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- 2022-04-22 11:15:51 发布
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'新课程高中数学优秀教学设计与案例高中数学优秀教学设计与案例10.直线与平面平行的性质1.教学目的(1)通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知、获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理；(2)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性；(3)通过命题的证明，让学生体会解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想，培养、提高学生分析、解决问题的能力。2.教学重点和难点重点：直线与平面平行的性质定理；难点：直线与平面平行性质定理的探索及P61例3。(人教版)3.教学基本流程复习相关知识并由现实问题引入课题引导学生探索、发现直线与平面平行的性质定理分析定理，深化定理的理解直线与平面平行的性质定理的应用学生练习，反馈学习效果小结与作业4.教学过程教师活动学生活动设计意图【复习】以提问的形式引导学生回顾相关的知识：线线、线面的位置关系及判定线面平行的方法。思考并回答问题。温故知新，为新课的学习做准备。【引入】(1)提出例3给出的实际问题，让学生稍作思考；(2)点明该问题解决的关键是由条件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面画线，使得工人师傅按照画线加工出满足要求的工件；(3)引入课题——在我们学习了《直线与平面平行的性质》这一节课之后，我们就知道如何解决这个实际问题了。思考问题，进入新课的学习。通过实际例子，引发学生的学习兴趣，突出学习直线和平面平行性质的现实意义。【设问】(1)提出本节《思考》的问题(1)：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行?引导学生做小实验：利用笔和桌面做实验，把一支笔放置到与桌面所在平面平行的位置上，把另一支笔放置在桌面，笔所在的直线代表桌面所在平面上的一条直线，移动桌面上的笔到不同的位置，观察两笔所在直线的位置关系。(2)一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线有哪些位置关系?分析：a∥αa与α无公共点a与α内的任何直线都无公共点a与α内的直线是异面直线或平行直线。(1)学生动手做实验，并观察得出问题的结论：与平面平行的直线并不与这个平面内的所有直线都平行。
(2)学生由实验结果猜想问题的答案，再由教师的引导进行严谨的分析，确定猜想的正确性。通过学生的动手实验，得出问题的结论，提高学生的探索问题的热情。续表教师活动学生活动设计意图【探究】一条直线与一个平面平行，在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行?讲述：与平面平行的直线，和平面内的直线或是异面直线或是平行直线，它们有一个区别是异面直线不共面，而平行直线共面，那么如何利用这个不同点，寻找这些平行直线呢?(1)长方体ABCD-ABCD中，AC平行于面ABCD，请在面ABCD内找出一条直线与AC平行。分析：AC与AC这两条平行直线共面，同在面AACC内，可见AC是过AC的平面AACC与面ABCD的交线。(2)在面ABCD内，除了AC还有直线与AC平行吗?如果有，可以通过什么方法找到?利用课件演示AC任意作一平面AEFC与面ABCD相交于线EF，验证学生的猜想。分析：因为AC∥面ABCD，所以AC与这个面内的直线EF没有公共点，由大家的这个方法做出直线EF，就使得EF与AC共面，故EF∥AC。学生随着教师的引导，思考问题，回答问题。(1)根据长方体的知识，学生能够找到直线AC与AC平行。随教师的引导，发现AC的特殊位置关系。(2)由上面特殊例子的启发，学生逐渐形成对问题答案的猜想，随教师的引导，证明猜想的正确性。以长方体为载体，引导学生猜想问题成立的条件，推导出定理。续表教师活动学生活动设计意图【剖析定理】(1)证明定理；(2)分析定理成立的条件和结论；(3)指导学生阅读课本60页倒数第一段的内容。要求学生认真听教师的分析，看定理的证明过程，阅读和理解课本60页倒数第一段的内容。深化学生对定理的理解，明确该定理给出了一种作平行线的重要方法。【巩固练习】一、提出本节开始提出的问题(2)，让学生自由发言。(不局限只有引平行线的方法)二、判断题(1)如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。
(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行。(3)如果直线a、b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b。学生自由举手发言，说明理由。通过练习再次深化对定理的理解。【讲解例题】例3、例4要求学生跟随教师的分析引导，自己思考和解决问题。让学生体会定理的现实意义与重要性及解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想【课堂练习】已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF,求证：CD∥EF选取几份有代表性的做法，利用投影仪，讲评练习，反馈学习效果。及时解决学生学习上存在的问题【小结】(1)直线与平面平行的性质定理；(2)直线与平面平行性质定理的应用。【作业】习题22A组第5、6题总结归纳学习内容，安排适当的课后练习。11.直线和平面垂直教案深圳市益田中学冯琪本课课教学的基点放在提高学生的思维参与度上，以问题引导学习，使学生在学习过程中，自己建构数学知识；通过课堂活动，实现学生自主探究；在经历知识发展的过程中、在概念形成的过程中，提高能力；改变学生被动学习的局面。教学目标(1)通过问题情境引入线面垂直的定义。(2)通过直观感知、操作确认、归纳出空间中线面垂直的判定定理。(3)通过直观感知、操作确认、思辨论证，归纳出空间中线面垂直的性质定理，并加以证明。(4)通过建构线面垂直的概念、线面垂直的判定定理及例题的讲解，帮助学生认识无限与有限的辩证关系，培养学生辩证思维能力。(5)培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。教学重点线面垂直的判定定理与性质定理。教学难点线面垂直的判定定理与性质定理。教学过程问题及活动教学目标学生活动教师活动1.旗杆与地面、电线杆与地面、路灯与地面给我们什么感觉?2.砌房子的时候，为了保证墙脚线与地面垂直，人们常常用一根铅垂直线来检测。1.从实际问题引入，对线面垂直有一个直观认识。2.理解研究线面垂直关系的必要性。观察，思考、回答问题，形成直观感觉创设问题情境引导学生思考续表问题及活动教学目标学生活动教师活动3.用数学语言，如何定义直线与平面垂直?从数学的角度思考线面垂直关系。思考引导4.平面可看成是由直线沿空间某一方向平移而成的，我们曾学过线线垂直，那么能否用线线垂直来定义线面垂直呢?旗杆与地面垂直，那么旗杆与地面内的哪些直线垂直呢?〖〗建构线面垂直的定义思考归纳线面垂直的定义提问、引导5.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于该平面?1.建构判定线面垂直的方法——定义法。2.渗透无限与有限的转化思想。思考、证明演示实验提问、引导6.用定义证明线面垂直时，在平面内的任一条直线代表平面内的所有直线，由于它的位置的任意性，也给证明带来了不便。那么还有没有更简便的方法判定线面垂直呢?提出问题，为引出线面垂直的判定定理作铺垫。思考提问、引导演示实验：
木工师傅用角尺的一边靠紧直线，若另一边在平面内，说明直线与平面内的一条直线垂直，以该直线为轴转动角尺到另一位置，若另一边仍在平面内，便可断定该直线是与平面垂直的。由实际生活引入，通过直观感知，引导学生归纳出线面垂直的判定定理。观察、思考、归纳演示、讲解创设问题情境引导学生思考学生实验：将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面是否垂直?试证明你的结论。操作确认，进一步体会判定定理。小组实验、讨论个别辅导续表问题及活动教学目标学生活动教师活动例2、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么?判定定理的运用，强化对判定定理的理解。思考、解答点评7.一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗?为什么?与例2相呼应，一正一反，强调判定定理中的“两条相交直线”这一限制条件。思考、回答点评9.在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。那么，在空间：(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?1.与平面几何类比，学生直观感知，得出线面垂直的性质，为介绍性质定理作铺垫。2.引出“点到平面的距离概念”思考、回答演示、提问、点评图片演示：五根旗杆垂直于地面，这些旗杆间是什么关系?10.如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线是否平行?为什么?由实际问题自然引出线面垂直的性质，建构性质定理。思考、回答、证明创设问题情境，引导学生思考11.若有一条直线与平面平行，那么直线上各点到平面的距离是否相等?1.线面垂直性质定理的运用。2.引出“平行直线与平面的距离”概念。探究、分析、证明引导学生思考课堂练习(略)巩固本节课所学内容练习、讨论个别辅导12.线线垂直与线面垂直之间是如何转化的?对知识的提炼、升华思考、概括点评12.棱柱、棱锥和棱台教案1.教学内容棱柱、棱锥和棱台的基本概念及其几何特征。2.教学目标(1)认识棱柱、棱锥和棱台的几何特征，了解棱柱、棱锥和棱台的概念；(2)经历用运动的观点形成棱柱、棱锥和棱台的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥和棱台的概念和相互之间的关系；(3)重视立体几何知识与立体几何知识间的“类比”；体会“空间问题转化为平面问题”的“转化”思想；(4)接受观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法的运用。3.教学重点、难点(1)形成棱柱、棱锥和棱台的概念；(2)作棱柱、棱锥和棱台的直观图形；(3)棱台的画法和判断。4.教学过程31用运动的思想阐述平面几何中平行四边形、三角形、梯形的概念311平行四边形的定义312用运动的观点给出平行四边形的定义(课件演示)313平行四边形、三角形、梯形之间的相互关系(课件演示)32棱柱的概念的形成321提出问题：下列几何体，用平移这种运动的观点来观察，有什么共同特点?(学生自由讨论，课堂交流。同时教师用课件演示棱柱的形成过程。)
322概括棱柱的概念。由一个多边形沿某一个方向平移形成的几何体叫棱柱。平移的起始两个面叫棱柱的底面，多边形的边平移所成的面叫棱柱的侧面。两个侧面的公共边叫棱柱的侧棱。323问题：棱柱的侧面是什么图形?为什么?(学生自由讨论，课堂交流。)324教师总结：(1)棱柱是空间图形，我们讨论棱柱的侧面的形状，是转化为平面几何中线段的平移的结果，这叫空间问题转化为平面问题。(2)平形四边形是线段沿某一个方向平移而得，棱柱是多边形沿某一个方向平移得到的，产生平形四边形和棱柱的方式相似，从而空间图形棱柱，可以与平行四边形“类比”。33棱锥、棱台的概念的建立331演示棱锥、棱台的图形332问题：(1)请仿照三角形、梯形与平行四边形的关系，讨论棱锥、棱台与棱台之间的关系。(2)指出棱锥、棱台的一些特点(3)指出可以与棱锥、棱台类比的平面图形。(学生自由讨论，课堂交流。)34学生阅读课本(P5—P7例一前)35知识的系统化351填表棱柱棱锥棱台底面特征侧面特征侧棱特征底面特征侧面特征侧棱特征底面特征侧面特征侧棱特征352几何图形之间的相互关系5.例题例画一个四棱柱的一个三棱台。6.课堂练习P81、2、3、47.知识总结：本节课通过与平面几何“平行四边形、三角形、梯形”之间的相互关系联系，学习了棱柱、棱锥、棱台的形成、基本概念和相互关系。8.课后练习《中华一题》P1第一课时棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥和棱台设计说明本堂课的设计基于◆突出数学概念的发生过程、突出知识间的联系；◆突出思维方法、突出数学思想方法的教学与训练；◆突出学生学习的主体地位，使数学知识主动建构；◆淡化对非主体知识点的讲解。(1)31用运动的思想阐述平面几何中平行四边形、三角形、梯形的概念，对学生已有的知识与方法进行有意义的改组，为新的知识的形成提供“固定点”，使新的知识的产生与形成速度更快、更稳固；(2)棱柱的概念的形成的重要环节是321下列几何体，用平移这种的运动观点来观察，有什么共同特点?
这个环节的教学，可以使学生逐步形成观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法；数学知识的形成，是学生思维高度参与的主动建构过程，安排322学生自由讨论，课堂交流。(3)设计332问题：(1)请仿照三角形、梯形与平行四边形的关系，讨论棱锥、棱台与棱台之间的关系。(2)指出棱锥、棱台的一些特征(3)指出可以与空间图形棱锥、棱台类比的平面图形。(学生自由讨论，课堂交流。)在于突出使学生用类比的思维方法，进一步展现知识的形成的过程，安排学生自由讨论，目的是使学生的参与程度更高，学会合作，使平面几何中平行四边形、三角形、梯形之间的相互关系的知识和方法以及认识过程得到主动的迁移。(4)323问题：棱柱的侧面是什么图形?为什么?学生自由讨论，课堂交流。目的是让学生感受“空间问题转化为平面问题”的“转化”的数学思想，324突出“类比”的数学思想。(5)教师的讲解、引导，着力点放在主干知识上，非主干知识不讲解，采用学生阅读教材的方式教学，如，棱柱的底面、侧面、分类、记法等。(6)在学生读完教材后，对数学知识系统化，设计的教学环节是351填表和352几何图形之间的相互关系。13.空间几何体的三视图及其表面积和体积(教案)广东省廉江市第二中学数学科组吴南寿【教学目标】一、知识目标熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。二、能力目标先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。三、德育目标1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。【教学重点】观察、实践、猜想和归纳的探究过程。【教学难点】如何引导学生进行合理的探究。【教学方法】电教法、讲述法、分析推理法、讲练法【教学用具】多媒体、实物投影仪【教学过程】［投影］本节课的教学目标1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。【学习目标完成过程】一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)?2.三视图与其几何体如何转化?二、新课讲解［设置问题］例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。［提出问题］1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积?
［学生思考、总结板书］空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。［承转过渡］求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图?［学生讨论、总结板书］例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。［设问］请问例1的三视图转化为实物几何体是由那几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积?［讨论、板书］该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。［分析解答、板书］由三视图画出奖杯的草图可知，球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，所以球的表面积和体积分别为：S球=4πR２＝4π·2２=16π(cm２)，V球=43πR３=43π·2３=323π(cm)３。而四棱柱(长方体)的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱(长方体)的表面积和体积分别为：S四棱柱=(8×4+4×20+8×20)×2=272×2=544cm２，V四棱柱=８×４×２０=640cm３［设问］如何求出四棱台的表面积和体积?［分析解答、板书］（图2）从画出四棱台直观图(图2)来分析怎样求表面积和体积。由三视图所示，知道该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形。我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和。所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以主要求出其中一个侧面面积，问题就解决了。下面我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A做AE⊥CD,AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm,则AE为四棱台ABCD面上的斜高：∴AE=20-122２＋２２=25cm,所以四棱台的表面积和体积分别为：S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20=(1285+544)cm２，V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×２０×２=23544+434cm３。［设问］球体、四棱柱和四棱台的表面积和体积分别已求出来，是不是将它们的表面积和体积分别相加就是该奖杯的表面积和体积?［分析解答、板书］不是，求体积可以相加，而表面积不可以相加。我们知道表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小。所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积。应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：
∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱＋S四棱台-２×S四棱柱底面=16π+544+1285+544-2×(4×8)=16π+1024+1285≈1360cm２，奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544≈1052cm３。［学生活动］请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么?(让学生思考)［总结归纳］求组合几何体的表的时候容易出错。［拓广引申］(探究1)如果题目改为问：如果该奖杯是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台组合而成，则在制造该奖杯需要多少材料?那在计算时还需不需要再减去四棱柱的两个底面面积?［讨论板书］不需要。［拓广引申］(探究2)如果将奖杯底部四棱台的各侧棱延长，使它们相交于一点S(如图3所示)，得到的正四棱锥S-ABCD的体积为多少?［讨论、解答板书］（图3）我们要计算正四棱锥S-ABCD的体积，因为已经知道该四棱锥的底面面积，所以只要求出该棱锥的高问题就解决了。设四棱锥S-EFGH的高为h，则四棱锥S-ABCD的高为h+2，由面积比等于对应边的平方比得：hh+2２=144400,∴hh+2=1220,∴h=3cm，则四棱锥S-ABCD的高为5cm，所以四棱锥S-ABCD的体积为：V四棱锥=13×400×5=20003cm３。注：求四棱锥的高还可以利用相似三角形对应边的比求得。［拓广引申］(探究3)假如从(图3)四棱锥的顶点向棱锥内注入某种溶液，求四棱锥内溶液体积V与注入溶液高度h的函数关系式。［讨论、解答板书］我们可以看到，在注入溶液的过程中，溶液的体积由棱台变化为棱锥，即是注满四棱锥时溶液的体积为四棱锥的体积，未注满时溶液的体积为四棱台的体积。而四棱台的体积随着上、下底面面积与高度的变化而变化，下底面不变，上底面随着高度的变化而变化，所以应用运动、变化的观点来分析它们之间的关系。当注入溶液的高度为h时，设溶液液面的边长为a，(利用相似三角形对应边的比)，易得：a20=5-h5,∴a=20-4h，所以注入溶液体积V与注入溶液高度h的函数关系式为：V=13S上+S上S下+S下·h=13a２＋a２×４００+400·h=13(20-4h)２＋２０×（２０－４h）+400·h=163h３-80h２＋４００h,(0≤h≤5)。(充分挖掘各个知识点的联系，有利于帮助学生进行归纳总结，有利于提高教学质量和效率)【课堂练习】［投影］1.(巩固型)若将题中三视图的正视图改为(图4)所示，也就是已知奖杯中四棱台的侧棱长为5cm，其它条件不变，那又怎么求该奖杯的表面积和体积?［投影］2.(提高型)一个正三棱柱的三视图如(图5)所示，求这个正三棱柱的表面积。(单位：cm)
【课堂小结】通过这节课的探究学习，发现由三视图求几何体的表面积和体积，要先将三视图转化为其几何体的直观图，分清楚直观图中的几何要素，然后再代公式进行计算；特别要分清几何体的侧面积与表面积；平时多动脑筋，挖掘与题目相关联的知识点。【布置作业】［投影］1.(如图6)已知一个组合几何体的三视图，请根据该几何体的三视图画出它的直观图，并计算它的表面积和体积。(单位：cm)空间几何体的三视图及其表面积和体积(教案的设计说明)在数学教学实践中我发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥无味，要不是高考升学要求，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会也很少；所以许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢?即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。而随着研究性学习的深入开展，我们越来越感到研究性学习不应只作为一门课程来开设，还应作为学习的方式渗透到学科教学当中。如果研究性学习还仅仅停留在活动课的层面，不能和日常教学结合起来，就会出现高一高二轰轰烈烈搞研究性学习，高三扎扎实实抓应试教育的现象。能否在高中数学教学活动中开展研究性学习，即把研究性学习这种学习方式渗透到教与学的过程中。“空间几何体的三视图及其表面积和体积”是普通高中课程标准实验教科书数学［必修2］第一章的主要内容之一，是帮助学生逐步形成空间想象能力不可缺少的一部分内容。本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，有利于巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。本节课是“空间几何体的三视图及其表面积与体积”的研究性课题，主要是引导学生去思考，参与知识获得的过程，帮助学生巩固旧知识，使学生掌握新的有用知识，体会联系、发展等辩证观点，培养学生的应用意识和整体性思维，丰富学生的空间想象能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。14.圆的标准方程一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。难点：圆的标准方程的求法。三、教学对象分析
圆是学生比较熟悉的曲线。在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。本节知识结构如图所示五、课前准备教师：制作电脑课件学生：课前预习，搜集资料六、教学策略1这是一节介绍新知识的课，而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程，所以本节力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”。2在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采取探究式，引导学生探索，重视探索过程。3通过类比，进行条件的探求：通过点在圆上，点与圆心间的距离等于圆半径，类比可得点在圆外与在圆内的判定条件。在整个探求过程中，充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。七、教学过程教学过程教学方法和手段引入1确定圆的几何要素2圆的定义3圆的标准方程4圆与点的位置关系5求圆的方程常用方法通过五个问题，引出本节主要内容问题分析1确定圆的几何要素是什么?圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状画图启发2圆的定义(初中)平面上与定点距离等于定长的点的集合；(高中)｛M｜AM｜=r｝(r为定长，A为定点)温故知新3圆的标准方程由两点间的距离公式(x-a)2+(y-b)2=r2圆心(a,b),半径为r〖〗用方程描述曲线代数方法研究几何问题课堂练习【练习1】根据圆的方程，指出圆心和半径(1)(x-2)2+(y-3)2=4(2)(x-3)2+y2=(-2)2(3)(x-3)2+(y+4)2=62答案：(1)圆心(2，3)半径为2
(2)圆心(3，0)半径为2(3)圆心(3，-4)半径为6结论：圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心(a,b)，半径为r对圆的标准方程的巩固，并由学生概括总结规律探究圆心在坐标原点的圆的标准方程如何表示探究学习课堂练习【练习2】根据圆心和半径，指出圆的方程(1)圆心为原点，半径为1；(2)圆心为原点，半径为2；(3)圆心为原点，半径为3；答案：(1)x2+y2=1(2)x2+y2=4(3)x2+y2=9结论：圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2由特殊到一般并由学生概括总结规律问题分析4圆与点的位置关系点(x0,y0)在圆上，则点的坐标满足圆的方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，所以(x0-a)2+(y0-b)2＝r2，那么点在圆外与在圆内如何判别?点P(x0,y0)与圆：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(由点与圆心C(a,b)的距离判定)1)点P在圆内，则｜PC｜＜r(x0-a)2+(y0-b)2＜r22)点P在圆上，则｜PC｜＝r(x0-a)2+(y0-b)2＝r23)点P在圆外，则｜PC｜＞r(x0-a)2+(y0-b)2＞r2类比获得结论课堂练习【练习3】判别点与圆的位置关系(课本P127—2)实践练习问题分析5求圆的方程常用方法圆的几何要素是圆心与半径，故要求圆的方程，关键是如何确定圆心与半径引导学生探究课堂练习【练习4】求出下列条件下圆的方程(1)圆心为点P(-3，4)半径为2(2)圆心为点P(-1，0)半径为2(3)圆心为点P(2，-3)半径为5答案：(1)(x+3)2+(y-4)2=4(2)(x+1)2+y2=4(3)(x-2)2+(y+3)2=25结论：已知圆心和半径，可直接代入得圆的方程由特殊到一般并由学生概括总结规律例题讲解例2：已知A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)求三角形ABC外接圆的方程(课本P125)思路一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，点A、B、C在圆上，满足圆的方程，故可列出三个方程，确定a、b、r。思路二：三角形外接圆的圆心为三角形各边垂直平分线的交点，圆心与任一顶点的连线的长即为半径过程略。例3：圆心C过直线L：x-y+1=0，点A(1，1)与B(2，-2)在圆上，求圆的方程(P126)思路一：(待定系数法)点A、B在圆上，满足圆的方程，故可列出两个方程，圆心在直线L上，圆心(a,b)满足直线的方程，故可列出第三个方程，解方程组可确定a、b、r。思路二：(几何分析法)圆心在圆上弦AB的垂直平分线上，所以AB的垂直平分线与已知直线L的交点即为圆心。圆心与A或B的连线的长即为半径过程略
求线段垂直平分线的另一方法：(应用线段垂直平分线的性质)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等｜AM｜=｜BM｜，可得AB的垂直平分线方程待定系数法与几何分析法课堂小结1圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a,b)，半径为r2圆与点的位置关系由点与圆心的距离确定3求圆的方程常用方法(关键是如何确定圆心与半径)(1)直接代入法(2)待定系数法(3)几何分析法回顾前面五个问题，引导学生归纳总结本课作业书本127页第1、2、3、4题八、教案说明在教学过程中，教师遵循教学本身的发展规律，同时认识到学生的认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆。从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时，引导学生对照圆的几何图形，观察和欣赏圆的方程，体会教学中的美学——对称、简洁。在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关。肇庆中学曾若涛提供三、教学回顾与反思15.学生的感叹!自己的顿悟16.在感受中发现，在领悟中升华17.数学教学中渗透“探究性学习”的一些尝试18.数学与生活的一点随想19.函数应用教学中渗透研究式的学习20.信息技术与数学新课程教学21.必修1、2教学后的感想22.写在函数概念教学之后教学随想23.新教材使用中的经验体会第二部分新课程高中数学优秀教学设计与案例高中数学优秀教学设计与案例15.学生的感叹、自己的顿悟阳春二中范机在13班上完函数的第一课后，自我感到很不理想，课堂中学生的情绪也反映出来，心想在14班的教学要调整了，草草考虑，开始实施：一开始就举了多个函数应用的实例，如：由恐龙化石推算恐龙生活的年代，由木乃伊推算这人已故了多久，课本的投回报、人口增长、GDP等问题。然后话题一转：要想解决这些问题要用到函数知识。学生由新奇有趣转达到渴望知识。上了若干节课后，一个学生对我说：“老师，函数真有用啊!”学生的感叹!自己即时顿悟!于是又重阅教材，通过与旧教材分析对比，发现新课标实在是增加了一道道亮丽的风景：(1)真美——
课本中的现实或教学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，它展现了数学总有用的，数学是自然的，数学是美的；(2)真恰当——使用观察、思考、探究、问号、网络等图标，它能引导学生去思考、经历知识的发生发展过程，体会观察、归纳、概括、交流反思的思维过程；(3)真及时——留空、留白的方式，它能鼓励我们的学生积极参与这个过程、主动思考相关的问题，自主探索其中奥秘。(4)真好——数学内容的本身调整和信息技术与数学内容的有机整合，它体现了课程的新理念，具有时代的数学语言作为近现代的气息，满足时代的要求。(5)真妙——集合渗透到课本的每部分内容，这能体现知识内容间的联系，使语言表达更加严谨。(6)真奇——读图题，它体现数与型的优美结合。(7)真难——教函数的应用，但解决这样实际问题能培养学生的数学能力。重新审视教案又有新的设想：1带入美景教材的概念引入和结论得到都有现实和数学理论发展的背景或数学发展历史上背景。为此，在教学中应该将背景描绘更加美好，说得更加生动；设置更加悬念、有趣，把学生带入美景，从而使学生对数学的情感增强、感受数学之美。2改变教法教材编排就好象教案，主线：实际理论、背景引出问题通过学生思考、探究、实验、猜测、推理、交流、表达、类比、反思等理性思维的基本过程获得数学知识、思想方法解决问题小结、归纳形成知识体系和能力推上高一层次或拓广到更大的范围。为此教师的工作就不是原来的意义的教书，应改变为导书，即指导学生去读书，在指导学生学习的同时要点拨给学生学习的方法，帮助学生解疑析难，指导学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。例如：方程的根与函数的零点①首先开门见山地提出问题一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数b=ax2+bx+c(a≠0)图象有什么关系?②要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般：即通过具体的函数与方程来讨论。③分组实施④交流汇报结果⑤老师精点⑥引导猜想方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。从而定义函数的零点。⑦引导学生去总结出：函数y=f(x)有零点的特征(见课本P102)⑧应用学生完成P102的例题、P103的练习⑨小结：(1)探问题的方法(2)得到的结果(3)能解决什么问题(4)解决问题的步骤3转变学法要实现教法的改变，必须转变学法，这更需学生树立正确态度和思想：我要学习、我急需学习，由一段时间努力和体会，学法会形成的。16.在感受中发现，在领悟中升华——“函数的概念与图象”教学的一点随想深圳市平冈中学孙文彩当我拿着精美的新教材，看着一幅幅优美的图片时，给我最大的感触就是：图文并茂，内容丰富，叙述形式充满浓厚的人文时代气息……，特别是当我上完“函数的概念与图象”这部分内容后，感慨很多，在此略加采撷，旨在抛砖引玉，恳请同行指正!(一)让学生感受数学，体会数学的价值。
数学对是客观世界的数量关系和空间形式的描述，它来源于客观世界的实际事物，学生们的生活中处处有数学。教学时如能善于挖掘生活中的数学素材，从生活实际出发，结合学生的生活实际，把教材内容与“数学现实”有机结合起来，引入数学知识，让数学贴近生活，使学生感受数学的实用性，对数学产生亲切感。教材中“函数的概念与图象”内容就是把学生身边的素材：国民生产总值，一天的温度变化曲线，自由落体运动函数，等等，教者如能把它制成幻灯片作为课堂引入，或者再因地制宜地举出一些其它的实例，如飞机票价表，数学用表，股市走势图，家庭生活用电数……，使学生对熟悉的生活场景的回顾，感受到函数与我们现实生活的密切关系，消除同学们对函数这一概念的陌生感、恐惧感。堂课的背景材料取材于学生最熟悉的资料，当学生看到自己非常熟悉的材料出现在课堂上时，那种油然而生的亲切感会使他们的情绪空前高涨，从而激发主动学习的愿望。有了学生情感的积极参与，课堂将会一片生机盎然。《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”，用数学眼光去观察生活实际，从而让学生感受生活化的数学，体验数学化的生活，教材为我们提供了一定的让学生进行主动探索的材料，同时更需要发挥教师的主导作用，创造性地使用教材，发挥教师的主观能动性，使数学更贴近学生，拉近学生与书本，与数学的距离。(二)让学生体验数学，涵养数学的灵气体验就是个体主动亲历和虚拟地亲历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验活动。新颁布的《高中数学课程标准》与原来的教学大纲相比，一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标，特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”。对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验，重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和运用数学。所以数学教学必须引导学生通过主动参与和亲身实践，或独立思考、或与同学教师合作探究，让他们发展能力，感受自己的价值，从而激发对学习数学的兴趣。“函数的概念与图象”设计了一个小组讨论，让学生举出自己生活中遇到，见到的函数实例。同学们的热烈讨论，举出许多生活中的函数实例，实实在在地体验到数学就在自己身边，原来函数就是如此!数学起源于生活，但经过抽象后形成的书本知识远比生活知识来的难以接受。如课本中的函数的概念，函数的三种表示，分段函数等等，学生觉得数学难懂、难学，一个重要的原因就是课程知识与生活的经验严重脱节，把学生死死地捆绑在课本里，死记那些学生认为枯燥的概念和公式。新教材的一个重要特征就是引导学生关注生活，让学生在生活的问题情境中，学会应用数学的思想方法去观察、分析；同时教师要把丰富的，贴近学生生活的素材展现在学生面前，并以此为基点，延伸，拓展，这种建立在学生生活经验上的知识就容易被他们掌握，理解，同化以致于转化成学生的一种数学能力。(三)领悟数学，升华思想，呈现本质新的课程理念认为，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。课堂上让学生亲历体验，有助于学生通过多种活动探究和掌握数学知识，达到对知识的深层理解，更重要的是学生在体验中能够逐步发现规律、认识数学的一般方法。案例：某种笔记本每个5元，买x(x∈｛1，2，3，4｝)个笔记本的钱数记为y(元)，试分别用解析法，列表法，图象法将y表示成x的函数。学生通过自主探究，给出函数的三种表示，领悟到一个函数有时可以用不同方法表示，同时不同方法的表示又有助于对函数的本质的深层理解。学生学习数学的过程不是一个被动吸收、机械记忆、反复练习的过程，它是一种在已有经验和原有认识的情况下解决问题，形成技能，巩固新知识的有意义的过程，让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，才能把新知识纳入到原有知识中去，内省为有效知识。(四)让学生应用数学新教材内容特别注意加强数学应用意识的培养，这是因为随着社会主义市场经济的发展，使得“数学从社会的幕后走到台前”，在很多方面可以直接为社会创造价值。让学生学会数学
认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程，在这个过程中以数学知识为载体的数学，不能仅仅追求知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过这一过程学会数学的思维，体会数学的思想方法，感悟数学的精神并形成积极的数学态度。案例：一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A，C间距离为200m，B，D间距离为250m，C，D间距离为2000m，E，F间距离为10m，P点与A点间，Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是抛物线式钢索PEQ相连结。现有一只江欧从A点沿着钢索AP，PEQ，QB走向B点，试写出从A点走到B点江欧距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。这是课本中的一个问题，从中可以看出数学在建筑设计中的应用，教者引导学生完成对问题的分析，提取，抽象，解剖，计算，总结，导出了数学建模，分段函数，二次函数的解析式，待定系数等到数学概念，把学生的创造力发挥得淋漓尽致，学生学数学的过程成了“做数学”、“用数学”的过程。在教学中，充分挖掘其人文的、科学的和应用的价值，让学生通过对身边具体的事例研究，体会数学和生活的紧密联系，感受数学在科学决策中的价值，从而提高学习数学的兴趣。学生在学习过程中因为数学的抽象性，数学问题解决经常伴随着困难，但难度只要不超过学生的能力，总有可能获得成功。美国著名的数学教育家波利亚说过：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”但在失败后的成功是更令人兴奋的，心中的愉悦是无法形容的，当学生有了这种情感体验后，就会不断地去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学是伟大。参考文献：1普通高中课程标准实验教科书(必修)数学1，江苏出版社，2004年.2毛光寿.在教学行动中转变教育理念.中学数学与教学，2004年第3期.3王克亮.领会，类比，把握，防偏.中学数学，2004年第11期.17.数学教学中渗透“探究性学习”的一些尝试——“直线方程的一般式”一课教学感悟中山实验高中黄晓镜新的《课程标准》的教学内容较过去相比有了重大变化，加入了一些新的内容和理念。作为高中数学教师要能对《课程标准》的改革意义、作用和操作予于理解和把握，要在教学理念上有一个新的突破，才能适应当前教学改革的实际需要。例如《新课程标准》谈到要培养学生的探究能力和创新精神。而探究性学习具有较强的问题性、实践性和解决问题性，要这一过程中，学生要善于发现问题(或由老师提示创设)通过学生亲自实践动手操作，合作交流等活动，创设性的解决问题。探究性学习有利于培养学生的创新精神和实践能力、交流和合作意识。笔者认为“探究性学习”更值得我们老师们去思考和研究，下面就高一解析几何“直线方程的一般形式”一课谈谈自己的教学感悟。一、概念、定理、公式教学中渗透探究性学习高中教材中的定义、定理、公式都是前人经过长期探索而得到的，然而学生往往难以感受其中的探索过程，所以在教学过程中有意识地选择一些概念、定理等内容进行探究性的学习，对学生来讲是十分必要的。例如，在讲授“直线方程一般式”的概念时，若直接引出方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式，然后再论证、分析，从传授知识的角度上看，也许是没有问题的，学生也能完成相应的练习。但为了体现知识的发生和发展过程，我设计了以下教学方案。首先提出问题：已学过直线方程有几种形式?(学生回忆写出)紧接设问：上述四种方程都是怎样的方程，是否具有统一形式?(学生分析、讨论、转化后回答)紧接着又设问，任何一条直线的方程是否都可以写成二元一次方程的形式?反之二元一次方程是否都能表示一条直线?学生在探索讨论的过程中，可能会出现对直线倾斜角不讨论或对直线方程，Ax+By+c=0中的B不讨论的情况，教师要适当点拨引导，然后学生形成了一个结果。即在平面直角坐标系中任一直线都有表示这条直线的关于x、y的二元一次方程，反之，任何x、y的二元一次方程都表示一条直线，教师给予论证，最后顺理成章的给出直线方程一般式的概念，整个过程顺畅自然，没有生硬灌输，学生的接受也较为愉快。二、例题教学中渗透探究性学习
本节课教材中的两个例题具有典型性和示范性，但相对简单一些，学生的思维兴奋度不高，为此，我又补充了一道例题。例：已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3、4，求m、n的值。学生经过探究讨论后，得出了以下三种不同的解法(学生探究讨论，教师归纳)解法一：由截距意义知，直线经过(-3，0)和(0，4)两点，因此有：m×(-3)+n×0+12=0m×0+n×4+12=0解得：m=4n=-3解法二：将mx+ny+12=0化为截距式，得：x-12m+y-12n=1因此有-12n＝-3-12n＝4m=4n=-3解法三：直线方程可写成x-3+y4＝1.整理后得：4x-3y+12=0与原方程比较，有：m=4n=4然后师生一起对不同的解法进行小结。方法一：利用以前学过的知识，点在直线上，则坐标满足直线方程。方法二：熟悉一般式化为截距式，强化本节课的新概念。方法三：先由截距得截距式方程，再与原方程进行比较，得出结果。通过此例教学，学生的思维表现活跃，学习情绪高涨，也激励了学生积极参与，主动思考和学习数学的兴趣。三、课后学生自己进行探究性学习学生在课后完成作业时，往往有知识应用、思考方法比较单一，如果教师在课堂上忙于讲解习题，甚至有时仅呈现答案或解题过程，不引导学生进行课后研究，则习题的功能得不到充分有效的发挥。本节课在布置作业时，就安排了下面的一道探究题。例：直线Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质：(1)与两坐标轴相交(2)只与x轴相交(3)只与y轴相交(4)不经过第二象限这题是课本B组练习题，并做了改动，增加问题(4)，安排学生课后分小组进行讨论探究。学生通过对这题的探究能很好地把握直线方程一般式的特点、一般式与特殊式的互化，以及会用二分法讨论问题。使学生的思维能力、归纳论证能力得到了锻炼。在课堂教学中渗透“探究性学习”，强调了用问题启动学生的思维，让学生在探究中学习，与传统教学方式相比，学生合作交流的机会也大大增加，培养了自己持续发展的能力。18.教学与生活的一点随想湛江市麻章区第一中学孙钢坪新《课程标准》中指出：“数学教学是数学活动的教师要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有的知识出发，创设生动的数学情境……。”主编寄语中也言道：“数学是自然的……，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加与人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成的、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味……”
数学源于生活，我们应该充分利用学生已有的生活经验，让学生身边的数学知识走进学生视野，走进课堂，使课堂文化变的更加具体、更加生动，更加有趣，并引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，来体会数学在现实生活中的应用价值，从而诱发学生内在的知识潜能，使学生主动地动口、动手、动脑，来探索知识的形成过程，同时也调动其学习数学的积极性，提高其学习数学的兴趣，培养其不断探索，不断创新的精神。一、导入要趣味化教师要根据教学内容，结合具体实例，找出问题在生活中的趣味点，然后设计出新颖有趣的问题，来激发学生的学习兴趣，调动其学习数学的欲望，从而提高课堂效率，培养学生敢想、敢问、敢答的思维精神。如：数学必修②(人教版)第二章：平面与平面平行的性质(P62页)开篇思考＝如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?针对开篇的思考设计出如下的引入语来：师：同学们请伸出你们的双手，大家观察一下，手掌上有什么东西?众曰：掌纹。师：大家知道最主要的那几条叫什么名字吗?众：生命线，智慧线，感情线，命运线，婚姻线等。师：(黑板上绘一手掌，跟着指出各掌纹具体位置出来)假如将这几条掌纹都看成直线，左手跟右手掌心相对，两手对称放置，即，两手所在的平面相互平行。大家观察一下，左手的感情线跟右手的感情线呈什么位置关系?某生：平行。师生：再观察，左手的感情线跟右手的生命线又呈什么位置关系呢?某生曰：异面。师：那么能不能在右手找到一条掌纹所在直线跟左手内某掌纹所在直线相交呢?众曰：不能。师：为什么?某生：因为手掌所在的两个平面相互平行，没有公共点，所以这两个平面内的所有直线也没有公共点。师：因此，两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线要么平行，要么异面……第四章：直线与圆的位置关系：P133页问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它会否受到台风的影响?主题：永不沉没的“泰坦尼克”开篇引入语：主题＝永不沉没的“泰坦尼克”(时势背景—印度大海啸)师：这几天，印度发生大海啸，死亡人数已累积到15万人。众：啊?!师：我国政府本着慈悲为怀的思想决定对印度难民进行人道主义援助。众：好!师：我麻章一中也不甘落后，积极响应党组织的号召。你们班就很荣幸的被选为第一支到印度进行援助的先遣队。众：鼓掌，好!师：你们乘坐［麻章号］从中国的湛江港出发，目的地是印度港，直线前进。(黑板上演示，或多媒体分析)途中接到校长的电话，校长在祝大家新年快乐及行程愉快之后，转告大家气象台的最新预报：有一台风中心正位于［麻章号］正西70km处，台风的侵袭范围为半径长为30km的原形区域，已知印度港位于台风中心正北40km
处，如果你们不改变你们的航线，那么［麻章号］会否受到台风的袭击呢?是安全到达?还是遭遇“泰坦尼克”类似的命运呢?请开动你们的脑筋，思考这道题目，记住命运永远掌握在你们自己手中!创设这样的情趣，学生积极主动的参与，全身心进入“角色”，思维活跃，兴趣浓厚，争先发言，效果良好。二、例题要生活化在大多数人的眼中，数学枯燥无味，更加不知道学生数学到底有什么作用?实际上，数学来源于生活，也可以用之于生活，教师可通过改变例题出现的形式，使之更加生活化，趣味化，从而创设优美的生活情境，让学生更好地溶入到课堂教学中来。数学必修①(人教版)第一章：集合间的基本关系(P6页)观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗?(1)A＝｛1，2，2｝，B＝｛1，2，3，4，5｝；(2)设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班所有学生的全体组成的集合；现将第(2)问更改如下：(2)设A为NBA中火箭队全体球员组成的集合，B为NBA全体球员组成的集合；分析问题之前，还可以花一点时间跟同学们简单地介绍一下姚明和乔丹，开阔其视野，扩充其课外知识，为子集，真子集定义的推导和印证做好铺垫。印证真子集的定义时，用到上述知识：在(2)中，AB，乔丹∈NBA球员，但乔丹火箭队队员，即乔丹∈B，但A，所以A为B的真子集。数学必修②(人教版)第四章：直线与圆的方程的应用。P138页例题4：某圆拱形桥的圆拱的跨度AB为20m，拱高OP为4m，建造时每间隔4m需要一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到001m)。引入如下：师：毛主席曾教导我们，干革命，就要以“农村包围城市”的形式展开。现在我们来也以农村包围城市的形式来说一说桥。同学们，你们回忆一下，小山村中，当你们闲庭信步走到溪水边时，碰到的是什么桥呢?众曰：独木桥。师：一般的乡镇，尤其是江南的水乡，最多的又是哪类桥?众曰：圆拱桥。走进大城市，大家在湛江见到的又是什么桥呢?众曰：立交桥。师：好，现在我们重点来分析一下圆拱桥，首先，大家知道最著名的圆拱桥叫什么名字吗?众：赵州桥。(为课后P140页练习题第2题埋下伏笔)师：下面我们来分析一下赵州桥的结构特点。其一：桥身进水的部分呈什么形状?众：为一段圆弧。其二：圆弧属于什么的一部分呢?众：属于一个圆。师：那好，我们将这段圆弧补成一个圆，大家观察一下，圆心和圆弧的中心以及圆拱跨度所在直线有何联系?请某某同学回答一下。某生：圆心和圆弧中心的连线与圆拱跨度所在的直线相互垂直。
师：说得很好，现在我们就将这些桥的结构特点跟圆的特性巧妙地联系了起来，下面我们灵活地运用这些特点来分析一下书本上的例题4……(板演，重点在分析桥的结构特点上)在数学教学法中教师要充分挖掘生活中的数学，让学生通过探索，通过交流，品尝到学习数学的乐趣，更主要的是使学生感受到数学与生活的紧密联系，即数学来自生活，数学又应用于生活，服务于生活。三、师生要一体化新《标准》中指出：“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”新《课标》还明确指出“学生是数学学习的主人”，要把传统的“以学科为中心”转移到“以学生为中心”上。师生要一体化，体现在课堂的互动上，所谓还课给学生就是这个道理。数学必修①(人教版)第三章：函数模型的应用实例P124-例6：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示。身高/cm60708090100110120130140150〖〗160170体重/kg6137909991215150217502092〖〗26863111388547255505(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的12倍为偏胖，低于08倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常?第(2)问中，在计算了该生体重是否正常后，再用同样的方法来检验一下本班的所有男同学的体重是否正常。此时，可以采用同桌相互检验计算的方法来完成。这样，不仅活跃了课堂气氛，学生的主体地位也得以体现。数学必修②(人教版)对几何问题观察能力的培养要求很高，所以老师要培养学生从身边寻找几何关系的能力，用学生来做Model(模特)，来帮助完成教学工作，可作为一个尝试的方向。诸如：［观察］①请某同学直立，大家观察，他身体所在的直线与地面呈什么关系?②请两个同学直立，他们身体所在直线都垂直与地面，大家观察，他们身体所在的直线相互平行吗?③请某同学直立，天上有太阳，大家观察，此时，人身体所在直线与人在地面上的影子呈什么特殊的位置关系?当太阳移动的时候，影子也移动，大家观察，人身体所在的直线与移动后的影子又呈什么位置关系?等等。这样，学生既感新鲜有趣，又能直观地感受到几何问题的存在，较好地培养了学生观察事物，分析问题，解决问题的能力。华罗庚指出：“就数学本身而言，也是壮丽多彩千姿百态，引人入胜的”，由此可知，数学还有无限的精彩等着我们去挖掘，去开拓。只有让生活的灵魂真正进入学校，进入课堂，不断地壮大和完善老师与学生之间的一体化思想，才能真正地贯通数学的教与学之间的隔阂。前面的路还很长，但我仍将继续走下去，义无返顾。19.函数应用教学中渗透研究式的学习龙川一中蒲利凤研究式的学习，是新的课程标准提出的一个重要的教学内容。在研究性学习中培养学生研究问题的习惯，变教师被动地教为学生主动地学，对于培养学生的学习兴趣，提高学生的自学能力都很有帮助。研究性学习内容是通过需要探究的问题来呈现的，我们在新教材中，要善于人教学内容出发，挖掘出“值得研究”问题，作为研究的课题，指导学生研究，很自然地完成从“接受学习”到“研究式的学习”的过渡，并在此过程中培养学生研究问题的习惯。下面是就如何在函数应用教学中渗透研究性学习的一些想法，在此希望能与大家共同研究探讨。一、分段函数在生活方面的应用
分段函数虽然是高一数学的一个新概念，但学生在生活当中已经接触这一方面的模型，所以在讲到分段函数这一概念后，我们可以对这一函数在生活中的应用进行研究性学习，可以采用课内外结合的方式。在课前布置学生通过各种方式如：上网、查阅书籍、走访调查等方式寻找一些具有分段函数模型的实际问题，学生们交上来的问题可能各式各样：如关于商场优惠规则、通讯话费问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等问题，就学生提供的众多问题编拟一组关于分段函数的应用问题：1.北京露天停车场白天（7∶00至21∶00）收费标准：四环路内小型车每小时2元，大型车每小时4元；四环路外小型车每小时1元，大型车每小时2元；居住小区小型车每小时1元，大型车每小时2元；王府井至东单、西单、前门、朝阳商务中心区，中关村核心区等八处繁华商业区小型车每小时5元，大型车每小时10元。露天停车场夜间（21∶00至次日7∶00）收费标准：不分地区类型一律执行小型车每小时1元，大型车每小时2元。星期六老王一家驱车（小型车）出去游玩，中午12∶00至2∶00在四环路以外的饭店休息，晚上7∶00至10∶00在王府井购物，老王这一天的停车费为。2.某市出租车收费标准如下：里程收费(元)5千米以下10005千米以上，每增加1千米120（1）列表并用图象表示出租车行驶的里程数和费用的关系，并写出他们的关系式。（2）出租车行驶的里程分别为4千米和15千米，各收费多少？（3）现在有30元钱，可乘出租车的最大里程数为多少？3.WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费；超过500分钟按015元/分钟计费，假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按05/分钟记费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。问：（1）小立12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？（2）小立10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？（3）你会选择WAP手机上网吗？你是用那一种方式上网的？4.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税：超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿费的11%纳税，某人出了一本书共纳税420元，这个人的稿费为（）A.36000B.3800C.4000D.42005.“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。设全月计税金额为：X=全月总收入-800税率见下表：级数级数全月应纳税所得金额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%……………………9超过100000元部分45%（1）（2000年全国高考试题6）某人某月份交纳此项税款2678%元，则他的当月工资所得介于（）A.800～900元B.900～1200元C．1200～1500元D.1500～2800（2）同学们同过调查得知晋江市个人所得税起征额为1100
元，假如你是晋江二中会计师，将如何计算出每位教职员工某月需交纳的此项税款额？（注：为了学生了解有关个人所得税问题特意让学生走访学校会计。）6.中国国家邮政局2002年1月28日宣布，从2月1日起，使用多年的居民、长城等普通邮票将停止出售，新发行普通邮票两套。每套普通面值暂定为十种：5分、10分、30分、60分、80分、1元、15元、42元、54元。下表是目前国内邮资邮件资费情况，单位：元编号业务种类计费单位本埠邮资[]外埠邮资1信函首重100克内，每重20克（不足20克按20克计算）060080继重101-2000克，每重100克（不足100按100克计算）1202002明信片每件06说明：1.本埠以市属区（不含市辖县和飞地）为范围，本县以县为范围。2.国内信函、印刷品邮计费方式由原递重等额累进计费改为分首、继重分别计费。3.取消邮政附加费。根据以上信息，假如在信封上最多可贴四张邮票，试回答下面问题：（1）寄一份505克的信函，需如何贴上邮票？（2）请你在06元08元两种面值基础上再重新发行的邮票中选出两种面值，形成一套四面值且能满足重量不超过500克的所有国内信函（含明信片）付费需要的邮票。二、指数函数y=a(1+r)x在生活中的应用《函数》这一章的“实习作业”作为一个实践性课题，是研究性学习的一种方式，它给学生们提供了一个展示其研究成果的课堂，也给我们提供了培养学生综合实践能力和创新精神的课堂。虽然我们是普通校的学生，但在科学面前人人平等，笔者在学生学习银行利率问题后，计划以增长率为出发点提供一个研究y=a(1+r)x型函数的课堂，适逢2002年12月1日为第15个艾滋病日，12月20日为世界人口日，于是布置学生上网或通过通过报刊杂志寻找有关数据，以数学的方式告诉世人控制人口增长率的必要性以及艾滋病病毒感染速度之迅猛（模拟函数为y=a(1+r）x)，由学生提供的材料编拟这样几题：例1：中国青年报2002年9月19日报道：据北京市交通管理局的最新统计，目前北京机动车总量已突破180辆，每100个家庭拥有超过10辆汽车，城市汽车拥有量已跃居中全国首位。……，到2008年左右，北京机动车保有量将达到300辆，请你按以上信息，计算北京今后6年的机动车平均年增长率。（由第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题改编）例2：填表国家和地区2001年年中人口数（百万）出生率
(‰)死亡率(‰)自然增长率(‰)预测2050年年中人口数（百万）世界603722913较发达地区1193111001不发达地区494425816埃及69828721阿尔及利亚3125619摩洛哥2982662冈比亚1443143几内亚76411923苏丹318341124贝宁6645153肯尼亚29634142埃赛俄比亚654441529………………………………并思考增长率与地区的关系。（学生下载整理并编拟的）例3：2002年12月1日为第15个艾滋病日，其主题为“相互关爱，共享生命”，据联合国11月26日最新统计数字表明，目前全球有4200万人有身上携带艾滋病病毒，今年出现了500万名新感染者，并有310万人已死于艾滋病，感染人数几乎是以几何级的数量疯狂增长。2002年上半年，我国报告发现艾滋病病毒累计感染总人数已增长到100万人（每1300个中国人就有一个是艾滋病病毒感染者），比去年同期的85万，增长了167%。（1）如果不加以控制，以此速度每年增长，那么到2010年我国艾滋病病毒感染人数将达到多少？（2）如果2010年我国艾滋病病毒感染人数不超过300万，那么年增长率应控制在多少范围内？（由学生提供的有关材料师生共同编拟）［思考题］：一幅佛米尔（Vermeer，1632-1675）的绘画含有原有碳—14（半衰期为5739年）含量的995%，根据这一信息你能否判断出该画是不是赝品。解释你的理由。三、教学启迪通过这样两节课内外结合的研究性学习的设计，既有针对性又有发展性，既响应高考要求又培养了学生素质。这样的教学内容也能使课堂氛生动、形象、富有情趣。在教师的指导下让学生自己寻找资料，参与知识的形成和发展过程，能够培养学生获取知识、发展知识、运用知识解决问题的能力，以及用数学语言进行交流的能力。而且在获取材料的同时能感受到数学的生活气息及时代气息，体会到数学的价值，并能够增强学生运用数学的意识。20.信息技术与数学新课程教学珠海市第一中学刘仁学1.引言我国在2003年发行的《普通高中学数学课程标准》（实验）中明确提出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如把算法融入到数学课程的各个相应的部分），整合的基本原则是有利于学习认识数学的本质，高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计数器、各种数学教育技术平台、加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计数器等进行探索和发现。作为一线数学教师，我们不仅参加整合教材的实验，在日常教学中摸索和体会信息技术与数学教学整合的经验，更重要的是在思想观念上接受了整合的思想，身体力行地实践整合化的教学设计并不断从中获益。著名教育家苏霍姆林斯基说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”
我们深深体会到，单一的传统教学模式对学生学习兴趣的影响太小了，而结合了信息技术的数学教学则能够很好的激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，让他们不知不觉中在知识的海洋中获取知识。2.信息技术在传统数学教学中的应用信息技术主要指以多媒体计算机为核心，以数模技术为基础，结合现代通讯技术、传播技术的多媒体信息的高度集成性技术。信息技术作用于课堂教学，自然会带来教学中的一系列的新的变革，呈现出不同于传统教学的新的教学特征。1993年，美国教育部组织了十多位资深的专家（ＢＭeans等）产生了一份题为《用教育技术支持教育改革》的报告，为如何运用现代化信息技术进行教育改革提供了指导性的框架。报告提出了改革新教学的若干特征，从下表中可以看出信息技术支持下的课程教学与传统教学之间的明显差别。报告进一步指出，现代教育改革的核心是使学生变被动型学习为投入型学习（engagedlearning），让他们在真实的环境中学习和接受挑战性的学习任务，在教育中应用技术的根本目的是促进教学形态有被动型向投入型转移。传统教学与信息化教学特征对照表关键要素传统教学信息化教学教学策略教师导向学生探索讲授方式说教性的讲授交互性指导学习内容单学科的独立作业模块带逼真任务的多学科延伸模块作业方式个体作业协同作业教师角色教师作为知识的施与者教师作为帮助者分组方式同质分组（按能力）异质分组评估方式针对事实性知识和离散技能的评估基于绩效的评估以数字化学习为核心的信息技术与课程的整合，不同于传统的学习方式，具有如下鲜明的特点：①学习是以学生为中心的，学习是个性化，能满足个体需要的；②学习是以问题或主题为中心的：③学习过程是进行通讯交流的，学习者之间是协商的、合作的；④学习是具有创造性和再生性的；⑤学习是可以随时随地终身的。31信息技术结合传统教学在新课程中可以提高教学效率心理学研究表明，学生从听觉获取知识，理解记忆率为30％，从视觉获取知识理解记忆率为20％，而同时使用这两种手段，可以使学生理解记忆率达到80％。因为结合了信息技术的物理教学可以提供多种感官刺激，产生一种新的图文并茂、丰富多彩的人机交互方式，使得信息传输速度加快，动态的画面更加形象，有利于开阔学生的思维，感知效率极高。新课程分模块教学，其内容十分丰富，教学课堂容量大。一方面，信息技术结合数学新课程教学可以增加课堂容量；另一方面，有些数学问题，教师用语言是无法表达清楚的，这需要学生自己体会，信息技术结合传统教学，利用信息技术的媒体处理能力，多媒体信息有机的融为一体，实现可视、有声、形象生动的表达效果，为学生提供图、文、声并茂的动态、情景，让学生在栩栩如生的画面中去体会。例如，MicrosoftPowerpoint的文本、视频、音频、Flash控件的处理能力，可使我们快捷的展示我们心中所想但无法用单一的语言来表述的一些事件。几何画板在新课程数学教学中亦能作为规律性教学内容的直观展示工具。再加上教师适时的点拨，从而达到提高教学效果的目的。32信息技术结合传统教学在新课程中可以完善学习情景的创设新课程教学强调情景的创设，而传统的教学中只能凭借教师用自己的语言去创设，有时未免枯燥。但信息技术结合传统却能够完善数学情景的创设。在信息技术引入数学教学时，学生就由原来的“听”数学，变成了“做”数学，在“三角函数图象的变化”这一节中，一方面教师可以通过设置“句柄”控制三角函数图象，演示给学生看；另一方面，也可以让学生上机操作，自己输入A、ω、和φ，观察图象的变化，摸索A、ω、和φ对图象的影响，在电脑图形的不断变化，同学之间的互相讨论，教师的点拨指导等反馈中，逐渐形成自己的知识体系，达到自我知识的重新建构。在“直线和圆的位置关系”，“圆和圆的位置关系”的教学中利用几何画版，创设的情景既形象又生动。图1直线和圆的位置关系的引入（几何画版演示）图2直线和圆的位置关系（几何画版演示）
传统的教学中，教师只能在黑板上画演示图，很费时，且没有立体感。而在信息技术的使用中，我们可以利用photoshop60、Flash等软件，而它们具有视频、音频、动画等多媒体住处的编辑能力，凭借这些，我们可以使微观世界宏观化、宏观世界微观化、瞬间过程永久化，展现二维三维的立体动态效果，以此建立使学生主动探究并解决问题的新型探究式教学情景，再加上教师的讲解，可以使创设的情景便于学生思维的扩展。图3圆和圆的位置关系(几何画版演示)33信息技术结合传统教学在新课程中可以分层显示利用多媒体的视频、音频技术可以对有关教学内容进行分层显示，诱导学生深入浅出，从而达到提纲揭领、融会贯通，系统地掌握有关知识效果。例如：我们所选择的教材是人教版A，从目前我们使用的必修模块数学1和必修模块数学2来看，习题和复习参考题，都有一道信息技术题，在教学中都可以编制带有提问与引导解答相结合的课件，引导学生系统学习，这特别适宜于学生自我复习。34信息技术在新课程中能够生动得演示数学的思维过程利用多媒体技术中图文并茂、综合处理功能，可以使每一个枯燥无味的数学题目都变成演示实验，在讲解的基础上，对学生有选择性加以示演比较，通过比较，引导学生积极思考，培养学生的空间想象能力、创新思维能力、一题多解能力，最终达到灵活运用已学知识来解人教版A，必修模块数学1第三章函数的应用中《函数与方程》在教学中，仅靠老师说，是讲不清楚的，必须结合信息技术突破难点。我在教学中使用T1手持技术平台。案例：必修模块数学1，函数与方程，新课标P15。要求：根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。分析：函数与方程的联系是新课标中一个新的重点内容，这一联系的基础是函数的图象．正是信息技术在处理图象方面的优势使得该联系容易表现，也令二分法讲解得以直观地进行。同时二分法是一个很好的算法实例，可以在算法教学中借鉴。此处使用信息技术弱化数值计算从而突出其算法实质。设计：以求方程：f(x)=x3+x-l=0在［0，1］上的近似解为例。首先建立函数与方程的联系，作图象：图4T1手持技术平台演示二分法让学生探索函数图象与x轴交点大概在哪儿，能不能准确一点再准确一点。探索过程，让学生体会并归纳二分法的步骤。最后学生动手用计算器实践求解过程。说明：这是一个不能离开技术支持的案例，除了学生计算工具的作用外信息技术还起着多元联系表示的作用。同时利用信息技术动态的特点可以方便地呈现对分区间的过程中函数图象与x坐标轴的交点情况，这种对图象的“Zoom”操作在没有信息技术的条件下是不可能实现的。另外由“准确一点再准确一点……”归纳步骤的过程正是算法形成的过程，虽然不提算法概念但思想渗透其中，这对日后算法教学是个拿来就用得好例子。进一步从技术应用的角度考虑这个案例，学生需要处理两个问题：函数求值(三次多项式)与端点值寄存。如何充分利用技术安排好这两项工作也是一个非常有趣的问题，此处也可以看出数学教学对信息素质培养的作用。35信息技术在新课程中练习设计利用多媒体技术编写的层次分明的有针对性的练习，其练习效果大大超过了传统教学中学生作业的效果。它的最大成功之处在于可以使学生主动出击，化学习被动为主动，通过带娱乐性的练习，轻松巩固已学知识，从而真正激发学生发自内身学习兴趣，起到事半功倍的效果。比如在学生作业中针对不同的学生设置各种难易程度不同的问题等，由软件来判断学生解答的正确与否，根据练习的情况，给予必要表扬鼓励或重复练习等，使得每个学生都练有所获。当然，信息技术在新课程中，传统教学与信息技术的结合亦能使教师在繁重的劳动中解放出来，免去了抄题和擦黑板的麻烦。加强了师生合作与交流，体现了教学本身的生命力，使学生的学习更有主观性和积极性，从而全面提高了学生的综合素质。21.必修12教学的几个随想揭阳第一中学郑彦双高中数学课程改革新理念坚持“以生为本”，强调在教学过程中“让学生主动获取知识结果”比“教学生掌握知识成果”
更为重要。这就要求站在教育第一线的教育工作者在教学中要担当好“引导者”的角色，随时为学生搭好知识迁移的桥梁，让学生能够在原有知识结构的基础上顺利地理解新知识的形成过程，同时进行知识重组，及时把新知识纳入原有的知识结构中，并能运用知识解决相关问题。为此，笔者谈谈个人的几点看法。1.注重培养学生的迁移能力学习的迁移是指一种学习对另一种学习的影响，从过去形成的知识、技能对新学习的知识产生的效果，可分为正迁移和负迁移，前者是指对新学习的知识产生积极的影响，后者是指对新学习的知识产生消极的影响。如何促进正迁移，防止负迁移是教学活动的一个重要课题。新课程强调学生探究问题能力的培养，结合迁移理论与教学实践，笔者从以下方面培养学生的迁移能力。(1)问题的设置要阶梯化在教学过程中我们经常遇到这种尴尬的场面：我们设置了一个“简单”的题目，而学生却无从下手，这通常都是问题设置的梯度不当引起的。进行设置问题应遵循由易到难、由简到繁、由浅到深、由具体到抽象的原则，尽量让问题处在学生“最近发展区”内。例如，有一次在分析“对数的性质”后，我在课本的例题基础上加以拓宽，给了学生一个这样的题目：比较logx3x与logx(4x)的大小本来以为学生稍作思考就想到点子上，谁知问了几次竞无人回答。笔者意识到该题涉及简单分类，且比课本例题抽象，所以就补充以下两题作为过渡：①比较log25与log215的大小②比较loga2与loga4的大小这样一来，学生有了头绪，也完成了从具体到抽象的迁移。(2)重视新知识的引入新知识的引入是实现旧知识向新知识的迁移的过程，在新知识引入中既可重视与旧知识的联系，又可创设有利于迁移的情景。所以能否讲好引入是讲好新课的一个关键。例如在讲二面角平面角的定义的时候，一开始我是这样引入的：师：前面我们求异面直线所成角和线面所成角的时候，都是把它们化归成一个平面角，而且求出来都是唯一的。我们是怎样来衡量一个两面角的大小呢?怎样构造一个平面角来衡量?角是由一点所引出的两条射线所构成的平面图形，要定角，就先找点，然后作线。生甲：点能不能取在公共棱上?然后过点作线。师：很好，但这两条线要怎样作?生甲：线要在面内。生乙：线要与公共线有关系。师：如果我们分别在平面α、β内找到直线AB、CD，且AB∥CD。如下图所示，这时候会有什么结果呢?生：所有的二面角的平面角都相等。师：那能不能用它来衡量两个半平面所成交角的大小?生：不可以。师：如果是找两个相交线，那么它们的交点会在哪里?生：在公共棱上。师：在什么情况下，过公共棱上这一点且分别在α、β内的两条射线所成角会唯一?(结合图形分析)图甲：一条射线垂直与公共棱，另一条射线不垂直于公共棱。图乙：两条射线与公共棱所成角相等。图丙：两条射线都垂直于公共棱。生：最后的情况确定的角唯一。
师：无论是求异面直线所成角、直线和平面所成角、还是我们今天所学的二面角，都是把空间关系转化成平面关系。这种转化思想在证明空间问题的时候也会经常用到，同学们在解几何题的过程中应该好好体会。上面这种引入是因为新知识与旧知识有类似的思维方法，我们可以抓住新旧知识的内在联系，为学生产生“正迁移”提供条件。原有知识可能使我们产生思维定势，产生负面的影响。例如，在立体几何的教学过程中，学生以前形成的平面几何思维定势总是对学生空间思维的发展产生干扰。如“四条边相等的四边形是菱形”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”，这些在平面几何里面成立的性质，在立体几何却不成立。对于前者可以借助一个正方形，沿对角线折起来(如下图)；对于后者可以用学生比较熟悉的长方体的棱的关系来说明。为了防止旧知识对新知识产生“负迁移”，新课的引入也可以采用对比的形式。如讲“线面垂直”与“线面平行”、“面面垂直的判断和性质”与“面面平行的判定和性质”。当我们对知识结构有准确理解的时候，就可以形成良好的思维定势，促进正迁移。如平面几何到立体几何，理解了“升维”的思维模式，就可引导学生由平面几何中“同垂直与第三条直线的两条直线互相垂直”，通过拓展、变式，提出如下猜想：“同垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“同垂直于同一直线的两个平面互相平行”、“同垂直于一个平面的两个平面互相平行”，然后引导学生进行证明或证伪。2.注重知识的传授与学生能力的发展新课标首先贯彻的是一种新的教育理念，数学教育比任何时候更重视“以人为本”。这就要求站在教学第一线的数学老师要缓慢转变过去单一的“讲一听”教学模式，逐步培养“师生互动”、“生生互动”的多元教学模式。而培养“师生互动”，教师除了要转变自己的教学方式，更应该关注“如何改变学生一贯形成的‘只听不问的被动学习态度”，让学生会主动加入到教学过程中来。我国教育家叶圣陶就说过：“教功课的任务在于引导并帮助学生去观察、去实验、去思索”。在教学过程中，要处理好知识的传授与能力的发展这一对辨证关系。学生学习能力的发展是为了更好地让学生进行终身学习，是教学的最终目的，而且学生学习能力获得发展可以更好地完成知识的传授，所以学生学习能力的发展是核心所在。笔者以必修②的第一章为例，具体谈谈如何培养学生的参与意识。(1)课堂的自主化由于必修②的第一章基本概念多、内容简单。例如在第一节简单的空间几何体，学生完全可以通过观察具体模型结合教材获取知识。我列了一个表格，把学生分成三组，分别研究柱体、锥体、台体和球体的结构特征。在这个过程中有一个组的学生特别活跃，最后还找出圆锥在教材上没出现的特称：横截面是圆；轴截面是等腰三角形；不经过轴的竖直截面是抛物线等。在最后，我表扬他们的表现，并要求他们按照这节课所学内容动手制作模型，同时告诉他们：所作的模型在后面求面积、作直观图的时候都要用到。(2)知识的形象化由于数学的概念比较抽象且枯燥，学生理解起来也就比较难。如果每位老师能在钻研教材的同时，把概念形象化、生活化、生动化，既可以便于学生理解，又可以活跃课堂气氛、提高学生学习数学兴趣。例如，在学习几何体三视图的画法时，为了让学生深刻了解投影的概念，我在教具中增加了手电筒(当然只能近似地把手电筒的光线看成平行线)。虽然最后在课堂上由于光线的影响，投影的效果比较差，但是从后来学生黑板上练习来看，还是可以比较好帮助理解投影这一概念的。(3)强调知识获得的过程这涉及到一个基本问题：“知识是被传授的还是被发现的?”必修②的第一章中的一些公式是学生在初中的时候用过但没推理证明过，如在柱、锥、台的体积和表面积时，就出现了一些学生很熟悉的公式。为了让学生的“数学就是死记公式一套用公式”的思想向“数学可以是理解公式一活用公式”转变。我在教具中增加了自己做的由三个棱锥最成三棱柱和一副扑克牌。在教学流程中：先让学生判断扑克牌的不同放法会不会影响体积师：底面积改变了吗?生：不变。
师：高改变了吗?生：不变。师：那体积会不会改变昵?生：不会。由此得到结论：等底面积等高底柱体体积相等，再推广到锥体。②引导学生判断三个三棱锥底体积关系生：三个棱锥的体积都相等。结论：锥体的体积等于等高等底面积的柱体的三分之一。在后续的课程中，笔者又向学生简单传授我国数学家祖冲之的儿子祖*发现的祖*定理：势幂既同，则积不容异。并及时进行爱国主义思想教育。3.重视与现实生活的结合，重视数学思想的渗透自从M·克莱因的六卷本的《古今数学思想》在上世纪八十年代翻译成中文以后，“数学思想”(MathematicsThoughts)就引起国人重视，并有了大量相关研究。如何在中学数学中渗透数学思想是一个很有价值的课题。当前，我们正在中学数学课堂教学中努力实施素质教育，其中培养学生应用意识和创造精神是一个重要方面。函数是高中数学的主线，我在“函数的应用”复习课上，把数学建模引入课堂教学，渗透数学思想进行教学，做了一次小小的尝试，收到不错的效果。题目：某平原镇有A、B、C、D四间公厂座落在边长为2km的正方形顶点上，为了交通畅顺，繁荣经济，镇政府决定建立一个使得任意两问工厂都有甬道的道路网。(1)请你设计一个道路网，使它的总长不超过55km；(2)请你设计一个总长最短的道路网．这是一道策略开发题，须探索各种可行的方案，然后逐一比较、取舍，逐渐逼近题目的指标。我把学生置于平原镇“桥路设计师”的位置，调动他们的积极性。步骤1：引导学生获取题目的信息并转化成数学模型步骤2：分组讨论(刚开始热情高涨，慢慢失去信心)因为各组同学的设计过程基本出现了下面三种方案：甲乙丙但是计算的结果是：甲方案：AB+BC+CD+DA=8(km)乙方案：AB+BC+EF=6(km)丙方案：AB+CD=42(km)都超过了题目要求的指标，很多学生束手无策。步骤3：引导学生探索方案师：从上面的三个方案看来，虽然它们的总长都超过了指标，但我们可以发现它们一个比一个接近目标。而且可以发现甲种方案是固定不变的；而乙种方案无论EF如何移动，总长至少有6km；那么在丙方案种，当四个路线的交点不在正方形的对称中心时，它们的总和会不会变化?若会，是怎样变化的?经我这么一“提示”，学生又动手比划起来，很多学生用尺子测量之后发现，当路线的交点不在对称中心的时候，总长不但没变小，反而变大。有一位学生还用平面几何的知识证明了这个结论。他的思路是：连接对角线AC、BD，且AC∩BD=0，利用三角形两边之和大于第三边可证。图形如下：当然，有不少的学生想用函数的知识来解决，当由于式子比较复杂，没能继续下去。
既然四段路线仅有一个交点的情况也不可以，这说明这四段路线在中间必有一个公共路段，在根据正方形的对称性，初步拟定以下的方案：(1)(2)(3)步骤4：方案比较根据上面三个方案，从实际生活、经济效益等多反面考虑，最后选定第三个方案。在这个数学建模的可过程中，学生的应用意识和数学思维能得到一定的激发，但由于学生及个人水平和各种客观条件的限制，不可能完全进行科学的建模过程。比如怎样科学的比较各个模型的优劣，如何更加密切的把模型跟实际生活联系起来，可以鼓励学生在课后进一步展开，自己尝试运用数学建模的方法去解决生活和生产中遇到的问题。22.写在函数概念教学之后东莞高级中学赵永红《普通高中数学课程标准(实验)》的特点：精简传统内容，更新知识内容和教学方法，增强教学方法的灵活性、重视数学思想和数学应用增加贴近时代贴近社会实践、贴近学生生活实际的教学内容。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，函数的内容主要是作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来介绍给学生的，要求学生联系生活中的具体实例，着重理解如何运用函数来刻画现实世界中变量之间相互依赖的关系，函数的思想方法贯彻于高中数学课程的始终。是进一步学习和参加实际生活中需要必备的基础知识，在高中教学中起着一个承上启下的作用。函数概念是学生在初中代数课本内初步探讨了函数的概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数。通过函数值的计算，列对应值表以及描绘函数的图象，使学生获得关于函数的感性知识，初步了解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数的概念和性质、理解二次函数的概念，能根据函数性质画出正比例函数、一次函数的图象，用描点法画出反比例函数、二次函数的图象。必修1中的学习的函数概念、基本性质与基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，必修4中的三角函数，必修4中数列。这是对函数的在认识阶段。第三阶段选修系列中的导数及其应用是函数学习的进一步深化和提高。因此函数概念的学习，是后续学习、获得较为系统的函数知识，培养函数的应用意识、提高数学应用意识的前提和基础。函数概念中《新》。《实教》的对比：(全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》在比较中称《教》，普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)在比较中成《实教》)对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同页码范围P46页—57页P17页—30页要求或目标理解函数的概念正确理解函数概念；通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的的抽象概括力同：理解异：培养概括能力重点与难点重点是在映射的基础上理解函数概念。难点是函数的概念重点是使学生在已有知识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数到函数概念是描述客观世界中变量关系的重要数学模型。难点是函数的概念及符号y=f(x)的理解同：重点：用集合与对应刻画函数难点：理解概念异：《实教》重点更加贴近生活贴近实际难点：符号理解引入复习初中概念以及学过的几种最简单的函数提出两个问题(1)y=1是函数吗?(2)y=x与Y=x2x是同一函数吗？复习初中概念，给出三个实例：(1)射高问题(2)臭氧空洞面积变化问题(3)恩格尔系数问题同：先复习函数概念异：《教》从数集出发，抽象概括出函数概念；《实教》体现概念来源于生活设计意图从数集到数集归纳出共同特征，引如函数概念从表达式、图象、表格等三个方面来刻画变量之间的对应关系归纳出它们的共同特征，概括出函数概念同：归纳出它们的共同特征
异：侧重点不同续表对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同概念设A、B是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称F：A→B为从A到B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。设A、B是两个非空集合，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称F：A→B为从A到B的一个函数(function)。记作：y=f(x)，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域(domain)，与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)。同：概念的描述以及相关的概念异：《实教》增加了概念的英文注释，利用定义解释所学函数类型一次函数反比例函数二次函数剖析引入的两个问题一次函数二次函数探究：反比例函数的三要素，并用定义描述这个函数同：研究了一次函数、二次函数的定义域、值域、对应法则异：《教》中解答回应引入提出的问题《实教》中反比例函数作为探究题目续表对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同列举函数例子，加深概念理解例1：求函数定义域（1）y=1x-2(2)y=3x+2(3)y=x+1+12-x例2已知f(x)=3x2-5x+2，求f(2)，f(-2)和f(a)，f(a+1)例3下列函数中哪个与y=x是同一函数?(1)y=(x)2(2)y=(3x3)(3)y=x2例1：已知函数y=x+3+1x+2(1)求函数定义域；(2)求f(-3)，f(23)；(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值。例2下列函数中哪个与y=x是相等?(1)y=(x)2；(2)y=(3x3)(3)y=x2(4)y=x2x同：例题数目不同，题型基本相同，求函数定义域以及求函数值；函数式差异的比较异：《实教》没有《教》对函数的比重大，但在求值上基本相当略有提高；函数式差异的比较《实教》中叫函数相等，《教》中叫同一函数函数的三要素对应关系的表示与理解、分式、无理式以及它们联合定义域的求法；函数值f(a)的定义；对应关系、定义域、值域(没有明确提出)函数符号除过用f(x)表示，还可以用g(x)、F(x)、G(x)等符号表示分式、无理式以及它们联合定义域的求法；函数值f(a)的定义(没有明确提出)；对应关系、定义域、值域；同：对应关系、定义域、值域名词理解一样；
异：《教》中强调符号表示具有多样性续表对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同练习题P51页1.对应问题；2.函数的定义域、值域；3.求值以及值域；4.求定义域P22页1.求定义域，(与《教》3题相同)；2.判断函数是否相等；3.求值归纳规律《实教》同：求函数的定义域异：《教》中有对应关系，知道函数值求相应的x；有求值域问题。《实教》加强用变量去刻画函数；让学生去计算、分析、总结归纳规律习题P51页1、2.对应题目3.求函数值和值域；4.判断是否为同一函数5.画图，说出求定义域和值域；6.求定义域，P51页1.求定义域(有三小题同《教》中的3)2.判断函数是否相等；3.画图，说出求定义域和值域；4.求函数值；同：按照各自的要求设计的重点和难点设计题目，基本同练习题，只是没有探索性题目注释对函数一词来源解释比较到位；请同学们根据例子思考几种常见的函数的定义域构成的式子什么的函数是同一函数。介绍例题中用到的名词，帮助学生理解题意；简单介绍函数名词的起源；对f(x)式子的理解；对学生进行提示和帮助(如充分利用现代信息技术)提出问题同：通过注释对学生提供帮助，更好的理解题意；异：《实教》涉及的范围更加宽泛。从以上的比较中可以看出：一、创设问题情景，符合认识规律，调动学生学习数学的积极性兴趣是最好的老师。《实教》中函数概念引入时，采用三个既常见又被人们关注的、与生活息息相关的问题，缩小了书本知识与生活实际的距离，和《教》中的相比为学概念而设计的引人方法形成了鲜明的对比，使学生倍感亲切，产生浓厚的兴趣。因此创设适当的问题情景可以激发学生的学习兴趣和动机，使学生产生“疑而未解，又欲解之”的强烈愿望，进而转化为一种对知识的渴求，从而调动学生的学习积极性和主动性，达到提高课堂教学效果的目的。强调函数模型的背景和应用的要求，是高中课程目标的的规定。《标准》在课程目标中的第一条就明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴涵的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。”对于“函数”这一高中数学的核心概念，当然就要加强函数模型背景和应用的要求，使学生通过丰富的实例，进一步体会函数是因变量随自变量变化的重要数学模型；这样可以使学生在亲自经历上述过程中，更好的认识数学，认识数学的价值；更重要的是这样的学习过程，也符合学生的认知规律，对于激发学生的学习兴趣，发挥学习的主动性，提高学习效益是十分有益的。数学探究，这一新的问题学习方式，为学生提供了自主探究的学习空间，它将有助于学生体验创造的激情，有利于激发学生学习数学的兴趣。二、采用实际问题引入，强调数学应用意识《实教》突出了数学与实际问题的联系，意在培养学生的数学应用意识。在教材编排上：章前图的设计为了说明数学来源于实际；章前引言从实际问题导出；阅读材料很多是介绍数学模型及应用方法；习题也适当地增加了联系实际的题目，所有这些都是为了创设联系实际问题的氛围，培养应用数学的意识。三、转变学习观念，提高“以人为本”的思想
《实教》中函数概念引入时，采用三个活生生的例字容易使学生感觉到：数学离我们很近，数学就在面前，存在于我们的日常生活中。数量意识和利用数学语言进行交流的能力已经成为公民基本的素质，它们能帮助公民更有效地参与社会生活，数学是有用的，所以我要学。实际上，数学已经渗透到人类社会的每个角落，数学的符号和句法、词汇和术语已经成为表述关系和模式的通用工具。同时社会的进步与科技的发展离不开数学。二战时期图灵用数学方法破译了德军的密码，天气预报中用到的降水概率、正数、负数及表示空气污染程度的百分数，个人和家庭在购物、购房等投资活动中采用的具体方案等。这样就是“我为什么要学?”这有助于帮助他们走出以前的单纯的为学数学而学数学的的怪圈，愿意亲近数学、了解数学、谈论数学、应用数学，愿意用数学的眼光去观察周围的现象。两种教材从其比较，《实教》变的更加自然和清楚，没有刻意去为单独的巩固定义域、值域这些概念去单独的去设置题目，只要能有变量的思想刻画现实生活中的问题、或能接受一些现象，侧重点有很大的转变。科学课程是为着科学技术与经济发展；社会课程则主要是为着社会的发展；人文课程所直接关注和影响的是人的发展。可正是人文课程曾被长期忽视。一方面是取消了一些人文课程，另一方面是使一些人文课程的人文性质大大削弱或改变了。1978年以来这种状况有了很大变化，但并非十分自觉地有效地改变着，人文课程依然薄弱。《实教》中的函数概念教学课堂设计在课程结构上所反映出来的问题，更能表明人本思想，以人为本的观念的意识的强化。四、数学探究，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度数学探究，培养学生实践能力及创新精神，。无论人们未来从事怎样的活动，锲而不舍的钻研精神和科学态度是应该具备的重要素质，中华民族历来都具有坚忍不拔、顽强不屈的美德，同其他学科比较，数学课程的学习更需要一点精神，需要锲而不舍的钻研精神，需要克服困难的意志力和决心，因而数学课程也就成为我们培养学生具备这种精神和态度的很好的载体。在《实教》中设置具有一定挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难、解决问题的活动过程，在学生遇到问题和困难时，帮助他们树立战胜困难的决心，不轻易放弃对问题的解决，鼓励他们坚持下去，这样可以使学生逐步养成独立钻研的的习惯、克服困难的意志和毅力，进而形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。五、探究性学习(实习作业)，给了学生展现自我的空间有“空间”，才可能有想像力，才可以进行创造，费舍尔是当今世界一流的生物化学家，1992年获诺贝尔生理学奖。当记者请他谈谈对中国教育的印象时，他说：“我对中国教育不是很了解，但我很年轻的时候就有一个印象：中国的学生承担着一个很大的压力，尤其是中学生。当然，很多国家的中学生都要通过很高的水平测试，而中国、日本学生承担的压力过大。”他还谈起他对教育的理解，他说：“我个人小时候的经历告诉我，教育应依两种情形进行，第一种是强迫手段，对孩子强迫地灌输信息、知识；另一种就是给孩子很大的空间，选择他自己想关注的事物。中国前一种情形多一些，学生没有充分的想像力，没有充分地解放自己。”费舍尔认为，“给学生空间”是非常重要的，因为有“空间”，才可能有想像力，才可以进行创造。费舍尔自己走上科学之路就和“空间”有关。他15岁时，偶然读到一本关于肺结核的书，受到启发，立志成为微生物家。后来他的大部分时间都用在两件事情上：弹钢琴、读大量的课外科学书籍。前者是他的爱好，后者则是他的爱好和追求。“中国学生勤奋，但缺乏怀疑精神”麦克德尔米德是当今导电高分子和纳米材料研究的著名教授，2000年获诺贝尔化学奖。他说：“我在宾夕法尼亚大学见到不少中国的留学生。我的印象是，中国的学生在学习上比其他国家的学生有更高的热情。我所关注的现象是。大家太忙于学习了，没有时间问题。在中国、日本及其他国家，我作报告时通常提如下建议：不要盲目地、简单地相信我所讲的话，或盲目地、简单地听老师教的东西，不要盲目地相信书本、广播里得到的信息。要向一切发问：为什么?为什么?为什么?有学生问我：如何获得诺贝尔奖?我回答说：提出一些很简单的、像孩子一样提出的简单的问题，然后去工作、工作、工作，然后再还像孩子一样提出一些简单的问题，再工作、工作、工作。在美国，当老师要求学生做什么的时候，有更多的学生会问‘为什么，中国学生往往不会，好像学生不该对老师提出的问题怀疑。”麦克德尔米德在回答完这个话题时。特别追加了一句：“教师与学生要‘互教互交，学生要‘向一切发问，老师一定要给学生这样的机会。”
六、《实教》中的阅读材料，开阔学生视野，认识数学的科学价值观、应用价值和文化价值，体现数学的美学意义。总之，我们要以的基本理念为依据，以学生全面、和谐发展和推动社会进步为目的，来学习和认识课程总目标和六个具体目标以及它们之间的关系，在教学中努力去学习、去实践。新教材使用中的经验体会恩平一中高一备课组新教材实施快一个学期了，在实践的操作中，我们结合《新课标》，新的教学理念，以及具体的教学内容，谈谈我们的经验体会。一、对新教材亮点的分析以数学模块(2)第四章41圆的方程这一单元教学为例，虽然它只是新教材一部分，但它反映了整套教材的立意。仔细分析新教材，不难发现有以下亮点：第一，改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得知识与技能的过程成为学会学习和形成正确价值观的过程。新教材一改繁、难、偏、旧的旧教材体系，减少了与实践生活关系不密切的概念性知识等，增多了能力培训的内容如探究活动，每一课在书本的一旁有栏目：思考、提示、问题，探究等，旨在关注学生一生的发展。第二，新教材的教学目标不再侧重于知识的获得，而更侧重于学生学习知识的能力和适应社会的能力，但掌握知识仍是基本的要求，通过使用新教材过程的分析，对这个问题我们是这样理解的：我们的目的并不是将知识点填入学生脑海，而是让学生学会整理知识点的技能，培养信息加工的能力，培养逻辑思维推理的能力，因此，新教材一改过往教学的知识体系，表面看似乎凌乱，实际是将整理教材、找出本质规律的逻辑性过程交给了学生和教师，可以这么说，新教材呼唤着学生的主体精神。第三，从编写的内容看，它一改旧教材结构功能体系，以模块形式呈现知识，每一课根据内容的不同，会在教材的一旁提出问题、给出提示、探究活动、思考。新旧教材在41这一节的主要知识点上大致相同，但新教材更能唤起学习者的内心喜好和情感，更符合面向未来的教育目的。而从另一角度看，它更有利于学生主体作用的发挥。第四，新教材通过知识的呈现方式，强调学生在自主学习的基础上，合作交流、探索研究。我们深深地体会到新教材的内涵，前苏联一位心理学家说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在学生的学习中，这种需要特别有用，是学生学习的内在动力。成功是发展之母，教师不仅要激发学生探求新知识的这种心理需要，而且要让学生在自主学习中获得成功的体验，产生强大的内部力量，取得心的更大的成功。教材中的“提示、思考、问题，探究”等都体现了这个特征，并为教师的教学和学生的学习创设了宽阔的空间。新教材真正体现了以人为本，实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”二、对新教材的处理新教材有新的布局，新课标有新的教学理念，我们作为第一线的教师应有新的教法。现以数学模块(2)第四章4．1圆的方程这一单元教学为例，谈谈我们的具体做法。这一单元的难点有三个，第一个是圆的方程的应用；第二是方程x2+y2+Dx+Ey+F=O在什么条件下表示圆；第三个是求轨迹方程的方法。我们在教学中着重抓好下列几个方面。1.渗透数学思想方法的教学数学思想方法是指数学科学在千百年的发展过程中形成的提出、发现、论证和解决数学问题的思想体系、处理技巧与思维方法。也就是怎样用数学知识体系去分析和解决我们所面临的问题的一种思想境界。数形结合是重要的数学思想方法之一，而解析几何最基本的研究方法是数形结合法。学生往往在解题时不会根据要求作出图形，结合题意与图形特点对照，不会根据图形特征抽象出其性质进行分析问题。针对这一情况，我在教学中注重数形结合思想方法的运用。如：“411圆的标准方程”中，例3：已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心C在直线L：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。我提问学生：“求圆的标准方程，就是要求出什么集合要素?”学生都会回答：“求出圆心坐标和圆的半径。”我又点名提问：“本题关键是求圆心坐标，应如何求解?”学生想了片刻回答不出来，于是我叫全班学生根据题意画出图形并用平面几何知识找出圆心位置，让学生展开讨论，很快学生就找到了解法。2.利用课本中“探究，思考，提示，问题”专栏，进行小组讨论，自主学习
《新课标》倡导积极主动、勇于探索的学习方式，要求学习自主探索、主动学习而获得知识，鼓励学生积极参与过程学习。为了体现这一新理念，教材中设有“探究，思考，提示，问题”，提出击中要害的关键问题。这些问题不应由老师直接告诉学生，应由学生先讲、先做。体现出学生能够说的，教师不说；学生能做的，教师不做；学生能想到的，教师不提醒。在小组讨论中要让学生阐述自己的见解。如我在教学圆的一般方程定义中，先是利用课本中的“探究”专栏：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?让学生进行讨论探索结论。由于有学生课本中的思考题：“x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?”做基础。故学生个个会动手先经配方变形然后展开讨论，迫使学生进一步探索得出结果。教学中的难点就得到解决。3.恰当使用信息技术信息技术在教学中的优势主要表现在快捷的计算功能，丰富的图形呈现与制作功能等，若我们恰当地使用现代信息技术，发挥信息技术的优势能帮助学生更好地认识和理解数学并顺利地解决数学中的难点问题。如“412圆的一般方程”中的例5，已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。由于本题点M(x，y)所满足的条件是不明显的，学生第一次遇到此类问题，解题有一定的困难。我就利用多媒体进行教学，拖动A点使A在圆上运动，让学生观察是什么图形?(是一个圆)，于是我问学生能不能确定圆心的位置和圆的半径?(不能)我便因势利导，引导学生分析用转移法求轨迹方程的方法进行求解。这样通过信息技术的处理，使学生理解这种解法的奥秘。4.让学生参与学习的全过程《新课标》强调在高中数学教学活动的师生互动。明确指出“必须关注学生的主体参与、师生互动”，所以我们在教学中必须鼓励学生积极参与数学教学活动，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，不断地构造和完善认知结构的过程。如我教完上例后，让学生做课本的B组题：等腰三角形的顶点A的坐标是(4，2)，底边一个端点B的坐标是(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。此题先让学生独立完成，并指名学生黑板表演，经观察，学生们都为自己的胜利而感到高兴，但90％以上求出的方程是(x-4)2+(y-2)2=10，而忽视了题目的隐含条件：“C与B不能重合，C与B关于A的对称点也不能重合”。我提醒学生“题中有无隐含条件?”学生才恍然大悟。接着让学生完善解题后，总结出求轨迹方程的解题步骤。由于学生参与了解题的全过程，对出现错误的印象非常深刻。学生使会指出求轨迹方程应注意的问题。第三部分高中数学新课程课例实录实记案例实录1.直线的方程(2)2.圆与圆的位置关系第三部分高中数学新课程课例实录实记高中数学优秀教学设计与案例1.直线的方程(2实录)深圳中学宋绍鹏上课，师生互致问候，电脑课件显示引例：如图x轴表示一条河，骆驼队从A地出发前往河中取水然后运到B处，你知道在何处取水，行程最短吗?学生：找A点关于x轴的对称点A′，连结A′B，交轴于P点，在P点取水，行程最短。教师：问题变为求P点坐标，怎么解决?学生：求出直线A′B的方程就可以解决。
教师：那么，如何求直线A′B的方程呢?学生：利用斜截式，因为点A′和B的坐标都知道，代入斜截式方程，就可以求出直线A′B的方程。学生：也可以利用点斜式，因为点A′和B的坐标都知道，就能求出直线A′B的斜率，再加上一点A′或B就可用点斜式直接求出方程。教师：好!请同学们自己动手具体求出直线的方程。学生给出直线A′B的方程及P点坐标的答案，教师肯定。指出利用斜截式求解用的是待定系数法，利用点斜式是新学知识，也比较简单。启发性提问，有没有用其它方法求解的?学生：可以利用由A′B和A′P斜率相等，直接求出P点坐标。设P(x，0)，有-4-05-x=2+4-7-5，解得x=-3，P(-3，0)。教师：一个很巧妙的思路!能过以上研究知道，知道两点的坐标，其相应这直线的方程是可以求出的。投影显示问题：如果直线1经过两点：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，，你能求出直线1的方程吗请学生自行推导出理想的方程形式，并讨论方程的局限性，能否弥补?学生上黑板解答，板书y-y１＝y２y1x2-x1(x-x１)y-y1y２y１=(x-x１)(x2-x１)学生评价：前一个不能表示垂直于x轴的直线，后一个不能表示垂直于坐标轴的直线，因为分母不能为0。教师：评价的非常精彩，很简练!观察发现后一个形式规律性很强，等号式边的式子都是关于y的，而右边的又都是关于x的式子，它们形式完全一样。我们把它叫做直线方程的两点式。教师板书直线方程的两点式。师生讨论后，对于重直于坐标轴的直线的方程形式予以补充。投影显示练习1求过点A(-1，4)和B(3，-2)的直线方程。练习2求过点A(3，2)和B(8，12)的直线方程。学生完成，及时巩固两点式。投影显示例1已知直线1经过两点A(a，0)，B(0，b)其中ab≠0，求直线1的方程。教师介绍两坐标轴的截距概念，指出截距不是距离，可正可负可零。板书推导截距式方程。教师：任意直线都可以用截距式方程表示吗?有没有局限性?学生：不能表示截距的直线。教师：说得好。如果截距为0怎么求解直线的方程呢?学生：直线截距为0，说明过坐标原点，由y=kx就可以求了。投影显示例2已知三角形的顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在直线的方程。教师：请同学们自己看书P-78，边看边想，同学之间还可以研讨交流，关于给定两点求直线的方程的问题有什么心得?学生：直线方程学了好几种形式了，点斜式、斜式截式、两点式、截距式等，哪种方便就选用哪种。学生：两截距已知的话，就用截距式，知道y轴上的截距和直线上的一点时用斜截式比较方便，能不用两点式就不用两点式，感觉两点式还是比较麻烦的。投影显示练习3求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。教师：同学们自己完成。同坐，前后坐同学可以商量商量，讨论讨论。学生讨论很活跃。请同学说思路。学生：我求出有两条，一条是自式上之右下的，方程是x+y-5=0，另一条是过原点的直线，即直线OP。教师：第二条稍候再说，先说说这直线x+y-5=0你是怎么求出的?学生：我用截距式，是截距为a，则有2a+3a=1解得a=5，代回截距式方程得x+y-5=0。另一条直线过原点，方程是3x-2y=0。教师：刚才同学一下子就想到有两条直线，说明思维是很严谨的，很多时候我们容易漏掉OP
这条直线，请同学们对截距为0的这一特殊情况给予充分的考虑。学生：求直线x+y-5=0我还有别的方法，用点斜式，因为横纵截距相等所以它的倾斜角为135，斜率就是-1。学生：因为两个截距相等，所以直线的斜率是-1或1，加上过原点的直线OP，我认为应该有三条满足条件的直线，斜率为1的直线的方程我求得是x+y-1=0。教师：有同学举手了，有不同意见吗?学生：斜率不能为1，为1时，横纵截距是相反不是相等!教师：你同意他的说法吗?学生：同意，截距不是距离，有正负之分也可以为0。教师：好!问题提的很及时，同学的回答也非常准确。强化一下截距不是一段距离。学生：我还有别的方法……教师：你能不能把你的思路想到黑板上来?还有没有同学有其它思路?……好，把你的思路也写到黑板上。学生甲板书：y=3或x=2显然不合题意，所以k存在且k≠0，设直线方程为：y-3=k(x-2),y=0时，x=2k-3k，x=0时，y=3-2k，2k-3k=3-2k，得k=32或k=-1。学生乙板书：因为直线与坐标轴相交，所以k≠0,设y=kx+b，直线在x轴上的截距为-bk，在y轴上的截距为b，有-bk=b即(k+1)b=0解得k=-1或b=0教师：先看甲的思路，先说明k存在且k≠0非常严谨，然后分别求出横纵截距使之相等解方程得出k值。可解。是个很好的思路，你知道好在哪里吗?学生：两条直线一次性解决，没有遗漏。教师：乙的思路和甲的大致相同，但采用的形式是截然不同的。两个思路都很聪明，很巧妙。投影显示开始上课时的引例，演变为新的问题“如图光线由A(5，4)点发出射到镜面经由B(-7，2)点射出，试求入射光线AP和反射光线PB所在直线的方程。”学生：取A关于x轴的对称点A′，连结A′B，则A′B必过P点，A′的坐标可求，由两点式可求反射光线PB所在直线的方程。教师：如此说来，这个问题和“骆驼队”的问题……?学生：差不多，确切地说，实质一样。教师：这就是用同一数学模型来解决不同的实际问题。接下来同学们看这样一个思考题：投影显示思考已知2x１＋３y1-4=0，2x2＋３y2-4=0，，能否求出过点A(x1＋y1)，B(x2＋y2)的直线方程。学生：2x+36-4=0。因为点A(x1＋y1)，Bx2＋y2)都满足这个方程，两点确定一条直线。教师：好!我们从一些相似的事物中抽象出它们的共同的数学形式，实际上，这就是一个建构数学模型的过程。教师：我们这节课就学这些内容，下面请同学们谈谈这节课你都学到了哪些东西。学生：我学到了两点式和截距式两个很重要的方程，还知道两点式、截距式都有局限性。学生：我解得数学很奇妙啊，由点斜式推出斜截式推出两点式又推出截距式，数学是有一个很强的逻辑思维在里面的，这些方程形式都是一个一个地推出来的。教师：说得好!其实你也是在逻辑地思考，要是能把知识这样逻辑地联系起来，形成网络化，你一定能把数学得很好!学生：我学到思考问题要严谨，就是截距相等的那题，一开始我就漏掉了过原点的那条。学生：截距式的局限性是截距不能为0，所以在解决这类问题时，要考虑截距为0和不为0的两种情况。教师：他的说法是对刚才同学说法的具体补充，可见，学会分类讨论很重要，能使我们的视野更开阔，思维更严谨。还有，我们要有数学建模的意识，更多的东西，需要我们课后去思考。
布置作业P82—5、6下课。高一数学苏教版必修2《412直线的方程(2)》教案深圳中学宋绍鹏教学目标使学生掌握直线的两点式、截距式方程。培养逻辑思维能力和数学建模的意识，渗透数形结合、数学建模、分类讨论的数学思想。重点直线的两点式、截距式方程。难点截距式方程的灵活应用。教法探究式。教具电脑。教学环节教师活动学生活动目标评价引入引例如图x轴表示一条河，骆驼队从A地出发前往河中取水然后动到B处，你知道在何处取水，行程最短吗?投影演示引便，请一名学生读题，要求同学们分析，给出方案。引导学生探索求解直线A′B的方程的方法。学生研读题意，根据对称知识回答：找A点关于x轴的对称点A′，连结A′B，交x轴于P点坐标。解决方法：(1)先求出直线A′B的方程，令y=0求出P点坐标。(2)由A′B和A′P斜率相等，直接求出P点坐标。经讨论学生给出两种求直线A′B的方程的方法：(1)利用斜截式根据待定系数法。(2)求出直线A′B的斜率，利用点斜式方程。通过实际问题引入已知两点求直线的方程的问题，突出知识的产生与应用。创设宽松的问题情景，给学生以探索的空间。新课抛出问题：“如果直线1经过两点：P１(x１,y１)，P2(x2,y2)，你能求出直线1的方程吗?”请学生自行推导出理想的方程形式，并讨论方程的局限性，能否弥补?给学生三分钟时间讨论研究。提示学生要善于发现规律性强的数学形式为我们所用。板书两点式方程。得出两点式方程：y-y１y２y1=x-x１x２x1讨论得出它不能表示垂直于坐标轴的直线。给出垂直于坐标轴的直线的方程的形式。变等积式以弥补局限性。利用等斜率求解方程，分析严谨性。引例使两点式的思路水到渠成，对两点式局限性的深入研究，训练了思维的严谨性，渗透分类讨论数学思想。突出重点。练习投影显示练习1练习2两题学生迅速完成熟悉两点式方程。例题例1已知直线1经过两点A(a，0)，B(0，b)其中ab≠0，求直线1的方程。介绍直线在坐标轴上的截距概念。板书解答过程，指出截距式方程。请学生评价截距式方程。注意到题中条件ab≠0，进一步发现截距式的局限性，思考解决截距为0时的直线方程的求法。研究截距定义，明确截距不是一段距离，可正可负可0。按照学生的认知规律探索新知识的产生。例题例2已知三角形的顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在直线的方程投影显示例题，请学生看书，谈关于给定两点求直线的方程的问题有什么心得(体会)?学生认真看书P-78例题的解答过程。回答：给定坐标轴上的两个截距时，截距式较简单：给定一点和y轴上的截距时，适用斜截式，能不用两点式就不用两点式。例题难度不大，学生完全可以解决，让学生去比较分析司到何时用何种方程形式较好。练习练习3求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。投影形式练习3，请学生谨慎思考，充分交流、讨论、研究，充分展示学生的方法。经过一番思考与研究学生发言，利用截距式，可求出一条，考虑到截距式的局限性，想到截距为0的情形，求出了第二条直线，直线OP。有学生指出也可根据倾斜角求出斜率，利用点斜式。设斜率为k，利用点斜式，分别求出横纵截距，根据相等求出k值。发现一次性求出两种情况。
学生在讨论或是争论分散思维有合理收敛。学生板书思路。给学生提供相对复杂的问题，在探讨中使思维更严谨，视野更开阔，思路更活跃。思维在不断的迁移中得到完善，使课堂推向高潮。思考如图光线由A(5，4)点发出射到镜面经由B(-7，2)点射出，试求入射光线AP和反射光线PB所在直线的方程。将开始上课时的引便改换成以上的问题，请学生思考。指出同一数数学模型在不同的实际问题中的应用。学生思考，联系物理学相关知识，很快发现和引便问题是同一实质，可用同样的方法解决。感受数学的魅力。思考已知2x1+3y1-4=0，2x2+3y2-4=0，能否求出过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程。指出从相似的事物中抽象出共同的数学形式，就是一个建构数学模型的过程。观察发现，2x1+3y1-4=0，2x2+3y2-4=0，这两个式子和相似，进一步发现点A(x1+y1)，B(x2+y2)都满足方程2x-3y-4=0，此方程就是所求直线的方程。通过对知识的整合，使思维在发散、收敛以及迁移之中得到升华，让学生直接感受简易的数学建模，增强建模意识，去处数学建模的神秘感。总结通过这节课的学习，你有哪些收获?请同学自己谈谈在知识、能力、技巧、兴趣等方面学到了哪些新的东西?学生从不同的角度总结自己新的收获。如两点式、截距式；数学建模；分类讨论使思维更严谨等。让学生学会总结，学会欣赏，学会科学地评价。板书直线的方程(2)一、两点式二、截距式学生板书～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～2.圆与圆的位置关系实录广东仲元中学张婷教师：同学们，在前面的几节课里我们学习了点到直线的距离、圆的标准方程、圆的一般方程以及直线与圆的位置关系，今天我们来运用前面所学的知识解决《圆与圆的位置关系》。请同学们完成下列问题。出示幻灯片1.圆心在C(0，3)，经过点P(3，-1)，求圆的方程。2.圆心在C(1，3)和直线y=x相切的圆的方程。3.(x-1)2+(y+2)2与4x-3y+5=0位置关系。教师：请同学们在三分钟之内完成。能不能做到?同学(齐声)：能!(三分钟后)教师：好，时间到。要求圆的方程必须知道什么条件?同学：圆心和半径。教师：对，那么第一题中知道不知道圆心?学生：知道。教师：如何求半径?学生：用点到点的距离公式求半径，求到半径为5。所以圆的方程为x2+(y-3)2=25学生：在第二题中同样知道圆心，方程求半径，可以用点到直线距离求半径，求得半径为2，圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=2教师：第三题是我们昨天学习的直线与圆的位置关系，是怎样判断直线与圆位置关系?学生甲：把直线方程和圆的方程联立方程组，得到一个一元二次方程，通过判别式来判断直线与圆的位置关系。学生乙：判断圆心到直线的距离d和半径r的大小。如果d>r，那么相离；如果dr1+r2时，⊙A与⊙B相离2.当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切3.当r1-r2r1+r2时，⊙A与B⊙相离2．当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切3．当｜r1+r2｜0所以两圆的位置关系是相交。教师：好，这是一个用方程思想判断两圆位置关系的一个具体的例子，下面请同学们来总结一下方程思想的具体步骤。学生：(1)把两个圆的方程联立方程组；(2)两式相减消去二次项；(3)将所得y代入一个圆的方程得到一个一元二次方程；(4)求一元二次方程的△，通过△来判断两圆位置关系。
如果△>0，则两圆有两个交点如果△=0，则两圆有一个交点如果△<0，则两圆没有交点[ZK)〗教师：很好，今天我们学习了判断两圆位置关系的两种方法：几何方法和代数方法。这两种方法各有什么优劣呢?我们在解决问题的时候，怎样选用这两种方法呢?教师启发：用代数方法判断时，当△=0时，有一个交点，那两圆的位置关系当△<0时，没有交点，两圆的位置关系又是怎样?学生：当△=0时，有一个交点，两圆的位置关系可能是外切或内切；当△<0时，没有交点，两圆的位置关系是内含或是外离。师生讨论后总结：几何方法从图形入手，直观，容易理解，但不能求出交点；代数方法能够求出交点，但是只知道两圆的交点的个数，不能准确的判断两圆的位置关系。教师：很好，所以我们在解决实际问题的时候，可以根据题目的实际情况，选择适合的判断方法。接下来让我们用今天学习的方法来解决下面的问题。(出示幻灯片)问题探究：求半径为32，且与圆c：x2+y2+10x+10y=0切于原点的方程。教师：求一个圆必须知道它的圆心坐标以及半径，在这道题中半径已经给出，关键是找到圆心。符合条件的圆有几个?学生：有两个，可以是内切和外切。教师：对，初中的时候学过，两圆相切，两圆圆心、切点在同一直线上，现在圆A和切点(原点)都已知，那么我们可以知道第二圆的圆心必然在这两点所在的直线y=x上，所以可以设圆心坐标为(a，a)，接下来应该怎样做呢?学生A：可以用勾股定理求。学生：B：还可以用点(a，a)到切点的距离为32，算出a=±3，所以圆的圆心坐标为(3，3)或(-3，-3)，所求圆的方程为(x-3)2+(y-3）2=18和(x-3)2+(y-3)2=18。教师：很好，请同学们小结下我们今天学习的知识。学生：这堂课我们学习了判断圆与圆位置关系的方法：几何方法和代数方法几何方法如果⊙A的半径为r，⊙B的半径为，两圆心的圆心距为d，d=｜AB｜=(xA-xB)2+(yA-yB)2，那么1.当d>r1+r2时，⊙A与⊙B相离2.当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切3.当｜r1+r2｜0)和C2：x2+y2+4x+2y-20=0相切，求实数m的值．(2)教材P104B组T4，P117A组T15教师：下课!学生:
谢谢教师。《圆与圆位置关系》教学反思广东仲元中学张婷本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。《圆与圆的位置关系》在旧教材中比重不大，但是在新课标中，被作为一个独立的章节，说明新课标对这一章节的要求已经有所提高。教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的判断方法，北师大版教材中着重强调了圆心到直线的距离与圆的半径的关系进行判断，对用方程的思想去处理位置关系没作要求，但用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，因此，我增加了用方程的思想来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧在今后整个圆锥曲线的学习中有着非常重要的意义。作为解析几何的一掌课，判断圆与圆的位置关系，体现的正是解析几何的思想：用方程处理几何问题，用几何方法研究方程性质。所以我在教材处理上，对判断两圆位置关系用了方程的思想和几何两种方法，两种方法贯穿始终，使学生对解析几何的本质有所了解。下面是我在设计这掌课时的一点想法。第一、学生学习新知识必须在学生已有知识和经验的基础上自主建构与形成。所以，我一丌始提出了三个问题，即复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系。配合几何画板的动画演示，启发学生思考当初是怎样研究判断直线与圆的位置关系的方法?这种方法是不是同样可以运用到研究圆与圆的位置关系上来?能不能用来判断圆与圆的位置关系?使学生很自然的从直线与圆的的位置关系的判断方法类比到圆与圆的位置关系的判断方法。第二、新的课程标准非常重视学生自主探究，这是学习方式的一次革命，老师的教授过程固然重要，但学生对知识的掌握是在学生自己对知识有体验，有独立的思考和探讨才能成为可能。所谓“学在讲之前，讲在关键处。”学生先有一个对知识的认识过程，老师再在关键处进行讲解，使学生真正完成知识感知、形成和巩固的过程，才是对知识最好的吸收。第三、学生的学习是在教师引导下的有目的的学习，从而教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和探究合作学习的过程，这个过程中的关键点是怎么样有效的控制学生自主学习和合作探究学习的时间和空间，在教学的过程中，我较好的处理了学生学习的空问与时间，既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间，由此培养学生思维的敏捷性，提高课堂效率。第四、把解决问题步骤算法化，提前介入算法的思想，有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规化解决问题的程序。对于问题探究的题型选择的一些思考：第一个问题研究，侧重点之一是必须注意到相切的两种位置关系：内切与外切。侧重点之二在于如何找到这两个圆的圆心，是为了让学生回顾两相切圆心与切点在同一直线上这一条性质，由此得到圆心坐标。第二个问题研究是研究一个半径变化的圆与定圆相切，求题中参数变化的问题，这道题中同样要注意是相切的两种情况，并且对于内切，要充分结合数形结合的思想，判断出两圆的半径大小关系，两题都有一定难度，处理时必须牢牢掌握知识，灵活运用。上完这掌课有几个值得反思的问题：1.设计思路．我在丌始思考设计这个课题时，并不是很有把握。圆与圆的位置关系在教材中不如之前直线与圆位置关系的应用性广，有关它的题型受教学要求的局限，使教学设计增加了难度，但是运用已学的直线与圆的位置关系，用类比的方法去处理圆与圆的位置关系又是一个很好的材料，所以我采用了类比的思想，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法，这也比再次独立研究圆与圆位置关系大大的缩短了时间，为后面节省了时间，这种思路是否可行?2.时间把握。课前复习是有必要的，是为了学生类比旧知识，联想新知识，但复习旧知的时问应该限定在三分钟以内，复习时间长导致巩固练习的时问不足和问题展丌不够充分。3.限时训练。限时训练的目的是为了让学生更有效率的做题，限定时间过长或是过短都是不利于学生提高数学能力．这点还有待研究。4.
在初中时，学生已经接触过圆与圆的位置关系，并且掌握得较好，所以理解几何方法水到渠成，容易理解，所花时间较少。北师大版教材中着重强调了几何方法，对代数方法(用方程的思想)没作要求，但代数方法是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，也是这节课学生自主探究的一部分，所以在之后引导学生探究代数方法，这样的编排是否可行?点评：本节课研究的是圆与圆的位置关系，从教学设计、教学实录与反思上可看出，本节课具有如下特点：1.能从学生的实际出发作好教学设计，教学任务完成好，目标达成度高，是一堂优秀的，能把信息技术与学科有机结合的课。2.从教材处理上看，抓住了这个课题在教材中的作用与地位，同时对北师大版教材进行了重新处理，在强调运用圆心到直线的距离与圆的半径的关系进行判断的同时，关注了方程思想的作用，充分体现了解析几何的精髓，为后继学习作了充分的辅垫；从教学目标的设置和达成度来看，设置了让学生经历、体验、探索等过程目标，目标明确具体，充分体现了新课程的理念；从教学内容看，选编的例习题典型得当，注重了数学思想方法的渗透，有层次性和挑战性，深深地吸引了学生学习，充分体现了新课程中让不同学生学习不同数学的思想，关注了学生的个性发展和特长，同时容量较为适中，突出了重点，解决了难点。3.从学生活动来看，学生的主体地位得到了较好的落实，学生自主学习、合作探究学习的日寸空和空间较为充分，特别注重了学生思维的质量，讲究学生参与课堂活动的效率；教学设计创意好，问题设置新颖，从学生反应来看，学习热情高，整节课学生反应积极主动，学习环境宽松、民主，师生活动充分，情感交融，效果极佳。4.作为一个新教师，较好的传承了仲元中学的优良教学传统，把问题教学、分层教学、自主学习、合作探究学习的具有仲元教学特色的教学方式充分的加以运用；同时，个人的教学基本功也得到了充分的展示，从个人教学的反思可看出，“反思性教学”这种教研和培训形式反映了新课程实施以来，仲元中学在校本教研上的有效性和校本培训上的实效性，对新课程的实施和教师特别是新教师的成长具有非常重要的作用。《圆与圆的位置关系》教学设计广东仲元中学张婷教材分析：本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法，北师大版教材中着重强调了几何方法，对用方程的思想研究位置关系没作要求，但用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的常用方法，因此，我增加了用方程来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几伺‘问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧为今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义。学生分析：本班学生初中基础较好，学习的自觉性和主动性较强，有一定的自主学习和探究学习能力，平时的学习养成了善于观察、分析和思考的习惯，同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似，学生对上节课内容掌握较好，从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍，因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆的位置关系来自主研究圆与圆的位置关系。教学目标：使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法。培养学生自主探究的能力。通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系，使学生体验几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质，同时培养学生分析问题、解决问题的能力，并进一步体会算法的思想。教学重点、难点：判定两圆位置关系的方法及其应用。教学方式：教师引导下的学生自主探究。教学软件：几何画板3。0、Powerpoint、教学过程：一、复习与引入（1）问题：
1.圆心在C(O，3)，经过点P(3，-1)，求圆的方程。2.圆心在C(1，3)和直线y二x相切的圆的方程。3.（x-1)2+(y+2)2与4x-3y+5=0位置关系。学生完成后，师生共同下列结论：1.两点之间距离公式：2.点到直线的距离公式3.圆的标准方程与一般方程4.直线与圆的位置关系的判断方法。复习旧的知识的目的，是以旧引新，提出新问题创设问题情境，为下一步讲述“圆与圆的位置关系”做好准备。判断直线与圆的位置关系的方法是用解析几何的方法来处理平面几何问题通过计算比较圆心到直线距离与半径的比较来判断圆与直线的位置关系。1.当dr时，直线1与⊙O相离(2)引入课题，引导学生用直线与圆位置关系的处理方法类比处理圆与圆的位置关系。着重讲解直线与圆位置关系的判定方法，用类比的思想把已学方法用于新课题的研究二、新课讲授1.动态显示：圆与圆之间的运动，回顾圆与圆五种位置关系。(1)提问：圆与圆又有哪些位置关系呢?怎样来判断呢?(学生自主探究)(学生回答，老师补充)如果⊙A的半径为r，⊙B的半径为r2，两圆心的圆心距为d，d=｜Ab｜=(xA-xB)2+(yA-yB)2,那么1.当d>r1+r2时，⊙A与⊙B相离2.当d>r1+r2时，⊙A与⊙B外切3.当d>r1+r2＜d＜r1+r2时,⊙A与⊙B相交4.当d＜r1+r2时，⊙A与⊙B内含5.当d=r1+r2时，⊙A与⊙B内切总结：我们把这种通过比较圆心距与半径和、差之间来判断圆与圆位置关系的方法叫做几何方法。归纳小结“圆与圆的位置关系”(2)请学生总结判断圆与圆的位置关系的步骤。学生回答，老师补充，得出算法框图。渗透算法的思想，使得学生解题思路明确。三、巩固习题例一：判断两圆位置关系(限时训练)固，强化记1．C1：(x+2)2+(y-2)2=13；C2：(x-4)2-(y+2)2=132．C1：x2+y2-9，C2：(x-2)+y2=13．C1：x2+y2+2x-6y-26=0，C2：x2+y2-4x+2y-4=0学生完成后，师生共同小结，按照算法的思路解题。算法第一步求两圆心坐标与半径，可根据标准方程得到圆心坐标与半径也可用一般方程的公式来计算。之后依据算法步骤进行，判断两圆位置关系。四、探究及时巩固，强化记忆。对几种位置关系熟练掌握。C1：x2+y2-2x+10y-24=0，C2：x2+y2+2x+2y-8=0两圆是相交，你能求出交点吗?请回顾直线与圆相交时是怎么样求交点的?仿照求出。学生完成后，在此基础上，师生共同分析得出用方程的思想判断研究的代两圆位置关系的步骤：(1)把两个圆的方程联立方程组；
(1)两式相减消去二次项；(2)将所得Y代入一个圆的方程得到一个一元二次方程。(3)求一元二次方程的△，通过△来判断两圆位置关系。五、请学生总结比较两种方法的优缺点。几何方法：直观，容易理解，但不能求出交点坐标。方程思想：1.只能判断交点，并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切，无交点时不能判断内含还是外离)。2.优点是可以求出公共点。再次类比直线与圆研究的代数方法，与所学旧知识的联系、区别。引导学生思考判别式的三种情况和位置关系的五种情况相比较，得出代数方法的不足六、问题探究问题1：求半径为32，且与圆C：x2+y2+10x+10y=0切于点原点的方程。引导学生分析得出如下结果：1.此题关键在于求出圆心坐标，两圆相切时两圆圆心与切点在一条直线上，由此设圆心坐标为(a,a)2.由两圆相切分为内切和外切，用几何方法求解。问题2：若圆C1：x2-y2-6x+8y-m2+25=0(m>0)与C2：x2+y2+4x+2y-20=0相切，求实数m的取值范围。引导学生分析：1.注意相切的两种情况。2.能用图形解题，数形结合巧妙化绝对值。由浅入深，面向全体学生。引导思考，突出例题分析。小结：主要学习了圆与圆的位置关系及其判断方法。(1)几何方法用几何画板动态展示与小结归纳：如果⊙A的半径为r1，⊙B的半径为r２，两圆心的圆心距为d，1.当d=｜AB｜=（xA-xB)2+(yA-yB)2,那么1.当d>r1+r2时，⊙A与B相离2.当d=r1+r2时时，⊙A与B外切3.当｜r1+r2｜＜d＜r1+r2时，A与B相交4.当｜d0)和C2：x2+y2+4x+2y-20=0相切，求实数m的值．(2)教材P104B组T4，P117A组T15
小结：对整堂课知识要点进行梳理，注意知识的系统性二、案例实记3.函数建模与应用4.指数函数增减的快慢第三部分高中数学新课程课例实录实记高中数学优秀教学设计与案例3.函数建模与应用(实记)东莞实验中学隋传胜【主体参与型课堂教学模式】［上课］［师］：最近我听说同学们对身高和体重这类的话题很感兴趣，并为此开展了一些课外活动，下面还是请刘同学来到前面说一说。［生］：同学们好，我手上拿的是我们在高一级学生中采集的有关身高、体高的数据。由于时间紧，我们仅对其中几类数据进行了统计。前天学校对我们进行了体检，据我所知，很多人对自己的身高、体重非常地没有信心，对自己的身体是否标准也抱有怀疑的态度。相信大家一定很想知道答案，别着急，这节课我们将在数学老师的帮助下，马上你就会知道答案。［师］：身高和体重是反映一个人体质状况的两个重要指标。同学们关心自己的体重是否在正常范围之内，身体是偏瘦还是偏胖，这样的问题可以用数学中函数建模的知识来回答；今天我们就进一步来学习函数的建模与应用。（教师板书课题：函数建模与应用）教师把学生采集的数据抄写在黑板上，以方便学生使用。男生身高cm155160165170175180185体重kg4476470150155403581964169女生身高cm150155160165170175体重kg43184464605482450455362［师］：从黑板上的数据上同学们能直观地发现身高与体重之间存在着怎样的关系？［生］：身高随体重的增加而增大［师］：我们知一个变量随着另一个变量的递增的方面有多种，有呈进线递增的，有呈二次函数上升的，也有呈指数爆炸的，还有呈对数增加的。（教师同时用多媒体展示这四种函数的图象）。几类不同增长的函数模型：［师］：根据黑板上身高与体重的数据并结合四种增长方式，我们猜测可能选择哪种数学模型呢？［生］：可能选择指数函数，也可能选择二次函数，还可能选择对数函数［师］：那么，我们如何直观推断所列数符合哪一种数学型模呢［生］：画散点图［师］：同学们回答得很对！下面就请你们以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图［生］：学生在练习本上画散点图，两名学生到前前在电脑上用《几何画板》画散点图，展示给学生［师］：通过画散点图，观察散点的分布特点以及与前面四数函数图象的对照，我们应该选择怎样的函数模型呢？［生］：学生通过对散点图的分析及以往的经验多数学生选择指数型函数，也有的学生会选择二次函数［师］：二次函数我们不妨考虑用y=ax2这个函数模型来模拟
［师］：那么怎样求函数模型的解析式呢？［生］：（生学很快回答）代入已知数据［师］：黑板上的数据很多，我们究竟代哪几组数据更好呢？从统计来的数据上看男生的身高大部分集中在165cm，170cm，175cm；女同学的身高大部分集中在155cm，160cm，165cm；因此我们代入这几组数据，得到的函数模型会更接近实际情况［生］：男生用计算器计算得出二次函数模型为y=00019x2女生用计算器计算得出二次函数模型为y=00018x2［师］：同学们得到的二次函数模型能否较好的模似黑板上这些数据呢？我们可以怎样支检验呢？［生］：有两种方法，一种是代入数据验证，另一种方法是画函数模型的图象，观察图象与数据的拟合程度［师］：下面请两个同学到前面与用电脑画出这两个函数模型的图象［生］：一个男生和一个女生分别来用电脑作图，下面的同学观看［师］：［生］：同学们观察一下这两个图象和散点拟合得如何？［生］：不算发好［师］：那么我们就来选择函数y=abx，看一看这个函数能拟合的怎么样吧，限定对字母a和b的精确度：a保留三位有效数字，b保留四位有效数字［生］：学生用计算器计算：男生选择（170，54，03），（175，58，19）数据代入求数和y=430*1015x女生选择（160，4605），（165，4824）数据代入求得和y=110*1009x［师］：看看指数函数与二次函数比较哪一个函数模型拟合得更好？［生］：指数函数比二次函数拟合得好多了［师］：通过前面的画散点图、选择函数模型、求函数模型、检验，我们终于得到了所要寻找的函数模型，通过这个函数模型，我们就可以解释大家所关心的问题了，为此同学通过函数模型先来算出和自己身高相同的体重不均值［生］：用计算器计算和自己身高相同的体重平均值［师］：现在你们就可以马上知道自己所关心的问题的答案了，如果体重超过相同身高的平均值的12倍为偏胖，低于08倍为偏瘦；判断一下自己的体重是在正常范围之内，还是偏瘦或是偏胖偏瘦正常偏胖＜0808—12＞12［生］：学生迫不急待地想知道结果，利用计算器会很快得到令他（她）们当中绝大部分学生满意答案［师］：下面先请刘鑫同学对同学们的活动做个小结［生］：相信大家在老师的帮助下已经得出了答案。那么，希望大家能通过这节课的学习，在以后的日子里不要盲目地减肥或增重，因为身体健康才是最重要的。［师］：今天，同学们通过对体重与身高之间的关系这一问题的探究，得出通过收集数据，建立函数模型，解释实际问题的基本过程：我们先把实际问题数量化，再收集数据，那么怎样对数据进行处理呢？其中一种较好的处理方面就是画散点图，画散画图主要是为了直观地观察散点的分布特点、变化趋势，从而我们就可以选择适当的函数模型，通过代入数据求得模型；那么，所求得的函数模型能否较好地拟合已知数据呢？为此，我们可以利用电脑画出函数模型的图象进行检验，如果拟合得不好，我们就重新选选择函数模型，如果拟合得较好，我们就可以用这个函数模型来解释实际问题。（教师同时用电脑展示通过函数建模解释实际问题的流程图）［师］：下面布置作业：（1）教材128页第二题（2）实习作业：在街上经常会发现能够测量身高和体重的正常值的范围。这节课同学们做得很好！4.指数函数增减的快慢（实记）佛山市南海区南海中学数学组金莹数学过程记录：
师：前面，我们已经学习了指数函数的概念，图像和性质，下面请同学们一起完成这张表：指数函数a>100时，y1x<0时，y1x<0时，y1x>0时，y1学生看图回答。（教师引导学生读图）（教师小结）师：刚才我们通过一张表格简要复习了指数函数的基本知识，而且从表中我们可以发现：当我们研究指数函数的性质时，它的定义域，值域以及过定点的情况与底数a无关，而单调性却受到a的影响：a>1时，函数在R上递增；00时，总有2x3x。（3）你能将上述结论推广到一般吗？（学生用画板作图，并思考上述问题。）（教师巡视学生作图情况，给予指导。）师：刚才看到同学们都能较熟练地操作几何画板，作出函数图像。现在，把你们的成果和老师画的对照一下，我们一起完成上面提出的3个问题。（教师指着图像提问）：从图像上我们可以看出哪一个指数函数增长较快呢？生：y=3x师：很好！这是从整体上比较了2个指数函数的增长快慢，如果缩小到达局部，当自变量x取同一数值时，你能比较对应函数的大小吗？生1：可以！师：好，请郭建宏同学到讲台上给大家讲讲，他是怎样比较的？（学生讲解，教师归纳总结：分三种情况：x<0，x=0，x>0分别比较函数值的大小。）师：同学们能将上述结论推广到一般情形吗？对于两个都是递增的指数函数y=ax与y=bx且a>b>1，你能画出草图并比较它们增长的快慢吗？请同学们拿出稿纸，画一画。（点一位同学到黑板上做。）
做完后，教师请这位同学讲解哪一个指数函数增长较快？你从中发现了什么规律？（注意引导学生完整，准确地说出结论：指数函数的底数越大，其函数值增长就越快。）师：刚才我们研究了两个递增的指数函数增长快慢的规律，对于递减的情形我们可以用类似的方法进行研究。下面，进入实践二请同学们用几何画板作出指数函数y=02x与y=03x的图像，并比较它们减小的快慢以及规律。（让学生动手操作，在做中寻找和发现规律！）师：上面的结论都是从具体例子中归纳概括的，要将其推广到一般情形还须进一步的论证。但我们今天主要是从直观的图像变化上找规律，利用几种画板的动画演示来验证我们所得出的结论。师：请同学们拖动滑块参数a，改变它的大小，观察图像怎样变化，你从中发现了哪些规律？师：下面呢，我们以小组为单位展开讨论，每三位同学一组，相互交流一下你们各自的看法。（学生探索，交流，教师巡视，了解情况）师：刚才有一些小组的同学向我阐述了他们的见解，大家的观察都很仔细，讨论也很激烈！下面就请第一小组的廖丽智同学上来讲讲她们小组的发现！（学生上讲台演示，操作，并讲解。）生2：（一边演示，一边讲解）我们发现，当a>1时，函数是递增的，并且a越大，图像越陡；而当01时，底数越大，图像在第一象限部分越接近y轴；0<0<1时，底数越小，图像在第二像限部分越接近y轴；a=1时，图像与直线y=1重合师：好，理论学完了，规律找到了，下面就来检验检验大家的掌握情况！看同学们的理论能否经得住实践的检验！例1在同一坐标系中画图比较下列指数增减的快慢y=01x；y=05x；y=15x；y=4x（学生在下面完成，教师巡视，将一位同学做的结果投影出来）师：我们一起看看这位同学的作图，大家判别一下，正确吗？生4：不对！师：错在那里？生4：y=01x与y=05x弄反了！应该是y=01x减小更快。师：很好！群众的眼睛是雪亮的！这位同学犯的错误应该让我们其他同学引以为戒！对于我们刚才总结的规律一定要理解好，掌握牢，并能熟练，灵活的运用！生5：老师，我还发现了一个规律！师：说说你的发现！
生5：这四个指数函数的图像在第一象限里，从上往下，底数依次减小！师：我们仔细看看是这样的吗?(全班同学回答:是!)师：非常好！崔纯德同学的确眼光独到！观察细致！师：刚才崔纯德同学发现了图像在第一象限底数的大小变化，我们能否将他的结论补充完整，在第二象限内底数的大小从上往下依次是怎样呢？(师生一起观察图形，得出口诀：）在第一象限，底数上大下小；在第二象限，底数上下大小例2：如图所示是指数函数（1）y=ax（2）y=bx（3）y=cx（4）y=dx的图像。比较a，b，c，d与1的大小关系。（学生一起回答！）师：利用上面的口诀做这道题更快！师：通过例一和例二，你对指数函数增减快慢的规律以及数形的相互转换理解透彻了吗？生：（笑着回答）掌握好了！（教师总结：例一中是知道函数的表达式，需要工们作出相应的图像；而例二中则是给出函数的图像，比较底数的大小。这就从正反两个方面考察我们的知识！只有熟练地掌握了指数函数增减快慢的规律，我们才能游刃有余，准确无误！例3：比较下列各组数的大小。23253234-312-38－５7－５08５07５师：这道题你能想出什么方法呢？生6：用计算器！师：可以！有机器当然可以为我所用！还有其他方法吗？生7：利用单调性！师：可是没有函数哪有单调性呢？生8：比如第一个，我们可以构造y=2x与y=5x，通过比较它们增长的快慢，从而可以比较这2个数的大小！师：很好！大家能够学以致用！那么，除了构造指数函数，我们还可以构造其他函数吗？生9：幂函数！师：什么样的幂函数？生9：比如第一个，令y=x32再利用幂函数的单调性！师：不错！可以联系前面的知识！灵活迁移！师：下面，就按大家的方案，我们分三组，分别用三种方法解答这道题，看看谁的速度最快！是机器厉害还是我们的人脑厉害！（学生动手计算，教师巡视。）（最后，投影学生的答案，师生共同判别。）（教师总结：）师：今天，我们在网络课堂上了一节实验课！其实，我们的数学也可以走出纯理论，像物理，化学一样在做实验中去探索，寻找真理！第二部分新课程高中数学优秀教学设计与案例高中数学优秀教学设计与案例五、直线与平面平行的性质(一)教学目的1.
通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理；2.通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性；3.通过命题的证明，让学生体会解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想，培养、提高学生分析、解决问题的能力。(二)教学重点和难点重点：直线与平面平行的性质定理；难点：直线与平面平行性质定理的探索及P61例3。(人教版)(三)教学基本流程复习相关知识并由现实问题引入课题引导学生探索、发现直线与平面平行的性质定理分析定理，深化对定理的理解直线与平面平行的性质定理的应用学生练习，反馈学习效果小结与作业(四)教学过程教师活动学生活动设计意图【复习】以提问的形式引导学生回顾相关的知识：线线、线面的位置关系及判定线面平行的方法。思考并回答问题。温故知新，为新课的学习做准备。【引入】(1)提出例3给出的实际问题，让学生稍作思考；(2)点明该问题解决的关键是由条件“棱BC平行于面A′C′”如何在木料表面画线，使得工人师傅按照画线能加工出满足要求的工件；(3)引入课题——在我们学习了《直线与平面平行的性质》这一节课之后，我们就知道如何解决这个实际问题了。思考问题，进入新课的学习。通过实际例子，引发学生的学习兴趣，突出学习直线和平面平行性质的现实意义。【设问】(1)提出本节《思考》的问题1：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行?引导学生做小实验：利用笔和桌面做实验，把一支笔放置到与桌面所在平面平行的位置上，把另一支笔放置在桌面，笔所在的直线代表桌面所在平面上的一条直线，移动桌面上的笔到不同的位置，观察两笔所在直线的位置关系。(2)一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线有哪些位置关系?分析：a∥αa与α无公共点。a与α内的任何直线都无公共点。a与α内的直线是异面直线或平行直线。(1)学生动手做实验，并观察得出问题的结论：与平面平行的直线并不与这个平面内的所有直线都平行。(2)学生由实验结果猜想问题的答案，再由教师的引导进行严谨的分析，确定猜想的正确性。通过学生的动手实验，得出问题的结论，提高学生对探索问题的热情。续表教师活动学生活动设计意图【探究】一条直线与一个平面平行，在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行?
讲述：与平面平行的直线，和平面内的直线或是异面直线或是平行直线，它们有一个区别是异面直线不共面，而平行直线共面，那么如何利用这个不同点，寻找这些平行直线呢?(1)长方体ABCD-A′B′C′D′中，A′C′平行于面ABCD，请在面ABCD内找出一条直线与A′C′平行。分析：AC与A′C′这两条平行直线共面，同在面A′ACC′内，可见AC是过A′C′的平面A′ACC′与面ABCD的交线。(2)在面ABCD内，除了AC还有直线与A′C′平行吗?如果有，可以通过什么方法找到?利用课件演示过A′C′任意作一平面A′EFC′与面ABCD相交于线EF，验证学生的猜想。分析：因为A′C′∥面ABCD，所以A′C′与这个面内的直线EF没有公共点，由大家的这个方法作出直线EF，就使得EF与A′C′共面，故EF∥A′C′。学生随着教师的引导，思考问题，回答问题。(1)根据长方体的知识，学生能够找到直线AC与A′C′平行。随着教师的引导，发现AC的特殊位置关系。(2)由上面特殊例子的启发，学生逐渐形成对问题答案的猜想；随教师的引导，证明猜想的正确性。以长方体为载体，引导学生猜想问题成立的条件，推导出定理。续表教师活动学生活动设计意图【剖析定理】(1)证明定理；(2)分析定理成立的条件和结论；(3)指导学生阅读课本P60倒数第一段的内容。要求学生认真听教师的分析，看定理的证明过程，阅读和理解课本P60倒数第一段的内容。深化学生对定理的理解，明确该定理给出了一种作平行线的重要方法。【巩固练习】一、提出本节开始提出的问题(2)，让学生自由发言。(不局限于只有引平行线的方法)二、判断题。(1)如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行。(3)如果直线a、b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b。学生自由举手发言，说明理由。通过练习再次深化对定理的理解。【讲解例题】例3、例4要求学生跟随教师的分析引导，自己思考和解决问题。让学生体会定理的现实意义与重要性及解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想。【课堂练习】已知：α∩β=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF,求证：CD∥EF。选取几份有代表性的做法，利用投影仪，讲评练习，反馈学习效果。及时解决学生学习上存在的问题。【小结】(1)直线与平面平行的性质定理；(2)直线与平面平行性质定理的应用。【作业】习题22A组第5、6题总结归纳学习内容，安排适当的课后练习。六、直线和平面垂直本课教学的基点放在提高学生的思维参与度上，以问题引导学习，使学生在学习过程中，自己建构数学知识；通过课堂活动，实现学生自主探究；在经历知识发展的过程中、在概念形成的过程中，提高能力；改变学生被动学习的局面。(一)教学目标1.通过问题情境引入线面垂直的定义。2.通过直观感知、操作确认、归纳出空间中线面垂直的判定定理。3.通过直观感知、操作确认、思辨论证，归纳出空间中线面垂直的性质定理，并加以证明。
4.通过建构线面垂直的概念、线面垂直的判定定理及例题的讲解，帮助学生认识无限与有限的辩证关系，培养学生辩证思维能力。5.培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。(二)教学重点线面垂直的判定定理与性质定理。(三)教学难点线面垂直的判定定理与性质定理。(四)教学过程问题及活动教学目标学生活动教师活动1.旗杆与地面、电线杆与地面、路灯与地面给我们什么感觉?2.砌房子的时候，为了保证墙脚线与地面垂直，人们常常用一根铅垂直线来检测。1.从实际问题引入，对线面垂直有一个直观认识。2.理解研究线面垂直关系的必要性。观察、思考、回答问题，形成直观感觉。创设问题情境，引导学生思考。续表问题及活动教学目标学生活动教师活动3.用数学语言，如何定义直线与平面垂直?从数学的角度思考线面垂直关系。思考。引导。4.平面可看成是由直线沿空间某一方向平移而成的，我们曾学过线线垂直，那么能否用线线垂直来定义线面垂直呢?旗杆与地面垂直，那么旗杆与地面内的哪些直线垂直呢?〖〗建构线面垂直的定义。思考归纳线面垂直的定义。提问、引导。5.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于该平面?1.建构判定线面垂直的方法——定义法。2.渗透无限与有限的转化思想。思考、证明。演示实验，提问、引导。6.用定义证明线面垂直时，在平面内的任一条直线代表平面内的所有直线，由于它的位置的任意性，也给证明带来了不便。那么还有没有更简便的方法可判定线面垂直呢?提出问题，为引出线面垂直的判定定理作铺垫。思考。提问、引导。演示实验：木工师傅用角尺的一边靠紧直线，若另一边在平面内，说明直线与平面内的一条直线垂直，以该直线为轴转动角尺到另一位置，若另一边仍在平面内，便可断定该直线是与平面垂直的。由实际生活引入，通过直观感知，引导学生归纳出线面垂直的判定定理。观察、思考、归纳。演示、讲解、创设问题情境。引导学生思考。学生实验：将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面是否垂直?试证明你的结论。操作确认，进一步体会判定定理。小组实验、讨论。个别辅导。续表问题及活动教学目标学生活动教师活动例2.有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么?判定定理的运用，强化对判定定理的理解。思考、解答。点评。7.一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗?为什么?与例2相呼应，一正一反，强调判定定理中的“两条相交直线”这一限制条件。思考、回答。点评。9.在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。那么，在空间：(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?1.与平面几何类比，学生直观感知，得出线面垂直的性质，为介绍性质定理作铺垫。2.引出“点到平面的距离概念”。思考、回答。演示、提问、点评。图片演示：五根旗杆垂直于地面，这些旗杆间是什么关系?10.如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线是否平行?为什么?由实际问题自然引出线面垂直的性质，建构性质定理。思考、回答、证明。创设问题情境，引导学生思考。11.若有一条直线与平面平行，那么直线上各点到平面的距离是否相等?1.线面垂直性质定理的运用。2.引出“平行直线与平面的距离”概念。探究、分析、证明。引导学生思考。课堂练习(略)
。巩固本节课所学内容。练习、讨论。个别辅导。12.线线垂直与线面垂直之间是如何转化的?对知识的提炼、升华。思考、概括。点评。深圳市益田中学冯琪七、棱柱、棱锥和棱台教案1.教学内容棱柱、棱锥和棱台的基本概念及其几何特征。2.教学目标(1)认识棱柱、棱锥和棱台的几何特征，了解棱柱、棱锥和棱台的概念；(2)经历用运动的观点形成棱柱、棱锥和棱台的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥和棱台的概念和相互之间的关系；(3)重视立体几何知识与立体几何知识间的“类比”；体会“空间问题转化为平面问题”的“转化”思想；(4)接受观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法的运用。3.教学重点、难点(1)形成棱柱、棱锥和棱台的概念；(2)作棱柱、棱锥和棱台的直观图形；(3)棱台的画法和判断。4.教学过程31用运动的思想阐述平面几何中平行四边形、三角形、梯形的概念（1）平行四边形的定义（2）用运动的观点给出平行四边形的定义(课件演示)（3）平行四边形、三角形、梯形之间的相互关系(课件演示)32棱柱的概念的形成（1）提出问题：下列几何体，用平移这种运动的观点来观察，有什么共同特点?(学生自由讨论，课堂交流。同时教师用课件演示棱柱的形成过程。)(2)概括棱柱的概念。由一个多边形沿某一个方向平移形成的几何体叫棱柱。平移的起始两个面叫棱柱的底面，多边形的边平移所成的面叫棱柱的侧面。两个侧面的公共边叫棱柱的侧棱。(3)问题：棱柱的侧面是什么图形?为什么?(学生自由讨论，课堂交流。)(4)教师总结：1)棱柱是空间图形，我们讨论棱柱的侧面的形状，是转化为平面几何中线段的平移的结果，这叫空间问题转化为平面问题。2)平形四边形是线段沿某一个方向平移而得，棱柱是多边形沿某一个方向平移得到的，产生平行四边形和棱柱的方式相似，从而空间图形棱柱可以与平行四边形“类比”。3.棱锥、棱台的概念的建立。(1)演示棱锥、棱台的图形。(2)问题：①请仿照三角形、梯形与平行四边形的关系，讨论棱锥、棱台与棱台之间的关系。②指出棱锥、棱台的一些特点。③指出可以与棱锥、棱台类比的平面图形。(学生自由讨论，课堂交流。)4.学生阅读课本(P5～P7例一前)。5.知识的系统化。(1)填表：棱柱棱锥棱台底面特征侧面
特征侧棱特征底面特征侧面特征侧棱特征底面特征侧面特征侧棱特征(2)几何图形之间的相互关系：【例题】例画一个四棱柱的一个三棱台。【例题】P82、P83、P84。【例题】本节课通过与平面几何“平行四边形、三角形、梯形”之间的相互关系联系，学习了棱柱、棱锥、棱台的形成、基本概念和相互关系。【例题】《中华一题》P1第一课时棱柱、棱锥和棱台。（五）设计说明本堂课的设计基于以下考虑：1.突出数学概念的发生过程、突出知识间的联系；2.突出思维方法、突出数学思想方法的教学与训练；3.突出学生学习的主体地位，使数学知识主动建构；4.淡化对非主体知识点的讲解。具体来说：(1)上述四之1用运动的思想阐述平面几何中平行四边形、三角形、梯形的概念，对学生已有的知识与方法进行有意义的改组，为新的知识的形成提供“固定点”，使新的知识的产生与形成速度更快、更稳固。(2)棱柱的概念的形成的重要环节是四之2之(1)下列几何体，用平移这种运动观点来观察，有什么共同特点?这个环节的教学，可以使学生逐步形成观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法；数学知识的形成，是学生思维高度参与的主动建构过程，安排四之2之(2)让学生自由讨论，课堂交流。(3)设计四之2之(2)问题：①请仿照三角形、梯形与平行四边形的关系，讨论棱锥、棱台与棱台之间的关系。②指出棱锥、棱台的一些特征。③指出可以与空间图形棱锥、棱台类比的平面图形。(学生自由讨论，课堂交流。)设计问题目的在于突出使学生用类比的思维方法，进一步展现知识的形成过程；安排学生自由讨论，目的是使学生的参与程度更高，学会合作，使平面几何中平行四边形、三角形、梯形之间的相互关系的知识和方法以及认识过程得到主动的迁移。(4)四之2之(3)问题：棱柱的侧面是什么图形?为什么?学生自由讨论，课堂交流。目的是让学生感受“空间问题转化为平面问题”的“转化”的数学思想；四之2之(4)突出“类比”的数学思想。(5)教师的讲解、引导，着力点放在主干知识上，非主干知识不讲解，采用学生阅读教材的方式教学，如，棱柱的底面、侧面、分类、记法等。(6)在学生读完教材后，对数学知识系统化，设计的教学环节是四之5之(1)填表和四之5之(2)几何图形之间的相互关系。八、空间几何体的三视图及其表面积和体积【教学目标】
1.知识目标：熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。2.能力目标：先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。3.德育目标：(1)通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。(2)通过研究性学习，培养学生的整体性思维。【教学重点】观察、实践、猜想和归纳的探究过程。【教学难点】如何引导学生进行合理的探究。【教学方法】电教法、讲述法、分析推理法、讲练法。【教学用具】多媒体、实物投影仪。【教学过程】［投影］本节课的教学目标熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。【学习目标完成过程】复习提问：(1)如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)?(2)三视图与其几何体如何转化?新课讲解：［设置问题］例1：如图1，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。［提出问题］1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积?［学生思考、总结板书］空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。［承转过渡］求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图?［学生讨论、总结板书］例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。［设问］请问例1的三视图转化为实物几何体是由哪几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积?
［讨论、板书］该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。［分析解答、板书］由三视图画出奖杯的草图可知，球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，所以球的表面积和体积分别为：S球=4πR２＝4π·2２=16π(cm２)V球=43πR３=43π·2３=323π(cm)３而四棱柱(长方体)的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱(长方体)的表面积和体积分别为：S四棱柱=(8×4+4×20+8×20)×2=272×2=544(cm２)V四棱柱=８×４×２０=640(cm３)［设问］如何求出四棱台的表面积和体积?［分析解答、板书］图2画出四棱台直观图(图2)来分析怎样求表面积和体积。由三视图所示，知道该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为一个边长为20cm的正方形。我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和。所以关键是求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以只要求出其中一个侧面面积，问题就解决了。下面我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AE⊥CD,AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm,则AE为四棱台ABCD面上的斜高：AE=20-122２＋２２=25cm所以四棱台的表面积和体积分别为：S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20=(1285+544)(cm２)V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×２０×２=23544+434(cm３)［设问］球体、四棱柱和四棱台的表面积和体积分别已求出来，是不是将它们的表面积和体积分别相加就是该奖杯的表面积和体积呢?［分析解答、板书］不是，求体积可以相加，而表面积则不可以相加。我们知道，表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小。所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积。应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积S，即S=S球+S四棱柱＋S四棱台-２×S四棱柱底面=16π+544+1285+544-2×(4×8)=16π+1024+1285≈1360(cm２)奖杯的体积为V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544≈1052(cm３)
［学生活动］请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么?(让学生思考)［总结归纳］求组合几何体的表面积的时候容易出错。［拓广引申］［探究1］如果题目改为问：如果该奖杯是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台组合而成，则制造该奖杯需要多少材料?在计算时还需不需要再减去四棱柱的两个底面面积?［讨论板书］不需要。［拓广引申］［探究2］如果将奖杯底部四棱台的各侧棱延长，使它们相交于一点S(如图3所示)，得到的正四棱锥S-ABCD的体积为多少?［讨论、解答板书］图3我们要计算正四棱锥S-ABCD的体积，因为已经知道该四棱锥的底面面积，所以只要求出该棱锥的高问题就解决了。设四棱锥S-EFGH的高为h，则四棱锥S-ABCD的高为h+2，由面积比等于对应边的平方比得：hh+2２=144400∴hh+2=1220∴h=3cm则四棱锥S-ABCD的高为5cm，所以四棱锥S-ABCD的体积为：V四棱锥=13×400×5=20003(cm３)注：求四棱锥的高还可以利用相似三角形对应边的比求得。［拓广引申］［探究3］假如从(图3)四棱锥的顶点向棱锥内注入某种溶液，求四棱锥内溶液体积V与注入溶液高度h的函数关系式。［讨论、解答板书］我们可以看到，在注入溶液的过程中，溶液的体积由棱台变化为棱锥，即是注满四棱锥时溶液的体积为四棱锥的体积，未注满时溶液的体积为四棱台的体积。而四棱台的体积随着上、下底面面积与高度的变化而变化，下底面不变，上底面随着高度的变化而变化，所以应用运动、变化的观点来分析它们之间的关系。当注入溶液的高度为h时，设溶液液面的边长为a，利用相似三角形对应边的比，易得：a20=5-h5∴a=20-4h所以注入溶液体积V与注入溶液高度h的函数关系式为：V=13S上+S上S下+S下·h=13a２＋a２×４００+400·h=13(20-4h)２＋２０×（２０－４h）+400·h=163h３-80h２＋４００h(0≤h≤5)(充分挖掘各个知识点之间的联系，有利于帮助学生进行归纳总结，有利于提高教学质量和效率。)【课堂练习】［投影］1.(巩固型)若将题中三视图的正视图改为图4所示，也就是已知奖杯中四棱台的侧棱长为5cm，其他条件不变，那又如何求该奖杯的表面积和体积?
［投影］2.(提高型)一个正三棱柱的三视图如图5所示，求这个正三棱柱的表面积。【课堂小结】通过这节课的探究学习，发现由三视图求几何体的表面积和体积，要先将三视图转化为其几何体的直观图，分清楚直观图中的几何要素，然后再代公式进行计算；特别要分清几何体的侧面积与表面积；平时多动脑筋，挖掘与题目相关联的知识点。【布置作业】［投影］(如图6)已知一个组合几何体的三视图，请根据该几何体的三视图画出它的直观图，并计算它的表面积和体积。【教案的设计说明】在数学教学实践中我发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥无味，要不是高考升学要求，他们才不会去理会，况且将来用数学的机会也很少；所以许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢?即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。而随着研究性学习的深入开展，我们越来越感到研究性学习不应只作为一门课程来开设，还应作为学习的方式渗透到学科教学当中。如果研究性学习还仅仅停留在活动课的层面，不能和日常教学结合起来，就会出现高一、高二轰轰烈烈搞研究性学习，高三扎扎实实抓应试教育的现象。能否在高中数学教学活动中开展研究性学习，即把研究性学习这种学习方式渗透到教与学的过程中，这是值得研究的课题。“空间几何体的三视图及其表面积和体积”是普通高中课程标准实验教科书数学［必修2］第一章的主要内容之一，是帮助学生逐步形成空间想象能力不可缺少的一部分内容。本部分内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，有利于巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。本节课是“空间几何体的三视图及其表面积与体积”的研究性课题，主要是引导学生去思考，参与知识获得的过程，帮助学生巩固旧知识，使学生掌握新的有用知识，体会联系、发展等辩证观点，培养学生的应用意识和整体性思维，丰富学生的空间想象能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。(广东省廉江市第二中学吴南寿)九、圆的标准方程(一)教学目标1.知识和能力(1)学会圆的标准方程的推导方法。(2)掌握圆的标准方程并掌握其求法。(3)掌握点与圆的位置关系的判定方法。2.过程和方法(1)通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。(2)通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。(3)通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。3.情感态度和价值观：(1)通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。(2)培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。(二)教学重点难点
重点：圆的标准方程的推导。难点：圆的标准方程的求法。(三)教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用。对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。(四)教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，以及怎样根据不同条件建立圆的标准方程。由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。本节知识结构如下图所示：(五)课前准备教师：制作电脑课件。学生：课前预习，搜集资料。(六)教学策略1.这是一节介绍新知识的课，而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程，所以本节力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”。2.在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采取探究式，引导学生探索，重视探索过程。3.通过类比，进行条件的探求：通过点在圆上，点与圆心间的距离等于圆半径，类比可得点在圆外与在圆内的判定条件。在整个探求过程中，充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。(七)教学过程教学过程教学方法和手段引入1确定圆的几何要素。2圆的定义。3圆的标准方程。4圆与点的位置关系。5求圆的方程常用方法。通过五个问题，引出本节主要内容。问题分析1确定圆的几何要素圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状大小。画图启发。2圆的定义：(初中)平面上与定点距离等于定长的点的集合；(高中)｛M｜AM｜=r｝(r为定长，A为定点)。温故知新。3圆的标准方程：由两点间的距离公式(x-a)2+(y-b)2=r2圆心(a,b),半径为r。用方程描述曲线。用代数方法研究几何问题。课堂练习【练习1】根据圆的方程，指出圆心和半径。
(1)(x-2)2+(y-3)2=4(2)(x-3)2+y2=(-2)2(3)(x-3)2+(y+4)2=62答案：(1)圆心(2，3)半径为2；(2)圆心(3，0)半径为2；(3)圆心(3，-4)半径为6。结论：圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心(a,b)，半径为r。对圆的标准方程的巩固，并由学生概括总结规律。续表教学过程教学方法和手段探究圆心在坐标原点的圆的标准方程如何表示。探究学习。课堂练习【练习2】根据圆心和半径，指出圆的方程。(1)圆心为原点，半径为1；(2)圆心为原点，半径为2；(3)圆心为原点，半径为3。答案：(1)x2+y2=1；(2)x2+y2=4；(3)x2+y2=9。结论：圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2。由特殊到一般并由学生概括总结规律。问题分析4圆与点的位置关系点(x0,y0)在圆上，则点的坐标满足圆的方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，所以(x0-a)2+(y0-b)2＝r2，那么点在圆外与在圆内如何判别?点P(x0,y0)与圆：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(由点与圆心C(a,b)的距离判定)。(1)点P在圆内，则｜PC｜＜r(x0-a)2+(y0-b)2＜r2；(2)点P在圆上，则｜PC｜＝r(x0-a)2+(y0-b)2＝r2；(3)点P在圆外，则｜PC｜＞r(x0-a)2+(y0-b)2＞r2。类比获得结论。课堂练习【练习3】判别点与圆的位置关系(课本P127第2题)。实践练习。问题分析5求圆的方程常用方法：圆的几何要素是圆心与半径，故要求圆的方程，关键是如何确定圆心与半径。引导学生探究。课堂练习【练习4】求出下列条件下圆的方程。(1)圆心为点P(-3，4)半径为2；(2)圆心为点P(-1，0)半径为2；(3)圆心为点P(2，-3)半径为5。答案：(1)(x+3)2+(y-4)2=4；(2)(x+1)2+y2=4；(3)(x-2)2+(y+3)2=25；结论：已知圆心和半径，可直接代入标准得圆的方程。由特殊到一般并由学生概括总结规律。例题讲解例2：已知A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)求三角形ABC外接圆的方程(课本P125)。思路一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，点A、B、C在圆上，满足圆的方程，故可列出三个方程，确定a、b、r。思路二：三角形外接圆的圆心为三角形各边垂直平分线的交点，圆心与任一顶点的连线的长即为半径。
(过程略。)例3：圆心C过直线L：x-y+1=0，点A(1，1)与B(2，-2)在圆上，求圆的方程(P126)。思路一：(待定系数法)点A、B在圆上，满足圆的方程，故可列出两个方程，圆心在直线L上，圆心(a,b)满足直线的方程，故可列出第三个方程，解方程组可确定a、b、r。思路二：(几何分析法)圆心在圆上弦AB的垂直平分线上，所以AB的垂直平分线与已知直线L的交点即为圆心。圆心与A或B的连线的长即为半径。(过程略。)求线段垂直平分线的另一方法：(应用线段垂直平分线的性质)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即｜AM｜=｜BM｜，可得AB的垂直平分线方程。待定系数法与几何分析法。课堂小结1圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a,b)，半径为r2圆与点的位置关系：由点与圆心的距离确定。3求圆的方程常用方法(关键是如何确定圆心与半径)(1)直接代入法；(2)待定系数法；(3)几何分析法。回顾前面五个问题，引导学生归纳总结。本课作业书本P127第1、2、3、4题。(八)教案说明在教学过程中，教师遵循教学本身的发展规律，同时认识到学生的认识规律，力求使它们同步协调。具体做法如下：在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆。从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时，引导学生对照圆的几何图形，观察和欣赏圆的方程，体会教学中的美学——对称、简洁。在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程；通过问题和提示，帮助学生渡过学习上的难关。(肇庆中学曾若涛)Ⅲ.教学回顾与反思第二部分新课程高中数学优秀教学设计与案例高中数学优秀教学设计与案例一、学生的感叹、自己的顿悟在13班上完函数的第一课后，自我感觉很不理想，课堂中学生的情绪也反映出来，心想在14班的教学要调整了，草草考虑，开始实施：一开始就举了多个函数应用的实例，如：由恐龙化石推算恐龙生活的年代，由木乃伊推算这人已故了多久，课本的投资回报、人口增长、GDP等问题。然后话题一转：要想解决这些问题要用到函数知识。学生由新奇有趣转达到渴望知识。上了若干节课后，一个学生对我说：“老师，函数真有用啊!”学生的感叹让自己即时顿悟!于是又重阅教材，通过与旧教材分析对比，发现新课标实在是增加了一道道亮丽的风景：①真美——课本中的现实或教学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，它展现了数学总是有用的，数学是自然的，数学是美的；②真恰当——使用观察、思考、探究、问号、网络等图标，它能引导学生去思考、经历知识的发生发展过程，体会观察、归纳、概括、交流反思的思维过程；③真及时——留空、留白的方式，它能鼓励我们的学生积极参与这个过程、主动思考相关的问题，自主探索其中的奥秘；④真好——数学内容的本身调整和信息技术与数学内容的有机结合，它体现了课程的新理念，具有时代感的数学语言带有近现代的气息，满足时代的要求；⑤真妙——集合渗透到课本的每部分内容，这能体现知识内容间的联系，使语言表达更加严谨；⑥真奇——读图题，它体现数与形的优美结合；⑦真难——教学函数的应用，但解决这样的实际问题能培养学生的数学能力。
重新审视教案，我又有新的设想：带入美景教材的概念引入和结论得到，都有现实和数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景。为此，在教学中应该将背景描绘得更加美好，说得更加生动；设置得更加悬念、有趣，把学生带入美景，从而使学生对数学的情感增强，感受数学之美。改变教法教材编排就好像教案，主线：实际理论、背景引出问题通过学生思考、探究、实验、猜测、推理、交流、表达、类比、反思等理性思维的基本过程获得数学知识、思想方法解决问题小结、归纳形成知识体系和能力推上高一层次或拓广到更大的范围。为此，教师的工作就不是原来意义上的教书，应改变为导书，即指导学生去读书，在指导学生学习的同时要点拨给学生学习的方法，帮助学生解疑析难，指导学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。例如：关于方程的根与函数的零点(1)首先开门见山地提出问题一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数b=ax2+bx+c(a≠0)图象有什么关系?(2)要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般，即通过具体的函数与方程来讨论。(3)分组实施。(4)交流汇报结果。(5)老师精点。(6)引导猜想。方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点，从而定义函数的零点。(7)引导学生总结出：函数y=f(x)有零点的特征(见课本P102)。(8)应用。学生完成P102的例题、P103的练习。(9)小结：①探究问题的方法；②得到的结果；③能解决什么问题；④解决问题的步骤。转变学法要实现教法的改变，必须转变学法，这更需学生树立正确态度和思想：我要学习、我急需学习，经过一段时间努力和体会，学法是会形成的。二、在感受中发现，在领悟中升华——“函数的概念与图象”教学的一点随想当我拿着精美的新教材，看着一幅幅优美的图片时，给我最大的感触就是：图文并茂，内容丰富，叙述形式充满浓厚的人文时代气息……，特别是当我上完“函数的概念与图象”这部分内容后，感慨很多，在此略加采撷，旨在抛砖引玉，恳请同行指正!(一)让学生感受数学，体会数学的价值数学是对客观世界的数量关系和空间形式的描述，它来源于客观世界的实际事物，学生们的生活中处处有数学。教学时如能善于挖掘生活中的数学素材，从生活实际出发，结合学生的生活实际，把教材内容与“数学现实”有机结合起来，引入数学知识，可让数学贴近生活，使学生感受数学的实用性，对数学产生亲切感。教材中“函数的概念与图象”
的内容就是把学生身边的素材，如国民生产总值、一天的温度变化曲线、自由落体运动函数等等，教者如能把它制成幻灯片作为课堂教学引入，或者再因地制宜地举出一些其他的实例，如飞机票价表，数学用表，股市走势图，家庭生活用电数……，使学生对熟悉的生活场景进行回顾，感受到函数与我们现实生活的密切关系，消除同学们对函数这一概念的陌生感、恐惧感。这堂课的背景材料取材于学生最熟悉的资料，当学生看到自己非常熟悉的材料出现在课堂上时，那种油然而生的亲切感会使他们的情绪空前高涨，从而激发主动学习的愿望。有了学生情感的积极参与，课堂将会一片生机盎然。《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。”用数学眼光去观察生活实际，从而让学生感受生活化的数学，体验数学化的生活，教材为我们提供了一定的能让学生进行主动探索的材料，同时更需要发挥教师的主导作用，创造性地使用教材，发挥教师的主观能动性，使数学更贴近学生，拉近学生与书本、与数学的距离。(二)让学生体验数学，涵养数学的灵气体验就是个体主动亲历和虚拟地亲历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验活动。新颁布的《高中数学课程标准》与原来的教学大纲相比，一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标，特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”、“感受了什么”。对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验，重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和运用数学。所以，数学教学必须引导学生通过主动参与和亲身实践，或独立思考、或与同学或教师合作探究，让他们发展能力，感受自己的价值，从而激发对学习数学的兴趣。在“函数的概念与图象”这一章中，设计了一个小组讨论，让学生举出自己生活中遇到、见到的函数实例。同学们经过热烈讨论，举出许多生活中的函数实例，实实在在地体验到数学就在自己身边，原来函数就是如此!数学起源于生活，但经过抽象后形成的书本知识远比生活知识来得难以接受。如课本中的函数的概念，函数的三种表示，分段函数等等，学生觉得数学难懂、难学，一个重要的原因就是课程知识与生活的经验严重脱节，把学生死死地捆绑在课本里，死记那些学生认为枯燥的概念和公式。新教材的一个重要特征就是引导学生关注生活，让学生在生活的问题情境中，学会应用数学的思想方法去观察、分析；同时教师要把丰富的、贴近学生生活的素材展现在学生面前，并以此为基点延伸、拓展，这种建立在学生生活经验上的知识就容易被他们掌握、理解、同化以致于转化成学生的一种数学能力。(三)领悟数学，升华思想，呈现本质新的课程理念认为，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。课堂上让学生亲历体验，有助于学生通过多种活动探究和掌握数学知识，达到对知识的深层理解，更重要的是学生在体验中能够逐步发现规律、认识数学的一般方法。案例：某种笔记本每个5元，买x(x∈｛1，2，3，4｝)个笔记本的钱数记为y(元)，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x的函数。学生通过自主探究，给出函数的三种表示，领悟到一个函数有时可以用不同的方法表示，同时不同的方法的表示又有助于对函数的本质的深层理解。学生学习数学的过程不是一个被动吸收、机械记忆、反复练习的过程，它是一种在已有经验和原有认识的情况下解决问题、形成技能、巩固新知识的有意义的过程，让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，才能把新知识纳入到原有知识中去，形成自身的有效知识。(四)让学生应用数学新教材内容特别注意加强数学应用意识的培养，这是因为随着社会主义市场经济的发展，使得“数学从社会的幕后走到台前”，在很多方面可以直接为社会创造价值。让学生学会数学、认识数学、体验数学，形成正确数学观的过程，在这个过程中以数学知识为载体的数学，不能仅仅追求知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过这一过程学会数学的思维，体会数学的思想方法，感悟数学的精神并形成积极的数学态度。案例：一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A、C间距离为200m，B、D间距离为250m，C、D间距离为2000m，E、F间距离为10m，P点与A点间、Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是由抛物线式钢索PEQ相连结。
现有一只江鸥从A点沿着钢索AP、PEQ、QB走向B点，试写出从A点走到B点江鸥距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。这是课本中的一个问题，从中可以看出数学在建筑设计中的应用，教者引导学生完成对问题的分析、提取、抽象、解剖、计算、总结，导出了数学建模、分段函数、二次函数的解析式、待定系数等数学概念，把学生的创造力发挥得淋漓尽致，学生学数学的过程成了“做数学”、“用数学”的过程。在教学中，充分挖掘其人文的、科学的和应用的价值，让学生通过对身边具体的事例的研究，体会数学和生活的紧密联系，感受数学在科学决策中的价值，从而提高学习数学的兴趣。学生在学习过程中因为数学的抽象性，数学问题解决经常伴随着困难，但难度只要不超过学生的能力，总有可能获得成功。美国著名的数学教育家波利亚说过：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”但在失败后的成功是更令人兴奋的，心中的愉悦是无法形容的，当学生有了这种情感体验后，就会不断地去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学是伟大的。参考文献：1普通高中课程标准实验教科书(必修)数学1.南京：江苏出版社，2004年.2毛光寿.在教学行动中转变教育理念.中学数学与教学，2004年第3期.3王克亮.领会，类比，把握，防偏.中学数学，2004年第11期.三、数学教学中渗透“探究性学习”的一些尝试——“直线方程的一般式”一课的教学感悟《新课程标准》的教学内容较过去相比有了重大变化，加入了一些新的内容和理念。作为高中数学教师，要能对《新课程标准》的改革意义、作用和操作给予理解和把握，要在教学理念上有一个新的突破，才能适应当前教学改革的实际需要。例如《新课程标准》谈到要培养学生的探究能力和创新精神，而探究性学习具有较强的问题性、实践性和解决问题性，在这一过程中，学生要善于发现问题(或由老师提示创设)，通过学生亲自实践动手操作、合作交流等活动，创设性地解决问题。探究性学习有利于培养学生的创新精神和实践能力、交流和合作意识。笔者认为，“探究性学习”更值得我们老师们去思考和研究，下面我就高一解析几何“直线方程的一般形式”一课谈谈自己的教学感悟。(一)概念、定理、公式教学中渗透探究性学习高中教材中的定义、定理、公式都是前人经过长期探索而得到的，然而学生往往难以感受其中的探索过程，所以在教学过程中有意识地选择一些概念、定理等内容进行探究性的学习，对学生来讲是十分必要的。例如，在讲授“直线方程一般式”的概念时，若直接引出方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式，然后再论证、分析，从传授知识的角度上看，也许是没有问题的，学生也能完成相应的练习。但为了体现知识的发生和发展过程，我设计了以下教学方案。首先提出问题：已学过直线方程有几种形式?(学生回忆写出)紧接着设问：上述四种方程都是怎样的方程，是否具有统一形式?(学生分析、讨论、转化后回答)紧接着又设问，任何一条直线的方程是否都可以写成二元一次方程的形式?反之，二元一次方程是否都能表示一条直线?学生在探索讨论的过程中，可能会出现对直线倾斜角不讨论或对直线方程Ax+By+c=0中的B不讨论的情况，教师要适当点拨引导，然后学生形成了一个结论，即“在平面直角坐标系中任一直线都有表示这条直线关于x、y的二元一次方程；反之，任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线”，教师给予论证，最后顺理成章地给出直线方程一般式的概念。整个过程顺畅自然，没有生硬灌输，学生的接受也较为愉快。(二)例题教学中渗透探究性学习本节课教材中的两个例题具有典型性和示范性，但相对简单一些，学生的思维兴奋度不高，为此，我又补充了一道例题。例：已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3、4，求m、n的值。学生经过探究讨论后，得出了以下三种不同的解法。(学生探究讨论，教师归纳)
解法一：由截距的意义知，直线经过(-3，0)和(0，4)两点，因此有：m×(-3)+n×0+12=0m×0+n×4+12=0解得：m=4n=-3解法二：将mx+ny+12=0化为截距式，得：x-12m+y-12n=1因此有-12n＝-3-12n＝4m=4n=-3解法三：直线方程可写成x-3+y4＝1，整理后得：4x-3y+12=0与原方程比较，有：m=4n=4然后，师生一起对不同的解法进行小结。方法一：利用以前学过的知识，点在直线上，则坐标满足直线方程。方法二：熟悉一般式化为截距式，强化本节课的新概念。方法三：先由截距得截距式方程，再与原方程进行比较，得出结果。通过此例教学，学生的思维表现活跃，学习情绪高涨，也激励了学生积极参与、主动思考和学习数学的兴趣。三、课后学生自己进行探究性学习学生在课后完成作业时，往往出现知识应用、思考方法比较单一的现象，如果教师在课堂上忙于讲解习题，甚至有时仅呈现答案或解题过程，不引导学生进行课后研究，则习题的功能得不到充分有效的发挥。本节课在布置作业时，就安排了下面的一道探究题。例：直线Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质：(1)与两坐标轴相交；(2)只与x轴相交；(3)只与y轴相交；(4)不经过第二象限。这题是课本B组练习题，并做了改动，增加了问题(4)，安排学生课后分小组进行讨论探究。学生通过对这题的探究，能很好地把握直线方程一般式的特点、一般式与特殊式的互化，以及会用二分法讨论问题，使学生的思维能力、归纳论证能力得到了锻炼。在课堂教学中渗透“探究性学习”，强调了用问题启动学生的思维，让学生在探究中学习，与传统教学方式相比，学生合作交流的机会也大大增加，培养了学生自己持续发展的能力。(中山市实验高中黄晓镜)四、数学与生活的一点随想《新课程标准》中指出：“数学教学是数学活动的教师要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有的知识出发，创设生动的数学情境……。”主编在寄语中也言道：“数学是自然的……，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成的、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味……。”
数学源于生活，我们应该充分利用学生已有的生活经验，让学生身边的数学知识走进学生视野，走进课堂，使课堂文化变得更加具体、更加生动、更加有趣，并引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，来体会数学在现实生活中的应用价值，从而诱发学生内在的知识潜能，使学生主动地动口、动手、动脑，来探索知识的形成过程，同时也调动其学习数学的积极性，提高其学习数学的兴趣，培养其不断探索、不断创新的精神。(一)导入要趣味化教师要根据教学内容，结合具体实例，找出问题在生活中的趣味点，然后设计出新颖有趣的问题，以激发学生的学习兴趣，调动其学习数学的欲望，从而提高课堂效率，培养学生敢想、敢问、敢答的思维精神。如：数学必修②(人教版)第二章：平面与平面平行的性质(P62)开篇思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?针对开篇的思考，设计出如下的引入语：师：同学们请伸出你们的双手，大家观察一下，手掌上有什么东西?众曰：掌纹。师：大家知道最主要的那几条叫什么名字吗?众：生命线，智慧线，感情线，命运线，婚姻线等。师：(黑板上绘一手掌，跟着指出各掌纹的具体位置)假如将这几条掌纹都看成直线，左手跟右手掌心相对，两手对称放置，即两手所在的平面相互平行，大家观察一下，左手的感情线跟右手的感情线呈什么位置关系?某生：平行。师生：再观察，左手的感情线跟右手的生命线又呈什么位置关系呢?某生曰：异面。师：那么能不能在右手找到一条掌纹所在直线跟左手内某掌纹所在直线相交呢?众曰：不能。师：为什么?某生：因为手掌所在的两个平面相互平行，没有公共点，所以这两个平面内的所有直线也没有公共点。师：因此，两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线要么平行，要么异面……第四章：直线与圆的位置关系P133的问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它会否受到台风的影响?主题：永不沉没的“泰坦尼克”开篇引入语：主题：永不沉没的“泰坦尼克”(时事背景——印度大海啸)师：这几天，印度发生大海啸，死亡人数已累积到15万人。众：啊?!师：我国政府本着慈悲为怀的思想，决定对印度难民进行人道主义援助。众：好!师：我们麻章一中也不甘落后，积极响应党组织的号召。你们班就很荣幸地被选为第一支到印度进行援助的先遣队。众：鼓掌，好!师：你们乘坐“麻章号”从中国的湛江港出发，目的地是印度港，直线前进。(黑板上演示，或多媒体分析)途中接到校长的电话，校长在祝大家新年快乐及行程愉快之后，转告大家气象台的最新预报：有一台风中心正位于“麻章号’正西70km处，台风的侵袭范围为半径30km的圆形区域，已知印度港位于台风中心正北40km处，如果你们不改变航线，那么“麻章号”会否受到台风的袭击呢?是安全到达，还是遭遇“泰坦尼克”类似的命运呢?
请开动你们的脑筋，思考这道题目，记住：命运永远掌握在你们自己手中!创设这样的情趣，学生积极主动地参与，全身心进入“角色”，思维活跃，兴趣浓厚，争先发言，效果良好。(二)例题要生活化在大多数人的眼中，数学枯燥无味，更加不知道学数学到底有什么作用?实际上，数学来源于生活，也可以用之于生活，教师可通过改变例题呈现的形式，使之更加生活化、趣味化，从而创设优美的生活情境，让学生更好地溶入到课堂教学中来。数学必修①(人教版)第一章：集合间的基本关系(P6)观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗?(1)A＝｛1，2，2｝，B＝｛1，2，3，4，5｝；(2)设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班所有学生的全体组成的集合。现将第(2)问更改如下：(2)设A为NBA中火箭队全体球员组成的集合，B为NBA全体球员组成的集合。分析问题之前，还可以花一点时间跟同学们简单地介绍一下姚明和乔丹，开阔其视野，扩充其课外知识，为子集、真子集定义的推导和印证做好铺垫。印证真子集的定义时，用到上述知识：在(2)中，AB，乔丹∈NBA球员，但乔丹火箭队队员，即乔丹∈B，但A，所以A为B的真子集。数学必修②(人教版)第四章：直线与圆的方程的应用P138例题4：某圆拱形桥的圆拱的跨度AB为20m，拱高OP为4m，建造时每间隔4m需要一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度。(精确到001m)引入如下：师：毛主席曾教导我们，干革命，就要以“农村包围城市”的形式展开。现在我们也来以“农村包围城市”的形式来说一说桥。同学们，你们回忆一下，小山村中，当你们闲庭信步走到溪水边时，碰到的是什么桥呢?众曰：独木桥。师：一般的乡镇，尤其是江南的水乡，最多的又是哪类桥?众曰：圆拱桥。走进大城市，大家在湛江见到的又是什么桥呢?众曰：立交桥。师：好，现在我们重点来分析一下圆拱桥。首先，大家知道最著名的圆拱桥叫什么名字吗?众：赵州桥。(为课后P140练习题第2题埋下伏笔)师：下面我们来分析一下赵州桥的结构特点。其一：桥身进水的部分呈什么形状?众：为一段圆弧。其二：圆弧属于什么的一部分呢?众：属于一个圆。师：那好，我们将这段圆弧补成一个圆。大家观察一下，圆心和圆弧的中心以及圆拱跨度所在直线有何联系?请某某同学回答一下。某生：圆心和圆弧中心的连线与圆拱跨度所在的直线相互垂直。师：说得很好，现在我们就将这些桥的结构特点跟圆的特性巧妙地联系了起来，下面我们灵活地运用这些特点来分析一下书本上的例题4……
(板演，重点在分析桥的结构特点上)在数学教学法中，教师要充分挖掘生活中的数学，让学生通过探索、通过交流，品尝到学习数学的乐趣，更主要的是使学生感受到数学与生活的紧密联系，即数学来自生活，数学又应用于生活、服务于生活。(三)师生要一体化《新课程标准》中指出：“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”《新课程标准》还明确指出，“学生是数学学习的主人”，要把传统的“以学科为中心”转移到“以学生为中心”上。师生要一体化，体现在课堂的互动上，所谓还课给学生就是这个道理。数学必修①(人教版)第三章：函数模型的应用实例P124例6：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表所示。身高/cm60708090100110120130140150〖〗160170体重/kg6137909991215150217502092〖〗26863111388547255505(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的12倍为偏胖，低于08倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm、体重为78kg的在校男生的体重是否正常?在第(2)问中，在计算了该生体重是否正常后，再用同样的方法来检验一下本班的所有男同学的体重是否正常。此时，可以采用同桌相互检验计算的方法来完成。这样，不仅活跃了课堂气氛，学生的主体地位也得以体现。数学必修②(人教版)对几何问题观察能力的培养要求很高，所以老师要培养学生从身边寻找几何关系的能力，以学生做Model(模特)来帮助完成教学工作，可作为一个尝试的方向。诸如：［观察］①请某同学直立，大家观察，他身体所在的直线与地面呈什么关系?②请两个同学直立，他们身体所在直线都垂直于地面，大家观察，他们身体所在的直线相互平行吗?③请某同学直立，天上有太阳，大家观察，此时，人身体所在直线与人在地面上的影子呈什么特殊的位置关系?当太阳移动的时候，影子也移动，大家观察，人身体所在的直线与移动后的影子又呈什么位置关系?等等。这样，学生既感新鲜有趣，又能直观地感受到几何问题的存在，较好地培养了学生观察事物、分析问题、解决问题的能力。华罗庚指出：“就数学本身而言，也是壮丽多彩千姿百态，引人入胜的”。由此可知，数学还有无限的精彩等着我们去挖掘、去开拓。只有让生活的灵魂真正进入学校、进入课堂，不断地壮大和完善老师与学生之间的一体化思想，才能真正地解除数学的教与学之间的隔阂。前面的路还很长，但我仍将继续走下去，义无返顾。五、函数应用教学中渗透研究式的学习研究式的学习，是《新课程标准》提出的一个重要的教学内容。在研究性学习中培养学生研究问题的习惯，变教师被动地教为学生主动地学，对于培养学生的学习兴趣，提高学生的自学能力都很有帮助。研究性学习内容是通过需要探究的问题来呈现的，我们在新教材中，要善于从教学内容出发，挖掘出“值得研究”的问题，作为研究的课题，指导学生研究，很自然地完成从“接受学习”到“研究式的学习”的过渡，并在此过程中培养学生研究问题的习惯。下面是作者如何在函数应用教学中渗透研究性学习的一些想法，在此希望能与大家共同研究探讨。(一)分段函数在生活方面的应用
分段函数虽然是高一数学的一个新概念，但学生在生活当中已经接触了这一方面的模型，所以在讲到分段函数这一概念后，我们可以对这一函数在生活中的应用进行研究性学习，可以采用课内外相结合的方式。在课前布置学生通过各种方式，如上网、查阅书籍、走访调查等方式寻找一些具有分段函数模型的实际问题，学生们交上来的问题可能各式各样，如关于商场优惠规则、通讯话费问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等问题，就学生提供的众多问题编拟一组关于分段函数的应用问题：1.北京露天停车场白天（7：00至21：00）收费标准：四环路内小型车每小时2元，大型车每小时4元；四环路外小型车每小时1元，大型车每小时2元；居住小区小型车每小时1元，大型车每小时2元；王府井至东单、西单、前门、朝阳商务中心区，中关村核心区等八处繁华商业区小型车每小时5元，大型车每小时10元。露天停车场夜间（21：00至次日7：00）收费标准：不分地区类型一律执行小型车每小时1元，大型车每小时2元。星期六老王一家驱车（小型车）出去游玩，中午12：00至2：00在四环路以外的饭店休息，晚上7：00至10：00在王府井购物，老王这一天的停车费为。2.某市出租车收费标准如下：里程收费(元)5千米以下10005千米以上，每增加1千米120（1）列表并用图象表示出租车行驶的里程数和费用的关系，并写出它们的关系式。（2）出租车行驶的里程分别为4千米和15千米，各收费多少？（3）现在有30元钱，可乘出租车的最大里程数为多少？3.WAP手机上网每月使用时间在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费；超过500分钟按015元/分钟计费；假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按05元/分钟记费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。问：（1）小立12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？（2）小立10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？（3）你会选择WAP手机上网吗？你是用哪一种方式上网的？4.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税：超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿费的11%纳税。某人出了一本书共纳税420元，这个人的稿费为（）A.36000B.3800C.4000D.42005.“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得金额。设全月计税金额为：X=全月总收入-800，税率见下表：级数级数全月应纳税所得金额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%…………9超过100000元部分45%（1）（2000年全国高考试题6）某人某月份交纳此项税款2678元，则他的当月工资所得介于（）A.800～900元B.900～1200元C．1200～1500元D.1500～2800（2）同学们通过调查得知，晋江市个人所得税起征额为1100元，假如你是晋江二中的会计师，将如何计算出每位教职员工每月需交纳的此项税款额？（注：为让学生了解有关个人所得税问题，特意让学生走访了学校会计。）6.中国国家邮政局2002年1月28日宣布，从2月1日起，使用多年的“居民”、“长城”等普通邮票将停止出售，新发行普通邮票两套。每套普通邮票面值暂定为十种：5分、10分、30分、60分、80分、1元、15元、42元、54元。下表是目前国内邮资邮件资费情况(单位：元)：编号业务种类计费单位本埠邮资外埠邮资1信函首重100克内，每重20克（不足20克按20克计算）060080继重101～2000克，每重100克（不足100克按100克计算）1202002明信片每件060说明：1.本埠以市属区（不含市辖县和飞地）为范围，本县以县为范围。
2.国内信函、印刷品邮计费方式由原递重等额累进计费改为分首、继重分别计费。3.取消邮政附加费。根据以上信息，假如在信封上最多可贴四张邮票，试回答下面问题：（1）寄一份505克的信函，需如何贴上邮票？（2）请你在06元、08元两种面值的基础上再重新发行的邮票中选出两种面值，形成一套四面值且能满足重量不超过500克的所有国内信函（含明信片）付费所需要的邮票。(二)指数函数y=a(1+r)x在生活中的应用《函数》这一章的“实习作业”作为一个实践性课题，是研究性学习的一种方式，它给学生们提供了一个展示其研究成果的课堂，也给我们提供了培养学生综合实践能力和创新精神的课堂。虽然我们是普通学校的学生，但在科学面前人人平等，笔者在学生学习银行利率问题后，计划以增长率为出发点提供一个研究y=a(1+r)x型函数的课堂，适逢2002年12月1日为第15个艾滋病日，12月20日为世界人口日，于是布置学生上网或通过通过报刊杂志寻找有关数据，以数学的方式告诉世人控制人口增长率的必要性以及艾滋病病毒感染速度之迅猛［模拟函数为y=a(1+r）x］，根据学生提供的材料编拟这样几道题：例1：中国青年报2002年9月19日报道：据北京市交通管理局的最新统计，目前北京机动车总量已突破180万辆，每100个家庭拥有超过10辆汽车，城市汽车拥有量已跃居全国首位。……，到2008年左右，北京机动车拥有量将达到300万辆。请你按以上信息，计算北京今后6年的机动车平均年增长率。（由第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题改编）例2：填表：国家和地区2001年年中人口数（百万）出生率(‰)死亡率(‰)自然增长率(%)预测2050年年中人口数（百万）全世界603722913较发达地区1193111001不发达地区494425816埃及69828721阿尔及利亚3125619摩洛哥2982662冈比亚1443143几内亚76411923苏丹318341124贝宁6645153肯尼亚29634142埃塞俄比亚654441529………………并思考增长率与地区的关系。（学生网上下载整理并编拟的）例3：2002年12月1日为第15个艾滋病日，其主题为“相互关爱，共享生命”，据联合国11月26日最新统计数字表明，目前全球有4200万人身上携带有艾滋病病毒，2004年出现了500万名新感染者，并有310万人已死于艾滋病，感染人数几乎是以几何级的数量疯狂增长。2002年上半年，我国报告发现艾滋病病毒感染总人数已增长到100万人（每1300个中国人就有一个是艾滋病病毒感染者），比去年同期的85万人增长了177%。（1）如果不加以控制，每年以此速度增长，那么到2010年我国艾滋病病毒感染人数将达到多少？（2）如果2010年我国艾滋病病毒感染人数不超过300万人，那么年增长率应控制在多少范围内？（由学生提供的有关材料师生共同编拟）［思考题］一幅佛米尔（Vermeer，1632—1675）的绘画含有碳-14（半衰期为5739年）含量的995%，根据这一信息，你能否判断出该画是不是赝品?解释你的理由。(三)教学启迪
通过这样两节课内外结合的研究性学习的设计，既有针对性又有发展性，既响应高考要求又培养了学生素质。这样的教学内容，也能使课堂气氛生动、形象、富有情趣。在教师的指导下让学生自己寻找资料，参与知识的形成和发展过程，能够培养学生获取知识、发展知识、运用知识解决问题的能力，以及用数学语言进行交流的能力；而且在获取材料的同时能感受到数学的生活气息及时代气息，体会到数学的价值，并能够增强学生运用数学的意识。六、信息技术与数学新课程教学(一)引言我国在2003年发行的《普通高中学数学课程标准》（实验）中明确提出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如把算法融入到数学课程的各个相应的部分），整合的基本原则是有利于学习认识数学的本质，高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计数器、各种数学教育技术平台、加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计数器等进行探索和发现。”作为一线数学教师，我们不仅参加整合教材的实验，在日常教学中摸索和体会信息技术与数学教学整合的经验，更重要的是在思想观念上接受了整合的思想，身体力行地实践整合化的教学设计并不断从中获益。著名教育家苏霍姆林斯基说过：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”我们深深体会到，单一的传统教学模式对学生学习兴趣的吸引力太小了，而结合了信息技术的数学教学则能够很好地激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，让他们不知不觉地在知识的海洋中获取知识。(二)信息技术在传统数学教学中的应用信息技术主要指以多媒体计算机为核心，以数模技术为基础，结合现代通讯技术、传播技术的多媒体信息的高度集成性技术。信息技术作用于课堂教学，自然会带来教学中的一系列的新的变革，呈现出不同于传统教学的新的教学特征。1993年，美国教育部组织了十多位资深的专家（如ＢＭeans等）提出了一份题为《用教育技术支持教育改革》的报告，为如何运用现代化信息技术进行教育改革提供了指导性的框架。报告提出了改革新教学的若干特征，从下表中可以看出在信息技术支持下的课程教学与传统教学之间的明显差别。报告进一步指出，现代教育改革的核心是使学生变被动型学习为投入型学习（EngagedLearning），让他们在真实的环境中学习和接受挑战性的学习任务，在教育中应用技术的根本目的是促进教学形态从被动型向投入型转移。传统教学与信息化教学特征对照表关键要素传统教学信息化教学教学策略教师导向学生探索讲授方式说教性的讲授交互性指导学习内容单学科的独立作业模块带逼真任务的多学科延伸模块作业方式个体作业协同作业教师角色教师作为知识的施行者教师作为帮助者分组方式同质分组（按能力）异质分组评估方式针对事实性知识和离散技能的评估基于绩效的评估以数字化学习为核心的信息技术与课程的整合，不同于传统的学习方式，具有如下鲜明的特点：(1)学习是以学生为中心的，学习是个性化、能满足个体需要的；(2)学习是以问题或主题为中心的；(3)学习过程是进行通讯交流的，学习者之间是协商的、合作的；(4)学习是具有创造性和再生性的；(5)学习是可以随时随地终身的。信息技术结合传统教学在新课程中可以提高教学效率心理学研究表明，学生从听觉获取知识，理解记忆率为30％，从视觉获取知识，理解记忆率为20％，而同时使用这两种手段，可以使学生的理解记忆率达到80％。因为结合了信息技术的教学可以提供多种感官刺激，产生一种新的图文并茂、丰富多彩的人机交互方式，使得信息传输速度加快，动态的画面更加形象，有利于开阔学生的思维，感知效率极高。
新课程分模块教学，其内容十分丰富，教学课堂容量大。一方面，信息技术结合数学新课程教学可以增加课堂容量；另一方面，有些数学问题，教师用语言是无法表达清楚的，这需要学生自己体会，信息技术结合传统教学，利用信息技术的媒体处理能力，多媒体信息有机地融为一体，实现可视、有声、形象生动的表达效果，为学生提供图、文、声并茂的动态情景，让学生在栩栩如生的画面中去体会。例如，MicrosoftPowerPoint的文本、视频、音频、Flash控件的处理能力，可使我们快捷地展示我们心中所想但无法用单一的语言来表述的一些事件。几何画板在新课程数学教学中亦能作为规律性教学内容的直观展示工具。再加上教师适时的点拨，从而达到提高教学效果的目的。信息技术结合传统教学在新课程中可以完善对学习情景的创设新课程教学强调情景的创设，而传统的教学中只能凭借教师用自己的语言去创设，有时未免枯燥。但信息技术结合传统教学却能够完善数学情景的创设。在将信息技术引入数学教学时，学生就由原来的“听”数学，变成了“做”数学。如在“三角函数图象的变化”这一节中，一方面教师可以通过设置“句柄”控制三角函数图象，演示给学生看；另一方面，也可以让学生上机操作，自己输入A、ω和φ，观察图象的变化，摸索A、ω和φ对图象的影响，在电脑图形的不断变化、同学之间的互相讨论、教师的点拨指导等反馈中，逐渐形成自己的知识体系，达到自我知识的重新建构。在“直线和圆的位置关系”、“圆和圆的位置关系”的教学中，利用几何画版，创设的情景既形象又生动。(见图1、图2、图3)图1直线和圆的位置关系的引入（几何画版演示）图2直线和圆的位置关系（几何画版演示）在传统的教学中，教师只能在黑板上画演示图，很费时，且没有立体感；而在信息技术的使用中，我们可以利用PhotoShop60、Flash等软件，它们具有视频、音频、动画等多媒体的编辑能力，凭借这些，我们可以使微观世界宏观化、宏观世界微观化、瞬间过程永久化，展现二维或三维的立体动态效果，以此建立使学生主动探究并解决问题的新型探究式教学情景，再加上教师的讲解，可以使创设的情景便于学生思维的扩展。图3圆和圆的位置关系(几何画版演示)信息技术结合传统教学在新课程中可以分层显示利用多媒体的视频、音频技术，可以对有关教学内容进行分层显示，诱导学生深入浅出，从而达到提纲挈领、融会贯通，系统地掌握有关知识效果。例如：我们所选择的教材是人教版A，从目前我们使用的必修模块数学1和必修模块数学2来看，习题和复习参考题都有一道信息技术题，在教学中都可以编制带有提问与引导解答相结合的课件，引导学生系统学习，这特别适宜于学生自我复习。信息技术在新课程中能够生动地演示数学的思维过程利用多媒体技术中图文并茂、综合处理的功能，可以使每一个枯燥无味的数学题目都变成演示实验，在讲解的基础上，对学生有选择性地加以演示比较，通过比较，引导学生积极思考，培养学生的空间想象能力、创新思维能力、一题多解能力，最终达到灵活运用已学知识来解决问题。人教版A，必修模块数学1第三章函数的应用中《函数与方程》的内容在教学中，仅靠老师说是讲不清楚的，必须结合信息技术突破难点。我在教学中使用T1手持技术平台。案例：必修模块数学1，函数与方程，新课标P15。要求：根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。分析：函数与方程的联系是新课标中一个新的重点内容，这一联系的基础是函数的图象。正是信息技术在处理图象方面的优势使得该联系容易表现，也令二分法讲解得以直观地进行。同时二分法也是一个很好的算法实例，可以在算法教学中借鉴。此处使用信息技术弱化数值计算从而突出其算法实质。设计：以求方程：f(x)=x3+x-l=0在［0，1］上的近似解为例。首先建立函数与方程的联系，作图象，见图4。图4T1手持技术平台演示二分法让学生探索函数图象与x轴的交点大概在哪儿，能不能准确一点再准确一点。通过探索过程，让学生体会并归纳二分法的步骤。最后，学生动手用计算器实践求解过程。
说明：这是一个不能离开技术支持的案例，除了学习计算工具的作用外，信息技术还起着多元联系的作用。同时利用信息技术动态的特点，可以方便地呈现对分区间的过程中函数图象与x坐标轴的交点情况，这种对图象的“Zoom”操作在没有信息技术的条件下是不可能实现的。另外，由“准确一点再准确一点……”归纳步骤的过程正是算法形成的过程，虽然不提算法概念但其思想渗透其中，这对日后的算法教学是个拿来就用的好例子。进一步从技术应用的角度考虑这个案例，学生需要处理两个问题：函数求值(三次多项式)与端点值寄存。如何充分利用技术，安排好这两项工作也是一个非常有趣的问题，此处也可以看出数学教学对学生信息素质培养的作用。信息技术在新课程中的练习设计利用多媒体技术编写的层次分明的有针对性的练习，其练习效果大大超过了传统教学中学生作业的效果。它的最大成功之处在于可以使学生主动出击，化被动学习为主动学习，通过带娱乐性的练习，轻松巩固已学知识，从而真正激发学生发自内心的学习兴趣，起到事半功倍的效果。比如在学生作业中针对不同的学生设置各种难易程度不同的问题等，由软件来判断学生解答的正确与否，根据练习的情况，给予必要表扬鼓励或重复练习等，使得每个学生都练有所获。当然，信息技术在新课程中，传统教学与信息技术的结合亦能使教师在繁重的劳动中解放出来，免去了抄题和擦黑板的麻烦。加强了师生的合作与交流，体现了教学本身的生命力，使学生的学习更有主动性和积极性，从而全面提高了学生的综合素质。(珠海市第一中学刘仁学)七、必修1、2教学后的感想高中数学课程改革新理念坚持“以生为本”，强调在教学过程中“让学生主动获取知识结果”比“教学生掌握知识成果”更为重要。这就要求站在教育第一线的教育工作者在教学中要担当好“引导者”的角色，随时为学生搭好知识迁移的桥梁，让学生能够在原有知识结构的基础上顺利地理解新知识的形成过程，同时进行知识重组，及时把新知识纳入原有的知识结构中，并能运用知识解决相关问题。为此，笔者谈谈个人的几点看法。(一)注重培养学生的迁移能力学习的迁移是指一种学习对另一种学习的影响，从过去形成的知识、技能对新学习的知识产生的效果，可分为正迁移和负迁移，前者是指对新学习的知识产生积极的影响，后者是指对新学习的知识产生消极的影响。如何促进正迁移、防止负迁移是教学活动的一个重要课题。新课程强调对学生探究问题能力的培养，结合迁移理论与教学实践，笔者从以下方面培养学生的迁移能力。问题的设置要阶梯化在教学过程中我们经常遇到这种尴尬的场面：我们设置了一个“简单”的题目，而学生却无从下手，这通常都是问题设置的梯度不当引起的。设置问题应遵循由易到难、由简到繁、由浅到深、由具体到抽象的原则，尽量让问题处在学生“最近发展区”内。例如，有一次在分析“对数的性质”后，我在课本的例题基础上加以拓宽，给了学生一个这样的题目：比较logx3x与logx(4x)的大小本来以为学生稍作思考就能想到点子上，谁知问了几次竟无人回答。笔者意识到该题涉及简单分类，且比课本例题抽象，所以就补充以下两题作为过渡：(1)比较log25与log215的大小；(2)比较loga2与loga4的大小。这样一来，学生有了头绪，也完成了从具体到抽象的迁移。重视新知识的引入新知识的引入是实现旧知识向新知识迁移的过程，在新知识引入中既可重视与旧知识的联系，又应创设有利于迁移的情景。所以能否讲好引入是讲好新课的一个关键。例如在讲二面角平面角的定义的时候，一开始我是这样引入的：师：前面我们求异面直线所成角和线面所成角的时候，都是把它们化归成一个平面角，而且求出来都是惟一的。我们是怎样来衡量一个两面角的大小呢?怎样构造一个平面角来衡量?角是由一点所引出的两条射线所构成的平面图形，要定角，就应先找点，然后作线。
生甲：点能不能取在公共棱上，然后过点作线?师：很好，但这两条线要怎样作?生甲：线要在面内。生乙：线要与公共线有关系。师：如果我们分别在平面α、β内找到直线AB、CD，且AB∥CD，如右图所示，这时候会有什么结果呢?生：所有的二面角的平面角都相等。师：那能不能用它来衡量两个半平面所成交角的大小?生：不可以。师：如果是找两个相交线，那么它们的交点会在哪里?生：在公共棱上。师：在什么情况下，过公共棱上这一点且分别在α、β内的两条射线所成角会惟一?(结合如下图形分析)图甲：一条射线垂直于公共棱，另一条射线不垂直于公共棱。图乙：两条射线与公共棱所成角相等。图丙：两条射线都垂直于公共棱。生：最后的情况确定的角惟一。师：无论是求异面直线所成角、直线和平面所成角，还是我们今天所学的二面角，都是把空间关系转化成平面关系。这种转化思想在证明空间问题的时候也会经常用到，同学们在解几何题的过程中应该好好体会。上面这种引入是因为新知识与旧知识有类似的思维方法，我们可以抓住新旧知识之间的内在联系，为学生产生“正迁移”提供条件。原有知识可能使我们产生思维定势，产生负面的影响。例如，在立体几何的教学过程中，学生以前形成的平面几何思维定势总是对学生空间思维的发展产生干扰。如“四条边相等的四边形是菱形”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”，这些在平面几何里面成立的性质，在立体几何中却不成立。对于前者可以借助一个正方形，沿对角线折起来(如下图)；对于后者，可以用学生比较熟悉的长方体的棱的关系来说明。为了防止旧知识对新知识产生“负迁移”，新课的引入也可以采用对比的形式。如讲“线面垂直”与“线面平行”、“面面垂直的判断和性质”与“面面平行的判定和性质”。当我们对知识结构有准确理解的时候，就可以形成良好的思维定势，促进正迁移。如从平面几何到立体几何，理解了“升维”的思维模式，就可引导学生由平面几何中“同垂直于第三条直线的两条直线互相垂直”，通过拓展、变式，提出如下猜想：“同垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“同垂直于同一直线的两个平面互相平行”、“同垂直于一个平面的两个平面互相平行”，然后引导学生进行证明或证伪。(二)注重知识的传授与学生能力的发展新课标首先贯彻的是一种新的教育理念，数学教育比任何时候都更重视“以人为本”。这就要求站在教学第一线的数学老师要尽快转变过去单一的“讲—听”教学模式，逐步培养“师生互动”、“生生互动”的多元教学模式。而培养“师生互动”，教师除了要转变自己的教学方式外，更应该关注“如何改变学生一贯形成的‘只听不问’的被动学习态度”，让学生主动加入到教学过程中来。我国教育家叶圣陶就说过：“教功课的任务在于引导并帮助学生去观察、去实验、去思索。”在教学过程中，要处理好知识的传授与能力的发展这一对辩证关系。学生学习能力的发展是为了更好地让学生进行终身学习，是教学的最终目的，而且学生学习能力获得发展可以更好地完成知识的传授，所以学生学习能力的发展是核心所在。笔者以必修②的第一章为例，具体谈谈如何培养学生的参与意识。课堂的自主化由于必修②
的第一章基本概念多、内容简单，例如对第一节简单的空间几何体，学生完全可以通过观察具体模型、结合教材获取知识。我列了一个表格，把学生分成三组，分别研究柱体、锥体、台体和球体的结构特征。在这个过程中，有一个组的学生特别活跃，最后还找出圆锥在教材上没出现的特征：横截面是圆；轴截面是等腰三角形；不经过轴的竖直截面是抛物线等。在最后，我表扬他们的表现，并要求他们按照这节课所学内容动手制作模型，同时告诉他们：所做的模型在后面求面积、作直观图的时候都要用到。知识的形象化由于数学的概念比较抽象且枯燥，学生理解起来也就比较难。如果每位老师能在钻研教材的同时，把概念形象化、生活化、生动化，既可以便于学生理解，又可以活跃课堂气氛、提高学生学习数学的兴趣。例如，在学习几何体三视图的画法时，为了让学生深刻了解投影的概念，我在教具中增加了手电筒(当然只能近似地把手电筒的光线看成平行线)。虽然最后在课堂上由于光线的影响，投影的效果比较差，但是从后来学生在黑板上的练习来看，还是可以比较好地帮助理解投影这一概念的。强调知识获得的过程这涉及一个基本问题：“知识是被传授的还是被发现的?”必修②的第一章中的一些公式是学生在初中的时候用过但没推理证明过，如在求柱、锥、台的体积和表面积时，就出现了一些学生很熟悉的公式。为了让学生将“数学就是死记公式—套用公式”的思想向“数学可以是理解公式—活用公式”转变，我在教具中增加了自己做的由三个棱锥合成三棱柱和一副扑克牌。在教学流程中：(1)先让学生判断扑克牌的不同放法会不会影响体积。师：底面积改变了吗?生：不变。师：高改变了吗?生：不变。师：那体积会不会改变昵?生：不会。由此得到结论：等底面积等高的柱体体积相等，再推广到锥体。(2)引导学生判断三个三棱锥的体积关系。生：三个棱锥的体积都相等。结论：锥体的体积等于等高等底面积的柱体的三分之一。在后续的课程中，笔者又向学生简单传授我国数学家祖冲之的儿子祖暅发现的祖暅定理：势幂既同，则积不容异，并及时进行爱国主义思想教育。(三)重视与现实生活的结合，重视数学思想的渗透自从M·克莱因的六卷本的《古今数学思想》在20世纪80年代翻译成中文以后，“数学思想”(MathematicsThoughts)就引起国人重视，并有了大量相关研究。如何在中学数学中渗透数学思想是一个很有价值的课题。当前，我们正在中学数学课堂教学中努力实施素质教育，其中培养学生的应用意识和创造精神是一个重要方面。函数是高中数学的主线，我在“函数的应用”复习课上，把数学建模引入课堂教学，渗透数学思想进行教学，做了一次小小的尝试，收到不错的效果。题目：某平原镇有A、B、C、D四间工厂座落在边长为2km的正方形顶点上，为了交通畅顺，繁荣经济，镇政府决定建立一个使得任意两间工厂都有通道的道路网。(1)请你设计一个道路网，使它的总长不超过55km；(2)请你设计一个总长最短的道路网。这是一道策略开发题，须探索各种可行的方案，然后逐一比较、取舍，逐渐逼近题目的指标。我把学生置于平原镇“桥路设计师”的位置，调动他们的积极性。步骤1：引导学生获取题目的信息并转化成数学模型步骤2：分组讨论(学生刚开始热情高涨，慢慢地便失去信心。)
因为各组同学的设计过程基本出现了下面三种方案：甲乙丙计算的结果分别是：甲方案：AB+BC+CD+DA=8km乙方案：AB+BC+EF=6km丙方案：AB+CD=42km都超过了题目要求的指标，很多学生束手无策。步骤3：引导学生探索方案。师：从上面的三个方案看来，虽然它们的总长都超过了指标，但我们可以发现它们一个比一个接近目标。而且可以发现甲种方案是固定不变的；而乙种方案无论EF如何移动，总长至少有6km；那么在丙种方案中，当四个路线的交点不在正方形的对称中心时，它们的总和会不会变化?若会，是怎样变化的?经我这么一“提示”，学生又动手比划起来，很多学生用尺子测量之后发现，当路线的交点不在对称中心的时候，总长不但没变小，反而变大。有一位学生还用平面几何的知识证明了这个结论。他的思路是：连接对角线AC、BD，且AC∩BD=0，利用三角形两边之和大于第三边可证。图形如下：当然，有不少的学生想用函数的知识来解决，但由于式子比较复杂，没能继续下去。既然四段路线仅有一个交点的情况也不可以，这说明这四段路线在中间必有一个公共路段，再根据正方形的对称性，初步拟定以下的方案：(1)(2)(3)步骤4：方案比较。根据上面三个方案，从实际生活、经济效益等多方面考虑，最后选定第三个方案。在这个数学建模的过程中，学生的应用意识和数学思维能得到一定的激发，但由于学生个人水平和各种客观条件的限制，不可能完全进行科学的建模过程。比如怎样科学地比较各个模型的优劣，如何更加密切地把模型跟实际生活联系起来，可以鼓励学生在课后进一步展开，自己尝试运用数学建模的方法去解决生活和生产中遇到的问题。(揭阳第一中学郑彦双）八、写在函数概念教学之后《普通高中数学课程标准(实验)》的特点是：精简传统内容，更新知识内容和教学方法，增强教学方法的灵活性，重视数学思想和数学应用，增加贴近时代、贴近社会实践、贴近学生生活实际的教学内容。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，函数的内容主要是作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来介绍给学生的，要求学生联系生活中的具体实例，着重理解如何运用函数来刻画现实世界中变量之间相互依赖的关系，函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终，是进一步学习和参加实际生活中必备的基础知识，在高中教学中起着一个承上启下的作用。学生在初中代数课本内初步探讨了函数的概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数。通过函数值的计算，列对应值表以及描绘函数的图象，使学生获得了关于函数的感性知识，初步了解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数的概念和性质，理解二次函数的概念，能根据函数性质画出正比例函数、一次函数的图象，可用描点法画出反比例函数、二次函数的图象。必修1中的函数概念、基本性质与基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段；必修4中的三角函数、必修4中的数列，这是对函数的再认识阶段；第三阶段选修系列中的导数及其应用是函数学习的进一步深化和提高。因此函数概念的学习，是后续学习、获得较为系统的函数知识，培养函数的应用意识、提高数学应用意识的前提和基础。全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》以下简称《教》)和普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)(以下简称《实教》)中函数概念有关项目的比较如下表：对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①
普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同页码范围P46～57P17～30要求或目标理解函数的概念。正确理解函数的概念；通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括力。同：理解。异：培养概括能力。重点与难点重点是在映射的基础上理解函数的概念。难点是函数的概念。重点是使学生在已有知识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数到函数的概念是描述客观世界中变量关系的重要数学模型。难点是函数的概念及符号y=f(x)的理解。同：重点：用集合与对应刻画函数。难点：理解概念。异：《实教》重点更加贴近生活、贴近实际。难点：符号理解。引入复习初中概念以及学过的几种最简单的函数，提出两个问题：(1)y=1是函数吗?(2)y=x与y=x2x是同一函数吗？复习初中概念，给出三个实例：(1)射高问题；(2)臭氧空洞面积变化问题；(3)恩格尔系数问题。同：先复习函数概念。异：《教》从数集出发，抽象概括出函数概念；《实教》体现了概念来源于生活。设计意图从数集到数集归纳出共同特征，引出函数概念。从表达式、图象、表格等三个方面来刻画变量之间的对应关系，归纳出它们的共同特征，概括出函数概念。同：归纳出它们的共同特征。异：侧重点不同。续表对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同概念设A、B是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从A到B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。设A、B是两个非空集合，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从A到B的一个函数(Function)。记作：y=f(x)，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域(Domain)，与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(Range)。同：概念的描述以及相关的概念。异：《实教》增加了概念的英文注释。利用定义解释所学函数类型一次函数反比例函数二次函数剖析引入的两个问题。一次函数二次函数探究：反比例函数的三要素，并用定义描述这个函数。同：研究了一次函数、二次函数的定义域、值域、对应法则。异：《教》中解答回应引入提出的问题；《实教》中将反比例函数作为探究题目。续表对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同列举函数例子，加深概念理解例1：求函数定义域（1）y=1x-2；(2)y=3x+2；(3)y=x+1+12-x。例2：已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(2)，f(-2)和f(a)，f(a+1).例3：下列函数中哪个与y=x是同一函数?(1)y=(x)2；(2)y=(3x3)；(3)y=x2。例1：已知函数y=x+3+1x+2
(1)求函数定义域；(2)求f(-3)，f(23)；(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值。例2:下列函数中哪个与y=x是相等?(1)y=(x)2；(2)y=(3x3)；(3)y=x2；(4)y=x2x；同：例题数目不同，题型基本相同，求函数定义域以及求函数值；函数式差异的比较。异：《实教》没有《教》对函数的比重大，但在求值上基本相当，略有提高；函数式差异的比较，《实教》中叫函数相等，《教》中叫同一函数。函数的三要素对应关系的表示与理解，分式、无理式以及它们联合定义域的求法；函数值f(a)的定义；对应关系、定义域、值域(没有明确提出)。函数符号除可用f(x)表示，还可以用g(x)、F(x)、G(x)等符号表示。分式、无理式以及它们联合定义域的求法；函数值f(a)的定义(没有明确提出)；对应关系、定义域、值域。同：对应关系、定义域、值域名词理解一样；异：《教》中强调符号表示具有多样性。续表对比项目全日制普通高级中学教科书(必修1上)《数学》①普通高中标准实验教科书《数学》(必修1)异同练习题P511.对应问题；2.函数的定义域、值域；3.求值以及值域；4.求定义域。P221.求定义域(与《教》3题相同)；2.判断函数是否相等；3.求值归纳规律《实教》。同：求函数的定义域。异：《教》中有对应关系，知道函数值求相应的x；有求值域问题。《实教》加强用变量去刻画函数；让学生去计算、分析、总结归纳规律。习题P511、2.对应题目；3.求函数值和值域；4.判断是否为同一函数；5.画图，说出求定义域和值域；6.求定义域。P511.求定义域(有三小题同《教》中的3)。2.判断函数是否相等；3.画图，说出求定义域和值域；4.求函数值。同：按照各自的要求的重点和难点设计题目，基本同练习题，只是没有探索性题目。注释对函数一词的来源解释比较到位；请同学们根据例子思考几种常见的函数的定义域构成的式子，什么的函数是同一函数。介绍例题中用到的名词，帮助学生理解题意；简单介绍函数名词的起源；对f(x)式子的理解；对学生进行提示和帮助，(如充分利用现代信息技术)提出问题。同：通过注释对学生提供帮助，更好地理解题意；异：《实教》涉及的范围更加宽泛。从以上的比较中可以看出：
创设问题情景，符合认知规律，调动学生学习数学的积极性兴趣是最好的老师。《实教》中函数概念引入时，采用三个既常见又被人们关注的、与生活息息相关的问题，缩小了书本知识与生活实际的距离，和《教》中的相比为学概念而设计的引入方法形成了鲜明的对比，使学生倍感亲切，产生浓厚的兴趣。因此创设适当的问题情景可以激发学生的学习兴趣和动机，使学生产生“疑而未解，又欲解之”的强烈愿望，进而转化为一种对知识的渴求，从而调动学生的学习积极性和主动性，达到提高课堂教学效果的目的。强调函数模型的背景和应用的要求，是高中课程目标的规定。《标准》在课程目标中的第一条就明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴涵的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。”对于“函数”这一高中数学的核心概念，当然就要加强函数模型背景和应用的要求，使学生通过丰富的实例，进一步体会函数是因变量随自变量变化的重要数学模型；这样可以使学生在亲自经历上述过程中，更好地认识数学，认识数学的价值；更重要的是这样的学习过程，也符合学生的认知规律，对于激发学生的学习兴趣，发挥学习的主动性，提高学习效益是十分有益的。数学探究这一新的问题学习方式，为学生提供了自主探究的学习空间，它将有助于学生体验创造的激情，有利于激发学生学习数学的兴趣。采用实际问题引入，强调数学应用意识《实教》突出了数学与实际问题的联系，意在培养学生的数学应用意识。在教材编排上：章前图的设计为了说明数学来源于实际；章前引言从实际问题导出；阅读材料很多是介绍数学模型及应用方法；习题也适当地增加了联系实际的题目，所有这些都是为了创设联系实际问题的氛围，培养应用数学的意识。转变学习观念，提高“以人为本”的思想《实教》中函数概念引入时，采用三个活生生的例子容易使学生感觉到数学离我们很近，数学就在面前，存在于我们的日常生活中。数量意识和利用数学语言进行交流的能力已经成为公民基本的素质，它们能帮助公民更有效地参与社会生活，数学是有用的，所以我要学。实际上，数学已经渗透到人类社会的每个角落，数学的符号和句法、词汇和术语已经成为表述关系和模式的通用工具。同时社会的进步与科技的发展离不开数学。二战时期图灵用数学方法破译了德军的密码，天气预报中用到的降水概率、正数、负数及表示空气污染程度的百分数，个人和家庭在购物、购房等投资活动中采用的具体方案等。这就是“我为什么要学”的理由，这有助于帮助他们走出以前的单纯地为学数学而学数学的怪圈，愿意亲近数学、了解数学、谈论数学、应用数学，愿意用数学的眼光去观察周围的现象。两种教材比较而言，《实教》变得更加自然和清楚，没有刻意去为单独的巩固定义域、值域这些概念去单独地设置题目，只要能用变量的思想去刻画现实生活中的问题、或能接受一些现象即可，侧重点有很大的转变。科学课程是为着科学技术与经济发展；社会课程则主要是为着社会的发展；人文课程所直接关注和影响的是人的发展。可正是人文课程曾被长期忽视。一方面是取消了一些人文课程，另一方面是使一些人文课程的人文性质大大削弱或改变了。1978年以来这种状况有了很大变化，但并非十分自觉地、有效地改变着，人文课程依然显得薄弱。《实教》中的函数概念教学课堂设计在课程结构上所反映出来的问题，更能表明人本思想、以人为本的观念和意识的强化。数学探究，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度数学探究，可培养学生的实践能力及创新精神。无论人们未来从事怎样的活动，锲而不舍的钻研精神和科学态度是应该具备的重要素质，中华民族历来都具有坚忍不拔、顽强不屈的美德，同其他学科比较，数学课程的学习更需要一点精神，需要锲而不舍的钻研精神，需要克服困难的意志力和决心，因而数学课程也就成为我们培养学生具备这种精神和态度的很好的载体。在《实教》中设置具有一定挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难、解决问题的活动过程，在学生遇到问题和困难时，帮助他们树立战胜困难的决心，不轻易放弃对问题的解决，鼓励他们坚持下去，这样可以使学生逐步养成独立钻研的习惯、克服困难的意志和毅力，进而形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。探究性学习(实习作业)，给了学生展现自我的空间有“空间”，才可能有想像力，才可以进行创造。费舍尔是当今世界一流的生物化学家，1992年获诺贝尔生理学奖。当记者请他谈谈对中国教育的印象时，他说：“我对中国教育不是很了解，但我很年轻的时候就有一个印象：中国的学生承担着一个很大的压力，尤其是中学生。当然，很多国家的中学生都要通过很高的水平测试，而中国、日本学生承担的压力过大。”他还谈起他对教育的理解，他说：“
我个人小时候的经历告诉我，教育应依两种情形进行，第一种是强迫手段，对孩子强迫地灌输信息、知识；另一种就是给孩子很大的空间，选择他自己想关注的事物。中国前一种情形多一些，学生没有充分的想像力，没有充分地解放自己。”费舍尔认为，“给学生空间”是非常重要的，因为有“空间”，才可能有想像力，才可以进行创造。费舍尔自己走上科学之路就和“空间”有关。他15岁时，偶然读到一本关于肺结核的书，受到启发，立志成为微生物家。后来他的大部分时间都用在两件事情上：弹钢琴、读大量的课外科学书籍。前者是他的爱好，后者则是他的爱好和追求。“中国学生勤奋，但缺乏怀疑精神。”麦克德尔米德是当今导电高分子和纳米材料研究的著名教授，2000年获诺贝尔化学奖。他说：“我在宾夕法尼亚大学见到不少中国的留学生。我的印象是，中国的学生在学习上比其他国家的学生有更高的热情。我所关注的现象是，大家太忙于学习了，没有时间问问题。在中国、日本及其他国家，我做报告时通常提如下建议：不要盲目地、简单地相信我所讲的话，或盲目地、简单地听老师教的东西，不要盲目地相信书本、广播里得到的信息。要向一切发问：为什么?为什么?为什么?有学生问我：如何获得诺贝尔奖?我回答说：提出一些很简单的、像孩子一样提出的简单的问题，然后去工作、工作、工作，然后再还像孩子一样提出一些简单的问题，再工作、工作、工作。在美国，当老师要求学生做什么的时候，有更多的学生会问‘为什么’，中国学生往往不会，好像学生不该对老师提出的问题怀疑。”麦克德尔米德在回答完这个话题时，特别追加了一句：“教师与学生要‘互教互交’，学生要‘向一切发问’，老师一定要给学生这样的机会。”此外，《实教》中的阅读材料，能开阔学生视野，认识数学的科学价值观、应用价值和文化价值，体现数学的美学意义总之，我们要以基本理念为依据，以学生全面、和谐发展和推动社会进步为目的，来学习和认识课程总目标和六个具体目标以及它们之间的关系，在教学中努力去学习、去实践。九、新教材使用中的经验体会新教材实施快一个学期了，在实践的操作中，我们结合《新课标》、新的教学理念以及具体的教学内容，谈谈我们的经验体会。(一)对新教材亮点的分析以数学模块(2)第四章41节圆的方程这一单元教学为例，虽然它只是新教材的一部分，但它反映了整套教材的立意。仔细分析新教材，不难发现有以下亮点：第一，改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得知识与技能的过程成为学会学习和形成正确价值观的过程。新教材一改繁、难、偏、旧的旧教材体系，减少了与实践生活关系不密切的概念性知识等，增多了能力培训的内容如探究活动，每一课在书本的一旁有栏目：思考、提示、问题，探究等，旨在关注学生一生的发展。第二，新教材的教学目标不再侧重于知识的获得，而更侧重于学生学习知识的能力和适应社会的能力，但掌握知识仍是基本的要求，通过对使用新教材过程的分析，对这个问题我们是这样理解的：我们的目的并不是将知识点填入学生脑海，而是让学生学会整理知识点的技能，培养信息加工的能力，培养逻辑思维推理的能力，因此，新教材一改过去教学的知识体系，表面看似乎凌乱，实际是将整理教材、找出本质规律的逻辑性过程交给了学生和教师，可以这么说，新教材呼唤着学生的主体精神。第三，从编写的内容看，它一改旧教材结构功能体系，以模块形式呈现知识，每一课根据内容的不同，会在教材的一旁提出问题、给出提示、探究活动、思考。新、旧教材在41这一节的主要知识点上大致相同，但新教材更能唤起学习者的内心喜好和情感，更符合面向未来的教育目的。而从另一角度看，它更有利于学生主体作用的发挥。第四，新教材通过知识的呈现方式，强调学生在自主学习的基础上，合作交流、探索研究，我们深深地体会到新教材的内涵。前苏联一位心理学家说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在学生的学习中，这种需要特别有用，是学生学习的内在动力。成功是发展之母，教师不仅要激发学生探求新知识的这种心理需要，而且要让学生在自主学习中获得成功的体验，产生强大的内部力量，取得更大的成功。教材中的“提示、思考、问题，探究”等都体现了这个特征，并为教师的教学和学生的学习创设了宽阔的空间。新教材真正体现了“以人为本”，实现“
人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。(二)对新教材的处理新教材有新的布局，新课标有新的教学理念，我们作为第一线的教师应有新的教法。现以数学模块(2)第四章41节圆的方程这一单元教学为例，谈谈我们的具体做法。这一单元的难点有三个，第一个是圆的方程的应用；第二是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆；第三个是求轨迹方程的方法。我们在教学中着重抓好下列几个方面。渗透数学思想方法的教学数学思想方法是指数学科学在千百年的发展过程中形成的提出、发现、论证和解决数学问题的思想体系、处理技巧与思维方法。也就是怎样用数学知识体系去分析和解决我们所面临的问题的一种思想境界。数形结合是重要的数学思想方法之一，而解析几何最基本的研究方法是数形结合法。学生往往在解题时不会根据要求作出图形，不会结合题意与图形特点对照，不会根据图形特征抽象出其性质进行分析问题。针对这一情况，我在教学中注重数形结合思想方法的运用。如：“411圆的标准方程”中，例3：已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心C在直线L：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。我提问学生：“求圆的标准方程，就是要求出什么集合要素?”学生都会回答：“求出圆心坐标和圆的半径。”我又点名提问：“本题关键是求圆心坐标，应如何求解?”学生想了片刻回答不出来，于是我叫全班学生根据题意画出图形并用平面几何知识找出圆心位置，让学生展开讨论，很快学生就找到了解法。利用课本中“探究、思考、提示、问题”专栏，进行小组讨论，自主学习《新课标》倡导积极主动、勇于探索的学习方式，要求学生通过自主探索、主动学习而获得知识，鼓励学生积极参与过程学习。为了体现这一新理念，教材中设有“探究、思考、提示、问题”专栏，提出击中要害的关键问题。这些问题不应由老师直接告诉学生，应由学生先讲、先做。体现出学生能够说的，教师不说；学生能做的，教师不做；学生能想到的，教师不提醒。在小组讨论中要让学生阐述自己的见解。如我在教学“圆的一般方程”定义中，先是利用课本中的“探究”专栏：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?让学生进行讨论探索结论。为学生有课本中的思考题：“x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?”做基础，故学生个个会动手先经配方变形然后展开讨论，迫使学生进一步探索得出结果。教学中的难点就得到解决。恰当使用信息技术信息技术在教学中的优势主要表现在快捷的计算功能、丰富的图形呈现与制作功能等，若我们能恰当地使用现代信息技术，发挥信息技术的优势，就能帮助学生更好地认识和理解数学并顺利地解决数学中的难点问题。如“412圆的一般方程”中的例5，已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。由于本题点M(x，y)所满足的条件是不明显的，学生第一次遇到此类问题，解题有一定的困难。我就利用多媒体进行教学，拖动A点使A在圆上运动，让学生观察是什么图形?(是一个圆)，于是我问学生能不能确定圆心的位置和圆的半径?(不能)我便因势利导，引导学生分析用转移法求轨迹方程的方法进行求解。这样通过信息技术的处理，使学生理解这种解法的奥秘。让学生参与学习的全过程《新课标》强调在高中数学教学活动中的师生互动。《新课标》明确指出“必须关注学生的主体参与、师生互动”，所以我们在教学中必须鼓励学生积极参与数学教学活动，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，不断地构造和完善认知结构的过程。如我教完上例后，让学生做课本的B组题：等腰三角形的顶点A的坐标是(4，2)，底边一个端点B的坐标是(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。此题先让学生独立完成，并指名让学生在黑板上表演，经观察，学生们都为自己的胜利而感到高兴，但90％以上求出的方程是(x-4)2+(y-2)2=10，而忽视了题目的隐含条件：“C与B不能重合，C与B关于A的对称点也不能重合。”我提醒学生“题中有无隐含条件?”
学生才恍然大悟。接着让学生完善解题后，总结出求轨迹方程的解题步骤。由于学生参与了解题的全过程，对出现错误的印象非常深刻，学生便会指出求轨迹方程应注意的问题。第三部分高中数学新课程课例实录、实记第三部分高中数学新课程课例实录实记高中数学优秀教学设计与案例Ⅰ.案例实录一、直线的方程(2)上课，师生互致问候，电脑课件显示引例：如图x轴表示一条河，骆驼队从A地出发前往河中取水然后运到B处，你知道在何处取水行程最短吗?学生：找A点关于x轴的对称点A′，连结A′B，交轴于P点，在P点取水，行程最短。教师：问题变为求P点坐标，怎么解决?学生：求出直线A′B的方程就可以解决。教师：那么，如何求直线A′B的方程呢?学生：利用斜截式，因为点A′和B的坐标都知道，代入斜截式方程，就可以求出直线A′B的方程。学生：也可以利用点斜式，因为点A′和B的坐标都知道，就能求出直线A′B的斜率，再加上一点A′或B就可用点斜式直接求出方程。教师：好!请同学们自己动手具体求出直线的方程。学生给出直线A′B的方程及P点坐标的答案，教师肯定。指出利用斜截式求解用的是待定系数法，利用点斜式是新学知识，也比较简单。启发性提问，有没有用其他方法求解的?学生：可以利用由A′B和A′P斜率相等，直接求出P点坐标。设P(x，0)，有-4-05-x=2+4-7-5，解得x=-3，P(-3，0)。教师：一个很巧妙的思路!通过以上研究知道，两点的坐标其相应的直线方程是可以求出的。投影显示问题：如果直线l经过两点：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能求出直线l的方程吗?请学生自行推导出理想的方程形式，并讨论方程的局限性，能否弥补?学生上黑板解答，板书y-y１＝y２y1x2-x1(x-x１)y-y1y２y１=(x-x１)(x2-x１)学生评价：前一个不能表示垂直于x轴的直线，后一个不能表示垂直于坐标轴的直线，因为分母不能为0。教师：评价得非常精彩，很简练!观察发现后一个形式规律性很强，等号左边的式子都是关于y的，而右边的又都是关于x的式子，它们形式完全一样。我们把它叫做直线方程的两点式。教师板书直线方程的两点式。师生讨论后，对于垂直于坐标轴的直线的方程形式予以补充。［投影显示］练习1求过点A(-1，4)和B(3，-2)的直线方程。练习2求过点A(3，2)和B(8，12)的直线方程。学生完成，及时巩固两点式。［投影显示］例1已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)其中ab≠0，求直线l的方程。教师介绍两坐标轴的截距概念，指出截距不是距离，可正可负可零。板书推导截距式方程。教师：任意直线都可以用截距式方程表示吗?有没有局限性?学生：不能表示截距的直线。教师：说得好。如果截距为0怎么求解直线的方程呢?学生：直线截距为0，说明过坐标原点，由y=kx就可以求了。［投影显示］例2已知三角形的顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在直线的方程。教师：请同学们自己看书P78，边看边想，同学之间还可以研讨交流，关于给定两点求直线的方程的问题有什么心得?学生：直线方程学了好几种形式了，点斜式、斜式截式、两点式、截距式等，哪种方便就选用哪种。
学生：两截距已知的话，就用截距式，知道y轴上的截距和直线上的一点时用斜截式比较方便，能不用两点式就不用两点式，感觉两点式还是比较麻烦的。［投影显示］练习3求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。教师：同学们自己完成。同桌、前后桌的同学可以商量商量，讨论讨论。学生们讨论很活跃。请同学说思路。学生：我求出有两条，一条是自左上之右下的，方程是x+y-5=0，另一条是过原点的直线，即直线OP。教师：第二条稍候再说，先说说这直线x+y-5=0你是怎么求出的?学生：我用截距式，设截距为a，则有2a+3a=1，解得a=5，代回截距式方程得x+y-5=0。另一条直线过原点，方程是3x-2y=0。教师：刚才同学一下子就想到有两条直线，说明思维是很严谨的，很多时候我们容易漏掉OP这条直线，请同学们对截距为0的这一特殊情况给予充分的考虑。学生：求直线x+y-5=0我还有别的方法，用点斜式，因为横纵截距相等所以它的倾斜角为135°，斜率就是-1。学生：因为两个截距相等，所以直线的斜率是-1或1，加上过原点的直线OP，我认为应该有三条满足条件的直线，斜率为1的直线的方程我求得是x+y-1=0。教师：有同学举手了，有不同意见吗?学生：斜率不能为1，为1时，横纵截距是相反而不是相等!教师：你同意他的说法吗?学生：同意，截距不是距离，有正负之分也可以为0。教师：好!问题提得很及时，同学的回答也非常准确。强调一下截距不是一段距离。学生：我还有别的方法……教师：你能不能把你的思路写到黑板上来?还有没有同学有其他思路?……好，把你的思路也写到黑板上。学生甲板书：y=3或x=2显然不合题意，所以k存在且k≠0。设直线方程为：y-3=k(x-2),y=0时，x=2k-3k，x=0时，y=3-2k，2k-3k=3-2，得k=32或k=-1。学生乙板书：因为直线与坐标轴相交，所以k≠0,设y=kx+b，直线在x轴上的截距为-bk，在y轴上的截距为b，有-bk=b即(k+1)b=0解得k=-1或b=0。教师：先看甲的思路，先说明k存在且k≠0非常严谨，然后分别求出横纵截距使之相等解方程得出k值。可见，是个很好的思路，你知道好在哪里吗?学生：两条直线一次性解决，没有遗漏。教师：乙的思路和甲的大致相同，但采用的形式是截然不同的。两个思路都很巧妙。投影显示开始上课时的引例，演变为新的问题“如图，光线由A(5，4)点发出射到镜面经由B(-7，2)点射出，试求入射光线AP和反射光线PB所在直线的方程。”学生：取A关于x轴的对称点A′，连结A′B，则A′B必过P点，A′的坐标可求，由两点式可求反射光线PB所在直线的方程。教师：如此说来，这个问题和“骆驼队”的问题……?学生：差不多，确切地说，实质一样。教师：这就是用同一数学模型来解决不同的实际问题。接下来同学们看这样一个思考题：［投影显示］思考已知2x１＋３y1-4=0，2x2＋３y2-4=0，能否求出过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程?学生：2x+3y-4=0。因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)都满足这个方程，两点确定一条直线。
教师：好!我们从一些相似的事物中抽象出它们共同的数学形式，实际上，这就是一个建构数学模型的过程。教师：我们这节课就学这些内容，下面请同学们谈谈这节课你都学到了哪些东西。学生：我学到了两点式和截距式两个很重要的方程，还知道两点式、截距式都有局限性。学生：我觉得数学很奇妙啊，由点斜式推出斜截式推出两点式又推出截距式，数学是有一个很强的逻辑思维在里面的，这些方程形式都是一个一个地推出来的。教师：说得好!其实你也是在逻辑地思考，要是能把知识这样逻辑地联系起来，形成网络化，你一定能把数学学得很好!学生：我学到思考问题要严谨，就是截距相等的那题，一开始我就漏掉了过原点的那条。学生：截距式的局限性是截距不能为0，所以在解决这类问题时，要考虑截距为0和不为0的两种情况。教师：他的说法是对刚才同学说法的具体补充，可见，学会分类讨论很重要，能使我们的视野更开阔，思维更严谨。还有，我们要有数学建模的意识，更多的东西，需要我们课后去思考。布置作业：P82～８５、８６下课。附：“高一数学苏教版必修2412直线的方程(2)”教案教学目标使学生掌握直线的两点式、截距式方程。培养逻辑思维能力和数学建模的意识，渗透数形结合、数学建模、分类讨论的数学思想。重点直线的两点式、截距式方程。难点截距式方程的灵活应用。教法探究式。教具电脑。教学环节教师活动学生活动目标评价引入引例：如图，x轴表示一条河，骆驼队从A地出发前往河中取水然后运到B处，你知道在何处取水行程最短吗?投影演示引例，请一名学生读题，要求同学们分析，给出方案。引导学生探索求解直线A′B的方程的方法。学生研读题意，根据对称知识回答：找A点关于x轴的对称点A′，连结A′B，交x轴于P点，则P点为所求点，问题变为求P点坐标。解决方法：(1)先求出直线A′B的方程，令y=0求出P点坐标。(2)由A′B和A′P斜率相等，直接求出P点坐标。经讨论，学生给出两种求直线A′B的方程的方法：(1)利用斜截式，根据待定系数法。(2)求出直线A′B的斜率，利用点斜式方程。通过实际问题引入已知两点求直线的方程的问题，突出知识的产生与应用。创设宽松的问题情景，给学生以探索的空间。续表新课抛出问题：“如果直线l经过两点：P１(x１,y１)，P2(x2,y2)，你能求出直线l的方程吗?”请学生自行推导出理想的方程形式，并讨论方程的局限性，能否弥补?给学生三分钟时间讨论研究。提示学生要善于发现规律性强的数学形式为我们所用。板书两点式方程。得出两点式方程：y-y１y２y1=x-x１x２x1讨论得出它不能表示垂直于坐标轴的直线。给出垂直于坐标轴的直线的方程的形式。变等积式以弥补局限性。利用等斜率求解方程，分析严谨性。引例使两点式的思路水到渠成，对两点式局限性的深入研究，训练了思维的严谨性，渗透分类讨论的数学思想，突出重点。练习投影显示练习1练习2两题。学生迅速完成。熟悉两点式方程。例题例1已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线l的方程。介绍直线在坐标轴上的截距概念。板书解答过程，指出截距式方程。请学生评价截距式方程。注意到题中条件ab≠0
，进一步发现截距式的局限性，思考解决截距为0时的直线方程的求法。研究截距定义，明确截距不是一段距离，可正可负可为0。按照学生的认知规律探索新知识的产生。例题例2已知三角形的顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在直线的方程。投影显示例题，请学生看书，谈对给定两点求直线的方程的问题有什么心得(体会)。学生认真看书P78例题的解答过程。回答：给定坐标轴上的两个截距时，截距式较简单；给定一点和y轴上的截距时，适用斜截式，能不用两点式就不用两点式。例题难度不大，学生完全可以解决，让学生去比较分析悟到何时用何种方程形式较好。练习练习3求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。投影形式练习3，请学生谨慎思考，充分交流、讨论、研究，充分展示学生的方法。经过一番思考与研究，学生发言，利用截距式，可求出一条；考虑到截距式的局限性，想到截距为0的情形，求出了第二条直线，即直线OP。有学生指出也可根据倾斜角求出斜率，利用点斜式。设斜率为k，利用点斜式，分别求出横纵截距，根据相等求出k值。发现一次性求出两种的情况。学生在讨论或是争论中分散思维有合理收敛。学生板书思路。给学生提供相对复杂的问题，在探讨中使思维更严谨，视野更开阔，思路更活跃。思维在不断的迁移中得到完善，将课堂气氛推向高潮。思考如图，光线由A(5，4)点发出射到镜面经由B(-7，2)点射出，试求入射光线AP和反射光线PB所在直线的方程。将开始上课时的引例改换成以上的问题，请学生思考：指出同一数学模型在不同的实际问题中的应用。学生思考，联系物理学相关知识，很快发现和引例问题是同一实质，可用同样的方法解决。感受数学的魅力。思考已知2x1+3y1-4=0，2x2+3y2-4=0，能否求出过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程?指出从相似的事物中抽象出共同的数学形式，就是一个建构数学模型的过程。观察发现：2x1+3y1-4=0，2x2+3y2-4=0，这两个式子很相似，进一步发现点A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2x-3y-4=0，此方程就是所求直线的方程。通过对知识的整合，使思维在发散、收敛以及迁移之中得到升华，让学生直接感受简易的数学建模，增强建模意识，去掉时数学建模的神秘感。总结通过这节课的学习，你有哪些收获?请同学自己谈谈在知识、能力、技巧、兴趣等方面学到了哪些新的东西?学生从不同的角度总结自己新的收获。如两点式、截距式；数学建模；分类讨论使思维更严谨等。让学生学会总结，学会欣赏，学会科学地评价。板书直线的方程(2)一、两点式二、截距式学生板书～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～(深圳中学宋绍鹏)二、圆与圆的位置关系教师：同学们，在前面的几节课里,我们学习了点到直线的距离、圆的标准方程、圆的一般方程以及直线与圆的位置关系，今天我们来运用前面所学的知识解决《圆与圆的位置关系》。请同学们完成下列问题。出示幻灯片：(1)圆心在C(0，3)，经过点P(3，-1)，求圆的方程。(2)圆心在C(1，3)，和直线y=x相切的圆的方程。(3)(x-1)2+(y+2)2与4x-3y+5=0位置关系。教师：请同学们在三分钟之内完成。能不能做到?同学(齐声)：能!(三分钟后)
教师：好，时间到。要求圆的方程必须知道什么条件?同学：圆心和半径。教师：对，那么第一题中知道不知道圆心?学生：知道。教师：如何求半径?学生：用点到点的距离公式求半径，求得半径为5。所以圆的方程为x2+(y-3)2=25。学生：在第二题中同样知道圆心、方程求半径，可以用点到直线距离求半径，求得半径为2，圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=2。教师：第三题是我们昨天学习的直线与圆的位置关系，是怎样判断直线与圆位置关系?学生甲：把直线方程和圆的方程联立方程组，得到一个一元二次方程，通过判别式来判断直线与圆的位置关系。学生乙：判断圆心到直线的距离d和半径r的大小。如果d>r，那么相离；如果dr1+r2时，⊙A与⊙B相离；(2)当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切；(3)当r1-r2r1+r2时，⊙A与B⊙相离；(2)当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切；(3)当｜r1-r2｜0,所以两圆的位置关系是相交。教师：好，这是一个用方程思想判断两圆位置关系的一个具体的例子。下面请同学们来总结一下方程思想的具体步骤。学生：(1)把两个圆的方程联立方程组；(2)两式相减消去二次项；(3)将所得y代入一个圆的方程得到一个一元二次方程；(4)求一元二次方程的Δ，通过Δ来判断两圆位置关系。如果Δ>0，则两圆有两个交点；如果Δ=0，则两圆有一个交点；如果Δ<0，则两圆没有交点。[ZK)〗教师：很好，今天我们学习了判断两圆位置关系的两种方法：几何方法和代数方法。这两种方法各有什么优劣呢?我们在解决问题的时候，怎样选用这两种方法呢?教师启发：用代数方法判断时，当Δ=0时，有一个交点，那两圆的位置关系怎样；当Δ<0时，没有交点，两圆的位置关系又是怎样?学生：当Δ=0时，有一个交点，两圆的位置关系可能是外切或内切；当Δ<0时，没有交点，两圆的位置关系是内含或是外离。师生讨论后总结：几何方法从图形入手，直观，容易理解，但不能求出交点；代数方法能够求出交点，但是只知道两圆的交点的个数，不能准确地判断两圆的位置关系。教师：很好，所以我们在解决实际问题的时候，可以根据题目的实际情况，选择适合的判断方法。接下来让我们用今天学习的方法来解决下面的问题。(出示幻灯片)问题探究：求半径为32，且与圆c：x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。教师：求一个圆必须知道它的圆心坐标以及半径，在这道题中半径已经给出，关键是找到圆心。符合条件的圆有几个?学生：有两个，可以是内切和外切。教师：对，初中的时候学过，两圆相切，两圆圆心、切点在同一直线上，现在圆A和切点(原点)都已知，那么我们可以知道第二个圆的圆心必然在这两点所在的直线y=x上，所以可以设圆心坐标为(a，b)，接下来应该怎样做呢?学生A：可以用勾股定理求。学生：B：还可以用点(a，b)到切点的距离为32，算出a=±3，所以圆的圆心坐标为(3，3)或(-3，-3)，所求圆的方程为(x-3)2+(y-3）2=18或(x-3)2+(y-3)2=18。教师：很好，请同学们小结下我们今天学习的知识。学生：这堂课我们学习了判断圆与圆位置关系的方法：几何方法和代数方法。几何方法：如果⊙A的半径为r１，⊙B的半径为r２，两圆心的圆心距为d，则d=｜AB｜=(xA-xB)2+(yA-yB)2，那么(1)当d>r1+r2时，⊙A与⊙B相离；
(2)当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切；(3)当｜r1-r2｜0)和C2：x2+y2+4x+2y-20=0相切，求实数m的值。2.教材P104B组T4，P117A组T15。教师：下课!学生:谢谢老师。附一：《圆与圆的位置关系》教学反思本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。《圆与圆的位置关系》在旧教材中比重不大，但是在新课标中，被作为一个独立的章节，说明新课标对这一章节的要求已经有所提高。教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的判断方法，北师大版教材中着重强调了根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系进行判断，对用方程的思想去处理位置关系没作要求，但用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，因此，我增加了用方程的思想来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧在今后整个圆锥曲线的学习中有着非常重要的意义。作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，体现的正是解析几何的思想：用方程处理几何问题，用几何方法研究方程性质。所以我在教材处理上，对判断两圆位置关系用了方程的思想和几何两种方法，两种方法贯穿始终，使学生对解析几何的本质有所了解。下面是我在设计这堂课时的一些想法。第一，学生学习新知识必须在已有知识和经验的基础上自主建构与形成。所以，我一开始便提出了三个问题，即复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系。配合几何画板的动画演示，启发学生思考当初是怎样研究判断直线与圆的位置关系的方法?这种方法是不是同样可以运用到研究圆与圆的位置关系上来?能不能用来判断圆与圆的位置关系?使学生很自然地从直线与圆的位置关系的判断方法类比到圆与圆的位置关系的判断方法。第二，新的课程标准非常重视学生的自主探究，这是学习方式的一次革命，老师的教授过程固然重要，但学生对知识的掌握是在学生自己对知识有体验、有独立的思考和探讨的基础上，才能成为可能。所谓“学在讲之前，讲在关键处”，学生先有一个对知识的认识过程，老师再在关键处进行讲解，使学生真正完成对知识感知、形成和巩固的过程，才是对知识最好的吸收。第三，学生的学习是在教师引导下的有目的的学习，从而教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和合作探究学习的过程，这个过程中的关键点是怎么样有效地控制学生自主学习和合作探究学习的时间和空间，在教学的过程中，我较好地处理了学生学习的空间与时间，既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间，由此培养学生思维的敏捷性，提高课堂效率。
第四，把解决问题的步骤算法化，提前介入算法的思想，有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规范解决问题的程序。对于问题探究的题型选择的一些思考：第一个问题研究，侧重点之一是必须注意到相切的两种位置关系：内切与外切；侧重点之二在于如何找到这两个圆的圆心，是为了让学生回顾两相切圆心与切点在同一直线上这一条性质，由此得到圆心坐标。第二个问题研究是研究一个半径变化的圆与定圆相切，求题中参数变化的问题，这道题中同样要注意的是相切的两种情况，并且对于内切，要充分结合数形结合的思想，判断出两圆的半径大小关系。两题都有一定难度，处理时必须牢牢掌握知识，灵活运用。上完这堂课有几个值得反思的问题：1.设计思路。我在开始思考设计这个课题时，并不是很有把握。圆与圆的位置关系在教材中不如之前直线与圆位置关系的应用性广，有关它的题型受教学要求的局限，使教学设计增加了难度，但是运用已学的直线与圆的位置关系，用类比的方法去处理圆与圆的位置关系又是一个很好的材料，所以我采用了类比的思想，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法，这也比再次独立研究圆与圆位置关系大大地缩短了时间，为后面节省了时间，这种思路是否可行?2.时间把握。课前复习是有必要的，是为了学生类比旧知识，联想新知识，但复习旧知识的时间应该限定在三分钟以内，复习时间长会导致巩固练习的时间不足和问题展开不够充分。3.限时训练。限时训练的目的是为了让学生更有效率地做题，限定时间过长或是过短都不利于学生提高数学能力，这点还有待研究。4.在初中时，学生已经接触过圆与圆的位置关系，并且掌握得较好，所以理解几何方法水到渠成，容易理解，所花时间较少。北师大版教材中着重强调了几何方法，对代数方法(用方程的思想)没做要求，但代数方法是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，也是这节课学生自主探究的一部分，所以在课后引导学生探究代数方法，这样的编排是否可行?点评：(广东仲元中学谭曙光)本节课研究的是圆与圆的位置关系，从教学设计、教学实录与反思上可看出，本节课具有如下特点：1.能从学生的实际出发做好教学设计，教学任务完成好，目标达成度高，是一堂优秀的、能把信息技术与学科有机结合的课。2.从教材处理上看，抓住了这个课题在教材中的作用与地位，同时对北师大版教材进行了重新处理，在强调运用圆心到直线的距离与圆的半径的关系进行判断的同时，关注了方程思想的作用，充分体现了解析几何的精髓，为后续学习做了充分的铺垫；从教学目标的设置和达成度来看，设置了让学生经历、体验、探索等过程目标，目标明确具体，充分体现了新课程的理念；从教学内容看，选编的例习题典型得当，注重了数学思想方法的渗透，有层次性和挑战性，深深地吸引了学生学习，充分体现了新课程中让不同学生学习不同数学的思想，关注了学生的个性发展和特长，同时容量较为适中，突出了重点，解决了难点。3.从学生活动来看，学生的主体地位得到了较好的落实，学生自主学习、合作探究学习的时间和空间较为充分，特别注重了学生思维的质量，讲究学生参与课堂活动的效率；教学设计创意好，问题设置新颖，从学生反应来看，学习热情高，整节课学生反应积极主动，学习环境宽松、民主，师生交流充分，情感交融，效果极佳。4.作为一个新教师，较好地传承了仲元中学的优良教学传统，把问题教学、分层教学、自主学习、合作探究学习具有仲元教学特色的教学方式充分地加以运用；同时，个人的教学基本功也得到了充分的展示，从个人教学的反思可看出，“反思性教学”这种教研和培训形式反映了新课程实施以来，仲元中学在校本教研上的有效性和校本培训上的实效性，对新课程的实施和教师特别是新教师的成长具有非常重要的作用。附二：《圆与圆的位置关系》教学设计(一)教材分析
本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法，北师大版教材中着重强调了几何方法，对用方程的思想研究位置关系没做要求，但用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的常用方法，因此，我增加了用方程来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义。(二)学生分析本班学生初中基础较好，学习的自觉性和主动性较强，有一定的自主学习和探究学习能力，平时的学习养成了善于观察、分析和思考的习惯，同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线、圆的位置关系相似，学生对上节课内容掌握较好，从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍，因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆的位置关系来自主研究圆与圆的位置关系。(三)教学目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法，培养学生自主探究的能力。通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系，使学生体验几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质，同时培养学生分析问题、解决问题的能力，并进一步体会算法的思想。(四)教学重点、难点在判定两圆位置关系的方法及其应用。(五)教学方式教师引导下的学生自主探究。(六)教学软件：几何画板30、PowerPoint。(七)教学过程1.复习与引入（1）问题：1)圆心在C(0，3)，经过点P(3，-1)，求圆的方程。2)圆心在C(1，3)和直线y=x相切的圆的方程。3)（x-1)2+(y+2)2与4x-3y+5=0位置关系。学生完成后，师生共同得出下列结论：1)两点之间距离公式：2)点到直线的距离公式：3)圆的标准方程与一般方程：4)直线与圆的位置关系的判断方法：复习旧知识的目的，是以旧引新，提出新问题,创设问题情境，为下一步讲述“圆与圆的位置关系”做好准备。判断直线与圆的位置关系的方法是用解析几何的方法来处理平面几何问题。通过计算比较圆心到直线的距离与半径的比较来判断圆与直线的位置关系：1)当dr时，直线l与⊙O相离。(2)引入课题，引导学生用直线与圆位置关系的处理方法类比处理圆与圆的位置关系着重讲解直线与圆位置关系的判定方法，用类比的思想把已学方法用于新课题的研究。2.新课讲授1.动态显示：圆与圆之间的运动，回顾圆与圆五种位置关系。1)提问：圆与圆又有哪些位置关系呢?怎样来判断呢?(学生自主探究。)(学生回答，老师补充。)如果⊙A的半径为r１，⊙B的半径为r2，两圆心的圆心距为d，d=｜AB｜=(xA-xB)2+(yA-yB)2,那么①当d>r1+r2时，⊙A与⊙B相离；②当d=r1+r2时，⊙A与⊙B外切；
③当｜r1-r2｜＜d＜r1+r2时,⊙A与⊙B相交；④当d＜｜r1-r2｜时，⊙A与⊙B内含；⑤当d=｜r1-r2｜时，⊙A与⊙B内切。总结：我们把这种通过比较圆心距与半径和、差之间来判断圆与圆位置关系的方法叫做几何方法。归纳小结“圆与圆的位置关系”。2)请学生总结判断圆与圆的位置关系的步骤。学生回答，老师补充，得出算法框图。渗透算法的思想，使得学生解题思路清楚。3.巩固习题例一：判断两圆位置关系(限时训练)(1)C1：(x+2)2+(y-2)2=13；C2：(x-4)2+(y+2)2=13(2)C1：x2+y2-9；C2：(x-2)+y2=1(3)C1：x2+y2+2x-6y-26=0；C2：x2+y2-4x+2y-4=0学生完成后，师生共同小结，按照算法的思路解题。算法第一步求两圆心坐标与半径，可根据标准方程得到圆心坐标与半径，也可用一般方程的公式来计算。之后依据算法步骤进行，判断两圆位置关系。4.探究及时巩固，强化记忆。对几种位置关系熟练掌握。C1：x2+y2-2x+10y-24=0，C2：x2+y2+2x+2y-8=0两圆相交，你能求出交点吗?请回顾直线与圆相交时是怎样求交点的?仿照求出。学生完成后，在此基础上，师生共同分析得出用方程的思想判断两圆位置关系的步骤：(1)把两个圆的方程联立方程组；(2)两式相减消去二次项；(3)将所得y代入一个圆的方程得到一个一元二次方程；(4)求一元二次方程的Δ，通过Δ来判断两圆位置关系。5.由学生总结比较两种方法的优缺点几何方法：直观，容易理解，但不能求出交点坐标。方程思想：(1)只能判断交点，并不能准确地判断位置关系(有一个交点时不能判断是内切还是外切，无交点时不能判断是内含还是外离)。(2)优点是可以求出公共点。再次类比直线与圆研究的代数方法，与所学旧知识的联系、区别。引导学生思考判别式的三种情况和位置关系的五种情况相比较，得出代数方法的不足。6.问题探究问题1：求半径为32，且与圆C：x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。引导学生分析得出如下结果：(1)此题关键在于求出圆心坐标，两圆相切时两圆圆心与切点在一条直线上，由此设圆心坐标为(a,a)。(2)由两圆相切分为内切和外切，用几何方法求解。问题2：若圆C1：x2+y2-6x+8y-m2+25=0(m>0)与C2：x2+y2+4x+2y-20=0相切，求实数m的取值范围。引导学生分析：
(1)注意相切的两种情况。(2)能用图形解题，数形结合，巧妙化绝对值。由浅入深，面向全体学生。引导思考，突出例题分析。小结：本课主要学习了圆与圆的位置关系及其判断方法。(1)几何方法。用几何画板动态展示与小结归纳：如果⊙A的半径为r1，⊙B的半径为r２，两圆心的圆心距为d，当d=｜AB｜=（xA-xB)2+(yA-yB)2,那么1)当d>r1+r2时，⊙A与B相离；2)当d=r1+r2时，⊙A与B外切；3)当｜r1-r2｜＜d＜r1+r2时，⊙A与⊙B相交；4)当｜d0)和C2：x2+y2+4x+2y-20=0相切，求实数m的值。(2)教材P104B组T4，P117A组T15。小结：对整堂课的知识要点进行梳理，注意知识的系统性。（广东仲元中学张婷）Ⅱ.案例实记第三部分高中数学新课程课例实录实记高中数学优秀教学设计与案例一、函数建模与应用(实记)［上课］师：最近，我听说同学们对身高和体重这类的话题很感兴趣，并为此开展了一些课外活动，下面还是请刘鑫同学来到前面说一说。生：同学们好，我手上拿的是我们在高一级学生中采集的有关身高、体重的数据。由于时间紧，我们仅对其中几类数据进行了统计。前天学校对我们进行了体检，据我所知，很多人对自己的身高、体重非常地没有信心，对自己的身体是否标准也抱有怀疑的态度。相信大家一定很想知道答案，别着急，这节课我们将在数学老师的帮助下，很快你就会知道答案。师：身高和体重是反映一个人体质状况的两个重要指标。同学们关心自己的体重是否在正常范围之内，身体是偏瘦还是偏胖，这样的问题可以用数学中函数建模的知识来回答。今天我们就进一步来学习函数的建模与应用。（教师板书课题：函数建模与应用。）(教师把学生采集的数据抄写在黑板上，以方便学生使用。)男生身高/cm155160165170175180185体重/kg4476470150155403581964169女生身高/cm150155160165170175体重/kg43184464605482450455362师：从黑板上的数据中同学们能直观地发现身高与体重之间存在着怎样的关系？
生：身高随体重的增加而增大。师：我们知道一个变量随着另一个变量的递增方式有多种，有呈直线递增的，有呈二次函数上升的，也有呈指数爆炸的，还有呈对数增加的。（教师同时用多媒体展示这四种函数的图象。）几类不同增长的函数模型师：根据黑板上身高与体重的数据并结合四种增长方式，我们猜测可能选择哪种数学模型呢？生：可能选择指数函数，也可能选择二次函数，还可能选择对数函数。师：那么，我们如何直观推断所列数据符合哪一种函数模型呢?生：画散点图。师：同学们回答得很对！下面就请你们以身高为横坐标、体重为纵坐标，画出散点图。(学生在练习本上画散点图，两名学生到前面在电脑上用《几何画板》画散点图，展示给其他学生看。)师：通过画散点图，观察散点的分布特点以及与前面四类函数图象的对照，我们应该选择怎样的函数模型呢？(学生通过对散点图的分析及以往的经验，多数学生选择指数型函数，也有的学生会选择二次函数。)师：二次函数我们不妨考虑用y=ax2这个函数模型来模拟。师：那么怎样求函数模型的解析式呢？生：（学生很快回答）代入已知数据。师：黑板上的数据很多，我们究竟代哪几组数据更好呢？从统计来的数据上看，男生的身高大部分集中在165cm，170cm，175cm；女同学的身高大部分集中在155cm，160cm，165cm；因此我们代入这几组数据，得到的函数模型会更接近实际情况。(男生用计算器计算得出二次函数模型为y=00019x2；女生用计算器计算得出二次函数模型为y=00018x2。)师：同学们得到的二次函数模型能否较好地模拟黑板上这些数据呢？我们可以怎样去检验呢？生：有两种方法，一种是代入数据验证，另一种方法是画函数模型的图象，观察图象与数据的拟合程度。师：下面请两个同学到前面来用电脑画出这两个函数模型的图象。(一个男生和一个女生分别来用电脑作图，下面的同学观看。)师：同学们观察一下这两个图象和散点拟合得如何？生：不算好。师：那么我们就来选择函数y=abx，看一看这个函数能拟合得怎么样吧。限定对字母a和b的精确度：a保留三位有效数字，b保留四位有效数字。(学生用计算器计算，男生选择（170，54，03），（175，58，19）数据代入求得和y=430×1015x；女生选择（160，4605），（165，4824）数据代入求得和y=110×1009x。)师：看看指数函数与二次函数比较哪一个函数模型拟合得更好？生：指数函数比二次函数拟合得好多了。师：通过前面的画散点图、选择函数模型、求函数模型、检验，我们终于得到了所要寻找的函数模型，通过这个函数模型，我们就可以解释大家所关心的问题了。为此同学通过函数模型先来算出和自己身高相同的体重平均值。(学生用计算器计算和自己身高相同的体重平均值。)师：现在你们就可以马上知道自己所关心的问题的答案了，如果体重超过相同身高的平均值的12倍为偏胖，低于08倍为偏瘦。判断一下自己的体重是在正常范围之内，还是偏瘦或是偏胖呢?偏瘦正常偏胖＜08倍08倍～12倍＞12倍(学生迫不急待地想知道结果，利用计算器会很快得到令他（她）们当中绝大部分学生满意的答案。)师：下面先请刘鑫同学对同学们的活动做个小结。生：相信大家在
老师的帮助下已经得出了答案。那么，希望大家能通过这节课的学习，在以后的日子里不要盲目地减肥或增重，因为身体健康才是最重要的。师：今天，同学们通过对体重与身高之间的关系这一问题的探究，得出通过收集数据，建立函数模型，解释实际问题的基本过程：我们先把实际问题数量化，再收集数据，那么怎样对数据进行处理呢？其中一种较好的处理方式就是画散点图，画散点图主要是为了直观地观察散点的分布特点、变化趋势，从而我们就可以选择适当的函数模型，通过代入数据求得模型；那么，所求得的函数模型能否较好地拟合已知数据呢？为此，我们可以利用电脑画出函数模型的图象进行检验，如果拟合得不好，我们就重新选择函数模型；如果拟合得较好，我们就可以用这个函数模型来解释实际问题。（教师同时用电脑展示通过函数建模解释实际问题的流程图。）师：下面布置作业：（1）教材P128第二题。（2）实习作业：在街上经常会发现能够测量身高和体重的电子秤。周末去实地调查一下，与你相同身高的体重正常值的范围。这节课同学们做得很好！（东莞实验中学隋传胜）二、指数函数增减的快慢师：前面，我们已经学习了指数函数的概念、图象和性质，下面请同学们一起完成这张表：指数函数a>100时，y1x<0时，y1x<0时，y1x>0时，y1(学生看图回答；教师引导学生读图）师：（教师小结）刚才我们通过一张表格简要复习了指数函数的基本知识，而且从表中我们可以发现：当我们研究指数函数的性质时，它的定义域、值域以及过定点的情况与底数a无关，而单调性却受到a的影响：a>1时，函数在R上递增；00时，总有2x3x。（3）你能将上述结论推广到一般情形吗？（学生用画板作图，并思考上述问题。）
（教师巡视学生作图情况，给予指导。）师：刚才看到同学们都能较熟练地操作几何画板，作出函数图象。现在，把你们的成果和老师画的对照一下，我们一起完成上面提出的三个问题。（教师指着图象提问）：从图象上我们可以看出哪一个指数函数增长较快呢？生：y=3x。师：很好！这是从整体上比较了两个指数函数的增长快慢，如果缩小到局部，当自变量x取同一数值时，你能比较对应函数的大小吗？生1：可以！师：好，现在请郭建宏同学到讲台上给大家讲讲，他是怎样比较的？（学生讲解，教师归纳总结：分三种情况：x<0，x=0，x>0，分别比较函数值的大小。）师：同学们能将上述结论推广到一般情形吗？对于两个都是递增的指数函数y=ax与y=bx且a>b>1，你能画出草图并比较它们增长的快慢吗？请同学们拿出稿纸，画一画。（点一位同学到黑板上做。）(做完后，教师请这位同学讲解哪一个指数函数增长较快，从中发现了什么规律。注意引导学生完整、准确地说出结论：指数函数的底数越大，其函数值增长就越快。）师：刚才我们研究了两个递增的指数函数增长快慢的规律，对于递减的情形我们可以用类似的方法进行研究。下面，我们进入实践二。请同学们用几何画板作出指数函数y=02x与y=03x的图象，并比较它们减小的快慢以及规律。（让学生动手操作，在操作中寻找和发现规律！）师：上面的结论都是从具体例子中归纳概括的，要将其推广到一般情形还须进一步地论证。但我们今天主要是从直观的图象变化上找规律，利用几种画板的动画演示来验证我们所得出的结论。师：请同学们拖动滑块参数a，改变它的大小，观察图象怎样变化，你从中发现了哪些规律？下面呢，我们以小组为单位展开讨论，每三位同学一组，相互交流一下你们各自的看法。（学生探索、交流，教师巡视，了解情况。）师：刚才有一些小组的同学向我阐述了他们的见解，大家的观察都很仔细，讨论也很激烈！下面就请第一小组的廖丽智同学上来讲讲她们小组的发现！（学生上讲台演示，操作，并讲解。）生2：（一边演示，一边讲解）我们发现，当a>1时，函数是递增的，并且a越大，图象越陡；而当01时，底数越大，图象在第一象限部分越接近y轴；
0<0<1时，底数越小，图象在第二象限部分越接近y轴；a=1时，图象与直线y=1重合。师：好，理论学完了，规律找到了，下面就来检验检验大家的掌握情况！看同学们的理论能否经得住实践的检验！例1：在同一坐标系中画图比较下列指数增减的快慢：y=01x；y=05x；y=15x；y=4x（学生在下面完成，教师巡视，将一位同学做的结果投影出来。）师：我们一起看看这位同学的作图，大家判别一下，正确吗？生4：不对！师：错在哪里？生4：y=01x与y=05x弄反了！应该是y=01x减小更快。师：很好！群众的眼睛是雪亮的！这位同学犯的错误应该让我们其他同学引以为戒！对于我们刚才总结的规律一定要理解好，掌握牢，并能熟练、灵活地运用！生5：老师，我还发现了一个规律！师：说说你的发现！生5：这四个指数函数的图象在第一象限里，从上往下，底数依次减小！师：我们仔细看看是这样的吗?(全班同学回答:是!)师：非常好！崔纯德同学的确眼光独到！观察细致！师：刚才崔纯德同学发现了图象在第一象限底数的大小变化，我们能否将他的结论补充完整，在第二象限内底数的大小从上往下依次是怎样呢？(师生一起观察图形，得出口诀：）在第一象限，底数上大下小；在第二象限，底数上小下大。例2：如图所示是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象。比较a、b、c、d与l的大小关系。（学生一起回答！）师：利用上面的口诀做这道题更快！师：通过例1和例2，你对指数函数增减快慢的规律以及数形的相互转换理解透彻了吗？生：（笑着回答）掌握好了！（教师总结：例1中是知道函数的表达式，需要我们作出相应的图象；而例2中则是给出函数的图象，比较底数的大小。这就从正反两个方面考察我们的知识！只有熟练地掌握了指数函数增减快慢的规律，我们才能游刃有余，准确无误！)例3：比较下列各组数的大小。23253234-312-38－５7－５08５07５师：这道题你能想出什么方法吗？生6：用计算器！师：可以！有机器当然可以为我所用！还有其他方法吗？生7：利用单调性！师：可是没有函数哪有单调性呢？生8：比如第一个，我们可以构造y=2x与y=5x，通过比较它们增长的快慢，从而可以比较这2个数的大小！
师：很好！大家能够学以致用！那么，除了构造指数函数，我们还可以构造其他函数吗？生9：幂函数！师：什么样的幂函数？生9：比如第一个，令y=x32，再利用幂函数的单调性！师：不错！可以联系前面的知识灵活迁移！师：下面，就按大家的方案，我们分三组，分别用三种方法解答这道题，看看谁的速度最快！是机器厉害还是我们的人脑厉害！（学生动手计算，教师巡视。）（最后，投影学生的答案，师生共同判别。）（教师总结。）师：今天，我们在网络课堂上了一节实验课！其实，我们的数学也可以走出纯理论，像物理、化学一样在做实验中去探索，寻找真理！）'
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