概率论与统计(第三版)复旦大学版第四章课后习题答案.doc 18页

'习题四1.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故3.设随机变量X的分布律为X-101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因……①,又……②,……③由①②③联立解得4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则18 5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ-4X.【解】(1)(2)7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X-2Y），D（2X-3Y）.【解】(1)(2)8.设随机变量（X，Y）的概率密度为18 f（x，y）=试确定常数k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值由X与Y的独立性，得方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求（1）E（X+Y）;（2）E（2X-3Y2）.【解】从而(1)18 (2)11.设随机变量X的概率密度为f（x）=求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由得.(2)(3)故12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和-200元18 故(元).14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记，S2=.（1）验证=μ，=；（2）验证S2=；（3）验证E（S2）=σ2.【证】(1)(2)因故.(3)因,故同理因,故.从而18 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=-1,计算：Cov（3X-2Y+1，X+4Y-3）.【解】(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设.同理E(Y)=0.而,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|≤1时，当|y|≤1时，.显然18 故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表18X-101PY-101PXY-101P18由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题18图18 从而同理而所以.从而19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.【解】从而同理又故18 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而故21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy-Schwarz）不等式.【证】令显然可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即故22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间18 X~E(λ),E(X)==5.依题意Y=min(X,2).对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为P{X≤x}=1-e-λx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1-e-y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1）Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为,Z=k0123Pk因此，(2)设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系T=问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】故18 得两边取对数有解得(毫米)由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.（2002研考）【解】令则.因为及,所以,从而26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）.【解】由题意知：因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t<0时，fT(t)=0;当t≥0时，利用卷积公式得故得18 由于Ti~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差.【解】设Z=X-Y，由于且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.因而，所以.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(01}=P{}=0,P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}.故得X与Y的联合概率分布为.(2)因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为,.从而所以31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（-∞