数值计算方法(宋岱才版)课后答案.doc 61页

'数值计算方法配套答案第一章绪论一本章的学习要求（1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。二本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设为精确值，为的一个近似值，称为的绝对误差。（2）相对误差：。（3）绝对误差限：。（4）相对误差限：。（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数（6）一元函数的相对误差限：。（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数（8）二元函数的相对误差限：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案三本章习题解析1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计及的相对误差限。解：（1）有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字。（2）由题可知：为的近似值，分别为近似值。所以同理有为的近似值，，为，的近似值，代入相对误差限公式：2.正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过?解：设正方形的边长为，则面积为，，在这里设为边长的近似值，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案为面积的近似值：由题可知：即：推出：。1.测得某房间长约=4.32m，宽约为=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？解：设则有：，。在这里分别为，，的近似值：相对误差限为：。2.下列公式如何计算才比较准确：(1)当x的绝对值充分小时，计算；（2）当N的绝对值充分大时，计算；（3）当x的绝对值充分大时，计算。解：（1）当时，===（2）当时，===(3)当时，=-61-第-61-页 数值计算方法配套答案=。1.列满足递推关系=10-1，n=1,2,…，若=，计算到时误差有多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值，近似值，设他们的误差为，则有：==以此类推所以==2.计算，取1.4，直接计算和用来计算，哪一个最好？解：依题意构造函数，则，由绝对误差公式==0.0030723.求二次方程-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。解：由求根公式：。所以。，对比可知：较小的根为，由相近数相减原理则有：4.如果利用四位函数表计算，试用不同方法计算并比较结果的误差。解：5.设x的相对误差限为δ，求的相对误差限。解：由题意可知：设，则有在这里设为的近似值，为-61-第-61-页 数值计算方法配套答案的近似值，由已知的相对误差限为。所以：1.已知三角形面积S=absinc,其中c为弧度，满足0c>0.，所以命题成立。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案第二章插值法一本章的学习要求（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（2）会应用插值余项求节点数。（3）会应用均差的性质。二本章应掌握的重点公式（1）线性插值：。（2）抛物插值：。（3）次插值：。（4）拉格朗日插值余项：。（5）牛顿插值公式：。（6）。（7）。（8）牛顿插值余项：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案三本章习题解析1.给定的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。解：设所求插值多项式为，且已知：，代入插值基函数公式：可得：===化简代入得:2.若，求，。解:由，所以:!，.由均差的性质(三)可知:，3.给定函数表012345-7-452665128（1）试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。（2）试用Newton插值公式求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。解：(1)，取0.5附近的4个点为宜。故取，，。则，按照习题1求出-61-第-61-页 数值计算方法配套答案插值基函数。代入。可得：，所以：（2）设牛顿插值多项式为，列差商表：一阶插商二阶插商三阶插商0-71-4325933262161所以：=-5.8751.设为互异节点（j=0,1,2,…,n）求证：，=0,1,2,…,其中为次插值基函数。证明：根据题意：设，所以有，结合上式所以有：=，由余项定理可知：，且由定理二可知，当时，所以就有。在这里令变量，所以命题：，成立。2.设且，求证：。证明：由题可知：，，故可构造线性插值多项式即为下式：，记为（1）式，因为，记为（2）式，其中，记为（3）式，将（1）（3）代入（2）整理：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案所以：这里取代入，可推出：再放缩得1.若有个不同实零点证明：证明：由题可知：有个不同实零点，故还可以表示成根形式的多项式，即：；由导数的定义可知：=在此设：；，记为（1）式当时，，则（1）变为；当，则（1）式变为0，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案综上所述：1.给定函数表-2-10123-5111725已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法：+，列插商表：一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-311001276310325186100，为三次。2.对函数，及任意常数a,b,证明：。证明：由高等数学的知识，我们构造函数，于是就有下式成立：由分式法则：=，所以命题成立。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案10.给定函数表0.00.20.40.60.81.000001.221401.491821.822122.22554试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算的近似值。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得=1.05126.1.若要给出，的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计算任何的的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出。2.设，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。3.求不超过3次的多项式，使其满足。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：，代入条件，即可求得：。4.求不超过4次的多项式，使其满足，。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析，代入条件，即可求得：。5.给定函数表-61-第-61-页 数值计算方法配套答案012300.521.5（1）在边界条件，下求三次样条插值函数；（2）在边界条件，下求三次样条插值函数。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。结果为：（1）（2）-61-第-61-页 数值计算方法配套答案第三章函数逼近及最小二乘法一本章的学习要求（1）会用最小二乘法求拟合曲线。（2）会将非线性函数转化成线性函数。二本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式：，，，，。三本章习题解析1.设是区间[0,1]上带权的最高项系数为1的正交多项式序列，其中=1，求及和。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：；-61-第-61-页 数值计算方法配套答案；。1.判断函数=1，=x,，，在上带权正交，并求使其在[-1，1]上带权与，，正交。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。2.证明：若函数组是在[a,b]上带权正交的函数组，则必然是线性无关的函数组。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。3.已知点列，，，，及权函数，，，利用公式（4—7）和（4—8）构造对应的正交多项式分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：，，。4.已知数据表012341.003.856.509.3512.05求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：，这里，，，，，，，，，所以可得到以下方程组：解得：，，所以所求方程为。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1.已知数据表1234567833455667求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：，这里，，，，，，，，，所以可得到以下方程组：解得：，，所以所求方程为：。2.某发射源的发射强度公式为，现测得与的一组数据如下表0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法根据以上数据确定参数和的值。解：先将线性化，即两边取以10为底的对数，变为，设，，，所以上式变为。这里，，，，代入公式得：，，，，，所以可得到以下方程组，解得：，，相应的。3.试用最小二乘法根据以下数据表-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46求的最小二乘拟合曲线。解：先将线性化，即两边取以10为底的对数，变为，设，，，所以原式变为：。这里，，，，代入公式得，，，，，所以可以得到以下方程组：，解得：，，代回求得，,,故方程为。1.用最小二乘法求形如的经验公式，使它拟合以下数据。192531384419.032.349.073.397.8解：先将线性化，设，则原式变为，这里，，，，代入公式得，，，，，所以可以得到以下方程组：，解得：，，所求方程为：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案第四章数值积分和数值微分一本章的学习要求（1）会求各种插值型求积公式。（2）会应用求积公式分析代数精度。（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。二本章应掌握的重点公式（1）梯形公式：。（2）辛甫生公式：。（3）复化梯形公式：。（4）复化辛甫生公式：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案（5）梯形公式的误差余项：。（6）复化梯形公式的误差余项：。三本章习题解析1.用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。（1）取；(2)，取解：（1）代入复化梯形公式可得=0.1114024，(2)代入梯复化形公式可得：=1.03562，同理，分别代入复化Simpson公式可得：，。2.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具有的代数精度。（1）（2）（3）（4）解：（1）设，，，求积公式准确成立，代入（1）式可得：解得：，代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。（2）设，，，求积公式准确成立，代入（2）式可得：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案解得：，代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。（3）设，，，求积公式准确成立，代入（3）式可得：解得：代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。（4）设，，求积公式准确成立，代入（4）式可得解得：代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边。继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。1.证明：具有3次代数精度。证明：当时，左边=1，，左边=右边。当时，，，左边=右边。当时，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案，，左边=右边。当时，，，左边=右边。当时，，，。故所求积公式具有3次代数精度。1.用复化Simpson公式计算积分，要使误差不超过，问应将区间分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间分为多少等份？解：复化Simpson公式的余项的绝对值为：由此可将原问题转化为解得：。同理若应用复化梯形公式，则有解得：。2.求积公式，已知其余项表达式为。试确定求积公式中的待定参数，，，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。解：设，，求积公式准确成立，代入原式可得：解得：，，，所以原式变为：，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案当时，代入原式，左边=，右边=，左边右边，由题意知误差为且，所以求得，即为所求，上式求积公式具有3次代数精度。1.若用复化Simpson公式计算，要使误差不超过，问需要计算多少个节点上的函数值？解：，在这里取复化Simpson公式余项的绝对值，代入已知条件得：，进行放缩得：，解得：。7.推导下列三种矩形求积公式，其中（1）（2）（3）证明：（1）将在处展开成一阶泰勒公式，即：上式两边在积分，得：=，这里我们应用广义积分中值定理：，，于是上式中第二项就化简为如下形式：，，积分整理得到：。（2）将在处展开成一阶泰勒公式，即：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案上式两边在积分，得：=，上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：。（3）将在处展开成二阶泰勒公式，即：，上式两边在积分得：，由广义积分中值定理，，代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：。8.对积分构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。解：将三等分，即取节点0，1，2，3.构造求积公式：，令=1，，，求积公式准确成立，代入公式得：解得：所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：。1.用高斯-勒让德求积公式，取n=2计算定积分。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入高斯勒让德求积公式：即可求出：。1.用龙贝格求积公式计算定积分。解：代入复化梯形递推化公式，求得：，，，，，，，，，。2.若，证明用梯形公式计算积分所得的结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：已知梯形公式为，由已知及余项公式，也就是即造成结果比准确值大。几何意义：由可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案第五章常微分方程的数值解法一本章的学习要求（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。（2）掌握龙格库塔方法。二本章应掌握的重点公式（1）欧拉公式：。（2）后退的欧拉公式：。（3）梯形公式：。三本章习题解析1.对初值问题，在区间内取步长，分别用欧拉公式、改进的欧拉公式及经典的四阶Runge-Kutta公式作数值计算。解：（1）由欧拉公式可知：=。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案（2）由改进的欧拉公式可知：将已知代入化简可得：，，=。（3）由经典的四阶Runge-Kutta公式可知：公式为：记为（1），所以有：，，，，代入到（1）得：。1.用欧拉公式解初值问题，证明其整体截断误差为。证明：将已知代入欧拉公式，化简为，展开得：，应用递推关系可得：，以此类推：，，，然后迭代得：，由题可知，对原定解问题积分得：，故可得，所以有成立。2.用欧拉公式计算积分在，1，1.5，2点的近似值。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案解：设，则，且，故原问题转化为的定解条件在，，，，时的定解问题。由欧拉公式，可知：，=1.142，=2.501，=7.245。1.用欧拉公式计算初值问题，，取步长时，计算结果稳定吗？解：，所以计算结果不稳定。2.对初值问题，证明梯形公式求得的近似解为，并证明当步长时，。证明：由梯形公式：，代入化简可得：，合并同类项，整理可得：，化简得：，由已知，于是上式化为，即成立。由极限定义：，。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1.对初值问题，如果取，证明欧拉公式求得的近似解为。证明：由欧拉公式：，将已知代入可得：，迭代可得：，同理，以此类推得：，由有即。8.取步长，试用经典的四阶龙格—库塔公式求初值问题的，的近似值。解：，其中，，，将，，，，代入原式：，取节点：，，，于是有：，。1.解初值问题，，若用梯形公式求解，要使迭代公式收敛，求步长的取值范围。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1.证明初值问题，是二阶的，并求其局部截断误差项。证明：将在处进行三阶泰勒公式展开得：，同理将，，也在处进行泰勒公式展开，由于原式第二项前有，故，只需展开成二阶泰勒公式即可，即：，，，将以上四式代回原方程得：现将在处进行三阶泰勒公式展开：现将与进行比较可知：，故原式是二阶的，局部截断误差为，局部截断误差的首项为。2.证明：线性二步法，当时方法是二阶的，当时方法是三阶的。证明：原式变形为，记为（1）式，将，，在处分别展开成三阶，二阶，二阶泰勒公式，即：，，，将上面三式代入（1）式化简可得：，记为（2）式，再将在处展开成三阶泰勒公式，，记为（3）式，将（2）式与（3）式对比，要想具有三阶精度则：，即，当时，，具有二阶精度。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1.求系数a,b,c,d使公式有。解：将，，，在处分别展开成四阶，三阶，三阶泰勒公式，即：，，，，将以上几式代入原式，整理可得：，对照在处的四阶泰勒公式展开式的各阶系数，即可求出相应的未知数，解得，，。2.对于初值问题的模型方程，求二阶Runge-Kutta方法的稳定区间。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。3.求系数，，使求初值问题的公式有尽可能高的精度，并求其局部截断误差首项。解：按照上面几个题的做法可知：，，将以上两式代入原式化简可得：，对照在处展开的三阶泰勒公式的系数即可得到方程组-61-第-61-页 数值计算方法配套答案由于四个方程三个未知数，故解前三个方程即可，解得，，，代入说明具有二阶精度，局部截断误差首项为：。第六章方程求根一本章的学习要求（1）能够熟练的应用牛顿迭代公式。（2）能够根据要求推导出牛顿迭代公式并求其局部截断误差。二本章应掌握的重点公式（1）牛顿迭代公式：。（2）迭代收敛定理：设迭代过程收敛于方程的根为，若迭代误差，当时，，则称该迭代过程具有阶收敛。三本章习题解析1.用二分法求方程在内的近似根，准确到。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1.证明用二分法得到的序列为线性收敛。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。提示：。2.设有方程，（1）证明该方程在区间上有唯一根。（2）证明迭代公式对于任意初值都是收敛的，并用此迭代公式求其近似根直到有8位有效数字。证明：（1）由题可知：，，且，由零点定理可知：在内有根。下面证唯一性，由高等数学的知识在有，即单调递增，原命题成立。（2）证明：已知，即，由，所以对任意初值都收敛。同学们可以任选初值进行8次迭代，或上机操作完成。3.对于，要使迭代公式局部收敛到，求的取值范围。解：由，可知，由收敛定理：，即，解得：。4.用迭代法求方程的根，求使迭代序列具有局部平方收敛。证明：已知，故可得：，对求导得：，设是的根，即：，所以上式化简为：，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案由题可知原式具有平方收敛，故由，可求得：，一般化为：，记为（1）式，现将（1）式代入可得：，对求二阶导，将的根代入得：，由于，所以，由收敛定理知，原命题成立。1.给定函数设对一切，都存在，且。证明对的任意常数，迭代法均收敛于方程的根。证明：由，即：，所以：，又因为：，所以可放缩为：。又因为：，代入上式，继续放缩：，两边取负号：，且，即：，等价于，由收敛定理知方程收敛。7.用Newton法求下列方程的根，准确到四位有效数字。（1）在附近的根；（2）在附近的根。解：本题为上机题。提示：（1）由牛顿迭代公式：，代入化简可得：，在此任取附的值进行迭代即可。（2）同理。8.求方程在附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式-61-第-61-页 数值计算方法配套答案（2），迭代公式（3），迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性；并选取一种收敛最快的迭代公式求出具有五位有效数字的近似根。解：（1）经验证取有根区间为，由已知可得，从而：，在有根区间内，即迭代公式收敛。（2）（3）同理。9.用弦截法求下列方程的根，准确到四位有效数字。（1）在区间内的根；（2）在附近的根。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在此只给出结果：（1）。（2）。10.方程有二重根，用Newton法和分别迭代三次，比较其结果。解：应用Newton法，设，可得：。代入牛顿迭代公式：，即得：，现取初值，进行迭代：，，。应用迭代公式，则，即，同样取初值进行迭代：，，。11.应用Newton法于方程，导出求的迭代公式，并由此计算的具有四位有效数字的近似值。解：设，所以：，由Newton迭代公式，即：，整理得：，此即为所求的迭代公式。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案下面求，由已知可知，此时，代入迭代公式，取初值进行迭代：，，。13.应用Newton法于方程，导出求的迭代公式，并求。解：（1）由，设，。建立牛顿迭代公式：，代入整理：，记为的迭代公式。由定理2.定理3.可知：，将代入上式最终化简为：。（2），这里：，。，代入上式即可求得原式=。14.设具有二阶连续导数，，证明迭代公式是二阶收敛的。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：将在点做Tarlor展开到二阶，再将公式两边同时减去，求极限。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案第七章解线性方程组的直接解法一本章的学习要求（1）会求各种向量范数和矩阵范数。（2）会求普半径和条将数。（3）能够将不同类型的矩阵分解成形式并能解该方程组。二本章应掌握的重点公式（1）矩阵的各种范数：，，。（2）向量的各种范数：，，。（3）当系数矩阵为对称矩阵时，普半径等于二范数。三本章习题解析1.用高斯消去法解线性方程组解：将其写成矩阵形式为：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案，现对其增广矩阵进行初等变换化为如下形式：，将其还原，此时求解原方程组的问题就变为解：，解得：。2.给定线性方程组：，已知精确解：。（1）用高斯消去法解此线性方程组；（2）用列主元素消去法解线性方程组。分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。3.设，，经过一步高斯消去法得到，其中，证明：（1）若为对称矩阵，则也为对称矩阵；（2）若为对角占优矩阵，则也为对角占优矩阵。证明：（1）只要证出即可，因为：由为对称矩阵则上式化为证毕。同理可证（2）。4.设有方程组，试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵之积；即，然后用你的分解解此方程组。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案解：将写成的形式即：，利用矩阵的乘法得：，，，，，，，所以可写成：。下面解此方程组，先解即：，解得：，再解，即：，解得。5.试推到矩阵的Crout分解的计算公式，其中为下三角矩阵，为单位上三角矩阵。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：设：，所以：。6.设为非奇异下三角矩阵，（1）列出逐次代入求解的公式；（2）上述求解过程需要多少次乘除法？证明：（1）设，其中：，。解上述方程组可以得到：，，。（2）计算次数为：次乘除法。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案7.用平方根法解方程组。解：因为系数矩阵为对称正定矩阵，应用平方根法，可分解为即如下形式：，按照矩阵乘法展开与原矩阵对比整理得：，，，，，，。，，。先解方程组，即：，解得：，再解，即：，解得：即为方程的解。8.用追赶法解方程组。解：由题可知：矩阵为三对角占优矩阵，由追赶法知：设的分解为：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案，按照矩阵乘法展开与原矩阵对比可得：，，，，，，，，，。下面解此方程组，先解，即：，解得：，再解，。即：，解得：即为方程的解。9.设向量，求，，。解：，，。10.设为非奇异矩阵，为的一种向量范数，定义，证明也是的一种向量范数。证明：，A为非奇异矩阵当且仅当：。齐次性。.。11.记其中，证明：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案证明：，两边同时开次方得：，两边同时取极限得：。由两边夹得：。12.设，求，，，。解：，，，先解：，由线性代数特征向量的知识可知：，并令上式等于0，解得：，，所以：，又因为为对称矩阵，所以：。13.设均为非奇异矩阵，表示矩阵的某一种算子范数，证明（1）；（2）。证明：(1)，变形即：。（2）。14.设为对称矩阵，，，为的特征值，证明。证明：，又因为为对称矩阵，故有，所以有：，由，，…为的特征值，由线性代数的知识可知：，，…是的特征值，且（迹）。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案所以：。即：。15.设，试证明。证明：，两边开平方，即：，两边同除以，得：。16.设，按矩阵范数的定义证明是一种矩阵范数。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：，当且仅当：。.。.。17.设，，求，，。解：，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案，，，。18.证明（1），（2）。证明：（1）由定义可知：，即（1）成立。（2）。第八章解线性方程组的迭代法一本章的学习要求（1）会应用Jacobi迭代法和GAUSS-Seidel迭代法判断敛散性。二本章应掌握的重点公式（1）Jacobi迭代，先求，再令，再根据收敛。（2）Gauss-Seidel迭代，先求，再令，再根据收敛。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案（3）建设系数矩阵为：。则：，，，分解后再按照不同要求进行求解。三本章习题解析1.设，求的取值范围使。解：由题可知，要使，即与等价，故：令：。得：，显然：，还得要求，即。2.给定方程（1），（2）证明：对（1）Jacobi迭代收敛，而Gauss-Seidel迭代发散；（2）Jacobi迭代发散，而Gauss-Seidel迭代收敛。证明：（1）首先应用Jacobi迭代法，此时，按照矩阵乘法整理如下：，所以令行列式：解得：为复数根，其模满足，故Jacobi迭代收敛。下面应用Gauss-Seidel迭代法：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案，令行列式：，解得：，发散。（2）由系数矩阵为对称正定矩阵，故由定理可知：Gauss-Seidel迭代一定收敛。而Jacobi迭代则不一定成立，按照（1）的方法验证Jacobi迭代为发散。3.给定方程组，判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性，若收敛，取初值，求满足的解。分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。4.给定方程组，判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性。解：首先应用Jacobi迭代法可知：，令：，解得：，显然，收敛。再应用Gauss-Seidel迭代法：，由于求比较复杂，故采用直接代入求解，即：，令上式等于0，即：，由于：，所以只有：。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案由：，，对上式取行列式，即：，解得：，，所以：，发散。5.已知方程组，对任意，给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛时的取值范围。解：首先应用Jacobi迭法：，令行列式：，解得：，所以要想收敛则应满足：，即：。再应用Gauss-Seidel迭代公式：，令行列式：，解得：，或，所以要想收敛则应满足：，即：，则。6.证明矩阵对于是正定的，且此时用Jacobi迭代法解方程组时是收敛的。证明：要想正定各阶顺序主子式均大于0，即：，，，，解得：，综上所述：。应用Jacobi迭代公式：，-61-第-61-页 数值计算方法配套答案令行列式：，解得：，或，，命题成立。7.证明矩阵对于是正定的，而Jacobi迭代法只对是收敛的。证明：要想正定各阶顺序主子式均大于0，即：，，，解得：，综上所述：。应用Jacobi迭代公式：，令行列式：解得：，所以要想收敛必满足：，即：。10.设，证明，但对于时，不存在。解：根据上述极限存在的充要条件可知，这里通过普半径来验证其存在性。（1）令行列式，得：，收敛，极限存在。（2）令行列式，得：，发散，故原极限不存在。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案11.设方程组，证明解此方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散；并给出两种迭代法收敛的充要条件。证明：将方程组表示成矩阵形式，即：，首先应用Jacobi迭代法，令行列式：，解得：。再应用Gauss-Seidel迭代法：，令行列式：，解得：，所以普半径：。当时，同时收敛，当同时发散。12.给定方程组，不进行计算，试判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性，若收敛，哪种迭代收敛快？分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：通过观察此方程为对角占优矩阵，由定理可知：当时，方程迭代收敛，且越小收敛又快。13.试说明Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵中至少有一个特征值等于零。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案证明：由线性代数的知识可知：，又因为：，而：，所以：，又因为为上三角矩阵，所以：中至少有一个为零。14.已知方程组，对任意，若用迭代公式求解此方程组时，（1）的取值范围，使迭代公式收敛；（2）取何值时，收敛速度最快？解：由，可知，根据可得：，对照公式，可知此时：设为的特征根，则的特征根为：，令行列式：，解得：，所以的特征值为：，和，要想收敛则普半径为：，解不等式组：，解得：。（2）由定理可知越小收敛速度越快。由解析几何的思想：，且：。我们把看成是的函数，化简不等式组可得：，图像如下：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案解最小交点坐标：即：，解得，此时收敛最快。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案模拟试题一填空：（每空3分，共30分）1.用迭代法，求方程的根，要使迭代序列具有平方收敛，则=即可。2.使用松弛法（SOR）解线性方程组时，松弛因子满足条件时一定发散。3.设要使，则应满足4.区间上的三次样条插值函数在上具有直到阶的连续导数。5.设当满足条件可以分解？其中为具有正对角元的下三角矩阵，此时=6.测得某圆锥的底圆半径，高为，单位（）今取。若用此三个值计算圆锥体积时，则的误差限为7.已知求积公式满足：，，，则此公式至少具有次代数精度。8.向量,则是一种向量范数（一定，不一定，一定不），而是一种向量范数（一定，不一定，一定不）二计算题：1.下面的数据取自一个多项式，试用Newton插值公式确定这个多项式的次数，并求出这个多项式。-2-10123-51117252.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合1925313844-61-第-61-页 数值计算方法配套答案1932.34973.397.8111113.试确定函数，使迭代公式产生的序列至少三阶局部收敛到的根。4.证明：线性二步法，，当时，方法是二阶的，当时方法是三阶的。5.设方程组=试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵之积，即，然后用你的分解解此方程组。6.已知方程组试给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-seidel迭代法的收敛的充要条件。7.设方程的重根，证明Newton迭代法仅为线性收敛，若用迭代公式则可至少达到二阶受敛，给出证明。-61-第-61-页 数值计算方法配套答案期末考试程序设计题解析一求程序：（C语言）#include#includevoidmain(){doubleIA[21],IB[21];inti;IA[0]=0.18232155,IB[20]=0.0087301587;//利用递推公式(A),计算IAfor(i=1;i<=21;i++){IA[i]=(-5.0)*IA[i-1]+1.0/i;}//利用递推公式(B),计算IBfor(i=20;i>=1;i--){IB[i-1]=-(IB[i]/5.0)+1/(5.0*i);}//输出结果printf("第一题nnntI(A)ttttntI(B)n");for(i=0;i<21;i++){printf("%dt%-18.10ftt%dt%-18.10fn",i,IA[i],i,IB[i]);}}运行结果：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案二给定函数表012345-7-452665128试用Lagrange插值法求一个五次插值多项式，并由此求的近似值。程序：（C语言）#include#includevoidmain(){floatx[6]={0,1,2,3,4,5},y[6]={-7,-4,5,26,65,128},l[6]={1,1,1,1,1,1};floata=0.5,s=0.0;inti,j;for(i=0;i<=5;i++){for(j=0;j<=5;j++){if(i!=j){//插值基函数l[i]=l[i]*(a-x[j])/(x[i]-x[j]);}}//插值多项式s+=l[i]*y[i];}//输出结果-61-第-61-页 数值计算方法配套答案printf("第二题n");printf("Theresultis%6.3fn",s);}运行结果：三用梯形公式的递推化公式计算积分，要求误差不超过。程序（C语言）：#include#include//被积函数doublefunc(doublex){doublet;t=4.0/(1+x*x);returnt;}voidmain(){inta=0,b=1,k=1,i,j;doubleT[100]={0},s;//梯形公式的递推化公式T[0]=(b-a)*1.0/2.0*(func(a)+func(b));do{s=0;for(i=0;i0.000005);//输出结果printf("第三题n");for(j=0;j#includevoidmain(){doubleT[4]={3.0,3.1,3.1311765,3.1389885},S[3],C[2],R;inti;//由第三题得到T的值printf("第四题n");for(i=0;i<4;i++){printf("T[%.f]=%.7fn",pow(2,i),T[i]);}printf("*******************************************n");for(i=0;i<3;i++){S[i]=4.0*T[i+1]/3-T[i]/3.0;printf("S[%.f]=%.7fn",pow(2,i),S[i]);}printf("*******************************************n");for(i=0;i<2;i++){C[i]=16.0*S[i+1]/15-S[i]/15.0;printf("C[%.f]=%.7fn",pow(2,i),C[i]);}printf("*******************************************n");R=64.0*C[1]/63-C[0]/63.0;printf("*******************************************n");printf("满足误差要求的积分表达式的值R=%-15.7fn",R);}运行结果：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案五设初值问题，取h=0.1，试用Euler方法、后退的Euler方法和梯形公式求解。程序：（C语言）#include#includevoidmain(){doubleX,Y1[6]={1.0},Y2[6]={1.0},Y3[6]={1.0},Y4[6]={1.0};inti;for(i=0;i<5;i++){X=0.1*i;Y1[i+1]=0.9*Y1[i]+0.1*X+0.1;Y2[i+1]=(Y2[i]+0.1*X+0.11)/1.1;Y3[i+1]=(0.95*Y3[i]+0.1*X+0.105)/1.05;Y4[i]=X+exp(-1.0*X);}X=0.1*i;Y4[i]=X+exp(-1.0*X);//输出结果printf("第五题n");printf("XnttEuler方法t后退Euler方法t梯形公式t准确解n");for(i=0;i<6;i++){printf("%.1ft%.6ft%.6ft%.6ft%.6fn",0.1*i,Y1[i],Y2[i],Y3[i],Y4[i]);}}运行结果：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案六用Newton法求下列方程的根，准确到四位有效数字。（1）在附近的根；（2）在附近的根。程序：（C语言）#include#includevoidmain(){inti=1,N1,N2;doubleX1[100],X2[100];X1[0]=X2[0]=2.0;//简单迭代do{X1[i]=pow(3.0*X1[i-1]+1,1.0/3.0);N1=i;i++;}while(fabs(X1[i-1]-X1[i-2])>0.0005);//牛顿迭代i=1;do{X2[i]=X2[i-1]-(X2[i-1]*X2[i-1]*X2[i-1]-3*X2[i-1]-1)/(3*X2[i-1]*X2[i-1]-3);N2=i;i++;}while(fabs(X2[i-1]-X2[i-2])>0.0005);//输出结果printf("第六题n");printf("(1)简单迭代法n");for(i=0;i<=N1;i++){printf("%10.7fn",X1[i]);}printf("利用简单迭代法满足有效数字的方程的根x=%6.3fn",X1[N1-1]);printf("************************************************n");printf("(1)Newton法n");for(i=0;i<=N2;i++)-61-第-61-页 数值计算方法配套答案{printf("%10.7fn",X2[i]);}printf("利用牛顿法满足有效数字的方程的根x=%6.3fn",X2[N2-1]);}运行结果：七.给定线性方程组：，已知精确解：（1）用高斯消去法解此线性方程组；（2）用列主元素消去法解线性方程组。程序：（MATLAB程序）clear;clc;D=zeros(3,4);E=zeros(3,4);A=[-0.00222;10.781250;3.9965.56254];B=[0.41.38167.4178]";C=[AB]D(1,:)=C(1,:);E(1,:)=C(1,:);fori=2:3forj=1:4D(i,j)=C(i,j)+C(1,j)*(-1)*C(i,1)/C(1,1)endendE(2,:)=D(2,:);forj=2:4E(3,j)=D(3,j)+D(2,j)*(-1)*D(3,2)/D(2,2);end-61-第-61-页 数值计算方法配套答案B1=E(:,4);x3=vpa(B1(3)/E(3,3),8);x2=vpa((B1(2)-E(2,3)*x3)/E(2,2),8);x1=vpa((B1(1)-E(1,3)*x3-E(1,2)*x2)/E(1,1),8);x=[x1x2x3]结果：用列主元素消去法解线性方程组解的方程的根为：x=[1.9273000,-.69849600,.90042330]八用SOR迭代法解方程组。方程组的准确解为。程序：（C语言）#include#includevoidmain(){doublex1[6]={1.0},x2[6]={1.0},x3[6]={1.0};doublew[2]={1.0,1.25};inti,j;printf("第八题n");for(i=0;i<2;i++){printf("迭代次数kw=%fn",w[i]);printf("tx1(k)ttx2(k)ttx3(k)n");for(j=1;j<6;j++){x1[j]=x1[j-1]+w[i]*(24-4*x1[j-1]-3*x2[j-1])/4.0;x2[j]=x2[j-1]+w[i]*(30-3*x1[j]-4*x2[j-1]+x3[j-1])/4.0;x3[j]=x3[j-1]+w[i]*(-24+x2[j]-4*x3[j-1])/4.0;printf("%dt%.7ft%.7ft%.7fn",j,x1[j],x2[j],x3[j]);}}}运行结果：-61-第-61-页 数值计算方法配套答案-61-第-61-页 数值计算方法配套答案。-61-第-61-页'