广东海洋大学往年(2007—2013)《高等数学》期末考试试题10套集锦(含A,B卷与答案,完整版).pdf 53页

'广东海洋大学（2007—2013）《高等数学》期末考试试题10套集锦（含A，B卷与答案，完整版）目录：1.广东海洋大学07-08《高等数学》期末试题A卷（含答案）2.广东海洋大学07-08《高等数学》期末试题B卷（含答案）3.广东海洋大学09-10《高等数学》期末试题A卷（含答案）4.广东海洋大学09-10《高等数学》期末试题B卷（含答案）5.广东海洋大学10-11《高等数学》期末试题A卷（含答案）6.广东海洋大学10-11《高等数学》期末试题B卷（含答案）7.广东海洋大学11-12《高等数学》期末试题A卷（含答案）8.广东海洋大学11-12《高等数学》期末试题B卷（含答案）9.广东海洋大学12-13《高等数学》期末试题A卷（含答案）10.广东海洋大学12-13《高等数学》期末试题B卷（含答案） GDOU-B-11-302广东海洋大学2007—2008学年第二学期班级《高等数学》课程试题：□√考试□√A卷□√闭卷课程号：1921006x2□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数21142816165100姓密实得分数名：一.填空（3×7=21分）1.设a{1,2,1},b{1,1,3},则ab4，ab{5，-4，3}，学3a2b{1，8，9}号：封x2y2z(x1)2y2(1)22.曲线在xoy面上的投影曲线的方程为22zxz02213.曲面zlnxy在点(1,1,ln2)处的切平面方程为2111(x1)(y1)(zln2)0试222题共线6设Fxyz(,,)zlnx2y2,页xy11加则法向量n={Fx,FFy,z}{22,22,1}{,,1}白xyxy22纸111故切平面方程为(x1)(y1)(zln2)03222张x1t2x2y3z44.曲线y12t在点(2,3,4)处的切线方程为.1493z13t第1页共6页 x1ty4t4切向量s{1,4,9}t2z9t9t225.函数z1xy的驻点坐标为（0，0）.令z2x0x得驻点(0.0)令z2y0y2221zxy6.设z，则22x2(x2y25/2)xy1221/2z2xxz(xy)x2y2x2(x2y23/2)(x2y23/2)2223/2221/222z(xy)xx(y)2xxy2223225/2x(xy)(xy)7.微分方程ycosx的通解为y.二.计算题（7×2=14分）zz1.设zsin(xcosy)，求,.xyzcos(cos)cosxyyx解：zcos(cos)(xyxsin)yy2.设zf(x,y)由方程sinzxyz0所确定的具有连续偏导数的函数，求dz.第2页共6页 解:设Fxyz(,,)sinzxyz则FyzFxzFcoszxyxyzzFyzyzxxFcoszxycoszxyzzFyxzxzyFcoszxycoszxyzzzyzxzdzdxdydxdyxycoszxycoszxy三.计算下列积分（7×4=28分）1.xyd，其中D是由直线y1,x2和yx围成的闭区域.D3422x2xxxx29解:xyddxxydy()dx()|111122848D232222.(6xyy)dx(6xy3xy)dy,其中L是y2xx上从A(1,1)到LB(0,0)的一段弧.2322p2Q解:P6xyyQ6xy3xy12xy3yyx故曲线积分与路径无关.设点C=(1,0)(0,0)2322(6xyydx)(6xy3xydy)(1.1)23222322(6xyydx)(6xy3xydy)(6xyydx)(6xy3xydy)ACCB022300(6y3)ydy00(3yy)|21122223.(xy)d,其中D是由xy2ax与x轴所围成的上半部分的D第3页共6页 闭区域.422/22cosa2/2(2cos)a解:D(xydxdy)0d0rrdr0d44/21cos224/224a()da(12cos2(cos2)d02034(cos2)/241141a[sin2]a[]a()06266232224.2xdydzydzdx3zdxdy，其中为球面xyz1的外侧.PQR解:213xyzPQR原式()dxdydzxyz436dxdydz6183四.计算题（8×2=16分）nx1.求幂级数的收敛域.n1nann1解:Rlimlim1nannn111当x1时,,级数发散n1nn1nn(1)当x1时,收敛n1n幂级数的收敛域为[-1,1)第4页共6页 0,x02.将函数f(x)展开为傅立叶级数.1,0x解:将fx()延拓成周期为2的周期函数11afxdx()1dx10011afx()cosnxdxcosnxdx0n0111bfx()sinnxdxsinnxdx(cosnx)|n0n00,n2,4,6...1n[1(1)]2n,n1,3,5...n222fx()1sinxsin3xsin5x......x(,0)(0,)3501在断点x0和x处,级数收敛于1/22五.解下列微分方程（8×2=16分）1sinx1.求微分方程yy满足初始条件y()1的特解.xx2x2.求微分方程y2yye的通解.第5页共6页 六.设级数un和vn均收敛，且unanvn,n1,2,,证明级数an也n1n1n1收敛.（5分）证明:由uavn,1,2,得vu0au0nnnnnnn且vnunanun故(vnun)(anun)n1n1而vn与un收敛(vnun)收敛(anun)收敛n1n1n1n1所以an[(anun)un]=(anun)un也收敛n1n1n1n1第6页共6页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2007—2008学年第二学期班级《高等数学》课程试题：□√考试□A卷□√闭卷课程号：1921006x2□考查□√B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数21142816165100姓密实得分数名：一、填空（3×7=21分）1.设a{1,2,1},b{1,1,1},则ab0，ab{3，0，-3}，学3a2b{-1，8，-1}号：封222xyz42.曲线在xoy平面上的投影曲线的方程为z122xy3z03.曲面22zxy在点(1,1,2)处的切平面方程为试题2(x1)2(y1)(z2)0共线622页解:设Fxyz,则Fx2x2,Fy2y2,Fz1加切平面方程为2(x1)2(y1)(z2)0白纸x2t3张2x2y2z34.曲线y1t在点(2,2,3)处的切线方程为2263z12tx2tx2y2z3y2t2故切线方程为t2262z6t6t第1页共6页 225.函数z1xy的驻点坐标为（0，0）.z2x0z解:得驻点(0.0)z2y0y22222zyx6.设zlnxy，则2222x(xy)22解:zlnxyz12211x(xy)2xxx2y2x2y22x2y2x2y222222zxyx2xyx2222222x(xy)(xy)2x7.微分方程ye的通解为y.二.计算题（7×2=14分）yzz1.设zsin，求,.xxyzyyz1y解:cos(),cos2xxxyxx32.设zf(x,y)由方程z2xzy0所确定的具有连续偏导数的函数，求dz.第2页共6页 32解:设F(x,y,z)=z2xzyF=-2zF=1F=3z2xxyzzFx2zzFy122xF3z2xyF3z2xzzzz2z1dzdxdydxdy22xy3z2x3z2x三.计算下列积分（7×4=28分）1.xyd，其中D是由直线y0,x0和xy1围成的闭区域.D2432111x1x(1x)1x2xx1解:xyd0dx0xydy0dx()|22432024D222.2xydxxdy,其中L是y2xx上从A(1,1)到B(0,0)的一段弧.L2pQ解:P2xyQx2xyx故曲线积分与路径无关.设点C=(1,0)(0,0)2222xydxxdy2xydxxdy2xydxxdy(1.1)ACCB000dy00y|11122223.xyd,其中D是由xy2ax与x轴所围成的上半部分的闭D区域.第3页共6页 322/22cosa/2(2cos)a解:Dxydxdy0d0rrdr0d3338a/238a/22(cos)d(cos)dsin303033338a/228a(sin)/216a1(sin)dsin[sin]|0303392224.xdydz2ydzdxzdxdy，其中为球面xyz1的外侧.PQR解:121xyzPQR43原式()dxdydz4dxdydz4116/3xyz3四.计算题（8×2=16分）nx1.求幂级数的收敛域.2n1nan2n(1)解:Rlimlim12nannn11当x1时,是P2的P级数,收敛2n1nn(1)当x1时,调和级数收敛2n1n幂级数的收敛域为[-1,1]1,x02.将函数f(x)展开为傅立叶级数.1,0x第4页共6页 解:将fx()延拓成周期为2的周期函数,因f(x)奇函数,a0n222bfx()sinnxdxsinnxdx(cosnx)|n00n00,n2,4,6...2n[1(1)]4n,n1,3,5...n411fx()(sinxsin3xsin5x......)x(,0)(0,)3511在断点x0和x处,级数收敛于02五.解下列微分方程（8×2=16分）1.求微分方程y2xy4x满足初始条件y(0)0的特解.x2.求微分方程y2yye的通解.第5页共6页 六.设级数un和vn均收敛，且unanvn,n1,2,,证明级数an也n1n1n1收敛.（5分）证明:由uavn,1,2,得vu0au0nnnnnnn且vnunanun故(vnun)(anun)n1n1而vn与un收敛(vnun)收敛(anun)收敛n1n1n1n1所以an[(anun)un]=(anun)un也收敛n1n1n1n1第6页共6页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2009—2010学年第二学期班级《高等数学》课程试题：□√考试□√A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数21142816165100姓密实得分数名：一、填空（3×8=24分）31.设a3,1,2，b1,2,1，则cos(a,b)22112.同时垂直于向量a2,2,1，b4,5,3的单位向量为1,2,23学号：封3.曲线y2mx，zmx（m为常数）在点(x0,y0,z0)处的切线方程为xx0yy0zz012m1xye14.lim0(x,y)(0,1)2xy试题5.函数uxy2z在点(1,1,2)处的梯度为2,4,1共线66.L为圆周x2y2a2（a0），则ex^2y^2dsea^22a页L加xn白n7.幂级数(1)的收敛半径为1纸nn13张8.微分方程yex的通解为yexCxC12二、计算下列函数的导数或微分（2×6=12分）u1.设zarctan,uxy,vxy，求dz。v第1页共4页 z111uvuy解：（3分）xu2vu2v2u2v2x2y21122vvz111uvux（2分）yu2vu2v2u2v2x2y21122vvyxdzdxdy（1分）2222xyxyxzzz2.设ln，求和。zyxyxz1yz1x1解：F(x.y.z)ln0（1分）则Fx，Fy2=，Fz2zyzzyyzzzFzzFz2xy（3分）（2分）xFzxzyFzy(xz)三、计算下列函数的积分（4×7=28分）2221.xyd，其中D:xya(a0)第一象限部分。Da4分43a解：原式2drsincosdr(3分)0082222222.xyzdV，其中是由球面xyzz所围的闭区域。2cos34分解：原式d2drsindr（3分）00010y^23.edxxdy，其中L为x1,y1所围成的矩形域边界线的正向。L第2页共4页 3分解：原式y^2（4分）(12ye)dxdy1dxdy4DDy^2（由对称性得2yedxdy0）D4.xydydzyzdzdxxzdxdy，其中为平面x0,y0,z0,xyz1所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。3分11x1xy3分11x1(xy)21分1解：原式(xyz)dV0dx0dy0(xyz)dz0dx0()dy228四、解下列微分方程（2×7=14分）1.求微分方程(y3)dxcotxdy0的通解。dyy31解：，dytanxdx，（3分）lny3lncosxC，（3分）dxcotxy3yCcosx3（C为任意常数）（1分）x2.求微分方程yy4e的通解。2xx解：yy0，r10，r1，Y(x)C1eC2e（3分）xx设y*(x)axe，a2，y*(x)2xe（3分）xxxy(x)Y(x)y*(x)C1eC2e2xe（1分）五、级数的应用（2×8=16分）1.将f(x)ln(4x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。n1111(1)n解：xx(4,4)（3分）4x4x44n1n04第3页共4页 nx1(1)n1ln(4x)ln40dxn1x4xn0(n1)4n(1)n1ln(4x)ln4x（4分）x(4,4]（1分）n1n0(n1)42.将函数f(x)1(0x)展开成正弦级数。解：f(x)作奇延拓展成正弦级数，an0,n(0,1,2,3,)，（2分）4222n,n1,3,5,（4分）bnsinnxdx(1cosn)[1(1)]n0nn0,n2,4,6,41f(x)sin(2n1)xx(0,)（2分）2n1n1bnbb六、证明：limn()lim，（4分）得当b时收敛；当b时发nnnn散。（2分）第4页共4页 广东海洋大学2009—2010学年第二学期班级《高等数学》课程试题：□√考试□A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□√B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数21142816165100姓密实得分数名：一、填空（3×8=24分）1.设a2,3,1，b1,1,3，则ab8,5122.将xoz坐标面上的抛物线z5x绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面22方程为yz5x学号：封2223.曲面axbycz1（a,b,c为常数）在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为ax0xby0ycz0z12sin(xy)4.lim0(x,y)(0,0)x2y2试5.函数uxyz在点(5,1,2)处梯度为2,10,5题共线222(x2y2)ds36.L为圆周xya（a0），则2aL6页nx加7.幂级数2的收敛半径为1白n1n纸38.微分方程ysinx的通解为ysinxC1xC2张二、计算下列函数的导数或微分（2×6=12分）1.设2xzulnv,u,v3x2y，求dz。y22u1xu解：dz2ulnvdudv2ulnv(dxdy)(3dx2dy)（4分）vyy2v第1页共4页 222x3x2x2x(ln(3x2y))dx(ln(3x2y))dy（2分）2232y(3x2y)yy(3x2y)y2x3zzz2.设ze2y，求和。xx解：2x3z2x3y2x3zF(x,y,z)ze2y0，（1分）则Fx2e，Fy2，Fz13e，zF2e2x3zzF2xy（3分），（2分）xFz13e2x3zyFz13e2x3z三、计算下列函数的积分（4×7=28分）21.xyd，其中D是由yx,yx所围成的闭区域。D71x3分21^43分6解：原式dxxydy(x4x)dx（1分）0x^230552222.zdV，其中是由xyz,0zh所围的闭区域。2hh4分14解：原式0d0drrrzdzh（3分）4(2,1)4233.证明曲线积分(2xyy3)dx(x4xy)dy在整个xoy面内与路径(1,0)无关，并计算积分值。P3Q解：2x4y在整个xoy面内与路径无关（4分）yx(2,1)214233(1,0)(2xyy3)dx(x4xy)dy13dx0(48y)dy5（3分）33322224.xdydzydzdxzdxdy，其中为球面xyza（a0）外侧。第2页共4页 2223分2a42分125解：原式3(xyz)dV30d0d0rsindra（2分）5四、解下列微分方程（2×7=14分）3x1.求微分方程yy的通解。x23dx3dx4分2xxC解：y(x)ex(exdxC)（C为任意常数）（3分）210x32.求微分方程y5y4y32x的通解。2x4x解：r5r40，r11,r24，Y(x)C1eC2e（3分）111设y*(x)axb，解得a,b（3分）28x4x111y(x)C1eC2ex（1分）28五、级数的应用（2×8=16分）11.将f(x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。2(1x)解：1n，xx1（4分）1xn0两边求导1n1，nxx1（4分）2(1x)n12.将函数f(x)x(0x)展开成余弦级数。第3页共4页 解：f(x)作偶延拓展成余弦级数，bn0,n(1,2,3,)，（2分）4222n2,n1,3,5,an0xcosnxdx2(cosn1)2[(1)1]n（4分）nn0,n2,4,6,2a0xdx041f(x)cos(2n1)xx[0,]（2分）2(2n1)2n11111六、证明：nn当1时，n收敛，n（3分）1n1n1111当01时，lim10，发散。（3分）n1n1nn1第4页共4页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2010—2011学年第二学期班级《高等数学I》课程试题：□√考试□√A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数214039100姓密实得分数名：一.填空（3×7=21分）1.已知a={1,2,3},b={-2，1，4｝，则ab=12。学2.过点A（1，2，3）和点B（-2，1，-4）的直线方程为x1y2z3号317：封（因为={3,1,7}）BA3.多元函数在P处有偏导数是该函数在P处可微连续的必要条00件。n试2n1111题4.x的收敛半径为1/2，收敛区间为(-,)，收敛域为[-,)共线n1n22226a2nn1n页解:Rlimlim1/2n1nann2n1加白n21n纸当x1/2时,()是调和级数,发散.n1n22张(1)n当x1/2时,收敛n1n11幂级数的收敛域为[-,)225.已知fx()和fx()是方程yPxy()Qxy()0的解，且fx()/fx()常1212第1页共6页 数，则方程的通解为。2226.曲面xyz1在点（0，0，1）处的切平面方程为z=-1。（解：设F=222xyz1F2x0F2y0F2z2）xyz7.PxydxQxydy(,)(,)是全微分的充要条件是QP。xy二.微积分计算题（5×8=40分）1.fxyz(,,)xyyzzx，求fx，fy，fzy1xyz1zx1解:fyxzlnzfxlnxzyfylnyxzxyzxyuvuv2.已知,求,.xyuv8xyFxyuv(,,,)xyuv解:设Gxyuv(,,,)xyuv8F1F1F1F1,xyuvG1G1G1G1xyuvFF11xvuGxGv1121xFF112uvGG11uvFuFy11vGuGy1121yFF112uvGG11uv3.已知函数ufxyxy(,,)，f具有一阶连续偏导数，求du。第2页共6页 uu解:fyffxf1323xyuududxdy(fyfdx)(fxfdy)1323xy4.计算ycos(xydx)xcos(xydy)，其中C是点（0，0）到点（3，4）c的一条有向曲线。解:P(x,y)=ycos(xy)Q(x,y)=xcos(xy)QPcos(xy)xysin(xy)故曲线积分与路径无关.xy设O(0,0),A(3,0),B(3,4)原式ycos(xydx)xcos(xydy)ycos(xydx)xcos(xydy)OAAB40003cos(3)ydysin1205.计算zdxdyxdydzydzdx，其中是空间体{(,,)|0xyzx1,0y1,0z1}的整个表面的内侧。解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式PQRzdxdyxdydzydzdx()dvVxyz3dv3dv3VV第3页共6页 三.解下列各题（39分）131213121.研究函数fxy(,)xx6xyy的极值（10分）。3232令2fxy(,)xx60x解:,得驻点(3,0),(3,1),(2,0),(2,1)令fxy(,)y2y0yf(,)xy2x1Axxf(,)xy0Bxyf(,)xy2y1Cyy227(1)在点(3,0)处,AC-B50,A50,故f极小22(2)在点(3,1)处,AC-B50,点(3,1)不是极值点2(3)在点(2,0)处,AC-B50,点(2,0)不是极值点215(4)在点(2,1)处,AC-B50,A50,故f极大2x2.已知fx()e，将fx()在x1处展开成幂级数（8分）。nxx解:e,xn0n!nx1(1)xx1(x1)fx()eeeee,xn0n!22223.计算1xydxdy，其中D是由圆周xy4及坐标轴所围成D的在第一象限内的闭区域。（8分）/222222解:1xydxdy1rrdrd0d01rrdrDD22121/221d(1r)d(1r)(551)00223第4页共6页 aa2n4.已知n收敛，证明收敛（4分）。n1n1nx5.求方程5y6y5yxe的通解（4分）。第5页共6页 6.fx()x，0x，将fx()展开成余弦级数（5分）。第6页共6页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2010—2011学年第二学期班级《高等数学I》课程试题：□√考试□A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□√B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数214039100姓密实得分数名：一.填空（3×7=21分）a01231.已知a={1,2,3}，则=,,。141414学号2.过点A(1,2,3),法向量n{1,2,3}的平面方程为（x-1）-2(y-2)+3(z-3)=0：封x1y1z13.曲线23xty,tz,t在t1处的切线方程为1232因为已知点为（1，1，1），方向向量为{1，2t，3t}={1，2，3}n试2n题4.级数x的收敛半径为1/2，收敛域为[-1/2，1/2）。共线n1n65.方程5y6y5y0的通解为。页加222x0白6.曲面xyz1在点（0，0,1）处的法线方程为。纸y02张解：设F（x,y,z）=x2y2z21,则法向量={F,F,F}={2x,2y,2z}={0,0,2}xyz7.PxydxQxydy(,)(,)与路径无关的充要条件是PQ.cyx二.微积分计算题（5×8=40分）第1页共6页 1.fxyz(,,)xyzxyz，求fx，fy，fz解：fxyz1fxz1yfxy1zxyuv1uv2.已知,求,.xyuv4xyxyuv1解:,求,.xyuv4设Fxyuv1,Gxyuv4,则:F1,F1,F1,F1xyuvG1,G1,G1,G1xyuvFxFv11uGxGv1100xFF112uvGG11uvFuFy11vGuGy1100yFF112uvGG11uvv3.已知函数zxuu,ln,xvsinx，求dz。vzxuu,ln,xvsinxdzzzduzdvv11v11vuulnucosxdxxudxvdxxsinx11sinxdz(1sin(ln)xx(ln)xln(ln)cos)xxdxx第2页共6页 4.计算ycos(xydx)xcos(xydy)，其中C是由点（1，1）到点（3，4）c的有向直线段。解:P=ycos(xy)Q=xcos(xy)PQcos()xyxysin()xy,故积分与路径无关,于是积分路径可以选择从A(1,1)yy1x3x3经B(3,1)到C(3,4)的折线段.AB:,BC:,y01y4ycos()xydxxcos()xydyycos()xydxxcos()xydyycos()xydxxcos()xydycABBC440003cos3ydysin3ysin12sin3115.计算zdxdyxdydzydzdx，其中是空间体{(,,)|0xyzx1,0y1,0z1}的整个表面的外侧。解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式PQRzdxdyxdydzydzdx()dvVxyz3dv3dv3VV三.解下列各题（39分）x1.求方程5y10y5ye的通解（5分）。第3页共6页 x2.已知fx()e，将fx()在x2处展开成幂级数（5分）。nxx解:e,xn0n!nx2(2)x2x22(x2)fx()eeeee,xn0n!3.fx()x，0x，将fx()展开成正弦级数（5分）。4.已知an与bn收敛，且ancnbn（n=1,2,3……）,证明级n1n1第4页共6页 cn数收敛（4分）。n1131213125.研究函数fxy(,)xx6xyy的极值（10分）。3232令2fxy(,)xx60x解:,得驻点(3,0),(3,1),(2,0),(2,1)令fxy(,)y2y0yf(,)xy2x1Axxf(,)xy0Bxyf(,)xy2y1Cyy227(1)在点(3,0)处,AC-B50,A50,故f极小22(2)在点(3,1)处,AC-B50,点(3,1)不是极值点2(3)在点(2,0)处,AC-B50,点(2,0)不是极值点215(4)在点(2,1)处,AC-B50,A50,故f极大2第5页共6页 22226.计算ln(1xydxdy)，其中D是由上半圆周xy4及x轴所D围成的闭区域。（10分）第6页共6页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2011—2012学年第二学期班级《高等数学》试题答案和评分标准：□√考试□√A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100姓密实得分数名：一、填空（3×7=21分）1.设a{1,2,0},b{1,1,1}，则ab-1，ab{2,1,3}2.过点(1,0,1)且与平面xyz10垂直的直线方程为x1yz1学号111：封3.设曲线222L:xcos,tysin(0tt2)，则(xy)ds=2L21x114.改变积分次序0dx0fxydy(,)=0dyyfxydx(,)5.函数yx(x)的傅立叶级数在x=处收敛于0试题6.函数zx2y2在点(1,1)处的梯度为{2,2}共线61页7.微分方程ysin5x通解为ysin5xcxc1225加白纸二.计算题（7×2=14分）3张2x1.设z，求dz.2xy2z2yz4xy解：,（2）（2）2222x(xy)y(xy)第1页共5页 zzdzdxdy（2）xy22y4xy=dxdy（1）2222(xy)(xy)z2.设zf(x,y)是由方程zxye10所确定的具有连续偏导数的函zz数，求,.xy解：在方程两边对x求偏导数，（1）zzzzyexye0（2）xxzzye得，（1）zx1xye在方程两边对y求偏导数，zzzzxexye0（2）yyzzxe得，（1）zy1xye三.计算下列积分（7×4=28分）1.(xyd)，其中D是由直线y0,yx以及x1所围成的闭区域。D解：区域D可表示为0yx,0x1，（1）1xxyd0dx0(xydy)（3）D132=xdx（2）021=（1）2第2页共5页 22222.sin(xyd)，其中D是由xy1围成的闭区域。D解：区域D在极坐标下可表示为02,0r1，（2）212原=dsinrrdr（3）00211=(cos1)d（1）022=(1cos1)（1）(1,1)3.设曲线积分(xydx)(kxydy)在整个xoy平面内与路径无关，求(0,0)常数k，并计算积分值。QP解：设PxyQ,kxy,则（2）xyQPk,1，所以k1（2）xy11原式=xdx(1ydy)=1（3）004.计算xdydz2ydzdxzdxdy,其中是区域0x1,0y1,0z1的整个表面的外侧。解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式x(2y)z原式=()dv(3)Vxyz=4dv(1)V=4V(2)=4（1）第3页共5页 四.计算题（8×4=32分）n（1)1.判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收n13n敛。n（1)1解：=发散，（2）n13nn13n11单调减少，lim0，（3）3nn3nn（1)所以收敛，并且是条件收敛。（3）n13n23x2.将函数fx()xe展开为x的幂级数。nxx解：e（4）n0n!n3x(3)xe（2）n0n!nn223x3xfx()xe，x（2）n0n!3.求微分方程yy3x的通解。x解：yy0的通解为yce，（2）x设原方程的通解为ycxe()，代入方程得xxxcx()3xe，得cx()3xe3ec（4）原方程的通解为xy3x3ce（2）第4页共5页 4.求微分方程yy2yx的通解。解：特征方程为220，特征根为2,1（2）12对应的齐次方程的通解为2xxycece（2）1211yx24是原方程的一个特解（2）112xx原方程的通解为yxcece（2）1224222五.设级数un收敛，证明级数(un)也收敛。（5分）n1n1n224证：2uunn2nn2224un424uu2(u)（2）nn2n2nnnn24而un收敛，2也收敛。（1）n1n1n由比较判别法知，原级数收敛。（2）第5页共5页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2011—2012学年第二学期班级《高等数学》试题答案和评分标准：□√考试□A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□√B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100姓密实得分数名：一、填空（3×7=21分）1.设a{1,2,0},b{1,1,1}，则ab-1，ab{2,1,3}2.过点(1,0,1)且与平面xyz10垂直的直线方程为x1yz1学号111：封3.设曲线222L:xcos,tysin(0tt2)，则(xy)ds=2L21x114.改变积分次序0dx0fxydy(,)=0dyyfxydx(,)5.函数yx(x)的傅立叶级数在x=处收敛于0试题6.函数zx2y2在点(1,1)处的梯度为{2,2}共线61页7.微分方程ysin5x通解为ysin5xcxc1225加白纸二.计算题（7×2=14分）3张2x1.设z，求dz.2xy2z2yz4xy解：,（2）（2）2222x(xy)y(xy)第1页共5页 zzdzdxdy（2）xy22y4xy=dxdy（1）2222(xy)(xy)z2.设zf(x,y)是由方程zxye10所确定的具有连续偏导数的函zz数，求,.xy解：在方程两边对x求偏导数，（1）zzzzyexye0（2）xxzzye得，（1）zx1xye在方程两边对y求偏导数，zzzzxexye0（2）yyzzxe得，（1）zy1xye三.计算下列积分（7×4=28分）1.(xyd)，其中D是由直线y0,yx以及x1所围成的闭区域。D解：区域D可表示为0yx,0x1，（1）1xxyd0dx0(xydy)（3）D132=xdx（2）021=（1）2第2页共5页 22222.sin(xyd)，其中D是由xy1围成的闭区域。D解：区域D在极坐标下可表示为02,0r1，（2）212原=dsinrrdr（3）00211=(cos1)d（1）022=(1cos1)（1）(1,1)3.设曲线积分(xydx)(kxydy)在整个xoy平面内与路径无关，求(0,0)常数k，并计算积分值。QP解：设PxyQ,kxy,则（2）xyQPk,1，所以k1（2）xy11原式=xdx(1ydy)=1（3）004.计算xdydz2ydzdxzdxdy,其中是区域0x1,0y1,0z1的整个表面的外侧。解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式x(2y)z原式=()dv(3)Vxyz=4dv(1)V=4V(2)=4（1）第3页共5页 四.计算题（8×4=32分）n（1)1.判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收n13n敛。n（1)1解：=发散，（2）n13nn13n11单调减少，lim0，（3）3nn3nn（1)所以收敛，并且是条件收敛。（3）n13n23x2.将函数fx()xe展开为x的幂级数。nxx解：e（4）n0n!n3x(3)xe（2）n0n!nn223x3xfx()xe，x（2）n0n!3.求微分方程yy3x的通解。x解：yy0的通解为yce，（2）x设原方程的通解为ycxe()，代入方程得xxxcx()3xe，得cx()3xe3ec（4）原方程的通解为xy3x3ce（2）第4页共5页 4.求微分方程yy2yx的通解。解：特征方程为220，特征根为2,1（2）12对应的齐次方程的通解为2xxycece（2）1211yx24是原方程的一个特解（2）112xx原方程的通解为yxcece（2）1224222五.设级数un收敛，证明级数(un)也收敛。（5分）n1n1n224证：2uunn2nn2224un424uu2(u)（2）nn2n2nnnn24而un收敛，2也收敛。（1）n1n1n由比较判别法知，原级数收敛。（2）第5页共5页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2012—2013学年第二学期班级《高等数学》课程试题：□√考试□A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□√B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100姓密实得分数名：一.填空（3×7=21分）1.设,a0,1,kb,2,0,2，若ab=2，则ab2.过点1,2,1且与平面3xy2z1平行的平面方程为学号：封3.设曲线224Lx:3cos,ty3sin,(0tt2)，则(xy)ds=L4.函数22zln1xy的驻点为nx5.幂级数的收敛域为n14n22试6.曲线zxyx,z1在xoy面上的投影线方程为题共线7.微分方程ycos2x满足y01的特解为6页二.计算题（7×2=14分）加白y纸1.设z1x，求dz.3张第1页共5页 z22.设zf(x,y)是由方程exzy0所确定的具有连续偏导数的函zz数，求,.xy三.计算下列积分（7×4=28分）1.3x4yd，其中D是由两坐标轴以及xy3所围成的闭区域。D(1,1)2.设曲线积分(2x3)ydx(kxydy)在整个xoy平面内与路径无关，(0,0)求常数k，并计算积分值。第2页共5页 223.计算5xdydz3ydzdx2zdxdy,其中是圆柱体xy1,0z2的整个表面的外侧。2222xy4.计算ed，其中D是由xy1围成的闭区域。D第3页共5页 四.计算题（8×4=32分）4n1.判别级数n是否收敛。n142.将函数fx()xsin3x展开为x的幂级数。3.求微分方程yyx的通解。第4页共5页 4.求微分方程y5y6y6的通解。22an1五.设级数un收敛，证明级数发散。（5分）n1n1n第5页共5页 GDOU-B-11-302广东海洋大学2012—2013学年第二学期班级《高等数学》课程试题：□√考试□√A卷□√闭卷课程号：19221101x2□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100姓密实得分数名：一.填空（3×7=21分）1.设a0,1,2,b2,0,k，若ab=2，则ab{1,4,2}2.过点1,0,1且与平面2x3yz2平行的平面方程为2x3yz1学号：封223=3.设曲线Lx:4cos,ty4sin(0tt2)，则(xy)ds32768L224.函数zlnxy的驻点为（0，0）nx5.幂级数的收敛域为[1,1)n13n2222试zxy,1yxy6.曲线在xoy面上的投影曲线方程为题yz1,z0共线613页7.微分方程ysin2x满足y01的特解为ycos2x22加白纸二.计算题（7×2=14分）3x张1.设yze，求dz.xxz1yzxy解：e，e（6分）2xyyyxx1yxydzedxedy（1分）2yy第1页共5页 2z2.设zf(x,y)是由方程e2xyz0所确定的具有连续偏导数的函数，zz求,.xyzz解：方程两边对x求偏导，2e2yz2xy0（2分）xxzyz得（2分）2zxexy同样方法可得zxz（3分）2zyexy三.计算下列积分（7×4=28分）1.2x3yd，其中D是由两坐标轴以及xy2所围成的闭区域。D0x2解：区域D可表示为（1分）0y2x22x2x3yd=0dx0(2x3)ydy（3分）D212=(x2x6)dx（2分）0220=（1分）3(2,1)2.设曲线积分(2xkydx)(x3)ydy在整个xoy平面内与路径无关，(0,0)求常数k，并计算积分值。第2页共5页 QP解：设P2xkyQ,x3y，则（2分）xyQP因为1,k，所以k1（2分）xy(2,1)219(0,0)(2xkydx)(x3)ydy=02xdx0(23)ydy（3分）2223.计算xdydz2ydzdx4zdxdy，其中为圆锥体zxy及平面z0,z1所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得PQRxdydz2ydzdx4zdxdy=()dv（3分）xyzV=(123)dv7dv（1分）VV127=7V=711（3分）3322224.计算1xyd，其中D是由xy1围成的闭区域。D解：区域D在极坐标系下可表示为02,0r1（2分）21222D1xyd=0d0(1rrdr)（3分）3=（2分）2四.计算题（8×4=32分）第3页共5页 3n1.判别级数n是否收敛。n133(n1)3n11解：因为lim1（4分）3nn3n33n所以级数n收敛（4分）n132.将函数fx()xcos2x展开为x的幂级数。2nnx解：cosx(1)（4分）n0(2)!n2n2n2nn(2)xn2xcos2x(1)(1)（2分）n0(2)!nn0(2)!n2n2n2nn2xn22n1fx()xcos2xx(1)(1)x,x（2分）n0(2)!nn0(2)!n3.求微分方程yyx的通解。x解：对应的齐次方程yy0的通解为yce（2分）x设原方程的通解为ycxe()，代入方程得xxcx()xe，得cx()(x1)ec（4分）x原方程的通解为yx1ce（2分）4.求微分方程y3y2y2的通解。2解：特征方程为320特征根为1,2（2分）12第4页共5页 x2x对应的齐次方程的通解为ycece（2分）12y1是非齐次方程的一个特解（2分）原方程的通解为x2xy1cece（2分）122un1五.设级数un收敛，证明级数发散。（5分）n1n1n2un2121证明：因为un，un收敛，2收敛nn2n1n1nu由比较判别法可知n绝对收敛。（3分）n1n1u1但n发散，所以级数发散。（2分）n1nn1n第5页共5页'