第2章《近独立粒子的经典统计》习题解答.doc 34页

'第2章《近独立粒子的经典统计》习题解答2-1已知分布概率,其中.(1)试将概率密度函数归一化.(2)求区域内的概率。解：（1）、令由得故归一化的概率密度函数为（2）、区域内的概率为2-2已知概率密度为,其中常数,.求,和。解：（1）（2）（3）2-3在容积为20的容器中装有质量为2g的氢气.若氢气的压强为300mmHg，氢气分子的平均平动能是多少？解：由理想气体的克拉珀龙(Clapeyron)方程得：氢气的温度为所以，氢气分子的平均平动能为27 2-4温度为和时，空气分子的平均平动能是多少？解：由得:(1)、温度为时，空气分子的平均平动能(2)、温度为时，空气分子的平均平动能2-5目前，在实验室中已经获得了压强为的所谓“真空”.试问：在的温度下，这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子?解：由得平均分子数密度2-6已知一定质量的空气在的温度下的体积为10.若压强不变，当温度为时，气体体积为多少？解：根据盖-吕萨克定律得：2-7标准状况下二氧化碳气的分子数密度是多少？解：由得标准状况下二氧化碳气的分子数密度为27 标准状况下二氧化碳气的密度为2-8温度为和时，理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1，气体的温度需多高？解：(1)、由得:温度为时，理想气体分子的平均平动能温度为时，理想气体分子的平均平动能(2)、由得2-9有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.题2-9图0v02v0vaNf(v)(1)说明曲线与横坐标所包围面积的含义；(2)由N和求a值；(3)求在速率到间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能。解：（1）、因为速率分布曲线与横坐标所包围面积为，所以曲线与横坐标所包围面积代表一定速率区间内的分子数。（2）、根据速率分布曲线与横坐标所包围面积的物理意义可得：27 (3)根据速率分布曲线与横坐标所包围面积的物理意义可得在速率到间隔内的分子数（4）所以分子的平均平动动能2-10求温度为时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率.解：对氢分子：对氧分子：2-11在1atm下，氮气分子的平均自由程为27 .当温度不变时，在多大压力下，其平均自由程为1mm?解：由知对氮气当温度一定时，所以2-12收音机所用电子管的真空度约为，试求在时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设分子的有效直径）.解：由得单位体积中的分子数为分子的平均自由程2-13若氖气分子的有效直径为，问在温度为600K，压力为1mmHg时氖气分子一秒钟内的平均碰撞次数为多少？解：氖气分子一秒钟内的平均碰撞次数2-14已知分子的平均平动动能.试将麦克思韦速率分布定律写成下面的能量分布定律.解：根据麦克思韦速率分布得即：2-15利用上面的能量分布定律，证明分子的最可几平动动能为.27 解：由可得分子按平均动能的分布密度由可得：解得分子的最可几平动动能为2-16利用9-14的能量分布定律，证明分子的平均平动动能为.解：由可得分子的平均动能为令则提示：分子的平均平动动能为.27 《第二章近独立粒子的经典统计》小结一、基本概念：1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。最概然分布作为平衡态下的分布近似。3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。①、粒子可以分辨，②、系统中多个粒子可以具有相同的微观运动状态。27与分布对应的微观状态数为分布要满足的条件是：系统总的微观状态数系统某时刻的微观状态只是其中的一个在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态----各态历经假说。且各微观态出现的概率相等2727 ---玻耳慈曼分布。此分布（宏观态）的概率为即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。4、热力学第一定律的统计解释：比较可知：即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能量引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化。二、相关公式1、非定域系及定域系的最概然分布玻耳兹曼分布2、配分函数：经典体系：3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）内能：物态方程：定域系：自由能：熵：或的非定域系（经典极限条件的玻色(费米)系统）：27 自由能：熵：或三、应用：1、能量均分定理①求平均的方法要掌握：②能量均分定理的内容---能量均分定理的应用：理想气体、固体。③经典理论的局限于问题2、对的非定域系的应用⑴麦克斯韦速度分布研究质心平动时经典、量子结果相同⑵气态方程①掌握由麦氏分布向具体分布的过渡方法，②掌握求平均值的公式：③热力学公式。⑶理想气体的内能、热容量、熵、自由能的经典理论的求解及其表达式。3、对定域系的应用---爱因斯坦固体热容量理论。四、应熟练掌握的有关计算1、由麦氏分布向具体分布的过度方法2、求平均值的方法：3、的证明及相关应用27 4、求配分函数进而求系统的热力学性质（定域系和的非定域系）5、麦氏分布的应用6、能量均分定理的应用：理想气体、固体。习题课一、求粒子能态密度；已知粒子的哈密顿量与广义坐标和广义动量满足的函数关系，求粒子能态密度。。方法：半经典近似法。该方法的依据是：对自由度为的一个粒子，对每一个可能的状态对于空间中大小为的一个相体积元，因此，粒子能量小于的量子态数为由此求得粒子能量在到范围的量子态数。计算步骤：第一步、写出粒子自由度和粒子哈密顿。第二步、由求出粒子能量小于的状态数。第三步、求出粒子态密度。[例1]、对于二维自由粒子，在长度L2内，求粒子在到的能量范围内量子态数。解，半经典方法:由可知，在二维动量空间中，等能线满足，等能线为半径等于27 的圆，由此求得粒子能量小于的量子态数：所以粒子在到的能量范围内的量子态数二、确定孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率或求最概然分布。[例2]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、、、、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量相联系的是什么样的分布？并根据公式计算每种分布的微观态数,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。（2）、在题（1）中，如0和两能级是非简并的，而和两个能级分别是6度和10度简并。试重复上面的计算。解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能级能量值简并度分布数分布要满足的条件是：，满足上述限制条件的分布可以有：27 则各分布所对应的微观态数为：所以此种情况下体系的总的微观状态数为各分布的几率为：（2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能级能量值简并度分布数分布要满足的条件是：，满足上述限制条件的分布可以有：则各分布所对应的微观态数为：所以此种情况下体系的总的微观状态数为27 各分布的几率为：[例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。证：粒子A能级，粒子数分布：——{al}——简并度粒子B能级，粒子数分布：——{a’l}——简并度体系两种粒子分布要满足的条件为：，分布，对应的微观状态数为                         分布，对应的微观状态数为                         则系统的微观态数为上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。27 在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件，下使为极大的分布。利用斯特林公式可得：由，得而由限制条件可得：，引入拉氏不定乘子，得根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：讨论：（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的（227 ）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。由于在热平衡时，两子系统的温度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的是相同的，由此可见，参数是一个与温度有关的量。三、求广义力的基本公式的应用；【例4】：根据公式，证明：对于极端相对论粒子，，有。证明：令，，因此得到压强因内能，所以。证毕四、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用【例5】：对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置数均为N，证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能为极小证明在温度为T时，缺位和填隙原子数为（设）27 证明：（1）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各种占据方式就对应不同的微观状态，N个正常位置出现n个空位的可能方式数为，同样离开正常位置的n个原子去占据N个间隙位置的方式数也为，从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据的方式数即微观态数，由此求得熵（2）系统的自由能，取无缺陷时的晶体自由能为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能F对缺陷数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子数为（设）五、麦氏分布及其应用【例6】：气体以恒定的速度沿z方向作整体运动，试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为证明：在体积V内，粒子质心在，…内的分子可能状态数为，而一个量子态上平均粒子数为，所以粒子质心在…的分子数为⑴将气体分子视为玻尔兹曼体系，给定分布下的微观状态数为27 在、的条件下，应用斯特林近似公式，有该体系应满足（粒子数不变）⑵（总能量不变）　　　　　⑶（z方向动量守恒）⑷所求的最概然分布是在满足限制条件⑵、⑶、⑷式下，使取极大的分布。按照拉格朗日待定乘子法，引入待定因子，构造函数最可几分布时，，得⑸将⑸代入⑴得到，最可几分布时，粒子动量在…的分子数为⑹将自由粒子的能量代入得⑺令展开，相比较可得；⑻将⑻代入⑺，得到：27 证毕式中的可由⑵、⑶、⑷确定。将⑺代入中积分求得讨论：根据上式可求的平均值这恰好是气体整体运动是的平均动量，即气体的平动动量为,由此可见气体的平衡状态并不因为气体整体平动而受到破坏，其物态方程仍然为。据此还可证明。【例7】表面活性物质的分子在液面上作二维运动，可以看作二维理想气体，试写出二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。解：对二维理想气体，粒子自由度，分子能量为。在平衡态，按照玻尔兹曼分布律，在N个分子中，位置在而动量在，内的分子数为（1）其中粒子配分函数27 （2）将（2）代入（1）并对积分，并将代入，得到速度分量在的分子数为（3）利用二维速度空间极坐标与直角坐标的关系：，将公式⑶换为平面极坐标，对积分，得到速率介于的分子数（4）（3）、（4）即为二维理想气体分子的速度分布和速率分布。由（4）求得速率分布函数⑸平均速率⑹速率平方平均值及方均根速率分别为，⑺由一阶导数为零，即，求得。【例8】：试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度vr=v2—v1和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值。27 解：按照麦克斯韦速度分布律，一个分子具有速度为v到v+dv的概率为（1）这里，所以分子1的速度在，而同时分子2的速度在的概率为⑵对分子1、2，引入质心运动速度和相对速度：，⑶利用，由上式解出，⑷两分子的动能⑸这里，是两分子相对运动的约化质量。利用，是由变换到的雅可比行列式，其值。将⑸和dv1dv2=dvcdvr代入⑵得到⑹其中两分子的相对速度为的概率分布为⑺【例9】证明单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于到之间的分子数为27 证明：如图，在时间内，速度在到范围，能达到面积为dA为底。分子速率为v为轴，高为的柱体内分子数，设单位体积分子数为，则⑴其中分子速度在到范围的几率⑵将⑵代入⑴，并对积分，由0到，由0到，积分后求得单位时间碰在单位面积器壁上，速率介于到范围的分子数总分子数六、求配分函数，确定体系热力学性质。【例10】：已知粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表示式为其中，为常数，求粒子的平均能量。解：方法一：由配分函数求27 方法二由玻尔兹曼分布公式求由玻尔兹曼分布，粒子坐标在，动量在范围的概率为，由此求得一个粒子平均能量，积分范围为：将代入积分，利用函数，最后得到方法三用能量均分定理求能量表示式中，按照能量均分定律，每一平方项的平均值为，在上式中，对变量的平方项有4项，于是补充习题及其解答【选自汪志诚《热力学统计物理》第六章，第七章】1、求一个一维线性谐振子，在的能量范围内粒子可能的状态数。27 解：用相空间方法求由测不准关系有，即一个状态对应相空间面积元的面积为h。一维谐振子、当能量为的相轨道为即在相空间中能量小于ε的相面积为，能量小于ε+dε的面积为；能量在的相面积为，由此得到能量范围的状态数为2、设有某种气体分子，其能量和动量的关系是，其中为常量。试求这种粒子的能量在范围的状态数。解首先计算粒子能量小于某一数值的状态数在粒子能量范围内的量子态数为例如，对于光子气体，为光速，且计及光子自旋有两个投影，则得27 若将代入，得光子频率在内的量子态数为3、由和，证明。证明：令则粒子能量，又，∴，由此得到：压强但，所以。证毕4、根据公式，证明：对于极端相对论粒子，，有。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。证明：令，，因此得到压强但内能，所以。证毕，5、当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为27 或，以△表示二者之差，证明相应的配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数之间有何区别？证明：，⑴⑵⑶⑷由⑴—⑷看出：选取不同的零点能对U、F等有影响，对p、S、CV等无影响。6、对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置数均为N，证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能为极小证明在温度为T时，缺位和填隙原子数为（设）证明：（127 ）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各种占据方式就对应不同的微观状态，N个正常位置出现n个空位的可能方式数为，同样离开正常位置的n个原子去占据N个间隙位置的方式数也为，从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据的方式数即微观态数，由此求得熵（2）系统的自由能，取无缺陷时的晶体自由能为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能F对缺陷数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子数为（设）7、如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N表示晶体中的原子数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为T时n≈(设nN)其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。证：,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量；,而在N个格点上形成n个空位，其可能的状态数;利用27 利用自由能判据；。8、气体以恒定的速度沿z方向作整体运动，试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为证明：在体积V内，粒子质心在，…内的分子可能状态数为，而一个量子态上平均粒子数为，所以粒子质心在…的分子数为⑴将气体分子视为玻尔兹曼体系，给定分布下的微观状态数为在、的条件下，应用斯特林近似公式，有该体系应满足（粒子数不变）⑵（总能量不变）　　⑶（z方向动量守恒）⑷27 所求的最概然分布是在满足限制条件⑵、⑶、⑷式下，使取极大的分布。按照拉格朗日待定乘子法，引入待定因子，构造函数最可几分布时，，得⑸将⑵代入⑴得到，最可几分布时，粒子动量在…的分子数为⑹将自由粒子的能量代入得⑺式中的可由⑵、⑶、⑷确定。将⑺代入中积分求得令展开，相比较可得，⑻将⑻代入⑺，得到：证毕27 9、表面活性物质的分子在液面上作二维运动，可以看作二维理想气体，试写出二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。解：对二维理想气体，粒子自由度，分子能量为。在平衡态，按照玻尔兹曼分布律，在N个分子中，位置在而动量在，内的分子数为（1）其中粒子配分函数（2）将（2）代入（1）并对积分，并将代入，得到速度分量在的分子数为（3）利用二维速度空间极坐标与直角坐标的关系：，将公式⑶换为平面极坐标，对积分，得到速率介于的分子数（4）（3）、（4）即为二维理想气体分子的速度分布和速率分布。由（4）求得速率分布函数⑸平均速率27 ⑹速率平方平均值及方均根速率分别为，⑺由一阶导数为零，即，求得。10、试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度vr=v2—v1和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值。解：按照麦克斯韦速度分布律，一个分子具有速度为v到v+dv的概率为（1）这里，所以分子1的速度在，而同时分子2的速度在的概率为⑵对分子1、2，引入质心运动速度和相对速度：，⑶利用，由上式解出，⑷两分子的动能⑸这里，是两分子相对运动的约化质量。27 利用，是由变换到的雅可比行列式，其值。将⑸和dv1dv2=dvcdvr代入⑵得到⑹其中两分子的相对速度为的概率分布为⑺利用相对速率与相对速度之关系，由⑺求得两分子相对速率为的概率分布为：相对速率平均值其中是气体中一个分子的平均速率。11、根据麦克斯韦速度分布律证明，速率和平动能量的涨落为，证明：麦克斯韦速率分布函数为⑴求得⑵速率涨落27 能量涨落的计算可采用两种方法：方法一由⑴式出发方法二先求按能量的分布函数，由出发。分子能量在范围的概率与分子速率在到范围的概率相对应，即=，将代入⑴，求得⑶求得在上述各式的计算中，都要用到函数的知识（参见汪志诚书的附录c的⒉3）12、证明单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于到之间的分子数为证明：如图，在时间内，速度在到范围，能达到面积为dA为底。分子速率为v为轴，高为的柱体内分子数，设单位体积分子数为，则27 ⑴其中分子速度在到范围的几率⑵将⑵代入⑴，并对积分，由0到，由0到，积分后求得单位时间碰在单位面积器壁上，速率介于到范围的分子数总分子数。13、分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率，方均根速率和平均能量。解：由⒎13题已求出单位时间碰在单位面积器壁上，速率在到的分子数，由此求得分子从器壁小孔射出时分子按速率的概率分布为⑴由此求得射出的分子束中，分子平均速率、方均速率、方均根速率，平均动能分别为：⑵以上计算中，均要用到函数的知识（请参阅书，附录C）将所得的结果与容器内部分子运动的相应值：27 、相比较看出：小孔射出的分子束中的值要比其内部运动的相应值要大。原因在于：几率分布不同，在容器内部，因分子碰撞的随机性，平衡态下，分子运动各向同性，每一分子受到周围分子碰撞作用，总效果是合力为零。在小孔处，在小孔方向未受分子作用，受的合力不为零。其合力指向小孔方向并对分子作功。分子能量为热运动能与合力作功之和。从而分子束中的均大于容器内部的相应值。27'