概率统计 第一章课后习题参考答案.pdf 9页

'第一章随机事件及其概率1、解：（1）S={2,3,4,5,67}（2）S={2,3,4,⋯}（3）S={H,TH,TTH,⋯}（4）S={HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}1112、设A,B是两个事件，已知P(A)=,P(B)=,P(AB)=，求P(A∪B)，P(AB)，428P(AB)，P[(A∪B)(AB)]111解：∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=4281115∴P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=+−=4288113P(AB)=P(B)−P(AB)=−=28817P(AB)=1−P(AB)=1−=88P[(A∪B)(AB)]=P[(A∪B)−(AB)]=P(A∪B)−P(AB)(AB⊂A∪B)511=−=8823、解：用A表示事件“取到的三位数不包含数字1”111C8C9C98×9×918P(A)===900900254、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。解：用A表示事件“取到的三位数是奇数”，用B表示事件“取到的三位数大于330”111C3C4C43×4×4(1)P(A)===0.4812CA5×5×4551211C2A5+C2C42×5×4+1×2×42）P(B)===0.4812CA5×5×455·1· 《概率统计》浙大盛骤、谢式千5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用A表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”211C5C4C31208（1）P(A)===4C4953312（2）用B表示事件“4只中至少有2只红球”22314134C4C8+C4C8+C467C4C8+C820167P(B)==或P(B)=1−==44C165C4951651212（3）用C表示事件“4只中没有白球”4C7357P(C)===4C49599126、解：用A表示事件“某一特定的销售点得到k张提货单”kn−kC(M−1)nP(A)=nM7、解：用A表示事件“3只球至少有1只配对”，B表示事件“没有配对”3+122×1×12（1）P(A)==或P(A)=1−=3×2×133×2×132×1×11（2）P(B)==3×2×138、（1）设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求PAB(),PBA(),PA(∪B),PAA(∪B),PABA(∪B),PAAB()；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1P(AB)0.11（1）P(AB)===，P(B)0.33P(AB)0.11P(BA)===P(A)0.55P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.3−0.1=0.7·2· P[A(A∪B)]P(A∪AB)P(AB)0.55P(AA∪B)=====P(A∪B)P(A∪B)P(A∪B)0.77P[(AB)(A∪B)]P(AB)0.11P(ABA∪B)====P(A∪B)P(A∪B)0.77P[A(AB)]P(AB)P(AAB)===1P(AB)P(AB)（2）设A={第i次取到白球}i=1,2,3,4，B={第一、二次取到白球且第三、i四次取到红球则}，B=AAAA1234PB()=PAAAA()=PAPAAPAAAPAAAA()()()()123412131241236754840=×××==0.040811121312205929、解：用A表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，B表示事件“两只都是红球”22C25C211方法1P(A)=1−=，P(B)==，P(AB)=P(B)=22C6C66441P(AB)61P(BA)===P(A)556方法2在减缩样本空间中计算1P(BA)=510、解：A表示事件“一病人以为自己患了癌症”，B表示事件“病人确实患了癌症”由已知得，PAB()=0.05,(PAB)=0.45,(PAB)=0.10,(PAB)=0.40（1）∵A=AB∪AB,AB与AB互斥∴P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=0.05+0.45=0.5同理P(B)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=0.05+0.1=0.15P(AB)0.05（2）P(BA)===0.1P(A)0.5·3· 《概率统计》浙大盛骤、谢式千P(AB)0.1（3）P(A)=1−P(A)=1−0.5=0.5,P(BA)===0.2P(A)0.5P(AB)0.459（4）P(B)=1−P(B)=1−0.15=0.85,P(AB)===P(B)0.8517P(AB)0.051（5）P(AB)===P(B)0.15311、解：用A表示事件“任取6张，排列结果为ginger”2111AAAA12233∴P(A)==6A92401112、据统计，对于某一种的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有，在患这种疾病的人群中随机的选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。解：用A表示事件“该种疾病具有症状A”，B表示事件“该种疾病具有症状B”由已知P(AB)=0.2，P(AB)=0.3，P(AB)=0.1（1）设C={该人两种症状都没有}，∴C=AB∵S=AB∪AB∪AB∪AB,且AB,AB,AB,AB互斥∴PC()=PAB()1=−PAB()−PAB()−PAB()10.20.30.10.4=−−−=或∵∪AB=AB∪AB∪AB，且ABABAB、、互斥∴PA(∪B)=PAB()+PAB()+PAB()=0.20.30.10.6++=即PC()=PAB()=PA(∪B)1=−PA(∪B)10.6=−=0.4（2）设D={该人至少有一种症状}，∴D=A∪B∵∪AB=AB∪AB∪AB，且ABABAB、、互斥即PD()=PA(∪B)=PAB()+PAB()+PAB()=0.20.30.10.6++=（3）设E={已知该人有症状B，求该人有两种症状}，∴E=ABB·4· B=AB∪AB，AB,AB互斥P(B)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=0.1+0.3=0.4PABB[()]PAB()0.11即PE()=PABB()====PB()PB()0.4413、解：用B表示“讯号无误差地被接受”A表示事件“讯号由第i条通讯线输入”，i=1,2,3,4,iP(A)=0.4,P(A)=0.3,P(A)=0.1,P(A)=0.2;1234P(BA)=0.9998，P(BA)=0.9999，P(BA)=0.9997,P(BA)=0.99961234由全概率公式得4PB()=∑PAPBA()(ii)=0.40.99980.30.99990.10.99970.20.99×+×+×+×96=0.99978i=114、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节炎的病人，有85%给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎，已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎的概率。解：用A表示事件“确实患有关节炎的人”，B表示事件“检验患有关节炎的人”C表示事件：“一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎”所求为PC()=PAB()，由已知P(A)=0.1，P(BA)=0.85，P(BA)=0.04则P(A)=0.9，PBA()=0.15，P(BA)=0.96由贝叶斯公式得P(A)P(BA)0.1×0.15P(AB)===0.017P(A)P(BA)+P(A)P(BA)0.1×0.15+0.9×0.9615、解：用D表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”ABC、、分别表示事件“程序交与打字机ABC、、打字”由已知得P(A)=0.6，P(B)=0.3，P(C)=0.1；P(DA)=0.01，P(DB)=0.05，P(DC)=0.04由贝叶斯公式得·5· 《概率统计》浙大盛骤、谢式千P(A)P(DA)P(AD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC)0.6×0.016===0.240.6×0.01+0.3×0.05+0.1×0.0425P(B)P(DB)P(BD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC)0.3×0.053===0.60.6×0.01+0.3×0.05+0.1×0.045P(C)P(DC)P(AD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC)0.1×0.046===0.160.6×0.01+0.3×0.05+0.1×0.042516、解：用A表示事件“收到可信讯息”，B表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得P(A)=0.95，P(A)=0.05，P(BA)=1，P(BA)=0.001由贝叶斯公式得P(A)P(BA)0.95×1P(AB)==≈0.999947P(A)P(BA)+P(A)P(BA)0.95×1+0.05×0.00117、解：用A表示事件“第一次得H”，B表示事件“第二次得H”，C表示事件“两次得同一面”111+11则PA()=，PB()=，P(C)==,22222111111PAB()==，PBC()==，PAC()==222242424∴PAB()=PAPB()()，PBC()=PBPC()()，PAC()=PAPC()()∴A,B,C两两独立1而P(ABC)=，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)4∴A,B,C不是相互独立的18、解：用A表示事件“运动员A进球”，B表示事件“运动员B进球”，C表示事件“运动员C进球”，由已知得P(A)=0.5，P(B)=0.7，P(C)=0.6·6· 则P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(C)=0.4（1）设D={恰有一人进球}，则D=ABC∪ABC∪ABC且ABC,ABC,ABC互斥11∴PD()=PABC(∪ABC∪ABC)1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)(A,B,C相互独立）=0.5×0.3×0.4+0.5×0.7×0.4+0.5×0.3×0.6=0.29（2）设D2={恰有二人进球}，则D2=ABC∪ABC∪ABC且ABC,ABC,ABC互斥∴PD()=PABC(∪ABC∪ABC)2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)(A,B,C相互独立）=0.5×0.7×0.4+0.5×0.7×0.6+0.5×0.3×0.6=0.44（3）设D={至少有一人进球}，则D=A∪B∪C33∴PD()=PA(∪B∪C)3=1−P(A∪B∪C)=−1PABC()=1−P(A)P(B)P(C)(∵ABC,,相互独立）=−10.50.30.4××=0.9419、解：设B表示事件“病人能得救”+A表示事件“第i个供血者具有A−RH血型”，i=1,2,3,⋯i则B=A∪AA∪AAA∪AAAA,1121231234且AAAAAAAAAA,,,互斥，AAAA,,,相互独立11212312341234·7· 《概率统计》浙大盛骤、谢式千∴P(B)=P(A)+P(AA)+PAAA()+PAAAA()112123123423=0.40.60.4(0.6)+×+×0.4(0.6)+×0.4=0.870420、一元件（或系统）正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联后并联的方式联接（称为串并联系统），设元件的可靠性为p，求系统的可靠性。23解：设B={系统可靠}，A={元件i可靠},i=1,2,3,4,5i由已知得PA()=pi(=1,2,3,4,5)A,A,A,A,A相互独立i12345法1：B=AA∪A∪AA12345∴P(B)=P(AA∪A∪AA)12345=PAA()+PA()+PAA()−PAAA()−PAAA（）−PAAAA()+PAAAAA()12345123345124512345223345=p+p+p−p−p−p+p(A,A,A,A,A相互独立)123452345=2p+p−2p−p+p法2：PB()1=−PAAAAA()12345=1−P(AA)P(A)P(AA)(A,A,A,A,A相互独立)1234512345=−−1[1PAA()][1−PA（）][1−PAA（）]12345=−−1[1PAPA()()][1−PA（）][1−PA（）PA（）]12345(A,A,A,A,A相互独立)12345222345=−1(1−p)(1−p)(1−p)=p+2p−2p−p+p·8· 21、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下，若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；根据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。解：用A表示事件“真含有杂质”,用B表示事件“3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质”22由已知得P(A)=0.4，P(A)=0.6，PBA()=C×(0.8)×0.2，322PBA()=C×(0.1)×0.93由贝叶斯公式得PAPBA()()PAB()=PAPBA()()+PAPBA()()220.4×C×(0.8)×0.215363===0.90522220.4×C×(0.8)×0.20.6+×C×(0.1)×0.9169833第二章随机变量及其分布1、设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机的选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。k−1解：PY{=k}=(10.4−)×0.4k=1,2,⋅⋅⋅2、解：用A表示第i个阀门开(i=1,2,3),且AAA,,相互独立，PA()=0.8(i=1,2,3)i123iPX{=0}=PAA⎡(∪A)⎤=PAPA()[()+PA()−PAPA()()]⎣123⎦12323=0.2(0.2+0.2−0.2×0.2)=0.0722PX{=1}=PAA[(∪A)∪AAA]0.8(0.20.20.04)0.2(0.8)=+−+×123123=0.4163PX{=2}=PAAA()=(0.8)=0.5121233、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X服从什么分布，写出X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率·9·'