《常微分方程》练习题库参考答案.doc 79页

'江苏师范大学数学教育专业《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。2、因p(x)连续，y(x)=yexp(-)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-)＞0。如果y＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。3、（1）它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g为已知函数，y为一元函数，所建立的等式是已知关系式。（2）它是常微分方程，理由同上。（3）它不是常　微分方程，因y是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。5、把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。6、y＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y＝f(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q0则＝－f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y＝f(x,y)为齐次方程。9、求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得　　=x＋z 10、二、计算题1、方程变形为=，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）作变换，于是得到＝，它已经是齐次方程。2、令z=x+y+1,则＝1＋，于是=1+f(z),只要＋f(z)0,可分离变量得　x=+C3、p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得　y=exp(sinx)4、用线性方程通解公式：y=exp(-)(C+)dx)=exp(-x)(C+2exp(-x))=2+Cexp(-x)5、公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+xexp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+x)利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=xexp(2x)6、x看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为　　　　　＝x+y以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=exp()(c+=cexp(y)-y-17、解：将方程变形为xydy=(y-1)dx或＝，当xy0,y1时积分得 ＋y+ln+=c8、解：这是齐次方程。令y=zx原方程化为－du=两边积分得　　－ln|z|=ln|cx|用z=代入得y=exp()y=0也是原方程的解。9、解：.方程右边分子，分母两条直线交点为（x,y）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为＝，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得＝C原方程通积分为　　y=x+c(x+y+1)+310、解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为11、解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为 +12、解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即13、解令，则原方程的参数形式为（2分）由基本关系式积分有得原方程参数形式通解14、解原方程为恰当导数方程，可改写为即分离变量得积分得通积分15、解方程的特征根为，齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，原方程的通解为16、解特征方程为即特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为17、方程右边分子，分母两条直线交点为（x,y）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为＝，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得＝C原方程通积分为　　y=x+c(x+y+1)+3 18、解：（！）此为贝努利方程。令z=得－z=,它是线性方程。此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z+2z=z,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。（2）此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z+2z=z,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。19、20、21、22、 23、24、三、证明题1、证明：设有两个解y(x),y(x),则y(x)+p(x)y(x)0,y(x)+p(x)y(x)0,则 （y(x)y(x)）＋y(x)(y(x)+y(x))=(y(x)+p(x)y(x))+y(x)+p(x)y(x)0表明y(x)y(x)仍是解。2、证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。又由已知条件，知是方程的一个解。假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展．这样，过点就有两个不同解和．这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值．3、证明如果和是二阶线性齐次方程的解，那么由刘维尔公式有现在，故有4、 5、补充题库1答案：18―――――――1920――――27 28―――――37 38――――44 45――――49 50――――56 57――――62 63――――68 69――――7172――――81 82――――87 88――――92 93――――94 95――――97 98――――100 101――――105 106――――113114――――122 123――――132 133――――138 139――――143 144――――145 146――――150 151――――1562 157――――162 163 164――――167 168――――173 174――――177 178――――180 181――――184 185――――189 190――――192 193――――194 195――――198 199――――202 203――――205 206――――210 211――――216 217――――221222―――226 227――――229 230――――233 234――――235 236――――241'