新课标高中数学《导数及其应用》教材习题答案.docx 24页

'第一章导数及其应用1．1变化率与导数练习（P6）在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为和3.它说明在第3h附近，原油温度大约以1℃／h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3℃／h的速率上升.练习（P8）函数在附近单调递增，在附近单调递增.并且，函数在附近比在附近增加得慢.说明：体会“以直代曲”的思想.练习（P9）函数的图象为根据图象，估算出，.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题1.1A组（P10）1、在处，虽然，然而.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、，所以，.这说明运动员在s附近以3.3m／s的速度下降.3、物体在第5s的瞬时速度就是函数在时的导数.，所以，.因此，物体在第5s时的瞬时速度为10m／s，它在第5s的动能J.4、设车轮转动的角度为，时间为，则.由题意可知，当时，.所以，于是.车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度就是函数在时的导数. ，所以.因此，车轮在开始转动后第3.2s时的瞬时角速度为.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增.同理可得，函数在，，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图象如图（1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加；对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加，的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题1.1B组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大致形状.这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.本题的答案不唯一.1．2导数的计算 练习（P18）1、，所以，，.2、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.习题1.2A组（P18）1、，所以，.2、.3、.4、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.5、.由有，解得.6、（1）；（2）.7、.8、（1）氨气的散发速度.（2），它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2B组（P19）1、（1）（2）当越来越小时，就越来越逼近函数.（3）的导数为. 2、当时，.所以函数图象与轴交于点.，所以.所以，曲线在点处的切线的方程为.2、.所以，上午6:00时潮水的速度为m／h；上午9:00时潮水的速度为m／h；中午12:00时潮水的速度为m／h；下午6:00时潮水的速度为m／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为，所以.当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.（2）因为，所以.当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.（3）因为，所以.当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减.（4）因为，所以.当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.注：图象形状不唯一.2、3、因为，所以.（1）当时，，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减.（2）当时， ，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减.4、证明：因为，所以.当时，，因此函数在内是减函数.练习（P29）1、是函数的极值点，其中是函数的极大值点，是函数的极小值点.2、（1）因为，所以.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，当时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以.令，得.下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时.当变化时，，变化情况如下表：3＋0－0＋单调递增54单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为54；当时，有极小值，并且极小值为.（3）因为，所以.令，得.下面分两种情况讨论： ①当，即时；②当，即或时.当变化时，，变化情况如下表：2－0＋0－单调递减单调递增22单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为22（4）因为，所以.令，得.下面分两种情况讨论：①当，即时；②当，即或时.当变化时，，变化情况如下表：1－0＋0－单调递减单调递增2单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在上，当时，有极小值，并且极小值为.又由于，.因此，函数在上的最大值是20、最小值是.（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；又由于，.因此，函数在上的最大值是54、最小值是. （3）在上，当时，有极大值，并且极大值为.又由于，.因此，函数在上的最大值是22、最小值是.（4）在上，函数无极值.因为，.因此，函数在上的最大值是、最小值是.习题1.3A组（P31）1、（1）因为，所以.因此，函数是单调递减函数.（2）因为，，所以，.因此，函数在上是单调递增函数.（3）因为，所以.因此，函数是单调递减函数.（4）因为，所以.因此，函数是单调递增函数.2、（1）因为，所以.当，即时，函数单调递增.当，即时，函数单调递减.（2）因为，所以.当，即时，函数单调递增.当，即时，函数单调递减.（3）因为，所以.因此，函数是单调递增函数.（4）因为，所以. 当，即或时，函数单调递增.当，即时，函数单调递减.3、（1）图略.（2）加速度等于0.4、（1）在处，导函数有极大值；（2）在和处，导函数有极小值；（3）在处，函数有极大值；（4）在处，函数有极小值.5、（1）因为，所以.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以.令，得.下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时.当变化时，，变化情况如下表：2＋0－0＋单调递增16单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为16；当时，有极小值，并且极小值为.（3）因为，所以.令，得.下面分两种情况讨论： ①当，即或时；②当，即时.当变化时，，变化情况如下表：2＋0－0＋单调递增22单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为22；当时，有极小值，并且极小值为.（4）因为，所以.令，得.下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时.当变化时，，变化情况如下表：4－0＋0－单调递减单调递增128单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为128.6、（1）在上，当时，函数有极小值，并且极小值为.由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为9，.（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为16；当时，函数有极小值，并且极小值为.由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为16，. （3）在上，函数在上无极值.由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为，.（4）当时，有极大值，并且极大值为128..由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为128，.习题3.3B组（P32）1、（1）证明：设，.因为，所以在内单调递减因此，，即，.图略（2）证明：设，.因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又.因此，，.图略（3）证明：设，.因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，； 综上，，.图略（4）证明：设，.因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；当时，显然.因此，.由（3）可知，，..综上，，图略2、（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为，所以.下面分类讨论：当时，分和两种情形：①当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.当，且时，此时，函数单调递增.②当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减.当，且时， 此时，函数单调递减1．4生活中的优化问题举例习题1.4A组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为，.令，即，.当时，；当时，.因此，是函数的极小值点，也是最小值点.（第2题）所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为.（1）无盖方盒的容积，.（2）因为，所以.令，得（舍去），或.当时，；当时，.因此，是函数的极大值点，也是最大值点.所以，当时，无盖方盒的容积最大.（第3题）3、如图，设圆柱的高为，底半径为，则表面积由，得.因此，，.令，解得.当时，； 当时，.因此，是函数的极小值点，也是最小值点.此时，.所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于，所以.令，得，可以得到，是函数的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为m，则半圆的半径为m，半圆的面积为，矩形的面积为，矩形的另一边长为m因此铁丝的长为，令，得（负值舍去）.当时，；当时，.因此，是函数的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m时，所用材料最省.6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘单价.由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润.收入，利润，. 求导得令，即，.当时，；当时，；因此，是函数的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润最大,习题1.4B组（P37）1、设每个房间每天的定价为元，那么宾馆利润，.令，解得.当时，；当时，.因此，是函数的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为元／件时，利润，.令，解得.当时，；当时，.当是函数的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42）.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、，.于是 取极值，得说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）.说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积.习题1.5A组（P50）1、（1）；（2）；（3）.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：（m）；距离的过剩近似值为：（m）.3、证明：令.用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式，从而，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，表示由直线，，以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此. 5、（1）.由于在区间上，所以定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得.由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于在区间上是非正的，在区间上是非负的，如果直接利用定义把区间分成等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦.利用性质3可以将定积分化为，这样，在区间和区间上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出，，进而得到定积分的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5B组（P50）1、该物体在到（单位：s）之间走过的路程大约为145m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程.2、（1）.（2）过剩近似值：（m）；不足近似值：（m）（3）；（m）.3、（1）分割在区间上等间隔地插入个分点，将它分成个小区间：，，……，，记第个区间为（），其长度为.把细棒在小段，，……，上质量分别记作： ，则细棒的质量.（2）近似代替当很大，即很小时，在小区间上，可以认为线密度的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点处的函数值.于是，细棒在小段上质量（）.（3）求和得细棒的质量.（4）取极限细棒的质量，所以..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）；（3）；（4）24；（5）；（6）；（7）0；（8）.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6A组（P55）1、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、.它表示位于轴上方的两个曲边梯形的面积与轴下方的曲边梯形的面积之差.或表述为：位于轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.习题1.6B组（P55）1、（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝.2、（1）； （2）；（3）；（4）.3、（1）.（2）由题意得.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计的取值范围.根据指数函数的性质，当时，，从而，因此，.因此，，所以，.从而，在解方程时，可以忽略不计.因此，.，解之得（s）.说明：B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）；（2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）1、（m）.2、（J）.习题1.7A组（P60）1、（1）2；（2）.2、.3、令，即.解得.即第4s时物体达到最大高度.最大高度为（m）.4、设s后两物体相遇，则，解之得.即两物体5s后相遇. 此时，物体离出发地的距离为（m）.5、由，得.解之得.所做的功为（J）.6、（1）令，解之得.因此，火车经过10s后完全停止.（第1（2）题）（2）（m）.习题1.7B组（P60）1、（1）表示圆与轴所围成的上半圆的面积，因此（2）表示圆与直线所围成的图形（如图所示）的面积，（第2题）因此，.2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为，则，所以.从而抛物线的方程为.于是，抛物线拱的面积.3、如图所示.解方程组得曲线与曲线交点的横坐标，.于是，所求的面积为.4、证明：.第一章复习参考题A组（P65）1、（1）3；（2）.2、（1）；（2）；（3）；（4）. 3、.4、（1）.因为红茶的温度在下降.（2）表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min的速度下降.图略.5、因为，所以.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.6、因为，所以.当，即时，有最小值.由，得.又因为，所以.7、因为，所以.当，即，或时，函数可能有极值.由题意当时，函数有极大值，所以.＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增由于所以，当时，函数有极大值.此时，，.8、设当点的坐标为时，的面积最小.因为直线过点，，所以直线的方程为，即.当时，，即点的坐标是. 因此，的面积.令，即.当，或时，，不合题意舍去.2－0＋单调递减极小值单调递增由于所以，当，即直线的倾斜角为时，的面积最小，最小面积为2.9、.10、设底面一边的长为m，另一边的长为m.因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为.设容器的容积为，则，.令，即.所以，（舍去），或.当时，；当时，.因此，是函数在的极大值点，也是最大值点.所以，当长方体容器的高为1m时，容器最大，最大容器为1.8m3.11、设旅游团人数为时，旅行社费用为.令，即，.又，，.所以，是函数的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为cm时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为，所以宽为，打印面积 ，.令，即，（负值舍去），.是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm时，可使其打印面积最大.13、设每年养头猪时，总利润为元.则.令，即，.当时，；当时，.是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）；（2）；（3）1；（4）原式＝；（5）原式＝.15、略.说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、.17、由，得.解之得.所做的功为（J）第一章复习参考题B组（P66）1、（1）.所以，细菌在与时的瞬时速度分别为0和.（2）当时，，所以细菌在增加；当时，，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为.因为，，所以.，.令，即，，此时为2弧度.是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么.因此，，.令，解得.容易知道，是函数的极大值点，也是最大值点.所以，当时，容积最大.把代入，得.由，得.所以，圆心角为时，容积最大.4、由于，所以.设船速为km／h时，总费用为，则，令，即，.容易知道，是函数的极小值点，也是最小值点.当时，（元／时）所以，船速约为24km／h时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以km／h行驶时，行车的总费用，令，解得（km／h）.此时，（元）容易得到，是函数的极小值点，也是最小值点.因此，当时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km／h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝. 7、解方程组得，直线与抛物线交点的横坐标为，.抛物线与轴所围图形的面积.由题设得.又因为，所以.于是.说明：本题也可以由面积相等直接得到，由此求出的值.但计算较为烦琐.'