矩阵论简明教程课后习题与答案解析.docx 6页

'习题一13.设AC是Hermite矩阵。证明A是Hermite正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite正定矩阵B，使得A=B。解：若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U,使得UAU=,﹥0,I=1,2,n.于是A=UU=UUUU令B=UU则A=B.反之,当A=B且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit正定的.14.设AC是Hermite矩阵，则下列条件等价:（1）A是Mermit半正定矩阵。（2）A的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵PC,使得A=PP解：(1)(2).因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得UAU=diag()令x=Uy,其中y=e.则x0.于是xAx=y(UAU)y=≧0(k=1,2,n).(2)(3).A=Udiag()U=Udiag()diag()U令P=diag()U,则A=PP.(3)(1).任取x0,有xAx=xPPx=≧0.6 习题二1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、∞范数。解：==7+,==,=max=4.2.设，…..是一组给定的正数，对任意x=（,…..）C,规定=。证明是C上的一种向量范数。解：当x0时,有﹥0;当x﹦0时,显然有=0.对任意C,有=.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式:设1≦p﹤∞,则对任意实数x,y(k=1,2,n)有≦证当p=1时，此不等式显然成立.下设p﹥1,则有≦对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式,并由(p－1)q=p,得≦=再用除上式两边,即得Minkowski不等式.现设任意y=()C,则有=≦≦=.3.设a，b是C上的两种向量范数，又，是正常数，证明下列函数是C上的向量范数。(1)函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A,B)=max(≦max()=≦6 ==max()+max()(2)只证三角不等式.k+k≦k+k+k+k=(k+k)+(k+k).4.;;;列和范数(最大列模和)=;=行和范数(最大行模和)=9;5.已知m是C上的矩阵范数，S是n阶可逆矩阵。对任意AC，规定=，证明是C上的一种矩阵范数。解：非负性:A≠O时SAS≠O,于是＞0.A=O时,显然=0;齐次性:设C,则=;三角不等式:≦;相容性:≦=.6.证明：对C上的任意矩阵范数均有≧1。因为I≠O,所以＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:≦,即≧1.7.证明C上的m范数与C上的1、2范数相容。解：设A=(A)C,x=C,且A=,则≦=≦nA=;≦==A≦nA=.10.设U是n阶酉矩阵，证明解：利用定理2.12得.12．设为C上的矩阵范数，为AC的特征值，证明≦.解：设x是对应于的特征向量,则A.又设是C上与矩阵范数相容的向量范数,那么≦因＞0,故由上式可得≦≦.6 习题三4.我们用用两种方法求矩阵函数e:相似对角化法.,当ia时,解方程组(ia－A)x=0,得解向量p=(i,1).当=－ia时,解方程组(ia+A)x=0,得解向量p=(－i,1).令P=,则P=,于是e=PP=.利用待定系数法.设e=(+a)q()+r(),且r()=b+b,则由b=cosa,b=sina.于是e=bI+bA=cosa+sina=.后一求法显然比前一种方法更简便,以后我们多用待定系数法.设f()=cos,或sin则有与由此可得与故(sinia)A==sinA与(cosia)I==cosA.5.对A=求得P=,P=,PAP=6 e=Pdiag(e,e,e)P=sinA=Pdiag(sin(－1),sin1,sin2)P=5.证明：对任意AC,有：（1）sinA+cosA=I;（2）sin(A+2I)=sinA;（3）cos(A+2I)=cosA;（4）e=e(1)sinA+cosA=[]=[]==e=I(2)sin(A+2I)=sinAcos(2I)+cosAsin(2I)=sinA[I－(2I)+(2I)－…]+cosA[2I－(2I)+(2I)－…]=sinA[1－(2)+(2)－…]I+cosA[2－(2)+(2)－…]I=sinAcos2+cosAsin2（3）的证明同上.(4)因为A（2iI）=(2iI)A,所以根据定理3.10可得e=ee=e[I+(2I)+(2iI)+(2iI)+…]=e{[1－(2)+(2)－…]+i[2－(2)+(2)－…]}I=e{cos2+isin2}I=e此题还可用下列方法证明:e=ee=ePP=ePIP=e用同样的方法可证:e=ee.10.证明：若A为反对称矩阵，则e是正交矩阵。A=－A,根据第7题的结果得(e)=e=e,于是有e(e)=ee=e=e=I6 习题四9.求下列矩阵的Hermite标准形和所用的变换矩阵S,并求满秩分解：(1)对A施行初等行变换～S=A=10.求下列矩阵的奇异值分解：(1);(1)的特征值是5，0，0.分别对应特征向量,从而V=I,∑=(),∑=.令,则11，设AC（r>0）,(i=1,2,3,..,r)是A的非零奇异值，证明=证明：根据第一章定理1.5,的特征值之和为其迹，而由第二章2.7F－范数的定义的特征值之和=6'