金融工程课后题13-20习题解答renzhengliang(Lite).doc 60页

'Ch1313.1不是可交易证券价格的变量的风险价格是如何定义的？解：不是可交换证券价格的变量的风险市场价格是通过求可交换证券的风险市场价格而来，但必须满足该可交换证券的价格与不是可交换证券价格的变量瞬态完全正相关。13.2假设黄金的风险市场价格为零，如果贮存成本为每年1%，无风险年利率为6%，那么黄金价格的期望增长率为多少？解：由公式m-s=r-y+u,而=0,r=0.06,y=0,u=0.01所以m=0.07.即期望增长率为0.07。13.3一个证券的价格与以下两个变量正相关：铜的价格和日元兑美元的汇率，假设这两个变量的风险市场价格分别为0.5和0.1。若铜的价格固定，则该证券的波动率为每年8%；如果日元对美元的汇率固定，则该证券的波动率为每年12%。无风险利率为每年7%。证券的预期回报率为多少？如果两个变量彼此之间是不相关的，该证券的波动率为多少？解：（1）令u为证券的预期收益率，已知无风险利率r=0.07，铜价和日圆兑美圆汇率的风险市场价格分别为=0.5和=0.1，铜价固定时汇率引起的证券波动率为=0.08，汇率固定时铜价引起的证券波动率为=0.12。因此由公式u-r=+可得u=0.138即证券的预期收益率为每年0.138（2）由dz+dz=dz3代入，的值可得为0.144即铜价和日圆兑美圆汇率不相关时证券的波动率为0.14413.4某个石油公司只是为了开发德克萨斯一个很小区域的石油。其价值主要依赖于如下两个随机变量：石油的价格和以探明石油的储存量。讨论：这两个变量中的风险市场价格为正数、负数还是零？解：第二个变量的风险市场价格为0。这是因为这种风险是非系统的，它与经济社会的其他风险完全不相关，投资者不能因为承担这种不可转换的风险而要求更高的回报。13.5通过两个无红利支付的交易证券和两个依赖于这两个无红利支付交易证券价格的衍生工具构成一个无风险组合，推导出这个衍生工具的微分方程。证明此微分方程和13B.11所给的微分方程一样。解：假定两个无红利支付交易证券的价格分别为S1和S2，而依赖于它们的衍生工具的价格为f，可以得到如下等式：dS1=u1S1dt+1S1dz1;dS2=u2S2dt+2S2dz2又根据Ito定理可得式： 由可得所以，根据无风险组合特性：我们可以得到等式：因此，又由13B.11知道所以这个衍生工具的微分方程和13B.11所给的微分方程一样。13.6一个远期合约在T时刻盈亏状态为（ST—K）日元，其中ST是T时刻黄金的价格，K是以美元计的交割价格。假设储存成本为零，若有必要可定义其他变量，计算远期价格。解：假设是从日圆投资者来看的风险中性世界中的期望值，是T时刻用日圆表示的一美圆的价值，、分别是美圆和日圆的无风险利率，是指数的红利收益率，是的瞬时相关系数，是S和Q的波动率，F是远期价格由本章可得如下等式：、以及所以，远期价格13.7豆油的便利收益是年率5%，年贮存成本为1%，无风险利率为年率6%。豆油价格期望增长率为0。那么6个月的期货价格和6个月的期望价格之间有何联系？解：y=r+u-m+s,已知y=0.05.r=0.06,u=0.01,m=0,可求得s=0.02因为F=()=，()= 所以F=()=()=1.01()即六个月的期货价格比六个月的期望价格高出百分之一。13.8铜的风险市场价格为0.5，铜的年波动率为20%，即期价格为每磅80美分，6个月期货价格为每磅75美分。问在下6个月中预期铜价的相应增长率为多少？解：由上题知道F=()。而=0.5，s=0.2,=0.8,F=0.75和T=0.5可求得()=0.7885又因为=0.8，()=，所以m=-0.03即期望增长率为负百分之三。13.9假设一利率遵循如下过程：其中、、和是正常数。假设的风险市场价格是。当用扩展后的风险中性原理估计一个衍生工具时，漂移率是如何被调整的？解：题中等式可改写为：，其中是利率的期望增长率，是它的干扰项，那么在风险中性世界期望增长率为因此，过程变为，即，所以，漂移率调整为13.10一个证券在T时刻的盈亏状态为S1S2,其中S1是标准普尔500指数的水平，S2是石油的价格。假设S1和S2都遵循几何布朗运动且不相关。若有必要，可定义其他变量，计算T时刻该证券的价值。解：假设、分别是标准普尔500指数和石油价格增长率，是无风险利率由公式13.14：，以及考虑本题有而根据布朗运动知道所以,T时刻该证券的价值为 13.11应用风险中性定价原理证明：6个月后以一股IBM股票兑两股柯达股票的期权价格与利率无关。解：由题意可假设现时刻一股IBM股票刚好可兑换两股柯达股票，那么六个月后一股IBM股票兑两股柯达股票的期权价格即是后者与前者的远期价格之差，令S10、S20分别是IBM股票和柯达股票的现时刻价格，即S10=2S20；再令m1、m2分别是两股票的预期增长率，根据风险中性定价原理，在风险中性世界中两者的预期增长率为m1-、m1-，IBM股票和柯达股票六个月的远期价格为S10、S20所以在风险中性世界中期权价格为2S20S10，即与利率无关，根据风险中性定价原理将其应用到风险世界中同样成立13.12假设有一商品，其波动率为一常数，无风险收益率也为常数。证明在风险中性的世界中：其中为时刻商品的价值，是到期日时刻期货合约的价格。解：由第11章我们可得，而，即所以，Ch1414.1一个看涨期权的delta值为0.7意味着什么？若每个期权的delta均为0.7，如何使一个1000个看涨期权的空头变成delta中性？解：Delta为0.7意味着：当股票价格上涨一个小量ΔS时，期权价格上涨70%ΔS。反之亦然。1000个看涨期权空头其Delta是-700，可以购买700股使之变成Delta中性。14.2无风险年利率为10%，股票价格的年波动率为25%，计算标的物为不分红股票，6个月期两平期权欧式看涨期权的delta值。解：S0=X,r=0.1,σ=0.25,T=0.5看涨期权delta为N(d1)或0.6414.3若以年计，一个期权头寸的theta值 为－0.1意味着什么？若一个交易者认为股票价格和隐含波动率都不会变，那么期权头寸是什么类型？解：Theta为－0.1意味着：如果Δt年后，股票价格和波动率都不变，期权价值下降0.1Δt。如果交易者认为股票价格和隐含波动率都不会变，期权头寸会选择一个尽可能高的theta值，相对来说，短期平价期权具有最高的theta值。14.4期权头寸的gamma是代表什么？当一个期权空头头寸的gamma为很大的负值时，并且delta为零，其风险是什么？解：Gamma代表某种标的资产的衍生证券组合的delta变化相对于标的资产价格变化的比率。当一个期权空头头寸的gamma为很大负值，而delta为0，风险在于：如果资产价格有大的变化（上升或下降），该交易者会遭受巨大损失。14.5“构造一个合成期权头寸的过程就是对冲该期权头寸的逆过程。”请你解释这句话的意思。解：要为一个期权套期保值，必须构造一个数量相同、头寸方向相反的合成期权。比如说，要为一个看跌期权多头套期保值，就必须构造一个合成看跌期权的空头。这就是说：构造一个合成期权头寸的过程就是对冲该期权头寸的逆过程。14.6为什么在1987年10月19日证券组合的保险方式失效了？解：如果指数波动率变化迅速或者股票指数产生很大的跳跃，那么构造基于指数的合成看跌期权不是很有效的办法。因为他们无法足够快的卖出股票或者指数期货以保护原头寸免遭损失。1987年10月19日，市场下跌的太快，以至于证券组合不能及时做出反应。14.8一个执行价格为＄40的处于虚值状态的看涨期权，其black-scholes公式的价格为＄4.00。一个出售了该期权合约的交易商计划使用第14.3节中的止亏策略。交易商计划以＄买入，以＄卖出。估计股票被买入或卖出的预期次数。解：在该策略中，交易者每次买卖股票要花费＄1/8，预期总成本是＄4，意味着：股票买卖次数大约为32次。买和卖的次数分别大约为16次。14.9利用看涨-看跌期权之间的平价关系推导不分红股票的如下二者之间的关系：（a）一个欧式看涨期权的delta值和一个欧式看跌期权的delta值（b）一个欧式看涨期权的gamma值和一个欧式看跌期权的gamma值（c）一个欧式看涨期权的vega值和一个欧式看跌期权的vega值（d）一个欧式看涨期权的theta值和一个欧式看跌期权的theta值解：对于不分红股票，根据看涨-看跌平价关系有：在t时刻，（a）对S求偏导或者这表示，欧式看跌期权的delta值等于对应的欧式看涨期权的delta值减去1。（b）再次对S求二阶偏导 表示：欧式看跌期权的gamma值与对应的欧式看涨期权的gamma值相等。（c）对σ求偏导表示：欧式看涨期权的vega值与对应的欧式看跌期权的vega值相等。（d）对T求偏导欧式看涨期权和欧式看跌期权的theta值存在以上关系。14.10假设一股票现价为＄20，假象一个执行价格为25的看涨期权，由频繁变化的股票头寸合成的。考虑下面两种情况：（a）在期权有效期内，股票价格由＄20稳定增长至＄35（b）股票价格波动剧烈，最终价格为＄35请解释哪种方案使合成的期权更值钱？解释你的答案。解：该策略为买高卖低。第一种情况，股票价格稳定增长，因此，一直都是买进；第二种情况则是不断的买进、卖出、买进、卖出……最终股票价格一样。显然后者比前者花费更高。14.111000个白银期货的欧式看涨期权的空头头寸的delta值为多少？该期权有效期为8个月，期权的标的期货合约有效期为9个月。当前9个月期的白银期货价格为每盎司＄8.00，期权执行价格为每盎司＄8.00，无风险年利率为12%，白银价格的年波动率为18%。解：期货的欧式看涨期权的delta值是期权价格变化和期货价格的比率。是本题中，F0=8，X=8，r=0.12，σ=0.18，T=0.6667N（d1）=0.5293，所以delta值为因此，1000个白银期货的欧式看涨期权的空头头寸的delta值为－488.614.12在习题14.11中，若进行delta套期保值，白银期货的初始头寸至少应为多少？如果使用白银本身，初始头寸为多少？如果是一年期期货，初始头寸应为多少？假设没有储存费用。解：前者指的是期货delta值，后者指的是现货delta值。对于前者，从上题的答案得出，要进行delta套期保值，必须持有488.6盎司的有效期为9个月的白银期货多头头寸。对于后者，delta值为=1.094（无储存费用）。因此，期货头寸的当前delta值为－488.6×1.094=-534.6，所以须持有534.6盎司多头头寸来套期保值。若使用一年期期货，当前delta值为e0.12=1.1275，所以，初始头寸应为e0.12×534.6=474.1盎司。 14.13一家公司打算对一个货币的看涨看跌期权组成的多头头寸组合进行delta套期保值。请解释下面哪种情况结果最佳？解：无论是看跌期权还是看涨期权，多头头寸都有正的gamma值，意味着，对于套期保值者，股票价格大幅波动比稳定的效果要好。因此（b）的结果最佳。14.14一家金融机构拥有一种货币的看涨看跌期权组成的空头头寸组合，请重新分析习题14.13。解：无论是看跌期权还是看涨期权，空头头寸都有负的gamma值，意味着，对于套期保值者，股票价格大幅波动比稳定的效果要差。因此（a）的结果最佳。14.15一个金融机构刚刚卖出一些日元的7个月期欧式看涨期权。假设即期汇率为0.8美分/日元，执行价格为0.81美分/日元，美元的无风险年利率为8%，日元的无风险年利率为5%，日元的年波动率为15%。计算并解释说明期权的delta，vega，theta和rho。解：本题中，看涨期权的delta值为所以看涨期权的gamma值为看涨期权的vega值为看涨期权的theta值为+0.05×0.8×0.5405×0.9713-0.08×0.81×0.9544×0.4948 ＝－0.0399看涨期权的rho为＝0.81×0.5833×0.9544×0.4948＝0.2231解释：delta表示，现价上升一个小量，期权价值上升0.525倍该小量；vega表示，当波动率上升一个小量，期权价值上升0.2355倍该小量；theta表示，时间过去一个小量，期权价值下降0.0399倍该小量；rho表示，利率上升一个小量，期权价值上升0.2231倍该小量。14.19某个基金经理拥有一个风险分散的组合，该组合的状况可由S&P500来反映，价值＄9000万。S&P500的点数为300，该组合的经理打算购买保险，防止在随后的6个月中组合价值下跌超过5%。无风险年利率为6%。该组合以及S&P500的红利率为3%，指数的年波动率为30%。（a）如果基金经理购买可交易欧式看跌期权，保险费为多少？（b）详细解释包括可交易欧式看涨期权在内的几种策略，并说明他们如何得到相同的结果。（c）如果基金经理决定通过部分无风险证券组合来提供保险，初始头寸应该为多少？（d）如果基金经理决定通过使用9个月期指数期货来提供保险，初始头寸应该为多少?解：（a）一份看跌期权价值为因此总的保险费为300，000×63.40＝＄19，020，000（b）由看涨-看跌平价关系表明一份看跌期权可以这样构造：卖空的指数，买一份看涨期权，剩下的投资于无风险资产。应用到本题情况，该基金经理应该：1）卖出360=＄354，640，000的股票2）买入300，000份S&P500看涨期权，执行价1140，期限为6个月3）投资剩余现金到无风险资产获得每年6%的无风险利率。该策略和直接买进看跌期权有同样的效果。（c）一份看跌期权的delta值为 表示，初始头寸为，卖出资产组合的33.27%（即＄119，770，000）并投资于无风险证券。（d）9个月期指数期货合约的delta值为当前空头头寸必须为除以指数，所以，空头头寸为：份期货合约。14.20假设某证券组合的beta为1.5，年红利率为4%，重复习题14.19的几个问题。解：6个月内，证券组合价值下跌5%，证券组合的总回报，包括分红，为：－5+2=3%即每年6%。比无风险年利率少了12%。既然证券组合的beta值为1.5，那么可以预测，市场回报率比无风险利率少8%，即为－2%。既然红利率为3%，可以预测市场指数每年下降5%，即6个月下降2.5%，市场预计会下降到1170。因此需要总计450，000=（1.5×300，000）份S&P500看跌期权，执行价1170，执行时间为6个月。（a）所以看跌期权价值为：所以，保险费总计为：450，000×76.28＝＄34，326，000（b）策略1：卖出＄354，640，000的股票；2：买进450，000S&P500看涨期权，执行价1170，执行期6个月；3：投资剩余现金于无风险资产。（c）证券组合的波动率比S&P500高50%，以证券组合来提供保险，参数为：S0=360,X=342,r=0.06,σ=0.45,T=0.5,q=0.04 期权delta值为：这表明，证券组合中的35.5%（即＄127，800，000）应该被卖出并投资于无风险证券。（d）此时，每份看跌期权的delta值为看跌期权总头寸的delta值为－450，000×0.3779=－170，000。9个月期指数期货的delta值为1.023。所以初始头寸应该为：份指数期货合约空头。14.21证明代入Θ，Δ，Γ和f，等式（14.4）在以下情况仍成立：（a）不分红股票的欧式看涨期权（b）不分红股票的欧式看涨期权（c）任何不分红股票的欧式看涨期权和看跌期权的组合。解：（a）对于不分红股票的欧式看涨期权代入14.4，等式左边等于：（b）对于不分红股票的欧式看跌期权代入14.4，等式左边等于： （c）对于期权组合，П，Δ，Θ和Γ是证券组合中的单个期权的价值的总和，因此，14.4对于任何不分红股票的欧式看涨期权和看跌期权的组合成立。14.22与等式（14.4）相对应的一种货币衍生产品的组合的等式是怎样的？解：货币提供连续的分红率rf，这点和股票类似。货币衍生产品组合的微分等式为：因此：类似的，对于独立于期货价格的衍生产品组合，14.23假设要为＄700亿的权益资产组合做个保险计划。假设此计划可防止资产价值在一年内下跌不超过5%。做任何你认为必要的估计，计算如果在一天之内市场下降23%，该组合保险计划的管理者应出售价值多少的股票或期货合约？解：可以把所有资产组合保险头寸看作一份单个的看跌期权。在下降23%之前，三个已知参数为：S0=70，X=66.5，T=1。其他参数估计为r=0.06，σ=0.25，q=0.03。那么：期权delta值为：这表明，市场下降之前，必须卖出资产的31.67%或者＄221.7亿。下降以后， 期权delta值下降为这表明，总共必须卖出资产的70.28%或者＄492亿（以下跌前价格衡量）。即，市场下降的结果导致大约270亿的附加资产必须被卖出。Ch1515.1美式期权的Delta、Gamma、Vega、Theta和Rho参数，哪一个可以通过构造单一的二叉树图来估值？解：由式（15.8）、（15.9）和（15.10）及例15.2的计算知，Delta、Gamma和Theta可以通过构造单一的二叉树图直接估值；由Vega的定义知，可以通过对股价波动率的微调，然后重新构造一个二叉树图间接估值；由Rho的定义知，可以通过对利率的微调，然后重新构造一个二叉树图间接估值。15.2某不分红股票的美式看跌期权，有效期3个月，股票市价和执行价格均为60美元，无风险利率为年率10%，波动率为45%。请构造时间间隔为一个月的期的二叉树图模型为该期权估值。解：已知,则由（15.4）—（15.7）有：计算二叉树图的结果如下：88.5889077.79830 68.32201.1993605.161852.69208.6083603.626568.3220046.274113.725952.69237.307740.637919.3621图15.1由此可知，该期权的价格约为5.16美元。15.3请解释当用树图法估计美式期权价值时，如何应用控制变量技术。解：当用树图法估计美式期权价值时，控制变量技术主要有以下应用：（1）利用二叉树图中常用的的方式对美式期权定价。（记为）（2）使用与（1）中相同的二叉树图，并保持所有的参数不变，对相应的欧式期权定价。（记为）（3）使用B—S对欧式期权定价。（记为）美式期权价格的估计值是。15.4某谷物期货的美式看涨期权，有效期为9个月，期货市价为198美分，执行价格为200美分，无风险利率为年率8%，波动率为年率30%。请构造时间间隔为3个月的二叉树图模型为该期权估值。解：已知，则有：计算二叉树图的结果如下：310.5258110.5258267.2720 67.2720230.043237.677719820.3371170.42026.176319813.6219230.043230.0432146.68200170.42020126.25040图15.2由此可知，该期权的价格约为20.34美元。15.5试想一个期权，其最终收益为期权有效期期末的股票价格高出有效期期中最低股价的部分。试问这一期权能否用二叉树图方法定价？请解释说明。解：这一期权不能用二叉树图方法定价。原因如下：此题中最终收益为期权有效期期末的股票价格高出有效期期中最低股价的部分，即其最终收益不仅与股票在期末时的价格有关，而且决定于股票价格的运动路径，故我们不能使用二叉树图方法从后向前推算，从而不能使用二叉树图方法对该期权定价。15.6“对于支付红利的股票，其股价的树图不重合，但从股价中减去将来的红利的现值之后，其树图重合。”请解释这一论述。解：假设在某时间段内股票将支付价值为D的红利，S为股票的初始价格，则股票的在该时间段的期末价格将变为Su—D或Sd—D，在下一个时间段的期末价格将变为(Su—D)u、(Su—D)d、(Sd—D)u及(Sd—D)d中的某一个值，由于u与d不相等，故(Su—D)d与(Sd—D)u是不可能相等的。这表明对于支付红利的股票，其股价的树图不重合。但是，当开始时就将将来的红利的现值从股价中剔除后（即减去将来的红利的现值后），其树图必然重合。15.7请说明在脚注6所示的情况下，应用Cox、Ross和Rubinstein的二叉树图方法时，概率将出现负值。解：在脚注6所示的情况下，，即或，故有或，此即：或则概率或。15.8当股指美式期权的标的股指的红利收益率为时间的函数时，你如何用二叉树方法对该期权定价？ 解：当股指美式期权的标的股指的红利收益率q为时间t的函q(t)时，以下式子仍然成立：由以上式子可知，、独立于时间，而、依赖于时间。当用二叉树方法对期权定价时，二叉树图的形态仅依赖于、，故标的股指的红利收益率为时间的函数与其为常数所用的二叉树图的形态相同，不同的是在计算每个不同时间对应节点处的期权的价值时，值应该随着时间作相应的调整，然后重复与收益率为常数时计算期权价值的程序。15.9请解释说明为什么蒙特卡罗模拟不适用于于美式衍生证券的定价。解：由于在用蒙特卡罗模拟方法计算风险中性世界中衍生证券的样本价值时，依赖于该衍生证券标的变量的路径的模拟，在每次的模拟中，标的变量的价值就首先在时刻确定，然后在时刻确定，然后等等。这样在时刻（）就不可能决定提请执行期权是最优选择，原因是时刻可能的路径没有被考察。总之，蒙特卡罗模拟是沿着时间从到顺次进行的，不适用于于美式衍生证券的定价。15.10某个不付红利股票的美式看跌期权，有效期为1年，执行价格为18美元。股票市价为20美元，无风险利率为年率15%，股价的波动率为年率40%。请将该有效期等分为四个时间段，每个时间段为期三个月。用树图方法对该期权定价。请用控制变量技术对这一估计进行修正。解：已知，由此可计算二叉树的有关参数如下：（1）利用二叉树法对该美式看跌期权定价如图15.3所示，由此得该美式看跌期权的价格约为1.29美元。（2） 利用二叉树法对该看跌期权对应的欧式期权定价如图15.4所示，由此得该看跌期权对应的欧式期权价格约为1.14美元。（3）用Black—Scholes公式对该看跌期权对应的欧式期权定价如下：故该看跌期权对应的欧式期权价格为：故用控制变量法计算出的修正值为1.29+1.10-1.14=1.25美元。注：保留小数点后四位有效数字。44.5108036.4424029.8365029.8365024.42810.386524.4281 0200.8820201.287916.37462.476013.40644.593616.37462.012910.97627.023820013.40644.59368.98669.0134图15.3注：保留小数点后四位有效数字。44.5108036.4424029.8365029.8365024.42810.3865 24.42810200.8820201.144016.37462.147613.40643.844216.37462.012910.97626.361320013.40644.59368.98669.0134图15.415.11某个白银金属期货的美式看涨期权，有效期为1年，执行价格为9美元。期货合约的市价为8.50美元，无风险利率为年率12%，期货价格的波动率为年率25%。请将该有效期等分为四个时间段，每个时间段为期三个月。用树图方法对该期权定价。请用控制变量技术对这一估计进行修正。请估计该期权的Delta参数。解：已知，由此得：（1）利用二叉树法对该美式看涨期权定价如图15.5所示，由此得该美式看涨期权的价格约为0.60美元。（2） 利用二叉树法对该看涨期权对应的欧式期权定价如图15.6所示，由此得该看涨期权对应的欧式期权价格约为0.59美元。（3）用Black—Scholes公式对该看涨期权对应的欧式期权定价如下：故该看涨期权对应的欧式期权价格为：故用控制变量法计算出的修正值为：美元。（4）对应于（1）的Delta参数为：对应于（2）的Delta参数为：对应于（3）的Delta参数为：故用控制变量法计算出的Delta参数修正值为：注：保留小数点后四位有效数字。14.01175.011712.36583.3658 10.91331.913310.91331.98029.63141.10529.63140.87068.500.39618.500.59577.50130.18126.619907.501305.842008.5006.619905.15560图15.5注：保留小数点后四位有效数字。14.0117 5.011712.36583.266610.91331.913310.91331.93519.63141.08479.63140.87068.500.39618.500.58647.50130.18126.619907.501305.842008.5006.619905.15560图15.615.12主要市场指数MMI的美式看跌期权，有效期为两个月，执行价格为480。目前的指数水平为484，无风险利率为年率10%，股票指数年红利收益率为3%，指数的波动率为年率25%。请将该有效期等分为四个时间段，每个时间段为期半个月。用树图方法对该期权定价。解：已知：由此可计算二叉树的有关参数如下：计算二叉树图的结果如下： 593.60200564.06980536.00690536.00690509.34014.9148509.340104849.986448414.9332459.920625.8430437.039242.9608459.920620.7130415.296164.70394840437.039242.9608394.634885.3652图15.7由图15.7知该期权价格约为14.93美元。15.13某个股票的美式看涨期权，有效期为6个月，预计在第二个和第五个月的月末将支付每股1美元的红利。该股价的市价为30美元，执行价格为34美元，无风险利率为年率10%，不支付红利的股价部分的波动率为年率30%。请将该有效期等分为6个时间段，每个时间段为期1个月。用树图方法对该期权定价。并且将这一结果将Black近似方法得到的结果（参见第11.12节）相比较。用该树图估计该期权的Delta和Theta参数。解：（1）已知：由此可计算二叉树的有关参数如下： 期权有效期内红利的现值为：美元。所以美元。根据以上条件，可以模拟的二图如图15.8，根据图15.8得出的二图如图15.9。由图15.9，得出该股票的美式看涨期权的价格约为0.91美元，并可估计Delta和Theta参数分别如下：（2）Black近似方法计算该股票的美式看涨期权的价格：由于故存在提前执行的可能。现比较在提前执行期权预提前执行期权的情况下，该股票的美式看涨期权的价格的大小：一、假设期权于最后除权日瞬时执行，此时：则由B—S公式有：美元。二、假设不提前执行，此时有： 则由B—S公式有：故用Black近似方法计算该股票的美式看涨期权的价格为1.04美元。15.14当使用树图方法时，如何用控制变量技术改进美式期权的Delta估计值？解：用控制变量技术改进美式期权的Delta估计值可以依以下步骤进行：（1）根据正文中的式（15.8），使用通常的二叉树方法估计该美式期权的Delta值，不妨记为Δ*A。（2）使用和（1）相同的参数和相同的二叉树图计算对应的欧式期权的Delta值，不妨记为Δ*E。（3）使用第十四章计算Δ值的公式，计算欧式期权的真实Delta值，不妨记为ΔBS。由控制变量法的思想知，改进后该美式期权的Delta估计值为Δ*A+ΔBS—Δ*E15.15假设用蒙特卡罗模拟方法为某个不分红股票的欧式看涨期权定价，股价的波动率是随机的。请解释当同时应用控制变量技术和对偶变量技术时，每次模拟计算为什么需要计算6个期权的价值。解：（1）在本题中，由于股价及其波动率均为随机变量，故蒙特卡罗模拟需要来自于标准正态分布的两个样本集：第一个样本集用来模拟及产生股价波动率的运动，第二个样本集是在股价波动率运动确定的条件下用来模拟及产生股价的运动。在第二次模拟中使用的控制变量技术假设股价波动率为常数，且使用与第一次模拟中相同的随机数流生成股价的运动，从而对期权价格估计值改进如下：其中：为第一次模拟中算出的期权价值（此时股价波动率随机），为第一次模拟中算出的期权价值（此时股价波动率为常数），为用Black—Scholes期权定价公式中算出的期权价值（此时股价波动率为常数）。由此可知，单独使用控制变量技术时，需要进行2次模拟。（2）当使用对偶变量技术时，来自于标准正态分布的两个样本集必须用到每个股价波动率和股价中去。记股价波动率样本集为和（与为对偶变量，即），记股价样本集为和（与为对偶变量，即）, 由此可知，单独使用对偶变量技术时，需要进行4次模拟。（3）当同时使用控制变量技术和对偶变量技术时，可以进行以下，模拟：模拟1：保持股价波动率为常数，使用样本。模拟2：保持股价波动率为常数，使用样本模拟3：使用样本和。模拟4：使用样本和。模拟5：使用样本和。模拟6：使用样本和。记为第次模拟时算出的期权价格（），则第3次和第4次模拟得出期权价格的估计值为，当使用控制变量法并结合第一次模拟得出的估计值，得到改进后的期权价格估计值为：同理，第2次、第5次和第6次模拟得出的期权价格的改进值为：综上所述，期权价格的的最佳估计值为：15.16请说明用有限差分方法为美式货币看涨期权定价时，式（15.25）和式（15.28）的变动情况。解：美式货币看涨期权的价格满足的随机微分方程为：使用本章的记号可得上式对应的差分方程为：其中，经整理后得式（15.25）变为： 其中：式（15.28）变为：15.17某个不分红股票的美式看跌期权，还有4个月到期，执行价格为21美元，股票市价为20美元，无风险利率为年率10%，波动率为年率30%。请用外推有限差分方法为该期权估值。设时间间隔为1个月，估价间隔为4美元。解答：不妨设股价的样本空间为。已知：利用式（15.32）得到下表：股票价格到期时间（月）（美元）43210400.000.000.000.000.00360.000.000.000.000.00320.010.000.000.000.00280.070.040.020.000.00240.380.300.210.110.00201.561.441.311.171.00165.005.005.005.005.00129.009.009.009.009.00813.0013.0013.0013.0013.00417.0017.0017.0017.0017.00021.0021.0021.0021.0021.00由此可知，期权价格为1.56元。15.19作为一个近似，假设一年中利率的期限结构是水平的，并且其中,和为已知常数，为一年内到期的利率；为一个Wiener过程。请讨论一下在用二叉树图方法表示的运动时所遇到的问题。解：在风险中性世界中r的过程为：其中是的风险的市场价格。由此可知，的风险中性世界中的期望增长率为（从而为的函数），的风险中性世界中的波动率为 。在用二叉树图方法表示的运动时，由于参数故二叉树图中的不受的运动的影响，但受的运动的影响，随着的变化,的值并不能保证在0到1之间，即有可能为负值或大于1，这必将影响最终结果的计算。15.20当前铜的即期价格为每磅0.60美元。假设起期货价格（每磅美元数）如下所示：3个月0.596个月0.579个月0.5412个月0.50铜价的波动率为年率40%，无风险利率为年率6%。请用二叉树方法对该美式看涨期权定价，已知执行价格为0.60美元，该期劝还有一年到期。在构造二叉树图模型时，请将该有效期等分为4个时间段，每个时间段为期3个月。解：由得：。期货价格给出了铜在风险中性条件下铜的价格增长率的一个估计。由已知数据可以计算在第一个季度（3个月）的增长率（连续复利，以年计）：因此第一个季度对应的参数是：以相同的方法可以计算后3个季度的增长率为：。对应第2个季度的参数是:对应第3个季度的参数是: 对应第4个季度的参数是:根据以上数据可以作出风险中性世界铜的价格运动的二叉数图如图15.6：1.33500.73501.09300.49300.89500.29500.89500.29500.73300.13300.73300.13300.60000.04200.60000.06200.49100.01500.40200.00000.49100.00000.32900.00000.60000.00000.40200.00000.27000.0000图15.6由图15.6知该期权价格约为0.062美元。15.21请用题15.20中二叉树图模型对以下证券估值：已知该证券的一年内的收益为x2，其中x为铜价。解：由于相对于题15.20二叉树图模型的主要参数都没有改变，故可使用题15.20二叉树图对该衍生证券进行估值，只是由于因为最后节点处该衍生证券的价值与铜价的平方（即x2）相等，而其它结点处按通常方法计算，故最终得出的衍生证券的价值也不相同，计算结果如图15.7： 1.33501.78201.09300.04600.89500.80100.89500.64500.73300.41400.73300.47000.60000.29000.60000.27500.49100.18600.40200.13000.49100.21100.32900.09500.60000.36000.40200.16200.27000.0730图15.7由图15.6知该期权价格约为0.275美元。15.22在应用外推有限差分方法对衍生证券估价时，什么情况下，边界条件和会对估值结果产生影响？解：在应用外推有限差分方法对衍生证券估价时，记为目前标的资产的价格,记为所能考虑的标的资产的最高价格（即对应于的情形），记为所能考虑的标的资产的最低价格（即对应于的情形）并令 令N为所考虑的时间段的数目，从外推有限差分方法计算的过程中，很容易发现,当时,边界条件和将对估值结果产生影响。15.23在红利已知的情况下，如何应用有限差分方法？解：在红利已知的情况下，我们可以借鉴在15.3节使用的支付已知红利的股票期权的二叉树图法的思路。这时，我们只需将原来使用的S换为S*(股价减去衍生证券有效期内所产生所有红利的现值之和)，然后针对S*使用有限差分方法，不过此时应该注意的是：当使用这种方法时，就应该估计S*的波动率，而不是S的波动率。当对有效期较长的衍生证券进行估值时，上述两个波动率很有可能差别很大。15.24某公司发行了有效期为3年的可转换债券，面值为25美元，可随时转换为该公司的股票2股。当股价高于或等于18美元时，公司可提前赎回债券并强制转换。假设该公司将尽可能早的强制转换。那么，可转换债券的价格的边界条件是什么？假设利率为常数，你如何用有限差分方法对该可转换债券进行估值？假设该公司无违约风险。解：如果股票价格充分小至,显然，此时可转换债券在有效期内不会发生转股行为，可转换债券将按一般的债券定价。需要考虑的股价的最高价格等于18美元，如果股价到了，则可转换债券的价值为36美元。在到期日，可转换债券的价值为,其中为到期日的股票价格。一般情况下可转换债券可以结合上述边界条件使用外推或内含有限差分方法并采取倒推方式定价。15.25请给出从标准正态分布中抽取三个随机样本的公式。设样本i和样本j的相关系数为ρi,j。解：设为3个独立正态分布产生的随机样本，为所求的来自标准正态分布的随机样本,满足：其中：即:Ch16 16.1一家公司知道3个月后它可有500万美元投资90天，并希望保证获得一定的利率水平。在交易所内交易的利率期权提供了什么样的头寸来对冲利率的变动？解：3个月后有500万美元用来投资，希望保证获得一定的利率水平，既该公司当心利率下降，对应的利率工具的价格上升，故在交易所内交易的利率期权提供了多头头寸来对冲利率的变动：通过购买利率期权，锁定3个月后的投资成本。16.2一家公司3个月期LIBOR的上限为年率10%，本金为2000万美元。在重新设定日，3个月期的LIBOR为年率12%。根据利率上限，需如何支付？什么时候支付？解：已知：，由式（16.7）得发行利率上限的金融机构应向该公司支付的金额为：（万美元）在3个月以后支付。16.3抵押担保证券是如何产生的？请说明为什么抵押担保证券风险比诸如政府债券这样的普通固定收入的金融工具的风险更大？解：当金融机构决定向其客户出售部分住房抵押组合，投资者从中购买一定的份额单位并从中获利，这些份额单位即为抵押担保证券。尽管抵押担保证券由于有一些与政府关系密切的机构担宝，从而其形式上可认为是政府发行的固定收入证券，但由于抵押担保证券中的抵押本身具有提前偿付特权，故它比诸如政府债券这样的普通固定收入的金融工具的风险更大。16.4请解释为什么互换期权可以被看作一种债券期权？解：由于互换期权赋予持有者在未来某个确定的时间使用某个固定的利率进行利率互换的权利，而利率互换可以认为是固定利率债券和浮动利率债券的交换，因此互换期权是一种交换固定利率债券和浮动利率债券的权利。互换开始时，浮动利率债券的价值与本金相等，故互换期权可被看作执行价格为债券本金的基于固定利率债券的期权。16.5一位专家声称：对某个特定的抵押担保证券提供的经过期权调整的差价是155个基本点。请解释其含义。解：对某个特定的抵押担保证券提供的经过期权调整的差价是155个基本点，即指在考虑了抵押担保证券中所有关于期权的因素后，抵押担保证券的收益超过政府长期债券收益1.55%。16.6用Black模型为有效期期一年的基于某个10年期债券的欧式看跌期权估值。假设债券当前的现价为125美元，执行价格为110美元，一年期利率为年率10%，债券价格的年波动率为8%，期权有效期内将支付的息票的现值为10美元。解：已知，故可算出： 该欧式看跌期权的价值是：美元。16.7假设LIBOR收益率曲线是水平的，为年复利8%。某个互换期权赋予持有者这样一种权利：即4年后开始有权从某个5年期互换中收取7.6%。每年支付一次。互换率的年波动率为25%，年金为100万美元。用Black模型为该互换期权定价。解：由题意知，该互换期权可看作关于固定利率RX的看跌期权，可使用式（16.12）进行定价。已知条件如下：则有：故由式（16.12）有该互换期权的价值为：16.8在课文中讨论的条件累计互换中，固定利率方只有在浮动参照利率低于某一确定水平时才会获利。请讨论如何将以上分析扩展到如下这样一种情况：即只有当浮动参照利率高于某个水平同时低于某个水平时，固定利率方才会获利。解：假设仅当浮动参照利率高于同时低于（）时才发生固定利率支付，则该条件累计互换可以看作一个标准互换加上两个一系列的两值期权，再互换有效期限内的每天都有一个两值期权。使用正文中的记号，某天i时LIBOR高于的风险中性概率为，其中：LIBOR低于的风险中性概率为其中：所以对应于第i天的两值期权的总价值为：16.9请解释当出现如下情况时，是否需要凸度调整： (a)我们想要对某个差价期权进行估价，该期权的收益为每季度5年期的互换率超过3个月的LIBOR的超额部分（如果存在这个差额的话），本金为100美元。盈亏在这些利率出现后的90天发生。(b)我们想要对某个差价期权进行估价，该期权的盈亏为3个月期的LIBOR减3个月期的国债利率再减50个基本点之后的差值和0这两者中的较大者。盈亏在这些利率出现后的90天发生。解：（a）需要凸度调整。（b）不需要凸度调整或需要轻微调整。16.10请仔细说明如何使用（A）远期的远期波动率和（B）水平的波动率为5年期利率上限估值。解：（A）当使用远期的远期波动率为5年期利率上限估值时，对每一个利率期权元使用不同的波动率估值，此时远期的远期波动率将作为利率期权元到期日的一个函数。（B）当使用水平的波动率为5年期利率上限估值时，对每一个给定的利率期权元使用相同的波动率估值，此时水平的波动率将作为利率上限到期日的一个函数。16.11计算如下期权的价格。设期权本金量为1000美元，在18个月的时间内将3个月期利率（按季度复利报价）的上限定为13%。这段时间内的利率波动率为年率12%（按季度复利报价），18个月期的无风险利率的年率为11.5%（按连续复利计算），远期利率的波动率为年率12%。解：已知：则由式（16.9）有：由式（16.10）有，该期权的价格为：（美元）16.12假设使用基于某个10年期债券的5年期期权的隐含Black波动率为基于该债券的期权定价。你认为最后的结果是偏高还是偏低，为什么？解：隐含Black波动率测度的期权到期时债券价格对数的标准差与期权有效期算术平方根的比值。对于该10年期债券的5年期期权，债券在期权到期日还有5年时间才到期，而对于10年期债券的9年期期权，债券在期权到期日只有1年时间就到期。在9年时间内得到的1年债券价格的标准差的正常期望值将小于5年时间内得到的5年债券价格的标准差的正常期望值，因此最后的结果是偏高。 16.13考虑一个8个月期的基于14.25年到期国债的欧式看跌期权。债券现价为910美元，执行价格为900美元，债券价格的波动率为年率10%，3个月后该债券将付息35美元。一年期限内所有期限的五风险利率为年率8%。使用Black模型为该期权定价。同时考虑如下两种情况：执行价格对应于债券现金价格；以及执行价格对应于债券报价。解：已知：由此立即得出：（1）若执行价格对应于债券的现金价格，则有：由式（16.2）有，该欧式看跌期权的价格为：美元。（2）若执行价格对应于债券的报价，则有：由式（16.2）有，该欧式看跌期权的价格为：16.14当执行价格对应于报价时，计算习题16.13中的Delta、Gamma、Vega值。请说明如何理解这些结果。解：由定义有：为指在其它变量保持不变的条件下，债券价格价格给上涨一美元，该国债的欧式看跌期权的价格将下跌美元。为指在其它变量保持不变的条件下，债券价格价格给上涨一美元，该国债的欧式看跌期权的将上升。为 指在其它变量保持不变的条件下，波动率每变化一个百分点，该国债的欧式看跌期权的价格将上涨美元。16.15某个9个月期的基于3个月期的利率上限期权，本金为1000美元。使用Black模型和如下信息，为该期权估值：9个月期欧洲美元期货价格报价为92美元。9个月期欧洲美元期权隐含的利率波动率为年率15%。当前按连续复利计息的12个月期利率为年率7.5%。按季度计复利的上限为8%。解：已知：由式（16.9）有：16.16计算习题16.15的Delta、Gamma、Vega值。请说明如何理解这些结果。解：由定义有：解释方法同16.15。16.17使用Black模型为某个4年期的基于5年期的欧式看涨期权定价。5年期债券价格为105美元，息票利息相同的4年期债券的价格为102美元，期权的执行价格为100美元，4年期无风险利率为年率10%（按连续复利计息），4年内债券价格的波动率为2%。解：4年期债券本金的现值为：由此可求出红利的现值是：因此5年期债券的远期价格为：则Black模型的参数如下：从而有： 故该欧式看涨期权定价为：美元。16.18考虑某个国债的欧式期权，国债到期日比期权到期日迟90天。期权价值总是期权到期日的增函数吗？请解释。解：期权价值并不总是期权到期日的增函数，理由如下：（1）该期权为欧式期权，故到期日长的期权的执行机会并不一定包含到期日短的期权的所有的执行机会，因为它只能在到期日执行。（2）在其它条件不变时，该期权价值还与债券价格波动率正相关，而债券价格波动率一般与期权有效期限负相关，故期权价值可能与到期日负相关，即期权价值并不总是期权到期日的增函数。16.19什么样的金融工具等价于利率上限和利率下限执行价格相等的5年期零成本利率双限？共同的执行价格是多少？解：收到浮动利率支付固定利率且执行价格5年期零成本利率双限的执行价格相同的利率互换协议与它等价！它们共同的执行价格是互换利率。16.20推导欧洲债券期权之间的看涨—看跌平价关系。解：债券期权之间的看涨—看跌平价关系有两种表述方式，相应的有两个证明过程，分别如下：（1）。其中：债券的欧式看涨期权的价格，是相应的债券的欧式看跌期权的价格，是期权有效期内债券利息支付的现值，是执行价格，是期权有效期内的无风险利率，是期权有效期，是债券的价格。为了证明该平价公式，考虑以下投资组合：组合A：一份该债券的欧式看跌期权对头和一份债券多头。组合B：一份该债券的欧式看涨期权多头和大小为期权有效期内债券利息支付的现值与债券执行价格的现值之和的现金，并将现金以无风险利率进行投资。则在期权到期日：1、若债券价格上涨到。对于组合A，则放弃债券的看跌期权，将持有的一份债券以市场价格卖掉，最终组合A的总价值为（债券在持有期内获得大小为的利息支付）；对于组合B，则执行债券的看涨期权，以现金购入一份价格为的债券，最终组合B的总价值也为。因此组合A与组合B在到期日的价值相等。2、若债券价格下跌到。对于组合A，则执行债券的看跌期权，以执行价格将持有的一份债券卖出，最终组合A的总价值为；对于组合B，则放弃执行债券的看涨期权，最终组合B的总价值也为。因此组合A与组合B在到期日的价值相等。 综上，无论债券价格如何变化，组合A与组合B在到期日的价值相等，根据无套利假设，它们在现在的价格也必然相等，即有：。（2）。其中：是债券的远期价格。为了证明该平价公式，考虑以下投资组合：组合C：持有一份该债券的欧式看跌期权对头和一份债券远期多头及大小为债券远期价格现值的现金，并将现金以无风险利率进行投资。组合D：一份该债券的欧式看涨期权多头和大小为期权有效期内执行价格的现值的现金，并将现金以无风险利率进行投资。则在期权到期日：1、若债券价格上涨到。对于组合C，则放弃执行期权，交割债券远期合约，即以现金购入一份债券，并以价格卖出，最终组合C的总价值为；对于组合D，则执行债券的看涨期权，即以价格购入一份债券，并以价格卖出，最终组合D的总价值也为。因此组合C与组合D在到期日价值相等。2、若债券价格下跌到。对于组合C，则执行债券的看跌期权，以执行价格将持有的一份债券卖出（先交割债券远期合约，以现金购入一份债券），最终组合C的总价值为；对于组合D，则放弃执行债券的看涨期权，最终组合D的总价值也为。因此组合C与组合D在到期日价值相等。综上，无论债券价格如何变化，组合C与组合D在到期日的价值相等，根据无套利假设，它们在现在的价格也必然相等，即有：。16.21推导欧洲互换期权之间的看涨—看跌平价关系。解：欧洲互换期权之间的看涨—看跌平价关系是：其中：是支付固定利率收到浮动利率的互换的看涨期权的价格，是支付浮动利率收到固定利率的看跌期权的价格，是以支付浮动利率收到固定利率的互换期权为标的物的远期合约的价值。。为了证明该平价公式，考虑以下投资组合：组合A：一份支付浮动利率收到固定利率的看跌期权的多头合约。组合B：一份支付固定利率收到浮动利率的互换的看涨期权的多头合约和一份远期互换。则在期权到期日：1、若市场互换率高于。此时看涨期权将执行，看跌期权放弃执行，则组合A与组合B在到期日的价值均为0。2、若市场互换率低于。此时看跌期权将执行，看涨期权放弃执行，则组合A与组合B在到期日的价值均为（为本金，为市场互换率） 综上，无论市场互换率如何变化，组合A与组合B在到期日的价值相等，根据无套利假设，它们在现在的价格也必然相等，即有：16.22请解释如果利率上限隐含Black（平坦的）波动率不等于利率下限隐含Black（平坦的）波动率，为什么就存在套利机会？解：假设利率上限和利率下限有相同的执行价格和相同的到期时间，则以下平价关系成立：利率上限+互换=利率下限其中互换为收到固定利率和支付浮动利率且到期时间为普通利率互换。如果利率上限隐含Black（平坦的）波动率等于利率下限隐含Black（平坦的）波动率，Black公式表明上式成立。反之，如果利率上限隐含Black（平坦的）波动率不等于利率下限隐含Black（平坦的）波动率，则上式不成利，即此时存在套利机会。16.23对数正态分布的债券定价模型允许债券的收益率变为负值吗？请解释。解：答案是肯定的。16.24假设在第16.7节的例子16.4中，盈亏在一年内发生（即该利率出现了）而不是在15个月后。这使得输入到Black模型的值有什么不同？解：这使得输入到Black模型的值有以下两方面的不同：（1）折现时间将使用1年，而不是15个月（1.25年）。（2）需要对远期利率进行凸度调整，为了计算该凸度调整的大小，设y为按季度计复利的债券收益率，P(y)为一年期债券的价格。则有以下关系：将例子16.4中的有关数据代入上式中有：则由式（16.13）知，该凸度调整的大小为：，大约半个基点。在利率期权元的公式中，使用经凸度调整后的数据如下：由以上数据计算得：由式（4.1）可计算出1年期即期利率（按连续复利计算）r=6.39%，故利率期权元的价格为： 16.25收益率曲线为年利率10%（年复利）的水平曲线。计算如下金融工具的价值：在5年内，收取2年期互换率（年复利），支付10%的固定利率。年金都是100美元。假设每年交换一次支付额，互换利率的波动率为年率20%。请说明为什么此金融工具的价值不为零？解：由正文16.11中关于凸度调整的阐述知，本题中的互换属于固定期限的互换，需要进行凸度调整，从而此金融工具的价值不为零。事实上，可以计算该金融工具的真实价值。设y为按年计复利的债券收益率，P(y)为该5年金融工具的2年期债券的价格（将该金融工具分解为债券的组合），则：将y=0.10代入上面的式子中有：则由式（16.13）知，该凸度调整的大小为：故经凸度调整后0.10+0.00268=10.268%，该金融工具的真实价值为：16.26假设某个贴现债券的收益率R遵循如下过程：和是和的函数，是维纳过程。证明，随到期日的临近，贴现债券的价格的波动率减少为零。解：由题意知，该贴现债券的收益率R遵循Ito过程，由于贴现债券的价格P为收益率R的函数，故由Ito引理（参看正文（10.12）及其说明）知，该贴现债券的价格P也遵循Ito过程，且其波动率为：其中T为到期时间,t为现在的时间,因此，贴现债券的价格P的波动率必将趋近于0，即随到期日的临近，贴现债券的价格的波动率减少为零。16.27在一个普通型互换中，支付日的浮动利率的支付额是前一支付日的浮动利率计算而得的。在一个“arrears”互换中，浮动利率的支付额是由该支付日的浮动利率计算而来的。请描述如何对“arrears”互换进行估值。解：此题与正文中例16.8类似，可参考该解答。 Ch171．均衡模型和无套利模型的区别是什么？解：均衡模型是从假设一些经济变量开始的.并推出短期无风险利率r的一个过程.初始期限结构是模型中的一个输出.在无套利模型中,无风险利率被设计成与初始期限结构相符.2．如果某个股票价格为均值回复或遵循某种路径依赖过程，就存在某种套利机会。请说明：当短期利率为以上行为过程时，为什么就不存在套利机会？解：如果某个股票价格为均值回复或遵循某种路径依赖的过程,那么市场是无效率的.短期利率不是股票价格.换句话说,我们不能交易以短期利率为价格的任何金融产品.因此,当短期利率为均值回复或遵循某种路径依赖过程,那么市场是有效的我们可以交换债券和其他以短期利率为定价基础的金融证券.这些证券的价格并不是均值回复或遵循某种路径依赖过程.3．假设当前短期利率为4%，其标准偏差为年率1%。当短期利率以如下方式：（a）Vasicek的模型；（b）Rendleman和Bartter的模型；（c）Cos,Ingersoll和Ross的模型上升为8%时，标准差为多少？解：在VASICEK模型中,标准差为1%.在Rendleman和Batter模型中,标准差与短期利率成正比.当短期利率从4%上升到8%时,标准差从1%到2%.在Cos,Ingersoll和Ross模型中,短期利率的的标准差和短期利率的平方根成正比.当短期利率从4%上升到8%,短期利率标准差,短期利率标准差从1%上升到1.414%.4．请解释单因素和两因素利率模型之间的区别。解：在单因素模型中,r的过程只包含一个不确定性的来源.这通常意味着:在任意短期间隔内所有利率在相同的方向变动(但它并不意味着所有利率以相同的幅度变动).在两因素模型中,r的过程包括两个不确定性的来源.第一个不确定因素导致利率大致上平行运动;第二个不确定因素导致长期利率和短期利率朝相反方向运动.5．请解释马尔科夫和非马尔科夫利率模型之间的区别。解：指定漂移为时间函数的短期利率为马尔科夫模型.当我们构造债券或瞬态远期模型时,变量的初始值保证我们的模型与初始期限结构一致,但该模型通常是非马尔科夫的过程.6．第17.4章节描述了将基于某附息票债券的期权分解为基于贴现债券的期权组合的方法，请问：该方法是否可以与某个两因素模型结合起来使用？请解释你的答案。解：不.17.4节的讨论过程是基于:在任意给定的时间,所有债券价格的变动方向是一致的.但是在两因素模型中,这种讨论是不正确的.7．假设在Vasicek模型和Cox,Ingersoll,Ross模型中a=0.1,b-0.1.在两个模型中，初始短期利率为10%，初始短期利率的标准差为2%。将该模型计算的价格与有效期为10年的贴现债券的价格进行比较。解：在Vasicek模型中,a=0.1,b=0.1,=0.002,因此 =0.71587债券价格为在Cox,Ingersoll和Ross模型中,a=0.1,b=0.1,;同时定义债券价格约为8．假设在初始短期利率为5%的Vasicek的模型中，a=0.1,b=0.08和=0.015。计算某个执行价格为＄87，有效期为一年，基于3年后到期,本金为＄100的贴现债券的欧式看涨期权的价格。解：根据题目已知条件有：s=3,T=1,L=100,X=87利用公式得P（0,1）=0.94988,P(0,3)=0.85092,并且h=1.14277,所以欧式看涨期权价格为：或＄2.599．将习题17.8中的条件改为执行价格为＄87的欧式看跌期权，重新估值。欧式看涨期权和欧式看跌期权之间的看涨-看跌平价关系是怎么样的？证明在这种情况下，看涨期权价格和看跌期权价格满足看涨-看跌平价关系。解：欧式看跌期权价格为：因为是无息债券,看涨—看跌平价关系表明,看跌期权价格加上债券价格应该等于看涨期权价格加上执行价格的现值.债券价格是85.09，执行价格的现值是。看涨--看跌平价关系满足：10．假设在初始短期利率为6%的Vasicek的模型中a=0.1,b=0.08,=0.015.计算某个有效期为2.1年的基于3年后到期债券的欧式看涨期权的价格。假设该债券每半年支付息票利率5%。债券的面值为＄100，期权的执行价格为＄99。执行价格为债券将要支付的现金价格（不是报价）。 解：第一步计算2.1年时点的价值。在这点上，债券的价值为99。定义此点的值为，我们必须满足等式：求出结果：=0.063，因此和11．使用习题17.10的结果及看涨-看跌平价关系，计算与习题17.10中欧式看涨期权同样期限的欧式看跌期权的价格。解：由看涨--看跌平价关系得到：或这里定义c为看涨期权价格，X为执行价格，I为利息现值，为债券价格。此题中：c=0.1244,,,所以，看跌期权价格为：12．在Hull-White的模型中，a=0.08,=0.01.计算有效期限为一年的基于5年有效期的贴现债券的欧式看涨期权价格。设利率期限结构是水平的，为10%，债券面值为＄100，执行价格为＄68。解：利用公式有和，同时也有：和，所以看涨期权价格为：=0.43913．用Hull-White模型重复习题17.10的计算。假设利率期限结构是水平的，为6%（按半年计复利）。解：Hull---White模型中所包含的变量：a=0.05和=0.015，设 从等式（17.23），=0.99925第一步计算2.1年时点R的价值。在这点上，债券的价值为99。定义此点上的R值为。满足等式15．在Ho-Lee模型中，远期利率F（t,T）遵循什么过程？解：在Ho-Lee模型中，短期利率未来运动的平均方向近似等于瞬态远期利率曲线的斜率，远期利率的标准差为。16．在Hull-White模型中，远期利率F（t,T）遵循什么过程？解：在Hull-White模型中，T时刻到期的瞬态远期利率的瞬态标准差是回复率参数a决定标准差随到期日而下降的速率。17．使用课本中给出的公式，证明在Ho-Lee模型中在时刻t的短期利率的漂移率为，其中是时刻到期的合约在时刻的瞬时期货利率。解：从书上17.10节可以得出，在Ho-Lee模型中，瞬时期货利率为：所以这是等式（17.13）中的表达式。它表明是短期利率的漂移率。18．使用课文中给出的公式，证明在Hull-White模型中在时刻t的短期利率的漂移率为。其中是T时刻到期的合约在t时刻的瞬时期货利率。解：在Hull—White模型中，瞬时期货利率的表达式为：所以 从等式（）这个是，的漂移率。19．假设a=0.05,=0.015,l利率期限结构是水平的，为年率10%。为Hull—White模型建造一个三个时间步长的三叉树，每个时间步长为1年。解：时间步长为1，那么。同时，表明，用树图法，从中心出来必须经过4步的变化。只有三步变化，我们是达不到所要求点的。21．计算图17.6的树图中的某个两年期债券的价格。解：2年零息债券在末结必须支付＄100。在结点B它的值为；在结点C的值为；在结点D的值为。因此在A点债券的值为：22．计算图17.9的树图中的某个两年期债券的价格，并证明它与初始期限结构一致。解：2年零息债券在末结必须支付＄100。在B点的价值为。在C点的价格为：。在D点的价值为：。因此在A点的价格为：即＄91.37。2年期连续利率的零利率为：，因此债券的价格是＄91.37。因为，所以2年期债券的价格和初始期限结构一致。23．计算图17.10的树图中的某个18个月期债券的价格，并证明它与初始期限结构一致。解：在树图末点，18个月零息债券必须支付＄100。在点E的价格为：，在F点的价格.在G点价格.在H点的价格。在点I的价格。在B点的价格是 同理的C和D点的价格分别是95.60和96.68。A点的价格就是：18个月连续利率的零利率为.18个月零息债券价格为：.因此债券的价格与初始期限结构一致。25．假设在Hull-White模型中，a=0.1,=0.02,某个10年期的欧洲美元期货报价为92。在10.0年和10.25年之间的远期利率为多少？解：考虑a=0.1,=0.02，=10.0，=10.25。=0.2484，=6.5936即0.4%.期货利率按季度计复利是年率6%，按连续复利计算是年率6%，因此远期利率按连续复利计息年率是5.96-0.4=5.56%Ch1818.1解释远期开始期权和任选期权之间的差别。解：远期开始期权是现在支付期权费，但是在未来的某个时刻开始，执行价格与期权合约开始时标的资产的价格相等。任选期权是经过一段指定的时期后，持有人能选择期权，或者是看涨期权或者是看跌期权。18.2描述具有同样有效期的一个回望期权看涨期权和一个回望期权看跌期权的组合的收益状态图。解：一个回望期权看涨期权的收益为—一个回望期权看跌期权的收益为—因此具有同样有效期的一个回望期权看涨期权和一个回望期权看跌期权的组合的收益为—。18.3考虑某个任选期权，持有者有权在两年期限内任何时候在欧式看涨期权和欧式看跌期权之间进行选择。不考虑所做出的选择，看涨期权和看跌期权的到期日和执行价格是相同的。在两年有效期期末之前做出选择是最佳的吗？请解释原因。解：在两年有效期期末之前做出选择不是最佳的。因为对于欧式期权，不能提前执行，只能在到期日执行，所以在期限内的任何时候做出选择，所形成的现金流都是一样的。而对于美式期权如果规定了不能提前执行，则这个结论也是成立的。但是如果没有的，就是说美式看涨期权或者看跌期权的选择一旦做出，就可以执行期权，则这个结论就不成立，例如：如果股票价格在前六个月跌到了很低的水平，则持有者就可能选择看跌期权，并且立即执行。 18.4假设C1和P1是执行价格为X，有效期为T的欧式平均价格看涨期权和欧式平均价格看跌期权的价格，C2和P2是有效期为T的欧式平均执行价格看涨期权和欧式平均执行价格看跌期权的价格，C3和P3是执行价格为X，有效期为T的常规欧式看涨期权和常规欧式看跌期权的价格。证明：+—=+—解：各期权的收益如下：：MAX（0，—）：MAX（0，—）：MAX（0，—）：MAX（—）：MAX（—，0）：MAX（—，0）有—的收益为—；—的收益为—；—的收益为—，故有—+—=—得到+—=+—18.5课文中给出了某个特殊的任选期权分解成一个有效期为T2的看涨期权和一个有效期为T1的看跌期权的推导过程。请给出另外一种将任选期权分解为一个有效期为T1的看涨期权和一个有效期为T2的看跌期权。解：由看涨期权和看跌期权之间的平价关系+=+得到MAX(,)=MAX［,+—］=+MAX［0,—］由此可得，任选期权可以分解为一份执行价格为，到期日为的看涨期权和份执行价格为,到期日为的看跌期权。18.6第18.1节给出了下降敲出看涨期权的两个公式。第一个适用于障碍H小于或等于执行价格X的情况。第二个适用于障碍H大于或等于执行价格X的情况。证明；当H=X时，两个公式是一样的。解；当≥时，有=（）—（—）—（/）（）+X（—）其中=(/)/,=(/)/因为=(—+/2)/此时将=带入有=， 可得=—（）+（—）当≤时，有=（）—（—），其中=［/（）］/+，=(—+/2)/因为=—，=—（）+（—）当=时，有=因此，两个公式是一样的。18.7当障碍大于执行价格时，为什么下降敲出看跌期权价值为零？请解释。解：只有资产价格小于执行价格，期权才是有价值的，但是在这种情况下，已经达到障碍水平，期权已经作废，所以下降敲出看跌期权价值为零。18.8利用三时间步长树图估算某货币的美式回望看涨期权的价值，其中初始汇率为1.6，国内无风险利率为年率5%，国外无风险利率为年率8%，汇率波动率为年率15%，有效期为18个月。运用第18.3节中的方法。解：=1.6，=0.05，=0.08，=0.15，=1.5，△=0.5可得==1.1119，=1/=0.8994，==0.9851，=(—)/(—)=0.40331—=0.5967美式回望看涨期权的收益为—。其图如下：2.19951.50001.97810.59051.60001.77900.37811.77901.00001.60001.43901.89700.17900.34001.60001.50001.60001.43901.60000.13070.16100.07041.43901.4390 1.43901.43901.29430.09841.29430.00000.14471.29430.05691.16411.16410.0000在以上的图中，在每个结点处，上面的数字表示汇率，中间的数字表示最小汇率，下面的数字表示期权的价值。由图可得，期权的价值为0.1307。18.9运用第18.4节中的方法，重新计算第18.8中的问题。解：图形如下1.00001.00001.00001.00000.08180.06710.04400.00000.89940.89940.89940.10670.08360.10060.80890.80890.17190.19110.72750.2725对于（）=（）/（）,（）表示到时间t为止的最小汇率，（）表示即期汇率。我们以外币计价，由图形可得期权的价值是0.0818单位的外币或者是0.0818×1.6=0.131单位的本币。这个结果与18.8的结果一致。18.10利用三时间步长树图估算基于不付红利股票几何平均价格的美式回望看涨期权的价格，其中股票价格为＄40，执行价格为＄40，无风险利率为年率10%，波动率为年率35%，有效期为3个月。计算几何平均是从今天开始直到期权到期日。解：=40，X=40，=0.1=0.35=0.25△=0.08333,由此可得：==1.1063，=1/=0.09039，==1.008368，P=(—)/(—)=0.51611—=0.4839图形如下：54.1648.5448.980.0044.2744.250.0044.25 42.0744.2542.0740.0040.000.0040.000.000.000.0040.0041.3736.581.4036.160.001.2338.1836.0338.1838.0340.002.9132.683.841.970.0036.164.6629.5434.385.87期权的收益为40—，表示几何平均，在每个结点，上面的数字代表汇率，中间的数字代表几何平均，下面的数字代表期权的价值。由图形可得期权的价值为＄1.4018.11假设基于不付红利股票的美式回望看涨期权执行价格按比率g增长。证明如果g小于无风险利率为年率为r,则提前执行该看涨期权决不是最优。解：这个命题和第7章的不付红利股票的常规期权相似，考虑这样的一个证券组合，包含一个期权和价值为执行价格现值的一比现金，最初的现金头寸为，到时刻t（0≤t≤T）现金头寸增长到=因为＞，所以小于，因此未达到执行价格，其结果是如果提前执行期权，证券组合的最终价值将会小于。在时刻，现金头寸是，这就要求执行期权，如果在时刻执行期权，组合的最终价值就是MAX（，），同时也说明了至少是，这意味着提前执行不可能是最优的。18.12如何计算基于不付红利股票的原期开始看跌期权的价值，假设执行价格比期权开始时刻的股票价格还要高10%解：假如基于不付红利股票的期权的执行价格比股票的价格高10%，则期权的价值与股票的价格成一定的比例。这和远期开始期权是一样的，如果表示期权开始，表示期权到期，则这个期权与现在开始，期限为—，执行价格是目前股票价格1.1倍的期权的价值相等。18.13如果某个股票价格遵循几何布朗运动，A（t）遵循什么样的过程？其中A（t）是零时刻和时刻之间股票价格的算术平均值。解：假设我们从0时刻开始，（+△）与（）有如下关系：（+△）×（+△）=（）×+（）×△其中，（）表示在时刻股票的价格,△的高阶项被忽略不计，有（+△）=（）［1—△/］+（）△/ 当△趋近于0时，（）=［（）—（）］/×（）的过程是一个随机漂移，没有项，随着时间的推移，在下一个微小的时间段的变化对平均值只是一个二阶的影响，如果等于，平均值就不漂移，如果大于，则平均值就向上漂移，如果小于，则平均就向下漂移。18.14解释为什么运用标的变量对冲亚式期权要比对冲障碍期权容易得多？解：一个亚式期权的收益随着时间的推移，会变得越来越稳定，当快要接近到期日时，Delta趋近于0，这就使得Delta对冲非常容易。但是对于障碍期权，由于Delta非连续性，当标的物资产的价格接近于障碍水平时，Delta对冲就存在问题。18.15计算每1盎司黄金支付100盎司白银的一年期欧式期权的价值。当前黄金和白银的价格分别为＄380和＄4，无风险利率为年率10%，每个商品价格的波动率为10%，每个商品价格的波动率为20%，两个价格之间的相关性为0.7，忽略存储成本。解：期权的价值如下：（）—（）其中，=［(/)+(—+/2)T］/,=—,=因为=400，=380，=0，=0，=1，=0.1549，=0.4086，=0.2536，所以可得期权价格为400（0.4086）—380（0.2536）=35.418.16基于某个资产价格的欧式下降敲出期权的价值与基于该资产期货价格的欧式下降敲出期权的价值相等吗？假设该期货合约到期日与期权到期日相同。解：不相等，因为在期权的有效期内，当期货价格比即期价格高时，存在这样的可能，即期价格达到了障碍水平，而期货价格却并没有达到。18.17（A）为什么基于某个看涨期权的欧式看涨期权与基于某个看涨期权的欧式看跌期权之间存在看跌期权—看涨期权的平价关系？证明在课文中的给出的公式满足这个关系式。（B）为什么基于某个看跌期权的欧式与基于某个看跌期权的欧式看跌期权之间存在看跌期权—看涨期权的平价关系？证明在课文中给出的公式满足这个要求。解：（A）由看涨期权—看跌期权的关系得：+=+其中是基于看涨期权的看涨期权价格，是基于看涨期权的看跌期权的价格，（,,）=()—(,—,—)=()—(—,,—)在附录11C中，N（）=1—N(—),由此可得，–=（）—（）— 因为=（）—（）所以可得–=—,与公式一致。（B）看跌期权—看涨期权的关系如下：+=+其中是基于看跌期权的看涨期权的价格，是基于看跌期权的看跌期权的价格，（,,）=()—(,—,—)=(b)—(—a,,—)在附录11C中，（）=1—(—),由此可得，–=—(—)+(—)—X1因为=—(—)+(—)，所以可得，—=—，与公式一致18.18在计算最小值时，我们增加观测资产价格的频率，某个回望看涨期权的价格是增加了，还是减少了？解：增加了，因为当我们增加观测资产价格的频率时，我们观察到一个更小的最小值，这将增加回望看涨期权的价值。18.19在判断障碍是否达到时，我们增加观测资产价格的频率，某个下降敲出看涨期权的价格是增加了，还是减少了？如果是下降敲入看涨期权，同样问题的答案又如何？解：当我们减少观测资产价格的频率时，资产价格达到障碍水平的机会越来越小，并且下降敲出看涨期权的价值上升。同样的原因，下降敲进看涨期权的价值下降。根据Broadie、Glasserman及Kou在文中所提到的调整可得，当减少对资产价格的观测频率，变动障碍水平，这样就增加了下降敲出期权的价格，减少了下降敲进期权的价格。18.20解释为什么常规欧式看涨期权是下降敲出欧式看涨期权和下降敲入欧式看涨期权之和？对美式看涨期权是否有相同结果呢？解：当障碍水平达到时，下降敲出期权是没有价值的，但下降敲进期权的价值与常规期权的价值一样。同样，如果障碍水平没有达到，下降敲进期权是没有价值的，但下降敲出期权的价值和常规期权的价值一样。这就是为什么一个下降敲出看涨期权加上一个下降敲进看涨期权是一个常规期权。对于美式看涨期权，这个结论并不是成立的。18.21考虑某个平均价格看涨期权，在T时刻支付MAX（—，0），其中是从时刻t0到时刻T所计算的平均股票价格，X是执行价格。该股票不支付红利。 （A）解释为什么当平均价格是几何平均时，有一个精确估计该期权价值的公式，但当平均价格是算术平均时没有这种精确公式。（B）当期权是基于算术平均时有一个特例，可以用解析的方法估值。即在to和T时刻之间的某个时刻t进行估值，并且至今为止的平均价格A满足：(—)＞(—)证明：在这种情况下期权肯定被执行，并推导出它的价值来，用X、to、、t、T、A、t时刻执行价格和无风险利率来表示。解：因为一系列对数正态分布的变量的几何平均值仍为对数正态分布，在风险中性的情况下，某个确定时期的股票价格的几何平均值的概率分布等同于该时期末某个股票价格的概率分布，而当平均价格是算术平均时，一系列对数正态分布的算术平均值分布没有可解析处理的特性。18.22某个衍生证券，在六个月内如果S&P500指数大于500，则支付＄100，其它情况下则为零，该期权的价值是多少。假设当前指数水平是480，无风险利率为年率8%，该指数的红利收益为3%，指数的波动率为20%解：这是一个现金或无价值看涨期权，其价值为（）=100（），由=［ln(/)+(——/2)］/=［(960/1000)+(0.08—0.03—0.22/2)×0.5］/（0.2×）=-0.1826可得（）=0.4276，所以该期权的价值是41.0818.24某个基于白银期货的下降敲出看涨期权，有效期为3个月，执行价格为每盎司＄20，障碍为＄18。当前期货价格是＄19，无风险利率是年率5%，白银期货的波动率是年率40%。解释该期权如何运作，并计算它的价值。具有同样期限的常规白银期货看涨期权的价值为多少？具有同样期限的基于白银期货的下跌敲入看涨期权的价值为多少？解：这是一个执行价格为＄20的常规期权，当期货价格达到＄18，该期权就作废。=18，=20，=19，=0.05,=0.4,=0.05,=0.25由此可得=0.5，=ln［182/19×20］/0.4+0.5×0.4=-0.69714一个下降敲出看涨期权加上一个下降敲进看涨期权的价值等于一个常规看涨期权的价值。带入公式，当H＜X，我们可以得到=0.4638，由Black—Scholes公式可得=1.0902，因此，=0.6264。 18.25基于某个股票指数的欧式回望看涨期权有效期限为9个月。当前指数水平为400，无风险利率为年率6%，该指数的红利收益率是4%，该指数的波动率为年率20%。运用第18.4节方法为该期权估值，并将你的计算结果与使用解析定价公式计算的结果进行比较。解：构造（）=（）/（）,其中（）是当前指数价值的最小值，（）是在时刻的指数价值。各系数分别为=1.0050,=0.5000,μ=1.1052,=0.9048图形如下：1.00001.00001.00001.00000.10190.07680.05180.00000.90480.90480.90480.42300.09890.09520.81870.81870.18350.18130.74070.2593由图形可得，期权的价值为0.1019单位的股票指数，也就是：400×0.1019=40.47美元，使用解析定价公式得到的是53.38，它比前者高一些，因为前者假设得出最小值时，股票价格只被观测了三次。18.26某个基于不付红利股票的欧式平均价格看涨期权，有效期限为6个月，初始股票价格为＄30，执行价格为＄30，无风险利率为年率5%，股票价格波动率为年率30%。估算该期权的价值。解：=［—1］/(—)=(e0.05×0.5—1)×30/（0.05×0.5）=30.378同样=2/（—+σ2）(2—2+)+［2/(—)］×｛1/［2（—）+］—/(—+)｝=2936.9由此可得=17.41%，这个基于不付红利股票的欧式平均价格看涨期权可以被当作一个期货期权，其中=30.378，=30,=5%,=17.41%,=0.5,由此可得该期权的价值是1.637。Ch1919.1当：(A)股票价格分布的两条拖尾曲线都比对数正态分布拖尾曲线窄；(B)右拖尾曲线比对数正态分布窄，左拖尾曲线比对数正态分布要宽，我们可以看到什么样的期权定价的偏差。解： 当股票价格分布的两条拖尾曲线都比对数正态分布拖尾曲线窄时，两平期权的隐含波动率比实值和虚值期权高；当右拖尾曲线比对数正态分布窄，左拖尾曲线比对数正态分布要厚时，隐含波动率将是执行价格的增函数。19.2当股票价格和波动率正相关时，不确定的波动率会产生什么样的偏差？解：当股票价格和波动率正相关时，我们会发现有窄的左拖尾和厚的右拖尾。当股票价格上涨时，波动率增加，股票价格会比波动率一定时高。当股票价格下跌时，波动率减小，股票价格会比波动率一定时低。隐含波动率将是执行价格的增函数。19.3股票价格运动的跳跃会产生什么样的偏差？这些偏差对6个月的期权比3个月的期权更严重吗？解：股票价格运动的跳跃会使股票价格分布的双尾比对数分布的要厚。这意味着我们获得了经典的波动率微笑。三个月期权的波动率微笑比六个月期权的更加显著，因为跳跃的影响会在远期中消失。19.4假设某个股票价格运动遵循复合期权模型。Black-Scholes模型被用来计算不同执行价格和到期时间的看涨期权及看跌期权的隐含波动率。你预计会观察到什么形态的隐含波动率？解：复合期权模型中，股票价格分布比对数分布的窄的右拖尾和厚的左拖尾。运用Black-Scholes时，实值看涨期权和虚值看跌期权会出现较高的隐含波动率，虚值看涨期权和实值看跌期权会出现较低的隐含波动率。19.5为什么处于实值状态看涨期权的市场价格(与Black-Scholes模型)的偏差通常与处于虚值状态看跌期权的市场价格的偏差相同？解：偏差相同是由于存在看涨看跌平价。设和分别为运用Black-Scholes时欧式看跌和看涨期权价格，和分别为看跌和看涨期权市场价格。因此这解释了为什么处于实值状态看涨期权通常与处于虚值状态看跌期权的偏差相同。19.6某个股票的现价为$20。明天发布消息，预期会使得价格或者提高$5或者降低$5。在使用Black-Scholes模型为该股票期权估值时会出现什么问题？解：股票价格一个月内的概率分布为非对数的，它由两个对数分布构成(一个对应价格提高$5，一个对应价格降低$5)。Black-Scholes明显是不合适的，因为它假设股票价格在未来任何时间都是对数分布的。19.7根据经验检验某个股票期权定价模型最大的问题是什么？解：根据经验检验某个股票期权定价模型存在许多问题，其中包括股票价格和期权价格数据同周期，期权期限内估计股票支付红利，区分市场无效的情况和期权价格模型不正确的情况以及估计股票价格波动率的问题。19.8在时刻的股票价格为。假设把时间到分为两段，分别长 。在第一个时间段中，无风险利率为,波动率为，在第二个时间段中，无风险利率为，波动率为。假设为风险中性世界。(a)使用第十一章的结论，用和来表示时刻的股票价格分布。(b)假设为在时间到的平均利率，为时间到的平均方差率。用，，和表示时刻的股票价格分布。(c)当有3个时间段且每个时间段有不同的利率和波动率时，(a),(b)的结果如何？(d)证明若干无风险利率和波动率是时间的函数，时刻风险中性世界中的股票价格分布可以由等式(11.2)来计算，假设：(1)无风险利率为固定的，等于的平均值；(2)方差率是固定的，等于的平均值(e)证明第19.1节的结论。解：(a)假设时刻股票价格为，时刻股票价格为，在风险中性的情况下，两个独立正态分布之和为正态分布，其均值等于两正态分布均值之和，方差为方差之和(b)(c)假设在第i个时间段中，为波动率，为无风险利率，在3个时间段中由(a)的结论类似可得：其中，，分别为3个时间段的长度(b)所得结论也是正确的。 (d)将0至T时刻划分为更多的时间段，每个时间段由不同的无风险利率和波动率时，(b)所得结论仍然正确。如果和是时间的函数，T时刻股票价格分布与固定利率方差下相同，其中固定利率等于利率平均值，固定方差为方差平均值。19.9某公司具有两类股票：一种由投票权，另一种无投票权。两种股票都支付同样的股利，由投票权的股票价格总是比无投票权的股票价格高10%。如果总权益的波动率是固定的，请说明Black-Scholes公式在估计有投票权股票的欧式期权时是否有效？解：假定有投票权股票为，无投票权股票为，有投票权股票市场价格为，无投票权股票市场价格为定义为权益的总市场价值与的关系用等式表示为定值，的波动率为固定的，设为，的波动率也为固定的，等于。这说明Black-Scholes公式在估计有投票权股票的欧式期权时是有效的。19.10假设某股票价格遵循跳跃扩散模型。用Black-Scholes模型计算不同执行价格，不同有效期限的看涨期权与看跌期权的隐含波动率。你预计会观察到什么形态的隐含波动率？解：深度实值和虚值期权的隐含波动率高于两平期权。对于期限较短的期权波动率的差异最为显著，并且随着期限增加而逐渐消失。这是因为跳跃对短期期权有很大的影响。19.11假设股票价格遵循随机波动率模型，股票价格与波动率正相关。重新做习题19.10。解：当股票价格与波动率正相关时，波动率与课本中的图c类似，其显著性也将随着期权期限的增加而减少。19.12假设某外币汇率遵循跳跃过程，随机波动率与汇率不相关。对比市场上观察到的期权价格与Black-Scholes公式给出的期权定价，你预计会有什么样的偏差？假设用两平期权计算隐含利率。解：外汇的概率分布与对数分布相比具有窄的左右拖尾，虚值和实值看涨及看跌期权都比两平期权有更低的隐含波动率。 19.14期权交易商有时喜欢把深度虚值期权看作基于波动率的期权。你认为他们为什么要这么做？解：深度虚值期权价值较低，波动率的较少降低了其价值，这种降低是很小的因为价值不能为负，另一方面，波动率的增加会导致期权价值的很大增长，因此，深度虚值期权具有与波动率的期权相同的分布。Ch2020.1假设某公司发行的3年期零息票债券收益率对3年期零息票无风险债券收益率的价差为1%.问Black-Scholes公式对该公司出售的3年期期权的价值高估为多少?解:当考虑违约风险时,正确的价格应该是Black-Scholes价格乘以,因此Black-Scholes对期权价值高估了0.0295/0.9704=3.05%.20.2“一个远期合约多头的信用风险是由无违约风险看跌期权的空头与有违约风险看涨期权多头组合而成”.请解释这句话.解:假设在远期合约到期时才发生违约.在一个无违约的世界中,远期合约由一个欧式看涨期权多头和一个欧式看跌期权空头组合而成,其中,期权的执行价格等于远期合约的交割价格,期权到期日等于远期合约到期日.如果在到期日,无违约合约的价值是正值,看涨期权价值价值为正,看跌期权价值为零,对远期合约违约的影响和对看涨期权违约的影响一样.如果在到期日,无违约合约的价值是负值,看涨期权价值价值为零,看跌期权价值为正,在这种情况下违约没有影响.同样的,对远期合约违约的影响和对看涨期权违约的影响一样.这表明合约的价值等于无违约风险看跌期权的空头头寸与有违约风险看涨期权多头头寸.20.3为什么一对配对的远期合约的信用暴露与straddle相似?解:假设远期合约在时间T有一个支付,按照我们通常的观点,远期合约多头价值是,因此远期合约多头的信用暴露是max(,0),也就是说,它是一个执行价格为的资产的看涨期权,类似的,远期合约空头的信用暴露是max(,0),即它是一个执行价格为的资产的看跌期权.所以总的信用暴露是一个执行价格为的跨式期权.20.4为什么信用风险对一对配对的利率互换的影响低于对一对配对的货币互换的影响.解:一对配对的利率互换的信用风险是,当到期日临近时,所有债券的价格趋于平价,然后趋于零.一对配对的货币的信用风险是,S是汇率,由于S的不确定性,当互换到期日临近时,这个期望值就会趋于增加.20.5一家银行有如下资产:$20000万国库券,$10000万公司贷款,$5000万住宅抵押,$15000万其他银行贷款.其资本充足条件似什么? 解:经风险调整暴露为200000+100001+50000.5+150000.2=$15500(万)资本充足条件:支撑这些资本的第一类资本是0.0415500=$620(万)此外,第一类资本加上第二类资本必须大于0.0815500=$1240(万)20.6“当一家银行谈判一桩货币互换时,它应确保从具有较低信用风险的公司那里收取较低利率的货币”.请解释这句话.解:随着时间的推移,低利率的货币有逐渐变强的趋势.这就意味着,我们收取这种较低利率的货币互换将有一个正值,类似的,我们支付这种利率的货币的互换将有一个负值.这表明,我们收取较低利率的货币的互换的期望暴露大于收取较高利率的货币的互换的期望暴露.因此,我们应确保从具有较低信用风险的公司收取较低利率的货币.20.8当存在违约风险时,看涨期权与看跌期权之间的平价关系仍成立吗?请解释你的答案.解:当存在违约风险时,看涨期权与看跌期权之间的平价关系不成立.设和是无违约风险时一个欧式看涨和看跌期权的价格,其在无红利支付时的执行价格为X,到期日为T,股票价格是S.C和P是存在违约风险时相应的期权价格.本章表明,当我们做独立性假设时,,.有如下关系式:在无违约世界中这个公式变为,当存在违约风险时,这个公式就不同于正规的平价公式,而且,他们的关系依赖于独立性假设,不能象第7章我们推导无违约风险世界平价公式那样,用同样简单的无套利原理来推.20.9一个公司有一笔出售$100获得DM150的一年期远期合约.开始时合约无价值,换句话说,远期汇率为1.50.美元的一年期无风险利率为每年5%.对方能够借到的一年期美元的利率为每年6%.汇率的波动率为每年12%.该合约的违约成本现值是多少?假设违约只在合约到期时才知道.解:违约成本是uv,u是预期损失比例,v是预期暴露的现值,u=1-=0.009950.关于远期价格的看涨期权公式为[FN()–XN()],这里,,在这种情况下,F=0.6667,X=0.6667,=0.12,T=1,r=0.05,所以=0.06,=-0.06期权的价值为0.0303.那么v=1500.0303=4.545所以违约成本为4.5450.009950=0.0452220.10假设在习题20.9中,六个月期远期汇率也是1.50并且六个月期美元无风险利率为每年5%.进一步假设对方能够借到的六个月期美元利率是每年5.5%.假设违约发生的时刻既可能是在六个月后那个时刻也可能是在一年后合约到期时,问该合约的违约成本现值是多少?解:在这种情况下,违约成本为 由上题知=4.545,类似的=3.300违约成本为0.0024973.300+0.0074534.545=0.0421120.11考虑18个月期贴现债券,面值$100,在有效期限内随时可以转换成5股公司股票.设当前股票价格为$20,股票不付红利,按连续复利计算的所有期限的无风险利率为每年6%,股价波动率为每年25%.设该公司发行的所有期限的不可转换债券的收益率为每年10%.该债券随时可以$110赎回.使用三步长树图方法计算该债券的价值.可转换期权的价值是多少?33.996%169.95142.40解:28.486%142.40207.29%105.1023.876.84%119.3520.007.83%106.2423.876%119.3516.7610%10014.0410%95.1211.7710%10016.768.82%96.78可转换债券的树图解:树图的参数为:r=0.06=0.5d=0.8380P==0.54161-p=0.4584,在最后结点处,可转换债券的价值为:max(100,5),为股票价格.当我们从树图倒推时,我们检验转换是否最优,债券是否应赎回,我们还要计算合适的贴现率.在28.48处倒推的债券价值为(0.5416169.95+0.4584119.35) =142.4,在该点债券持有者不关心债券是否转换成股票,因为转换的价值都是142.4.28.48点恰当的贴现率为6%,因为如果达到这点,在某一阶段时转换必发生.在14.04这一点,正确贴现率为10%,因为如果达到该点,可转换债券肯定不会被转换.在20.00点正确贴现率为:0.54166%+0.458410%=7.83%.在该点可转换债券价值为(0.5416119.35+0.4584100)=106.24在23.87这一点用于倒推计算的贴现率为:0.54166%+0.45847.83%=6.84%,由倒推计算出这一点可转换债券价值为(142.40.5416+106.240.4584)=124.86,在此点赎回债券最优.为计算在始点20的贴现率,假设23.87这一点的贴现率为6%,以反应在该点转换,这一点的贴现率为0.54166%+0.45848.82%=7.29%,在该点衍生证券价值为(0.5416119.35+0.458496.78)=105.10,若债券无转换选择权,其价值为,因此可转换期权的价值为105.10-86.07=19.0320.15假设某一金融机构与对手X进行了基于英镑利率的互换,同时与对手Y进行了完全抵消的互换交易.下面的描述哪些是对的,哪些是错的?(a)违约成本的总现值是与X公司合约违约成本总现值加上与Y公司合约违约成本总现值.(b)在一年之内两个合约的预期暴露等于与X公司合约的预期暴露加上与Y公司合约的预期暴露.(c)一年内两个合约的暴露的95%置信上限等于一年内与X公司合约暴露的95%置信上限,加上一年内与Y公司合约暴露的95%置信上限.解:(a)和(b)是正确的,(c)是错误的.和是X和Y的暴露,预期暴露+等于X的预期暴露加上Y的预期暴露,但这对于暴露的95%置信上限是不正确的.20.17“当可进行净额化处理时,与某一特定对手进行的新的衍生证券交易对总的预期违约成本产生的附加效应可能是负的”.请解释这句话.解:某一个新交易易于抵消对手存在的交易,那么当可进行净额化处理时,附加效应可能是减少的信用风险.'