常微分方程 习题答案.doc 67页

'常微分方程习题集华东师范大学数学系 2003年9月 常微分方程习题集目录第一章基本概念和初等解法1.1微分方程模型与基本概念1.2初等解法1.3基本理论问题第二章线性微分方程组2.1引论2.2一般理论2.3常系数线性微分方程组2.4高阶线性微分方程第三章定性和稳定性理论3.1基本概念3.2二阶系统的定性分析3.3一般非线性系统零解的稳定性 习题1.11.指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性：1)恙=4工2-y:答：i阶线性方程.ONdy„nnf�nnf答：p阶非线性方程.3)g+p⑷盖+咖y=/⑷答：二阶线性方程.,dy4)-—hcosy+X=0.d工答：一阶非线性方程.2.什么是常微分方程的解？它与代数方程的解有什么区别？何谓微分方程的通解、特解？何谓初值问题？答：在某区间/上定义并且在区间/上恒满足某常微分方程的函数叫做该常微分方程在区间/上的一个解.代数方程的解是满足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要区别是：常微分方程的解是在区间上定义的可微函数，它可以含有任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解，通解不一定包含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个ri阶常微分方程的解，要使这个解及它的直到ri-1阶导数在某一点取给定的一些值.这样的问题叫初值问题.3.验证函数y=2+cVr�(其中C为任意常数)是微分方程(1+=2x的通解，并求出满足初始条件y(0)=3的解.解：从函数方程解出C,得（y-22)/(1-x2)=c2，两边关于求导，得2[(1-x�)(y-2)dy/dx+(y-2)"�x/{l-=0,经整理得微分方程（1-;c2)dy/da;+rry=2a;.(注：一般的方法是将函数中的任意常数C解出，对0：求导后的微分方程就不含C了）再由初始条件：3=y(0)=2+C得C=1，满足初始条件的解是y=2+4.验证ey-e-=c(这里c为任意常数)是否为方程，-“的通解.解：是.以expO表示指数函数.设由方程exp(y)-exp(x)=c决定了一个函数？/⑷，即exp(y(;c))-exp(x)=c,边对a;求导得，exp(y(x))dy/dx-exp(x)=0,整理后就得dy/da;=exp(a;-y),即含有一个任意常数C的隐函数exp(y)-exp⑷=C满足一阶微分方程，按yp々PXDI"7/)—PXDI"-Mr1甬5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等于定长Z，试求出此平面曲线应满足的微分方程.解：设（X,y)为切线上的点，过切点(x,y)的切线方程为r-y=y"(X-a;)，它与a:与y轴的交点分别为(jc—y/y"，0)与2)-�+2y—+3xy=0:d工 (0,y-xy"),所以所求的方程为（a：-y/y〒+(y—xy"f=P.6.已知平面曲线上任一点的切线与该点和原点的连线之间的夹角均为常g«,试求出此平面曲线应满足的方程.一解：由题意，tan(arctany"—arctan(y/x))=tana=k,故由三角公式得所求方程为iy"-yM=Ki+yy"/x).7.求出曲线族Or-ci)2+{y-=4所满足的微分方程，其中Cl,C2,C3为任意常教.解：方程两边对求导一次得♦-Cl)+2(y-C2)y"=0,再对a;求导一次得2+2y"2+2{y-C2)y〃，解出C2:C2=y+(1+对其关于T求导一次得所求的微分方程y"+[(1+y"�)/y"]"=0.8.一个容器盛盐的水溶液100升，净含盐10千克.现以每分钟3升的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟2升的流量让盐水流出.设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均勾的，求出任意时刻t容器中净盐量所满足的微分方程和定解条件.解：设在t分钟时净盐量为⑴千克，定解条件为初始条件：x(0)=10(千克)，在时刻t(分)时，水溶液体积为（100+t)(升)，盐浓度为(千克/升)，按题意，净盐量变化率g这就是所求的微分方程.9*.假设赛艇在水中运动时主要受到两个力的作用，即由于运动员划黎所产生的牵引力r和水的阻力D.记赛艇的速度为U.如果运动员和赛艇一起的总质量为m,运动员为赛艇提供的不变有Z■功率为P，阻力与〃2成正比，试建立赛艇速度的运动方程.提不：Tu=p.解：设D=kuk是比例系数，由牛顿第二定律得运动方程，mdu/dt=p/u—kv?. 习题1.2常数变易公式：一阶线性非齐次方程cb/dt+p⑴0；=的一切解可以表示为洲=m{c+Jlq{s)/h{s)ds)其中h[t)是对应的线性齐次方程cLc/di+p(t);c=0的任一个确定的非零特解，可取h{t)=exp(f-p(t)dt)中一个特定的函数.其中expO)=表示指数函数.C为任意常数.注意公式中的两个函数⑴必须取同一个函数.1.用分离变量法求解下列方程或初值问题：1)恙+=◦解：y=cexp(/—e2zda:)=cexp(—e2T/2)2)sec�Xtanydx-hsec�ytanxdy=0解：原方程可化为tanydtana:+tanxdtany=0，从而d(tanXtan=0,积分得通解tana::tany=c.3)Or+1)惡+I=2e1解：将原方程化为（a;+l)e"dy+(e"-2)dx=0，进而化为(x+l)d(e"—2)+(e"-2)d(x+1)=0,即d[(;c+l)(e"-2)]=0，积分得通解+1)(e"—2)=c.4)�+32；=0axy解：将原方程化为6e3Tck:+6yei2dy=0，积分得通解2e3T-Se-y"=c.d工解：ft方程化为dy—dx=0，积分得通解e"-eT=c.6)x�(l—y)dy+？/�(l+x)da;=0M-—ajy一0时，#方程化为+l/x)dx+(l/y2-1/y)dy=0.积分得通解l/a;+l/y+ln[y/{cx)]=0.还有两个特解，x=0Ry=0,它们不包括在通解中.7)3e®tanydx+(1—e工）sec�ydy=0,y⑴=7r/4M-将原方程化为-3tanyd(e®-l)+(eLl)dtany=0,方程两边乘以（6工—1)-4，得d[(e工—l)"�tan？/j=0,积分得通解（e®—l)"�tany=c,即tany=c(e�-1)�,初值问题的解为y=arctan[[e�-1)�/(e—if].8)xJ+y2+yVl+=0,y(0)=1答：通解为a/1+;c2++y2=�初值问题的解为y=j(Vl+a?-1-"“~i.9)(1+x)ydx+a;(1-y)dy=0,y(2)=0答：初值问题的_为y=0(不能从通解ln((a;y)/c)=y-x中得到).10)a;y(1+;c2)盖=1+y2，y⑴=0.解：将方程化为i(l+y2)/d(x2)=(1+y"")/[xl+�2)]，分离变量得d(l+y2)/(l+y2)=[1/�2一1/(1+�2)]d(a;2),积分得通解为5)p-=e�-y (1+X�){1+y2)=cx�,初值问题的解为（1+X�){1+y2)=2a;2解出y得y=士[(3�2-l)/(a;2+2.将卞列方—化为爹量分离方程后求解：1)(xy)dx—(x—y)dy=0解：将方程两边乘以2，再重新组合化为2{xdx+ydy)-2{xdy-ydx)=0,可见，可凑成微分d+y2)—2(x�+y�)darctan(y/a;)=0，两边同以a;2+得：d(x�+y�)/{x�+y2)—2darctan(y/x)=0，积分得ffl解：ln(x2+？_2arctan(y/x)=c,(注：本题是齐次方程，也可按齐次方程的通常解法求解，但较繁).2)da；+(a;2—xy)dy=0M-将方程重新纟合化为—y(xdy-ydx)+dy=0,凑微分得-x�yd{y/x)+dy=0,当；ry/0时，两边同除以;得：-d{y/x)+dy/y=0，积分得解：-y/x+ln(y/c)=0,或化为y=cexp(y/x);还有特解=0不包括在通解中.特解y=0可以包含在通解的后一种形式中.(注：本题是齐次方程，也可按齐次方程的通常解法求解).3)化=V-xy—xy+解：方程是齐次方程，引进新的未知函数U,满足关系式y=XU,对a;求导得关系式dy/da;=u+xdv�x,将这两式代入方_，得:U+xdu/dx=(2u�—u)/{l—u+u�),分离变量得：[2/(u-1)-1/u-3/(u-2)]du=2dx/x,|r分得ln[(u—1)2/(cu(m—2)3)]=Inx"�,或化为(u—1)2=cx�u{u—2)�,以u=y/x代入得通知(y-x)�=cy{y-2x)3,还有两个特解y=0，及y=2a;，它们不包括在通解中，分别对应于=0和=2(注：与U=1对应的解y=;c可以包含在通解中（c=0时)).4)xdy/dx=xexp(y/x)y--x解：方程是齐?方变量代换y=XU,得变量分离方程=exp(w)+l,进而写成d:c/a::+dexp(—w)/(exp(—w)+l)=0，积分得：ln(x(exp(-u)+l)/c)=0，代回原变量得通解:c(l+exp(-=c,5)x(lnX—In�dx=0解：方程是齐次方程，用变量代换y、=xu�得变量分离方程:xdu/dx=—u{l+Inw)/lnti，7�1/e时，化为：dx/xH-Inwdlnii/(l+Inu)=0，积分得ln[c;rw/(l+Inw)]=0,代回原变量得通解cy=1+ln�-lnx,特y=x/e4含在通扁中.6)dy/dx={2x—y--l)/{x—2y1)解：将方程化为微分形式并分组得：[{2x+l)dx+{2y—1)d�]-(xdy--ydx)=0，进而得d(x�-y)-d{xy)=0,|R分得ffl解：〜(注:本题也可化为g=y++i;后按齐次方程的解法来求解，但较繁).7)dy/dx={2x++4)/(4x+6�+5) 解：令w=2a;+3y，故du/dx=2+3dy/dx=2+3(u+4)/(2w+5),即cki)da;=(7u+22)/(2w+5),7w+22=0bJ,得特解14a;+21y+22=0，7«+22/0时，分离变量得[2-9/(7u+22)]du=7dx„积分得，2u-9/71n[(7u+22)/c]=7x,代回原变量整理得通解7(2y-x)-31n[(14x+21y+22)/c]=0.另一形式为14a;+21y+22=cexp(7(2y—x)/3),特解14;c+21y+22=0包含在通解的后一形式中.8)dy/dx=(x+1)�+(4y+1)2+8xy+1见dy/da;=(x+4y+1)2+2，故令=a:+4y+1，从du/dx=1+4dy/dx=1+4(u�+2)=Av?+9,即du/da;=4u�+9,分离变量得3d(2u)/(4w2+9)=6dx,积分得：arctan(2w/3)=Ga;+c，代[�原变量整理得j�_解arctan((2;z;+8y+2)/3)=6x+c.Q、r]7//r]T�f7/�—/f�T?/�-U、解：将原方程化为Ci(y3)/d:r=3[(y3)2—2x2]/(2xy3+得齐次方程clu/cLc=3(t|2-2x�)/{2xv+a:。)，故令对a；求导得dti/da;=u+xdu/dx=Z{v?-2)/{2u+1).即得变量分离方程xdu/dx=(u-3)(u+2)/(2u+1)，分离务量得[7/(u-3)+3/(u+2)]du=Mx/x.积务得71n|u—3|+31n|u+2|=51n(cx).k回原变量得通if(y�-3x)�(y3+2xf=cx��.胜:）��应年u=3左u=-2的特解包含在通解中).10)dy/dx=(2a;3+3xy�+x)/{3x"�y+2y�—y).解：将原方程化为d(y2)/d(x2)=[2(x2—1)+3(y2+1)]/[3(�2-1)+2{y�+1)].从而可令w=a;2-1，"u=y2+1，原方程化为齐次方程clu/du={2u+3v){3u+2v),令=uw,对u求导得，dti/cki=w+udw/du={3w+2)/{2w+3).即得变量分离方程udw/du=2(1-w�)(2w+3).分离变量得[l/{w+1)—h/{w—1)]du)=4du/u,积分得：ln|«;+l|-51n|u;-l|=41n|u|+c,代回原变量整理得通解(y2一p+2)5=c(x2+y2).(注：对应于w=1的特解包含在通解中）3.用常数变易公式求解下列（可化为）线性方程或Bernoulli方程的通解或初值问题：1)dy/dx=y+sina;解：取线性齐次方程dy/cLc1=0的一个特解/I⑷=exp(x),应用常数变易公式得：y=exp(x)[c+fsinxexp(—x)dx]=cexp(x)—(sinx+cosx)/2.2)dx/dt=exp(2t)—3x解：取对应的齐次方程的一个特解为/i(t)=exp(-3t)，应用常数变易公式得：X=exp(—3t)[c+/exp(5t)dt]=cexp(—3t)H-exp(2t)/5.3)dy/dx—ny/x=exp(x)备y=x�{c+exp(x)).4)dy/dx+(1—2x)y/x�—1=0解：取对应的齐次方程的一个特解/i(x)=x2exp(l/x),应用常数变易公式得y=x2exp(l/x)[c+/exp(-l/a;)d(-l/x)]=x�[cexp(l/x)+l].5)dy/dx=ytanx+cosx 解：取对应的齐次方程的一个特解为=1/cosx=secx,应用常数变易公式得y=secx[c+fcos�Xdx]=[(x+2c)secx+sinx]/2,6)dy/dx—y=2xexp(2x),�(0)=1答:■解为y=cexp(x)+2{x-l)exp(2x),初值问题的解为y=3exp(x)+2(x—1)exp(2x).7)xyInydx+—Iny)dy=0M-方程两边同乘2/y方程化为lnyd(a;2)+2{x"�-Iny)dlny=0，y7�1时，进而化为线性程d(a;2)/dlny+2;r2/lny=2，利用常数变易公式得通解，=c/ln2y+2/3Iny,特解y=1木包含在通解中.8)dy/dx+2y/(a;+1)=(x+1)3參:y=c{x+l)-2+(x+1)4/6.9)同例1.6，略10)dy/dx+xy=解：是Bernoulli方程，当y/0时，先将它化为线性方程d(y"2)/dx=-2a;3，应用常数变易公式得通解为y-2=cexp(x2)++1,还有特解y=0(不包含在通解中).11)dy/dx=l/{xy+x"�y�)解：将自变量与因变量交换得Bernoulli方程g将它化为线性方程dOr-2)/dy=-2yx-�-2y从而应常数变易公式得通解：=cexp(-y�)+1-12)dy/dx=x~�{3x+exp(�))解：将方程化为线性方程dexp(i)/d:c+3exp(-W/;z:=-1/x�,应用常数曼桌公式而得ffiifexp(-y)=cx-3-(2x)-�13)jdx=(3�4+y3)j解：是Bernoulli方程，可化为线性方程<1(〃3)/da:-3〃3/x=3x�,积分得通解：y3=cx�+3x�.14)dy/dx=l/(xcos�+sin2y)解：将自变量与因变量交换得线性方程Cb/dy=xcosy+sin(2y),取对应的齐次方程的一个特解为；�=%)=611)(31112/)，从而应用，数变易公式得a；=2exp(siny)[c+/sinyexp(-siny)dsiny],积分得通解：=cexp(siny)—2(1+siny).4.利用全微分方程(题1-6，12)和用积分因子方法，(题7-11)求出下列方程的解1)(�2+y)dx+(x—2y)dy=0M-将方程分为（;c2da;-2ydy)+(yda;+a;dy)=0，凑微分得dx-2ydy)+d{xy)=0,积分得通解：x�/3-+xy=c.2)exp(—dxH-(1—xexp(—y))dy=0舍方程分组为（expii)d;z:-a;exp(i)dW+dy=0，凑微分得d(xexp(-�))+dy=0，积分得通解：xexp(-y)+y=c.3)(y—3x�)dx—(Ay—x)dy=00"将方程分组为O/diT+a;办）-(3x�dx+4:ydy)=0,凑微分得d{xy)-d{x�+2力=0，积分得通赫：xy--2y�=c.4)(9x�+�—1)dx—{Ay—x)dy=0 解：将方程分组为[(9a；2-1)dx-4ydy]+{ydx+xdy)=0,凑微分得d(3;c3-X-2y2)+d{xy)=0，积分得通If:-x-2y"�+xy=c.5)[y_ism{x/y)—yx~"�cos{y/x)+1]dx+|x_icos{y/x)—xy~"�sm{x/y)+？dy=0解法一：记M(a;,y)=y"�sin(x/y)—yx~"�cos{y/x)+1，N{x,y)=；r_icos{y/x)—xy~"�s"m{x/y)+可得dM{x，y)ldy=dN{x,y)/dx,因此方程是恰当的.设其积分为U{x，y)=C,贝IjdU{x,y)/dy=N{x,y),关于y积分，得U(x,y)=J[a;~�cos{y/x)—xy~"�sm{x/y)+y~"�]dy=sin(y/a;)—cos{x/y)—1/y+c{x)其中C(;r)是待定的的函数.为求c(;c)，利用恒等式dU{x,y)/dx=M{x,y),可得c"(a;)=1，故可取c(;c)=x.所以积分为U{x,y)=c，其中U{x,y)=sm{y/x)-cos{x/y)-1/y+x.减法二：将微芬；�程组合为[sinO/yj/ycLc-;rsinO/y)/y2cly]+[-ycos{y/x)/dx+cos{y/x)/xdy]+[dx+1/y�dy]=0,凑微分，积分得：-cos{x/y)+sm{y/x)+x-l/y=c6)2x{yexp(x�)—1)dx+exp(x�)dy=0M-於原方程化为[ycl(exp(;c2))+exp02)dy]-2;rda;=0，凑微分得d(yexp(a;2))-d(x�)=0，积分得通解yexp(;c2)-=c,或解出显函数形式:y=(c+x2)exp(-x2).7)(exp(x)+3y2)dx+2xydy=0M-将程分成（3y2ckc+2;cydy)+exp(x)da;=0,凑微分得；r-2d(a;3y2)+expO)da;=0,可见积奋自子可取为；r2，从而化成全微分方程d(;c3y2)+2;2exp(a；)dx=0，积分得通解;r3y2+exp(a;)(x2—2a;+2)=c.8)(工2—1_—|—xy——0解：将方程分组成（a；2+a；)dx+{y�dx+xydy)=0,凑微分得{x�+x)dx+(2a;)"id{x�y"�)=0,可见积分因子l�T敢为12;r，从而化成全恤分方程12a;(;c2+a；)cl;r+6d(a;2y2)=◦，积分得通解3;r4+4;r3+6a;2y2=。9){x+2y)dx+a;dy=0M-将方I呈分组成；rcla;+{2ydx+xdy)=0,凑微分得xdx+x~"�d{x"�y)=0,可见积分自子可取为3;c，从而化成全微分方程3x�dx+3d(a;2y)=0,积分得通解a;3+3x�y=c.10)(2xy�+y)dx—xdy=0解：将方程务组成2a;y2d;c+{ydx-xdy)=0，凑微分得2xy2dx+y"�d{x/y)=0,可见积分因子可取为jT2，从而化成全微分方程2a;d;c+d(;r/y)=0,积分得通解cc]+x/y=c,还有特解y=0不包含在通解中.它是原方程两边除以零而丢失的解.11)—x(�x�—j-�j一X=Q解：将方程分组成—办2+p2)dx-(xdp-ydx)=0，凑微分得—x(x�+dx—(x�+y�)darctan(�/x)=0，可见积分因子可取为-2)02+y2)，从而化成全微分方程2:cd:c+2darctan(y/;r)=0，积务得通解+2arctan(y/x)=c. 12)2xy~�dx+y_4(以2—dy=0.解：将方程化为[y-3cl(;r2)+a;2d(y-3)]-d(y-i)=0,凑微分得d{y-�x"�)—d(y-i)=0,|R分得通解—y-i=5.求解下列隐方程：1)y"2-3y"+2=0解：分解因式得（y"—l)(y"—2)=0，故由y"=l，得通解y=a;+c，由y"=2，得通解y=2;r+c.2)y=2xy"+解：引进参数P=y"，方程可写成参数形式y"=p,⑴y=2xp+a;2p4，(2)为消去变量y，将⑵式对a;求导后减去（1)式，得P，与a;的微分方程2p+2xdp/dx+2xp"�+dp/dx—p=0,整理得(1+2ccp3)(p+2xdp/dx)=0.由1+2xp�=0，解出p=—代入(2)式得I寺解y=-3/4(4a;2)V3�由p+2;cdp/da;=0，积分得P=c(士a;)-"2，入⑵式得通解：y=2c(士;r)"2+c4.(注意：求出p后不能代入⑴式再积分，否则会得到一个不是“任意的”常数的解，因为得到的解还必须满足⑵式）3)xy""�=l+y"解：令dyAk;=l/t，则得参数形式的微分方程X=t�+dx/dy=t,为去变量；r，将前式对y求导后减去后式，得t，与y的微分方程0在(0,+oo)上连续且/(x)j/⑷di=1,a;〉0，试求/⑷的表达式.1°JoJ[x)—p((:))，积分得/2(x)=2$+c,代入原方程得c=0，故/⑷=解：将方程化为ff{t)dt=两边对a；求导得：f{x)= 7.假设a:"(0)存在，试求满足,、X(t)X(5)的函数a;⑴.解：令t=0，S=0，得a;(0)=0，因此,/、X(t+s)—X(t)=[1+?⑷]1™s[l-xit)x(s)].=[1+趣]!宇=[l+⑷](0)即；满足微分方程a/⑷=x"(0)[l+a:2⑷]，积分得arctan(x)=a/(0)t+c,艮flx(t)=tan{x"(0)i+c)，再由a:(0)=0得c=0，故得戶if条函为a;⑴=tan(;c"(0)t).8.求一曲线，使得在它上面任一点的切线介于坐标轴间的部分被切点所平分.解：设在直角坐标系o:Oy中曲线的方程为y=y{x),在点Or,y⑷)的切线与a；轴，y轴组成的三角形中，由题意三角形的高等于2|y|，底等于2|4因此a;�=-y,积分得ajy=C，C/0.9.设函数⑴在（-oo,+oo)上连续，x{t)不恒为零.a:"(0)存在，且满足条件a;(i+S)=x{t)x{s),试求ib函数.解：令t=0，S=0，得a;(0)=0，或a;(0)=1，可见当;r(0)=0时，x{t)=x{t)x{0)=0，故只考虑a;(0)=1的情况，//、，x(ts)—X(t),、，X(s)—1,,、，、X(t)=lim-=X(t)lim-=X(0)x(t),s—OSs—OS即a;⑴满足微分方程a："⑷=x"{0)x{t),积分x{t)=ce�(D)t，再由a;(0)=1得c=1，故所求函数为⑷=e々0)t10.写出方程M{x,y)dx+N{x,y)dy=0具有形为pO±y)，/u(xy),的积分因子的充要条件.答：因为M(;r,y)dx+N{x,y)dy=0具有形如/x((/90r,y))的积分因子的充要条件是：仅是中的函数.所以方程有形如H(:e±y)，II(xy),/x(a:2±y2)的积分因子的充要条件是My—NxMy—NxMy—NxA口ii/x7曰_L2I2数.11.�M{x,y),N{x,y)都是;c，y的连续可微的m次齐次函数，m♦—1.记U(x,y)=xM{x,y)+yN{x,y),证明10咖和1上:w(:)x"(t)=lim�IVW6�M7�x±y,xy,x±y_ 1)xMx+yMy三mM(x,y)，xN�+yNy三mN,2�若M(x,y)dx+N{x,y)dy=0为全—分方程，则其通解为U{x,y)=c.3)/u(a;,?/)=…土没)是方程M(x,y)dx+{x,y)dy=0的积分因证：1)因M(a;,y)是;r，y的m次齐次函数，即对于任何i〉0，成立恒等式M(te，iy)E严M(;r,y).由M的可微性，两边对i求导，得xM"i{tx,ty)+yM2{tx,ty)=mt饥―丄M{x,y),其中{tx,ty)�{tx,ty)分别表示函数对第一、第二个自变量求偏导数.令上式中t=1即得证.同理可证关于iVOr,y)的恒等式.2)因m/-1，原微分方程等价于（1+m)(Mdx+Ndy)=0，又因Md;r+7Vdy=0为全微分方程，所以My=N工，则dU=Mdx+Ndy+{xMx+yN�)dx+{xMy+yNy)dy,又因Md;r+7Vdy=0为全微分方程，有Mj�=iVi�，所以dU=M(x,y)dx+M(x,y)dy+{xM�；+yMy)dx+{xN�+yNy)dy,再因M(;r,y)，iV(;c，y)都是a;，y的m次齐次函数，所以由1)得dC/=(1+m)(Mdx+Ndy),即C/(a;,y)=c是方程的通解.3)由积分因子的定义，只要证明=0即可.ayox求导得=—YU(My—N。+NUfMUyU(2)其中Ux=M+xMx+yNx-,Uy=NxMy+yNy,(3)将(3)代入(2)整理得=�2��(*+yMy)-M{xN,+yNy)]’（4)再将⑴代入⑷得，Uax=0.证毕.12.已知下列Riccati方程的一个特解((i?(a;)，试求出其通解：1)y"Q-工_j_—"2�yQ�=1—0��ip(�x"�=e工·解：令y=e®+u~代入方程得未知函数u的方程u"=e�,积分得u=e”+c，因此原方程的通解为y=e”+(e”+c)"�2)y"+—2ysinx=cosx—sin�x,�{x)=sinx:解：$y=sina;+�z_i，代入方程得未知函数��的方程=1，积分得=a:+c，因此原方程的通解为y=sina;+(x+c)"�3)4a;2(y—y2)=1’¥?(x)=:解：令y=-(2十1+u-代入方"k得未知函数u的方程u"=x"�u-1，积分得u=-xln(cx),因此原方程的通解为y=—{2x)~�—{xln{cx))~�.11ay 4)x�y"+(xy—2)2=0，ip{x)=-:解：令y=x-�+u-代入方程得函数w的方程v!=-x-iu+1,积分得u=；r-i(c+a;2/2)，因此原方程的通解为y=x-�+x{c+x"�/2)-�.5)y"={x-l)y2+(1-2x)y+x,ip{x)=1.M-令y=1+u-i,代入;程得未知®数U的方程=W+1-a;，积分得U=e�(c+xe"�),因此原方程的通解为y=1+(ce�+a;)"�.13.求出logistic方程的初值问题HTT=rx(l--),a;(0)=xo/0,0〉0,;�/是常数）atXf解a:⑴，并算出+limx{t)的值和说明其实际意义.解：这是n=2时的Bernoulli方程，除了平凡解a:=0外，其解可写成形式x{t)=~、——XoJ故可见IhjiOOx{t)=Xf,说明了只要;c(0)+0，任何解cc趋向平衡态14*.求出初值问题HA*at的解fc(M)，其中/⑷=akl�为Cobb-Douglas生产函数，这里(x〉0，00,f(x)>0,和(a;)在[a,/?]上连续，且满足不等式PXip{x)Vo的右行解是惟一的.证：用反证法.若右行解不惟一，则存在初值问题的两个解:(x),�2(a；),使得在这两个解的共同区间[；C(),6]上是不恒等的.令(5(x)=[ip2(x)-(fi(a;)]2，则d卞)=2[ip20)-ifi(x)][/(x,ip2(x))-f(x,(fi(x))]<0,xoip{x).证：若不然，则存在区间C/，在此区间上？/⑷<(/？⑷，且y{xi)=�{xi),但toeI成立，其中H为卜b，A⑷为矩阵4的对称部分Sit)={A{t)+A{tf)/2的最大特征值.证：方程组=两边左乘fT得至T至丨=X�A{t)x=x�S{t)x<{t)x�x即I郎)|"<|2+…+士11+…J�l为题中级数的强级数，从而该级数收敛.4.将下列方程组写成一阶方程组：?"=A?+/⑷的形式，即求出�和/⑷.(d/i”T、1de,,+CL3�2—CIaJ-I=0.dhJl,M=h,巧="�，记f=(X1,X2,X3)，则方程组可一GiGi写成f"=似+/⑷的形式，其中400-(23~�2：[1/Ride/dt�0,0]了.5.试用Picard逐次逼近法，求出初值问题dxdt的第3次近似解(�3.04—10f(0)�3l-2t�(注：精确解为:2sin2tcos2t6.设4为n阶常方阵，I为n阶单位阵，我们称A的n次代数方程det(A/-…=0为方程组f=Ax的特征方程，试写出n阶常系数方程+···+an-ix"+a„x=0的特征方程.答:特征方程为A"+aiA"-1A+I7.设A对于方程组：?"=A?，验证:20d�h丄d72丄厂, 有解⑷cost—s"mt和⑷s"mtcost对VC1,C2，它满足初始条件：?(0)=(Ci,C2)T的解为X(t)=ClU(t)+C2V(t).将下列二阶方程化成二维一阶方程组（其中a,/U,，e均为参数）、u_u2,9,dx(水星进动的Einstein方程):(VanderPol方程):X--ux--ax"da:、At.0,(Duffing方程)dxx=0,(Rayleigh方程).dt解:1dudv—=V—de‘dea—u--eu；仏da:dl�-ut3dtaty-K�-x),—X；(Lienard变换）dty—ijp"x—ax=-Xn{l-y�)y,首先利用Li6nard变换把二阶拟线性方程工石+工="化成关于(工,y)的二维一阶方程组，然后转变成以y为自变量、以工为未知函数的Bernoulli方程，并求出这Bernoulli方程的通解.PXrp��ry>解：作Li&iard变换：=/x�dx=,y=-——h-F(x),得二维Jo3dt一阶方程组a/=y-譬，=-;r2，它是以y为自变量、以:c为未知函数的Bernoulli方程，进而化为线性方程�-3y,求得通解=3y--3ce� 211),�9U=CISU，22c6IIuXX 习题2.2线性非齐次微分方程组的常数变易公式：对于线性非齐次微分方程组呈=A(t)x+fit),其中_是n阶连续函数矩阵，m是n维连续的函数矢量.设对应的齐次方程,且的基解矩阵为Wt)，则非齐次方程组的通解为郎）=m$-i(s)/(s)ds)，其中为m的逆阵.芒为n维任意常数矢量1.试验证J为齐次方程组上2f在i〉0上的基解阵，并求解非齐次方程组的初值问题t‘「01"I「dx"=22x+<-t-L」f⑴=I答：验证略.用常数变易公式得解为=(At)T‘2.设n阶方阵$(i)的列矢量在[a,6]上线性无关，找出在什么条件下才存在齐次方程组=（其中4⑷在上连续）使得少⑷为它的基解阵？若这样的方程组存在,是否惟一？答：当且仅当n阶方阵$(i)的行列式在[a，&]上恒不为零且连续可微时，才存在齐次方程组斤=使得0⑴为它的基解阵，而且这样的方程组是惟一的(因为这时4⑴=《⑷①-1⑷).3.设4⑴为在[a,6]上连续的n阶实方阵，$⑴为方程组f"=乂i)f的基解阵，而⑷为它的一个解.试证：⑴对于方程组守=-A�⑷y的任一解每⑷必有(t)0{t)=常数：(ii)*⑴为方程组甘=—AT咖的基解阵的充要条件为存在非异的常方阵C，使得⑷=a证：⑴因为+研0"==—(f+=0.所以⑴⑷=常数.(ii)必要性：设屯⑴为方程组y"�=-#⑴f的基解阵，则屯⑴的任一列矢量德是方程组守=的解，而①⑷的任一列矢量朽+⑷是方程组玄‘=4⑷X的解，由⑴，於⑷⑷=C)是常数：即免T⑷$⑴=C=(4)是常方阵.充分性：设*⑴=C是非异的常方阵，由于基解阵$是非异的，则也非异，两边关于t求导得：屯‘了=C($-1)",(1)22 再对恒等式少-1少=I两边关于t求导得：（$-1)、+$-1$"，从而得($-1)"=—（2)代入⑴式得屯‘了=C($-i)"=即屯=—屯了人两边取转置得屯"=—#屯，即屯是7=-A�{t)y的基解阵.证毕.4.设4为n阶常方阵，①⑴为方程组至"=Ax的标准基解阵，试证：对乂口0£11有$(力）$-1(力0)=少（€—力0).证：由于$(t)$-i(to)=�{t-to)的两边都是基解阵，且在t=to时相等.由微分方程矩阵解的惟一性得知，这两个基解阵恒等.证毕.5.设4⑷和fit)分别为在[a,6]上连续的n阶方阵和n维矢量，证明方程组定"=A{t)x+fit),m♦0,存在且最多存在n+1个线性无关解.证：设m为对应的齐次方程组的基解阵，柳是m的第j列，m为非齐次方程组的任一特解，则A⑷=m,石⑷=m+j=l,2,...,n是非齐次方程组的71+1个解，现证它们线性无关.用反证法.若它们线f相关，则存在rz+1个不全为零的常数c�"，j=0,1,2,...,n,使得c>i�j{f}=0，即HJJoV⑷=-SicVjW,由J=0,1,2,...,n的线性无关性，可知SR/0，所以0,存在:r〉0，使得t>T时，f{t)I)ds，其中c为n维任意常数矢量.JtoHf»初值问题/⑷，x(0)=fo的解为：attx{t)=exp(At)xo+[exp(74(t—s))f{s)ds.求常系数非齐次方程组的特解的算子方法：记D=i，DAdt�‘设巩t)是n阶常系数微分方程det(D/-A)[y=L(D)[�=/⑷的特解，OL(A)是A的特征多项式)(这特解的求法见习题2.4)则⑷=(D/-Arm是非齐次方程组的特解，其中（D/-A)*是算子矩阵D/-A的伴随矩阵.1.计算下列方阵A的exp(At).4-12-1-21-1-115)2-16)1-27)11-1-112-13-32-120-120C—b8)12-19)10210)—c0a1-1-21-1b—a0得解：1)特征多项式（A+2)(A-3)的根都是单根，它就是最小多项解方程组Co—2ci=6—2〜Co+3ci=e气f2e��+3e"��所以exp(At)=Col+ciA=e3*(-/+-A)+(-I--A],整理0、■1-1-Q.1-3-A--1-5‘4-3.3)31.4)11�=Ax+m其中4是ri阶实常数矩阵，/⑴是n维连续的函数at 解：2)特征多项式是（A+1)2.exp{At)=exp{—tl+(A+I)t)==exp(-t/)exp((�4+I)t)=exp(-t)[/+(A+I)t],得exp(�4�)1+2t—tAtl-2t解：3)解法1.特征方程为A2-2A+100，特征值是一对共轭复根A=1土3i，解方程Co+(1+3i)ci=e分别相等，得方程组Co+C1=e*cos(3t)代入exp(At)=cq/+ciA整理得(l+3i)"令方程两边实部与虚部3ci=e*sin(3t),If出cq，a后exp(At)cos3t—sin3tsin3tcos3t解法2.因为A=/+3J，其中0-1110由于/与J"%交换，于是exp(ylt)=exp(It)exp(3Jt)=exp(3Jt),再由于J2=-/，根运运指金的定义"�知exp丨3Jt)=cos(3t)I+sm(3t)J,从而立得exp(ylt)=e�(cos(3t)I+sm(3t)J).(注：对于一般的Aa—b类似可得exp(也)=(cos(6t)/+sm{bt)J).解法三：按公式（2)的方求法做.答：4)特征多项式为A2+4=0，由（2)得cos2t--sin2texp(血）·sin2tsin2tcos2tH——sin2t解：5)特征多项式是（A-1)3，A-I的秩是1，所以矩阵4的Jordan标准阵中关于特征值1的最大Jordan子块的阶数是2，从而最小多项式是（A—1)2，所以expOlt)=exp{tl+{A-I)t)==exp(t/)exp((�—I)t)=exp(t)[I+{A—I)t],得解：6)A的特征多项式是(A+1)2(A-3)，由于yl+/的秩是1，所以矩阵4WJordan丨示准阵中关手特：�1值-1的最大Jordan字块的阶是1，从而最小多项式是（A+l)(A-3)，所以设expOlt)co{t)I+ci{t)A,解方程组ciCo+3ci�3t得Cl⑷-e��-e*)，co(t)=30t—t-t(At)=e*2tl-2t-2t—tt1+1 3(e3亡—e~�)—3—e~�)2(3e��—e~�)答：7)本题最小多项式就是特征多项式：（A-1)2(A-2)，因expA=e"exp{A-I)t,而B=A-I的特征值为0(二重根）与1.通过求expBt2-ht-e�1-e�2e亡一（2+t)exp(�4�)-t1-j-1—e*1—2e亡一（1+t)8)本题最小多项式就是特征多项式：(A-1)(A-2)(A-3)，.2te2亡…�3t.St一�2亡exp(At)、2t—e2t3��-e2亡…、3t-+e3亡-I、2texp(At)cost--2sintcost—--2sintcost——3sinte亡—sin亡e*—sint-cost+sint2sint2sintcost—sint答：10)特征方程为A(A2+a2++c2)=0，记/?解得：Co=1，Ci=�sin(/3t),C2=泰[1-cos(/3t)],从而exp(At)=�[(pi(t)(p2(t)(�3⑴]，其中+(62+C�)COSpt++�2"Pi(i)�2(t)邮）ab(l—COSjdt)—/3csinf3tca{l—cospt)+Pbsinf3tab(l—cosjdt)+/3csinf3t+(c�+a”cosptbc{l—cospt)—l3asinf3tca{l—cospt)—(3hsinf3tbc{l—cospt)+PasinjSt(?+{c?+&2)COSpt2.求出下列初值问题f"=A?,f(0)為的解洲‘ 解：1)特征多项式为（A-2)0，0{t)�2t{I+{A—2I)t)xo3��(1+6t,1-6i)了答：2)由习题2.3题1.4(�?(亡）=6乂1)(乂亡);?0=((：032亡—泛31112€’泛31112亡)解：3)因为fo正好是A的特征值2对应的特征矢量，故m4)m-e3t851108o,72——————t.——+-1+——G.—+—(93"939"99i3t5)(f(t)=(e3亡sintsintcost,sintcost+求出下列初值问题f=Ax+f{t),f(0)=xo的解⑴.1口2)A-1I-1-5’/⑷fit)，工0，工02-1-■13)A3-2-，/⑴，工0-111-1122t4)A=5)A11-12-102-12102J⑷，/⑴，工0-21-11)A的特征值为土3，设exp(At)=Co/+其中Co+3ci3tQ„—解出Co=cosh(3t),ci=-sinh(3t).再求非齐次方程的解：先求方程det(D/-…f=/⑷的特解.即求（D2—9)y—=/⑴的特解品⑷=—于是—e-e是原非齐次方程的一个牛¥解.其(i)/-xr是D/-4的伴随矩阵:(D/-Ay1D+1323)A=“31-1"-121111,Xq=-1‘01，4”=“210‘02410-1,Xq=-0‘115)A=210‘13-1-123,Xq=-1‘10Co—3ciXp(t)=(D/-A)*yp⑴。， 从而方程的通解为；？⑷=Xp(t)+exp(At)c,而满足初始条件的解为X⑷=Xp⑷+exp{At){xo-Xp{0))得所求的解为"{t)=Xp{t)+co{t){xo-Xp{0))+ci{t)A{xo-Xp{0))II12�卞24�I-3teI£l在只求矢量解时，没有必要写出exp(血）的具体表达式：exp(At)-3t—e-3f4e3f+2e"-3t-3t因为我们只要求矩阵与矢量的积.矩阵的高次幂与矢量的乘积可以逐次求出.所以只要求出CO⑴，C1⑷，从而减少计算量.以下的求初值问题的习题答案中所给出的exp(A)的表达式只是供参考之用.答：2)由习题2.3题1.4cos2t--sin2tsin2texp(血）sin2tcos2tH——sin2t再求方程ciet(D/-⑷f=/⑷的特解.即求（D2+4)f=/⑴的特解於⑷(1,t)了，于是办⑴=(D/—A)yp{t)=-(—1—5t,2+t)�是原非齐次方程的一个特解.从而方程的通解为X⑷=Xp⑷+exp(�4�)C.而满足初始条件的解为X(t)=Xp(t)+ex.p{At){xo-Xp{0))从而得所求的解为…广5�15…151�7…"U844"283)先求出2e�—11—1—+-t4yexp(At)3e�-33-2e�3-3e�1——12e�—1再求方程det(D/-…f=/⑴的特解.即求（D3—2D2+D):fit)的特解fp⑴=++，于是33¥5-�eeiip3t_|_Ap-8e3亡—8e"+4eX(t)={-cos2t--sin2t----1,-cos2tH——sin2t+ fp⑴=(D/-Afy{t)-r+-6,-r+-16,--r-At�3是原非齐次方程的一个特解.从而方程的通解为mXp⑷+exp(�4�)彳而满足初始条件的解为X(t)=Xp(t)+ex.p{At){xo-Xp{0))得所求的解为茫⑷=(1+5-5e�+5t+5e�-4-答：4)先求出-e�++-e"�-.、2t-土e-亡exp(At)22e*-e--eeLi、2t�Ofo+-€由于/是常数矢量且0不是矩阵4的特征值，可以直接求方程（D/-…/的常矢量特解.即解代数方程组=/得得Xp=-(1,1,1)T从而方程的通解为f⑷=Xp+exp(At)c,11�?满足初始条件的解为X⑴=Xp--exp{At){xQ—Xp)得所求的解为__-e"4--e"""3-e--e2ofo十5)由习题2.3题1.9exp(At)cost--2sint—sintcost—2sint—sintcost——3sint—cost+sint2smt2smtcost—sint再求(D—l)(D2+l)f=f得特解务⑷=(―1,—1,—(1+则茫p(t)(D/—Ayyp(t)=(1+2t,1+2t,—t、T是原非齐次方程的一个特解.从而方程的通解为K亡）=茫P⑴+exp(At)(xo-Xp(0))即1+2t—cost1+2t—cost--—t--h(cost+sint+e�)3426+3+6-:Te""+:�e*--e"�4- 不计算矩阵expOl)，求出下列的det(exp(yl)).解：因为exp(A)是方程=Ax的解矩阵，其Wronsky行列式W(t)=det(exp(At)),由Liouville定理det(exp(At))=exp(0)exp(/qtr�ds)=exp(/qtr�ds)，所以1)det(exp(�))=e�,2)det(exp(�))=e。=1.5.求出方程a;""-2a;〃-a;"+2a;=0的通解.6.求出二阶方程初值问题:r〃-3a;"+2;c=2e-、;c(0)=2,x"(0)=-1的解.解：设对应的齐次方程的解具有形式e"t,其中A为待定的常数，代入方程得，(A2-3A+2)=0,解出A=-1,2，可见对应的解是线性无关的，因此齐次方程的通解为ciet+C2e2再设非齐次方程的一个特解有形式ce-t，C为待定常数.代入得ce-t(l+3+2)=2e-",解出c=·，所以方程的通解为;r(t)=件;r(0)=2,x"(0)=-1可以决定常数t+cie*+C2e气最后由条所以解为‘⑷=o®"*+4e*—-e2t7.假设:r=⑴是二阶常系数线性微分方程初值问题x"+ax"-hbx=0;x(0)=0，x"(0)=1的解，试证a；=fof{t-s)/(s)(is是二阶非齐次方程x"+ax"+bx=f{t)的解，其中/⑷为已知的连续函数.证：直接求导验证，略8*.记算exp(血)，其中A解：特征方程为A(A-2)5=0,由于2是高次重根(5重根)，经计算，B=A-2I的秩为4，因此矩阵4的Jordan标准阵关于特征值2有两个Jordan子块.这两个子块只可能分别是1阶和4阶的，或分别是2阶和3阶的.又因的秩为2，比B的秩减少了2阶.所以这两个Jordan子只能是一个2阶，一个3阶.所以最小多项女为35103““142‘1)A=-12001-1，2)A=31-121-23-1110011-1-1000020110002-1-1000011000011 A(A-2)3.然后利用性质exp(也）=e2�exp((�-2I)t)=exp(5t)来计算较简单(原因见下).设exp(i?t)=cqI+ciB+C2-B�+.(1)(其中B,S2已在求最小多项式时得到，这是简单的原因之一)，则Co—2ci+4c2—8c3-2t.2c2=(以上方程组较易解出，这是简单的原因之二）解出Cfc，k=0,1,2,3，代入⑴得1+t——t--1--1t1——t亡2——t——texp{At)=e2t-t—tl+e_2亡l-e-2亡22l_e_2亡l+e-2亡9*.根据§2.2中定理8的Liouville公式证明：对于以w为周期的周期系数线性方程组a:"=Ait)x的乘数Aj和特征指数p”j=l，2，...，n，应分别满足nXj=exp(/trA{s)ds)1�0和�1广…，，2m,ypj=—trA[s)as(mod-)并用例16加以验证.证；设①⑴是任一基解阵，则①(i+a;)=$⑷C，取（=0，则第-式可由Liouville公式推得：i‘、)detim)nujp(JtrA{s)ds)对上式两边取对数再除以u；得第二式.%10*.试证：对于以U；为周期的周期系数线性方程组a:"=4⑷:r的任一实基解阵Wt)，必定存在一个％以2a；为周期的实矩阵函数P⑴和一个实常方阵i?使得Wi)=P⑷eB、36nA,=det(C)=；;et(:("))=ex 习题2.41.高阶线性非齐次方程的通解的常数变易公式.设n阶线性非齐次方程;+···+an{t)x=/⑷对应的齐次方程的基本解组为：X2{t),…，Xn{t).则非齐次方程的通解为x{t)=Xp(t)+CiXi(t)+C2X2(t)H-----CnXn(t),其中⑷是n阶线性非齐次方程的一个特解，可用下列积分表示:k{s,t)f{s)ds〜JtoW[xi{s),x2{s),■其中是下列函数行列式a;i(s)X2(s)丨⑷⑷Xn(s)Xl(t)X2(t)Xn(t)W[xi{t),x2it),■■·，；⑷]是;Ci(i)，X2it),■■·，iTn⑴的Wronsky行列式.2.求n阶实常系数线性齐次方程L(D)[:r]=0的通解：首先解出特征方程m=0的所有的根入，若A是fc重实根，则齐次方程有k个特解气s=o,l,...,A:-l.若A=a±/3i是一对共轭的重虚根，则齐次方程有2k个特解tseatcos{(3t),t"e�"sin(/3t),s=0，1，…，-1.一共可得到n个特解，n阶实常系数齐次线性方程的通解就是这n个特解的线性组合.3.设n阶常系数线性微分方程为：:(")+ai⑷H-----o„_ix"+记（1)的特征多项式为:/⑷·⑴L(A)EA"+aiA"简记求导运算如下:dt"卜1dt2",D�-1A+dt"，则方程⑴可写成形式l(D)[:r]=f(t).求实常系数非齐次方程=/(i)的特解的比较系数法：当非齐次项有形式m=而其中Pm⑴为f的m次多项式时，可以用比较系数法求特解.当A是对应的齐次方程的k重特征值时，非齐次方程的特解具有形式m=而当A不是对应的齐次方程的特征值时，非齐次方程的特解具有形式柳37-.At⑷，hh qm{t)是某个m次多项式，将其代入方程后，使方程两边同类项的系数相等可确定特解.在代入过程中，可以利用Leibniz法则简化求导运算：设⑴是n阶可微函数，则有：4.如果已知二阶线性齐次方程a："⑴+lKt)At}+q{t)x{t)=0的一个特解Xl(t)+0,则另一个与之线性无关的特解⑴为x2(t)=xi(t)Jxf{s)其中不带积分下限的积分理解为被积函数的任一原函数.5.Euler方程：所谓Euler方程就是可写成如下的n阶微分方程(8是自变量，X是未知函数)：+···+ttn-isx"+a�a;=/(s).作自变量的变换S=±eS即t=In(干外于是=王，从而d-sSdx1dx1d~s=~sM=？d"�x_1(d�xdx—1.用数学归纳法可得cTrrd5"一D(D—1)(D一2)...(D—m+l)x.于是，Euler方程可化为常系数线性方程来求解.其特征方程为：A(A一1)...(A一77+1)+0-1A(A一1)...(A一77+2)+...+Cln—l入+=0.1.判别下列各组函数是线性相关还是线性无关？1)+2t,3t�—l,t-h4;2)l,sin�t,cos2t]3)t,0,4)sincost,sin2t;5)答：1)线性无关.2)线性相关.3)线性相关.4)线性无关.5)线性无关2.求出下列常系数线性方程的通解：⑷一5x"+4x=0：2)—4;r(3)=0：jf+2x"+lOx=0：4):c(3)—4x"+5x"—2x=+3:5)a:⑷一230”+X=—3:6)x"+—2x=8sin2t:〃+2ax"+o?x=:8)x"—2x"+3x=e~�cost:"+X=sint—cos2t:10)oc"—4a/+4x=+1:11)2C”—2a/+2x=te�cost:12)x"+x=csc�t.38 1)特征方程为A4-A2+4=0，其全部特征值为A=-2，-1,1,2.所以a;⑴=cie-2*+C2e~*+cse*+046��2)X⑷=cie-2*+C2e2*+C3+c�t+cst�,3)X⑷=e—亡[cicos3t+C2sin3t]，4)特征方程为MX)=a3-4A2+5A-2=0，其所有的特征值是A=1(二重)，A=2，非齐次项的形式是/⑷=2t+3=e�"{2t+3),因0不是特征方程的根，所以特解具有形式=(�+6，代入方程求出a=—1,6=—4，从而通解为a;(i)=—t—4+e*[ci+C2t]+,5)X(t)=+1+e—t[ci+C2t]+e*[C3+c�t],6)特征方程为L(A)=A2+A-2=0，其所有的特征值是A=-2，A=l,非齐次项的形式是m=8sin(2t)=Im8e2«,因2i不是特征方程的根，所以特解具有形式调=Im(ce2it)，其中C是待定的复常数.因此，先求方程MD)[；2(i)]=8e2ii的复值特解，其中z(t)=ce2i(由Leibniz法则，L{B)[z{t)]=(e2i*)L(D+2i)[c]=(2i-6)c=求出c=-从而特解为iCp⑷=Imz⑴=Im(-=2—I[cos2t+3sin2t],所以通解为⑷=——[cos2t+3sin2力]+cie~��+7)X(t)=--+e[ci+C2t]，a♦—1，(a+1)■11X(t)=+cit+C2e�,a=—1:8)X(t)=—e~�[5cost—Asint]+[cicos(v�t)+C2sin(v�t)j，1r1"I9)X(t)=-cost+costci—-t+C2sint,oA1r1■10)X(t)=—++©2*Ci+C2t+，11)X(t)=-te�[cost+tsint]+[cicost--C2sint],12)(注：本题不能用比较系数法而只能用常数变易公式求特解）/、1x{t)=-CSCt--ciCOSt+C2sint.3.求解下列Euler方程的通解（s是自变量，x是s的未知函数)H-—X=0：—2x"=0:3).5�x"—4sx"--6x=s:4).s�x"—sx�--2x=sins·答：1).x{s)=—--C2S,s答：2).X(s)=Ci+C2In(lbs)+C3s3，答:3).X(s)=�5+CiS�+C35�,39 答：4).a;(s)=sIns+s[cicos(Ins)+C2sin(Ins)].4.如果已知二阶线性齐次方程a："⑴+P伽"(f)+q{t)x{t)=0的一个特解洲+0，试利用Liouville定理求出方程的通解.解：令y=:r"⑷，则原方程等价于线性方程组=y,y"=-q{t)x-p{t)y,设方程组的任一解为（a;⑷,y(t))T=则W⑷=WMt),x{t)]=为解矩阵的Wronsky行列式由Liouville定理，⑷=c�e工tr冲)d*即伽"(f)-=C2e_/pWdt，它是关于a:(t)的一阶线性方程.应用常数变易公式，取对应的齐次方程的特解为m=娘得通解x{t)=ip{t)(ci+C2J；s)e_/P⑷d"cls)5.已知下列二阶线性方程所对应的齐次方程有一个i的多项式特解，试求出其通解：hit—tx"X=In�t:2){2t+1)cc"+Atx"—4x=+1:3)(t"�+x"H-(t-j-2)—X=t---:4){2t+1)x"+(2t—1)—2x=答：1);c(t)=Cii+C2(1+Ini)+I(ln(t)—1)，（齐次特解t)答：2)X(t)=cit+C2e-2i++1，（齐次特解t,非齐次特解f+1/4)答：3)X{t)=ci(t+2)+C2t�+-[3+(t+2)In(士t)]，（齐次特解t+2)答：4)Xit)=ci{2t—1)+C2e-*+{t�+1).(齐次特解2t—1，非齐次特解（t2+l)/2)6.用适当的降阶法求解下列二阶方程(自变量是t):5)ax"+[l+[x"f]3/2=0，a�O:6)x"-—+{x"f=0.答:l)x=土丢�0+Cl)3+C2,答：2)t=x+ciln(c2x),还有解a;=c，答:3)x=1+~，dt+C2答：4)除了明显的两族解a:=外还有与这两族解相联接而成的40 定义区间为R的极大解族:C2{t—CiTV/2),t�Ci—7r/2,C2+COS(t—ci)，ci—7v/20,w〉0是常数）试就nto三种情形讨论其通解当t+oo时的性答：特征方程为A2+2nA+o；2=0，当系数n〉0，u;〉0时特征值的实部都小于零，所以任一通解当t4+⑴时都趋向零.10.对于二阶线性方程x"+2nx"+uj"�x=/isin(pt),(w>0,w>n>0,/i〉是常数）试讨论这个方程的通解在下列情况下当t—+oo时的性质：1)n=0且或n=0且p=w的情形：23n〉0且或n〉0且p=w的情形.41,+、I,+、If(Sm⑷—fl(t)IP2{S),.X=Cl(/9i⑴+C2ip2⑴+/-TT77T-f[S)ds 解：1)n=0且p/w时，通解为a;⑷=cisin{ujt+�2)+�-�sin(pt)，解是两个正弦波的叠加.随着时间t的增加，波幅不衰减.当n=0且P=U!的情形，通解为；C⑴=cisin{cvt+C2)-�tcos{ujt),随着时间t4+00，波幅无限地增大，产生所谓的共振现2)n〉0且时，通解为HH=](0)2—p2)2+0是常数，COS0=�,sin0=解是一个衰减的正弦波和一个正弦波的叠加.随着时间t4+00，解渐近向这个正弦n>0KP=iv的情形.通解为X(t)=cie_""亡sin(f3t+C2)+-——sin(ujt——�,zntoV2/解是一个衰减的正弦波和一个正弦波的叠加.随着时间t4+00,解趋向这个正弦波.11.求解单摆运动方程+Jsin<�=0，（其中U；2=g/l是正常数)的小振幅近似方程的初值问题：4>"+o#0，0"(o)=0答：(p{t)=(pQcos{ujt)12.假设0；=⑴是二阶常系数线性微分方程初值问题x"+ax"+bx=0,x(0)=0,x"(0)=1的解，试证a；⑷=Jof{t-s)f(s)ds是二阶非齐次方程x"+ax"+bx=f⑴的一个特解，其中/⑷为已知的连续函数.证：x"⑷=(�(0)/⑴+Jqip"(t-s)f(s)ds=Jqip"(t-s)f(s)ds,x"⑴=(0)f(t)+/oif"{t-s)f(s)ds=f(t)+Jqif"{t-s)f(s)ds,所以a:丨丨⑷+ax"⑷+hx⑷==/⑴+/oW{t-s)+aip"{t-s)+bif{t—s)]/0)ds=f⑴.证毕.12*.验证积分-微分方程x{t)=w{t)+JGi2{t,s)f{s,x(s),x"(s))ds:(1)在解集相同意义下与边值问题x"=/(t,X,x"),x(a)=a,x(b)=/3:(2)42X(t)=cie"""*sin+C2)+�sin{pt—9),其中，f3=l—r?, 的等价性，以及验证估计式j:GMt,.0,02>0.4.三次实系数多项式A3+aiA2+a2A+a3的根都具有负实部的充要条件是ai>0,a2>0,as>0,>�3.1.对于非定常系统X"=:c，y"=y+t，检验平移不变性和群性质是否成立？答：不成立.因为解为a；=cie*，y=C2e*-(1+t).2.考虑平面定常系统x"=y+X(l-,y"=-X+y(l-,利用极坐标变换:;c=rcos0，y=rsin0，求出它的奇点、闭轨和整个轨道族的方程，并画出它们的分布草图.解：盖=r(1——)，盖=—1，奇点为工=0，y=0，闭轨为r=1.除奇点外，轨道族方程的参数方程为Vl+cie-*可见这些轨道随着时间的增加，都是顺时针方向围绕原点盘旋，除7闭轨r=1外，都邊向丨运轨r=1.消i参数得除奇点夕轨道方程图略.3.试证以下论断1)若Z是自治系统的闭轨，则=々=L2)若有界轨道；的a;(a)极限集合��⑷是只由一点Q构成的，艮={Q},则Q必为奇点，并且当t4+oo(-oo)时轨道I趋向于这个奇点.之,舍—t—+oo(-oo)时轨道I趋向于一个点QeG，则Q必为奇点，且有ni(A)={g}.证：1)设闭轨Z的周期为r，任取闭轨Z上一点f⑷，则f(i+A;:r)=x{t),keZ,所以闭轨I上任一点是闭轨I的W(a)极限点，因此ICfti{Ai),另一方面，由于闭轨I是有界闭集，I上的任意无穷点列;?(tk)的极限点都属于I，即(A)cZ，所以=▲=Z.44r=,1丨1=f,0=-t+C2.at 2)因为={Q}，而{Q}是由若干整条轨道组成的集合，因此Q是奇点.且由于极限集只有一点，所以当t4+oo(-oo)时轨道I趋向于这个奇点.反之，舍—t—+oo(-oo)时轨道I趋向手一个点QeG,则I的极限集只由一点QeG构成.由前证它必为奇点.4.试证：任何闭轨I都存在一个包围该闭轨的环域，使得在此环域内不存在奇点.证：因为在有界集合I上每一点至,都有f=fix)/0，由/(f)的连续性，存在包围Z的充分小的环域，使在此环域中/⑶+0,即在此环域中不存在奇点.5.找出下列方程组的奇点，判别在奇点处的一次近似方程组的奇解的稳定性：1)=X(1—X—,y,=y{2—如一y)，解：奇点为(0,0)，（0,2)，(1,0),(1/2,1/2)，矢量场f{x,y)的Jacobi阵为41—2x—y—X-3y2-3x-2y，奇点（0,0)处，02特征值大于零，奇点不稳定..特征值都小于零，奇点渐近稳定.，特征值都小于零，奇点渐近稳定.2A的特征方程为A2+2A-2=0,有大于零的特征值，奇_点不稳运.2)x"=9x—6y+4xy—5x�,y"=6x—6y—5xy+4y�,解：求奇点：除了明显的奇点（0,0)外，由3{3x—2y)=X(5x—4y),6{x—y)=y(5x—4�),消去5;c-4y得（y-2x)(a:-2y)=0，即y=2a:或：r=2y,从而分别得奇点（1，2)和(2，1).「矢量场的Jacobi阵为A9+4y—lOx4x—66—5y8y—5x—(在奇点(0,0)处3-22-2♦的特征方程A2—A-2(A-2)(A+1)=0有大于零的特征值，奇点不稳定.在奇点（1,2)处47-2-45特征方程A2—12A+27=(A-3)(A-9)0有大于零的特征值，奇点不稳定.在奇点（2,1)处4-721-8特征方程A2+15A+54=(A+6)(A+9)0，特征值都小于零，奇点渐近稳定45奇点（0,2)处，A=-1-60-2奇点（1,0)处，A=■-10-1‘-1奇点（1/2,1/2)处，丄4=-2.-1-3 3)y—X,y"=y——{y—x)(y2—2xy+|x"解：奇点为（0,0)及（1，1).在奇点（0,0)处矢量场的Jacobi阵为4征值1，奇点不稳定有正的特在奇点（1，1)处4513213特征方程+1=0的特征值的实部都是负的，故奇点渐近稳定.判别下列线性微分方程组A?零解的稳定性：1)�11I101I2)A22120-14)1-103-1-15)A答：1)特征方程为A3-A2-5A+51)，所以零解不稳定.答：2)特征方程为（A+1)(A2+1)=0,特征值的实部都不大于零，并且特征值的实部等于零的特征值都是一重的，所以零解稳定.答：3)特征方程为A3+4A2+9A+10=0,它的系数都是正的，而且系数满足关系ai(p2=4x9=36>03=10,所以特征值的实部都小于零，所以零解渐近稳定(实际上特征多项式可分解为(A+2)(入2+2A+5).)答：4)矩阵4命阶n=3，特征方程为A3=0，A=0为二重特征值，但特征矩阵A/-yl=4的核=2/n-3=0,所以零解不稳定.答：5)特征方程为A(A+1)2=0,特征值都不大于零，并且特征值A=0是一重的，所以零解稳定.答：6)特征方程为（A+1)3=0，特征值都是负的，所以零解渐近稳定. 462-2--3221-2；3M=--3-112-3.—1200-1-1“01-1-1-10；6)A=10-110-122-35A+5=0，它有正的特征值（A= 习题3.2对于二维常实系数线性方程组f/，其中4是非奇异二阶实方阵，/是二维实常矢量.则方程有惟一的奇点.这奇点的类型为：1)当4的两特征值非零,同号时奇点是结点，特征值都为正时是不稳定结点，对应的定常解是不稳定的；特征值都为负时奇点为稳定结点，对应的定常解是渐近稳定的.（结点又可细分为正常结点（当两特征值同号但不相等时);星形结点(当4是数量矩阵A/，A/0时)；退化结点(当4不是数量矩阵A/，但两特征值是相等的非零实数时).2)当4的两特征值非零，异号时奇点是鞍点，对应的定常解是不稳定的；3)当4的两特征值是实部非零的一对共轭虚数时，奇点是焦点，实部为正时奇点是不稳定焦点，对应的定常解是不稳定的；实部为负时奇点为稳定焦点，对应的定常解是渐近稳定的.4)当4的两特征值是一对非零的共轭纯虚数时，奇点是中心，对应的定常解稳定但不是渐近稳定的.平面直角坐标系中的微分方程=f{x,y),y"=g{x,y)化为极坐标（r,0)中的微分方程的公式：r"=[xf{x,y)+yg{x,y)]r-9"=[xg{x,y)-yf{x,y)]r-"�其中X=rcosQ，y=rsin0.1.求出下列方程的平衡点(奇点)，并判别其类型和稳定性：1)=—4x—y—2,y"=2x—y--A]解：奇点(-1，2)，特征方程A2+5A+6=0,特征值A=-2,—3,奇点为稳定结点.2)=3x+4�—2,=2x+y—3：解：奇点（2,-1)，特征方程A2-4入-5=0，特征值A=5,-1，奇点为鞍点(不稳定).3)x"=X—2y,=y—1.解：奇点（2,1)，特征方程入2-2入+1=0，特征值》=1，相应的特征矩阵的秩为零，故奇点为不稳定星形结点(奇结点).4)=2y—3x—2,=y—2x1：解：奇点（4,7)，特征方程A2+2A+1=0，特征值A=-1，（二重)，相应的特征矩阵的秩为一，所以奇点为稳定单向结点(退化结点).5)x"=X—y—3�=y—Ax1：解：奇点（2,-1)，特征方程A2—2A-3=0，特征值A=-1，3，奇点为鞍点（不稳定).47 6)2x—7y--19，X—2�+5奇点（1,3)，特征方程A2+3=0，特征值Ai,奇点为中心点.7)=—X一y+1,y"=X—y—h.解：奇点（3,-2)，特征方程入2+2入+2=0，特征值》=-1±€，奇点为稳定焦点.8)=4x—3�—1,=2x—y—1.解：奇点（1,1)，特征方程A2—3A+2=0，特征值A=1,2，奇点为不稳定结点.2.确定下列方程组的彳，限环，并判别其稳定性:1)1x"=-X+(x-y)Jx"�+y2，Iy"=-y+{x+y)[x"�de答：在极坐标下：有方程dt因此系统有闭轨r=1，根据在r定极限环.1的附近i的正负号可以判定这闭轨是不稳2)y—X(x�+一1)a/x�+’0：—X—y{x�+y2一1)+ix,y)/(0,0),ix,y)=(0,0).{x,y)+(0,0)，(a;,y)(0,0).在极坐标下：有方程drdt1—r石=-因此系统有闭轨r=1,根据在r限环.dr1的附近i的正负号可以判定这闭轨是稳定极3)y"■X(x�+一1)(工2+#2一9)一y(冗2+一4)：y—1)—9)+X—4).drdtr(7*2—1)(”2—9)dedt一4，因此系统有闭轨drr=l，根据在r=l的附近i的正负号可以判定这闭轨是稳定极限环.同理可得r=3是不稳定极限环.4)yy--X+？-1)X+y(x�+-1)�de因此系统有闭I·nj乂V"■工df"VJ‘d力n-y-rJUnjI"JJ1，根据在r=1的附近g的正负号可以判定这闭轨是半稳482--atdt在极坐标下：有方程二dt在极坐标下：有方程d”dtat 定极限环.3.判别下列方程是否存在极限环：1)x"=X+y+a;3/3—xy"�,y"=—x+y+x�y+2y�/3答：不存在，因为方程的方向场的散度=2+2:r2+y2〉0.2)x"=—2x+y—y"=y+—x�y.答：不存在，因为方程的方向场的散度=-(l+;z�2+2y2)<0.3)x"=y—X+y"=—x—y+y�.答：知在，因为系统只有一的奇点(0,0),(因为奇点应满足方程y=x{l-a;2),X=y(y2—1)，除了原点外的#;应满足1=(1—x�)(y�—1),及1=(1—+(y2—1)2，即(1—a;2)2—(1—;r2)(y2—i)+(y2—1)2=0，从而得1—a;2=0，y2—1=0，矛盾，故没有原点外的奇点）在极坐标下有dr/dt=-r[l-r2(cos40+sin46%由于I/2Scos46»+sin46»S1，所以�在以原点为心的充分小的圆（00}的一个非空的连通分支.且foe反且设V0?)在B上连_可微，在B的闭包5上连续，且V(fo)=0.若在B上关于方程盖=f{x)的全导数I=W{x)./(f)>0,且集合M={XeBVV{x)■m=0}中不含方程的平衡点f=:?o以外的整条轨道，则平衡点是不稳定的.注：当在G上>0,且全导数在G上是正定时，这时M={0}，这V函数就满足不稳定性定理的条件.1.求出下列方程组的所有平衡点(奇点)，并讨论相应定常解的稳定性：_1)=ln(l+�+sinx),=2+�3sinx—8;解：奇点为〜0)，在奇点处的Jacobi阵为A(-1产当k是奇数时，特征值X=-i稳定.当k是偶数时，两特征值异号，不稳定.2)x"=y,y"=-X+II{y-x"�),II>0]解：奇点（0,0)，（-/x-i,0)，特征方程分别为A2-4+1=0和A2-M-1=0，特征值有正的实部，所以奇点都不稳定.3)x"=y—X,y"=y——{x—y){y�—2xy+解：1.奇点为（0,0)，在奇点处的Jacobi阵为at 有正的特征值1，所以奇点不稳定.2.奇点为（1,1)，在奇点处的Jacobi阵为特征方程为A2++1=0，特征值都具有负实部，渐近稳定.2.研究下列线性微分方程零解的稳定性：1)x""+hx"+6x"+X=0;答：特征方程为A3+5A2+6A+1=0，0_1>0,02>0,aiO2=5.6=30>as=1>0,根据Hurwitz定理，根的实部都小于零，所以零解渐近稳定.2)x"=IIX-y,y"=ny-z,?=/xz—a:，O为常数)：答:特征方程为(A—;U)3+1=(A+1—/Lt)(入2—(1+2�)A++�+l)=0，当">时零解不稳定.=-·时，零解稳定，当P<-|时，零解渐近稳定.3)=—X—yz,=X—2y+2�,=x2yz.答：特征方程A3+2A2-5A-9=0在区间（2,3)中有正根.所以零解不i急定.3.讨论VanderPol方程x"+(xa:"+X=0,(iJ,>0)解：li、为当/X〉0时，对应的方程的线性近似方程CC"—/j:c"+0：=0的特征方程A2-M+1=0有正的特征值，所以原方程的零解不稳定.4.讨论下列非线性微分方程组零解的稳定性：1)x"=y,y"=a{l—x�)y—bx,{a>0,b>0)答：零解a〉0时不稳定，a=0时稳定（取V{x,y)=hx�+y�),奇点（0,0)在a2246时是不稳定结点，00,6>0)答:零解a〉0时渐近稳定，a=0时稳定(取{x,y)=b{l-cosx)+奇点（0,0)在(X2246时是稳定结点，0<(J2<46时，是稳定焦点，a=0时是中心点.5.判别下列函数的定号性：1)V(x,y)=：2)V(x,y)=—2xy�:3)V(x,y)=—2xy�+:4)V(x,y)=+2xy+:5)V(x,y)=XcosX-hysiny.答：1)常正2)变号3)正定4)正定5)变号6.试用形如(x,y)=ax�+y�,(a〉0)的Liapunov函数确定下列方程组零解的稳定性：51 1)y"=—x"�y.解：取正定函数V{x,y)=；r2+y2，全导数�=-4;rV<0，所以方程的零解是稳定的，但不是渐近稳定的.(这从轨道方程:c2-y2=c2，当t4+00时趋向定常解（a;,y)=(±c,0),轨道方程a;?—々2=—�2，当t+00时趋向定常解（;r,y)=(0,±c)看出).2)=—X+:cy2,]/=—2x�y—y�.解：取正定函数V{x,y)=2a;2+y2，全导数—2(2x"�+是负定的，所以方程的零解是渐近稳定的.3)=—X+2一，y"=—2xy�.解：取正定函数V{x,y)=a;2+y2，全导数|=-2x�<0,所以方程的零解是渐近稳定的.因为1=0的集合{(:r，y)|a:=0}中除了奇点以外不包含其他整条轨道.4)x"=x�-2y3，y"=xy�+x�y+-y�.解：取正定函数V{x,y)=x�/2+y�,全导数|=(工？是正定的，所以方程的零解是不稳定的.7.研究下列非线性方程组零解的稳定性：1)x"=—X—y+{x—y){x�+y�)’y"=x—y+{x+y){x�+y�).解：由于线性近似方程的特征值-l±i都具有负实部，所以原方程的零解是渐近稳定的.2)x"=—y2+(x�+y�)’y"=—x�—{x�—y�)M-在区域E={lx,y)x+y<0}上V"{x,y)=-{x+y)>0,全导数�={x"+y")-{x"+y")在原点的充分小的邻域上是正定的.而(0,0)eE,因此零解是不稳定的.3)y,=：解：取正定的函数+y4，全导数I三0.因此零解稳定的但不是渐近稳定的.（因为从轨道方程就是=x�+y�=c2可见）4)—ax—xip"�y,=2x�y:(a为参数)：解：取正定的函数V"(;c，y)=a;4+y2，全导数=4ax�.当a<0时零解稳定，但不是渐近稳定的.因为有定常解Or,y)=(0，c).当〉0时零解是不稳定的.因为原方程的线性近似方程有正的特征值a.、5)x"=ax-y"=2x�y,(a为参数）解：取正定的函数{x,y)=全导数$=4aa;4.当a=0时零解稳定但不是渐近稳定的.因为有轨道=x�W=c2，当a>0时零解是不稳定的，因为方程的线性近似方程有正的特征值52at a.当a<0时零解是渐近稳定的，因为=0的集合{(a;,y)|;r=0}中除了奇点（0,0)以外不包含其他整条轨道.8.给定方程组x"=y-xf{x,y),y"=-X-yf{x,y):其中对其变量连续可微.试证：在原点的去心邻域内，若/〉0，则零解为渐近稳定：若/<0，则零解不稳定.证：取正定的Liapunov函数(a;,y)=a;?+y2，全导数I=-2(工2+y")fix,y),因此在原点的去心邻域内，若/〉0，全导数是负定的，则零解为渐近稳定的：若/<0，全导数是正定的，则零解不稳定.9.给定二阶半线性方程x"+f{x)=0,其中/(0)=0，且当;c7�0时有;c/Or)〉0(对—0)试将它化为二维一阶方程组(令;c=x,y=x"),并用形如V(x,y)=“2+Jof(s)ds的Liapunov函数讨论方程组零解的稳定性.解：将二阶方程化为二维方程组如下：x"=y,y"=-f(x).由题设条件，Liapunov函数是正定的，全导数g=0，因此零解是稳定的.10.一小珠子光滑地串在一个半径为i?的圆上(圆垂直于水平面(X-y平面)，z轴与圆的一直径重合，当这个圆以常角速度>0绕(整直向上的）Z轴转动时，珠子的运动方程为——sinv—u)cosysind=j,dtR这里将极坐标固定在圆上(以圆心为极点以Oz为极轴)，0为极角，f?〉0为重力加速度常数.试将珠子运动方程化成二维一阶方程组，找出其平衡点（即奇点），并讨论平衡点的稳定性.解：设:r=0，y=则方程化为方程组：x"=y,y"=sinxcosa;)·奇点为A=(0,0)，B=(7r,0),当g〈io2R时，还有奇点C=(xe,0)=(±arccos(-Jjj,0),奇点4是鞍点（不稳定）.当9<时，奇点B539.a2a■anfat 是鞍点(不稳定)，C是线性近似方程的中心.当g>u;"R时，B是线性近似方程的中心.当g=uPR时，奇点B是非正则奇点(特征值全为零).对于中心时的B，C,和非正则奇点的B的稳定性，可仿习题9的方法构造Liapunov函数来穷j定.但根福物理意义可知，它们如应该是稳定的.实际上，当g>cv"R时，对于B点，取正定的T/函数（实际上是轨道方程的积分）V{x,y)=y2+4sin2f�cos�而全导数�=0，因此，i?点是稳定的.当50,y>0)即这个生态系统的数学模型为Volterra-Lotka捕食方程：‘dx.n——=Ax—Bxy�0,仅在平衡点T/=0，全导数dt所以平衡点稳定.（注，因为容易证明es21+S，S〉-1时不尋式两边取对数得S>ln(l+s),令s=p-1，因此1>Inp,从而1�(2；,y)在第一象限上非负，仅在平衡点为零）13*.讨论下列方程组的分支问题.1.x"=X—2y—y"=y—x"�+IX.解：奇点是y)=([1±(1+8⑷i/2]/4，[1±(1+8⑷1/2—4/x]/8).在奇点的线性近似方程的特征方程的根是：Ai=l+[2±(l+8/x)i/2]i/2,A2=1-[2±(1+8/x)i/2]i/2，因此对于奇点=([1+(1+8�)�2]/4,[1+(1+8�)—4�]/8)在Pe[-1/8,00)时保持为&点.�<—1/8时，这奇点消失.对于奇点Or,y)=([1-(1+8⑷1/2]/4,[1-(1+8⑷I/2-圳/8)在[-1/8,0)时保持为鞍点.-1/8时，这奇点消失.在/xe[0,3/8]时，奇点为不稳定结点，在〉3/8时，奇点为不稳定焦点.因此分支值为/U=3/8(结点变焦点，稳定性不变）II=0(鞍-结分支)，及�=-1/8(奇点消失).2.x"y,y"=[{x+1)2-i�+y][{x-1)2+/x+y].解：奇点是（;r,y)=(-1±乂/2，0)及Or,y)点的线性近似方程的特征方程分别为：2(2干2/�1/2+⑷入干4乂/2(2干2/�1/2+n)(1±(—/x)i/2，0)在奇0及入2—2(2土2(——n)干4(—⑷1/2(2土2(—⑷1/2=0.奇点（a;,y)=(-1±/�1/2,0)当/X=0时是木i急定结点，当〉0时变为一个鞍点和一个不稳定结点，因此分支值是H=0(鞍-结分支值）奇点=(l±(-/U)i/2,0)当"=0时是不稳定结点，当/x<0时变为一个鞍点和一个不稳定结点，因此分支值是/X=0(鞍-结分支值).3.X-jx—Xy(p-2x)解：奇点是0，y,")=(0,0,c);{x,y,ii)=(-/x,0,�);及（a;，y,/x)(0,c,0),在奇点的线性近似方程的特征方程的根分别为A=±551 入=2/�土叫及入=0，当"=0时，轨线是：y=c;c2及a；=o,y=C，原点是稳定退化结点，/i/0时，原点变为鞍点而奇点（0,c(/0),0)消失.但从原点分出结点=(-/X,0,�(/0)),fi>0时是不稳定结点，/u<0时是稳定结点；因此分支值为/i=0(超临界分支值).4.X"=-[xx+y+x/{l++y�),y"=-x-[xy+y/(l++y�).解：将程角极▲标(r,60Ik为：r"=r[l/(l+7*2)—6"=-1,可见原方程只有一个奇点(x,y)=(0,0),当pe(-⑴,1)时，奇点是不稳定焦点，当/i〉l时，奇点是稳定焦点，且仅当pe(0，1)时，有一个极限环（稳定）r=[(l-WAu]i/2.因此分支值"=0及"=1都是Hopf分支值.（注：及时无极限环的结论可以从求极坐标下的方程得到，也可从求出方向场的散度（=2(l/(l+r〒-⑷得出). 56'