数字信号处理 第二版 (周利清 苏菲 著）- 127页

'欢迎光临阳光大学生网,提供最全面的大学生课后习题答案和复习试题免费下载，http://www.sundxs.com/阳光大学生网我们希望呵护您的眼睛，关注您的成长，给您一片绿色的环境，欢迎加入我们，一起分享大学里的学习和生活感悟，免费提供:大学生课后答案，大学考试题及答案，大学生励志书籍。 数字信号处理基础习题解答周利清编著北京邮电大学出版社·北京· 内容简介“数字信号处理”是各高等院校电子类专业和通信类专业学生的一门非常重要的专业基础课。本书是与北京邮电大学出版社新近出版的《数字信号处理基础》相配套的习题解答，它给出了原书中所有习题的详细解答，在解答过程中也说明了所用的公式、定理等依据的出处。读者通过这本习题解答可以更清楚地理解和掌握数字信号处理的基本原理、基本概念和基本算法。这本书可以作为本科生的配套教材，并且可以作为从事数字信号处理工作的技术人员自学所用。图书在版编目（ＣＩＰ）数据数字信号处理基础习题解答／周利清编著—北京：北京邮电大学出版社，２００５ＩＳＢＮ７５６３５１１７６８Ⅰ数Ⅱ周．．．Ⅲ数字信号—信号处理—高等学校—解题ⅣＴＮ９１１．７２４４中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２００５）第１２４４４９号书名：数字信号处理基础习题解答编著：周利清责任编辑：王晓丹出版发行：北京邮电大学出版社社址：北京市海淀区西土城路１０号（１００８７６）电话传真：０１０６２２８２１８５（发行部）０１０６２２８３５７８（ＦＡＸ）Ｅｍａｉｌ：ｐｕｂｌｉｓｈ＠ｂｕｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎ经销：各地新华书店印刷：开本：７８７ｍｍ×１０９２ｍｍ１／１６印张：８字数：１７３千字印数：１—３０００册版次：２００５年１１月第１版２００５年１１月第１次印刷ＩＳＢＮ７５６３５１１７６８／ＴＮ·４１２定价：１４００元·如有印装质量问题，请与北京邮电大学出版社发行部联系· 前言“数字信号处理”是各高等院校电子类专业和通信类专业学生的一门非常重要的专业基础课，这是一本与北京邮电大学出版社新近出版的《数字信号处理基础》相配套的习题解答。对于原书中所有的习题，在这本书中都有详细的解答过程以及最后答案，同时也说明了解题过程中所用的公式、定理等依据的出处。通过这本习题解答，读者可以更清楚地理解和掌握数字信号处理的基本原理、基本概念和基本算法。原书共有９章，其中第１章和第５章都是概述性的内容，没有习题，也就未作习题解答，因此共有７章的习题解答。希望读者在首先学习原书，基本理解了原书所讲解的基本原理、基本概念和基本算法，并且看懂了有关例题的基础上，再来作各章后面的习题；而且对于每一道习题，最好是先自己做，然后再看习题解答，并且将自己的做法在解题的思路、过程以及答案等方面与习题解答进行比较，这样你将获得较大的收获。笔者认为，做习题主要不在于数量，而是应该每做一题都要认真思考、认真总结，尽量做到做一题就有一题的收获。课后答案网上述观点如有不当之处，习题解答中的内容如有错误之处，都欢迎读者批评指正。这本书可以作为本科生的配套教材，并且可以作为从事数字信号处理工作的技术人员自学所用。编者２００５年９月 目录第２章离散系统的性质和离散信号的变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯１第３章离散傅里叶变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯２０第４章快速傅里叶变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯３７第６章ＩＩＲ数字滤波器的原理及设计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯４９第７章ＦＩＲ数字滤波器的原理及设计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯７０第８章数字滤波器的结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯９１第９章数字信号处理中的有限字长效应⋯⋯⋯⋯⋯⋯１１０课后答案网 第２章离散系统的性质和离散信号的变换２．１有模拟正弦信号ｘａ（ｔ）＝３ｓｉｎ（１００πｔ），设抽样频率ｆｓ＝３００样值／秒。（ａ）求离散时间信号ｘ（ｎ）＝ｘ（ｎＴ）的周期Ｎ。ａｓ（ｂ）计算ｘ（ｎ）在一个周期内的样值。解（ａ）ｘ（ｔ）＝３ｓｉｎ（１００πｔ）＝３ｓｉｎ（Ω）ａ０ｔ因此，该正弦信号的角频率Ω０＝２πｆ０＝１００π于是可知该正弦信号的频率ｆ０＝５０Ｈｚ＝５０周／秒又因为抽样频率ｆ样值／秒，所以在一个周期内的样值数为ｓ＝３００３００样值／秒÷５０周／秒＝６样值／周也即离散信号ｘ（ｎ）的周期Ｎ＝６。（ｂ）ｘ（ｎ）＝ｘ（ｎＴ）ａｓ＝３ｓｉｎ（１００πｎＴｓ）＝３ｓｉｎ（１００πｎ／ｆｓ）＝３ｓｉｎ（１００πｎ／３００）＝３ｓｉｎ（ｎπ／３）于是可求得ｘ（ｎ）在一个周期内的样值：ｎ０１２３４５ｘ（ｎ）３ｓｉｎ（０）３ｓｉｎ（π／３）３ｓｉｎ（２π／３）３ｓｉｎ（π）３ｓｉｎ（４π／３）３ｓｉｎ（５π／３）＝０＝２．５９８＝２．５９８＝０＝－２．５９８＝－２．５９８２．２若离散时间信号为２ｃｏｓ（２πｎ／３），抽样率为３０００Ｈｚ，写出所对应的模拟信号的表达式。·１· 解由于离散信号为ｘ（ｎ）＝２ｃｏｓ（２πｎ／３）故应该令所对应的模拟信号ｘａ（ｔ）＝２ｃｏｓ（Ω０ｔ）于是又有ｘ（ｎ）＝ｘａ（ｎＴｓ）＝２ｃｏｓ（Ω０ｎＴｓ）比较ｘ（ｎ）的两个表达式，可以得到Ω０ｎＴｓ＝２πｎ／３故Ω０＝２π／（３Ｔｓ）＝２πｆｓ／３＝２π·３０００／３＝２０００π于是所对应的模拟信号ｘａ（ｔ）＝２ｃｏｓ（２０００πｔ）２．３一个理想抽样器的抽样角频率Ωｓ＝８πｒａｄ／ｓ，抽样后经一个理想的低通滤波器ΩＨ（２Ω）来还原，这里Ωｃ＝４πｒａｄ／ｓ。当输入信号分别为ｘａ１（ｔ）＝２ｃｏｓ（２πｔ）、ｘａ２（ｔ）＝ｃｃｏｓ（５πｔ）时，分别写出输出信号ｙａ１（ｔ）、ｙａ２（ｔ）的表达式。解抽样周期Ｔ／Ωｓ＝２πｓ＝０．２５ｓｘｊ２πｔ－ｊ２πｔａ１（ｔ）＝２ｃｏｓ（２πｔ）＝２ｃｏｓ（Ω１ｔ）＝ｅ＋ｅ因此ｘ（ｔ）的频谱Ｘ（Ω）含有±２π这两个频率成分，频谱幅度均为１。由于ａ１ａ１Ω１＝２π＜Ωｓ／２＝４π，故由ｘａ１（ｔ）得到的抽样信号的频谱不会混叠；抽样信号经过Ωｃ＝４π＝Ωｓ／２的理想低通滤波器之后，可以保留Ｘａ１（Ω）的所有频率成分，所以输出信号ｙａ１（ｔ）＝（１／Ｔｓ）（ｅｊ２πｔ＋ｅ－ｊ２πｔ）＝８ｃｏｓ（２πｔ）又，ｘ（ｔ）＝ｃｏｓ（５πｔ）＝ｃｏｓ（Ω）＝（１／２）（ｅｊ５πｔ＋ｅ－ｊ５πｔ）ａ２２ｔ因此ｘ（ｔ）的频谱Ｘ（Ω）含有±５π这两个频率成分，频谱幅度均为１／２。由于ａ２ａ２Ω２＝５π＞Ωｓ／２＝４π，故由ｘａ２（ｔ）得到的抽样信号的频谱将发生混叠，在从－Ωｓ＝－８π到Ωｓ＝８π的两个周期之内，抽样信号的频谱不但含有±５π这两个频率成分，而且含有因为混叠所产生的±３π这两个频率成分；抽样信号经过Ω／２的理想低通滤波器之ｃ＝４π＝Ωｓ后，保留的频率成分为±３π，所以输出信号ｙａ２（ｔ）＝（１／Ｔｓ）（１／２）（ｅｊ３πｔ＋ｅ－ｊ３πｔ）＝４ｃｏｓ（３πｔ）这是与输入信号ｘ（ｔ）不同频率的余弦信号。ａ２·２· ２．４试画出下面各序列的图形。（ａ）ｘ（ｎ）＝０．５ｎｕ（ｎ＋１）（ｂ）ｘ（ｎ）＝２ｎ－２ｕ（ｎ－１）（ｃ）ｘ（ｎ）＝δ（ｎ－１）＋ｕ（－ｎ）（ｄ）ｘ（ｎ）＝２－ｎｕ（ｎ）＋ｕ（－ｎ－２）解参见图Ｔ２．４（ａ）～（ｄ）。课后答案网图Ｔ２．４２．５下列系统中，ｙ（ｎ）表示输出，ｘ（ｎ）表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否时不变？ｎ（ａ）ｙ（ｎ）＝２ｘ（ｎ）＋３（ｂ）ｙ（ｎ）＝ｘ２（ｎ）（ｃ）ｙ（ｎ）＝∑ｘ（ｍ）ｍ＝－∞解设ｘ（ｎ）、ｘ（ｎ）是两个任意序列，ａ、ｂ是两个任意常数。１２（ａ）系统定义为：ｙ（ｎ）＝Ｔ［ｘ（ｎ）］＝２ｘ（ｎ）＋３①线性组合的变换：Ｔ［ａｘ１（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）］＝２［ａｘ１（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）］＋３＝２ａｘ１（ｎ）＋２ｂｘ２（ｎ）＋３＝ｙ′（ｎ）·３· 变换的线性组合：ａＴ［ｘ１（ｎ）］＋ｂＴ［ｘ２（ｎ）］＝ａ［２ｘ１（ｎ）＋３］＋ｂ［２ｘ２（ｎ）＋３］＝２ａｘ１（ｎ）＋２ｂｘ２（ｎ）＋３（ａ＋ｂ）＝ｙ″（ｎ）因为ａ、ｂ是任意常数，不可能使３恒等于３（ａ＋ｂ），故ｙ′（ｎ）≠ｙ″（ｎ），该系统是非线性的。②将ｘ（ｎ）先移位后变换：Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］＝２ｘ（ｎ＋Ｍ）＋３（Ｍ为一整数）将ｘ（ｎ）先变换后移位：ｙ（ｎ）＝Ｔ［ｘ（ｎ）］＝２ｘ（ｎ）＋３ｙ（ｎ＋Ｍ）＝２ｘ（ｎ＋Ｍ）＋３＝Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］所以该系统是时不变的。（ｂ）系统定义为：ｙ（ｎ）＝Ｔ［ｘ（ｎ）］＝ｘ２（ｎ）①线性组合的变换：２Ｔ［ａｘ１（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）］＝［ａｘ１（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）］＝ａ２ｘ１２（ｎ）＋ｂ２ｘ２（ｎ）＋２ａｂｘ（ｎ）ｘ（ｎ）２１２课后答案网＝ｙ′（ｎ）变换的线性组合：ａＴ［ｘ１（ｎ）］＋ｂＴ［ｘ２（ｎ）］＝ａｘ１２（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）＝ｙ″（ｎ）２显然ｙ′（ｎ）≠ｙ″（ｎ），因此该系统是非线性的。②将ｘ（ｎ）先移位后变换：Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］＝ｘ２（ｎ＋Ｍ）（Ｍ为一整数）将ｘ（ｎ）先变换后移位：ｙ（ｎ）＝Ｔ［ｘ（ｎ）］＝ｘ２（ｎ）ｙ（ｎ＋Ｍ）＝ｘ２（ｎ＋Ｍ）＝Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］所以该系统是时不变的。（ｃ）系统定义为：ｎｙ（ｎ）＝Ｔ［ｘ（ｎ）］＝∑ｘ（ｍ）ｍ＝－∞·４· ①线性组合的变换：ｎＴ［ａｘ１（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）］＝∑［ａｘ１（ｍ）＋ｂｘ２（ｍ）］ｍ＝－∞ｎｎ＝ａ∑ｘ１（ｍ）＋ｂ∑ｘ２（ｍ）ｍ＝－∞ｍ＝－∞＝ｙ′（ｎ）变换的线性组合：ｎｎａＴ［ｘ１（ｎ）］＋ｂＴ［ｘ２（ｎ）］＝ａ∑ｘ１（ｍ）＋ｂ∑ｘ２（ｍ）＝ｙ″（ｎ）ｍ＝－∞ｍ＝－∞因为ｙ′（ｎ）＝ｙ″（ｎ），因此该系统是线性的。②将ｘ（ｎ）先移位后变换：ｎ＋ＭＴ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］＝∑ｘ（ｍ）（Ｍ为一整数）ｍ＝－∞将ｘ（ｎ）先变换后移位：ｎｙ（ｎ）＝Ｔ［ｘ（ｎ）］＝∑ｘ（ｍ）ｍ＝－∞ｎ＋Ｍｙ（ｎ＋Ｍ）＝∑ｘ（ｍ）＝Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］ｍ＝－∞所以该系统是时不变的。２．６确定下列系统是否因果的？是否稳定的？课后答案网（ａ）ｙ（ｎ）＝ｇ（ｎ）ｘ（ｎ），ｇ（ｎ）有界ｎ（ｂ）ｙ（ｎ）＝∑ｘ（ｍ）ｍ＝－∞（ｃ）ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ－ｎ）０解（ａ）假设对某一时刻ｎ，当ｎ＜ｎ时，输入信号不改变，即有ｘ（ｎ）＝ｘ（ｎ）。而输出００１２信号ｙ（ｎ）＝ｇ（ｎ）ｘ（ｎ），ｙ（ｎ）＝ｇ（ｎ）ｘ（ｎ），于是当ｎ＜ｎ时，也有ｙ（ｎ）＝ｙ（ｎ），即１１２２０１２此时输出也不变化，所以是因果系统。又，由于ｇ（ｎ）有界，故对所有ｎ，都有｜ｇ（ｎ）｜＜∞。现在设输入信号ｘ（ｎ）有界，也即对所有ｎ，都有｜ｘ（ｎ）｜＜∞。而输出ｙ（ｎ）＝ｇ（ｎ）ｘ（ｎ），因此对所有ｎ，也都有｜ｙ（ｎ）｜＝｜ｇ（ｎ）｜｜ｘ（ｎ）｜＜∞。这就是说，当输入有界时，输出也有界，所以系统是稳定的。·５· 注意，此题不能用ｈ（ｎ）来确定其因果性和稳定性，因为这不是一个ＬＴＩ系统。（ｂ）由２．５（ｃ）题已经知道这是一个ＬＴＩ系统，因此可以利用ｈ（ｎ）来判定。ｎ１ｎ≥０ｈ（ｎ）＝∑δ（ｍ）＝｛＝ｕ（ｎ）ｍ＝－∞０ｎ＜０也即当ｎ＜０时，ｈ（ｎ）＝０，故为因果系统。而∞∞∞∑ｈ（ｎ）＝∑ｕ（ｎ）＝∑１＝∞ｎ＝－∞ｎ＝－∞ｎ＝０故系统是非稳定的。（ｃ）首先验证它是否是一个ＬＴＩ系统。设ｘ（ｎ）、ｘ（ｎ）是两个任意序列，ａ、ｂ是两１２个任意常数。Ｔ［ａｘ１（ｎ）＋ｂｘ２（ｎ）］＝ａｘ１（ｎ－ｎ０）＋ｂｘ２（ｎ－ｎ０）＝ｙ′（ｎ）ａＴ［ｘ１（ｎ）］＋ｂＴ［ｘ２（ｎ）］＝ａｘ１（ｎ－ｎ０）＋ｂｘ２（ｎ－ｎ０）＝ｙ″（ｎ）由于ｙ′（ｎ）＝ｙ″（ｎ），所以是线性系统。又，设Ｍ为一整数。Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］＝ｘ（ｎ＋Ｍ－ｎ０）而ｙ（ｎ＋Ｍ）＝ｘ（ｎ－ｎ０＋Ｍ）＝Ｔ［ｘ（ｎ＋Ｍ）］所以是时不变系统。于是可以用ｈ（ｎ）来判定。课后答案网ｈ（ｎ）＝Ｔ［δ（ｎ）］＝δ（ｎ－ｎ０）因此ｈ（ｎ）只在ｎ＝ｎ时不为０。所以，如果ｎ，那么当ｎ＜０时，ｈ（ｎ）＝０，系统是因００≥０果的；如果ｎ，由于ｈ（ｎ）＝１，所以系统是非因果的。０＜００又，∞∞∑ｈ（ｎ）＝∑δ（ｎ－ｎ０）＝１＜∞ｎ＝－∞ｎ＝－∞所以该系统是稳定的。２．７确定下列线性时不变系统是否因果的？是否稳定的？（ａ）ｘ（ｎ）＝ａｎｕ（ｎ），ｈ（ｎ）＝ｕ（ｎ＋１）（ｂ）ｈ（ｎ）＝（１／２）ｎｕ（ｎ）解（ａ）因为ｈ（－１）＝ｕ（０）＝１即ｈ（ｎ）不满足当ｎ＜０时为０，故这个ＬＴＩ系统不是因果的。·６· 因为∞∞∞∑ｈ（ｎ）＝∑ｕ（ｎ＋１）＝∑１＝∞ｎ＝－∞ｎ＝－∞ｎ＝－１故这个ＬＴＩ系统是非稳定的。（ｂ）当ｎ＜０时，因为ｕ（ｎ）＝０，故ｎｈ（ｎ）＝（１／２）ｕ（ｎ）＝０因此该ＬＴＩ系统是因果的。因为∞∞ｎ∞ｎ１１１∑ｈ（ｎ）＝∑（）ｕ（ｎ）＝∑（）＝＝２＜∞ｎ＝－∞ｎ＝－∞２ｎ＝０２１－（１／２）故该ＬＴＩ系统是稳定的。２．８ｘ（ｎ）为输入序列，ｈ（ｎ）为线性时不变系统的单位抽样响应，确定输出序列ｙ（ｎ）。（ａ）ｘ（ｎ）＝｛ｘ（－１），ｘ（０），ｘ（１），ｘ（２），ｘ（３）｝＝｛０．２５，１，２，１，０．２５｝；ｈ（ｎ）＝ｕ（ｎ）（ｂ）ｘ（ｎ）＝｛ｘ（－２），ｘ（－１），ｘ（０），ｘ（１），ｘ（２）｝＝｛１，２，１，１，２｝；ｈ（ｎ）＝δ（ｎ－２）（ｃ）ｘ（ｎ）＝｛２，－１｝；ｈ（ｎ）＝｛３，２，１｝解∞∞ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ｈ（ｎ）＝∑ｘ（ｋ）ｈ（ｎ－ｋ）＝∑ｈ（ｋ）ｘ（ｎ－ｋ）ｋ＝－∞ｋ＝－∞烄０ｎ＜－１ｎ３∑ｘ（ｋ）－１≤ｎ≤３（ａ）ｙ（ｎ）课后答案网＝∑ｘ（ｋ）ｕ（ｎ－ｋ）＝烅ｋ＝－１ｋ＝－１３∑ｘ（ｋ）＝４．５ｎ＞３烆ｋ＝－１∞（ｂ）ｙ（ｎ）＝∑δ（ｋ－２）ｘ（ｎ－ｋ）＝ｘ（ｎ－２）ｋ＝－∞由于ｘ（ｎ）定义在－２到２区间，所以ｙ（ｎ）在０到４区间，依次为：１，２，１，１，２。（ｃ）用排序法求这个线性卷积ｙ（ｎ）＝ｈ（ｎ）ｘ（ｎ）３２１－１２ｙ（０）＝６－１２ｙ（１）＝１－１２ｙ（２）＝０－１２ｙ（３）＝－１·７· ２．９直接计算卷积和，求序列ｎ烄ｎ－ｎ０ｎ≥ｎ烄α０≤ｎ＜Ｎβ０ｈ（ｎ）＝烅与ｘ（ｎ）＝烅烆０其他烆０ｎ＜ｎ０的卷积ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ｈ（ｎ）。解∞∞ｋ－ｎｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ｈ（ｎ）＝∑ｘ（ｋ）ｈ（ｎ－ｋ）＝∑β０ｈ（ｎ－ｋ）ｋ＝－∞ｋ＝ｎ０（１）当ｎ＜ｎ时，ｙ（ｎ）＝０。０（２）当ｎ时，０≤ｎ＜ｎ０＋Ｎｎｎｎｋｙ（ｎ）＝∑ｋ－ｎ０αｎ－ｋ＝α（β）βｎ∑ｋ＝ｎβ０ｋ＝ｎα００αｎ（／α）ｎ０－（β／α）ｎ＋１β＝·ｎβ０１－（β／α）ｎ－ｎ＋１ｎ－ｎ＋１α０－β０＝（α≠β）α－β若α＝βｎｎｋ－ｎｎ－ｋｎ－ｎｎ－ｎｙ（ｎ）＝∑β０α＝∑α０＝α０（ｎ－ｎ０＋１）ｋ＝ｎｋ＝ｎ００（３）当ｎ≥ｎ时，０＋Ｎｎｋ－ｎｎ－ｋｙ（ｎ）＝∑β０αｋ＝ｎ－Ｎ＋１若α≠β课后答案网ｎｎｋｎ－ｎ０＋１（αＮ－Ｎ－１）ｙ（ｎ）＝α∑（β）＝ββｎβ０ｋ＝ｎ－Ｎ＋１αα－β若α＝βｎｎ－ｎｎ－ｎｙ（ｎ）＝∑α０＝Ｎα０ｋ＝ｎ－Ｎ＋１读者可以画出两个序列所在区间的图形来帮助理解ｙ（ｎ）的分段表示，以及各表达式中的求和范围。２．１０已知ＬＴＩ系统的单位抽样响应为ｈ（ｎ）＝δ（ｎ）＋２δ（ｎ－１）－３δ（ｎ－２）＋δ（ｎ－３）求单位阶跃响应（即当输入为单位阶跃信号时的输出）ｙ（ｎ）。解该系统的单位阶跃响应·８· ∞ｙ（ｎ）＝ｈ（ｎ）ｕ（ｎ）＝∑ｈ（ｋ）ｕ（ｎ－ｋ）ｋ＝－∞∞＝∑［δ（ｋ）＋２δ（ｋ－１）－３δ（ｋ－２）＋δ（ｋ－３）］ｕ（ｎ－ｋ）ｋ＝－∞∞∞＝∑δ（ｋ）ｕ（ｎ－ｋ）＋２∑δ（ｋ－１）ｕ（ｎ－ｋ）ｋ＝－∞ｋ＝－∞∞∞－３∑δ（ｋ－２）ｕ（ｎ－ｋ）＋∑δ（ｋ－３）ｕ（ｎ－ｋ）ｋ＝－∞ｋ＝－∞＝ｕ（ｎ）＋２ｕ（ｎ－１）－３ｕ（ｎ－２）＋ｕ（ｎ－３）２．１１试确定下列序列的傅里叶变换。（ａ）ｘ（ｎ）＝０．５δ（ｎ＋１）＋０．５δ（ｎ－１）（ｂ）ｘ（ｎ）＝ａｎｕ（ｎ）（０＜ａ＜１）（ｃ）ｘ（ｎ）＝ｕ（ｎ＋３）－ｕ（ｎ－４）解离散信号的傅里叶变换∞Ｘ（ｅｊω）＝∑ｘ（ｎ）ｅ－ｊｎωｎ＝－∞∞（ａ）Ｘ（ｅｊω）＝∑［０．５δ（ｎ＋１）＋０．５δ（ｎ－１）］ｅ－ｊｎωｎ＝－∞∞∞－ｊｎω－ｊｎω＝０．５∑δ（ｎ＋１）ｅ＋０．５∑δ（ｎ－１）ｅ课后答案网ｎ＝－∞ｎ＝－∞ｊω－ｊω＝０．５ｅ＋０．５ｅ＝ｃｏｓω∞∞（ｂ）Ｘ（ｅｊω）＝∑ａｎｕ（ｎ）ｅ－ｊｎω＝∑（ａｅ－ｊω）ｎｎ＝－∞ｎ＝０ｊω１ｅ＝－ｊω＝ｊω１－ａｅｅ－ａ上式中的级数收敛是因为｜ａｅ－ｊω｜＝ａ＜１。１－３≤ｎ≤３（ｃ）ｘ（ｎ）＝ｕ（ｎ＋３）－ｕ（ｎ－４）＝｛其他０所以∞３Ｘ（ｅｊω）＝∑ｘ（ｎ）ｅ－ｊｎω＝∑（ｅ－ｊω）ｎｎ＝－∞ｎ＝－３（ｅ－ｊω）－３－（ｅ－ｊω）４ｅｊ３ω－ｅ－ｊ４ω＝－ｊω＝－ｊω１－ｅ１－ｅ·９· ２．１２令ｘ（ｎ）和Ｘ（ｅｊω）表示一个序列及其傅里叶变换，利用Ｘ（ｅｊω）表示下面各序列的傅里叶变换。（ａ）ｂｘ（ｎ）（ｂ为任意常数）（ｂ）ｘ（ｎ－ｎ）（ｎ为整数）００（ｃ）ｇ（ｎ）＝ｘ（２ｎ）ｘ（ｎ／２）（ｎ为偶数）（ｄ）ｇ（ｎ）＝｛为奇数）０（ｎ解∞Ｘ（ｅｊω）＝∑ｘ（ｎ）ｅ－ｊｎωｎ＝－∞∞∞（ａ）Ｘ（ｅｊω）＝ｂｘ（ｎ）ｅ－ｊｎω＝ｂ∑ｘ（ｎ）ｅ－ｊｎω＝ｂＸ（ｅｊω）ａ∑ｎ＝－∞ｎ＝－∞∞∞（ｂ）Ｘ（ｅｊω）＝－ｊｎω－ｊ（ｋ＋ｎ）ωｂ∑ｘ（ｎ－ｎ０）ｅ＝∑ｘ（ｋ）ｅ０ｎ＝－∞ｋ＝－∞∞＝ｅ－ｊｎ０ω∑ｘ（ｋ）ｅ－ｊｋω＝ｅ－ｊｎ０ωＸ（ｅｊω）ｋ＝－∞∞∞∞ｋ（ｃ）Ｇ（ｅｊω）＝∑ｇ（ｎ）ｅ－ｊｎω＝∑ｘ（２ｎ）ｅ－ｊｎω＝∑ｘ（ｋ）ｅ－ｊ２ωｎ＝－∞ｎ＝－∞ｋ＝－∞ｋ为偶数∞１ｋ－ｊｋω＝∑［ｘ（ｋ）＋（－１）ｘ（ｋ）］ｅ２ｋ＝－∞２∞∞１－ｊｋω１ｊπｋ－ｊｋω＝∑ｘ（ｋ）ｅ２＋∑ｘ（ｋ）（ｅ）ｅ２课后答案网２ｋ＝－∞２ｋ＝－∞∞１ｊω１－ｊｋ（ω－π）＝Ｘ（ｅ２）＋∑ｘ（ｋ）ｅ２２２ｋ＝－∞１ｊω１ｊ（ω－π）＝Ｘ（ｅ２）＋Ｘ［ｅ２］２２１ωω＝［Ｘ（ｅｊ２）＋Ｘ（－ｅｊ２）］２∞∞∞（ｄ）Ｇ（ｅｊω）＝∑ｇ（ｎ）ｅ－ｊｎω＝∑ｇ（２ｒ）ｅ－ｊ２ｒω＝∑ｘ（ｒ）ｅ－ｊｒ２ω＝Ｘ（ｅｊ２ω）ｎ＝－∞ｒ＝－∞ｒ＝－∞２．１３一个ＬＴＩ系统的单位抽样响应为ｎ１ｈ（ｎ）＝（）ｕ（ｎ）２求其频率响应Ｈ（ｅｊω）。设另一系统的频率响应为１／Ｈ（ｅｊω），单位抽样响应为ｈ′（ｎ），试证明ｈ（ｎ）ｈ′（ｎ）＝δ（ｎ）·１０· 解∞Ｈ（ｅｊω）＝犉［ｈ（ｎ）］＝∑ｈ（ｎ）ｅ－ｊｎωｎ＝－∞∞１ｎ１２ｅｊω＝∑（）ｅ－ｊｎω＝＝２１－ｅ－ｊω／２２ｅｊω－１ｎ＝０因为犉［ｈ′（ｎ）］＝１／Ｈ（ｅｊω）故根据傅里叶变换的卷积特性，有犉［ｈ（ｎ）ｈ′（ｎ）］＝Ｈ（ｅｊω）·（１）＝１Ｈ（ｅｊω）又由于∞－ｊｎω犉［δ（ｎ）］＝∑δ（ｎ）ｅ＝１ｎ＝－∞故比较上面二式即有ｈ（ｎ）ｈ′（ｎ）＝δ（ｎ）２．１４求下列各序列的ｚ变换，并指出其零极点和收敛域。ｎｎ（ａ）δ（ｎ）＋（１）ｕ（ｎ）（ｂ）（１）ｕ（ｎ）２３１ｎ１ｎ３１≤ｎ≤４（ｃ）（３）ｕ（ｎ）－（２）ｕ（－ｎ－１）（ｄ）ｘ（ｎ）＝｛其他０解课后答案网∞－ｎｚ变换定义式Ｘ（ｚ）＝犣［ｘ（ｎ）］＝∑ｘ（ｎ）ｚｎ＝－∞∞ｎ（ａ）Ｘ（ｚ）＝∑［δ（ｎ）＋（１）ｕ（ｎ）］ｚ－ｎｎ＝－∞２∞∞ｎ＝∑δ（ｎ）ｚ－ｎ＋∑（１）ｕ（ｎ）ｚ－ｎｎ＝－∞ｎ＝－∞２∞ｎ＝１＋∑（１ｚ－１）ｎ＝０２１４ｚ－１＝１＋１－ｚ－１／２＝２ｚ－１零点：Ｘ（ｚ）分子的零点，即ｚ＝１／４；极点：Ｘ（ｚ）分母的零点，即ｚ＝１／２；∞ｎ由导出Ｘ（ｚ）时幂级数∑（１ｚ－１）收敛的条件ｚ－１／２＜１，即得到Ｘ（ｚ）的收敛ｎ＝０２域：ｚ＞１／２。·１１· ∞ｎ∞ｎ（ｂ）Ｘ（ｚ）＝∑（１）ｕ（ｎ）ｚ－ｎ＝∑（１）ｚ－ｎｎ＝－∞３ｎ＝０３＝１＝３ｚ（ｚ－１／３＜１）１－ｚ－１／３３ｚ－１零点：ｚ＝０；极点：ｚ＝１／３；收敛域：｜ｚ｜＞１／３。∞ｎｎ（ｃ）Ｘ（ｚ）＝∑［（１）ｕ（ｎ）－（１）ｕ（－ｎ－１）］ｚ－ｎｎ＝－∞３２∞ｎ∞ｎ＝∑（１）ｕ（ｎ）ｚ－ｎ－∑（１）ｕ（－ｎ－１）ｚ－ｎｎ＝－∞３ｎ＝－∞２∞ｎ－∞ｎ＝∑（１）ｚ－ｎ－∑（１）ｚ－ｎｎ＝０３ｎ＝－１２∞－ｎ＝１－∑（１）ｚｎ（ｚ－１／３＜１）１－ｚ－１／３２ｎ＝１∞＝３ｚ＋１－∑（２ｚ）ｎ３ｚ－１ｎ＝０＝３ｚ＋１－１（２ｚ＜１）３ｚ－１１－２ｚ２５ｚ－１２ｚ＝（３ｚ－１）（１－２ｚ）零点：ｚ＝０，ｚ＝５／１２；极点：ｚ＝１／３，ｚ＝１／２；收敛域：１／３＜｜课后答案网ｚ｜＜１／２。∞４（ｄ）Ｘ（ｚ）＝∑ｘ（ｎ）ｚ－ｎ＝∑３ｚ－ｎｎ＝－∞ｎ＝１＝３（ｚ－１＋ｚ－２＋ｚ－３＋ｚ－４）ｚ３＋ｚ２＋ｚ＋１（ｚ２＋１）（ｚ＋１）＝３４＝３４ｚｚ零点：ｚ＝－１，ｚ＝±ｊ；极点：ｚ＝０（四阶）；收敛域：｜ｚ｜＞０。２．１５已知序列ｘ（ｎ）的ｚ变换为Ｘ（ｚ），收敛域为Ｒ－＜｜ｚ｜＜Ｒ＋，用Ｘ（ｚ）表示下面各序列的ｚ变换，并指出各自的收敛域。（ａ）ｘ（ｎ）＝ｘ（ｎ－１）（ｂ）ｘ（ｎ）＝３ｘ（ｎ＋２）１２（ｃ）ｘ（ｎ）＝２ｘ（－ｎ）（ｄ）ｘ（ｎ）＝－２ｎｘ（ｎ）３４·１２· 解（ａ）由ｚ变换的移位性质，可知－１Ｘ１（ｚ）＝ｚＸ（ｚ）收敛域：Ｒ，且ｚ≠０。－＜｜ｚ｜＜Ｒ＋（ｂ）由ｚ变换的线性和移位性质，有２Ｘ２（ｚ）＝３ｚＸ（ｚ）收敛域：Ｒ，且ｚ≠∞。－＜｜ｚ｜＜Ｒ＋（ｃ）由ｚ变换的线性和翻转性质，有Ｘ３（ｚ）＝３Ｘ（１／ｚ）收敛域：（１／Ｒ）＜｜ｚ｜＜（１／Ｒ）。＋－（ｄ）由乘以指数序列的ｚ变换，可知Ｘ４（ｚ）＝－Ｘ（ｚ／２）收敛域：２Ｒ。－＜ｚ＜２Ｒ＋２．１６设Ｆ（ｚ）是因果序列ｆ（ｎ）的ｚ变换，求下列各情况下的ｆ（０）和ｆ（∞）。（ａ）Ｆ（ｚ）＝（２ｚ－１）／（ｚ－１）（ｂ）Ｆ（ｚ）＝（ｅ－ａＴ－１）ｚ／［ｚ２－（１＋ｅ－ａＴ）ｚ＋ｅ－ａＴ］（ａ、Ｔ均为正数）解（ａ）由初值定理－１２－ｚｆ（０）＝ｌｉｍＦ（ｚ）＝ｌｉｍ－１＝２课后答案网ｚ→∞ｚ→∞１－ｚ又，因为Ｆ（ｚ）只在ｚ＝１有一阶极点，故可以用终值定理：ｆ（∞）＝ｌｉｍ［（ｚ－１）Ｆ（ｚ）］＝（２ｚ－１）＝１ｚ→１ｚ＝１（ｂ）由初值定理（ｅ－ａＴ－１）ｚ－１ｆ（０）＝ｌｉｍＦ（ｚ）＝ｌｉｍ－ａＴ）ｚ－１－ａＴ－２＝０ｚ→∞ｚ→∞１－（１＋ｅ＋ｅｚ又，由于（ｅ－ａＴ－１）ｚ（ｅ－ａＴ－１）ｚＦ（ｚ）＝２－ａＴ）ｚ＋ｅ－ａＴ＝（ｚ－１）（ｚ－ｅ－ａＴ）ｚ－（１＋ｅ有两个一阶极点：ｚ＝１在单位圆上，ｚ＝ｅ－ａＴ＜１在单位圆内，故可以用终值定理：（ｅ－ａＴ－１）ｚｆ（∞）＝ｌｉｍ［（ｚ－１）Ｆ（ｚ）］＝－ａＴ＝－１ｚ→１ｚ－ｅｚ＝１·１３· ２２．１７试利用ｘ（ｎ）的ｚ变换求ｎｘ（ｎ）的ｚ变换。解利用ｚ变换的性质：ｄＸ（ｚ）犣［ｎｘ（ｎ）］＝－ｚｄｚ现在令Ｘ１（ｚ）＝犣［ｎｘ（ｎ）］则犣［ｎ２ｄＸ１（ｚ）ｄ（－ｚｄＸ（ｚ））ｘ（ｎ）］＝－ｚ＝－ｚｄｚｄｚｄｚ２ｄＸ（ｚ）ｄＸ（ｚ）］＝－ｚ［－－ｚ２ｄｚｄｚ２ｄＸ（ｚ）２ｄＸ（ｚ）＝ｚ＋ｚ２ｄｚｄｚ收敛域与Ｘ（ｚ）的收敛域相同。ｚ（１－ａ２）２．１８证明，若０＜｜ａ｜＜１及ｘ（ｎ）＝ａ｜ｎ｜，则Ｘ（ｚ）＝，并指－ａｚ２＋（１＋ａ２）ｚ－ａ出其收敛域。证∞－１∞－ｎ－ｎ－ｎｎ－ｎＸ（ｚ）＝∑ｘ（ｎ）ｚ＝∑ａｚ＋∑ａｚｎ＝－∞ｎ＝－∞ｎ＝０∞课后答案网∞＝∑ａｎｚｎ＋∑（ａｚ－１）ｎｎ＝１ｎ＝０∞＝∑（ａｚ）ｎ－１＋１（ａｚ－１＜１）－１ｎ＝０１－ａｚ＝１－１＋ｚ（ａｚ＜１）１－ａｚｚ－ａ２２２ｚ－ａ－ｚ＋ａｚ＋ａ－ａｚ＋ｚ－ａｚ＝（１－ａｚ）（ｚ－ａ）ｚ（１－ａ２）＝－ａｚ２＋（１＋ａ２）ｚ－ａ收敛域：１ａ＜ｚ＜ａ·１４· ２．１９求Ｘ（ｚ）在所有可能收敛区域的反变换。ｚＸ（ｚ）＝（ｚ－１）２（ｚ－２）解Ｘ（ｚ）的极点：ｚ＝１（二阶），ｚ＝２，故收敛域有下面３种情况：（１）｜ｚ｜＜１（２）１＜｜ｚ｜＜２（３）｜ｚ｜＞２令ｎｎ－１ｚＸ１（ｚ）＝Ｘ（ｚ）ｚ＝（ｚ－１）２（ｚ－２）显然这里ｍ＝１，分界点为１－ｍ＝０。（１）积分围线Ｃ在｜ｚ｜＜１内。ｎ≥０：Ｘ１（ｚ）在Ｃ内（包括Ｃ上）解析，故ｘ（ｎ）＝０；ｎ＜０：Ｘ１（ｚ）在Ｃ外有极点ｚ＝１（二阶）和ｚ＝２，故ｘ（ｎ）＝－｛Ｒｅｓ［Ｘ１（ｚ），ｚ＝１］＋Ｒｅｓ［Ｘ１（ｚ），ｚ＝２］｝ｎｎ１ｄｚｚ＝－｛１！［ｄｚｚ－２］ｚ＋［（ｚ－１）２］｝＝１ｚ＝２＝－［－（ｎ＋１）＋２ｎ］＝ｎ＋１－２ｎ因此ｘ（ｎ）＝（ｎ＋１－２ｎ）ｕ（－ｎ－１）（２）围线Ｃ在课后答案网１＜｜ｚ｜＜２内。ｎ≥０：Ｘ１（ｚ）在Ｃ内有二阶极点ｚ＝１，故ｘ（ｎ）＝Ｒｅｓ［Ｘ１（ｚ），ｚ＝１］＝－（ｎ＋１）ｎ＜０：Ｘ１（ｚ）在Ｃ外有极点ｚ＝２，故ｎｘ（ｎ）＝－Ｒｅｓ［Ｘ１（ｚ），ｚ＝２］＝－２因此ｎｘ（ｎ）＝－（ｎ＋１）ｕ（ｎ）－２ｕ（－ｎ－１）（３）积分围线Ｃ在｜ｚ｜＞２内。ｎ≥０：Ｘ１（ｚ）在Ｃ内有极点ｚ＝１（二阶）和ｚ＝２，故ｎｘ（ｎ）＝Ｒｅｓ［Ｘ１（ｚ），ｚ＝１］＋Ｒｅｓ［Ｘ１（ｚ），ｚ＝２］＝－（ｎ＋１）＋２ｎ＜０：Ｘ１（ｚ）在围线Ｃ外（包括Ｃ上）解析，故ｘ（ｎ）＝０。因此ｎｘ（ｎ）＝［２－（ｎ＋１）］ｕ（ｎ）·１５· １。２．２０已知Ｘ（ｚ）＝１－ｚ（ａ）若｜ｚ｜＞１，求ｘ（ｎ）。（ｂ）若｜ｚ｜＜１，求ｘ（ｎ）。解－１∞∞（ａ）Ｘ（ｚ）＝１＝－ｚ＝－ｚ－１∑（ｚ－１）ｎ＝－ｚ－１∑ｚ－ｎ１－ｚ１－ｚ－１ｎ＝０ｎ＝０根据ｚ变换的定义式以及ｚ变换的移位性质，可知ｘ（ｎ）＝－ｕ（ｎ－１）∞－∞（ｂ）Ｘ（ｚ）＝１＝∑ｚｋ＝∑ｚ－ｎ１－ｚｋ＝０ｎ＝０所以ｘ（ｎ）＝ｕ（－ｎ）２．２１有一线性时不变系统的单位抽样响应为ｈ（ｎ），输入信号为ｘ（ｎ），若烄３－ｎｎ≥０烄－ｎ２ｎ≥０ｘ（ｎ）＝烅ｈ（ｎ）＝烅烆ｎ０烆０ｎ＜０２ｎ＜用两种方法求该系统的输出信号ｙ（ｎ）：（ａ）直接求线性卷积；（ｂ）用ｚ变换求。解∞（ａ）ｙ（ｎ）＝ｈ（ｎ）ｘ（ｎ）＝∑２－ｋｘ（ｎ－ｋ）ｋ＝０当ｎ＜０，对于课后答案网ｋ≥０，由于ｎ－ｋ＜０，故ｎ－ｋｘ（ｎ－ｋ）＝２所以∞∞ｙ（ｎ）＝∑２－ｋ２ｎ－ｋ＝２ｎ∑２－２ｋ＝２ｎ１＝４２ｎ＝２ｎ＋２／３１－２－２３ｋ＝０ｋ＝０ｎ∞当ｎ≥０，ｙ（ｎ）＝∑２－ｋ３－（ｎ－ｋ）＋∑２－ｋ２ｎ－ｋｋ＝０ｋ＝ｎ＋１ｎｋ∞＝３－ｎ∑（３）＋２ｎ∑２－２ｋｋ＝０２ｋ＝ｎ＋１１－（３／２）ｎ＋１∞１ｋｎ１ｋ＝３－ｎ＋２ｎ［∑（）－∑（）］１－（３／２）ｋ＝０４ｋ＝０４ｎｎ＋１＝（１）（－２）［１－３ｎ＋１（１）ｎ＋１］＋２ｎ［１－１－（１／４）］３２１－（１／４）１－（１／４）－ｎ－ｎｎｎ－ｎ＝－２×３＋３×２＋（４／３）×２－（４／３）×２＋（１／３）×２－ｎ－ｎ＝－２×３＋（１０／３）×２·１６· 故ｙ（ｎ）＝［（１０／３）×２－ｎ－２×３－ｎ］ｕ（ｎ）＋（２ｎ＋２／３）ｕ（－ｎ－１）∞－１∞（ｂ）Ｘ（ｚ）＝∑ｘ（ｎ）ｚ－ｎ＝∑２ｎｚ－ｎ＋∑３－ｎｚ－ｎｎ＝－∞ｎ＝－∞ｎ＝０∞∞＝∑２－ｎｚｎ＋∑（ｚ－１／３）ｎｎ＝１ｎ＝０∞＝－１＋∑（ｚ／２）ｎ＋１（ｚ－１／３＜１）１－ｚ－１／３ｎ＝０＝－１＋１＋３ｚ（ｚ／２＜１）１－ｚ／２３ｚ－１５ｚ＝（２－ｚ）（３ｚ－１）由式中幂级数的收敛条件可以得到Ｘ（ｚ）的收敛域：１／３＜｜ｚ｜＜２。又，∞∞－ｎ－ｎ－ｎＨ（ｚ）＝∑ｈ（ｎ）ｚ＝∑２ｚｎ＝－∞ｎ＝０＝１＝２ｚ（１／２ｚ＜１）１－２－１ｚ－１２ｚ－１由式中幂级数的收敛条件可以得到Ｈ（ｚ）的收敛域：｜ｚ｜＞１／２。于是有：２１０ｚＹ（ｚ）＝Ｘ（ｚ）Ｈ（ｚ）＝（２－ｚ）（３ｚ－１）（２ｚ－１）收敛域：１／２＜｜ｚ｜课后答案网＜２。下面用留数法求Ｙ（ｚ）的反变换ｙ（ｎ）。令ｎ＋１ｎ－１１０ｚＹ１（ｚ）＝Ｙ（ｚ）ｚ＝（２－ｚ）（３ｚ－１）（２ｚ－１）这里ｍ＝２，故分界点为１－ｍ＝－１。积分围线Ｃ在Ｙ（ｚ）的收敛域内。当ｎ＜－１，因Ｙ（ｚ）在Ｃ外有极点ｚ＝２，因此１ｎ＋１ｙ（ｎ）＝－Ｒｅｓ［Ｙ１０ｚ＝２ｎ＋２／３１（ｚ），ｚ＝２］＝（３ｚ－１）（２ｚ－１）ｚ＝２当ｎ≥－１，因Ｙ（ｚ）在Ｃ内有极点ｚ＝１／２和ｚ＝１／３，因此１ｙ（ｎ）＝Ｒｅｓ［Ｙ１（ｚ），ｚ＝１／２］＋Ｒｅｓ［Ｙ１（ｚ），ｚ＝１／３］ｎ＋１ｎ＋１１０ｚ１０ｚ＝＋２（２－ｚ）（３ｚ－１）ｚ＝１／２３（２－ｚ）（２ｚ－１）ｚ＝１／３－ｎ－ｎ＝（１０／３）×２－２×３于是，·１７· ｎ＋２ｙ（ｎ）＝２ｕ（－ｎ－２）＋［１０２－ｎ－２×３－ｎ］ｕ（ｎ＋１）３３ｎ＋２（－１）＋２＝２ｕ（－ｎ－１）－２＋［１０２－ｎ－２×３－ｎ］ｕ（ｎ）３３３＋［１０２－（－１）－２×３－（－１）］３ｎ＋２＝２ｕ（－ｎ－１）＋［１０２－ｎ－２×３－ｎ］ｕ（ｎ）３３（ａ）与（ｂ）的结果相同。２．２２已知Ｘ（ｚ）＝ｅｚ＋ｅ１／２（ｚ≠∞），求ｘ（ｎ）。解∞ｎ－∞ｚ１／２ｚ１／２１／２０１－ｎＸ（ｚ）＝ｅ＋ｅ＝∑ｎ！＋ｅ＝ｅｚ＋∑（－ｎ）！ｚｎ＝０ｎ＝０所以１／２１ｘ（ｎ）＝ｅδ（ｎ）＋（－ｎ）！ｕ（－ｎ）２．２３令ｘ（ｎ）是一因果序列，又设ｘ（０）≠０，试证明在ｚ＝∞处Ｘ（ｚ）没有极点和零点。证由于ｘ（ｎ）为因果序列，故由初值定理有：ｌｉｍＸ（ｚ）＝ｘ（０）ｚ→∞而ｘ（０）是一个不为课后答案网０的有限数，即Ｘ（∞）＝ｘ（０）既不等于０也不等于∞，这就是说，在ｚ＝∞处Ｘ（ｚ）既无零点也无极点。２．２４研究一线性时不变系统，该系统的输入和输出满足差分方程：１ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）－ｙ（ｎ－１）２从下列诸项中选取两个满足该系统的单位抽样响应。ｎｎｎ（ａ）（－１）ｕ（ｎ）（ｂ）（－１）ｕ（－ｎ－１）（ｃ）（１）ｕ（ｎ－１）２２２（ｄ）２ｎｕ（ｎ）（ｅ）ｎ１／２ｕ（ｎ）（ｆ）（－２）ｎｕ（－ｎ－１）ｎ（ｇ）２－ｎｕ（ｎ）（ｈ）－－（１）ｕ（－ｎ－１）（ｉ）－（－２）ｎｕ（－ｎ－１）２解对差分方程两边进行ｚ变换：－１Ｙ（ｚ）＝Ｘ（ｚ）－（１／２）ｚＹ（ｚ）·１８· 该ＬＴＩ系统的系统函数：Ｙ（ｚ）１ｚＨ（ｚ）＝＝－１／２＝Ｘ（ｚ）１＋ｚｚ＋１／２极点为ｚ＝－１／２，因此Ｈ（ｚ）的收敛域或者为｜ｚ｜＞１／２，或者为｜ｚ｜＜１／２。对于｜ｚ｜＞１／２，有ｈ（ｎ）＝（－１）ｎｕ（ｎ）２与（ａ）相同，因此（ａ）是满足该系统的单位抽样响应。对于｜ｚ｜＜１／２，有ｈ（ｎ）＝－（－１）ｎｕ（－ｎ－１）２与（ｈ）相同，故（ｈ）也是满足该系统的单位抽样响应。课后答案网·１９· 第３章离散傅里叶变换烄２ｎ０≤ｎ≤３３．１已知：ｘ（ｎ）＝烅，ｈ（ｎ）＝Ｒ５（ｎ－１）。以Ｎ＝６为周期来延拓这烆０其他两个序列，分别得到周期序列ｘ槇（ｎ）和ｈ槇（ｎ），求这两个周期序列的周期卷积ｙ槇（ｎ）（只需Ｎ求出０≤ｎ≤Ｎ－１区间的值）。解５槇槇ｙＮ（ｎ）＝∑ｘ（ｍ）ｈ（ｎ－ｍ）ｍ＝０槇ｈ（ｎ）的主值序列为０，１，１，１，１，１。ｍ０１２３４５ｘ（ｍ）０１４９００ｈ槇（－ｍ）⋯０１１１１１０１１１１１０１１课后答案网⋯将ｈ槇（－ｍ）逐次向右移位就得到各ｈ槇（ｎ－ｍ），在主值区间与ｘ（ｍ）对应相乘并相加就得到周期卷积。下面是周期卷积在主值区间的各个值。ｎ０１２３４５槇ｙＮ（ｎ）１４１３１０５１４１４槇３．２如果ｘ（ｎ）是一个周期为Ｎ的周期序列，则它也是周期为２Ｎ的周期序列。把槇槇槇ｘ（ｎ）看作周期为Ｎ的周期序列，令Ｘ１（ｋ）表示其ＤＦＳ，再把ｘ（ｎ）看作周期为２Ｎ的周槇槇槇期序列，再令Ｘ２（ｋ）表示其ＤＦＳ，试利用Ｘ１（ｋ）确定Ｘ２（ｋ）。解Ｎ－１槇槇ｋｎＸ１（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）ＷＮｎ＝０·２０· ２Ｎ－１而槇槇ｋｎＸ２（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）Ｗ２Ｎｎ＝０Ｎ－１Ｎ－１槇ｋｎ槇ｋ（ｎ＋Ｎ）＝∑ｘ（ｎ）Ｗ２Ｎ＋∑ｘ（ｎ＋Ｎ）Ｗ２Ｎｎ＝０ｎ＝０Ｎ－１Ｎ－１槇ｎｋ／２槇ｎｋ·ＷｋＮ＝∑ｘ（ｎ）ＷＮ＋∑ｘ（ｎ）Ｗ２Ｎ２Ｎｎ＝０ｎ＝０Ｎ－１槇ｋ）＋（ＷＮ）ｋ槇ｎｋ／２＝Ｘ１（２２Ｎ∑ｘ（ｎ）ＷＮｎ＝０槇ｋ）＋（－１）ｋ槇ｋ）＝Ｘ１（Ｘ１（２２烄槇ｋ２Ｘ１（）ｋ为偶数＝烅２烆０ｋ为奇数槇槇槇槇３．３研究两个周期序列ｘ（ｎ）和ｙ（ｎ）。ｘ（ｎ）的周期为Ｎ，ｙ（ｎ）的周期为Ｍ。序列ｗ槇（ｎ）定义为ｗ槇（ｎ）＝ｘ槇（ｎ）＋ｙ槇（ｎ）。（ａ）试证明ｗ槇（ｎ）是周期性的，ＮＭ是它的周期。槇槇槇槇槇（ｂ）令ｘ槇（ｎ）的ＤＦＳ为Ｘ（ｋ），ｙ（ｎ）的ＤＦＳ为Ｙ（ｋ），试利用Ｘ（ｋ）和Ｙ（ｋ）表示槇Ｗ（ｋ）。解（ａ）因为ｗ槇课后答案网（ｎ＋ＭＮ）＝ｘ槇（ｎ＋ＭＮ）＋ｙ槇（ｎ＋ＮＭ）槇槇槇＝ｘ（ｎ）＋ｙ（ｎ）＝ｗ（ｎ）所以ｗ槇（ｎ）是以ＭＮ为周期的周期序列。ＭＮ－１（ｂ）槇槇ｋｎＷ（ｋ）＝∑ｗ（ｎ）ＷＭＮｎ＝０ＭＮ－１ＭＮ－１槇ｋｎ槇ｋｎ＝∑ｘ（ｎ）ＷＭＮ＋∑ｙ（ｎ）ＷＭＮｎ＝０ｎ＝０式中第一项：ＭＮ－１Ｍ－１（ｒ＋１）Ｎ－１槇ｋｎ槇ｋｎ∑ｘ（ｎ）ＷＭＮ＝∑∑ｘ（ｎ）ＷＭＮｎ＝０ｒ＝０ｎ＝ｒＮＭ－１Ｎ－１槇ｋ（ｓ＋ｒＮ）＝∑∑ｘ（ｓ＋ｒＮ）ＷＭＮｒ＝０ｓ＝０Ｍ－１Ｎ－１ｋｋｒＮ槇ｓＭ＝∑ＷＭＮ∑ｘ（ｓ）ＷＮｒ＝０ｓ＝０·２１· Ｍ－１ｋｒ槇ｋ＝∑ＷＸ（）ＭＭｒ＝０Ｍ－１槇ｋｒｋ＝Ｘ（）∑ＷＭＭｒ＝０烄槇ｋＭ·Ｘ（）ｋ＝ｌＭ＝烅Ｍ（ｌ为整数）烆０ｋ≠ｌＭ同理可得到式中第二项：ＭＮ－１Ｎ－１槇ｋｎ槇ｋ）ｒｋ∑ｙ（ｎ）ＷＭＮ＝Ｙ（Ｎ∑ＷＮｎ＝０ｒ＝０烄槇ｋ）ｋ＝ｌＮＮ·Ｙ（＝烅Ｎ（ｌ为整数）烆０ｋ≠ｌＮ于是可以得到烄槇ｋ）＋Ｎ·槇ｋ）ｋ＝ｌＭ并且ｋ＝ｍＮＭ·Ｘ（Ｙ（ＭＮ槇ｋ槇Ｍ·Ｘ（）ｋ＝ｌＭ并且ｋ≠ｍＮＷ（ｋ）＝烅Ｍ（ｌ、ｍ均为整数）槇ｋＮ·Ｙ（）ｋ≠ｌＭ并且ｋ＝ｍＮＮ烆０ｋ≠ｌＭ并且ｋ≠ｍＮ３．４计算下列有限长序列ｘ（ｎ）的ＤＦＴ，假设长度为Ｎ。（ａ）ｘ（ｎ）＝课后答案网δ（ｎ）（ｂ）ｘ（ｎ）＝δ（ｎ－ｎ）０＜ｎ００＜Ｎ（ｃ）ｘ（ｎ）＝ａｎ０≤ｎ≤Ｎ－１（ｄ）ｘ（ｎ）＝｛１，２，－３，－１｝解Ｎ－１ｎｋ（ａ）Ｘ（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）ＷＮｎ＝０Ｎ－１ｎｋ０＝∑δ（ｎ）ＷＮ＝ＷＮ＝１（０≤ｋ≤Ｎ－１）ｎ＝０Ｎ－１ｎｋｎｋ（ｂ）Ｘ（ｋ）＝∑δ（ｎ－ｎ０）Ｗ＝Ｗ０（０≤ｋ≤Ｎ－１）ＮＮｎ＝０Ｎ－１Ｎ－１（ｃ）Ｘ（ｋ）＝ｎｎｋ（ａＷｋ）ｎ∑ａＷＮ＝∑Ｎｎ＝０ｎ＝０ｋ）ＮＮ１－（ａＷＮ１－ａ（０≤ｋ≤Ｎ－１）＝ｋ＝ｋ１－ａＷ１－ａＷＮＮ·２２· ３ｎｋ（ｄ）Ｘ（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）Ｗ４ｎ＝００ｋ２ｋ３ｋ＝Ｗ４＋２Ｗ４－３Ｗ４－Ｗ４ｋｋ３ｋ＝１＋２Ｗ４－３Ｗ２－Ｗ４＝１＋２（－ｊ）ｋ－３（－１）ｋ－ｊｋ（０≤ｋ≤３）３．５长度Ｎ＝４的序列ｘ（ｎ）如图Ｐ３．５所示，试画出下面各序列的图形。图Ｐ３．５（ａ）ｘ（ｎ）＝ｘ（（ｎ））１５（ｂ）ｘ（ｎ）＝ｘ槇（ｎ＋３）Ｒ（ｎ）２５（ｃ）ｘ（ｎ）＝ｘ（（ｎ－２））Ｒ（ｎ）３４４（ｄ）ｘ（ｎ）＝ｘ（（－２））Ｒ（ｎ）４４４（ｅ）ｘ（ｎ）＝ｘ（（ｎ））Ｒ（ｎ）５６６解参见图Ｔ３．５（课后答案网ａ）～（ｅ）。图Ｔ３．５·２３· ３．６已知ｘ１（ｎ）＝｛ａ０，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５｝，ｘ２（ｎ）＝δ（ｎ－２）。将这两个序列以周期Ｎ＝６分别作周期延拓得到ｘ槇（ｎ）和ｘ槇（ｎ），求这两个周期序列的周期卷积在主值区１２间的值。解５槇槇槇ｙ（ｎ）＝∑ｘ１（ｍ）ｘ２（ｎ－ｍ）ｍ＝０槇ｘ２（ｎ）的主值序列为：０，０，１，０，０，０。ｍ０１２３４５槇ｘ１（ｍ）ａ０ａ１ａ２ａ３ａ４ａ５槇ｘ２（－ｍ）⋯０００００１０００００１０００００１⋯将ｘ槇（－ｍ）逐次向右移位就得到各ｘ槇（ｎ－ｍ），在主值区间与ｘ槇（ｍ）对应相乘并２２１相加就得到周期卷积。下面是周期卷积在主值区间的各个值。ｎ０１２３４５槇ｙ（ｎ）ａ４ａ５ａ０ａ１ａ２ａ３３．７令Ｘ（ｋ）表示Ｎ点序列ｘ（ｎ）的Ｎ点ＤＦＴ，Ｘ（ｋ）本身也是一个Ｎ点序列。如果计算Ｘ（ｋ）的ＤＦＴ得到一序列ｘ（ｎ），试用ｘ（ｎ）表示ｘ（ｎ）。１１解课后答案网Ｎ－１ｋｎｘ１（ｎ）＝ＤＦＴ［Ｘ（ｋ）］＝∑Ｘ（ｋ）ＷＮｋ＝０Ｎ－１Ｎ－１ｒｋｋｎ＝∑［∑ｘ（ｒ）ＷＮ］ＷＮｋ＝０ｒ＝０Ｎ－１Ｎ－１ｋ（ｒ＋ｎ）＝∑ｘ（ｒ）∑ＷＮｒ＝０ｋ＝０上式中０≤ｎ≤Ｎ－１。而Ｎ－１ｋ（ｒ＋ｎ）烄Ｎｒ＋ｎ＝ｌＮ∑ＷＮ＝烅（ｌ为整数）ｋ＝０烆０ｒ＋ｎ≠ｌＮ所以ｘ１（ｎ）＝ｘ（（ｌＮ－ｎ）Ｎ）ＲＮ（ｎ）·Ｎ＝Ｎ·ｘ（（－ｎ）Ｎ）ＲＮ（ｎ）·２４· １３．８若ｘ（ｎ）＝ＩＤＦＴ［Ｘ（ｋ）］，求证ＩＤＦＴ［ｘ（ｋ）］＝Ｘ（（－ｎ）Ｎ）ＲＮ（ｎ）。Ｎ证Ｎ－１槇１槇－ｋｎＩＤＦＳ［ｘ（ｋ）］＝Ｎ∑ｘ（ｋ）ＷＮｋ＝０Ｎ－１Ｎ－１１１槇－ｒｋ－ｋｎ＝∑［∑Ｘ（ｒ）ＷＮ］ＷＮＮｋ＝０Ｎｒ＝０Ｎ－１Ｎ－１１槇ｋ（－ｒ－ｎ）＝２∑Ｘ（ｒ）∑ＷＮＮｒ＝０ｋ＝０而Ｎ－１ｋ（－ｒ－ｎ）烄Ｎ－ｒ－ｎ＝ｌＮ∑ＷＮ＝烅（ｌ为整数）ｋ＝０烆０－ｒ－ｎ≠ｌＮ所以槇１槇１槇ＩＤＦＳ［ｘ（ｋ）］＝２Ｘ（－ｌＮ－ｎ）·Ｎ＝Ｘ（－ｎ）ＮＮ于是１槇１ＩＤＦＴ［ｘ（ｋ）］＝Ｘ（－ｎ）ＲＮ（ｎ）＝Ｘ（（－ｎ）Ｎ）ＲＮ（ｎ）ＮＮ３．９令Ｘ（ｋ）表示Ｎ点序列ｘ（ｎ）的Ｎ点ＤＦＴ，试证明：（ａ）如果ｘ（ｎ）满足关系式ｘ（ｎ）＝－ｘ（Ｎ－１－ｎ），则Ｘ（０）＝０。（ｂ）当Ｎ为偶课后答案网数时，如果ｘ（ｎ）＝ｘ（Ｎ－１－ｎ），则Ｘ（Ｎ）＝０。２证Ｎ－１ｎｋＸ（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）Ｗ（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）Ｎｎ＝０Ｎ－１（ａ）Ｘ（０）＝∑ｘ（ｎ）ｎ＝０Ｎ为偶数：ＮＮ－１－１２２Ｘ（０）＝∑ｘ（ｎ）＋∑ｘ（Ｎ－１－ｎ）ｎ＝０ｎ＝０Ｎ－１２＝∑［ｘ（ｎ）＋ｘ（Ｎ－１－ｎ）］ｎ＝０Ｎ－１２＝∑［ｘ（ｎ）－ｘ（ｎ）］＝０ｎ＝０·２５· Ｎ为奇数：Ｎ－１Ｎ－１－１－１２２Ｎ－１）Ｘ（０）＝∑ｘ（ｎ）＋∑ｘ（Ｎ－１－ｎ）＋ｘ（ｎ＝０ｎ＝０２Ｎ－１－１２＝ｘ（Ｎ－１）＋∑［ｘ（ｎ）＋ｘ（Ｎ－１－ｎ）］２ｎ＝０Ｎ－１－１２＝ｘ（Ｎ－１）＋∑［ｘ（ｎ）－ｘ（ｎ）］２ｎ＝０＝ｘ（Ｎ－１）＋０＝ｘ（Ｎ－１）２２而ｘ（ｎ）中间的一项应当满足：ｘ（Ｎ－１）＝－ｘ（Ｎ－１－Ｎ－１）＝－ｘ（Ｎ－１）２２２因此必然有ｘ（Ｎ－１）＝０２这就是说，当Ｎ为奇数时，也有Ｘ（０）＝０。（ｂ）当Ｎ为偶数：Ｎ－１ＮＮ－１Ｎ）＝ｎ２ｎＸ（２∑ｘ（ｎ）ＷＮ＝∑ｘ（ｎ）（－１）ｎ＝０ｎ＝０Ｎ／２－１Ｎ／２－１ｎＮ－１－ｎ课后答案网＝∑ｘ（ｎ）（－１）＋∑ｘ（Ｎ－１－ｎ）（－１）ｎ＝０ｎ＝０Ｎ／２－１Ｎ／２－１ｎＮ－１－ｎ＝∑ｘ（ｎ）（－１）＋（－１）∑ｘ（ｎ）（－１）ｎ＝０ｎ＝０当Ｎ为偶数时，Ｎ－１为奇数，故（－１）Ｎ－１＝－１；又由于（－１）－ｎ＝（－１）ｎ，故有Ｎ／２－１Ｎ／２－１Ｘ（Ｎ）＝∑ｘ（ｎ）（－１）ｎ－∑ｘ（ｎ）（－１）ｎ＝０２ｎ＝０ｎ＝０ｎ３．１０已知序列ｘ１（ｎ）＝ａｕ（ｎ）（０＜ａ＜１），其ｚ变换为Ｘ１（ｚ）；又知序列ｘ（ｎ）定义在区间０≤ｎ≤Ｎ－１，并且Ｘ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｘ（ｎ）］。如果Ｘ（ｋ）与Ｘ（ｚ）之间满足关系１Ｘ（ｋ）＝Ｘ１（ｚ）－ｋ（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）ｚ＝ＷＮ试求序列ｘ（ｎ），并且将ｘ（ｎ）表示为ａｎ的函数。·２６· 解Ｎ－１１－ｎｋｘ（ｎ）＝Ｎ∑Ｘ（ｋ）ＷＮｋ＝０Ｎ－１１Ｘ－ｎｋ＝∑［１（ｚ）－ｋ］ＷＮＮｚ＝Ｗｋ＝０Ｎ∞Ｎ－１１ｘ－ｍ－ｎｋ＝∑［∑１（ｍ）ｚ〗］ＷＮＮｍ＝０ｚ＝ＷＫＧ３〗－ｋＮｋ＝０Ｎ－１∞１ｋｍ－ｎｋ＝Ｎ∑∑ｘ１（ｍ）ＷＮＷＮｋ＝０ｍ＝０∞Ｎ－１１ｋ（ｍ－ｎ）＝Ｎ∑ｘ１（ｍ）∑ＷＮｍ＝０ｋ＝０因为Ｎ－１ｋ（ｍ－ｎ）烄Ｎｍ－ｎ＝ｒＮ∑ＷＮ＝烅（ｒ为整数）ｋ＝０烆０ｍ－ｎ≠ｒＮ再考虑到ｍ为非负整数，于是有∞１ｘ（ｎ）＝∑ｘ１（ｎ＋ｒＮ）·ＮＮｒ＝０∞∞ｎ＋ｒＮｎ（ａＮ）ｒ＝∑ａ＝ａ∑ｒ＝０ｒ＝０ｎ＝ａ（０≤ｎ≤Ｎ－１）课后答案网Ｎ１－ａ由于０＜ａ＜１，故有０＜ａＮ＜１，上式中幂级数的收敛条件是满足的。槇３．１１设ｘ（ｎ）是周期为Ｎ的周期序列，线性时不变系统Ｈ（ｚ）的单位抽样响应槇ｈ（ｎ）是定义在０≤ｎ≤Ｎ－１区间的有限长序列。如果ｘ（ｎ）是系统Ｈ（ｚ）的输入信号，求证输出信号ｙ槇（ｎ）为Ｎ－１槇１－ｋ）槇－ｎｋｙ（ｎ）＝Ｎ∑Ｈ（ＷＮＸ（ｋ）ＷＮＫ＝０证系统函数Ｈ（ｚ）是冲激响应ｈ（ｎ）的ｚ变换：Ｎ－１－ｎＨ（ｚ）＝∑ｈ（ｎ）ｚｎ＝０而有限长序列ｈ（ｎ）的ＤＦＴ为：·２７· Ｎ－１ｎｋＨ（ｋ）＝∑ｈ（ｎ）ＷＮｎ＝０Ｎ－１－ｋ）－ｎ＝∑ｈ（ｎ）（ＷＮｎ＝０－ｋ）＝Ｈ（ｚ）－ｋ＝Ｈ（ＷＮｚ＝ＷＮ由于ｈ（ｎ）是ＬＴＩ系统，所以输出为Ｎ－１槇槇槇ｙ（ｎ）＝ｈ（ｎ）ｘ（ｎ）＝∑ｈ（ｍ）ｘ（ｎ－ｍ）ｍ＝０槇如果将ｈ（ｎ）作以Ｎ为周期的周期延拓得到ｈ（ｎ），那么上式说明，ｙ槇（ｎ）是周期序列槇槇ｈ（ｎ）与ｘ（ｎ）的周期卷积，故它们的ＤＦＳ有：槇槇槇Ｙ（ｋ）＝Ｈ（ｋ）Ｘ（ｋ）于是Ｎ－１槇槇１槇－ｎｋｙ（ｎ）＝ＩＤＦＳ［Ｙ（ｋ）］＝Ｎ∑Ｙ（ｋ）ＷＮｋ＝０Ｎ－１１槇槇－ｎｋ＝Ｎ∑Ｈ（ｋ）Ｘ（ｋ）ＷＮｋ＝０Ｎ－１１槇－ｎｋ＝Ｎ∑Ｈ（ｋ）Ｘ（ｋ）ＷＮｋ＝０Ｎ－１１－ｋ槇－ｎｋ＝∑Ｈ（ＷＮ）Ｘ（ｋ）ＷＮＮｋ＝０证毕。课后答案网３．１２长度为８的有限长序列ｘ（ｎ）的８点ＤＦＴ为Ｘ（ｋ），长度为１６的一个新序列定义为烄ｘ（ｎ）ｎ＝０，２，⋯，１４ｙ（ｎ）＝烅２烆０ｎ＝１，３，⋯，１５试用Ｘ（ｋ）来表示Ｙ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｙ（ｎ）］。解１５ｎｋＹ（ｋ）＝∑ｙ（ｎ）Ｗ１６ｎ＝０７７２ｒｋ（２ｒ＋１）ｋ＝∑ｙ（２ｒ）Ｗ１６＋∑ｙ（２ｒ＋１）Ｗ１６ｒ＝０ｒ＝０７ｒｋ＝∑ｘ（ｒ）Ｗ（ｋ＝０，１，⋯，１５）８ｒ＝０·２８· 而７ｎｋＸ（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）Ｗ（ｋ＝０，１，⋯，７）８ｎ＝０因此，当ｋ＝０，１，⋯，７时，Ｙ（ｋ）＝Ｘ（ｋ）；当ｋ＝８，９，⋯，１５时，令ｋ＝ｌ＋８（ｌ＝０，１，⋯，７），得到：７７ｒ（ｌ＋８）ｒｌＹ（ｌ＋８）＝∑ｘ（ｒ）Ｗ８＝∑ｘ（ｒ）Ｗ８＝Ｘ（ｌ）ｒ＝０ｒ＝０即Ｙ（ｋ）＝Ｘ（ｋ－８）于是有Ｘ（ｋ）ｋ＝０，１，⋯，７Ｙ（ｋ）＝｛Ｘ（ｋ－８）ｋ＝８，９，⋯，１５３．１３已知ｘ（ｎ）是长度为Ｎ的有限长序列，并且Ｘ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｘ（ｎ）］。现将ｘ（ｎ）的每相邻两点之间补进ｒ－１个零值点，得到一个长度为ｒＮ的有限长序列ｙ（ｎ），即有ｘ（ｎ／ｒ）ｎ＝ｉｒ，ｉ＝０，１，２，⋯，Ｎ－１ｙ（ｎ）＝｛其他０试求ＤＦＴ［ｙ（ｎ）］与Ｘ（ｋ）之间的关系。解ｒＮ－１ｎｋＹ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｙ（ｎ）］＝∑ｙ（ｎ）ＷｒＮ课后答案网ｎ＝０Ｎ－１ｉｒｋ＝∑ｙ（ｉｒ）ＷｒＮｉ＝０Ｎ－１ｉｋ＝∑ｘ（ｉ）Ｗ（ｋ＝０，１，⋯，ｒＮ－１）Ｎｉ＝０当ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１：Ｎ－１ｉｋＹ（ｋ）＝∑ｘ（ｉ）ＷＮ＝Ｘ（ｋ）ｉ＝０当ｋ＝ｌ＋ｍＮ，这里ｌ＝０，１，⋯，Ｎ－１，ｍ＝１，２，⋯，ｒ－１：Ｎ－１ｉ（ｌ＋ｍＮ）Ｙ（ｋ）＝Ｙ（ｌ＋ｍＮ）＝∑ｘ（ｉ）ＷＮｉ＝０Ｎ－１ｉｌ＝∑ｘ（ｉ）ＷＮ＝Ｘ（ｌ）＝Ｘ（ｋ－ｍＮ）ｉ＝０总结起来，有Ｙ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｙ（ｎ）］＝Ｘ（（ｋ）Ｎ）（ｋ＝０，１，⋯，ｒＮ－１）·２９· ３．１４已知ｘ１（ｎ）＝｛１，２，３，４｝，ｘ２（ｎ）＝｛１，０，１，０｝，求ｘ３（ｎ）＝ｘ１（ｎ）ｘ２（ｎ），并求ｘ槇（ｎ）与ｘ槇（ｎ）的周期卷积ｘ槇（３０）。１２３解下面用矩阵乘法求循环卷积ｘ３（ｎ）＝ｘ１（ｎ）ｘ２（ｎ）烄ｘ３（０）烌烄ｘ２（０）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ２（１）烌烄ｘ１（０）烌ｘ３（１）ｘ２（１）ｘ２（０）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ１（１）＝ｘ３（２）ｘ２（２）ｘ２（１）ｘ２（０）ｘ２（３）ｘ１（２）烆ｘ３（３）烎烆ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ２（１）ｘ２（０）烎烆ｘ１（３）烎烄１０１０烌烄１烌烄４烌０１０１２６＝＝１０１０３４烆０１０１烎烆４烎烆６烎而槇ｘ３（３０）＝ｘ３（（３０）４）＝ｘ３（２）＝４－ｎ０≤ｎ≤５ｎ＋１０≤ｎ≤２３．１５已知ｘ１（ｎ）＝｛其他，ｘ２（ｎ）＝｛其他，求循环卷积００ｘ３（ｎ）＝ｘ１（ｎ）ｘ２（ｎ），令Ｎ＝６。（ａ）用同心圆法（ｂ）用矩阵乘法解课后答案网ｘ１（ｎ）＝｛０，－１，－２，－３，－４，－５｝ｘ２（ｎ）＝｛１，２，３，０，０，０｝根据图Ｔ３．１５可以求得ｘ３（ｎ）＝｛－２２，－１６，－４，－１０，－１６，－２２｝（ａ）图Ｔ３．１５·３０· 烄ｘ３（０）烌烄ｘ２（０）ｘ２（５）ｘ２（４）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ２（１）烌烄ｘ１（０）烌ｘ３（１）ｘ２（１）ｘ２（０）ｘ２（５）ｘ２（４）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ１（１）ｘ３（２）ｘ２（２）ｘ２（１）ｘ２（０）ｘ２（５）ｘ２（４）ｘ２（３）ｘ１（２）（ｂ）＝ｘ３（３）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ２（１）ｘ２（０）ｘ２（５）ｘ２（４）ｘ１（３）ｘ３（４）ｘ２（４）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ２（１）ｘ２（０）ｘ２（５）ｘ１（４）烆ｘ３（５）烎烆ｘ２（５）ｘ２（４）ｘ２（３）ｘ２（２）ｘ２（１）ｘ２（０）烎烆ｘ１（５）烎烄１０００３２烌烄０烌烄－２２烌２１０００３－１－１６３２１０００－２－４＝＝０３２１００－３－１０００３２１０－４－１６烆０００３２１烎烆－５烎烆－２２烎两种方法的结果完全相同。３．１６计算上题的两个序列ｘ１（ｎ）和ｘ２（ｎ）的线性卷积ｙ（ｎ），与上题算出的ｘ３（ｎ）比较，说明ｘ（ｎ）中的哪些点相当于ｙ（ｎ）中对应的点。要使上题中的循环卷积与线性３卷积ｙ（ｎ）完全相同，循环卷积的长度最少为多少？解下面用排序法计算线性卷积：ｙ（ｎ）＝ｘ１（ｎ）ｘ２（ｎ）ｘ１（ｎ）课后答案网０－１－２－３－４－５ｘ２（－ｎ）３２１计算结果为ｎ０１２３４５６７ｙ（ｎ）０－１－４－１０－１６－２２－２２－１５线性卷积ｙ（ｎ）之长Ｎ＝６＋３－１＝８，而循环卷积ｘ（ｎ）长度为６，８－６＝２，因此，３ｘ３（ｎ）的前２个值是ｙ（ｎ）的前面２个值与后面２个值的混叠，ｘ３（ｎ）的后４个值才与ｙ（ｎ）中对应的值相同。要使ｘ３（ｎ）与ｙ（ｎ）完全相同，循环卷积的长度最少为８。３．１７用８ｋＨｚ的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了５１２点的ＤＦＴ。试确定频域抽样点之间的频率间隔，请分别计算出Δω、ΔΩ和Δｆ。解频域抽样点之间的频率间隔＝频域周期／一个周期的抽样点数·３１· 对于数字角频率：Δω＝２π／５１２＝０．０１２３ｒａｄ对于模拟角频率：ΔΩ＝Ωｓ／５１２＝２πｆｓ／５１２＝０．０１２３×８０００＝９８．４ｒａｄ／ｓ对于模拟频率：Δｆ＝ｆｓ／５１２＝８０００／５１２＝１５．６２５Ｈｚ３．１８利用ＤＦＴ对一模拟信号进行频谱分析，抽样间隔为Ｔｓ＝０．１ｍｓ，要求频率分辨率不大于１０Ｈｚ。（ａ）确定所允许处理信号的最高频率ｆ。ｍ（ｂ）问一个周期中的抽样点数最少是多少（必须是２的正整数幂）？（ｃ）确定信号的最小记录长度，也就是时域重复的一个周期的最小长度。解抽样频率为ｆ－３）＝１００００Ｈｚｓ＝１／Ｔｓ＝１／（０．１×１０（ａ）根据抽样定理，应当满足ｆ，所以ｓ≥２ｆｍｆｍ≤ｆｓ／２＝５０００因此所允许处理信号的最高频率为５０００Ｈｚ。（ｂ）根据要求，Δｆ≤１０Ｈｚ，故课后答案网Δω＝ΔΩ·Ｔｓ＝２πΔｆ／ｆｓ≤２π×１０／１００００＝π／５００一个周期中的抽样点数＝（２π／Δω）≥２π／（π／５００）＝１０００为了满足２的正整数幂的条件，一个周期中的抽样点数最少为Ｎ＝１０２４＝２１０。（ｃ）时域重复的一个周期的最小长度＝一个周期的最少抽样点数×时域抽样间隔－３＝ＮＴｓ＝１０２４×０．１×１０＝０．１０２４ｓ３．１９要利用重叠保留法来计算一个不定长序列ｘ（ｎ）通过一线性时不变系统ｈ（ｎ）的响应ｙ（ｎ），ｈ（ｎ）之长度为Ｍ＝５０。为此，将ｘ（ｎ）分段，每段长度Ｎ１＝６０，每次取出的各段必须重叠ｖ个样值，与ｈ（ｎ）进行１２８点循环卷积后所得结果中应该保留ｓ个样值，将这些从每一段保留的样值连接在一起时，得到的序列就是所要求的ｙ（ｎ）。（ａ）ｖ＝？（ｂ）ｓ＝？（ｃ）设循环卷积的输出序列序号为０～１２７，求保留的ｓ个点之起点序号与终点序号，即从循环卷积所得的１２８点中取出哪些点去和前后各段取出的点连接起来而得到ｙ（ｎ）。·３２· 解（ａ）每次取出的各段重叠的点数ｖ＝Ｍ－１＝４９（ｂ）循环卷积所得结果中应该保留的点数ｓ＝Ｎ１＝６０（ｃ）若循环卷积所得的序列序号为０～１２７，则保留的６０个点的起点序号为４９，终点序号为１０８。３．２０已知有限长序列ｘ（ｎ）（０≤ｎ≤Ｎ－１）的ＤＦＴ为Ｘ（ｋ），试利用Ｘ（ｋ）导出下列各序列的ＤＦＴ。（ａ）ｘ（Ｎ－１－ｎ）（０≤ｎ≤Ｎ－１）（ｂ）ｘ（２ｎ）（０≤ｎ＜Ｎ／２，Ｎ为偶数）烄ｘ（ｎ）０≤ｎ≤Ｎ－１（ｃ）ｙ（ｎ）＝烅烆０Ｎ≤ｎ≤２Ｎ－１解Ｎ－１ｎｋ（ａ）ＤＦＴ［ｘ（Ｎ－１－ｎ）］＝∑ｘ（Ｎ－１－ｎ）ＷＮｎ＝００（Ｎ－１－ｍ）ｋ＝∑ｘ（ｍ）ＷＮｍ＝Ｎ－１Ｎ－１（Ｎ－１）ｋ－ｍｋ课后答案网＝ＷＮ∑ｘ（ｍ）ＷＮｍ＝０－ｋ）Ｒ（ｋ）＝ＷＮＸ（（－ｋ）ＮＮＮ／２－１ｎｋ（ｂ）ＤＦＴ［ｘ（２ｎ）］＝∑ｘ（２ｎ）ＷＮ／２ｎ＝０Ｎ－２ｍｋ＝∑ｘ（ｍ）Ｗ２Ｎ／２ｍ＝０ｍ为偶数Ｎ－１１［ｘ（ｍ）＋（－１）ｍｍｋ＝∑ｘ（ｍ）］ＷＮｍ＝０２Ｎ－１Ｎ－１１［ｍｋ（－１）ｍｍｋ］＝２∑ｘ（ｍ）ＷＮ＋∑ｘ（ｍ）ＷＮｍ＝０ｍ＝０因为２π·（－Ｎ）－Ｎ（－１）ｍ＝（ｅｊπ）ｍ＝（ｅ－ｊＮ２）ｍ＝（Ｗ２）ｍＮ所以·３３· Ｎ－１Ｎ１－ｍｍｋＤＦＴ［ｘ（２ｎ）］＝［Ｘ（ｋ）＋∑ｘ（ｍ）Ｗ２Ｗ］２ＮＮｍ＝０Ｎ－１Ｎ１ｍ（ｋ－）＝［Ｘ（ｋ）＋∑ｘ（ｍ）Ｗ２］２Ｎｍ＝０＝１［Ｘ（ｋ）＋Ｘ（（ｋ－Ｎ））］（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）Ｎ２２２２Ｎ－１Ｎ－１ｎｋｎｋ（ｃ）ＤＦＴ［ｙ（ｎ）］＝∑ｙ（ｎ）Ｗ２Ｎ＝∑ｘ（ｎ）Ｗ２Ｎｎ＝０ｎ＝０Ｎ－１ｋｎｋ＝∑ｘ（ｎ）Ｗ２＝Ｘ（）（ｋ＝０，１，⋯，２Ｎ－１）Ｎ２ｎ＝０３．２１设ｘ（ｎ）＝ａｎ（０≤ｎ≤１３）；ｈ（ｎ）＝ｂｎ（０≤ｎ≤３）。先直接求线性卷积ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ｈ（ｎ），然后分别用重叠相加法和重叠保留法计算此线性卷积，按每段长为５进行分段（Ｎ）。比较３种方法所得结果。１＝５解①用排序法直接求线性卷积ａ０ａ１ａ２ａ３ａ４ａ５ａ６ａ７ａ８ａ９ａ１０ａ１１ａ１２ａ１３ｂ３ｂ２ｂ１ｂ０结果为：ｎ０１２ｙ（ｎ）ａ课后答案网０ｂ０ａ０ｂ１＋ａ１ｂ０ａ０ｂ２＋ａ１ｂ１＋ａ２ｂ０ｎ３４５ｙ（ｎ）ａ０ｂ３＋ａ１ｂ２＋ａ２ｂ１＋ａ３ｂ０ａ１ｂ３＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ１＋ａ４ｂ０ａ２ｂ３＋ａ３ｂ２＋ａ４ｂ１＋ａ５ｂ０ｎ６７８ｙ（ｎ）ａ３ｂ３＋ａ４ｂ２＋ａ５ｂ１＋ａ６ｂ０ａ４ｂ３＋ａ５ｂ２＋ａ６ｂ１＋ａ７ｂ０ａ５ｂ３＋ａ６ｂ２＋ａ７ｂ１＋ａ８ｂ０ｎ９１０１１ｙ（ｎ）ａ６ｂ３＋ａ７ｂ２＋ａ８ｂ１＋ａ９ｂ０ａ７ｂ３＋ａ８ｂ２＋ａ９ｂ１＋ａ１０ｂ０ａ８ｂ３＋ａ９ｂ２＋ａ１０ｂ１＋ａ１１ｂ０ｎ１２１３１４ｙ（ｎ）ａ９ｂ３＋ａ１０ｂ２＋ａ１１ｂ１＋ａ１２ｂ０ａ１０ｂ３＋ａ１１ｂ２＋ａ１２ｂ１＋ａ１３ｂ０ａ１１ｂ３＋ａ１２ｂ２＋ａ１３ｂ１ｎ１５１６ｙ（ｎ）ａ１２ｂ３＋ａ１３ｂ２ａ１３ｂ３·３４· ②重叠相加法ｘ（ｎ）按每段长为Ｎ１＝５进行分段，各段分别与ｈ（ｎ）进行线性卷积得到ｙｋ（ｎ）。ｘ０（ｎ）为：ａ０，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４ｙ０（ｎ）的序号：ｎ＝０，１，２，３，４，５，６，７ｘ１（ｎ）为：ａ５，ａ６，ａ７，ａ８，ａ９ｙ１（ｎ）的序号：ｎ＝５，６，７，８，９，１０，１１，１２ｘ２（ｎ）为：ａ１０，ａ１１，ａ１２，ａ１３ｙ２（ｎ）的序号：ｎ＝１０，１１，１２，１３，１４，１５，１６将ｎ相同的ｙ（ｎ）相加，最后得到的ｙ（ｎ）（ｎ＝０，１，⋯，１６）与线性卷积的结果完全ｋ相同。③重叠保留法ｘ（ｎ）仍然按照每段长为Ｎ１＝５进行分段，但是每段往前重叠４－１＝３点取出。取出的各段ｘ（ｎ）为：ｋｘ０（ｎ）：０，０，０，ａ０，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４ｘ１（ｎ）：ａ２，ａ３，ａ４，ａ５，ａ６，ａ７，ａ８，ａ９ｘ２（ｎ）：ａ７，ａ８，ａ９，ａ１０，ａ１１，ａ１２，ａ１３，０ｘｋ（ｎ）的长度均为５＋３＝８，ｘ０（ｎ）在前面补了３个０，而ｘ２（ｎ）因长度不够，在后面补了一个０。现在将ｈ（ｎ）后面补４个０，使其长度也为８，然后与各段ｘ（ｎ）分别进行８点循ｋ环卷积，得到各个循环卷积的结果ｙ′（ｎ）如下：ｋｙ′０（ｎ）ａ２ｂ３＋ａ３ｂ２＋ａ４ｂ１ａ３ｂ３＋ａ４ｂ２ａ４ｂ３ａ０ｂ０课后答案网ａ０ｂ１＋ａ１ｂ０ａ０ｂ２＋ａ１ｂ１＋ａ２ｂ０ａ０ｂ３＋ａ１ｂ２＋ａ２ｂ１＋ａ３ｂ０ａ１ｂ３＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ１＋ａ４ｂ０ｙ′１（ｎ）ａ２ｂ０＋ａ７ｂ３＋ａ８ｂ２＋ａ９ｂ１ａ２ｂ１＋ａ３ｂ０＋ａ８ｂ３＋ａ９ｂ２ａ２ｂ２＋ａ３ｂ１＋ａ４ｂ０＋ａ９ｂ３ａ２ｂ３＋ａ３ｂ２＋ａ４ｂ１＋ａ５ｂ０ａ３ｂ３＋ａ４ｂ２＋ａ５ｂ１＋ａ６ｂ０ａ４ｂ３＋ａ５ｂ２＋ａ６ｂ１＋ａ７ｂ０ａ５ｂ３＋ａ６ｂ２＋ａ７ｂ１＋ａ８ｂ０ａ６ｂ３＋ａ７ｂ２＋ａ８ｂ１＋ａ９ｂ０ｙ′２（ｎ）ａ７ｂ０＋ａ１２ｂ３＋ａ１３ｂ２ａ７ｂ１＋ａ８ｂ０＋ａ１３ｂ３ａ７ｂ２＋ａ８ｂ１＋ａ９ｂ０ａ７ｂ３＋ａ８ｂ２＋ａ９ｂ１＋ａ１０ｂ０ａ８ｂ３＋ａ９ｂ２＋ａ１０ｂ１＋ａ１１ｂ０ａ９ｂ３＋ａ１０ｂ２＋ａ１１ｂ１＋ａ１２ｂ０ａ１０ｂ３＋ａ１１ｂ２＋ａ１２ｂ１＋ａ１３ｂ０ａ１１ｂ３＋ａ１２ｂ２＋ａ１３ｂ１·３５· 将ｙ′（ｎ）、ｙ′（ｎ）、ｙ′（ｎ）的前３个值去掉，再将保留的各个值前后连接起来，就得到０１２ｙ（ｎ）的各个值，但是与前两种方法得到的ｙ（ｎ）比较，少了最后两个，即ｙ（１５）和ｙ（１６）。这是因为前两种方法所做的都是线性卷积，得到了完整的结果，这些结果包括了ｈ（ｎ）部分地移出ｘ（ｎ）所在区间的ｙ（ｎ）的最后３个值，即ｙ（１４）、ｙ（１５）和ｙ（１６）；在用重叠保留法时，如果要得到ｙ（ｎ）的全部结果，则ｘ（ｎ）后面应该补３个０，但是为了使每段循环卷积的长度都相同（８点），就在ｘ（ｎ）后面只补了一个０，这样所得到的循环卷积ｙ′（ｎ）的２２后面当然就少了两个值。课后答案网·３６· 第４章快速傅里叶变换４．１如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要４００ｎｓ，每次复加需要５０ｎｓ，今用来计算Ｎ＝１０２４点的ＤＦＴ，问直接运算需要多少时间？用基２ＦＦＴ运算需要多少时间？解直接计算，需要复乘Ｎ２次，复加Ｎ（Ｎ－１）次，故共需时间为：２Ｔ１＝Ｎ×４００ｎｓ＋Ｎ（Ｎ－１）×５０ｎｓ＝０．４２ｓ＋０．０５２４ｓ＝０．４７２４ｓ用基２ＦＦＴ计算，需要复乘Ｎｌｏｇ２Ｎ次，复加Ｎｌｏｇ次，故共需时间为：２Ｎ２２ＮＮＴ２＝ｌｏｇ２×４００ｎｓ＋Ｎｌｏｇ２Ｎ×５０ｎｓ课后答案网２２＝０．００１８４ｓ＋０．０００５１２ｓ＝０．００２３５２ｓ４．２一通用微处理器的速度为平均每次复乘需４０ｎｓ，每次复加需４ｎｓ。如果要求该处理器用基２ＦＦＴ算法进行实时频谱分析，信号按每段长为５１２点分段。（ａ）每秒钟能够处理多少段信号？（ｂ）最高抽样频率为多少？（ｃ）能够进行实时处理的信号的最高频率是多少？如果采用ＤＦＴ定义直接计算，重新回答上述３个问题。解①采用基２ＦＦＴ算法（ａ）处理一段信号所需时间：Ｔ１＝（５１２／２）ｌｏｇ２（５１２／２）×４０＋５１２ｌｏｇ２５１２×４＝８１９２０＋１８４３２＝１００３５２ｎｓ·３７· 所以每秒钟能够处理１／Ｔ／（１００３５２×１０－９）≈９９６５段信号。１＝１（ｂ）每秒钟的抽样点数：５１２×９９６５＝５１０２０８０故最高抽样频率为ｆ。ｓ＝５１０２．０８ｋＨｚ（ｃ）能够进行实时处理的信号的最高频率为ｆｓ／２≈５１００／２＝２５５０ｋＨｚ②采用ＤＦＴ定义直接计算（ａ）处理一段信号所需时间：２Ｔ２＝５１２×４０＋５１２×５１１×４＝１０４８５７６０＋１０４６５２８＝１１５３２２８８ｎｓ所以每秒钟能够处理１／Ｔ／（１１５３２２８８×１０－９）≈８７段信号。２＝１（ｂ）每秒钟的抽样点数：５１２×８７＝４４５４４故最高抽样频率为ｆ。ｓ＝４４５４４Ｈｚ（ｃ）能够进行实时处理的信号的最高频率为ｆｓ／２＝４４５４４／２＝２２２７２Ｈｚ≈２２ｋＨｚ。４．３已知ｘ（ｎ）长度为４，并且ｘ（ｎ）＝３（ｎ＋１）（ｎ＝０，１，２，３）。按照基２ＦＦＴ算法的信号流图计算Ｘ（ｋ），请写出流图中各个节点处的值。解信号流图如图课后答案网Ｔ４．３所示：图Ｔ４．３ｘ（０）＝３Ａ１＝ｘ（０）＋ｘ（２）＝１２Ｂ１＝Ａ１＝１２Ｘ（０）＝Ｂ１＋Ｂ３＝３０ｘ（１）＝６Ａ２＝ｘ（０）－ｘ（２）＝－６Ｂ２＝Ａ２＝－６Ｘ（１）＝Ｂ２＋Ｂ４＝－６＋６ｊｘ（２）＝９Ａ３＝ｘ（１）＋ｘ（３）＝１８Ｂ３＝Ａ３·Ｗ０（２）＝Ｂ４＝Ａ３＝１８Ｘ１－Ｂ３＝－６１－ｊ２π／４ｘ（３）＝１２Ａ４＝ｘ（１）－ｘ（３）＝－６Ｂ４＝Ａ４·Ｗ４＝－６ｅＸ（３）＝Ｂ２－Ｂ４＝－６－６ｊ＝－６（－ｊ）＝６ｊ·３８· ４．４已知一线性时不变系统的冲激响应为ｈ（ｎ），试用计算机分析其频谱，即求出Ｈ（ｋ）（０≤ｋ≤２０）。ｈ（０）＝ｈ（２０）＝０．０００３６５４２ｈ（１）＝ｈ（１９）＝０．００１１３７１２ｈ（２）＝ｈ（１８）＝０ｈ（３）＝ｈ（１７）＝－０．００６３７９９０ｈ（４）＝ｈ（１６）＝－０．０１６９８８２２ｈ（５）＝ｈ（１５）＝－０．０２０９２６１６ｈ（６）＝ｈ（１４）＝０ｈ（７）＝ｈ（１３）＝０．０５７５８０９９ｈ（８）＝ｈ（１２）＝０．１４１６８９８６ｈ（９）＝ｈ（１１）＝０．２１８６７６１９ｈ（１０）＝０．２５解按照基２时间抽选的ＦＦＴ算法，用高级语言编写计算机程序，运行后输出结果如下：Ｈ（０）＝１．０００３１１＋ｊ０．００００００Ｈ（１）＝－０．９７０９３８－ｊ０．１４６３４５Ｈ（２）＝０．７３５５５７＋ｊ０．２２６８８９Ｈ（３）＝－０．２９７３８７－ｊ０．１４３２１４Ｈ（４）＝０．０课后答案网３６０１９＋ｊ０．０２４５５７Ｈ（５）＝０．０００４２１＋ｊ０．０００３９０Ｈ（６）＝０．００００５０＋ｊ０．００００６３Ｈ（７）＝－０．００００１７－ｊ０．００００３０Ｈ（８）＝－０．００００１６－ｊ０．００００４１Ｈ（９）＝－０．０００００７－ｊ０．００００３０Ｈ（１０）＝－０．０００００１－ｊ０．００００１０Ｈ（１１）＝－０．０００００１＋ｊ０．００００１０Ｈ（１２）＝－０．０００００７＋ｊ０．００００３０Ｈ（１３）＝－０．００００１６＋ｊ０．００００４１Ｈ（１４）＝－０．００００１７＋ｊ０．００００３０Ｈ（１５）＝０．００００５０－ｊ０．００００６３Ｈ（１６）＝０．０００４２１－ｊ０．０００３９０Ｈ（１７）＝０．０３６０１９－ｊ０．０２４５５７Ｈ（１８）＝－０．２９７３８７＋ｊ０．１４３２１５Ｈ（１９）＝０．７３５５５６－ｊ０．２２６８９０Ｈ（２０）＝－０．９７０９３７＋ｊ０．１４６３４９４．５画出Ｎ＝１６的基２时间抽选的ＦＦＴ算法的信号流图。解·３９· 参见图Ｔ４．５。图Ｔ４．５４．６用高级语言编程上机练习。已知烄ｎＱ０≤ｎ≤Ｎ－１５课后答案网ｘ（ｎ）＝烅Ｎ＝２烆０ｎ＜０，ｎ≥Ｎ这里Ｑ＝０．９＋ｊ０．３。可以推导出Ｎ－１Ｎ－１Ｎｎｋ（ＱＷｋ）ｎ１－Ｑ（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）Ｘ（ｋ）＝∑ｘ（ｎ）ＷＮ＝∑Ｎ＝ｋｎ＝０ｎ＝０１－ＱＷＮ首先根据这个式子计算Ｘ（ｋ）的理论值，然后计算输入序列ｘ（ｎ）的３２个值，再利用基２时间抽选的ＦＦＴ算法，计算ｘ（ｎ）的ＤＦＴＸ（ｋ），与Ｘ（ｋ）的理论值比较（要求计算结果最少６位有效数字）。解程序运行结果输出数据如下：输入序列ｘ（ｎ）：ｘ［０］＝１．００００００＋ｊ０．００００００ｘ［１］＝０．９０００００＋ｊ０．３０００００ｘ［２］＝０．７２００００＋ｊ０．５４００００ｘ［３］＝０．４８６０００＋ｊ０．７０２０００ｘ［４］＝０．２２６８００＋ｊ０．７７７６００ｘ［５］＝－０．０２９１６０＋ｊ０．７６７８８０·４０· ｘ［６］＝－０．２５６６０８＋ｊ０．６８２３４４ｘ［７］＝－０．４３５６５０＋ｊ０．５３７１２７ｘ［８］＝－０．５５３２２４＋ｊ０．３５２７１９ｘ［９］＝－０．６０３７１７＋ｊ０．１５１４８０ｘ［１０］＝－０．５８８７８９－ｊ０．０４４７８３ｘ［１１］＝－０．５１６４７６－ｊ０．２１６９４１ｘ［１２］＝－０．３９９７４６－ｊ０．３５０１９０ｘ［１３］＝－０．２５４７１４－ｊ０．４３５０９５ｘ［１４］＝－０．０９８７１４－ｊ０．４６７９９９ｘ［１５］＝０．０５１５５７－ｊ０．４５０８１４ｘ［１６］＝０．１８１６４５－ｊ０．３９０２６５ｘ［１７］＝０．２８０５６０－ｊ０．２９６７４５ｘ［１８］＝０．３４１５２８－ｊ０．１８２９０３ｘ［１９］＝０．３６２２４６－ｊ０．０６２１５４ｘ［２０］＝０．３４４６６７＋ｊ０．０５２７３５ｘ［２１］＝０．２９４３８０＋ｊ０．１５０８６２ｘ［２２］＝０．２１９６８４＋ｊ０．２２４０９０ｘ［２３］＝０．１３０４４８＋ｊ０．２６７５８６ｘ［２４］＝０．０３７１６４＋ｊ０．２７９９７４ｘ［２５］＝－０．０５０５４５＋ｊ０．２６３１２５ｘ［２６］＝－０．１２４４２８＋ｊ０．２２１６４９ｘ［２７］＝－０．１７８４８０＋ｊ０．１６２１５６ｘ［２８］＝－０．２０９２７９＋ｊ０．０９２３９７ｘ［２９］＝－０．２１６０７０＋ｊ０．０２０３７３ｘ［３０］＝－０．２００５７５－ｊ０．０４６４８５ｘ［３１］＝－０．１６６５７２－ｊ０．１０２００９在现在所用的一般计算机中，如果采用的是浮点算法，那么按６位有效数字来打印输出数据时，Ｘ（ｋ）的理论值与用ＦＦＴ算法得到的Ｘ（ｋ）之间是没有差别的，只有在小数点后面１５位以上，才能够看到二者之间的差别。因此，所得到的Ｘ（ｋ）的数据如下：Ｘ［０］＝０．６９３９７３＋ｊ３．４９９７１６Ｘ［１］＝２．７９２２６８＋ｊ８．０５０４５６Ｘ［２］＝９．４０２９６５－ｊ９．１３５０１４Ｘ［３］＝１．８６６４４５－ｊ３．８３３８３３Ｘ［４］＝１．１３１８２３－ｊ２．２３４１５７Ｘ［５］＝０．９０４７９４－ｊ１．５３４６２９Ｘ［６］＝０．７９９５５７－ｊ１．１３９６０９Ｘ［７］＝０．７３９６０６－ｊ０．８８２３１４Ｘ［８］＝０．７００８６２－课后答案网ｊ０．６９８５６５Ｘ［９］＝０．６７３５７６－ｊ０．５５８４７８Ｘ［１０］＝０．６５３１０９－ｊ０．４４６２４５Ｘ［１１］＝０．６３６９９１－ｊ０．３５２６８９Ｘ［１２］＝０．６２３７８８－ｊ０．２７２０８６Ｘ［１３］＝０．６１２６１３－ｊ０．２００６４２Ｘ［１４］＝０．６０２８８３－ｊ０．１３５７０３Ｘ［１５］＝０．５９４２００－ｊ０．０７５３１３Ｘ［１６］＝０．５８６２７７－ｊ０．０１７９４９Ｘ［１７］＝０．５７８９００＋ｊ０．０３７６５２Ｘ［１８］＝０．５７１８９８＋ｊ０．０９２６０７Ｘ［１９］＝０．５６５１３６＋ｊ０．１４７９８３Ｘ［２０］＝０．５５８４９２＋ｊ０．２０４８８１Ｘ［２１］＝０．５５１８５９＋ｊ０．２６４５２２Ｘ［２２］＝０．５４５１３４＋ｊ０．３２８３６５Ｘ［２３］＝０．５３８２１４＋ｊ０．３９８２５７Ｘ［２４］＝０．５３１００２＋ｊ０．４７６６７８Ｘ［２５］＝０．５２３４０４＋ｊ０．５６７１３２Ｘ［２６］＝０．５１５３６２＋ｊ０．６７４８５０Ｘ［２７］＝０．５０６９２６＋ｊ０．８０８１０１Ｘ［２８］＝０．４９８４６７＋ｊ０．９８０９０６Ｘ［２９］＝０．４９１３８９＋ｊ１．２１９２０７Ｘ［３０］＝０．４９０７３２＋ｊ１．５７７０８２Ｘ［３１］＝０．５１７３５４＋ｊ２．１８８８３３·４１· ４．７设ｘ（ｎ）是一个长度为Ｎ、定义在区间０≤ｎ≤Ｎ－１的实序列，现在对其进行频谱分析，频率抽样点ｚ在单位圆上均匀分布，即有ｚｊ（２π／Ｍ）ｋ（ｋ＝０，１，⋯，Ｍ－１），ｋｋ＝ｅ而Ｍ为２的正整数幂。要求用一次Ｍ点基２ＦＦＴ算法求出ｘ（ｎ）的ｚ变换，即频谱Ｘ（ｚｋ），试问在下面各种情况下，分别如何进行有效的处理？（ａ）Ｍ＝Ｎ（ｂ）Ｍ＞Ｎ（ｃ）Ｍ＜Ｎ＜２Ｍ解（ａ）Ｍ＝Ｎ时，要求的Ｘ（ｚ）就是ｘ（ｎ）的ＤＦＴ，即Ｘ（ｋ），因此，用一次Ｍ点基２ｋＦＦＴ算法就可以求出。（ｂ）Ｍ＞Ｎ表示频谱抽样点数大于时域序列ｘ（ｎ）的长度，这时只需要在ｘ（ｎ）的后面补Ｍ－Ｎ个０，使其长度与Ｍ相等，就可以用一次Ｍ点基２ＦＦＴ算法得到Ｘ（ｋ），也即Ｍ个点上的频谱Ｘ（ｚ）。ｋ（ｃ）当Ｍ＜Ｎ＜２Ｍ时，可以在ｘ（ｎ）后面补２Ｍ－Ｎ个０，于是得到一个长度为２Ｍ的实序列ｘ（ｎ），再将它按奇偶分组得到两个长度为Ｍ的实序列，然后将这两个实序列组合成一个长度为Ｍ的复序列，用一次Ｍ点基２ＦＦＴ算法就可以同时得到这两个实序列的ＤＦＴ，再将这两个ＤＦＴ适当组合，就可以得到２Ｍ点的ＤＦＴ，这就是ｘ（ｎ）的２Ｍ个频谱值，而２Ｍ个频率抽样点是均匀地分布在单位圆上的，因此，最后只需要从ｋ＝０开始，每隔一个频谱值取出一个，就得到了要求的在单位圆上均匀分布的Ｍ个抽样点上的频谱Ｘ（ｚ）。ｋ４．８对信号课后答案网ｘ（ｔ）＝ｅ－０．１ｔ（ｔ≥０）进行频谱分析。（ａ）根据傅里叶变换求出其频谱Ｘ（Ω）的表达式。（ｂ）如果用Ｔ的抽样周期对ｘ（ｔ）抽样，求所得离散信号的频谱的重复周ｓ＝０．７５ｓ期Ω。ｓ（ｃ）求｜Ｘ（Ω／２）｜与｜Ｘ（Ω）｜的最大值的比值ｃ。ｓ（ｄ）如果要用基２ＦＦＴ算法来求出该信号的离散频谱，设时域重复周期为Ｔ，并且１要求ｘ（Ｔ）与ｘ（ｔ）的最大值之比值不大于ｃ，问时域的抽样点数Ｎ最少为多少？所对１应的Ｔ？１＝解∞∞（ａ）Ｘ（Ω）＝－ｊΩｔ－０．１ｔ－ｊΩｔ∫ｘ（ｔ）ｅｄｔ＝∫ｅｅｄｔ－∞０∞－１－（０．１＋ｊΩ）ｔ１＝ｅ＝０．１＋ｊΩ００．１＋ｊΩ·４２· （ｂ）Ω／Ｔ／０．７５≈８．４ｒａｄ／ｓｓ＝２πｓ＝２π（ｃ）Ｘ（Ω）＝０．１＋ｊΩ－１＝（０．１２＋Ω２）－１／２显然，当Ω＝０时｜Ｘ（Ω）｜取最大值：｜Ｘ（０）｜＝（０．１２）－１／２＝１０而｜Ｘ（Ω２２）－１／２ｓ／２）｜＝｜Ｘ（４．２）｜＝（０．１＋４．２≈０．２３８所以ｃ＝｜Ｘ（Ωｓ／２）｜／｜Ｘ（０）｜＝０．２３８／１０≈０．０２４（ｄ）显然，所给的指数函数信号ｘ（ｔ）当ｔ＝０时取最大值：－０．１×０ｘ（０）＝ｅ＝１按题意要求ｘ（Ｔ１）／ｘ（０）＝ｘ（Ｔ１）≤ｃ＝０．０２４而－０．１Ｔｘ（Ｔ１）＝ｅ１于是由ｅ－０．１Ｔ１≤０．０２４得到：－０．１Ｔ１≤ｌｎ０．０２４≈－３．７３由此得到Ｔ；又知道Ｔ，Ｎ为一个周期的抽样点数。故应该要求ＮＴ，１≥３７．３ｓ１＝ＮＴｓｓ≥３７．３于是课后答案网Ｎ≥３７．３／Ｔｓ＝３７．３／０．７５≈４９．７因为要用基２ＦＦＴ算法来求频谱，因此要求Ｎ为２的正整数幂，故Ｎ的最小值为６２＝６４，此时时域重复周期Ｔ１＝６４Ｔｓ＝６４×０．７５＝４８ｓ４．９已知两个Ｎ点实序列ｕ（ｎ）和ｖ（ｎ）的ＤＦＴ分别为Ｕ（ｋ）和Ｖ（ｋ），现在需要求出序列ｕ（ｎ）和ｖ（ｎ），试用一次Ｎ点ＩＦＦＴ运算来实现。解令ｘ（ｎ）＝ｕ（ｎ）＋ｊｖ（ｎ）根据ＤＦＴ的线性有Ｘ（ｋ）＝Ｕ（ｋ）＋ｊＶ（ｋ）这里离散频谱Ｘ（ｋ）、Ｕ（ｋ）、Ｖ（ｋ）都是复序列。用下标ｒ、ｉ分别表示实部和虚部，则有Ｘ（ｋ）＝Ｘｒ（ｋ）＋ｊＸｉ（ｋ）Ｕ（ｋ）＝Ｕｒ（ｋ）＋ｊＵｉ（ｋ）Ｖ（ｋ）＝Ｖｒ（ｋ）＋ｊＶｉ（ｋ）·４３· 于是有Ｘｒ（ｋ）＋ｊＸｉ（ｋ）＝Ｕｒ（ｋ）＋ｊＵｉ（ｋ）＋ｊ［Ｖｒ（ｋ）＋ｊＶｉ（ｋ）］＝［Ｕｒ（ｋ）－Ｖｉ（ｋ）］＋ｊ［Ｕｉ（ｋ）＋Ｖｒ（ｋ）］所以有Ｘｒ（ｋ）＝Ｕｒ（ｋ）－Ｖｉ（ｋ）Ｘｉ（ｋ）＝Ｕｉ（ｋ）＋Ｖｒ（ｋ）因此，由Ｕ（ｋ）和Ｖ（ｋ）的实部和虚部按照上面的两个式子分别得到Ｘ（ｋ）的实部和虚部，也就是得到Ｘ（ｋ）之后，作一次Ｎ点的复数ＩＦＦＴ运算，就得到ｘ（ｎ），而ｘ（ｎ）的实部就是ｕ（ｎ），虚部就是ｖ（ｎ）。于是用一次Ｎ点ＩＦＦＴ运算就同时得到了两个Ｎ点实序列ｕ（ｎ）和ｖ（ｎ）。４．１０已知长度为２Ｎ的实序列ｘ（ｎ）的ＤＦＴＸ（ｋ）的各个数值（ｋ＝０，１，⋯，２Ｎ－１），现在需要由Ｘ（ｋ）计算ｘ（ｎ），为了提高效率，请设计用一次Ｎ点ＩＦＦＴ来完成。解如果将ｘ（ｎ）按奇偶分为两组，即令ｕ（ｎ）＝ｘ（２ｎ）烌烍ｎ＝０，１，⋯，Ｎ－１ｖ（ｎ）＝ｘ（２ｎ＋１）烎那么就有Ｘ（ｋ）＝Ｕ（ｋ）＋Ｗｋ（ｋ）烌２ＮＶ课后答案网烍ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１Ｘ（ｋ＋Ｎ）＝Ｕ（ｋ）－Ｗｋ（ｋ）烎２ＮＶ其中Ｕ（ｋ）、Ｖ（ｋ）分别是实序列ｕ（ｎ）、ｖ（ｎ）的Ｎ点ＤＦＴ，Ｕ（ｋ）、Ｖ（ｋ）可以由上式解出：Ｕ（ｋ）＝１［Ｘ（ｋ）＋Ｘ（ｋ＋Ｎ）］烌２烍ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１Ｖ（ｋ）＝１Ｗ－ｋ［Ｘ（ｋ）－Ｘ（ｋ＋Ｎ）］２２Ｎ烎由于Ｘ（ｋ）（ｋ＝０，１，⋯，２Ｎ－１）是已知的，因此可以将Ｘ（ｋ）前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了Ｕ（ｋ）和Ｖ（ｋ）。到此，就可以像４．９题那样来处理了，也即令ｙ（ｎ）＝ｕ（ｎ）＋ｊｖ（ｎ）根据Ｕ（ｋ）、Ｖ（ｋ），作一次Ｎ点ＩＦＦＴ运算，就可以同时得到ｕ（ｎ）和ｖ（ｎ）（ｎ＝０，１，⋯，Ｎ－１），它们分别是ｘ（ｎ）的偶数点和奇数点序列，于是序列ｘ（ｎ）（ｎ＝０，１，⋯，２Ｎ－１）也就求出了。·４４· ４．１１在下列说法中选择正确的结论。Ｃｈｉｒｐｚ变换可以用来计算一个有限时宽序列ｈ（ｎ）在ｚ平面实ｚ轴上诸点｛ｚ｝的ｚ变换Ｈ（ｚ），而ｚ的表达式为ｋｋ（ａ）ｚｋ，ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１，ａ为实数，ａ≠０，ａ≠±１。ｋ＝ａ（ｂ）ｚ，ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１，ａ为实数，ａ≠０。ｋ＝ａｋ（ｃ）（ａ）和（ｂ）两者都行。（ｄ）（ａ）和（ｂ）两者都不行，即Ｃｈｉｒｐｚ变换不能计算ｚ为实数抽样时的Ｈ（ｚ）。解用ＣＺＴ算法求ｚ变换的ｚ平面上的点的表示式为－ｋｚｋ＝ＡＷ其中：ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１；Ａ＝Ａｊθ０，Ｗ＝Ｗ－ｊφ０，Ａ、Ｗ为正实数。０ｅ０ｅ００（ａ）ｚｋ，可以认为Ａ＝１，Ｗ＝ａ－１，于是ｋ＝ａＭ－１Ｍ－１－ｎ－ｎｋＨ（ｚｋ）＝∑ｈ（ｎ）ｚｋ＝∑ｈ（ｎ）ａｎ＝０ｎ＝０在推导出的ＣＺＴ算法最后的表达式２ｎ／２［ｙ（ｎ）ｘ（ｎ）］Ｈ（ｚｎ）＝Ｗ中２２－ｎｎ／２－ｎ／２烄ｙ（ｎ）＝ｈ（ｎ）ＡＷ＝ｈ（ｎ）ａ烅２２烆－ｎ／２ｎ／２ｘ（ｎ）＝Ｗ＝ａ于是可以用ＣＺＴ算法求得Ｈ（ｚ）（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）。ｋ（ｂ）ｚｋ＝ａｋ，课后答案网这时变量ｋ是ｚｋ的因子，而不在指数上，因此在Ｈ（ｚｋ）的表达式中不会出现“ｎｋ”形式的指数，故不能用ＣＺＴ算法来求ｚ变换Ｈ（ｚ）。ｋ因此，应该选择（ａ）。４．１２设ｘ（ｎ）是一个Ｍ点（０≤ｎ≤Ｍ－１）的有限长序列，其ｚ变换为Ｍ－１－ｎＸ（ｚ）＝∑ｘ（ｎ）ｚｎ＝０令Ｘ（ｚ）在单位圆上Ｎ个等间隔点上的抽样Ｘ（ｚ）为ｋ２πｊｋＸ（ｚｋ）＝Ｘ（ｚ）ｚ＝ｚ（ｚｋ＝ｅＮ，ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）ｋ这里Ｍ和Ｎ都是较大的正整数，问如何用ＣＺＴ算法快速算出全部Ｎ点Ｘ（ｚ）值来。ｋ解２π－ｋｊＮｋ（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）ｚｋ＝ＡＷ＝ｅ·４５· 于是有烄Ａ＝１烅ｊ２π／Ｎ（Ｗ０＝１，φ０＝２π／Ｎ）烆Ｗ－１＝ｅＣＺＴ算法：２ｎ／２［ｙ（ｎ）ｈ（ｎ）］（ｎ＝０，１，⋯，Ｎ－１）Ｘ（ｚｎ）＝Ｗ其中：２π２ｎ／２－ｊＮｎＷ＝ｅ２π２－ｎｎ／２－ｊＮｎ（ｎ＝０，１，⋯，Ｍ－１）ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ＡＷ＝ｘ（ｎ）ｅ２π２－ｎ／２ｊＮｎｈ（ｎ）＝Ｗ＝ｅ线性卷积ｇ（ｎ）＝ｙ（ｎ）ｈ（ｎ）（ｎ＝０，１，⋯，Ｎ－１）拟用Ｌ点循环卷积来计算：Ｌ－１槇ｇＬ（ｎ）＝ｙ（ｎ）ｈ′（ｎ）＝［∑ｙ（ｒ）ｈ′（ｎ－ｒ）］ＲＬ（ｎ）ｒ＝０而该循环卷积可以用基２ＦＦＴ算法来快速实现，为此，令ｓＬ＝Ｍ＋Ｎ－１＋Ｋ＝２这里，ｓ是满足此关系的最小正整数，ｓ确定后，再取Ｋ为满足此关系的最小正整数或０。而ｈ′（ｎ）如下选取：课后答案网２烄－ｎ／２ｈ（ｎ）＝Ｗ０≤ｎ≤Ｎ－１ｈ′（ｎ）＝烅任意值Ｎ≤ｎ≤Ｎ＋Ｋ－１２烆－（ｎ－Ｌ）／２１ｈ（ｎ－Ｌ）＝ＷＮ＋Ｋ≤ｎ≤Ｌ－当然，也要在ｙ（ｎ）后面补Ｎ－１＋Ｋ个０，使其长度为Ｌ。于是ｇＬ（ｎ）＝ＩＦＦＴ［Ｙ（ｋ）Ｈ′（ｋ）］但是，对于这个Ｌ点的ＩＦＦＴ，只需要取出ｇ（ｎ）的前Ｎ个值，即为所需的ｇ（ｎ），再乘以Ｌ２ｎ／２就得到所要求的Ｘ（ｚ）。Ｗｎ４．１３已知ｘ（ｎ）当０≤ｎ≤７时等于１，ｎ为其他值时ｘ（ｎ）均为０。ｚ平面路径为：Ａ０＝０．６，θ０＝π／３，Ｗ０＝１．２，φ０＝２π／２０。用ＣＺＴ算法计算复频谱Ｘ（ｚｋ）（ｋ＝０，１，⋯，９）要求：·４６· （１）画出ｚ的路径；ｋ（２）写出ｙ（ｎ）、ｈ（ｎ）的表达式；（３）当利用循环卷积ｇ（ｎ）＝ｙ（ｎ）ｈ′（ｎ）来计算线性卷积ｇ（ｎ）＝ｙ（ｎ）ｈ（ｎ）Ｌ时，写出ｈ′（ｎ）的分段表达式；（４）若计算循环卷积时需用基２ＦＦＴ，写出ｈ′（ｎ）的分段表达式。解（１）参见图Ｔ４．１３。课后答案网图Ｔ４．１３－ｊφ－ｊπ／１０（２）Ｗ＝Ｗ０＝１．２ｅ０ｅｊθｊπ／３Ａ＝Ａ００ｅ＝０．６ｅ２－ｎｎ／２ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ＡＷ２２－ｎ－ｊｎπ／３·１．２ｎ／２－ｊｎπ／２０（ｎ＝０，１，⋯，７）＝０．６ｅｅ２２２－ｎ／２－ｎ／２ｊｎπ／２０ｈ（ｎ）＝Ｗ＝１．２ｅ烄ｈ（ｎ）０≤ｎ≤Ｍ－１＝９（３）ｈ′（ｎ）＝烅烆ｈ（ｎ－Ｌ）１０≤ｎ≤Ｌ－１（Ｌ＝Ｍ＋Ｎ－１＝１０＋８－１＝１７）此时１７点循环卷积ｇ（ｎ）的前１０个值即为所需要的线性卷积ｇ（ｎ）。Ｌ·４７· 烄ｈ（ｎ）０≤ｎ≤９（４）ｈ′（ｎ）＝烅０（任意数）１０≤ｎ≤２４烆ｈ（ｎ－３２）２５≤ｎ≤３１（Ｍ＋Ｎ－１＋Ｋ＝１０＋８－１＋１５＝３２＝２５）此时用基２３２点ＦＦＴ和ＩＦＦＴ计算循环卷积ｇ（ｎ）＝ｙ（ｎ）ｈ′（ｎ），取其结果的前１０Ｌ个值即为所需要的ｇ（ｎ）。课后答案网·４８· 第６章ＩＩＲ数字滤波器的原理及设计６．１模拟低通滤波器的指标如图Ｐ６．１所示。课后答案网图Ｐ６．１（ａ）计算Ｂ型滤波器的参数Ω和Ｎ。ｃ（ｂ）计算Ｃ型滤波器的参数ε和Ｎ。解（ａ）令通带边界频率为基准频率，则通带边界的标称频率Ω，而阻带边界的标称１＝１频率Ω２＝４５００Ｈｚ／３０００Ｈｚ＝１．５Ｂ型滤波器的平方幅度特性：２１１Ｈａ（ｊΩ）＝２Ｎ＝２Ｎ１＋（Ω／Ωｃ）１＋（１）Ω２ＮΩｃ对于通带边界：２１２Ｈａ（ｊΩ１）＝２Ｎ＝０．９１＋（１／Ωｃ）·４９· 于是得到２２Ｎ１Ｂ＝（１／Ωｃ）＝２－１＝０．２３４５７０．９对于阻带边界：２１２Ｈａ（ｊΩ２）＝２２Ｎ＝０．１１＋ＢΩ２于是得到（１／０．１２）－１９９２ＮΩ２＝２＝＝４２２．０５Ｂ０．２３４５７而Ω，故有２＝１．５２Ｎ＝ｌｇ４２２．０５／ｌｇ１．５＝１４．９０９于是取Ｎ＝８。再由２２ＮＢ＝（１／Ωｃ）有－１６２Ωｃ＝Ｂ＝０．２３４５７故－１／１６Ωｃ＝０．２３４５７＝１．０９５于是实际的截止频率Ω′ｃ＝ΩｃΩ′１＝１．０９５×２π×３０００＝２０６４０ｒａｄ／ｓ（ｂ）在（ａ）中已得到通带边界和阻带边界标称频率分别为Ω，Ω。１＝１２＝１．５由１２２＝０．９＝０．８１课后答案网１＋ε得到２１ε＝－１＝０．２３４５７０．８１故ε＝０．４８４３２。由阻带要求有２１２Ｈａ（ｊΩ２）＝２２（Ω）≤０．１＝０．０１１＋εＣＮ２故有Ｃ２（Ω）＝Ｃ２（１．５）≥１／０．０１－１＝４２２．０５Ｎ２Ｎ２ε于是有ＣＮ（１．５）≥２０．５４４递推公式ＣＮ＋１（１．５）＝３ＣＮ（１．５）－ＣＮ－１（１．５）·５０· 烄Ｃ２（１．５）＝３×１．５－１＝３．５由Ｃ０（１．５）＝１，Ｃ１（１．５）＝１．５，可以得到烅Ｃ３（１．５）＝３×３．５－１．５＝９烆Ｃ４（１．５）＝３×９－３．５＝２３．５＞２０．５４４因此Ｎ＝４。６．２求Ｎ＝３时０．５ｄＢ模拟低通Ｃ型滤波器的系统函数。解由ＲＷ２）ｄＢ＝１０ｌｇ（１＋ε有ｌｇ（１＋ε２）＝０．０５所以０．０５１／２ε＝（１０－１）＝０．３４９３－１－２２α＝ε＋槡１＋ε＝１／０．３４９３＋１＋１槡／０．３４９３≈５．８９５ａ＝（α１／３－α－１／３）／２＝（５．８９５１／３－５．８９５－１／３）／２≈０．６２６ｂ＝（α１／３＋α－１／３）／２＝（５．８９５１／３＋５．８９５－１／３）／２≈１．１８左半平面的极点为课后答案网ｓｋ＝σｋ＋ｊΩｋ其中（２ｋ－１）π（２ｋ－１）πσｋ＝－ａｓｉｎΩｋ＝ｂｃｏｓ（ｋ＝１，２，３）２Ｎ２Ｎ故有σ１＝－ａｓｉｎ（π／６）＝－０．３１３Ω１＝ｂｃｏｓ（π／６）＝１．０２２σ２＝－ａｓｉｎ（３π／６）＝－０．６２６Ω２＝ｂｃｏｓ（３π／６）＝０σ３＝－ａｓｉｎ（５π／６）＝－０．３１３Ω３＝ｂｃｏｓ（５π／６）＝－１．０２２因此，系统函数的分母多项式为Ｑ（ｓ）＝（ｓ－ｓ１）（ｓ－ｓ２）（ｓ－ｓ３）＝（ｓ＋０．３１３－ｊ１．０２２）（ｓ＋０．６２６）（ｓ＋０．３１３＋ｊ１．０２２）３２＝ｓ＋１．２５２ｓ＋１．５３４３ｓ＋０．７１５２·５１· 该Ｃ型低通滤波器的系统函数为－１１－Ｎ－１－２ε２０．３４９３×２Ｈａ（ｓ）＝＝Ｑ（ｓ）Ｑ（ｓ）０．７１５７＝３２ｓ＋１．２５２ｓ＋１．５３４３ｓ＋０．７１５２６．３模拟带通滤波器的指标如图Ｐ６．３所示，用Ｂ型特性逼近，求其系统函数。图Ｐ６．３解带通滤波器的中心频率为ｆ０＝槡ｆｐ１ｆｐ２＝１槡２０×１４０≈１２９．６１５ｋＨｚ标称化带宽（相对带宽）课后答案网ｆｐ２ｆｐ１１４０－１２０δ＝βｐ２－βｐ１＝－＝≈０．１５４３ｆ０ｆ０１２９．６１５而ｆｚ１２０βｚ１＝＝≈０．１５４３ｆ０１２９．６１５ｆｚ２５００βｚ２＝＝≈３．８６ｆ０１２９．６１５βｚ１βｚ２≈０．６≠１这说明ｆ与ｆ并不关于ｆ几何对称，所以应该调整（这里显然应该增大）ｆ或者ｆ。ｚ１ｚ２０ｚ１ｚ２如果增大ｆ，会使高端过渡带变宽，不满足设计要求；如果增大ｆ，将使低端过渡带变ｚ２ｚ１窄，特性比要求的还好些，因此，应该增大ｆ（）。实际上，只需要保持不变，由于ｚ１βｚ１βｚ２（１／）＝０．２５９＞０．１５４３，这自然就会使／增大了。因此，应以为准来计算βｚ２βｚ１＝１βｚ２βｚ２低通的Ω。ｚ·５２· Ωｚ＝１（１）＝３．８６－０．２５９≈２３．３４βｚ２－δβｚ２０．１５４３下面就可以求出通带边界Ωｐ＝１、阻带边界Ωｚ＝２３．３４的Ｂ型低通滤波器的参数Ωｃ和Ｎ了。将衰减化为平方幅度１αｍａｘ＝１０ｌｇ）２＝０．００７Ｈ（ｊΩｐ于是有Ｈ（ｊΩ）２１１ｐ＝２Ｎ２Ｎ＝０．０００７１＋（１／Ωｃ）Ωｐ１０由于Ωｐ＝１，故可以得到２２Ｎ０．０００７Ｂ＝（１／Ωｃ）＝１０－１＝０．００１６（６．１）又１αｍｉｎ＝１０ｌｇ２＝５０Ｈ（ｊΩｚ）于是有２１１Ｈ（ｊΩｚ）＝２２Ｎ＝５１＋ＢΩｚ１０因此Ω２Ｎ（１０５－１）／Ｂ２课后答案网ｚ＝＝９９９９９／０．００１６＝６２４９９３７５于是２Ｎ＝ｌｇ６２４９９３７５／ｌｇ２３．３４＝５．６９８３所以取Ｎ＝３。又由（６．１）式可以得到Ω１／２Ｎ）－１－１／６ｃ＝（０．００１６＝０．００１６＝２．９２４Ｎ＝３的Ｂ型低通滤波器的系统函数３ΩｃＨ（ｓ）＝（６．２）（ｓ－ｓ）（ｓ－ｓ）（ｓ－ｓ）０１２而ｊπ／６ｊ２π／３ｓ０＝ｊΩｃｅ＝Ωｃｅｊπ／２ｊπｓ１＝ｊΩｃｅ＝Ωｃｅｊ５π／６ｊ４π／３ｓ２＝ｊΩｃｅ＝Ωｃｅ·５３· 代入（６．２）式有３ΩｃＨ（ｓ）＝３２２３ｓ＋２Ωｃｓ＋２Ωｃｓ＋Ωｃ于是所要求的Ｂ型带通滤波器的系统函数为Ｆ（ｐ）＝Ｈ（ｓ）２ｐ＋１／ｐｐ＋１ｓ＝＝δδｐ３Ωｃ＝２３２２２ｐ＋１ｐ＋１２ｐ＋１３（）＋２Ωｃ（）＋２Ωｃ（）＋Ωｃδｐδｐδｐ３３３２．９２４×０．１５４３ｐ＝（ｐ２３２２２２２（ｐ２３３３＋１）＋２×２．９２４×０．１５４３ｐ（ｐ＋１）＋２×２．９２４×０．１５４３ｐ＋１）＋２．９２４×０．１５４３ｐ３０．０９１８ｐ＝（ｐ２３２２２（ｐ２３＋１）＋０．９ｐ（ｐ＋１）＋０．４０７ｐ＋１）＋０．０９１８ｐ６．４一个数字低通滤波器的截止频率为ωｃ＝０．２π，令抽样频率ｆｓ＝１ｋＨｚ。（ａ）如果用冲激响应不变法来设计，问相应的模拟低通滤波器的截止频率ｆ为ｃ多少？（ｂ）如果用双线性变换法来设计，问相应的模拟低通滤波器的截止频率ｆ为多少？ｃ解（ａ）相应的模拟低通滤波器的截止频率Ωｃ＝ωｃ／Ｔｓ＝ωｃｆｓ＝０．２π×１０００＝２００πｒａｄ／ｓ而课后答案网Ωｃｆｃ＝＝１００Ｈｚ２π（ｂ）相应的模拟低通滤波器的截止频率２ωｃΩｃ＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ（０．１π）＝６４９．８４ｒａｄ／ｓＴｓ２而Ωｃｆｃ＝＝１０３．４Ｈｚ２π６．５试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将下列模拟滤波器系统函数Ｈａ（ｓ）变为数字系统函数Ｈ（ｚ）。（ａ）Ｈ（ｓ）＝３，Ｔａ（ｓ＋１）（ｓ＋３）ｓ＝０．５ｓ（ｂ）Ｈ（ｓ）＝１，Ｔａ２ｓ＝２ｓｓ＋ｓ＋１·５４· （ｃ）Ｈ（ｓ）＝３ｓ＋２，Ｔａ２ｓ＝０．１ｓ２ｓ＋３ｓ＋１解①冲激响应不变法（ａ）Ｈ（ｓ）＝３＝３（１－１）ａ（ｓ＋１）（ｓ＋３）２ｓ＋１ｓ＋３故有３／２３／２）Ｈ（ｚ）＝Ｔｓ（－Ｔ－１－－３Ｔ－１１－ｅｓｚ１－ｅｓｚｚｚ）＝０．７５（－０．５－－１．５ｚ－ｅｚ－ｅ（ｂ）Ｈ（ｓ）＝１ａ２ｓ＋ｓ＋１＝１（１－１）ｊ槡３ｓ＋１／２－ｊ槡３／２ｓ＋１／２＋ｊ槡３／２故有Ｔｓ１１Ｈ（ｚ）＝（（－１／２＋ｊ槡３／２）Ｔ－（－１／２－ｊ槡３／２）Ｔ）－１－１ｊ槡３１－ｅｓｚ１－ｅｓｚｊ２ｚｚ＝（－）ｚ－ｅ－１ｅ－ｊ槡３ｚ－ｅ－１ｅｊ槡３槡３（ｃ）Ｈ（ｓ）＝３ｓ＋２＝３ｓ＋２ａ２ｓ２＋３ｓ＋１（２ｓ＋１）（ｓ＋１）课后答案网１１１／２１＝＋＝＋２ｓ＋１ｓ＋１ｓ＋１／２ｓ＋１故有１／２１）Ｈ（ｚ）＝Ｔｓ（－０．５Ｔ－１＋－Ｔ－１１－ｅｓｚ１－ｅｓｚ０．０５ｚ０．１ｚ＝－０．０５＋－０．１ｚ－ｅｚ－ｅ②双线性变换法（ａ）Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｓ）＝３ａ－１（ｓ＋１）（ｓ＋３）－１ｓ＝２·１－ｚｓ＝４１－ｚＴ－１－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ３（１＋ｚ－１）＝［４（１－ｚ－１）＋１＋ｚ－１］［４（１－ｚ－１）＋３（１＋ｚ－１）］３（１＋ｚ－１）＝（５－３ｚ－１）（７－ｚ－１）·５５· （ｂ）Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｓ）＝１ａ－１ｓ２＋ｓ＋１－１ｓ＝２·１－ｚｓ＝１－ｚＴ－１－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ（１＋ｚ－１）２＝（１－ｚ－１）２－１）（１＋ｚ－１）＋（１＋ｚ－１）２＋（１－ｚ（１＋ｚ－１）２＝－２３＋ｚ（ｃ）Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｓ）＝３ｓ＋２ａ－１２ｓ２＋３ｓ＋１－１ｓ＝２·１－ｚｓ＝２０１－ｚＴ－１－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ３×２０（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）＋２（１＋ｚ－１）２＝２（１－ｚ－１）２－１）（１＋ｚ－１）＋（１＋ｚ－１）２２×２０＋３×２０（１－ｚ－１－２６２＋４ｚ－５８ｚ＝－１－２８６１－１５９８ｚ＋７４１ｚ６．６用冲激响应不变法将以下Ｈａ（ｓ）转换为Ｈ（ｚ），抽样周期为Ｔ。（ａ）Ｈ（ｓ）＝ｓ＋ａａ（ｓ＋ａ）２２＋ｂ（ｂ）Ｈ（ｓ）＝Ａａ（ｓ－ｓ）２０解课后答案网（ａ）Ｈ（ｓ）＝ｓ＋ａ＝１（１＋１）ａ（ｓ＋ａ）２２２ｓ＋ａ＋ｂｊｓ＋ａ－ｂｊ＋ｂ故有Ｈ（ｚ）＝Ｔ（１＋１）２－（ａ＋ｂｊ）Ｔ－１－（ａ－ｂｊ）Ｔ－１１－ｅｚ１－ｅｚ＝Ｔ（ｚ＋ｚ）２ｚ－ｅ－ａＴｅ－ｊｂＴｚ－ｅ－ａＴｅｊｂＴ（ｂ）模拟滤波器的冲激响应ｈａ（ｔ）＝犔－１［Ｈ（ｓ）］＝Ａ·ｔ·ｅｓ０ｔｕ（ｔ）ａ数字滤波器的冲激响应ｓｎＴｈ（ｎ）＝Ｔｈａ（ｎＴ）＝Ｔ·Ａ·ｎＴ·ｅ０ｕ（ｎＴ）·５６· 数字滤波器的系统函数∞∞－ｎ２ｓＴｎ－ｎＨ（ｚ）＝∑ｈ（ｎ）ｚ＝ＡＴ∑ｎ·ｅ０ｚｎ＝－∞ｎ＝０∞＝ＡＴ２［－ｚｄ（∑ｅｓ０Ｔｎｚ－ｎ）］ｄｚｎ＝０＝－ＡＴ２ｚ·ｄ（１）ｓＴ－１ｄｚ１－ｅ０ｚ＝－ＡＴ２ｚ·ｄ（ｚ）ｓＴｄｚｚ－ｅ０（ｚ－ｅｓ０Ｔ）－ｚ２＝－ＡＴｚ（ｚ－ｅｓＴ）２０２ｓＴＡＴｅ０ｚ＝（ｚ－ｅｓ０Ｔ）２∞上面的推导过程中，幂级数∑（ｅｓ０Ｔｚ－１）ｎ的收敛需要满足条件ｎ＝０ｓＴ－１ｅ０ｚ＜１即ｓＴｚ＞ｅ０这也就是Ｈ（ｚ）的收敛域。６．７设抽样频率ｆｓ＝２πｋＨｚ，用冲激响应不变法设计一个３阶Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ数字低通滤波器，其３ｄＢ带宽ｆ。ｃ＝１ｋＨｚ解课后答案网对于冲激响应不变法，数字滤波器的模拟频率也即模拟滤波器的频率，故有Ωｃ＝２πｆｃ＝２０００πｒａｄ／ｓ３阶Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ模拟低通滤波器的系统函数３ΩｃＨａ（ｓ）＝（ｓ－ｓ）（ｓ－ｓ）（ｓ－ｓ）０１２而ｊπ／６ｊ２π／３ｓ０＝ｊΩｃｅ＝Ωｃｅ＝（－１／２＋ｊ槡３／２）Ωｃｊπ／２ｊπｓ１＝ｊΩｃｅ＝Ωｃｅ＝－Ωｃｊ５π／６ｊ４π／３ｓ２＝ｊΩｃｅ＝Ωｃｅ＝（－１／２－ｊ槡３／２）Ωｃ令１ＡＢＣ（ｓ－ｓ）（ｓ－ｓ）（ｓ－ｓ）＝ｓ－ｓ０＋ｓ－ｓ１＋ｓ－ｓ２０１２·５７· 则可以得到烄－ｊ槡３／２－３／２Ａ＝２３Ωｃ１烅Ｂ＝２Ωｃｊ槡３／２－３／２Ｃ＝２烆３Ωｃ于是有３３３ＡΩｃＢΩｃＣΩｃＨａ（ｓ）＝＋＋ｓ－ｓ０ｓ－ｓ１ｓ－ｓ２［－１／２－ｊ／（２槡３）］ΩｃΩｃ［－１／２＋ｊ／（２槡３）］Ωｃ＝＋＋ｓ－ｓ０ｓ－ｓ１ｓ－ｓ２因此，所要求的数字低通滤波器的系统函数为－１／２－ｊ／（２槡３）１－１／２＋ｊ／（２槡３）Ｈ（ｚ）＝ＴｓΩｃ［ｓＴ－１＋ｓＴ－１＋ｓＴ－１］１－ｅ０ｓｚ１－ｅ１ｓｚ１－ｅ２ｓｚ由于ＴｓΩｃ＝Ωｃ／ｆｓ＝２０００π／２０００π＝１所以有－［１／２＋ｊ／（２槡３）］ｚｚ－［１／２－ｊ／（２槡３）］ｚＨ（ｚ）＝＋－１＋课后答案网ｚ－ｅ－１／２ｅｊ槡３／２ｚ－ｅｚ－ｅ－１／２ｅ－ｊ槡３／２６．８用双线性变换法设计一个３阶Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ数字低通滤波器，３ｄＢ带宽（截止频率）ｆ，抽样频率ｆ。ｃ＝４００Ｈｚｓ＝１．２ｋＨｚ解数字低通的截止频率２πｆｃ２π×４００２πωｃ＝ΩｃＴｓ＝＝＝ｆｓ１２００３用双线性变换法，模拟低通的截止频率２ωｃπΩ′ｃ＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝２槡３ｆｓＴｓ２３３阶Ｂ型模拟低通滤波器的系统函数３Ω′ｃＨａ（ｓ）＝３２２３ｓ＋２Ω′ｃｓ＋２Ω′ｃｓ＋Ω′ｃ·５８· 所要求的数字低通滤波器的系统函数Ｈ（ｚ）＝Ｈａ（ｓ）－１－１ｓ＝２·１－ｚ＝２ｆ１－ｚＴ－１ｓ－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ＝Ω′３（１＋ｚ－１）３·［（２ｆ）３（１－ｚ－１）３＋２Ω′ｃ（２ｆｓ）２（１－ｚ－１）２（１＋ｚ－１）ｃｓ＋２Ω′２（２ｆ）（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）２＋Ω′３（１＋ｚ－１）３］－１ｃｓｃ将Ω′ｃ＝２槡３ｆｓ代入，并且化简后得到３槡３（１＋ｚ－１）３Ｈ（ｚ）＝（１－ｚ－１）３＋２槡３（１－ｚ－１）２（１＋ｚ－１）＋６（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）２＋３槡３（１＋ｚ－１）３６．９一个数字低通滤波器的通带边界频率为ｆ１＝２５００Ｈｚ，通带幅度的最小值为０．９；阻带边界频率为ｆ２＝３５２４Ｈｚ，阻带幅度的最大值为０．１；抽样频率为１０ｋＨｚ。采用双线性变换法、Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ逼近来设计。（ａ）求相应的模拟低通滤波器的参数Ｎ和Ω，这里Ω是标称化截止频率，基准频率ｃｃ是该模拟滤波器的通带边界频率。（ｂ）用（ａ）题求出的Ｎ，但是令Ω，查表６．１，写出系统函数Ｈ（ｓ）。ｃ＝１ａ（ｃ）求出模拟滤波器实际的截止频率Ω，写出模拟滤波器实际的系统函数Ｈ（ｓ）。ｃ１ａ１（ｄ）求数字滤波器的系统函数Ｈ（ｚ）。（ｅ）求出数字滤波器在ｆ＝０、ｆ＝ｆ和ｆ＝ｆ这些关键频率处的幅频响应，检验是否１２满足设计要求。解课后答案网（ａ）将数字低通的各边界频率转换为数字角频率：－４ω１＝２πｆ１Ｔｓ＝２π×２５００×１０＝π／２－４ω２＝２πｆ２Ｔｓ＝２π×３５２４×１０＝２．２１４２所对应的模拟滤波器的角频率：２ω１πΩ′１＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝２ｆｓ＝２００００ｒａｄ／ｓＴｓ２４２ω２２．２１４２Ω′２＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝３９９９５ｒａｄ／ｓＴｓ２２以通带边界频率Ω′为基准频率，将模拟滤波器的频率标称化，即令Ω，而Ω１１＝１２＝３９９９５／２００００≈２。对Ｂ型滤波器有２１１Ｈａ（ｊΩ）＝２Ｎ＝２Ｎ２Ｎ１＋（Ω／Ωｃ）１＋（１／Ωｃ）Ω·５９· 于是有２１１２Ｈａ（ｊΩ１）＝２Ｎ２Ｎ＝２Ｎ＝０．９１＋（１／Ωｃ）Ω１１＋（１／Ωｃ）令（１／Ω）２Ｎ＝Ｂ２ｃ则２２Ｂ＝１／０．９－１＝０．２３４６而２１２Ｈａ（ｊΩ２）＝２２Ｎ＝０．１１＋ＢΩ２于是可以得到２２Ｎ１／０．１－１Ω２＝２＝４２１．９９５Ｂ即４Ｎ＝４２１．９９５，故Ｎ＝ｌｇ４２１．９９５／ｌｇ４＝４．３６于是取Ｎ＝５。又由（１／Ω）２Ｎ＝（１／Ωｃ）１０＝Ｂ２＝０．２３４６ｃ可以得到－１／１０课后答案网Ωｃ＝０．２３４６＝１．１５６（ｂ）现在，令模拟滤波器截止频率Ω，于是查表６．１，得到模拟滤波器的系统函ｃ＝１数：１Ｈａ（ｓ）＝５４３２ｓ＋３．２３６０７ｓ＋５．２３６０７ｓ＋５．２３６０７ｓ＋３．２３６０７ｓ＋１（ｃ）上面得到的Ω是模拟滤波器截止频率的标称值，实际值为ｃ＝１．１５６Ωｃ１＝１．１５６×２００００＝２３１２０ｒａｄ／ｓ因此模拟滤波器实际的系统函数为５Ωｃ１Ｈａ１（ｓ）＝５４２３３２４５ｓ＋３．２３６０７Ωｃ１ｓ＋５．２３６０７Ωｃ１ｓ＋５．２３６０７Ωｃ１ｓ＋３．２３６０７Ωｃ１ｓ＋Ωｃ１（ｄ）为了书写方便，现在令ａ＝３．２３６０７，ｂ＝５．２３６０７；ｇ＝２／Ｔ，可以ｓ＝２ｆｓ＝２００００得到所要求的数字滤波器的系统函数·６０· Ｈ（ｚ）＝Ｈａ１（ｓ）－１ｓ＝２·１－ｚ＝ｇｚ－１Ｔ－１ｚ＋１ｓ１＋ｚ＝Ω５（ｚ＋１）５·［ｇ５（ｚ－１）５＋ａΩｃ１ｇ４（ｚ－１）４（ｚ＋１）ｃ１＋ｂΩ２３（ｚ－１）３（ｚ＋１）２＋ｂΩ３２（ｚ－１）２（ｚ＋１）３ｃ１ｇｃ１ｇ＋ａΩ４（ｚ－１）（ｚ＋１）４＋Ω５（ｚ＋１）５］－１ｃ１ｇｃ１＝（ｚ＋１）５·［ｄ５（ｚ－１）５＋ａｄ４（ｚ－１）４（ｚ＋１）＋ｂｄ３（ｚ－１）３（ｚ＋１）２＋ｂｄ２（ｚ－１）２（ｚ＋１）３＋ａｄ（ｚ－１）（ｚ＋１）４＋（ｚ＋１）５］－１上式中ｄ＝ｇ／Ωｃ１＝２００００／２３１２０≈０．８６５（ｅ）数字滤波器的频率ω＝２πｆＴｓ＝２πｆ／ｆｓ数字滤波器的幅频响应Ｈ（ｅｊω）＝Ｈ（ｚ）ｊωｚ＝ｅ当ｆ＝０时，ω＝０５Ｈ（ｅｊ０）＝Ｈ（ｚ）＝Ｈ（１）＝２＝１ｊ０（１＋１）５ｚ＝ｅ＝１是理想的幅频响应。当ｆ＝ｆ时，ω＝ω／２１１＝πｊωＨ（ｅ１）＝Ｈ（ｚ）ｊπ／２＝Ｈ（ｊ）ｚ＝ｅ＝ｊ故有课后答案网（ｊ＋１）５ｊωＨ（ｅ１）＝ｄ５（ｊ－１）５＋ａｄ４（ｊ－１）４（ｊ＋１）＋ｂｄ３（ｊ－１）３（ｊ＋１）２＋ｂｄ２（ｊ－１）２（ｊ＋１）３＋ａｄ（ｊ－１）（ｊ＋１）４＋（ｊ＋１）５－１－ｊ＝（ｄ５－ａｄ４－ｂｄ３＋ｂｄ２＋ａｄ－１）＋ｊ（－ｄ５－ａｄ４＋ｂｄ３＋ｂｄ２－ａｄ－１）于是（－１）２＋（－１）２ｊω２Ｈ（ｅ１）＝５４３２２５４３２２（ｄ－ａｄ－ｂｄ＋ｂｄ＋ａｄ－１）＋（－ｄ－ａｄ＋ｂｄ＋ｂｄ－ａｄ－１）≈０．８０９９所以ｊω１／２Ｈ（ｅ１）＝０．８０９９≈０．９满足通带幅度要求的指标。同理可以算得在阻带边界ｆ或者ω之处２＝３５２４Ｈｚ２＝２．２１４２ｊωＨ（ｅ２）≈０．０６４４＜０．１也满足设计要求。·６１· ６．１０一个数字低通滤波器的通带边界频率为ｆ１＝２５００Ｈｚ，通带幅度的最小值为０．９；阻带边界频率为ｆ２＝３５２４Ｈｚ，阻带幅度的最大值为０．１；抽样频率为１０ｋＨｚ。采用双线性变换法、Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ逼近来设计。求相应的模拟低通滤波器的参数ε和Ｎ。解将数字低通的各边界频率转换为数字角频率：－４ω１＝２πｆ１Ｔｓ＝２π×２５００×１０＝π／２－４ω２＝２πｆ２Ｔｓ＝２π×３５２４×１０＝２．２１４２所对应的模拟滤波器的角频率：烄２ω１πΩ′１＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝２ｆｓ＝２００００ｒａｄ／ｓＴｓ２４烅２ω２２．２１４２Ω′２＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝３９９９５ｒａｄ／ｓ烆Ｔｓ２２以通带边界频率Ω为基准频率，将模拟滤波器的频率标称化，即令Ω，而Ω１′１＝１２＝３９９９５／２００００≈２。下面求相应的Ｃ型模拟低通滤波器的参数ε和Ｎ。由１２２＝０．９＝０．８１１＋ε得到２１ε＝－１＝０．２３４５７０．８１故ε＝０．４８４３２。由阻带要求有课后答案网２１２Ｈａ（ｊΩ２）＝２２（Ω）≤０．１＝０．０１１＋εＣＮ２故有Ｃ２（Ω）＝Ｃ２（２）≥１／０．０１－１＝４２２．０５Ｎ２Ｎ２ε于是有ＣＮ（２）≥２０．５４４递推公式：ＣＮ＋１（２）＝４ＣＮ（２）－ＣＮ－１（２）由Ｃ（２）＝１，Ｃ（２）＝２，可以得到０１Ｃ２（２）＝４×２－１＝７Ｃ３（２）＝４×７－２＝２６＞２０．５４４因此Ｎ＝３。·６２· ６．１１用双线性变换法设计一个３阶Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ数字高通滤波器，抽样频率ｆｓ＝８ｋＨｚ，截止频率ｆｃ＝２ｋＨｚ。解实际上，对于原型低通模拟滤波器和数字低通滤波器的截止频率，可以任意设定它们中的一个，另一个则按照双线性变换的频率关系式来确定。当然，应该按照使计算尽量简单的原则来设定原型低通滤波器的截止频率。因此，这样的问题可以有两种解法。解法１先设定原型低通模拟滤波器的截止频率，当然，最简单的情况就是设Ω′。按ｃ＝１照要求Ｎ＝３，用Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ逼近，因此可以得到模拟低通的系统函数３Ω′ｃ１Ｈａ（ｓ）＝３２２３＝３２ｓ＋２Ω′ｃｓ＋２Ω′ｃｓ＋Ω′ｃｓ＋２ｓ＋２ｓ＋１用双线性变换式就得到原型低通数字滤波器的系统函数－１－１Ｈｌ（ｚ）＝Ｈａ（ｓ）ｓ＝２·１－ｚ－１＝２ｆ１－ｚ－１Ｔｓｓ１＋ｚ１＋ｚ（１＋ｚ－１）３＝３（１－ｚ－１）３２（１－ｚ－１）２（１＋ｚ－１）＋４ｆ（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）２－１）３８ｆｓ＋８ｆｓｓ＋（１＋ｚ而这个低通数字滤波器的截止频率ＴｓΩ′ｃ１θｐ＝２ａｒｃｔａｎ＝２ａｒｃｔａｎ２２ｆｓ故有课后答案网θｐ１ｔａｎ＝２２ｆｓ题中所要求的数字高通滤波器的截止频率ωｐ＝ΩｃＴｓ＝２πｆｃ／ｆｓ＝２π×２０００／８０００＝π／２下面应该进行数字低通到数字高通的频率变换。θｐ＋ωｐθｐωｐθｐωｐｃｏｓｃｏｓｃｏｓ－ｓｉｎｓｉｎ２２２２２α＝－＝－θｐ－ωｐθｐωｐθｐωｐｃｏｓｃｏｓｃｏｓ＋ｓｉｎｓｉｎ２２２２２槡２θｐ槡２θｐθｐｓｉｎ－ｃｏｓｔａｎ－１２２２２２１－２ｆｓ＝＝＝槡２θｐ槡２θｐθｐ１＋２ｆｓｓｉｎ＋ｃｏｓｔａｎ＋１２２２２２·６３· 所要求的数字高通滤波器：Ｈｄ（Ｚ）＝Ｈｌ（ｚ）－１－１Ｚ＋αｚ＝－１１＋αＺ＝（１＋ａＺ－１－Ｚ－１－α）３·［８ｆ３（１＋αＺ－１＋Ｚ－１＋α）３ｓ＋８ｆ２（１＋αＺ－１＋Ｚ－１＋α）２（１＋αＺ－１－Ｚ－１－α）ｓ－１－１－１－１２＋４ｆｓ（１＋αＺ＋Ｚ＋α）（１＋αＺ－Ｚ－α）＋（１＋αＺ－１－Ｚ－１－α）３］－１＝（１－α）３（１－Ｚ－１）３·［８ｆ３（１＋α）３（１＋Ｚ－１）３ｓ＋８ｆ２（１＋α）２（１＋Ｚ－１）２（１－α）（１－Ｚ－１）ｓ＋４ｆｓ（１＋α）（１＋Ｚ－１）（１－α）２（１－Ｚ－１）２＋（１－α）３（１－Ｚ－１）３］－１而１－２ｆｓ４ｆｓ１－α＝１－＝１＋２ｆｓ１＋２ｆｓ１－２ｆｓ２１＋α＝１＋＝１＋２ｆｓ１＋２ｆｓ将１－α和１＋α代入Ｈ（Ｚ），最后得到ｄ（１－Ｚ－１）３Ｈｄ（Ｚ）＝（１＋Ｚ－１）３－１）２（１－Ｚ－１）＋２（１＋Ｚ－１）（１－Ｚ－１）２－１）３＋２（１＋Ｚ＋（１－Ｚ解法２这个方法是适当选择数字低通的截止频率θ，以使得数字低通到数字高通ｐ的变换简单。由相应的变换公式课后答案网－１－１Ｚ＋αｚ＝－－１１＋αＺ可知，如果α＝０，便有ｚ－１＝－Ｚ－１，变换就会很容易。而又由相应的设计公式θｐ＋ωｐｃｏｓ２α＝－θｐ－ωｐｃｏｓ２θｐ＋ωｐπ可知，如果＝２２则α的分子将为０，故α为０。在解法１中已经求得，数字高通的截止频率ωｐ＝π／２，因此只需要设定数字低通的截止频率θｐ＝π／２。现在由数字低通的截止频率求得模拟低通的截止频率２θｐπΩ′ｃ＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝２ｆｓＴｓ２４·６４· ３阶Ｂ型滤波器的系统函数３３Ω′ｃ８ｆｓＨａ（ｓ）＝３２２３＝３２２３ｓ＋２Ω′ｃｓ＋２Ω′ｃｓ＋Ω′ｃｓ＋４ｆｓｓ＋８ｆｓｓ＋８ｆｓ数字低通滤波器的系统函数Ｈｌ（ｚ）＝Ｈａ（ｓ）－１－１ｓ＝２·１－ｚ＝２ｆ１－ｚＴ－１ｓ－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ（１＋ｚ－１）３＝（１－ｚ－１）３－１）２（１＋ｚ－１）＋２（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）２－１）３＋２（１－ｚ＋（１＋ｚ最后得到数字高通滤波器的系统函数Ｈｄ（Ｚ）＝Ｈｌ（ｚ）－１－１ｚ＝－Ｚ（１－Ｚ－１）３＝（１＋Ｚ－１）３－１）２（１－Ｚ－１）＋２（１＋Ｚ－１）（１－Ｚ－１）２－１）３＋２（１＋Ｚ＋（１－Ｚ两种解法最后的结果完全相同。６．１２用双线性变换法设计一个３阶Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ数字带通滤波器，抽样频率ｆｓ＝７２０Ｈｚ，上下边带截止频率分别为ｆ１＝６０Ｈｚ，ｆ２＝３００Ｈｚ。解该数字带通滤波器的上下边带截止频率：ω１＝２πｆ１／ｆｓ＝２π×６０／７２０＝π／６ω２＝２πｆ２／ｆｓ＝２π×３００／７２０＝５π／６数字低通原型滤波器的截止频率θ可以自选，为了使下面参数ｋ的表示比较简单，这里ｐ选θｐ＝π／３。则相应的模拟低通滤波器的截止频率课后答案网２θｐπ２Ω′ｃ＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝ｆｓＴｓ２６槡３于是可以得到３阶模拟低通滤波器的系统函数８３３ｆｓΩ′ｃ３槡３Ｈａ（ｓ）＝３２２３＝４８８ｓ＋２Ω′ｃｓ＋２Ω′ｃｓ＋Ω′ｃｓ３＋ｆｓｓ２＋ｆｓ２ｓ＋ｆｓ３槡３３３槡３而数字低通原型滤波器的系统函数－１－１Ｈｌ（ｚ）＝Ｈａ（ｓ）ｓ＝２·１－ｚ＝２ｆ１－ｚＴ－１ｓ－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ１（１＋ｚ－１）３３３槡＝（１－ｚ－１）３＋２（１－ｚ－１）２（１＋ｚ－１）＋２（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）２＋１（１＋ｚ－１）３槡３３３槡３·６５· 下面将数字低通变换为数字带通。ω２＋ω１ω２－ω１ππα＝ｃｏｓ（）／ｃｏｓ（）＝ｃｏｓ／ｃｏｓ＝０２２２３ω２－ω１）ｔａｎθｐπ·ｔａｎπ槡３·１１ｋ＝ｃｔａｎ（＝ｃｔａｎ＝＝２２３６３槡３３于是得到变换公式：－２２αｋ－１ｋ－１－２１Ｚ－Ｚ＋Ｚ－－２－１ｋ＋１ｋ＋１２２Ｚ－１ｚ＝－＝－＝－２ｋ－１－２２αｋ－１１－２Ｚ－２Ｚ－Ｚ＋１－Ｚ＋１ｋ＋１ｋ＋１２最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数－２Ｈｄ（Ｚ）＝Ｈｌ（ｚ）－１２Ｚ－１ｚ＝－２Ｚ－２１（３Ｚ－２－３）３３槡３＝－（Ｚ－２＋１）３＋２（Ｚ－２＋１）２（３Ｚ－２－３）－２（Ｚ－２＋１）（３Ｚ－２－３）２＋１（３Ｚ－２－３）３槡３３３槡３６．１３一个数字高通滤波器的通带边界频率为ｆ１＝３５２４Ｈｚ，通带幅度的最小值为０．９；阻带边界频率为ｆ２＝２５００Ｈｚ，阻带幅度的最大值为０．１；抽样频率为１０ｋＨｚ。采用双线性变换法、Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ逼近来设计。求这个数字高通滤波器的系统函数Ｈ（ｚ）。解将数字高通的各边界频率转换为数字角频率：课后答案网－４ω１＝２πｆ１Ｔｓ＝２π×３５２４×１０＝２．２１４２－４ω２＝２πｆ２Ｔｓ＝２π×２５００×１０＝π／２所对应的模拟高通滤波器的角频率烄２ω１２．２１４２Ω′１＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝３９９９５ｒａｄ／ｓＴｓ２２烅２ω２πΩ′２＝ｔａｎ＝２ｆｓｔａｎ＝２ｆｓ＝２００００ｒａｄ／ｓ烆Ｔｓ２４以通带边界频率Ω′为基准频率，将模拟高通的频率标称化，即令，而／１β１＝１β２＝２００００３９９９５≈０．５。现在将模拟高通的标称化频率转换为模拟低通的标称化频率Ω：β烄Ω１＝１／β１＝１烅烆Ω２＝１／β２＝１／０．５＝２·６６· 对Ｂ型滤波器有２１１Ｈａ（ｊΩ）＝２Ｎ＝２Ｎ２Ｎ１＋（Ω／Ωｃ）１＋（１／Ωｃ）Ω于是有２１１２Ｈａ（ｊΩ１）＝２Ｎ２Ｎ＝２Ｎ＝０．９１＋（１／Ωｃ）Ω１１＋（１／Ωｃ）令（１／Ω）２Ｎ＝Ｂ２ｃ则２２Ｂ＝１／０．９－１＝０．２３４６而２１２Ｈａ（ｊΩ２）＝２２Ｎ＝０．１１＋ＢΩ２于是可以得到２２Ｎ１／０．１－１Ω２＝２＝４２１．９９５Ｂ即４Ｎ＝４２１．９９５，故Ｎ＝ｌｇ４２１．９９５／ｌｇ４＝４．３６于是取Ｎ＝５。又由课后答案网（１／Ω）２Ｎ＝（１／Ωｃ）１０＝Ｂ２＝０．２３４６ｃ可以得到－１／１０Ωｃ＝０．２３４６＝１．１５６于是模拟高通滤波器的标称化截止频率为／Ω／１．１５６＝０．８６５βｃ＝１ｃ＝１而模拟高通滤波器实际的截止频率为Ω′ｃ＝βｃΩ′１＝０．８６５×３９９９５＝３４５９６ｒａｄ／ｓ现在令模拟低通的截止频率为１，查表６．１，可以得到５阶Ｂ型滤波器的系统函数１Ｈａ（ｓ）＝５４３２ｓ＋３．２３６０７ｓ＋５．２３６０７ｓ＋５．２３６０７ｓ＋３．２３６０７ｓ＋１１＝５４３２ｓ＋ａｓ＋ｂｓ＋ｂｓ＋ａｓ＋１这里为了书写方便，已经令ａ＝３．２３６０７，ｂ＝５．２３６０７。·６７· 将变换式ｓ＝１／ｐ代入，就得到模拟高通滤波器的系统函数１Ｆａ（ｐ）＝Ｈａ（ｓ）ｓ＝１／ｐ＝（１／ｐ）５４３２＋ａ（１／ｐ）＋ｂ（１／ｐ）＋ｂ（１／ｐ）＋ａ／ｐ＋１５ｐ＝２３４５１＋ａｐ＋ｂｐ＋ｂｐ＋ａｐ＋ｐ这是模拟高通的截止频率为１时的系统函数，但是实际的截止频率为Ω′／ｓ，ｃ＝３４５９６ｒａｄ于是模拟高通滤波器实际的系统函数为５ｐＦａＨ（ｐ）＝５４３２２３４５Ω′ｃ＋ａΩ′ｃｐ＋ｂΩ′ｃｐ＋ｂΩ′ｃｐ＋ａΩ′ｃｐ＋ｐ由于双线性变换法是可以用于高通滤波器的模数变换的，故所要求的数字高通滤波器的系统函数为Ｈ（ｚ）＝ＦａＨ（ｐ）－１－１ｐ＝２·１－ｚ＝２ｆ１－ｚＴ－１ｓ－１ｓ１＋ｚ１＋ｚ＝（２ｆｓ）５（１－ｚ－１）５·［Ω′５（１＋ｚ－１）５＋ａΩ′４（１－ｚ－１）（１＋ｚ－１）４ｃｃ２ｆｓ＋ｂΩ′３（２ｆ）２（１－ｚ－１）２（１＋ｚ－１）３＋ｂΩ′２（２ｆ）３（１－ｚ－１）３（１＋ｚ－１）２ｃｓｃｓ＋ａΩ′ｃ（２ｆｓ）４（１－ｚ－１）４（１＋ｚ－１）＋（２ｆ）５（１－ｚ－１）５］－１ｓＺ＋１，６．１４假设某时域连续滤波器Ｈａ（ｓ）是一个低通滤波器，又知Ｈ（ｚ）＝Ｈａ（）Ｚ－１于是数字滤波器Ｈ课后答案网（ｚ）的通带中心位于（１）ω＝０（低通）（２）ω＝π（高通）（３）除０和π以外的某一频率（带通）请从中选择正确答案。解因为ｚ＋１）Ｈ（ｚ）＝Ｈａ（ｚ－１即有ｚ＋１ｓ＝ｚ－１或者·６８· ｓ＋１ｚ＝ｓ－１将ｊωｚ＝ｒｅｓ＝σ＋ｊΩ代入ｓ＋１ｚ＝ｓ－１有σ＋１＋ｊΩｊωｒｅ＝σ－１＋ｊΩ于是有σ＋１＋ｊΩ（σ＋１）２＋Ω２１／２ｒ＝σ－１＋ｊΩ＝［（σ－１）２＋Ω２］由这个式子可知，当σ＝０（即ｓ＝σ＋ｊΩ＝ｊΩ）时，ｒ＝１（即ｚ＝ｒｅｊω＝ｅｊω），于是，将ｓ＝ｊΩ和ｚ＝ｅｊω代入ｓ＝ｚ＋１，有ｚ－１ｊωｅ＋１ｊΩ＝ｊωｅ－１当ω＝πｊπｅ＋１０ｊΩ＝ｊπ＝－２＝０课后答案网ｅ－１这就是说，模拟滤波器的频率Ω＝０映射为数字滤波器的频率ω＝π；又知道模拟滤波器是低通滤波器，这意味着Ω＝０是通带中心，于是ω＝π是数字滤波器的通带中心，即该数字滤波器是高通滤波器。所以答案（２）正确。·６９· 第７章ＦＩＲ数字滤波器的原理及设计７．１令ｈ（ｎ）为一ＦＩＲ滤波器的单位抽样响应，使ｎ＜０、ｎ＞Ｎ－１时ｈ（ｎ）＝０，又设ｈ（ｎ）为实序列。该滤波器的频率响应可表示为Ｈ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊθ（ω），这里Ｈ（ω）是ω的实函数。又设Ｈ（ｋ）为ｈ（ｎ）的Ｎ点ＤＦＴ。（ａ）若ｈ（ｎ）满足ｈ（ｎ）＝ｈ（Ｎ－１－ｎ），写出θ（ω），并且证明当Ｎ为偶数时，Ｈ（Ｎ／２）＝０。（ｂ）若ｈ（ｎ）满足ｈ（ｎ）＝－ｈ（Ｎ－１－ｎ），写出θ（ω），并且证明Ｈ（０）＝０。解Ｎ－１ｎｋＨ（ｋ）＝∑ｈ（ｎ）Ｗ（ｋ＝０．１，⋯，Ｎ－１）Ｎｎ＝０（ａ）若课后答案网ｈ（ｎ）＝ｈ（Ｎ－１－ｎ）说明ｈ（ｎ）偶对称，故Ｎ－１θ（ω）＝－ω２又，当Ｎ为偶数时：Ｎ－１ＮＮｎ２Ｈ（２）＝∑ｈ（ｎ）ＷＮｎ＝０Ｎ－１ｎ＝∑ｈ（ｎ）（－１）ｎ＝０ＮＮ－１－１２２ｎＮ－１－ｎ＝∑ｈ（ｎ）（－１）＋∑ｈ（Ｎ－１－ｎ）（－１）ｎ＝０ｎ＝０ＮＮ－１－１２２ｎＮ－１－ｎ＝∑ｈ（ｎ）（－１）＋（－１）∑ｈ（ｎ）（－１）ｎ＝０ｎ＝０·７０· 由于（－１）－ｎ＝（－１）ｎ，并且当Ｎ为偶数时，Ｎ－１为奇数，（－１）Ｎ－１＝－１，故有ＮＮ－１－１２２ＮｎｎＨ（）＝∑ｈ（ｎ）（－１）－∑ｈ（ｎ）（－１）＝０２ｎ＝０ｎ＝０（ｂ）若ｈ（ｎ）＝－ｈ（Ｎ－１－ｎ）说明ｈ（ｎ）奇对称，故πＮ－１θ（ω）＝－ω２２又，Ｎ－１Ｈ（０）＝∑ｈ（ｎ）ｎ＝０Ｎ为偶数：ＮＮ－１－１２２Ｈ（０）＝∑ｈ（ｎ）＋∑ｈ（Ｎ－１－ｎ）ｎ＝０ｎ＝０Ｎ－１２＝∑［ｈ（ｎ）＋ｈ（Ｎ－１－ｎ）］ｎ＝０Ｎ－１２＝∑［ｈ（ｎ）－ｈ（ｎ）］＝０ｎ＝０Ｎ为奇数：Ｎ－１Ｎ－１－１－１２２课后答案网Ｎ－１Ｈ（０）＝∑ｈ（ｎ）＋∑ｈ（Ｎ－１－ｎ）＋ｈ（２）ｎ＝０ｎ＝０Ｎ－１－１２Ｎ－１＝ｈ（２）＋∑［ｈ（ｎ）＋ｈ（Ｎ－１－ｎ）］ｎ＝０Ｎ－１－１２Ｎ－１＝ｈ（２）＋∑［ｈ（ｎ）－ｈ（ｎ）］ｎ＝０Ｎ－１＝ｈ（２）＋０Ｎ－１＝ｈ（２）而ｈ（ｎ）中间的一项应当满足：Ｎ－１Ｎ－１Ｎ－１ｈ（２）＝－ｈ（Ｎ－１－２）＝－ｈ（２）·７１· 因此必然有Ｎ－１ｈ（２）＝０这就是说，当Ｎ为奇数时，也有Ｈ（０）＝０。７．２如果一个线性相位带通滤波器的频响为ＨＢ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊ（ω）Ｂ（ａ）说明Ｈ（ｅｊω）＝［１－Ｈ（ω）］ｅｊ（ω）是一个线性相位带阻滤波器的频响。ｒＢ（ｂ）试用ｈ（ｎ）表示ｈ（ｎ）。Ｂｒ解（ａ）对于一个线性相位ＦＩＲ数字滤波器，其频率响应的一般形式为Ｈ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊ（ω）其中Ｈ（ω）表示幅度，它是ω的实函数；（ω）表示相位，它是ω的线性函数。因此，如果已知一个线性相位带通ＦＩＲ数字滤波器的频响为ＨＢ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊ（ω）Ｂ并设Ｈ（ω）已归一化，即０≤Ｈ（ω）≤１，其理想特性如图Ｔ７．２上图所示，那么，设ＢＢＨｒ（ω）＝１－ＨＢ（ω）则Ｈ（ω）的特性就如图Ｔ７．２下图所示，这显然是一个带阻滤波器的幅频特性。又因为ｒ（ω）是ω的线性函数，因此Ｈｒ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊ（ω）＝［１－ＨＢ（ω）］ｅｊ（ω）ｒ是一个线性相位带阻滤波器的频响。课后答案网图Ｔ７．２·７２· （ｂ）线性相位ＦＩＲ数字滤波器频响的一般形式中Ｈ（ω）表示幅度，它是三角函数的线性组合，其具体表达式可分为４种情况：情况１：Ｎ－１２Ｈ（ω）＝∑ａ（ｎ）ｃｏｓ（ωｎ）ｎ＝０情况２：Ｎ２１）Ｈ（ω）＝∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ［（ｎ－ω］ｎ＝１２显然，当ω＝π时，Ｈ（ω）＝０。情况３：Ｎ－１２Ｈ（ω）＝∑ｃ（ｎ）ｓｉｎ（ｎω）ｎ＝１显然，当ω＝０、ω＝π时，Ｈ（ω）＝０。情况４：Ｎ２１）Ｈ（ω）＝∑ｄ（ｎ）ｓｉｎ［（ｎ－ω］ｎ＝１２显然，当ω＝０时，Ｈ（ω）＝０。对于图Ｔ７．２下图所示的带阻滤波器，显然ω＝０和ω＝π都应该在通带内，因此无论ω＝０还是ω＝课后答案网π，其幅度Ｈ（ω）都不应该为０，所以，这种带阻滤波器的幅频特性不可能是情况２、３、４这３种形式，只能够是情况１，即有Ｎ－１２Ｈｒ（ω）＝∑ａｒ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）ｎ＝０其中烄Ｎ－１ｈｒ（２）ｎ＝０ａｒ（ｎ）＝烅（７．１）Ｎ－１烆２ｈｒ（－ｎ）ｎ≠０２情况１对于带通滤波器也适合，即有Ｎ－１２ＨＢ（ω）＝∑ａＢ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）（７．２）ｎ＝０·７３· 烄Ｎ－１ｈＢ（２）ｎ＝０其中ａＢ（ｎ）＝烅（７．３）Ｎ－１烆２ｈＢ（－ｎ）ｎ≠０２而Ｎ－１２ＨＢ（ω）＝１－Ｈｒ（ω）＝１－∑ａｒ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）ｎ＝０Ｎ－１２＝１－ａｒ（０）－∑ａｒ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）（７．４）ｎ＝１将（７．２）式和（７．４）式的Ｈ（ω）的表达式进行比较，显然有ＢａＢ（０）＝１－ａｒ（０）Ｎ－１）ａＢ（ｎ）＝－ａｒ（ｎ）（ｎ＝１，２，⋯，２再由（７．１）式和（７．３）式中ａ（ｎ）和ａ（ｎ）的表达式，即可得到ｒＢＮ－１Ｎ－１ｈｒ（２）＝１－ｈＢ（２）Ｎ－１Ｎ－１Ｎ－１ｈｒ（－ｎ）＝－ｈ－，２，⋯，Ｂ（ｎ）（ｎ＝１２）２２或者Ｎ－１Ｎ－１ｈ课后答案网ｒ（ｎ）＝－ｈＢ（ｎ）（ｎ＝－１，－２，⋯，１，０）２２Ｎ－１Ｎ－１由于情况１是ｈ（ｎ）偶对称、Ｎ为奇数，所以当ｎ＝＋１，＋２，⋯，Ｎ－１时也有２２ｈｒ（ｎ）＝－ｈＢ（ｎ）７．３设ｈ１（ｎ）和ｈ２（ｎ）是两个长度相同（０≤ｎ≤７）的序列，并且都是偶对称序列，两者之间还是循环移位的关系，即ｈ（ｎ）＝ｈ（（３－ｎ））Ｒ（ｎ）。若以这两个序列分别作１２８８为两个线性相位ＦＩＲ滤波器的单位抽样响应，试证明这两个滤波器的幅频响应的抽样值相同，也即Ｈ１（ｅｊω）２π＝Ｈ２（ｅｊω）２π（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１，Ｎ＝８）ω＝Ｎｋω＝Ｎｋ证对于ｈ（ｎ）偶对称、长度Ｎ为偶数的情形，有·７４· ＮＮ－１２Ｈ（ｅｊω）＝ｅ－ｊ２ω∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ［（ｎ－１）ω］ｎ＝１２其中Ｎｂ（ｎ）＝２ｈ（－ｎ）２式中的求和部分表示频响的幅度，即有Ｎ２１Ｈ（ω）＝∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ［（ｎ－）ω］ｎ＝１２而Ｈ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）即为幅频响应。这里Ｎ＝８，故对于ｈ（ｎ）有１ω３ω５ω７ωＨ１（ω）＝ｂ１（１）ｃｏｓ＋ｂ１（２）ｃｏｓ＋ｂ１（３）ｃｏｓ＋ｂ１（４）ｃｏｓ２２２２ω３ω５ω７ω］＝２［ｈ１（３）ｃｏｓ＋ｈ１（２）ｃｏｓ＋ｈ１（１）ｃｏｓ＋ｈ１（０）ｃｏｓ２２２２同理对于ｈ（ｎ）有２ω３ω５ω７ω］Ｈ２（ω）＝２［ｈ２（３）ｃｏｓ＋ｈ２（２）ｃｏｓ＋ｈ２（１）ｃｏｓ＋ｈ２（０）ｃｏｓ２２２２现在用序号ｎ来代表ｈ（ｎ），以表示序列ｈ（ｎ）的几种情况：２２ｎ⋯－３－２－１┆０１２３４５６７┆８９１０⋯ｈ２（（ｎ）８）⋯０１课后答案网２３４５６７┆０１２３４５６７┆０１２３４５６７⋯ｈ２（（－ｎ）８）⋯０７６５４３２１┆０７６５４３２１┆０７６５４３２１⋯ｈ２（（３－ｎ）８）⋯３２１０７６５４┆３２１０７６５４┆３２１０７６５４⋯由于ｈ１（ｎ）＝ｈ２（（３－ｎ）８）Ｒ８（ｎ）故从上面的排列可知：ｈ１（０）＝ｈ２（３），ｈ１（１）＝ｈ２（２），ｈ１（２）＝ｈ２（１），ｈ１（３）＝ｈ２（０），ｈ１（４）＝ｈ２（７），ｈ１（５）＝ｈ２（６），ｈ１（６）＝ｈ２（５），ｈ１（７）＝ｈ２（４）Ｈｊω）１（ｅω＝２πｋ＝Ｈ１（ω）ω＝２πｋ８８ｋπ３ｋπ５ｋπ７ｋπ＝２ｈ２（０）ｃｏｓ＋ｈ２（１）ｃｏｓ＋ｈ２（２）ｃｏｓ＋ｈ２（３）ｃｏｓ８８８８（ｋ＝０，１，⋯，７）·７５· 而ｃｏｓ（５π）［（π－３π）ｋ］ｋ＝ｃｏｓ８８３ｋπ３ｋπ＝ｃｏｓ（ｋπ）ｃｏｓ＋ｓｉｎ（ｋπ）ｓｉｎ８８ｋ３ｋπ＝（－１）ｃｏｓ８７ππｃｏｓ（ｋ）＝ｃｏｓ［（π－）ｋ］８８ｋπｋπ＝ｃｏｓ（ｋπ）ｃｏｓ＋ｓｉｎ（ｋπ）ｓｉｎ（）８８ｋｋπ＝（－１）ｃｏｓ８所以Ｈ１（ｅｊω）２π＝２ｃｏｓｋπ［ｈ２（０）＋（－１）ｋｈ２（３）］＋ｃｏｓ３ｋπ［ｈ２（１）＋（－１）ｋｈ２（２）］ω＝ｋ８８８Ｈ２（ｅｊω）２π＝Ｈ２πω＝ｋ２（ω）ω＝ｋ８８ｋπ３ｋπ５ｋπ７ｋπ＝２ｈ２（３）ｃｏｓ＋ｈ２（２）ｃｏｓ＋ｈ２（１）ｃｏｓ＋ｈ２（０）ｃｏｓ８８８８＝２ｃｏｓｋπ［ｈ（３）＋（－１）ｋｈ２（０）］＋ｃｏｓ３ｋπ［ｈ（２）＋（－１）ｋｈ２（１）］２２８８当ｋ为偶数（ｋ＝０课后答案网，２，４，６）：Ｈ１（ｅｊω）２π＝２ｃｏｓｋπ［ｈ（０）＋ｈ（３）］＋ｃｏｓ３ｋπ［ｈ（１）＋ｈ（２）］ω＝ｋ２２２２８８８＝２ｃｏｓｋπ［ｈ（３）＋ｈ（０）］＋ｃｏｓ３ｋπ［ｈ（２）＋ｈ（１）］２２２２８８＝Ｈ２（ｅｊω）２πω＝ｋ８当ｋ为奇数（ｋ＝１，３，５，７）：Ｈ１（ｅｊω）２π＝２ｃｏｓｋπ［ｈ（０）－ｈ（３）］＋ｃｏｓ３ｋπ［ｈ（１）－ｈ（２）］ω＝ｋ８２２８２２８＝２－ｃｏｓｋπ［ｈ（３）－ｈ（０）］－ｃｏｓ３ｋπ［ｈ（２）－ｈ（１）］２２２２８８＝２ｃｏｓｋπ［ｈ（３）－ｈ（０）］＋ｃｏｓ３ｋπ［ｈ（２）－ｈ（１）］２２２２８８＝Ｈ２（ｅｊω）２πω＝ｋ８·７６· ７．４线性相位ＦＩＲ滤波器的频率响应可以表示为Ｈ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊθ（ω），其中Ｈ（ω）是ω的实函数，而θ（ω）＝［π－（Ｎ－１）ω］／２。已知ｈ（０）＝１，ｈ（１）＝２，ｈ（２）＝３，ｈ（３）＝４。（ａ）如果冲激响应ｈ（ｎ）之长度Ｎ＝８，请写出ｈ（ｎ）的其余各点的值；问ｈ（ｎ）的对称中心τ＝？（ｂ）如果冲激响应ｈ（ｎ）之长度Ｎ＝９，请写出ｈ（ｎ）的其余各点的值；问ｈ（ｎ）的对称中心τ＝？解根据θ（ω）的表达式可知这个线性相位ＦＩＲ滤波器的冲激响应ｈ（ｎ）是奇对称的。（ａ）ｈ（４）＝－ｈ（３）＝－４，ｈ（５）＝－ｈ（２）＝－３，ｈ（６）＝－ｈ（１）＝－２，ｈ（７）＝－ｈ（０）＝－１；τ＝（Ｎ－１）／２＝３．５。（ｂ）ｈ（４）＝０，ｈ（５）＝－ｈ（３）＝－４，ｈ（６）＝－ｈ（２）＝－３，ｈ（７）＝－ｈ（１）＝－２，ｈ（８）＝－ｈ（０）＝－１；τ＝（Ｎ－１）／２＝４。７．５设ｈ１（ｎ）是一个定义在区间０≤ｎ≤７的偶对称序列，而ｈ２（ｎ）＝ｈ１（（ｎ－４）８）Ｒ８（ｎ）令Ｈ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｈ（ｎ）］，Ｈ（ｋ）＝ＤＦＴ［ｈ（ｎ）］。１１２２（ａ）试用Ｈ（ｋ）来表示Ｈ（ｋ）。１２（ｂ）这两个序列是否都能够作为线性相位ＦＩＲ滤波器的冲激响应？如果ｈ（ｎ）构成１一个低通滤波器，那么课后答案网ｈ（ｎ）将构成什么类型的频选滤波器？２解（ａ）ｈ（ｎ）实际上是ｈ（ｎ）的循环移位，根据循环移位后的ＤＦＴ的表达式，有２１４ｋｋＨ２（ｋ）＝ＷＨ１（ｋ）＝（－１）Ｈ１（ｋ）８（ｂ）由于ｈ（ｎ）是偶对称的有限长序列，故可以作为线性相位ＦＩＲ滤波器的冲激１响应。将ｈ（ｎ）与ｈ（ｎ）的循环移位关系用序号来表示，有：２１０１２３４５６７４５６７０１２３即有ｈ２（０）＝ｈ１（４），ｈ２（１）＝ｈ１（５），ｈ２（２）＝ｈ１（６），ｈ２（３）＝ｈ１（７），ｈ２（４）＝ｈ１（０），ｈ２（５）＝ｈ１（１），ｈ２（６）＝ｈ１（２），ｈ２（７）＝ｈ１（３）·７７· 已知ｈ（ｎ）是偶对称的，即有１ｈ１（０）＝ｈ１（７），ｈ１（１）＝ｈ１（６），ｈ１（２）＝ｈ１（５），ｈ１（３）＝ｈ１（４）由ｈ（ｎ）与ｈ（ｎ）的关系，可知ｈ（ｎ）也是偶对称的有限长序列，因此ｈ（ｎ）也可以２１２２作为线性相位ＦＩＲ滤波器的冲激响应。由于ＤＦＴ是频谱的抽样值，所以Ｈ（ｋ）和Ｈ（ｋ）分别是滤波器ｈ（ｎ）和ｈ（ｎ）的１２１２频率响应的抽样，因为ｋＨ２（ｋ）＝（－１）Ｈ１（ｋ）故有ｋ｜Ｈ２（ｋ）｜＝｜（－１）Ｈ１（ｋ）｜＝｜Ｈ１（ｋ）｜这就是说，两个滤波器有相同的抽样幅频响应，因此，如果ｈ（ｎ）构成一个低通滤波器，那１么ｈ（ｎ）当然也构成一个低通滤波器。２７．６已知一个线性相位ＦＩＲ系统有零点ｚ＝１，ｚ＝ｅｊ２π／３，ｚ＝０．５ｅ－ｊ３π／４，ｚ＝－１／４。（ａ）还会有其他的零点吗？如果有，请写出。（ｂ）这个系统的极点在ｚ平面的什么地方？它是稳定系统吗？（ｃ）这个系统的冲激响应ｈ（ｎ）的长度最少是多少？解（ａ）由已知的零点，可以知道与之成组的其他零点：课后答案网ｚ＝ｅｊ２π／３→ｅ－ｊ２π／３－ｊ３π／４ｊ３π／４，２ｅｊ３π／４，２ｅ－ｊ３π／４ｚ＝０．５ｅ→０．５ｅｚ＝－１／４→－４（ｂ）因为是ＦＩＲ系统，故其极点都集中在ｚ＝０，当然在单位圆内，当然是稳定系统。（ｃ）如果ｈ（ｎ）的长度为Ｎ，那么该系统共有Ｎ－１个零点，反之亦然。现在已经知道的该系统的零点连同导出的共有９个，因此ｈ（ｎ）的长度最少为１０。７．７用窗口法设计一个线性相位因果ＦＩＲ高通滤波器，已知阻带边界频率为０．３π，通带边界频率为０．５π，阻带允许的最小衰减为２０ｄＢ。解根据阻带最小衰减的要求，查表７．１，可知选矩形窗就可以了。过渡带宽度·７８· Δω＝０．５π－０．３π＝０．２π而矩形窗的过渡带宽度为４π／Ｎ，因此有（４π／Ｎ）≤０．２π故Ｎ≥４π／０．２π＝２０取Ｎ＝２０。而截止频率ωｃ＝０．３π＋Δω／２＝０．４π下面用傅里叶反变换求该滤波器的冲激响应：１πｈｄ（ｎ）＝Ｈｄ（ｅｊω）ｅｊｎωｄω２π∫－π－ωπ１ｃｊｎωｊｎω＝（∫ｅｄω＋∫ｅｄω）２π－πωｃ－ωπｃ１ｊｎωｊｎω＝ｅ＋ｅ２πｊｎ－πωｃ＝１（ｅ－ｊｎωｃ－ｅｊｎωｃ＋ｅｊｎπ－ｅ－ｊｎπ）２πｊｎ＝１［ｓｉｎ（ｎπ）－ｓｉｎ（ｎω）］（－∞＜ｎ＜∞）ｃｎπ课后答案网Ｎ－１ｈ′（ｎ）＝ｈｄ（ｎ－２）ｓｉｎ［（ｎ－９．５）π］－ｓｉｎ［（ｎ－９．５）ωｃ］＝（－∞＜ｎ＜∞）（ｎ－９．５）π加矩形窗就得到所要求的滤波器的冲激响应ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）而烄１０≤ｎ≤１９ｗ（ｎ）＝烅烆０其他于是烄ｓｉｎ［（ｎ－９．５）π］－ｓｉｎ［（ｎ－９．５）０．４π］（ｎ－９．５）π０≤ｎ≤１９ｈ（ｎ）＝烅烆０其他·７９· ７．８用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器，已知－ｊ（ω－π）α烄ｅπ－ωｃ≤ω≤πＨｄ（ｅｊω）＝烅烆００≤ω＜π－ωｃ（ａ）求ｈ（ｎ）的表达式，确定α和Ｎ的关系。（ｂ）若改用升余弦窗设计，求出ｈ（ｎ）的表达式。解（ａ）先不考虑延时因子ｅ－ｊωα，求出以０为对称中心的无限长序列：－π＋ωπ１ｃｊαπｊｎωｊαπｊｎωｈｄ（ｎ）＝（∫ｅｅｄω＋∫ｅｅｄω）２π－ππ－ωｃｊαπ＝ｅ（ｅｊｎω－π＋ωｃ＋ｅｊｎωπ）－ππ－ω２πｊｎｃｊαπ＝ｅ（ｅ－ｊｎπｅｊｎωｃ－ｅ－ｊｎπ＋ｅｊｎπ－ｅｊｎπｅ－ｊｎωｃ）２ｊｎπｊαπ＝ｅ｛ｓｉｎ（ｎπ）＋ｓｉｎ［ｎ（ω）］｝（－∞＜ｎ＜∞）ｃ－πｎπ参数α表示延时，设ｈ（ｎ）的长度为Ｎ，那么α＝（Ｎ－１）／２令ｈ′（ｎ）为对称中心在α的无限长序列，则有ｈ′（ｎ）＝ｈｄ（ｎ－α）ｊαπ课后答案网＝ｅ｛ｓｉｎ［（ｎ－α）π］＋ｓｉｎ［（ｎ－α）（ω）］｝（－∞＜ｎ＜∞）（ｎ－α）πｃ－π现在对ｈ′（ｎ）加长度为Ｎ的因果矩形窗１０≤ｎ≤Ｎ－１ｗ（ｎ）＝｛其他０则所要求的滤波器的冲激响应烄ｅｊαπ｛ｓｉｎ［（ｎ－α）π］＋ｓｉｎ［（ｎ－α）（ω）］｝ｃ－πｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）＝烅（ｎ－α）π０≤ｎ≤Ｎ－１烆０其他（ｂ）如果加升余弦窗（汉宁窗），仍有ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）只是烄１［１－ｃｏｓ（２ｎπ）］０≤ｎ≤Ｎ－１ｗ（ｎ）＝烅２Ｎ－１烆０其他·８０· 于是烄ｅｊαπ｛ｓｉｎ［（ｎ－α）π］＋ｓｉｎ［（ｎ－α）（ω）］｝２ｎπｃ－π［１－ｃｏｓ（）］０≤ｎ≤Ｎ－１ｈ（ｎ）＝烅２（ｎ－α）πＮ－１烆０其他７．９用矩形窗设计一个线性相位因果带通滤波器，已知烄１－ωｃ≤ω－ω０≤ωｃＨｄ（ω）＝烅烆００≤ω＜ω０－ωｃ，ω０＋ωｃ＜ω≤π（ａ）求ｈ（ｎ）的表达式。（ｂ）若用改进的升余弦窗设计，写出ｈ（ｎ）的表达式。解（ａ）先求以０为对称中心的无限长序列：１πｊｎωｈｄ（ｎ）＝Ｈｄ（ω）ｅｄω２π∫－π－（ω０－ωｃ）ω＋ω０ｃ１ｅｊｎωｄω＋ｅｊｎωｄω＝［∫∫］２π－（ω０＋ωｃ）ω０－ωｃ－（ω－ω）ω＋ω１ｊｎω０ｃｊｎω０ｃ＝［ｅ＋ｅ］２ｊｎπ－（ω０＋ωｃ）ω０－ωｃ１－ｊｎ（ω０－ωｃ）ｊｎ（ω－ω）ｊｎ（ω＋ω）－ｊｎ（ω＋ω）＝［ｅ－ｅ０ｃ＋ｅ０ｃ－ｅ０ｃ］２ｊｎπ课后答案网＝１｛ｓｉｎ［ｎ（ω）］－ｓｉｎ［ｎ（ω）］｝（－∞＜ｎ＜∞）０＋ωｃ０－ωｃｎπ设ｈ（ｎ）的长度为Ｎ，将对称中心移到（Ｎ－１）／２得到ｈ′（ｎ）：Ｎ－１ｈ′（ｎ）＝ｈｄ（ｎ－２）（－∞＜ｎ＜∞）加矩形窗ｗ（ｎ）得到所设计的滤波器的冲激响应烄１０≤ｎ≤Ｎ－１ｗ（ｎ）＝烅烆０其他因此有烄ｓｉｎ［（ｎ－Ｎ－１）（ω）］－ｓｉｎ［（ｎ－Ｎ－１）（ω）］０＋ωｃ０－ωｃ２２０≤ｎ≤Ｎ－１ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）＝烅（ｎ－Ｎ－１）π２烆０其他·８１· （ｂ）如果用改进的升余弦窗即哈明窗设计，仍有ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ），只是ｗ（ｎ）为哈明窗，即有ｈ（ｎ）＝烄ｓｉｎ［（ｎ－Ｎ－１）（ω）］－ｓｉｎ［（ｎ－Ｎ－１）（ω）］０＋ωｃ０－ωｃ２２（０．５４－０．４６ｃｏｓ２ｎπ）０≤ｎ≤Ｎ－１烅（ｎ－Ｎ－１）πＮ－１２烆０其他７．１０用哈明窗设计一个线性相位正交变换网络，已知－ｊωα烄ｊｅ－π≤ω＜０Ｈｄ（ｅｊω）＝烅烆－ｊｅ－ｊωα０≤ω≤π（ａ）求ｈ（ｎ）的表达式，写出α与Ｎ之间的关系式。（ｂ）Ｎ为奇数或是偶数对于ｈ（ｎ）的影响的主要差别是什么？那么应该选择Ｎ是偶数还是奇数？（ｃ）若用Ｋａｉｓｅｒ窗设计，写出ｈ（ｎ）的表达式。解（ａ）先不考虑延时，即对于烄ｊ－π≤ω＜０Ｈ′ｄ（ｅｊω）＝烅课后答案网烆－ｊ０≤ω≤π进行傅里叶反变换：π０π１ｊω）ｅｊｎω１（ｊｎωｊｎωｈｄ（ｎ）＝２π∫Ｈ′ｄ（ｅｄω＝２π∫ｊｅｄω－∫ｊｅｄω）－π－π００π＝ｊ（１ｅｊｎω－１ｅｊｎω）＝１（１－ｅ－ｊｎπ－ｅｊｎπ＋１）２πｊｎ－πｊｎ０２ｎπｎ＝１－（－１）（－∞＜ｎ＜∞）ｎπ现在考虑延时：α＝Ｎ－１，Ｎ为ｈ（ｎ）之长度，得到以α为对称中心的无限长序列２ｈ′（ｎ）：１－（－１）ｎ－α１－（－１）ｎ（－１）αｈ′（ｎ）＝ｈｄ（ｎ－α）＝（ｎ－α）π＝（ｎ－α）π（－∞＜ｎ＜∞）对ｈ′（ｎ）加哈明窗就得到所要求的ｈ（ｎ）：·８２· ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）烄１－（－１）ｎ（－１）α２ｎπＮ－１（０．５４－０．４６ｃｏｓ）０≤ｎ≤Ｎ－１，α＝＝烅（ｎ－α）πＮ－１２烆０其他（ｂ）如果Ｎ为奇数，则α＝（Ｎ－１）／２为整数，于是（－１）α也是整数，从上面ｈ（ｎ）的表达式可知，此时ｈ（ｎ）是实数序列；如果Ｎ为偶数，则α＝（Ｎ－１）／２是分数，于是计算（－１）α将对－１开方，其结果为复数，故ｈ（ｎ）会成为复数序列。ｈ（ｎ）为复数的滤波器实现时当然不如实数ｈ（ｎ）方便，因此应该选择Ｎ为奇数。（ｃ）若用凯塞窗设计，冲激响应为ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）烄１－（－１）ｎ（－１）α·Ｉ（槡［１－２ｎ／（Ｎ－１）］２）０β１－烅（ｎ－α）π·Ｉ（）０≤ｎ≤Ｎ－１＝０β烆０其他７．１１用矩形窗设计一个线性相位数字微分器：Ｈｄ（ｅｊω）＝ｊωｅ－ｊωα（ω≤π）求出ｈ（ｎ）（０≤ｎ≤Ｎ－１）的表达式，并确定α与Ｎ的关系。解先不考虑延时，即对于课后答案网Ｈ′ｄ（ｅｊω）＝ｊω进行傅里叶反变换：１πｈｄ（ｎ）＝Ｈ′ｄ（ｅｊω）ｅｊｎωｄω２π∫－π１πｊｎω＝ｊωｅｄω２π∫－πｊｊｎωπ＝ｅ（ｊｎω－１）２π（ｊｎ）２－π＝－ｊ［ｅｊｎπ（ｊｎπ－１）－ｅ－ｊｎπ（－ｊｎπ－１）］２２ｎπ＝－ｊ［ｊｎπ（ｅｊｎπ＋ｅ－ｊｎπ）－（ｅｊｎπ－ｅ－ｊｎπ）］２２ｎπ＝ｃｏｓ（ｎπ）－ｓｉｎ（ｎπ）（－∞＜ｎ＜∞）ｎ２ｎπ·８３· 现在考虑延时：α＝Ｎ－１，Ｎ为ｈ（ｎ）之长度，得到以α为对称中心的无限长序列２ｈ′（ｎ）：ｈ′（ｎ）＝ｈｄ（ｎ－α）＝ｃｏｓ［（ｎ－α）π］－ｓｉｎ［（ｎ－α）π］（－∞＜ｎ＜∞）ｎ－α（ｎ－α）２π对ｈ′（ｎ）加矩形窗就得到所要求的ｈ（ｎ）：烄ｃｏｓ［（ｎ－α）π］ｓｉｎ［（ｎ－α）π］Ｎ－１－（ｎ－α）２０≤ｎ≤Ｎ－１，α＝ｈ（ｎ）＝烅ｎ－απ２烆０其他７．１２一个线性相位ＦＩＲ低通滤波器的幅频响应为烄１｜ω｜≤ωｃＨｄ（ω）＝烅烆０ωｃ＜｜ω｜≤π已知ｆ，设抽样率为２ｋＨｚ，单位抽样响应长度为３０ｍｓ，用矩形窗设计该数字滤ｃ＝５００Ｈｚ波器。（ａ）求出ｈ（ｎ）之长度Ｎ，以及延时τ。（ｂ）求出ｈ（ｎ）（０≤ｎ≤Ｎ－１）。（ｃ）设其频率响应可以表示为Ｈ（ｅｊω）＝Ｈ（ω）ｅｊθ（ω），这里Ｈ（ω）是ω的实函数。请写出Ｈ（ω）和θ（ω）的表示式。解（ａ）已知每秒有２０００个抽样点，故单位抽样响应ｈ（ｎ）之长度－３课后答案网Ｎ＝２０００×３０×１０＝６０而延时Ｎ－１τ＝＝２９．５２截止频率２π×５００πωｃ＝２πｆｃ／ｆｓ＝＝２０００２１π（ｂ）ｈ（ｎ）＝Ｈｄ（ω）ｅｊｎωｄωｄ２π∫－πωω１ｃｊｎω１ｊｎωｃ＝ｅｄω＝ｅ２π∫－ω２ｊｎπｃ－ωｃ１（ｅｊｎω－ｊｎωｓｉｎ（ｎωｃ）（－∞＜ｎ＜∞）＝ｃ－ｅｃ）＝２ｊｎπｎπ而ｈ′（ｎ）＝ｈｄ（ｎ－τ）（－∞＜ｎ＜∞）·８４· 因此烄ｓｉｎ［（ｎ－τ）ωｃ］ｈ（ｎ）＝ｈ′（ｎ）ｗ（ｎ）＝烅（ｎ－τ）π０≤ｎ≤Ｎ－１烆０其他（ｃ）显然，ｈ（ｎ）关于０偶对称，所以ｈ（ｎ）关于对称中心τ偶对称，并且ｈ（ｎ）之长ｄ度Ｎ＝６０为偶数，因此属于线性相位ＦＩＲ滤波器频率响应的情况２的情形，故有：３０Ｈ（ω）＝∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ［（ｎ－１）ω］ｎ＝１２而ｂ（ｎ）＝２ｈ（３０－ｎ）θ（ω）＝－τω＝－２９．５ω７．１３用频率抽样法设计一线性相位因果低通滤波器，Ｎ＝１５，幅频响应的抽样值为烄１ｋ＝０Ｈｋ＝烅０．５ｋ＝１，１４烆０ｋ＝２，３，⋯，１３（ａ）求相频响应的抽样值（ｋ）。（ｂ）求ｈ（ｎ）及Ｈ（ｅｊω）的表达式。解（ａ）令ｈ（ｎ）的课后答案网ＤＦＴＨ（ｋ）＝Ｈｋｅｊ（ｋ）（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１，Ｎ＝１５）又有Ｈ（ｋ）＝Ｈ（ｅｊω）２π（ω）ｅｊθ（ω）２π（ｋ＝０，１，⋯，Ｎ－１）ω＝ｋ＝Ｈω＝ｋＮＮ比较Ｈ（ｋ）的两个表达式，可以得到２πＨｋ＝Ｈ（ｋ）Ｎ２π（ｋ）＝θ（ｋ）Ｎ现在来考察这个滤波器的频率响应属于４种情况中的哪一种。首先，Ｎ为奇数；另外，如果ｈ（ｎ）奇对称，应该有Ｎ－１２Ｈ（ω）＝∑ｃ（ｎ）ｓｉｎ（ｎω）ｎ＝１·８５· 将ω＝２πｋ代入，显然，当ｋ＝０时Ｈ（２πｋ）＝０，但是根据已知条件，当ｋ＝０时Ｈｋ＝１，这ＮＮ就说明ｈ（ｎ）应该是偶对称的，于是应该属于情况１。已经知道，对于情况１，应该满足Ｈｋ＝ＨＮ－ｋ＝Ｈ１５－ｋ（ｋ＝０，１，⋯，１４）显然，题中所给的Ｈ是满足这样的对称关系的。另外，对于相频响应有ｋＮ－１θ（ω）＝－ω＝－７ω２于是，相频响应的抽样值２π２π１４（ｋ）＝θ（ｋ）＝－７×ｋ＝－πｋＮ１５１５Ｎ－１（ｂ）ｈ（ｎ）＝ＩＤＦＴ［Ｈ（ｋ）］＝１－ｋｎ（０≤ｎ≤Ｎ－１）Ｎ∑Ｈ（ｋ）ＷＮｋ＝０由于当ｋ＝２，３，⋯，１３时Ｈ，故也有Ｈ（ｋ）＝０，因此ｋ＝０１［Ｈ（０）＋Ｈ（１）Ｗ－ｎ－１４ｎ］（０≤ｎ≤１４）ｈ（ｎ）＝＋Ｈ（１４）Ｗ１５１５１５ｊ０Ｈ（０）＝Ｈ０ｅ＝Ｈ０＝１Ｈ（１）＝Ｈ－ｊ１４π／１５－ｊπｊπ／１５ｊπ／１５１ｅ＝０．５ｅｅ＝－０．５ｅＨ（１４）＝Ｈ－ｊ１４π（１４／１５）ｊ１４π（１／１５－１）１４ｅ＝０．５ｅ课后答案网＝０．５ｅｊ１４π／１５ｅ－ｊ１４π＝０．５ｅｊπ（１－１／１５）＝－０．５ｅ－ｊπ／１５所以π２πｎπ２π１４ｎ１（１－０．５ｅｊ１５ｊ－ｊｊ）ｈ（ｎ）＝ｅ１５－０．５ｅ１５ｅ１５１５１ｊπｊ２πｎ－ｊπｊ２πｎ（１－１）＝［１－０．５ｅ１５ｅ１５－０．５ｅ１５ｅ１５］１５１ｊπ（２ｎ＋１）－ｊπ（２ｎ＋１）＝［１－０．５ｅ１５－０．５ｅ１５］１５１（２ｎ＋１）π＝［１－ｃｏｓ］（０≤ｎ≤１４）１５１５注：上面的推导用到了ｅｊ２πｎ＝１。而７Ｈ（ｅｊω）＝ｅ－ｊ７ω∑ａ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）ｎ＝０·８６· 其中ｈ（７）ｎ＝０ａ（ｎ）＝｛２ｈ（７－ｎ）ｎ＝１，２，⋯，７７．１４在ｈ（ｎ）偶对称，长度Ｎ＝８的情况下，已知其频率响应的幅度可以表示为４∧１Ｈ（ｅｊω）＝∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ［（ｎ－）ω］ｎ＝０２证明该幅度还可以表示为３∧ω∧Ｈ（ｅｊω）＝ｃｏｓ∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）２ｎ＝０∧并且写出ｂ（ｎ）（ｎ＝０，１，２，３）的表示式（注意：请详细写出推导过程）。解下面的推导要利用三角公式：α＋βα－βｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝２ｃｏｓｃｏｓ２２４∧１Ｈ（ｅｊω）＝∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ［（ｎ－）ω］ｎ＝１２＝ｂ（４）ｃｏｓ（３．５ω）＋ｂ（３）ｃｏｓ（２．５ω）＋ｂ（２）ｃｏｓ（１．５ω）＋ｂ（１）ｃｏｓ（０．５ω）＋ｂ（４）ｃｏｓ（２．５ω）－ｂ（４）ｃｏｓ（２．５ω）＝２ｂ（４）ｃ课后答案网ｏｓ（３ω）ｃｏｓ（０．５ω）＋［ｂ（３）－ｂ（４）］ｃｏｓ（２．５ω）＋ｂ（２）ｃｏｓ（１．５ω）＋ｂ（１）ｃｏｓ（０．５ω）＋［ｂ（３）－ｂ（４）］ｃｏｓ（１．５ω）－［ｂ（３）－ｂ（４）］ｃｏｓ（１．５ω）＝２ｂ（４）ｃｏｓ（３ω）ｃｏｓ（０．５ω）＋［２ｂ（３）－２ｂ（４）］ｃｏｓ（２ω）ｃｏｓ（０．５ω）＋｛ｂ（２）－［ｂ（３）－ｂ（４）］｝ｃｏｓ（１．５ω）＋ｂ（１）ｃｏｓ（０．５ω）＋｛ｂ（２）－［ｂ（３）－ｂ（４）］｝ｃｏｓ（０．５ω）－｛ｂ（２）－［ｂ（３）－ｂ（４）］｝ｃｏｓ（０．５ω）＝２ｂ（４）ｃｏｓ（３ω）ｃｏｓ（０．５ω）＋［２ｂ（３）－２ｂ（４）］ｃｏｓ（２ω）ｃｏｓ（０．５ω）＋｛２ｂ（２）－［２ｂ（３）－２ｂ（４）］｝ｃｏｓ（ω）ｃｏｓ（０．５ω）＋｛ｂ（１）－ｂ（２）＋［ｂ（３）－ｂ（４）］｝ｃｏｓ（０．５ω）∧（３）ｃｏｓω∧（２）ｃｏｓω∧（１）ｃｏｓω∧（０）ｃｏｓω＝ｂｃｏｓ（３ω）＋ｂｃｏｓ（２ω）＋ｂｃｏｓ（ω）＋ｂ２２２２３ω∧＝ｃｏｓ∑ｂ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）２ｎ＝０·８７· 其中∧烄ｂ（３）＝２ｂ（４）∧∧烅ｂ（ｋ－１）＝２ｂ（ｋ）－ｂ（ｋ）（ｋ＝３，２）∧∧烆ｂ（０）＝ｂ（１）－ｂ（１）／２７．１５在ｈ（ｎ）奇对称，长度Ｎ＝９的情况下，已知其频率响应的幅度可以表示为４∧Ｈ（ｅｊω）＝∑ｃ（ｎ）ｓｉｎ（ｎω）ｎ＝１证明该幅度还可以表示为３∧∧Ｈ（ｅｊω）＝ｓｉｎω∑ｃ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）ｎ＝０∧并且写出ｃ（ｎ）（ｎ＝０，１，２，３）的表示式（注意：请详细写出推导过程）。解下面的推导要利用三角公式：α－βα＋βｓｉｎα－ｓｉｎβ＝２ｓｉｎｃｏｓ２２４∧Ｈ（ｅｊω）＝∑ｃ（ｎ）ｓｉｎ（ｎω）ｎ＝１＝ｃ（４）ｓｉｎ（４ω）＋ｃ（３）ｓｉｎ（３ω）＋ｃ（２）ｓｉｎ（２ω）＋ｃ（１）ｓｉｎω－ｃ（４）ｓｉｎ（２ω）＋课后答案网ｃ（４）ｓｉｎ（２ω）＝２ｃ（４）ｓｉｎωｃｏｓ（３ω）＋ｃ（３）ｓｉｎ（３ω）＋［ｃ（４）＋ｃ（２）］ｓｉｎ（２ω）＋ｃ（１）ｓｉｎω－ｃ（３）ｓｉｎω＋ｃ（３）ｓｉｎω＝２ｃ（４）ｓｉｎωｃｏｓ（３ω）＋２ｃ（３）ｓｉｎωｃｏｓ（２ω）＋［ｃ（４）＋ｃ（２）］ｓｉｎ（２ω）＋［ｃ（３）＋ｃ（１）］ｓｉｎω＝ｓｉｎω｛２ｃ（４）ｃｏｓ（３ω）＋２ｃ（３）ｃｏｓ（２ω）＋２［ｃ（４）＋ｃ（２）］ｃｏｓω＋［ｃ（３）＋ｃ（１）］｝３∧＝ｓｉｎω∑ｃ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）ｎ＝０注：上面的推导还用到了三角公式ｓｉｎ（２ω）＝２ｓｉｎωｃｏｓω。·８８· 其中∧烄ｃ（３）＝２ｃ（４）∧ｃ（２）＝２ｃ（３）烅∧∧ｃ（ｋ－１）＝２ｃ（ｋ）＋ｃ（ｋ＋１）（ｋ＝２）∧∧烆ｃ（０）＝ｃ（１）＋ｃ（２）／２７．１６试证明在用等波纹逼近法设计线性相位ＦＩＲ滤波器时，如果冲激响应ｈ（ｎ）∧Ｎ奇对称，并且其长度Ｎ为偶数，那么幅度函数Ｈ（ｅｊω）的极值数Ｎ的约束条件为Ｎ。ｅｅ≤２证对于这种情况（情况４），有Ｎ／２∧１Ｈ（ｅｊω）＝∑ｄ（ｎ）ｓｉｎ［（ｎ－）ω］ｎ＝１２Ｎ－１２ω∧＝ｓｉｎ∑ｄ（ｎ）ｃｏｓ（ｎω）２ｎ＝０由三角公式ｎｍｃｏｓ（ｎω）＝∑ｄｍｎｃｏｓω课后答案网ｍ＝０得到Ｎ－１２ｎ∧ω∧Ｈ（ｅｊω）＝ｓｉｎ∑ｄ（ｎ）（∑ｄｍｎｃｏｓｍω）２ｎ＝０ｍ＝０Ｎ－１２ωｋ＝ｓｉｎ∑ｄ（ｋ）ｃｏｓω２ｋ＝０其中系数ｄ（ｋ）是通过合并ｃｏｓｋω的同幂次项而得到的。现在通过求导来考察极值点。ＮＮ－１－１２２ｄ∧１ωωＨ（ｅｊω）＝ｃｏｓ∑ｄ（ｋ）ｃｏｓｋω＋ｓｉｎ∑ｋｄ（ｋ）ｃｏｓｋ－１ω（－ｓｉｎω）ｄω２２ｋ＝０２ｋ＝０ｄ∧令Ｈ（ｅｊω）＝０，则有ｄωＮＮ－１－１２２１ｃｏｓω∑ｄ（ｋ）ｃｏｓｋω＝ｓｉｎω·ｓｉｎω∑ｋｄ（ｋ）ｃｏｓｋω２２ｋ＝０２ｃｏｓωｋ＝０·８９· 两边同除以ｃｏｓω，并利用三角公式２ω１－ｃｏｓωｔａｎ＝２ｓｉｎω则上式变为ＮＮ－１－１２２１ｋ１－ｃｏｓωｋ∑ｄ（ｋ）ｃｏｓω＝∑ｋｄ（ｋ）ｃｏｓω２ｋ＝０ｃｏｓωｋ＝０令ｘ＝ｃｏｓω，则上式变为ＮＮＮ－１－１－１２２２１ｋ＋１ｋｋ＋１∑ｄ（ｋ）ｘ＝∑ｋｄ（ｋ）ｘ－∑ｋｄ（ｋ）ｘ２ｋ＝０ｋ＝０ｋ＝０将ｘ的同次幂的系数合并，则上式可以写为Ｎ－１２ｋ＋１∑ｇ（ｋ）ｘ＝０ｋ＝０ｄ∧显然，上式左边是一个ｘ的Ｎ／２次多项式，它有Ｎ／２个根，这也就是说，Ｈ（ｅｊω）有ｄω∧∧Ｎ／２个零点，或者说Ｈ（ｅｊω）至多有Ｎ／２个极值。设Ｎ为Ｈ（ｅｊω）的极值数，因此对于情ｅ况４，Ｎ的约束条件为ｅＮＮｅ≤２·９０· 第８章数字滤波器的结构８．１分别用代数方程组求解法和Ｍａｓｏｎ公式来求图Ｐ８．１所示流图的系统函数，并且写出差分方程。课后答案网图Ｐ８．１解①代数方程组求解法（ａ）节点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ如图Ｐ８．１（ａ）中所示，要求的系统函数Ｈ＝Ｙ／Ｘ，但是实际上Ｙ＝Ｄ。下面列出４个节点变量之值：－１烄Ａ＝２Ｘ＋ｚＢＢ＝１Ｘ＋１Ｃ－３ｚ－１Ｃ＝１Ｘ＋（１－３ｚ－１）Ｃ烅４４８４４８Ｃ＝Ｄ烆Ｄ＝Ａ实际上，这４个方程可以合并为两个：烄－１Ａ＝２Ｘ＋ｚＢ（８．１）烅１１３－１）Ａ（８．２）Ｂ＝Ｘ＋（－ｚ烆４４８·９１· 将（８．１）式代入（８．２）式：Ｂ＝１Ｘ＋（１－３ｚ－１）（２Ｘ＋ｚ－１Ｂ）４４８由这个式子可以解出：（３／４）（１－ｚ－１）ＸＢ＝－１／４＋（３／８）ｚ－２１－ｚ将Ｂ代入（８．１）式，得到ｚ－１（３／４）（１－ｚ－１）ＸＡ＝２Ｘ＋－１／４＋（３／８）ｚ－２１－ｚ－１２＋（１／４）ｚ＝－１／４＋（３／８）ｚ－２Ｘ１－ｚ因此，系统函数为－１ＹＤＡ２＋（１／４）ｚＨ＝Ｘ＝Ｘ＝Ｘ＝－１－２１－（１／４）ｚ＋（３／８）ｚ（ｂ）节点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ如图Ｐ８．１（ｂ）中所示，要求的系统函数为Ｈ＝Ｙ／Ｘ，但是实际上Ｙ＝Ｃ。下面写出节点变量之值：烄Ａ＝Ｘ＋ｒｃｏｓθＢ－ｒｓｉｎθＤ－１Ｂ＝ｚＡ烅Ｃ＝ｒｓｉｎθＢ＋ｒｃｏｓθＤ烆Ｄ＝ｚ－１Ｃ将含有４个未知数的这４个方程组成的方程组用矩阵形式表示出：烄１－ｒｃｏｓθ０ｒｓｉｎθ烌烄Ａ烌烄Ｘ烌－１ｚ－１００Ｂ０课后答案网＝０ｒｓｉｎθ－１ｒｃｏｓθＣ０烆００ｚ－１－１烎烆Ｄ烎烆０烎只需要求出未知数Ｃ：Ｃ＝Δ３／Δ１－ｒｃｏｓθ０ｒｓｉｎθ－１ｚ－１００Δ＝０ｒｓｉｎθ－１ｒｃｏｓθ－１００ｚ－１－１００－ｒｃｏｓθ０ｒｓｉｎθｒｓｉｎθ－１ｒｃｏｓθ－１ｒｓｉｎθ－１ｒｃｏｓθ＝－ｚ－１－１０ｚ－１０ｚ－１＝（－１＋ｒｃｏｓθｚ－１）－ｚ－１（－ｒｃｏｓθ＋ｒ２ｓｉｎ２θｚ－１＋ｒ２ｃｏｓ２θｚ－１）－１２－２＝－１＋２ｒｃｏｓθｚ－ｒｚ·９２· １－ｒｃｏｓθＸｒｓｉｎθ－１ｚ－１００Δ３＝０ｒｓｉｎθ０ｒｃｏｓθ０００－１－１ｚ－１０ｒｓｉｎθｒｃｏｓθ－１＝Ｘ０ｒｓｉｎθｒｃｏｓθ＝Ｘｚ０－１００－１－１＝－ｒｓｉｎθｚＸ因此，系统函数为ＹＣΔ３／Δｒｓｉｎθｚ－１Ｈ＝Ｘ＝Ｘ＝Ｘ＝－１２－２１－２ｒｃｏｓθｚ＋ｒｚ②用Ｍａｓｏｎ公式求解系统函数Ｙ∑ｇｉΔｉＨ＝＝ＸΔ（ａ）这个流图有两个环路，并且这两个环路相互接触，故Δ＝１－ｚ－１／４＋（３／８）ｚ－２从源点Ｘ到汇点Ｙ有两条通路，并且这两条通路都与每个环路接触，所以Ｍａｓｏｎ公式的分子中Δ均为１，只需要将两个通路传输相加，即分子为ｉ２＋ｚ－１／４于是可以得到系统函数课后答案网－１Ｙ２＋（１／４）ｚＨ＝＝－１－２Ｘ１－（１／４）ｚ＋（３／８）ｚ由这个式子有Ｙ（ｚ）［１－（１／４）ｚ－１＋（３／８）ｚ－２］＝Ｘ（ｚ）［２＋（１／４）ｚ－１］于是可以得到差分方程ｙ（ｎ）＝２ｘ（ｎ）＋（１／４）ｘ（ｎ－１）＋（１／４）ｙ（ｎ－１）－（３／８）ｙ（ｎ－２）（ｂ）这个流图有３个环路，环路传输分别为：（１）ｒｃｏｓθｚ－１（２）ｒｃｏｓθｚ－１（３）－ｒ２ｓｉｎ２θｚ－２其中，环路（１）和环路（２）互不接触，因此，Ｍａｓｏｎ公式的分母为：－１－１２２－２２２－２Δ＝１－ｒｃｏｓθｚ－ｒｃｏｓθｚ＋ｒｓｉｎθｚ＋ｒｃｏｓθｚ－１２－２＝１－２ｒｃｏｓθｚ＋ｒｚ·９３· 从源点Ｘ到汇点Ｙ只有一条通路，并且这条通路与所有的环路都接触，于是Ｍａｓｏｎ公式的分子为－１ｒｓｉｎθｚ于是得到系统函数－１ＹｒｓｉｎθｚＨ＝Ｘ＝－１２－２１－２ｒｃｏｓθｚ＋ｒｚ由此式得到Ｙ（ｚ）［１－２ｒｃｏｓθｚ－１＋ｒ２ｚ－２］＝Ｘ（ｚ）ｒｓｉｎθｚ－１故差分方程为２ｙ（ｎ）＝ｒｓｉｎθｘ（ｎ－１）＋２ｒｃｏｓθｙ（ｎ－１）－ｒｙ（ｎ－２）８．２一个系统的信号流图如图Ｐ８．２所示，Ｘ为源点，Ｙ为汇点，设系统函数为Ｈ。分别用代数方程组求解法和Ｍａｓｏｎ公式求其系统函数Ｈ＝Ｙ／Ｘ，并且写出差分方程。图Ｐ８．２解①代数方程组求解法课后答案网由流图得到各节点变量之值Ｘ１＝Ｈ１Ｘ－Ｇ２Ｘ２－Ｇ１Ｘ５Ｘ２＝Ｈ２Ｘ１Ｘ３＝Ｘ２－Ｇ３Ｘ４Ｘ４＝Ｈ３Ｘ３－Ｇ４Ｘ５Ｘ５＝Ｈ４Ｘ４这５个等式组成一个含有５个未知数的代数方程组，下面将这个方程组用矩阵表示出来：烄１Ｇ２Ｇ１烌Ｈ００烄Ｘ１烌烄Ｘ烌１Ｈ１Ｈ１Ｘ２０Ｈ２－１０００Ｘ３＝００１－１－Ｇ３０Ｘ４０００Ｈ３－１－Ｇ４烆Ｘ５烎烆０烎烆０００Ｈ４－１烎·９４· 要求系统函数Ｈ＝Ｙ／Ｘ，由于Ｙ＝Ｘ，所以只需从方程组中解出未知数Ｘ。５５由克莱姆法则Ｘ５＝Δ５／ΔΔ为线性方程组系数矩阵的行列式。１Ｇ２Ｇ１００Ｈ１Ｈ１Ｈ１Ｈ２－１０００Δ＝０１－１－Ｇ３０００Ｈ３－１－Ｇ４０００Ｈ４－１Ｇ２Ｇ１－１０００００Ｈ１Ｈ１１－１－Ｇ３０１１－１－Ｇ３０＝－Ｈ２Ｈ１０Ｈ３－１－Ｇ４０Ｈ３－１－Ｇ４００Ｈ４－１００Ｈ４－１－１－Ｇ３０烄－１－Ｇ３０１－１－Ｇ３烌－１Ｇ２Ｇ１＝Ｈ３－１－Ｇ４－Ｈ２Ｈ３－１－Ｇ４－０Ｈ３－１Ｈ１Ｈ１Ｈ１０Ｈ４－１烆０Ｈ４－１００Ｈ４烎＝（－１－Ｇ３Ｈ课后答案网３－Ｇ４Ｈ４）［－（１／Ｈ１）（１＋Ｇ２Ｈ２）］＋（Ｇ１Ｈ２／Ｈ１）（Ｈ３Ｈ４）＝（１／Ｈ１）（１＋Ｇ２Ｈ２＋Ｇ３Ｈ３＋Ｇ３Ｈ３Ｇ２Ｈ２＋Ｇ４Ｈ４＋Ｇ４Ｈ４Ｇ２Ｈ２＋Ｇ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４）１Ｇ２００ＸＨ１Ｈ１Ｈ２－１０００而Δ５＝＝Ｘ·Δ′５０１－１－Ｇ３０００Ｈ３－１００００Ｈ４０Ｈ２－１０００１－１－Ｇ３Δ′５＝＝Ｈ２Ｈ３Ｈ４００Ｈ３－１０００Ｈ４·９５· 因此，系统函数ＹＸ５Δ５Δ′５Ｈ＝＝＝＝ＸＸΔ·ＸΔＨ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４＝１＋Ｇ２Ｈ２＋Ｇ３Ｈ３＋Ｇ４Ｈ４＋Ｇ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４＋Ｇ２Ｈ２Ｇ３Ｈ３＋Ｇ２Ｈ２Ｇ４Ｈ４②用Ｍａｓｏｎ公式求解共有４个环路，环路传输分别为（１）－Ｇ２Ｈ２（２）－Ｇ３Ｈ３（３）－Ｇ４Ｈ４（４）－Ｇ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４其中两两互不接触的环路是（１）和（２），（１）和（３）。因此Ｍａｓｏｎ公式的分母为：Δ＝１＋Ｇ２Ｈ２＋Ｇ３Ｈ３＋Ｇ４Ｈ４＋Ｇ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４＋Ｇ２Ｈ２Ｇ３Ｈ３＋Ｇ２Ｈ２Ｇ４Ｈ４从输入Ｘ到输出Ｙ只有一条通路，通路传输＝Ｈ，并且它与所有的环路都接１Ｈ２Ｈ３Ｈ４触。于是根据Ｍａｓｏｎ公式即可写出系统函数ＹＨ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４Ｈ＝＝Ｘ１＋Ｇ２Ｈ２＋Ｇ３Ｈ３＋Ｇ４Ｈ４＋Ｇ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４＋Ｇ２Ｈ２Ｇ３Ｈ３＋Ｇ２Ｈ２Ｇ４Ｈ４差分方程为Ｈ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）１＋Ｇ２Ｈ２＋Ｇ３Ｈ３＋Ｇ４Ｈ４＋Ｇ１Ｈ２Ｈ３Ｈ４＋Ｇ２Ｈ２Ｇ３Ｈ３＋Ｇ２Ｈ２Ｇ４Ｈ４８．３图Ｐ８．３课后答案网中有４个网络，分别画出它们的转置网络，并且用Ｍａｓｏｎ公式说明为什么转置网络与原网络有相同的系统函数。图Ｐ８．３·９６· 解（ａ）转置网络如图Ｔ８．３（ａ）所示，它与原网络都只有一个环路，环路传输均为ｚ－１；由Ｘ到Ｙ又都只有一条通路，通路传输均为１；并且都是通路与环路相接触。故根据Ｍａｓｏｎ公式，这两个网络有相同的系统函数Ｈ＝Ｙ／Ｘ＝１／（１－ｚ－１）（ｂ）转置网络如图Ｔ８．３（ｂ）所示，它与原网络的环路情况以及由Ｘ到Ｙ的通路情况完全相同，即：一个环路传输为ｚ－１／２的环路，两条由Ｘ到Ｙ的通路，通路传输分别为：１、ｚ－１／２，这两条通路都与环路接触。所以这两个网络的系统函数都是Ｈ＝Ｙ／Ｘ＝（１＋ｚ－１／２）／（１－ｚ－１／２）（ｃ）转置网络如图Ｔ８．３（ｃ）所示，它与原网络都是前馈网络，即没有环路；由Ｘ到Ｙ的通路情况也相同。所以这两个网络的系统函数都是－１－２Ｈ＝Ｙ／Ｘ＝ａ＋ｂｚ＋ｃｚ（ｄ）转置网络如图Ｔ８．３（ｄ）所示，它与原网络的环路情况以及由Ｘ到Ｙ的通路情况完全相同，即有３个环路，环路传输分别为：（１）ｒｃｏｓθｚ－１（２）ｒｃｏｓθｚ－１（３）－ｒ２ｓｉｎ２θｚ－２其中，环路（１）和环路（２）互不接触，因此，Ｍａｓｏｎ公式的分母为：－１－１２２－２２２－２Δ＝１－ｒｃｏｓθｚ－ｒｃｏｓθｚ＋ｒｓｉｎθｚ＋ｒｃｏｓθｚ－１２－２＝１－２ｒｃｏｓθｚ＋ｒｚ从源点Ｘ到汇点Ｙ只有一条通路，并且这条通路与所有的环路都接触，于是Ｍａｓｏｎ公式的分子为－１课后答案网ｒｓｉｎθｚ所以转置网络与原网络的系统函数均为－１ＹｒｓｉｎθｚＨ＝Ｘ＝－１２－２１－２ｒｃｏｓθｚ＋ｒｚ图Ｔ８．３·９７· ８．４用最方便的方法求出图Ｐ８．４的系统函数Ｈ（ｚ）＝Ｙ（ｚ）／Ｘ（ｚ）。图Ｐ８．４解整个网络由前后两个子网络级联而成，下面用Ｍａｓｏｎ公式分别求这两个子网络的系统函数。第一个子网络：输入为ｘ（ｎ），输出为ｙ（ｎ），从输入到输出有３条通路，整个子网络１有相互接触的两个环路，并且每一条通路都与每一个环路相接触，因此可以写出其系统函数Ｙ１（ｚ）１＋０．５ｚ－１＋２ｚ－２Ｈ１（ｚ）＝Ｘ（ｚ）＝－１－２１－１．５ｚ－０．５ｚ第二个子网络：输入为ｙ（ｎ），输出为ｙ（ｎ）。这个子网络共有３个环路，环路传输分课后答案网１别为：（１）－０．２ｚ－１（２）０．２ｚ－１（３）－０．８ｚ－２显然，（１）和（２）不接触，（１）和（３）也不接触，故有－１－１－２－２－３Δ＝１＋０．２ｚ－０．２ｚ＋０．８ｚ－０．０４ｚ＋０．１６ｚ－２－３＝１＋０．７６ｚ＋０．１６ｚ由ｙ（ｎ）到ｙ（ｎ）有４条通路：１１）通路传输ｇ１＝２，与环路（２）、（３）不接触，而环路（２）、（３）相互接触，故－１－２Δ１＝１－０．２ｚ＋０．８ｚ·９８· ２）通路传输ｇ２＝４，与所有的环路都接触，故Δ２＝１３）通路传输ｇ３＝ｚ－１，与所有的环路都接触，故Δ３＝１４）通路传输ｇ４＝２ｚ－２，与所有的环路都接触，故Δ４＝１于是可以得到系统函数Ｙ（ｚ）Ｈ２（ｚ）＝Ｙ１（ｚ）２（１－０．２ｚ－１＋０．８ｚ－２）＋４＋ｚ－１＋２ｚ－２＝－２－３１＋０．７６ｚ＋０．１６ｚ－１－２６＋０．６ｚ＋３．６ｚ＝－２－３１＋０．７６ｚ＋０．１６ｚ因此整个网络的系统函数Ｙ（ｚ）Ｈ（ｚ）＝＝Ｈ１（ｚ）Ｈ２（ｚ）Ｘ（ｚ）（１＋０．５ｚ－１＋２ｚ－２）（６＋０．６ｚ－１＋３．６ｚ－２）＝（１－１．５ｚ－１－２）（１＋０．７６ｚ－２－３）－０．５ｚ＋０．１６ｚ８．５用直接型以及正准型结构实现以下系统函数：课后答案网３２（ａ）Ｈ（ｚ）＝０．８３ｚ＋２ｚ＋２ｚ＋６３２ｚ＋４ｚ＋３ｚ＋２－１－２（ｂ）Ｈ（ｚ）＝－５＋２ｚ－０．５ｚ－１－２－３１＋３ｚ＋３ｚ＋ｚ（ｃ）Ｈ（ｚ）＝－ｚ＋２２８ｚ－２ｚ－３解－１－２－３（ａ）Ｈ（ｚ）＝０．８３＋２ｚ＋２ｚ＋６ｚ－１－２－３１＋４ｚ＋３ｚ＋２ｚ图Ｔ８．５（ａ）之（１）图表示其直接型结构，（２）图是其正准型结构。（ｂ）图Ｔ８．５（ｂ）之（１）图表示其直接型结构，（２）图是其正准型结构。－ｚ－１／８＋ｚ－２／４（ｃ）Ｈ（ｚ）＝１－ｚ－１／４－３ｚ－２／８·９９· 图Ｔ８．５（ｃ）之（１）图表示其直接型结构，（２）图是其正准型结构。课后答案网图Ｔ８．５８．６用级联型结构实现系统函数，画出所有的各种级联型结构。５（１－ｚ－１）（１－２ｚ－１＋２ｚ－２）Ｈ（ｚ）＝（１－０．５ｚ－１）（１＋２ｚ－１－２）＋５ｚ解Ｈ（ｚ）零极点的搭配有两种方式，每种方式下都得到两个不同的子网络。①第一种方式－１１－ｚＨ１１（ｚ）＝－１１－０．５ｚ－１－２１－２ｚ＋２ｚＨ１２（ｚ）＝－１－２１＋２ｚ＋５ｚＨ１１（ｚ）和Ｈ１２（ｚ）的网络结构分别如图Ｔ８．６（ａ）、（ｂ）所示。这种情况下可以得到３！＝６·１００· 种级联形式：－１１－ｚ②第二种方式Ｈ２１（ｚ）＝－１－２１＋２ｚ＋５ｚ－１－２１－２ｚ＋２ｚＨ２２（ｚ）＝－１１－０．５ｚＨ２１（ｚ）和Ｈ２２（ｚ）的网络结构分别如图Ｔ８．６（ｃ）、（ｄ）所示。这种情况下也可以得到３！＝６种级联形式：课后答案网图Ｔ８．６·１０１· 因此，Ｈ（ｚ）的级联型结构总共有１２种不同的形式。８．７用级联型及并联型结构实现系统函数：３２２ｚ＋３ｚ－２ｚＨ（ｚ）＝（ｚ２－ｚ＋１）（ｚ－１）解①用级联型结构实现２ｚ（ｚ＋２）（ｚ－１／２）１＋２ｚ－１１－ｚ－１／２Ｈ（ｚ）＝（ｚ２＝２·－１－２·－１－ｚ＋１）（ｚ－１）１－ｚ＋ｚ１－ｚ信号流图如图Ｔ８．７（ａ）所示。②用并联型结构实现２７ｚ－６ｚ＋２４ｚ＋１３Ｈ（ｚ）＝２＋（ｚ２＝２＋２＋－ｚ＋１）（ｚ－１）ｚ－ｚ＋１ｚ－１－１－２－１４ｚ＋ｚ３ｚ＝２＋－１－２＋－１１－ｚ＋ｚ１－ｚ信号流图如图Ｔ８．７（ｂ）所示。课后答案网图Ｔ８．７８．８设滤波器的差分方程为１３１ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）＋ｘ（ｎ－１）＋ｙ（ｎ－１）－ｙ（ｎ－２）３４８试用正准型及一阶网络的级联型、一阶网络的并联型结构实现。解对差分方程两边进行ｚ变换：１－１３－１１－２Ｙ（ｚ）＝Ｘ（ｚ）＋ｚＸ（ｚ）＋ｚＹ（ｚ）－ｚＹ（ｚ）３４８于是得到系统函数Ｙ（ｚ）１＋ｚ－１／３Ｈ（ｚ）＝Ｘ（ｚ）＝－１／４＋ｚ－２／８１－３ｚ·１０２· 正准型结构如图Ｔ８．８（ａ）所示。又，１＋ｚ－１／３１Ｈ（ｚ）＝－１／４·－１／２１－ｚ１－ｚ级联型结构如图Ｔ８．８（ｂ）所示。又，１０／３７／３Ｈ（ｚ）＝－１／２－－１／４１－ｚ１－ｚ并联型结构如图Ｔ８．８（ｃ）所示。课后答案网图Ｔ８．８８．９试问用什么结构可以实现以下单位抽样响应：ｈ（ｎ）＝δ（ｎ）－３δ（ｎ－３）＋５δ（ｎ－７）解对上式两边进行ｚ变换：－３－７Ｈ（ｚ）＝１－３ｚ＋５ｚ可用横截型结构直接实现，如图Ｔ８．９所示。图Ｔ８．９·１０３· ８．１０已知滤波器单位抽样响应为烄ｎ２０≤ｎ≤５ｈ（ｎ）＝烅烆０其他画出横截型结构。解５５ｋｙ（ｎ）＝ｈ（ｎ）ｘ（ｎ）＝∑ｈ（ｋ）ｘ（ｎ－ｋ）＝∑２ｘ（ｎ－ｋ）ｋ＝０ｋ＝０横截型结构如图Ｔ８．１０所示。图Ｔ８．１０８．１１用卷积型和级联型网络实现系统函数：Ｈ（ｚ）＝（１－１．４ｚ－１＋３ｚ－２）（１＋２ｚ－１）解Ｈ（ｚ）＝（１－１．４ｚ－１＋３ｚ－２）（１＋２ｚ－１）（８．３）课后答案网＝１＋０．６ｚ－１＋０．２ｚ－２＋６ｚ－３（８．４）由（８．３）式得到级联型结构如图Ｔ８．１１（ａ）所示，由（８．４）式得到卷积型结构如图Ｔ８．１１（ｂ）所示。图Ｔ８．１１８．１２长度Ｎ＝６的ＦＩＲ数字滤波器的ｈ（ｎ）是偶对称的，已知ｈ（０）＝１．５，ｈ（１）＝２，ｈ（２）＝３。试用尽量简单的结构来直接实现。·１０４· 解系统函数为５－ｎＨ（ｚ）＝∑ｈ（ｎ）ｚｎ＝０－１－２－３－４－５＝ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＋ｈ（２）ｚ＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（０）ｚ＝ｈ（０）（１＋ｚ－５）＋ｈ（１）（ｚ－１＋ｚ－４）＋ｈ（２）（ｚ－２＋ｚ－３）该结构的信号流图如图Ｔ８．１２所示。图Ｔ８．１２８．１３长度Ｎ＝７的ＦＩＲ数字滤波器的ｈ（ｎ）是奇对称的，已知ｈ（０）＝３，ｈ（１）＝－２，ｈ（２）＝４。试用尽量简单的结构来直接实现。解系统函数为：６－ｎＨ（ｚ）＝∑ｈ（ｎ）ｚｎ＝０课后答案网－１－２－３－４－５－６＝ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＋ｈ（３）ｚ－ｈ（２）ｚ－ｈ（１）ｚ－ｈ（０）ｚ＝ｈ（０）（１－ｚ－６）＋ｈ（１）（ｚ－１－ｚ－５）＋ｈ（２）（ｚ－２－ｚ－４）（ｈ（３）＝０）该结构的信号流图如图Ｔ８．１３所示。图Ｔ８．１３８．１４用频率抽样型结构实现系统函数：－３－６５－２ｚ－３ｚＨ（ｚ）＝－１１－ｚ·１０５· 抽样点数Ｎ＝６，修正半径ｒ＝０．９。解５－２ｚ－３－３ｚ－６（３ｚ－３＋５）（１－ｚ－３）Ｈ（ｚ）＝－１＝－１１－ｚ１－ｚ＝（３ｚ－３＋５）（１＋ｚ－１＋ｚ－２）－１－２－３－４－５＝５＋５ｚ＋５ｚ＋３ｚ＋３ｚ＋３ｚ故有ｈ（０）＝ｈ（１）＝ｈ（２）＝５ｈ（３）＝ｈ（４）＝ｈ（５）＝３频率抽样型结构２Ｈ（ｚ）＝１（１－ｒ６ｚ－６）［∑２Ｈ（ｋ）·Ｈｋ（ｚ）＋Ｈ０（ｚ）＋ＨＮ／２（ｚ）］（８．５）６ｋ＝１其中π－１ｃｏｓθ（ｋ）－ｒｃｏｓ［θ（ｋ）－ｋ］ｚＨｋ（ｚ）＝３（ｋ＝１，２）－１π２－２１－２ｒｚｃｏｓ（ｋ）＋ｒｚ３Ｈ（０）Ｈ０（ｚ）＝－１１－ｒｚＨ（Ｎ／２）ＨＮ／２（ｚ）＝－１１＋ｒｚ可以求得课后答案网５烄Ｈ（０）＝∑ｈ（ｎ）＝２４ｎ＝０烅５Ｈ（Ｎ）＝Ｈ（３）＝∑（－１）ｎｈ（ｎ）＝烆２２ｎ＝０由于５５πＨ（ｋ）＝∑ｈ（ｎ）Ｗｎｋｈ（ｎ）ｅ－ｊ３ｎｋ（ｋ＝０，１，２，３，４，５）６＝∑ｎ＝０ｎ＝０故对于Ｈ（ｋ）的模和幅角θ（ｋ），有５５烄Ｈ（ｋ）＝｛［∑ｈ（ｎ）ｃｏｓ（πｎｋ）］２＋［∑ｈ（ｎ）ｓｉｎ（πｎｋ）］２｝１／２ｎ＝０３ｎ＝０３５烅π∑ｈ（ｎ）ｓｉｎ（ｎｋ）ｎ＝０３ｔａｎθ（ｋ）＝－５π）烆∑ｈ（ｎ）ｃｏｓ（ｎｋｎ＝０３·１０６· 于是可以算得烄｜Ｈ（１）｜＝４烅｜Ｈ（２）｜＝０烆ｔａｎθ（１）＝－槡３由ｔａｎθ（１）可以得到烄１ｃｏｓθ（１）＝±２烅槡３烆ｓｉｎθ（１）＝２于是可以得到ｃｏｓ［θ（１）－π］＝ｃｏｓθ（１）ｃｏｓπ＋ｓｉｎθ（１）ｓｉｎπ＝１３３３２将这些计算结果代入（８．５）式，得到１－０．９（－１）ｚ－１Ｈ（ｚ）＝１（１－０．９６ｚ－６）［８２２＋２４＋２］６１－１－１１－１．８（）ｚ－１＋０．９２ｚ－２１－０．９ｚ１＋０．９ｚ２－１＝（１－０．９６ｚ－６）（２／３＋０．６ｚ＋４＋１／３）－１－２－１－１１－０．９ｚ＋０．８１ｚ１－０．９ｚ１＋０．９ｚ这个结构的信号流图如图Ｔ８．１４所示。课后答案网图Ｔ８．１４８．１５ＦＩＲ数字滤波Ｎ＝５，ｈ（ｎ）＝δ（ｎ）－δ（ｎ－１）＋δ（ｎ－４），用频率抽样型结构实现，修正半径ｒ＝０．９。解显然有ｈ（０）＝１，ｈ（１）＝－１，ｈ（２）＝０，ｈ（３）＝０，ｈ（４）＝１。·１０７· 频率抽样型结构：２Ｈ（ｚ）＝１（１－ｒ５ｚ－５）［∑２Ｈ（ｋ）·Ｈｋ（ｚ）＋Ｈ０（ｚ）］（８．６）５ｋ＝１其中２π－１ｃｏｓθ（ｋ）－ｒｃｏｓ［θ（ｋ）－ｋ］ｚＨｋ（ｚ）＝５（ｋ＝１，２）－１２π２－２１－２ｒｚｃｏｓ（ｋ）＋ｒｚ５而Ｈ（０）Ｈ０（ｚ）＝－１１－ｒｚ可以求得４Ｈ（０）＝∑ｈ（ｎ）＝１ｎ＝０由于４４２πＨ（ｋ）＝∑ｈ（ｎ）Ｗｎｋｈ（ｎ）ｅ－ｊ５ｎｋ（ｋ＝０，１，２，３，４）５＝∑ｎ＝０ｎ＝０故对于Ｈ（ｋ）的模和幅角θ（ｋ），有４４烄Ｈ（ｋ）＝｛［∑ｈ（ｎ）ｃｏｓ（２πｎｋ）］２＋［∑ｈ（ｎ）ｓｉｎ（２πｎｋ）］２｝１／２ｎ＝０５ｎ＝０５４烅２π∑ｈ（ｎ）ｓｉｎ（ｎｋ）ｎ＝０５ｔａｎθ（ｋ）＝－４２π）烆课后答案网∑ｈ（ｎ）ｃｏｓ（５ｎｋｎ＝０于是可以算得｜Ｈ（１）｜＝２．１４７，｜Ｈ（２）｜＝１．５４３，ｔａｎ［θ（１）］＝１．９，ｔａｎ［θ（２）］＝１．１７６。由ｔａｎ［θ（１）］可以得到２－１／２ｃｏｓθ（１）＝±［１＋ｔａｎθ（１）］＝±（１＋１．９２）－１／２＝±０．４６６如果取正号，那么由于ｃｏｓ［θ（１）］和ｔａｎ［θ（１）］都为正，故θ（１）在第一象限，于是ｓｉｎ［θ（１）］也为正，有２ｓｉｎθ（１）＝１槡－ｃｏｓθ（１）＝１槡－０．２１６９＝０．８８５而ｃｏｓ［θ（１）－２π］＝ｃｏｓθ（１）ｃｏｓ２π＋ｓｉｎθ（１）ｓｉｎ２π５５５＝０．４６６×０．３０９＋０．８８５×０．９５１＝０．９８６·１０８· 由ｔａｎ［θ（２）］可以得到２－１／２ｃｏｓθ（２）＝±［１＋ｔａｎθ（２）］＝±（１＋１．１７６２）－１／２＝±０．６４８如果取正号，那么由于ｃｏｓ［θ（２）］和ｔａｎ［θ（２）］都为正，故θ（２）在第一象限，于是ｓｉｎ［θ（２）］也为正，有２ｓｉｎθ（２）＝槡１－ｃｏｓθ（２）＝槡１－０．４１９６＝０．７６２而４π４π４πｃｏｓ［θ（２）－］＝ｃｏｓθ（２）ｃｏｓ＋ｓｉｎθ（２）ｓｉｎ５５５＝０．６４８×（－０．８０９）＋０．７６２×０．５８８＝－０．０７６将这些计算结果代入（８．６）式，得到－１Ｈ（ｚ）＝１（１－０．９５ｚ－５）［４．２９４０．４６６－０．９×０．９８６ｚ５－１２－２１－１．８×０．３０９ｚ＋０．９ｚ－１０．６４８＋０．９×０．０７６ｚ１＋３．０８６－１２－２＋－１］１＋１．８×０．８０９ｚ＋０．９ｚ１－０．９ｚ－１－１＝（１－０．９５ｚ－５）（０．４００２－０．７６２ｚ＋０．３９９９＋０．０４２２ｚ＋０．２）－１－２－１－２－１１－０．５５６２ｚ＋０．８１ｚ１＋１．４５６２ｚ＋０．８１ｚ１－０．９ｚ这个结构的信号流图如图Ｔ８．１５所示。课后答案网图Ｔ８．１５·１０９· 第９章数字信号处理中的有限字长效应９．１将下列十进制数分别用８位（数据７位符号１位）的原码、补码、反码定点表示出来，分别考虑截尾和舍入两种情况。ｘ１＝０．４３７５，ｘ２＝－０．４３７５，ｘ３＝０．９５１５６２５，ｘ４＝－０．９５１５６２５解原码反码补码十进制数截尾舍入截尾舍入截尾舍入ｘ１＝０．４３７５０Δ０１１１００００Δ０１１１００００Δ０１１１００００Δ０１１１００００Δ０１１１００００Δ０１１１０００ｘ２＝－０．４３７５１Δ０１１１０００１Δ０１１１０００１Δ１０００１１１１Δ１０００１１１１Δ１００１０００１Δ１００１０００ｘ３＝０．９５１５６２５课后答案网０Δ１１１１００１０Δ１１１１０１００Δ１１１１００１０Δ１１１１０１００Δ１１１１００１０Δ１１１１０１０ｘ４＝－０．９５１５６２５１Δ１１１１００１１Δ１１１１０１０１Δ００００１１０１Δ００００１０１１Δ００００１１１１Δ００００１１０９．２当以下二进制数分别是原码、补码、反码时，分别写出所代表的十进制数。ｘ１＝０Δ１００１，ｘ２＝０Δ１１０１，ｘ３＝１Δ１０００，ｘ４＝１Δ１０１１解所代表的十进制数：若是原码若是反码若是补码ｘ１＝０Δ１００１０．５６２５０．５６２５０．５６２５ｘ２＝０Δ１１０１０．８１２５０．８１２５０．８１２５ｘ３＝１Δ１０００－０．５－０．４３７５－０．５ｘ４＝１Δ１０１１－０．６８７５－０．２５－０．３１２５·１１０· ９．３将９．１题中的各个数用４位（包括符号位）定点补码表示出来，并且分别就截尾和舍入两种情况计算它们与相应的８位表示时的误差。解４位定点补码ｘ（４）８位定点补码ｘ（８）Δｘ＝ｘ（４）－ｘ（８）十进制数截尾舍入截尾舍入截尾舍入ｘ１＝０．４３７５０Δ０１１０Δ１０００Δ０１１１００００Δ０１１１０００－０．０６２５０．０６２５ｘ２＝－０．４３７５１Δ１００１Δ１０１１Δ１００１０００１Δ１００１０００－０．０６２５０．０６２５ｘ３＝０．９５１５６２５０Δ１１１１＋０Δ００００Δ１１１１００１０Δ１１１１０１０－０．０７０３１２５０．０４６８７５ｘ４＝－０．９５１５６２５１Δ０００１Δ０００１Δ００００１１１１Δ００００１１０－０．０５４６８７５－０．０４６８７５９．４设输入序列ｘ（ｎ）通过一量化器Ｑ［］的输入输出关系如图Ｐ９．４所示，量化器输出ｘ（ｎ）的形式为ｘ（ｎ）＝ｘ（ｎ）＋ｅ（ｎ）。误差序列ｅ（ｎ）是一个平稳随机过程，它＝＝在误差范围内有均匀分布的概率密度，它的各抽样值之间互不相关，并且ｅ（ｎ）与ｘ（ｎ）也不相关。假设ｘ（ｎ）是均值为０、方差为σ２的平稳白噪声。ｘ课后答案网图Ｐ９．４（ａ）写出ｅ（ｎ）的误差范围，求ｅ（ｎ）的均值和方差。（ｂ）求信噪比σ２／σ２。ｘｅ解（ａ）由量化器的输入输出关系（即图Ｐ９．４）可知，量化误差的范围为－Δ／２＜ｅ（ｎ）≤Δ／２·１１１· 由所假设的ｅ（ｎ）的统计特性以及ｅ（ｎ）的误差范围，可知ｅ（ｎ）的均值为ｍｅ＝０方差为σ２２／１２ｅ＝Δ假设量化器的字长为Ｌ＋１位，则－ＬΔ＝２为量化间距。（ｂ）信噪比２２２σｘσｘ１２σｘ２Ｌ２２＝２／１２＝－２Ｌ＝１２×２σｘσｅΔ２用对数表示：ＳＮＲ＝１０ｌｇ（σ２／σ２）＝６．０２Ｌ＋１０．７９＋１０ｌｇσ２ｘｅｘ９．５设一个数字系统的系统函数为：－１０．５－０．８２６５４３３２１ｚＨ（ｚ）＝－１－２１－１．６５７８２３４４ｚ＋０．７５６６２２３ｚ而存储器的字长为８ｂｉｔ，请写出实际的系统函数Ｈ（ｚ）的表达式。＝解令ａ课后答案网＝０．８２６５４３３２１，ｂ１＝１．６５７８２３４４，ｂ２＝０．７５６６２２３将这些系数用８位二进制数表示出来，不考虑符号位，并且进行舍入处理，得到：ａ＝０Δ１１０１０１０，ｂ１＝１Δ１０１０１００，ｂ２＝０Δ１１００００１＝＝＝再将每个８位二进制数转换为十进制数：ａ＝０．８２８１２５，ｂ１＝１．６５６２５，ｂ２＝０．７５７８１２５＝＝＝因此，系数量化后实际的系统函数为－１Ｈ（ｚ）＝０．５－０．８２８１２５ｚ－１－２＝１－１．６５６２５ｚ＋０．７５７８１２５ｚ９．６Ａ／Ｄ变换器的字长为Ｌ＋１位，它的输出信号通过一个单位抽样响应１ｎｎｈ（ｎ）＝［ａ＋（－ａ）］ｕ（ｎ）２的离散系统，其中｜ａ｜＜１。试确定系统输出端上量化噪声的方差，以及输出端的信噪比。·１１２· 解离散系统的系统函数：∞∞∞Ｈ（ｚ）＝∑ｈ（ｎ）ｚ－ｎ＝１［∑ａｎｚ－ｎ＋∑（－ａ）ｎｚ－ｎ］ｎ＝－∞２ｎ＝０ｎ＝０１１１＝２［１－ａｚ－１＋１－（－ａｚ－１）］上式中的两个幂级数收敛分别应该满足条件：｜ａｚ－１｜＜１和｜－ａｚ－１｜＜１，综合起来则应该满足｜ｚ｜＞｜ａ｜。系统Ｈ（ｚ）的输入量化噪声－２Ｌ２２σｅ＝１２而输出量化噪声σ２２［１ｚ－１Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ－１）ｄｚ］＝σ２ｆ＝σｅｅＩ２πｊ∮ｃ下面用留数定理求积分Ｉ。令被积函数ｚ－１Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ－１）＝Ｈ（ｚ）１由于Ｈ（ｚ）的收敛域为｜ｚ｜＞｜ａ｜，而｜ａ｜＜１，所以单位圆在Ｈ（ｚ）的收敛域内；而Ｈ（ｚ－１）的收敛域应该为｜ｚ－１｜＞｜ａ｜，即｜ｚ｜＜（１／｜ａ｜），由于（１／｜ａ｜）＞１，所以单位圆也在Ｈ（ｚ－１）的收敛域内。因此单位圆在被积函数Ｈ（ｚ）的解析区域内，于是就选单位圆１作为积分围线ｃ。Ｈ－１－１）１（ｚ）＝ｚＨ（ｚ）Ｈ（ｚ课后答案网－１１ｚｚ１１１＝ｚ［（＋）］［（＋）］２ｚ－ａｚ＋ａ２１－ａｚ１＋ａｚ１１１１１＝（＋）（＋）４ｚ－ａｚ＋ａ１－ａｚ１＋ａｚ在围线ｃ内Ｈ（ｚ）有两个极点ｚ＝±ａ，于是有１Ｉ＝Ｒｅｓ［Ｈ１（ｚ），ｚ＝ａ］＋Ｒｅｓ［Ｈ１（ｚ），ｚ＝－ａ］１ｚ－ａ１１１ｚ＋ａ１１＝（１＋）（＋）＋（＋１）（＋）４ｚ＋ａ１－ａｚ１＋ａｚｚ＝ａ４ｚ－ａ１－ａｚ１＋ａｚｚ＝－ａ１１１１１１＝（２＋２）＋（２＋２）４１－ａ１＋ａ４１＋ａ１－ａ１１１＝（２＋２）２１－ａ１＋ａ因此，输出噪声功率即输出端量化噪声的方差－２Ｌσ２２２（１＋１）ｆ＝σｅＩ＝２４２２１－ａ１＋ａ·１１３· 令输入信号未经Ａ／Ｄ变换器量化时，系统输出信号的功率为σ２，则输出端的信噪ｙ比为：２σｙ２－２Ｌ１１＝σ２／［（＋）］＝１２×２２Ｌ（１－ａ２）（１＋ａ２）σ２２ｙ２４１－ａ２１＋ａ２ｙσｆ９．７研究下面的系统函数：－１１－０．４ｚＨ（ｚ）＝－１－２１－０．９ｚ＋０．１８ｚ（ａ）计算Ｈ（ｚ）的零点和极点。（ｂ）若系数舍入成４位（包括符号位）的定点补码表示，计算系统函数系数量化后的零点和极点。解－１－１（ａ）Ｈ（ｚ）＝１－０．４ｚ＝１－０．４ｚ１－０．９ｚ－１＋０．１８ｚ－２（１－０．３ｚ－１）（１－０．６ｚ－１）因此Ｈ（ｚ）的零极点为：零点：ｚ＝０．４；极点：ｚ＝０．３，ｚ＝０．６。－１１＋１Δ１０１ｚ（ｂ）Ｈ（ｚ）＝－１－２１＋１Δ００１ｚ＋０Δ００１ｚ－１１－０．３７５ｚ＝－１－２１－０．８７５ｚ＋０．１２５ｚ课后答案网－１１－０．３７５ｚ＝（１－０．１７９８ｚ－１）（１－０．６９５２ｚ－１）零点：ｚ＝０．３７５；极点：ｚ＝０．１７９８，ｚ＝０．６９５２。９．８一个二阶ＩＩＲ网络的系统函数为－１０．４－０．３４ｚＨ（ｚ）＝（１－０．９ｚ－１）（１－０．７ｚ－１）用６位字长的定点算法来实现，尾数作舍入处理。（ａ）在正准型结构下，画出信号流图，并且标明乘积项有限字长效应所产生的误差的输入点。（ｂ）计算由于乘积的有限字长效应所产生的输出噪声功率。（ｃ）对于级联型结构，重复（ａ）、（ｂ）。（ｄ）对于并联型结构，重复（ａ）、（ｂ）。·１１４· 解每次相乘所产生的噪声的功率－２Ｌ２２１１σｅ＝＝１０＝１２１２×２１２２８８（ａ）－１０．４－０．３４ｚＨ（ｚ）＝－１－２１－１．６ｚ＋０．６３ｚ正准型结构以及相乘误差的输入点如图Ｔ９．８（ａ）所示。（ｂ）图Ｔ９．８（ａ）中，ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）分别表示与系数０．４、－０．３４、１．６、１２３４－０．６３相乘后因有限字长所产生的误差，其中ｅ１（ｎ）和ｅ２（ｎ）直接输出，而ｅ３（ｎ）和ｅ４（ｎ）均通过网络Ｈ（ｚ），因此输出噪声的功率为σ２２２［１ｚ－１Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ－１）ｄｚ］＝２σ２（１＋Ｉ）ｆ＝２σｅ＋２σｅｅ２πｊ∮ｃ积分Ｉ用留数定理计算，被积函数Ａ（ｚ）＝ｚ－１Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ－１）－１Ａ（ｚ）＝１·０．４－０．３４ｚ·０．４－０．３４ｚｚ（１－０．９ｚ－１）（１－０．７ｚ－１）（１－０．９ｚ）（１－０．７ｚ）０．４ｚ－０．３４·０．４－０．３４ｚ＝（ｚ－０．９）（ｚ－０．７）（１－０．９ｚ）（１－０．７ｚ）选单位圆作为积分围线ｃ，则Ａ（ｚ）在ｃ内的极点为ｚ＝０．９，ｚ＝０．７。于是１Ｉ＝Ａ（ｚ）ｄｚ２πｊ课后答案网ｃ＝Ｒｅｓ［Ａ（ｚ），ｚ＝０．９］＋Ｒｅｓ［Ａ（ｚ），ｚ＝０．７］０．４ｚ－０．３４０．４－０．３４ｚ＝·ｚ－０．７（１－０．９ｚ）（１－０．７ｚ）ｚ＝０．９０．４ｚ－０．３４０．４－０．３４ｚ＋·ｚ－０．９（１－０．９ｚ）（１－０．７ｚ）ｚ＝０．７（０．３６－０．３４）（０．４－０．３０６）（０．２８－０．３４）（０．４－０．２３８）＝＋０．２（１－０．８１）（１－０．６３）－０．２（１－０．６３）（１－０．４９）０．００１８８－０．００９７２＝＋０．０１４０６－０．０３７７４＝０．１３３７＋０．２５７５５＝０．３９１２５·１１５· 输出噪声的功率２２２σｆ＝２σｅ×１．３９１２５＝２．７８２５σｅ－１（ｃ）Ｈ（ｚ）＝１·０．４－０．３４ｚ－１－１１－０．９ｚ１－０．７ｚ级联型结构以及相乘误差的输入点如图Ｔ９．８（ｂ）所示。图Ｔ９．８（ｂ）中，ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）分别表示与系数０．４、－０．３４、０．９、０．７相１２３４乘后因有限字长所产生的误差，其中ｅ（ｎ）和ｅ（ｎ）直接输出，ｅ（ｎ）通过网络Ｈ（ｚ），而１２３ｅ４（ｎ）通过网络－１０．４－０．３４ｚＨ１（ｚ）＝－１１－０．７ｚ因此输出噪声的功率为σ２２２［１ｚ－１Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ－１）ｄｚ］＋σ２［１ｚ－１Ｈ１（ｚ）Ｈ１（ｚ－１）ｄｚ］ｆ＝２σｅ＋σｅ２πｊ∮ｅｃ２πｊ∮ｃ＝σ２（２＋Ｉ＋Ｉ）ｅ１积分Ｉ上面已经算出：Ｉ＝０．３９１２５积分Ｉ也用留数定理计算，被积函数１Ｂ（ｚ）＝ｚ－１Ｈ－１）１（ｚ）Ｈ１（ｚ－１Ｂ（ｚ）＝１·０．４－０．３４ｚ·０．４－０．３４ｚｚ－１１－０．７ｚ课后答案网１－０．７ｚ０．４ｚ－０．３４·０．４－０．３４ｚ＝ｚ（ｚ－０．７）１－０．７ｚ选单位圆作为积分围线ｃ，则Ｂ（ｚ）在ｃ内的极点为ｚ＝０，ｚ＝０．７。于是１Ｉ１＝Ｂ（ｚ）ｄｚ２πｊ∮ｃ＝Ｒｅｓ［Ｂ（ｚ），ｚ＝０］＋Ｒｅｓ［Ｂ（ｚ），ｚ＝０．７］０．４ｚ－０．３４０．４－０．３４ｚ０．４ｚ－０．３４０．４－０．３４ｚ＝·＋·ｚ－０．７１－０．７ｚｚ＝０ｚ１－０．７ｚｚ＝０．７－０．３４×０．４（０．２８－０．３４）（０．４－０．２３８）＝＋－０．７０．７（１－０．４９）０．１３６－０．００９７２＝＋０．７０．３５７＝０．１９４３－０．０２７２＝０．１６７１·１１６· 输出噪声的功率σ２２（２＋０．３９１２５＋０．１６７１）＝２．５５８３５σ２ｆ＝σｅ×ｅ（ｄ）Ｈ（ｚ）＝０．１＋０．３－１－１１－０．９ｚ１－０．７ｚ并联型结构以及相乘误差的输入点如图Ｔ９．８（ｃ）所示。课后答案网图Ｔ９．８图Ｔ９．８（ｃ）中，ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）分别表示与系数０．１、０．９、０．７、０．３相乘１２３４后因有限字长所产生的误差，其中ｅ（ｎ）通过网络Ｈ（ｚ），ｅ（ｎ）通过网络Ｈ（ｚ），而２２３３ｅ１（ｎ）和ｅ４（ｎ）直接输出，这里０．１Ｈ２（ｚ）＝－１１－０．９ｚ０．３Ｈ３（ｚ）＝－１１－０．７ｚ因此输出噪声的功率为σ２２２［１ｚ－１Ｈ２（ｚ）Ｈ２（ｚ－１）ｄｚ］＋σ２［１ｚ－１Ｈ３（ｚ）Ｈ３（ｚ－１）ｄｚ］ｆ＝２σｅ＋σｅｅ２πｊ∮ｃ２πｊ∮ｃ＝σ２（２＋Ｉ）ｅ２＋Ｉ３·１１７· 积分Ｉ用留数定理计算，被积函数２Ｃ（ｚ）＝ｚ－１Ｈ－１）２（ｚ）Ｈ２（ｚ１０．１０．１＝··ｚ１－０．９ｚ－１１－０．９ｚ０．１０．１＝·ｚ－０．９１－０．９ｚ选单位圆作为积分围线ｃ，则Ｃ（ｚ）在ｃ内的极点为ｚ＝０．９，于是１Ｉ２＝Ｃ（ｚ）ｄｚ＝Ｒｅｓ［Ｃ（ｚ），ｚ＝０．９］２πｊ∮ｃ０．０１０．０１＝＝＝０．０５２６１－０．９ｚｚ＝０．９０．１９积分Ｉ也用留数定理计算，被积函数３Ｄ（ｚ）＝ｚ－１Ｈ－１）３（ｚ）Ｈ３（ｚ１０．３０．３＝··ｚ１－０．７ｚ－１１－０．７ｚ０．３０．３＝·ｚ－０．７１－０．７ｚ选单位圆作为积分围线ｃ，则Ｄ（ｚ）在ｃ内的极点为ｚ＝０．７，于是１Ｉ３＝Ｄ（ｚ）ｄｚ＝Ｒｅｓ［Ｄ（ｚ），ｚ＝０．７］２πｊ∮ｃ０．０９０．０９＝＝＝０．１７６５课后答案网１－０．７ｚｚ＝０．７０．５１输出噪声的功率σ２２（２＋０．０５２６＋０．１７６５）＝２．２２９１σ２ｆ＝σｅ×ｅ９．９设有一数字均衡器的系统函数为２２２ａ０ｋｚ＋ａ１ｋｚ＋１Ｈ（ｚ）＝∏（ｚ－ａ）（ｚ＋ａ）＝∏Ｈｋ（ｚ）ｋ＝１０ｋ１ｋｋ＝１其中ａ和ａ如下表所示：０ｋ１ｋｋａ０ｋａ１ｋ１０．９０．３２０．７０．１·１１８· （ａ）画出二阶子网络Ｈ（ｚ）的正准型信号流图，并且标出乘积的舍入误差的馈入ｋ点。（ｂ）令Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ），再令Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ），比较在两种不同的级联ａ１２ｂ２１次序下乘积的舍入误差所产生的输出噪声功率的大小。注：写出每种情况下输出噪声功率的表达式，只需要用留数定理计算这两个表达式中不同的积分以进行比较，并不需要计算表达式中的每一个积分。解－１－２ａ０ｋ＋ａ１ｋｚ＋ｚ（ａ）Ｈ（ｚ）＝ｋ－１－２１－ａ３ｋｚ－ａ２ｋｚ其中ａ３ｋ＝ａ０ｋ－ａ１ｋａ２ｋ＝ａ０ｋａ１ｋ正准型信号流图以及乘积的舍入误差的馈入点如图Ｔ９．９所示。课后答案网图Ｔ９．９（ｂ）对于Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ）的级联结构，误差ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）通过网络Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ），ａ１２３１２１１２误差ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）和ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）通过网络Ｈ（ｚ），而误差ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）直接输出。０１１１３２２２２０２１２因此，输出噪声的功率为σ２２［１ｚ－１Ｈ１（ｚ）Ｈ２（ｚ）Ｈ１（ｚ－１）Ｈ（ｚ－１）ｄｚ］ｆａ＝２σｅ２２πｊ∮ｃ＋４σ２［１ｚ－１Ｈ２（ｚ）Ｈ２（ｚ－１）ｄｚ］＋２σ２ｅｅ２πｊ∮ｃ＝２σ２（Ｉ＋２Ｉ）ｅ２＋１对于Ｈ（ｚ）＝Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ）的级联结构，误差ｅ（ｎ）、ｅ（ｎ）通过网络Ｈ（ｚ）Ｈ（ｚ），误差ｂ２１３２２２２１ｅ０２（ｎ）、ｅ１２（ｎ）和ｅ３１（ｎ）、ｅ２１（ｎ）通过网络Ｈ１（ｚ），而误差ｅ０１（ｎ）、ｅ１１（ｎ）直接输出。因此，输出噪声的功率为·１１９· σ２２［１ｚ－１Ｈ２（ｚ）Ｈ１（ｚ）Ｈ２（ｚ－１）Ｈ（ｚ－１）ｄｚ］ｆｂ＝２σｅ１２πｊ∮ｃ＋４σ２［１ｚ－１Ｈ１（ｚ）Ｈ１（ｚ－１）ｄｚ］＋２σ２ｅｅ２πｊ∮ｃ＝２σ２（Ｉ＋２Ｉ）ｅ１＋１因此，只需要计算出积分Ｉ和Ｉ，就可以比较在不同的级联次序下的输出噪声的大小。１２积分Ｉ的被积函数１Ａ（ｚ）＝ｚ－１Ｈ－１）１（ｚ）Ｈ１（ｚ－１－２２１ａ０１＋ａ１１ｚ＋ｚａ０１＋ａ１１ｚ＋ｚ＝··ｚ－１－２２１－ａ３１ｚ－ａ２１ｚ１－ａ３１ｚ－ａ２１ｚ２２ａ０１ｚ＋ａ１１ｚ＋１ａ０１＋ａ１１ｚ＋ｚ＝·ｚ（ｚ－ａ０１）（ｚ＋ａ１１）（１－ａ０１ｚ）（１＋ａ１１ｚ）２２０．９ｚ＋０．３ｚ＋１·０．９＋０．３ｚ＋ｚ＝ｚ（ｚ－０．９）（ｚ＋０．３）（１－０．９ｚ）（１＋０．３ｚ）选单位圆作为积分围线ｃ，Ａ（ｚ）在ｃ内有３个极点：ｚ＝０，ｚ＝０．９，ｚ＝－０．３。于是有Ｉ１＝Ｒｅｓ［Ａ（ｚ），ｚ＝０］＋Ｒｅｓ［Ａ（ｚ），ｚ＝０．９＋］Ｒｅｓ［Ａ（ｚ），ｚ＝－０．３］２２０．９ｚ＋０．３ｚ＋１·０．９＋０．３ｚ＋ｚ＝（ｚ－０．９）（ｚ＋０．３）（１－０．９ｚ）（１＋０．３ｚ）ｚ＝０２２０．９ｚ＋０．３ｚ＋１·０．９＋０．３ｚ＋ｚ＋ｚ（ｚ＋０．３）（１－０．９ｚ）（１＋０．３ｚ）ｚ＝０．９２２０．９ｚ＋０．３ｚ＋１·０．９＋０．３ｚ＋ｚ课后答案网＋ｚ（ｚ－０．９）（１－０．９ｚ）（１＋０．３ｚ）ｚ＝－０．３１０．９１．９９９１．９８０．９９１０．９＝×＋×＋×－０．２７１１．０８０．２４１３０．３６１．１５５７＝－３．３３３＋１５．１８８＋２．１４４＝１３．９９９积分Ｉ的被积函数２Ｂ（ｚ）＝ｚ－１Ｈ－１）２（ｚ）Ｈ２（ｚ－１－２２１ａ０２＋ａ１２ｚ＋ｚａ０２＋ａ１２ｚ＋ｚ＝··ｚ－１－２２１－ａ３２ｚ－ａ２２ｚ１－ａ３２ｚ－ａ２２ｚ２２ａ０２ｚ＋ａ１２ｚ＋１ａ０２＋ａ１２ｚ＋ｚ＝·ｚ（ｚ－ａ０２）（ｚ＋ａ１２）（１－ａ０２ｚ）（１＋ａ１２ｚ）２２０．７ｚ＋０．１ｚ＋１·０．７＋０．１ｚ＋ｚ＝ｚ（ｚ－０．７）（ｚ＋０．１）（１－０．７ｚ）（１＋０．１ｚ）·１２０· 选单位圆作为积分围线ｃ，Ｂ（ｚ）在ｃ内有３个极点：ｚ＝０，ｚ＝０．７，ｚ＝－０．１。于是有Ｉ２＝Ｒｅｓ［Ｂ（ｚ），ｚ＝０］＋Ｒｅｓ［Ｂ（ｚ），ｚ＝０．７＋］Ｒｅｓ［Ｂ（ｚ），ｚ＝－０．１］２２０．７ｚ＋０．１ｚ＋１·０．７＋０．１ｚ＋ｚ＝（ｚ－０．７）（ｚ＋０．１）（１－０．７ｚ）（１＋０．１ｚ）ｚ＝０２２０．７ｚ＋０．１ｚ＋１·０．７＋０．１ｚ＋ｚ＋ｚ（ｚ＋０．１）（１－０．７ｚ）（１＋０．１ｚ）ｚ＝０．７２２０．７ｚ＋０．１ｚ＋１·０．７＋０．１ｚ＋ｚ＋ｚ（ｚ－０．７）（１－０．７ｚ）（１＋０．１ｚ）ｚ＝－０．１１０．７１．４１３１．２６０．９９７０．７＝×＋×＋×－０．０７１０．５６０．５４５７０．０８０．９９７＝－１０＋５．８２６＋８．７５＝４．５７６由于Ｉ，所以σ２２。１＞Ｉ２ｆｂ＞σｆａＮ－１９．１０一个ＦＩＲ滤波器为Ｈ（ｚ）＝∑ａｎｚ－ｎ，用直接型结构实现，以６位（包括符号ｎ＝０位）字长舍入方式进行量化处理。（ａ）计算由于乘积项的有限字长效应所产生的输出噪声功率σ２。课后答案网ｆ（ｂ）当Ｎ＝５１２时，若要求σ２≤１０－８，则字长至少应该选取多少位？ｆ解－２Ｌ－１０（ａ）σ２２２Ｎ＝２Ｎｆ＝Ｎσｅ＝１２１２（ｂ）要求－２Ｌ２－８×５１２≤１０１２故有８Ｌ－８－１１０×１２８４≥（１０×１２／５１２）＝３于是有８＋ｌｇ１２８－ｌｇ３８＋２．１０７－０．４７７Ｌ≥＝＝１５．９９７ｌｇ４０．６０２因此Ｌ≥１６，而字长（Ｌ＋１）≥１７。·１２１· ９．１１一阶ＩＩＲ系统的差分方程为ｙ（ｎ）＝ａｙ（ｎ－１）＋ｘ（ｎ），已知在无限精度情况下，这个系统是稳定的。当在有限精度情况下实现时，对相乘的结果作截尾处理，因此实际的差分方程是ｙ（ｎ）＝Ｑ［ａｙ（ｎ－１）］＋ｘ（ｎ）＝＝式中Ｑ［］表示截尾量化后的结果。（ａ）如果信号和乘法器系数都是原码表示的，试问当有限精度实现时，是否存在形式为ｙ（ｎ）＝ｙ（ｎ－１）的零输入极限环？请说明理由。＝＝（ｂ）上述结果对于补码截尾仍然成立吗？为什么？解由差分方程可以得到这个系统的系统函数１ｚＨ（ｚ）＝－１＝１－ａｚｚ－ａ因此可知ｚ＝ａ为其极点。由于在无限精度下系统是稳定的，故极点应该在单位圆内，所以有｜ａ｜＜１。（ａ）根据原码截尾的量化特性，即图９．１（ｂ），可知，不论ｘ为正或负，都有｜Ｑ［ｘ］｜≤｜ｘ｜因此有｜Ｑ［ａｙ（ｎ－１）］｜≤｜ａｙ（ｎ－１）｜（９．１）＝＝而实际输出满足差分方程ｙ（ｎ）＝Ｑ［ａｙ（ｎ－１）］＋ｘ（ｎ）＝＝零输入时，ｘ（ｎ）＝课后答案网０，故有｜ｙ（ｎ）｜＝｜Ｑ［ａｙ（ｎ－１）］｜＝＝所以（９．１）式可以写为ｙ（ｎ）≤｜ａｙ（ｎ－１）｜＝｜ａ｜｜ｙ（ｎ－１）｜＜｜ｙ（ｎ－１）｜＝＝＝＝这就是说，当ｘ（ｎ）＝０时｜ｙ（ｎ）｜＜｜ｙ（ｎ－１）｜＝＝因此不存在｜ｙ（ｎ）｜＝｜ｙ（ｎ－１）｜的零输入极限环。＝＝（ｂ）对于补码截尾的情形，由图９．１（ａ）可知，当ｘ＞０时｜Ｑ［ｘ］｜≤｜ｘ｜而当ｘ＜０时｜Ｑ［ｘ］｜≥｜ｘ｜因此上述结果不成立。·１２２·'