概率论与数理统计答案第4章.pdf 18页

'概率论习题四解答习题4.11．一箱产品20件，其中5件优质品，不放回地抽样，每次一件，共抽取两次，设取到的优质品件数为X，求E(X)．解：X的全部可能取值为0,1,2，2112C1510521C5C157515C5101P{X=0}===，P{X=1}===，P{X=2}===，219038219038219019C20C20C20⎛012⎞则X的分布列为X~⎜21151⎟，⎜⎟⎝383819⎠21151191故E(X)=0×+1×+2×==．3838193822．盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球，采取不放回抽样，每次一个直到取到新球为止，求下列随机变量的数学期望．（1）抽取次数X；（2）取到的旧球个数Y．解：（1）X的全部可能取值为1,2,3,4，933993299P{X=1}==，P{X=2}=×=，P{X=3}=××=，12412114412111022032191P{X=4}=×××=，1211109220⎛1234⎞则X的分布列为X~⎜3991⎟，⎜⎟⎝444220220⎠3991286故E(X)=1×+2×+3×+4×==1.3．444220220220（2）Y的全部可能取值为0,1,2,3，3991P{Y=0}=，P{Y=1}=，P{Y=2}=，P{Y=3}=，444220220⎛0123⎞则Y的分布列为Y~⎜3991⎟，⎜⎟⎝444220220⎠399166故E(X)=0×+1×+2×+3×==0.3．4442202202203．随机变量X只取1,2,3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求E(X)．解：设P{X=1}=a−d，P{X=2}=a，P{X=3}=a+d，由非负性知a≥0且|d|≤a，1由规范性知：P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=(a−d)+a+(a+d)=3a=1，得a=，31故E(X)=1×(a−d)+2×a+3×(a+d)=6a+2d=2+2d，|d|≤．34．设随机变量X的密度函数为⎧1⎪,|x|<1,f(x)=⎨π1−x2⎪⎩0,|x|≥1,1 求E(X)．111+∞11112−21212解：E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅dx=∫(1−x)⋅d(x)=−(1−x)2=0．−∞−1π1−x2−1π2π−15．连续型随机变量X的密度函数为⎧a<0，又知E(X)=0.75，求k和a的值．1a+1+∞1axk解：由规范性知，∫f(x)dx=∫kxdx=k⋅==1，−∞0a+1a+101a+2+∞1axk又知E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅kxdx=k⋅==0.75，−∞0a+2a+20故k=3,a=2．1226．设随机变量X的概率分布为P{X=k}=，k=1,2,3,4,5．求E(X),E(X)及E[(X+2)]．51111122121212121解：E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3，E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=11，555555555522121212121E[(X+2)]=3×+4×+5×+6×+7×=27．555557．设随机变量X的密度函数为⎧−xe,x>0,f(x)=⎨⎩0,x≤0,−2X求E(X),E(2X),E(e)．+∞+∞−x+∞−x−x+∞+∞−x−x+∞解：E(X)=∫−∞xf(x)dx=∫xedx=∫x(−de)=−xe+∫edx=0+(−e)=1，00000+∞+∞−xE(2X)=∫2xf(x)dx=2∫xedx=2，−∞0+∞−2X+∞−2x+∞−2x−x+∞−3x1−3x1E(e)=∫−∞ef(x)dx=∫0e⋅edx=∫0edx=−e=．3308．球的直径测量值X在(a,b)上均匀分布，求球体积V的数学期望．⎧1⎪,a0,解：因X~e(2)，Y~e(4)，有E(X)=，E(Y)=，且fY(y)=⎨24⎩0,y≤0,2+∞2+∞2−4y+∞2−4y2−4y+∞+∞−4y则E(Y)=∫−∞yfY(y)dy=∫0y⋅4edy=∫0y(−de)=−ye+∫0e⋅2ydy01+∞−4y1+∞11=0+∫0y⋅4edy=∫0yfY(y)dy=EY=，222822115（1）E(Z)=E(2X−3Y)=2E(X)−3E(Y)=2×−3×=；288113（2）因X与Y独立，有E(W)=E(3XY)=3E(X)E(Y)=3××=．24812．设(X,Y)的联合分布律为Y012X230015151611151515求E(3X−2Y)及E(2XY)．23163−102解：E(3X−2Y)=0×0+(−2)×+(−4)×+3×+1×+(−1)×==−；151515151515323163248E(2XY)=0×0+0×+0×+0×+2×+4×==．1515151515155113．一学徒用机床接连加工10个零件，设第i个零件报废的概率为,（i=1,2,3,…,10），求报废零件1+i个数的数学期望．⎧1,第i个零件报废,解：设X表示报废零件个数，有X的全部可能取值为1,2,3,…,10，令Xi=⎨⎩0,第i个零件没有报废,3 11110有P{Xi=1}=，P{Xi=0}=1−，E(Xi)=，i=1,2,3,…,10，又因X=∑Xi，i+1i+1i+1i=110101111155991故E(X)=∑E(Xi)=∑=+++L+==2.0199．i=1i=1i+12341127720习题4.21．求习题4.1中第1,6,7题所给随机变量的方差．⎛⎜012⎞⎟122115123解：第1题中X的分布列为X~21151，且E(X)=，E(X)=0×+1×+4×=，⎜⎟238381938⎝383819⎠2223127故D(X)=E(X)−[E(X)]=−=；384761第6题中X的分布为P{X=k}=，k=1,2,3,4,5，且E(X)=3，522121212121则E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=11，5555522故D(X)=E(X)−[E(X)]=11−9=2；⎧−xe,x>0,第7题中X的分布为f(x)=⎨即X~e(1)，故D(X)=1．⎩0,x≤0,2．地铁的运行间隔时间为两分钟，一旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望和方差．2a+b(b−a)1解：设X表示旅客的候车时间，有X~U(0,2)，故E(X)==1，D(X)==．21233．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分~84分之间的概率．296−72解：设X~N(µ,σ)，有µ=E(X)=72，且P{X≥96}=1−F(96)=1−Φ()=0.023，σ2424则Φ()=0.977，=2，σ=12，σσ84−7260−72故P{60≤X≤84}=F(84)−F(60)=Φ()−Φ()=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=0.6826．12124．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下设计的，设男子身高服从均值为2175cm，方差为36cm的正态分布．问车门高度应设计为多少？22解：设X~N(µ,σ)，有µ=E(X)=175，σ=D(X)=36，又设车门高度是xcm，x−175x−175x−175则P{X>x}=1−F(x)=1−Φ()=0.01，有Φ()=0.99，=2.33，666故x=188.98cm．5．随机变量X的分布律为X012，P0.40.10.5又Y=3X+1，求E(Y),D(Y)．解：E(X)=0×0.4+1×0.1+2×0.5=1.1，2222222E(X)=0×0.4+1×0.1+2×0.5=2.1，D(X)=E(X)−[E(X)]=2.1−1.1=0.89，4 故E(Y)=3E(X)+1=4.3，D(Y)=9D(X)=8.01．−2X6．在习题4.1第7题中，求D(2X)和D(e)．⎧−xe,x>0,解：习题4.1第7题中X的分布为f(x)=⎨即X~e(1)，有D(X)=1，⎩0,x≤0,故D(2X)=4D(X)=4；−2X+∞−2x+∞−2x−x+∞−3x1−3x+∞1因E(e)=∫−∞ef(x)dx=∫0e⋅edx=∫0edx=−e=，303−2X2−4X+∞−4x+∞−4x−x+∞−5x1−5x+∞1E[(e)]=E(e)=∫−∞ef(x)dx=∫0e⋅edx=∫0edx=−e=，5052−2X−2X2−2X21⎛1⎞4故D(e)=E[(e)]−[E(e)]=−⎜⎟=．5⎝3⎠457．设X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计以下概率：P{|X−E(X)|≥7.5}．D(X)2.52解：由切比雪夫不等式得：P{|X−E(X)|≥7.5}≤===0.0444．227.57.5458．随机地掷10颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在20和50之间的概率．⎛123456⎞解：设Xi表示第i颗骰子出现的点数，有Xi~⎜111111⎟，⎜⎟⎝666666⎠1111117则E(Xi)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=，6666662221212121212191914935且E(Xi)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=，则D(Xi)=−=；666666664121010710350设10颗骰子点数总和为X=∑Xi，有E(X)=∑E(Xi)=10×=35，D(X)=∑D(Xi)=，i=1i=12i=112D(X)350由切比雪夫不等式得：P{|X−35|≥ε}≤=，22ε12ε350235047故P{2020500}=1−F(20500)=&1−Φ()=1−Φ(3.54)=1−0.9998=0.0002．i=1200002．某微机网络系统有120个终端，每个终端有5%的时间在使用．若各终端使用与否是相互独立的．试求有不少于10个终端在使用的概率．解：设X表示在使用的终端个数，有X~B(120,0.05)，E(X)=np=6，D(X)=npq=5.7，且n=120很大，由中心极限定理知：X~&N(6,5.7)，9−6故P{X≥10}=1−P{X≤9}=1−F(9)=&1−Φ()=1−Φ(1.26)=1−0.8962=0.1038．5.710−6或P{X≥10}=1−F(10)=&1−Φ()=1−Φ(1.68)=1−0.9535=0.0465．5.7注：此题n很大，p很小，np较小，最好是用泊松分布近似，．．（一般当np≤10时，用泊松分布近似，当np>10时，用正态分布近似）因X~B(120,0.05)，λ=np=6，即X~&P(6)，故P{X≥10}=1−P{X≤9}=1−0.9161=0.0839．（此题按二项分布计算的准确答案是0.0786）3．设供电网中有10000盏灯，夜晚每盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率．解：设X表示同时开着的灯数，有X~B(10000,0.7)，E(X)=np=7000，D(X)=npq=2100，且n=10000很大，由中心极限定理知：X~&N(7000,2100)，7200−70006800−7200故P{6800≤X≤7200}=F(7200)−F(6800)=&Φ()−Φ()21002100=Φ(4.36)−Φ(−4.36)=2Φ(4.36)−1=&1．4．在某地区的一家保险公司里有2万人参加了人寿保险，每人每年付8元保险费，若投保人死亡，则保险公司向其家属赔付2000元，设该地区的人口死亡率为万分之五，求（1）该保险公司亏本的概率；（2）该保险公司一年的利润不少于12万元的概率．解：（1）设X表示一年中投保人的死亡人数，有X~B(20000,0.0005)，则E(X)=np=10，D(X)=npq=9.995，且n=20000很大，由中心极限定理知：X~&N(10,9.995)，160000保险公司一年共收保险费20000×8=160000元，最多可以赔付=80人而不会亏本，200080−10故保险公司亏本的概率为P{X>80}=1−F(80)=1−Φ()=1−Φ(22.14)=&0；9.99540000（2）一年利润120000元，即赔付40000元，共=20人，200020−10故一年的利润不少于12万元的概率P{X≤20}=F(20)=Φ()=Φ(3.16)=0.9992．9.99510 注：此题n很大，p很小，np较小，最好是用泊松分布近似，．．因X~B(20000,0.0005)，λ=np=10，即X~&P(10)，故P{X>80}=&0，P{X≤20}=0.9984．（此题按二项分布计算的准确答案是0.9984164）5．某车间有150台机床独立工作，每台机床工作时耗电量均为5千瓦，且只有60%的时间运转，问该车间应供电多少千瓦，才能以99.9%的概率保证车间的机床能够正常运转？解：设X表示同时运转的机床数，有X~B(150,0.6)，E(X)=np=90，D(X)=npq=36，且n=150很大，由中心极限定理知：X~&N(90,36)，又设供电可保证x台机床同时运转，即供电5x千瓦，x−90x−90则P{X≤x}=F(x)=&Φ()≥0.999，有≥3.08，x≥108.48，66故取x=109，该车间应供电5x=545千瓦．复习题四11．设随机变量X具有分布P{X=k}=,k=1,2,…，求E(X)和D(X)．k2∞1∞k∞k解：E(X)=∑k×=∑，设S(x)=∑kx，收敛区间为x∈(−1,1)，kkk=12k=12k=1∞∞S(x)k−1xS(t)kx有=∑kx，∫dt=∑x=,−10，求发现沉船所需的平均搜索时间．−vt解：设T表示发现沉船所需搜索时间，T的全部可能取值(0,+∞)，当t>0时，P{T≤t}=F(t)=1−e，−vt则密度函数f(t)=F′(t)=ve，t>0，+∞+∞+∞−vt+∞−vt−vt+∞+∞−vt1−vt1故E(T)=∫−∞tf(t)dt=∫0t⋅vedt=∫0t(−de)=−te0+∫0edt=0+(−e)=．vv011 3．轮船横向摇摆的随机振幅X的密度函数为x2⎧x−2f(x)=⎪e2σ,x>0,⎨2σ⎪⎩0,其他,试求：（1）E(X)；（2）遇到大于其振幅均值的概率是多少？+∞x2x2x2x2−−−−+∞+∞x2+∞22+∞2解：（1）E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅e2σdx=∫x(−de2σ)=−xe2σ+∫e2σdx，−∞0σ2000x+∞−t2ππ令t=，有x=2σt，dx=2σdt，有E(X)=0+∫e2σdt=2σ⋅=σ；2σ022+∞x2x2π+∞+∞x−2−2−（2）P{X>E(X)}=∫f(x)dx=∫πe2σdx=(−e2σ)=e4=0.4559．E(X)σσ22πσ24．某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数（单位：万小时）⎧1⎪,x≥1,f(x)=⎨x2⎪⎩0,其他,公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时内出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责，求该公司售出每台机器的平均获利．解：设Y表示售出每台机器的获利，⎧−1200,X<1.2,⎪则Y=g(X)=⎨1200,1.2≤X≤2,⎪⎩1600,X>2,+∞1.2121+∞1故E(Y)=∫−∞g(x)f(x)dx=∫1(−1200)⋅2dx+∫1.21200⋅2dx+∫21600⋅2dxxxx1.22+∞1111111=−1200⋅(−)+1200⋅(−)+1600⋅(−)=−1200⋅(−+1)+1200⋅(−+)+1600⋅xxx1.221.2211.22=−200+400+800=1000．5．设某产品每周需求量Q等可能地取1,2,3,4,5（单位：件），生产每件产品的成本为30元，每件产品的售价为90元，没售出的产品以每件10元的费用存入仓库，问每周生产多少件产品能使所期望的利润最大．解：设每周生产x件产品，Y表示所得利润，当Q≥x时，卖出x件，Y=60x；当QE(Y)≥100；故当3≤x≤4时，所期望的利润最大．6．设某种商品每周的需求量X服从区间(10,30)上的均匀分布，而经销商店进货数量为区间(10,30)中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利期望值不少于9280元，试确定最少进货量．⎧1⎪,10a时，Y=500a+300(X−a)=300X+200a，⎧600X−100a,X≤a,即Y=g(X)=⎨⎩300X+200a,X>a,+∞a1301故E(Y)=∫−∞g(x)f(x)dx=∫10(600x−100a)dx+∫a(300x+200a)dx20202a15230152=(15x−5ax)+(x+10ax)=−a+350a+5250，102a215215262要使得E(Y)=−a+350a+5250≥9280，有a−350a+4030≤0，可得≤a≤26，223故a可取21,22,23,24,25,26，最少进货量为21．7．某人用n把钥匙去开门，只有一把能打开，今逐个任取一把试开，求打开此门所需开门次数X的均值及方差，假设（1）打不开的钥匙不放回；（2）打不开的钥匙仍放回．解：（1）X的全部可能取值为1,2,…,n，1n−111n−1n−211P{X=1}=，P{X=2}=⋅=，P{X=3}=⋅⋅=，……，nnn−1nnn−1n−2nn−1n−2n−3111P{X=n}=⋅⋅L⋅=，nn−1n−221n⎛123Ln⎞则X的分布列为X~⎜1111⎟，⎜L⎟⎝nnnn⎠111111n+1故E(X)=1×+2×+3×+L+n×=n(n+1)⋅=，nnnn2n222121212111(n+1)(2n+1)E(X)=1×+2×+3×+L+n×=n(n+1)(2n+1)⋅=，nnnn6n613 2222(n+1)(2n+1)(n+1)(n+1)(n−1)n−1D(X)=E(X)−[E(X)]=−==；641212（2）X的全部可能取值为1,2,…,k,…，2k−11n−11⎛n−1⎞1⎛n−1⎞1P{X=1}=，P{X=2}=⋅，P{X=3}=⎜⎟⋅，…，P{X=k}=⎜⎟⋅，…，nnn⎝n⎠n⎝n⎠n⎛123LkL⎞⎜2k−1⎟即X的分布列为X~⎜1n−1⋅1⎛n−1⎞⎟⋅1L⎛n−1⎞⎟⋅1L⎟，⎜⎜⎜⎟⎝nnn⎝n⎠n⎝n⎠n⎠k−1∞n11∞∞⎛−⎞k−1k−1则E(X)=∑k⋅⎜⎟，设S(x)=∑kx(1−x)=(1−x)∑kx，收敛区间为x∈(−1,1)，k=1⎝n⎠nk=1k=1∞∞S(x)k−1xS(t)kx有=∑kx，∫dt=∑x=,−11,D2：↑：0≤x≤1/2,x≤y≤1−xD3：↑：1/2≤x≤1,1−x≤y≤x试求U与V的协方差Cov(U,V)及相关系数ρUV．D4：→：0≤y≤1/2,y≤x≤1−y解：因U,V的全部可能取值0,1，1y12y1且P{U=0,V=0}=P{X1}=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫1dy1y2xdx=∫1dy⋅x=∫1(2y−1)dy−1−yD12222111=(y−y)1=0−(−)=，442111−x1−xP{U=0,V=1}=P{X1}=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫1dx1−x2xdy=∫1dx⋅2xy1−xD32213124x21115=∫1(4x−2x)dx=(−x)=−(−)=，2313641221111−y21−yP{U=1,V=1}=P{X≥Y,X+Y≤1}=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫2dy2xdx=∫2dy⋅x=∫2(1−2y)dy0y0y0D412111=(y−y)2=−=，0244即(U,V)的联合分布为16 V01U1104125111241151215111则E(U)=0×(+)+1×(+)=，E(V)=0×(+)+1×(+)=，412124341212432211251222152111且E(U)=0×(+)+1×(+)=，E(V)=0×(+)+1×(+)=，4121243412124322222⎛2⎞2221⎛1⎞2则D(U)=E(U)−[E(U)]=−⎜⎟=，D(V)=E(V)−[E(V)]=−⎜⎟=，3⎝3⎠93⎝3⎠911511又E(UV)=0×+0×+0×+1×=，412124411211Cov(U,V)361故Cov(U,V)=E(UV)−E(U)E(V)=−×=，ρUV===．43336D(U)D(V)2289912．用一机床制造大小相同的零件，标准重为1kg，由于随机误差，每个零件的重量（单位：kg）在（0.95,1.05）上均匀分布．设每个零件重量相互独立．（1）制造1200个零件，问总质量大于1202kg的概率是多少？（2）最多可以制造多少个零件，使零件总质量误差总和的绝对值小于2kg的概率不小于0.9．2a+b(b−a)1解：（1）设Xi表示第i个零件的重量，有Xi~U(0.95,1.05)，E(Xi)==1，D(Xi)==，21212001200⎛1200⎞1200⎛1200⎞1200因1200个零件的总质量∑Xi，有E⎜⎜∑Xi⎟⎟=∑E(Xi)=1200，D⎜⎜∑Xi⎟⎟=∑D(Xi)=1，i=1⎝i=1⎠i=1⎝i=1⎠i=11200且n=1200很大，由中心极限定理知：∑Xi~&N(1200,1)，i=112001202−1000故P{∑Xi>1202}=1−F(1202)=&1−Φ()=1−Φ(2)=1−0.9772=0.0228；i=11n⎛n⎞n⎛n⎞nn（2）设制造n个零件，其总质量∑Xi，有E⎜⎜∑Xi⎟⎟=∑E(Xi)=n，D⎜⎜∑Xi⎟⎟=∑D(Xi)=，i=1⎝i=1⎠i=1⎝i=1⎠i=11200nn可知数量n很大，由中心极限定理知：∑Xi~&N(n,)，i=11200nn+2−nn−2−n2012则P{|∑Xi−n|≤2}=FY(n+2)−FY(n−2)=&Φ()−Φ()=2Φ()−1≥0.9，i=1nnn12001200201220122012得Φ()≥0.95，≥1.65，n≤=41.9891，nn1.6517 故n≤1763.0854，即最多可以制造1763个零件．20122012注：若取为≥1.645，就有n≤=42.1167，得n≤1773.8195，最多可以制造1773个零件．n1.64513．某公司生产的电子元件合格率为99.5%．装箱出售时，（1）若每箱中装1000只，问不合格品在2到6只之间的概率是多少？（2）若要以99%的概率保证每箱中合格品数不少于1000只，问每箱至少应多装几只这种电子元件？解：（1）设X表示1000只电子元件中的不合格品数，有X~B(1000,0.005)，则E(X)=np=5，D(X)=npq=4.975，且n=1000很大，由中心极限定理知：X~&N(5,4.975)，6−52−5故P{2≤X≤6}=FX(6)−FX(2)=Φ()−Φ()=Φ(0.45)−Φ(−1.35)4.9754.975=Φ(0.45)+Φ(1.35)−1=0.6736+0.9115−1=0.5851；（2）设每箱多装x只电子元件，Y表示这1000+x只电子元件中的不合格品数，则Y~B(1000+x,0.005)，有E(Y)=np=5+0.005x，D(Y)=npq=4.975+0.004975x，数量n很大，由中心极限定理知：Y~&N(5+0.005x,4.975+0.004975x)，每箱中合格品数不少于1000只，即不合格品数Y≤x，x−5−0.005xx−5−0.005x则P{Y≤x}=FY(x)=Φ()≥0.99，即≥2.33，4.975+0.004975x4.975+0.004975x222得方程(0.995x−5)≥2.33(4.975+0.004975x)，即0.99x−9.977x−2≥0，故x≥10.274，即每箱至少应多装11只电子元件．x−5−0.005xx−5（或由于可以看出x较小，≥2.33可近似为≥2.33，得x≥10.21）4.975+0.004975x5注：此题n很大，p很小，np较小，最好是用泊松分布近似，．．（1）因X~B(1000,0.005)，λ=np=5，即X~&P(5)，故P{2≤X≤6}=P{X≤6}−P{X≤1}=0.7622−0.0404=0.7218；（此题按二项分布计算的准确答案是0.7225）（2）因Y~B(1000+x,0.005)，且显然x较小，λ=np=&5，即Y~&P(5)，则P{X≤x}≥0.99，查泊松分布表得x≥11．18'