0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(01}=P{}=0,P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}.故得X与Y的联合概率分布为.(2)因,而X+Y及(X+Y)2的概率分布相应为,.从而
所以31.设随机变量X的概率密度为f(x)=,(-∞105}≈0.3485.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少?【解】设100根中有X根短于3m,则X~B(100,0.2)从而6.某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言.(1)
若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少?(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少?【解】令(1)X~B(100,0.8),(2)X~B(100,0.7),7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中,任取1000件,其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X,则p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05),E(X)=50,D(X)=47.5.故8.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1,…,T30服从参数λ=0.1[单位:(小时)-1]的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,以此类推.令T为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率.【解】故
9.上题中的电子器件若每件为a元,那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用(假定一年有306个工作日,每个工作日为8小时).【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10,D(Ti)=100,E(T)=10n,D(T)=100n.从而即故所以需272a元.10.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率?(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】(1)以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E(Xi=1.1),D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心极限定理得于是(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得11.设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率?【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则X~B(10000,0.515)要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求P{X≤5000}.由中心极限定理有
12.设有1000个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计,在一次行动中:(1)至少有多少个人能够进入?(2)至多有多少人能够进入?【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体(i=1,2,…,1000).令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)设至少有m人能够进入掩蔽体,要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95,事件由中心极限定理知:从而故所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)设至多有M人能进入掩蔽体,要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.13.在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求:(1)保险公司没有利润的概率为多大;(2)保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大?【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数,则X~B(10000,0.006).(1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为
(2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为14.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.(2001研考)【解】令Z=X-Y,有所以15.某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布;(2)利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.(1988研考)【解】(1)X可看作100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2,因此,X~B(100,0.2),故X的概率分布是(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理,得16.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设Xi(i=1,2,…,n)是装运i箱的重量(单位:千克),n为所求的箱数,由条件知,可把X1,X2,…,Xn视为独立同分布的随机变量,而n
箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和,由条件知:依中心极限定理,当n较大时,,故箱数n取决于条件因此可从解出n<98.0199,即最多可装98箱.习题六1.设总体X~N(60,152),从总体X中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】μ=60,σ2=152,n=100即2.从正态总体N(4.2,52)中抽取容量为n的样本,若要求其样本均值位于区间(2.2,6.2)内的概率不小于0.95,则样本容量n至少取多大?【解】则Φ(0.4)=0.975,故0.4>1.96,
即n>24.01,所以n至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,σ2)(单位:小时),随机抽取一容量为9的样本,并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误,事后失去了此试验的结果,只记得样本方差为S2=1002,试求P(>1062).【解】μ=1000,n=9,S2=10024.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差.【解】,由P(|-μ|>4)=0.02得P|Z|>4(σ/n)=0.02,故,即查表得所以5.设总体X~N(μ,16),X1,X2,…,X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本,S2为其样本方差,且P(S2>a)=0.1,求a之值.【解】查表得所以6.设总体X服从标准正态分布,X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量Y=,n>5服从何种分布?
【解】且与相互独立.所以7.求总体X~N(20,3)的容量分别为10,15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.【解】令的容量为10的样本均值,为容量为15的样本均值,则~N(20,310),~N(20,),且与相互独立.则那么所以8.设总体X~N(0,σ2),X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=服从分布,参数为.【解】i=1,2,…,15.那么且与相互独立,所以所以Y~F分布,参数为(10,5).9.设总体X~N(μ1,σ2),总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,和Y1,Y2,…,
分别来自总体X和Y的简单随机样本,则=.【解】令则又那么10.设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X2n(n≥2)是总体X的一个样本,,令Y=,求E(Y).【解】令Zi=Xi+Xn+i,i=1,2,…,n.则Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.令则故那么
所以11.设总体X的概率密度为f(x)=(-∞0),那么时,L=L(θ)最大,所以θ的极大似然估计值=0.9.因为E()=E()≠θ,所以=不是θ的无偏计.6.设X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,=k,问k为何值时为σ2的无偏估计.【解】令i=1,2,…,n-1,则于是
那么当,即时,有7.设X1,X2是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样本试证都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差.【证明】(1),所以均是μ的无偏估计量.(2)8.某车间生产的螺钉,其直径X~N(μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm)如下:14.715.014.814.915.115.2试求μ的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,,μ的置信度为0.95的置信区间为.9.总体X~N(μ,σ2),σ2已知,问需抽取容量n多大的样本,才能使μ的置信概率为1-α,且置信区间的长度不大于L?【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为,
于是置信区间长度为,那么由≤L,得n≥10.设某种砖头的抗压强度X~N(μ,σ2),今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg·cm-2):64694992559741848899846610098727487844881(1)求μ的置信概率为0.95的置信区间.(2)求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】(1)μ的置信度为0.95的置信区间(2)的置信度为0.95的置信区间11.设总体X~f(x)=X1,X2,…,Xn是X的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)又故所以θ的矩估计量(2)似然函数
.取对数所以θ的极大似然估计量为12.设总体X~f(x)=X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本(1)求θ的矩估计量;(2)求.【解】(1)令所以θ的矩估计量(2),又于是,所以
13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,θ)=其中θ(θ>0)为未知参数,又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值,求θ的极大似然估计值.【解】似然函数由那么当所以θ的极大似然估计量14.设总体X的概率分布为X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ(0<θ<)是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】所以θ的矩估计值(2)似然函数解得.
由于所以θ的极大似然估计值为.15.设总体X的分布函数为F(x,β)=其中未知参数β>1,α>0,设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本(1)当α=1时,求β的矩估计量;(2)当α=1时,求β的极大似然估计量;(3)当β=2时,求α的极大似然估计量.【解】当α=1时,当β=2时,(1)令,于是所以的矩估计量(2)似然函数
所以的极大似然估计量(3)似然函数显然那么当时,,所以的极大似然估计量.16.从正态总体X~N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问n至少应取多大?z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,则于是则,∴n≥35.17.设总体X的概率密度为f(x,θ)=其中θ是未知参数(0<θ<1),X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N
为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求:(1)θ的矩估计;(2)θ的最大似然估计.解(1)由于.令,解得,所以参数的矩估计为.(2)似然函数为,取对数,得两边对求导,得令得,所以的最大似然估计为.18.19.习题八1.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为4.284.404.424.354.37问若标准差不改变,总体平均值有无显著性变化(=0.05)?【解】
所以拒绝H0,认为总体平均值有显著性变化.2.某种矿砂的5个样品中的含镍量(%)经测定为:3.243.263.243.273.25设含镍量服从正态分布,问在=0.01下能否接收假设:这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设所以接受H0,认为这批矿砂的含镍量为3.25.3.在正常状态下,某种牌子的香烟一支平均1.1克,若从这种香烟堆中任取36支作为样本;测得样本均值为1.008(克),样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟(支)的重量(克)近似服从正态分布(取=0.05).【解】设所以接受H0,认为这堆香烟(支)的重要(克)正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时,标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池,得到它们的寿命(以小时计)为19,18,20,22,16,25,问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短?设电池寿命近似地服从正态分布(取=0.05).【解】所以接受H0,认为电池的寿命不比该公司宣称的短.
5.测量某种溶液中的水分,从它的10个测定值得出=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态,μ为总体均值,σ为总体标准差,试在水平=0.05下检验.(1)H0:μ=0.5(%);H1:μ<0.5(%).(2)=0.04(%);<0.04(%).【解】(1)所以拒绝H0,接受H1.(2)所以接受H0,拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N(μ,).今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得s=0.008欧.对于=0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】故应拒绝H0,不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本:n1=200,=0.532kg,s1=0.218kg;第二批棉纱样本:n2=200,=0.57kg,s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布,方差未知但相等,两批强度均值有无显著差异?(=0.05)【解】
所以接受H0,认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A,B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析,得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A,B所得的测定值的总体都是正态分布,其方差分别为σA2,σB2,试在水平=0.05下检验方差齐性的假设【解】那么所以接受H0,拒绝H1.9.10.11.12.习题九1灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝,检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布,不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同,试根据表中试验结果记录,在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异?试验批号12345678灯丝材料A1A2160015801610164016501640168017001700175017201800
水平A3A414601510155015201600153016201570164016001660168017401820【解】=69895900-69700188.46=195711.54,=69744549.2-69700188.46=44360.7,=151350.8,,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.表9-1-1方差分析表方差来源平方和S自由度均方和F值因素影响44360.7314786.92.15误差151350.8226879.59总和195711.54252.一个年级有三个小班,他们进行了一次数学考试,现从各个班级随机地抽取了一些学生,记录其成绩如下:ⅠⅡⅢ73668877684189607831795982454878566843939162915380365176717973778596711574808756试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布,且方差相等.【解】
=199462-185776.9=13685.1,=186112.25-185776.9=335.35,=13349.65,故各班平均分数无显著差异.表9-2-1方差分析表方差来源平方和S自由度均方和F值因素影响335.352167.680.465误差13349.6537360.80总和13685393.下面记录了3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量.操作工机器甲乙丙A1151517191916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A4182022151617171717取显著性水平α=0.05,试分析操作工之间,机器之间以及两者交互作用有无显著差异?【解】由已知r=4,s=3,t=3.的计算如表9-3-1.表9-3-1Tij机器工作操甲乙丙475455156514563159
485154153604851159206198223627表9-3-2得方差分析表方差来源平方和S自由度均方和F值因素A(机器)2.7530.92=053因素B(操作工)27.17213.58=7.89交互作用A×B73.50612.25=7.12误差4.33241.72总和1094.75接受假设,拒绝假设.即机器之间无显著差异,操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4.为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异,对3种不同品种的猪各选3头进行试验,分别测得其3个月间体重增加量如下表所示,取显著性水平=0.05,试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响?假定其体重增长量服从正态分布,且各种配比的方差相等.体重增长量因素B(品种)B1B2B3因素A(饲料)A1A2A3515352565758454947
【解】由已知r=s=3,经计算=52,=50.66,=53=52.34,=52,=57,=47,表9-4-1得方差分析表方差来源平方和S自由度均方和F值饮料作用8.6824.345.23品种作用15027590.36试验误差3.3240.83总和162由于因而接受假设,拒绝假设.即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能(油体膨胀绝对值越小越好)需要考察补强剂(A)、防老剂(B)、硫化系统(C)3个因素(各取3个水平),根据专业理论经验,交互作用全忽略,根据选用L9(34)表作9次试验及试验结果见下表:表头设计试验列号试验号1234结果1234567891111122213332123223123123132321333217.255.485.355.404.425.904.685.905.63(1)试作最优生产条件的直观分析,并对3因素排出主次关系.(2)给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.【解】(1)对试验结果进行极差计算,得表9-5-1.表9-5-1
18.0817.3319.0517.30T=50.0115.7215.8016.5116.0616.2116.8814.4516.652.361.534.461.24由于要求油体膨胀越小越好,所以从表9-5-1的极差Rj的大小顺序排出因素的主次顺序为:主→次B,A,C最优工艺条件为:.(2)利用表9-5-1的结果及公式,得表9-5-2.表9-5-2A1B2C341.0340.4123.5390.256表9-5-2中第4列为空列,因此,其中,所以=0.128方差分析表如表9-5-3.表9-5-3方差来源显著性A1.03420.5174.039B0.41220.2061.609C3.53921.76913.828e0.25620.128由于,故因素C作用较显著,A次之,B较次,但由于要求油体膨胀越小越好,所以主次顺序为:BAC,这与前面极差分析的结果是一致的.6.某农科站进行早稻品种试验(产量越高越好),需考察品种(A),施氮肥量(B),氮、磷、钾肥比例(C),插植规格(D)4个因素,根据专业理论和经验,交互作用全忽略,早稻试验方案及结果分析见下表:因素试验号A品种B施氮肥量C氮、磷、钾肥比例D插植规格试验指标产量1231(科6号)12(科5号)1(20)2(25)11(2∶2∶1)2(3∶2∶3)11(5×6)2(6×6)219.020.021.9
4567821(科7号)12(珍珠矮)221212221211122122.321.021.018.018.2(1)试作出最优生产条件的直观分析,并对4因素排出主次关系.(2)给定α=0.05,作方差分析,与(1)比较.【解】被考察因素有4个:A,B,C,D每个因素有两个水平,所以选用正交表L8(27),进行极差计算可得表9-6-1.表9-6-1列号水平试验号1A23B4C5D67试验结果1111111119.02111222220.03122112221.94122221122.35212121221.06212212121.07221122118.08221211218.2T1j83.281.075.279.980.180.580.3T=161.4T2j78.280.486.281.581.380.981.1Rj5.00.611.01.61.20.40.8从表9-6-1的极差Rj的大小顺序排出因素的主次为:最优方案为:(2)利用表9-6-1的结果及公式得表9-6-2.表9-6-21A23B4C5D673.1250.04515.1250.3200.1800.0200.080表9-6-2中第1,3,7列为空列,因此se=s1+s3+s7=18.330,fe=3,所以=6.110.而在上表中其他列中.故将所有次均并入误差,可得
整理得方差分析表为表9-6-3.表9-6-3方差来源显著性A0.04510.0450.017B0.32010.3200.119C0.18010.1800.067D0.02010.0200.007e18.33036.11018.89572.699由于,故4因素的影响均不显著,但依顺序为:与(1)中极差分析结果一致.习题十1.在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中,测得在不同温度x(℃)下,溶解于100份水中的硝酸钠份数y的数据如下,试求y关于x的线性回归方程.xi0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1【解】经计算得,故从而回归方程:2.测量了9对父子的身高,所得数据如下(单位:英寸).父亲身高xi606264666768707274儿子身高yi63.665.26666.967.167.468.370.170求(1)儿子身高y关于父亲身高x的回归方程.
(2)取α=0.05,检验儿子的身高y与父亲身高x之间的线性相关关系是否显著.(3)若父亲身高70英寸,求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间.【解】经计算得,故回归方程:故拒绝H0,即两变量的线性相关关系是显著的.从而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为(68.5474±0.9540)=(67.5934,69.5014).3.随机抽取了10个家庭,调查了他们的家庭月收入x(单位:百元)和月支出y(单位:百元),记录于下表:x20152025162018192216y18141720141917182013求:(1)在直角坐标系下作x与y的散点图,判断y与x是否存在线性关系.(2)求y与x的一元线性回归方程.(3)对所得的回归方程作显著性检验.(α=0.025)
【解】(1)散点图如右,从图看出,y与x之间具有线性相关关系.(2)经计算可得从而回归方程:题3图故拒绝H0,即两变量的线性相关关系是显著的.4.设y为树干的体积,x1为离地面一定高度的树干直径,x2为树干高度,一共测量了31棵树,数据列于下表,作出y对x1,x2的二元线性回归方程,以便能用简单分法从x1和x2估计一棵树的体积,进而估计一片森林的木材储量.x1(直径)x2(高)y(体积)x1(直径)x2(高)y(体积)8.37010.312.98533.88.66510.313.38627.48.86310.213.77125.710.57210.413.86424.910.78116.814.07834.510.88318.814.28031.711.06619.715.57436.311.07515.616.07238.311.18018.216.37742.611.27522.617.38155.411.37919.917.58255.711.47624.217.98058.311.47621.018.080
51.511.76921.418.08051.012.07521.320.68777.012.97419.1【解】根据表中数据,得正规方程组解之得,b0=-54.5041,b1=4.8424,b2=0.2631.故回归方程:=-54.5041+4.8424x1+0.2631x2.5.一家从事市场研究的公司,希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量,两个独立变量,即总零售额和人口密度被选作自变量.由n=25个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下,求日报周末发行量y关于总零售额x1和人口密度x2的线性回归方程.居民区日报周末发行量yi(×104份)总零售额xi1(105元)人口密度xi2(×0.001m2)13.021.747.823.324.151.334.737.476.843.929.466.253.222.651.964.132.065.373.626.457.484.331.666.894.735.576.4103.525.153.0114.030.866.9123.525.855.9134.030.366.5143.022.245.3154.535.773.6164.130.965.1174.835.575.2183.424.254.6194.333.468.7204.030.064.8214.635.174.7223.929.462.7234.332.567.6
243.124.051.3254.433.970.8【解】类似于习题4,可得正规方程组解之得,b0=0.3822,b1=0.0678,b2=0.0244.故回归方程:=0.3822+0.0678x1+0.0244x2.6.一种合金在某种添加剂的不同浓度之下,各做3次试验,得数据如下:浓度x10.015.020.025.030.0抗压强度y25.229.831.231.729.427.331.132.630.130.828.727.829.732.332.8(1)作散点图.(2)以模型y=b0+b1x1+b2x2+ε,ε~N(0,σ2)拟合数据,其中b0,b1,b2,σ2与x无关,求回归方程=+x+x2.【解】(1)散点图如下图.题6图(2)令x1=x,x2=x2,根据表中数据可得下表浓度x(x1)1015202530x2(x2)1002254006254900抗压强度y25.227.328.729.831.127.831.232.629.731.730.132.329.430.832.8根据上表中数据可得正规方程组解之得:b0=19.0333,b1=1.0086,b2=-0.0204.故y关于x1与x2的回归方程:=19.0333+1.0086x1-0.0204x2,从而抗压强度y
关于浓度x的回归方程:=19.0333+1.0086x-0.0204x2.'