高数答案第9章.doc 28页

'第9章（之1）（总第44次）*1．微分方程的阶数是（）（A）3；（B）4；（C）6；（D）7．答案（A）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的、、及都是任意常数，这些函数中是微分方程的通解的函数是（）（A）；（B）；（C）；（D）．答案（D）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A）中的函数只有一个任意常数C；（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数及，但当令时，函数就变成了，实质上只有一个任意常数；（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族中，求出与直线相切于坐标原点的曲线．解　根据题意条件可归结出条件，由，，可得，故，这样就得到所求曲线为，即．*4．证明：函数是初值问题的解．证明，28 ，代入方程得，此外故是初始值问题的解．*5．验证（其中为任意常数）是方程的通解．证明，即，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数含有一任意常数，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程：（1）；解将等式改写为，再在其两边同时对求导，得，代入上式，即可得到所求之微分方程为．（2）．解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对求两次导数，得，．从以上三个式子中消去任意常数和，即可得到所求之微分方程为．**7．建立共焦抛物线族（其中为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解在方程两边对求导有，从这两式中消去常数所求方程为．28 **8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线上任一点处的法线都经过坐标原点．解　任取上的点，曲线在该点处的切线斜率为=．所以过点的法线斜率为，法线方程为=，因为法线过原点，所以从而可得所求微分方程为．第9章（之2）（总第45次）教学内容：§9.2.1可分离变量的方程；§9.2.2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）；解：分离变量，两边积分，得，即．（2）；解：分离变量，两边积分就得到了通解．（3）．解：，，即．28 **2．试用两种不同的解法求微分方程的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．分离变量，，，并积分得，所求通解为．解法二（线性方程的常数变易法）将原方程改写为，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为，其通解为．代入原非齐次方程得，解得，代入即可得原方程的通解．*3．求解下列初值问题：（1），．解：=，()，，，，，，，．（2），；解:，，，，，，．28 （3），；解：，，．，由，可确定，所以．（4），．解：方程变形为，是一阶线性非齐次方程，其通解为由，得，所以特解为：．**4．求微分方程的通解（提示将看作是的函数）．解：将看作是的函数，原方程可化为，这是一阶线性方程，将其中代入一阶线性方程求解公式，得通解．28 **5．求满足关系式的可导函数．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对求导，可得微分方程，即，分离变量得，积分得，在原方程两边以代入，可得初试条件．据此可得，所以原方程的解为　．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．解：根据牛顿运动第二定理有．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得．由初始条件，得，即得．**7．求一曲线，已知曲线过点，且其上任一点的法线在轴上的截距为．解：曲线在点处的法线斜率为，所以法线方程为．只要令，就可以得到法线在轴上的截距为．据题意可得微分方程，即．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线，由于曲线过点，所以，所以所求曲线方程为．***8．求与抛物线族（是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线上任意一点处切线斜率为，从上面两式中消去得，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程．　设所求曲线方程为，在同一点处切线斜率为28 ，则根据正交要求有，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程．这是一个可分离变量方程，分离变量，积分得所求曲线族，即椭圆族．***9．作适当变换，求微分方程的通解．解原方程可化为，在换元下方程可化为，这是一个一阶线性方程，其通解为．***10．作适当变换，求微分方程的通解．解：令，代入方程整理得，积分得，以代入上式，即得原方程的通解：．第9章（之3）（总第46次）教学内容：§9.2.3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1)；解：，=(1+)，这是一个一阶齐次型方程．　令，则，即，于是原方程可化为．这是一个可分离变量方程．分离变量，并积分，得，即．以代入，得所求的通解为．28 （2）．解：方程可化为，这是一个一阶齐次型方程．令，则，即，于是原方程可化为，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得．以代入上式得原方程的通解：．**2．求解下列初值问题：（1）满足初始条件的特解．解:，=，令，则，=，=，，，即，代回即得+1=，，，因此=5．（2）解：原方程可表为，令，，代入方程，有，即，分离变量，积分得通解，令，得．所以初值问题的解为．28 ***3．试证明：当时，总能找到适当的常数，，使一阶微分方程在变换，之下，可化为一阶齐次型方程．并求方程的解．证明：令，可解得：因此可取：解：，令，，，令，，，，，．28 **4．求下列微分方程的通解（1）；解：令，，．（2）．解：，+=，+=，，+，，．，，．（3）解一：令，原方程化为：，解此方程得，以代入上式，原方程通解为．28 解二：原方程写成，令，则方程化为：，则通解，故原方程通解：．**5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：，．解：，令，，****6．作适当的变换求方程的通解．解：原方程化为：，令，得，故原方程的通解为．28 ***7．已知，求．解：两边关于求导得，解得，由，求得，故原方程的解为：．***8．曲线过点，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程．解：,令，解得由，得，曲线方程为：．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为，其中为重力加速度，为液面与底部孔口之间的距离，为孔口面积，为孔口收缩系数，实验确定其取值为．现有一直径为m，高为2m的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为cm的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？解：设在时刻t时，容器中液面高度，则经过后液面高度为，于是有，即，令，得解得，28 代入，，，，，得（秒）．第9章（之4）（总第47次）教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程满足条件的解是（）（A）（B）（C）（D）解：（C）（2）．微分方程满足条件的解是（）（A）（B）（C）（D）解：（C）**2．求下列微分方程的通解．（1）；解：是一不显含因变量的二阶方程，令，=，，，，，．（2）；解：，，28 ．（3）；解：∵，令，则，代入方程有，，因为求通解，所以满足．由，，．∴通解：．（4）解：令：，得，即，得，所以，通解为：．第9章（之5）（总第48次）教学内容：§9.4.1二阶线性方程和解的存在性；§9.4.2二阶线性方程解的结构**1．若是方程的两个解，试证必是其对应齐次方程的解．证明：因为是方程的解．所以成立下式：28 将(1)、(2)两式相减，得(2)式可写为，所以是齐次方程的解．***2．已知是方程的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知分别是其对应齐次方程的解，并且线性无关，所以为齐次方程的通解．所以原方程的通解可以表示为：．*3．验证：是微分方程的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为，，故是方程的解，且常数．于是是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为，其中为任意常数．28 *4．已知函数是方程的两解，试求该方程满足初始条件的特解．解：方程的通解为，将初始条件代入，有：解得为：，所以特解为：．**5．设是非齐次线性方程的解．是方程的解．试证明是方程的解．解：因为分别为方程（1）和方程（2）的解，所以得：即是方程（3）的解．第9章（之6）（总第49次）28 教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程的通解为_______________．解：．（2）方程的通解为_______________．解：．（3）方程的通解为_______________．解：．（4）方程的通解为_______________．解：．（3）方程的通解为，则___，_____．解：11，．**2．求解下列初值问题：（1）；解：∵，∴，通解为：．将初始条件代入，有，得到：，所以特解为：．（2）；28 解：，，通解为：．代入初始条件有：，，得：．特解为：．（3）；解：，，所以通解为．代入初始条件有：，，特解为：．**3．求解初值问题解：将原方程对求导得且有微分方程（1）的通解为：，代入初始条件，得，故所求问题的解为：．***4．设函数二阶连续可微，且满足方程，求函数．28 解：原方程关于求导得,，再求导得：，且由原方程还有：，微分方程的通解为：，代入条件，得，故所求函数为：．***5．长为100cm的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为，则链条的质量为．再设当时刻时，链条的下端距桌面的距离为，则根据牛顿第二定律有：，即．又据题意知：，，所以满足下列初值问题：解得方程的通解为：．又因为有初始条件：所以．又当链条全部从桌子边缘滑下时，，求解，得：，即：，．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期．解：取物体的平衡位置为坐标原点，轴竖直向下，设时刻物体位于28 处，由牛顿第二定律：，其中厘米/秒2其解为：，振动周期为．第9章（之7）（总第50次）教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法；§9.4.4高阶线性常系数微分方程**1．微分方程的一个特解应具有形式（）（A）（B）（C）（D）解：（B）**2．设是待定常数，则微分方程的一个特解应具有形式（）（A）（B）（C）（D）答：（C）**3．求下列非齐次方程的一个解（1）；解：∵，∴，不是特征根．设，代入原方程，得：，有：，特解为：．（2）．28 解：∵是二重特征根，∴设，，，代入，解得：，特解为：．**4．求微分方程满足条件的特解．解：特征方程的根为，相应齐次方程的通解为，设特解为，代入方程得：．故方程的通解为，代入条件，得，因此所求特解为．**5．求下列非齐次方程的通解：；解：特征方程：，特征根：，所以方程的通解为．1）对于方程，由于是特征方程的单根，故设其特解为：，代入方程有：，解得，所以特解为：．28 所以方程的通解为：．2）对于方程，由于不是特征方程的根，故设其特解为：，代入方程有：，，所以方程的通解为：．3）对于方程：，由于不是特征方程的根，故设其特解为：，代入方程有：，，，得：，，所以方程的通解为：．**6．求微分方程的通解．解：特征方程的根为，相应齐次方程的通解为设特解为，代入方程得：故方程的通解为***7．已知曲线过原点，位于轴上方，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴，直线所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．28 解：由已知，且，将此方程关于求导得其通解为：，代入初始条件，得，故所求曲线方程为：．***8．设一物体质量为，以初速从一斜面滑下，若斜面与水平面成角，斜面摩擦系数为，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设时刻物体滑过的距离为，由牛顿第二定律且方程的通解为代入初始条件得，故物体滑下的距离与时间的关系为***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，轴垂直向下，设时刻物体位于处，由牛顿第二定律：，且．方程的通解为：，代入初始条件得，故物体的运动规律为28 ．***10．求下列方程的通解：（1）；解：，，，所以通解为．（2）．解：，，所以通解为．****11*试证明，当以为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c为常数，这是欧拉方程）可化为常系数线性方程并求下列方程通解：（1）；（2）．证明：令，，　，　，将代入方程有：，　得证．（1）令，　，28 原方程化为：．其通解为．将代入，得：．（2）令，　，原方程化为：，上述方程的相应其次方程的通解为：．令上述方程一个特解为：，代入方程得：，即：．原方程得通解为：，即：．***12．一质量为m的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k>0），浮力为常数B，求潜水艇下降深度x与时间t之间的函数关系．解：，为加速度，，为下降速度，因为，所以，即，其特征方程为：，解得特征根为．所以对应的齐次方程的通解为：．由于是特征方程的单根，故设其特解为：，代入方程有：，得．28 所以微分方程的通解为：，因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件，代入微分方程有：求得：，所以与的关系可表示为：．***13．证明：若有方程，则必有，并求解此方程．证明：由于，两边关于求导得故得（1）解方程（1）得通解为（2）（3），将此代入(2),(3)得解得：所以原方程的解为：．第9章（之8）（总第51次）28 教学内容：§9.6微分方程应用举例(机动)第9章（之9）（总第52次）教学内容：§9.7差分方程1.已知是二阶差分方程的一个特解，求．解：．2.求下列差分方程的一般解：(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)；解：(5)．解：3.写出下列差分方程的一个特解形式：(1)；解：(2)．解：4.设为第期国民收入，为第期消费，为每期投资（为常数）．已知，，28 之间有关系，，其中，，试求，．解：满足：，解得，从而．5.已知差分方程，其中，，为正的常数．设初始条件，证明：(1)对任意，有；(2)在变换之下，原差分方程可化为有关的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3)求方程的满足初始条件的解．解：（1）归纳法证明．（2）令，即，，则原方程化为线性差分方程，其一般解为时，；时，．（3）令，原方程化为，一般解为，所以原方程的一般解为，代入，得，所以特解为．28'