数值课后题答案.doc 22页

'现代数值计算方法习题答案李继云习题一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：=0.005；=0.0102；2位有效数字.0.0490：=0.00005；=0.00102；3位有效数字.490.00：=0.005；=0.0000102；5位有效数字.2、解：=3.1428……，=3.1415……，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.=3.1428-3.1415=0.0013；===0.00041.3、解：的近似值的首位非0数字=1,因此有||<=×10-4,解之得n>=5，所以n=5.4、证：5、解：(1)因为4.4721……，又||=||=0.0021<0.01,所以4.47.(2)的近似值的首位非0数字=4,因此有||<=0.01,解之得n>=3.所以，4.47.6、解：设正方形的边长为,则其面积为，由题设知的近似值为=10cm.记为的近似值，则<=0.1，所以<=0.005cm.7、解：因为,22 现代数值计算方法习题答案李继云所以.9、证：由上述两式易知，结论.10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形……（1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解：因为,,所以||<=于是有||=||=10||<=||=||=10||<=类推有||<=即计算到，其误差限为，亦即若在处有误差限为，则的误差将扩大倍，可见这个计算过程是不稳定的.习题二1、解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：→→→,,.（2）方程组的增广矩阵为：→→→,,.（3）适用于计算机编程计算.22 现代数值计算方法习题答案李继云2、解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得第二步：计算U的第二行，L的第二列，得第三步：计算U的第三行，L的第三列，得第四步：计算U的第四行，得从而，=由,解得=（6，-3，23/5，－955/370）T.由,解得=（1，-1，1，－1）T.3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.22 现代数值计算方法习题答案李继云＝3>0,=2>0,=4>0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素：因此，L＝.第二步求解方程组LY=b.解得Y=（，，）T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=（0，2，1）T.（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.＝3>0,=2>0,=6>0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素：22 现代数值计算方法习题答案李继云因此，L＝.第二步求解方程组LY=b.解得Y=（，，）T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=（，，）T.4、解：对,；对,,,；对,,,,,.所以数组A的形式为：求解方程组LY=b.解得Y=（4，7，）T.求解方程组DLTX=Y.解得X=（，，）T.5、解：（1）设A=LU=计算各元素得：,,,,,,,,.求解方程组LY=d.解得Y=（1，，，，）T.求解方程组UX=Y.解得X=（，，，，）T.22 现代数值计算方法习题答案李继云（2）设A=LU=计算各元素得：，，，，.求解方程组LY=d.解得Y=（17，，）T.求解方程组UX=Y.解得X=（3，2，1）T.6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛.（1）雅可比迭代公式：高斯－赛德尔迭代公式：（2）雅可比迭代公式：高斯－赛德尔迭代公式：7、(1)22 现代数值计算方法习题答案李继云证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。(2)雅可比迭代法：写出雅可比迭代法公式：取=（－3，1，1）T，迭代到18次达到精度要求,=（－3.999，2.999，1.999）T.高斯－赛德尔迭代法：写出高斯－赛德尔迭代法公式：取=（－3，1，1）T，迭代到8次达到精度要求,=（－4.000，2.999，2.000）T.8、SOR方法考试不考。9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：,解得,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：,求得，，则,所以高斯-赛德尔迭代法不收敛.22 现代数值计算方法习题答案李继云10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：,求得，，，则,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：,求得，，则,所以高斯-赛德尔迭代法收敛.11、证明：当-0.50,=(1-a)2(1+2a)>0,所以A正定.雅可比迭代矩阵BJ＝，所以，||==所以，,故当-0.5<<0.5时，雅可比迭代法收敛。12、解：＝max{0.6+0.5,0.1+0.3}=1.1；＝max{0.6+0.1,0.5+0.3}=0.8；＝=0.8426；22 现代数值计算方法习题答案李继云ATA==||==－0.71＋0.0169＝0所以(ATA)=0.685，所以＝=0.83.13、证明：(1)由定义知,故(2)由范数定义知,故习题三1、解：在区间[0.3,0.4]上，故在区间[0.3,0.4]上严格单调减少，又，，所以方程在区间[0.3,0.4]上有唯一实根。令（0.4－0.3）/<=,解得k>=4,即应至少分4次,取开始计算,于是有:当k=1时,x1=0.35,,隔根区间是,当k=2时,x2=0.325,,隔根区间是,当k=3时,x3=0.3375,,隔根区间是,当k=4时,x4=0.34375,,隔根区间是.22 现代数值计算方法习题答案李继云所以(0.3375+0.34375)/20.341.2、解：在区间[1,2]上，故在区间[1,2]上严格单调增加，又，，所以方程在区间[1,2]上有唯一实根.令<=,解得k>=13.3,即应至少分14次.3、解：作图,判断根的数目、找隔根的区间.(1)有唯一实根,隔根区间[0,],收敛迭代公式:.(2)有唯一实根,隔根区间[1,2],收敛迭代公式:.4、解：取的邻域[1.3,1.6]来考察.(1)当[1.3,1.6]时,[1.3,1.6],||<=0.522=L<1,所以，在[1.3,1.6]上收敛.(2)当[1.3,1.6]时,[1.3,1.6],||<=0.91=L<1,所以，在[1.3,1.6]上收敛.(3)当[1.3,1.6]时,[1.3,1.6],||=L>1,所以，在[1.3,1.6]上发散.(4)当[1.3,1.6]时,[1.3,1.6],所以，在[1.3,1.6]上发散.取开始计算,于是有：=1.481448,=1.472705,=1.468817,=1.467047,=1.466243,=1.465876.由于||<,故可取=1.466.5、解：方程的等价形式为=,迭代公式为.作函数和的图像,可知其正根区间为[0.5,1.5].22 现代数值计算方法习题答案李继云当[0.5,1.5]时,[0.5,1.5],||<=0.3=L<1,所以，在[0.5,1.5]上收敛.取开始计算,于是有：=0.93114992,=1.0249532,=1.04141516,=1.04419321,=1.0446673,=1.04474582,=1.04475903,=1.0447613,=1.04476123.由于||<,故可取=1.04476.6、解：当[0,0.5]时,[0,0.5],||<=0.825=L<1,所以在区间[0,0.5]上收敛.取开始计算,于是有：=0.10000000,=0.08948290,=0.09063913,=0.09051262,=0.09052647,=0.09052495.由于||<,故可取=0.0905.7、解：由于在根附近变化不大,=-0.607=q.迭代--加速公式为取开始计算,于是有：=0.5662917,=0.5671223,=0.56714277.由于||<,故可取=0.5671.8、解：埃特金加速公式为：22 现代数值计算方法习题答案李继云取开始计算,于是有:=1.32489918,=1.32471796,=1.32471637.由于||<,故可取=1.3247.9、解：对于,,因此牛顿迭代法为,0,1,2,3,…对于,,因此牛顿迭代法为,0,1,2,3,…因为所以，对于,.对于,.10、解：在区间[1,2]上,，,，.又因为，所以收敛且以作初值。取,用牛顿迭代法,计算得=1.8889,=1.8794,=1.8794,22 现代数值计算方法习题答案李继云由于||<,故可取=1.879.11、解：设,则，.牛顿法迭代公式为：0,1,2,3,…当时,，,当时,，.因此,对于,当时,,牛顿序列收敛到.当时,,所以,因此,从起,牛顿序列收敛到.对于,当时,,牛顿序列收敛到.当时,,所以,因此,从起,牛顿序列收敛到.当时,迭代式变为.该迭代对任何均收敛,但收敛速度是线性的.取开始计算,于是有：=1.66666667,=1.23111111,=1.48053039,=1.44323083,=1.44225024,=1.44224957,=1.44224957.由于||<,故可取=1.442250.12、解：令,取,开始计算,经过4次计算可以得到=0.51098.22 现代数值计算方法习题答案李继云习题五1、解：.2、解：.3、解：.(直接代入数据，因较复杂，省略)4、证：（1）当（2）中的时，即可得结论.（2）函数及均为被插值函数的关于互异节点的不超过次的插值多项式，利用插值多项式的唯一性可知结论.5、证：以和为插值点，建立的不超过一次的插值多项式：应用插值余项公式有：，因此可得结论。6、解：选，，为节点，计算得：22 现代数值计算方法习题答案李继云.7、解：.8、解：（略）9、证：设，.将差商（均差）用函数值表示，则有：取得结论（1），取得结论（2）.10、证：.11、解：制造向前查分表：22 现代数值计算方法习题答案李继云0123012312176411547143218由题意，，.当时，.将查分表上部那些画横线的数及代入公式，有.当时，.将查分表下部那些画横线的数及代入公式，有.12、解：制造向前查分表：0123-1012-2-1121211-1-2由于其根在[-1,2]之间，故采用牛顿后插公式，计算得，所以.13、证：采用差分的定义来证明.14、解：方法同第11题.22 现代数值计算方法习题答案李继云15、解：以，和为插值节点的插值多项式的截断误差，则有，式中，，则令得.习题六1、解：由题意得,,所以,.又,所以.2、解：设拟合曲线为一次多项式:.计算各元素:,,,,,故法方程组为=,解得,.所以.二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似(略).3、解：设拟合曲线为二次多项式:.计算各元素:22 现代数值计算方法习题答案李继云,,,,,故法方程组为=,解得,.所以.4、解：经描图发现和符合二次曲线.设拟合曲线为二次多项式:.计算各元素:,,,,,,故法方程组为=,解得,,.所以.5、略.6、解：对公式两边取常用对数有.令,,,则得线性模型.计算各元素:,,,,,22 现代数值计算方法习题答案李继云故法方程组为=,解得,,得,.所以.7、解：对公式两边取常用对数有.令,,,则得线性模型.计算各元素:,,,,,故法方程组为=,解得,,得,.所以.8、解：令,则.计算各元素:,,,,,故法方程组为=,解得,,所以.习题七1、解：利用梯形公式:.22 现代数值计算方法习题答案李继云利用辛普森公式:.计算误差:..5、解：利用复化梯形公式:.利用复化辛普森公式:6、解：由,得又,解出,故用复化梯形公式至少取671,即需672个节点.7、解：计算如下:01230.77174330.72806990.71698280.71420020.71351210.71328700.71327260.71327200.71327170.7132717故.习题八1、解：将代入相关公式.22 现代数值计算方法习题答案李继云(1)欧拉公式计算:(2)预估-校正公式计算:分别计算,其结果如下:欧拉公式预估-校正公式0.00.10.20.30.40.510.90.820.756760.708490.6743010.910.836800.778580.734350.703642、证明：将代入欧拉预估-校正公式，可得又因为，所以结论可得。3、解：利用经典四阶龙格-库塔公式有,22 现代数值计算方法习题答案李继云计算结果见下表:0.00.20.40.60.81.011.727552.742954.092045.826177.991846、解：根据对应关系，可得：，，.22'