mmm21由题3—7），p,0p2mTmEnnm21121222221xxxxxn2m1121222221pppppnm21xpn2对于基态，n,0xp2，刚好是测不准关系所规定的下限。 3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，122V(x)mxqx（1）2求能量本征值和本征函数。2p122解：HmxqxHqx（2）02m222x2H的本征函数为AeH(x)，0nnn01本征值Enn2现将H的本征值记为E，本症函数记为(x)。nn1222式（1）的势能项可以写成V(x)mxxx0022其中xqm（3）0"如作坐标平移，令xxx（4）0dd"由于piip（5）"dxdx2"p122,122H可表成Hmxmx（6）02m22"（6）式中的H与（2）式中的H相比较，易见H和H的差别在于变量由x换成x，并添加了常数项00122mx0，由此可知20122EEmx（7）nn02"(x)(x)(xx)（8）nnn0即2112qEnnm222m（9）221qn,n,2,1,0222m22qx22qmn(x)AneHnx2(10)m其中A,m(11)nn2n!3—12）设粒子在下列势阱中运动， ,x,0V(x)122mx,x.02求粒子能级。解：既然粒子不能穿入x0的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在x0处为零。另一方面，在x0的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n2k1的奇宇称波函数在x0处为零，因而这些波函数是这一问题的解（n2k的偶宇称波函数不满足边条件)0(0）所以E2k32,k,2,1,0k3—13）设粒子在下列势阱中运动，,x,0V(x)r,a0(1)rxa,x.0是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。22d解：S.eq:rxaE(2)22mdx对于束缚态（E0），令2mE(3)2d22mr则xa0(4)22dxadx0"积分,,得跃变的条件a""2mr(a)(a)(a)(5)2在xa处，方程(4)化为2d20(6)2dx边条件为)0(,0()0束缚态shx,0xa,因此(x)(7)xAe,xa."再根据xa点(x)连续条件及(x)跃变条件(5)，分别得ashaAe(a)(8)a2mrAecha(a)(9)2由（8）（9）可得（以a(a)乘以（9）式，利用（8）式） 2mraaacotha(10)2此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，E0，所以a0,a利用limacothalim1,a0a0tha2mra（10）式化为aacotha10,22mra因此至少存在一条束缚态能级的条件为1（11）2纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为(x)0，对x0）。2束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度Lmr。条件（11）可改写为aL2（12）即要求无限高势垒离开势阱较远（aL2）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a（即aL2），a时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时cotha1，式（10）给出22mr222mr即E（13）22m2与势阱V(x)r(x)的结论完全相同。令a，则式（10）化为2mra1coth（14）22mra由于1coth1，所以只当1时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用2aa2mE，即可求出能级22E（15）22ma 第四章力学量用算符表达与表象变换114.1）设A与B为厄米算符，则ABBA和ABBA也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可22i分解为FFiF，F与F均为厄米算符，且11FFF,FFF22i1111证：ⅰ）ABBABAABBAABABBA22221ABBA为厄米算符。21111ⅱ）ABBABAABBAABABBA2i2i2i2i1ABBA也为厄米算符。2iⅲ）令FAB，则FABBABA，11且定义FFF,FFF（1）22i由ⅰ），ⅱ）得FF,FF，即F和F皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得FFiF4.2）设F(x,p)是x,p的整函数，证明p,FiF,x,FiFxpmn整函数是指F(x,p)可以展开成F(x,p)Cmnxp。m,n0mm1nn1证：（1）先证p,xmix,x,pnip。mm1m1p,xxp,xp,xxm1m2m22ixxp,xxp,xxm1m32m332ixxp,xxp,xxm1m333ixp,xxm1mm1m1m1ixp,xxm1m1m1m1ixixmix1 同理，nn1n1x,ppx,px,ppn1n2n22ippx,ppx,ppn1n222ipx,ppn1nip现在，mnmnp,Fp,CmnxpCmnp,xpm,n0m,n0m1nCmixpmnm,n0Fm1n而iCmnmixp。xm,n0p,FiFxmnmnx,Fx,CmnxpCmnxx,pm,n0m,n0又mn1Cxnipmnm,n0Fmn1而iCmnxnippm,n0x,FiFp4.3）定义反对易式A,BABBA，证明AB,CAB,CA,CBA,BCA,BCBA,C证：AB,CAB,CA,CBABCACBACBCABABCCBACCABAB,CA,CBA,BCA,BCBA,CABCBACBACBCAABBACBACCAA,BCBA,C2 4.4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为ABAB,ABAB,,x,y,z，为Levi-civita符号，试验证ABCABCABC（1）ABCABCABC（2）ABCABCABC（3）证：（1）式左端ABCABCBCABCBCABCBCxyzyzyzxxzzxyyxABC（1）式右端也可以化成ABCABC。（1）式得证。（2）式左端ABCABCABC（,1,23）ABCBCABCBCABCABCABABC（2）式右端ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABABC故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。4.5）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明F,ABF,ABAF,B（1）F,ABF,ABAF,B（2）证：（1）式右端FAAFBAFBBFFABAFBAFBABFFABABFF,AB（1）式左端（2）式右端FAAFBAFBBF3 FABAFBAFBABFFABABFF,AB（2）式左端4.6）设F是由r，p构成的标量算符，证明FFL,Fipir（1）pr证：L,FL,FiL,FjL,Fk（2）xyzLx,Fypzzpy,Fyp,Fy,Fpzp,Fz,Fpzzyy2.4(题)FFFFiyipizipzyzyypzFFFFippiyzpzpyzyyzFFipir（3）pxrxFF同理可证，L,Fipir（4）ypyryFFL,Fipir（5）zpzrz将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。4.7）证明pLLp2ip2ipLLpL,p。证：pLLppLpLLpLpp,LL,pxyzzyyzzyyzyz利用基本对易式L,pp,Lip即得pLLp2ip。xx因此pLLp2ip其次，由于p和L对易，所以xx4 222L,pL,pL,pL,pLLL,pL,pLLL,pxyxZxyxyyyxzxzzzxipLLppLLpzyyzyzzyipLpLLpLpyzzyyzzyipLLpx2因此，ipLLpL,p2224.8）证明Lrprpirp（1）2222LppLLppLLp（2）2222pLLpLp4p（3）2LpLpiLp（4）证:（1）利用公式，ABCABC，有2Lprrpprrpprrprrp2prPprrp2222其中prrpirrp2irprrpirrp3i2222因此Lrprpirp（2）利用公式，LppLpp0（Δ）可得LppLLppL2222LppLppLLp0LLp,LP0①2LpLpLpLpLp2222LpLpLpLp,LP0②2pLpLpLpLpL222LppLpLLp③由①②③，则（2）得证。)1()7.4（3）pLLppLpL2ip2pL2ipLp)1()7.422()2222Lp2i2ipLppLp4p5 （4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），ABCABCABCLpLpxLpLxpLpLpx，其中LppLipepexxzzyy（即L,pipjpk0ipjipk）xxyzzyLpLpxLppLxiLppzezpyeyLpLpziLppxiLppLppx22iLpiLpxx类似地。可以得到y分量和z分量的公式，故（4）题得证。1114.9）定义径向动量算符prrppr2rr1证明：aprpr，bpri，rrcr,pi，r2222212dpr，rr2rrr2rr2122epLp2rraABCCBA证：，111111prrpprprrp2rr2rr111prrppr2rr即p为厄米算符。r6 1111rrrbprrpprppi2rr2rrrrirri11pirrr2rr2rri3ri31irir2rr3r2rr1irr1cr,prir,ir,irrrrrrrir1rirr222(b)212111dpr22rrrrrrrr2221111222222rrrrrrrrrr212r2rrr2222e据4.8）（1），Lrprpirp。其中rpirir，r22222因而Lrprrrrrr22222rpr2r2rr2以r左乘上式各项，即得122)9.4d122222pLLpr2r2rrr2r4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。2px122解：一维谐振子能量Emx。x2m22x2m又xxedx0奇，，p0，x7 （由(3.8)、(3.9)题可知x,0p0）xxxxx，pppp，xxxx由测不准关系，xp,得p。x2x2x21122Exmx2m2x22dEx222mx0，得x3dx8mx2m22m121E0xm8m22m211同理有E，E。0y0z223谐振子（三维）基态能量EEEE。00x0y0z24.11)利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数e换成ze2a（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径a2，在类氢原子中变为a0。0uez1ra类氢原子基态波函数e，仅是r的函数。1003ad1d1d而eee，故只考虑径向测不准关系pr~，类氢原子径向能量为：rrdrrdrsind22pzerE。2ur22pze而H，如果只考虑基态，它可写为2ur22przed1H，pri2urdrrp与r共轭，于是pr~，r~r，rr2222przezeE~（1）22ur2mrr22Eze求极值03rmrr8 a由此得r2mze20a（a：玻尔半径；a：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，z0得2422基态能量，E~mze2ze2a1运算中做了一些不严格的代换，如~1，作为估算是允许的。rr4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证：设定态波函数的空间部分为，则有HE为求p的平均值，我们注意到坐标算符x与H的对易关系：ixi,Hxi,pjpj2uVxipiu。j这里已用到最基本的对易关系x,pi，由此ijijuppx,HiiiiuxHHxiiiuxEEx0iii这里用到了H的厄米性。这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子CiA,B，则在A或B的本征态中，C的平均值必为0。4.13）证明在的本征态下，LL0。xy（提示：利用LLLLiL，求平均。）yzzyx证：设是L的本征态，本征值为m，即LmzzLyL,zLyLzLzLyiLx，LL,LLLLiL，zxzxxzy9 1LLLLLxyzzyi1LLLLyzzyi1mLmL0yyi同理有：L0。y224.14)设粒子处于Y,状态下，求L和Llmxy解：记本征态Y为lm，满足本征方程lm22Llmll1lm，Llmmlm，lmLmlm，zz利用基本对易式LLiL，2可得算符关系iLiLLLLLLLLLLLLLxxxyzzyxyzxzyx2LLLiLLLLiLLLLLLLyxzyzyxyyxzzyx将上式在lm态下求平均，因L作用于lm或lm后均变成本征值m，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，z22因此LLxy222222又LLLLll1mxyz22122LLll1mxy2上题已证LL0。xy22222122LLLLLLll1mxxxxxx22122同理Lll1m。y2224.15)设体系处于CYCY状态（已归一化，即CC1），求11122012（a）L的可能测值及平均值;z2（b）L的可能测值及相应的几率；（c）L的可能测值及相应的几率。x2222解：LY2Y，LY6Y；1111202010 LYY，LY0Y。z1111z2020222（a）由于已归一化，故L的可能测值为，0，相应的几率为C，C。平均值LC。z12z122222（b）L的可能测值为2，6，相应的几率为C，C。12（c）若C，C不为0，则L（及L）的可能测值为：2，，0，，2。12xy01021）Lx在l1的空间，L,Lz对角化的表象中的矩阵是1012010010aa1求本征矢并令1，则101bb，2010cc得，b2a，ac2b，b2c。,01。a11ⅰ）取0，得b,0ca，本征矢为0，归一化后可得本征矢为0。2a1a11ⅱ）取1，得b2a2c，本征矢为2a，归一化后可得本征矢为2。2a111ⅲ）取1，得b2a2c，归一化后可得本征矢为2。211121C1C1在C1Y11C10态下，Lx取0的振幅为C11000，Lx取0的几率为2；Lx取2201121C1C1的振幅为C1100222，相应的几率为4；1121C1C12Lx取的振幅为C110022，相应的几率为4。总几率为C1。2122）L在l2的空间，L,L对角化表象中的矩阵xz1利用jm1jjmjmjm1x21jm1jjmjmjm1x211 3322j211，21j20，20j21，21j221。xxxx220100001000aa103001030022bbLx03030，本征方程03030cc22220030100301dd220001000010ee333ba，acb，bdc，ced，de，,0,12。22210003332ⅰ）0，b0，ac，d0，ec本征矢为。在CYC1态下，测得L02202x2283001010232C2C2的振幅为C00100。几率为；2483201111ⅱ）1，ba，c0，db，de，本征矢为0。在CY态下，测得L的振幅为220x211111C0010000，几率为0。2211111ⅲ）1，ba，c0，db，ed，本征矢为0，在CY态下，测得L几率为0。220x21112 12c1ⅳ）2，b2a，c6a，d2e2a，ea，本征矢为6，在CY态下，测得L2220x6421121632的振幅为C001006C。几率为C；22244821121ⅴ）2，b2a，c6a，d2a，ea，本征矢为6，在CY态下，测得L2的220x42132几率为C。2833122C2C2。884在CYCY态中，测L（和L）的可能值及几率分别为：111220xy202321212121232CCCCCC2112128424484.16）设属于能级E有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归123一的波函数。1解：a111,11"1",，，2212122"",22"1",,，。3313123233"",33,,是归一化的。1231,,,,0，12121211"",2213 1,,,,,,0，131313112312"",331,,,,,,0。232313212322"",33它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。4.17）设有矩阵A,B,C,S等，证明1detABdetAdetB，detSASdetA，1TrABTrBA，TrSASTrA，TrABCTrBCATrCAB，detA表示矩阵A相应的行列式得值，TrA代表矩阵A的对角元素之和。证：（1）由定义detAPi1ina1i1a2i2anin，i1in1当ii是1n的偶置换1nPi1in1当i1in是1n的奇置换0其他情形故上式可写成：detAPi1inPj1jna1ij1a2ij2anijn，i1in其中jj是1n的任意一个置换。1ndetCdetABPi1inC1i1C2i2Cnini1inPiiababab1n1j11ij12j22ij2njnnijnij11innja1j1a2j2anjnPi1inb1ij1b2ij2bnijnji11jnniPj1jna1j1a2j2anjnPi1inPj1jnb1ij1b2ij2bnijnji11jnnidetAdetB111（2）detSASdetSdetAdetSdetSdetSdetA1detSSdetAdetA（3）TrABabbaTrBAikkikiikikik1111（4）TrSASTrSASTrASSTrASSTrA（5）TrABCaijbjkckibjkckiaijTrBCAckiaijbjkTrCABijkijkijk14 第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明22dAA,H,H2dtdA1证.若力学量A不显含，则有tA,H,dti令A,HC2dA1dC11则C,HC,H,22dtidti22dAA,H,H2dtdA5.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，0dt证：束缚定态为:：r,treiEnt。nn在束缚定态r,t，有Hr,tir,tEr,t。nnnnnt***iEnt*其复共轭为Hr,tireEr,t。nnnntdAdAdn,nn,Ann,Ann,AndtdtdtdA11Hn,Ann,AHndtiiA111A,H,HA,AHnnnntiii111A,H,AHHAA,HH,A0。nniii5.3）DxaexpaexpiaPx表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）xikxxex,xaxkkkika是Da的本征态，相应的本征值为exikxa证：Daxxaexaxkikaikxikaeexex,证毕。k1 5.4）设m表示L的本征态（本征值为m），证明zikLzikLyeem是角动量L沿空间,方向的分量LnLxsincosLysincsinLzcosLnLn的本征态。eikLyikLz证：算符相当于将体系绕y轴转角，算符e相当于将体系绕z轴转角，m原为L的本征态，本z"征值为m，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的z轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的,方向，即n方向，Ym变成了，即变成了L的本征态。本征值是状态的lmn物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m。（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）2P5.5）设Hamilton量HVr。证明下列求和规则2u22EEx。nmnm2unx是r的一个分量，是对一切定态求和，E是相应于n态的能量本征值，HnEn。nnn121i证：x,Hx,p2ipp（）xxx2u2uu2AEnEmxnmmxnnEnEmmmxnnHxmnxHmnnn()12imxnnx,Hmmxnnx,PxmmxnnPxmn2ununimxPxnun()i又AmEnEmnnxmmx,HnnxmmxPxnnnun2iii2AmPxxxPxmmx,Pxmi，ununuu22AEEx。nmnm2un不难得出，对于Y,Z分量，亦有同样的结论，证毕。2 5.6）设Fr,p为厄米算符，证明能量表象中求和规则为21EnEkFnkkF,H,Fk（1）n2令证：式（1）左端AEnEkkFnnFkkFnnHFFHknnkF,H,Fk（2）计算中用到了公式nn1。n由于H,F是厄米算符，有下列算符关系：H,FHFFHFHHFFHHFH,F（3）式（2）取共轭，得到)3(AAkF,H,FkkH,FFkkH,FFk（4）结合式（2）和（4），得21AEnEkFnkkF,H,Fkn2证毕。"5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度相对于惯性参照系K运动（沿x轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：""""xxvt,yy,zz,tt。（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系"""""Vx,tVx,ttVx,t（2）22""""证明schrödinger方程在K参照系中表为iV2t2mx"22在K参照系中表为iV2t2mx2mm"其中expixtx,tt2"证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。2x,twx,t，是t时刻在x点找到粒子的几率密度；3 2""""""""x,twx,t，是t时刻在x点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即"""wx,twx,t（6）"从（1）式有wx,ttwx,t（6’）"由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以iS"""iSx,t"x,tex,tex,tt（7）"iSx,tx,ttex,t（7）22由（1）式，,v,x"xt"xtx"2x222"""""""""（3）式变为：x,tVx,tx,t22mx""""""ix,tix,t（8）xt将（7’）代入（8）式，可得222222SSSSSiVx,tii222mxmxx2mt2mxxtt（9）选择适当的Sx,t，使得（9）（4），S0。（10）mx2222SSSSi0（10’）22mx2mxxtm从（10）可得Sxft。（11）ft是的任意函数，将（11）代入（10’），可得2fmt22m积分，得fttC。2""C为积分常数，但0时，K系和K系重合，应等于，即S应等于0，故应取C0，从而得到4 2mmSxt（12）2代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律："112expmxmt（13）i2"iS"i"12"逆变换为eexpmxmt（13’）2相当于式（13）中的，带“，”的量和不带“，”的量互换。讨论：Sx,t的函数形式也可用下法求出："因Sx,t和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定Sx,t.沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为"PPm"22"PP1212EPmEPm（14）2m2m22"据此，K系和K系中相应的平面波波函数为""""iPxEt"iPxEte，e（15）（1）、（14）代入（15），即得"112expmxmti2"此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。5 第六章中心力场6.1)利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式1相对动量prmpmp（1）2112M总动量PMRpp（2）12总轨迹角动量LLLrprpRPrp（3）1211222222p1p2Pp总动能T（4）2m2m2M212反之，有rRr,rRr（5）12mm12pPp，pPp（6）12mm21以上各式中，Mmm,mmmm121212mrmr1122证：R，（17）rrr，（18）12mm12mm1相对动量pr12rrmpmp（1’）mm12M211212m1r1m2r2总动量PMRmmpp（2’）1212mm12总轨迹角动量LLLrprp121122)5(uuRrpRrpm1m2121Rp1p2rm2p1m1p2M1()()2RPrp由（17）、(18)可解出r,r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。1222226PpPpp1p2m2m1总动能T2m2m2m2m12122222u2puPpu2puPpPP222m1m22m1m1m22m1m22m2m1m21 m12m221211PPp222m1m22m1m22m1m222Pp（4’）2M2［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2)同上题，求坐标表象中p、P和L的算术表示式piPi，LRPrprR1i解：pmpmpmm（1）21122r11r2MM其中ijk，r1xyz111Xxm1而，xxXxxMXx111m1m1同理，；yMYyzMZz11（利用上题（17）（18）式。）mm11；仿此可设（2）r1Rrr2RrMMim1m2m1m2代入（1）中，得pRm2rRm1rMMMi（3）r()2Pppii（4）12r1r2RLRPrp只要将（3）、（4）式中的p、P以相应的算符代入即可。6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指ee束缚体系）（b）u原子（muonicatom）（c）u子偶素（muonium，指uu束缚体系）解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：2 4mmue1epE,u。n222nmmep4ue1mememe（a）电子偶素能级E，（u）n224nmeme24mmuue1up（b）u原子能级E，（u）n22u2nmmup4mue1mumumu（c）u子偶素能级E，（u）n224nmumu26.4）对于氢原子基态，计算xp。解：*在求坐标系中，空间反演：rr（rr,,）。121r氢原子基态波函数为ea0（1）100a30宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以x,0p0（2）x由于各向同性，呈球对称分布，显然有10022212xyzr3（3）22212ppppxyz322212ra02容易算出rrdrersindrdd3a（4）100a3002222pdd100100100100100100222222100d100rsindrdda0（5）r2222因此xa，xxxa（6）002222p，ppp（7）x2xxx3a3a00xp（8）x3测不准关系的普遍结论是xp（9）x2显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。323 6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区r2a（即EV0）的几率。112r2解：氢原子基态波函数为ea，a，1003ue2a42uee相应的能量E1222a22ee动能TrEV12arTEV0是经典不允许区。由上式解出为r2a。因此，电子处于经典不允许区的几率为212ra2perdrsindd（令2ra）3a20a034a24ed13e.023813a246.6）对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指n,0ln1的轨迹），计算r（a）最可几半径；（b）平均半径；2212（c）涨落rrr解：类氢原子中电子波函数可以表示为nlm1RrY,urY,（1）nlmnrllmnrllmrd（a）最可几半径由径向几率分布的极值条件ur0（2）nrldr决定。ln1时，n0。rnZrnaurCre,0n12代入（2）式，容易求得rnaZ（4）几0这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在态下，各r之间有递推关系（Kramers公式）nlm21a122a2r2r1r2l1r0(5)22nZ4Z（参钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）0在（5）式中令0，注意到r1。可设4 1Z(6)2rnlmna依次再取2,1，得到12Z(ln)12nZr3nll1n（7）nlm2a2an2Z2(ln)11Z2222（c）r15n3ll1nnn1（8）nlm2a2a因此，r的涨落322212nnarrr（9）24Zrn2n1n（10）r222n1可见，n越大，rr越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。6.7）设电荷为Ze的原子核突然发生衰变，核电荷变成Z1e，求衰变前原子Z中一个K电子（1s轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子Z1的K轨迹的几率。解：由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子，其波函1Z2Zr数仍未Z,rea（1）1003a1Z132Z1r而新原子中K电子的波函数应为Z,1rea（2）1003a将Z,r按新原子的能量本征态作线形展开：100Z,rCZ,r（3）100nlmnlmnlm则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的Z,1r态的几率为nlm22pCZ1Z（4）nlmnlmnlm100因此，本题所求的几率为332ZZ122Z1ra22pZ1Z4erdr10010010026a5 3336ZZ11111（5）61Z2ZZ2展开时保留到第三项3当Z1，上式可近似取成p1（5’）10024Z例如，Z10,p.09932；100Z30,p.09992。1006.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为22eeaVr（01）（1）2rra为Bohr半径，求价电子的能级。12"""118提示：令ll12ll1，解出ll12222l12解：取守恒量完全集为H,L,L，其共同本征函数为zurr,,RrY,Y,（2）lmlmrur满足径向方程2222"eeaull122uEu（3）2u2urrr""令ll12ll1（4）222"""e式（3）就可以化为ull12uEu（3’）2u2urr"相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为2eE，nnl1，n,2,1,0（5）n2rr2na"将l换成l，即得价电子的能级：2e""E，nnl1（6）nl2r"2na"通常令ll（7）l"nnl1n（8）rll6 称为量子数l和n的“修正数”。由于1，可以对式（4）作如下近似处理：l""2ll12ll1ll1ll12l1llll21略去l，即得ll（9）2由于1，1，因此，本题所得能级E和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“l简并”已经lnl消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数随l之升高而减小，这一点和实验符合l的极好。12"118式（4）的精确解为ll12（10）222l12若对上式作二项式展开，保留项，略去以上各项，即可得到式（9）。12126.9）在二维谐振子势Vx,yKxKy中的粒子，求解其能量本正值。对于二维各向同性xy22（KKK）的谐振子，求能级的简并度。（参书卷ⅠP302-303）xy解：7 第七章粒子在电磁场中的运动7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征。（参《导论》P225）解：以电场方向为x轴，磁场方向为z轴，则0,0,，B,0,0B（1）去电磁场的标势和矢势为x，A,0Bx0,（2）满足关系，BA212qB2粒子的Hamiton量为Hpxpyxpzqx（3）2uC取守恒量完全集为H,p,p，它们的共同本征函数可写成yzipyypzzx,y,zxe（4）其中P和P为本征值，可取任意函数。yzx,y,z满足能量本证方程：Hx,y,zEx,y,z因此x满足方程212qB2pxpyxpzxqxxEx（5）2uC亦即，对于x来说，H和F式等价：2222qB2qB122H22xqpyxpypz2ux2uCuC2u222222qB2qB2122xxxpp（6）22020yz2ux2uC2uC2u2puCqBuCCy其中x022qpy（7）qBuCqBBu式（6）相当于一维谐振子能量算符22qB122uxx,202ux2uC再加上两项函数，因此本题能级为221qB2122En2x0pypz22uC2u1 Bq221CuC12n2pypz（8）2uC2BB2u其中P和P为任意实数，n,2,1,0yz式（4）中为以x为xx变量的一维谐振子能量本征函数，即022xxxHe（9）n0nuqBH为厄密多项式，xxxx。n00C1227.2）设带电粒子在均匀磁场B和各向同性谐振子势Vrr中运动，求能量本征值。22 第八章自旋8.1)在表象中，求的本征态。zx01解：在表象中，的矩阵表示为：zxx10a01aa设的本征矢（在表象中）为，则有xzb10bb2可得ba及ab,11。,1则ab;,1则ab利用归一化条件，可求出的两个本征态为x1111,1;,1。21218.2)在表象中，求n的本征态，nsincos,sinsin,cos是,方向的单位矢.z解：在表象中，的矩阵表示为z010i10，，（1）x10yi0z01因此，nnnnnxxyyzznninizxycossine（2）ninnixyzsinecosa设的本征函数表示为，本征值为，则本征方程为nbicossinea0，即0（3）nsineicosb由（3）式的系数行列式0，可解得1。对于1，代回（3）式，可得asineicos1nnin2ixxyeb1cossinnxiny1nx2归一化本征函数用,表示，通常取为icoscose2,22或（4）1iisin2esine221 i2后者形式上更加对称，它和前者相差因子e，并无实质差别。若用n的直角坐标分量来表示，可以取为11nz1nxinyn或（4’）1ninn21nzxy21nz1z如n1，二者等价（仅有相因子的差别）。若n1,0,0，应取前者；若n,0,01，应取后者。z对于,1类似地可以求得a1cossin1nninei2eixxybsincosnxiny1nx2isinsine2,22或（5）1iicos2ecose221nxiny11nz或n或（5’）1211nninnzz21nzxy01若n1,0,0，取;若n,0,01，取。11101228.3)在s本征态s下，求s和s。z1zxy202222解：sssssxxxxx22但s4（常数矩阵），x011s100，x10022222s4，类似有s4。xy8.4)（a）在s本征态下，求n的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处z12于n1的自旋态下，求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。1解：（a）利用8.2）题求得的本征函数，容易求出：在自旋态中，1的几率为n1n20221cos1n（1）11z2221的几率为n2 221sin1n（2）11z222（b）在自旋态1态，1的几率为1nz221cos1n（3）11z2222211的几率为：sin1n（4）z11z222111n11n1nzzzz222222[或cos1sin1cossincosn（5’）]zz2222考虑到nnn，nxxyyzz各分量以及n各分量在的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作x,y,z轮换，就可推论出以下n各点：11的几率为1n，（6）xx2n（7）xx11的几率为1n（8）yy2n（9）yy将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：自旋态1中，n（10）1n类似地，容易算出：自旋态1中，n（11）1n解二：（a）在1自旋态中，的可能测值为本征值;1设相应的几率为w及w，则z1n2w1w1ww（12）n由于nnn（13）nxxyyzz考虑到在的本征态中和的平均值为0，的平均值即为其本征值，因此在态下，zxyz12n1nncos（14）nzzzz由式（12）、（14），并利用ww1，就可求出11w1n，w1n（15）zz22此即解一中的式（1）、（2）。3 （b）在式（14）中，是z轴和n的夹角。z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴，而原来的n取作新的z轴。由此可知：在1的自旋态中，的平均值仍为cos，即n。再令x,y,z轮换，nzz即得自旋态1中，n（10）1n在态下各分量的取值大部分当然均为1，其几率也可估照（a）中计算而写出，即111的几率为1n（6）xx211的几率为1n（8）yy211的几率为1n（3，4）zz28.5)证明eizeizcos2sin2（为常数）[量Ⅱ]xxy8.7）由两个非全同粒子（自旋均为）组成的体系，设粒子间相互作用表为HAss（不考虑轨迹运动）。212设初始时刻（t0）粒子1自旋“向上”s12，粒子2自旋“向下”s12。求时刻t0时，1z2z2(a)粒子1自旋向上的几率（答：cosAt2，取1）(b)粒子1和2的自旋向上的几率（答：0）(c)总自旋s=0和1的几率（答：都是12）11(d)求和的平均值（答：ssss0，scosAt，scosAt）。1x1y2x2y1z2z22解：从求体系的自旋波函数入手，由于A23HAs1s2s（1）222易见总自旋s是守恒量，所以定态波函数可以选为s、s的共同本征函数，按照总自旋量子数的不同取值，sz本征函数和能级为s,11M,E1A,4s（2）s,0,E3A4000t0时，体系的自旋态为1012（3）10002因此，t0时波函数为t1eiE1t1eiE0t（4）1000221iAt413iAt4即t1212e1212e224 AtAtiAt412cosi12sine（4’）222At(a）由式（4’）可知，在时刻，粒子t1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于12项］的几率为cos。2(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于12，式（4’）中没有这种项］的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋s为守恒量，而体系初态s0，所以任何时刻s必为0，不可能出现两个粒子均“向上”s1的情zzzz形。2(c)由式（4）可知，总自旋量子数取s1和0的几率相等，各为12。由于s守恒，这个几率不随时间改变(d)利用式（4’）容易算出s和s的平均值为12s1xts1ys2xts2y,0tt12At2At1s1ztcossincosAt,（5）22221sscosAt。2zt1zt25 第九章力学量本征值问题的代数解法9—1）在8.2节式（21）中给出了自旋（1）与轨迹角动量（l）耦合成总角动量j的波函数，这相当于2ljmj1jl,js1的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数jmmjm1221122解：8.2节式（21a）（21b）:jl12(l0),mm12j1lm1Ylmljmj2l1lmYlm1jmYjl1,2mm12jj1,m1j12j2（21a）2jjmjY11j,mj22lj121lmYlmljmj2l1lm1Ylm1jm1Yjl12(l0),mm12jj1,m1j1j22（21b）2j2jmj1Y11j,mj22lj12此二式中的l相当于CG系数中的j，而js1,m~m~,,m,m12。122j12因此，（21a）式可重写为jmj1m1j2m2j1m1j2m2jmm211111111jmjmjmjmjmjm111111112222222212j1m1211jm2j11122(21a),jl12j1121（21a’）12j1m12jm11112j1221对照CG系数表，可知：当jjjj12,m12时，12121211j1m12jmjm11222j＋11而m1时，221 1211j1m12jmjm11222j＋11对于jl12j12的（21b）式，有112111j1m12jmj,m1112222j＋1112111j1m12jmj,m1112222j＋119－2）设两个全同粒子角动量jjj，耦合成总角动量J，12j2JMjm1jm2JMjm11jm22（1）m1m2利用CG系数的对称性，证明2jJp12j2JMj2JM由此证明，无论是Bose子或Fermi子，J都必须取偶数证：由式（1），p12j2JMjm1jm2JMjm12jm21m1m2把m1m2,jm2jm1JMjm22jm11m1m22jJ利用CG系数的对称性j1m2j2m1JMjm11jm22m1m22jJ2(2)jJM对于Fermi子，j半奇数，2j奇数，但要求p，122jJ即要求1，所以J必须为偶数。J2j1，（J2j情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此maxmaxJ2j,12j,30,22j1可验证：态2的总数为j2j1。[2J1j2j1]。jJMJ0对于Bose子，j整数，2j偶数，但要求p122jJ即1，故J也必须为偶数J2j2,j,20,29－3）设原子中有两个价电子，处于E能级上，按LS耦合方案，LLL，sss，LsJ（总nl12122 角动量）证明：（a）Ls必为偶数；（b）JLs,,Ls。当s0时，JL（偶）；s1时，JL,1L,L1，J可以为奇，也可以为偶。1.(对称，三重态)证：自旋的耦合：s1s21，s20.(反对称，单态)轨迹角动量的耦合：lll，L2l2,l,1.0,1,12其中L偶是对称态，L奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以s0时，L2l2,l,2.0,s1时，L2l2,l,1.1,在两种情况下，Ls都为偶数，但JLs,,Ls对于s0，JL偶；s1，JL,1L,L1。J可以为奇，也可以为偶［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj耦合方案，似乎J必为偶数）。提示：在本题中，若用jj耦合来分析，j？是否只有一个j值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态，证明jjj,j,1,j的几率却相等，jj001z2z即12j1。jm提示：利用jmjm002j1（P235，式（23））证：Dirac符号表示，有jjJMjj00，jj0012jjJMJMjmjmjmjmJM（1）1211221122m1令在本题的情况下，jjj，JM0，mmm。1212则（1）成为jj00jmjmjmjm00（2）m其中jmjm00即为耦合表象中的态jj00用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG系数，其模即表示体系处于jj00态时，测得j取值m（同时J取值m，m取j,j,1,j各可能值）的几率。1z2zjm由提示，jmjm002j1（3）3 21jmjm00（4）2j1即，对于给定的jjj所合成的态，jjj,j,1,j的几率与m的具体取值无关，皆为12jj001z2z12j1。9－5）设JJJ，在jjjm态下，证明（取1）1212jjjj0，1x1y2x2yjj1jj1jj11122jm1z2jj1jj1jj1jj12211jmmj2z1z2jj1证：（参剖析，8.68等）29－6）在L,L表象(以为lm基矢)中，l1的子空间的维数为3，求L在此三维空间中的矩阵表示，再利用zx矩阵方法求出L的本征值和本征态x2解：在L,L表象中，l1的子空间中的基矢为lm1m，m,0,11。由于zJjmjm1jmjm11jm1Jjmjm1jmx21jm1Jjmjm1jmx21JJJ。x12对于本题，以上方式中jl，JL，JL，JLxxzz不难求得L"LLLLL0xmmx11x00x11x11x112LLLL。x10x01x01x1022L在此三维空间中的矩阵表示为［L,L表象］xz4 0102Lx101（1）2010a设Lx的本征值为1，本征矢为b，则本征方程为c10a211b0（2）2201c22此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：1,0,0,11.（3）将1代入（2），可得ab0，abc0，bc0。2222a1b由此得acb，b222c12b归一化1211，取b1。221112~1（4）21同理，将,01分别代入（2），可求得111122~0；32~1。22115 第十章定态问题的常用近似方法"10－1)设非简谐振子的Hamilton量表为HHH022d122Hux022udx2"3Hx（为实常数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。22)0()0()0(x2解：已知HE，NeHx，0nnnnnn)0(1uEn，n21xxnn1nn1n1221xxnn12n1n1n2n2n2nn2231xxnn1n23nn3n1n1n1n2n3计算n3n3n1n1n322)1("3一级微扰：EHx0。nnnnn)1("23（也可由EHxxdx＝0（奇）直接得出）nnnn计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0：3"xnn1n2Hn3n3n,3n223"x3nnHn1n3n,1n223"x3n1n1Hn1n3n,1n223"xn1n2n3Hn3n3n,3n222"2"2nn1n2计算Hkn：Hn,3n682"326H9n8n,1n2"326H9n8n,1n2"26Hn1n2n38n,3n1 )0()0()0()0(又EE3，EE，nn3nn1)0()0()0()0(EE，EE3，nn1nn32"HEE)0(E)1(E)2(E)0(H""knnnnnnnn)0()0(kEnEk222130n30n11n3428u")0()1()0("Hkn)0(nnnn)0()0(kkEnEk)0(1)0()0()0(1)0(nn1n23nn3n1n1n1n2n3n33n3n1n13n322"10－2)考虑耦合振子，HHH参书.下册§9.202221222Huxx02ux2x221212"Hxx（为实常数，刻画耦合强度）12（a）求出H的本征值及能级简并度。0"（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算H对能级的影响（一级近似）。（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。11提示：作坐标变换，令x，x，则H可化为两个独立的谐振子，,称为简正坐标。1222解：（a）H的本征函数和本征值可分别表为0x,xxx（1）n1n212n11n2211En1n2n1n222nn1，n,n,1,0,2（2）1212令Nnn（3）12则能量表示式可改为EN1，N,2,1,0（4）N由式（3）可以看出，对于N0情况。能级是简并的，简并度为N1。（b）N1为第一激态（基态N0），能级为二重简并，能量本征值为E21相应的本征函数为xx与xx（或考虑它们的线形迭加），分别记为fx,x和fx,x。011211021121122 利用1xn1n11nnn2不难得出：WW01122WWf,xxfx,xxx,xx1221112201111122021（实）（5）222u)1(代入方程detWE0uvuvE)1(2u得0E)1(2u解之，得E)1(2u因此，原来二重简并的能级E变成两条，能量分别为1E2（6）2u能级简并被解除，类似还可求出其他能级的分裂，如图所示。（c）严格求解如下：11令x，x（7）122211其逆变换为x＋x，x－x（7’）121222易证：x2＋x2＝2＋21122x1x22（8）2222222xx122221222因此，S.eq:uxxxxE（9）2ux2x221212122221222变为uE（10）22u2212221221222122令uu，uu122222222222u1u1即（11）2222u1u2于是方程（10）变为3 222212122u12u2E（12）2u22u2是二彼此独立的谐振子，所以可以取n1n21211222u1He，n12n1n!n11111222222u2He，（13）n22n1n!n2222相应的能量为11En1n2n11n2222n,n,1,0,2（13）122当u时，由（11）式，得12221u12u112221u12u211此时En1n2n1n2n2n1222uN1nn（14）212uN1（第一激发态）的情况下，可有n,n0,1与1,0两种情况（二简并态），相应的能量分别为12E2，E210012u2u能级分裂EEE0110u与微扰论计算结果一致。"10－3)一维无限深势阱0xa中的粒子，受到微扰H作用2xa,0xa2"Hx21xa,a2xa求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为222)0(n)0(2nxE，sin，n,3,2,1n2n2uaaa22)0()0(2x基态E，sin，1212uaaa4 基态能量的一级修正为a)1("2"EHxHxdx111102a22x2x2a2xxsindxsin21dxa0aaaa2aaxaua作变换u，x，dxdu；axavav，xa，dxdv。a代入上式完成积分，)1(422402Esinuudusinvvdv1202282212sinuudu。202210－4)实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R的均匀分球体它产生的电势为2Ze31r,rRR22R2rZe,rarZe为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，222Ze31rZe",rRHR22R2R0,ra计算原子的1s能级的一级微扰修正。解：.类氢离子中1s轨迹电子波函数为132ZZrae1s3aa为波尔半径，1s能级的微扰论一级修正为R)1("2"2EHH4rdr1s1s1s1s0由于核半径R远小于原子半径aZ，积分时可取2Zrae142424222)1(4ZeRr3r2ZeR4ZR)0(2从而求出E1s30r3dr3E1sa2R2R5a5a22)0(Ze其中E1s2a为类氢离子的基态能级。10－5)设氢原子处n3能级，求它的Stark分裂。5 "提示：参阅10.2节中例1。注意n3能级简并度为9，考虑到微扰HeZ相应的选择定则，此9维空间可以分解为若干个不变子空间。解：加电场前，能级共对应有9个状态。零级波函数形式为RrY,（1）nlmnllmn3的9个态分别记为：320,310,300,m0；321,311，m1；1234532,131,1m1；322,m2；322m2；（2）6789视外电场为微扰，微扰作用势"HereZercos（3）24rr3aRe3238130a2a28rrr3aR3131e（4）276a2a6a222r2rr3aR1e30333a23a27a""rr将H写成HeacosW，Wcos。（5）aa""由于H,L0，所以H作用于的结果，磁量子数m不变。又因为znlmcosYaYaY（6）lmlml,1ml,1ml,1m1222l1malm（6’）2l12l3"H作用于，量子数将改变l1。因此在计算微扰矩阵元W中，只有WW，WW，WW，nlmuv122123324554WW不为零。6776先算径向积分：r29r2RRrdr5，RRrdr920323103130a2a再求出：WW33，WW36，1221233299WW，WW。4554677622)1(再代入方程detWE0，得uvuv6 )1(E330000000)1(m0{33E36000000)1(036E000000)1(000E920000m1{)1(0即00092E0000)1(00000E9200m1{)1(0000092E00)1(m2{0000000E0)1(m2{00000000E2)1(3)1(22)1(22EE9E920)1(99E,0,0,0ea,ea,9ea。322)1(E330)1()1(（由33E360，解得E,9,09）)1(036E)1(E92)1(（由0，解得E99,22）)1(92E结果，n3的能级分裂成五条：)0()0(9)0()0(9)0(EE9ea，EEea，EE，EEea，EE9ea。31332333334335322"10－6)设HHH，0)0(E10"abH，H（a,b为实数）00E)0(ba2用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把H矩阵对角化）比较。"解：（1）由H表达式可见，微扰哈密顿的矩阵元为""""HHa，HHb11221221代入能量的微扰论二级近似公式2"H)0(""knEnEnHnn)0()0(kEnEk22)0(b)0(b得EEa，EEa11)0()0(22)0()0(EEEE2121（2）直接求能量。设H的本征矢为，对应的本征值为E，则本征方程为)0(Eab1EbE)0(a27 )0(EaEb1即0bE)0(aE2,有非零解的条件为)0(EaEb10)0(bEaE2)0()0(2即EaEEaEb012这是关于aE的二次方程，其解为aE1E)0(E)0(E)0(E)0(24b2212121221)0()0(1)0()0(2bEEEE1212221E)0(E)0(21112b2)0()0()0()0(E1E2E2E11222E)0(E)0(2111b2)0()0()0()0(E1E2E2E1)0()0(22EE21b以上的近似符合定态微扰论的要求，1，)0()0(EE21即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步，得能级的二级近似22)0(b)0(bEEa，EEa11)0()0(22)0()0(EEEE2121这与（1）中用微扰论公式求得的结果完全一致。2x10－7)对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e，为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。2x解：设基态波函数Ce，归一化，得12222222xxCedxCedxC1，2114422x2取C，e。22d122Hxux22udx21222*2x2d122x2EHdxeuxedx22udx28 12222x2122x22e12xdxuexdxu222u（1）2u822Euu由0，得22u82u12考虑x在x处要求有限的条件，取（2）22代入式（1），得谐振子（一维）基态能量1E02与严格解求得的结果完全一致。22d410－8)对于非谐振子，Hx，取试探波函数为22udx2x22xe014（与谐振子基态波函数形式相同），为参数，用变分法求基态能量。2232222*dx222解：Tdxe1xdx（1）0202udx2u4u2424x23Vxdxxedx（2）044223ETV（3）44u42E3由0，得0，52u1223解得6u（4）2323331代入（3），得基态能量E3（5）042u2ra210－9)氢原子基态试探波函数取为e，a（Bohr半径），为参数，用变分法求基态能量，并与2ue严格解比较。解：ra1510－10)设在氘核中的质子与中子的相互作用表成VrAe，（A32Mev,a2.210m）。9 r2ae，为变分参数，用变分法计算氘核得基态能量。r2a解：取Ne，（1）22ra2归一化，d4Nerdr1，0132得N（2）38a212ra（而Hamilton量为HrAeTV）22urrr2222dTd2udr2u2a32rara2VAN4eerdrA01223因此ETVA（3）28ua1其中u为质子－中子体系的约化质量，即mmp2u469.45MevcmmpE由极值条件0，求得最佳值满足的方程：2（4）42112uaA给定了上式右端各参数值之后，可用数值法求出的最佳值，相应的E最小值可以表成2211E1（5）24ua2322c式（4）中，.00453122212uaA12ucaA由式（4）求得最佳值为.1326（6）代入（5）式，即得E.215Mev（7）氘核基态能级的实验值为E.223Mev，二者相差约6.3%。式（1）作为基态波函数的近似表达式，虽不十分准确，但简明易算。例如，由式（1）易得基态最可几半径为15r2a.326(fm)[fm:10m]（8）0和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定，即满足d22r0（9）drrr0由式（1）还可求出基态平均半径为10 2rrd3a.489(fm)（10）11 第十一章量子跃迁11—1）荷电的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为q，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用tt。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然0处于基态的几率（取沿z轴方向来计算）。0解：令r,tCtreiEnt（6）nnn初始条件（5）亦即C0（5）nn1"用式（6）代入式（4），但微扰项H中取初值（这是微扰论的实质性要点！）即得1dCniEnt"ineH1e0z1tndt*以左乘上式两端并全空间积分，得ndCniEntiezte0n1dt再对积分，由t0t0，即得e0Ctzn1（7）nn1i因此t0时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到态的几率为[可直接代入P291式（23）、P321式（15）而得下n式]22e02PnCntzn1（8）根据选择定则l,1m0，终态量子数必须是nlmn10即电子只能跃迁到各np态l1，而且磁量子数m0。跃迁到各激发态的几率总和为22"e0"2e022Pnzn1zn1z11（9）nnn其中zz0（z为奇宇称）111122122zn11znnz11z11r1a（10）nn31 a为Bohr半径，代入式（9）即得2"e0aPn（11）n电场作用后电子仍留在基态的几率为2"e0a1Pn1（12）n11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton量H表为（能量表象）0E10H,EE,0120E2"设t0时刻体系处于基态，后受微扰H作用，"H,求t时刻体系处于激发态的几率。"解：t0时，体系HHH，其矩阵表示（H表象）为00"E1HHH（1）0E2设H的本征函数为C1CC（2）E1122C2代入本征方程HE（3）EE得到E1EC1C20（4）CEEC0122上式存在非平庸解的条件为EE12EEEE012EE2122由此解出EEEEE4E（5）21221EE12令，，（6）1221222式（5）可以写成E4（5’）122当EE，由式（4）求得2 222C4C122取C1，即得相应的能量本征函数（未归一化）为122242（7）E12当EE，类似可求得22242（8）E12t0时，体系的初始状态为t0（9）1EE22222其中4（10）因此t0时波函数为teiEteiEt（11）EE22以式（5’）、（7）、（8）代入上式，即得iitt12t2t12ttcosisine2isine2（12）12222体系处于态的几率为22222t2tsin（13）211—4）自旋为12的粒子，磁矩为u，处于沿z轴方向的常磁场B中，初始时刻粒子自旋向下1。后来加0z上沿x轴方向的常磁场BB。求时刻粒子测得自旋向上的几率。（t磁矩算符uu，与外磁场的的作用10"HuBBB.）1x0z解：粒子的磁矩算符可表示成uu（1）为泡利算符，磁场对粒子的作用势为"HuBBB.（2）1x0z在表象中，H的矩阵表示为z0110B0B1HuBuBu（2’）110001BB103 以下求H的本征值和本征函数，设本征函数为10C1CC（3）1021C2本征方程为HE，则B0B1C1C1uE（4）BBCC1022能级方程为EuBuB01detEH0（5）uBEuB1022令uB，uB，（6）001101由式（5）容易解出E（7）将E之值代回式（4），即可求出如下本征函数：EECC1111（8）CC20201100注意，这两个本征函数并未归一化。将t0时的初始波函数按能量本征函数展开，01t0（9）12因此，t0时波函数1itittee21100isintcostisint（10）01注意t满足归一化条件tt1在时刻t0，测得粒子自旋“向上”1的几率为z22112P1isintsintz222B1u2222sinB0B1t（11）B0B1本题可以视为11—3）题的一个实例。4 第十二章散射12－1)对低能粒子散射，设只考虑s波和p波，写出散射截面的一般形式。21i解：2l1elsinPcos2llkl0只考虑波和sp波，则只取l1,0，于是1i0i12esinPcos3esinPcos20011kPcos1，Pcoscos,代入上式，得011i0i12esin3esincos201k12222sin6sincoscoscos9sincos2001011k122AAcosAcos2012k22其中Asin，A6sincoscos，A9sin。00101012112－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面：V0,ra;（a）Vr,0ra.2r（b）VrVe0（c）Vrer（d）Vrr.解：本题的势场皆为中心势场，故有2u""""frVrsinqrdr，q2ksin（1）2q022224u""""frVrsinqrdr（1）4q20aV"""0（a）rVsinqrdrsinqaqacosqa002q224uV02sinqaqacosqa46q"2V"2""（b）r"Versinqr"dr"0r"ereiqreiqrdr"002i01 2222r"iqqr"iqqV0r"e24dr"r"e24dr"2i0022r"iqr"iqV20eq4r"e2dr"r"e2dr"2i00V0q24eII（3）122i222"iq"iq"iqrriqr其中Ir"e2dr"r"iq2e2dr"e2dr"100202iq21iqeded（4）02023422"iq"r2"1iq类似地可求得Iredr（5）202342（4）、（5）代入（3），得"r"2""V0q24iqVqq24rVesinqrdre0e（6）002i332242代入（2），得22uV0q22e（7）434r"""（c）r"esinqr"dr"ersinqr"dr"Isinqr"der0r"00"r"r"""q1"r"sinqreqecosqrdrcosqrde000q"r"r"""cosqreqesinqrdr200qq1I2"r"er""q由此解得I0r"sinqrdr22（8）q22224uq4u代入（2），解得（9）4q22q24222q将Vrr.代入§12.3.2式（18），2 u"""3qirf,dreVr，得22u"""u3qirf,drer2222222uf,（10）24222u可见，与,均无关，是各项同性的，。412－3)计算低能粒子散射截面（只考虑波），设粒子自旋为12，相互作用为V012,raVr（1）,0raV,0入射粒子和靶粒子均未极化。0提示：计及粒子的全同性，对于态（sl0，空间波函数对称），两粒子自旋之和必为s0（单态），所以3V0,raVr（1’）,0ra解：自旋为12的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的，s波（l0）波函数是两粒子空间坐标的对称函数，所以自旋波函数必须是反对称的，即为自旋单态，因此，体系总自旋为0，312亦即，对于低能波散射，式（s1）等价于球方势阱3V0,raVr（1’）,0ra在质心系中，波空间波函数可以写成srurr（2）其中r为两粒子的相对距离，即rrr,E0时。径向方程为122"uVru0（3）2u亦即"2uku,0ra0E0（3’）"u,0ra其中k6uV3mV（4）000m为粒子质量，m2为两粒子体系的约化质量。3 方程（3’）满足边界条件u00的解为Asink0r,raurr（5）C1,raa0"其中a为散射密度（待定），a即散射振幅，利用ra处uu的连续条件，求得00tanka0aa1（6）0ka0tanka0faa1（7）0ka0由于是全同粒子散射，波微分截面为s22ff4a（8）0总截面（自旋单态，波）为s2416a（9）t0考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的，自旋指向取随机分布，两粒子形成自旋单态s0的几率为1，形成4自旋三重态s1的几率为3，后若对波散射无贡献。因此，有效的总截面为s421tanka2204a4a1（10）有效4t0ka0在不发生共振散射的条件下，散射振幅和散射截面均和入射能量无关，这是低能散射的特点。共振散射的条件为a，亦即（参考式（6））035ka,,,（11）0222这正是势阱的“阱口”出现束缚能级E0的条件，这时式（9）和（10）应改为2221683216f（12）t2kuEmEc218有效t4mE22其中E为实验室坐标系中入射中子动能，EE2为质心系中总动能，Ek2u。cc4'