概率论第一张习题及答案.doc 9页

'1．设A，B是任意两个随机事件，则P[(+B)(A+B)(+)(A+)]=.2．设P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，若事件A与B互斥，则P(B)=;若事件A与B独立，则P(B)=.3．已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8，则P(A∪B)=.4．设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0.4，0.3和0.6，若表示B的对立事件，那么积事件A的概率P(A)=.5．设A，B为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P()=.6．已知A，B两个事件满足条件P(AB)=P()，且P(A)=p,则P(B)=.7．设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为.8．设两个相互独立的事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=.9．设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=.10．设随机事件A与B互不相容，已知P(A)=P(B)=a(00），从而结合题设条件P（A|B）+P（|）=1，导出等式P（A|B）=P（A|）。②这是题解的首要一步，能从式②导出P（AB）=P（A）P（B），即A与B独立需要用到条件概率的概念，无论是式①，还是式②的成立应首先考虑它们对于事件A，B关系的影响，即式①或式②的成立都可证明A与B是相互独立的。17.答案是：1/6。分析本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解。18.答案是：2/5。分析根据抽签原理，第一个人，第二个人，。。。。。。取得黄球的概率相等，均为2/5，因此应填2/5。或者利用全概率公式计算，设A={第一个人取出为黄球}；B={第一个人取出为白球}；C={第二个人取出为黄球}；则P（A）=2/5，P（B）=3/5，P（C|A）=19/49，P（C|B）=20/49，由全概率公式知：P（C）=P（A）*P（C|A）+P（B）*P（C|B）=2/5*19/49+3/5*20/49=2/5。19.答案是：17/25。分析这是一个几何概型问题，以x，y表示在（0，1）中随机地取得的两个数，则（x，y）点的全体是如图1-2所示的正方形，而事件{两数之和小于6/5}发生的充要条件为x+y<6/5,即落在图中阴影部分的点（x，y）的全体。根据几何概率的定义，所求概率即为图中阴影部分面积与边长为1的正方形面积之比，即P{x+y〈6/5〉=1-1/2*（4/5）2=17/25。20.答案是：1/1260。分析这是一个古典概型问题，将7个字母C，C，E，E，I，N，S任一种可能排列作为基本事件，则全部基本事件数为7！，而有利的基本事件数为1*2*1*2*1*1*1=4。故所求的概率为21.答案是：3/7。分析 本题考察逆概公式，设事件A={抽取的产品为工厂A生产的}，B={抽取的产品为工厂B生产的}，C={抽取的是次品}，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，由逆概公式（贝叶斯公式）知P（A|C）====。22.答案是：1/5。分析以A表示事件{从10件产品中任取两件，两件都是不合格品，两件都是不合格品}，以B表示事件{从10件产品中任取两件，至少有一件是不合格品}，则所求的概率为P（A|B），而P（A）==，P（B）=1-=。显然A⊂B，故P（AB）=P（A）=2/15，由条件概率的计算公式知P（A|B）===。23.答案是：0.75。分析用A代表事件“甲命中目标”，B代表事件“乙命中目标”，则A∪B代表事件“目标被命中”，且P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=0.5+0.6-0.5*0.6=0.8，所求概率为P（A|A∪B）==0.6/0.8=0.75。24.答案是：2/3。分析用Ai代表事件“取出的产品为第i等品”，i=1，2，3，则A1，A2，A3，互不相容，所求概率为P（A1|A1∪A2）====2/3。25．答案是：0.4。分析设所求事件的概率为P（A），试验的样本空间Ω的样本点总数60。对于事件A，符合条件的三张卡片数字有以下四组：1，2，41，3，42，3，52，4，5而每一组的构成又有3！种不同排列，比如对于数字为1，2，4的三张卡片，依次抽取的结果可以有1，2，4；1，4，2；2，1，4；2，4，1；4，1，2；4，2，1共六种不同结果，因此有利于事件A的样本点数为4*3！=24种，由古典型概率公式P（A）==24/60=0.4。注意这是一个古典概型问题，对于这类问题计算的关键是求出试验的样本空间与有利于所讨论的事件中的样本点数目，一般来说，样本空间中样本点数的计算比较容易，而有利于所讨论事件的样本点数的计算往往比较复杂，要仔细分析事件的结构，不要漏算也不要重复计算样本点数目。26．答案是：9。分析由于n阶行列式展开式共有n!项，含a11的共有（n-1）!项，那么不含a11的共有n!-(n-1)!项，依题意有==1-，解得n=9.注意这是一个古典概型问题，解题的关键在于弄清n阶行列式展开式中各项的构成情况，即可求得所要的结果。27.答案是：13/125。分析因为增广矩阵 ，所以AX=b有解⇔b3-2b2+b1=0,其中bi是独立同分布的随机变量，其分布列为P{bi=k}=1/5(i=1,2,3;k=1,2,3,4,5).所求概率为P{AX=b有解}=P{b3-2b2+b1=0}=P{b3-b2=b2-b1}=P{b1,b2,b3成等差数列}=P{b1=1,b2=1,b3=1}+P{b1=2-j,b2=2,b3=2+j}+P{b1=3-j,b2=3,b3=3+j}+P{b1=4-j,b2=4,b3=4+j}+P{b1=5,b2=5,b3=5}=13***=。注意该题是线性代数与概率论知识相结合的综合练习题，只要知道“AX=B”有解得充要条件，是不难解答该题的，至于概率的计算，可以用列举法求得。29.答案是：19/42。分析显然这是一道计算条件概率的题目，若记A={掷出3颗骰子所得点数成等差数列}，B={3颗骰子点数中含有2点}，则所求概率p=P(B|A)=,根据古典概率计算公式，易得p。事实上，有列举法易知，从1，2，3，4，5，6种可重复取了三个数构成等差数列的情形有：公差为零的有6种情况：111，222，。。。，666；公差为1的有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；公差为2的有1，3，5；2，4，6；而每一个结果又有3！种情况，所以有利A的基本事件数为6+6*3！，而基本事件总数为63，故P(A)=.由上述列举结果，易知有利AB的基本事件数为1+3*3！，所以P(AB)=.故p=.注意本题主要考察古典概型，其关键是弄清基本事件，计算出基本事件总数及有利于事件A基本事件数，应用乘法法则、集合元素对等法则、列举法、求逆法是几种常用方法。29.答案是：（1-a）（1-b）。分析已知P（AB）=P（A）P（B），C⊂AB。故⊃=∪⊃，所以P（）=P（）=P（）P（）=（1-a）（1-b）。注意这道试题主要是考查考生是否确切掌握事件的关系与运算，只需将题目中的事件关系用式子表明清楚，就不难算出所要的结果。30.答案是：p=.分析从一个袋内去一张卡片，共有n种不同的等可能取法。从k个袋内各取一张卡片有nk种不同的等可能取法.如果每个袋内都从1至m+2号的卡片中取一张,则取到的k张卡片最大编号不超过m+2。有利于这一事件的等可能结果共有（m+2）k种，类似的，取到卡片最大号码不超过m-1的取法共有（m-1）k种，因此，有利于所求事件，即取到最大号码恰好位m,m+1,m+2的结果共有（m+2）k-(m-1)k种。应用古典概型计算公式有p= .注意古典概型的计算困难是准确算出有利于所求事件A的基本事件数。既不能漏算，又不要重复计算，本题另一种考虑的思路是：令事件Ai=“取到最大号码不超过i”，令Bi=”最大号码恰好为i”,则Bi=Ai-Ai-1,且Ai⊃Ai-1.P(Bi)=P(Ai)-P(Ai-1)=-=.p=P(Bm+2)+P(Bm+1)+P(Bm)=++=31.答案是：p1>.分析设在第i次射击中，甲击中记作事件Ai,乙击中记作事件Bi,显然Ai与Bi(i≠j)相互独立，记事件A.B分别表示甲、乙先射中。P（A）=P(A1)+P(A3)+P(A5)+…=p1p2+q1q2q1p2+(q1q2)2q1p2+…,=其中qi=1-pi,i=1,2.依题意应有P(A)>P(B),即>。由于0q1p2.p1>(1-p1)p2,即p1>.注意本题主要考查对于较复杂事件概率的计算能力。题中所涉及的两个事件A与B都是可列个两两互不相容事件的和，而和中的每个加项又是一些相互独立事件的积。这与全概率公式适用的模型的相同之处是：都要将一个较复杂事件分解为一些两两互不相容事件的和，且作为和的各个加项都是一些事件的积；不同之处在于本题中每个加项中的各个事件是相互独立的，如，，A3,等相互独立，记P((A3)=P()P()P(A3),而全概率公式中，每一加项中的事件A1与B,A2与B等都没有独立性作为条件，因此P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai).本题另一种解法是令P(A)>1/2,同样可以解出P1>32.答案是：23/45，15/23。分析本题考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，设Ai={从第i个箱子中抽取的球为白球}，i=1,2,根据题意，则P(Ai)=3/5,P()=2/5及P(A2|A1)=5/9,P(A2| )=4/9.由全概率公式可知P(A2)=P(A1)*P(A2|A1)+P()*P(A2|)=23/45.根据贝叶斯公式知，在A2发生的条件下A1发生的概率为P(A1|A2)==15/23.33.答案是：（1-p）15；p（1-P）14；1-（1-p）15-p（1-p）14-p2（1-p）13分析由于每一传递信号都只有失真和不失真这两种情况，并且各个信号在传递中是否失真互不影响（即相互独立）。因此这是一个典型的二项概性问题，其中n=15,p=p.因此可直接有公式得出所求结果。34.答案是：1-(1-p)n,(1-p)n+np(1-p)n-1.分析设Bi代表“在n次独立试验中，事件A发生i次”，i=0,1,…,n;则有P(B0)=(1-n)n,P(B1)=np(1-p)n-1,因此，A至少发生一次的概率为1-(1-p)n；而事件A至多发生一次的概率为（1-p）n+np(1-p)n-1.35.答案是：53/120，20/53。分析用Ai代表“取第i只箱子”，i=1,2,3;用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=1/3*1/5+1/3*3/6+1/3*5/8=53/120.由贝叶斯公式P(A2|B)==.36.答案是：1/2+1/π分析半圆0