《管理运筹学》习题3解答.doc 9页

'《管理运筹学》习题3及参考答案1、某公司从三个产地A1，A2，A3将物品运往三个销地B1，B2，B3，产量平衡表和单位运价表如表1所示。问如何调运，使得总运输费用最小？表1产销平衡表和单位运价表销地Bj产地AiB1B2B3产量（件）A135710A261530A324320需求量（件）201020要求：（1）请建立该问题的线性规划模型，然后再化为标准问题。（2）用表上作业法求解：用最小元素法确定初始方案；用位势法验证初始方案是否最优？如果非最优，请用闭回路法调整，直至求出最优方案。解：（1）设第i个产地（i=1,2,3）到第j个销地（j=1,2,3）的该种商品的数量为xij吨，则可以建立以下模型：（2）因为总产量60（＝10+30+20）大于总需求量50（＝20+10+20），所以本问题不是标准运输问题。增加一个虚拟销地，它的单位运价c14＝c24＝c34，需求量为60-50=10。（3）第一步：用最小元素法确定初始方案（方案不唯一，增补的零元素不能位于同行或同列）。方法二：伏格尔法（最接近最优解） 方法三：西北角法（初始解离最优解较远）第二步：求非基变量检验数，验证初始方案（最小元素法求得的初始方案）是否为最优方案。法一：用位势法求检验数。求解见下表所示：销地产地销地一销地二销地三销地四Ui产地一x1134527x1400产地二36x221x235x2400产地三x31244-1310-1Vj3150因为min(σ33)＝σ33=-1<0，所以初始方案并非最优方案，需进一步调整，x33为进基变量。法二：用闭回路法求检验数σ12=5-0+0-1=4；σ13=7-0+0-5=2；σ21=6-3+0-0=3；σ32=4-2+3-0+0-1=4（注：图中画出了非基变量x33的闭回路）；σ33=3-2+3-0+0-5=-1；σ34=0-2+3-0=1因为min(σ33)＝σ33=-1<0，所以初始方案并非最优方案，需进一步调整，x33为进基变量。第三步：求θ值，调整方案。过程如下：以X33作为进基变量。调整量θ＝min(10,20,20)=10，按照上图所示进行调整，选择x14作为出基变量。方案调整后为方案二，如下： 用位势法可求出方案二非基变量检验数：销地产地销地一销地二销地三销地四Ui产地一x1135537100产地二26x221x235x2401产地三x31254x33320-1Vj304-1因为所有非基变量检验数σij都大于零，所以方案二就是唯一最优方案。第四步：决策结论：产地一向销地一调拨物资10吨，产地二分别向销地二、销地三调拨物资各10吨，产地二过剩生产的物资为10吨；产地三分别向销地一、销地三调拨物资10吨、10吨。最小总运费＝10×3+10×1+10×5+10×2+10×3=140（百元）。2、求下列线性规划问题的对偶问题：解：根据原模型很容易判断x1是自由变量，而x2≥0。方法一：按对称形式变换（1）原模型可变换为如下模型：（2）按对称形式变换关系可写出它的对偶问题，模型如下：(3)令，将上一步得到的模型整理为： 方法二：根据原问题和对偶问题的对应关系直接变换（1）将原模型作如下变换：（2）根据上述问题和对偶问题的对应关系，直接写出其对偶问题，即：（实际上和方法一得到的结果是一样的）为自由变量；3、有下列线性规划问题，Z代表三种产品的利润总和（单位：千元）。下表是单纯形法求解的最优表： 请回答下列问题：（1）如果每吨产品C的利润提高到6（千元），那么各产品最优产量计划是否改变？如果要改变，求出改进的最优产量安排？（2）如果每吨产品A的利润提高到4（千元），那么各产品最优产量计划是否改变？如果要改变，求出改进的最优产量安排？（3）当劳动力约束由1变为2，总利润将增加多少？求出劳动力数量在什么范围内变动，上述表格的最优基不变？（4）有一种新产品D，它的单位利润是3千元／吨，生产一吨新产品D需投入全部劳动工时及耗费一吨原材料。它是否值得生产？如果生产它，那么上述最优表对应的最优方案如何改进？（5）比如现在需要考虑设备的生产能力限制，设台时消耗不能超过4个单位，而三种产品的单位台时消耗分别为1、2、1个单位，那上述最优表对应的产量最优方案需要改进吗？如果需要，求出改进的产量最优方案。解：（1）x3为非基变量，c3由1变为6，∵∴各产品最优产量计划要改变。以x3为进基变量，在最优表基础上继续迭代，直至求出新的最优产量方案。计算过程如下：23600θiCBXBB-1bx1x2x3x4x523x1x2121001-1[2]4-1-11－1σj=cj-zj002-5-126x1x321101/21/2017/2-1/2-1/21/2σj=cj-zj100-10-4-2∵所有非基变量检验数σj<0(j=2,4,5),∴得到唯一最优解X*=(2,0,1,0,0)T,maxz=10即：A、B、C的产量调整为2吨、0吨、1吨，利润总和上升到10（千元）。（2）x1为基变量，若所有非基变量检验数即3/4≤c1≤3（千元/吨）时，原最优解不变。但c1由2变为4，，所以最优产量计划要变化。在原最优表基础上继续迭代，直至求出新的最优产量方案。计算过程如下：43100θiCBXBB-1bx1x2x3x4x543x1x2121001-124-1-1[1]－2σj=cj-zj00-1-13140x1x532101[1]123-10132σj=cj-zj120-1-3-120∵所有非基变量检验数σj<0(j=2,3,4),∴得到唯一最优解X*=(3,0,0,0,2)T,maxz=12即：A、B、C的产量调整为3吨、0吨、0吨，利润总和上升到12（千元）。（3）若（吨）时，上述最优基不变。劳动力约束增加1个单位时总利润的增加量就是劳动力资源的影子价格，显然总利润增加量＝-σ4=-(-5)=5（千元）。或者：∵，∴ 原问题最优基不变。总利润增加量。（注：cBB-1就是最优表上松弛变量检验数的相反数）（4）设生产产品D为x"4单位，∴新产品D不值得生产。（5）新的设备台时约束条件：。代X*=(1,2,0,0,0)T入此条件，可知该条件不成立。所以原问题最优表对应的产量最优方案需要改进。由最优表第一行约束条件得到：；由最优表第二行约束条件得到：将上述两个表达式带入设备台时约束条件，并添加松弛变量x6，整理得到：。将其添加到原问题最优表上，用对偶单纯形法继续迭代求解，求解过程和结果如下：231000CBXBB-1bx1x2x3x4x5x6230x1x2x612-1100010-12-24-1-2-11[-1]001σj=cj-zj00-3-5-10θj1.52.51230x1x2x52111001101026-32001-11-1σj=cj-zj700-1-30-1∵所有非基变量检验数σj<0(j=3,4,6),∴得到唯一最优解X*=(2,1,0,0,1)T,maxz=7即：A、B、C的产量调整为2吨、1吨、0吨，利润总和下降到7（千元）。4、（选做题）已知目标规划问题用单纯形法求解时，得到如下最优表。分析目标函数分别变为①、②两种情况时解的变化。可绘制图进行分析或者列单纯形表进行分析。Cj→00P1P40P25P303P30θCBXBB-1bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+0P43P30x1d1+d4-x213/233/45/4100000010-10001001/21-1/41/4-1/2-11/4-1/4-1/201/4-1/4-1/20-1/40001000-10－3--σj＝cj-zjP1P2P3P411-13/411-1/417/43/43 （1）（2）（w1,w2为权重比例且都大于零）解：①如图1所示：依次满足目标P1、P2和P3的区域是线段CEBD。方程：x1+2x2=6EDCd-4d+4d-1d+1d-2d+2BA54321012345678910d+3d-3x1x2C(0,3)、E(2,2)、B(5,1/2)、D(6,0)。令t=5d3-+3d4-当x1≤2时，t=5d3-=5(4-x1+2x2)=5(10-2x1)∴mint=30,此时对应x1=2,x2=2当20)x2由（1）分析知道：满足目标P1、P2x1d-3d+301234567891054321Ad+2d-2d+1d-1d+4d-4的区域为x1+2x2=k(6≤k≤9),它与BDC直线x2=2、x1-2x2=4分别交于C(k-4,2)、D(2+k/2,k/4-1)两点。当x1≤k-4时，t=ad3-=a(4-x1+2x2)=a(4-k+4x2)∴当k=9,x2=2,x1=5时,mint1=3a;当k-4≤x1≤2+k/2时，t=ad3-+d4-=a(4-x1+2x2)+(2-x2)=(4-k)a+2+(4a-1)x2∴若a≥1/4时k=9,x2=5/4,x1=13/2时,mint2=3/4;若01/4时,min(mint1,mint2,mint3)=3/4=mint2=mint3,此时满意解为x1=13/2,x2=5/4;当0