常微分课后答案第五章.doc 28页

'第五章线性微分方程组§5.1存在唯一性定理习题5.11．给定方程组，．（*）试验证，分别是方程组（*）的满足初始条件，的解；试验证是方程组（*）的满足初始条件的解，其中是任意常数．证明，显然．，，所以，分别是方程组（*）的满足初始条件，的解．，又， 所以是方程组（*）的满足初始条件的解，其中是任意常数．2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：，，；，，，，；，，，，．（提示：令）解设，则，，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为设，则，，，，则得等价的一阶方程组的初值问题为，．令，有，，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题．3．试用逐步逼近法求方程组， 满足初始条件的第三次近似解．解，，，第三次近似解为．§5.2线性微分方程组的一般理论习题5.21．试验证是方程组，在任何不包含原点的区间上的基解矩阵．证明设，，则由于，，所以都是方程组的解，因而是所给方程组的解矩阵．又由于在任何不包含原点的区间上，（），故是所给方程组的基解矩阵．2．考虑方程组 ，（5.15）其中是区间上的连续矩阵，它的元素为，．如果是（5.15）的任意个解，那么它们的Wronsky行列式满足下面的一阶线性微分方程．（提示：利用行列式的微分公式，求出的表达式）；解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：，．证明，所以是一阶线性微分方程的解．由知，，分离变量后两边积分求解得 ，时就得到，所以，．3．设为区间上的连续实矩阵，为方程的基解矩阵，而为其一解．试证：对于方程的任一解必有常数；为方程的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵，使．证明由于是方程的解，故有，为方程的解，故．所以，所以常数．“”是方程的基解矩阵，因此，是方程的基解矩阵，故，且和．所以，故是常数矩阵，设，则，因此存在非奇异常数矩阵，使．“”若存在非奇异常数矩阵，使，则有 ，所以，即是非奇异矩阵或说的各列是线性无关的．又，并注意到，有，即．从而是方程的基解矩阵．4．设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即），证明，其中为某一值．证明由于为常数矩阵，故在有定义、连续，从而它的解也在连续可导．由为方程的基解矩阵，故，有，并且有，从而对某个，有，且，即亦为方程的基解矩阵．由推论2*，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上，．又因为，所以．因此，其中为某一值．5．设分别为在区间上连续的矩阵和维列向量．证明方程组存在且最多存在个线性无关解．证明设方程组的基解矩阵为，而是方程组的一个特解，则其通解为，其中是任意的常数列向量．若不恒为0，则必与线性无关，从而，，，线性无关，即方程组存在 个线性无关解．又假若是方程组的任意一个解，则一定有确定的常数列向量，使得，将其加入，，，这一组向量就线性相关，故方程组的任何个解必线性相关．从而方程组存在且最多存在个线性无关解．6．试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设分别是方程组，的解，则是方程组的解．证明因为分别是方程组，的解，故，，所以有，所以是方程组的解．7．考虑方程组，其中，，．试验证是的基解矩阵；试求的满足初始条件的解．证明，成立．而， 所以是的基解矩阵．，这样，由定理8，方程组满足初始条件的解就是，对应的齐线性方程组满足初始条件的解就是，所以，所求方程组的满足初始条件的解为．8．试求，其中，，满足初始条件的解． 解由上题知，且这里，所以，所求方程组的满足初始条件的解为．9．试求下列方程的通解：，；；．解易知对应的齐线性方程的基本解组为，，用公式（5.31）来求方程的一个解．这时，取，有所以方程的通解为．由于特征方程的根是，，故对应的齐线性方程的基本解组为，，．原方程的一个特解由公式（5.29）有（取）， ，其中，，，．所以，故通解． 特征方程，得到特征根，故对应的齐线性方程的基本解组为，，．取，由（5.31），得特解，所以得到通解．10．给定方程，其中在上连续，试利用常数变易公式，证明：若在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；若当时，，则上面方程的每一个解，满足（当时）．证明对应的特征方程有特征根，故对应的齐线性方程的基本解组，，．由公式（5.31）得原方程的一个特解（）为，所以方程的任一解可写为．由于在上有界，故，，有．又由于，，从而当时， ，即方程的每一个解在上有界．当时，，故由知，若有界，则，若无界，由于在连续，故为无穷大量，因此，即总有．同理．从而对方程的每一个解，有．11．给定方程组，这里是区间上的连续矩阵．设是它的一个基解矩阵，维向量函数在上连续，．试证明初值问题：（*）的唯一解是积分方程组（**）的连续解．反之，（**）的连续解也是初值问题（*）的解．证明是初值问题（*）的解，故，这说明是的向量函数，于是由公式（5.27）得，即是积分方程组（**）的连续解．反之，设是积分方程组（**）的连续解，则有，两端对求导，就有 ，即也是初值问题（*）的解．§5.3常系数线性微分方程组习题5.31．假设是矩阵，试证：对任意的常数都有；对任意整数，都有．（当是负整数时，规定．证明因为，所以矩阵与可交换，故．①先证明，有，这只须对施以数学归纳法．当时，成立，设当时，，则当时，有，故对一切自然数，．②．③若是负整数，则，注意到，并由以上证明应用于矩阵，就有， 由①②③，对一切整数，均有．2．试证：如果是满足初始条件的解，那么．证明由于，，又，故是方程组满足初始条件的解．由解的唯一性，命题得证．3．试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量．；；；．解特征方程，特征值，，对应于特征值的特征向量必须满足方程组，得到，是对应于特征值的特征向量．类似地可求得对应于特征值的特征向量为，其中的任意常数．特征方程，特征值，，．对应于特征值的特征向量必须满足方程组，得到，是对应于特征值的特征向量． 类似地，可以求出对应于特征值以及的特征向量分别为（的任意常数）和（的任意常数）．特征方程，特征值，．对应于特征值的特征向量必须满足方程组，得，是对应于特征值的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值的特征向量为（的任意常数）．特征方程，特征值，，．由，推出，是对应于特征值的特征向量．同样可求得对应于特征值和的特征向量分别为（的任意常数）和（的任意常数）．4．试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中为： ；；；．解特征方程，得是特征值．对应的特征向量分别为，，为任意常数．所以方程组的一个基解矩阵为．．由第3题立即得到方程组的一个基解矩阵为．．由第3题立即得到方程组的一个基解矩阵为．． 特征方程，特征值为，．对应的特征向量分别为，，，均为不等于零的任意常数．故方程组的一个基解矩阵为．由立即可得，其中列向量函数，，．（该题计算量太大，作为该法的习题不是太好！）5．试求方程组的一个基解矩阵，并求满足初始条件的解：，；，； ，．解由上题知，所以所求解为．由上题知，其中．所以所求解为．由第3题知，矩阵的特征值为，．对应于特征值的特征向量（的任意常数）．又由，得到（是任意常数），由解出．依公式（5.52），得满足初始条件的解为 6．试求方程组的解：，，；，，；，，．解由第4题知，，由公式（5.61）得．由第3题知的特征值，，，对应的特征向量分别为，，，其中均是不为零的任意常数．的一个基解矩阵为．，而．由公式（5.61）得 ．的特征方程，求解得特征值，，对应的特征向量分别是，，其中是不为零的任意常数．所以方程组的一个基解矩阵为，从而，．由公式（5.61）得．7．假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如，其中是常数向量．证明设方程组有形如的解，代入方程得，由此得，即．因为不是矩阵的特征值，故 ，即矩阵可逆，得到唯一确定．所以方程组有一解8．给定方程组试证上面方程组等价于方程组，其中，；试求中的方程组的基解矩阵；试求原方程组满足初始条件，，的解．解设，，，则原方程组化为或，即或．反之，设，，，则方程组化为即由，得矩阵的特征值，，．对应的特征向量分别为，，，其中均为不等于零的任意常数．由此得的一个基解矩阵 ．求与之等价的方程组，满足初始条件的解，所以，原方程组满足初始条件，，的解为．9．试用Laplace变换法解第5题和第6题．解5．方程组两边取Laplace变换，有，即，由具体数值代入得方程组，根据Gramer法则得，，所以，，故初值问题5．的解为．5．对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，用具体数值代入得方程组，根据Gramer法则得， ，，所以，，，故初值问题5．的解为．5．对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，用具体数值代入得方程组，根据Gramer法则得，，，所以，，，故初值问题5．的解为．6．对方程组两边施行Laplace变换，得，即 ．具体数据代入得，所以，，故有，．因而初值问题6．的解为．6．对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，代入具体数值有，解得，，，所以得，，，．因而初值问题6．的解为 ．6．对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，代入具体数值有，解得，，所以，．故初值问题6．的解为．10．求下列初值问题的解：，；，；，．解对方程组的每一个方程两边施行Laplace变换，得，解出，，得到，．所以初值问题的解为． 对方程组的每一个方程两边施行Laplace变换，得解得，．所以，．所以初值问题的解为．对方程组的每一个方程两边施行Laplace变换，得解得， ，所以，，，而初值问题的解为．11．假设是二阶常系数微分方程初值问题的解，试证是方程的解，这里为已知连续函数． 证明由，得到，．又由于是二阶常系数微分方程初值问题的解，故，因此就有对所有的成立，由此得到，即是方程的解，这里为已知连续函数．'