概率与数理统计_习题集(含答案).doc 15页

'《概率与数理统计》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。一、计算题11.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。(1)A出现，B、C不出现；(2)A、B都出现，而C不出现；(3)所有三个事件都出现；(4)三个事件中至少一个出现；(5)三个事件中至少两个出现。2.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件：（1）AB；（2）A+B；（3）；（4）A-B；（5）3.写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；（2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C中不多于一个发生。5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）至少有一人命中目标（2）恰有一人命中目标第15页共15页 （3）恰有二人命中目标（4）最多有一人命中目标（5）三人均命中目标6.袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8.某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。9.同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10.一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。11.设连续型随机变量X的分布函数为求（1）系数A及B；（2）X的概率密度；（3）X的取值落在（1，2）内的概率。12.假设X是连续随机变量，其密度函数为求：（1）c的值；（2）13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，求常数Ａ，Ｂ，Ｃ．14.设随机变量X的分布函数为求；（2）求概率密度15.设随机变量的概率密度为第15页共15页 16.设随机变量X的概率密度为，求E(X)，D(X)。17.设X的概率密度为，试求|X|的数学期望。18.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为（λ>0），求为了发现沉船所需的平均搜索时间。19.设Ｘ服从参数为的指数分布，即Ｘ有密度函数　　　　　　　　求：。20.称为对随机变量X的标准化随机变量，求。二、计算题221.已知X~B(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。22.设总体X在[a,b]上服从均匀分布，试求参数a,b的矩法估计量。23.设的样本，求的最大似然估计。24.设有一批产品。为估计其废品率p，随机取一样本X1，X2，…，Xn，其中第15页共15页 （i=1,2,…,n）则是p的一致无偏估计量。25.设总体的均值及方差都存在，且有。但，均未知。又设是来自的样本。试求，的矩估计量。26.某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200（小时2）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）?概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949χ2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布第15页共15页 27.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：1、同一时刻有8100户以上用电的概率；2、若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949χ2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布第15页共15页 28.某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，μ,σ2均未知，现测得16只元件，其样本均值为，样本标准方差为S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？T分布表Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.9932第15页共15页 2.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布答案一、计算题11.解：（1）；（2）；（3）ABC；（4）A+B+C；（5）AB+BC+CA（每个3分）2.解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；（3）={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）3.解：（1）{（HH）（HT）（TH）（TT）}（2）{4，5，6，…}（3）{(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)}其中：1为一号球，2为二号球（每个5分）4.解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为。（2）同理，该事件可表示为ABC。（3）（每小题5分）5.解：（1）（2）（3）(4)(5)（每小题3分）第15页共15页 解：基本事件的总数；基本事件数。故所求的概率7.解：任取一零件，设B1，B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。（4分）则，，（10分）由全概率公式得（15分）8.解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。由于电话号码的前两个数字为24，后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A有利事件的数目为105。（6分）于是（15分）9.解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i，j），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以重复，故基本事件的总数为62。（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的基本事件数等于所有i≠j排列方式的数目，即从1，2，3，4，5，6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数A62，所以（15分）10.解：记、，要求。（2分）已知，因此（8分）（15分）11.解：第15页共15页 （1）由于，所以有。又由于X为连续型随机变量，应为的连续函数，应有所以A+B=0，B=-A=-1，代入A、B之值得（5分）（2）对函数求导得的概率密度为（10分）（3）由式有（15分）12.解：（1）因为是一密度函数，所以必须满足，于是有（5分）解得（10分）（2）（15分）13.解：由分布函数的性质得：（４分）（８分）第15页共15页 （１２分）由此可解得。（１５分）14.解：（1）（3分）（6分）（9分）（2）（15分）15.解：因概率密度在处等于零，即知当时，（3分）当时，（8分）当时，（12分）故所求分布函数是（15分）第15页共15页 16.解：（7分）（15分）17.解：令Y=|X|，所以：（15分）18.解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知（t>0）（5分）故X的概率密度为，可见X服从参数为λ的指数分布，因此E(X)=1/λ,即发现沉船所需要的平均搜索时间为1/λ。（15分）19.解：（7分）　　　（15分）20.解：；二、计算题221.解：因为E(X)=np，D(X)=np(1-p)第15页共15页 ，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知有：，（10分）可解得：，（20分）22.解：因为，，而，（10分）所以可建立方程：（20分）解得：，，这就是参数a,b的矩法估计值。23.解：Ｘ的密度函数为，故似然函数为（2分）　　　（6分）　　对数似然函数为：　　　（10分）似然方程为（14分）（18分）第15页共15页 解得：，可以验证使似然函数达到最大。（20分）24.解：由题设条件（2分）（4分）（6分）由定义知是p的无偏估计量，又（10分）由契比雪夫不等式，任给ε>0，所以：（17分）故是废品率p的一致估计量。从而，是废品率p的一致无偏估计量。（20分）25.解：（7分）解得（14分）分别以代替，得的矩估计量分别为（20分）第15页共15页 26.解：本问题要求在水平0.02下，检验假设H0：σ2=5000（H1：σ2≠5000）（4分）因为，（8分）（12分）而（18分）由于所以接受H0，即认为在0.02水平下这批电池的波动性较以往的并无显著的变化。（20分）27.解：（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Yn~B(10000,0.8)，（2分）于是np=10000X0.8=8000，（6分）所以概率为（10分）(2)若每户用电功率为100W，则Yn户用是功率为100YnW，设电站供电功率为QW，则按题意有（12分）查正态分布表得φ(1.96)=0.975，所以，解得Q=807840所以，电站供电功率应不少于807.84kW.（20分）28.解：按题意需检验H0：μ≤μ0=225，H1：μ>225，取a=0.05，由于此检验的拒绝域为，可查表得：ta(n-1)=t0.05(15)=1.7531（8分）第15页共15页 所以，由于落在拒绝域外（接受域内），故接受H0，即认为元件的平均寿命不大于225小时。（20分）29.解：σ2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。（2分）检验假设H0：μ=μ0=4.55计算统计量的值（8分）（14分）U检验法，查附表，a=0.05，有所以Za/2=1.96比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85>Za/2=1.96故u落入否定域。在a=0.05下，拒绝H0。认为含碳量比原来有显著变化。（20分）30.解：σ2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。（2分）检验假设H0：μ=μ0=4.55（4分）计算统计量的值（8分）（12分）U检验法，查附表，a=0.05，有（16分）所以Za/2=1.96（18分）比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85>Za/2=1.96故u落入否定域。在a=0.05下，拒绝H0。认为含碳量比原来有显著变化。（20分）第15页共15页'