概率论与数理统计教程 第二版 (魏宗舒 著) 高等教育出版社 课后答案 48页

'课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解(1)记9个合格品分别为正,正,⋯,正，记不合格为次，则129Ω={(正,正),(正,正),⋯,(正,正),(正,次),(正,正),(正,正),⋯,(正,正),(正,次),12131912324292(正3,正4),⋯,(正3,正9),(正3,次),⋯,(正8,正9),(正8,次),(正9,次)}A={(正,次),(正,次),⋯,(正,次)}129(2)记2个白球分别为ω1，ω2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r，r，r，r。则Ω={ω，ω，b，b，b，r，r，r，r}1234121231234(ⅰ)A={ω，ω}(ⅱ)B={r，r，r，r}1212341.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式C⊂B是正确的？(4)什么时候A=B成立？解(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。课后答案网(2)ABC=C等价于C⊂AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时www.hackshp.cn`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1≤i≤n）。用A表示下列事件：i(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。nnnnn解(1)∩Ai;(2)∩Ai=∪Ai;(3)∪[Ai(∩Aj)];i=1i=1i=1i=1j=1j≠i-2- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）n(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为AA；∪iji,j=1i≠j1.4证明下列各式：(1)A∪B=B∪A;(2)A∩B=B∩A(3)(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(4)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(5)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)nn(6)∩Ai=∪Aii=1i=1证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。2解样本点总数为A=8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、813中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以211事件A“所得分数为既约分数”包含A3+2A3×A5=2×3×6个样本点。于是2×3×69P(A)==。8×7141.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。课后答案网⎛5⎞解样本点总数为⎜⎜⎟⎟=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必⎝3⎠须是3、5、7或3、7、9或多或www.hackshp.cn5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一3个三角形”包含3个样本点，于是P(A)=。101.7一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!483!2!2!2!个样本点。所以P(A)==13!13!1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9×10−1=89个不同位置，当-3- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为17P(A)=891.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所7以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于7“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是97A9P(A)=。791.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？449⎛9⎞解用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)==⎜⎟，所以10000⎝10⎠449⎛9⎞P(A)=1-P(A)=1−=1−⎜⎟10000⎝10⎠1.11任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是课后答案网1；1解(1)答案为。5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答42案为=www.hackshp.cn105(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样2本空间包含10个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是。1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故-4- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）对头而言有5⋅3⋅1种接法，同样对尾也有5⋅3⋅1种接法，所以样本点总数为2(5⋅3⋅1)。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5⋅3⋅1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4⋅2。所以A包含的样本点数为(5⋅3⋅1)(4⋅2)，于是(5⋅3⋅1)(4⋅2)8P(A)==2(5⋅3⋅1)15(2)2n根草的情形和(1)类似得1.13把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球⎛N+n−k−2⎞⎜⎜⎟⎟的概率为⎝n−k⎠，0≤k≤n⎛N+n−1⎞⎜⎟⎜n⎟⎝⎠⎛N⎞⎛n−1⎞⎜⎟⎜⎟(2)恰好有m个盒的概率为⎜⎝m⎟⎠⎜⎝N−m−1⎟⎠，N−n≤m≤N−1⎛N+n−1⎞⎜⎜⎟⎟⎝n⎠⎛m+j−1⎞⎛N−m+n−j−1⎞⎜⎟⎜⎟(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为⎜⎝m−1⎟⎠⎜⎝n−j⎟⎠，⎛N+n−1⎞⎜⎜⎟⎟⎝n⎠1≤m≤N,0≤j≤N.课后答案网解略。1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过www.hackshp.cn3分钟的概率。3解所求概率为P(A)=5n−11.15在∆ABC中任取一点P，证明∆ABP与∆ABC的面积之比大于的概n1率为。2n1解截取CD′=CD，当且仅当点P落入∆CA′B′之内时∆ABP与∆ABC的面nn−1积之比大于，因此所求概率为n122CD′∆A′B′C有面积CD′n21P(A)====。222∆ABC的面积CDCDn-5- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0≤x−y≤2,0≤y−x≤1。因此所求概率为2121224−×23−×2222P(A)=≈0.1212241.17在线段AB上任取三点x,x,x，求：123(1)x2位于x1与x3之间的概率。(2)Ax,Ax,Ax能构成一个三角形的概率。1231111−3××解(1)P(A)=(2)P(B)=32=13121.18在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。解分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边课后答案网a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A)=P(A∪A∪A).显然P(A)P(A)+P(A)，P(A)=P(A)+P(A)，3abacbcaabacbabbcP(A)=P(A)+P(A)。所以cacbcwww.hackshp.cn121P(A)=[P(A)+P(A)+P(A)]=(a+b+c)=(a+b+c)3abc22πdπd（用例1.12的结果）1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。-6- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）��b个�解ω1表示白，ω2表示黑白，ω3表示黑黑白，…ωb+1表示黑⋯黑白，a则样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωb+1}，并且P({ω1})=，a+bbabb−1aP({ω})=⋅，P({ω})=⋅⋅，…，23a+ba+b−1a+ba+b−1a+b−2bb−1b−(i−2)aP({ω})=⋅⋅⋯⋅⋅ia+ba+b−1a+b−(i−2)a+b−(i−1)b!aP({ω})=b+1(a+b)(a+b−1)⋯a甲取胜的概率为P({ω1})+P({ω3})+P({ω5})+…乙取胜的概率为P({ω})+P({ω})+P({ω})+…2461.21设事件A,B及A∪B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)解由P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)得P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=p+q−rP(AB)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)=r−q，P(AB)=r−pP(AB)=P(A∪B)=课后答案网1−P(A∪B)=1−r1.22设A、A为两个随机事件，证明：12(1)P(A1A2)=1−P(Awww.hackshp.cn1)−P(A2)+P(A1A2);(2)1−P(A)−P(A)≤P(AA)≤P(A∪A)≤P(A)+P(A).12121212证明(1)P(AA)=P(A∪A)=1−P(A∪A)=1−P(A)−P(A)+P(AA)1212121212(2)由(1)和P(A1A2)≥0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)−P(BC)≤P(A)证明P(A)≥P[A(B∪C)]=P(AB)+P(AC)−P(ABC)-7- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）≥P(AB)+P(AC)−P(BC)1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)P(ABC)=P(A−(AB∪AC))=P(A)−P(AB∪AC)=30%(2)P(ABC)=P(AB−ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)−[P(AB)+P(BC)−P(ABC)]=23%P(CAB)=P(C)−[P(AC)+P(BC)−P(ABC)]=20%P(ABC∪+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)P(A+B+C)=课后答案网90%(6)P(ABC)=1−P(A+B+C)=1−90%=10%1.26某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？www.hackshp.cnN解用Ai表示“第i张考签没有被抽到”，i=1,2,⋯,N。要求P(∪Ai)。i=1nnn⎛N−1⎞，⎛N−2⎞，……，⎛N−N⎞P(Ai)=⎜⎟P(AiAj)=⎜⎟P(A1⋯AN)=⎜⎟=0⎝N⎠⎝N⎠⎝N⎠nnN⎛N⎞N1⎛N⎞N1⎛−⎞1−1⎛−⎞∑P(Ai)=⎜⎜⎟⎟⋅⎜⎟=(−1)⎜⎜⎟⎟⎜⎟i=1⎝1⎠⎝N⎠⎝1⎠⎝N⎠nn⎛N⎞⎛N−2⎞2−1⎛N⎞⎛N−2⎞，……−∑P(AiAj)=−⎜⎜⎟⎟⎜⎟=(−1)⎜⎜⎟⎟⎜⎟1≤i≤N⎝2⎠⎝N⎠⎝2⎠⎝N⎠NNni−1⎛N−i⎞所以P(∪Ai)=∑(−1)⎜⎟i=1i=1⎝N⎠-8- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）1.27从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为aa⋯a，当1i2ini12n且仅当1,2,⋯,n的排列(ii⋯i)中存在k使i=k时这一项包含主对角线元素。12nk用A表示事件“排列中i=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。kk则(n−1)!(n−2)!P(A)=1≤i≤nP(AA)=(1≤i0)，而每一个蛋能孵化成小k!r(λp)−λp鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为e。r!解用A表示“母鸡生k个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代”，则k∞∞λke−λ⎛k⎞rk−rP(B)=∑P(Ak)P(B|Ak)=∑⋅⎜⎜⎟⎟⋅p(1−p)k=rk=rk!⎝r⎠(λp)r课后答案网∞[λ(1−p)]k−r(λp)r−λ−λλ(1−p)=e∑=e⋅er!k=r(k−r)!r!r(λp)−λp=er!www.hackshp.cn1.33某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解用A表示“任选一名射手为k级”，k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手k能进入决赛”，则4P(B)=P(A)P(B|A)=4×0.9+8×0.7+7×0.5+1×0.2=0.645∑kkk=1202020201.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任-10- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解用A表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A表示“任取一只产品是乙台机器生产”2A表示“任取一只产品是丙台机器生产”3B表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式：P(A1)P(B|A1)25P(A2)P(B|A2)28P(A1|B)=3=P(A2|B)=3=6969∑P(Ak)P(B|Ak)∑P(Ak)P(B|Ak)k=1k=1P(A3)P(B|A3)16P(A3|B)==369∑P(Ak)P(B|Ak)k=11.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？9321解则P(A)=，P(A)=，P(A)=，P(A)=1234151515151231P(B|A)=，P(B|A)=，P(B|A)=，P(B|A)=12347777由贝时叶斯公式得P(A1)P(B|A1)9P(A1|B)==422∑P(Ak)P(B|Ak)k=11.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、课后答案网110.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、431，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？12解用A1表示“朋友乘火车来www.hackshp.cn”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。4则P(A1)P(B|A1)1P(A1|B)==42∑P(Ak)P(B|Ak)k=11.37证明：若三个事件A、B、C独立，则A∪B、AB及A−B都与C独立。证明（1）P((A∪B)C)=P(AC)+P(BC)−P(ABC)=P(A∪B)P(C)（2）PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)-11- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）（3）P((A−B)C)=P((A−AB)C)=P(AC−ABC)=P(A−B)P(C)1.38试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。118解设Ω={ω,ω,ω,ω,ω}，P({ω})=，P({ω})=，1234515646415P({ω})=P({ω})=P({ω})=，A={ω,ω}，A={ω,ω}，A={ω,ω}234121314641151则P(A)=P(B)=P(C)=+=，646441P(ABC)=P({ω})==P(A)P(B)P(C)1641但是P(AB)=P({ω})=≠P(A)P(B)1641.39设A,A,⋯,A为n个相互独立的事件，且P(A)=p(1≤k≤n)，求下12nkk列事件的概率：(1)n个事件全不发生；(2)n个事件中至少发生一件；(3)n个事件中恰好发生一件。nnn解(1)P(∩Ak)=∏P(Ak)=∏(1−pk)k=1k=1k=1nnn(2)P(∪Ak)=1−P(∩Ak)=1−∏(1−pk)k=1课后答案网k=1k=1nnnnnn(3)P[∪(Ak∩Aj)]=∑(Ak∩Aj)=∑[pk∐(1−pj)].k=1j=1k=1j=1k=1j=1j≠kj≠kj≠k1.40已知事件A,B相互独立且互不相容www.hackshp.cn，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。解一方面P(A),P(B)≥0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))=0.1.41一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为A型；(3)没有一人为AB。-12- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）⎛5⎞解(1)从5个人任选2人为O型，共有⎜⎜⎟⎟种可能，在其余3人中任选一人⎝2⎠为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一⎛5⎞人为AB型，顺此所求概率为：320.4620.400.110.130.0168⎜⎜⎟⎟××××××≈⎝2⎠⎛5⎞(2)0.4620.4020.1557⎜⎜⎟⎟××≈⎝3⎠5(3)(1−0.03)≈0.85871.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解用A表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，k=1,2,⋯，B表k示“击中飞机”。则P(A)=0.6，k=1,2,⋯。k2(1)P(A∪A)=1−P(AA)=1−0.4=0.841212nnlg0.01(2)P(A1∪⋯An)=1−P(∩Ak)=1−0.4>0.99,n>≈5.026k=1lg0.4取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43做一系列独立的试验课后答案网，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。解用A表示“在成功n次之前已失败了m次”，B表示“在前n+m−1次试验中失败了m次”，C表示www.hackshp.cn“第n+m次试验成功”⎛n+m−1⎞n−1m则P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=⎜⎜⎟⎟p(1−p)⋅p⎝m⎠⎛n+m−1⎞nm=⎜⎜⎟⎟p(1−p)⎝m⎠1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1≤r≤n）的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”，用B表示“乙盒中尚余j根火柴”，ijC,D分别表示“第2n−r次在甲盒取”，“第2n−r次在乙盒取”，ABC表示取0r-13- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）了2n−r次火柴，且第2n−r次是从甲盒中取的，即在前2n−r−1在甲盒中取了n−1n−r⎛2n−r−1⎞⎛1⎞⎛1⎞1n−1，其余在乙盒中取。所以P(A0BrC)=⎜⎜⎟⎟⎜⎟⋅⎜⎟⋅⎝n−1⎠⎝2⎠⎝2⎠2由对称性知P(ABC)=P(ABD)，所求概率为：r00r2n−r−1⎛2n−r−1⎞⎛1⎞P(A0BrC∪ArB0D)=2P(A0BrC)=⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎝n−1⎠⎝2⎠第五章习题1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。2.设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。课后答案网3.查表求，，，。4.设，求常数，使。5.设www.hackshp.cn是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。7.设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求-14- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）：（1）；（2）；（3），其中。8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。9.设总体，（1）抽取容量为36的样本，求；（2）抽取容量为64的样本，求；（3）取样本容量n多大时，才能使。10.设总体，皆未知，已知样本容量，样本均值，修正样本方差，求。11.设是来自正态总体，容量为的样本，求下列统计量的抽样分布：（1）；（2）；（3）。课后答案网12.若，则服从什么分布？13.设是来自泊松分布的一个样本，与分别为样本均值与样本方差，试求www.hackshp.cn。14.某区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1600户家庭的随机样本，试求：9%~11%之间的样本家庭没有汽车的概率。习题解答1.11..解-15- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）2.解（1）0其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差样本标准差。3.解，，，。课后答案网4.解由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。5.证明：www.hackshp.cn（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。（2）易见，，即，由分布的定义，，即。6.解-16- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即即，自由度为3。7.解（1）课后答案网www.hackshp.cn（2）-17- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）（3），其中8.解（1）引入新变量：1，第个样本居民年收入超过1万0，第个样本居民年收入没超过1万其中易见：又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为课后答案网（2）同（1）解法引入新变量：www.hackshp.cn1，第个样本居民受过高等教育0，第个样本居民未受过高等教育其中答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。-18- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）9.0.9916，0.8904，96。10.0.5。11.(1)；（2）；（3）。12.。13.，，。14.0.8164。第六章习题1.设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求课后答案网的矩估计。4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为www.hackshp.cn其中未知，求的矩估计。5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最大似然估计。6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。-19- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。9.在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解故的矩估计量是的无偏估计。10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。11.设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。12.设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。13.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。14.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，课后答案网49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。15.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。www.hackshp.cn16.已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。17.某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。18.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.99置信区间。-20- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）19.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。20.在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。21.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。习题解答1.解（1），故的矩估计量有。另，X的分布律为，故似然函数为对数似然函数为：课后答案网令解得的最大似然估计量www.hackshp.cn。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2），令，故的矩估计量。另，X的密度函数为故似然函数为对数似然函数为-21- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2.解，故的矩估计量。由样本观测值可算得另，X的分布律为故似然函数为对数似然函数为课后答案网解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。3.解，令www.hackshp.cn，故的矩估计量。4.解，令，故的矩估计量为。5.解，令，故的矩估计量为，另，似然函数对数似然函数为-22- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）解得的最大似然估计量为。6.解似然函数对数似然函数解得的最大似然估计量为。7.解根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。由样本观测值可算得。8.解似然函数课后答案网，对数似然函数为www.hackshp.cn得的最大似然估计量为。9.解故的矩估计量是的无偏估计。10.证明：故的最大似然估计是的无偏估计。-23- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）11.证明所以都是总体均值的无偏估计。又可见，所以二个估计量中课后答案网更有效。12.证明易见又，www.hackshp.cn由公式（9），，故。由切比雪夫不等式，当，对任给，即是的相合估计。13.解由于已知，所以选用的置信区间。-24- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）当，查表得，当，查表得。代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。的双侧0.99置信区间观测值为，即为。14.解由于和都未知，故的双侧置信区间为，的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。的0.9双侧置信区间观测值为课后答案网，即为。15.解由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得www.hackshp.cn，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。16.解由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。-25- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）17.解由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。18.解由于已知，故的的双侧置信区间为代入数据得，故的0.99双侧置信区间观测值为，即为。19.解由于未知，故的双侧置信区间为其中，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为课后答案网,即为。20.解由于样本大小相对于总体容量来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。样本成数www.hackshp.cn，估计，标准差SE的估计为。21.解，故，所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为。-26- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）第七章假设检验227.1设总体ξ∼N(,µσ)，其中参数µ，σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）H:µ=0,σ=1；（2）H:µ=0,σ>1；00（3）H:µ<3,σ=1；（4）H:0<µ<3；00（5）H:µ=0.0解：（1）是简单假设，其余位复合假设7.2设ξξ,,⋯,ξ取自正态总体N(,9)µ，其中参数µ未知，x是子样均值，如1225对检验问题H:µ=µ,H:µ≠µ取检验的拒绝域：0010c={(,xx,⋯,x):|x−µ|≥c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05122509解：因为ξ∼N(,9)µ，故ξ∼N(,µ)25在H成立的条件下，0课后答案网35cP(|ξ−µ|≥c)=P(|ξ−µ|≥)00053⎡5c⎤=21⎢−Φ()⎥=0.05⎣3⎦5c5cwww.hackshp.cnΦ()=0.975,=1.96，所以c=1.176。33227.3设子样ξξ1,2,⋯,ξ25取自正态总体N(,µσ0)，σ0已知，对假设检验H:µ=µ,H:µ>µ，取临界域c={(,xx,⋯,x):|ξ>c}，001012n0（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；2（2）设µ=0.05，σ=0.004，α=0.05，n=9，求µ=0.65时不犯第二类错误00的概率。-27- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）2σ解：（1）在ξ∼N(µ,0)，此时H成立的条件下，00n⎛ξ−µc−µ⎞000α=P(ξ≥c)=P⎜n≥n⎟000σσ⎝00⎠c−µσ所以，00c=0µ+µn=µ，由此式解出1−α01−α0σ0n2σ在ξ∼N(,µ0)，此时H成立的条件下，1n⎛ξ−µc−µ⎞0β=P(ξ108⎪⎩47.5设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?2解总体ξ∼N(,150)µ，对假设，H:µ=1600，采用U检验法，在H为真时，00检验统计量课后答案网x-µ0u=n=1.2578σ0临界值u=u=1.961−α/20.975www.hackshp.cn||ut，故接受H0.9507.8某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量课后答案网η，有子样试验可得其均值和*22方差的无偏估计为0.994及s=(0.16)，问新上浆率能否推广就要分析每台布n机的平均断头率是否增大，即要检验www.hackshp.cnH:Eη=0.973↔HE:η>0.97301由于Dη未知，且n较大，用t检验，统计量为η−µ0.9940.973−t=0n=200=1.856*s0.16n查表知t0.95(199)1.645=，故拒绝原假设，不能推广。7.9在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为(,xx,⋯,x)，1210(,yy,⋯,y)，假设作物产量服从正态分布，并计算得x=30.97，y=21.79，1210-30- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）**s=26.7，s=12.1取显著性水平0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著xy性差别？22解甲作物产量ξ∼N(µσ,)，乙作物产量η∼N(µσ,)，即要检验1122H:µ≠µ01222"22由于σ，σ未知，要用两子样t检验来检验假设H:σ=σ，由F检验，12012统计量为2F=s*2s*2=26.7=4.869t，所以接受原假设，即两品种的产量没有显0.995著性差别。7.10有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）：甲20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0。19.6，19.9乙19.7，20.8，20.5课后答案网，19.8，19.4，20.6，19.2。试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为α=0.05。2解：假定甲产品直径服从N(µσ,)，由子样观察值计算得x=20.00，www.hackshp.cn11*22s=(0.3207)=0.1029。n12*2乙产品直径服从N(µσ,)，由子样观察值计算得y=20.00，s=0.3967。22n2要比较两台机床加工的精度，既要检验22H:σ=σ012由F-检验*2sn10.1029F===0.2594*2s0.3967n2-31- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）α=0.05时查表得：F(7.6)=5.70，0.97511F(7.6)===0.19530.025F(6.7)5.120.975由于F(7.6)χ(5)，所以拒绝H。即等概率的假设不成立。0.9507.15对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压3.83.94.04.14.24.34.44.54.64.74.8击穿频数111278846412试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和χ−拟合优度检验）。解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面课后答案网χ2−拟合优度检验假设2H:ξ∼N(,µσˆˆ)www.hackshp.cn022其中µσˆ,ˆ为µ和σ的极大似然估计，其观察值1nµˆ=x=4.3744222σˆ=s=∑(x−x)=0.04842nini=1所以要检验的假设H:ξ∼N(4.3744,0.04842)02分组列表计算χ−统计量的观察值。-34- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）p=Φ()yii组距频数标准化区间−Φ(y)(n−np)2/npi−1iiinpixxnyyi−1iii−1i−∞4.15−∞-1.250.10564.54080.04644.14.27-1.25-0.790.10874.67411.15744.24.38-0.79-0.340.15266.56180.21524.34.512-0.340.570.348814.99840.59944.54.660.571.030.13285.71040.01474.6∞50.31∞0.15156.51450.3521n2(np−n)χ2=∑ii=2.4852i=1npi2222用α=0.1查表χ(621)−−=χ(3)=6.251由于χ<χ(3)，所以不能否定正态0.90.90.9分布的假设。7.16用手枪对100个靶各打课后答案网10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数x：012345678910i频数f：0241022261812420i在显著水平α=0.05下用χwww.hackshp.cn2拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。解对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布bK(;10,)p来描述，其中p未知，可求其极大似然估计为110pˆ=x=∑fx=0.5ii100i=0设ξ是十发射击中射中靶的个数，建立假设-35- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）⎛10⎞K10−KH:(pξ=k)=⎜⎟(0.5)(0.5),K=0,1,…,100⎝K⎠用2χ拟合优度检验法列表如下：2inipinpi(ni−npi)/npi000.0009770.0980.098120.0097650.9761.074240.0439454.3950.0363100.11718811.7190.2524220.20521220.5210.1075260.24609424.6090.0796180.20521220.5210.3107120.11718811.7190.007840.0439454.3950.036920.0097650.9761.0741000.0009770.0980.098102(np−n)χ2=∑课后答案网ii=3.171i=0npi22取α=0.05，χ(1111)−−=χ(9)=16.9190.950.95由于χ2<χ2(9)，所以接受www.hackshp.cnH。0.9507.17在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440，测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数012345679锭数（实测）263112381931103解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数ξ∼pK(;)λ。其中λ未知，求其极大似292λ=x==0.66，建立假设2然估计为H:ξ∼pK(;0.66)，由χ拟合优度检验。0440-36- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）列表2(ni−npi)/npii断头数Knipinpi102680.5169227.415.568211120.3411150.099.66832380.112649.532.68443190.024710.8976.02654-880.00472.06817.01652(np−n)χ2=∑ii=40.962i=0npi22取α=0.05，χ(511)−−=χ(3)=7.815，0.950.9522取α=0.01，χ(511)−−=χ(3)11.345=0.990.9522由于χ>χ(3)，所以拒绝H。即认为每只锭子纺纱条件不相同。0.99课后答案网0第八章www.hackshp.cn方差分析和回归分析8.1考察温度对某一化工产品得率的影响，选了五种不同的温度，在同一温度下做了三次实验，测得其得率如下，试分析温度对得率有无显著影响。-37- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）温度6065707580解把原9091968484始数据均得率9293968389减去90后8892938382可列出如下计算表和方差分析表，r表示因子水平数，t为重复实验次数。r=5,t=3,n=rt=15计算表温度6065707580016-6-6yij536-7-4-2课后答案网23-2-8y=−12∑iyiii0615-15-18www.hackshp.cn2⎛⎞⎜∑∑yij⎟∑∑y2=308,∑y2=810,⎝ij⎠=9.6ijiijin1S=×8109.6−=260.4A3S=3089.6−=298.4TS=S−S=38eTA方差分析表-38- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）来源平方和自由度均方和F比温度260.4465.117.1e38103.8总和298.417F0.99(4,10)=6由于F=17.1>6，所以在α=0.01上水平上认为温度对得率有显著影响。8.2下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量：操作工机器甲乙丙A1151517171916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A4182022151617171717试在显著性水平α=0.05下检验：（1）操作工之间有无显著性差异？（2）机器之间的差异是否显著？课后答案网（3）操作工与机器的交互作用是否显著？解用r表示机器的水平数，s表示操作工的水平数，t表示重复实验次数，列出计算表和方差分析表：www.hackshp.cnr=4,s=3,t=3,n=rst=36yij甲乙丙yi.A1475455156A2514563159A3485154153A4604851159y206198223627.j-39- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）2，2y=11065y=33071∑∑∑ijk∑∑ik.ijkij2(y)22∑∑∑ijky=98307，y=131369，=10920.25∑i..∑..jijn1S=×9830710920.25−=2.75A91S=×13136910920.25−=27.17B121S=×3307110920.252.7527.17−−−=73.50AB×3S=1106510920.25144.75−=TS=144.752.7527.1777.50−−−=41.33e方差分析表来源平方和自由度均方和F比机器A2.7530.92<1操作工B27.17213.597.90交互作用AB×73.50612.257.12e41.33241.72F(2,24)=3.400.95总和144.7535F(6,24)=2.51课后答案网0.95由于F=7.903.40,>F=7.12>2.51，所以在α=0.05水平上，操作工有显著差BAB×异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异。8.3通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是www.hackshp.cn怎样的？分别写出结构矩阵X，正规方程组的系数矩阵XX′，常数项矩阵XY′，并写出回归系数的最小二乘法估计公式。解通过原点的一元线性回归模型：⎧⎪y=βx+εα=1,2,⋯,Nααα⎨2⎪⎩各εα独立同分布，εα∼N(0,σ)⎛x1⎞⎛y1⎞⎜⎟⎜⎟xNyNX=⎜2⎟，XX′=xXY2,′=(,xx⋯x)⎜2⎟=xy⎜⎟∑α12N⎜⎟∑αα⋮α=1⋮α=1⎜⎟⎜⎟⎝xN⎠⎝yN⎠-40- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）β的最小二乘估计为NNˆ−1/2β=(XX′)XY′=∑xyαα∑xαα=1α=1通过原点的二元线性回归模型：⎧⎪y=βx+βx+εα=1,2,⋯,Nα1α12α2α⎨2⎪⎩各εα独立同分布，εα∼N(0,σ)⎛2⎞⎜∑xα1∑xxα1α2⎟′=⎜αα⎟XX,⎛x11x12⎞⎜2⎟⎜⎟⎜∑xxα1α2∑xα2⎟⎜x21x22⎟，⎝αα⎠X=⎜⋮⋮⎟⎛⎞⎜⎟⎜∑xyα1α⎟⎝xN1xN2⎠′=⎜α⎟XY⎜⎟⎜∑xyα2α⎟⎝α⎠ββ,的最小二乘估计为：12ˆ⎛βˆ1⎞−1β=⎜⎟=(XX′)XY′⎜βˆ⎟⎝2⎠8.4对不同的元麦堆测得如下数据：堆号课后答案网123456重量p2813270511103259021315181跨度l3.253.205.073.142.904.02www.hackshp.cn试求重量对跨度的回归方程，并求出根方差σ的估计值。解设所求回归方程为pˆ=βˆ+βˆl，由数据可以求出：012p=26523,pl=109230.58,p=176598625∑α∑αα∑αααα2∑lα=21.58,∑lα=80.9374,N=6αα由最小二乘法估计公式可知-41- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）1∑plαα−pα∑lαβˆ=αNα=4165.851221⎛⎞∑lα−⎜∑lα⎟αN⎝α⎠βˆ=1∑p−βˆ1∑l=−105620α1αNαNα故可得回归方程：pˆ=−105624165.85+l2σ的估计是σˆ2=1⎧⎨⎡⎢∑p2−1(∑p)2⎤⎥−βˆ⎡⎢∑pl−1(∑p)(∑l)⎤⎥⎫⎬αα1ααααN−2⎩⎣αNα⎦⎣αNαα⎦⎭=428538则σ的估计为6558.5设2y=β+βx+β(3x−2)+εi=1,2,3i01i2iix=−1,x=0,x=11232εεε,,相互独立同服从于N(0,σ)。123（1）写出矩阵X（2）求βββ,,的最小二乘估计012课后答案网（3）证明当β2=0时，ββ0,1的最小二乘估计不变⎛1−11⎞解（1）X=⎜10−2⎟www.hackshp.cn⎜⎟⎜⎝111⎟⎠⎛300⎞⎛y1+y2+y3⎞⎜⎟⎜⎟（2）XX′=120，XY′=−y+y，则，βββ,,的最小二乘估计是⎜⎟⎜13⎟012⎜006⎟⎜⎝y−2y+y⎟⎠⎝⎠123⎛1⎞(y+y+y)ˆ⎜3123⎟⎛β⎞0⎜⎟ˆ⎜ˆ⎟−1⎜1⎟β=⎜β⎟=(XX′)XY′=(−y+y)1⎜213⎟⎜⎟⎜βˆ⎟⎜⎟⎝2⎠⎜1⎟⎜(y−2y+y)⎟123⎝6⎠-42- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）（3）若β=0，此时模型成为：2y=β+βx+εi=1,2,3，则对应的i01ii⎛1−1⎞⎜⎟⎛30⎞⎛y1+y2+y3⎞X=⎜10⎟，XX′=⎜⎟，XY′=⎜⎟，ββ0,1的最小二乘估计是⎜⎟⎝02⎠⎝−y1+y3⎠⎝11⎠⎛1⎞ˆ(y+y+y)⎛β⎞⎜123⎟ˆ0−13β=⎜⎟=(XX′)XY′=⎜⎟⎜⎝βˆ⎟⎠⎜1⎟1⎜(−y+y)⎟13⎝2⎠8.6若y与x有下述关系：2py=β+βx+βx+⋯+βx+ε012p其中2，能否求出ββ,,⋯,β的最ε∼N(0,σ)从中获得了n组独立观测值(xy,)αα01p小二乘估计，试写出最小二乘估计的公式，能否检验假设H:β=00i试写出检验的拒绝域。ni1i解若记Xαi=xXα,i=∑xαα=1,⋯,;ni=1,⋯,pnα课后答案网=1nlij=∑(Xαi−Xi)(Xαj−Xj),ij=1,⋯,pα=1nwww.hackshp.cnli0=∑(Xαi−Xi)(yα−yi)=1,⋯,pα=1则β,⋯,β的最小二乘估计为下述方程组的解：1p⎧lβˆ+lβˆ+⋯+lβˆ=l1111221pp10⎪⎪⎪lβˆ+lβˆ+⋯+lβˆ=l2112222pp20⎨（*）⎪⋯⋯⎪⎪lβˆ+lβˆ+⋯+lβˆ=l⎩p11p22pppp0β的最小二乘估计为：0βˆ=y−βˆX−⋯−βˆX011pp-43- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）−1ij若把方程组（*）的系数矩阵记为L，则L=()l，又记L=()l，则在显著性水ij平α上检验H:β=0的拒绝域是：0iβˆ2F=i>F(1,n−p−1)iij21−αlσˆ其中，σˆ2=1{∑(y−y)2−βˆl−⋯−βˆl}α110pp0n−p−1α8.7某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：尿贡含量x246810肖光系数y64138205285360已知它们之间有下述关系式：y=β+βx+εi=1,2,3,4,5i01ii2各ε相互独立，均服从N(0,σ)分布，试求ββ,的最小二乘估计，并给出检验i01假设H:β=001的拒绝域。解由数据可以求得，n=5课后答案网∑xα=30，x=6α∑yα=1052,y=210.4αwww.hackshp.cn22x=220,xy=7790,y=275990∑α∑αα∑ααααl=40,l=1478,l=54649.2xxxyyy则，最小二乘估计为：βˆ=−11.3,βˆ=36.9501检验假设H0:β1=0可用统计量βˆl1xyF==4416>F(1,3)=34.1,α=0.01(ˆ)/(2)1−αl−βln−yy1xy-44- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）因此，拒绝原假设。8.8研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况，得到18组数据如下，其中，x——土壤内所含无机磷浓度1x——土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度2x——土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷浓度3。y——载在20C土壤内的玉米中可给态磷的浓度已知y与xxx,,之间有下述关系：123y=β+βx+βx+βx+εi=1,2,⋯,18i01i12i23i3i2各ε相互独立，均服从N(0,σ)分布，试求出回归方程，并对方程及各因子的显i著性进行检验。土壤样本x1x2x3y10.4531586420.4231636033.119377140.634157615课后答案网4.724595461.7651237779.4444681810.13111793911.6www.hackshp.cn29173931012.658112511110.937111761223.146114961323.150134771421.64473931523.15616895161.936143541726.8282021681829.95112499-45- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）由上述数据可以求得下面的结果：p=3,n=18x=11.94,x=42.11,x=123,y=81.28123⎛l11l12l13⎞⎛1752.96441085.61111200.0000⎞⎜⎟⎜⎟L=lll=1085.61113155.77783364.0000⎜212223⎟⎜⎟⎜⎝lll⎟⎠⎜⎝1200.00003364.000035572.0000⎟⎠313233⎛l10⎞⎛3231.4778⎞⎜⎟⎜⎟l=l=2216.4445⎜20⎟⎜⎟⎜l⎟⎜7953.0000⎟⎝30⎠⎝⎠111213⎛lll⎞⎛0.000725−0.000248−0.000001⎞−1⎜212223⎟⎜⎟L=⎜lll⎟=−0.0002480.000437−0.000033⎜⎟⎜l31l32l33⎟⎜⎝−0.000001−0.0000330.000031⎟⎠⎝⎠⎛βˆ⎞1.7847801⎛⎞⎜⎟βˆ=⎜βˆ⎟=Ll−1=−⎜0.083397⎟2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜βˆ⎟⎝0.161133⎠⎝3⎠βˆ=y−βˆx−βˆx−βˆx=43.6521980112233所求得的回归方程为yˆ=43.651.78+课后答案网x−0.08x+0.16x123记2S=(y−y)=12389.6111T∑ααwww.hackshp.cn3S=βˆl=6806.1115R∑jj0j=1S=S−S=5583.4997eTR对方乘作检验的F统计量为：S/pF=R=5.6885>F(3,14)=3.3410.05−S/(n−p−1)e故在α=0.05的水平上方程是显著的。对各因子作F检验的统计量分别为-46- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）βˆ2F=1=11.02>F(1,14)=4.601110.95lS/(n−p−1)eβˆ2F=2=0.0399F(2,10)=4.1010.05−S/(n−p−1)e故在α=0.05的水平上方程是显著的。2对x及x项作检验：βˆ2F=1=28.7483>F(1,10)=4.961110.95lS/(n−p−1)eβˆ2F=2=28.1261>F(1,10)=4.962220.95lS/(n−−p1)e-48- 课后答案网（hhttp://www.khdaw.comttp://www.khdaw.com）故方程中两项均为显著。课后答案网www.hackshp.cn-49-'