大学数学课后习题答案.doc 22页

'习题11.（1）不能（2）不能（3）能（4）不能2.（1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．3.，，，，，，，．4.（1）（2）（3）5.（1）（2）（3）6.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）7.8.（1）（2）（3）（4）（5）（6）9.（1）；；．（2）；；．10.（1）（2）．11.（1）不是．定义域不同（2）不是．定义域不同（3）不是．定义域不同（4）是．在公共的定义域上，12.（1）（2）（3） （4）（5）（6）（7），（8）（9）（10）13（1）；；；；．14.；．15.，，．16.，有．17.（1）单调递减（2）上单调递增；上单调递减（3）单调递减；上单调递增（4）单调递增（5）（）上单调递增；（6）单调递增18.（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）偶函数（4）奇函数（5）非奇非偶函数（6）偶函数（7）非奇非偶函数（8）奇函数（9）偶函数（10）奇函数19.（1）对定义域内的任意，因为，所以是偶函数；（2）对定义域内的任意，因，所以是偶函数．20.（1）（2）（3）（4）21.（1）因为，有成立，令，则有，又因为是内的奇函数，所以，所以，又，所以 ．（2）因为是以2为周期的周期函数，所以，又已知，所以，由（1）知，所以．15.（1），（2），，（3），，（4），，，16.（1）（2）（3）（4）（）17.（1）是（2）是（3）是（4）不是习题21.(1)0(2)1(3)0(4)02．(1)3(2)2(3)0(4)(5)3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：4.根据定义证明：(1)当时为无穷小；证明：,,当,(2)当时为无穷大.证明：,,当,5.求下列极限：（1）1（2）06.计算下列极限：（1）0（2） （3）（4）17.计算下列极限：（1）4（2）（3）2（4）（5）（6）（7）-1（8）8.设，讨论函数在点时的极限情况？解：，所以在不存在极限。9.已知，求，解：由已知可知：,得到,代入得，得10.计算下列极限：（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）11.证明：数列存在极限。提示：12.求极限。提示：13.求。 提示：14.设（），已知常数且，证明．提示：首先证明数列收敛．因为，，所以（），则对任意的，有这说明数列有下界；又，即数列单调递减，从而数列收敛．设，对等式两边同时取极限，得，解之得．因为（），所以由保号性知，所以．15.求下列函数的间断点，并判断类型：（1）第二类间断点（2）第二类间断点（3）第一类间断点（4）（4）为可去间断点16.讨论下列函数在分段点处的连续性：（1）不连续（2）不连续 （3）不连续（4）连续17.讨论函数在上的连续性。解：，所以在连续，又在连续，所以在连续。18.证明方程在1与2之间至少有一个实根。证明:令,则,,为连续函数，由介值定理可得，在1到2之间至少有一个实根。19.证明曲线在与之间与轴至少有一个交点。提示：介值定理20.设，证明：存在，使得成立。提示：，,介值定理21.已知函数在内连续，且、存在，证明：在有界。提示：令习题31.用导数定义求下列函数的导数：（1）（2）答案：(1)（2）2.已知某一物体的运动方程为，求该物体在到这段时间内的平均速度，并求出当分别取，时的平均速度及时的瞬时速度． 解：2.讨论下列函数在处的可到性与连续性（1）（2）解：（1）（2）3.讨论函数，在处的连续性与可导性．解：4.试确定常数，，使函数，在处可导．解： 2.求曲线在点处的切线方程和法线方程．解：3.求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）答案：8.求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） 答案：8.求下列函数的高阶导数：（1），求（2），求（3），求（4），求答案：9.求下列函数的微分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案： 8.计算下列各题的近似值：（1）（2）（3）（4）9.设扇形的圆心角，半径，如果不变，减少，问扇形的面积约改变多少？如果不变，增加，问扇形的面积改变多少？习题41.证明方程在0与1之间至少有一个实根.2.不求导数，判断函数的导数有几个根，并确定其范围。答案：由于，故在，上满足罗尔中值定理的条件。因此，在内至少存在一点，使得；在内至少存在一点，使得。又是三次多项式，故为二次多项式，只能有两个实根，分别在区间和内。3.证明方程在内不可能有两个不相等的实根。4.设在内有二阶导数，且 其中，，证明：在内至少有一点，使得。1.利用洛必答法则求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16） 1.确定常数，，使得。2.讨论下列函数的单调性：（1）（2）答案：（1）函数的定义域为。因此，，当时，；当时，。故函数在定义域上单调增加。（2）函数的定义域为。由，因为在内，，所以函数在上单调增加；又因为在内，，所以函数在上单调减小。3.确定函数的增减区间. 答案：函数的定义域为，求函数的导数，有解方程，得，。在区间内，，因此函数在上单调增加；在区间内，，因此函数在上单调减小；在区间内，，因此函数在上单调增加。1.证明不等式：。2.求函数的单调区间与极值。答案：时，函数不可导；时，，令，的驻点，则函数的单调区间与极值情况见表：增大减小增大3.求函数极值点. 1.求函数在区间上的最大值、最小值.2.设，，求其单调区间、极值和最值.3.用薄钢板做一体积为的无盖圆柱形桶，假定不计裁剪时的损耗，为了使得用去的材料最省，桶底直径与桶高的比例应为多少？习题51.已知是的一个原函数，则下面表达式中哪一个是正确的？(A)(B)(C)(D) 答案：（B）是正确的1.已知是的一个原函数，求．答案：2.求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）答案： 1.估计积分值的范围．答案：2.已知是的一个原函数，求．答案：3.已知是的一个原函数，求不定积分．答案：4.求下列定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） （11）（12）（13）（14）答案：1.证明：如果函数是奇函数，即，则答案：2.假设，求常数．答案：3.设为连续函数，且，求．答案：4.设在上有连续导数，且，，求．5.计算定积分．答案： 1.求广义积分：（1）（2）答案：（1）（2）2.求由抛物线及直线所围平面图形的面积．答案：习题61.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)．2.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)； (4)．3.求下列微分方程满足约束条件的特解：(1)；(2)．4.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)．5.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．6.求解下列初值问题：(1)(2)(3) 7.求解微分方程．8.求微分方程的通解．9.求微分方程的一个特解．1.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)．2.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)．3.求下列微分方程满足约束条件的特解：(1)；(2)．4.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)．5.求下列微分方程的通解：(1)；(2)； (3)；(4)；(5)；(6)．6.求解下列初值问题：(1)(2)(3)7.求解微分方程．8.求微分方程的通解．9.求微分方程的一个特解．'