概率论答案(高等教育出版社_谢式千版).pdf 86页

'概率论与数理统计及其应用习题解答第1章随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：（1）S={2,3,4,5,6,7}；（2）S={2,3,4,⋯}；（3）S={H,TH,TTH,TTTH,⋯}；（4）S={HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。2，设A,B是两个事件，已知P(A)=0.25,P(B)=0.5,P(AB)=0.125,，求______P(A∪B),P(AB),P(AB),P[(A∪B)(AB)]。解：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.625，P(AB)=P[(S−A)B]=P(B)−P(AB)=0.375，___P(AB)=1−P(AB)−0.875，___P[(A∪B)(AB)]=P[(A∪B)(S−AB)]=P(A∪B)−P[(A∪B)(AB)]=0.625−P(AB)=0.53，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。1 概率论与数理统计及其应用习题解答解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8×9×9=648，所以所求得概率为648=0.729004，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5×5×4=100个。（1）该数是奇数的可能个数为4×4×3=48个，所以出现奇数的概率为48=0.48100（2）该数大于330的可能个数为2×4+5×4+5×4=48，所以该数大于330的概率为48=0.481005，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。（2）4只中至少有2只红球。（3）4只中没有白球。211CCC8解:（1）所求概率为543=；4C33122 概率论与数理统计及其应用习题解答22314（2）所求概率为C4C8+C4C8+C420167==；4C495165124C7357（3）所求概率为==。4C495165126，一公司向M个销售点分发n(n5)=1−P(X=5)−P(X=4)−P(X=3)−P(X=2)−P(X=1)−P(X=0)=0.06114，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k(015}（2）已知随机变量X~π(λ)，且有P{X>0}=0.5，求P{X≥2}。解：（1）P{X>15}=1−P{X≤15}=1−0.9513=0.0487；13 概率论与数理统计及其应用习题解答−λ（2）根据P{X>0}=1−P{X=0}=1−e=0.5，得到λ=ln2。所以−λP{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−0.5−λe=(1−ln2)/2≈0.1534。7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数X~π(2t)（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X~π(2)。−2（1）P{X=0}=e≈0.1353；（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~B(5,0.1353)，所以44P{Y=4}=C0.1353×(1−0.1353)=0.00145。5（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为5∞⎛k−2⎞∞⎛k−10⎞2e32e∑⎜⎜⎟⎟=∑⎜⎜5⎟⎟k=0⎝k!⎠k=0⎝(k!)⎠8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响2⎧kx0≤x≤11至结束讲解的时间。设X的概率密度为f(x)=⎨，（1）确定k；（2）求P{X≤}；⎩0其他3112（3）求P{≤X≤}；（4）求P{X>}。423+∞12k解：（1）根据1=∫f(x)dx=∫kxdx=，得到k=3；3−∞01/3312⎛1⎞1（2）P{X≤}=∫3xdx=⎜⎟=；30⎝3⎠271/233112⎛1⎞⎛1⎞7（3）P{≤X≤}=∫3xdx=⎜⎟−⎜⎟=；421/4⎝2⎠⎝4⎠641322⎛2⎞19（4）P{X>}=∫3xdx=1−⎜⎟=。32/3⎝3⎠272⎧0.003x0≤x≤1029，设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨，求t的方程t+2Xt+5X−4=0⎩0其他有实根的概率。14 概率论与数理统计及其应用习题解答222解：方程t+2Xt+5X−4=0有实根表明∆=4X−4(5X−4)≥0，即X−5X+4≥0，从而要求X≥4或者X≤1。因为11022P{X≤1}=∫0.003xdx=0.001，P{X≥4}=∫0.003xdx=0.93604所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为⎧xe−x2/200x≥0⎪f(x)=⎨100⎪⎩0其他（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。1x−x2/200−1/200解：（1）P{X<1}=∫edx=1−e≈0.00498；1000+∞x−x2/200−2704/200（2）P{X>52}=∫edx=e≈0.000001；10052+∞x−x2/200∫edxP{X>26}26100−276/200（3）P{X>26X>20}===e≈0.25158。+∞P{X>20}x−x2/200∫edx10020�11，设实验室的温度X（以C计）为随机变量，其概率密度为⎧⎪1(4−x2)−1≤x≤2f(x)=⎨9⎪⎩0其他（1）某种化学反应在温度X>1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。（3）求P{Y=2}，P{X≥2}。2125解：（1）P{X>1}=∫(4−x)dx=；92715（2）根据题意Y~B(10,)，所以其分布律为2715 概率论与数理统计及其应用习题解答k10−kk⎛5⎞⎛22⎞P(Y=k)=C10×⎜⎟×⎜⎟,k=0,1,2,⋯10⎝27⎠⎝27⎠282⎛5⎞⎛22⎞（3）P(Y=2)=C10×⎜⎟×⎜⎟=0.2998，⎝27⎠⎝27⎠P(Y≥2)=1−P(Y=0)−P(Y=1)=0.5778。12，（1）设随机变量Y的概率密度为⎧0.2−10.5|Y>0.1}。（2）设随机变量X的概率密度为⎧1/800.5}1−P{Y≤0.5}1−F(0.5)1−0.45P{Y>0.5|Y>0.1}=====0.7106P{Y>0.1}1−P{Y≤0.1}1−F(0.1)1−0.226⎧0x<0x⎪1⎪∫dx⎧0x<0x⎪080≤x<2⎪⎪2x⎪x/80≤x<2（2）F(x)=∫f(x)dx=⎨1dx+xdx=⎨2∫∫x/162≤x<4−∞⎪08282≤x<4⎪⎪214x⎪⎩1x≥4⎪∫dx+∫dx⎪88x≥4⎩02P{1≤x≤3}=F(3)−F(1)=9/16−1/8=7/16；P{≤1X≤3}F(3)−F(1)P{X≥1|X≤3}===7/9。P{X≤3}F(3)13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此1P{X=i,Y=j}=，（i≠j，且1≤i,j≤n）n(n−1)1当n取3时，P{X=i,Y=j}=,（i≠j，且1≤i,j≤3）,表格形式为6XY123101/61/621/601/631/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为XY01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1）求P{X=1,Y=1}，P{X≤1,Y≤1}；（2）求至少有一根软管在使用的概率；（3）求P{X=Y}，P{X+Y=2}。解：（1）由表直接可得P{X=1,Y=1}=0.2，17 概率论与数理统计及其应用习题解答P{X≤1,Y≤1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根软管在使用的概率为P{X+Y≥1}=1−P{X=0,Y=0}=1−0.1=0.9（3）P{X=Y}=P{X=Y=0}+P{X=Y=1}+P{X=Y=2}=0.1+0.2+0.3=0.6P{X+Y=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=0}=0.2815,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为−(2x+4y)⎧Ce，x>0,y>0f(x,y)=⎨⎩0，其他试确定常数C，并求P{X>2}，P{X>Y}，P{X+Y<1}。解：根据∫∫f(x,y)dxdy=1，可得x>0,y>0+∞+∞+∞+∞−(2x+4y)−2x−4yC1=∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫Cedy=C∫edx∫edy=，8x>0,y>00000所以C=8。+∞+∞+∞+∞−(2x+4y)−2x−4y−4P{X>2}=∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫8edy=∫2edx∫4edy=e；x>22020+∞x+∞x+∞−(2x+4y)−2x−4y−2x−4x2P{X>Y}=∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫8edy=∫2edx∫4edy=∫2e(1−e)dx=3x>y0000011−x11−x−(2x+4y)−2x−4y−22P{X+Y<1}=∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫8edy=∫2edx∫4edy=(1−e)。x+y<100002216，设随机变量（X，Y）在由曲线y=x,y=x/2,x=1所围成的区域G均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度f(x),f(y)。XY解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由21x1⎧6,(x,y)∈G1=∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy=f(x,y)，得到f(x,y)=⎨。G0x2/26⎩0，其他18 概率论与数理统计及其应用习题解答2⎧x+∞2⎪∫6dy=3x，00,y>0f(x,y)=⎨2，⎪0，其他⎩（1）求(X,Y)关于X的边缘概率密度f(x)；X（2）求条件概率密度f(y|x)，写出当x=0.5时的条件概率密度；Y|X（3）求条件概率P{Y≥1|X=0.5}。⎧+∞32+∞x−x(1+y)x−x⎪∫edy=e,x>0解：（1）fX(x)=∫f(x,y)dy=⎨22。0−∞⎪0,其他⎩（2）当x>0时，−xyf(x,y)⎧xe,y>0fY|X(y|x)==⎨。fX(x)⎩0,其他特别地，当x=0.5时−0.5y⎧0.5e,y>0fY|X(y|x=0.5)=⎨。⎩0,其他+∞+∞−0.5y−0.5（3）P{Y≥1|X=0.5}=f(y|x=0.5)dy=0.5edy=e。∫Y|X∫1119，（1）在第14题中求在X=0的条件下Y的条件分布律；在Y=1的条件下X的条件分布律。（2）在16题中求条件概率密度f(y|x)，f(x|y)，f(x|0.5)。Y|XX|YX|Y19 概率论与数理统计及其应用习题解答P{Y=i,X=0}解：（1）根据公式P{Y=i|X=0}=，得到在X=0的条件下Y的条件分布律P{X=0}为Y012P{Y|X=0}5/121/31/4类似地，在Y=1的条件下X的条件分布律为X012P{X|Y=1}4/1710/173/17⎧6,(x,y)∈G（2）因为f(x,y)=⎨。⎩0，其他2⎧x⎧6(2y−y)，0Y}。解：根据题意，X的概率密度为⎧10Y}=∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫8ydx=3x>y0y24，设随机变量X具有分布律X-2-1013p1/51/61/51/1511/30k2求Y=X+1的分布律。解：根据定义立刻得到分布律为Y12510p1/57/301/511/30k25，设随机变量X~N(0,1)，求U=X的概率密度。解：设X,U的概率密度分别为f(x),f(u)，U的分布函数为F(u)。则XUU当u≤0时，F(u)=P{U≤u}=P{X≤u}=0，f(u)=0；UU当u>0时，F(u)=P{U≤u}=P{X≤u}=P{−u≤X≤u}=2Φ(u)−1，U23 概率论与数理统计及其应用习题解答22"−u/2f(u)=[F(u)]=2f(u)=e。UUXπ⎧22⎪e−u/2u>0所以，fU(u)=⎨π。u≤0⎪⎩026，（1）设随机变量X的概率密度为−x⎧ex>0f(x)=⎨⎩0其他求Y=X的概率密度。（2）设随机变量X~U(−1,1)，求Y=(X+1)/2的概率密度。2（3）设随机变量X~N(0,1)，求Y=X的概率密度。解：设X,Y的概率密度分别为f(x),f(y)，分布函数分别为F(x),F(y)。则XYXY（1）当y≤0时，F(y)=P{Y≤y}=P{X≤y}=0，f(y)=0；YY22当y>0时，F(y)=P{Y≤y}=P{X≤y}=P{X≤y}=F(y)，YX2[]"2−yf(y)=F(y)=2yf(y)=2ye。YYX2⎧⎪2ye−yy>0所以，fY(y)=⎨。⎪⎩0y≤0⎧1/2−10时，F(y)=P{Y≤y}=P{X≤y}=P{−y≤X≤y}Y=Φ(y)−Φ(−y)=2Φ(y)−1，24 概率论与数理统计及其应用习题解答"11−y/2故，f(y)=[F(y)]=2f(y)=e。YYX2y2πy⎧1−y/2⎪ey>0所以，fY(y)=⎨2πy。⎪其他⎩027，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为⎧(3x+1)/800时，F(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}Z222πzrz1−2−2=f(x,y)dxdy=dθe2σrdr=1−e2σ∫∫∫∫2，x2+y2≤z2002πσ25 概率论与数理统计及其应用习题解答⎧z−z2/(2σ2)"⎪ez≥0故，f(z)=[F(z)]=⎨2ZZσ。⎪⎩0其他129，设随机变量X~U(−1,1)，随机变量Y具有概率密度f(y)=，−∞0⎧λyey>0fX(x)=⎨，fY(y)=⎨⎩0其他⎩0其他λ>0，X,Y相互独立。求Z=X+Y的概率密度。解：根据卷积公式，得+∞z33−λzλ2−λzf(z)=f(y)f(z−y)dy=λyedy=zeZ∫YX∫，z>0。2−∞0所以Z=X+Y的概率密度为3⎧⎪λ2−λzzez>0fY(y)=⎨2。⎪⎩0其他31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以⎧100,0≤y≤2f(x,y)=⎨2⎪⎩0，其他（1）求边缘概率密度f(x),f(y)。XY（2）求Z=max{X,Y}的分布函数。（3）求概率P{1/20解：（1）fX(x)=∫f(x,y)dy=⎨；0−∞⎪0,其他⎩∞⎧−3x⎪∫3e/2dx，0≤y≤2⎧1/2，0≤y≤2+∞0⎪⎪⎪fY(y)=∫f(x,y)dx=⎨=⎨。−∞⎪⎪0，其他⎩0，其他⎪⎪⎩（2）Z=max{X,Y}的分布函数为F(z)=P{Z≤z}=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=F(z)F(z)ZXY⎧0y<0⎧0,x≤0⎪因为FX(x)=⎨−3x；FY(y)=⎨y/20≤y≤2，⎩1−e,x>0⎪⎩1y>2⎧0,z<0⎪z−3z所以，FZ(z)=FX(z)FY(z)=⎨(1−e),0≤z≤2。⎪2−3z⎩1−e,z>211−31−3/2（3）P{1/2k},k=0,1,2如，P{V=2}=P{X=2,Y≥2}+P{Y=2,X>2}=0+0=0，其余类似。结果写成表格形式为U01p27/4013/40k（3）W=X+Y的分布律为kP{W=k}=P{X+Y=k}=∑P{X=i,Y=k−i},k=0,1,2,3,4,5i=02如，P{W=2}=∑P{X=i,Y=2−i}=1/24+1/4+1/8=5/12，i=0其余类似。结果写成表格形式为W0123p1/125/125/121/12k（第2章习题解答完毕）第3章随机变量的数字特征1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为X4567p1/51/51/52/5k1E(X)=(4+5+6+7+7)=29/5.52，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更29 概率论与数理统计及其应用习题解答多的单词更有可能被取到。分布律为Y4567p4/295/296/2914/29k1E(Y)=(4×4+5×5+6×6+7×14)=175/29.293，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为31221C106C2C109C2C101p==，p==，p==。031323C11C22C22121212所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为6911E=×0+×1+×2=(台)。11222224，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为Y1234578910111211111111111pk66666363636363636得分的数学期望为1149E=(1+2+3+4+5)+(7+8+9+10+11+12)=(点)。636125−λ6−λλeλe5，解：（1）根据X~π(λ)，可得P{X=5}===P{X=6}，因5!6!此计算得到λ=6，即X~π(6)。所以E(X)=6。30 概率论与数理统计及其应用习题解答（2）根据题意，按照数学期望的公式可得+∞+∞+∞k−1k−166k−116ln2E(X)=∑(−1)kP{X=k}=∑(−1)k22=2∑(−1)=2，k=1k=1πkπk=1kπ∞nnx因此期望存在。（利用了ln(1+x)=∑(−1),−11时，E(X)=xf(x)dx=dx=kθdx=。∫∫k∫kxxk−1−∞θθ+∞1（2）当k=1时，E(X)=θ∫dx=+∞，即E(X)不存在。xθ+∞+∞k222kθkθ（3），当k>2时，E(X)=xf(x)dx=dx=，∫∫k−1xk−2−∞θ2222⎡1k⎤kθ所以，D(X)=E(X)−[E(X)]=kθ⎢−2⎥=2。⎣k−2(k−1)⎦(k−1)(k−2)+∞+∞2222θ（4）当k=2时，E(X)=∫xf(x)dx=∫dx=+∞，所以D(X)不存在。x−∞θ21，解：（1）根据14题中结果，得到Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=3/14−1/2×3/4=−9/56；35 概率论与数理统计及其应用习题解答22因为2222E(X)=∑kP{X=k}=4/7，E(Y)=∑kP{Y=k}=27/28，k=0k=02222所以D(X)=E(X)−[E(X)]=9/28，D(Y)=E(Y)−[E(Y)]=45/112，Cov(X,Y)5ρ==−。XYD(X)D(Y)5（2）根据16题结果可得：()2Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=2/15−2/5=−2/75；11−y因为223E(X)=∫∫xf(x,y)dxdy=∫dy∫24xydx=1/5，R×R0011−y223E(Y)=∫∫yf(x,y)dxdy=∫dy∫24yxdx=1/5，R×R002222所以，D(X)=E(X)−[E(X)]=1/25，D(Y)=E(Y)−[E(Y)]=1/25D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=2/75，Cov(X,Y)2ρ==−。XYD(X)D(Y)3（3）在第2章14题中，由以下结果XYP{X=k}01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38P{Y=k}0.160.340.501得到，22E(X)=1.14，E(Y)=1.34，E(XY)=1.8，E(X)=1.9，E(Y)=2.34，所以，Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0.2724；36 概率论与数理统计及其应用习题解答2[]222D(X)=E(X)−E(X)=0.6004，D(Y)=E(Y)−[E(Y)]=0.5444,Cov(X,Y)0.2724ρ===0.4765.XYD(X)D(Y)0.571722，解：根据题意有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2ρD(X)D(Y)=9+4+2×(−1/6)×6=11。XYD(X−3Y+4)=D(X+4)+D(3Y)−2Cov(X+4,3Y)=D(X)+9D(Y)−6Cov(X,Y)=9+36−6×(−1/6)×6=51。23，解：（1）因为X,X,X相互独立，所以123[22]2222EX(X−4X)=E(X)E[(X−4X)]=E[X−8XX+16X]12312322332222=E[X−8XX+16X]=E[X]−8E[X]E[X]+16E[X]22332233=1−0+16=17。22（2）根据题意，可得E(X)=1/2,E(X)=D(X)+[E(X)]=1/3，i=1,2,3。iiii[2]222E(X−2X+X)=E[X+4X+X−4X1X2+2X1X3−4X3X2]123123222=E[X]+4E[X]+E[X]−4E[X]E[X]+2E[X]E[X]−4E[X]E[X]12312133214111=++−1+−1=。333221x24，解：因为E(X)=∫∫xf(x,y)dxdy=∫dx∫xdy=2/3，R×R0−x1xE(Y)=∫∫yf(x,y)dxdy=∫dx∫ydy=0，R×R0−x1xE(XY)=∫∫xyf(x,y)dxdy=∫dx∫xydy=0，R×R0−x所以，Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0，即，验证了X,Y不相关。37 概率论与数理统计及其应用习题解答x+∞⎧又因为，⎪∫1dy=2x，0C}≥0.95。CCC解：（1）因为P{X−25≤C}=P{−C≤X−25≤C}=Φ()−Φ(−)=2Φ()−1666CC所以得到Φ()=0.9772,即=2.0，C=12.0。66X−3C−3（2）因为~N(0,1)，所以P{X>C}=1−Φ()≥0.95，即22C−33−C3−CΦ()≤0.05,或者Φ()≥0.95，从而≥1.645，C≤−0.29。2224，已知美国新生儿的体重（以g计）2X~N(3315,575)。（1）求P{2587.75≤X≤4390.25}；（2）在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求P{Y≤4}。X−3315解：根据题意可得~N(0,1)。5754390.25−33152587.75−3315（1）P{2587.75≤X≤4390.25}=Φ()−Φ()575575=Φ(1.87)−Φ(−1.2648)≈0.9693−(1−0.8962)=0.8655（或0.8673）2719−3315（2）P{X≤2719}=Φ()=1−Φ(1.04)=0.1492，57539 概率论与数理统计及其应用习题解答根据题意Y~B(25,0.1492)，所以4kk25−kP{Y≤4}=∑C25×0.1492×0.8508≈0.6664。k=05，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。解：所要求的概率为8−6.41−Φ()P{X≥8}2.31−Φ(1.06)1−0.8554P{X≥8|X≥5}==≈==0.1761P{X≥5}5−6.41−Φ(−0.92)0.82121−Φ()2.36，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)（1）P{11.7≤X≤12.3,11.7≤Y≤12.3}=P{11.7≤X≤12.3}P{11.7≤Y≤12.3}2⎡12.3−11.911.7−11.9⎤22=Φ()−Φ()=[Φ(2)−Φ(−1)]=0.8185=0.6699；⎢⎥⎣0.20.2⎦（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为2⎡12.4−11.9⎤1−P{X≤12.4,Y≤12.4}=1−P{X≤12.4}P{Y≤12.4}=1−Φ()⎢⎥⎣0.2⎦2=1−0.9938≈0.0124。40 概率论与数理统计及其应用习题解答7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值µ=160，均方差为σ的正态分布，若要求P{1205}。解：根据题意X~N(150,9),Y~N(100,16)。（1）根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）的性质，立刻得到25W~N(250,25)，W~N(−200,52)，W~N(125,)123425（2）因为W~N(250,25)，W~N(125,)，所以134X+Y−250(X+Y)/2−125~N(0,1)，~N(0,1)。55/2242.6−250因此P{X+Y<242.6}=Φ()=1−Φ(1.48)=0.0694，5P{(X+Y)/2−125>5}=1−P{−5≤(X+Y)/2−125≤5}⎡55⎤=1−Φ()−Φ(−)⎢⎥⎣2.52.5⎦=2−2Φ(2)=0.045610，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）2X~N(10,0.2)，垫圈直径（以mm计）2Y~N(10.5,0.2)，X,Y相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。（2）在（1）中若22X~N(10,0.2)，Y~N(10.5,σ)，问控制σ至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。解：（1）根据题意可得X−Y~N(−0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率⎛0−(−0.5)⎞为P{XM}=P{M−W<0}=Φ()≈Φ(−1.79)=1−0.9633=0.0367；0.003125（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为1.60−1.63P{W>1.60}=1−Φ()=Φ(1.2)=0.8849，0.025随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布B(5,0.8849)，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为4455C×0.8849×(1−0.8849)+C×0.8849=0.895555（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量W,⋯W，15050502110.025W=∑Wi。则W=∑Wi~N(1.63,)，所以这50名女子的平50i=150i=150均身高达于1.60的概率为43 概率论与数理统计及其应用习题解答1.60−1.63P{W>1.60}=1−Φ()=Φ(8.49)≈10.025/5012，（1）设随机变量2X~N(µ,σ)，已知P{X<16}=0.20，P{X<20}=0.90，求µ和σ；（2）X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X+2Y<6Z−7}。16−µ解：（1）由P{X<16}=Φ()=0.20=Φ(−0.84)，得到16−µ=−0.84σ；σ20−µP{X<20}=Φ()=0.90=Φ(1.282)，得到20−µ=1.282σ；σ联立16−µ=−0.84σ和20−µ=1.282σ，计算得到µ=17.5834,σ=1.8850。（2）由X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到3X+2Y−6Z~N(0,49)。故所以−7−0P{3X+2Y<6Z−7}=P{3X+2Y−6Z<−7}=Φ()=1−Φ(1)=0.1587713，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以2Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为X~N(0,7.5)，X以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）（1）写出Z,X,m的关系式；（2）求Z的分布；（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m=Z+30+X或者Z=m−30−X；（2）因为22X~N(0,7.5)，所以Z~N(m−30,7.5)；44 概率论与数理统计及其应用习题解答（3）要使得P{Z≥450}≥0.95，即要⎛450−(m−30)⎞P{Z≥450}=1−Φ⎜⎟≥0.95，⎝7.5⎠⎛m−480⎞m−480所以要求Φ⎜⎟≥0.95=Φ(1.645)，即≥1.645，m≥492.3375。⎝7.5⎠7.5所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y~N(30,9)，设X,Y相互独立。（1）求Z的分布；（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。解：（1）此时2Z=m−Y−X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.5)，可得Z~N(m−30,65.25)。⎛450−(m−30)⎞⎛m−480⎞（2）P{Z≥450}=1−Φ⎜⎜⎟⎟=Φ⎜⎜⎟⎟≥0.90=Φ(1.282)，⎝65.25⎠⎝65.25⎠m−480可得≥1.282，即m≥490.36。65.2515，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X,⋯X，11001001X=∑Xi。则E(X)=2，D(X)=0.04。根据独立同分布的中心极100i=145 概率论与数理统计及其应用习题解答限定理可得100X−21.8−21.8−2P{∑Xi>180}=P{X>1.8}=P{>}≈1−Φ()=Φ(1)=0.8413i=10.20.20.216，以X,⋯X记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的1100净重，E(X)=25(kg),D(X)=1,i=1,2,⋯100.X,⋯X服从同一分布，且ii11001001相互独立。X=∑Xi，求P{24.75≤X≤25.25}的近似值。100i=11解：根据题意可得E(X)=25(kg),D(X)=。由独立同分布的中心100极限定理可得24.75−25X−2525.25−25P{24.75≤X≤25.25}=P{≤≤}≈Φ(2.5)−Φ(−2.5)0.10.10.1=2Φ(2.5)−1=0.987617，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间−7−7(−0.5×10,0.5×10)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于−60.5×10的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）4001解：以X1,⋯X400记这400个数据的舍入误差，X=∑Xi。则400i=1−1410E(X)=0,D(X)=。利用独立同分布的中心极限定理可得4800400−6−8−8P{∑Xi<0.5×10}=P{−0.125×100.950.16n0.16n0.2n−49.50.2n−49.5就要求Φ()>0.95=Φ(1.645)，即>1.645，从而0.16n0.16n47 概率论与数理统计及其应用习题解答20.04n−20.232964n+2450.25>0，解出n>304.95或者n<201（舍去）。所以最少要安装305部电话。19，一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律X8910p0.010.290.70k（1）求独立射击10次总得分小于等于96的概率。（2）求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。解：根据题意，2E(X)=9.69，D(X)=94.13−9.69=0.2339。（1）以X,⋯X分别记10次射击的得分，则1101010∑Xi−96.9i=196−96.996−96.9P{∑Xi≤96}=P{≤}≈Φ()=Φ(−0.59)=0.2776i=12.3392.3392.339（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则Y~B(900,0.01)。由DeMoivre-Laplace定理，计算得6−0.5−900×0.01P{Y≥6}≈1−Φ()≈1−Φ(−1.17)=0.8790。900×0.01×0.99（第4章习题解答完毕）第5章样本及抽样分布48 概率论与数理统计及其应用习题解答1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，X,X,X,X是来自总体的容1234量为4的样本，求（1）X,X,X,X的联合概率密度；（2）P{0.50，所以（1）联合概率密度为g(x1,x2,x3,x4)=f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)=16e−2(x1+x2+x3+x4)，（X,X,X,X>0）12342e−2(x1+x2)（2）X,X的联合概率密度为，所以1211.211.2P{0.51}=1−P{X−12≤1}=1−0.7372=0.2628。5，求总体N(20,3)的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。51 概率论与数理统计及其应用习题解答解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X和Y，则X~N(20,0.3)，Y~N(20,0.2)，所以X−Y~N(0,0.5)，0.30.3P{X−Y>0.3}=1−P{X−Y≤0.3}=1−P{−0.3≤X−Y≤0.3}=1−[Φ()−Φ(−)]0.50.5=2−2×Φ(0.42)=0.6744。6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。501502解：易得2x=∑xi=74.92，s=∑(xi−x)=201.5037，s=14.1952，i=1n−1i=1处理数据得到以下表格组限频数fi频率fi/n35.5~45.520.0445.5~55.530.0655.5~65.560.1265.5~75.5140.2875.5~85.5110.2285.5~95.5120.2495.5~105.520.04根据以上数据，画出直方图（略）7，设总体X~N(76.4,383)，X,X,⋯,X是来自X的容量为4的样本，12452 概率论与数理统计及其应用习题解答4(X−76.4)24(X−X)22iis是样本方差。（1）问U=∑，W=∑分别服从什i=1383i=1383么分布，并求2D(s)。（2）求P{0.7110未知，X,X,⋯,X是来自X的样本。求b的129矩估计量。今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b的矩估计值。解：因为总体X~U(0,b)，所以总体矩E(X)=b/2。根据容量为9的样91本得到的样本矩X=∑Xi。令总体矩等于相应的样本矩：E(X)=X，9i=1得到b的矩估计量为bˆ=2X。把样本值代入得到b的矩估计值为bˆ=1.69。⎧2⎪(θ−x)00未知，X,X,⋯,X是来自X的样本，12nx,x,⋯,x是相应的样本值。求λ的矩估计量，求λ的最大似然估计值。12n（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数X~π(λ)，下面是X的一个样本：6496101163710求λ的最大似然估计值。解：（1）因为总体的数学期望为λ，所以矩估计量为λˆ=X。n∑xinλxie−λλi=1e−nλ似然函数为L(λ)=Π=，相应的对数似然函数为i=1(x)!niΠ(x)!ii=1n⎡n⎤lnL(λ)=(lnλ)∑x−nλ−lnΠ(x)!。=1i⎢i=1i⎥i⎣⎦令对数似然函数对λ的一阶导数为零，得到λ的最大似然估计值为nλˆ=1∑x=x。ini=1（2）根据（1）中结论，λ的最大似然估计值为λˆ=x=7.2。5，（1）设X服从参数为p(00）未知，x,x,⋯,x12n为一相应的样本值。求2σ的最大似然估计值。n22∑(xi−µ)n⎡1−(xi−µ)⎤1−i=122解：（1）似然函数为L(µ)=Π⎢e2σ⎥=e2σ，相应i=1⎢2⎥()n⎣πσ⎦2πσ的对数似然函数为56 概率论与数理统计及其应用习题解答n2∑(xi−µ)ni=1()lnL(µ)=−−ln2πσ。22σ令对数似然函数对µ的一阶导数为零，得到µ的最大似然估计值为n∑xii=1µˆ==x。nn22∑(xi−µ)n⎡1−(xi−µ)⎤1−i=122σ22σ2（2）似然函数为L(σ)=Π⎢e⎥=e，相应的i=12πσn⎢⎥2⎣⎦(2πσ)2对数似然函数为n2∑(xi−µ)2i=1n(2)lnL(σ)=−−ln2πσ。22σ2令对数似然函数对22σ的一阶导数为零，得到σ的最大似然估计值为n212σˆ=∑(xi−µ)。ni=17，设X,X,⋯,X是总体X的一个样本，x,x,⋯,x为一相应的样本值。12n12n⎧⎪xe−x/θx>0（1）总体X的概率密度函数为f(x)=⎨θ2，0<θ<∞，⎪⎩0其他求参数θ的最大似然估计量和估计值。2⎧⎪xe−x/θx>0（2）总体X的概率密度函数为f(x)=⎨2θ3，0<θ<∞，⎪0其他⎩求参数θ的最大似然估计值。（3）设X~B(m,p),m已知，018。01解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为x−18Z=。σ/n20.874−18代入本题具体数据，得到Z==1.8665。4.62/9检验的临界值为Z=1.645。0.05因为Z=1.8665>1.645，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设67 概率论与数理统计及其应用习题解答H，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟。02，《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体22N(µ,σ)，µ,σ均未知。试取显著性水平α=0.05检验假设：H:µ=38.4,H:µ≠38.4。01解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为x−38.4t=。s/n40.5−38.4代入本题具体数据，得到t==1.0844。7.5/15检验的临界值为t(14)=2.1448。0.025因为t=1.0844<2.1448，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H，即认为平均摄取量显著地为38.4%。03，自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体22N(µ,σ)，µ,σ均未知。试依据这一样本取显著性水平α=0.01检验假设：H:µ≥8.42,H:µ<8.42。01解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，68 概率论与数理统计及其应用习题解答检验统计量为x−8.42t=。s/n8.3−8.42代入本题具体数据，得到t==−14.4。0.025/9检验的临界值为−t(8)=−2.8965。0.01因为t=−14.4<−2.8965（或者说t=14.4>2.8965），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设H，即认为铜含量显著地小于8.42%。04，测得某地区16个成年男子的体重（以公斤计）为77.18,80.81,65.83,66.28,71.28,79.45,78.54,62.2069.01,77.63,74.00,77.18,61.29,72.19,90.35,59.47设样本来自正态总体22N(µ,σ)，µ,σ均未知，试取α=0.05检验假设：H:µ=72.64,H:µ≠72.64。01解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为x−72.64t=。s/n72.668−72.64代入本题具体数据，得到t==0.0134。8.338/16检验的临界值为t(15)=2.1315。0.025因为t=0.0134<2.1315，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤。05，一工厂的经理主张一新来的雇员在参加某项工作之前至少需要培69 概率论与数理统计及其应用习题解答训200小时才能成为独立工作者，为了检验这一主张的合理性，随机选取10个雇员询问他们独立工作之前所经历的培训时间（小时）记录如下208，180，232，168，212，208，254，229，230，181设样本来自正态总体22N(µ,σ)，µ,σ均未知。试取α=0.05检验假设：H:µ≤200,H:µ>200。01解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为x−200t=。s/n210.2−200代入本题具体数据，得到t==1.1824。27.28/10检验的临界值为t(9)=1.8331。0.05因为t=1.1824<1.8331，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H，即认为培训时间不超过200小时。06，一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为5000（小时2），为了检验这一主张，随机地取26只电池测得样本方差为7200小时2，有理由认为样本来自正态总体。现需取α=0.02检验假设22H:σ=5000,H:σ≠5000。01解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验。检验统计量为22(n−1)sχ=。500070 概率论与数理统计及其应用习题解答2(26−1)×7200代入本题中的具体数据得到χ==36。5000检验的临界值为2χ(25)=44.313。0.01因为2χ=36<44.313，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H，即认为电池寿命的方差为5000小时2。07，某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差σ=1.66，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136设样本来自正态总体22N(µ,σ)，µ,σ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取2222α=0.05）：H:σ=1.66,H:σ≠1.66。01解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。检验统计量为22(n−1)sχ=。21.662(101)12−×代入本题中的具体数据得到χ==39.193。21.66检验的临界值为2χ(9)=19.022。0.025因为2χ=39.19319.022>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设H，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。08，设X是一头母牛生了小牛之后的305天产奶期内产出的白脱油磅数。又设X~22N(µ,σ)，µ,σ均未知。今测得以下数据：425，710，661，664，732，714，934，761，744，653，725，657，421，573，535，602，537，405，71 概率论与数理统计及其应用习题解答874，791，721，849，567，468，975试取显著性水平α=0.05检验假设H:σ≤140,H:σ>140。01解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设2222H:σ≤140,H:σ>14001这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验。检验统计量为22(n−1)sχ=。21402(25−1)×23827.49代入本题中的具体数据得到χ==29.177。2140检验的临界值为2χ(24)=36.415。0.05因为2χ=29.177<36.415，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H，即认为标准差不大于140。09，由某种铁的比热的9个观察值得到样本标准差s=0.0086。设样本来自正态总体22N(µ,σ)，µ,σ均未知。试检验假设（α=0.05）H:σ≥0.0100,H:σ<0.0100。01解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设2222H:σ≥0.0100,H:σ<0.010001这是一个正态总体的方差检验问题，属于左边检验。检验统计量为22(n−1)sχ=。20.0122(9−1)×0.0086代入本题中的具体数据得到χ==5.9168。20.0172 概率论与数理统计及其应用习题解答检验的临界值为2χ(8)=2.733。0.95因为2χ=5.9168>2.733，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H，即认为标准差不小于0.0100。010，以X表示耶路撒冷新生儿的体重（以克计），设X~22N(µ,σ)，µ,σ均未知。现测得一容量为30的样本，得样本均值为3189，样本标准差为488。试检验假设（α=0.1）：（1）H:µ≥3315,H:µ<3315。01（2）""H0:σ≤525,H1:σ>525。解：（1）这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，检验统计量为x−3315t=。s/n3189−3315代入本题具体数据，得到t==−1.4142。488/30检验的临界值为−t(29)=−1.3114。0.1因为t=−1.4142<−1.3114，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设H，即认为µ<3315。0（2）题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设"22"22H0:σ≤525,H1:σ>525这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验。检验统计量为22(n−1)sχ=。252573 概率论与数理统计及其应用习题解答22(30−1)×488代入本题中的具体数据得到χ==25.0564。2525检验的临界值为2χ(29)=42.557。0.05因为2χ=25.0564<42.557，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不大于525。11，两个班级A和B，参加数学课的同一期终考试。分别在两个班级中随机地取9个，4个学生，他们的得分如下：A班656872758285879195B班50597180设A班、B班考试成绩的总体分别为222N(µ,σ)，N(µ,σ)，µ,µ,σ均1212未知，两样本独立。试取α=0.05检验假设H:µ≤µ,H:µ>µ。012112解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于右边检验。检验统计量为(x−x)−0ABt=11s+wnn12(80−65)−0代入本题中的具体数据得到t==2.21。1111.3×+94检验的临界值为t(11)=1.7959。因为t=2.21>1.7959，所以样本值落入0.05了拒绝域，因此拒绝原假设，即认为A班的考试成绩显著地大于B班的成绩。12，溪流混浊是由于水中有悬浮固体，对一溪流的水观察了26天，74 概率论与数理统计及其应用习题解答一半是在晴天，一半是在下过中到大雨之后，分别以X,Y表示晴天和雨天水的混浊度（以NTU单位计）的总体，设2X~N(µ,σ)，122Y~N(µ,σ)，µ,µ,σ均未知。今取到X和Y的样本分别为212X:2.9,14.9,1.0,12.6,9.4,7.6,3.6,3.1,2.7,4.8,3.4,7.1,7.2Y:7.8,4.2,2.4,12.9,17.3,10.4,5.9,4.9,5.1,8.4,10.8,23.4,9.7设两样本独立。试取α=0.05检验假设H:µ≥µ,H:µ<µ。012112解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于左边检验。检验统计量为(x−y)−0t=11s+wnn12(6.1779.477−)−0代入本题中的具体数据得到t==−1.667。115.047×+1313检验的临界值为t(24)1.7109=。因为t=−1.667>−1.7105，所以样本值0.05没有落入拒绝域，因此接收原假设，即认为雨天的混浊度不必晴天的高。13，用包装机包装产品，将产品分别装入包装机上编号为1~24的24个注入口，奇数号的注入口在机器的一边，偶数号的在机器的另一边。以X,Y分别表示自奇数号和偶数号注入口注入包装机的产品的质量（以g计）。设222X~N(µσ,)，Y~N(µσ,)，µµσ,,均未知。在总体XYXYX和Y中分别取到样本:X:1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,1084,1075,1080,107575 概率论与数理统计及其应用习题解答Y:1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075设两样本独立。试检验假设H:µ=µ,H:µ≠µ(α=0.10)。012112解：这是两个正态总体（方差相等但未知）均值之差的检验问题，属于双边检验。检验统计量为(x−y)−0t=11s+wnn12(1076.751072.33−)−0代入本题中的具体数据得到t==2.0546。115.27×+1212检验的临界值为t(22)1.7171=。因为t=2.05461.7171>，所以样本值落0.05入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为产品均值有显著差异。14，测定家庭中的空气污染。令X和Y分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在24小时内的悬浮颗粒量（以32µg/m计）。设X~N(µσ,)，XX222Y~N(µσ,)，µµσ,,,σ均未知。今取到总体X的容量n=9的样YYXYXY1本，算得样本均值为x=93，样本标准差为s=12.9；取到总体Y的容X量为11的样本，算得样本均值为y=132，样本标准差为s=7.1，两样Y本独立。（1）试检验假设(2222α=0.05)：H:σ=σ,H:σ≠σ。0XY1XY（2）如能接受""H，接着检验假设(α=0.05)：H:µ≥µ,H:µ<µ。00XY1XY解：（1）这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检2s验。检验统计量为XF=2sY212.9代入本题中的具体数据得到F==3.301。27.176 概率论与数理统计及其应用习题解答1检验的临界值为F(8,10)=3.85,F(8,10)==0.2326。因为0.0250.9754.30.2326σ。012112解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于右边检验。2s检验统计量为1F=2s29201代入本题中的具体数据得到F==1.8948。4856检验的临界值为F(6,9)=3.37。因为F1.8948=<3.37，所以样本值没有0.05落入拒绝域，因此接受原假设，即认为第一个总体的方差不比第二个77 概率论与数理统计及其应用习题解答总体的方差大。16，在第13题中检验假设（取α=0.05）2222H:σ=σ,H:σ≠σ。0XY1XY以说明在该题中我们假设22σ=σ是合理的。XY解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验。2s检验统计量为XF=，代入第13题中的具体数据得到2sY29.295F==1.1163。26.2421检验的临界值为F(11,11)=3.48,F(11,11)==0.2874。因为0.0250.9753.480.2874−2.1604，所以样本0.975值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两种环境中长大的孩子智商没有显著差异。18，医生对于慢走是否能降低血压（以Hg-mm计）这一问题的研究感兴趣。随机地选取8个病人慢走一个月，得到以下数据。病人序号12345678慢走前x134122118130144125127133i慢走后y130120123127138121132135i设各对数据的差2D=X−Y(i=1,2,⋯8)是来自正态总体N(µ,σ)的样iiiDD本，2µ,σ均未知。问是否可以认为慢走后比慢走前血压有了降低。DD即检验假设H:µ≤0,H:µ>0（取α=0.05）。并求µ的置信水平为0D1DD0.95的置信区间。解：本题要求对一组成对数据进行t检验，且为右边检验。检验统计D−0量为t=。s/nD0.875−0代入本题中的具体数据得到t==0.57684.29/8检验的临界值为t(7)=2.3646。因为t=0.5768<2.3646，所以样本0.025值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为慢走对于血压的下降没79 概率论与数理统计及其应用习题解答有显著效果。µ的置信水平为0.95的置信区间为Dt0.025(7)2.3646(D±×s)=(0.875±×4.29)=(0.875±3.587)。D8819，统计了日本西部地震在一天中发生的时间段，共观察了527次地震，这些地震在一天中的四个时间段的分布如下表时间段0点—6点6点—12点12点—18点18点—24点次数123135141128试取α=0.05检验假设：地震在各个时间段内发生时等可能的。解：根据题意，要检验以下假设：H:地震的发生时间在（0，24）内是均匀分布的0422fi检验统计量为χ=∑−n，其中pi=6/24=0.25。i=1npi22222123+135+141+128代入本题中的数据得到χ=−527=1.417，检527×0.25验的临界值为22χ0.05(4−1)=7.815。因为χ=1.417<7.815，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为地震在各个时间段内发生时等可能的。20，美国《教育统计文摘》1993年版给出该国18岁或以上的人持有学士或更高学位的年龄分布如下年龄18~2425~3435~4445~5455~6465或以上百分比5293016101080 概率论与数理统计及其应用习题解答在阿拉斯加州随机选择500个18岁或以上的持有学士或更高学位的一项调查给出如下数据年龄18~2425~3435~4445~5455~6465或以上人数30150155753555试取α=0.1检验该地区年龄分布是否和全国一样。解：根据题意，要检验以下假设：H:阿拉斯加州的年龄分布律为0年龄18~2425~3435~4445~5455~6465或以上概率0.050.290.300.160.100.10622fi检验统计量为χ=∑−n。所需计算列表如下：i=1npi2Aifipinpifi/(npi)A300.0525361A1500.29145155.1722A1550.30150160.1673A750.168070.3134A350.105024.55A550.105060.56622fi2χ=∑−n=506.652−500=6.652，检验的临界值为χ0.1(6−1)=9.236。i=1npi因为2χ=6.652<9.236，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为阿拉斯加州的年龄分布与全国的分布一样。81 概率论与数理统计及其应用习题解答21以下是某地区100个月中各月发生的较大的地震次数一个月的较大的地震次数01234月数5731831试取α=0.05检验假设H:数据来自泊松分布的总体。0解：以随机变量X表示该地区一个月的较大的地震次数，则要检验假设H:X~π(λ)，利用极大似然估计可以得到0λˆ=0×57+1×31+2×8+3×3+4×1=0.6。100522fi检验统计量为χ=∑−n，所需计算列表如下：i=1npi2Aifipinpifi/(npi)A57−0.60.54881e=54.8859.202A310.6−0.60.32932e=32.9329.183A80.18−0.60.09883e=9.886.478A30.036−0.60.01984e=1.984.545−0.60.0054e=0.0030A510.303.333522fiχ=∑−n=102.741−100=2.741,检验的临界值为i=1npi22χ0.05(5−1−1)=7.815。因为χ=2.741<7.815，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为数据来自泊松分布的总体。22，一供货商声称他们厂生产的电子元件的寿命（以小时计）服从均值为θ=200的指数分布。现随机地取1000只此种元件，测得如下数82 概率论与数理统计及其应用习题解答据。试取α=0.05检验假设H:这些数据来自均值为θ=200的指数分布0总体。x≤150150750寿命x只数543258120482011解：要检验假设H:这些数据来自均值为θ=200的指数分布总体。检0622fi验统计量为χ=∑−n，所需计算列表如下：i=1npi2Aifipinpifi/(npi)150A543−11−e200=0.5276527.6558.8495150300−−e200−e200=0.2492A2258249.2267.1108300450−−e200−e200=0.1177A3120117.7122.3449450600−−e200−e200=0.0556A44855.641.4388600750−−e200−e200=0.0263A52026.315.2091750A11−6e200=0.023523.55.1489622fiχ=∑−n=1010.147−1000=10.147,检验的临界值为i=1npi22χ0.05(6−1)=11.070。因为χ=10.147<11.070，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为数据来自均值为θ=200的指数分布总体。83 概率论与数理统计及其应用习题解答23，一计算机程序用来产生在区间（0，10）均匀分布的随机变量的简单随机样本值（即产生区间（0，10）上的随机数），以下是相继得到的250个数据的分布情况。试取α=0.05检验这些数据是否来自均匀分布U(0,10)的总体。亦即检验这一程序是否符合要求。数据所在区间0~1.992~3.994~5.996~7.998~9.99频数3855544162解：要检验假设H:这些数据来自均匀分布U(0,10)的总体。检验统计0522fi量为χ=∑−n，所需计算列表如下：i=1npi2Aifipinpifi/(npi)A380.25028.881A550.25060.52A540.25058.323A410.25033.624A620.25076.885522fi2χ=∑−n=258.2−250=8.2,检验的临界值为χ0.05(5−1)=9.488。因为i=1npi2χ=8.2<9.488，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为这些数据来自均匀分布U(0,10)的总体。这一程序符合要求。24，下面给出了某医院在1978年统计的70位孕妇的怀孕期（以日计），试取α=0.1检验这些数据是否来自正态总体。251，264，234，283，226，244，269，241，276，27484 概率论与数理统计及其应用习题解答263，243，254，276，241，232，260，248，284，253265，235，259，279，256，256，254，256，250，269怀孕天数人数怀孕天数人数219.5~229.51259.5~269.523229.5~239.55269.5~279.57239.5~249.510279.5~289.56249.5~259.516289.5~299.52240，261，263，262，259，230，268，284，259，261268，268，264，271，263，259，294，259，263，278267，293，247，244，250，266，286，263，274，253281，286，266，249，255，233，245，266，265，264解：本题要求检验2H：数据来自正态分布N(µ,σ)。根据极大似然估070701212计计算出µˆ=∑xi=260.3，σˆ=∑(xi−x)=232.8，σˆ=15.258。70i=169i=1822fi使用分布拟合检验，检验统计量为χ=∑−n。数据被分成8组，i=1npi频数表如下。85 概率论与数理统计及其应用习题解答检验过程中所需计算列表如下：2Aifipinpifi/(npi)229.5−260.3A1Φ()=0.02171.5190.65833115.258239.5−260.3229.5−260.3Φ()−Φ()=0.065215.25815.258A254.5645.47765249.5−260.3239.5−260.3Φ()−Φ()=0.152015.25815.258A31010.649.39850259.5−260.3249.5−260.3Φ()−Φ()=0.241215.25815.258A41616.88415.16228269.5−260.3259.5−260.3Φ()−Φ()=0.245615.25815.258A52317.19230.77013279.5−260.3269.5−260.3A67Φ()−Φ()=0.170511.9354.1055715.25815.258289.5−260.3279.5−260.3Φ()−Φ()=0.075715.25815.258A765.2996.79373289.5−260.3A821−Φ()=0.02811.9672.0335515.258822fiχ=∑−n=74.39974−70=4.3997,检验的临界值为i=1npi22χ0.1(8−2−1)=9.236。因为χ=4.3997<9.236，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为这些数据来自正态总体。（本章习题解答完毕）86'