概率论与数理统计课后习题答案下.doc 46页

'习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.【解】如图题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得A=12（2）由定义，有(3)5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有故（2）(3)(4)题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以(2)7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）得.(2)11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 题11图【解】所以12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2)因故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因 故题14图(2)方程有实根的条件是故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1)当z≤0时，（2）当00)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（01}=P{}=0,P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1} .故得X与Y的联合概率分布为.(2)因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为,.从而所以31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（-∞105}≈0.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）从而6.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】令(1)X~B(100,0.8)，(2)X~B(100,0.7)， 7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X，则p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故8.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】故9.上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而即故所以需272a元.10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心极限定理得于是(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得11.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}.由中心极限定理有12.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件由中心极限定理知：从而故 所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.13.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.(1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为(2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为14.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考） 【解】（1）X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得16.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：依中心极限定理，当n较大时，,故箱数n取决于条件因此可从解出n<98.0199,即最多可装98箱.习题六1.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】μ=60,σ2=152,n=100即 2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？【解】则Φ(0.4)=0.975，故0.4>1.96,即n>24.01，所以n至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（＞1062）.【解】μ=1000,n=9，S2=10024.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】，由P(|-μ|>4)=0.02得P|Z|>4(σ/n)=0.02,故,即查表得所以5.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2＞a）=0.1，求a之值. 【解】查表得所以6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=，n＞5服从何种分布？【解】且与相互独立.所以7.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.【解】令的容量为10的样本均值，为容量为15的样本均值,则~N(20,310),~N(20,)，且与相互独立.则那么所以8.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=服从分布, 参数为.【解】i=1,2,…,15.那么且与相互独立,所以所以Y~F分布，参数为（10,5）.9.设总体X~N（μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,和Y1，Y2，…，分别来自总体X和Y的简单随机样本，则=.【解】令则又那么10.设总体X~N（μ,σ2），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体X的一个样本，，令Y= ，求EY.【解】令Zi=Xi+Xn+i,i=1,2,…,n.则Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.令则故那么所以11.设总体X的概率密度为f(x)=(-∞0)，那么时，L=L(θ)最大,所以θ的极大似然估计值=0.9.因为E()=E()≠θ,所以=不是θ的无偏计.6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2，=k,问k为何值时为σ2的无偏估计.【解】令i=1,2,…,n-1,则于是那么当,即时,有7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本试证都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.【证明】（1）,所以均是μ的无偏估计量.(2) 8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求μ的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,,μ的置信度为0.95的置信区间为.9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为,于是置信区间长度为,那么由≤L,得n≥10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：64694992559741848899846610098727487844881（1）求μ的置信概率为0.95的置信区间.（2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】(1)μ的置信度为0.95的置信区间(2)的置信度为0.95的置信区间11.设总体X~f(x)= X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)又故所以θ的矩估计量(2)似然函数.取对数所以θ的极大似然估计量为12.设总体X~f(x)=X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本（1）求θ的矩估计量；（2）求.【解】(1)令 所以θ的矩估计量(2)，又于是,所以13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,θ)=其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数由那么当所以θ的极大似然估计量14.设总体X的概率分布为X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ(0<θ<)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】 所以θ的矩估计值（2）似然函数解得.由于所以θ的极大似然估计值为.15.设总体X的分布函数为F（x,β）=其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本（1）当α=1时，求β的矩估计量；（2）当α=1时，求β的极大似然估计量；（3）当β=2时，求α的极大似然估计量.【解】当α=1时，当β=2时, (1)令,于是所以的矩估计量(2)似然函数所以的极大似然估计量(3)似然函数显然那么当时,,所以的极大似然估计量.16.从正态总体X~N（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,则 于是则,∴n≥35.17.设总体X的概率密度为f(x，θ)=其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计.解(1)由于.令，解得，所以参数的矩估计为.(2)似然函数为，取对数，得两边对求导，得 令得，所以的最大似然估计为'