2015年陈文登《数学复习指南》习题详解(绝对详细、免费).doc 109页

'2015版陈文登复习指南习题详解高等数学习题一1． 填空题⑴设，则常数__[解答]由题意可得即⑵__[解答]且又由夹逼原则可得原式⑶已知极限，则[解答]当时，由可得 原式同理可得故原式⑷已知则__[解答]原式⑸已知函数则__[解答]又所以⑹__[解答]原式⑺设函数有连续的导函数，，,若在处连续，则常数＿[解答] ⑻设当时，=为的阶无穷小，则[解答]由此可得，⑼__[解答]原式                          ⑽已知，则＿，＿[解答]=若极限存在则得故2．选择题⑴设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则必有间断点必有间断点 必有间断点必有间断点[解答]若连续，则也连续，与题设矛盾，所以应该选.⑵设函数则是偶函数无界函数周期函数单调函数[解答]因为，所以，又为无界函数，当任意给定一正数，都存在时，使得，于是，故为无界函数，所以应该选.⑶当时，函数的极限是等于等于为不存在但不为[解答]所以应该选. ⑷若函数在处连续，则的值是[解答]，则，所以应该选.⑸极限的值是不存在[解答]原式，所以应该选.⑹设则值是均不对[解答]原式解得所以应该选.⑺设则的值为，，，均不对[解答]原式，由可得，所以应该选. ⑻设则当时，是的等价无穷小与是同阶但非等价无穷小是比较低阶的无穷小是比较高阶无穷小[解答]原式，所以应该选.⑼设则的值是[解答]若原式极限存在，当时，由可得，所以应该选.⑽设其中则必有[解答]原式可得，所以应该选. 3．计算题⑴求下列极限①[解答]原式②[解答]原式③[解答]原式④[解答]原式又 所以原极限⑵求下列极限①[解答]原式②[解答]原式1③[解答]原式 ⑶求下列极限①[解答]原式()②[解答]原式③ [解答]原式④[解答]原式且＞＞又，故由夹逼原则知原式⑤[解答]当时，原式 当时，原式当时，原式⑥其中[解答]原式()4．设试讨论在处的连续性和可导性.[解答]⑴由           于是在处连续.⑵分别求在处的左、右导数 所以在处连续且可导.5．求下列函数的间断点并判别类型.①[解答]为函数的间断点又所以为函数第一类跳跃间断点.②[解答]当时，当时，当时， 即，所以为函数第一类间断点.③[解答]当时，所以为第一类跳跃间断点.当时，不存在，所以为第二类间断点.当时，所以为第一类可去间断点.当时，所以为第二类无穷间断点.6．试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值.[解答]原式存在由可得，即 则原式同理由可得，即所以原式7．设，且是的可去间断点，求的值.[解答]存在，由可得.原式存在，同理由可得.8．设求的值.[解答]原式()由可得原式，即 9．讨论函数在处的连续性.[解答]当时，所以若时，在连续.若时，在为第一类跳跃间断点.当时，是的第二类间断点.10．设在的某邻域内二阶可导，且求及[解答]由可得 所以第二章一、填空题7．设，则__[解答]原式所以8．已知，则__[解答]原式即令，则9．设为可导函数，，则__[解答]原式10．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为__[解答]两边求导将代入可得故所求的方程为 二．选择题1． 设可导，，则是在处可导的充分必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件既非充分又非必要条件[解答]若在处可导，即，所以应该选.2． 设是连续函数，且，则[解答]，所以应该选.3． 已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是[解答]， 由数学归纳法可得，所以应该选.4．设函数对任意均满足，且，其中为非零常数，则在处不可导在处可导，且在处可导，且在处可导，且[解答]，故应选.二、选择7．设在处可导，则为任意常数为任意常数[解答]由在连续可得由在可导得则，所以应该选. 8．设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在[解答]当时，～，则等价于，所以应该选.9．设函数在上可导，则当时，必有当时，必有当时，必有当时，必有[解答]若设时，均错误，若设时，错误，故选.10．设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是且且且且 [解答]令，由导数定义可得若，由的连续性及保号性可得，此时若，同理可得.故若不存在，则若，且，设，由于所以当时，，时，则故不存在，所以应该选.三．计算题1．，求.[解答]2．已知可导，，求.[解答]3．已知，求. [解答]等式两边对求导可得化简可得4．设的函数是由方程确定的，求.[解答]等式两边对求导可得化简得5．已知，求.[解答]6．设，求.[解答]等式两边对求导可得可得又 所以7．设函数二阶可导，，且，求.[解答]8．设曲线由方程组确定，求该曲线在处的曲率.[解答]，则四．已知，其中有二阶连续的导数，且⑴确定的值，使在点连续；⑵求. [解答]⑴即当时，在处连续.⑵当时，有当时，由导数的定义有五．已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导.[解答]在处连续则即在处一阶可导，则有此时， 在处二阶可导，则有六．已知，求.[解答]又在处的麦克劳林级数展开式为通过比较可得，当时，当时，七．设，求.[解答],,,通过递推公式可得当时， 八．证明满足方程证明：化简可得得证.第三章1．求下列不定积分.⑴[解答]原式⑵[解答]原式 ⑶[解答]原式⑷[解答]原式⑸[解答]设原式2．求下列不定积分. ⑴[解答]设原式⑵[解答]设，原式⑶ [解答]设原式⑷ [解答]原式⑸[解答]设原式 ⑹[解答]设，则原式⑺[解答]设，原式3．求下列不定积分.⑴[解答]原式 ⑵[解答]设，则原式4．求下列不定积分.⑴[解答]设，原式⑵ [解答]设，   原式5．求下列不定积分.⑴[解答]原式⑵[解答]所以 ⑶[解答]原式⑷[解答]原式移项得 ⑸[解答]原式6．求下列不定积分.⑴[解答]原式再求设，则原式==所以 原式⑵[解答]设原式⑶[解答]设原式7．设，求[解答]当时 当时因为在处连续，可得，所以8．设，(为不同时为零的常数)，求.[解答]设，， 则又所以即9．求下列不定积分.⑴[解答]原式⑵[解答]原式⑶[解答]原式 ⑷[解答]原式10．设当时，连续，求[解答]原式11．设，求.[解答]设，则 所以12．求下列不定积分.⑴[解答]设原式⑵[解答]设原式 ⑶[解答]设原式⑷[解答]设原式13．下列不定积分. ⑴[解答]设原式⑵[解答]设原式⑶[解答]设，则 原式⑷[解答]设，原式14．求下列不定积分.⑴ [解答]原式⑵[解答]原式 ⑶[解答]原式15．求下列不定积分.⑴[解答]设原式⑵[解答]设 原式⑶[解答]设原式习题四（1）1．   若在上连续，证明：对于任意选定的连续函数，均有则在上，证明：假设在上存在使得，令，由于在上连续，故存在在上，使得. 又令则结论与题设矛盾，故假设不成立.2．   设为任意实数，证明：证明：设，则所以即，得证.3．   已知在连续，对任意都有证明：证明：在连续,则，又 所以1．   设为大于的正整数，证明：.证明：=即若，则 于是这与推论矛盾，所以若，则于是这与推论矛盾，所以综上所述，有.1．   设在上连续，且单调减少，，证明：对于满足的任何，，有证明：由积分中值定律有又，且单调递减，故当时，所以 即2．   设在上二阶可导，且证明：证明：由泰勒公式有又，则两边积分可得7．设在上连续，且单调不增，证明：任给，有证明：，所以 又，，单调不增，当时，所以8．设在上具有连续的二阶导数，且，证明：在内存在一点，使证明：由泰勒公式有，其中具有二阶导数，设最大值为，最小值为，即则 即，由介值定理可得，至少存在一点，使得即，得证.9．设连续，证明：证明：设，则10．设在上连续，在内存在且可积，，证明：证明:由，可得，其中 即12．设在上连续，且，则证明：令，则两边积分得令，消除后得即13．设函数在上具有一阶连续导数，且，证明：证明：由柯西不等式有 14．设函数在上连续，且，，证明：，使证明：因为在上连续，则必存在一点，使得，即，即 习题五1.      设函数在在闭区间上可微，对于每一个，函数的值都在开区间内，且，证明：在内有且仅有一个，使. 证明：设，则在上连续，又，所以，，由零值定理可知，在内至少存在一个，使，即.利用反证法证明在内至多有一个零点.设且使得，，则由拉格朗日中值定理可得，至少存在一个，使得这与题设矛盾，综上所述，命题得证.2．设函数在上连续，内可导，且，证明：在内一个，使.证明：由积分中值定理，可知在上存在一点，使，，从而有.于是由洛尔定理可知，在内存在一个，使，3．设函数在上有二阶导数，且，又，证明：在内至少一个，使.证明：由题意可得，根据洛尔定理可得至少存在，使得 .又当时，.再对在上应用洛尔定理，可得至少存在一个，使得，命题得证.4．设函数在上连续，在内可导，且，证明：在内一个，使.证明：设，在上连续，在内可导，且，则在满足柯西定理，于是有，使即所以5．设函数在上可导，且，证明：一个，使证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理，于是有使 即所以6．设函数在上连续，在内可导，证明：一个，使证明：设则在上满足洛尔定理，于是存在，使，即7．设函数在上有二阶导数，且，证明：至少一个使证明：设，则，由洛尔定理可得，存在，使得,又则 在上，由洛尔定理可得，存在，使得,即8．设函数在上可导，且，证明：在内至少一个，使证明：设，则在内，由柯西中值定理可得，至少存在一个，使得即所以9．若，证明：一个或，使证明：设，则在上，由柯西中值定理可得，存在一个，使得 即化简可得10．函数在上连续，在内可导，且，，证明：至少一个，使.证明：设，由，可得由洛尔定理可得，至少存在一个，使得即11．设函数在上连续，在内可导，证明：至少一个使证明：设，则，由洛尔定理可得，至少存在一个，使得，即      12．设函数在上连续，在内有二阶导数，证明：至少一个使 证明：在处的泰勒展开式为两式相加得又在内有连续二阶导数，所以存在，使得，所以.13．设函数在上连续，在内可导，证明：在,使证明：设，由柯西中值定理，在内至少存在，使得即对于，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得 从而14．设函数在上连续，在内可导，且，证明：使得证明：设，由柯西中值定理可得，至少存在，使得，即设，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得从而，即15．设函数在上连续，在内可导，且，证明：，使得证明：设，由柯西中值定理可得，对于，存在，使 对于，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得由两式可得      习题六一．求解下列微分方程.⑴[解答]令，则原微分方程可变化为解其对应的齐次方程，可得令为原方程的解，代入方程有，解得，所以故原方程的解为⑵[解答]原方程可变换为解得，即， 又，则，故二．求解下列微分方程.⑴[解答]令，则，原方程可变换为即，解得，将代入可得⑵[解答]设，将方程右端同除后可变换为解得即由可得，故所求方程为三．求解下列微分方程.⑴[解答]令，又，则原方程式可变换为 解其对应的齐次方程，可得令为原方程的解，代入方程有解得所以⑵[解答]方程可变换为其对应其次方程可解为，积分可得，即，齐次方程的通解为令，代入原式中有，积分可解得故原方程的通解为 ⑶[解答]设，则，所以原式可变换为由贝努利方程，设，则方程变换为其对应的齐次方程的解为，令，代入原方程中可解得所以，即五．求解下列微分方程⑴[解答]原式可变换为，即设，则原方程可变换为其对应的齐次方程的通解为令为原方程的解，代入原式中有，可解得 故⑵[解答]原式可变换为由贝努利方程，设，则原式可变换为其对应的齐次方程的通解为令为原方程的解，代入可得解得所以六．函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求出.[解答]在实轴上连续，设，则可得又存在，则对任意，有即处处可微且满足 解得又故八．求解下列方程⑴[解答]原式可变换为，即令，则又变换为，即解此方程可得又，则，所以⑵[解答]令，则，则原式可变换为解此方程可得，即又，则，所以九．求解下列方程⑴ [解答]令，则原方程可变换为即，积分可得即解得⑵[解答]令，则原方程可变换为解得，又，可得所以，则，又，可得故⑶[解答]令，则原方程可变换为令，则原方程又可变换为解此方程可得，当时，，可得 则，又，可得所以十二．求解下列微分方程.⑴[解答]令，即，则原方程可变化为即相应特征方程为齐次方程通解特解所以原式的通解为⑵[解答]令，即，则原方程可变化为即 相应特征方程为   齐次方程通解特解所以原式通解为五．一质量为的物体，在粘性液体中由静止自由下落，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律.[解答]物体受到的重力为，阻力为，则，其中，，则方程式变为令，则方程式变化为解其对应的齐次方程，可得令为原方程的解，代入方程有，解得，所以，又，则，又，则所以 十六．有一盛满水的圆锥形漏斗，高，顶角，漏斗尖处有面积为㎡的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出全部流出所需要的时间.[解答]从时刻到小孔流出的水量为在此时间内，液面由降至，水量减少为由题意可知，则，且当时，㎝.所以方程为当水全部流出时，，.十八．有一房间容积为，开始时房间空气中含有二氧化碳，为了改善房间的空气质量，用一台风量为/分的排风扇通入含的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？[解答]设在时刻，的含量为，则在时间内进入房间的的含量为，排出房间的的含量为所以在内的改变量为化简得解得又则，即 所以当时，，即的含量为.习 题七2．填空题⑴函数的单调减少区间__[解答]，令，可得当时，，单调递减.所以的单调递减区间是或.⑵曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分，这两部分面积之比是__[解答]直线方程为，即，两直线的交点可求得，即求解方法一：已知其一根为，设方程为通过比较可得，可解得另外一根为方法二：分解方程有 即所以则⑶设在上连续，当＿时，取最小值.[解答]令，则即所以⑷绕旋转所成旋转体体积__ [解答]令，则当时，当时，所以⑸求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__[解答]将极坐标化为直角坐标形式为，则所以 　4．计算题⑴在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线，求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.[解答]由题意可计算两法线的方程为，即，即两直线的交点为，则⑵过抛物线上的一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的面积最小.[解答]直线的斜率，则直线方程为，与抛物线相交，即，设方程的两根为且，则 ，从而又，所以⑶求通过点的直线中使得为最小的直线方程.[解答]设，则则 由可得即可得又则当时为最小，此时方程为⑷求函数的最大值与最小值.[解答]令，可得当时，，即在取最小值，此时当时，，即在取最大值此时.⑸求曲线与所围阴影部分面积，并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.[解答] ⑹已知圆，其中，求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.[解答]令，如图所示，则⑺设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，①若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？[解答]抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受的静压力为若下沉，此时受到的静压力为要使，解得.②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？[解答]建立如图坐标系，则抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为所以整块薄板所受的静压力为若下沉，此时受到的静压力为要使，解得.     [解答]8．设，由确定，求.[解答]对方程组求导可得求解可得    9．设，求.[解答] 所以10．设，其中具有二阶连续导数，二阶可导，求.[解答]11．已知，且，其中可微，连续，且，连续，试求.[解答]，又即 ，又即12．设，其中出现的函数是连续可微的，试计算.[解答]      13．设，试确定常数，使.[解答]由，可得     14．若满足，其中有连续的二阶导数，求.[解答]令，则同理则化简得即解得即(为任意常数)              15．求曲面的平行于平面的切平面方程.[解答]曲面方程在处切平面的法向量为则曲面在处切平面方程为由题意可知，即则 解得即所以切平面的方程为或16．求圆周在处的切线与法平面方程.[解答]由题意，对求导得：，可解得所以，圆周在的切向量圆周在处的切线方程为法平面方程为17．试求函数在闭区域上与的最大值[解答]先求函数在内的驻点由可得，即函数在内只有唯一的驻点，再求在边界上的最值在边界，，此时在边界，，此时 在上，将代入中化简可得，可得，此时18．在椭球面内作内接直角平行六面体，求其最大体积.[解答]设位于第一挂限内椭球面上，则，由题意有则解得唯一解所以19．求原点到曲面的最短距离.[解答]设位于球面上，则令，由题意可得，即求在约束条件 下的最小值.，则当时，无解当时，由，可得20．当时，求函数在球面上的最大值，并证明对任意的正实数成立不等式[解答]由题意可得，则解得，    即在处值最大，此时对于任意正数，设，即求在条件：下的最大值，则解得唯一解又在平面位于第一挂限部分的边界上为零，故在点处取最大值，即有21．过平面和平面的交线，作球面的切平面，求切平面方程.[解答]由平面束方程可知，所求平面方程为化简可得由题意可得点到平面距离为 化简可得即解得或当时，代入方程可得切平面方程为当时，代入方程可得切平面方程为22．求直线与直线之间的垂直距离.[解答]过作平行于的平面，设平面的法向量为，则同时垂直于和的方向向量，故所求得的平面方程为化简可得设是上的一点，则到平面的距离为故所求直线的距离为.      习题十一4．求解下列二重积分： ⑴[解答]原式⑵[解答]原式⑶：由与所围的区域[解答]积分区域关于对称，同时被积函数是关于的奇函数，所以原式.⑷：由的上凸弧段部分与轴所形成的曲边梯形[解答]对求二次导数，由题意可得时在此区间上为上凸区间，即所以，原式 ⑸：[解答]原式5．计算下列二重积分：⑴：[解答]由广义极坐标：，则，由区域与函数的对称性可得：原式⑵：，并求上序二重积分当的极限[解答]原式， 原式⑶[解答]原式⑷：及[解答]原式              8．设是半径为的周长，证明： 证明：将积分化为极坐标形式为9．设是上非负连续函数，在上连续且单调递增，证明：证明：左边⑴右边⑵⑵－⑴可得⑵＋⑴可得由于都是连续且单调递增函数，所以，即，从而，则10．设均为正整数，且其中至少有一个是奇数，证明：证明：当为奇数时，将积分化为先对后对的二重积分 因为为奇数，于是关于是奇函数从而，所以.当为奇数时，同理可证.11．设函数在上连续，令，证明：证明：12．计算[解答]原式13．，：由及所围之区域.[解答]设，则 14．计算下列三重积分：⑴，：由及所围形体[解答]原式 ⑵，：及所围形体[解答]原式⑶，：由面上的区域绕轴旋转一周而成的空间区域，其中 ：[解答]利用“先二后一”法将区间分为两部分：，：，则原式⑷,：由及所围形体[解答]原式⑸,：由与所围的空间区域[解答]原式 ⑹，为底面为单位正方形，高为的正四棱锥体，而为锥体中任一点到顶点的距离[解答]以底面正方形中心为，建立坐标系，其中，，，，则，此函数关于对称，故只需计算第一象限上的部分，由于的方程分别为和，所以原式15．求下列曲线所围图形的面积.⑴[解答]两曲线的交点为 所以⑶[解答]将原式化为极坐标形式为，令，可得或所以    ⑷[解答]设，原式化为极坐标形式为原式16．求曲面夹在两曲面之间的部分的面积.[解答]由题意可得则 17．求用平面与曲面相截所得的截断面之面积.[解答]方法一：由，可得，则所得的截断面之面积即求之面积，其中：令，，则其中：，即故又椭圆的面积为所以方法二：由两方程可得，设所截圆面的半径为， 又原心到平面的距离，则圆面半径所以18．求下列曲面所围形体的体积.⑴[解答]⑵[解答] ⑶[解答]21．设质量为，半径为的非均匀球体，球上任一点的密度与该点到球心的距离成正比，求球关于切线的转动惯量.[解答]以球心为坐标原点，建立直角坐标系令，则设切线过点，方向向量为，则切线的转动惯量为习题十二1． 设在内有连续导函数，求 ，其中是从点到点的直线段.[解答]令，则，故在单连通区域内曲线积分与路径无关方法一：选取积分路径：从到，再从到的折线段，于是方法二：可取曲线:，从到则2． 计算，其中为过，，三点的圆周. [解答]连接，使与围成区域，令，则，由格林公式可得  所以1． 计算，是上半圆周，,的坐标分别为，.[解答]连接，使与围成区域，令，由格林公式可得 则2． 计算，其中为常数，，，，为上的一段弧，为上的一段弧.[解答]连接，使与围成区域，令，则，由格林公式可得则  5.计算，其中为连接与的曲线弧段. [解答]令，,，故在单连通区域内曲线积分与路径无关，因此取曲线：，从到则6． 计算，其中是沿椭圆的正向从到的一段弧.[解答]连接，使围成区域，令，则由格林公式可得则 7． 计算，其中是依次连接，，，的有向折线.[解答]连接，使围成区域，令，则由格林公式可得所以则8． 设平面与椭圆柱面相截，求其在及平面之间的椭圆柱面的侧面积.[解答]设 则根据弧长的曲面积分令，当从时，从，从原式  9． 计算，其中和为连续函数，为连接和点的任何路径，但与线段围成图形有定面积.[解答] 10．计算其中是通过点，，的半圆周.[解答]连接，使围成区域，令，则由格林公式有所以11．,其中是圆周，,若从轴正向看去，这个圆周取逆时针方向.[解答]设为上侧，则 12．计算，其中是被平面所割下的部分.[解答]由对称性，只要计算第一挂限的部分，则()()13．计算，:锥面及平面所围立体的外侧.[解答]由可得则 14．求在处沿曲线：，在处的切线方向的方向导数.[解答]              曲线切线方向向量则习题十三1． 证明不等式证明：设则由拉格朗日中值定理可知，在上，至少存在一个，使即 又，则，且，所以2． 若，证明：.证明：设，则，又为连续函数所以故又设，则，所以为单调减函数.，所以所以当时，，即令，则，即(原式中等号仅当与至少有一个为零时成立)3． 设函数在上有连续导数，满足，并且，求证： 证明：设，则令有又且当时，所以，即，从而单调递增，则即'