概率习题解答.doc 28页

'习题一与习题二解答（红色部分不要求）１.设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来：(1)Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生；(2)Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生；(3)Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生；(4)三个事件中至少有两个事件发生；(5)三个事件中最多有两个事件发生；(6)三个事件中只有一个事件发生．解：（1）(2)(3)(4)(5)(6)―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――２.袋中有15只白球5只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａ表示“第i次取到白球”（i＝1，2，3，4），Ｂ表示“至少有3次取到白球”．试用文字叙述下列事件：(1)，(2),(3)，(4)．解：（1）至少有一次取得白球（2）没有一次取得白球（3）最多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――３.设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系．(1)ＡＢ＝Ａ（2）ＡＢ＝Ａ解：（1）(2)―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――４.设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事件：(1)，(2)，(3)，(4)，(5)．解：(1);(2)(3)(4)(5)―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――５.在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”，Ｃ表示“1970年后出版”．问：(1)ＡＢＣ表示什么事件？(2)在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？(3)Ｂ表示什么意思？(4)如果＝Ｂ，说明什么问题？解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书（2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书（3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――６.互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系．(1)X＜20与X≥20； (2)X＞20与X＜18；(3)X＞20与X≤25；(4)5粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗；(5)5粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗．解：（1）对立;(2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――(古)７.抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率．解：―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）８.在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有55个，现从26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率．解：0.0846―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）９.把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？解：首先将指定的三本书放在一起，共种放法，然后将进行排列，共有种不同排列方法。故0.067―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）10.电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个数字中的任何一个数字（不考虑电话局的具体规定），求：(1)电话号码中6个数字全不相同的概率；(2)若某一用户的电话号码为283125，如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概率是多少？解：(1)，(2)―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）11.50粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0，1，23粒的概律解：―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）12.袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率．解：设为事件“钱额总和超过一角”，则={两个五分其余任取3个+一个五分3个两分一个一分+一个五分2个两分2个一分}，故：＝0.5―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）13.10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率．解：，或＝0.53―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（古）14.求习题11中至少有一粒杂草种子的概率．解：本题与11解法有关，即为――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （几）15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T小时这段时间内等可能地到达这个码头，到后都停小时，求两船不相遇的概率．解：设分别为甲、乙船到达码头的时刻，A为事件“两船相遇”。则，。所求概率为―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（几）16.（蒲丰投针问题）设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线。向此平面上投一枚质地均匀的长为2l(la}=P{Xb}=0.64;(5)X分布函数。解：(1)=++=cxdx=1所以，解得C=2(2)P{0.31时，故，a不可能小于0或大于1；当0≤a≤1时，所以，，即得：a＝（4）由题设可知，b的取值范围为：0≤b≤1，所以b＝0.6（5）当x<0时，F(x)＝0；当0≤x≤1时，F(x)＝当x>1时，F(x)＝―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――12.已知X的分布律：p(X=-1)=1/6,p(X=0)=1/3,p(X=1)=1/2,求X的分布函数，并画图。解：由题设可知，把X的分布函数的取值范围分为四段：当x<-1时，F(x)＝0；当-1≤x<0时，F(x)＝；当0≤x<1时，F(x)＝当x>=1时，F(x)＝1 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――12.设随机变量X的分布函数为，求(1)P{X2},P{X>2}解：（1）P{X2}＝F(2)＝1－e－2＝0.8647；P{X>2}＝1－P{X2}＝1-0.8647＝0.1353；（2）设X的密度函数为f(x).当X<0时，f(x)＝＝0；当X≥0时，f(x)＝；――――――――――――――――――――――――――――――――――——――13.设连续型随机变量X的分布函数为,求（1）A和B（2）P{-1≤X﹤1}，（3）X的密度函数：解：（1）＝1；即：①；＝0；即：②；由①②式得：A＝，B＝ （2）P{-1≤X﹤1}＝F(1)－F(-1)＝（＋×）－（－×）＝（3）X的密度函数：f(x)＝，（）―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――17.解：设乘客候车时间为X分。由于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽车每隔5分钟通过车站一次，所以，X在区间[0,5]内均匀分布。所以X的密度函数为所以，乘客候车时间不超过3分钟的概率为：＝0.6―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――18.解：因为X在[-2,5]上服从均匀分布，所以，X的密度函数为：而要方程有实根，则要求△＝，即得：X≤-1或X≥2即，方程有实根的概率为：P{X≤-1}+P{X≥2}＝――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――19.设X~N（2，0.09)，查表计算，解：（1）＝0.9996（2） ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――24.X的分布律为X-2024P1/81/41/81/61/3求（1）X+2；（2）1-X（3）X2的分布律解：X-2024X+202461－X31-1-3X240416P――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――25.设X的密度函数为，求Y=1-X的密度函数。解：因为Y＝1－X是严格单调的函数，所以：当0＜y＜1时，即，0＜x＜1时，当Y为其他值时，即，X在区间〔0，1〕外时，所以：Y＝1－X的密度函数为：或：解Y=1-X的分布函数为 其中是的分布函数，它满足，而―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题三解答1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是：YX01/31-101/121/301/60025/1200―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。则（X，Y）的联合分布列为：Y123 X101/61/1221/61/61/631/121/60―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下解：（1）所求联合概率分布为：YXX01025/365/3615/361/36（2）所求联合概率分布为：YXX01045/6610/66110/661/66―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为=（1）确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求P{0＜X≤1，0＜Y≤2}。解：（1）由概率密度函数的性质知 ==*=1即k=12.(2)由定义，有当时当时于是（3）=―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――7.设随机变量（X,Y）的概率密度为求P｛X+Y｝.解：P｛X+Y1｝=1–P｛X+Y<1｝=1–=8：设二维随机变量（X，Y）要区域D上服从均匀分布，其中D是曲线y=和 y=x所围成，试求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度。 解：面积则（a）关于X的边缘概率密度当时,当时所以（b）关于Y的边缘概率密度当时,当时所以9．（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件{X=-1，y=1}）？（2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件）？解：（1），而根据定义得：X与Y不相互独立。 （2）10．已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：求边缘概率密度与；问X和Y是否相互独立？解：（1）当0≤x≤1时，其它，所以所以关于X的概率密度为类似地，当0≤y≤1，其它， 所以（3）x=1，y=1时，×＝（4y-3）(4x-3)=1此时所以X和Y不相互独立。―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――11．（1）如果（X，Y）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？（2）如果（X，Y）在以原点为中心，R为半径的圆内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？解：（1）因为（X，Y）服从均匀分布，故当x<-1或x>1时，f(x,y)=0所以当时，于是得关于X的概率密度为同理可得关于Y得概率密度为，故X和Y是相互独立。（2）因为（X，Y）服从均匀分布，故 当x<－R或x>R时，，所以当时，即同理得：,,故X和Y不相互独立。―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――15．设（X,Y）的联合分布密度为求k值。解：由概率密度的性质，由题意得，，所以k=。16求15题中X和Y的边缘分布。解（1）因为当x<0或x>1时，f(x,y)=0,所以 当时，(1)因为当y<1或y>3时，f(x,y)=0,所以当时，由上可知习题四解答（红色可以不看）1.设X的分布律为X-1012P0.20.30.40.1求E(X),,D(X)解：由数学期望的定义知：因为53511X-1012P0.20.30.40.1所以 3511P0.30.60.1从而由期望和方差的定义知：=0.84――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（１）设一批零件9个合格3个废品，任取一件，不放回，求在取得合格品前已取的废品数X的数学期望、方差和均方差。解：设在取得合格品以前已取出的废品数为X，则X的可能取值为0，1，2，3且则其分布率为X0123P―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（２） 设一批鸡蛋孵化率为90%,任选50枚鸡蛋孵化，求孵出小鸡的平均数、方差和标准差。解：设孵出小鸡的个数为X，则==2.12―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――（１）设随机变量X的期望为E（X），方差为D（X）>0,引入新的随机变量，证明，。解：(1))(2)―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――6.设X的密度函数为，求E（X）。 解：==1500――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――(1)设X的密度函数为，求（1）k值，(2)E（X）。(1)由规范性（2）―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――9.设X的密度函数为,求期望和方差。====0=== =1+1=2――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――24.球的直径服从[a,b]区间的均匀分布，求其体积的数学期望。解：设球的直径为，则,所以又因为球的体积为所以――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――12.设X和Y密度函数分别为,,求(1),(2)解:由期望的性质和题设条件知(1)=+= (2)=====1＋0-=―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――12.设X1和X2是独立的随机变量，其密度函数分别为,,求(1),(2)解：由期望的定义得，由公式有而所以于是（1） （2）(15)略(16)设（X，Y）的联合分布律为XY1210.10.320.40.2求D（X)D(Y).(1)设（X，Y）的联合概率密度为,求E(X)，E(Y)，D（X），D（Y）31.人群中某稀有血型占6%.随机取500人，求发现40人以上是这种血型的概率。解设X表示有这种血液的人数，则 '