高教出版社《理论力学》习题部分答案.doc 74页

'静力学1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图FAxFAyFB(a)(a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy 1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图FAxFAyFDFByFAFBxFBFAN’FBFDFANFAFBFD1-5试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图1-5aFAxFAyFDxFDyWTEFCxFCyWFAxFAyFBxFByFCxFCyFDxFDyFBxFByTE1-5b 1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对B点有：对C点有：解以上二个方程可得：F2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy解法2(几何法)分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。FABFBCFCD60oF130oF2FBC45o对B点由几何关系可知：对C点由几何关系可知：解以上两式可得：2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。 FBFAθθ解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：FBFC其中：。对BC杆有：。A，C两点约束力的方向如图所示。2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M2＝1N·m。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。各杆重量不计。FAFOOFAFBFBFCC解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：对AB杆有：对OA杆有：求解以上三式可得：，，方向如图所示。xyFRMAFRdxFRMAFRdy2-6等边三角形板ABC,边长为a，今沿其边作用大小均为F的力 ，方向如图a,b所示。试分别求其最简简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:，，先将力系向A点简化得（红色的）：，方向如左图所示。由于，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：其作用线距A点的距离，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-13图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB长为l，斜绳与铅垂方向成角。试求固定端的约束力。法1解：PBFBxFByP整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程： MAFBxFByFAxFAy求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：（与图示方向相反）（与图示方向相同）（逆时针方向）MAPFAxFAyP法2解：设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：求解以上三个方程，可得分别为：（与图示方向相反）（与图示方向相同）（逆时针方向）2-18均质杆AB重G，长l，放在宽度为a的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解：ANANDD选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：未知量不一定是力。2-27如图所示，已知杆AB长为l，重为P，A端用一球铰固定于地面上，B端用绳索CB 拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与Oyz夹角为，绳与轴Ox的平行线夹角为，已知。试求绳子的拉力及墙的约束力。解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：由和可求出。平衡方程可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力作用在平面BDEH内，并与对角线BD成角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程： (受拉)(受压)(受压)(受拉)本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩。已知棒料重，直径。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数。解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:补充方程：五个方程，五个未知量，可得方程：解得。当时有：即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数。 2-33均质杆AB长40cm，其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。设，平衡时角的最小值为。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数。解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：附加方程：四个方程，四个未知量，可求得。2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B为支点，如图所示。若，A和B于斜面间的静摩擦因数分别为和，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程 如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：(1)当物体不翻倒时，则：(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。 3-10AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力作用时，杆AB所受的力。设，杆重不计。FCxFCyFBxFBy解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FDxFDyFHy取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：(与假设方向相反)FBxFByFDyFDxFAxFAy(与假设方向相反)(与假设方向相反)3-12和四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力的位置如何，杆AC总是受到大小等于的压力。FCxFCyFD解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得，命题得证。 FABxFExFACFBFEyFBFABy注意：销钉A和C联接三个物体。3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为的力偶。如，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。FAFB解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FCxFCy解得：(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。解：FBxFByF3支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：(受压)选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：DF3F2F1xy (受压)(受拉)FAxFAyF3F2MA选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(与假设方向相反)(逆时针)FAxFAyFBxFBy3-21二层三铰拱由和四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：(1)FEFG由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：FEFGF。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：FCyFCxFEFByFBx代入公式(1)可得： PFAxFAyN1N2N1T3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数。试求平衡时角的范围。解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(2)FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP补充方程：，将(1)式和(2)式代入有：，即。 3-30如图所示机构中，已知两轮半径量，各重，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数，滚动摩擦系数。今在BC杆中点加一垂直力。试求：平衡时的最大值；当时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FNDFNEFSDFSEMEMDFBFACθ由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如图所示，其中：，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：FACFNDFSDMDF取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：FNEFSEMEFBG解以上六个方程，可得：，，，若结构保持平衡，则必须同时满足：，，，即：，因此平衡时的最大值，此时：， 3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：F2F3F1SFGFHθS(受拉)(受拉)(受压)3-38如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受压)FGFEGFCDFABθCFBCFCDFCG取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：其中：，解以上两个方程可得：(受压)3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： ABC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受拉)(受拉) 4-1力铅垂地作用于杆AO上,。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力的大小。解：1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角，相应的各点的虚位移如下：δθδrAδrCδrBδrDδrE，，，，代入可得：4.由虚位移原理有：对任意有：，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4如图所示长为l的均质杆AB，其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度。解：4a1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移：4.由虚位移原理有： 对任意有：即杆AB平衡时：。解：4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移：4.由虚位移原理有：对任意有：即平衡时角满足：。 4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P，弹簧原长为，试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解：1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有，以及重力。2.该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为：弹簧的长度，在微小虚位移下：4.由虚位移原理有：其中，代入上式整理可得：由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：4-6复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动铰链支座，C点为铰链，作用于梁上的力，以及力偶矩为的力偶，如图所示。试求固定端A处的约束力。 解：解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如图所示。由虚位移原理有：对任意可得：2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如下图所示。由虚位移原理有：(1)由几何关系可得各点的虚位移如下：代入(1)式：对任意可得：，方向如图所示。3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如上图所示。 由虚位移原理有：(2)有几何关系可得各点的虚位移如下：代入(2)式：对任意可得：，逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下：；力；力，其方向与水平成角；以及力偶，其力偶矩为。试求支座处的约束力。解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理有：(1)各点的虚位移如下：代入(1)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角 为广义坐标。2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理有：(2)各点的虚位移如下：代入(2)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2b.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理有：(3)各点的虚位移如下：代入(3)式整理可得： 对任意可得：，方向如图所示。2c.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理有：(4)各点的虚位移如下：代入(4)式整理可得：对任意可得：，顺时针方向。4-8设桁架有水平力及铅垂力作用其上，且，。试求杆1，2和3所受的力。解：假设各杆受拉，杆长均为a。1．求杆1受力去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B 点不动。三角形BEK绕B点旋转，且：对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。由虚位移原理有：代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。2．求杆2受力去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：同理可知。由虚位移原理有：代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。3．求杆3受力去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，，且： 同理可知B点不动，，且：由虚位移原理有：代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受拉）。4-12杆长2b，重量不计，其一端作用铅垂常力，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k，当时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置，讨论此平衡位置的稳定性。解：θF大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如图所示。取为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：由平衡条件可得：有：和即：和也就是：和两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：当时， ，即时是不稳定平衡。当时，由上式可知：1．当且时，即是稳定平衡位置；2．当且时，即是不稳定平衡位置。4-15半径为的半圆住在另一半径为的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中。由于半圆柱作纯滚动，有：（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：代入（1）式有：由平衡条件可得为平衡位置。势能V的二阶导数：由上式可得当，是稳定的。努力学习吧！ 动力学1－3解：运动方程：，其中。将运动方程对时间求导并将代入得1－6证明：质点做曲线运动，xyo所以质点的加速度为：,设质点的速度为，由图可知:，所以:将，代入上式可得证毕yzox1－7证明：因为，所以：证毕1－10 y解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式：，并且将上面两式对时间求导得：，由此解得：（a）(a)式可写成：，将该式对时间求导得：(b)将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：AOAOBR1－11 解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：（a）因为（b）将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：（c）由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：将上式两边对时间求导可得：将上式消去后，可求得：(d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为AOBR取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：, 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得1－13解：动点：套筒A；动系：OC杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有：，因为AB杆平动，所以，由此可得：，OC杆的角速度为，，所以当时，OC杆上C点速度的大小为：x1－15解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有，由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得：(a)将（a）式在向在x轴投影,可得：由此解得：1－17解：动点：圆盘上的C点；动系：O1A杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有（a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：，，， 根据加速度合成定理有（b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得其中：，，由上式解得：1－19解：由于ABM弯杆平移，所以有取：动点：滑块M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理可求得：，，根据加速度合成定理将上式沿方向投影可得： 由于，，，根据上式可得：，1-20MOAB解：取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：根据速度合成定理：可以得到：，MOAB加速度如图所示，其中：，根据加速度合成定理：将上式在轴上投影，可得：,由此求得：1－21 Ox’y’解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Ox’y’）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理将上式沿绝对速度方向投影可得：y’因此其中：，由此可得：x’O求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：1-23质量为销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。MOMO解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。 MOMO根据速度合成定理有由此可求出：。再根据加速度合成定理有：由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以，并且上式可写成：因为，所以根据上式可求出:。根据矢量形式的质点运动微分方程有：将该式分别在水平轴上投影：由此求出：1-24图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。M解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有将上式在切向量方向投影有因为，所以上式可写成 整理上式可得将上式积分：其中为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度，上式可写成初始时，系统静止，，根据速度合成定理可知，由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：RRoFθORRoO1-26水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为，求小球到转轴的距离为时的相对速度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：将上式在上投影有因为，，，所以上式可写成 整理该式可得：将该式积分有：初始时,,由此确定积分常数，因此得到相对速度为1-27重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。MM解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为，因为金属丝为曲线，所以，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：其中：，将上式分别在轴上投影有（a）以为，,,因此（b）由（a）式可得（c） 将和式（b）代入式（c），并利用，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x2-1解：当摩擦系数足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：将其在轴上投影可得：根据动量定理有：即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：将上式在轴投影有：根据动量定理有：由此解得平台的加速度为：（方向向左）x2-2取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：将上式在x轴投影：根据动量定理有： 系统的运动微分方程为：2－4取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。y(a)(b)根据变质量质点动力学方程有：将上式在y轴上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：x2－5将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有：船的质量为：，水的阻力为将其代入上式可得：将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得 由初始条件确定积分常数：，并代入上式可得：2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。oM图a图b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为其中： 系统对z轴的动量矩为。初始时，，此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可计算出方板的角速度为2－11取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：根据动量矩定理有：P整理上式可得：由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为： 根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：系统的动量在x轴上的投影为：系统的动量在y轴上的投影为：根据动量定理：由上式解得：，2－14取整体为研究对象，系统的动能为：其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：，因此系统的动能可表示为：，系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成： 由上式解得：，ABAB2－17质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。图A图B解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为设为势能零点，则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有，即(1)系统水平方向的动量为：(2)根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且最后求得： 下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程（a）ABAB图C图D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有（b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得令，联立求解三个投影方程可求出2－18取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：（a） 将上式对时间求导并简化可得：(b)每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得：将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成上述方程的解为：圆环脱离地面时的值为而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。2－19取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为，由系统对z轴的动量矩守恒，有：z其中：，则上式可表示成：由此解得： 其中：，根据动能定理积分式，有：其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：将代入上式，可求得：则：由可求得：2－20取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：外力对O轴的矩为：因为：，所以上式可表示成：积分上式可得：由初始条件确定积分常数，最后得： 3－3取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理可得：，研究AD杆，应用速度投影定理有：，再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理将上式在x轴上投影有：，3－4AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度CAB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：，设OB杆的角速度为，则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度：齿轮I的角速度为： 3－6AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有：将上式在AB连线上投影，可得因此，因为B点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影，可得，（瞬时针）3－7齿轮II作平面运动，取A为基点有xy将上式在x投影有：由此求得：再将基点法公式在y轴上投影有：，由此求得再研究齿轮II上的圆心，取A为基点 将上式在y轴上投影有，由此解得：再将基点法公式在x轴上投影有：由此解得：，又因为由此可得：3－9卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为，卷筒的角速度为：角加速度为：卷筒O点的速度为：O点作直线运动，其加速度为：OCB研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。将其分别在x,y轴上投影 同理，取O为基点，求C点的加速度。将其分别在x,y轴上投影P3－10图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：AB杆的角速度：圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的的角速度为：圆盘上C点的速度为：AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点根据基点法公式有将上式在x轴上投影可得：因此：由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：将其对时间求导有：，由于，所以圆盘的角加速度。BC圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有： P3－13滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，AB杆的角速度为：杆上C点的速度为：取AB杆为动系，套筒C为动点，根据点的复合运动速度合成定理有：其中：，根据几何关系可求得：AB杆作平面运动，其A点加速度为零，B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知由该式可求得由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：再取AB杆为动系，套筒C为动点，根据复合运动加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有： 科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。由速度合成定理有：OAB图A速度图如图A所示。由于动系平移，所以，根据速度合成定理可求出：由于圆盘O1在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为：由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：OAB图B为求B点的加速度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有图C（a）其加速度图如图C所示，，O 将公式（a）在和轴上投影可得：由此求出：，圆盘的角加速度为：下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式有：（b）OB图D将（b）式分别在轴上投影：其中：，由此可得：3－15（b）取BC杆为动系（瞬时平移），套筒A为动点（匀速圆周运动）。根据速度合成定理有：由上式可解得：因为BC杆瞬时平移，所以有： Pyx3－15（d）取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为根据速度合成定理有：根据几何关系可求出：将速度合成定理公式在x,y轴上投影::由此解得:DC杆的速度3-16(b)BC杆作平面运动,根据基点法有:由于BC杆瞬时平移,,上式可表示成:将上式在铅垂轴上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。(a) y其中:为科氏加速度,因为,所以动点的牵连加速度为:由于动系瞬时平移,所以,牵连加速度为,则(a)式可以表示成将上式在y轴上投影:由此求得:yx3－16(d)取BC杆为动系，套筒A为动点，动点A的牵连加速度为动点的绝对加速度为其中为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有上式可写成(a)其中：（见3－15d）为BC杆的角加速度。再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有 yx其中，上式可表示为将上式在y轴投影有：该式可表示成：（b）联立求解(a),(b)可得POR3－17AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均为杆上B点的速度为：ORxyAB杆的角加速度为：取A为基点，根据基点法有将上式分别在x,y轴上投影有 xy3－18取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系根据几何关系可求得：再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系由于BD杆相对动系平移，因此将上式分别在x,y轴上投影可得xy求加速度：研究C点有将上式在y轴投影有由此求得再研究D点由于BD杆相对动系平移，因此将上式分别在x,y轴上投影有 3－21由于圆盘纯滚动，所以有根据质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有求解上式可得：，若圆盘无滑动，摩擦力应满足，由此可得：当：时，3－22研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有：刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。 PA点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。有运动关系式求解以上三式可求得：3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为AR，圆盘的角加速度为，圆盘上与板的接触点为A，则A点的加速度为将上式在水平方向投影有（a）取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有(b)应用相对质心动量矩定理有(c)再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有(d)作用在板上的滑动摩擦力为：(e)由(a)(b)(c)(d)(e)联立可解得： 3－29解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：P其中：因此系统的动能可以表示成：系统从位置运动到任意角位置，AB杆的重力所作的功为：根据动能定理的积分形式初始时系统静止，所以，因此有将上式对时间求导可得：将上式中消去可得： 根据初始条件，可求得初始瞬时AB杆的角加速度：因为，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在点，由此可求出AB杆上A点的加速度：C3－33设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示根据冲量矩定理有：(a)其中：为AB杆质心的速度，根据平面运动关系有(b)再根据对固定点的冲量矩定理：系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：将其代入冲量矩定理有：(c)由（a,b,c）三式求解可得：(滑块的真实方向与图示相反) 3－34研究整体，系统对A轴的动量矩为：其中：AC杆对A轴的动量矩为设为BC杆的质心，BC杆对A轴的动量矩为根据冲量矩定理可得：BCI（a）再研究BC杆，其对与C点重合的固定点的动量矩为根据冲量矩定理有：（b）联立求解（a）,(b)可得3－35碰撞前，弹簧有静变形第一阶段：与通过完全塑性碰撞后一起向下运动，不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有：碰撞结束时两物体向下运动的速度为 第二阶段：与一起向下运动后再回到碰撞结束时的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上，大小仍然为第三阶段：与一起上升到最高位置，此时弹簧被拉长。根据动能定理有：上式可表示成：若使脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有，将代入上式求得：。若，则注：上述结果是在假设与始终粘连在一起的条件下得到的，若与之间没有粘着力，答案应为，如何求解，请思考。 3－36取AB杆为研究对象，初始时，杆上的A点与水平杆上的O点重合，当时系统静止，AB杆上A点的速度为，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可得BA其中：由此解得：当时，滑块A以加速度向右运动，取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有：将上式积分并简化可得：其中C是积分常数由初始条件确定出。上式可表示成若AB杆可转动整圈，则应有，因此。若的最小值大于零，则AB杆就可以完成整圈转动。下面求的极值。将上式求导令其为零有求得极值点为：当， 函数取最大值当，函数取最小值，若使最小值大于零，则有由此求得： 4－6图示瞬时，AB杆的加速度瞬心位于P点，P设其角加速度为，则质心加速度为：根据动静法有：4－7（1）取AB杆和滑块C为研究对象AB杆平移，质心加速度如图所示根据动静法有：（2）滑块C无水平方向的作用力，其加速度铅垂向下，AB杆平移，其加速度垂直于AD，如图所示。两者加速度的关系为根据动静法有由此求得：（3）先研究滑块C根据约束可知：根据动静法有： 因为：，所以有关系式即：再研究整体，应用动静法有上式可表示成：由上式解得：，，4－8（1）研究AB杆，将惯性力向杆的质心简化，根据动静法有：， ，（2）若，必有，因此当，4－9设OA杆和AB杆的角加速度分别为。将各杆的惯性力向各自质心简化。研究整体，根据动静法有：，AB杆，根据动静法有：上述平衡方程可简化为求解该方程组可得：4－10取圆盘A的角加速度为，AB杆的角加速度为。ABC设AB杆的质心为C，其加速度为将惯性力分别向各刚体的质心简化。作用于AB杆质心C的惯性力为： ，，AB，研究整体，C（a）P研究AB杆，(b)将(a)－(b)得：上式化简为：还可写成：即：将上式积分可得：再根据初始条件：确定，由此可得根据动能定理有：（C）其中：再利用（c）式可表示成(d)当,, PAC再将(d)式求导,然后销去,最后可得当,可求得,又因为，当AB杆铅垂时，。再取圆盘为研究对象，应用动静法有A，再研究整体，利用动静法有P4－12此瞬时AB杆作瞬时平移，所以因为AB杆的角速度为零，且A点的加速度为零，取A为基点，有又因为B点作圆周运动，所以将该式在铅垂轴上投影： 由此解得：AB杆质心C的加速度垂直于AB杆，其大小为：应用动静法：，，，P4－14图示瞬时，AB杆瞬时平移，其加速度瞬心位于P点。设OA、AB杆的质心分别为。各点加速度如图所示，其大小为，，有关的惯性力为：P应用动静法和虚位移原理，有因为：，上式可表示成 因为，所以，由此解得P研究AB杆及滑块B，由此解得：'