《线性代数》 第三版 (卢刚 著) 课后习题答案 高等教育出版社 159页

'欢迎光临阳光大学生网,提供最全面的大学生课后习题答案和复习试题免费下载，http://www.sundxs.com/阳光大学生网我们希望呵护您的眼睛，关注您的成长，给您一片绿色的环境，欢迎加入我们，一起分享大学里的学习和生活感悟，免费提供:大学生课后答案，大学考试题及答案，大学生励志书籍。 第1章矩阵1、设⎛20−1⎞⎛−112⎞A=⎜⎜⎟⎟，B=⎜⎜⎟⎟⎝31−2⎠⎝−215⎠求A+B,A−B2,A−3B.⎛20−1⎞⎛−112⎞⎛111⎞解：A+B=⎜⎜⎟⎟+⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟；⎝31−2⎠⎝−215⎠⎝123⎠⎛20−1⎞⎛−112⎞⎛3−1−3⎞A−B=⎜⎜⎟⎟−⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟；⎝31−2⎠⎝−215⎠⎝50−7⎠⎛40−2⎞⎛−336⎞⎛7−3−8⎞2A−3B=⎜⎜⎟⎟−⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝62−4⎠⎝−6315⎠⎝12−1−19⎠2、设矩阵X满足X−2A=B−X，其中⎛2−1⎞⎛0−2⎞A=⎜⎜⎟⎟，B=⎜⎜⎟⎟，⎝−12⎠⎝−20⎠求X.⎛x1x2⎞解：设X=⎜⎟，⎜⎟xx⎝34⎠⎛x1−4x2+2⎞⎛−x1−2−x2⎞则X−2A=⎜⎟，B−X=⎜⎟。⎜⎟⎜⎟x+2x−4−2−x−x⎝34⎠⎝34⎠利用矩阵相等的定义可得：⎛2−2⎞X=⎜⎜⎟⎟。⎝−22⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 3、某石油公司所属的三个炼油厂A,A,A在199719919977年和199819919988年生产的4种油品123B,B,B,B的产量如下表（单位：万吨）1234产油量品199719919977年199819919988年BBBBBBBB12341234炼油厂58727215515144363625525213313155A1272730030318818155090930030320020277A2565625525214414133080828828218818155A3（1）作矩阵A和B分别表示三个炼油厂199719919977年和199819919988年各种油品的产量；3×43×4（2）计算A+B与B−A，并说明其经济意义；1（3）计算(A+B)，并说明其经济意义。2⎛5827154⎞⎜⎟解：（1）A=⎜7230185⎟，⎜⎟⎝6525143⎠⎛6325135⎞⎜⎟B=⎜9030207⎟；⎜⎟⎝8028185⎠⎛12152289⎞⎜⎟（2）A+B=⎜162603812⎟，⎜⎟⎝14553328⎠其经济意义表示三个炼油厂1997年和1998年两年各种油品产量的和。⎛5−2−21⎞⎜⎟B−A=⎜18022⎟，⎜⎟⎝15342⎠其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年之间各种油品产量的变化量。⎛605.26145.4⎞1⎜⎟（3）(A+B)=⎜8130196⎟，2⎜⎟⎝725.265.164⎠其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年各种油品的平均产量。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com4、计算下列矩阵的乘积⎛−15⎞⎛3−21⎞⎜⎟⎛11⎞⎛02⎞（1）⎜⎜⎟⎟⎜−24⎟；（2）⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟；⎝1−12⎠⎜⎟⎝00⎠⎝03⎠⎝3−1⎠⎛1⎞⎛02⎞⎛11⎞⎜⎟（3）⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟；（4）⎜2⎟(123；)⎝03⎠⎝00⎠⎜⎟⎝3⎠⎛5−1⎞⎛1⎞⎛40−16⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜20⎟（5）(123⎜2)⎟；（6）⎜−1253⎟⎜⎟；⎜⎟⎜⎟⎜−47⎟⎝3⎠⎝371−2⎠⎜⎟khdaw.com⎝13⎠⎛−120⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟（7）(1−12⎜0)11⎟⎜−1⎟。⎜⎟⎜⎟⎝30−1⎠⎝−2⎠⎛−15⎞⎛3−21⎞⎜⎟⎛46⎞解：（1）⎜⎜⎟⎟⎜−24⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝1−12⎠⎜⎟⎝7−1⎠⎝3−1⎠⎛11⎞⎛02⎞⎛05⎞（2）⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝00⎠⎝03⎠⎝00⎠⎛02⎞⎛11⎞⎛00⎞（3）⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝03⎠⎝00⎠⎝00⎠⎛1⎞⎛123⎞⎜⎟⎜⎟（4）⎜2⎟(123=)⎜246⎟。⎜⎟⎜⎟⎝3⎠⎝369⎠⎛1⎞⎜⎟（5）(123⎜2)⎟=14。⎜⎟⎝3⎠⎛5−1⎞⎛40−16⎞⎜⎟⎛307⎞⎜⎟⎜20⎟⎜⎟（6）⎜−1253⎟⎜⎟=⎜−1845⎟。⎜⎟⎜−47⎟⎜⎟⎝371−2⎠⎜⎟⎝23−2⎠⎝13⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛−120⎞⎛2⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟（7）(1−12⎜0)11⎟⎜−1⎟=(51−3⎜−)1⎟=15。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝30−1⎠⎝−2⎠⎝−2⎠5、如图，考虑边长为2的正方形VVVV：设其顶点和各边中点的坐标分别为1234y⎛0⎞⎛2⎞⎛2⎞⎛0⎞V4V7V3V=⎜⎟,V=⎜⎟,V=⎜⎟,⋯,V=⎜⎟.1⎜0⎟2⎜0⎟3⎜2⎟8⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠111⎛11⎞V8V6（1）用矩阵A=⎜⎜⎟⎟分别左乘给定的⎝1−1⎠11正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为khdaw.comOV1V5V2xW,W,W,⋯,W,试作出由这些点构成的平面图形；1238（2）考虑矩阵111⎛cosθ−sinθ⎞A=⎜⎟⎜⎟⎝sinθcosθ⎠ππ分别在当θ=和θ=−时，用A左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到32"""的点的坐标U,U,⋯,U和U,U,⋯,U分别作出由这两组点构成的平面图形。128128解：(1)((1)1)以V,V,⋯,V的坐标为列构造2×8矩阵V，令128⎛11⎞⎛02201210⎞W=AV=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎝1−1⎠⎝00220121⎠⎛02421331⎞=⎜⎟⎜⎟⎝020−211−1−1⎠则矩阵W的每一列依次为W,W,W,⋯,W的坐标。如图所示。1238yW2W5W6W3OW1xOW8W7W4khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com(2)令⎛13⎞⎜−⎟U=AV=⎜22⎟⎛⎜02201210⎞⎟⎜31⎟⎜⎝00220121⎟⎠⎜⎟⎝22⎠⎛1313⎞⎜011−3−31−−3−⎟=⎜2222⎟.⎜3311⎟⎜031+313+1+⎟⎝2222⎠则矩阵U的每一列依次为U,U,⋯,U的坐标，如下图所示。128khdaw.comyU3U6U7U2U4U5U8OU1x令⎛01⎞⎛02201210⎞U′=AV=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎝−10⎠⎝00220121⎠⎛00220121⎞=⎜⎟.⎜⎟⎝0−2−20−1−2−10⎠"""则矩阵U′的每一列依次为点U,U,⋯,U的坐标。如图所示。128y′U′U′U184OxU′U′57U′U′23U′6khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com6、设某港口在某月份出口到3个地区的两种货物A,A的数量以及它们一单位的价12格、重量和体积如下表：出地口区北美欧洲非洲单位价格单位重量单位体积量（万元）3(t)(m)货物20001000100100008008800000.200.2.20.0110.00.011110.120.10.122A11200120120001300130130005005500000.350.30.3550.050.00.0550.500.5.5A2试利用矩阵乘法计算：（1）经该港口出口到3个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少？khdaw.com（2）经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？⎛2.0.035⎞⎛820655335⎞⎜⎟⎛20001000800⎞⎜⎟解：（1）⎜.0011.005⎟⎜⎜⎟⎟=⎜8276338.⎟⎜⎟⎝12001300500⎠⎜⎟⎝.0125.0⎠⎝840770346⎠其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。⎛820655335⎞⎛1⎞⎛1810⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟（2）⎜8276338.⎟⎜1⎟=⎜1918.⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝840770346⎠⎝1⎠⎝1956⎠其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。7、设A,B均为n阶对称矩阵，试判定下列结论是否正确，并说明理由。（1）A+B为对称矩阵；（2）kA为对称矩阵（k为任意常数）；（3）AB为对称矩阵。证明：令n阶对称矩阵A=(a)，其中a=a，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;ijn×nijjin阶对称矩阵A=(b)，其中b=b，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;ijn×nijji(1)正确。显然A+B=(a+b)，又a=a，b=b，其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;ijijn×nijjiijji所以(a+b)=(a+b)，ijijn×njijin×n即A+B为对称矩阵。（2）正确。显然kA=(ka)，又a=a，其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,n;ijn×nijji所以(ka)=(ka)，ijn×njin×nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com即kA为对称矩阵。（3）错误。设对称矩阵A和B分别为：⎛12⎞⎛21⎞A=⎜⎜⎟⎟，B=⎜⎜⎟⎟；⎝21⎠⎝13⎠⎛47⎞所以AB=⎜⎜⎟⎟，显然AB不为对称矩阵。⎝55⎠8、求所有与A可交换的矩阵⎛110⎞⎛10⎞⎜⎟（1）A=⎜⎜⎟⎟；(2)((2)2)A=⎜011⎟。khdaw.com⎝11⎠⎜⎟⎝001⎠⎛ab⎞解：（1）显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令X=⎜⎜⎟⎟，⎝cd⎠⎛ab⎞又AX=⎜⎜⎟⎟，⎝a+cb+d⎠⎛a+bb⎞XA=⎜⎜⎟⎟，⎝c+dd⎠由可交换条件AX=XA，可得b=0,a=d（其中a,d,c为任意常数），⎛a0⎞即X=⎜⎜⎟⎟。⎝ca⎠⎛abc⎞⎜⎟（2）显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令X=⎜def⎟，⎜⎟⎝ghi⎠⎛a+db+ec+f⎞⎜⎟又AX=⎜d+ge+hf+i⎟，⎜⎟⎝ghi⎠⎛aa+bb+c⎞⎜⎟XA=⎜dd+ee+f⎟，⎜⎟⎝gg+hh+i⎠由可交换条件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均为任意常数），khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛ab0⎞⎜⎟即X=⎜0ab⎟。⎜⎟⎝00a⎠9、设矩阵A与矩阵B,B均可交换，求证：A与B+B,BB也可交换，且12121222A−B=(A+B)(A−B)。111证明：因为矩阵A与矩阵B,B可交换，即AB=BA，AB=BA，121122所以A(B+B)=AB+AB=BA+BA=(B+B)A，khdaw.com12121212即矩阵A与B+B可交换。12又ABB=BAB=BBA，121212即矩阵A与BB也可交换。1222所以由AB=BA有：(A+B)(A−B)=(A+B)A－(A+B)B=A−B。111111111010、计算（其中n为正整数）3n⎛11⎞⎛13⎞（1）⎜⎟；（2）⎜⎟；⎜⎟⎜⎟⎝−1−1⎠⎝01⎠nn⎛0100⎞⎛a00⎞⎜⎟⎜⎟⎜0010⎟（3）⎜0b0⎟；（4）⎜⎟；⎜⎟⎜0001⎟⎝00c⎠⎜⎟⎝0000⎠3n⎛1111⎞⎛1−1−1−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜0111⎟⎜−11−1−1⎟（5）⎜⎟；（6）⎜⎟；0011−1−11−1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001⎠⎝−1−1−11⎠3⎛11⎞⎛00⎞解：（1）⎜⎟=⎜⎟。⎜⎟⎜⎟⎝−1−1⎠⎝00⎠n⎛13⎞⎛13n⎞（2）⎜⎟=⎜⎟。下面用数学归纳法证明。⎜⎟⎜⎟⎝01⎠⎝01⎠当n=1时，当然成立。假定n=k时成立，即khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comk⎛13⎞⎛13k⎞⎜⎟=⎜⎟。⎜⎟⎜⎟⎝01⎠⎝01⎠再证n=k+1时也成立。k+1k⎛13⎞⎛13⎞⎛13⎞⎛13k⎞⎛13⎞⎛1(3k+)1⎞⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝01⎠⎝01⎠⎝01⎠⎝01⎠⎝01⎠⎝01⎠nn⎛a00⎞⎛a00⎞⎜⎟⎜⎟n（3）⎜0b0⎟=⎜0b0⎟，可用数学归纳法证明之。⎜⎟⎜n⎟⎝00c⎠⎝00c⎠n⎛0100⎞⎜⎟⎜0010⎟khdaw.com（4）⎜⎟0001⎜⎟⎜⎟⎝0000⎠当n=1时，值为原矩阵；n⎛0100⎞⎛0010⎞⎜⎟⎜⎟⎜0010⎟⎜0001⎟当n=2时，⎜⎟=⎜⎟；00010000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0000⎠⎝0000⎠n⎛0100⎞⎛0001⎞⎜⎟⎜⎟⎜0010⎟⎜0000⎟当n=3时，⎜⎟=⎜⎟；00010000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0000⎠⎝0000⎠n⎛0100⎞⎛0000⎞⎜⎟⎜⎟⎜0010⎟⎜0000⎟当n≥4时，⎜⎟=⎜⎟。00010000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0000⎠⎝0000⎠3⎛1111⎞⎛13610⎞⎜⎟⎜⎟⎜0111⎟⎜0136⎟（5）⎜⎟=⎜⎟；00110013⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001⎠⎝0001⎠n⎛1−1−1−1⎞⎜⎟⎜−11−1−1⎟（6）⎜⎟，−1−11−1⎜⎟⎜⎟⎝−1−1−11⎠由直接计算可知A2=4E。由此进一步得知：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comnn⎧⎪(A2)2=4(E)2=2nE,当n为偶数；nA=⎨n−1n−1（⎪A2)2A=4(E)2A=2n−1A,当n为奇数。⎩2TT11、设A=(a)为n阶矩阵。试分别求A,AA与AA的第k行第l列。ijn2解：A的第k行第l列为∑akjajl，j=1nTAA的第k行第l列为∑akjalj，j=1nTkhdaw.comAA的第k行第l列为∑aikail。i=1221212、设f(x)=ax+ax+a，对于n阶矩阵A，定义f(A)=aA+aA+aE210210其中E为n阶单位矩阵。2⎛2−1⎞（1）如果f(x)=x−5x+3，A=⎜⎜⎟⎟，求f(A)；⎝−33⎠解：依定义得：2⎛2−1⎞⎛2−1⎞⎛10⎞⎛00⎞f(A)=⎜⎜⎟⎟−5⎜⎜⎟⎟+3⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝−33⎠⎝−33⎠⎝01⎠⎝00⎠⎛211⎞⎜⎟2（2）如果f(x)=x−x+1，A=⎜312⎟，求f(A).⎜⎟⎝1−10⎠解：依定义得：2⎛211⎞⎛211⎞⎛100⎞⎛713⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟f(A)=⎜312⎟－⎜312⎟+⎜010⎟=⎜823⎟。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1−10⎠⎝1−10⎠⎝001⎠⎝−210⎠1313、写出下列图G的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。解：（1）设邻接矩阵为A，则⎛01011⎞⎛31312⎞⎜⎟⎜⎟⎜10101⎟⎜13132⎟A=⎜01011⎟，A2=⎜31312⎟。⎜⎟⎜⎟⎜10101⎟⎜13132⎟⎜⎟⎜⎟⎝11110⎠⎝22224⎠（2）设邻接矩阵为A，则khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛01000⎞⎛10100⎞⎜⎟⎜⎟⎜10100⎟⎜02010⎟A=⎜01010⎟，A2=⎜10201⎟。⎜⎟⎜⎟⎜00101⎟⎜01020⎟⎜⎟⎜⎟⎝00010⎠⎝00101⎠121414、设A,B为同阶矩阵，且满足A=(B+E)。求证：A=A的充分必要条件是22B=E.1证明：先证明必要性：由于A=(B+E)，故2212A=(B+2B+E)…………（1）4khdaw.com如果A2=A，即112(B+E)=(B+2B+E)24由此得B2=E再证充分性：若B2=E，则由（1）式可知，211A=(E+2B+E)=(B+E)=A。4222所以，A=A的充分必要条件是B=E。1515、设A=(a)为n阶矩阵，称A的主对角线上所有元的和为A的迹，记作trA，即ijntrA=a11+a22+⋯+ann=∑aii。i=1求证：当A=(a),B=(b)均为n阶矩阵时，有ijij（1）(trA+B)=trA+trB;（2）(trkA)=ktrA;T（3）trA=trA;（4）(trAB)=(trBA)。证明：（1）因为A，B为n阶矩阵，所以A+B也为n阶矩阵，并设A+B=(c)ijn×nnnn根据矩阵加法的定义，可知：cij=aij+bij,所以cii=aii+bii因此，∑cii=∑aii+∑bii，i=1i=1i=1即(trA+B)=trA+trB。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com（2）因为A为n阶矩阵，所以kA也为n阶矩阵，并设kA=(c)。ijn×n根据矩阵加法的定义，可知：c=ka,所以c=ka。ijijiiiinnn因此，∑cii=∑kaii=k∑aii，即(trkA)=ktrA。i=1i=1i=1（3）令AT=(c)ijn×n根据矩阵转置的定义可知，c=a，iiiin又trA=a11+a22+⋯+ann=∑aii，khdaw.comi=1nnT所以trA=c11+c22+⋯+cnn=∑cii=∑aii，i=1i=1T即：trA=trA。（4）令AB=C=(c)，AB=D=(d)，ijn×nijn×n其中c=ab+ab+⋯+ab，iji11ji22jinnjd=ba+ba+⋯+ba。iji11ji22jinnj显然，当i=j时，c=d，ijijnn于是∑cii=∑dii，即(trAB)=(trBA)。i=1i=11616、计算下列行列式1−13cosα−sinα（1）；（2）2−11；sinαcosα1205−133421535215（3）；（4）222；28092290921962031995111123415112341（5）；（6）；1151341211154123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com1111123412342200（7）；（8）。222212343030333312344004cosα−sinα22解：（1）=cosα+sinα=1。sinαcosα1−131−131−13（2）2−11=01−5=01−5=12。12003−30012（3）第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取1000，得khdaw.com3421535215342151000342151==1000=6123000。2809229092280921000280921（4）从第二行提取2之后，跟第一行互换，得5−13111111222=−25−13=−20−6−2=8。196203199196203199073（5）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得51118888111111111511151115110400==8=8=512。11511151115100401115111511150004（6）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得12341010101011111111234123412341012−1==10=10=160。34123412341200−40412341234123000−4（7）这是一个第二行元素为1、2、3、4的范得蒙行列式，因此11111234=2(−1)(3−1)(4−)1⋅3(−2)(4−)2⋅4(−)3=12。2222123433331234（8）最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展开，得khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com1234−3234−323−62322002200==4220=4220=－192。30303030303003400400041717、解方程111xx2（1）12x=1；（2）0−11=0。1x612x1111112khdaw.com解：（1）12x=01x−1=−x+2x+4=1。1x60x−152即解方程x−2x−3=0，因此x=3或-1。xx2（2）0−11=（x+2）（x-1）=0。12x所以方程的解为：x=1或－2。1818、设3阶行列式a=1，计算下列行列式：ij4a2a−3a−a2a−3a4aa1112111322212123（1）4a2a−3a−a；（2）2a−3a4aa。21222123121111134a2a−3a−a2a−3a4aa31323133323131334a2a−3a−a4a2a−a4a−3a−a11121113111213111113解：（1）4a2a−3a−a=4a2a−a+4a−3a−a212221232122232121234a2a−3a−a4a2a−a4a−3a−a31323133313233313133aaaaaa111213111113=−8aaa+12aaa=－8+0=－8。212223212123aaaaaa3132333131332a−3a4aa2a4aa−3a4aa22212123222123212123（2）2a−3a4aa=2a4aa+−3a4aa121111131211131111132a−3a4aa2a4aa−3a4aa32313133323133313133khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comaaaaaaaaa222123212123212223=8aaa−12aaa=−8aaa－0121113111113111213aaaaaaaaa323133313133313233aaa111213=8aaa=8。212223aaa3132331919、计算下列行列式xyx+y（1）yx+yx；x+yxy2222khdaw.coma(a−)1(a−)2(a−)32222b(b−)1(b−)2(b−)3（2）；2222c(c−)1(c−)2(c−)32222d(d−)1(d−)2(d−)3ab000a00b110ab000ab022（3）；（4）00ab0；0ba033000abb00a44b000a000ba00ba0（5）0ba00。ba000a000bxyx+y(2x+y)(2x+y)(2x+y)解：（1）yx+yx=yx+yxx+yxyx+yxy111=(2x+y)yx+yxx+yxy100=(2x+y)yxx−yx+y−y−x33=−(2x+y)。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com（2）将第二、三、四列展开得：2222aa−2a+1a−4a+4a−6a+92222bb−2b+1b−4b+4b−6b+9原式=2222cc−2c+1c−4c+4c−6c+92222dd−2d+1d−4d+4d−6d+92a−2a+1−4a+4−6a+92b−2b+1−4b+4−6b+9=2c−2c+1−4c+4−6c+92d−2d+1−4d+4−6d+922a−2a−4a+4−6a+9a1−4a+4−6a+922b−2b−4b+4−6b+9b1−4b+4−6b+9=+=0。khdaw.comc2−2c−4c+4−6c+9c21−4c+4−6c+922d−2d−4d+4−6d+9d1−4d+4−6d+9a00b11ab000b2210ab022（3）=aba0+(−b)ab01334220ba03300aba0433b00a44=(aa−bb)(aa−bb)。14142323（4）按第一列展开ab000ab00b0000ab000ab0ab005500ab0=a+b=a+b。00ab0ab0000ab000a00abb000a（5）按最后一列展开000ba00ba000b00ba00ba000ba550ba00=a+b=a+b。ba000ba0ba000a000ba00a000b2020、证明：a+bb+cc+aabc（1）a+bb+cc+a=2abc；111111111a+bb+cc+aabc222222222khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comy+zz+xx+yxyz（2）x+yy+zz+x=2zxy。z+xx+yy+zyzxa+bb+cc+aabcbca证明：（1）a+bb+cc+a=abc+bca111111111111a+bb+cc+aabcbca222222222222abcacb=abc-acb111111abcacb222222khdaw.comabcabc=abc+abc111111abcabc222222abc=2abc。111abc222y+zz+xx+yyzxzxy（2）x+yy+zz+x=xyz+yzxz+xx+yy+zzxyxyzxyzxyz=−yzx－yzxzxyzxyxyz=2zxy。yzx2121、计算下列n阶行列式：a−ba⋯a12naa−b⋯a12n（1）；⋮⋮⋮aa⋯a−b12na−ba−b⋯a−b11121na−ba−b⋯a−b21222n（2）；⋮⋮⋮a−ba−b⋯a−bn1n2nnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com123⋯n−1n1−10⋯0002−2⋯00（3）；⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−(n−)20000⋯n−1−(n−)1011⋯1101⋯1（4）110⋯1；⋮⋮⋮⋮111⋯0−aa0⋯00khdaw.com110−aa⋯0022（5）⋮⋮⋮⋮⋮。000⋯−aan−1n−1111⋯11n解：（1）各列都加到第一列后，再从第一列中提取∑ai−b；然后，第一行乘以-1i=1后加到其余各行，得a−ba⋯a1a⋯a12n2naa−b⋯an1a−b⋯a12n2n=（∑ai−b）⋮⋮⋮i=1⋮⋮⋮aa⋯a−b1a⋯a−b12n2n1a⋯a2nn0−b⋯0=（∑ai−b）i=1⋮⋮⋮00⋯−bnn−1n−1=(−)1b(∑ai−b)。i=1a−ba−b⋯a−ba1⋯011⋯111121n1a−ba−b⋯a−ba1⋯0−b−b⋯−b21222n212n（2）=·，⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮a−ba−b⋯a−ba1⋯000⋯0n1n2nnn显然，当n=1时，原行列式的值为a−b。11当n=2时，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.coma−ba−b⋯a−b11121na−ba−b⋯a−ba−ba−b21222n1112==(a−a)(b−b)。1212⋮⋮⋮a−ba−b2122a−ba−b⋯a−bn1n2nn当n>2时，将第2行到第n行的元素减去第一行相应的元素，得到a−ba−b⋯a−ba−ba−b⋯a−b11121n11121na−ba−b⋯a−ba−aa−a⋯a−a21222n212121=。⋮⋮⋮⋮⋮⋮a−ba−b⋯a−ba−aa−a⋯a−an1n2nnn1n1n1然后，将各行的公因子提出得a−ba−b⋯a−bkhdaw.com11121n11⋯1=(a−aa)(−a…a)−(a)=0（因为有两行的元素是相2131n1⋮⋮⋮⋮11⋯1等的）。所以，综合有：当n=1时，原式=a−b，11当n=2时，原式=(a−a)(b−b)，1212当n≥3时，原式=0。（3）设所给的行列式为D，从最后一列依次往前一列加，得n(n+)1n(n+)1n(n+)1−1−2⋯2n−1n2220−10⋯00D=00−2⋯00=(−)1n−1(n+1)!。2⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−(n−)20000⋯0−(n−)1（4）设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得111⋯1111⋯1101⋯10−10⋯0n−1D=(n−)1110⋯1=(n−)100−1⋯0=(−)1(n−)1。⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮111⋯0000⋯−1（5）设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，…，n），得khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com−a00⋯0010−a0⋯002n−1D=⋮⋮⋮⋮⋮=(−)1naa⋯a。12n−1000⋯−a0n−1123⋯n−1n2222、解方程123⋯n1x+13⋯n（1）12x+1⋯n=0；⋮⋮⋮⋮123⋯x+1khdaw.comxa1a2⋯an−11axa⋯a112n−1aax⋯a112n−1（2）=0。⋮⋮⋮⋮⋮aaa⋯x1123aaa⋯a1123n解：（1）将所给的行列式的第一行乘以－1，加到其他行，得123⋯n123⋯n1x+13⋯n0x−10⋯012x+1⋯n=00x−2⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮123⋯x+1000⋯x−(n−)1=(x−1)(x−)2⋯(x−n+)1=0。所以x=1，2，…，n-1。（2）将所给的行列式的最后一列分别乘以−a,−a,⋯,−a加到第n，n-1，…，1列，nn−11得xa1a2⋯an−11x−a1a1−a2a2−a3⋯an−1−an1a1xa2⋯an−110x−a2a2−a3⋯an−1−an1a1a2x⋯an−1100x−a3⋯an−1−an1=⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮a1a2a3⋯x1000⋯x−an1a1a2a3⋯an1000⋯01=(x−a)(x−a)⋯(x−a)=0。12nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com所以x=a,a,⋯,a。12n2323、证明a11⋯111a1⋯12nn1（1）11a3⋯1=∏(ai−1)(1+∑)（其中ai≠,1i=,2,1⋯,n）；i=1i=1ai−1⋮⋮⋮⋮111⋯an111⋯11a0⋯01n1（2）10a2⋯0=a1a2⋯an1(−∑)（其中ai≠,0i=,2,1⋯,n）；i=1aikhdaw.com⋮⋮⋮⋮100⋯anx00⋯0a0−1x0⋯0a10−1x⋯0a2nn−1（3）=x+ax+⋯+ax+a（n≥2）。n−110⋮⋮⋮⋮⋮000⋯xan−2000⋯−1x+an−1证明：（1）将行列式的第一行的-1倍分别加到其余各行，然后提出各列的公因子a−1，i再把各列加到第一列，得a11⋯111−aa−10⋯012原式=1−a0a−1⋯013⋮⋮⋮⋮1−a00⋯a−11na1111⋯a−1a−1a−1a−1123nn−110⋯0=∐(ai−)1，−101⋯0i=1⋮⋮⋮⋮−100⋯1再将第2列到第n列的各元素依次加到第1列上去即得nn1原式=∏(ai−1)(1+∑)。i=1i=1ai−1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com1（2）用−乘第i列（i=,2,1⋯,n）分别加到第一列，得ain11−∑11⋯1i=1ai0a0⋯0n11原式＝=aa⋯a1(−)。00a⋯012n∑2i=1ai⋮⋮⋮⋮000⋯an（3）从第n行起，各行的x倍依次加到上面一行，所得到的行列式再按第一行展开得nn−1000⋯0x+ax+⋯+ax+an−110n−1n−2−100⋯0x+ax+⋯+ax+akhdaw.comn−121n−2n−30−10⋯0x+ax+⋯+ax+an−132D=⋮⋮⋮⋮⋮2000⋯0x+ax+an−1n−2000⋯−1x+an−12nnn−1=(−)1(x+ax+⋯+ax+a)n−110nn−1=x+ax+⋯+ax+a。n−1102424、利用分块矩阵的乘法，计算ABAB⎛E2O⎞⎛B11B12⎞（1）A=⎜⎟,B=⎜⎟，⎜⎟⎜⎟AAEB⎝2122⎠⎝222⎠⎛20⎞⎛11⎞⎛3−2⎞⎛5⎞⎛−2⎞其中A=⎜⎟,A=⎜⎟,B=⎜⎟,B=⎜⎟,B=⎜⎟；21⎜−11⎟22⎜01⎟11⎜−21⎟12⎜3⎟22⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛A1⎞⎜⎟（2）A=⎜A2⎟,B=(B1B2B3)，⎜⎟A⎝3⎠其中A=(−2−12,A)=2−(2,1A=1)22，()123⎛−2⎞⎛2⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟B1=⎜−1⎟,B2=⎜−2⎟,B3=⎜2⎟。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝2⎠⎝1⎠⎝2⎠⎛E2O⎞⎛B11B12⎞⎛E2B11E2B12⎞解：（1）AB=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟AAEBAB+AEAB+AB⎝2122⎠⎝222⎠⎝211122221122222⎠其中E2B11=B11，E2B12=B12，A22E2=A22，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛20⎞⎛3−2⎞⎛6−4⎞A21B11=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−11⎠⎝−21⎠⎝−53⎠⎛20⎞⎛5⎞⎛10⎞A21B12=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−11⎠⎝3⎠⎝−2⎠⎛11⎞⎛−2⎞⎛−1⎞A22B22=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝01⎠⎝1⎠⎝1⎠⎛3−25⎞⎜⎟⎜−213⎟所以AB=⎜⎟。7−39⎜⎟⎜⎟khdaw.com⎝−54−1⎠⎛A1⎞⎛A1B100⎞⎜⎟⎜⎟（2）AB=⎜A2⎟(B1B2B3)=⎜0A2B20⎟，⎜⎟⎜⎟A00AB⎝3⎠⎝33⎠⎛−2⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟其中A1B1=(−2−12⎜−)1⎟=9，A2B2=(2−21⎜−)2⎟=9，⎜⎟⎜⎟⎝2⎠⎝1⎠⎛1⎞⎜⎟A3B3=(122⎜2)⎟=9。⎜⎟⎝2⎠⎛900⎞⎜⎟所以AB=⎜090⎟。⎜⎟⎝009⎠2525、设A是3阶矩阵，且detddetetA=-2，若将A按列分块A=(A,A,A)，其中A为A123j的第j列，（j=1，2，3），求下列行列式：（1）A2,A,A；132（2）A−2A3,A,A。3121解：（1）因为A2,A,A=2A,A,A=−2A,A,A。132132123所以A2,A,A=−2A,A,A=4。132123（2）因为A−2A3,A,A=A3,A,A－2A3,A,A=−3A,A,A。3121321121123所以A−2A3,A,A=−3A,A,A=6。3121123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com26、设A是m×n矩阵，将其按行分为m块⎛A1⎞⎜⎟⎜A2⎟A=，其中A为A的第i行（i=,2,1⋯,m），⎜⋮⎟i⎜⎟⎜⎟A⎝m⎠对于m阶单位矩阵E，也将其按行分为m块⎛ε1⎞⎜⎟⎜ε2⎟E=，其中ε为E的第i行（i=,2,1⋯,m），⎜⋮⎟i⎜⎟⎜⎟ε⎝m⎠试由EA=A证明：εA=A（i=,2,1⋯,m）。khdaw.comii⎛ε1⎞⎛ε1A⎞⎛A1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ε2⎟⎜ε2A⎟⎜A2⎟证明：EA=⎜⎟A=⎜⎟=A=⎜⎟⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟εεAA⎝m⎠⎝m⎠⎝m⎠⎛ε1A⎞⎛A1⎞⎜⎟⎜⎟⎜ε2A⎟⎜A2⎟所以=，即εA=A（i=,2,1⋯,m）。⎜⋮⎟⎜⋮⎟ii⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟εAA⎝m⎠⎝m⎠2727、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，利用伴随矩阵求其逆矩阵.⎛54⎞⎛1−3⎞（1）⎜⎟；（2）⎜⎟；⎜⎟⎜⎟⎝32⎠⎝−26⎠⎛02−1⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟（3）⎜1−11⎟；（4）⎜120⎟。⎜⎟⎜⎟⎝3−12⎠⎝123⎠解：（1）令所给的矩阵为A，因为detA=-2,不为零，所以此矩阵可逆。⎛2−4⎞其伴随矩阵为A*=⎜⎜⎟⎟，⎝−35⎠⎛−12⎞所以其逆矩阵为A−1=⎜35⎟。⎜−⎟⎝22⎠（2）令所给的矩阵为A，因为detA=0,所以此矩阵不可逆。（3）令所给的矩阵为A，因为detA=0,所以此矩阵不可逆。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com（4）令所给的矩阵为A，因为detA=6,不为零，所以此矩阵可逆。⎛600⎞⎜⎟其伴随矩阵为A*=−330，⎜⎟⎜⎟⎝0−22⎠⎛⎞⎜⎟100⎜⎟所以其逆矩阵为A−1=⎜−110⎟。⎜22⎟⎜11⎟⎜0−⎟⎝33⎠2828、利用行初等变换法求下列矩阵的逆矩阵.khdaw.com⎛100⎞⎛22−3⎞⎜⎟⎜⎟（1）⎜120⎟；（2）⎜1−10⎟；⎜⎟⎜⎟⎝123⎠⎝−121⎠⎛0001⎞⎛5200⎞⎜⎟⎜⎟⎜0011⎟⎜2100⎟（3）⎜⎟；（4）⎜⎟；0111001−2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1111⎠⎝0011⎠⎛0a10⋯00⎞⎜⎟⎜00a2⋯00⎟⎜⎟（5）⋮⋮⋮⋮⋮。⎜⎟⎜000⋯0an−1⎟⎜⎟a00⋯00⎝n⎠解：（1）⎛100100⎞⎛100100⎞⎛100100⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜120010⎟→⎜020−110⎟→⎜020−110⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝123001⎠⎝023−101⎠⎝0030−11⎠⎛⎞⎜⎟100100⎜⎟11→⎜010−0⎟。⎜22⎟⎜11⎟⎜0010−⎟⎝33⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛⎞⎜⎟100⎜⎟11所以，此矩阵的逆矩阵为⎜−0⎟。⎜22⎟⎜11⎟⎜0−⎟⎝33⎠⎛22−3100⎞⎛1−10100⎞⎜⎟⎜⎟（2）⎜1−10010⎟→⎜22−3010⎟⎜⎟⎜⎟⎝−121001⎠⎝−121001⎠⎛⎞⎛1−10100⎞⎜1−10100⎟⎜⎟⎜⎟→⎜04−3−210⎟→04−3−210⎜⎟⎜⎟731khdaw.com⎝011101⎠⎜00−1⎟⎝424⎠⎛813⎞⎜100⎟⎜777⎟⎜113⎟→010，⎜777⎟⎜614⎟⎜001−⎟⎝777⎠⎛813⎞⎜⎟⎜777⎟⎜113⎟所以，其逆矩阵为。⎜777⎟⎜614⎟⎜−⎟⎝777⎠⎛00011000⎞⎛00011000⎞⎜⎟⎜⎟⎜00110100⎟⎜0010−1100⎟（3）⎜⎟→⎜⎟0111001001000−110⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝11110001⎠⎝100000−11⎠⎛100000−11⎞⎜⎟⎜01000−110⎟→⎜⎟，0010−1100⎜⎟⎜⎟⎝00011000⎠⎛00−11⎞⎜⎟⎜0−110⎟所以，其逆矩阵为⎜⎟。−1100⎜⎟⎜⎟⎝1000⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛52001000⎞⎛52001000⎞⎜⎟⎜12⎟⎜21000100⎟⎜000−100⎟（4）⎜⎟→⎜55⎟⎜001−20010⎟⎜001−20010⎟⎜⎝00110001⎟⎠⎜000300−11⎟⎝⎠⎛50005−1000⎞⎛10001−200⎞⎜12⎟⎜⎟⎜000−100⎟⎜0100−2500⎟→⎜55⎟→⎜00100012⎟，⎜00100012⎟⎜33⎟⎜33⎟⎜11⎟⎜⎝000300−11⎟⎠⎜000100−⎟⎝33⎠⎛1−200⎞⎜⎟⎜−2500⎟khdaw.com⎜12⎟所以，其逆矩阵为00。⎜33⎟⎜11⎟⎜00−⎟⎝33⎠⎛0a100⋯0100⋯00⎞⎜⎟⎜00a20⋯0010⋯00⎟⎜⎟000a⋯0001⋯00⎜3⎟（5）⎜⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎟⎜⎟0000⋯a000⋯10⎜n−1⎟⎜⎟a000⋯0000⋯01⎝n⎠⎛an000⋯0000⋯01⎞⎜⎟⎜0a100⋯0100⋯00⎟⎜⎟00a0⋯0010⋯00⎜2⎟→⎜⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎟⎜⎟0000⋯0000⋯10⎜⎟⎜0000⋯a000⋯01⎟⎝n−1⎠所以，其逆矩阵为⎛1⎞⎜000⋯0⎟a⎜n⎟⎜1⎟⎜00⋯00⎟a⎜1⎟⎜1⎟。00⋯00⎜a⎟2⎜⋮⋮⋮⋮⋮⎟⎜⎟1⎜000⋯0⎟⎜⎟a⎝n−1⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com29、求解下列矩阵方程⎛35⎞⎛4−12⎞（1）⎜⎜⎟⎟X=⎜⎜⎟⎟；⎝12⎠⎝30−1⎠⎛21⎞⎛−2−1⎞⎛−23⎞（2）⎜⎜⎟⎟X⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟；⎝−23⎠⎝11⎠⎝−61⎠⎛105⎞⎜⎟⎛112⎞（3）X⎜112⎟=⎜⎜⎟⎟；⎜⎟⎝00−6⎠⎝125⎠（4）AX+B=X，⎛010⎞⎛1−1⎞khdaw.com⎜⎟⎜⎟其中A=⎜−111⎟,B=⎜20⎟。⎜⎟⎜⎟⎝−10−1⎠⎝5−3⎠⎛35⎞⎛4−12⎞解：（1）因为⎜⎜⎟⎟X=⎜⎜⎟⎟，⎝12⎠⎝30−1⎠−1⎛35⎞⎛4−12⎞⎛2−5⎞⎛4−12⎞⎛7−29⎞所以，X=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝12⎠⎝30−1⎠⎝−13⎠⎝30−1⎠⎝51−5⎠⎛21⎞⎛−2−1⎞⎛−23⎞（2）因为⎜⎜⎟⎟X⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟，⎝−23⎠⎝11⎠⎝−61⎠⎛31⎞−1−1⎜−⎟⎛21⎞⎛−23⎞⎛−2−1⎞⎜88⎟⎛−23⎞⎛−1−1⎞所以X=⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎝−23⎟⎠⎜⎝−61⎟⎠⎜⎝11⎟⎠⎜11⎟⎜⎝−61⎟⎠⎜⎝12⎟⎠⎜⎟⎝42⎠⎛12⎞=⎜⎟。⎜⎟⎝34⎠⎛105⎞⎜⎟⎛112⎞（3）因为X⎜112⎟=⎜⎜⎟⎟，⎜⎟⎝00−6⎠⎝125⎠−1⎛105⎞⎛112⎞⎜⎟⎛010⎞所以X=⎜⎜⎟⎟⎜112⎟=⎜⎜⎟⎟。⎝00−6⎠⎜⎟⎝−12−1⎠⎝125⎠（4）因为AX+B=X，所以X=(E-A)-1B，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1−10⎞⎜⎟又E－A=⎜10−1⎟，⎜⎟⎝102⎠−1⎛1−10⎞⎛1−1⎞⎛3−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟因此，X=⎜10−1⎟⎜20⎟=⎜20⎟。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝102⎠⎝5−3⎠⎝1−1⎠k3030、设A为n阶矩阵，A≠O且存在正整数k≥2，使A=O。求证：E-A可逆，−12k−1且(E−A)=E+A+A+⋯+A.证明：作以下乘法khdaw.com2k−1(E−A)(E+A+A+⋯+A)2k−12k−1k=E+A+A+⋯+A−A−A−⋯−A−Ak=E−A=E从而E－A为可逆矩阵，而且−12k−1(E−A)=E+A+A+⋯+A。2−13131、已知n阶矩阵A，满足A−3A−2E=0，求证：A可逆，并求A.22证明：因为A−3A−2E=0，即A−3A=2E，A3所以，A(−E)=E，22从而，A为可逆矩阵，而且−1A3A=−E。22⎛100⎞⎜⎟**−13232、如果矩阵A可逆。（1）求证：A也可逆，并求(A)。（2）设A=⎜220⎟，⎜⎟⎝345⎠*−1求(A).1**1（1）证明：因为矩阵A可逆，所以AA=E，即AA=E|A||A|从而，A*为可逆矩阵。而且*−11(A)=A。|A|（2）解：因为|A|=10，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛100⎞1⎜⎟*−1所以，(A)=⎜220⎟。10⎜⎟⎝345⎠*1−1*3333、设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且已知detA=，求行列式3(A)−2A2的值.−11−1−1−1*−1解：因3(A)=A,|A=||A|,A=|A|A,故3−1*1−1−12−123−1163(A)−2A=|A−A|=|−A|=(−)|A|=−。33327−13434、证明：如果A为可逆对称矩阵，则A也是对称矩阵.khdaw.com证明：因为A为可逆对称矩阵，即有AT=A，AA-1=E，由此可得−1TT(AA)=E=E，或−1TT−1T(A)⋅A=(A)⋅A=E。−1T即(A)是A的逆矩阵。由逆矩阵的唯一性得−1T−1(A)=A，−1即A为对称矩阵。−13535、设A、B、C为同阶方阵，其中C为可逆矩阵，且满足CAC=B，求证：对任−1mm意正整数m，有CAC=B.−1证明：因为CAC=B，m−1m−1−1−1所以B=(CAC)=(CAC)(CAC)⋯(CAC)−1−1−1−1=CA(CC)A(CC)A⋯A(CC)AC−1m=CAC。3636、求下列分块矩阵的逆矩阵⎛A11O⎞⎛21⎞⎛25⎞（1）A=⎜⎟，其中A=⎜⎟，A=⎜⎟；⎜OA⎟11⎜11⎟22⎜13⎟⎝22⎠⎝⎠⎝⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1−12⎞⎛−1⎞⎛A11A12⎞⎜⎟⎜⎟（2）A=⎜⎜⎟⎟，其中A11=⎜−2−1−2⎟，A12=⎜1⎟，A22=2；OA⎝22⎠⎜433⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛OA12⎞⎛11⎞⎛13⎞（3）A=⎜⎟，其中A=⎜⎟，A=⎜⎟.⎜AO⎟12⎜21⎟22⎜25⎟⎝21⎠⎝⎠⎝⎠−1⎛A11O⎞−1⎛⎜A11O⎞⎟解：（1）因为A=⎜⎟，所以A=。⎜OA⎟⎜OA−1⎟⎝22⎠⎝22⎠−1⎛1−1⎞−1⎛3−5⎞又A=⎜⎟，A=⎜⎟，11⎜−12⎟22⎜−12⎟⎝⎠⎝⎠khdaw.com⎛1−100⎞⎜⎟−1⎜−1200⎟因此A=⎜⎟。003−5⎜⎟⎜⎟⎝00−12⎠−1⎛B11B12⎞（2）因为A=⎜⎟，⎜⎟0B⎝22⎠⎛394⎞⎛−5⎞⎜⎟−1−1⎜5⎟1−1−1其中B11=A11=⎜−2−5−2⎟，B12=−A11A12A22=⎜⎟，B22=A22=，⎜⎟⎜⎜2⎟⎟2⎝−2−7−3⎠⎝4⎠⎛394−5⎞⎜5⎟⎜−2−5−2⎟所以−1⎜2⎟A=。⎜−2−7−34⎟⎜1⎟⎜000⎟⎝2⎠−1−1⎛⎜0A21⎞⎟−1⎛−11⎞−1⎛−53⎞（3）因为A=，其中A=⎜⎟，A=⎜⎟，⎜A−10⎟12⎜2−1⎟21⎜2−1⎟⎝12⎠⎝⎠⎝⎠⎛1−100⎞⎜⎟−1⎜−1200⎟所以A=⎜⎟。00−53⎜⎟⎜⎟⎝002−1⎠3737、求下列矩阵的秩⎛123⎞⎛21⎞⎜⎟（1）⎜⎜⎟⎟；（2）⎜231⎟；⎝42⎠⎜⎟⎝321⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛2−11⎞⎛23⎞⎜⎟⎜⎟（3）⎜4−22⎟；（4）⎜1−1⎟；⎜⎟⎜⎟⎝6−33⎠⎝−12⎠⎛11111⎞⎛2−1211⎞⎜⎟⎜⎟⎜20−321⎟⎜11−102⎟（5）⎜⎟；（6）⎜⎟。1361225−4−29⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝42643⎠⎝33−1−18⎠⎛21⎞⎛21⎞解：（1）⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟，⎝42⎠⎝00⎠所以，此矩阵的秩为1。khdaw.com⎛123⎞⎜⎟（2）令A=⎜231⎟，因为detA=－12，不为零。⎜⎟⎝321⎠所以，此矩阵的秩为3。⎛2−11⎞⎛2−11⎞⎜⎟⎜⎟（3）⎜4−22⎟→⎜000⎟，⎜⎟⎜⎟⎝6−33⎠⎝000⎠所以，此矩阵的秩为1。⎛23⎞⎛23⎞⎜⎟⎜5⎟（4）⎜1−1⎟→⎜0−⎟，⎜⎟⎜⎜2⎟⎟⎝−12⎠⎝00⎠所以，此矩阵的秩为2。⎛11111⎞⎛11111⎞⎜⎟⎜⎟⎜20−321⎟⎜0−2−50−1⎟（5）⎜⎟→⎜⎟，1361200700⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝42643⎠⎝00000⎠所以，此矩阵的秩为3。⎛2−1211⎞⎛11−102⎞⎜⎟⎜⎟⎜11−102⎟⎜0−341−3⎟（6）⎜⎟→⎜⎟，25−4−29002−12⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝33−1−18⎠⎝00000⎠所以，此矩阵的秩为3。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com第1章矩阵习题一(B)((B)B)1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵.证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵.即令n阶对角矩阵为：⎛a10⋯0⎞⎜⎟⎜0a2⋯0⎟khdaw.comA=⎜⎟,⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟00⋯a⎝n⎠⎛b10⋯0⎞⎛a1b10⋯0⎞⎜⎟⎜⎟⎜0b2⋯0⎟⎜0a2b2⋯0⎟任何对角矩阵B设为⎜⎟，则AB=⎜⎟，⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟00⋯b00⋯ab⎝n⎠⎝nn⎠⎛b1a10⋯0⎞⎜⎟⎜0b2a2⋯0⎟而BA=⎜⎟，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟00⋯ba⎝nn⎠⎛b11b12⋯b1n⎞⎜⎟⎜b21b22⋯b2n⎟再证充分性，设A=⎜⎟，⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟bb⋯b⎝n1n2nn⎠与B可交换，则由AB=BA，得：⎛a1b11a2b12⋯anb1n⎞⎛a1b11a1b12⋯a1b1n⎞⎜⎟⎜⎟⎜a1b21a2b22⋯anb2n⎟⎜a2b21a2b22⋯a2b2n⎟⎜⎟=⎜⎟，⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟abab⋯ababab⋯ab⎝1n12n2nnn⎠⎝nn1nn2nnn⎠比较对应元素，得(a−a)b=0，(i≠j)。ijij又a≠a，(i≠j)，所以ijb=0，(i≠j)，ijkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com即A为对角矩阵。TT2、证明：对任意m×n矩阵A，AA和AA均为对称矩阵.证明：(AAT)T=(AT)TAT=AAT，T所以，AA为对称矩阵。(ATA)T=AT(AT)T=ATA，T所以，AA为对称矩阵。23、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足A=O，则A=O.khdaw.com证明：设⎛a11a12⋯a1n⎞⎜⎟⎜a21a22⋯a2n⎟A=⎜⎟，⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟aa⋯a⎝n1n2nn⎠其中，a均为实数，而且a=a。ijijji2由于A=O，故⎛a11a12⋯a1n⎞⎛a11a21⋯an1⎞⎜⎟⎜⎟2T⎜a21a22⋯a2n⎟⎜a12a22⋯an2⎟A=AA=⎜⎟⎜⎟=0。⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟aa⋯aaa⋯a⎝n1n2nn⎠⎝1n2nnn⎠取A2的主对角线上的元素有222a+a+⋯+a=0，（i=1,2,…,n）i1i2in因为，a均为实数，故所有a=0，因此A=O。ijij4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detddetetA=0.证明：设⎛a11a12⋯a1n⎞⎜⎟⎜a21a22⋯a2n⎟A=⎜⎟⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟aa⋯a⎝n1n2nn⎠为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且a=-a，i,j=1,2,…,n，ijjikhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com从|A|中每行提出-1，得0−a⋯−a0a⋯a121n21n1−a0⋯−aa0⋯an212nn12n2nT|A|=(−)1=(−)1=(−)1|A|=-|A|⋮⋮⋮⋮⋮⋮−a−a⋯0aa⋯0n1n21n2nT（因为n为奇数，且|A|=|A|），故得|A|=0。5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？（1）BCA=E；（2）BAC=E；（3）ACB=E；（4）CBA=E；（5）CAB=E。答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明ＢＣ是Ａ的逆矩阵，AB是Ｃ的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有AB≠BA，BC≠CB，所以其他的不一定成立。khdaw.com6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？−1−1TT−1−1TT−1−1−1T（1）[(A)=](A)[；]（2）[(A)=](A)[；]k−1−1k−1−1−1（3）(A)=(A)（k为正整数）；（4）(kA)=kA（k为正整数）；−1−1−1−1−1（5）detA=(detA)；（6）(A+B)=A+B；OA−1⎛−1⎞T−1−1T−1T⎛⎞⎜OA⎟（7）[(AB)=](A)(B)；（8）⎜⎜BO⎟⎟=⎜−1⎟。⎝⎠⎝BO⎠答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。⎛11⎞Tn7、已知α=(12,3β)=⎜1⎟，令A=αβ，求A（n为正整数）.⎝23⎠nTTT解：因为A=(αβ)(αβ)⋯(αβ)TTT=α(βα)⋯(βα)β，�������n−1个⎛1⎞T⎛11⎞⎜⎟其中βα=⎜1⎟⎜2⎟=3，⎝23⎠⎜⎟⎝3⎠⎛11⎞⎜1⎟⎜23⎟nn−1Tn−1⎜2⎟所以A=3αβ=321。⎜3⎟⎜3⎟⎜31⎟⎝2⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com8、计算行列式1−11x−11−1x+1−11x−11−1x+1−11−1解：用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加：1−11x−10−11x−11−1x+1−10−1x+1−1Ｄ＝＋1x−11−10x−11−11−11−1x−11−1将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；将第二个khdaw.com行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，100x−11x−101x−110x0Ｄ＝－x−1x+1−1－x0x+1−11x00−11−1x1−110004＝x。9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且detA=a，detB=b。如果⎛OA⎞C=⎜⎜⎟⎟，⎝BO⎠求detddetetC.解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且⎛BO⎞C=⎜⎟1⎜⎟⎝OA⎠mnmn故detC=(−)1detBdetA=(−)1ab。1010、证明：n阶行列式22aa0⋯00212aa⋯00012a⋯00n（1）=(n+)1a;⋮⋮⋮⋮⋮2000⋯2aa000⋯12akhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.coma+bab0⋯001a+bab⋯0001a+b⋯00n+1n+1a−b（2）=.⋮⋮⋮⋮⋮a−b000⋯a+bab000⋯1a+b证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得2D=2aD−aD，nn−1n−222323所以D=2aD−aD=3aD−2aD=4aD−3aDnn−1n−2n−2n−3n−3n−4n−2n−1n=…=(n−)1aD−(n−)2aD=(n+)1a。khdaw.com21（2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得aab0⋯00bab0⋯001a+bab⋯000a+bab⋯0001a+b⋯0001a+b⋯00Dn=+⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯a+bab000⋯a+bab000⋯1a+b000⋯1a+ba00⋯001a0⋯0001a⋯00nnn−12=+bDn-1=a+bD=a+ba+bDn−1n−2⋮⋮⋮⋮⋮000⋯a0000⋯1an+1n+1nn−12n−2n−1na−b=…=a+ba+ba+⋯+ba+b=。a−b1111、证明：n阶行列式2cosθ10⋯0012cosθ1⋯00012cosθ⋯00sin(n+)1θ（1）=;⋮⋮⋮⋮⋮sinθ000⋯2cosθ1000⋯12cosθkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comcosα10⋯0012cosα1⋯00012cosα⋯00（2）=cosnα.⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cosα1000⋯12cosα证明：（1）令x=cosθ+isinθ，y=cosθ−isinθ，则有2cosθ=x+y，xy=1。而且由于sinθ≠0，故x≠y，从而由第十题的结果直接得khdaw.comn+1n+1x−ysin(n+)1θDn==。x−ysinθ（2）令所给的矩阵为Dn，按第一列展开，并应用（1）的结果，得2cosα10⋯0012cosα1⋯00012cosα⋯00Dn=cosα⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2cosα1000⋯12cosα100⋯0002cosα1⋯00012cosα⋯00sinnαsin(n−)1α－=cosα－⋮⋮⋮⋮⋮sinαsinα000⋯2cosα1000⋯12cosαcosnαsinα==cosnα。sinα*n−11212、设A是n阶矩阵(n≥)2，求证：detA=(detA)。**证明：由A的定义可知，AA=(detA)E，两边取行列式，得*n(detA)(detA)=(detA)。*n−1下面进行讨论。1）若detA≠0，则由上式立即就有detA=(detA)。**2）若detA＝0，且A=O，则A＝0，因而detA=0，结论成立。***3）若detA＝0，且A≠O，此时必有detA=0。因为若khdaw.comdetA≠0，则A可逆，于若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com**−1是在AA=(detA)E＝O两边左乘(A)，得A=O，与A≠O矛盾。即此时结论也成立。证毕。1313、设A、B、C、D均为n阶矩阵，且detA≠0，AC=CA.求证：AB=AD−CBCD证明：因为detA≠0，所以矩阵A可逆。根据矩阵的乘法，有⎛EO⎞⎛AB⎞⎛AB⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜−1⎟⎜⎟⎜−1⎟⎝−CAE⎠⎝CD⎠⎝O−CAB+D⎠又AC=CA，因此，khdaw.comAB−1=A⋅−CAB+DCD−1=−ACAB+AD=AD−CB。1414、设3阶矩阵A、B满足关系式−1ABA=6A+BA，⎛1⎞⎜00⎟⎜3⎟⎜1⎟其中A=00⎜4⎟⎜1⎟⎜00⎟⎝7⎠求B.−1−1解：因为ABA=6A+BA⇔(A−E)BA=6A−1−1−1⇔B=(6A−E)AA−1−1⇔B=(6A−E)⎛300⎞⎜⎟所以，B=⎜020⎟。⎜⎟⎝001⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com15、设4阶矩阵⎛1−100⎞⎛2134⎞⎜⎟⎜⎟⎜01−10⎟⎜0213⎟B=,C=，⎜⎟⎜⎟001−10021⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001⎠⎝0001⎠−1TT且矩阵A满足关系式A(E−CB)C=E，其中E是4阶单位矩阵。试将上式化简并求出矩阵A.−1TTTTTT−1T解：A(E−CB)C=E⇔AEC−AB(C)C=ETT⇔AC−AB=Ekhdaw.comTT−1⇔A=(C−B)。⎛1000⎞⎜⎟TT⎜2100⎟TT−1而C−B=⎜⎟，再利用矩阵初等变换即可求出(C−B)。3210⎜⎟⎜⎟⎝4320⎠⎛1000⎞⎜⎟⎜−2100⎟所以A=⎜⎟。1−210⎜⎟⎜⎟⎝01−21⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com第二章线性方程组习题二(A)1、用克拉默的法则解下列线性方程组⎧bx−ay+2ab=0⎪（1）⎨−2cy+3bz−bc=0⎪⎩cx+az=0khdaw.com⎛b−a0⎞⎜⎟解：设A=⎜0−2c3b⎟，由于abc≠0，则⎜⎟⎝c0a⎠b−a0detA=0−2c3b=-5abc≠0。c0a故方程组有唯一解。又−2ab−a02detB=bc−2c3b=5abc，,100ab−2ab02detB=0bc3b=-5abc，2c0ab−a−2ab2detB=0−2cbc=-5abc，3c00detBdetBdetB123从而x==-a，x==b，x==c。123detAdetAdetA⎧ax1+ax2+bx3=1⎪(2)((2)2)⎨ax1+bx2+ax3=1⎪bx+ax+ax=1⎩123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛aab⎞⎜⎟b解：设A=⎜aba⎟由于a≠b且a≠-，⎜⎟2⎝baa⎠aab2detA=aba=－（a－b）(2a+b)≠0。baa故方程组有唯一解。又1ab2detB=1ba=－（a－b），11aakhdaw.coma1b2detB=a1a=－（a－b），2b1aaa12detB=ab1=－（a－b），3ba11方程组的解为x=x=x=。1232a+b⎧x1−2x2+3x3−4x4=4⎪⎪x2−x3+x4=−3（3）⎨x+3x+x=1⎪124⎪−7x+3x+x=−3⎩234⎛1−23−4⎞⎜⎟⎜01−11⎟解：设A=⎜⎟，则1301⎜⎟⎜⎟⎝0−731⎠1−23−401−11detA==16，13010−7314−23−4−31−11detB==－128，11301−3−731khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com143−40−3−11detB==48，211010−3311−24−401−31detB==96，313110−7−311−23401−1−3detB==0，4khdaw.com13010−73−3从而x=-8，x=3，x=6，x=0。12342、当k取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解⎧3x+2y−z=0⎪（1）⎨kx+7y−2z=0⎪⎩2x−y+3z=0解：方程组的系数行列式为32−1detA=k7−2=63－5k，2−1363由克拉默法则知k≠时，detA≠0，方程组仅有零解。5⎧kx+y+z=0⎪（2）⎨x+ky−z=0⎪⎩2x−y+z=0解：方程组的系数行列式为k11detA=1k−1=（k+1）(k－4)，2−11由克拉默法则知k≠－1且k≠4时，detA≠0，方程组仅有零解。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com3、用消元法解下列线性方程组⎧x1−x2+2x3=1⎪⎪x1−2x2−x3=2(1)((1)1)⎨3x−2x+5x=3⎪123⎪−x+2x=−2⎩13解：设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛1−121⎞⎛1−121⎞⎛1−121⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜1−2−12⎟⎜0−1−31⎟⎜013−1⎟A=→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟3−15302−1000−72⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−102−2⎠⎝0−14−1⎠⎝007−2⎠khdaw.com⎛1−121⎞⎜⎟⎜013−1⎟⎜⎟007−2⎜⎟⎜⎟⎝0000⎠所以与原方程组等价的方程组为⎧x1−x2+2x3=1⎪⎨x2+3x3=−1⎪7x=−2⎩31012于是原方程组的解为x=,x=−,x=−。111777⎧x1−2x2+3x3−x4+2x5=2⎪(2)((2)2)⎨3x1−x2+5x3−3x4+x5=6⎪2x+x+2x−2x−x=8⎩12345解：设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛1−23−122⎞⎛1−23−122⎞⎜⎟⎜⎟A=⎜3−15−316⎟→⎜05−40−50⎟→⎜⎟⎜⎟⎝212−2−18⎠⎝05−40−54⎠⎛1−23−122⎞⎜⎟⎜05−40−50⎟⎜⎟⎝000004⎠由最后得到的梯形矩阵最后一行知方程组无解。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎧x1+2x2+3x3=4⎪（3）⎨3x1+5x2+7x3=9⎪2x+3x+4x=5⎩123解：设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛1234⎞⎛1234⎞⎛1234⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟A=⎜3579⎟→⎜0−1−2−3⎟→⎜0−1−2−3⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝2345⎠⎝0−1−2−3⎠⎝0000⎠⎛10−1−2⎞⎜⎟⎜0−1−2−3⎟。⎜⎟khdaw.com⎝0000⎠最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为⎧x1−x3=−2⎨−x−2x=−3⎩23⎧x1=c−2⎪则方程组的解为⎨x2=−2c+3（c为任意常数）。⎪x=c⎩34、当k为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？并求出此非零解。⎧2x1−x2+3x3=0⎪⎨3x1−4x2+7x3=0⎪−x+2x+kx=0⎩123解：齐次线性方程组的系数行列式为2−13detA=3−47=-(15+5k)。−12k当detA=0时，齐次线性方程组有非零解即k=－3时方程组有非零解。当k=－3时方程组为⎧2x1−x2+3x3=0⎪⎨3x1−4x2+7x3=0⎪−x+2x−3x=0⎩123设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛2−130⎞⎛1−230⎞⎛1−230⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟A=⎜3−470⎟→⎜3−470⎟→⎜02−20⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−12−30⎠⎝2−130⎠⎝03−30⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛12−30⎞⎜⎟⎜01−10⎟。⎜⎟⎝0000⎠最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为⎧x1+2x2−3x3=0⎨x−x=0⎩23⎧x1=−c⎪则方程组的解为⎨x2=c（c为任意常数）。⎪x=c⎩35、当k为何值时，下面的线性方程组无解？有解？在有解时，求出方程组的解。khdaw.com⎧x1+2x2+kx3=1⎨2x+kx+8x=3⎩123解：设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛12k1⎞⎛12k1⎞A=⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟⎝2k83⎠⎝0k−48−2k1⎠得到的梯形方程组为⎧x1+2x2+kx3=1⎨(k−)4x+8(−2k)x=1⎩23当k=4时方程组无解。⎧k−6x=−(k+)4c⎪1k−4⎪⎪1当k≠4时方程组的解为⎨x2=+2c（c为任意常数）。⎪k−4x=2c⎪3⎪⎩6、当a为何值时，下面的线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？在有解时，求出方程组的解。⎧x1+x2−x3=1⎪⎨2x1+3x2+ax3=3⎪x+ax+3x=2⎩123解：设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛11−11⎞⎛11−11⎞⎛11−11⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟A=⎜23a3⎟→⎜01a+21⎟→⎜01a+21⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1a32⎠⎝0a−141⎠⎝00−(a−2)(a+)32−a⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com当a=－3时，方程组无解。当a≠－3且a≠2时，方程组有唯一解。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为⎧x1+x2−x3=1⎪⎨x2+2(+a)x3=1，⎪−(a−2)(a+)3x=2−a⎩3⎧⎪x=11⎪⎪1则方程组的解为⎨x2=。⎪3+a⎪1x=⎪⎩33+a当a=2时，方程组有无穷多个解。此时梯形矩阵对应的梯形方程组为khdaw.com⎧x1+x2−x3=1⎨x+2(+a)x=1⎩23⎧x1=5c⎪则方程组的解为⎨x2=1−4c（c为任意常数）。⎪x=c⎩37、判定下列各组中的向量β是否可以表示为其余向量的线性组合。若可以，试求出其表示式（1）β=(4，5，6)T，α=（3，-3，2）T，α=（-2，1，2）T，α=（1,2,-1）T；123解：设β=kα+kα+kα则k,k,k是方程组112233123⎧3k1−2k2+k3=4⎪⎨−3k1+k2+2k3=5的解。⎪2k+2k−k=6⎩123设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛1⎞⎛1⎞⎜11−3⎟⎛3−214⎞⎜11−3⎟⎜2⎟⎜⎟⎜2⎟⎜1⎟A=⎜−3125⎟→⎜−3125⎟→⎜0414⎟→⎜⎟⎜⎟2⎝22−16⎠⎜3−214⎟⎜5⎟⎝⎠⎜0−5−5⎟⎝2⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1⎞⎜11−3⎟⎜2⎟⎜1⎟0414。⎜2⎟⎜2550⎟⎜00⎟⎝84⎠最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为⎧1k+k−k=3⎪1232⎧k1=2⎪⎪1⎪⎨4k2+k3=14，则方程组的解为⎨k2=3，⎪2⎪⎪2550⎩k3=4k=3⎪⎩84khdaw.com∴β=2α1+3α2+4α3。(2)((2)2)β=(-1，1，3,1)T，α=（1，2，1,1）T，α=（1，1，1,2）T，12α=（-3,-2,1,-3）T；3解：设β=kα+kα+kα则k,k,k是方程组112233123⎧k1+k2−3k3=−1⎪⎪2k1+k2−2k3=1⎨的解。k+k+k=3⎪123⎪k+2k−3k=1⎩123设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛11−3−1⎞⎛11−3−1⎞⎛11−3−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜21−21⎟⎜0−143⎟⎜0−145⎟A=→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟111300440044⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝12−31⎠⎝0102⎠⎝0045⎠⎛11−3−1⎞⎜⎟⎜0−145⎟⎜⎟。0044⎜⎟⎜⎟⎝0001⎠由梯形矩阵的最后一行知方程组无解。∴β不能表示为α，α，α的线性组合。123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com1T（3）β=(1，0，-)T，α=（1，1，1）T，α=（1，-1，-2）T，α=(−)2,1,1。1232解：设β=kα+kα+kα则k,k,k是方程组112233123⎧⎪k1+k2−k3=1⎪⎨k1−k2+k3=0的解。⎪1k−2k+2k=−⎪123⎩2设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛⎞⎛⎞⎜11−11⎟⎜11−11⎟⎛11−11⎞⎜1⎟⎜⎟⎜⎟A=1−110→0−22−1→⎜0−11−⎟。khdaw.com⎜1⎟⎜3⎟⎜2⎟⎜1−22−⎟⎜0−33−⎟⎜⎝0000⎟⎠⎝2⎠⎝2⎠最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为⎧⎪k1=1+k3−k2⎨1。k=+k⎪⎩22311∴k,k,k不唯一。令k=0，则k=，k=，1233122211∴β=α+α+0α。123228、设α=（1+1+λ，1，1）T，α=（1，1+1+λ，1）T，α=（1,1,1,11,1,1,1,1+,1+1+λ）T，123β==(0(0(0，λ，λ2)T，λ为值时（1）β不能由α，α，α的线性表出123（2）β可由α，α，α的线性表出，并且表示方法唯一123（3）β可由α，α，α的线性表出，并且表示方法不唯一123解：设β=kα+kα+kα则k,k,k是方程组112233123⎧1(+λ)k1+k2+k3=0⎪⎨k1+1(+λ)k2+k3=λ的解。⎪2k+k+1(+λ)k=λ⎩123设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1+λ110⎞⎛11+λ1λ⎞⎜⎟⎜⎟A=⎜11+λ1λ⎟→⎜1+λ110⎟→⎜111+λλ2⎟⎜111+λλ2⎟⎝⎠⎝⎠⎛11+λ1λ⎞⎛11+λ1λ⎞⎜⎟⎜⎟⎜0−λ(λ+)2−λ−λ(λ+)1⎟→⎜0−λλλ(λ−)1⎟→⎜⎟⎜⎟⎝0−λλλ(λ−)1⎠⎝0−λ(λ+)2−λ−λ(λ+)1⎠⎛11+λ1λ⎞⎜⎟⎜0−λλλ(λ−)1⎟。⎜2⎟⎝00−λ(λ+)3−λ(λ+2λ−)1⎠（1）当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩不相等时，β不能由α，α，αkhdaw.com123的线性表出。则λ=－3。（2）当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩都为3时，β可由α，α，α的123线性表出，并且表示方法唯一。则λ≠0且λ≠－3。（3）当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩相等且都小于3时，β可由α，α，12α的线性表出，并且表示方法不唯一。则λ=0。39、判定下列各向量组是线性相关，还是线性无关：（1）α=（3，2，0）T，α=（-1，2，1）T；12解：设kα+kα=0，则k,k,是方程组112212⎧3k1−k2=0⎪⎨2k1+2k2=0的解。⎪k=0⎩2显然k=k=0，∴α，α线性无关。1212（2）α=（1，1，-1，1）T，α=（1，-1，2，-1）T，α=（3,1,0，1）T；123解设kα+kα+kα=0则k,k,k是方程组112233123⎧k1+k2+3k3=0⎪⎪k1−k2+k3=0⎨的解。−k+2k+0k=0⎪123⎪k−k+k=0⎩123设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1130⎞⎛1130⎞⎛1130⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜1−110⎟⎜0−2−20⎟⎜0110⎟A=⎜⎟→⎜⎟→⎜⎟。−120003300000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1−110⎠⎝0−2−20⎠⎝0000⎠由于方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于4，所以方程组有非零解，因此α，α，α线性相关。123（3）α=（2，1，3）T，α=（-3，1，1，）T，α=（1,1,-2）T。123解：设kα+kα+kα=0则k,k,k是方程组112233123⎧2k1−3k2+k3=0khdaw.com⎪⎨k1+k2+k3=0的解。⎪3k+k−2k=0⎩123设方程组的增广矩阵为A,对A进行初等变换⎛2−310⎞⎛1110⎞⎛1110⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟A=⎜1110⎟→⎜2−310⎟→⎜0−5−10⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝31−20⎠⎝31−20⎠⎝0−2−50⎠⎛⎞⎜1110⎟⎜⎟0−5−10。⎜⎟23⎜00−0⎟⎝5⎠最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为⎧⎪k1+k2+k3=0⎪⎨5k2+k3=0，⎪23−k=0⎪3⎩5显然k=k=k=0，所以α，α，α线性无关。1231231010、设向量组α=（a，2，1）T，α=（2，a，0，）T，α=（1,-1,11,-1,-1,11,1）T，试确定a123为何值时，向量组线性相关。⎧ak1+2k2+k3=0⎪解：设k1α1+k2α2+k3α3=0，则k1,k2,k3是方程组⎨2k1+ak2−k3=0的⎪k+0k+k=0⎩123解。则α，α，α线性相关时，有：123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.coma21detA=2a−1=0。101即（a+2）（a-3）=0，由此得a=－2或3时α，α，α线性相关。12331111、设α，α，α为R中的3个线性无关的向量。试判定下列各向量组是否线123性无关，说明理由，并给出几何解释。（1）β=α-α，β=α-α，β=α-α；112223331解：∵β+β+β=0，∴β，β，β线性相关。khdaw.com123123几何意义：β，β，β以其中一个为起点组成一个封闭的三角形。123111111（2）β=α+α，β=α+α，β=α+α；112223331222222解：设kβ+kβ+kβ=0，则k,k,k是方程组112233123⎧k1+k3=0⎪⎨k1+k2=0的解。⎪k+k=0⎩23显然k=k=k=0，所以β，β，β线性无关。123123几何意义：β，β，β异面。123111111（3）β=α+α，β=α-α，β=α+α。112231323222222解：∵β+β-β=0，∴β，β，β线性相关。123123几何意义：三角形两边之和等于第三边。1212、设向量组α，α，…，α线性无关（s>2）试证明下列各向量组线性无关。12s（1）α，α+α，…,α+α+…+α；11212s证明：设kα+k（α+α）+…+k（α+α+…+α）=0,则11212s12s(k+k+…+k)α+(k+k+…+k)α+…+kα=0,12s123s2ss∵向量组α，α，…，α线性无关,12skhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎧k1+k2+…ks=0⎪⎪k2+k3+…ks=0∴⎨………⎪⎪k=0⎩s解得k=k=…=k=0，∴α，α+α，…,α+ααα线性无关。12s112122s（2）-α+α+…+α,α-α+α+…+α,…,α+α+…+α-α；12s123s12s−1s证明：设k（-α+α+…+α）+k（α-α+α…+α）+…+k（α+α+…112s2123ss12+α-α）=0,则khdaw.coms−1s(-k+k+…+k)α+(k-k+…+k)α+(k+k+…+k-k)α=0。12s112s212s−1ss∵向量组α，α，…α线性无关，12s⎧k1=k2+k3+…+ks⎪⎪k2=k1+k3+k4+…+ks∴⎨，………⎪⎪k=k+k+…+k⎩s12s−1∴(k+k+…+k)=s(k+k+…+k)，12s12s∴k+k+…+k=0。12s又k=k+k+k+k+…+k(i=1,2,…,s)i12i−1i+1s∴2k=k+k+k+k+…+k，i12i−1is∴k=0。i∴-α+α+…α,α-α+α…+α,…,α+α+…+α-α线性无关。12s123s12s−1s1313、判定下列各组中给定的两个向量组是否等价。（1）α=（1，0）T，α=（0，1）T与β=（1，2）T，β=（-1，1）T；1212⎛12⎞⎛α1⎞⎜3−3⎟⎛β1⎞解：∵⎜⎟=⎜⎟⎜⎟，⎜α⎟⎜11⎟⎜β⎟⎝2⎠⎝2⎠⎜⎟⎝33⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com12−331而=，11333⎛12⎞⎛β1⎞⎜3−3⎟−1⎛α1⎞所以⎜⎟=⎜⎟⎜⎟，即两个向量组等价。⎜β⎟⎜11⎟⎜α⎟⎝2⎠⎝2⎠⎜⎟⎝33⎠（2）α=（1，1）T，α=（0，-1）T与β=（2，2）T，β=（0，0）T。1212⎛β1⎞⎛20⎞⎛α1⎞20解：∵⎜⎟=⎜⎟⎜⎟，而=0，所以α，α不能由β，β的线⎜β⎟⎜00⎟⎜α⎟001212⎝2⎠⎝⎠⎝2⎠性表出。故两个向量组不等价。khdaw.com1414、已知向量组α，α，α与β，β，β满足123123⎧β1=α1−α2+α3⎪⎨β2=α1+α2−α3⎪β=−α+α+α⎩3123证明{α，α，α}与{β，β，β}等价。123123⎛β1⎞⎛1−11⎞⎛α1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟证明：∵⎜β2⎟=⎜111⎟⎜α2⎟，且⎜⎟⎜⎟⎜⎟β−11−1α⎝3⎠⎝⎠⎝3⎠1−11111=4，−11−1−1⎛α1⎞⎛1−11⎞⎛β1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟所以⎜α2⎟=⎜111⎟⎜β2⎟，即{α1，α2，α3}与{β1，β2，β3}等价。⎜⎟⎜⎟⎜⎟α−11−1β⎝3⎠⎝⎠⎝3⎠1515、设n维向量组α=（1，0，…，0）T，α=（1，1，0，…，0）T，…，α=（1，1，…，1）T，12n求证向量组α，α，…，α与n维标准向量12nε=（1，0，…，0）T，ε=（0，1，0，…，0）T，…，ε=（0，0，…，1）T等价。12n证明：∵α=ε，11α=ε+ε，212khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com………α=ε+ε+…+ε，n12n⎛α1⎞⎛100…0⎞⎛ε1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜α2⎟⎜110…0⎟⎜ε2⎟∴⎜⎟=⎜⎟⎜⎟。⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟α11111ε⎝n⎠⎝⎠⎝n⎠又100⋯0110⋯0=1，⋮⋮⋮⋮khdaw.com11111−1⎛ε1⎞⎛100…0⎞⎛α1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ε2⎟⎜110…0⎟⎜α2⎟∴⎜⎟=⎜⎟⎜⎟，⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝εn⎠⎝11111⎠⎝αn⎠∴向量组α，α，…，α与n维标准向量组ε，ε，…，ε等价。12n12n1616、设向量组α，α，…，α线性无关（r≥2）,任取r-1个数k，k，…，k12r12r−1构造向量组β，β，…，β，其中β=α+kα(i=1,2,…,r-1).求证β，β，…，β12r−1iiir12r−1线性无关。解：设lβ+lβ+⋯+lβ=0，又1122r−1r−1β=α+kα(i=1,2,…,r-1),iiir所以lβ+lβ+⋯+lβ=lα+lα+⋯+lα+(lk+lk+⋯+lkα)，1122r−1r−11122r−1r−11111r−1r−1r又向量组α，α，…，α线性无关，12r∴l=l=…=l=0。12r−1∴β，β，…，β线性无关。12r−11717、设向量组α，α，…，α(s>1)中，α≠0，并且α不能由α，α，…，α线12s1i12i−1性表出，i=2,3,…，s，求证向量组α，α，…，α线性无关。12s证明：假设向量组α，α，…，α线性相关，则存在不全为零数k，k，…，k使12skhdaw.com12s若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com得kα+kα+…+kα=0。设等式中从右往左第一个不为零的数为k，1122ssi即k=k=…=k=0。ss−1i+1于是等式变为kα+kα+…+kα=0。1122ii若i=1，则kα=0，从而α=0，与α≠0矛盾，故i>1，于是1111kkk12i−1α=－α－α－…－α，i12i−1kkkiii这与α不能由α，α，…α线性表出矛盾。所以向量组α，α，…，α线性无关。khdaw.comi12i−112s1818、设向量β可由向量组α，α，…，α线性表出，但不能由α，α，…，α12s12s−1线性表出。证明{α，α，…，α}与{α，α，…，α，β}等价。12s12s−1证明：设β=kα+kα+…+kα,又β不能由α，α，…，α线性表出,1122ss12s−1所以k≠0。于是有s1k1k2ks−1α=－β－α－α－…－α。s12s−1kkkkssss向量组α，α，…，α，β显然能由向量组α，α，…，α线性表出，而α又12i−112ss能由α，α，…，α，β线性表出，因而α，α，…，α也能由向量组α，α，…，12i−112s12α，β线性表出，所以{α，α，…，α}与{α，α，…，α，β}等价。i−112s12i−11919、证明n维向量组α，α，…，α线性无关的充分必要条件是任意n维向都可12n以表示为量α，α，…，α的线性组合。12n证明：设α=（k，k，…，k）为任一n维向量，则有12nα=kε+kε+…+kε，1122nn于是任一n维向量可由单位向量组线性表示。必要性：因为n维向量α，α，…，α可由单位向量组线性表示，即有n阶方阵12nK使得nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com（α，α，…，α）=（ε，ε…，ε）K，12n12nn又α，α，…，α线性无关，故R（α，α，…，α）=n，于是有12n12nR（K）≥R（α，α，…，α）=n，n12n但R（K）≤n，因此R（K）=n，所以K可逆，并有nnn−1（ε，ε…，ε）=（α，α，…，α）K，12n12nn即ε，ε…，ε，都能由α，α，…，α线性表示。又任一n维向量可由单位向量组线12n12n性表示。所以任一n维向量都能由α，α，…，α线性表示。khdaw.com12n充分性：若任意n维向量都可以表示为向量组α，α，…，α的线性组合，则向量12nε=（1，0，…，0）T，ε=（0，1，0，…，0）T，…，ε=（0，0，…，1）T都可以由向量组12nα，α，…，α的线性表示。而向量组α，α，…，α显然可以由向量组ε，ε…，12n12n12ε线性表示，所以向量组α，α，…，α与向量组ε，ε…，ε等价，所以向量组α，n12n12n1α，…，α线性无关。2n2020、设向量组α，α，…，α的秩为r(r0则向量组α，α，…，α含有非零向量，又向量组α，12s12s1α，…，α可由向量组β，β，…，β线性表出，所以向量组β，β，…，β也含2s12t12t有非零向量，此时设向量组α，α，…，α的一个极大无关组为12sC：α，α，…，α;i1i2ip设向量组β，β，…，β的一个极大无关组为khdaw.com12tD：β，β，…，β。j1j2jq则C可由D线性表示，又C，D线性无关，所以r（α，α，…，α）≤r（β，β，…，β）。12s12t（3）显然向量组β，β，…，β可由向量组α，α，…，α，β，β，…，12t12s12β线性表示，又向量组α，α，…，α可由向量组β，β，…，β线性表出，所以向t12s12t量组α，α，…，α，β，β，…，β可由向量组β，β，…，β线表示，因此向12s12t12t量组α，α，…，α，β，β，…，β与向量组β，β，…，β等价，所以12s12t12tr（α，α，…，α，β，β，…，β）=r（β，β，…，β）。12s12t12t2222、设A，B均为mⅹn矩阵，求证r（A+B）≤r（A）+r（B）。证明：将A，B分别按列分块为A=（α，α，…，α），B=（β，β，…，β），则12n12nA+B=（α+β，α+β，…，α+β）。1122nn显然α+β，α+β，…，α+β可由α，α，…，α，β，β，…，β线1122nn12n12n性表出。设C：α，α，…，α为A的一个极大无关组，D：β，β，…，β为Bi1i2ir1j1j2jr2的一个极大无关组，E：α+β，α+β，…，α+β为A+B的一个极大无关组。m1m1m2m2mr3mr3则E可由C，D线性表出，从而有r≤r+r，即312khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comr（α+β，α+β，…，α+β）≤r（α，α，…，α）+r（β，β，…，β）1122nn12n12n∴r（A+B）≤r（A）+r（B）。2323、设A=（a），B=（b），求证ijm×sijs×nr（AB）≤min（r（A），r（B））。证明：分别将B与AB按行分块为⎛β1⎞⎛r1⎞⎜⎟⎜⎟⎜β2⎟⎜r2⎟B=⎜⎟，AB=⎜⎟。⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟βr⎝s⎠⎝m⎠则由矩阵的乘法有khdaw.com⎛r1⎞⎛a11a12⋯a1s⎞⎛β1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜r2⎟⎜a21a22⋯a2s⎟⎜β2⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟，⋮⋮⋮⋯⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟raa⋯aβ⎝m⎠⎝m1m2ms⎠⎝s⎠即有r=aβ+aβ+…+aβ。kk11k22kss表明AB的行向量可由B的行向量组线性表出，因此r（AB）0，12综上所述，(α,β)=αTAβ为R2的一个内积。12222、证明：对任意f(x),g(x)∈R[x],(f,g)=f(x)g(x)dx为R[x]的一个内积。khdaw.com4∫−1411证明：显然(f,g)=∫−1f(x)g(x)dx=∫−1g(x)f(x)dx=(g,f)，11(kf,g)=∫−1kf(x)g(x)dx=k∫−1f(x)g(x)dx=k(f,g)，设h(x)∈R[x],4111(f+g,h)=∫−1[f(x)+g(x)]h(x)dx=∫−1f(x)h(x)dx+∫−1g(x)h(x)dx=(f,h)+(g,h),当f(x)≠0时12(f,f)=∫−f(x)dx>0,11综上所述，(f,g)=f(x)g(x)dx为R[x]的一个内积。∫−142323、在R4中求一单位向量，与,1,1(−)1,1T，,1(−,1−)1,1T，)3,1,1,2(T都正交（内积按通常定义）。T解：一个非零向量X=(x,x,x,x)同三个向量正交的充要条件是：x,x,x,x为12341234方程组⎧x1+x2−x3+x4=0⎪⎨x1−x2−x3+x4=0⎪2x+x+x+3x=0⎩1234的非零解。易知此方程组系数矩阵的秩为3，令x=1，得一解向量：3Tα=,1,0,4(−)3。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com将其单位化得：α1Tε==,1,0,4(−)3α26就是所求的单位向量。2424、在R4中，对于通常的内积，求α和β的夹角：TT（1）α=)2,3,1,2(，β=,2,1(−)1,2；TT（2）α=)3,2,2,1(，β=)1,5,1,3(。π解：（1）设α和β的夹角为θ，因为(α,β)=2+2－6+2=0，所以cosθ=0，所以θ=。2khdaw.com（2）设α和β的夹角为θ，因为(α,β)=3+2+10+3=18，α=18，β=36，(α,β)2π所以cosθ==，所以θ=。α⋅β242525、设ε,ε,ε是三维欧氏空间V的一组标准正交基。证明：123111α=2(ε+2ε−ε)，α=2(ε−ε+2ε)，α=(ε−ε−2ε)112321233123333也是V的一组标准正交基。证明：根据内积的性质及ε,ε,ε是标准正交基直接算得1231(α,α)=2(ε+2ε−ε2,ε−ε+2ε)1212312391=4(−2−)2=0，9同理，有(α,α)=(α,α)==00，1323(α,α)=(α,α)=(α,α)=1。112233即ε,ε,ε是V的一组标准正交基。1232626、设ε,ε,ε,ε,ε是5维欧氏空间的一组标准正交基，设V1=L(α,α,α)，其12345123中α=ε+ε，α=ε−ε+ε，α=2ε+ε+ε，求V1的一组标准正交基。11521243123解：易知α,α,α线性无关，从而是V1的一组基。先对其正交化，令123β=α=ε+ε，1115khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com(α2,β1)11β=α−β=ε−ε+ε−ε，2211245(β,β)2211(α,β)(α,β)3132β=α−β−β=ε+ε+ε−ε。33121235(β,β)(β,β)1122再单位化，即得1η=(ε+ε)，11521η=(ε−2ε+2ε−ε)，2124510khdaw.com1η=(ε+ε+ε−ε)。312352这就是V1的一组标准正交基。2727、求齐次线性方程组⎧2x1+x2−x3+x4−3x5=0⎨x+x−x+x=0⎩1235的解空间（作为R5的子空间）的一组标准正交基（内积按通常定义）。解：易知，所给方程组的系数矩阵的秩是2，则有三个自由未知量，解空间是三维的。若取x,x,x作为自由未知量，可得基础解系345α=)0,0,1,1,0(T，1α=(−)0,1,0,1,1T2α=,4(−)1,0,0,5T3即解空间的一组基。先对其正交化，令β=α，11(α2,β1)1Tβ=α−β=(−,1,2−)0,2,1，221(β,β)211(α3,β1)(α3,β2)1Tβ=α−β−β=,7(−,6,613)5,。3312(β,β)(β,β)51122再对其单位化，即得1Tη=(−)0,0,0,1,1，12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com1Tη=(−,1,2−)0,2,1，2101Tη=,7(−,6,613)5,。3315这就是所给齐次线性方程组的一组标准正交基。12828、在R[x]中定义内积(f,g)=f(x)g(x)dx，其中f(x),g(x)∈R[x]。利用4∫−14施密特正交化方法与R[x]的基1，x，x2，x3等价的一组标准正交基。4解：根据所给的内积，可得khdaw.com(x)1,=0，)1,1(=2,222(x)1,=(x,x)=,(x,x)=03于是，令β=1，1(x)1,β=x−⋅1=x，2)1,1(222(x)1,(x,x)21β=x−⋅1−x=x−，3)1,1((x,x)332133(x,x−)3(x)1,(x,x)32133β=x−⋅1−⋅x−(x−)=x−x。4)1,1((x,x)212135(x−,x−)33再单位化，即26102143η=，η=x，η=3(x−)1，η=5(x−3x)。123422442929、对于R2的内积(α,β)=αTAβ，其中α=(a,a)T，β=(b,b)T∈R2，1212A=A=⎛⎜1−1⎞⎟。利用施密特正交化方法求与R2的基α=)2,1(T，α=(−)1,1T等价的一组⎜⎟12⎝−12⎠标准正交基。解：令⎛1⎞β=α=⎜⎟，11⎜⎟⎝2⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1−1⎞⎛1⎞(−)1,1⎜⎟⎜⎟⎛9⎞(α,β)⎛−1⎞⎜⎝−12⎟⎠⎜⎝2⎟⎠⎛1⎞⎜−⎟21⎜⎟－⎜⎟=⎜5⎟，β=α−β=221⎜1⎟1−11⎜2⎟3(β1,β1)⎝⎠)2,1(⎛⎜⎞⎟⎛⎜⎞⎟⎝⎠⎜⎜−⎟⎟⎜⎝−12⎟⎠⎜⎝2⎟⎠⎝5⎠则β,β为R2的一组正交基，由于12⎛1−1⎞⎛1⎞β=(β,β)=)2,1(⎜⎟⎜⎟=5，111⎜−12⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎛9⎞93⎛1−1⎞⎜−⎟35β=(β,β)=(−,−)⎜⎟⎜5⎟=222⎜⎟3khdaw.com55⎝−12⎠⎜⎜−⎟⎟5⎝5⎠令⎛1⎞⎛35⎞⎜⎟⎜−⎟γ=1β=⎜5⎟，γ=1β=⎜5⎟11222β⎜⎟β⎜5⎟12⎜⎟⎜−⎟⎝5⎠⎝5⎠这即是所求的一组标准正交基。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com第四章矩阵的特征值和特征向量习题四(A)1、求下列矩阵的特征值和特征向量⎛2−4⎞（1）A=⎜⎟⎜⎟⎝−33⎠解：矩阵A的特征多项式为khdaw.comλ−24det（λE−A）==（λ−6）*（λ+1）3λ−3由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=,6λ=−112对于λ=6，解齐次线性方程组（6E－A）X=0，可得方程组的一个基础解系1Tα=(−)1,1于是A的属于λ的全部特征向量为11cα(c为不等于l零的任意常数）111对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系2Tα=)3,4(，于是A的属于λ的全部特征向量为22cα（c为不等于零的常数）。222⎛211⎞⎜⎟（2）A=⎜020⎟⎜⎟⎝0−11⎠解：矩阵A的特征多项式为：λ−2−1−12det（λE−A）=0λ−20=(λ−)2(λ−)101λ−1由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=1123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系12TTα=)0,0,1(，α=,0(−)1,1，于是A的属于λ,λ的全部特征向量为cα+cα（1212khdaw.com1122若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comc,c为不全等于零的常数）12对于λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程3T组的一个基础解系α=(−)1,0,1，于是A的属于λ的全部特征向量为cα（3333c为不等于零的常数）3⎛1−33⎞⎜⎟（3）A=⎜3−53⎟⎜⎟⎝6−64⎠解：矩阵A的特征多项式为khdaw.comλ−13−32det（λE−A）=−3λ+5−3=(λ+)2(λ−)4−66λ−4由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=−,2λ=4123对于λ=λ=-2，解齐次线性方程组（−2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系12TTα=)0,1,1(，α=)1,1,0(，于是A的属于λ,λ的全部特征向量为cα+cα（c,c1212112212为不全等于零的常数）对于λ=4，解齐次线性方程组（4E−A）X=0，可得方程组的一个基础解3Tα=)2,1,1(于是A的属于λ的全部特征向量为cα（c为不等于零的常数）33333⎛001⎞⎜⎟（4）A=⎜010⎟⎜⎟⎝100⎠解：矩阵A的特征多项式为λ0−12det（λE−A）=0λ−10=(λ−)1(λ+)1−10λ由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,1λ=−1123对于λ=λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系12TTα=)0,1,0(，α=)1,0,1(，于是A的属于λ,λ的全部特征向量为cα+cα（c,c1212112212为不全等于零的常数）khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系3Tα=(−)1,0,1，于是A的属于λ的全部特征向量为cα（c为不等于零的常数）333332、求下列矩阵A的特征值和特征向量。（1）A是n阶零矩阵；解：矩阵A的特征多项式为⎛λ0⋯0⎞⎜⎟⎜0λ⋯0⎟ndet（λE−A）=⎜⎟=λ⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎝00⋯λ⎠由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=⋯λ=0khdaw.com12n对于λ=λ=⋯λ=0，解齐次线性方程组（0E−A）X=0，可得方程组的一个基础解12nTTT系ε=（1，0，…，0），ε=（0，1，0，…0）…，ε==（0，0，…，1）于是A的12n属于λ=λ=⋯λ=0的全部特征向量为：12ncε+cε+⋯cε(c,c,⋯c为不全等于零的常数）。1122nn12n（2）A是n阶数量矩阵。解：矩阵A的特征多项式为⎛λ−k0⋯0⎞⎜⎟⎜0λ−k⋯0⎟ndet（λE−A）=⎜⎟=（λ−k)⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎝00⋯λ−k⎠由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=⋯λ=k12n对于λ=λ=⋯λ=k，解齐次线性方程组（kE−A）X=0，可得方程组的一个基础解12nTTT系ε=（1，0，…，0），ε=（0，1，0，…0）…，ε==（0，0，…，1）于是A的12n属于λ=λ=⋯λ=k的全部特征向量为12ncε+cε+⋯cε(c,c,⋯c为不全等于零的常数）1122nn12n3、设三阶矩阵A的特征值为λ=−1（二重），λ=4，试求detddetetA和trtrA。12解：detA=λλλ=4trA=2λ+λ=211212khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comT⎛31⎞−14、如果向量α=（1，k）是矩阵A=⎜⎟的逆矩阵A的特征向量，求常数k的值。⎜⎟⎝5−1⎠⎛11⎞⎜⎟解：矩阵A的逆矩阵A−1=⎜88⎟则逆矩阵A−1的特征多项式为⎜53⎟⎜−⎟⎝88⎠11λ−−−18811det（λE−A）==(λ+)(λ−)5324−λ+88−1−111由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=,λ=−1242khdaw.com11对于λ=，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的144T一个基础解系α=)1,1(于是A的属于λ的全部特征向量为：11cα(c为不等于零的任意常数）11111对于λ=−，解齐次线性方程组（−E）X=0，可得方程组222T的一个基础解系α=,1(−)5，于是A的属于λ的全部特征向量22为cα（c为不等于零的常数）222∴k=1或−5。5、设λ是n阶矩阵A的一个特征值，试证0（1）kλ是kA的一个特征值（k为常数）0证明：设α是A的属于λ的特征向量，则Aα=λα00∴kAα=kλα即kAα=λ(kα)00∴kλ是kA的一个特征值。0mm（2）λ是A的一个特征值（m为正整数）；0证明：设α是A的属于λ的特征向量，则Aα=λα0022∴A（Aα)=A(λα)即Aα=λα0k−1k−1∴m=2时命题成立，假设m=k－1时命题成立，即Aα=λα成立khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comkk−1K−1K−1K则m=k时，Aα=A(Aα)=A(λα)=λ(Aα)=λα∴m=k时，命题成立。mm∴λ是A的一个特征值。0（3）若A可逆，则1是A−1的一个特征值；λ0证明：设α是A的属于λ的特征向量，则Aα=λα又A可逆00−1−1∴A(Aα)=A(λα)0−11∴Aα=αλkhdaw.com01是A−1的一个特征值。∴λ0detA*（4）若A可逆，则是A的一个特征值；λ0证明：设α是A的属于λ的特征向量，则Aα=λα又00*AA=(detA)E**∴AAα=λAα0*∴(detA)Eα=λAα0*detA∴Aα=αλ0detA*∴是A的一个特征值。λ0（5）对任意数k，k−λ是矩阵kE－A的一个特征值。0证明：∵λ是n阶矩阵A的一个特征值0∴det（λE−A）=00∴det（λE−A）=det(−(k−λ)E+(kE−A))=000∴det（（λ−k)E−(kE−A))=00∴对任意数k，k−λ是矩阵kE−A的一个特征值。0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com6、证明：如果正交矩阵有实特征根，则该特征根只能是1和−1。T证明：设α是A的属于λ的特征向量，则Aα=λαAα=λα000TTT∴AAα=λAα又AA=E02∴α=λα即λ=1或−100∴如果正交矩阵有实特征根，则该特征根只能是1和−1。7、设λ，λ是n阶矩阵A的两个不同特征根，对应的特征向量分别为α，α，试证1212cα+cα（c≠0，c≠0为常数）不是A的特征向量。112212证明：假设cα+cα（c≠0，c≠0为常数）是A的特征向量，则存在λ使得khdaw.com112212A(cα+cα)=λ(cα+cα)11221122∴cAα+cAα=λcα+λcα又1122112Aα=λαAλ=λα111222∴λ=λ=λ这与λ，λ是n阶矩阵A的两个不同特征相矛盾1212∴cα+cα（c≠0，c≠0为常数）不是A的特征向量。1122128、证明相似矩阵的下述性质：（1）如果矩阵A与B相似，则detddetetA=detB；证明：∵矩阵A与B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得−1PAP=B−1−1∴det（PAP）=detB即detPdetAdetP=detB∴detA=detB（2）如果矩阵A与B相似，则r（A）=r（B）证明：∵矩阵A与B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得−1PAP=B（1）−1∴PBP=A（2）由（1）知r（B）≤r(A)由（2）知r（A）≤r（B）∴r（A）=r（B）TT（3）如果矩阵A与B相似，则A~Bkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com证明：∵矩阵A与B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得−1PAP=B−1TT∴（PAP）=BTT−1TT∴PA(P)=B−1T−1T−1T∴((P))A(P)=BTT∴如果矩阵A与B相似，则A~B−1−1(4)如果矩阵A与B相似，且A与B都可逆，则A~B证明：∵矩阵A与B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得−1khdaw.comPAP=B−1−1−1∴（PAP）=B−1−1−1∴PAP=B−1−1∴如果矩阵A与B相似，且A与B都可逆，则A~B⎛A0⎞⎛B0⎞9、设n阶矩阵A与B相似，m阶矩阵C与D相似，证明分块矩阵⎜⎟与⎜⎟相⎜⎟⎜⎟⎝0C⎠⎝0D⎠似。证明：∵n阶矩阵A与B相似，m阶矩阵C与D相似∴存在一个可逆矩阵P和P，使得12−1−1PAP=B，PCP=D1122−1⎛⎜P10⎞⎟⎛A0⎞⎛P10⎞⎛B0⎞∴⎜⎟⎜⎟=⎜⎟即⎜0P−1⎟⎜0P⎟⎜0P⎟⎜0D⎟⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝⎠−1⎛P10⎞⎛A0⎞⎛P10⎞⎛B0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0P2⎠⎝0P2⎠⎝0P2⎠⎝0D⎠⎛A0⎞⎛B0⎞∴分块矩阵⎜⎜⎟⎟与⎜⎜⎟⎟相似。⎝0C⎠⎝0D⎠−110、判断第一题中的各矩阵是否对角化？若对角化，试求出可逆矩阵P，使PAP为对角阵。解：（1）矩阵A的特征多项式为λ−24det（λE−A）==（λ−6）（λ+1）3λ−3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=,6λ=−112T对于λ=6，解齐次线性方程组（6E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系α=(−)1,111T对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系α=)3,4(。22由于A有两个线性无关的特征向量，故A可对角化。令⎛−14⎞−1⎛−10⎞P=(α,α)=⎜⎟则PAP=⎜⎟12⎜13⎟⎜06⎟⎝⎠⎝⎠解：（2）矩阵A的特征多项式为λ−2−1−12khdaw.comdet（λE−A）=0λ−20=(λ−)2(λ−)101λ−1由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=,1λ=λ=2123对于λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程1T组的一个基础解系α=(−)1,0,11对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系23TTα=)0,0,1(，α=,0(−)1,1，23由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令⎛−110⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜00−1⎟则PAP=⎜020⎟⎜⎟⎜⎟⎝101⎠⎝002⎠解：（3）矩阵A的特征多项式为λ−13−32det（λE−A）=−3λ+5−3=(λ+)2(λ−)4−66λ−4由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=−,2λ=4123对于λ=λ=－2，解齐次线性方程组（−2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解12TT系α=)0,1,1(，α=)1,1,0(，12对于λ=4，解齐次线性方程组（4E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系3Tα=)2,1,1(3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令⎛101⎞⎛−200⎞⎜⎟⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜111⎟则PAP=⎜0−20⎟⎜⎟⎜⎟⎝012⎠⎝004⎠解：（4）矩阵A的特征多项式为λ0−12det（λE−A）=0λ−10=(λ−)1(λ+)1−10λ由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,1λ=−1123对于λ=λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系khdaw.com12TTα=)0,1,0(，α=)1,0,1(12对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系3Tα=(−)1,0,13由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令⎛01−1⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜100⎟则PAP=⎜010⎟⎜⎟⎜⎟⎝011⎠⎝00−1⎠−111：下列矩阵是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵P，使PAP为对角阵。⎛11⎞（1）A=⎜⎟⎜⎟⎝−13⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−1−12det（λE−A）==（λ−2）1λ−3由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=212T对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系α=)1,1(121由于A对应于λ=λ=2的特征向量只有一个，故A不可对角化。12⎛423⎞⎜⎟（2）A=⎜212⎟⎜⎟⎝−1−20⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com解：矩阵A的特征多项式为λ−4−2−32det（λE−A）=−2λ−1−2=(λ−)1(λ−)312λ由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,1λ=3123对于λ=λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系12Tα=,0,1(−)11∵对应于λ=λ=1的特征向量只有一个12khdaw.com∴A不可对角化⎛1−11⎞⎜⎟（3）A=⎜24−2⎟⎜⎟⎝−3−35⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−11−12det（λE−A）=−2λ−42=(λ−)2(λ−)633λ−5由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=6123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系为：12TTα=,1(−)0,1，α=)1,0,1(12T对于λ=6，解齐次线性方程组（6E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系α=,1(−)3,233由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令⎛111⎞⎛200⎞⎜⎟⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜−10−2⎟则PAP=⎜020⎟⎜⎟⎜⎟⎝013⎠⎝006⎠⎛3−100⎞⎜⎟⎜1100⎟（4）A=⎜⎟−245−3⎜⎟⎜⎟⎝753−1⎠解：矩阵A的特征多项式为khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛λ−3100⎞⎜⎟⎜−1λ−100⎟4A=⎜⎟=(λ−)22−4λ−53⎜⎟⎜⎟⎝−7−5−3λ+1⎠由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=λ=λ=21234对于λ=λ=λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础1234TT解系α=)0,0,1,1(，α=)1,1,0,0(12∵对应于λ=λ=λ=λ=2的特征向量只有两个1234khdaw.com∴A不可对角化。⎛200⎞⎜⎟12、设矩阵D=⎜020⎟，试判断下列矩阵是否与D相似。⎜⎟⎝003⎠⎛300⎞⎜⎟（1）A1=⎜020⎟⎜⎟⎝002⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−3002det（λE−A）=0λ−20=(λ−)2(λ−)300λ−2由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=3123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：12TTα=)0,1,0(，α=)1,0,0(12对于λ=3，解齐次线性方程组（3E－A）X=0，可得方程组的一个基础解系：3Tα=)0,0,1(3由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令：⎛001⎞⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜100⎟则PAP=D⎜⎟⎝010⎠∴A与D相似。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛210⎞⎜⎟（2）A2=⎜020⎟⎜⎟⎝003⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−2−102det（λE−A）=0λ−20=(λ−)2(λ−)300λ−3由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=3123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系12khdaw.comTα=)0,0,1(1∵对应于λ=λ=2的特征向量只有一个12∴A不可对角化∴A不能与D相似。⎛201⎞⎜⎟（3）A3=⎜020⎟⎜⎟⎝003⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−2002det（λE−A）=0λ−20=(λ−)2(λ−)300λ−3由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=3123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：12TTα=)0,0,1(，α=)0,1,0(12对于λ=3，解齐次线性方程组（3E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：3Tα=)0,0,1(3由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。令⎛001⎞⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜100⎟则PAP=D⎜⎟⎝010⎠∴A与D相似。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛210⎞⎜⎟（4）A4=⎜021⎟⎜⎟⎝003⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−2−102det（λE−A）=0λ−2−1=(λ−)2(λ−)300λ−3由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=3123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：12khdaw.comTα=)0,0,1(1∵对应于λ=λ=2的特征向量只有一个12∴A不可对角化∴A不能与D相似。⎛200⎞⎛200⎞⎜⎟⎜⎟13、已知矩阵A=⎜001⎟与B=⎜0y0⎟相似。（1）求x，y的值；（2）求矩阵P，⎜⎟⎜⎟⎝01x⎠⎝00−1⎠−1使得PAP=B。解：（1）矩阵A的特征多项式为：λ−2002det（λE−A）=0λ−1=(λ−2)(λ−λx−)1又0−1λ−3A与B相似∴λ=−1时，det(λE−A)=0由此解得x=02由x=0知，det（λE−A）=(λ−2)(λ−)1∴A的特征值为2，1，−1∴y=−1（2）由（1）知A的特征值为2，1，−1对于λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：1Tα=)0,0,1(1对于λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comTα=)1,1,0(。2对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：3Tα=,1,0(−)13⎛100⎞⎜⎟−1令P=（α1,α2,α3)=⎜011⎟则PAP=B。⎜⎟⎝00−1⎠⎛211⎞⎜⎟n14、设三阶矩阵A=⎜020⎟，求A（n为正整数）。⎜⎟khdaw.com⎝0−11⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−2−1−12det（λE−A）=0λ−20=(λ−)2(λ−)10−1λ−1由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,2λ=1123对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：12TTα=)0,0,1(，α=,0(−)1,112对于λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：3Tα=(−)1,0,13令：⎛10−1⎞⎛200⎞⎜⎟⎜⎟−1P=(α1,α2,α3)=⎜0−10⎟则PAP=⎜020⎟⎜⎟⎜⎟⎝011⎠⎝001⎠n⎛200⎞⎜⎟−1n∴（PAP)=⎜020⎟⎜⎟⎝001⎠nn−1⎛200⎞⎛10−1⎞⎛200⎞⎛111⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟nn−1nA=P⎜020⎟P=⎜0−10⎟⎜020⎟⎜0−10⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝001⎠⎝001⎠⎝001⎠⎝01−1⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comnnn⎛22−12−1⎞⎜⎟n=⎜020⎟⎜n⎟01−21⎝⎠T15、设三阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3。对应的特征向量分别为α=（1，1，1），1TT3α=（1，0，1），α=（0，1，1），求矩阵A和A。23⎛a11a12a13⎞⎜⎟解：设矩阵A=⎜a21a22a23⎟，则⎜⎟aaa⎝313233⎠−1⎛110⎞⎛a11a12a13⎞⎛110⎞⎛100⎞khdaw.com⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜101⎟⎜a21a22a23⎟⎜101⎟=⎜020⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟111aaa111003⎝⎠⎝313233⎠⎝⎠⎝⎠−1⎛110⎞⎛100⎞⎛110⎞⎛1−11⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∴A=⎜101⎟⎜020⎟⎜101⎟=⎜−212⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝111⎠⎝003⎠⎝111⎠⎝−2−14⎠3−1⎛110⎞⎛100⎞⎛110⎞⎛1−77⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟3∴A=⎜101⎟⎜020⎟⎜101⎟=⎜−26126⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝111⎠⎝003⎠⎝111⎠⎝−26−734⎠216、如果n阶矩阵A满足A=A，则称A为幂等矩阵。证明：如果A为幂等矩阵，且A~B，则B是幂等矩阵。证明：∵矩阵A与B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得−1PBP=A2−1−1−12∴A=(PBP)(PBP)=PBP又2A=A−1−12∴PBP=PBP−1−1−12−1∴P（PBP）P=P(PBP)P2∴B=B∴B是幂等矩阵−117、对下列实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使QAQ为对角矩阵⎛001⎞⎜⎟（1）A=⎜000⎟⎜⎟⎝100⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com解：矩阵A的特征多项式为λ0−1det（λE−A）=0λ0=λ(λ−1)(λ+)1−10λ由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=,0λ=,1λ=−1123T对于λ=0，解齐次线性方程组（0E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：α=)0,1,0(11T对于λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：α=)1,0,1(22对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：3khdaw.comTα=(−)1,0,13分别将α,α,α单位化得：123T11T11Tγ=)0,1,0(,γ=(,0,),γ=(−,0,)令：1232222⎛11⎞⎜0−⎟⎛000⎞⎜22⎟⎜⎟−1Q=（γ1,γ2,γ3)=⎜100⎟，则QAQ=⎜010⎟⎜11⎟⎜⎟⎜0⎟⎝00−1⎠⎝22⎠⎛111⎞⎜⎟（2）A=⎜111⎟⎜⎟⎝111⎠解：矩阵A的特征多项式为：λ−1−1−12det（λE−A）=−1λ−1−1=λ(λ−)3−1−1λ−1由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,0λ=3123对于λ=λ=0，解齐次线性方程组（0E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：12TTα=(−)0,1,1，α=(−)1,0,112T对于λ=3，解齐次线性方程组（3E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：α=)1,1,1(33将向量组α,α正交单位化得：12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com11T112Tγ=(,−)0,,γ=(,,−),1222666111T将向量α单位化得γ=(,,)令：33333⎛111⎞⎜⎟⎜263⎟⎛000⎞⎜111⎟−1⎜⎟Q=（γ1,γ2,γ3)=⎜−⎟则QAQ=⎜000⎟⎜263⎟⎜003⎟21⎝⎠⎜0−⎟⎜⎟⎝63⎠khdaw.com⎛1−20⎞⎜⎟（3）A=⎜−22−2⎟⎜⎟⎝0−23⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−120det（λE−A）=2λ−22=(λ+1)(λ−2)(λ−)502λ−3由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=−,1λ=,2λ=5123T对于λ=-1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：α=)1,2,2(11T对于λ=2，解齐次线性方程组（2E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：α=,2(−)2,122对于λ=5，解齐次线性方程组（5E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：3Tα=,1(−)2,23分别将α,α,α单位化得：123221T212T122TTγ=(,,),γ=(,−,),γ=(,−,)令：123333333333⎛221⎞⎜⎟⎜333⎟⎛−100⎞⎜212⎟−1⎜⎟Q=（γ1,γ2,γ3)=−−则QAQ=⎜020⎟⎜333⎟⎜⎟⎜122⎟⎝005⎠⎜⎟⎝333⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛2−1−11⎞⎜⎟⎜−121−1⎟（4）A=⎜⎟−112−1⎜⎟⎜⎟⎝1−1−12⎠解：矩阵A的特征多项式为λ−211−11λ−2−113A==(λ−)1(λ−)51−1λ−21−111λ−2由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=λ=,1λ=5khdaw.com1234对于λ=λ=λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：123TTTα=)0,0,1,1(，α=)0,1,0,1(，α=)1,0,0,1(123将向量组α,α,α正交化单位化得：12311T112T1113Tγ=(,)0,0,,γ=(,−,)0,,γ=(,,,−)1232266623232323对于λ=5，解齐次线性方程组（5E−A）X=0，可得方程组4T1111T的一个基础解系α=,1(−,1−)1,1，单位化得γ=(,−,−,)令：142222⎛1111⎞⎜⎟⎜26232⎟⎜1111⎟⎛⎜1000⎞⎟−−⎜26232⎟−1⎜0100⎟Q=(γ1,γ2,γ3,γ4)=⎜211⎟则QAQ=⎜⎟⎜0−⎟⎜0010⎟⎜6232⎟⎜⎝0005⎟⎠⎜31⎟⎜00−⎟⎝232⎠18、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ=-1，λ=1（二重），对应于λ的特征向量121Tα=（0，1，1）。1（1）求A对应于特征值1的特征向量；解：由于A为三阶实对称矩阵，因此A的对应于λ=1（二重）的特征向量应有两个，设2为α,α，则α,α都与α正交23231khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comT设与向量α正交的向量为α=(xxx，则)1123⎛x1⎞⎜⎟Tα1α=)1,1,0(⎜x2⎟=x2+x3⎜⎟x⎝3⎠TT解此线性方程组可得方程组的一个基础解系α=)0,0,1(，α=,1,0(−)123TT∴A的对应于λ=1（二重）的特征向量应有两个为α=)0,0,1(，α=,1,0(−)1223（2）求矩阵A。⎛010⎞⎛−100⎞⎜⎟⎜⎟−1解：令P=(α1,α2,α3)=⎜101⎟则PAP=⎜010⎟khdaw.com⎜⎝10−1⎟⎠⎜⎝001⎟⎠−1⎛010⎞⎛−100⎞⎛010⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∴A=⎜101⎟⎜010⎟⎜101⎟=⎜00−1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝10−1⎠⎝001⎠⎝10−1⎠⎝0−10⎠⎛2.05.01.0⎞⎜⎟n19、设矩阵A=⎜1.05.03.0⎟，求limA⎜2.04.02.0⎟n→∞⎝⎠解：∵0≺a<1ijn∴(a)=0limijn→∞⎛000⎞⎜⎟n∴limA=⎜000⎟n→∞⎜000⎟⎝⎠20、考察栖息在同一地的兔子和狐狸的生态模型。对两种动物的数量的相互依存的关系，有人提出了以下模型：R=1.1R−.015Ftt−1t−1t=2,1⋯（Ⅰ）F=1.0R+.085Ftt−1t−1其中R,F分别表示第t年时，兔子和狐狸的数量，而R,F分别表示基年（t=0）时，兔tt00子和狐狸的数量。记x（t）=（R,F）tt（1）把模型（Ⅰ）写成矩阵形式（2）T如果x（0）=（R,F)=(10)8,，试求x（t）；00khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com（3）当t→∞时，你可以得出什么结论？⎛1.1−.015⎞解：（1）设A=⎜⎟则⎜⎟⎝1.0.085⎠⎛1.1−.015⎞x（t）=（R,F）=⎜⎟(R,F)=Ax（t－1）tt⎜⎟t−1t−1⎝1.0.085⎠t（2）由（1）知x（t）=Ax)0(矩阵A的特征多项式为：λ−1.1.015det（λE−A）==（λ−1）(λ−.095)khdaw.com1.0λ−.085由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=,1λ=.09512对于λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：1Tα=)2,3(1对于λ=0.95，解齐次线性方程组（.095E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系：2Tα=)1,1(令：2⎛31⎞−1⎛10⎞P=⎜⎜⎟⎟则PAP=⎜⎜⎟⎟⎝21⎠⎝0.095⎠ttt⎛31⎞⎛10⎞⎛1−1⎞⎛3−2×.0953×.095−3⎞∴A=⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜21⎟⎜0.095t⎟⎜−23⎟⎜tt⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝2−2×.0953×.095−2⎠ttt⎛3−3⎞⎛10⎞⎛−2×.0953×.095⎞⎛10⎞∴x（t）=Ax)0(=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟+⎜⎜tt⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎝2−2⎠⎝8⎠⎝−2×.0953×.095⎠⎝8⎠Tt=（6，)4+.095)4,4(T（3）由limx(t)=)4,6(，可得出结论随着时间推移，第t年兔子与狐狸的数量趋于t→∞稳定。21、在一个包括三个部门的经济系统中，已知报告期的投入产出表（价值型）：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com第四章矩阵的特征值和特征向量习题四(B)1、判断下述结论是否正确（1）实数域上的n阶矩阵A一定有n个特征向量；解：错。n阶矩阵A的特征多项式在实数域上不一定有n个根。T（2）A与A有相同的特征值和特征向量；khdaw.comT解：错。若A与A有相同的特征值和特征向量，设α是A的属于λ的特征向量0（α≠)0则TAα=λα,Aα=λα，T∴(A−A)α=0，T∴A=A，T而只有当A是对称矩阵时才有A=A。（3）若λ是A的一个特征值，则齐次线性方程组(λE−A)X=0的非零解就是00A的属于λ的特征向量；0解：错。齐次线性方程组(λE−A)X=0的基础解系的线性组合才是A的属于λ00的特征向量（4）A的一个特征向量α可以属于A的不同特征值λ，λ；12解：错。若A的一个特征向量α可以属于A的不同特征值λ，λ，则12Aα=λα,Aα=λα，12∴（λ−λ）α=0,12∴λ=λ与题设矛盾。12（5）若λ不是A的一个特征值，则(λE−A)可逆。00khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com解：对。若(λE−A)不可逆则det(λE−A)=0与若λ不是A的特征值矛盾。000⎛−102⎞⎜⎟2、设A=⎜12−1⎟，求A的对应于其特征值的特征子空间的基。⎜⎟⎝130⎠解：矩阵A的特征多项式为：λ+10−22det（λE−A）=−1λ−21=(λ+)1(λ−)1。−1−3λ由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=,1λ=−1，khdaw.com123对于λ=λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系12Tα=)1,0,1(，1对于λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基础解系3Tα=(−)0,1,3,2T∴v,v的特征子空间的基为α=（1，0，1）,λ1λ21T∴v的特征子空间的基为α=（−3，1，0）.λ32⎛1−10⎞⎜⎟3、设A=⎜2x0⎟，求A的特征值为1，2，3。试求x的值。⎜⎟⎝421⎠解：矩阵A的特征多项式为：λ−1102det（λE−A）=λ−2λ−x0=(λ−1)(λ−(x+)1λ+x+)2又−4−2λ−1A的特征值为1，2，3∴λ=3,2,1时，det（λE−A）=0由此解得x=4。⎛2−12⎞⎜⎟T4、已知α=,1,1(−)1是矩阵A=⎜5a3⎟的一个特征向量。试确定a,b⎜⎟⎝−1b−2⎠值和a所对应的特征值，并判断A是否可对角化？khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛2−12⎞⎜⎟T解：∵α=,1,1(−)1是矩阵A=⎜5a3⎟的一个特征向量，⎜⎟⎝−1b−2⎠⎛λ−21−2⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟∴(λE−A)α=0，即⎜−5λ−a−3⎟⎜1⎟=⎜0⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1−bλ+2⎠⎝−1⎠⎝0⎠解此线性方程组可得λ=−,1a=−,3b=0。则矩阵A的特征多项式为λ−21−23khdaw.comdet(λE−A)=−5λ+3−3=(λ+)1。10λ+2由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=λ=λ=−1，123对于λ=λ=λ=−1，解齐次线性方程组（−E−A）X=0，可得方程组的一个基123T础解系α=(−,1−)1,1。1∵对应于λ=λ=λ=−1的线性无关的特征向量只有一个，123∴A不能对角化。25、已知三阶矩阵A的特征值为-1-1，1，2，矩阵B=A−3A。试求B的特征值和detddetetB。2解：∵B=A−3A，∴2E+B=（E−A）（2E+3A），4E+B=（E+A）（4E−3A），10E+B=（2E−A）（5E+3A），又A的特征值为−1，1，2，∴det（2E+B）=det（E−A）（2E+3A）=0，det（4E+B）=det（E+A）（4E−3A）=0，det（10E+B）=det（2E−A）（5E+3A）=0，∴A的特征值为－1，1，2，∴B的特征值为－2，－4，－10，∴detB=（－2）×(−)4×(−10)=−80。6、试证：1）果A为奇数阶正交矩阵，且detddetetA=1，则1是A的一个特征值。证明：由A为奇数阶正交矩阵，知ATA=E，且AT＝A。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comdet(E−A)=det(AAT−A)=detAdet(AT-E)TTn=detAdet(A−E)=det(A-E)=(−)1det(E−A),又因为A为奇数阶矩阵。所以det(E−A)=−det(E−A)。即：det(E−A)=0,∴1是A的一个特征值。2）果A为n阶正交矩阵，且detddetetA=−1，则−1是A的一个特征值。证明：由A为n阶正交矩阵，知ATA=E，且AT＝A。TTkhdaw.comdet(−E−A)=det(−AA−A)=detAdet(−A−E)=−det(−E−A)，即det(−E−A)=0，∴−1是A的一个特征值。7、判断下述结论是否正确，并简述理由。（1）如果A~B，则存在对角矩阵∧，使A，B都相似于∧；解：错。由A~B不能得出存在对角矩阵∧，使A，B都相似于∧，由A~B不能得出A,B都能对角化，因此也不能保证A，B都相似于∧。（2）如果A~B，则A,B有相同的特征值和特征向量；解：错。若A~B，则A,B有相同的特征值，但未必有相同的特征向量，设A的属于λ的特征向量为α（α≠)0，由于A~B，则存在可逆矩阵P，使得−1−1−1−1−1PAP=B,所以A=PBP，于是PBPα=λα，即B（Pα）=λ（Pα）由此可知−1矩阵B的属于λ的特征向量为Pα。（3）如果A~B，则对任意的常数λ，有λE−A=λE−B；解：错。若λE−A=λE−B，则A=B，而由A~B不能得出A=B（4）如果A~B，则对任意的常数λ，有λE−A~λE−B。−1解：对。由于A~B，则存在可逆矩阵P，使得PAP=B，−1∴λE−B=λE−PAP，−1−1−1∴P（λE−B)P=P(λE−PAP)P，−1∴P（λE−B)P=λE−A，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com−1∴λE−B=P(λE−A)P，∴如果A~B，则对任意的常数λ，有λE−A~λE−B。8、设n阶矩阵⎛aaa⋯a⎞⎜⎟⎜aaa⋯a⎟⎜⎟A=aaa⋯a⎜⎟⎜⋮⋮⋮⋮⎟⎜⎟⎝aaa⋯a⎠（1）求A的特征值和特征向量；khdaw.com（2）A是否可以对角化？若可以，试求出可逆矩阵P，使P−1AP为对角矩阵。解：（1）A的特征多项式为λ−a−a−a⋯−a−aλ−a−a⋯−adet(λE−A)=−a−aλ−a⋯−a⋮⋮⋮⋮−a−a−a⋯λ−aλ−na−a−a⋯−aλ−naλ−a−a⋯−a=λ−na−aλ−a⋯−a⋮⋮⋮⋮λ−na−a−a⋯λ−a1−a−a⋯−a1λ−a−a⋯−a=(λ−na)1−aλ−a⋯−a⋮⋮⋮⋮1−a−a⋯λ−a1−a−a⋯−a0λ0⋯0n−1=(λ−na)00λ⋯0=λ(λ−na)，⋮⋮⋮⋮000⋯λ由det（λE−A）=0可得A的特征值λ=(0n−1重），λ=na。12对于λ=0，解齐次线性方程组（0E－A）X=0，可得方程组的一个基础解系1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comTTTα=(−0,1,1⋯)0,,α=(−,0,1,0,1⋯)0,,⋯,α=(−,0,0,1⋯)1,0,,12n−1对于λ=na，解齐次线性方程组（naE－A）X=0，可得方程组的一个基础解系2Tα=,1,1,1(⋯)1,。n（2）A可以对角化。令P=（αα,⋯,α)即12n⎛−1−1⋯−1−11⎞⎜⎟⎜10⋯001⎟⎜⎟01⋯001⎜⎟−1P=时，则PAP为对角矩阵。⎜00⋯⋮⋮⋮⎟⎜⎟⋮⋮101khdaw.com⎜⎟⎜⎟⎝00⋯011⎠9、设向量α=(a,a,⋯a)，β=(b,b,⋯b)都是非零向量，且满足条件12n12nTTαβ=0，记n阶矩阵A=αβ，求2（1）A及其特征值；⎛b1⎞⎜⎟⎜b⎟nT2解：∵αβ=(a1,a2,⋯an)⎜⎟=∑aibi=0，⋮k=1⎜⎟⎜⎟b⎝n⎠T∴βα=0。而⎛a1b1a1b2⋯a1bn⎞⎜⎟⎜a2b1a2b2⋯a2bn⎟A=⎜⎟⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟abab⋯ab⎝n1n1nn⎠2TTTTTTA=(αβ)(αβ)=α(βα)β=(βα)(αβ)=0，A2的特征多项式为det（λE－A2）=λn，由此可得A2的特征值为λ=0（n重）。（2）利用（1）的结论，求A的特征值和特征向量；解：设λ为A的特征值，x为与之应的A的特征向量，即2222Ax=λx，Ax=λAx=λx由于A=0，因此λx=0，又x≠0，∴λ=0，∴A的全部特征值为0。由题设知α≠,0β≠0不妨设a≠,0b≠011khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com解方程（A−0E）X=0由⎛a1b1a1b2⋯a1bn⎞⎛a1b1a1b2⋯a1bn⎞⎜⎟⎜⎟⎜a2b1a2b2⋯a2bn⎟⎜00⋯0⎟A−0E=⎜⎟→⎜⎟，⋮⋮⋮⋮⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟abab⋯ab00⋯0⎝n1n1nn⎠⎝⎠⎛x2⎞⎜⎟⎜x3⎟得到同解方程组a(bx+bx+⋯bx)=0。令分别取11122nn⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟x⎝n⎠⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜0⎟bbbkhdaw.com⎜0⎟，⎜0⎟，⎜0⎟，则x=2,3,⋯,n,1⎜⎟⎜⎟⎜⎟bbb111⎜⋮⎟⎜⋮⎟⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝0⎠⎝1⎠于是得到A的属于特征值λ=0的全部特征向量为x⎛b2⎞⎛b3⎞⎛bn⎞⎛1⎞⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎜x⎟⎜b1⎟⎜b1⎟⎜b1⎟⎜2⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜⎟⎜x3⎟=k1⎜0⎟+k2⎜1⎟+⋯+kn−1⎜0⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⋮⎟⎜⋮⎟⎜⋮⎟⎜⋮⎟⎜⎟x⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝n⎠001⎝⎠⎝⎠⎝⎠k(i=,2,1⋯,k)为不全等于零的任意常数。in−1（3）是否可以对角化解：∵对应于λ=（0n重）的特征向量只有n−1个，∴A不能对角化。*10、A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5。试求行列式detddetet（A−2E)的值，其*中A是A的伴随矩阵。解：detA=λλλ=1×3×5=15，123*detAdetAdetAA对应的特征值为η==15,η==,5η==3。123λλλ123而矩阵A*−2E对于的特征值为η−2，η−2，η−2，123*∴det（A−2E)=13×3×1=39。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com11、设矩阵A~B，其中⎛1−11⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟A=⎜24−2⎟,B=⎜2⎟⎜⎟⎜⎟⎝−3−3a⎠⎝b⎠（1）求a,b的值；解：矩阵A的特征多项式为λ−11−132det(λE−A)=−2λ−42=λ−5(+a)λ+5(a+)3λ+6−6a，又33λ−akhdaw.com矩阵A~B∴A，B有相同的特征值。∴A的特征值为2，2，b，∴λ=,2b时，det（λE−A)=0，由此解得a=,5b=6。−1（2）求可逆矩阵P，使PAP=B。解：由（1）知：A的特征值为2，2，6，对于λ=λ=2，解齐次线性方程组（2E－A）X=0，可得12TT方程组的一个基础解系为α=,1(−)0,1,α=)1,0,1(。12对于λ=6，解齐次线性方程组（6E－A）X=0，可得方3T程组的一个基础解系α=,1(−)3,2。3⎛111⎞⎜⎟−1令P=(α1,α2,α3)=⎜−10−2⎟，则PAP=B。⎜⎟⎝013⎠⎛0100⎞⎜⎟⎜1000⎟12、设矩阵A=⎜⎟，已知A的一个特征值为3，00y1⎜⎟⎜⎟⎝0012⎠T（1）求y的值；（2）求矩阵P。使(AP)(AP)为对角矩阵；解（1）∵3为A的一个特征值，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com−3100−3101−300∴det(3E−A)==−1−30=2(8−y)=0，00y−3100y−2001−1∴y=2。T（2）∵A=A，TT2∴(AP)(AP)=PAP。TT2要使(AP)(AP)为对角矩阵,只需PAP为对角矩阵即可,⎛0100⎞⎛0100⎞⎛1000⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟khdaw.com2⎜1000⎟⎜1000⎟⎜0100⎟A=AA=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟，则002100210054⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝0012⎠⎝0012⎠⎝0045⎠λ−10000λ−100223A的特征多项式为det(λE−A)==(λ−)1(λ−)900λ−5−400−4λ−52由det(λE−A)=,0可得A的特征值为λ=λ=λ=1，λ=9。12342对于λ=λ=λ=1，解齐次线性方程组（E−A）X=0可得方程组的一个123TTT基础解系为α=0,0,1(，)0,α=0,1,0(，)0，α=（0，0，−1，1），123将向量组α，α，α正交化单位化得123TT11Tγ=)0,0,0,1(,γ=)0,0,1,0(,γ=,0,0(−,)。123222对于λ=9，解齐次线性方程组（9E−A）X=0，可得4T方程组的一个基础解系α=)1,1,0,0(。311T将α单位化得γ=,0,0(,)。3422khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1000⎞⎜⎟⎜0100⎟⎜11⎟令P=00−，则⎜22⎟⎜⎟11⎜⎜00⎟⎟⎝22⎠⎛1000⎞⎜⎟T2T⎜0100⎟PAP=(AP)(AP)=。⎜⎟0010⎜⎟⎜⎟⎝0009⎠khdaw.com13、设A,B为同阶矩阵。（1）如果A可逆，证明AB与BA相似；−1证明：∵A可逆，故A存在。−1∴A（AB）A=BA，∴AB与BA相似。（2）如果A不可逆，试问AB与BA是否相似？证明你的结论。证明：相似。用反证法。设AB与BA不相似，则对任意的可逆矩阵P，都有－1PABP≠BA，上式两边取行列式，得－1det(PABP)≠det(BA),即det(AB)≠det(BA)，矛盾，所以假设不成立，于是AB与BA相似。14、如果实对称矩阵A的特征值的绝对值均为1，证明A是正交矩阵。证明：设A的属于λ的特征向量为α(α≠)0，则Aα=λα。2∴A(Aα=)A(λα)，即Aα=λAα，又Aα=λα，22T2∴Aα=λα。又A=A,λ=1，T∴AAα=α，又α≠0，T∴AA=E，∴A是正交矩阵。−11515设A,B是两个实对称矩阵，试证：存在正交矩阵Q，使QAQ=B的充分必要条件是A,B有相同的特征值。证明：充分性；设实对称矩阵A,B有相同的特征值λ,λ,⋯,λ，则存在正交矩阵1khdaw.com2n若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comQ,Q使得12⎛λ1⎞⎛λ1⎞⎜⎟⎜⎟−1⎜λ2⎟−1⎜λ2⎟QAQ=，QBQ=，11⎜⋱⎟22⎜⋱⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟λλ⎝n⎠⎝n⎠−1−1−1−1−1于是QAQ=QBQ，又Q存在，所以有：QQAQQ=B112222112−1−1即：QAQ=B（其中Q=QQ)。12−1必要性：设有QAQ=B，即A，B相似，从而A,B有相同的特征值。khdaw.com综合上面的证明知：命题成立。21616、设A为n阶实对称矩阵，且A=A,试证：存在正交矩阵Q，−1使QAQ=diag,1(⋯0,1,⋯)0。2证明：设A的属于λ的特征向量为α(α≠)0，则Aα=λα。又A=A,22∴λα=Aα=Aα=A(Aα)=A(λα)=λα，∴λ=0或1。又由于A为n阶实对称矩阵，故存在正交矩阵⎛1⎞⎜⎟⎜⋱⎟⎜⎟1−1⎜⎟Q,使得QAQ=。⎜0⎟⎜⎟⋱⎜⎟⎜⎟⎝0⎠217、设A为n阶实对称矩阵，且A=E,试证：存在正交矩阵Q，−1使QAQ=diag,1(⋯,1,−1⋯−)1。证明：由于A为n阶实对称矩阵，故存在正交矩阵⎛λ1⎞⎜⎟−1⎜λ2⎟Q,使得QAQ=（1）⎜⎟⋱⎜⎟⎜⎟λ⎝n⎠2又A=E,−12−12∴(QAQ)=QAQ=E。又1111khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com2⎛λ⎞⎜1⎟2−12⎜λ2⎟(QAQ)=，11⎜⎟⋱⎜⎟⎜λ2⎟⎝n⎠2∴λ=1，从而λ=+(1i=,2,1⋯,n)，ii把（1）式对角线上λ中的+1集中到前面（交换相同的行与列即乘上适当的正交矩阵）i即存在正交矩阵Q使得：2⎛1⎞⎜⎟⎛λ1⎞⎜⋱⎟⎜⎟khdaw.com⎜λ⎟⎜1⎟−1−1−12QQAQQ=QQ=⎜⎟21122⎜⋱⎟2⎜−1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟λ⋱⎝n⎠⎜⎟⎜⎟⎝−1⎠−1即QAQ=diag,1(⋯,1−,1⋯−)1（其中Q=QQ)。12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.comdetA（=9设n阶矩阵A与B相似，m 课后答案网www.khdaw.com第五章二次型习题五（A）1、写出下列二次型的矩阵22（1）f(x,x,x)=2x−x+4xx−2xx；123121323（2）f(x,x,x,x)=2xx+2xx+2xx+2xx。khdaw.com123412131434解：（1）因为⎛202⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)⎜0−1−1⎟⎜x2⎟,⎜⎟⎜⎟2−10x⎝⎠⎝3⎠⎛202⎞⎜⎟所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：⎜0−1−1⎟。⎜⎟⎝2−10⎠（2）因为⎛0111⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟⎜1000⎟⎜x2⎟f(x,x,x,x)=(x,x,x,x)，12341234⎜1001⎟⎜x⎟⎜⎟⎜3⎟⎜⎟⎜⎟⎝1010⎠⎝x4⎠⎛0111⎞⎜⎟⎜1000⎟所以二次型f(x,x,x,x)的矩阵为：。1234⎜1001⎟⎜⎟⎜⎟⎝1010⎠2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1⎞⎜0−10⎟⎛11⎞2⎜1−⎟⎜⎟⎜22⎟⎜1−111⎟⎜1⎟⎜222⎟（1）−0−2；（2）。⎜2⎟⎜11⎟⎜1⎟⎜−10⎟⎜−22⎟⎜22⎟⎝2⎠⎜0111⎟⎜⎟⎝22⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comT解：（1）设X=(x,x,x)，则123⎛11⎞⎜1−⎟⎜22⎟⎛x1⎞1⎜⎟f(x,x,x)=XTAX=(x,x,x)⎜−0−2⎟⎜x⎟1231232⎜2⎟⎜⎟⎜1⎟⎝x3⎠⎜−22⎟⎝2⎠22=x+2x−xx+xx−4xx。13121323T（2）设X=(x,x,x,x)，则1234khdaw.com⎛1⎞⎜0−10⎟⎜2⎟⎛x⎞⎜111⎟⎜1⎟−1⎜x⎟f(x,x,x,x)=XTAX=(x,x,x,x)⎜222⎟212341234⎜11⎟⎜x⎟⎜−10⎟⎜3⎟⎜22⎟⎜x⎟⎝4⎠11⎜⎜01⎟⎟⎝22⎠22=−x+x+xx−2xx+xx+xx+xx。2412132324343、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。22（1）f(x,x,x)=2x+x−4xx−4xx；123121223（2）f(x,x,x)=2xx−2xx；1231223222（3）f(x,x,x)=x+2x+3x−4xx−4xx。1231231223解：（1）二次型f(x,x,x)的矩阵123⎛2−20⎞⎜⎟A=⎜−21−2⎟。⎜⎟⎝0−20⎠A的特征方程为λ−2202det(λE−A)=2λ−12=(λ+2)(λ−5λ+)4=0，02λ由此得到A的特征值λ=−2，λ=1，λ=4。123对于λ=−2，求其线性方程组(−2E−A)X=0，可解得基础解系为1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comTα=)2,2,1(。1对于λ=1，求其线性方程组(E−A)X=0，可解得基础解系为：2Tα=,1,2(−)2。2对于λ=4，求其线性方程组4(E−A)X=0，可解得基础解系为：3Tα=,2(−)1,2。3将α,α,α单位化，得1231122Tγ=α=(,,)，khdaw.com11α33311212Tγ=α=(,,−)，22α33321221Tγ=α=(,−,)，33α3333令⎛122⎞⎜⎟⎜333⎟⎜212⎟P=(γ,γ,γ)=−，123⎜333⎟⎜221⎟⎜−⎟⎝333⎠⎛−200⎞⎜⎟则PTAP=diag(-2,1,4)=010。⎜⎟⎜⎟⎝004⎠作正交替换X=PY，即⎧122x=y+y+y⎪1123333⎪⎪212⎨x2=y1+y2−y3，⎪333221⎪x=y−y+y3123⎪⎩333二次型f(x,x,x)可化为标准形：123222−2y+y+4y。123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com（2）类似题（1）方法可得：⎛111⎞⎜−−⎟⎜222⎟⎛000⎞⎜11⎟⎜⎟P=0−，PTAP=020，⎜⎟⎜⎟⎜22⎟⎜00−2⎟111⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝222⎠22即得标准形：2y−2y。23（3）类似题（1）的方法可得：⎛212⎞⎜⎟⎜333⎟⎛200⎞khdaw.com⎜122⎟T⎜⎟P=−−，PAP=⎜050⎟，⎜333⎟⎜⎟⎜221⎟⎝00−1⎠⎜−⎟⎝333⎠222即得标准形：2y+5y−y。1234、用配方法将下列二次型化为标准形：222（1）f(x,x,x)=x+2x+5x+2xx+2xx+6xx；123123121323（2）f(x,x,x)=2xx+4xx；1231213（3）f(x,x,x)=−4xx+2xx+2xx。123121323解：（1）先将含有x的项配方。122222f(x,x,x)=x+2x(x+x)+(x+x)－(x+x)+2x+6xx+5x123112323232233222=(x+x+x)+x+4xx+4x，1232233再对后三项中含有x的项配方，则有222222f(x,x,x)=(x+x+x)+x+4xx+4x=(x+x+x)+(x+2x)。123123223312323⎛111⎞⎜⎟TT设Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=⎜012⎟，⎜⎟⎝000⎠22令Y=BX，则可将原二次型化为标准形y+y。12（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com令⎧x1=y1+y2⎛x1⎞⎛110⎞⎛y1⎞⎪⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎨x2=y1−y2，即⎜x2⎟=⎜1−10⎟⎜y2⎟。⎪⎜⎟⎜⎟⎜⎟x=yx001y⎩33⎝3⎠⎝⎠⎝3⎠则原二次型化为f(x,x,x)=(2y+y)(y−y)+(4y+y)y123121212322=2y－2y+4yy+4yy12132322=(2y+y)－(2y−y)，1323⎛101⎞⎜⎟khdaw.comTT设Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=⎜01−1⎟，⎜⎟⎝000⎠22令Z=BY，则可将原二次型化为标准形2z−2z。12（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形：222−4z+4z+z。1235、用初等变换法将下列二次型化为标准形：222（1）f(x,x,x)=x+2x+4x+2xx+4xx；1231231223222（2）f(x,x,x)=x−3x+x−2xx+2xx+6xx；123123121323（3）f(x,x,x)=4xx+2xx+6xx。123121323解：（1）二次型f(x,x,x)的矩阵为123⎛110⎞⎜⎟A=⎜122⎟。⎜⎟⎝024⎠于是⎛110⎞⎛110⎞⎛100⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜122⎟⎜012⎟⎜012⎟⎜010⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛A⎞024024024000⎜⎜⎟⎟=⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎯⎯→⎜⎟。⎝E⎠⎜100⎟⎜100⎟⎜1−10⎟⎜1−12⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟01001001001−2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝001⎠⎝001⎠⎝001⎠⎝001⎠令khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛1−12⎞⎜⎟C=⎜01−2⎟，⎜⎟⎝001⎠作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形：22f(x,x,x)=y+y。12312（2）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：222f(x,x,x)=y−4y+y。123123（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：2122f(x,x,x)=2y−y−6y。1231232khdaw.com6、已知二次型222f(x,x,x)=5x+5x+cx−2xx+6xx−6xx123123121323的秩为2。求参数c的值，并将此二次型化为标准形。解：二次型f(x,x,x)的矩阵为123⎛5−13⎞⎜⎟A=⎜−15−3⎟。⎜⎟⎝3−3c⎠因为A的秩为2，令detA=0，可得c=3。222即f(x,x,x)=5x+5x+3x−2xx+6xx−6xx123123121323也就是⎛5−13⎞⎜⎟A=⎜−15−3⎟，⎜⎟⎝3−33⎠22通过初等变换法，即可将其化为标准形：4y+9y。237、设2n元二次型f(x,x,⋯,x)=xx+xx+⋯+xx122n12n22n−1nn+1试用可逆线性替换法将其化为标准形。解：令khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎧x1=y1+y2n⎛10⋯⋯01⎞⎪⎜⎟⎪x2=y2+y2n−1⎜0110⎟⎪⋯⎜⋱⋰⎟⎪⎜⎟⎪xn=yn+yn+1⎜⋮11⋮⎟⎨，P=⎜⎟，x=y−y⋮1−1⋮⎪n+1nn−1⎜⎟⎪⋯⎜⋰⋱⎟⎪⎜⎟x=y−y01−10⎪2n−122n−1⎜⎟⎪x=y−y⎜⎝10⋯⋯0−1⎟⎠⎩2n12n即作正交变换X=CY，二次型f(x,x,⋯,x)可化为标准型：122n2222y+⋯+y−y−⋯−y。khdaw.com1nn+12n2228、已知二次型f(x,x,x)=2x+3x+3x+2axx(a>0)通过正交变换化为标准12312323222型f=y+2y+5y，求a的值及所作的正交替换矩阵。123222解：因为原二次型可化为f=y+2y+5y，可知原二次型的矩阵的特征值为1231，2和5。而原二次型的矩阵为⎛200⎞⎜⎟A=⎜03a⎟。⎜⎟⎝0a3⎠故A的特征方程为λ−20022det(λE−A)=0λ−3a=(λ−2)(λ−6λ+9−a)=0。0aλ−3因此将此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。对于λ=1，求其线性方程组(E−A)X=0，可解得基础解系为1Tα=)1,1,0(。1对于λ=2，求其线性方程组2(E−A)X=0，可解得基础解系为：2Tα=)0,0,1(。2对于λ=5，求其线性方程组5(E−A)X=0，可解得基础解系为：3Tα=,1,0(−)1。3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com将α,α,α单位化，得123111Tγ=α=,0(,)，11α1221Tγ=α=)0,0,1(，22α2111Tγ=α=,0(,−)，33α322故正交替换矩阵为：⎛⎞khdaw.com⎜⎟⎜010⎟⎜11⎟P=(γ,γ,γ)=0。123⎜⎟22⎜⎟11⎜0−⎟⎜⎟⎝22⎠9、判别下列二次型是否为正定二次型：222（1）f(x,x,x)=5x+6x+4x−4xx−4xx；1231231223222（2）f(x,x,x)=10x+2x+x+8xx+24xx−28xx；1231231213232222（3）f(x,x,x,x)=x+x+4x+7x+6xx+4xx−4xx+123412341314232xx+4xx。2434解：（1）二次型f(x,x,x)的矩阵为123⎛5−20⎞⎜⎟A=⎜−26−2⎟。⎜⎟⎝0−24⎠5−205−2由于5>0，=26>0，−26−2=84>0,−260−24即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的。（2）二次型f(x,x,x)的矩阵为123khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛10412⎞⎜⎟A=⎜42−14⎟。⎜⎟⎝12−141⎠由于10412|A|=42−14=-3588<0，12−141故此二次型不为正定的。（3）二次型f(x,x,x,x)的矩阵为：1234⎛1032⎞⎜⎟khdaw.com⎜01−22⎟A=⎜⎟。3−242⎜⎟⎜⎟⎝2227⎠由于10301−2=-9<0，3−24故此二次型不为正定的。1010、当t为何值时，下列二次型为正定二次型：222（1）f(x,x,x)=x+4x+x+2txx+10xx+6xx；123123121323222（2）f(x,x,x)=x+x+5x+2txx−2xx+4xx；123123121323222（3）f(x,x,x)=2x+x+x+2xx+txx。1231231223解：（1）二次型f(x,x,x)的矩阵为：123⎛1t5⎞⎜⎟A=⎜t43⎟。⎜⎟⎝531⎠由于1t51t22=4−t，t43=−t+30t−105，t4531但易知不等式组2⎧4−t>0⎨2⎩−t+30t−105>0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com无解，因此，不论t取何值，此二次型都不是正定的。（2）二次型f(x,x,x)的矩阵为：123⎛1t−1⎞⎜⎟A=⎜t12⎟。⎜⎟⎝−125⎠此二次型正定的充要条件为1t221>0,=1−t>0,|A|=−5t−4t>0，t14由此解得：−0,>0,|A|=1−>0，112解得：−20，XBX>0。TTT故h=X(A+B)X=XAX+XBX>0，T即二次型h=X(A+B)X为正定的，故A+B为正定矩阵。1414、设A为正定矩阵，则A-1和A*也是正定矩阵。其中A*为A的伴随矩阵。证明：因为A为正定矩阵，故A为实对称矩阵。−1TT−1−1−1从而(A)=(A)=A即A也为对称矩阵，*TT***khdaw.com(A)=(A)=A即A也为对称矩阵。由已知条件可知，存在可逆矩阵C，使得TA=CC。−1T−1−1−1TT于是A=(CC)=C(C)=QQ，*−1−1−1T1−11−1TTA=|A|A=|A|C(C)=C[C]=PP，AA−1T1−1T其中Q=(C)，P=(C)都为可逆矩阵。A故A-1和A*都为正定矩阵。1515、设A为n×m实矩阵，且r(A)=m0，T取X=ε=,0(⋯,0,1,0,⋯)0,，(i=1,2,…,n)iT则εAε=d>0，(i=1,2,…,n)iii即主对角线上的元素都是正的。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com第五章二次型习题五（B）nT1、设A为n阶实对称矩阵，如果对任一n维列向量X∈R，都有XAX=0，试证：A=O。证明：因为矩阵A为实对称矩阵，设为⎛a11a12⋯a1n⎞⎜⎟khdaw.com⎜a21a22⋯a2n⎟A=，其中a=a(i,j=1,2,…,n).⎜⋮⋮⋮⎟ijji⎜⎟⎜⎟aa⋯a⎝n1n2nn⎠Tn令X=(x,x,⋯,x)∈R,12nnT2由已知得，二次型f(x1,x2,⋯,xn)=XAX=∑aiixi+2∑aijxixj=0。i=11≤i0,A2==3>0,1221⋯1111⋯1111⋯1112⋯1112⋯1101⋯00An=⋮⋮⋮⋮=(n+)1⋮⋮⋮⋮=(n+)1⋮⋮⋮⋮=n+1>0，khdaw.com11⋯2111⋯2100⋯1011⋯1211⋯1200⋯01因此，此二次型为正定二次型。3、设n元二次型222f(x,x,⋯,x)=(x+ax)+(x+ax)+…+(x+ax)12n112223n−1n−1n2+(x+ax)nn1其中a(i=1,2,…,n)为实数。试问：当a(i=1,2,…,n)满足何种条件时，二次型iif(x,x,⋯,x)为正定二次型。12n解：由题设条件知，对于任意的x,x,⋯,x，有f(x,x,⋯,x)≥0。其中等号成12n12n立当且仅当⎧x1+a1x2=0⎪x+ax=0⎪223⎪⎨⋮⎪x+ax=0⎪n−1n−1n⎪x+ax=0⎩nn1此方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式1a⋯00101⋯00n+1⋮⋮⋮⋮=1+(−)1aa⋯a≠0，12n00⋯1an−1a0⋯01n所以当a,a,⋯,a≠−1时，f(x,x,⋯,x)为正定二次型。12n12n24、已知A为反对称矩阵，试证：E−A为正定矩阵。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.comT证明：因为A为反对称矩阵，所以A=−A，2TT因此E−A=(E−A)(E+A)=(E+A)(E+A)=(E+A)(E+A)。2所以E−A为正定矩阵。5、设A是一个实对称矩阵，试证：对于实数t，当t充分大时，tE+A为正定矩阵。证明：设A的特征值为λ,λ,⋯,λ且λ为实数，取t>max{|λ|}，则tE+A的特征12nii1≤i≤n值为λ+t,λ+t,⋯,λ+t全部大于零。因此，当t>max{|λ|}时，tE+A为正定矩阵。12ni1≤i≤nnT6、设A是实对称矩阵，且detA<0，试证：必存在n维列向量X∈R，使得XAX<0。khdaw.comT证明：因为A为实对称矩阵，且detA<0，故二次型f(x,x,⋯,x)=XAX的秩为12nn，且不是正定的，故负惯性指数至少为1，从而f可经过可逆线性变换X=CY，化成T2222f(x,x,⋯,x)=XAX=y+⋯+y−y−⋯−y（1）12n1ss+1n其中1≤s0,因此A为正定矩阵。9、设A=(a)为n阶正定矩阵。求证A的任一主子式都大于零。ij证明：首先，令Ak为A的任一个k阶主子式，⎛aiiaii⋯aii⎞⎜11121k⎟⎜a2ii1a2ii2⋯a2iik⎟Ak=⎜⎟⋮⋮⋮⎜⎟⎜aa⋯a⎟⎝kii1kii2kiik⎠由于A是正定的，故二次型Tf(x,x,⋯,x)=XAX12n对任意不全为零的实数c,c,⋯,c，都有12nf(c,c,⋯,c)>0，12nkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com从而对不全为零的实数c,c,⋯,c，有i1i2ikf,0(⋯,c,0,⋯,c,⋯c,⋯)0,>0i1i2ik（即在f(x,x,⋯,x)中除x,x,⋯,x外其余变量全取0），但是，对变量为12ni1i2ikx,x,⋯,x而矩阵为Ak的二次型g(x,x,⋯,x)来说，有i1i2iki1i2ikg(c,c,⋯,c)=f,0(⋯,c,0,⋯,c,⋯c,⋯)0,>0i1i2iki1i2ik故g为正定二次型，从而Ak为正定的。故|Ak|>0。1010、设A为n阶正定矩阵，证明A+E的行列式大于1。证明：因为A为正定矩阵，不妨设A的特征值分别为λ,λ,⋯,λ且λ>0，khdaw.com12ni则A+E的特征值为λ+,1λ+,1⋯,λ+1且λ+1>1，从而有12ni|A+E|=(λ+1)(λ+)1⋯(λ+)1>1。12n⎛101⎞⎜⎟21111、设矩阵A=⎜020⎟，矩阵B=(kE+A)，其中k为实数，E为单位矩阵，求⎜⎟⎝101⎠对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。λ−10−12解：|λE−A|=0λ−20=λ(λ−)2−10λ−1因此，A的特征值为0，2，2。记对角矩阵⎛200⎞⎜⎟D=⎜020⎟。⎜⎟⎝000⎠因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得TPAP=D，T−1−1T所以A=(P)DP=PDP。2TT22T于是B=(kE+A)=(kPP+PDP)=P(kE+D)P2⎛(k+)200⎞⎜⎟2TP⎜0(k+)20⎟P=；⎜2⎟00k⎝khdaw.com⎠若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com2⎛(k+)200⎞⎜⎟2由此可得Λ=⎜0(k+)20⎟。⎜2⎟00k⎝⎠因此当k≠−,2k≠0时，即所有特征值均大于零时，B为正定矩阵。T1212、设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+AA，试证：当λ>0时，矩阵B为正定矩阵。证明：因为TTTTB=(λE+AA)=λE+AA=B，所以，B为对称矩阵。khdaw.com对于任意的实n维列向量X，有TTTTTTTTXBX=X(λE+AA)X=λXX+XAAX=λXX+(AX)AXTT当X≠0时，有XX>0,(AX)AX≥0,T因此当λ>0时，对于任意的X≠0，有XBX>0，即B为正定矩阵。13、设实对称矩阵A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.证明：必要性。设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量X≠0，有TTTX(BAB)X>0即(BX)A(BX)>0于是BX≠0，因此BX=0只有零解，从而r(B)=n。TTTTTT充分性。因(BAB)=BAB=BAB，即BAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组BX=0只有零解。从而对任意实n维列向量X≠0有BX≠0。T又A为正定矩阵，所以对于BX≠0，有(BX)BX>0，于是当X≠0时，有TTX(BAB)X>0，T故BAB为正定矩阵。314、在R中，将下述二次方程化为标准形式，并判断曲面类型。2225（1）x−2x−2x−4xx+4xx+8xx−45x+25x−35x−=0；1231213231237222（2）4x−6x−6x−4xx−4x+4x+4x−5=0。12323123解：（1）设khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com⎛⎞⎛1−22⎞⎜−25⎟⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟A=⎜−2−24⎟，α=⎜5⎟，X=⎜x2⎟。⎜24−2⎟⎜−35⎟⎜x⎟⎝⎠⎜⎟⎝3⎠⎝2⎠则该二次方程可记为TT5XAX+2αX−=0。7由det(λE−A)=0，可得A的特征值和对应的特征向量：Tλ=2，ξ=(−)0,1,2，11Tλ=2，ξ=)1,0,2(，khdaw.com22Tλ=−7，ξ=(−,1−)2,2。33将特征向量单位化，得1T1T1Tη=(−)0,1,2，η=)1,0,2(，η=(−,1−)2,2。123553取正交矩阵⎛221⎞⎜−−⎟⎜553⎟⎜12⎟B=⎜0−⎟，53⎜⎟⎜012⎟⎜⎟⎝53⎠T则BAB=diag,2,2(−)7。T设X=BY，其中Y=(y,y,y)。原二次方程化为123TTT5YBABY+2αBY−=0，7即2221152y+2y−7y+5y−y−5y−=0（1）123123275115令z=y−，z=y−，z=y+，1122324814则（1）式可化为2221252z+2z−7z=。1238用平面z=c截此曲面，截痕为椭圆；用平面z=a截此曲面，截痕为双曲线；用平31khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网www.khdaw.com面z=b截此曲面，截痕为双曲线，由次可知，此曲面为单叶双曲面。2（2）类似题（1）的做法，可把原二次方程化为：2224z−4z−8z=5123此曲面为双叶双曲面。22215、已知二次曲面方程x+ay+z+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换TT(x,y,z)=P(ξ,η,ζ)22化为椭圆柱面方程η+4ζ=4。求a，b的值和正交矩阵P。⎛1b1⎞⎛000⎞⎜⎟⎜⎟khdaw.comTT解：设X=(x,y,z)，Y=(ξ,η,ζ)，A=⎜ba1⎟，B=⎜010⎟，⎜⎟⎜⎟⎝111⎠⎝004⎠TT则原二次曲面方程可表示为XAX=4，椭圆柱面方程为YBY=4，此问题即寻求一正交变换X=PY，把原二次型化为已知的标准形。因此，由已有的标准形，可知矩阵A的3个特征值分别为λ=0，λ=1，λ=4，123由det(λE−A)=0，可得a=3，b=1。由矩阵A的特征值，可求得对应的特征向量：Tλ=0，ξ=,0,1(−)1，11Tλ=1，ξ=,1(−)1,1，22Tλ=4，ξ=)1,2,1(。33将各个特征向量单位化得：1T1T1Tη=,0,1(−)1，η=,1(−)1,1，η=)1,2,1(。123236故⎛111⎞⎜⎟⎜236⎟⎜12⎟P=⎜0−⎟。36⎜⎟⎜−111⎟⎜⎟⎝236⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com'