材料加工过程辅助优化设计.doc 85页

'材料加工过程辅助优化设计第一章优化设计概论优化设计是近年来发展起来的一门新的科氏也是一项新的技术，它在工程设计的各个领域得到了广泛的应用。为什么人们如此重视这项新技术呢?因为“最优化”是每一个工程式产品设计者所追求的目标。任何一项工程或一个产品的设计，部需要根据设计要求，合理选择方案，确定各种参数，以期达到最佳的设计目标，如重量轻、材料省、成本低、性能好、承载能力高等等。优化设计正是根据这样的客观需求而产生并发展起来的。优化设计的理论基础是数学规划，采用的工具是电子计算机。主要表现在两个方面：(1)优化设计能使各种设计参数自动向更优的方向进行调整，宜至找到一个尽可能完善的或最合适的设计方案。常规设计虽然也希望找到最佳的设计方免但都是凭惜设计人员的试验来进行的。它既不能保证没计参数一定能够向更优的方向调整，同时也不可能保证一定能找到最合适的设计方案。’(2)优化设计的手段是采用电子计算机，在很短的时间内就可以分析一个设计方案，并判断方案的优劣和是否可行，因此可以从大量的方案中选出更优的设计方案，这是常规设计所不能相比的。现着重论述以下三个问题：(1)如何把工程实际问题转化成便于用数学方法求解的优化数学模型。通过数学模型的建立，就可以从本质上更深刻地理解什么是优化设计。u(2)优化过程是如何进行的怎样保证设计参数能自动向更优的方向调整。通过优化过程的剖析，就可了解优化过程包括田些主要内容。(3)优化设计还存在四些局限性?今后应从什么方向去研究解决。第一节工程中的优化设计问题例1：汽车驾驶空利雨授置汪任汗征战凋四个角落不易擦到，刮雨范围较小的缺点，因此视线达不到最优。通过来用四连仔传动装置如图1—1所而可以使刮雨范围变成不是圆弧形，从而能克服上述缺点。优化的目标是，合理确定四连杆的几何尺寸，使刮雨范围尽可能大。 例2：图1—3表示一个承强系统的重量最优化问题。例3图1—4中所示例子，是一个冲压件下料布置的最优化问题。冲压件是三块不同大小的矩形板。现征所提出的问题是，在下料时应如何布置这三块不同大小的矩形板，使它们的包络线在板材上所围成的面积最小。我们可以把矩形仲压件形心的坐标作为设计参数，限制条件足冲压件在扳材上不能重叠。这个例子的主要特点之一是设计参数和优化目标、限制条件之间的关系很难建立。例4：是一个两级齿轮减速箱酌优化设计问题。齿轮箱的优化设计问题具有较多的设计参数(这里有7个)和限制条件(通常多于20个)。 例5：是一个货架底板的截面形状优化设计问题。本例的特点是设计参数彼此无关，目标的改善常常是多个角度同时以适当的量变化时才能达到。从上述例子我们可清楚地看到，优化设计问题都具有一个明确的优化目标。最优目标的实现，可通过改变设计参数来达到。存在两个问题。1)首先必须确定设计方案的结构型式。2)在一定的结构型式下，建立设计参数与优化目标和约束条件之间的关系。第一个问题实际上是结构型式的优选问题(也称非数值优化问题)。第二个问题实际上是在确定的结构型式下的参数优化问题。第一节优化设计的数学模型 一、引例目标函数--管柱的质量表达式为：约束函数：(1)压杆的稳定性条件：(2)局部稳定性条件：(3)强度条件：(4)工艺条件： 显然，我们所需要找助最优点一定是j点。管柱的昆优方案为：这时管柱的质量w＝1.814kg为最小。一、优化设计的数学模型1．设计变量与设计空间任何一个机械设计方案一般都是由若干个设计参数所决定的。这些设计参数可以是构件的截面尺寸、零件的直径和长度、齿轮的模数、机构的工作速度等，也可以是弹性模量，许用应力等与材料有关的参数。在这些设计参效中，一部分是按具体要求事先给定的，它们在优化没计过程中始终保持不变，故称为预定参数。先选定材料，因而弹性模量和许用应力就是预定参数。另一部分参数在优化设计过程中是可以变化的，如构件截面尺寸大小等，这类设计参数就称为设计变量。以设计变量为坐标轴所构成的空间称设计空间。一般情况下，设计变量的个数就是设计空间的维数。2．约束条件及可行区与非可行区在机械设计中，设计变量总要受到某些条件的限制，如强度、刚度条件等，这些条件称为约束条件。约束条件一般都可用不等式或等式表示，其一般形式为， 不等号或等号左边表示根据约束条件建立起来的设计变量x的函数式，又称为约束函数。可行区就是所有满足约束条件设计点的集合R，即：1．目标函数优化的目标在数学上一般部可写成设计变量的函数关系式。这个函数就称为目标函数：2．优化设计的数学模型优化设计的任务就是要在可行区城内找到一个点，便目标函数值最小．因此优比设计可作如下数学描述：一、建立优化设计数学模型的几个实例例1：圆柱形螺旋压力弹簧的优化设计试设计一受静载荷的圆柱螺旋压缩弹簧。已知当弹簧受荷，P1＝178N时，其长度H1＝89mm；当P2＝1160N时，H2＝54mm。该弹簧套有心棒，弹簧材科为普通碳素弹簧钢丝。目标函数：约束条件为：1、强度条件： 最终为：2、刚度条件最终为：3、工艺条件4、几何约束条件：在这里应保证设计变量为非负，即：采用几何规划法解得：例2：箱形截面梁的优化设计箱形梁的计算简图如图1—10所示。设计变量为梁高x1，梁宽x2，腹板厚度x3和翼缘板厚度x4。写成向量形式； 目标函数：约束函数：1、强度条件：2、刚度条件：3、翼缘板局部稳定性条件：4、腹板局部稳定性条件：5、几何约束条件：用可行方向法求得上述优化设计数学模型的最优解如表1—36所用数据为：四、优化设计数学模型的评价模型的特性分析和评价，主要考虑以下几方面；1．模型的可解性；2．线性与非线性程度；3．目标函数的维致；4．连续性；5．凸性。第一节优化过程概述一、优化过程示例图1—12表示一个二级齿轮减速箱的优化过程 图1—13表示一个承载结构的优化过程 任何一个优化过程均可视为由综合与分析、评价以及改变参数三部分组成。综合与分析部分的主要功能是建立产品设计参数与产品性能、设计要求之间的关系，这实际上就是优化设计数学模型。评价部分就是对产品的性能和设计要求进行评价，这实际上也就是评价目标函数值是否得到改善或达到最优，约束条件是否全部得到满足。改变参数部分就是选择优化方法并根据该方法改变设计参数。二、优化过程的几何描述从数值计算角度而言，优化过程是一个迭代过程。以第二节中管柱优化设计为例，优化过程如图1—14所示。 一般要满足两条原则，一是参数改变后目标函效应有所下降，二是参数改变后仍满足全部约束条件，即所形成的新点仍在可行区内。第一节优化设计存在的问题和某些发展趋势1)优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：2)目前优化设计多数还局限在解决参数最优化这一类数值量优化问题；3)优化设计这门新技术在传统产业中普及率还比较低。4)从理论上讲，优化设计希望能找到全局最优方案，至少也是一个局部最优的方案。由于工程实际问题的复杂性，目标函数和约束函数的性态均比较复杂，要实现上述目标不是花费大量的时间，就是无法达到。因此在实用上人们已经把优化的目标扩大，并根据不同的优化设计问由，考虑不同的优化目标。如果优化数学模型比较简单或者虽然较复杂函数性态较好，这时我们可以去追求局部最优乃至全局最优这样的目标。第二节小节 第二章极值理论简介在讨论各种最优化方法之前，我们先对古典极值理论作一简单回顾。第一节一元函数的极值问题如果函数f(x)在区间(a，b)内处处有一阶导数,x为其极值点；则必须：这就是极值存在的必要条件。这个条件为寻求函数的极值点提供了依据。 综上所述．判断极值点的条件是：设函数f(x)在点x0具有二阶导数f’’(xo)。(1)若f’(xo)=0,f’’(xo)<0，则f(x0)为函数的极大值；(2)若f’(xo)=0,f’’(xo)>0，则f(x0)为函数的极小值。第一节二元函数的极值二元函数极值点的必要条件：必要条件成立并满足：则：第二节一般n元函数的极值 多元函数的性质．能从二元函数得到很好的反映。二元函数极值问题所得结论很容易推广于一般的多元函数。一、数的上升方向和下降方向过x0点引入向量s，函数f(x)即f(x1，x2)沿s方向的变化率就是f(x)在x0点沿s方向的方向导数，其值为：如果是n元函数，则其方向导数为:用向量表示：式中：若s不是单位向量，则函数f(x)在x0点沿sk方向的变化率可写成：利用柯西不等式证明：梯度方向F(Xo)为f(x)在xo处的最速上升方向．而--F(Xo)为f(x)在xo处的最速下降方向。当然，这里所说的最速上升或最速下降是对xo点附近而言的。二、极值点的充分条件若x*为f(x)的一个极小点，则函数在x*沿任何方向s均不减小，因此对任何方向的s恒有：存在极值点的必要条件。 如何判断驻点是否极小点呢?根据泰勒展开式可知，函数f(x)在x*附近可用矩阵近似表达成(略去高阶微量．取到二次项)：所以在x*附近有：f(x)>f(x*),故x*为f(x)的一个极小点。综上所述，函数f(x)在定义域上x*点存在极小点的充分条件是：　　　　　　　　　　　　　　　A为正定 第四节函数的凸性1、集合具有某种性质事物的全体称为集合。事物就是集合成分，称为集合的元素。2、凸集若任意两个点Xl和X2位于某集合之中，且连接这两点的线段上所有点也在这个点集中，则这个点集便是凸集，如图2—7所示。3凸函数若函数f(x)的海赛矩阵处处为半正定，则函数为凸函数。苦处处为正定．则为严格的凸函数。由于优化设计是在可行区内求目标函数的极小点，所以要判断极小点(局部最优)是否是最小点(全局最优)，就必须先看一看目标函数是否是凸函数，然后再判断可行区是否是凸集。若目标函数是凸函数，可行区又是凸集，则找到的极小点必为最小点。这时所找到的最优点不仅是局部最优，而且必须是全局最优。这类优化设计问题，我们称为凸规划问题。由于可行区是由约束函数在设计空间中构成，所以它的凸性与约束函数的凸性有密切关系。下面我们来研究图2—11中的两种情况。从图中可以得出以下结论： 1、若约束函数gi(x)(i=l，2，…，m)为凸函数，则约束条件：所构成的可行区为凸集。2、若约束函数gi(x)(i=l，2，…，m)为凹函数，则约束条件：所构成的可行区为凸集。 第二章无约束最优化方法第一节概述当建立了数学模型以后，我们可以根据这些数学模型有无约束条件将最优化问题分解成无约束最优化问题和有约束最优化问题两大类。虽然，工程实际中的最优化设计问题绝大多数都是有约束的，但是，无约束最优化问题是有约束最优化方法的基础。许多有约束的最优化问题都可以通过一定的方法转化成无约束最优化问题，而且当有约束问题的最优点不在可行区的边界上，而是在可行区的内部时，也可以直接用无约束的方法来求解。另外，通过对无约束员优化方法的研究，可以为研究有约束问题提供良好的概念基础。所以无约束最优化问题在整个优化设计问题的研究中仍占有很重要的地位。无约束员优化方法是基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要是用来求解非线性规划问题。关键要解决三个问题：一是如何确定步长ak；二是如何选定迭代方向sk；三是如何判断是否找到了最优点；迭代应终止。这三点就是我们这一章所要解决的问题，而前两个问题，是我们这一章的重点。迭代方法有多种，它们之间的区别，就在于确定ak和sk的方式不同，持别是sk的确定，在各种方法中起着关键性的作用。下面首先来解决迭代终止问题。第二节迭代终止准则当新得到一个迭代点Xk+1，后，我们就要检验这个点是否为最优点或者最优点的近似点。检验的方法可因目标函数的性质及迭代方法的不同而不同。由图3—1可以看到，当迭代过程已接近最优点x*时，相邻两次迭代所得到的点Xk 和Xk+1，已经十分接近，而且它们所对应的目标函数值f（Xk）和f（Xk+1）也很接近。根据这一特点，目前常用的迭代终止准则即停机准则有以下几种形式：1)当相邻两次迭代点Xk和Xk+1，之间的距离已达到充分小时，则可认为Xk+1，是极小值点，此时可以终止迭代。用空间向量的欧氏长度来表示，即为：n维空间中两点Xk和Xk+1之间的距离。2）当相邻两迭代点的目标函数值已充分接近时。即目标函数的下降量已达到足够小时则认为Xk+1为极小值点，可以终止迭代。有数学式表示，即为：3)当迭代点的目标函数的梯度值达到充分小时，即满足下式时，可以终止迭代过程。只要满足以上三点中之一，就可以认为目标函数值／(JL引)已收敛于其极小值。也可以联合应用以上几式，进行综合判断。当然，判断迭代点是否为函数的极值点或近似极值点的方法还有很多。上面各式中的ε是代表计算精度要求的一个足够小的正数。它的大小应根据不同的优化方法和工程问题的实际要求适当地给出。ε值过大则达不到设计要求，过小又会给计算带来许多不必要的麻烦。另外必须注意全局最优和局部最优的问题。第三节常用的一维搜索方法一维搜索方法只牵涉到搜索步长的问题。基本迭代公式： 数学描述：首先确定搜索区间。一、搜索区间的确定搜索区间首先应满足如下条件：进退法确定搜索区间：1、计算函数值若：则计算：若：则搜索区间为：否则，将步长再加倍，重复前述步骤，最终可以找到搜索区间的上限即右端点b，其下限即左端点始终为a=a0。该方法为前进计算法，反之为后退计算法，两者结合为进退法。导数法确定搜索区间：取一点a0及步长Δa，计算f’（a0），若：再取一点a1=a0+Δa，计算f’（a1），若： 则确定搜索区间为：[a=a0，b=a1]。若：则将步长加倍，并计算f’（a1+2Δa），如此继续下去，总可以找到搜索区间的上限即右端点b。进退法计算程序框图：有两点值得注意，其一是我们事先已假设目标函数在所考虑的区间是单峰的，如果目标函数是多峰的，则应一个峰一个峰地去寻查，寻查区间当然也就有多个，应该一个一个地确定。其二是对于韧始步长的选取Δa，不宜太大，特别是对于多蜂函数更应注意。但也不宜太小，否则，费时太多。二、0.618法0．618法又称为黄金分割法。假设我们通过进退法已经求得搜索区间为[a0，b0]（为区别缩小后的区间，这里用a0和b。表示缩小前的区间的上、下限)，按0．618的缩短率，逐次缩小搜索区间，每次缩短后的区间长度均为前次区间长度的0618倍。具体步骤是这样的：在区间[a0，b0]内取两个黄金分割点，如图3—6所示： 若则保留a1点，可推出：因而，a1又是新区间[a，b]内的一个黄金分割点，相当于前面的a2。因此我们在进行第二次缩短区间时，只用计算一个新的黄金分割点及其函数值即可。这样就简化了计算。反之若：保留a2：如此反复进行下去，直到搜索区间缩小到足够小，满足不等式：其中ε为一个事先给定的足够小的正数。 程序框图如下：三、分数法在0.618法中，按索区间每次都是以一个固定的缩短率0.618进行缩短的。而分数法则是每一次缩短均取不等的比例数，同样每次缩短后也可以保留上一次的一个点，而只需计算一个新的点。同时，分数法还具有两个优点：一是在同样的选代次数下，分数法所求得的最佳步长6Z的精度是各种同类方法中员高的；另一个优点则是在已知迭代精度时，可以预先计算出迭代的次数。分数法每次缩短的比例数是一个变化的量，这里要用到裴波那契数列： 与0.618法一样，若：则ak*应在区间[a，a2]内，那么去掉[a2，b]一段，a1点作为新区间进行下一轮缩短时的一个点。若：则应在区间[a1，b]内，那么去掉[a，a1]一段，a2点作为新区间进行下一轮缩短时的一个点。所以，不管f(a1)与f（a2）比较后的结果如何，我们在缩小区间后进行下一轮迭代时，都可以保留前—轮的一个点，只再计算一个新的点及其函数值就可以了。现在我们再来看一看，最后一次缩短区间后ak*应该等于什么?通过一系列转换推导可以得出：得出最后区间的长度为：因为 所以：由此可求出n的大小和相应的裴波那契数Fn的对应关系可以根据表3—1所列的数据查得。裴波那契数列可表示为：不难证明：因此当n=7时，并且令的取值精确到三位小数时，Fn-1/Fn都等于0．618，可见0．618法是分数法的一个极限情况。第四节梯度法(最速下降法)一、基本思想梯度法又称最速下降法，它是解析法的一种。在第二章里，我们已经讲过，函数在某一点的梯度方向即是函数值在此点的上升最快的方向。这也就是说，沿这一点的负梯度方向函数值下降最快。因此我们自然想到利用函数的负梯度方向作为搜索方向Sk。设目标函数f（x）在已知点Xk的梯度为：则我们在设计空间中过Xk点选择的搜索方向为：最后提出： 问题转化为求ak值得到：采用一维搜索求ak。程序框图如下：一、举例例1：用梯度法求f（x）＝X21+25X22的极小点。(1)任选初始点x0＝(2，2)T(2)计算梯度 （3）求a0*使最小。a0*=0.0200372求得X1：（4）再从X1出发重复上述步骤。经过若干次迭代即可求出极小点和极小值。三、梯度法的讨论 梯度法算法简单，只用到目标函数的一阶导数．而且每次迭代计算工作量小，要求计算机的存贮量也较少。由于每次迭代都是沿函数值的最速下降方向，因而不管起始点x0取在何处，都能较快地接近极小值点，尤其是在开始的几次选代时，函数值下降幅度很大。可是在接近极小点时，目标函数值却下降很很慢，收敛也越来越慢。改善梯度法的几项措施：1、选好初始点；2、进行变量转换；3、改变迭代步长；4、采用平行切线法。综上所述，在工程设计中，单独用梯度法来求解无约束最优化问题是很少的。但是由于梯度法具有迭代过程简单，计算工作量小，且韧始点可任选，收敛可靠等优点，所以常将梯度法和其他方法结合使用，在开始阶段用梯度法求得一个较优的初始点，然后用其他收敛速度较快的方法来求得所需的极小点。第五节牛顿法 牛顿法也是解析法的一种，是最古老的求极值的方法之一。它的基本思想来源于用牛顿法求解方程的根。设有—个一元函数φ(x)，要求φ(x)=0的根。所得点的迭代公式为：若求目标函数f（x）的极小值，可视为求方程f‘(x)＝o的根。设f(x)存在连续的一阶、二阶导数，则牛顿法求极值的迭代公式为：经过若干次迭代满足：则x*就是函数f（x）的极小点。上述思想很容易推广到求多元函数极值问题中。得迭代公式：二、举例 求f（x）＝X21+25X22的极小点。所以X1即为所求的极小点。三、牛顿法讨论牛顿法的最大优点是收敛速度快。也就是说．它的迭代次数相对其他方法来说，要少得多。特别是对于一些性态较好的目标函数，例如二次函数，只需保证求梯度和海赛矩阵时的精度．不管初始点在何处，均可一步就找出最优点。可是牛顿法也有很大的缺点。首先，在每次迭代确定牛顿方向时，都要计算目标函数的一阶导数和二阶偏导数矩阵及其逆矩阵。这就使计算较为复杂，增加了每次选代的计算工作量。当目标函数维数较多时，计算量和存贮量都是以n2比例增加的。特别是在不易求导，用数值微分宋代替求导时，计算误差会影响牛顿法的收敛速度。第二，从函数极值点的充分条件来看．为了保证牛顿方向Sk是目标函数的下降方向，必须满足：要求：首先，H(xk)必须是可逆矩阵，即非奇异矩阵；其次，H(xk)必须是正定。第三，对于非二次函数，我们应用泰勒级数展开．将函数简化为—一个近似的二次函数。而在实际上，只有在函数极值点的很小的领域里，函数才能很接近于—个二次函数。在此范围外用二次函数近似代替目标因数，误差是比较大的，也不能保证迭代—次就到达最优点。更何况应用牛顿选代公式时，步长是恒等于1的，这并不是最优步长，也不能保证f（xk+1）0，则说明x(k)不是最优解，必须进行顶点的转移，也就是求新的基本可行解。用前面介绍过的方法，我们可以找到新的基本可行解：且对所有i有a(k)iQ<0，则无最优解。二、单纯形方法的计爵步骤及框图1、将约束条件变换成等式，形成m阶n维的线性规划问题，求得起始基本可行解。2、对系数阵的每一列计算检验数： 对于初始基本可行解k=0。若每一列的检验数全部大于等于零．则x(k)即为最优解，迭代结束。若某个检验数小于零且全部元素a(k)iQ<0，则此问题无最优解。3、若某个检验数小于零且对于某些I有a(k)iQ>0，则选定Q列所对应的变量xQ作为替换的非基本变量，求新的基本可行解。4、再计算每一列的检验数，再判断，如此迭代直至找到最优解。 第三节人造基变量如果某线性规划的约束条件为如下形式：加入松弛变量后变为：可见不能立即得到一个起始基本可行解。为了解决这个问题，我们可设法人工构造一个基本可行解(称人造基)作为已知的初始基本可行解。怎样来构成人造基呢?若有n维m阶的线性规划问题：现转而求另一个线性规划问题：从而可找到起始基本可行解：转换后的线性规划问题的最优解： 如果人造基变量始终不能从基底中替换出来，则说明原问题无最优解。第五章非线性规划如果目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数，那么这类优化设计问题就称为非线性规划问题。第一节SUMT方法(罚函数方法)一、SUMT方法的原理SUMT方法即序列无约束极小化方法，亦称罚函数法。它的基本思想是将原来的目标函数相约束函数按一定的方式构成一个新的函数。在这个新函数中，既包含目标函数，又包台全部约束条件及其一个可以变化的乘子。当这个乘子按一定的方式改变时，就得到了一个新函数序列。显然，求每一个新函数的最优解都是一个无约束优化问题。这样我们就把一个有约束的优化问题转化为一系列的无约束优化问题。求解无约束优化问题的最优解可用第三章所介绍方法进行。所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。 通过上面引例的分析，可以得到这样一个启示，约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求解其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。即有约束的优化设计问题可以转化成一系列无约束极小化问题进行求解。在这里，关键是如何构造这个新的目标函数。对于上述内点法所构造的新目标函数，它具有如下重要特征：当在可行区内某一点离开约束边界较远时，其对应的函数值是不很大的，而一旦某一点临近约束边界，其对应的函数值就会陡然增大o这样就可以保证在进行无约束极小化时使每次找到的新点始终在可行区内，而不会进入非可行区。因此这种函数就好像有个“围墙”一样，阻止最优搜索进入非可行区．故有围墙函数之称，所引入的乘子rk常称为障碍因子。根据这一特点，内点法每次用无约束最优化方法求极小点时，其初始点必须是可行区的内点，而每次选定一个rk所找到的极小点也必然是内点，即内点法始终是在可行区的内部进行最优搜索。所以新目标函数是围墙函数的SUMT方法，又称为别SUMT内点法。现在我们采用另一种方法对引例构造新目标函数：由于是从非可行区通过求一系列的无约束极小点逐步逼近F(X)的最优点，故称此法为SUMT外点法。外点法的函数是一个惩罚函数，当不满足约束条件时，其中的惩罚项将起作用。这就是用外点法构造的新目标函数的重要特点。综上所述，SUMT方法的基本原理可小结如下： 一、内点法例题及框图1、构造围墙函数：2、rk＝r＝1，用无约束最优化方法求围墙函数由φ(X，rk)的极小点Xk*。3、取rk+1=a*rk,a＝0.1求得φ(X，rk+1)的极小点Xk+1。4、则Xk+1就是原问题的最优点迭代停止，否则，转步骤(3)，直到满足控制精度要求为止。 三、外点法例题及框图例：二杆衍架的优化设计目标函数：约束函数： 惩罚函数： 四、SUMT方法的讨论(1)关于函数φ(X)的构成围墙函数和罚函数的构成可以是多种形式，但不管是什么形式，都必须满足具有围墙函数和罚函数的特征这一条件。(2)围墙函数中障碍因子rk的起始值r0。选择是否得当．将显著影响到SUMT内点法的收敛速度。(3)在外点法中，初始惩罚因子R。和递增系数β选得是否恰当，对计算效率和有效性同样有显著影响。(4)内点法与外点法的比较内点法中用无约束优化方法求解围墙函数极小点时，初始点必须在可行区内。每次求得的极小点都是一个可行的设计方案，所以即使由于某种原因不易求得约束最优点，也至少可以找到一个比较好的可行点，这对工程优化设计来说是具有现实意义的。外点法的初始点可以任意选择，而且能够处理等式约束，但它每次找到的极小点往往是不可行的，即使是最后按迭代收敛准则所得到的最优点也经常是一个不可行点。因此，对于外点法所获得的最优点必须进行可行性检查．必要时进行人工调整，以使其为可行点。第二节随机方向搜索法一、基本原理 随机方向搜索法的迭代计算公式为：1.随机搜索方向的产生随机搜索方向的产生一般由下列步骤完成：1、利用计算机产生伪随机数的功能在[-1，1]区间内得到均匀分布的随机数，从而得到相应的随机单位向量。2、个随机单位向量计算m个随机试验点x(j)：1、在m个随机试验点中选出目标函数值最小的点x(L)，即：2、确定搜索方向2.搜索步长的确定 确定搜索步长。的方法通常有两种：一种是定步长，即按规定步长进行搜索。只要所得新点在可行域内，并且其目标函数是下降的，就按该步长继续搜索，直到新点不满足上述条件时才减小步长进行搜索。另一种方法是随机变更步长，它是在搜索方向S上，根据目标函数值的下降状况和约束可行性条件，随机调整步长大小进行搜索。这样做可以充分利用S方向，减少计算工作量。3.起始点的选择随机方向搜索法的初始点x0必须是一个可行点。在选择起始点时既可以凭经验人为地确定、也可以利用计算机产生的伪随机效进行随机选择。随机选择的具体步骤如下：一、算法和程序框图随机方向法的算法如下：1、选择起始点x(0)．并检验其可行性。2、产生m个随机单位向量e(j)(j=1，2，…m)，选择试验步长因子H0，由式(5—13)得到m个随机点x(j)，并从中挑出最好的点X(l)，构造搜索方向S(0)＝X(L)—X(O)。若选择S(0)失败则把试验步长因子H0缩短到0.7H0，再重新确定。3、由初始点x(0)出发，沿S(0方向搜索。步长因子H选为1.3H，若得到的新点是比x(0)更好的可行点，则继续扩大步长，即H＝1.3H进行搜索，否则以缩小步长H=0.7H进行搜索。如此反复，直到得到目标函数值不再下降而又是可行的新点x，再将又作为下一次搜索的初始点x(0)，重复(2)，(3)步骤。1、收敛准则：三、随机方向搜索法的讨论随机方向搜索法的搜索过程仅仅需要提供目标函数值和约束函数值的信息。因此它对函数的性态无特殊要求，使得程序结构简单，适应面大。另外，由于搜索方向是从许多方向中所选的使目标函数值下降最快的最好的方向，因此它住往是比最速下降方向更好的方向(这一点可从图5—9中明显看出)。再加上在搜索道程中随机变更步长因子，从而使得该法的收敛速度较快。随机方向搜索法的缺点是所得到的最扰解往往是局部最优解。因此对于多峰函数，常需要多选择几个不同的初始点进行搜索．最后再从它们的结果中选出最优设计方案。第三节复合形法一、复合形法的基本思路和步骤1、基本思路 复合形法的基本思路是在M维设计空间内构造由＆个可行点作为顶点的超多面体，该超多面体称为复合形。显然，复合形的每个顶点都代表一个设计方案。比较各个顶点所相应的目标函数值，判断目标函数值的下降方向，不断地丢掉目标函数值为最大的最差点，代之以既使目标函数值有所改善又能满足约束条件的新点，从而不断地构成新的复合形。如此重复计算，使新的复合形不断地向员优点移动和收缩，直到复合形本身小到一个预定的精度时，即可停止迭代，取得最优解。2．迭代步骤(1)确定复合形顶点。(2)计算各顶点的目标函数值，找出最差点，最好点和复合形中心。(3)求映像点。(4)检查映像点的可行性。(5)比较映像点和最差点的目标函数值。(6)检查停机准则。一、复合形法的例题例3：用复合形法求极小化第一轮搜索：(1)确定初始复合形顶点。(1)计算顶点的目标函数值，找出最差点和次差点，并计算中心点及其目标函数值，检查停机准则。(2)寻找映象点。 (1)检查x(a)的可行性：可行。(2)比较映像点与最差点的目标函数值。用x(a)代替x(h)和其余3个顶点一起构成新的复合形，从而进入新一轮搜索，程序将转向步骤(2)继续进行。三、复合刑法讨论(I)复合形法仅仅依赖复合形顶点的目标函数值和约束函数值所提供的信息来判断寻优方向和收敛淮则，不必计算目标函数的一、二阶导数和进行一维最优化搜索，因此该法对目标函数和约束函数的性态无特别的要求，程序也较简单。但也正因为它所依赖的信息较少，而使其搜索的效率降低，并且不易收敛于最优点。特别是当设计变量相约束条件较多时，其搜索效率下降将更为显著。(2)起始复合形的顶点应全部在可行区内，人为地选定这些顶点在复杂的问题中是较为困难的。因此也注注采用上述随机方向搜索按中所介绍的伪随机数由计算机自动确定。第四节可行方向法可行方向法也属于一种直接搜索方法，但是其搜索方向的获取利用了目标函数和约束函数的梯度信息。用目标函数的梯度可以得到目标函数值的下降方向，而利用约束函数的梯度则可以得到可行的搜索方向．因此，可行方向法的搜索方向实质上是既使目标函数值下降，同时又可行的方向，即可行下降方向。满足这一条件的方法就称为可行方向法。一、可行方向法的基本原理 由于多数非线性规划的最优点都处在可行区的约束边界上或者几个约束边界的交点上，因此最优搜索如能沿着约束边界附近进行，就有可能加速最优化搜索的进程。按照这一基本思路，在任意选定一起始点后到最后得到最优点必须解决三个问题：一是如何尽快使最优搜索从起姑点到达约束边界，二是到达边界后怎样判断所找到的边界点是否是最优点；三是如果边界点经判断不是最优点，那么下一步应如何沿边界进行最优搜索。1.如何从韧始点尽快到达边界 搜索过程中可以确定为以下两条原则：一是搜索方向由迭代点处于可行区还是非可行区而取负梯度方向或是梯度方向；二是搜索步长在第一次越过约束边界前步长是逐次增加的，而此后不管迭代点是可行点还是非可行点都是逐次减小的。这两条原则对于初始点为非可行点时也同样适用。这种搜索方法的框图如图5—14所示。2．如何判断边界点是否是最优点K—T条件：K7—T条件实际应用时往往采用以下更方便的形式：以此为基础推出：3．如何确定下一步的最优搜索方向和步长当约束界面成上的设计点经判断不符合K7—T条件而为非最优点时，就必须继续进行最优搜索，确定最优搜索方向。把补偿向量D的方向作为最优搜索方向。D的方向总是指向最优点而不会背离最优点，所以沿这个方向进行搜索有可能向最优点逼近。然而，由于沿D方向前进有可能进入非可行区，因此沿D方向走一步后，就应该沿▽F方向再回到约束边界面上，得到新的界面点，再判断其是否为最优点，如此反复，直到逼近最优点正满足预定精度要求为止。步长的确定：先任意给定S(为了不至于使计算机溢出，建议不要超过20)．找到XK+2后．若有： S减半，重找XK+2直到确定了步长，搜索。如果经过若干次最优搜索，发现目标函数虽然能够逐步减小，但下降速度很慢，那么可以自动加大步长S．使收敛速度加快。按上述方法反复迭代，就可以自动找到一系列合适的步长，使最优搜索如图5—16b)那样一步一步逼近最优点，并在给定的精度范围内收敛于最优点x。可行方向法的框图如图5—18所示。三、可行方向法的讨论(1)从上面分析可看出，可行方向法的使用条件是最优点必须在可行区的约束界面上。它既可以在一个约束的界面上，也可以在几个约束界面的交点上。如果最优点不在约束界面上，而在可行区的内部，那么此方法将失效。(2)由于可行方向法大致沿着约束界面向最优点逼近．因此其收敛速度较快，效果较好。这使得该法适用于大中型约束优化问题。(3)可行方向法的缺点是需要计算目标函数和约束函数和一阶偏导数来获得梯度。这就增加了求解的困难度，特别是对于不易求导数的函数，还需要用差分法求偏导数的近似值，这不仅增加了程序上的复杂性，而且使计算精度也受到影响。 第六章若干其他景优化方法及应用第一节几何规划几何规划的特点：(1)有相当一部分工程优化问题都可描述成几何规划的形式。(2)几何规划有两个突出的优点：一是能解非线性程度高的优化数学模型；二是能解变量多的优化问题。也就是说几何规划的解题规模和变量个数无直接的关系。(3)在一般情况下可求得全局最优解。一、何规划的基本原理几何规划所依据的理论基础是著名的算术几何均值定理：二、正定几何规划所谓正定几何规划，就是目标函数和约束函数的各项均为正项这一类几何规划问题。1．无约束情况无约束情况下正定几何规划描述为：若假设目标函数达到最优值时，函数中的第j项在其中所占比例为：规一性条件和正交性条件。 即f(x)的极小值等于d(W)的极大值。这样，我们就把原问题转化为求其对偶问题。求出了d(W)的极大值就间接等同于求出了f(x)的极小值，具体求解步骤如下:(1)求解问题的对偶问题(2)根据最优值f*和最优分配W*求最优点X。1．有约束情况有约束情况下正定几何规划可描述为： 显然有约束条件下的几何规划也有困难度问题，和无约束情况一样，对偶问题的变量效也是多项式的总项效，所不同的是，总项数T应包括目标函数和约束函数项数之总和，即：规一性和正交性条件产生的约束方程数仍为n+l，故困难度为：三、广义几何规划正定几何规划要求目标函数和约束函数均为正定多项式，但工程实际问题往往也会出现负系数。这种多项式中带有负系数的几何规划问题称为广义几何规划。其数学模型为： 第二节动态规划动态规划是20世纪50年代发展起来的数学规划的一个分文，它是用于解决多阶段决策过程的最优化问题纳一种方法。这种方法的基本内容是把给定的问题分成若干阶段，然后按顺序加以解决，最后一个阶段所得到的最优解，就是原始问题的最优解。一、基本原理动态规划的基本思想是将被优化问题先分成若干阶段，然后分阶段优化，从而达到整体优化。根据这一思想，要求最优化问题的模型具有无后效性。所谓无后效性是指模型具有如下特征：过程的过去情况，只能通过当前的状态去影响过程的未来。1)状态变量约束条件中右端项为起始状态。2)决策变量优化设计模型中的设计变量称为决策变量。3)阶段变量把问题划分成若干阶段的序号的变量称为阶段变量。4)转换方程就每一阶段而言，其输出状态与输入状态和决策变量有关。5)阶段效应每一阶段的输入状态和决策变量的取值决定了对目标函数的贡献大小，这个大小称为阶段效应。 从过程图中可以看出，不管前面的状态和决策如何，对于前面决策所造成的当前状态来说，后面的决策总是员优决策。这就是动态规划中起核心作用的贝尔曼最忧性原理。根据这一原理，我们可以按逆过程(回化过程)，分阶段进行优化。1、动态规划的数值解法1．数解法原理：2.上述方法适用于如下优化数学模型： 三、求解动态规划的标号法标号法也是求解动态规划的一种常用方法，下面通过一个例来讨论。例6：我们从图6—8中的A点出发到达B点，问走图上什么途径整个路程最短?图中线段上的数值是这一段路程的距离。具体标号如图示： 第三节多目标优化几种常用的多目标优化方法一、统—目标函数法统一目标函数法就是将各分目标统一到一个新的目标函数中，再求统一目标函数的最优解。1、线性加权组合法2、目标规划法3、功效系数法4、乘除法二、主目标法主目标法的基本思想是把多目标优化问题转化成为单目标优化问题．然后再用单目标优化方法求解，得到多目标优化问题的解。 三、极大一极小法第四节模糊优化设计一、概述模糊优化产生的原因：更符合实际。一、模糊优化原理式中加号不代表算术和，而是“联”的意思。uiA代表元素ui对模糊子集A的隶属度。当u可用实数继续表示时，模糊集合。模糊优化主要的是满足约束函数的满足度。通常采用以下隶属函数：在具体应用时可采取一系列不同的满足度。 第五节离散变量的优化设计方法在某些实际应用问题中，由于工程设计需要符合本行业的设计规范和技术标准，所以某些设计变量只能取整数值或取离散值的情况是不可避免的。一、离散变量优化问题的一些概念1．离散变量优化问题的数学模型机械设计中混合型离散优化问题的数学模型可表示为：离散值域表示的矩阵Q为：2．非均匀离散变量和连续变量的均匀离散化处理若一个离散变量的离散增量相等，则称该变量力均匀离散变量，即有：若一个离散变量的离散增量部分相等成全不相等，则统称为非均匀离散变量。假定P个离散变量中，前几个变量为非均匀离散变量，且每个离散变量可取的离散值为L个．则其离散值域可用矩阵表示为： 在计算机应用中，可将Q用二维数组学Q(t，l)存贮起来，即；对于连续变量离散化处理，根据不同要求，规定离散后备变量的相邻两个离散值之间的间距为ε，称为拟离散增量。一、离散最优解1、离散单位领域2、离散坐标领域设计空间中离散点X的离散坐标领域UC(X)是指以X为原点的坐标轴和离散单位邻域UN(X)的交点的集合。3、离散局部最优解4、拟离散局部最优解5、离散全局最优解三、凑整解法与网格法凑整解法是一种最简单的处理离散变量问题的方法。这种方法是先权宜地将所有变量视为连续变量，用一般连续型最优化方法求其最优解，然后取其该解与之接近的整数值或离散值。1、可行区问题；2、最优点问题。解决方法：在求得连续最优点后，将调整到最接近的离散点，然后在点的离散单位邻域UC(B)或离散坐标邻域UC(B)内找出所有离散点，逐个判断其可行性并比较其函数值大小，从中找出最优离散解。另外一种方法是网格法。这是求解离散变量优化问题的一种最原始的遍数法。四、离散复合形法 离散复合形法是在求解连续变量复合形法的基础上进行改进，使之能在离散空间中直接搜索离散点，从而求解离散变旦优化问题的方法。它与连续变量复合形方法大致相同，即通过韧始复台形调优选代，使新的复合形不断向最优点移动、收缩，直到满足要求为止。1．初始离散复合形的产生2．约束条件处理定义离散复合形的有效目标函数f-(x)为：3.调优过程离散复合形调优过程一般和复合形法基本相同。手段有些不同：1）映射点2）搜索步长：3)当沿X(B)和X(C)联线方向进行一维搜索找到比X(B)更好的点时，则应改变方向，依次取第2次坏点、第3次坏点……和X(C)联线作为搜索方向，重新进行一维搜索。4)若取到策2n个次坏点进行一维搜索后，仍找不到一个比X(B)点更好的点．则将复合形各顶点均向最好点X(C)方向缩小1／3，构成新的复合形，重新按上述过程调优。收缩关系为：5）收敛准则： 6）构复合形在收敛准则满足后，将所求得的最好点作为初始点，重新构造初始复合形，再进行调优，直到满足收敛条件为止。如果二次调优的结果趋于一致，则可结束运算，否则还需重构复合形．再迭代，直到满足前后二次凋优趋于一致，则将X*作为离散最优点。7）算法步骤(1)选择并输入运算的基本参数。(2)选取一个满足上、下限要求的离散初始点x(1)。(3)用随机方法产生2n+1个复合形顶点。(4)计算各顶点的目标函数值。(5)检查收敛淮则，若满足转到(10)。(6)按目标函数值大小将各设计变量依次排队，找出最好点X(L)及最坏点X(M)并以最坏点点和复合形中心点联线方向进行一维搜索，若成功转入(7)，否则转到(8)。(7)用搜索到的新点取代最坏点，并转到(5)。(8)改变搜索方向，依次取第2次坏点、第3次坏点…．．搜索，若成功转到(7)，否则转到(9)。(9)各顶点向最好点收缩，形成新的复合形，并转到(4)。(10)如果X*＝X(1)。则输出X*，运算结束。否则以X*取代X(1)返回（3） 第七章优化方法在轧制中的应用第一节板带轧制规程优化设计根据热连轧带钢的轧制过程及轧制规程的设计特点可知，热连轧带钢轧机生产某产品的轧制规程不是唯一的。按经验分配压下量而得到的轧制规程虽然生产上可行，但是缺乏定量的科学依据。所谓优化轧制规程．总是指在某方面是最优的。对热连轧带钢生产来说，其轧制规程可寻求在轧制速度一定的条件下轧制能耗最小，以节省轧制能耗。一、目标函数1)轧制能耗最小的轧制规程轧制能耗最小．是指在一定的轧制条件下，由一定的原料轧制成一定的成品，所消耗的轧制能耗最小。其目标函数为：2）等负荷轧制规程热连轧带钢轧机精轧机组各机架主电机功率相等时，为使各机架的负荷分配均匀，以各机架的轧制负荷相等为寻优目标。3）等相对负荷的轧制规程当连轧机各机架的主电机功率不相等时，若按等负荷分配则会造成主电机容量小者使之能力不足而主电机容量大者不能充分发挥其能力。在这种情况下可按各机架主电机的相对负荷相等来优化，目标函数为：4)多目标优化连轧机的目标函数还可以考虑多个优化目标。考虑到等相对功率富裕量，其目标函数为：考虑到等压力轧制，其目标函数为：考虑到板形，其目标函数为： 该多目标规划也就是求：一、约束函数1）咬入条件；2）轧辊强度条件；3）电机能力；4）板形条件；5）电机转速限制二、优化方法1)动态规划法热连轧带钢轧机是多机架连轧，在制定其轧制规程时，主要是确定压下规程和速度制度。成品机架的轧制速度按电机能力和轧后冷却等因素的限制一旦确定之后，其他各机架的轧制速度便会依据压下规程及连轧常数而确定。热连轧带钢轧机压下规程的确定，具有多阶段决策过程的特点。因为由带钢坯经若干架轧机连续轧制成带钢，各道次的压下量可以有多个方案，在这众多的压下方案中，必有一压下方案是我们所寻求的轧制能耗最小的压下方案。不同的压下量使轧制负荷不同，因此也可以寻求轧制负荷或相对轧制负荷近似相等的压下方案。采用动态规划法寻求轧制能耗最小、轧制负荷或相对轧制负荷近似相等的轧制规程，需要将各道次的压下量在一定范围内离散。根据轧制精度及调整精度来决定离散压下量的间隔。对于每一轧制道次，由于压下量不同，就使得轧制能耗不同、轧制负荷不同。用动态规划法，可以通过优化计算而得到满足约束条件的轧制能耗最小的轧制方案，也可以得到备轧制道次负荷近似相等。或相对负荷近似相等的轧制方案。 通过编制计算各轧制道次不同等间隔压下量的轧制功率于程序，将计算出的这些数据通过优化程序进行寻优而得到轧制能耗最小、轧制负荷或相对轧制负荷近似相等的轧制规程。2)罚函数法在建立轧制功率最小的目标函数时，可构成如下罚函数： 第一节型钢孔型的优化设计一、概述将优比方法用于计算机辅助孔型设计，使某些目标达到最优，其关键是将最优化问题表示成数学模型。所表示的数学模型即要求能够客观反映轧制过程，而且又便于使用优化方法求解。优化方法用于计算机辅助孔型设计，使计算机辅助孔型设计的功能加强，并使孔型设计的某些目标值达最优，无疑这对孔型设计来说是在向工程科学迈进。优化孔型设计，则是用优化方法确定孔型形状和尺寸。以使所要求的目标达到最优。因此在进行优化孔型设计时，首先要确定目标函数。在确定目标函数时，选择自变量非常关键。对于复杂断面型钢，由于变形不均匀，为使自变量与目标值的函数关系易于表达与计算，可选择延伸系数作为自变量。对于简单断面型材，也可以选择轧后轧件高度作为自变量。根据优化的目标函数，自变量的选择要使其与目标函数有明显的对应关系，便于使用优化方法解得目标函数的极值为目的。所以在确定自变量时，应该注意到能够表示轧件在孔型中的轧制特点，便于求解目标函数值，便于处理约束条件。优化孔型设计，不仅是优化孔型的构成，而且可以优化孔型系统。由于轧制型材的孔型系统不是唯一的，常可以有多种可选取的方案，而且各方案的效果也不同。又由于追求的标不同，所以达到最佳效果的方案也就不同。孔型系统的选择在传统的孔型设计中是根据生产条件．按照设计的一般原则结合设计者的生产经验来确定的。由于孔型系统选择的多样性，采用优化方法选择所追求目标的最优孔型系统，也是优化变形规程的主要任务之一。二、H型钢孔型优化设计各轧制道次负荷近似相等的目标函数为：在计算轧制功率时，自变量的确定很重要。由于H型钢轧制时，腰部和腿部的厚度和压下量都不相同，如果以轧件的出口厚度作为自变量，将使计算过程复杂。这是因为腰部和腿部不同的压下量组合很多，会使计算量大幅度地增加。H型钢轧制时，要求均匀变形，即要求腰和腿的延伸系数相同。所以可以选用延伸系数作为自变量，即不同的延伸系数对应有不同的轧制功率。把各轧制道次所允许的最大、最小延伸系数作为约束条件。 在进行孔型参数优化时，延伸系数与轧制功率的函数关系不易于表示成明确的函数关系。这样采用间接的优化方法就有困难，而采用直接的优化方法就可以不考虑上述问题。直接法就是将不同的满足约束的延伸系数所对应的腰腿变形需要的轧制负荷计算出来，使各轧制造次的轧制功率的差值之和达最小。由于是直接计算函数值，所以对函数没有条件要求。这样便可采用网格法求解。其解法是在设计变量估计的区域内打网格，并在网格点上求得目标函数和约束条件的值。对于满足约束条件的点．再比较目标函数值的大小．并从中选小者。将该点的计算值作为一次迭代的结果，然后在该点附近再加密打网格，重复前述的计算并进行比较。一直到网格的员大间距小于预先所给的计算精度为止。一、高速线材孔型优化设计对于高线机组，由于采用成组传动并进行单根、无扭、微恒张力轧制，所以寻优目标可以是机架间的最小张力。目标函数：约束条件：1、咬入条件：2、咬入稳定条件：3、充满条件：优化方法高速线树轧机精轧机组的最小张力优化孔型设计，是靠准确地确定各机架轧出的断面面积来保证。由于精轧机组各机架的轧辊转速已由传动速比所固定。在轧辊的原始直径一定的俏况下，前后机架不同的轧件断面面积可以便两机架间的张力不同。当把前一机架的压下量离散时，可以得到不同的断面面积。而每一个断面积进入下一孔型时，它们之间所产生的张力是不同的，同样下一孔型也可按压下量进行离散。那么由第一机架到第n机架，便有一条路径是总张力最小的断面尺寸，按该断面尺寸构成孔型可以使总连轧张力最小。因此采用动态规划法进行优化，可以得到使连轧总张力最小的各机架轧出的断面尺寸。第二节轧制负荷分配的优化设计（例） 以三机架窄带钢冷连轧机轧制冷轧带钢，利用罚函数法制定等负荷余量的压下规程优化设计。一、目标函数二、约束条件三、建立罚函数也可采用动态规划法来优化该问题。'