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金融数学课后习题答案 2.doc 108页

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  • 2022-04-22 11:28:26 发布

金融数学课后习题答案 2.doc

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'第一章习题答案1.设总量函数为A(t)=t2+2t+3。试计算累积函数a(t)和第n个时段的利息In。解:把t=0代入得A(0)=3于是:a(t)=A(t)A(0)=t2+2t+33In=A(n)−A(n−1)=(n2+2n+3)−((n−1)2+2(n−1)+3))=2n+12.对以下两种情况计算从t时刻到n(tδB(t)⇒2t1+t2>21+t⇒t>121．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。解：d(4)=8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。全部采用复利：(1−d)3=1−8%2第7页PV=5000(1−d)25=4225.25前两年用复利：1−3d0=1−8%2PV=5000(1−d)24(1−d0)=4225.4622．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%，计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误)解：i(4)=6%，则i=(1+6%4)4−1=6.14%设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2000(1+i)2+2000(1+i)+X=2000v2+5000v8解得X=504.67元23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1〕第5年底支付200元，第10年底支付500元；2〕第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：200+500v5=400.94解得v5=0.40188 所以P=100(1+i)10+120(1+i)5=917.76224．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？解：1000(1+6%)t=2×1000(1+4%)t解得：t=36年25．已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计算n。第8页解：列价值方程为100vn+100v2n=100解得n=6.2526．基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力δt=t6累积，初始时刻两基金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。解：δt=16t，得基金B的积累函数为aB(t)=exp(∫t0δsds)=exp(t212)欲使aA(t)=aB(t)则(1+112i(12))12t=exp(t212)解得t=1.427.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。解：1000(1+i)15=3000则i(2)=((1+i)12−1)×2=7.46%28．已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在第2年底的终值为700元。计算实利率。解：列价值方程为300(1+i)2+200(1+i)+100=700解得i=11.96% 29．已知货币的价值以利息力δt=kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来的答案有误)解：δt=kt则积累函数为a(t)=exp∫t0ksds=exp(k2t2)由a(10)=2得e50k=2解得k=0.0139第9页30．已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096，计算i。解：(1+i)3+(1−i)3=2.0096解得i=0.0431.现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：A）现在付款15元，6个月后付款13.65元B〕现在一次性付款28元。如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际)解：设半年实利率为i0，则有：15(1+i0)+13.65=28(1+i0)解得:i0=0.05故：i=(1+i0)2−1=0.102533.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。解：价值方程： 正常:1000=100(1+j)¡1+100(1+j)¡2+1000(1+j)¡3转让:960=100(1+k)¡1+1000(1+k)¡2解得：j=6.98%,k=7.4%从而:j1+(1−t)i(1+i)t<1+it故X10，证明：1)f(m)=(1+jm)m是m的递增函数;2)g(m)=m[(1+j)1m−1]是m的递减函数。解：1)f 0(m)=1m(1+jm)mln(1+jm),j>0,m>0,f0(m)>02)令y=ln(1+j)/m,则原式化为：ey−1yln(1+j)(j>0)由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。42.面额100元的26周国债名收益率11.07％。证明：售价在94.767到94.771之间时，均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见)第12页第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：S=1000s20p7%￢+Xs10p7%￢X=50000−1000s20p7%￢s10p7%￢=651.722．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有10000=X+250a48p1.5%￢解得X=1489.363．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1n。试计算该年金的现值。解：PV=nanpi￢=n1−vn1n=(n+1)nn2−nn+2(n+1)n4．已知：a￢np=X，a2￢np=Y。试用X和Y表示d。解：a2￢np=a￢np+a￢np(1−d)n则d=1−(Y−XX )1n5．已知：a￢7p=5.58238,a1￢1p=7.88687,a1￢8p=10.82760。计算i。解：a1￢8p=a￢7p+a1￢1pv7解得i=6.0%6.证明：11−v10=s1￢0p+a1￢ps1￢0p。第1页证明：s1￢0p+a∞￢ps1￢0p=(1+i)10−1i+1i(1+i)10−1i=11−v107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV=100a8p3%￢+100a20p3%￢=2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000¨s25p8%￢=X¨a15p7%￢解得X=8101.659．已知贴现率为10%，计算a¨￢8p。解：d=10%，则i=11−d−1=19a¨￢8p=(1+i)1−v8i=5.695310.求证：(1)a¨￢np=a￢np+1−vn；(2)s¨￢np=s￢np−1+(1+i)n 并给出两等式的实际解释。证明：(1)a¨￢np=1−vnd=1−vni1+i=1−vni+1−vn所以a¨￢np=a￢np+1−vn(2)s¨￢np=(1+i)n−1d=(1+i)n−1i1+i=(1+i)n−1i+(1+i)n−1所以a¨￢np=s￢np−1+(1+i)n第2页12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV=100a49p1.5%￢−100a2p1.5%￢=3256.88AV=100s49p1.5%￢−100s2p1.5%￢=6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。已知：v10=12，计算Y。解：因两种年金价值相等，则有a30pi￢+a10pi￢v10=Ya30pi￢−Ya10pi￢v10所以Y=3−v10−2v301+v10−2v30=1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2a2npi￢+3anpi￢=362anpi￢vn=6解得i=8.33%15.已知a￢7pa1￢1p=a￢3p+sX￢paY￢p+sZ￢p。求X，Y和Z。解：由题意得 1−v71−v11=(1+i)X−v3(1+i)Z−vY解得X=4,Y=7,Z=416.化简a1￢5p(1+v15+v30)。解：a1￢5p(1+v15+v30)=a4￢5p第3页17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P=1+4.5%4.5%×2000=46444.44，则PV=P(1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t，有P=1ivt解得t=−lniPln(1+i)19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有1000¨a20pi￢=Xiv29解得X=1000((1+i)30−(1+i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1+i)n。解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3anpi￢，而D得到遗产的现值为vn。由题意得1−vn3 =vn所以(1+i)n=421.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。第4页解：由题意知PVCPVA=a￢npv2na￢np=0.49那么PVBPVD=a￢npvn1iv3n=0.6122.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解：100anp4.5%￢v4<1000100an+1p4.5%￢v4>1000解得n=17列价值方程100a16p4.5%￢+Xv21=1000解得X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解：两年金现值相等，则4×a36pi￢=5×18，可知v18=0.25由题意，(1+i)n=2解得n=924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解：由题意可得方程100a60p1%￢=6000(1+i)−k解得k=2925.已知a2pi￢=1.75，求i。解：由题意得1−v2=1.75i解得i=9.38% 26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：第5页27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。解：由题意可得价值方程10000=105Ka2p4%￢v3+Ka2p4%￢+10000v10则K=10000−10000v10105a2p4%￢v3+a2p4%￢v5=979.9428.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程P(1+i)12=X+2Xa4pi￢+2Xa5pj￢(1+i)−4所以X=P(1+i)121+2a4pi￢+2a5pj￢(1+i)−429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：PV=4×400+4×600v5=11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：PV=1s4pi￢a24pi￢v3=(1+i)24−1(1+i)27[(1+i)4−1]=a2￢8p−a￢4p s￢3p+s￢1p第___________6页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得750i+750s20pi￢i=Ra30pi￢解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解：由题意知1is3pi￢=12591解得i=20%35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解：由题意得20=1d=Ra2pi￢i解得R=1.9536.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解：设贴现率为d，则1+i(2)2=1(1−d)12设递延时间为t，由题意得10000=2×500vt¨a(2)∞p￢解得t=ln20+ln(1−(1−d) 12)ln(1−d)37.计算：3a(2)np￢=2a(2)2np￢=45s(2)1p￢，计算i。解：3×ii(2)anpi￢=2×ii2anpi￢=45×ii2s1pi￢解得：vn=12,i=130。第7页38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。（问题）解：39.已知：δt=11+t。求aˉ￢np的表达式。解：aˉ￢np=∫n0e−Rt0δsdsdt=ln(1+n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解：第一种年金的现值为∫10vtdt=1−e−δδ第二种年金的现值为e−δt，则1−e−δδ=e−δt 所以t=1+1δlnδi41.已知：δ=0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解：设季度实利率为i。因a(t)=eδt，则e14δ=(1+i)所以PV=100¨a80pi￢=100(1+i)1−v80i=4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解：设年实利率为i，则i=eδ−1设基金可维持t年，由两现值相等得40000=2400atpi￢解得t=28第8页43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解：由题意：11(1+i)6=13(1+i)7⇒i=211PV=v+3v2+···+(2n−1)vn+···=v[1+PV+2(v+v2+···)]=v(1+PV+2v1−v)解得:PV=6644.给出现值表达式Aa￢np+B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n−1)B,...,A+2B,A+B所求为25a2￢5p+3(Da)25|45.某期末年金（半年一次）为：800,750,700,...,350。已知半年结算名利率为16％。若记：A=a10p8%￢，试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：300a10p8%￢+500(Da)10|8%=300A+2×(10−A)i(2)=6250−325A46.年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。解：由题意： AV=1000s5p8%￢(1+8%)6+(1000×1.05×1.085+1000×1.052×1.084+···+1000×1.055×1.08)=1000(1+8%)5−18%1.086+1000×1.05×1.0851−(1.051.08)51−1.051.08=16606.7247.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:100v4i−vd第9页解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金...。从而PV=v4100i1a2pi￢1i=100v41i11−v2=100v4i−vd48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：1600a¨1￢0p(I(4)a¨)(4)1|元证：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=1,R=100m2=1600从而每年初当年的年金现值：1600(I(4)¨a)(4)1|元再贴现到开始时：1600a¨1￢0p(I(4)a¨)(4)1|元49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。解：半年的实利率：j=(1+8%) 12−1=3.923%PV=1+1.031+j+1.032(1+j)2+···=(1−1.031+j)−1=112.5950.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：6000a¨￢4pa¨(12)9/12|证：首先把9个月的支付贴现到年初：m=12,n=9/12,R=500m=6000从而每年初当年的年金现值：6000¨a(12)9/12|贴现到当前：6000a¨￢4pa¨(12)9/12|第10页51.现有如下的永久年金：第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第三个k年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。解：把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,···):每个年金的值为Ra∞￢p在分散在每个k年的区段里：Ra∞|ak|再按标准永久年金求现值：R(a∞|)2ak|52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1,2,3,···的现值。计算贴现率。解：由题意：X=1i11+i 20X=(1i+1i2)1(1+i)2解得：i=0.05即：d=i1+i=0.0476253.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4=0.75，计算现值。与原答案有出入解：(期初年金)PV=1+6v4+11v9+···=Σ∞i=1(5n−4)v(4n−4)=5(1−v4)2−41−v4=64(期末年金)P¨V=v+6v5+11v10+···=v·PV=59.558754.永久连续年金的年金函数为:(1+k)t，年利率i，如果：0qi不存在,p≤q(2)令f(i)=pi−qi−qi2f0(i)=−pi2+qi2+2qi3=0解得：i=2qp−qp>q58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利率i=5%)(与原答案有出入)解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为：PV1=2×[1+(1.041.05)9+(1.041.05)18+(1.041.05)27] 用15年一周期的产品，则有支付的现值为：PV2=(2+X)×[1+(1.041.05)15+(1.041.05)30]由PV1=PV2有：X=0.699259.计算m+n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，smp7%￢=34,snp11%￢=128。解：由s￢np的表达式有：(1+0.11)n=0.11snp11%￢+1AV=smp7%￢×(1+0.11)n+snp11%￢=smp7%￢×(0.11snp11%￢+1)+snp11%￢=640.72第13页60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。解：设X为买价，有价值方程：0.4s10p6%￢+2=0.8sn−10|6%+X(1+0.06)−(n−10)从而有：X=(0.4s10p6%￢+2−0.8sn−10|6%)(1+0.06)(n−10)解得：X=5.22n=152.48n=2061.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解：由题意：AV=100000(1+4%)20+5000s20p4%￢s2p4%￢−12000(1+4%)s20p4%￢s2p4%￢=109926.02162.已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K的大小。 解：由题意：K1ampi￢=Ka2mpi￢⇒K1=K[1+1(1+i)m]<2K63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。解：由题意：2KaMpi￢=KaNpi￢⇒vM=1+vN2>vN2即：Mn，证明：L=a￢np在−10,n>0时，有：(Ia)npi<[(n+1)/2]anpi￢<(Da)npi证：由69题有：[(Ia)npi+(Da)npi]/2=(n+1)anpi￢/2从而，只要证：(Ia)npi<(Da)npi(∗)注意到：(Da)npi−(Ia)npi⇔30__(n−1),(n−3),···,−(n−3),−(n−1)这年金前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(∗)成立。71.某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。第16页解：1)平均工资：$=18000(1+1.04+···+1.0436)/37=39747.04退休前一年的工资：18000×(1+0.04)36=73870.79法一：年退休金：0.7$=27822.93,比例为：37.66%法二：年退休金：0.25$×37=36766.01,比例为：49.77%2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：P=18000×6%×Σ36t=0(1+4%)t(1+6%)36−t=235871.7设年退休金为R,则有：R¨anp6%￢≤P解得：n=12第一种方式8第二种方式72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1+2元；第三年初1+2+3元；依此类推；第n年初1+2+···+n元。证明该年金的现值为:¨a∞p(I¨a)∞p。解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金，···,从第n年出发的n份标准永久年金···。分别求各个子现金流的现值得到如下的现金流：¨a∞p,2¨a∞p,···,n¨a∞p,··· 其现值即为原年金的现值：¨a∞p(I¨a)∞p。73.已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F0，利息力δ，如果用Ft表示时刻t的年金终值，证明:dFtdt=δFt+f(t)证：由定义Ft=∫t0f(s)e(t−s)δds=etδ∫t0f(s)e−s)δdsdFtdt=δeδt∫t0f(s)e−δsds+f(t)=δFt+f(t)74.A从B处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C，转卖价格使C今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。第17页解：A从B借款：季度实利率为i=(1+0.04)1/4−110000=Ra40pi￢B把后16次___________的还款卖给C：季度实利率为：i0=(1+0.06)1/4−1P=Ra40|i0=10000a40|i0a40pi￢解得：P=4303.1。75.现有两种年收益率相同的投资选择：A－第5年底收益800元，第10年底收益100元；B－10年间每年底收益100元。如果投资A的成本为425元，计算投资B的成本。解：投资A的价值方程：CA=425=800v5+100v10⇒v5=0.5 投资B的价值方程：CB=100a1￢0p=1001−v10i=504.3876.已知:a￢5p=3.982,a1￢0p=6.680,a1￢5p=8.507，计算利率i(有必要给出a1￢5p=8.507吗？)。解：由a￢np的表达式易见：v5=a10|a5|−1⇒a￢5p=2−a10ja5ji解得：i=2a5|−a10|a25|=0.08177.某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可接受年利率为多少？解：由题意：325¨a12pi￢=3700解得：i=(1+0.00972)12−1=12.31%第18页78.永久年金A有如下的年金方式：1,1,1,2,2,2,3,3,3,···；永久年金B有如下的年金方式：K,K,2K,2K,3K,3K,···。如果两个年金的现值相等，计算K。解：现金流拆分:1,1,1,2,2,2,3,3,3,···⇔1,1,1,1,1,1,1,1,1,···0,0,0,1,1,1,1,1,1,···0,0,0,0,0,0,1,1,1,······⇔1 i,0,0,1i,0,0,···由此方式A的现值为：PV=1i+1iv3+1iv6+···=1i(11−v3)同理方式B的现值为：PV=Ki(11−v2)解得：K=a￢2p(a￢3p)−179.永久年金的年金方式为：1,1,2,1,1,3,1,1,4,···。每年底支付，假定年实利率5%，计算现值。解：现金流拆分：1,1,2,1,1,3,1,1,4,···1,1,1,1,1,1,1,1,1,···(A)0,0,1,0,0,2,0,0,3,···(B)现金流A的现值：PV1=1i现金流B的现值：PV2=v3+2v6+···=v3(1−v3)−2求和得到：PV=66.5980.在5年中每年初存入100元。已知第5年底的余额为620元，计算单利率。?81.实利率i满足以下条件：期初年金1,2,···,n−1,n的现值为A；n年底的单位支付的现值为iP。试给出a￢np的表达式。第19页第三章习题答案1已知某投资的内部回报率为r，且在该投资中C0=3000元，C1=1000元，R2=2000元和R3=4000元。计算r。解:令v=11+r，由P(r)=0有C0+C1v−R2v2−R3v3=0代入数据，解得：v≈0.8453∴r=18.30%2十年期投资项目的初期投入100,000元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000元，以后各年以6%的速度增长。计划收入为：第一年末30,000元，以后逐年递减4%，计算R6。解:由i=6%,j=4% R6=30000(1−j)5−3000(1+i)5=30000×0.965−3000×1.065=20446.60元3已知以下投资方式：当前投入7000元，第二年底投入1000元；回报为：第一年底4000元，第三年底5500元。计算：P(0.09)和P(0.10)。解:净现值P(i)为：P(i)=−7000+4000(1+i)−1−1000(1+i)−2+5500(1+i)−3P(0.09)=75.05元P(0.10)=−57.85元第1页4计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100元加上两年后的108.15元，可以在第一年底收回208元。解:设收益率为i，其满足：−100+208v−108.15v2=0解得i=2.03%或6.03%两种收益率的差为4.00%5每年初存款，第10年底余额为1000元，存款利率4%，每年的利息收入以4%的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。解:以第10年底为比较日，有以下的方程10R+4%R(Is)10p3%￢=1000解得R=100010+4%(Is)10p3%￢6现在10000元贷款计划在20年内分年度还清，每年还款1000元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率5%进行投资。计算贷款方的实际年收益率。解:设年收益率为i，有1000a20p5%￢v20=10000解得i≈6.16%第2页7某投资者购买了如下的五年期金融产品：(1)每年底得到1000元；(2)每年的收入可以按年利率4%投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。计算购买价格。解:设购买价格为P，有P(1+i)5=1000×5+1000i(Is)4p3%￢P×1.045=5000+40(Is)4p3%￢P=4448.42元8某投资者连续五年每年期末向基金存款1000元，年利率5%。同时，利息收入可以以年利率4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。 解:对现金流进行拆分，第10年底的余额为：P=1000×5+5%×1000(Is)10p4%￢−5%×1000(Is)5p4%￢=5000+50・s1￢1p−114%−50・s6p￢−64%=5000+50×62.159−50×15.824=7316.73元第3页9甲将2000元投资10年，年利率17%，利息每年支付，利息的再投资利率为11%，第10年底的累积利息为5685.48元；乙在20年内，每年底投资150元，年利率14%，而且利息以11%的年利率再投资。计算乙在20年底的累积利息收入。解:PA=2000×17%×s9p11%￢PB=150×14%×(Is)19p11%￢由PA=5685.48解得(1+11%)10=2.83942带入PB计算得PB=8438.71元另解:PB=150×14%×(Is)19p11%￢直接计算得PB=8438.71元10某人以100000元购得一块土地，每年需交资产税1500元。十年后以260000元卖出，同时交纳8%的销售税。计算年收益率。解：由净现值公式有P(i)=−100000−1500a10pi￢+260000×(1−8%)×(1+i)−10=0解得：i≈8.075%1150000元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000元。计算：1)15%的净现值；2)收益率。解：由净现值公式有P(i)=−50000+18000a6p15%￢(1)P(15%)=18120.69元第4页(2)P(i)=0解得：i≈27.698%12某人拥有10000元按月以i(12)=6%支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12)=12%存入银行，计算其账户在第12次、24次和36次存款后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的i(12)。解：第n次存款后的余额为P(n)=10000+10000×i(12)12×s(12) np￢每年的平均i(12)满足10000×(1+i(12)12)n=P(n)把n=12,24,36代入得到P(12)=10634.16,i(12)=6.16%P(24)=11348.67,i(24)=6.34%P(36)=12153.84,i(36)=6.52%13某基金的年初金额为500000元，年底余额为680000元。投资收入为60000元，投资成本为5000元。用资本加权法计算年实际收益率。解：由题意，A=500000，B=680000所以，I=60000−5000=55000i=2IA+B−I=9.78%第5页14某基金的年利率4%，年初余额1000元，如果在第三个月底存入200元，第9个月底取款300元。假定利率按单利计算，计算年底的余额。解：P=1000×(1+i)+200×(1+34i)−300×(1+14i)=1000×1.04+200×1.03−300×1.01=943元15(1)假定：1−tit=(1−t)i，给出1−ti0的表达式；2）假定：1−ti0=ti，给出1−tit的表达式。解：在考虑福利的前提下有(1+ti0)(1+1−tit)=1+i(1)由1−tit=(1−t)i得it0=(1+i)−1−(1−t)i1+(1−t)i=ti1+(1−t)i(2)由it0=ti得1−tit= (1+i)−1−(1−t)i1+ti=(1−t)i1+ti16在初始时刻和第1年底分别向基金投入1000元，已知基金在第1年底的余额为1200元，第2年底的余额为2200元。分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。解：资本加权法1000(1+i)2+1000(1+i)=2200解得i≈6.52%时间加权法(1+i)2=12001000×22001200+1000解得i≈9.54%第6页17基金在元旦的余额为A，6月底的余额为B，年底的余额为C。(1)若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算的年收益率都是C−AA；(2)如果在6月底计算余额后立即投入资本D，试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。(3)如果(2)中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算(2)中的两种收益率。(4)说明(2)和(3)中投资额加权法的结果相同的原因。(5)试说明(2)中时间加权法的结果大于(3)的结果。解：(1)资本加权法A(1+i)=Ci=C−AA时间加权法1+i=BA・CBi= C−AA(2)资本加权法A(1+i)+D(1+i2)=CC=C−A−DA+12D时间加权法1+i=BA・CB+Di=BCA(B+D)−1(3)资本加权法A(1+i)+D(1+i2)=CC=C−A−DA+12D时间加权法1+i=B−DA・CBi=(B−D)CAB−1第7页(4)资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6月底余额计算前投入还是后投入，对收益率没有影响。(5)(2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部 分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本D是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。18已知：当t=1,2,3,4,5且y=1,2,・・・10时，有1+iyt=(1.08+0.005t)1+0.01y如果在y=5时投资1000元，持续3年。计算等价的均衡利率。解：设等价的均衡利率为i，利用投资年方法的计算公式有(1+i51)(1+i52)(1+i53)=(1+i)3代入数据得到i≈9.469%19基金X在1991年元旦的单位价值为1.0元，在1991年7月1日的单位价值为0.8元，在1992年元旦的单位价值为1.0元，如果某投资者在1991年元旦和7月1日分别投入10元。分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者在1991年的收益。解：资本加权法，A=10,C=10,B=10+10×10.8=22.5得到I=2.5i=2.510+12×10=16.67%时间加权法i=0.81×10.8−1=020某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000元；或者，现付2400元，然后每年底付款1500元，两年付清。若某购车者的最小可接受的年收益率为10%，问其选择哪个方式购买？解：以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为：2400+1500(1+i)−1+1500(1+i)−2=5003.31元>5000第8页所以应该选择第一种方式付款。21如果投资者的可接受利率为12%，说明第3题的项目是否可以接受。解：用Excel规划求解内部收益率得 r≈9.56%<12%所以可以接受这个项目。22如果例子3.19的项目回报率为15%，计算相应的项目融资利率f。解：利用r,f之间的关系式：1+r=100001600(1−11+f)把r=15%代入解得：f=22.55%23已知某项目前五年的现金流如表3-13所示。若r=15%,f=10%，计算B5。表3-13t012345Ct10002000-40003000-40005000解：B0=C0=1000B1=B0(1+r)+C1=3150B2=B1(1+r)+C2=−377.5B3=B2(1+f)+C3=2584.75B4=B3(1+r)+C4=−1027.54B5=B4(1+f)+C5=3869.71第9页24现有某一种投资，若利息收入要扣除25%的收入税。估计在今后20年内可以达到年利率8%注：税前，计算在20年底，利息累积额下降的比例。解：税后的等价利率为8%×3/4=6%,从而利息累积额下降比例为1.0820−1.06201.0820−1=39.7%25某人需要800元借款，有以下两种方式偿还：(1)只借800元，然后期末一次偿还900元；(2)先借1000元，期末偿还1120元。如果最小可接受的利率为10%，分析其选择。解：对于第一种方式，期末的现值为：800(1+10%)−900=−20元对于第二种方式，期末现值为：1000(1+10%)−1100=−20元所以两种方式是等价的。此题有待讨论。26保险公司将寿险保费的收入建立基金，年底计息。受益人可以在今后10年的每年底从基金中取款，若保单的最低年利率为3%时，每年的取款金额为1000元。然而，保险公司的基金投资利率为：前四年4%，后六年5%。因而，实际取款金额为： Wt=Ft¨a11−tp3%￢,t=1,2,...,10其中Ft表示基金在时刻t(t=0去掉,1,2,...,10)的余额。计算W10。解：由递推公式Wt=Ft¨a11−tp3%￢,Fn+1=Fn−Wn整理得Ft+1=Ft・1.03+・・・+1.0310−t1+1.03+・・・+1.0310−t,t=1...9第10页F10=F1×1.0391+1.03+・・・+1.039=1000רa10p3%￢×1.039¨a10p3%￢=1000×1.039=1304.77W10=F10¨a1p3%￢=1304.77元与原答案有出入。27某基金在1月1日的余额为273000元，在12月31日的余额为372000元。该基金一年的利息收入为18000元，收益率6%。计算平均的存取款日期。解：由题意有A=273,000B=372,000I=18,000C=B−A−I=81000i=IA+C(1−t)=6%∴t=23所以平均的存取款日期是9月1日。第11页28某基金的投入为连续方式，起始余额为1，t时刻的投入为1+t，利息力函数为(1+t)−1。计算n年末的终值。解：期初的现值为：a(n)=a(0)+∫n0(1+x)exp{− ∫n0(1+t)−1dt}dx=1+∫n0(1+x)・11+xdx=1+nn年末的终值为AV=a(n)・exp{∫n0(1+t)−1dt}=(1+n)・(1+n)=(1+n)229某基金在1991年和1992年间的运作情况如表3-14所示。用时间加权法计算这两年的收益率。表3-14日期1/1/911/7/911/1/921/7/921/1/93基金价值/元10000001310000126500015400001420000投入/元250000250000取出/元150000150000解：根据题意，所求收益率为：(131−25100×126.5+15131×154−25126.5×142+15154)12−1=9.10247%应注明投资和支取是在计算余额前投入的！第12页30某互助基金的初始单位价值为10000，在随后的5年底的价值为：11710元， 12694元，14661元，14148元和16836元，有三个投资者A、B和C，投资情况如表3-15所示。(1)用时间加权法计算该基金在5年中的年平均收益率；(2)用资本加权法计算每个投资者在5年中的年平均回报率。表3-15时间第1年底第2年底第3年底第4年底第5年底A10002000300040005000B30003000300030003000C50004000300020001000解：(1)有资本加权法有：(1+i)5=1171010000×1269411710×1466112694×1414814661×1683614148∴i=10.99%(2)对于投资者A,B0=0B1=C1=1000B2=B1×1269411710+C2=3084.03B3=B2×1466112694+C3=6561.92B4=B3×1414814661+C4=10332.31B5=B4×1683614148+C5=17295.36C1(1+r)4+C2(1+r)3+C3(1+r)2+C4(1+r)+C5=17295.36解得：r≈10.60%第13页对于投资者B,B0=0B1=C1=3000B2=B1×12694 11710+C2=6252.09B3=B2×1466112694+C3=10220.89B4=B3×1414814661+C4=12863.25B5=B4×1683614148+C5=18307.16C1(1+r)4+C2(1+r)3+C3(1+r)2+C4(1+r)+C5=18307.16解得：r≈9.98%对于投资者C,B0=0B1=C1=5000B2=B1×1269411710+C2=9420.15B3=B2×1466112694+C3=13879.86B4=B3×1414814661+C4=15394.19B5=B4×1683614148+C5=19318.96C1(1+r)4+C2(1+r)3+C3(1+r)2+C4(1+r)+C5=19318.96解得：r≈9.68%第14页第四章习题答案1现有1000元贷款计划在5年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2年底的未结贷款余额。解：设每个季度还款额是R，有Ra(4)5p6%￢=1000解得R，代入B2的表达式B2=Ra(4)3p6%￢=635.32元2设有10000元贷款，每年底还款2000元，已知年利率12%，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解：n=100002000=5B5=10000×(1+i)n−2000snp12%￢=4917.72元3某贷款在每季度末偿还1500元，季换算名利率10%，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000元，计算最初的贷款额。解：以季度为时间单位，i=2.5%。B0=B1・v+1500a4pi￢=16514.4元4某贷款将在15年内分期偿还。前5年每年底还4000元，第二个5年每年底还3000元，最后5年每年底还2000元。计算第二次3000元还款后的未结贷款余额的表达式。解：对现金流重新划分，有B7=2000a￢8p+1000a￢3p第1页5某贷款将以半年一次的年金方式在3年半内偿还，半年名利率8%。如果已知第4次还款后的未结贷款余额为5000元，计算原始贷款金额。解：设原始贷款额为L，每次还款为R，以半年为时间单位，有5000=Ra3p4%￢L=Ra7p4%￢整理得：L=5000・a￢7pa￢3p=10814.16元6现有20000元贷款将在12年内每年底分期偿还。若(1+i)4=2，计算第4次还款后的未结贷款余额。解：设第4次还款后的未结贷款余额为L，每次还款为R，有20000=R・a12pi￢L=R・a8pi￢把(1+i)4=2代入整理得：L=5000・1−(1+i)−81−(1+i)−12=17142.86元720000元抵押贷款将在20年内每年分期偿还，在第5次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8年底重新开始还贷，并在20年内还清。计算调整后的每次还款额。 解：设正常每次还款为R，调整后每次还款X，以当前时间和第5年底为比较日，有20000=Ra2￢0pXa1￢3p・v2=Ra1￢5p整理得：X=20000・a15p￢a2￢0p・(1+i)2a1￢3p第2页8某贷款L原计划在25年内分年度等额还清。但实际上从第6次到第10次的还款中每次多付K元，结果提前5年还清贷款。试证明：K=a2￢0p−a1￢5pa2￢5pa￢5pL证：以第20年年底为比较日，设每次还款为R，有L=Ra2￢5pKs￢5p(1+i)10=Ra￢5p整理即得。9设Bt表示未结贷款余额，证明：(1)(Bt−Bt+1)(Bt+2−Bt+3)=(Bt+1−Bt+2)2;(2)Bt+Bt+3L2Bk−1=Ran−k+￢1p1故K=[n+1−ln(vn+1)−ln2lnv]+1其中[x]表示取整函数。21设有年利率2.5%的15000元___________贷款，每年偿还1000元。计算第几次还款中本金部分最接近利息部分的4倍解：设第k次还款本金部分最接近利息部分的4倍。利用追溯法Bk−1=L(1+i)k−1−Rsk−￢1p⇒Ik=iBk−1=iL(1+i)k−1−R[(1+i)k−1−1]Pk=R−Ik=R(1+i)k−1−iL(1+i)k−1再由Pk=4Ik得k≈11。 第8页22某贷款在每年的2月1日等额还贷。已知1989年2月1日的还款中利息为103.00元，1990年2月1日的还款中利息为98.00元，年利率8%。计算：(1)1990年还款中的本金部份；(2)最后一次不足额还款的日期和金额。解：(1)设In,Pn为别为n年的利息部分和本金部分，I1990=I1989−iP1989⇒P1989=62.5又I1989+P1989=I1990+P1990⇒P1990=67.5(2)利用递推公式容易求得2000年2月1日还款后未结贷款余额为101.43元，已经小于165.5元。同时易得B1989=1225。设最后一次还款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足1225=165.51−v11+ti⇒t=0.653故最后一次还款时间为2000年9月24日，金额为165.5×1.08t−10.08=106.67元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一年的等价时间偿还的方法。与原答案有出入23某贷款通过2n次偿还。在第n次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额的3/4，计算下一次还款中利息部份的比例。解：由题意得34L=Ranpi￢L=Ra2npi￢⇒vn=13而In+1=R(1−vn)，故利息部分所占的比例是23。第9页24某银行提供月利率1%的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，只需对当时余额多付出K%。如果某人在第5年底找到另一家银行提供月利率0.75%的10年贷款，对这个借款人来说K的最大可接受值为多少？解：K最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。a120p0.75%￢=(1+K%)a120p1%￢⇒K=13.258% 25现有10000元贷款利率10%。已知借款人以8%累积偿债基金，第10年底的偿债基金余额为5000元，第11年的还款金额为1500元。计算：(1)1500元中的利息量；(2)1500元中的偿债基金存款；(3)1500元中偿还当年利息的部分；(4)1500元中的本金量；(5)第11年底的偿债基金余额。解：(1)I11=10000×10%=1000元；(2)偿债基金存款额为1500−1000=500元；(3)也即是计算净利息:1000−5000×8%=600元；(4)本金量1500−600=900元；(5)11年底的偿债基金余额5000×(1+8%)+500=5900元。26证明：anpi&j￢=snpj￢1+isnpj￢。证：利用L=Ranpi&j￢L=(R−iL)snpj￢消去R可得(Lanpi&j￢−iL)snpj￢=L再适当变形便可得结论。第10页27现有利率为9%的10000元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以利率7%向偿债基金存款K。如果在第10年底偿债基金的余额恰足以偿还贷款。计算K。解：由题意得K¨s10p7%￢=104⇒K=676.4328现有10年期贷款年利率5%，每年底还贷1000元。贷款的一半按摊还方式进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。解：设贷款额为X，有X/2=R1a10p5%￢ X/2=R2anp5%&4%￢1000=R1+R2整理得到X2(1a10p5%￢+1anp5%&4%￢)=1000X=7610.48元29为期10年的12000元贷款，每半年还款1000元。已知前5年以i(2)=12%计息，后5年以i(2)=10%计息。每次还款除利息外存入利率i(2)=8%的偿债基金。计算第10年底偿债基金与贷款之间的差额。解：前5年每半年放入偿债基金1000−12000×6%=280后5年每半年放入偿债基金1000−12000×5%=400故第10年底偿债基金余额为280s10p4%￢×(1+4%)10+400s10p4%￢=9778.6于是差额为2221.4元。第11页30为期10年的3000元贷款，以i(2)=8%计息。如果借款人将贷款的1/3通过存入利率i(2)=5%的偿债基金偿还，剩余的2/3通过存入利率i(2)=7%的偿债基金偿还。计算每年的还款总额。解：设对于1/3部分贷款每年还款为R1，剩余部分贷款每年还款为R2。有(R1−1000×4%)s20p2.5%￢=1000(R1−2000×4%)s20p3.5%￢=2000分别解得R1=79.15,R2=150.72。故每年的总还款额为R1+R2=229.87元31为期31年的400000元贷款,每年底还款36000元，若以年利率3%建立偿债基金。计算原贷款利率。解：设原贷款利率就是i。有(36000−400000i)s31p3%￢=400000解得i≈7%。32某20年期末年金，以前10年利率8%后10年利率7%计算的现值为10000元。某投资者以年利率9%买得该年金，并允许以累积偿债基金的方式收回这笔资金，偿债基金前10年利率为6%，后10年利率为5%。计算偿债基金的存款额。解：设期末年金每年的金额是R，偿债基金存款额为X，未结贷款余额为P，有10000=Ra10p8%￢+Ra10p7%￢(1+8%)−10 R=X+P×9%P=Xs1￢0p6%(1+5%)10+Xs5%￢p解得：X=246.95元有待讨论！我们认为年利率9%就是利率i第12页33某n年期利率为i的贷款，以利率j建立偿债基金。试给出以下各问的表达式(16t6n)：(1)贷方每年得到的利息；(2)偿债基金每年的存款额；(3)第t年偿债基金所得利息；(4)偿债基金在第t年底的余额；(5)第t年底的未结贷款余额；(6)第t年支付的净利息；(7)第t年支付的本金。解：设贷款额为L。(1)贷方每年得到的利息为iL；(2)由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为Lsnpj￢(3)偿债基金在t−1年末的余额是Lsnpj￢st−￢1p，故在第t年所得利息为jL(1+j)t−1−1(1+j)n−1(4)偿债基金在第t年底的余额是Lsnpj￢stpj￢=L(1+j)t−1(1+j)n−1(5)第t年底的未结贷款余额为L−L(1+j)t−1(1+j)n−1=L(1+j)n−(1+j)t(1+j)n−1(6)第t年支付的净利息为iL−jL(1+j)t−1−1(1+j)n−1(7)第t年支付的本金量是第t年偿债基金所得利息与第t年存入偿债基金金额之和，即为jL (1+j)t−1−1(1+j)n−1+Lsnpj￢=j(1+j)t−1L(1+j)n−1第13页34为期10年的100000元贷款，贷款利率12%，同时以年利率8%建立偿债基金。已知前5年还款为K；后5年还款为2K。计算K。解：每年的利息为100000×12%=12000故100000=(K−12000)s5p8%￢(1+8%)5+(2K−12000)s5p8%￢解得K=13454.36元。35某10000元贷款以利率i(12)=15%按月偿还利息，同时以利率i(12)=9%每月存款100元累积偿债基金。一旦偿债基金的余额达到10000元，则结束还贷。计算借款人总的还款额。解：每月还利息为10000×i(12)12=125元，于是每月总支出为100+125=225再由100snp7.5%￢>10000⇒n=75但需要注意100snp7.5%￢−10,000=18.33，故最后一个月放入偿债基金的应是100−18.33元。所以总共还款额为75×225−18.33=16856.67元36为期25年的100000元贷款，贷款利率12%。如果贷款人从每年的还款中以年利率i提取利息，同时将剩余部份以利率j累积偿债基金。分别对j=8%,12%和16%三种情况计算i。解：j=12%相当于按照摊还方式对应的利率。设每次还款额为R，于是R=La25p0.12￢第14页___________再根据偿债基金的定义有(R−iL)s25pj￢=L解得i=1a25p12%￢ −1s25pj￢代入数据便有(1)j=8%时，i=11.38%；(2)j=12%时，i=12%；(3)j=16%时，i=12.35%。37现有10年期贷款按月偿还，其中月换算名利率i(12)=12%，首次为600元，然后每次增加5元。(1)计算原始贷款金额；(2)证明：Pt=P1(1+0.01)t−1+5st−1p1%￢。解：L=595s120p1%￢+5Ia120p1%￢=58490.89元；证：这个题证明方法不唯一，比如利用递推关系，找规律再用归纳法证明。下面给出的证明方法是作者认为最简单的。如果每次还款额是一样的，那么{Pt}呈等比数列，且Pt=P1(1+i)t−1。于是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。下面用B1t表示等额还款时第t次的未结贷款余额，B2t表示按题中方式进行还款时第t次的未结贷款余额。于是B1t=L(1+i)t−600stpi￢B2t=L(1+i)t−600stpi￢−5Ist−1pi￢故P2t−P1t=(B2t−1−B2t)−(B1t−1−B1t)=(B2t−1−B1t−1)+(B1t−B2t)=5(Ist−1pi￢−Ist−2pi￢)=5st−1pi￢(直接带公式化简)第15页 于是Pt=P1(1+0.01)t−1+5st−1p1%￢38某帐户现有1000元存款，每月实利率1%，且月月结算。如果每次恰好在利息结算的下一个瞬间取出100元。问：最多可以提取几次？同时给出该帐户每月余额和利息的列表。解：设第t个月帐户余额为Bt，于是Bt=1000(1+i)t−100stpi￢容易算得t=10时，帐户余额首次低于100元，故最多能够提取10次。每月结余和利息列表如下：月份利息帐户余额00.001000.00110.00910.0029.10819.1038.19727.2947.27634.5656.35540.9165.41446.3274.46350.7883.51254.2992.54156.83101.5758.4039已知某贷款每半年偿还K元，且三次连续还贷后的贷款余额为：5190.72，5084.68和4973.66。计算K。解：利用追溯法可得5190.72(1+i)−K=5084.685084.68(1+i)−K=4973.66由此可解得K=349.81元。第16页40利率为i的贷款L，每次偿还K，直至最后的不足额(不足金额K)还款。证明：Bt=Ki−(Ki−L)(1+i)t。证：利用追溯法Bt=L(1+i)t−Kstpi￢=L(1+i)t−K(1+i)t−1i= Ki−(Ki−L)(1+i)t41现有1000000遗产，年投资收益5%。由A，B和C三人继承。A每年从本金中得到125000元，累计5年；B每年从本金中得到75000元，累计5年；C每年得到利息。计算三人的遗产继承份额。解：(1)A继承遗产的终值为125,000s5p5%￢=690,703.91元；(2)B继承遗产的终值为75,000s5p5%￢=414,422.34元；(3)C继承遗产的终值为1,000,000(1+0.05)5−125,000s5p5%￢−75,000s5p5%￢=171,155.31元故三人的遗产继承份额分别为54.12%、32.47%、13.41%。42某10年期年金，每季度500元，年利率8%。计算10年间所有的利息收入。解：设季实利率为i，则i满足(1+i)4=1+8%。解得i=1.94%。于是利息收入为500s40pi￢−500×40=9811.27元43现有5年期10000元贷款，半年换算名利率12%。若在偿还利息之后，借款人每年年底以年利率8%的存款方式累积贷款本金。计算5年内的还贷总额。解：(1)每年偿还利息为10,000×12%2×2=1200元。(2)每年偿还本金为10000s5p8%￢=1704.56元。故5年内还贷总额为(1200+1704.56)×5=14522.82元第17页44某贷款以每年年底还3000元偿还，季换算名利率10%。若第3次还款中的利息量为2000元，计算第6次还款中的本金量。解：设等价年实利率为i，则i=(1+10%4)4−1=10.38%。由题意3000(1−vn−2)=2000解得vn−2=13。故第六次还款中的本金为3000vn−5=3000vn−2v−3=1344.84元45现有10年期5000元贷款，季换算名利率10%。借款人在第10年底一次性偿还所有累计利息和本金。为此，以半年换算名利率7%累计偿债基金。计算偿债基金的每次存款额。解：设每次存入偿债基金金额为R，由题意得 Rs20p3.5%￢=5000(1+2.5%)40解得R=474.73元。46现有3000元贷款按季度分20次摊还，第11次和12次因故取消。经协商，摊还从第13次重新开始，且每次金额为N，但是第14，16，18和20次的还款都比正常还款逐次增加40元。已知半年换算名利率8％，计算N为多少方可保证按原计划如期还贷。解：设季度实利率为i，由题意有3000=Ra20pi￢(1+i)2=1+8%2Ra10pi￢・(1+i)2=Na8pi￢+40Ia4p4%￢⇒i≈0.0198R≈183.087N≈185.08元47设有10年期贷款，其还款方式为：首次还款全部用于还利息，第2次还款为第一次的两倍，第三次还款为第一次的三倍，依次类推。证明：Ia1￢0p=a∞￢p证：不妨设贷款总额为1，利率为i，则第n年还款为ni。于是1=iIa1￢0p故Ia1￢0p=1i=a∞￢p第18页48某贷款分10次偿还，第1次还款10元，第2次还款9元，依次类推。证明：第6次还款中的利息为：(5−a￢5p)元。证：由题意得L=Da1￢0p。利用追溯法B5=L(1+i)5−(5s￢5p+Da￢5p)于是I6=iB5=iL(1+i)5−5is￢5p−iDa￢5p=(10−a1￢0p)(1+i)5−5[(1+i)5−1]−[5(1+i)5−s￢5p]=5−s1￢0p(1+i)5+s￢5p=5−a￢5p49某贷款的偿还方式为：第1年底200元，以后每年递增50元，直至1000元。问：如果年利率4%，第4次还款中的本金量。解：利用预期法可得B3=300a14pi￢+50Ia14pi￢=6795.18元 故第4次还款中的本金量为350−iB3=78.19元50某1000元贷款，每半年一次分10次等额偿还本金，同时按照半年换算名利率6%偿还利息。为了保证半年换算名利率10%的收益率，计算该贷款的出让价格。解：设出让价格为P，P×(1+10%2)10=100010・s10p5%￢+100010×6%2×(Da)10p5%￢=1480.45⇒P=908.87元第19页51现有8000元20年期抵押贷款，每半年偿还100元再加上以利率5%计算的贷款余额的利息。在恰好得到第15次还款后，贷款人转卖了这个贷款，价格满足：贷款利率为6%，偿债基金利率为4%。假定以上所有利率均为半年换算名利率。证明：(1)如果每半年的净回报相等，贷款转让价格为75s25p2%￢+62501+0.03s25p2%￢元=4412元；(2)如果每半年的偿债基金的存款额相同，则转让价格为s25p2%￢0.03a25p3%￢a25p3%￢+1251+0.03s25p2%￢元=4453元证：52设有利率10%的2000元贷款，其还贷方式为：第一年底400元，然后按4%的比例递增，最后一次将小量余额付清。计算(1)计算第3年底的未结贷款余额； (2)计算第3次偿还中的本金量。解：做摊还表。次数利息部分还款额本金部分未结贷款余额12004002001800218041623615643156.40432.64276.241287.7653两笔30年等额贷款都以4%利率偿还。甲每年等额偿还；乙每年的还款中的本金量为常数，利息按摊还方式。计算甲的还款额首次超过乙的时刻。解：设贷款总额为1，甲乙每年的还款额分别为R甲,R乙,nR甲a30p4%￢=1R乙,n=130+31−n30×4%解R甲>R乙,n得n>12.6所以，甲的还款额在第13次首次超过乙。第20页54甲以实利率i投资。其中第1年底取出利息收入的162.5%，第2年底取出利息收入的325%，依此类推。已知在第16年底原始投资资金全部收回。计算i。依此类推，有歧义，加上“第3年底取出利息收入的487.5%”解：考虑最后一年，设第15年底未结余额为1，第16年底取出利息收入i的162.5×15，于是1+i=162.5%×15i解得：i=4.28%55贷款额为aˉ2￢5p的贷款以连续年金方式偿还，连续偿还函数为1，期限为25年。如果：i=0.05，计算第6年到第10年间的偿还利息总额。与原答案有出入解：记利息力为δI=∫106δ・∫25tvs−tdsdt=∫106 (1−v25−t)・δlnvdt=4+v15−v19lnv=2.2520456证明：(1+i)t−sˉtp￢aˉn−￢tp=aˉ￢npaˉn−￢tp证：两边同时乘aˉ￢np，移项得：(1+i)taˉ￢np=aˉn−￢tp+sˉ￢tp左边(1+i)taˉ￢np为n期标准连续年金在t期期末的现值右边aˉn−￢tp+sˉ￢tp是n期标准连续年金前t期与后n-t期在t期期末的现值之和。于是得证。第21页57设有连续方式偿还的n年期贷款，时刻t的偿还额为t。给出未结贷款余额的计算式。解：Bk=∫nktvt−kdt=∫n0tvt−kdt−∫k0t(1+i)k−tdt=(1+i)k(Iˉaˉ)￢np−(Iˉsˉ)￢kpne−nδδ(lnn+1)−se−sδδ(lns+1)或者Bk=∫nktvt−kdt=∫n−k0(t+k)vtdt=(Iˉaˉ)n−￢kp+kaˉn−￢kp 58现有连续方式偿还的10年期贷款，其贷款余额呈线性变化。已知连续利率为10%。计算：(1)前5年偿还的本金总额；(2)前5年偿还的利息总额。解：设贷款总余额1(1)−dBt=d(1−t10)=110，所以前5年偿还的本金总额为12(2)前5年偿还的利息总额I为：∫50iBtdt=10%×(5−2520)=0.37559已知某保险赔偿方式为：截至索赔发生后t时刻的未赔偿额为αe−βt。(1)求连续赔偿函数；(2)索赔发生时的未赔偿额；(3)如果连续利率为α，计算所有未赔偿额在时刻t的现值。解：(1)P(t)=−dBt=αβe−βt(2)把t=0代入得：B0=α第22页(3)∫∞tPte−δsds=∫∞tαβe−(δ+β)sds=αββ+se−βt60现有2000元贷款是通过每季度偿还P元进行还贷。贷款方要求对未结贷款余额中低于500元的部分按利率i(4)1=16%计息，对超过500元的部分按利率i(14)2=14%计息，如果已知第一年底的余额为1000元，计算P。01234 PPPP5001500i(4)1i(4)2解:注意到在第一年中余额都在500元以上，所以把2000(=1500+500)元拆成两个现金流，于是以第一年底为比较日，有500×(1+i(4)14)4+1500×(1+i(4)24)4−P・s4p3.5%￢=1000解得P=309.9元61设有按季度分期偿还的1000元贷款，每次还款100元，不足部分的余额最后一次付清。贷款方要求对未结贷款余额中低于500元的部分利率i(4)=12%计息，对超过500元的部分利率i(4)=8%计息。(1)计算第4次还款中的本金；(2)证明：在未结贷款余额达到500元之前，每次的本金量加上一个常数后形成等比数列，即Pt+1+KPt+K=1+j,t=1,2,...,n−1第23页并计算K和j。解:注意到4次还款后余额还在500元以上，所以可以分成两个现金流500×12%4=15元100−15=85元500×(1+8%4)3−85×s3p2%￢=270.47元100−15−270.47×8%4=79.59元证:由上面的分析有 Bn=500+500×(1+8%4)n−85×snp2%￢Pn=100−((Bn−1−500)×2%+500×3%)=100−((500×1.02n−1−85×1.02n−1−10.02)×2%+15)=75×1.02n−1因此K=0,j=2%默认：期末，好像算得有问题....62某3000元贷款要求在一年内逐月分期偿还。对未结贷款余额在1000元以下的部分以月利率1.5%计息；对未结贷款余额在1000元到2000元之间的部分以月利率1.25%计息；对未结贷款余额在2000元到3000元之间的部分以月利率1%计息。计算每次的还款金额。解:若都是按1.5%收利息，则每次的应还款是3000a12p1.5%￢=275.04若都是按1%收利息，则每次的应还款是3000a12p1%￢=266.55第24页因此，所求应在266.55和275.04之间。由此，可以推断出在第4次还款后余额第一次在2000元以下，第9次还款后余额第一次在1000元以下。设每次的还款额是X元。第四次还款后的余额为B4=2000+1000×(1+1%)4−(X−(1000×1.5%+1000×1.25%))×s4p1%￢=3152.27−4.0604X第八次还款后的余额为B8=1000+(B4−1000)×(1+1.25%)4−(X−1000×1.5%)×s4p1.25%￢=3323.05−8.34289XB8=Xa4p1.5%￢=3.85438X联立解得X=272.44元63证明等式，并解释其含义：a￢np+iΣn−1i=0an−￢tp=n.证:等式左边是一个n期的标准期末年金的初值和n个分别是n,n−1,...,1的期末年金的和，如图所示。0123.....7111.....1iii.....i .....iii111.....1ni(n−1)i.....i可以对现金流重新划分，如上所示。考虑初始值为n，利息为i的摊还表，刚好如上：第一行、第二行分别是每次摊还的本金和利息。所以等式得证。第25页64某遗产恰好可以以年利率3.5%每年得到10000元，累计10年。已知在过去的5年中按计划实施，但是实际的年收益率为5%。问：第5年底遗产本身多收入多少利息。解:设遗产期初的现值为X。有:X=10000×a10p3.5%￢=83166.05第5年底的遗产本身应收入的利息为:I=3.5%×10000×(a1￢0p+a￢9p+a￢8p+a￢7p+a￢6p)=11984.47元第5年底的遗产本身实际收入的利息为:I=5%×(B0+B1+B2+B3+B4)=5%×(X+(1+5%)X−10000+(1+5%)2X−10000×s2p5%￢+(1+5%)3X−10000×s3p5%￢+(1+5%)4X−10000×s4p5%￢)=17720.93元第5年底多收入的利息为17720.93−11984.47=5736.46元65某人在银行存入10年定期存款，计划10年底连本带利取出10000元，年利率5%在第5年底银行下调利率为4%。分别计算前5年和后5年每年的存款额。解:设前5年和后5年每年的存款额分别为R1,R2。R1s10p5%￢=10000R1s5p5%￢(1+4%)5+R2s5p4%￢=10000第26页解得:R1=795.05元R2=859.46元66某企业当前产品的月产量为9000个单位，单位售价为85元。现有一种新产品开发计划：初始贷款1500000元（每月付利息1.5%，本金40个月后一次还清），然后每月成本为15816元，新产品的设计月产量为12000个单位。如果该企业有能力以月利率1%累计偿债基金。企业希望新产品月利润超过老产品30000元，且单位价格下降X，计算X。解：有方程 9000×85+30000=12000×(85−X)−1500000×1.5%−15816−1500000s40p1%￢解得：X=1367年利率8%的20年期贷款，因故未能在第6，7和8年底进行正常还贷。作为补偿，要求在第9和20年底多还X元。计算这种情况与正常还贷的利息差。解：讨论，利息差是指什么？2X-3R?有X与R的关系R(v6+v7+v8)=X(v9+v20)利息差就是2X−3R=(2−3v4+v15a￢3p)X68利率为i的贷款L，分n次偿还，还款额分别为K1,K2,・・・,Kn偿还。在每次偿还中需要以税率r付利息税。试说明：贷款人得到的税后还款的现值相当于以利率i(1−r)提供的贷款。解：见书上P133例4.15。第27页69某人准备以200000元出售住房，购房者首次只能付100000元，余款由银行月利率1.25%贷款偿还。这时售房者可以提供月利率1%的25年贷款，条件是3年后购房者必须自融资当时的贷款余额。双方达成协议后，售房者以月收益率1.25%将三年的贷款转卖给中介人。问：售房者的实际售房收入。解：设售房者提供的贷款每月偿还的金额为R，售房者与中介成交的价格为P。100000+Ra300p1%￢=200000解得：R=1053.22元。X=Ra264p1%￢=97706.9P=Ra36p1.25%￢=30382.5售房收入X(1+i)−36+100000+P=192857.19元70现有10年期1000元贷款，利率5%，且如果借方加快还贷，每次还款中超过原计划的部分必须收2%的附加利息。如果借款人第一年底还款300元，第二年底还款250元，计算第3年还款未进行之前的未结贷款余额。解：设每年计划还款为RRa10p5%￢=1000解得：R=129.50，列表一年一年的推算时间(期末)计划还款额实际还款额超计划部分未结余额010001129.50300170.5753.412129.50250120.5543.49第5年还款未进行之前的未结贷款余额为543.49×1.05=570.66元。第28页71现有7000元贷款月换算名利率8%的还贷计划如下：从第一个月底开始分60次等额还清。另外有一个还款方式：从第15个月底开始按月还贷，月还款额不变，然后在第60次还款时，将余额一次还清。计算第60次还款的金 额。建议：另外有一个还款方式：正常还款从第15次开始，在第60次还款时将余额一次还清；PS：结果有出入解：设月还款额为R，第二种还款方式第60次还款金额为X+R，有7000=Ra60p8%12￢7000=Ra60p8%12￢−Ra14p8%12￢+Xv60⇒R=141.93X=2817.55所以，第60次还款为2959.48元。72某公司可提供以下方式的贷款：借款人以年支付500元的速度连续地支付利息，此外，在第3、4或5年底一次性偿还10000元。如果可接受的贷款年利率为10%，问：最多可以从该公司得到多少贷款？贷款的期限要说明白，连续的支付利息的意思要解释解：73年实利率5%的贷款可以选择以下两种还贷方式：方式一，每年等额还贷20次还清；方式二，每年的还款中本金量相同，利息量为未结贷款余额的应计利息。问：第几次还款时方式一的年还款额首次超过方式二的年还款额。解：设本金为1，R1a20p5%￢=1R2,n=120+21−n20・5%R1>R2,n=0.051−1.05−20>120+ 21−n400⇒n>8.9第9次还款时方式一的年还款额首次超过方式二的年还款额。第29页第五章习题答案1.已知某10年期零息票债券兑现值为1000，试对收益率为10%和9%分别计算当前价格。并说明如果收益率下调10%，债券价格上涨的百分比。解：(1)记P为买价，则有价值方程:P1(1+10%)10=1000P2(1+9%)10=1000解得:P1=385.54元P2=422.41元(2)收益率下降后P01(1+10%×90%)10=1000P02(1+9%×90%)10=1000解得:P01=422.41元，上涨百分比:9.56%;P02=458.93元，上涨百分比:8.65%。2.已知26周的短期国债的发行价格为9600元，到期兑现10,000元。1〕按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；2〕假定投资期恰为半年，计算年收益率。解：(1)由短期国债的定价公式10000(1−Ydt360)=9600解得：Yd=7.91%(2)由定义设年换算收益率为i，则：9600(1+i)12=10000解得：i=8.51%3.短期国债的贴现率均为8%，计算52周国债与13周短期国债的年利率之比。52周实际天数已经超过360，如何处理；年利率之比是指等价年利率之比还是贴现率的比。4.某10年期面值为100元的债券半年名息率10%，到期兑现105元，如果收益率为半年换算8%，计算债券的买价。第1页 解：由基本公式：P=Franpi?+Cvn=100×5%×13.5903+105×1.04¡20=115.875.由债券价格计算公式，给出以下导数的计算公式，并解释其含义。1)∂P∂i,∂P∂n和∂P∂g2)∂n∂P和∂n∂P解：(1.1)由基本公式对i求导：∂P∂i=Fr(Da)npi?−nP(n+1,i)<0解释：债券的买价随着年限的增加而递减。(1.2)由基值公式对n求导：∂P∂n=Cln(1+i)i(g−i)vn解释：当债券溢价出售时，债券的价格是年限的增函数；当债券折价出售时，债券的价格是年限的减函数。(1.3)由Makeham公式对g求导：∂P∂g=1i(C−K)=Ci(1−vn)>0解释：债券的价格是修正息率的增函数。(2.1)由(1.2)得由P=Fr1¡vni+Cvn得n=f(P,i,g)=lniP¡FriC¡Frlnv故 ∂n∂P=1∂P∂n=i(iC−Fr)Cln(1+i)·(g−i)(iP−Fr)解释:(1)若g>i,当i、g保持不变时，要使价格增加，期限必然增加；(2)若gi,当P、i保持不变时，增加g，即减少兑现值，期限必然增加；(2)若gg，那么在第15年兑现。由溢价折价公式P=1000×[1+(4%−5%)a30p5%?]=846.2825.如果练习24中第二种情况的债券实际上在第10年底赎回，计算实际收益率。（改题）（收益率是半年的吗？解答给出的是半年的）第8页解：设半年实际收益率为i，由基本公式得846.28=1000×4%a20pi?+1000v20解得i=5.26%26.某债券面值1000元，季换算名息率8%，可以在发行后第5年开始赎回。如果该债券在第10年底以面值兑现，认购价格可以保证季换算名收益率6%。为了保证相同的收益率，计算债券在第5年底赎回时的数值。解：设P为认购价，由溢价折价公式：P=1000(1+(2%−1.5%)a40p1.5%?)P=C0(1+(g−1.5%)a20p1.5%?)其中：g=FrC0解得：C0=1085.84元 27.某10年期面值1000元的债券，半年名息率4%。可以在第4年底到第6年底以1050元提前赎回；在第7年底到第9年底以1025元提前赎回；10年到期以面值兑现。为了保证半年名收益率5%，计算投资者可接受的最高认购价格。解：g=FrC当n介于4和6之间时有：g=1.905%P=1050(1+(1.905%−2.5%)anp2.5%?)maxP=1005.205(n=4)minP=985.38(n=6)当n介于7和9之间时有：g=1.951%P=1025(1+(1.951%−2.5%)anp2.5%?)maxP=959.212(n=7)minP=944.08(n=9)当n等于10时有：g=2%P=1000(1+(2%−2.5%)anp2.5%?)P=922.05从而可接受的最高认购价为：922.05元。第9页28.某面值1000元的债券，半年名息率6%，可以在发行后的第5年开始提前以面值赎回，在早赎条款下，以保证半年名收益率7%的价格发行。如果10年兑现，为了仍然保证7%的收益率，兑现值为1000+X。计算X。解：Fr=Gi，则G=1000£3%3.5%=857.14由基值公式G+(C1−G)vn1=G+(C2−G)vn2即(1000−857.14)×(1+3.5%)¡10=(1000+X−857.14)×(1+3.5%)¡20解得X=58.6629.面值10,000元的系列债券，在未来5年内，每半年兑现1000元本金。每半年以名利率12%按余额付利息一次。半年名收益率8%，计算可接受的认购价格。解：把10000元分拆成10个1000元的债券，面值兑现：g=r=6%,i=4%，兑现值的现值：K=1000a10p6%?=8110.9由Makeham公式有：P=8110.9+6%4%×(1000−8110.9)=10944.5530.面值10,000元的系列债券在发行后第6年年底第25年底每年兑现500元本金。以年利率6%每年按余额付利息一次。如果以收益率10%进行投资，计算可以接受的认购价格。解：面值兑现g=r=6%i=10%K=500(v6+v7+···+v25)=2643.13C=20×500=10000由Makeham公式有： P=2643.13+0.060.1×(10000−2643.13)=7057.25231.面值100,000元的系列债券在发行后按以下方式兑现：第5，8和11年底兑现10,000元本金；第14和17年底兑现20,000元本金；第20年底兑现30,000元本金；已知收益率为息率的1.25倍，两者均为半年名义值。用年金函数表示这个系列债券的现值。第10页解：总的兑现值：C=3×10000+3×20000+30000=100000兑现值的现值：K=10000[v10(1+v6+···)+v28(1+v6+v12)+v40]=10000(v101−v361−v6+v281−v181−v6+v401−v61−v6)=100003a4?6p−a4?0p−a2?8p−a2?0pa?6p由Makeham公式有:P=K+gi(C−K)=80000+20003a4?6p−a4?0p−a2?8p−a2?0pa?6p32.面值78,000元的系列债券以4%年利率计算利息。并从发行的第5年底开始兑现本金：第5年底12,000元；第6年底11,000元，依此类推，直至全部兑现。为了保证5%的年收益率，计算债券的认购价格。解：由计算可知，还款至第16年底结束。那么，兑现值的现值为K0=1000(Da)12p5%?v4由Makeham公式P0=K0+4%5%(78000−K0)=72722.433.已知10年期债券的半年名息率为12%，面值1000元，兑现值为1050元，试用券商算法计算半年名收益率。默认平价购买解：折价差k=P¡CC=1000¡10501050=−0.04762修正息率g=10001050×6%由券商算法，半年换算实利率为：i= 5.71%+0.2381%1−2.381%=6.03%半年换算名利率：i(2)=12.06%34.某10年期面值1000元的债券，到期以面值兑现，季换算息率8%，半年名收益率6%。计算债券的认购价格。（下面计算缺个命令）解：由基本公式P=2×1000×2%a(20)20j3%+1000v20=1153.21第11页35.某n年期面值100元的债券，到期以105元兑现，半年换算息率4%，年实收益率为i。如果债券价格可以表示为Avn+Bi(2)。计算A和B。与原答案有出入解：由基本公式P=2Fra(2)nji+Cvn=2×100×2%(1−vn)i(2)+105vn=(105i(2)−4)vn+4i(2)则A=105i(2)−4，B=436.某20年期面值1000元的债券，到期以面值兑现，前10年息率5%，后10年息率4%。以收益率i(4)认购，给出认购价格的表达式。解：息票看成是一个40次的每次40元的期末年金和一个20次的每次10元的期末年金。则息票的现值为：1s?4p(40a8?0p+10a4?0p)基本公式：P=1000v80+40a8?0p+10a4?0ps?4p37.10年期债券，每年的息票为：10，9，8，......，1，到期兑现100元。如果认购的收益率为i，给出以下各种量的表达式：1）第5次息票收入中的利息；2）第5次息票收入中的帐面价值摊还量。解：第5次息票为6元（1）B4=(Da)6pi?+100v6=100v6+6¡a6jii则I5=iB4=100iv6+6−a6pi¬（2）P5=6−I5=a6pi?−100iv638.面值100元的债券，半年实际息率3%，兑现方式为：第9年底兑现51元；第10年底兑现50元。证明债券的认购价格可以表示为： 3a(2)10j+[101+51i−1.5s(2)1j]v10第12页证：兑现本金的现值：51v9+50v10息票的现值：3a(2)10j−3s(2)1jv10+1.5s(2)1jv10整理得：P=a(2)10j+[101+51i−1.5s(2)1j]v1039.某种优先股票第1年底分红10元，然后每年以5%比例递增。如果i=12%，相当于每年平均分红额为多少？解：由优先股票价值公式Fr12%=1012%−5%Fr=17.140.某普通股票每年年底分红。已知上一年底每股利润6元，以后每年以8%比例递增，同时在今后5年内红利在利润中所占的比例为0，然后增为50%。如果投资收益率15%，计算股票的理论价格。解：第6年底分红为6(1+8%)6×50%，则P=6(1+8%)6×50%15%−8%v5=33.841.某普通股票的认购价格为当前利润的10倍。在前6年尽管利润以(原题中的60%改为)6%的比例增长，但是股票认购人不参加分红。在第6年底股票以利润的15倍的价格售出。计算投资者的年收益率。解：设当前利润为1，则有价值方程10(1+i)6=15(1+6%)6解得i=13.41%42.某养老基金在5年前投资1,000,000元购买公司债券：每份面值1000元，期限20年，年息率4%，共计1000份；另投资1,000,000元于某种优先股票10000股，每股面值100元，年红利6%。目前，每份债券价格900元，股票每股价格115元。按照第13页以下几种情况，计算该养老基金目前的资产总额：1）按市场价值计算；2）按帐面 价值计算；3）债券按帐面价值计算，股票按市场价值计算；4）所有资产按收益率5%的现值计算。解：此题有问题43.面值1元的债券在发行后的第11年底到第25年底每年付息票g。在第25年底兑现1元，收益率i，修正后的Makeham公式为：K0+gi(C0−K0)，给出K0和C0的表达式。解：由基本公式P=ga15pi?v10+v25=g1−v15iv10+v25=v25+gi(v10−v25)则C0=v10，K0=v2544.面值100元的12年期债券连续息率9%，如果年收益率i等于连续利率，试用表示债券的认购价格。解：P=∫120100×9%e¡δtdt+100e¡12δ=9(1−e¡12δ)δ+100e¡12δ45.面值1元的债券认购价格1+p，如果息率减少一半，价格变为1+q；如果息率加倍，价格变为1+Ap+Bq；计算A和B。解：由基值公式得1+p=K+gi(C−K)，1+q=K+0.5gi(C−K)，那么P=1+Ap+Bq=K+2gi(C−K)=1−2q+3p所以A=3B=−2第14页46.某企业发行5年期息率6%的债券，年收益率4%。如果该企业计划发行另一种息率5%的债券替换前者。如果收益率不变，后一种债券的期限为多少。 解：面值兑现：P=0.06Fa5p4%?+Fv5P=0.05Fa�p4%+Fvn联立解得：n=11.2347.面值1000元的20年期债券每年付息票，第20年兑付的利息等于同期本金调整量的70%，如果息率比收益率多3个百分点。计算债券的最初认购价格。解：由摊换表知，第20年本金调节量为1000×(g−i)v，则70%×1000×(g−i)v=1000g−1000(g−i)v解得i=2%所以P=1000(1+3%a20p2%?)=1490.5448.面值1000元的20年期债券，半年名息率8%，认购价格1014元。如果息票收入可以再投资于半年名利率6%的项目。计算认购者的年收益率。解：设年收益率为i，则1014(1+i)20=40s40p3%?+1000i=7.12%49.现有甲乙两种n年期面值1000元的息票债券，以相同的收益率定价。具体为：甲债券半年名息率14%，买价1407.76；乙债券半年名息率12%，买价1271.80。计算实际收益率降低1个百分点时，甲乙两种债券自身价格的变化率（新旧价格之差与旧价格之比）。解：由基本公式得1407.76=70anpi?+1000vn，1271.8=60anpi?+1000vn解得i=4%n=20那么当i=3%时P‘=70a20p3%?+1000(1+3%)¡20=1595.1，k‘=13.3%P=60a20p3%?+1000(1+3%)¡20=1446.33，k=13.7%第15页50.1985年5月1日以5%年收益率和5.375%的年息率发行债券，计划于2000年5月1日以1.1倍的面值兑现。计算从1990年5月1日至1991年5月1日的一年中对账面价值的上调量（以面值为单位）。解：设面值为FB5=5.375%Fa10p5%?+1.1Fv10B6=5.375%Fa9p5%?+1.1Fv9账面价值上调量为B6−B5=0.00077F第16页第六章习题答案1现有期限为18个月的贷款，融资费用为贷款额的12%，还款方式为逐月偿还。计算该贷款的APR。解：由题意得K=0.12×L,利用K+L18 ×a18pj￢=L⇒j=1.22%于是APR=12×j=14.64%2某金融机构的贷款方式为：每100元的期限为16个月的贷款，每月需偿还7.66元。计算贷款实利率。解：由题意得100=7.66×a16pj￢⇒j=0.025于是APR=12×j=30%,实利率i=(1+j)12−1=34.49%3现有1年期的12000元贷款，可以在以下两种偿还方式中任选一种进行还贷：（A）在贷款获得批准时，支付1000元融资费用，每月偿还1000元；（B）以i(12)=12%的利率逐月摊还。（1）计算两种方式的APR；（2）计算两种方式的利息差。解：(1)1000a12pj￢j=12000−1000⇒j≈1.3647%⇒APR=16.38%第1页(2)A方式的利息差K=1000，B方式的利息差为12R−L=12·12000a12pj￢j−12000=794.26元4某人走访了三家银行了解汽车贷款的报价，其中还款方式为两年内逐月偿还。第一家银行每月偿还X，融资费用为原始贷款额与还贷年限的乘积再乘以6.5%；第二家银行每月偿还Y，实利率为12.6%；第三家银行每月偿还Z，月换算名利率为12%。试比较X，Y和Z的大小。解：第一家银行：K=2×6.5%×L=24×X−L解得X=4.708%×L第二家银行：由L=Y×a24pj￢以及(1+j)12=1.126解得Y=4.703%×L第三家银行：由L=Z×a24p1%￢解得Z=4.707%×L故X>Z>Y5一种年利率为12%的8000元贷款通过下面的3次还款偿还：3月底还2000元；9月底还4000元；12月底还X。试分别用美国计息法和商人计息法计算X。解：美国计息法3月底8000×(1+12%×312)−2000=6240元9月底6240×(1+12%×612 )−4000=2614.4元12月底2614.4×(1+12%×312)−X=0元X=2692.83元第2页商人计息法8000×(1+12%)−2000×(1+12%×912)−4000×(1+12%312)−X=0⇒X=2660元66解：精算方法[10000×(1+10%)−500]×(1+10%)=11550元美国计息法500<10000×10%=1000∴第二年底应还款(20000−10000)×(1+10%)=11000元7某家庭计划购买一套价值160000元的住房，首期支付房款的25%，余款以30年9%的利率抵押贷款付清。如果结算日为9月16日，融资费用为两个点，其中1.5个点计入摊还利息，计算本年度内偿还利息的总合以及APR。解：“其中1.5个点计入摊还利息”如何理解？8某15年的抵押贷款，原计划内月偿还1000元，按月计息。实际上，除了每月的正常还款外，借款人每月还多还一定金额，这部分恰好等于下一次正常还款的本金。因此，只过了90个月，贷款提前还清。证明：节省的利息为(90000−1000a¨18￢0ps￢2p)元。证：每次多还了下一次正常还款的本金，∴每次相当于正常的两次还款∴利息节省了原正常还款中第2,4···180次时的利息第3页∴总共节省i(1000×(a179pi￢+a177pi￢+···+a1pi￢))=1000×(1−v179+1−v177+···1−v1)=90000−1000v1−v180 1−v29某建筑承包商获得总额为2000000元的建筑贷款，分3次拨款：当前可得1000000元，然后每隔6个月得到500000元，利息按半年换算名利率15%计算，直至第1年底。从第1年底开始，所有的累积本金和利息按30年月换算名利率12%的抵押贷款看待。已知还款方式为：（加上条件：期末付款），前5年的月偿还金额为以后各年的一半。计算第12次偿还的金额。解：设第一年底为比较日，前5年每次X元1000000×(1+15%2)2+500000×(1+15%2)+500000=2Xa360p1%￢−Xa60p1%￢⇒X=14671.54元∴第12次偿还14671.54元。10已知100000元的贷款计划30年内按年度偿还，年利率为8%，结算日支付的融资费用为贷款额的2%，且融资费用不计入贷款。实际上，在第2年底的正常还款后，借款人将余额一次性还清。考虑融资费用和提前还贷因素计算该贷款的实际年利率解：设原计划每年还款为R由L=R×a30p8%￢⇒R=8882.74于是B2=R×a28p8%￢=98163.89.现在L¤=100000×(1−2%)=98000利用98000=R×a(pi￢2)+B2(1+i)2⇒i=9.14%第4页11现有10年期可调利率抵押贷款，每季度偿还1000元，最初的季换算名利率为12%，从第13次还款后开始季换算名利率调整为14%。计算第24次还款后的未结贷款余额。解：利息调整后，还款期限不变，调整还款额。第24次还款后未结余额为：1000a27p3%￢a27p3.5%￢a16p3.5%￢=12822.94元12现有30年期100000元抵押贷款按以下方式偿还：前5年每年底的偿还金额比前1年增加5%，从第6年开始还款金额固定为第5年的还款金额，实利率为9%。（1）计算第1年底的偿还金额；（2）是否会出现负摊还的情况?解：(1)设第一年底的偿还金额为R。由题意得100000=R×1−(1+5%)5(1+9%)5 9%−5%+R×1.054×a25p9%￢1.095⇒R=8317.8(2)会出现负摊还的情况，因第一年R027.某金融机构当前收到37,908元，然后在今后的5年内每年底支付10,000元。其投资工具为1、3和5年的零息票债券，收益率均为10%。该机构考虑以下的投资决策：负债的期限关于可能的投资期限是对称的，所以，三种债券的投资额均为12,636元。证明：用免疫技术说明，这个投资策略并不是最优的。找到一个更优的策略。解:设投资于三种资产的金额分别为X、Y、ZPVL(i)=10000¢a5pi:PVL(10%)=37908PVL0(i)=100005¢i¢(1+i)¡6¡1+(1+i)¡5i2PVL00(i)=100002i¡2i¢(1+i)¡5¡10i2¢(1+i)¡6¡30i3¢(1+i)¡7i4PVA(i)=X¢1+10%1+i+Y¢(1+10%)3(1+i)3+Z¢(1+10%)5(1+i)5PVA(10%)=X+Y+ZPVA0(i)=¡1.1X(1+i)2¡3£1.13Y(1+i)4¡5£1.15Z (1+i)6PVA00(i)=2.2X(1+i)3+12£1.13Y(1+i)5+30£1.15Z(1+i)7有免疫技术三条件得PVA(10%)=PVL(10%)PVA0(10%)=PVL0(10%)PVA00(10%)>PVL00(10%))X+Y+Z=37908X1.1+3Y1.1+5Z1.1=96841.72X1.12+12Y1.12+30Z1.12>397359.88当X=Y=Z=12636时，PVA0(10%)=80410.9,PVL0(10%)=¡96841.7,故PVA0(10%)6=PVL0(10%),于是X=Y=Z=12636不是最优策略。由上面方程组可解得7737.510)P1<0.698b.若f=9%,假定s1=90%A2=¡2.5£10¡5¢P1+1.825£10¡3由A2>0)P161故P1范围是06P1<0.698。(2)a.若f=6.5%,假定s1=10%A2=¡0.027025¢P1+0.012325由A2>0)P1<0.456b.若f=10%,假定s1=90%A2=0.010775¢P1¡0.007175由A2>0)P1>0.666故无解。(3)a.若f=7%,假定s1=20%A2=¡0.021625¢P1+0.012825由A2>0)P1<0.593b.若f=9.5%,假定s1=80%A2=0.005375¢P1¡0.001175由A2>0)P1>0.2186故P1范围是0.21860)P1<0.501第12页b.若f=9.5%,假定s1=100%A2=0.005375¢P1¡0.004175由A2>0)P1>0.7767故无解。第13页'

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