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  • 2022-04-22 11:31:12 发布

数字信号处理 第二版 (周利清 苏菲 著) 北京邮电大学出版社 课后答案

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前言“数字信号处理”是各高等院校电子类专业和通信类专业学生的一门非常重要的专业基础课,这是一本与北京邮电大学出版社新近出版的《数字信号处理基础》相配套的习题解答。对于原书中所有的习题,在这本书中都有详细的解答过程以及最后答案,同时也说明了解题过程中所用的公式、定理等依据的出处。通过这本习题解答,读者可以更清楚地理解和掌握数字信号处理的基本原理、基本概念和基本算法。原书共有9章,其中第1章和第5章都是概述性的内容,没有习题,也就未作习题解答,因此共有7章的习题解答。希望读者在首先学习原书,基本理解了原书所讲解的基本原理、基本概念和基本算法,并且看懂了有关例题的基础上,再来作各章后面的习题;而且对于每一道习题,最好是先自己做,然后再看习题解答,并且将自己的做法在解题的思路、过程以及答案等方面与习题解答进行比较,这样你将获得较大的收获。笔者认为,做习题主要不在于数量,而是应该每做一题都要认真思考、认真总结,尽量做到做一题就有一题的收获。课后答案网上述观点如有不当之处,习题解答中的内容如有错误之处,都欢迎读者批评指正。这本书可以作为本科生的配套教材www.hackshp.cn,并且可以作为从事数字信号处理工作的技术人员自学所用。编者2005年9月 目录第2章离散系统的性质和离散信号的变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第3章离散傅里叶变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20第4章快速傅里叶变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37第6章IIR数字滤波器的原理及设计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯49第7章FIR数字滤波器的原理及设计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯70第8章数字滤波器的结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯91第9章数字信号处理中的有限字长效应⋯⋯⋯⋯⋯⋯110课后答案网www.hackshp.cn 第2章离散系统的性质和离散信号的变换2.1有模拟正弦信号xa(t)=3sin(100πt),设抽样频率fs=300样值/秒。(a)求离散时间信号x(n)=x(nT)的周期N。as(b)计算x(n)在一个周期内的样值。解(a)x(t)=3sin(100πt)=3sin(Ω)a0t因此,该正弦信号的角频率Ω0=2πf0=100π于是可知该正弦信号的频率f0=50Hz=50周/秒又因为抽样频率f样值/秒,所以在一个周期内的样值数为课后答案网s=300300样值/秒÷50周/秒=6样值/周也即离散信号x(n)的周期www.hackshp.cnN=6。(b)x(n)=x(nT)as=3sin(100πnTs)=3sin(100πn/fs)=3sin(100πn/300)=3sin(nπ/3)于是可求得x(n)在一个周期内的样值:n012345x(n)3sin(0)3sin(π/3)3sin(2π/3)3sin(π)3sin(4π/3)3sin(5π/3)=0=2.598=2.598=0=-2.598=-2.5982.2若离散时间信号为2cos(2πn/3),抽样率为3000Hz,写出所对应的模拟信号的表达式。·1· 解由于离散信号为x(n)=2cos(2πn/3)故应该令所对应的模拟信号xa(t)=2cos(Ω0t)于是又有x(n)=xa(nTs)=2cos(Ω0nTs)比较x(n)的两个表达式,可以得到Ω0nTs=2πn/3故Ω0=2π/(3Ts)=2πfs/3=2π·3000/3=2000π于是所对应的模拟信号xa(t)=2cos(2000πt)2.3一个理想抽样器的抽样角频率Ωs=8πrad/s,抽样后经一个理想的低通滤波器ΩH(2Ω)来还原,这里Ωc=4πrad/s。当输入信号分别为xa1(t)=2cos(2πt)、xa2(t)=ccos(5πt)时,分别写出输出信号ya1(t)、ya2(t)的表达式。解抽样周期T/Ωs=2πs=0.25sxj2πt-j2πt课后答案网a1(t)=2cos(2πt)=2cos(Ω1t)=e+e因此x(t)的频谱X(Ω)含有±2π这两个频率成分,频谱幅度均为1。由于a1a1Ω1=2π<Ωs/2=4π,故由www.hackshp.cnxa1(t)得到的抽样信号的频谱不会混叠;抽样信号经过Ωc=4π=Ωs/2的理想低通滤波器之后,可以保留Xa1(Ω)的所有频率成分,所以输出信号ya1(t)=(1/Ts)(ej2πt+e-j2πt)=8cos(2πt)又,x(t)=cos(5πt)=cos(Ω)=(1/2)(ej5πt+e-j5πt)a22t因此x(t)的频谱X(Ω)含有±5π这两个频率成分,频谱幅度均为1/2。由于a2a2Ω2=5π>Ωs/2=4π,故由xa2(t)得到的抽样信号的频谱将发生混叠,在从-Ωs=-8π到Ωs=8π的两个周期之内,抽样信号的频谱不但含有±5π这两个频率成分,而且含有因为混叠所产生的±3π这两个频率成分;抽样信号经过Ω/2的理想低通滤波器之c=4π=Ωs后,保留的频率成分为±3π,所以输出信号ya2(t)=(1/Ts)(1/2)(ej3πt+e-j3πt)=4cos(3πt)这是与输入信号x(t)不同频率的余弦信号。a2·2· 2.4试画出下面各序列的图形。(a)x(n)=0.5nu(n+1)(b)x(n)=2n-2u(n-1)(c)x(n)=δ(n-1)+u(-n)(d)x(n)=2-nu(n)+u(-n-2)解参见图T2.4(a)~(d)。课后答案网图T2.4www.hackshp.cn2.5下列系统中,y(n)表示输出,x(n)表示输入,试确定输入输出关系是否线性?是否时不变?n(a)y(n)=2x(n)+3(b)y(n)=x2(n)(c)y(n)=∑x(m)m=-∞解设x(n)、x(n)是两个任意序列,a、b是两个任意常数。12(a)系统定义为:y(n)=T[x(n)]=2x(n)+3①线性组合的变换:T[ax1(n)+bx2(n)]=2[ax1(n)+bx2(n)]+3=2ax1(n)+2bx2(n)+3=y′(n)·3· 变换的线性组合:aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=a[2x1(n)+3]+b[2x2(n)+3]=2ax1(n)+2bx2(n)+3(a+b)=y″(n)因为a、b是任意常数,不可能使3恒等于3(a+b),故y′(n)≠y″(n),该系统是非线性的。②将x(n)先移位后变换:T[x(n+M)]=2x(n+M)+3(M为一整数)将x(n)先变换后移位:y(n)=T[x(n)]=2x(n)+3y(n+M)=2x(n+M)+3=T[x(n+M)]所以该系统是时不变的。(b)系统定义为:y(n)=T[x(n)]=x2(n)①线性组合的变换:2T[ax1(n)+bx2(n)]=[ax1(n)+bx2(n)]=a2x12(n)+b2x2(n)+2abx(n)x(n)212课后答案网=y′(n)变换的线性组合:aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ax12(n)+bx2(n)=y″(n)www.hackshp.cn2显然y′(n)≠y″(n),因此该系统是非线性的。②将x(n)先移位后变换:T[x(n+M)]=x2(n+M)(M为一整数)将x(n)先变换后移位:y(n)=T[x(n)]=x2(n)y(n+M)=x2(n+M)=T[x(n+M)]所以该系统是时不变的。(c)系统定义为:ny(n)=T[x(n)]=∑x(m)m=-∞·4· ①线性组合的变换:nT[ax1(n)+bx2(n)]=∑[ax1(m)+bx2(m)]m=-∞nn=a∑x1(m)+b∑x2(m)m=-∞m=-∞=y′(n)变换的线性组合:nnaT[x1(n)]+bT[x2(n)]=a∑x1(m)+b∑x2(m)=y″(n)m=-∞m=-∞因为y′(n)=y″(n),因此该系统是线性的。②将x(n)先移位后变换:n+MT[x(n+M)]=∑x(m)(M为一整数)m=-∞将x(n)先变换后移位:ny(n)=T[x(n)]=∑x(m)m=-∞n+My(n+M)=∑x(m)=T[x(n+M)]m=-∞所以该系统是时不变的。2.6确定下列系统是否因果的?是否稳定的?课后答案网(a)y(n)=g(n)x(n),g(n)有界nwww.hackshp.cn(b)y(n)=∑x(m)m=-∞(c)y(n)=x(n-n)0解(a)假设对某一时刻n,当n<n时,输入信号不改变,即有x(n)=x(n)。而输出0012信号y(n)=g(n)x(n),y(n)=g(n)x(n),于是当n<n时,也有y(n)=y(n),即1122012此时输出也不变化,所以是因果系统。又,由于g(n)有界,故对所有n,都有|g(n)|<∞。现在设输入信号x(n)有界,也即对所有n,都有|x(n)|<∞。而输出y(n)=g(n)x(n),因此对所有n,也都有|y(n)|=|g(n)||x(n)|<∞。这就是说,当输入有界时,输出也有界,所以系统是稳定的。·5· 注意,此题不能用h(n)来确定其因果性和稳定性,因为这不是一个LTI系统。(b)由2.5(c)题已经知道这是一个LTI系统,因此可以利用h(n)来判定。n1n≥0h(n)=∑δ(m)={=u(n)m=-∞0n<0也即当n<0时,h(n)=0,故为因果系统。而∞∞∞∑h(n)=∑u(n)=∑1=∞n=-∞n=-∞n=0故系统是非稳定的。(c)首先验证它是否是一个LTI系统。设x(n)、x(n)是两个任意序列,a、b是两12个任意常数。T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(n-n0)+bx2(n-n0)=y′(n)aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ax1(n-n0)+bx2(n-n0)=y″(n)由于y′(n)=y″(n),所以是线性系统。又,设M为一整数。T[x(n+M)]=x(n+M-n0)而y(n+M)=x(n-n0+M)=T[x(n+M)]所以是时不变系统。于是可以用h(n)来判定。课后答案网h(n)=T[δ(n)]=δ(n-n0)因此h(n)只在n=n时不为0。所以,如果n,那么当n<0时,h(n)=0,系统是因00≥0果的;如果n,由于h(n)=1,所以系统是非因果的。0<00又,www.hackshp.cn∞∞∑h(n)=∑δ(n-n0)=1<∞n=-∞n=-∞所以该系统是稳定的。2.7确定下列线性时不变系统是否因果的?是否稳定的?(a)x(n)=anu(n),h(n)=u(n+1)(b)h(n)=(1/2)nu(n)解(a)因为h(-1)=u(0)=1即h(n)不满足当n<0时为0,故这个LTI系统不是因果的。·6· 因为∞∞∞∑h(n)=∑u(n+1)=∑1=∞n=-∞n=-∞n=-1故这个LTI系统是非稳定的。(b)当n<0时,因为u(n)=0,故nh(n)=(1/2)u(n)=0因此该LTI系统是因果的。因为∞∞n∞n111∑h(n)=∑()u(n)=∑()==2<∞n=-∞n=-∞2n=021-(1/2)故该LTI系统是稳定的。2.8x(n)为输入序列,h(n)为线性时不变系统的单位抽样响应,确定输出序列y(n)。(a)x(n)={x(-1),x(0),x(1),x(2),x(3)}={0.25,1,2,1,0.25};h(n)=u(n)(b)x(n)={x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2)}={1,2,1,1,2};h(n)=δ(n-2)(c)x(n)={2,-1};h(n)={3,2,1}解∞∞y(n)=x(n)h(n)=∑x(k)h(n-k)=∑h(k)x(n-k)k=-∞k=-∞烄0n<-1n3∑x(k)-1≤n≤3(a)y(n)课后答案网=∑x(k)u(n-k)=烅k=-1k=-13∑x(k)=4.5n>3www.hackshp.cn烆k=-1∞(b)y(n)=∑δ(k-2)x(n-k)=x(n-2)k=-∞由于x(n)定义在-2到2区间,所以y(n)在0到4区间,依次为:1,2,1,1,2。(c)用排序法求这个线性卷积y(n)=h(n)x(n)321-12y(0)=6-12y(1)=1-12y(2)=0-12y(3)=-1·7· 2.9直接计算卷积和,求序列n烄n-n0n≥n烄α0≤n<Nβ0h(n)=烅与x(n)=烅烆0其他烆0n<n0的卷积y(n)=x(n)h(n)。解∞∞k-ny(n)=x(n)h(n)=∑x(k)h(n-k)=∑β0h(n-k)k=-∞k=n0(1)当n<n时,y(n)=0。0(2)当n时,0≤n<n0+Nnnnky(n)=∑k-n0αn-k=α(β)βn∑k=nβ0k=nα00αn(/α)n0-(β/α)n+1β=·nβ01-(β/α)n-n+1n-n+1α0-β0=(α≠β)α-β若α=βnnk-nn-kn-nn-ny(n)=∑β0α=∑α0=α0(n-n0+1)k=nk=n00(3)当n≥n时,0+Nnk-nn-ky(n)=∑β0αk=n-N+1若α≠β课后答案网nnkn-n0+1(αN-N-1)y(n)=α∑(β)=ββnwww.hackshp.cnβ0k=n-N+1αα-β若α=βnn-nn-ny(n)=∑α0=Nα0k=n-N+1读者可以画出两个序列所在区间的图形来帮助理解y(n)的分段表示,以及各表达式中的求和范围。2.10已知LTI系统的单位抽样响应为h(n)=δ(n)+2δ(n-1)-3δ(n-2)+δ(n-3)求单位阶跃响应(即当输入为单位阶跃信号时的输出)y(n)。解该系统的单位阶跃响应·8· ∞y(n)=h(n)u(n)=∑h(k)u(n-k)k=-∞∞=∑[δ(k)+2δ(k-1)-3δ(k-2)+δ(k-3)]u(n-k)k=-∞∞∞=∑δ(k)u(n-k)+2∑δ(k-1)u(n-k)k=-∞k=-∞∞∞-3∑δ(k-2)u(n-k)+∑δ(k-3)u(n-k)k=-∞k=-∞=u(n)+2u(n-1)-3u(n-2)+u(n-3)2.11试确定下列序列的傅里叶变换。(a)x(n)=0.5δ(n+1)+0.5δ(n-1)(b)x(n)=anu(n)(0<a<1)(c)x(n)=u(n+3)-u(n-4)解离散信号的傅里叶变换∞X(ejω)=∑x(n)e-jnωn=-∞∞(a)X(ejω)=∑[0.5δ(n+1)+0.5δ(n-1)]e-jnωn=-∞∞∞-jnω-jnω=0.5∑δ(n+1)e+0.5∑δ(n-1)e课后答案网n=-∞n=-∞jω-jω=0.5e+0.5e=cosωwww.hackshp.cn∞∞(b)X(ejω)=∑anu(n)e-jnω=∑(ae-jω)nn=-∞n=0jω1e=-jω=jω1-aee-a上式中的级数收敛是因为|ae-jω|=a<1。1-3≤n≤3(c)x(n)=u(n+3)-u(n-4)={其他0所以∞3X(ejω)=∑x(n)e-jnω=∑(e-jω)nn=-∞n=-3(e-jω)-3-(e-jω)4ej3ω-e-j4ω=-jω=-jω1-e1-e·9· 2.12令x(n)和X(ejω)表示一个序列及其傅里叶变换,利用X(ejω)表示下面各序列的傅里叶变换。(a)bx(n)(b为任意常数)(b)x(n-n)(n为整数)00(c)g(n)=x(2n)x(n/2)(n为偶数)(d)g(n)={为奇数)0(n解∞X(ejω)=∑x(n)e-jnωn=-∞∞∞(a)X(ejω)=bx(n)e-jnω=b∑x(n)e-jnω=bX(ejω)a∑n=-∞n=-∞∞∞(b)X(ejω)=-jnω-j(k+n)ωb∑x(n-n0)e=∑x(k)e0n=-∞k=-∞∞=e-jn0ω∑x(k)e-jkω=e-jn0ωX(ejω)k=-∞∞∞∞k(c)G(ejω)=∑g(n)e-jnω=∑x(2n)e-jnω=∑x(k)e-j2ωn=-∞n=-∞k=-∞k为偶数∞1k-jkω=∑[x(k)+(-1)x(k)]e2k=-∞2∞∞1-jkω1jπk-jkω=∑x(k)e2+∑x(k)(e)e2课后答案网2k=-∞2k=-∞∞1jω1-jk(ω-π)=X(e2)+∑x(k)e222k=-∞1www.hackshp.cnjω1j(ω-π)=X(e2)+X[e2]221ωω=[X(ej2)+X(-ej2)]2∞∞∞(d)G(ejω)=∑g(n)e-jnω=∑g(2r)e-j2rω=∑x(r)e-jr2ω=X(ej2ω)n=-∞r=-∞r=-∞2.13一个LTI系统的单位抽样响应为n1h(n)=()u(n)2求其频率响应H(ejω)。设另一系统的频率响应为1/H(ejω),单位抽样响应为h′(n),试证明h(n)h′(n)=δ(n)·10· 解∞H(ejω)=犉[h(n)]=∑h(n)e-jnωn=-∞∞1n12ejω=∑()e-jnω==21-e-jω/22ejω-1n=0因为犉[h′(n)]=1/H(ejω)故根据傅里叶变换的卷积特性,有犉[h(n)h′(n)]=H(ejω)·(1)=1H(ejω)又由于∞-jnω犉[δ(n)]=∑δ(n)e=1n=-∞故比较上面二式即有h(n)h′(n)=δ(n)2.14求下列各序列的z变换,并指出其零极点和收敛域。nn(a)δ(n)+(1)u(n)(b)(1)u(n)231n1n31≤n≤4(c)(3)u(n)-(2)u(-n-1)(d)x(n)={其他0解课后答案网∞-nz变换定义式X(z)=犣[x(n)]=∑x(n)zn=-∞∞n(a)X(z)www.hackshp.cn=∑[δ(n)+(1)u(n)]z-nn=-∞2∞∞n=∑δ(n)z-n+∑(1)u(n)z-nn=-∞n=-∞2∞n=1+∑(1z-1)n=0214z-1=1+1-z-1/2=2z-1零点:X(z)分子的零点,即z=1/4;极点:X(z)分母的零点,即z=1/2;∞n由导出X(z)时幂级数∑(1z-1)收敛的条件z-1/2<1,即得到X(z)的收敛n=02域:z>1/2。·11· ∞n∞n(b)X(z)=∑(1)u(n)z-n=∑(1)z-nn=-∞3n=03=1=3z(z-1/3<1)1-z-1/33z-1零点:z=0;极点:z=1/3;收敛域:|z|>1/3。∞nn(c)X(z)=∑[(1)u(n)-(1)u(-n-1)]z-nn=-∞32∞n∞n=∑(1)u(n)z-n-∑(1)u(-n-1)z-nn=-∞3n=-∞2∞n-∞n=∑(1)z-n-∑(1)z-nn=03n=-12∞-n=1-∑(1)zn(z-1/3<1)1-z-1/32n=1∞=3z+1-∑(2z)n3z-1n=0=3z+1-1(2z<1)3z-11-2z25z-12z=(3z-1)(1-2z)零点:z=0,z=5/12;极点:z=1/3,z=1/2;收敛域:1/3<|课后答案网z|<1/2。∞4(d)X(z)=∑x(n)z-n=∑3z-nwww.hackshp.cnn=-∞n=1=3(z-1+z-2+z-3+z-4)z3+z2+z+1(z2+1)(z+1)=34=34zz零点:z=-1,z=±j;极点:z=0(四阶);收敛域:|z|>0。2.15已知序列x(n)的z变换为X(z),收敛域为R-<|z|<R+,用X(z)表示下面各序列的z变换,并指出各自的收敛域。(a)x(n)=x(n-1)(b)x(n)=3x(n+2)12(c)x(n)=2x(-n)(d)x(n)=-2nx(n)34·12· 解(a)由z变换的移位性质,可知-1X1(z)=zX(z)收敛域:R,且z≠0。-<|z|<R+(b)由z变换的线性和移位性质,有2X2(z)=3zX(z)收敛域:R,且z≠∞。-<|z|<R+(c)由z变换的线性和翻转性质,有X3(z)=3X(1/z)收敛域:(1/R)<|z|<(1/R)。+-(d)由乘以指数序列的z变换,可知X4(z)=-X(z/2)收敛域:2R。-<z<2R+2.16设F(z)是因果序列f(n)的z变换,求下列各情况下的f(0)和f(∞)。(a)F(z)=(2z-1)/(z-1)(b)F(z)=(e-aT-1)z/[z2-(1+e-aT)z+e-aT](a、T均为正数)解(a)由初值定理-12-zf(0)=limF(z)=lim-1=2课后答案网z→∞z→∞1-z又,因为F(z)只在z=1有一阶极点,故可以用终值定理:f(∞www.hackshp.cn)=lim[(z-1)F(z)]=(2z-1)=1z→1z=1(b)由初值定理(e-aT-1)z-1f(0)=limF(z)=lim-aT)z-1-aT-2=0z→∞z→∞1-(1+e+ez又,由于(e-aT-1)z(e-aT-1)zF(z)=2-aT)z+e-aT=(z-1)(z-e-aT)z-(1+e有两个一阶极点:z=1在单位圆上,z=e-aT<1在单位圆内,故可以用终值定理:(e-aT-1)zf(∞)=lim[(z-1)F(z)]=-aT=-1z→1z-ez=1·13· 22.17试利用x(n)的z变换求nx(n)的z变换。解利用z变换的性质:dX(z)犣[nx(n)]=-zdz现在令X1(z)=犣[nx(n)]则犣[n2dX1(z)d(-zdX(z))x(n)]=-z=-zdzdzdz2dX(z)dX(z)]=-z[--z2dzdz2dX(z)2dX(z)=z+z2dzdz收敛域与X(z)的收敛域相同。z(1-a2)2.18证明,若0<|a|<1及x(n)=a|n|,则X(z)=,并指-az2+(1+a2)z-a出其收敛域。证∞-1∞-n-n-nn-nX(z)=∑x(n)z=∑az+∑azn=-∞n=-∞n=0∞课后答案网∞=∑anzn+∑(az-1)nn=1n=0∞www.hackshp.cn=∑(az)n-1+1(az-1<1)-1n=01-az=1-1+z(az<1)1-azz-a222z-a-z+az+a-az+z-az=(1-az)(z-a)z(1-a2)=-az2+(1+a2)z-a收敛域:1a<z<a·14· 2.19求X(z)在所有可能收敛区域的反变换。zX(z)=(z-1)2(z-2)解X(z)的极点:z=1(二阶),z=2,故收敛域有下面3种情况:(1)|z|<1(2)1<|z|<2(3)|z|>2令nn-1zX1(z)=X(z)z=(z-1)2(z-2)显然这里m=1,分界点为1-m=0。(1)积分围线C在|z|<1内。n≥0:X1(z)在C内(包括C上)解析,故x(n)=0;n<0:X1(z)在C外有极点z=1(二阶)和z=2,故x(n)=-{Res[X1(z),z=1]+Res[X1(z),z=2]}nn1dzz=-{1![dzz-2]z+[(z-1)2]}=1z=2=-[-(n+1)+2n]=n+1-2n因此x(n)=(n+1-2n)u(-n-1)(2)围线C在课后答案网1<|z|<2内。n≥0:X1(z)在C内有二阶极点z=1,故xwww.hackshp.cn(n)=Res[X1(z),z=1]=-(n+1)n<0:X1(z)在C外有极点z=2,故nx(n)=-Res[X1(z),z=2]=-2因此nx(n)=-(n+1)u(n)-2u(-n-1)(3)积分围线C在|z|>2内。n≥0:X1(z)在C内有极点z=1(二阶)和z=2,故nx(n)=Res[X1(z),z=1]+Res[X1(z),z=2]=-(n+1)+2n<0:X1(z)在围线C外(包括C上)解析,故x(n)=0。因此nx(n)=[2-(n+1)]u(n)·15· 1。2.20已知X(z)=1-z(a)若|z|>1,求x(n)。(b)若|z|<1,求x(n)。解-1∞∞(a)X(z)=1=-z=-z-1∑(z-1)n=-z-1∑z-n1-z1-z-1n=0n=0根据z变换的定义式以及z变换的移位性质,可知x(n)=-u(n-1)∞-∞(b)X(z)=1=∑zk=∑z-n1-zk=0n=0所以x(n)=u(-n)2.21有一线性时不变系统的单位抽样响应为h(n),输入信号为x(n),若烄3-nn≥0烄-n2n≥0x(n)=烅h(n)=烅烆n0烆0n<02n<用两种方法求该系统的输出信号y(n):(a)直接求线性卷积;(b)用z变换求。解∞(a)y(n)=h(n)x(n)=∑2-kx(n-k)k=0当n<0,对于课后答案网k≥0,由于n-k<0,故n-kx(n-k)=2所以www.hackshp.cn∞∞y(n)=∑2-k2n-k=2n∑2-2k=2n1=42n=2n+2/31-2-23k=0k=0n∞当n≥0,y(n)=∑2-k3-(n-k)+∑2-k2n-kk=0k=n+1nk∞=3-n∑(3)+2n∑2-2kk=02k=n+11-(3/2)n+1∞1kn1k=3-n+2n[∑()-∑()]1-(3/2)k=04k=04nn+1=(1)(-2)[1-3n+1(1)n+1]+2n[1-1-(1/4)]321-(1/4)1-(1/4)-n-nnn-n=-2×3+3×2+(4/3)×2-(4/3)×2+(1/3)×2-n-n=-2×3+(10/3)×2·16· 故y(n)=[(10/3)×2-n-2×3-n]u(n)+(2n+2/3)u(-n-1)∞-1∞(b)X(z)=∑x(n)z-n=∑2nz-n+∑3-nz-nn=-∞n=-∞n=0∞∞=∑2-nzn+∑(z-1/3)nn=1n=0∞=-1+∑(z/2)n+1(z-1/3<1)1-z-1/3n=0=-1+1+3z(z/2<1)1-z/23z-15z=(2-z)(3z-1)由式中幂级数的收敛条件可以得到X(z)的收敛域:1/3<|z|<2。又,∞∞-n-n-nH(z)=∑h(n)z=∑2zn=-∞n=0=1=2z(1/2z<1)1-2-1z-12z-1由式中幂级数的收敛条件可以得到H(z)的收敛域:|z|>1/2。于是有:210zY(z)=X(z)H(z)=(2-z)(3z-1)(2z-1)收敛域:1/2<|z|课后答案网<2。下面用留数法求Y(z)的反变换y(n)。令www.hackshp.cn10zn+1n-1Y1(z)=Y(z)z=(2-z)(3z-1)(2z-1)这里m=2,故分界点为1-m=-1。积分围线C在Y(z)的收敛域内。当n<-1,因Y(z)在C外有极点z=2,因此1n+1y(n)=-Res[Y10z=2n+2/31(z),z=2]=(3z-1)(2z-1)z=2当n≥-1,因Y(z)在C内有极点z=1/2和z=1/3,因此1y(n)=Res[Y1(z),z=1/2]+Res[Y1(z),z=1/3]n+1n+110z10z=+2(2-z)(3z-1)z=1/23(2-z)(2z-1)z=1/3-n-n=(10/3)×2-2×3于是,·17· n+2y(n)=2u(-n-2)+[102-n-2×3-n]u(n+1)33n+2(-1)+2=2u(-n-1)-2+[102-n-2×3-n]u(n)333+[102-(-1)-2×3-(-1)]3n+2=2u(-n-1)+[102-n-2×3-n]u(n)33(a)与(b)的结果相同。2.22已知X(z)=ez+e1/2(z≠∞),求x(n)。解∞n-∞z1/2z1/21/201-nX(z)=e+e=∑n!+e=ez+∑(-n)!zn=0n=0所以1/21x(n)=eδ(n)+(-n)!u(-n)2.23令x(n)是一因果序列,又设x(0)≠0,试证明在z=∞处X(z)没有极点和零点。证由于x(n)为因果序列,故由初值定理有:limX(z)=x(0)z→∞而x(0)是一个不为课后答案网0的有限数,即X(∞)=x(0)既不等于0也不等于∞,这就是说,在z=∞处X(z)既无零点也无极点。www.hackshp.cn2.24研究一线性时不变系统,该系统的输入和输出满足差分方程:1y(n)=x(n)-y(n-1)2从下列诸项中选取两个满足该系统的单位抽样响应。nnn(a)(-1)u(n)(b)(-1)u(-n-1)(c)(1)u(n-1)222(d)2nu(n)(e)n1/2u(n)(f)(-2)nu(-n-1)n(g)2-nu(n)(h)--(1)u(-n-1)(i)-(-2)nu(-n-1)2解对差分方程两边进行z变换:-1Y(z)=X(z)-(1/2)zY(z)·18· 该LTI系统的系统函数:Y(z)1zH(z)==-1/2=X(z)1+zz+1/2极点为z=-1/2,因此H(z)的收敛域或者为|z|>1/2,或者为|z|<1/2。对于|z|>1/2,有h(n)=(-1)nu(n)2与(a)相同,因此(a)是满足该系统的单位抽样响应。对于|z|<1/2,有h(n)=-(-1)nu(-n-1)2与(h)相同,故(h)也是满足该系统的单位抽样响应。课后答案网www.hackshp.cn·19· 第3章离散傅里叶变换烄2n0≤n≤33.1已知:x(n)=烅,h(n)=R5(n-1)。以N=6为周期来延拓这烆0其他两个序列,分别得到周期序列x槇(n)和h槇(n),求这两个周期序列的周期卷积y槇(n)(只需N求出0≤n≤N-1区间的值)。解5槇槇yN(n)=∑x(m)h(n-m)m=0槇h(n)的主值序列为0,1,1,1,1,1。m012345x(m)014900h槇(-m)⋯011111011111011课后答案网⋯将h槇(-m)逐次向右移位就得到各h槇(n-m),在主值区间与x(m)对应相乘并相加就得到周期卷积。下面是周期卷积在主值区间的各个值。www.hackshp.cnn012345槇yN(n)14131051414槇3.2如果x(n)是一个周期为N的周期序列,则它也是周期为2N的周期序列。把槇槇槇x(n)看作周期为N的周期序列,令X1(k)表示其DFS,再把x(n)看作周期为2N的周槇槇槇期序列,再令X2(k)表示其DFS,试利用X1(k)确定X2(k)。解N-1槇槇knX1(k)=∑x(n)WNn=0·20· 2N-1而槇槇knX2(k)=∑x(n)W2Nn=0N-1N-1槇kn槇k(n+N)=∑x(n)W2N+∑x(n+N)W2Nn=0n=0N-1N-1槇nk/2槇nk·WkN=∑x(n)WN+∑x(n)W2N2Nn=0n=0N-1槇k)+(WN)k槇nk/2=X1(22N∑x(n)WNn=0槇k)+(-1)k槇k)=X1(X1(22烄槇k2X1()k为偶数=烅2烆0k为奇数槇槇槇槇3.3研究两个周期序列x(n)和y(n)。x(n)的周期为N,y(n)的周期为M。序列w槇(n)定义为w槇(n)=x槇(n)+y槇(n)。(a)试证明w槇(n)是周期性的,NM是它的周期。槇槇槇槇槇(b)令x槇(n)的DFS为X(k),y(n)的DFS为Y(k),试利用X(k)和Y(k)表示槇W(k)。解(a)因为w槇课后答案网(n+MN)=x槇(n+MN)+y槇(n+NM)槇槇槇=x(n)+y(n)=w(n)所以w槇(n)是以MN为周期的周期序列。www.hackshp.cnMN-1(b)槇槇knW(k)=∑w(n)WMNn=0MN-1MN-1槇kn槇kn=∑x(n)WMN+∑y(n)WMNn=0n=0式中第一项:MN-1M-1(r+1)N-1槇kn槇kn∑x(n)WMN=∑∑x(n)WMNn=0r=0n=rNM-1N-1槇k(s+rN)=∑∑x(s+rN)WMNr=0s=0M-1N-1kkrN槇sM=∑WMN∑x(s)WNr=0s=0·21· M-1kr槇k=∑WX()MMr=0M-1槇krk=X()∑WMMr=0烄槇kM·X()k=lM=烅M(l为整数)烆0k≠lM同理可得到式中第二项:MN-1N-1槇kn槇k)rk∑y(n)WMN=Y(N∑WNn=0r=0烄槇k)k=lNN·Y(=烅N(l为整数)烆0k≠lN于是可以得到烄槇k)+N·槇k)k=lM并且k=mNM·X(Y(MN槇k槇M·X()k=lM并且k≠mNW(k)=烅M(l、m均为整数)槇kN·Y()k≠lM并且k=mNN烆0k≠lM并且k≠mN3.4计算下列有限长序列x(n)的DFT,假设长度为N。(a)x(n)=课后答案网δ(n)(b)x(n)=δ(n-n)0<n00<N(c)x(n)=anwww.hackshp.cn0≤n≤N-1(d)x(n)={1,2,-3,-1}解N-1nk(a)X(k)=∑x(n)WNn=0N-1nk0=∑δ(n)WN=WN=1(0≤k≤N-1)n=0N-1nknk(b)X(k)=∑δ(n-n0)W=W0(0≤k≤N-1)NNn=0N-1N-1(c)X(k)=nnk(aWk)n∑aWN=∑Nn=0n=0k)NN1-(aWN1-a(0≤k≤N-1)=k=k1-aW1-aWNN·22· 3nk(d)X(k)=∑x(n)W4n=00k2k3k=W4+2W4-3W4-W4kk3k=1+2W4-3W2-W4=1+2(-j)k-3(-1)k-jk(0≤k≤3)3.5长度N=4的序列x(n)如图P3.5所示,试画出下面各序列的图形。图P3.5(a)x(n)=x((n))15(b)x(n)=x槇(n+3)R(n)25(c)x(n)=x((n-2))R(n)344(d)x(n)=x((-2))R(n)444(e)x(n)=x((n))R(n)566解参见图T3.5(课后答案网a)~(e)。www.hackshp.cn图T3.5·23· 3.6已知x1(n)={a0,a1,a2,a3,a4,a5},x2(n)=δ(n-2)。将这两个序列以周期N=6分别作周期延拓得到x槇(n)和x槇(n),求这两个周期序列的周期卷积在主值区12间的值。解5槇槇槇y(n)=∑x1(m)x2(n-m)m=0槇x2(n)的主值序列为:0,0,1,0,0,0。m012345槇x1(m)a0a1a2a3a4a5槇x2(-m)⋯000001000001000001⋯将x槇(-m)逐次向右移位就得到各x槇(n-m),在主值区间与x槇(m)对应相乘并221相加就得到周期卷积。下面是周期卷积在主值区间的各个值。n012345槇y(n)a4a5a0a1a2a33.7令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT,X(k)本身也是一个N点序列。如果计算X(k)的DFT得到一序列x(n),试用x(n)表示x(n)。11解课后答案网N-1knx1(n)=DFT[X(k)]=∑X(k)WNwww.hackshp.cnk=0N-1N-1rkkn=∑[∑x(r)WN]WNk=0r=0N-1N-1k(r+n)=∑x(r)∑WNr=0k=0上式中0≤n≤N-1。而N-1k(r+n)烄Nr+n=lN∑WN=烅(l为整数)k=0烆0r+n≠lN所以x1(n)=x((lN-n)N)RN(n)·N=N·x((-n)N)RN(n)·24· 13.8若x(n)=IDFT[X(k)],求证IDFT[x(k)]=X((-n)N)RN(n)。N证N-1槇1槇-knIDFS[x(k)]=∑x(k)WNNk=0N-1N-111槇-rk-kn=∑[∑X(r)WN]WNNk=0Nr=0N-1N-11槇k(-r-n)=2∑X(r)∑WNNr=0k=0而N-1k(-r-n)烄N-r-n=lN∑WN=烅(l为整数)k=0烆0-r-n≠lN所以槇1槇1槇IDFS[x(k)]=2X(-lN-n)·N=X(-n)NN于是1槇1IDFT[x(k)]=X(-n)RN(n)=X((-n)N)RN(n)NN3.9令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT,试证明:(a)如果x(n)满足关系式x(n)=-x(N-1-n),则X(0)=0。(b)当N为偶课后答案网数时,如果x(n)=x(N-1-n),则X(N)=0。2证N-1www.hackshp.cnnk(k=0,1,⋯,N-1)X(k)=∑x(n)WNn=0N-1(a)X(0)=∑x(n)n=0N为偶数:NN-1-122X(0)=∑x(n)+∑x(N-1-n)n=0n=0N-12=∑[x(n)+x(N-1-n)]n=0N-12=∑[x(n)-x(n)]=0n=0·25· N为奇数:N-1N-1-1-122N-1)X(0)=∑x(n)+∑x(N-1-n)+x(n=0n=02N-1-12=x(N-1)+∑[x(n)+x(N-1-n)]2n=0N-1-12=x(N-1)+∑[x(n)-x(n)]2n=0=x(N-1)+0=x(N-1)22而x(n)中间的一项应当满足:x(N-1)=-x(N-1-N-1)=-x(N-1)222因此必然有x(N-1)=02这就是说,当N为奇数时,也有X(0)=0。(b)当N为偶数:N-1NN-1N)=n2nX(2∑x(n)WN=∑x(n)(-1)n=0n=0N/2-1N/2-1nN-1-n课后答案网=∑x(n)(-1)+∑x(N-1-n)(-1)n=0n=0N/2-1N/2-1nN-1-n=∑www.hackshp.cnx(n)(-1)+(-1)∑x(n)(-1)n=0n=0当N为偶数时,N-1为奇数,故(-1)N-1=-1;又由于(-1)-n=(-1)n,故有N/2-1N/2-1X(N)=∑x(n)(-1)n-∑x(n)(-1)n=02n=0n=0n3.10已知序列x1(n)=au(n)(0<a<1),其z变换为X1(z);又知序列x(n)定义在区间0≤n≤N-1,并且X(k)=DFT[x(n)]。如果X(k)与X(z)之间满足关系1X(k)=X1(z)-k(k=0,1,⋯,N-1)z=WN试求序列x(n),并且将x(n)表示为an的函数。·26· 解N-11-nkx(n)=∑X(k)WNNk=0N-11X-nk=∑[1(z)-k]WNNz=Wk=0N∞N-11x-m-nk=∑[∑1(m)z〗]WNNm=0z=WKG3〗-kNk=0N-1∞1km-nk=N∑∑x1(m)WNWNk=0m=0∞N-11k(m-n)=N∑x1(m)∑WNm=0k=0因为N-1k(m-n)烄Nm-n=rN∑WN=烅(r为整数)k=0烆0m-n≠rN再考虑到m为非负整数,于是有∞1x(n)=∑x1(n+rN)·NNr=0∞∞n+rNn(aN)r=∑a=a∑r=0r=0n=a(0≤n≤N-1)课后答案网N1-a由于0<a<1,故有0<aN<1,上式中幂级数的收敛条件是满足的。www.hackshp.cn槇3.11设x(n)是周期为N的周期序列,线性时不变系统H(z)的单位抽样响应槇h(n)是定义在0≤n≤N-1区间的有限长序列。如果x(n)是系统H(z)的输入信号,求证输出信号y槇(n)为N-1槇1-k)槇-nky(n)=N∑H(WNX(k)WNK=0证系统函数H(z)是冲激响应h(n)的z变换:N-1-nH(z)=∑h(n)zn=0而有限长序列h(n)的DFT为:·27· N-1nkH(k)=∑h(n)WNn=0N-1-k)-n=∑h(n)(WNn=0-k)=H(z)-k=H(WNz=WN由于h(n)是LTI系统,所以输出为N-1槇槇槇y(n)=h(n)x(n)=∑h(m)x(n-m)m=0槇如果将h(n)作以N为周期的周期延拓得到h(n),那么上式说明,y槇(n)是周期序列槇槇h(n)与x(n)的周期卷积,故它们的DFS有:槇槇槇Y(k)=H(k)X(k)于是N-1槇槇1槇-nky(n)=IDFS[Y(k)]=N∑Y(k)WNk=0N-11槇槇-nk=N∑H(k)X(k)WNk=0N-11槇-nk=N∑H(k)X(k)WNk=0N-11-k槇-nk=∑H(WN)X(k)WNNk=0证毕。课后答案网3.12长度为8的有限长序列www.hackshp.cnx(n)的8点DFT为X(k),长度为16的一个新序列定义为烄x(n)n=0,2,⋯,14y(n)=烅2烆0n=1,3,⋯,15试用X(k)来表示Y(k)=DFT[y(n)]。解15nkY(k)=∑y(n)W16n=0772rk(2r+1)k=∑y(2r)W16+∑y(2r+1)W16r=0r=07rk=∑x(r)W(k=0,1,⋯,15)8r=0·28· 而7nkX(k)=∑x(n)W(k=0,1,⋯,7)8n=0因此,当k=0,1,⋯,7时,Y(k)=X(k);当k=8,9,⋯,15时,令k=l+8(l=0,1,⋯,7),得到:77r(l+8)rlY(l+8)=∑x(r)W8=∑x(r)W8=X(l)r=0r=0即Y(k)=X(k-8)于是有X(k)k=0,1,⋯,7Y(k)={X(k-8)k=8,9,⋯,153.13已知x(n)是长度为N的有限长序列,并且X(k)=DFT[x(n)]。现将x(n)的每相邻两点之间补进r-1个零值点,得到一个长度为rN的有限长序列y(n),即有x(n/r)n=ir,i=0,1,2,⋯,N-1y(n)={其他0试求DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。解rN-1nkY(k)=DFT[y(n)]=∑y(n)WrN课后答案网n=0N-1irk=∑y(ir)WrNi=0www.hackshp.cnN-1ik=∑x(i)WN(k=0,1,⋯,rN-1)i=0当k=0,1,⋯,N-1:N-1ikY(k)=∑x(i)WN=X(k)i=0当k=l+mN,这里l=0,1,⋯,N-1,m=1,2,⋯,r-1:N-1i(l+mN)Y(k)=Y(l+mN)=∑x(i)WNi=0N-1il=∑x(i)WN=X(l)=X(k-mN)i=0总结起来,有Y(k)=DFT[y(n)]=X((k)N)(k=0,1,⋯,rN-1)·29· 3.14已知x1(n)={1,2,3,4},x2(n)={1,0,1,0},求x3(n)=x1(n)x2(n),并求x槇(n)与x槇(n)的周期卷积x槇(30)。123解下面用矩阵乘法求循环卷积x3(n)=x1(n)x2(n)烄x3(0)烌烄x2(0)x2(3)x2(2)x2(1)烌烄x1(0)烌x3(1)x2(1)x2(0)x2(3)x2(2)x1(1)=x3(2)x2(2)x2(1)x2(0)x2(3)x1(2)烆x3(3)烎烆x2(3)x2(2)x2(1)x2(0)烎烆x1(3)烎烄1010烌烄1烌烄4烌010126==101034烆0101烎烆4烎烆6烎而槇x3(30)=x3((30)4)=x3(2)=4-n0≤n≤5n+10≤n≤23.15已知x1(n)={其他,x2(n)={其他,求循环卷积00x3(n)=x1(n)x2(n),令N=6。(a)用同心圆法(b)用矩阵乘法解课后答案网x1(n)={0,-1,-2,-3,-4,-5}www.hackshp.cnx2(n)={1,2,3,0,0,0}根据图T3.15可以求得x3(n)={-22,-16,-4,-10,-16,-22}(a)图T3.15·30· 烄x3(0)烌烄x2(0)x2(5)x2(4)x2(3)x2(2)x2(1)烌烄x1(0)烌x3(1)x2(1)x2(0)x2(5)x2(4)x2(3)x2(2)x1(1)x3(2)x2(2)x2(1)x2(0)x2(5)x2(4)x2(3)x1(2)(b)=x3(3)x2(3)x2(2)x2(1)x2(0)x2(5)x2(4)x1(3)x3(4)x2(4)x2(3)x2(2)x2(1)x2(0)x2(5)x1(4)烆x3(5)烎烆x2(5)x2(4)x2(3)x2(2)x2(1)x2(0)烎烆x1(5)烎烄100032烌烄0烌烄-22烌210003-1-16321000-2-4==032100-3-10003210-4-16烆000321烎烆-5烎烆-22烎两种方法的结果完全相同。3.16计算上题的两个序列x1(n)和x2(n)的线性卷积y(n),与上题算出的x3(n)比较,说明x(n)中的哪些点相当于y(n)中对应的点。要使上题中的循环卷积与线性3卷积y(n)完全相同,循环卷积的长度最少为多少?解下面用排序法计算线性卷积:y(n)=x1(n)x2(n)x1(n)课后答案网0-1-2-3-4-5x2(-n)321计算结果为www.hackshp.cnn01234567y(n)0-1-4-10-16-22-22-15线性卷积y(n)之长N=6+3-1=8,而循环卷积x(n)长度为6,8-6=2,因此,3x3(n)的前2个值是y(n)的前面2个值与后面2个值的混叠,x3(n)的后4个值才与y(n)中对应的值相同。要使x3(n)与y(n)完全相同,循环卷积的长度最少为8。3.17用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样,为进行频谱分析,计算了512点的DFT。试确定频域抽样点之间的频率间隔,请分别计算出Δω、ΔΩ和Δf。解频域抽样点之间的频率间隔=频域周期/一个周期的抽样点数·31· 对于数字角频率:Δω=2π/512=0.0123rad对于模拟角频率:ΔΩ=Ωs/512=2πfs/512=0.0123×8000=98.4rad/s对于模拟频率:Δf=fs/512=8000/512=15.625Hz3.18利用DFT对一模拟信号进行频谱分析,抽样间隔为Ts=0.1ms,要求频率分辨率不大于10Hz。(a)确定所允许处理信号的最高频率f。m(b)问一个周期中的抽样点数最少是多少(必须是2的正整数幂)?(c)确定信号的最小记录长度,也就是时域重复的一个周期的最小长度。解抽样频率为f-3)=10000Hzs=1/Ts=1/(0.1×10(a)根据抽样定理,应当满足f,所以s≥2fmfm≤fs/2=5000因此所允许处理信号的最高频率为5000Hz。(b)根据要求,Δf≤10Hz,故课后答案网Δω=ΔΩ·Ts=2πΔf/fs≤2π×10/10000=π/500一个周期中的抽样点数=(2π/Δω)≥2π/(π/500)=1000为了满足2的正整数幂的条件,一个周期中的抽样点数最少为N=1024=210。(c)时域重复的一个周期的最小长度www.hackshp.cn=一个周期的最少抽样点数×时域抽样间隔-3=NTs=1024×0.1×10=0.1024s3.19要利用重叠保留法来计算一个不定长序列x(n)通过一线性时不变系统h(n)的响应y(n),h(n)之长度为M=50。为此,将x(n)分段,每段长度N1=60,每次取出的各段必须重叠v个样值,与h(n)进行128点循环卷积后所得结果中应该保留s个样值,将这些从每一段保留的样值连接在一起时,得到的序列就是所要求的y(n)。(a)v=?(b)s=?(c)设循环卷积的输出序列序号为0~127,求保留的s个点之起点序号与终点序号,即从循环卷积所得的128点中取出哪些点去和前后各段取出的点连接起来而得到y(n)。·32· 解(a)每次取出的各段重叠的点数v=M-1=49(b)循环卷积所得结果中应该保留的点数s=N1=60(c)若循环卷积所得的序列序号为0~127,则保留的60个点的起点序号为49,终点序号为108。3.20已知有限长序列x(n)(0≤n≤N-1)的DFT为X(k),试利用X(k)导出下列各序列的DFT。(a)x(N-1-n)(0≤n≤N-1)(b)x(2n)(0≤n<N/2,N为偶数)烄x(n)0≤n≤N-1(c)y(n)=烅烆0N≤n≤2N-1解N-1nk(a)DFT[x(N-1-n)]=∑x(N-1-n)WNn=00(N-1-m)k=∑x(m)WNm=N-1N-1(N-1)k-mk课后答案网=WN∑x(m)WNm=0-k)R(k)=WNX((-k)NNwww.hackshp.cnN/2-1nk(b)DFT[x(2n)]=∑x(2n)WN/2n=0N-2mk=∑x(m)W2N/2m=0m为偶数N-11[x(m)+(-1)mmk=∑x(m)]WNm=02N-1N-11[mk(-1)mmk]=2∑x(m)WN+∑x(m)WNm=0m=0因为2π·(-N)-N(-1)m=(ejπ)m=(e-jN2)m=(W2)mN所以·33· N-1N1-mmkDFT[x(2n)]=[X(k)+∑x(m)W2W]2NNm=0N-1N1m(k-)=[X(k)+∑x(m)W2]2Nm=0=1[X(k)+X((k-N))](k=0,1,⋯,N-1)N2222N-1N-1nknk(c)DFT[y(n)]=∑y(n)W2N=∑x(n)W2Nn=0n=0N-1knk=∑x(n)W2=X()(k=0,1,⋯,2N-1)N2n=03.21设x(n)=an(0≤n≤13);h(n)=bn(0≤n≤3)。先直接求线性卷积y(n)=x(n)h(n),然后分别用重叠相加法和重叠保留法计算此线性卷积,按每段长为5进行分段(N)。比较3种方法所得结果。1=5解①用排序法直接求线性卷积a0a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13b3b2b1b0结果为:n012y(n)a课后答案网0b0a0b1+a1b0a0b2+a1b1+a2b0n345y(n)a0b3+a1b2+a2b1www.hackshp.cn+a3b0a1b3+a2b2+a3b1+a4b0a2b3+a3b2+a4b1+a5b0n678y(n)a3b3+a4b2+a5b1+a6b0a4b3+a5b2+a6b1+a7b0a5b3+a6b2+a7b1+a8b0n91011y(n)a6b3+a7b2+a8b1+a9b0a7b3+a8b2+a9b1+a10b0a8b3+a9b2+a10b1+a11b0n121314y(n)a9b3+a10b2+a11b1+a12b0a10b3+a11b2+a12b1+a13b0a11b3+a12b2+a13b1n1516y(n)a12b3+a13b2a13b3·34· ②重叠相加法x(n)按每段长为N1=5进行分段,各段分别与h(n)进行线性卷积得到yk(n)。x0(n)为:a0,a1,a2,a3,a4y0(n)的序号:n=0,1,2,3,4,5,6,7x1(n)为:a5,a6,a7,a8,a9y1(n)的序号:n=5,6,7,8,9,10,11,12x2(n)为:a10,a11,a12,a13y2(n)的序号:n=10,11,12,13,14,15,16将n相同的y(n)相加,最后得到的y(n)(n=0,1,⋯,16)与线性卷积的结果完全k相同。③重叠保留法x(n)仍然按照每段长为N1=5进行分段,但是每段往前重叠4-1=3点取出。取出的各段x(n)为:kx0(n):0,0,0,a0,a1,a2,a3,a4x1(n):a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9x2(n):a7,a8,a9,a10,a11,a12,a13,0xk(n)的长度均为5+3=8,x0(n)在前面补了3个0,而x2(n)因长度不够,在后面补了一个0。现在将h(n)后面补4个0,使其长度也为8,然后与各段x(n)分别进行8点循k环卷积,得到各个循环卷积的结果y′(n)如下:ky′0(n)a2b3+a3b2+a4b1a3b3+a4b2a4b3a0b0课后答案网a0b1+a1b0a0b2+a1b1+a2b0a0b3+a1b2+a2b1+a3b0a1b3+a2b2+a3b1+a4b0y′1(n)a2b0+www.hackshp.cna7b3+a8b2+a9b1a2b1+a3b0+a8b3+a9b2a2b2+a3b1+a4b0+a9b3a2b3+a3b2+a4b1+a5b0a3b3+a4b2+a5b1+a6b0a4b3+a5b2+a6b1+a7b0a5b3+a6b2+a7b1+a8b0a6b3+a7b2+a8b1+a9b0y′2(n)a7b0+a12b3+a13b2a7b1+a8b0+a13b3a7b2+a8b1+a9b0a7b3+a8b2+a9b1+a10b0a8b3+a9b2+a10b1+a11b0a9b3+a10b2+a11b1+a12b0a10b3+a11b2+a12b1+a13b0a11b3+a12b2+a13b1·35· 将y′(n)、y′(n)、y′(n)的前3个值去掉,再将保留的各个值前后连接起来,就得到012y(n)的各个值,但是与前两种方法得到的y(n)比较,少了最后两个,即y(15)和y(16)。这是因为前两种方法所做的都是线性卷积,得到了完整的结果,这些结果包括了h(n)部分地移出x(n)所在区间的y(n)的最后3个值,即y(14)、y(15)和y(16);在用重叠保留法时,如果要得到y(n)的全部结果,则x(n)后面应该补3个0,但是为了使每段循环卷积的长度都相同(8点),就在x(n)后面只补了一个0,这样所得到的循环卷积y′(n)的22后面当然就少了两个值。课后答案网www.hackshp.cn·36· 第4章快速傅里叶变换4.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要400ns,每次复加需要50ns,今用来计算N=1024点的DFT,问直接运算需要多少时间?用基2FFT运算需要多少时间?解直接计算,需要复乘N2次,复加N(N-1)次,故共需时间为:2T1=N×400ns+N(N-1)×50ns=0.42s+0.0524s=0.4724s用基2FFT计算,需要复乘Nlog2N次,复加Nlog次,故共需时间为:2N22NNT2=log2×400ns+Nlog2N×50ns课后答案网22=0.00184s+0.000512swww.hackshp.cn=0.002352s4.2一通用微处理器的速度为平均每次复乘需40ns,每次复加需4ns。如果要求该处理器用基2FFT算法进行实时频谱分析,信号按每段长为512点分段。(a)每秒钟能够处理多少段信号?(b)最高抽样频率为多少?(c)能够进行实时处理的信号的最高频率是多少?如果采用DFT定义直接计算,重新回答上述3个问题。解①采用基2FFT算法(a)处理一段信号所需时间:T1=(512/2)log2(512/2)×40+512log2512×4=81920+18432=100352ns·37· 所以每秒钟能够处理1/T/(100352×10-9)≈9965段信号。1=1(b)每秒钟的抽样点数:512×9965=5102080故最高抽样频率为f。s=5102.08kHz(c)能够进行实时处理的信号的最高频率为fs/2≈5100/2=2550kHz②采用DFT定义直接计算(a)处理一段信号所需时间:2T2=512×40+512×511×4=10485760+1046528=11532288ns所以每秒钟能够处理1/T/(11532288×10-9)≈87段信号。2=1(b)每秒钟的抽样点数:512×87=44544故最高抽样频率为f。s=44544Hz(c)能够进行实时处理的信号的最高频率为fs/2=44544/2=22272Hz≈22kHz。4.3已知x(n)长度为4,并且x(n)=3(n+1)(n=0,1,2,3)。按照基2FFT算法的信号流图计算X(k),请写出流图中各个节点处的值。解信号流图如图课后答案网T4.3所示:www.hackshp.cn图T4.3x(0)=3A1=x(0)+x(2)=12B1=A1=12X(0)=B1+B3=30x(1)=6A2=x(0)-x(2)=-6B2=A2=-6X(1)=B2+B4=-6+6jx(2)=9A3=x(1)+x(3)=18B3=A3·W0(2)=B4=A3=18X1-B3=-61-j2π/4x(3)=12A4=x(1)-x(3)=-6B4=A4·W4=-6eX(3)=B2-B4=-6-6j=-6(-j)=6j·38· 4.4已知一线性时不变系统的冲激响应为h(n),试用计算机分析其频谱,即求出H(k)(0≤k≤20)。h(0)=h(20)=0.00036542h(1)=h(19)=0.00113712h(2)=h(18)=0h(3)=h(17)=-0.00637990h(4)=h(16)=-0.01698822h(5)=h(15)=-0.02092616h(6)=h(14)=0h(7)=h(13)=0.05758099h(8)=h(12)=0.14168986h(9)=h(11)=0.21867619h(10)=0.25解按照基2时间抽选的FFT算法,用高级语言编写计算机程序,运行后输出结果如下:H(0)=1.000311+j0.000000H(1)=-0.970938-j0.146345H(2)=0.735557+j0.226889H(3)=-0.297387-j0.143214H(4)=0.0课后答案网36019+j0.024557H(5)=0.000421+j0.000390H(6)=0.000050+j0.000063H(7)=-0.000017-j0.000030H(8)=-0.000016-www.hackshp.cnj0.000041H(9)=-0.000007-j0.000030H(10)=-0.000001-j0.000010H(11)=-0.000001+j0.000010H(12)=-0.000007+j0.000030H(13)=-0.000016+j0.000041H(14)=-0.000017+j0.000030H(15)=0.000050-j0.000063H(16)=0.000421-j0.000390H(17)=0.036019-j0.024557H(18)=-0.297387+j0.143215H(19)=0.735556-j0.226890H(20)=-0.970937+j0.1463494.5画出N=16的基2时间抽选的FFT算法的信号流图。解·39· 参见图T4.5。图T4.54.6用高级语言编程上机练习。已知烄nQ0≤n≤N-15课后答案网x(n)=烅N=2烆0n<0,n≥N这里Q=0.9+j0.3。可以推导出N-1N-1Nwww.hackshp.cnnk(QWk)n1-Q(k=0,1,⋯,N-1)X(k)=∑x(n)WN=∑N=kn=0n=01-QWN首先根据这个式子计算X(k)的理论值,然后计算输入序列x(n)的32个值,再利用基2时间抽选的FFT算法,计算x(n)的DFTX(k),与X(k)的理论值比较(要求计算结果最少6位有效数字)。解程序运行结果输出数据如下:输入序列x(n):x[0]=1.000000+j0.000000x[1]=0.900000+j0.300000x[2]=0.720000+j0.540000x[3]=0.486000+j0.702000x[4]=0.226800+j0.777600x[5]=-0.029160+j0.767880·40· x[6]=-0.256608+j0.682344x[7]=-0.435650+j0.537127x[8]=-0.553224+j0.352719x[9]=-0.603717+j0.151480x[10]=-0.588789-j0.044783x[11]=-0.516476-j0.216941x[12]=-0.399746-j0.350190x[13]=-0.254714-j0.435095x[14]=-0.098714-j0.467999x[15]=0.051557-j0.450814x[16]=0.181645-j0.390265x[17]=0.280560-j0.296745x[18]=0.341528-j0.182903x[19]=0.362246-j0.062154x[20]=0.344667+j0.052735x[21]=0.294380+j0.150862x[22]=0.219684+j0.224090x[23]=0.130448+j0.267586x[24]=0.037164+j0.279974x[25]=-0.050545+j0.263125x[26]=-0.124428+j0.221649x[27]=-0.178480+j0.162156x[28]=-0.209279+j0.092397x[29]=-0.216070+j0.020373x[30]=-0.200575-j0.046485x[31]=-0.166572-j0.102009在现在所用的一般计算机中,如果采用的是浮点算法,那么按6位有效数字来打印输出数据时,X(k)的理论值与用FFT算法得到的X(k)之间是没有差别的,只有在小数点后面15位以上,才能够看到二者之间的差别。因此,所得到的X(k)的数据如下:X[0]=0.693973+j3.499716X[1]=2.792268+j8.050456X[2]=9.402965-j9.135014X[3]=1.866445-j3.833833X[4]=1.131823-j2.234157X[5]=0.904794-j1.534629X[6]=0.799557-j1.139609X[7]=0.739606-j0.882314X[8]=0.700862-课后答案网j0.698565X[9]=0.673576-j0.558478X[10]=0.653109-j0.446245X[11]=0.636991-j0.352689X[12]=0.623788-www.hackshp.cnj0.272086X[13]=0.612613-j0.200642X[14]=0.602883-j0.135703X[15]=0.594200-j0.075313X[16]=0.586277-j0.017949X[17]=0.578900+j0.037652X[18]=0.571898+j0.092607X[19]=0.565136+j0.147983X[20]=0.558492+j0.204881X[21]=0.551859+j0.264522X[22]=0.545134+j0.328365X[23]=0.538214+j0.398257X[24]=0.531002+j0.476678X[25]=0.523404+j0.567132X[26]=0.515362+j0.674850X[27]=0.506926+j0.808101X[28]=0.498467+j0.980906X[29]=0.491389+j1.219207X[30]=0.490732+j1.577082X[31]=0.517354+j2.188833·41· 4.7设x(n)是一个长度为N、定义在区间0≤n≤N-1的实序列,现在对其进行频谱分析,频率抽样点z在单位圆上均匀分布,即有zj(2π/M)k(k=0,1,⋯,M-1),kk=e而M为2的正整数幂。要求用一次M点基2FFT算法求出x(n)的z变换,即频谱X(zk),试问在下面各种情况下,分别如何进行有效的处理?(a)M=N(b)M>N(c)M<N<2M解(a)M=N时,要求的X(z)就是x(n)的DFT,即X(k),因此,用一次M点基2kFFT算法就可以求出。(b)M>N表示频谱抽样点数大于时域序列x(n)的长度,这时只需要在x(n)的后面补M-N个0,使其长度与M相等,就可以用一次M点基2FFT算法得到X(k),也即M个点上的频谱X(z)。k(c)当M<N<2M时,可以在x(n)后面补2M-N个0,于是得到一个长度为2M的实序列x(n),再将它按奇偶分组得到两个长度为M的实序列,然后将这两个实序列组合成一个长度为M的复序列,用一次M点基2FFT算法就可以同时得到这两个实序列的DFT,再将这两个DFT适当组合,就可以得到2M点的DFT,这就是x(n)的2M个频谱值,而2M个频率抽样点是均匀地分布在单位圆上的,因此,最后只需要从k=0开始,每隔一个频谱值取出一个,就得到了要求的在单位圆上均匀分布的M个抽样点上的频谱X(z)。k4.8对信号课后答案网x(t)=e-0.1t(t≥0)进行频谱分析。(a)根据傅里叶变换求出其频谱www.hackshp.cnX(Ω)的表达式。(b)如果用T的抽样周期对x(t)抽样,求所得离散信号的频谱的重复周s=0.75s期Ω。s(c)求|X(Ω/2)|与|X(Ω)|的最大值的比值c。s(d)如果要用基2FFT算法来求出该信号的离散频谱,设时域重复周期为T,并且1要求x(T)与x(t)的最大值之比值不大于c,问时域的抽样点数N最少为多少?所对1应的T?1=解∞∞(a)X(Ω)=-jΩt-0.1t-jΩt∫x(t)edt=∫eedt-∞0∞-1-(0.1+jΩ)t1=e=0.1+jΩ00.1+jΩ·42· (b)Ω/T/0.75≈8.4rad/ss=2πs=2π(c)X(Ω)=0.1+jΩ-1=(0.12+Ω2)-1/2显然,当Ω=0时|X(Ω)|取最大值:|X(0)|=(0.12)-1/2=10而|X(Ω22)-1/2s/2)|=|X(4.2)|=(0.1+4.2≈0.238所以c=|X(Ωs/2)|/|X(0)|=0.238/10≈0.024(d)显然,所给的指数函数信号x(t)当t=0时取最大值:-0.1×0x(0)=e=1按题意要求x(T1)/x(0)=x(T1)≤c=0.024而-0.1Tx(T1)=e1于是由e-0.1T1≤0.024得到:-0.1T1≤ln0.024≈-3.73由此得到T;又知道T,N为一个周期的抽样点数。故应该要求NT,1≥37.3s1=NTss≥37.3于是课后答案网N≥37.3/Ts=37.3/0.75≈49.7因为要用基2FFT算法来求频谱,因此要求N为2的正整数幂,故N的最小值为62=64,此时时域重复周期www.hackshp.cnT1=64Ts=64×0.75=48s4.9已知两个N点实序列u(n)和v(n)的DFT分别为U(k)和V(k),现在需要求出序列u(n)和v(n),试用一次N点IFFT运算来实现。解令x(n)=u(n)+jv(n)根据DFT的线性有X(k)=U(k)+jV(k)这里离散频谱X(k)、U(k)、V(k)都是复序列。用下标r、i分别表示实部和虚部,则有X(k)=Xr(k)+jXi(k)U(k)=Ur(k)+jUi(k)V(k)=Vr(k)+jVi(k)·43· 于是有Xr(k)+jXi(k)=Ur(k)+jUi(k)+j[Vr(k)+jVi(k)]=[Ur(k)-Vi(k)]+j[Ui(k)+Vr(k)]所以有Xr(k)=Ur(k)-Vi(k)Xi(k)=Ui(k)+Vr(k)因此,由U(k)和V(k)的实部和虚部按照上面的两个式子分别得到X(k)的实部和虚部,也就是得到X(k)之后,作一次N点的复数IFFT运算,就得到x(n),而x(n)的实部就是u(n),虚部就是v(n)。于是用一次N点IFFT运算就同时得到了两个N点实序列u(n)和v(n)。4.10已知长度为2N的实序列x(n)的DFTX(k)的各个数值(k=0,1,⋯,2N-1),现在需要由X(k)计算x(n),为了提高效率,请设计用一次N点IFFT来完成。解如果将x(n)按奇偶分为两组,即令u(n)=x(2n)烌烍n=0,1,⋯,N-1v(n)=x(2n+1)烎那么就有X(k)=U(k)+Wk(k)烌2NV课后答案网烍k=0,1,⋯,N-1X(k+N)=U(k)-Wk(k)烎2NV其中U(k)、V(k)分别是实序列www.hackshp.cnu(n)、v(n)的N点DFT,U(k)、V(k)可以由上式解出:U(k)=1[X(k)+X(k+N)]烌2烍k=0,1,⋯,N-1V(k)=1W-k[X(k)-X(k+N)]22N烎由于X(k)(k=0,1,⋯,2N-1)是已知的,因此可以将X(k)前后分半按上式那样组合起来,于是就得到了U(k)和V(k)。到此,就可以像4.9题那样来处理了,也即令y(n)=u(n)+jv(n)根据U(k)、V(k),作一次N点IFFT运算,就可以同时得到u(n)和v(n)(n=0,1,⋯,N-1),它们分别是x(n)的偶数点和奇数点序列,于是序列x(n)(n=0,1,⋯,2N-1)也就求出了。·44· 4.11在下列说法中选择正确的结论。Chirpz变换可以用来计算一个有限时宽序列h(n)在z平面实z轴上诸点{z}的z变换H(z),而z的表达式为kk(a)zk,k=0,1,⋯,N-1,a为实数,a≠0,a≠±1。k=a(b)z,k=0,1,⋯,N-1,a为实数,a≠0。k=ak(c)(a)和(b)两者都行。(d)(a)和(b)两者都不行,即Chirpz变换不能计算z为实数抽样时的H(z)。解用CZT算法求z变换的z平面上的点的表示式为-kzk=AW其中:k=0,1,⋯,N-1;A=Ajθ0,W=W-jφ0,A、W为正实数。0e0e00(a)zk,可以认为A=1,W=a-1,于是k=aM-1M-1-n-nkH(zk)=∑h(n)zk=∑h(n)an=0n=0在推导出的CZT算法最后的表达式2n/2[y(n)x(n)]H(zn)=W中22-nn/2-n/2烄y(n)=h(n)AW=h(n)a烅22烆-n/2n/2x(n)=W=a于是可以用CZT算法求得H(z)(k=0,1,⋯,N-1)。k(b)zk=ak,课后答案网这时变量k是zk的因子,而不在指数上,因此在H(zk)的表达式中不会出现“nk”形式的指数,故不能用CZT算法来求z变换H(z)。k因此,应该选择(a)。www.hackshp.cn4.12设x(n)是一个M点(0≤n≤M-1)的有限长序列,其z变换为M-1-nX(z)=∑x(n)zn=0令X(z)在单位圆上N个等间隔点上的抽样X(z)为k2πjkX(zk)=X(z)z=z(zk=eN,k=0,1,⋯,N-1)k这里M和N都是较大的正整数,问如何用CZT算法快速算出全部N点X(z)值来。k解2π-kjNk(k=0,1,⋯,N-1)zk=AW=e·45· 于是有烄A=1烅j2π/N(W0=1,φ0=2π/N)烆W-1=eCZT算法:2n/2[y(n)h(n)](n=0,1,⋯,N-1)X(zn)=W其中:2π2n/2-jNnW=e2π2-nn/2-jNn(n=0,1,⋯,M-1)y(n)=x(n)AW=x(n)e2π2-n/2jNnh(n)=W=e线性卷积g(n)=y(n)h(n)(n=0,1,⋯,N-1)拟用L点循环卷积来计算:L-1槇gL(n)=y(n)h′(n)=[∑y(r)h′(n-r)]RL(n)r=0而该循环卷积可以用基2FFT算法来快速实现,为此,令sL=M+N-1+K=2这里,s是满足此关系的最小正整数,s确定后,再取K为满足此关系的最小正整数或0。而h′(n)如下选取:课后答案网2烄-n/2h(n)=W0≤n≤N-1h′(n)=烅www.hackshp.cn任意值N≤n≤N+K-12烆-(n-L)/21h(n-L)=WN+K≤n≤L-当然,也要在y(n)后面补N-1+K个0,使其长度为L。于是gL(n)=IFFT[Y(k)H′(k)]但是,对于这个L点的IFFT,只需要取出g(n)的前N个值,即为所需的g(n),再乘以L2n/2就得到所要求的X(z)。Wn4.13已知x(n)当0≤n≤7时等于1,n为其他值时x(n)均为0。z平面路径为:A0=0.6,θ0=π/3,W0=1.2,φ0=2π/20。用CZT算法计算复频谱X(zk)(k=0,1,⋯,9)要求:·46· (1)画出z的路径;k(2)写出y(n)、h(n)的表达式;(3)当利用循环卷积g(n)=y(n)h′(n)来计算线性卷积g(n)=y(n)h(n)L时,写出h′(n)的分段表达式;(4)若计算循环卷积时需用基2FFT,写出h′(n)的分段表达式。解(1)参见图T4.13。课后答案网图T4.13-jφ-jπ/10(2)W=W0=1.2e0ejθjπ/3A=A0www.hackshp.cn0e=0.6e2-nn/2y(n)=x(n)AW22-n-jnπ/3·1.2n/2-jnπ/20(n=0,1,⋯,7)=0.6ee222-n/2-n/2jnπ/20h(n)=W=1.2e烄h(n)0≤n≤M-1=9(3)h′(n)=烅烆h(n-L)10≤n≤L-1(L=M+N-1=10+8-1=17)此时17点循环卷积g(n)的前10个值即为所需要的线性卷积g(n)。L·47· 烄h(n)0≤n≤9(4)h′(n)=烅0(任意数)10≤n≤24烆h(n-32)25≤n≤31(M+N-1+K=10+8-1+15=32=25)此时用基232点FFT和IFFT计算循环卷积g(n)=y(n)h′(n),取其结果的前10L个值即为所需要的g(n)。课后答案网www.hackshp.cn·48· 第6章IIR数字滤波器的原理及设计6.1模拟低通滤波器的指标如图P6.1所示。课后答案网图P6.1(a)计算B型滤波器的参数Ω和N。c(b)计算C型滤波器的参数www.hackshp.cnε和N。解(a)令通带边界频率为基准频率,则通带边界的标称频率Ω,而阻带边界的标称1=1频率Ω2=4500Hz/3000Hz=1.5B型滤波器的平方幅度特性:211Ha(jΩ)=2N=2N1+(Ω/Ωc)1+(1)Ω2NΩc对于通带边界:212Ha(jΩ1)=2N=0.91+(1/Ωc)·49· 于是得到22N1B=(1/Ωc)=2-1=0.234570.9对于阻带边界:212Ha(jΩ2)=22N=0.11+BΩ2于是得到(1/0.12)-1992NΩ2=2==422.05B0.23457而Ω,故有2=1.52N=lg422.05/lg1.5=14.909于是取N=8。再由22NB=(1/Ωc)有-162Ωc=B=0.23457故-1/16Ωc=0.23457=1.095于是实际的截止频率Ω′c=ΩcΩ′1=1.095×2π×3000=20640rad/s(b)在(a)中已得到通带边界和阻带边界标称频率分别为Ω,Ω。1=12=1.5由122=0.9=0.81课后答案网1+ε得到21www.hackshp.cnε=-1=0.234570.81故ε=0.48432。由阻带要求有212Ha(jΩ2)=22(Ω)≤0.1=0.011+εCN2故有C2(Ω)=C2(1.5)≥1/0.01-1=422.05N2N2ε于是有CN(1.5)≥20.544递推公式CN+1(1.5)=3CN(1.5)-CN-1(1.5)·50· 烄C2(1.5)=3×1.5-1=3.5由C0(1.5)=1,C1(1.5)=1.5,可以得到烅C3(1.5)=3×3.5-1.5=9烆C4(1.5)=3×9-3.5=23.5>20.544因此N=4。6.2求N=3时0.5dB模拟低通C型滤波器的系统函数。解由RW2)dB=10lg(1+ε有lg(1+ε2)=0.05所以0.051/2ε=(10-1)=0.3493-1-22α=ε+槡1+ε=1/0.3493+1+1槡/0.3493≈5.895a=(α1/3-α-1/3)/2=(5.8951/3-5.895-1/3)/2≈0.626b=(α1/3+α-1/3)/2=(5.8951/3+5.895-1/3)/2≈1.18左半平面的极点为课后答案网sk=σk+jΩk其中(2k-1)π(2k-1)πσk=-asinwww.hackshp.cnΩk=bcos(k=1,2,3)2N2N故有σ1=-asin(π/6)=-0.313Ω1=bcos(π/6)=1.022σ2=-asin(3π/6)=-0.626Ω2=bcos(3π/6)=0σ3=-asin(5π/6)=-0.313Ω3=bcos(5π/6)=-1.022因此,系统函数的分母多项式为Q(s)=(s-s1)(s-s2)(s-s3)=(s+0.313-j1.022)(s+0.626)(s+0.313+j1.022)32=s+1.252s+1.5343s+0.7152·51· 该C型低通滤波器的系统函数为-11-N-1-2ε20.3493×2Ha(s)==Q(s)Q(s)0.7157=32s+1.252s+1.5343s+0.71526.3模拟带通滤波器的指标如图P6.3所示,用B型特性逼近,求其系统函数。图P6.3解带通滤波器的中心频率为f0=槡fp1fp2=1槡20×140≈129.615kHz标称化带宽(相对带宽)课后答案网fp2fp1140-120δ=βp2-βp1=-=≈0.1543f0f0129.615而www.hackshp.cnfz120βz1==≈0.1543f0129.615fz2500βz2==≈3.86f0129.615βz1βz2≈0.6≠1这说明f与f并不关于f几何对称,所以应该调整(这里显然应该增大)f或者f。z1z20z1z2如果增大f,会使高端过渡带变宽,不满足设计要求;如果增大f,将使低端过渡带变z2z1窄,特性比要求的还好些,因此,应该增大f()。实际上,只需要保持不变,由于z1βz1βz2(1/)=0.259>0.1543,这自然就会使/增大了。因此,应以为准来计算βz2βz1=1βz2βz2低通的Ω。z·52· Ωz=1(1)=3.86-0.259≈23.34βz2-δβz20.1543下面就可以求出通带边界Ωp=1、阻带边界Ωz=23.34的B型低通滤波器的参数Ωc和N了。将衰减化为平方幅度1αmax=10lg)2=0.007H(jΩp于是有H(jΩ)211p=2N2N=0.00071+(1/Ωc)Ωp10由于Ωp=1,故可以得到22N0.0007B=(1/Ωc)=10-1=0.0016(6.1)又1αmin=10lg2=50H(jΩz)于是有211H(jΩz)=22N=51+BΩz10因此Ω2N(105-1)/B2课后答案网z==99999/0.0016=62499375于是www.hackshp.cn2N=lg62499375/lg23.34=5.6983所以取N=3。又由(6.1)式可以得到Ω1/2N)-1-1/6c=(0.0016=0.0016=2.924N=3的B型低通滤波器的系统函数3ΩcH(s)=(6.2)(s-s)(s-s)(s-s)012而jπ/6j2π/3s0=jΩce=Ωcejπ/2jπs1=jΩce=Ωcej5π/6j4π/3s2=jΩce=Ωce·53· 代入(6.2)式有3ΩcH(s)=3223s+2Ωcs+2Ωcs+Ωc于是所要求的B型带通滤波器的系统函数为F(p)=H(s)2p+1/pp+1s==δδp3Ωc=23222p+1p+12p+13()+2Ωc()+2Ωc()+Ωcδpδpδp3332.924×0.1543p=(p2322222(p2333+1)+2×2.924×0.1543p(p+1)+2×2.924×0.1543p+1)+2.924×0.1543p30.0918p=(p23222(p23+1)+0.9p(p+1)+0.407p+1)+0.0918p6.4一个数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.2π,令抽样频率fs=1kHz。(a)如果用冲激响应不变法来设计,问相应的模拟低通滤波器的截止频率f为c多少?(b)如果用双线性变换法来设计,问相应的模拟低通滤波器的截止频率f为多少?c解(a)相应的模拟低通滤波器的截止频率Ωc=ωc/Ts=ωcfs=0.2π×1000=200πrad/s而课后答案网Ωcfc==100Hz2π(b)相应的模拟低通滤波器的截止频率www.hackshp.cn2ωcΩc=tan=2fstan(0.1π)=649.84rad/sTs2而Ωcfc==103.4Hz2π6.5试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将下列模拟滤波器系统函数Ha(s)变为数字系统函数H(z)。(a)H(s)=3,Ta(s+1)(s+3)s=0.5s(b)H(s)=1,Ta2s=2ss+s+1·54· (c)H(s)=3s+2,Ta2s=0.1s2s+3s+1解①冲激响应不变法(a)H(s)=3=3(1-1)a(s+1)(s+3)2s+1s+3故有3/23/2)H(z)=Ts(-T-1--3T-11-esz1-eszzz)=0.75(-0.5--1.5z-ez-e(b)H(s)=1a2s+s+1=1(1-1)j槡3s+1/2-j槡3/2s+1/2+j槡3/2故有Ts11H(z)=((-1/2+j槡3/2)T-(-1/2-j槡3/2)T)-1-1j槡31-esz1-eszj2zz=(-)z-e-1e-j槡3z-e-1ej槡3槡3(c)H(s)=3s+2=3s+2a2s2+3s+1(2s+1)(s+1)课后答案网111/21=+=+2s+1s+1s+1/2s+1故有www.hackshp.cn1/21)H(z)=Ts(-0.5T-1+-T-11-esz1-esz0.05z0.1z=-0.05+-0.1z-ez-e②双线性变换法(a)H(z)=H(s)=3a-1(s+1)(s+3)-1s=2·1-zs=41-zT-1-1s1+z1+z3(1+z-1)=[4(1-z-1)+1+z-1][4(1-z-1)+3(1+z-1)]3(1+z-1)=(5-3z-1)(7-z-1)·55· (b)H(z)=H(s)=1a-1s2+s+1-1s=2·1-zs=1-zT-1-1s1+z1+z(1+z-1)2=(1-z-1)2-1)(1+z-1)+(1+z-1)2+(1-z(1+z-1)2=-23+z(c)H(z)=H(s)=3s+2a-12s2+3s+1-1s=2·1-zs=201-zT-1-1s1+z1+z3×20(1-z-1)(1+z-1)+2(1+z-1)2=2(1-z-1)2-1)(1+z-1)+(1+z-1)22×20+3×20(1-z-1-262+4z-58z=-1-2861-1598z+741z6.6用冲激响应不变法将以下Ha(s)转换为H(z),抽样周期为T。(a)H(s)=s+aa(s+a)22+b(b)H(s)=Aa(s-s)20解课后答案网(a)H(s)=s+a=1(1+1)a(s+a)222s+a+bjs+a-bjwww.hackshp.cn+b故有H(z)=T(1+1)2-(a+bj)T-1-(a-bj)T-11-ez1-ez=T(z+z)2z-e-aTe-jbTz-e-aTejbT(b)模拟滤波器的冲激响应ha(t)=犔-1[H(s)]=A·t·es0tu(t)a数字滤波器的冲激响应snTh(n)=Tha(nT)=T·A·nT·e0u(nT)·56· 数字滤波器的系统函数∞∞-n2sTn-nH(z)=∑h(n)z=AT∑n·e0zn=-∞n=0∞=AT2[-zd(∑es0Tnz-n)]dzn=0=-AT2z·d(1)sT-1dz1-e0z=-AT2z·d(z)sTdzz-e0(z-es0T)-z2=-ATz(z-esT)202sTATe0z=(z-es0T)2∞上面的推导过程中,幂级数∑(es0Tz-1)n的收敛需要满足条件n=0sT-1e0z<1即sTz>e0这也就是H(z)的收敛域。6.7设抽样频率fs=2πkHz,用冲激响应不变法设计一个3阶Butterworth数字低通滤波器,其3dB带宽f。c=1kHz解课后答案网对于冲激响应不变法,数字滤波器的模拟频率也即模拟滤波器的频率,故有www.hackshp.cnΩc=2πfc=2000πrad/s3阶Butterworth模拟低通滤波器的系统函数3ΩcHa(s)=(s-s)(s-s)(s-s)012而jπ/6j2π/3s0=jΩce=Ωce=(-1/2+j槡3/2)Ωcjπ/2jπs1=jΩce=Ωce=-Ωcj5π/6j4π/3s2=jΩce=Ωce=(-1/2-j槡3/2)Ωc令1ABC(s-s)(s-s)(s-s)=s-s0+s-s1+s-s2012·57· 则可以得到烄-j槡3/2-3/2A=23Ωc1烅B=2Ωcj槡3/2-3/2C=2烆3Ωc于是有333AΩcBΩcCΩcHa(s)=++s-s0s-s1s-s2[-1/2-j/(2槡3)]ΩcΩc[-1/2+j/(2槡3)]Ωc=++s-s0s-s1s-s2因此,所要求的数字低通滤波器的系统函数为-1/2-j/(2槡3)1-1/2+j/(2槡3)H(z)=TsΩc[sT-1+sT-1+sT-1]1-e0sz1-e1sz1-e2sz由于TsΩc=Ωc/fs=2000π/2000π=1所以有-[1/2+j/(2槡3)]zz-[1/2-j/(2槡3)]zH(z)=+-1+课后答案网z-e-1/2ej槡3/2z-ez-e-1/2e-j槡3/26.8用双线性变换法设计一个www.hackshp.cn3阶Butterworth数字低通滤波器,3dB带宽(截止频率)f,抽样频率f。c=400Hzs=1.2kHz解数字低通的截止频率2πfc2π×4002πωc=ΩcTs===fs12003用双线性变换法,模拟低通的截止频率2ωcπΩ′c=tan=2fstan=2槡3fsTs233阶B型模拟低通滤波器的系统函数3Ω′cHa(s)=3223s+2Ω′cs+2Ω′cs+Ω′c·58· 所要求的数字低通滤波器的系统函数H(z)=Ha(s)-1-1s=2·1-z=2f1-zT-1s-1s1+z1+z=Ω′3(1+z-1)3·[(2f)3(1-z-1)3+2Ω′c(2fs)2(1-z-1)2(1+z-1)cs+2Ω′2(2f)(1-z-1)(1+z-1)2+Ω′3(1+z-1)3]-1csc将Ω′c=2槡3fs代入,并且化简后得到3槡3(1+z-1)3H(z)=(1-z-1)3+2槡3(1-z-1)2(1+z-1)+6(1-z-1)(1+z-1)2+3槡3(1+z-1)36.9一个数字低通滤波器的通带边界频率为f1=2500Hz,通带幅度的最小值为0.9;阻带边界频率为f2=3524Hz,阻带幅度的最大值为0.1;抽样频率为10kHz。采用双线性变换法、Butterworth逼近来设计。(a)求相应的模拟低通滤波器的参数N和Ω,这里Ω是标称化截止频率,基准频率cc是该模拟滤波器的通带边界频率。(b)用(a)题求出的N,但是令Ω,查表6.1,写出系统函数H(s)。c=1a(c)求出模拟滤波器实际的截止频率Ω,写出模拟滤波器实际的系统函数H(s)。c1a1(d)求数字滤波器的系统函数H(z)。(e)求出数字滤波器在f=0、f=f和f=f这些关键频率处的幅频响应,检验是否12满足设计要求。解课后答案网(a)将数字低通的各边界频率转换为数字角频率:-4ωwww.hackshp.cn1=2πf1Ts=2π×2500×10=π/2-4ω2=2πf2Ts=2π×3524×10=2.2142所对应的模拟滤波器的角频率:2ω1πΩ′1=tan=2fstan=2fs=20000rad/sTs242ω22.2142Ω′2=tan=2fstan=39995rad/sTs22以通带边界频率Ω′为基准频率,将模拟滤波器的频率标称化,即令Ω,而Ω11=12=39995/20000≈2。对B型滤波器有211Ha(jΩ)=2N=2N2N1+(Ω/Ωc)1+(1/Ωc)Ω·59· 于是有2112Ha(jΩ1)=2N2N=2N=0.91+(1/Ωc)Ω11+(1/Ωc)令(1/Ω)2N=B2c则22B=1/0.9-1=0.2346而212Ha(jΩ2)=22N=0.11+BΩ2于是可以得到22N1/0.1-1Ω2=2=421.995B即4N=421.995,故N=lg421.995/lg4=4.36于是取N=5。又由(1/Ω)2N=(1/Ωc)10=B2=0.2346c可以得到-1/10课后答案网Ωc=0.2346=1.156(b)现在,令模拟滤波器截止频率Ω,于是查表6.1,得到模拟滤波器的系统函c=1数:www.hackshp.cn1Ha(s)=5432s+3.23607s+5.23607s+5.23607s+3.23607s+1(c)上面得到的Ω是模拟滤波器截止频率的标称值,实际值为c=1.156Ωc1=1.156×20000=23120rad/s因此模拟滤波器实际的系统函数为5Ωc1Ha1(s)=54233245s+3.23607Ωc1s+5.23607Ωc1s+5.23607Ωc1s+3.23607Ωc1s+Ωc1(d)为了书写方便,现在令a=3.23607,b=5.23607;g=2/T,可以s=2fs=20000得到所要求的数字滤波器的系统函数·60· H(z)=Ha1(s)-1s=2·1-z=gz-1T-1z+1s1+z=Ω5(z+1)5·[g5(z-1)5+aΩc1g4(z-1)4(z+1)c1+bΩ23(z-1)3(z+1)2+bΩ32(z-1)2(z+1)3c1gc1g+aΩ4(z-1)(z+1)4+Ω5(z+1)5]-1c1gc1=(z+1)5·[d5(z-1)5+ad4(z-1)4(z+1)+bd3(z-1)3(z+1)2+bd2(z-1)2(z+1)3+ad(z-1)(z+1)4+(z+1)5]-1上式中d=g/Ωc1=20000/23120≈0.865(e)数字滤波器的频率ω=2πfTs=2πf/fs数字滤波器的幅频响应H(ejω)=H(z)jωz=e当f=0时,ω=05H(ej0)=H(z)=H(1)=2=1j0(1+1)5z=e=1是理想的幅频响应。当f=f时,ω=ω/211=πjωH(e1)=H(z)jπ/2=H(j)z=e=j故有课后答案网(j+1)5jωH(e1)=d5(j-1)5+ad4(j-1www.hackshp.cn)4(j+1)+bd3(j-1)3(j+1)2+bd2(j-1)2(j+1)3+ad(j-1)(j+1)4+(j+1)5-1-j=(d5-ad4-bd3+bd2+ad-1)+j(-d5-ad4+bd3+bd2-ad-1)于是(-1)2+(-1)2jω2H(e1)=5432254322(d-ad-bd+bd+ad-1)+(-d-ad+bd+bd-ad-1)≈0.8099所以jω1/2H(e1)=0.8099≈0.9满足通带幅度要求的指标。同理可以算得在阻带边界f或者ω之处2=3524Hz2=2.2142jωH(e2)≈0.0644<0.1也满足设计要求。·61· 6.10一个数字低通滤波器的通带边界频率为f1=2500Hz,通带幅度的最小值为0.9;阻带边界频率为f2=3524Hz,阻带幅度的最大值为0.1;抽样频率为10kHz。采用双线性变换法、Chebyshev逼近来设计。求相应的模拟低通滤波器的参数ε和N。解将数字低通的各边界频率转换为数字角频率:-4ω1=2πf1Ts=2π×2500×10=π/2-4ω2=2πf2Ts=2π×3524×10=2.2142所对应的模拟滤波器的角频率:烄2ω1πΩ′1=tan=2fstan=2fs=20000rad/sTs24烅2ω22.2142Ω′2=tan=2fstan=39995rad/s烆Ts22以通带边界频率Ω为基准频率,将模拟滤波器的频率标称化,即令Ω,而Ω1′1=12=39995/20000≈2。下面求相应的C型模拟低通滤波器的参数ε和N。由122=0.9=0.811+ε得到21ε=-1=0.234570.81故ε=0.48432。由阻带要求有课后答案网212Ha(jΩ2)=22(Ω)≤0.1=0.01www.hackshp.cn1+εCN2故有C2(Ω)=C2(2)≥1/0.01-1=422.05N2N2ε于是有CN(2)≥20.544递推公式:CN+1(2)=4CN(2)-CN-1(2)由C(2)=1,C(2)=2,可以得到01C2(2)=4×2-1=7C3(2)=4×7-2=26>20.544因此N=3。·62· 6.11用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字高通滤波器,抽样频率fs=8kHz,截止频率fc=2kHz。解实际上,对于原型低通模拟滤波器和数字低通滤波器的截止频率,可以任意设定它们中的一个,另一个则按照双线性变换的频率关系式来确定。当然,应该按照使计算尽量简单的原则来设定原型低通滤波器的截止频率。因此,这样的问题可以有两种解法。解法1先设定原型低通模拟滤波器的截止频率,当然,最简单的情况就是设Ω′。按c=1照要求N=3,用Butterworth逼近,因此可以得到模拟低通的系统函数3Ω′c1Ha(s)=3223=32s+2Ω′cs+2Ω′cs+Ω′cs+2s+2s+1用双线性变换式就得到原型低通数字滤波器的系统函数-1-1Hl(z)=Ha(s)s=2·1-z-1=2f1-z-1Tss1+z1+z(1+z-1)3=3(1-z-1)32(1-z-1)2(1+z-1)+4f(1-z-1)(1+z-1)2-1)38fs+8fss+(1+z而这个低通数字滤波器的截止频率TsΩ′c1θp=2arctan=2arctan22fs故有课后答案网θp1tan=22fs题中所要求的数字高通滤波器的截止频率www.hackshp.cnωp=ΩcTs=2πfc/fs=2π×2000/8000=π/2下面应该进行数字低通到数字高通的频率变换。θp+ωpθpωpθpωpcoscoscos-sinsin22222α=-=-θp-ωpθpωpθpωpcoscoscos+sinsin22222槡2θp槡2θpθpsin-costan-1222221-2fs===槡2θp槡2θpθp1+2fssin+costan+122222·63· 所要求的数字高通滤波器:Hd(Z)=Hl(z)-1-1Z+αz=-11+αZ=(1+aZ-1-Z-1-α)3·[8f3(1+αZ-1+Z-1+α)3s+8f2(1+αZ-1+Z-1+α)2(1+αZ-1-Z-1-α)s-1-1-1-12+4fs(1+αZ+Z+α)(1+αZ-Z-α)+(1+αZ-1-Z-1-α)3]-1=(1-α)3(1-Z-1)3·[8f3(1+α)3(1+Z-1)3s+8f2(1+α)2(1+Z-1)2(1-α)(1-Z-1)s+4fs(1+α)(1+Z-1)(1-α)2(1-Z-1)2+(1-α)3(1-Z-1)3]-1而1-2fs4fs1-α=1-=1+2fs1+2fs1-2fs21+α=1+=1+2fs1+2fs将1-α和1+α代入H(Z),最后得到d(1-Z-1)3Hd(Z)=(1+Z-1)3-1)2(1-Z-1)+2(1+Z-1)(1-Z-1)2-1)3+2(1+Z+(1-Z解法2这个方法是适当选择数字低通的截止频率θ,以使得数字低通到数字高通p的变换简单。由相应的变换公式课后答案网-1-1Z+αz=--11+αZ可知,如果α=0,便有z-www.hackshp.cn1=-Z-1,变换就会很容易。而又由相应的设计公式θp+ωpcos2α=-θp-ωpcos2θp+ωpπ可知,如果=22则α的分子将为0,故α为0。在解法1中已经求得,数字高通的截止频率ωp=π/2,因此只需要设定数字低通的截止频率θp=π/2。现在由数字低通的截止频率求得模拟低通的截止频率2θpπΩ′c=tan=2fstan=2fsTs24·64· 3阶B型滤波器的系统函数33Ω′c8fsHa(s)=3223=3223s+2Ω′cs+2Ω′cs+Ω′cs+4fss+8fss+8fs数字低通滤波器的系统函数Hl(z)=Ha(s)-1-1s=2·1-z=2f1-zT-1s-1s1+z1+z(1+z-1)3=(1-z-1)3-1)2(1+z-1)+2(1-z-1)(1+z-1)2-1)3+2(1-z+(1+z最后得到数字高通滤波器的系统函数Hd(Z)=Hl(z)-1-1z=-Z(1-Z-1)3=(1+Z-1)3-1)2(1-Z-1)+2(1+Z-1)(1-Z-1)2-1)3+2(1+Z+(1-Z两种解法最后的结果完全相同。6.12用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器,抽样频率fs=720Hz,上下边带截止频率分别为f1=60Hz,f2=300Hz。解该数字带通滤波器的上下边带截止频率:ω1=2πf1/fs=2π×60/720=π/6ω2=2πf2/fs=2π×300/720=5π/6数字低通原型滤波器的截止频率θ可以自选,为了使下面参数k的表示比较简单,这里p选θp=π/3。则相应的模拟低通滤波器的截止频率课后答案网2θpπ2Ω′c=tan=2fstan=fswww.hackshp.cnTs26槡3于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数833fsΩ′c3槡3Ha(s)=3223=488s+2Ω′cs+2Ω′cs+Ω′cs3+fss2+fs2s+fs3槡333槡3而数字低通原型滤波器的系统函数-1-1Hl(z)=Ha(s)s=2·1-z=2f1-zT-1s-1s1+z1+z1(1+z-1)333槡=(1-z-1)3+2(1-z-1)2(1+z-1)+2(1-z-1)(1+z-1)2+1(1+z-1)3槡333槡3·65· 下面将数字低通变换为数字带通。ω2+ω1ω2-ω1ππα=cos()/cos()=cos/cos=02223ω2-ω1)tanθpπ·tanπ槡3·11k=ctan(=ctan==22363槡33于是得到变换公式:-22αk-1k-1-21Z-Z+Z--2-1k+1k+122Z-1z=-=-=-2k-1-22αk-11-2Z-2Z-Z+1-Z+1k+1k+12最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数-2Hd(Z)=Hl(z)-12Z-1z=-2Z-21(3Z-2-3)33槡3=-(Z-2+1)3+2(Z-2+1)2(3Z-2-3)-2(Z-2+1)(3Z-2-3)2+1(3Z-2-3)3槡333槡36.13一个数字高通滤波器的通带边界频率为f1=3524Hz,通带幅度的最小值为0.9;阻带边界频率为f2=2500Hz,阻带幅度的最大值为0.1;抽样频率为10kHz。采用双线性变换法、Butterworth逼近来设计。求这个数字高通滤波器的系统函数H(z)。解将数字高通的各边界频率转换为数字角频率:课后答案网-4ω1=2πf1Ts=2π×3524×10=2.2142-4ωwww.hackshp.cn2=2πf2Ts=2π×2500×10=π/2所对应的模拟高通滤波器的角频率烄2ω12.2142Ω′1=tan=2fstan=39995rad/sTs22烅2ω2πΩ′2=tan=2fstan=2fs=20000rad/s烆Ts24以通带边界频率Ω′为基准频率,将模拟高通的频率标称化,即令,而/1β1=1β2=2000039995≈0.5。现在将模拟高通的标称化频率转换为模拟低通的标称化频率Ω:β烄Ω1=1/β1=1烅烆Ω2=1/β2=1/0.5=2·66· 对B型滤波器有211Ha(jΩ)=2N=2N2N1+(Ω/Ωc)1+(1/Ωc)Ω于是有2112Ha(jΩ1)=2N2N=2N=0.91+(1/Ωc)Ω11+(1/Ωc)令(1/Ω)2N=B2c则22B=1/0.9-1=0.2346而212Ha(jΩ2)=22N=0.11+BΩ2于是可以得到22N1/0.1-1Ω2=2=421.995B即4N=421.995,故N=lg421.995/lg4=4.36于是取N=5。又由课后答案网(1/Ω)2N=(1/Ωc)10=B2=0.2346c可以得到www.hackshp.cn-1/10Ωc=0.2346=1.156于是模拟高通滤波器的标称化截止频率为/Ω/1.156=0.865βc=1c=1而模拟高通滤波器实际的截止频率为Ω′c=βcΩ′1=0.865×39995=34596rad/s现在令模拟低通的截止频率为1,查表6.1,可以得到5阶B型滤波器的系统函数1Ha(s)=5432s+3.23607s+5.23607s+5.23607s+3.23607s+11=5432s+as+bs+bs+as+1这里为了书写方便,已经令a=3.23607,b=5.23607。·67· 将变换式s=1/p代入,就得到模拟高通滤波器的系统函数1Fa(p)=Ha(s)s=1/p=(1/p)5432+a(1/p)+b(1/p)+b(1/p)+a/p+15p=23451+ap+bp+bp+ap+p这是模拟高通的截止频率为1时的系统函数,但是实际的截止频率为Ω′/s,c=34596rad于是模拟高通滤波器实际的系统函数为5pFaH(p)=54322345Ω′c+aΩ′cp+bΩ′cp+bΩ′cp+aΩ′cp+p由于双线性变换法是可以用于高通滤波器的模数变换的,故所要求的数字高通滤波器的系统函数为H(z)=FaH(p)-1-1p=2·1-z=2f1-zT-1s-1s1+z1+z=(2fs)5(1-z-1)5·[Ω′5(1+z-1)5+aΩ′4(1-z-1)(1+z-1)4cc2fs+bΩ′3(2f)2(1-z-1)2(1+z-1)3+bΩ′2(2f)3(1-z-1)3(1+z-1)2cscs+aΩ′c(2fs)4(1-z-1)4(1+z-1)+(2f)5(1-z-1)5]-1sZ+1,6.14假设某时域连续滤波器Ha(s)是一个低通滤波器,又知H(z)=Ha()Z-1于是数字滤波器H课后答案网(z)的通带中心位于(1)ω=0(低通)(2)ω=π(高通)www.hackshp.cn(3)除0和π以外的某一频率(带通)请从中选择正确答案。解因为z+1)H(z)=Ha(z-1即有z+1s=z-1或者·68· s+1z=s-1将jωz=res=σ+jΩ代入s+1z=s-1有σ+1+jΩjωre=σ-1+jΩ于是有σ+1+jΩ(σ+1)2+Ω21/2r=σ-1+jΩ=[(σ-1)2+Ω2]由这个式子可知,当σ=0(即s=σ+jΩ=jΩ)时,r=1(即z=rejω=ejω),于是,将s=jΩ和z=ejω代入s=z+1,有z-1jωe+1jΩ=jωe-1当ω=πjπe+10jΩ=jπ=-2=0课后答案网e-1这就是说,模拟滤波器的频率Ω=0映射为数字滤波器的频率ω=π;又知道模拟滤波器是低通滤波器,这意味着Ωwww.hackshp.cn=0是通带中心,于是ω=π是数字滤波器的通带中心,即该数字滤波器是高通滤波器。所以答案(2)正确。·69· 第7章FIR数字滤波器的原理及设计7.1令h(n)为一FIR滤波器的单位抽样响应,使n<0、n>N-1时h(n)=0,又设h(n)为实序列。该滤波器的频率响应可表示为H(ejω)=H(ω)ejθ(ω),这里H(ω)是ω的实函数。又设H(k)为h(n)的N点DFT。(a)若h(n)满足h(n)=h(N-1-n),写出θ(ω),并且证明当N为偶数时,H(N/2)=0。(b)若h(n)满足h(n)=-h(N-1-n),写出θ(ω),并且证明H(0)=0。解N-1nkH(k)=∑h(n)W(k=0.1,⋯,N-1)Nn=0(a)若课后答案网h(n)=h(N-1-n)说明h(n)偶对称,故www.hackshp.cnN-1θ(ω)=-ω2又,当N为偶数时:N-1NNn2H(2)=∑h(n)WNn=0N-1n=∑h(n)(-1)n=0NN-1-122nN-1-n=∑h(n)(-1)+∑h(N-1-n)(-1)n=0n=0NN-1-122nN-1-n=∑h(n)(-1)+(-1)∑h(n)(-1)n=0n=0·70· 由于(-1)-n=(-1)n,并且当N为偶数时,N-1为奇数,(-1)N-1=-1,故有NN-1-122NnnH()=∑h(n)(-1)-∑h(n)(-1)=02n=0n=0(b)若h(n)=-h(N-1-n)说明h(n)奇对称,故πN-1θ(ω)=-ω22又,N-1H(0)=∑h(n)n=0N为偶数:NN-1-122H(0)=∑h(n)+∑h(N-1-n)n=0n=0N-12=∑[h(n)+h(N-1-n)]n=0N-12=∑[h(n)-h(n)]=0n=0N为奇数:N-1N-1-1-122课后答案网N-1H(0)=∑h(n)+∑h(N-1-n)+h(2)n=0n=0N-1-1www.hackshp.cn2N-1=h(2)+∑[h(n)+h(N-1-n)]n=0N-1-12N-1=h(2)+∑[h(n)-h(n)]n=0N-1=h(2)+0N-1=h(2)而h(n)中间的一项应当满足:N-1N-1N-1h(2)=-h(N-1-2)=-h(2)·71· 因此必然有N-1h(2)=0这就是说,当N为奇数时,也有H(0)=0。7.2如果一个线性相位带通滤波器的频响为HB(ejω)=H(ω)ej(ω)B(a)说明H(ejω)=[1-H(ω)]ej(ω)是一个线性相位带阻滤波器的频响。rB(b)试用h(n)表示h(n)。Br解(a)对于一个线性相位FIR数字滤波器,其频率响应的一般形式为H(ejω)=H(ω)ej(ω)其中H(ω)表示幅度,它是ω的实函数;(ω)表示相位,它是ω的线性函数。因此,如果已知一个线性相位带通FIR数字滤波器的频响为HB(ejω)=H(ω)ej(ω)B并设H(ω)已归一化,即0≤H(ω)≤1,其理想特性如图T7.2上图所示,那么,设BBHr(ω)=1-HB(ω)则H(ω)的特性就如图T7.2下图所示,这显然是一个带阻滤波器的幅频特性。又因为r(ω)是ω的线性函数,因此Hr(ejω)=H(ω)ej(ω)=[1-HB(ω)]ej(ω)r是一个线性相位带阻滤波器的频响。课后答案网www.hackshp.cn图T7.2·72· (b)线性相位FIR数字滤波器频响的一般形式中H(ω)表示幅度,它是三角函数的线性组合,其具体表达式可分为4种情况:情况1:N-12H(ω)=∑a(n)cos(ωn)n=0情况2:N21)H(ω)=∑b(n)cos[(n-ω]n=12显然,当ω=π时,H(ω)=0。情况3:N-12H(ω)=∑c(n)sin(nω)n=1显然,当ω=0、ω=π时,H(ω)=0。情况4:N21)H(ω)=∑d(n)sin[(n-ω]n=12显然,当ω=0时,H(ω)=0。对于图T7.2下图所示的带阻滤波器,显然ω=0和ω=π都应该在通带内,因此无论ω=0还是ω=课后答案网π,其幅度H(ω)都不应该为0,所以,这种带阻滤波器的幅频特性不可能是情况2、3、4这3种形式,只能够是情况1,即有N-1www.hackshp.cn2Hr(ω)=∑ar(n)cos(nω)n=0其中烄N-1hr(2)n=0ar(n)=烅(7.1)N-1烆2hr(-n)n≠02情况1对于带通滤波器也适合,即有N-12HB(ω)=∑aB(n)cos(nω)(7.2)n=0·73· 烄N-1hB(2)n=0其中aB(n)=烅(7.3)N-1烆2hB(-n)n≠02而N-12HB(ω)=1-Hr(ω)=1-∑ar(n)cos(nω)n=0N-12=1-ar(0)-∑ar(n)cos(nω)(7.4)n=1将(7.2)式和(7.4)式的H(ω)的表达式进行比较,显然有BaB(0)=1-ar(0)N-1)aB(n)=-ar(n)(n=1,2,⋯,2再由(7.1)式和(7.3)式中a(n)和a(n)的表达式,即可得到rBN-1N-1hr(2)=1-hB(2)N-1N-1N-1hr(-n)=-h-,2,⋯,B(n)(n=12)22或者N-1N-1h课后答案网r(n)=-hB(n)(n=-1,-2,⋯,1,0)22N-1N-1由于情况1是h(n)偶对称、www.hackshp.cnN为奇数,所以当n=+1,+2,⋯,N-1时也有22hr(n)=-hB(n)7.3设h1(n)和h2(n)是两个长度相同(0≤n≤7)的序列,并且都是偶对称序列,两者之间还是循环移位的关系,即h(n)=h((3-n))R(n)。若以这两个序列分别作1288为两个线性相位FIR滤波器的单位抽样响应,试证明这两个滤波器的幅频响应的抽样值相同,也即H1(ejω)2π=H2(ejω)2π(k=0,1,⋯,N-1,N=8)ω=Nkω=Nk证对于h(n)偶对称、长度N为偶数的情形,有·74· NN-12H(ejω)=e-j2ω∑b(n)cos[(n-1)ω]n=12其中Nb(n)=2h(-n)2式中的求和部分表示频响的幅度,即有N21H(ω)=∑b(n)cos[(n-)ω]n=12而H(ejω)=H(ω)即为幅频响应。这里N=8,故对于h(n)有1ω3ω5ω7ωH1(ω)=b1(1)cos+b1(2)cos+b1(3)cos+b1(4)cos2222ω3ω5ω7ω]=2[h1(3)cos+h1(2)cos+h1(1)cos+h1(0)cos2222同理对于h(n)有2ω3ω5ω7ω]H2(ω)=2[h2(3)cos+h2(2)cos+h2(1)cos+h2(0)cos2222现在用序号n来代表h(n),以表示序列h(n)的几种情况:22n⋯-3-2-1┆01234567┆8910⋯h2((n)8)⋯01课后答案网234567┆01234567┆01234567⋯h2((-n)8)⋯07654321┆07654321┆07654321⋯h2((3-n)8)⋯32107www.hackshp.cn654┆32107654┆32107654⋯由于h1(n)=h2((3-n)8)R8(n)故从上面的排列可知:h1(0)=h2(3),h1(1)=h2(2),h1(2)=h2(1),h1(3)=h2(0),h1(4)=h2(7),h1(5)=h2(6),h1(6)=h2(5),h1(7)=h2(4)Hjω)1(eω=2πk=H1(ω)ω=2πk88kπ3kπ5kπ7kπ=2h2(0)cos+h2(1)cos+h2(2)cos+h2(3)cos8888(k=0,1,⋯,7)·75· 而cos(5π)[(π-3π)k]k=cos883kπ3kπ=cos(kπ)cos+sin(kπ)sin88k3kπ=(-1)cos87ππcos(k)=cos[(π-)k]88kπkπ=cos(kπ)cos+sin(kπ)sin()88kkπ=(-1)cos8所以H1(ejω)2π=2coskπ[h2(0)+(-1)kh2(3)]+cos3kπ[h2(1)+(-1)kh2(2)]ω=k888H2(ejω)2π=H2πω=k2(ω)ω=k88kπ3kπ5kπ7kπ=2h2(3)cos+h2(2)cos+h2(1)cos+h2(0)cos8888=2coskπ[h(3)+(-1)kh2(0)]+cos3kπ[h(2)+(-1)kh2(1)]2288当k为偶数(k=0课后答案网,2,4,6):H1(ejω)2π=2coskπ[h(0)+h(3)]+cos3kπ[h(1)+h(2)]ω=k22228www.hackshp.cn88=2coskπ[h(3)+h(0)]+cos3kπ[h(2)+h(1)]222288=H2(ejω)2πω=k8当k为奇数(k=1,3,5,7):H1(ejω)2π=2coskπ[h(0)-h(3)]+cos3kπ[h(1)-h(2)]ω=k8228228=2-coskπ[h(3)-h(0)]-cos3kπ[h(2)-h(1)]222288=2coskπ[h(3)-h(0)]+cos3kπ[h(2)-h(1)]222288=H2(ejω)2πω=k8·76· 7.4线性相位FIR滤波器的频率响应可以表示为H(ejω)=H(ω)ejθ(ω),其中H(ω)是ω的实函数,而θ(ω)=[π-(N-1)ω]/2。已知h(0)=1,h(1)=2,h(2)=3,h(3)=4。(a)如果冲激响应h(n)之长度N=8,请写出h(n)的其余各点的值;问h(n)的对称中心τ=?(b)如果冲激响应h(n)之长度N=9,请写出h(n)的其余各点的值;问h(n)的对称中心τ=?解根据θ(ω)的表达式可知这个线性相位FIR滤波器的冲激响应h(n)是奇对称的。(a)h(4)=-h(3)=-4,h(5)=-h(2)=-3,h(6)=-h(1)=-2,h(7)=-h(0)=-1;τ=(N-1)/2=3.5。(b)h(4)=0,h(5)=-h(3)=-4,h(6)=-h(2)=-3,h(7)=-h(1)=-2,h(8)=-h(0)=-1;τ=(N-1)/2=4。7.5设h1(n)是一个定义在区间0≤n≤7的偶对称序列,而h2(n)=h1((n-4)8)R8(n)令H(k)=DFT[h(n)],H(k)=DFT[h(n)]。1122(a)试用H(k)来表示H(k)。12(b)这两个序列是否都能够作为线性相位FIR滤波器的冲激响应?如果h(n)构成1一个低通滤波器,那么课后答案网h(n)将构成什么类型的频选滤波器?2解(a)h2(n)实际上是hwww.hackshp.cn1(n)的循环移位,根据循环移位后的DFT的表达式,有4kkH2(k)=WH1(k)=(-1)H1(k)8(b)由于h(n)是偶对称的有限长序列,故可以作为线性相位FIR滤波器的冲激1响应。将h(n)与h(n)的循环移位关系用序号来表示,有:210123456745670123即有h2(0)=h1(4),h2(1)=h1(5),h2(2)=h1(6),h2(3)=h1(7),h2(4)=h1(0),h2(5)=h1(1),h2(6)=h1(2),h2(7)=h1(3)·77· 已知h(n)是偶对称的,即有1h1(0)=h1(7),h1(1)=h1(6),h1(2)=h1(5),h1(3)=h1(4)由h(n)与h(n)的关系,可知h(n)也是偶对称的有限长序列,因此h(n)也可以2122作为线性相位FIR滤波器的冲激响应。由于DFT是频谱的抽样值,所以H(k)和H(k)分别是滤波器h(n)和h(n)的1212频率响应的抽样,因为kH2(k)=(-1)H1(k)故有k|H2(k)|=|(-1)H1(k)|=|H1(k)|这就是说,两个滤波器有相同的抽样幅频响应,因此,如果h(n)构成一个低通滤波器,那1么h(n)当然也构成一个低通滤波器。27.6已知一个线性相位FIR系统有零点z=1,z=ej2π/3,z=0.5e-j3π/4,z=-1/4。(a)还会有其他的零点吗?如果有,请写出。(b)这个系统的极点在z平面的什么地方?它是稳定系统吗?(c)这个系统的冲激响应h(n)的长度最少是多少?解(a)由已知的零点,可以知道与之成组的其他零点:课后答案网z=ej2π/3→e-j2π/3-j3π/4j3π/4,2ej3π/4,2e-j3π/4z=0.5e→0.5ewww.hackshp.cnz=-1/4→-4(b)因为是FIR系统,故其极点都集中在z=0,当然在单位圆内,当然是稳定系统。(c)如果h(n)的长度为N,那么该系统共有N-1个零点,反之亦然。现在已经知道的该系统的零点连同导出的共有9个,因此h(n)的长度最少为10。7.7用窗口法设计一个线性相位因果FIR高通滤波器,已知阻带边界频率为0.3π,通带边界频率为0.5π,阻带允许的最小衰减为20dB。解根据阻带最小衰减的要求,查表7.1,可知选矩形窗就可以了。过渡带宽度·78· Δω=0.5π-0.3π=0.2π而矩形窗的过渡带宽度为4π/N,因此有(4π/N)≤0.2π故N≥4π/0.2π=20取N=20。而截止频率ωc=0.3π+Δω/2=0.4π下面用傅里叶反变换求该滤波器的冲激响应:1πhd(n)=Hd(ejω)ejnωdω2π∫-π-ωπ1cjnωjnω=(∫edω+∫edω)2π-πωc-ωπc1jnωjnω=e+e2πjn-πωc=1(e-jnωc-ejnωc+ejnπ-e-jnπ)2πjn=1[sin(nπ)-sin(nω)](-∞<n<∞)cnπ课后答案网N-1h′(n)=hd(n-2)www.hackshp.cnsin[(n-9.5)π]-sin[(n-9.5)ωc]=(-∞<n<∞)(n-9.5)π加矩形窗就得到所要求的滤波器的冲激响应h(n)=h′(n)w(n)而烄10≤n≤19w(n)=烅烆0其他于是烄sin[(n-9.5)π]-sin[(n-9.5)0.4π](n-9.5)π0≤n≤19h(n)=烅烆0其他·79· 7.8用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器,已知-j(ω-π)α烄eπ-ωc≤ω≤πHd(ejω)=烅烆00≤ω<π-ωc(a)求h(n)的表达式,确定α和N的关系。(b)若改用升余弦窗设计,求出h(n)的表达式。解(a)先不考虑延时因子e-jωα,求出以0为对称中心的无限长序列:-π+ωπ1cjαπjnωjαπjnωhd(n)=(∫eedω+∫eedω)2π-ππ-ωcjαπ=e(ejnω-π+ωc+ejnωπ)2πjn-ππ-ωcjαπ=e(e-jnπejnωc-e-jnπ+ejnπ-ejnπe-jnωc)2jnπjαπ=e{sin(nπ)+sin[n(ω)]}(-∞<n<∞)c-πnπ参数α表示延时,设h(n)的长度为N,那么α=(N-1)/2令h′(n)为对称中心在α的无限长序列,则有h′(n)=hd(n-α)jαπ课后答案网=e{sin[(n-α)π]+sin[(n-α)(ω)]}(-∞<n<∞)(n-α)πc-π现在对h′(n)加长度为N的因果矩形窗www.hackshp.cn10≤n≤N-1w(n)={其他0则所要求的滤波器的冲激响应烄ejαπ{sin[(n-α)π]+sin[(n-α)(ω)]}c-πh(n)=h′(n)w(n)=烅(n-α)π0≤n≤N-1烆0其他(b)如果加升余弦窗(汉宁窗),仍有h(n)=h′(n)w(n)只是烄1[1-cos(2nπ)]0≤n≤N-1w(n)=烅2N-1烆0其他·80· 于是烄ejαπ{sin[(n-α)π]+sin[(n-α)(ω)]}2nπc-π[1-cos()]0≤n≤N-1h(n)=烅2(n-α)πN-1烆0其他7.9用矩形窗设计一个线性相位因果带通滤波器,已知烄1-ωc≤ω-ω0≤ωcHd(ω)=烅烆00≤ω<ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π(a)求h(n)的表达式。(b)若用改进的升余弦窗设计,写出h(n)的表达式。解(a)先求以0为对称中心的无限长序列:1πjnωhd(n)=Hd(ω)edω2π∫-π-(ω0-ωc)ω+ω0c1ejnωdω+ejnωdω=[∫∫]2π-(ω0+ωc)ω0-ωc-(ω-ω)ω+ω1jnω0cjnω0c=[e+e]2jnπ-(ω0+ωc)ω0-ωc1-jn(ω0-ωc)jn(ω-ω)jn(ω+ω)-jn(ω+ω)=[e-e0c+e0c-e0c]2jnπ课后答案网=1{sin[n(ω)]-sin[n(ω)]}(-∞<n<∞)0+ωc0-ωcnπ设h(n)的长度为N,将对称中心移到www.hackshp.cn(N-1)/2得到h′(n):N-1h′(n)=hd(n-2)(-∞<n<∞)加矩形窗w(n)得到所设计的滤波器的冲激响应烄10≤n≤N-1w(n)=烅烆0其他因此有烄sin[(n-N-1)(ω)]-sin[(n-N-1)(ω)]0+ωc0-ωc220≤n≤N-1h(n)=h′(n)w(n)=烅(n-N-1)π2烆0其他·81· (b)如果用改进的升余弦窗即哈明窗设计,仍有h(n)=h′(n)w(n),只是w(n)为哈明窗,即有h(n)=烄sin[(n-N-1)(ω)]-sin[(n-N-1)(ω)]0+ωc0-ωc22(0.54-0.46cos2nπ)0≤n≤N-1烅(n-N-1)πN-12烆0其他7.10用哈明窗设计一个线性相位正交变换网络,已知-jωα烄je-π≤ω<0Hd(ejω)=烅烆-je-jωα0≤ω≤π(a)求h(n)的表达式,写出α与N之间的关系式。(b)N为奇数或是偶数对于h(n)的影响的主要差别是什么?那么应该选择N是偶数还是奇数?(c)若用Kaiser窗设计,写出h(n)的表达式。解(a)先不考虑延时,即对于烄j-π≤ω<0H′d(ejω)=烅课后答案网烆-j0≤ω≤π进行傅里叶反变换:www.hackshp.cnπ0π1jω)ejnω1(jnωjnωhd(n)=2π∫H′d(edω=2π∫jedω-∫jedω)-π-π00π=j(1ejnω-1ejnω)=1(1-e-jnπ-ejnπ+1)2πjn-πjn02nπn=1-(-1)(-∞<n<∞)nπ现在考虑延时:α=N-1,N为h(n)之长度,得到以α为对称中心的无限长序列2h′(n):1-(-1)n-α1-(-1)n(-1)αh′(n)=hd(n-α)=(n-α)π=(n-α)π(-∞<n<∞)对h′(n)加哈明窗就得到所要求的h(n):·82· h(n)=h′(n)w(n)烄1-(-1)n(-1)α2nπN-1(0.54-0.46cos)0≤n≤N-1,α==烅(n-α)πN-12烆0其他(b)如果N为奇数,则α=(N-1)/2为整数,于是(-1)α也是整数,从上面h(n)的表达式可知,此时h(n)是实数序列;如果N为偶数,则α=(N-1)/2是分数,于是计算(-1)α将对-1开方,其结果为复数,故h(n)会成为复数序列。h(n)为复数的滤波器实现时当然不如实数h(n)方便,因此应该选择N为奇数。(c)若用凯塞窗设计,冲激响应为h(n)=h′(n)w(n)烄1-(-1)n(-1)α·I(槡[1-2n/(N-1)]2)0β1-烅(n-α)π·I()0≤n≤N-1=0β烆0其他7.11用矩形窗设计一个线性相位数字微分器:Hd(ejω)=jωe-jωα(ω≤π)求出h(n)(0≤n≤N-1)的表达式,并确定α与N的关系。解先不考虑延时,即对于课后答案网H′d(ejω)=jω进行傅里叶反变换:1πhd(n)=www.hackshp.cnH′d(ejω)ejnωdω2π∫-π1πjnω=jωedω2π∫-πjjnωπ=e(jnω-1)2π(jn)2-π=-j[ejnπ(jnπ-1)-e-jnπ(-jnπ-1)]22nπ=-j[jnπ(ejnπ+e-jnπ)-(ejnπ-e-jnπ)]22nπ=cos(nπ)-sin(nπ)(-∞<n<∞)n2nπ·83· 现在考虑延时:α=N-1,N为h(n)之长度,得到以α为对称中心的无限长序列2h′(n):h′(n)=hd(n-α)=cos[(n-α)π]-sin[(n-α)π](-∞<n<∞)n-α(n-α)2π对h′(n)加矩形窗就得到所要求的h(n):烄cos[(n-α)π]sin[(n-α)π]N-1-(n-α)20≤n≤N-1,α=h(n)=烅n-απ2烆0其他7.12一个线性相位FIR低通滤波器的幅频响应为烄1|ω|≤ωcHd(ω)=烅烆0ωc<|ω|≤π已知f,设抽样率为2kHz,单位抽样响应长度为30ms,用矩形窗设计该数字滤c=500Hz波器。(a)求出h(n)之长度N,以及延时τ。(b)求出h(n)(0≤n≤N-1)。(c)设其频率响应可以表示为H(ejω)=H(ω)ejθ(ω),这里H(ω)是ω的实函数。请写出H(ω)和θ(ω)的表示式。解(a)已知每秒有2000个抽样点,故单位抽样响应h(n)之长度-3课后答案网N=2000×30×10=60而延时N-1www.hackshp.cnτ==29.52截止频率2π×500πωc=2πfc/fs==200021π(b)h(n)=Hd(ω)ejnωdωd2π∫-πωω1cjnω1jnωc=edω=e2π∫-ω2jnπc-ωc1(ejnω-jnωsin(nωc)(-∞<n<∞)=c-ec)=2jnπnπ而h′(n)=hd(n-τ)(-∞<n<∞)·84· 因此烄sin[(n-τ)ωc]h(n)=h′(n)w(n)=烅(n-τ)π0≤n≤N-1烆0其他(c)显然,h(n)关于0偶对称,所以h(n)关于对称中心τ偶对称,并且h(n)之长d度N=60为偶数,因此属于线性相位FIR滤波器频率响应的情况2的情形,故有:30H(ω)=∑b(n)cos[(n-1)ω]n=12而b(n)=2h(30-n)θ(ω)=-τω=-29.5ω7.13用频率抽样法设计一线性相位因果低通滤波器,N=15,幅频响应的抽样值为烄1k=0Hk=烅0.5k=1,14烆0k=2,3,⋯,13(a)求相频响应的抽样值(k)。(b)求h(n)及H(ejω)的表达式。解(a)令h(n)的课后答案网DFTH(k)=Hkej(k)(k=0,1,⋯,N-1,N=15)又有www.hackshp.cnH(k)=H(ejω)2π(ω)ejθ(ω)2π(k=0,1,⋯,N-1)ω=k=Hω=kNN比较H(k)的两个表达式,可以得到2πHk=H(k)N2π(k)=θ(k)N现在来考察这个滤波器的频率响应属于4种情况中的哪一种。首先,N为奇数;另外,如果h(n)奇对称,应该有N-12H(ω)=∑c(n)sin(nω)n=1·85· 将ω=2πk代入,显然,当k=0时H(2πk)=0,但是根据已知条件,当k=0时Hk=1,这NN就说明h(n)应该是偶对称的,于是应该属于情况1。已经知道,对于情况1,应该满足Hk=HN-k=H15-k(k=0,1,⋯,14)显然,题中所给的H是满足这样的对称关系的。另外,对于相频响应有kN-1θ(ω)=-ω=-7ω2于是,相频响应的抽样值2π2π14(k)=θ(k)=-7×k=-πkN1515N-1(b)h(n)=IDFT[H(k)]=1-kn(0≤n≤N-1)∑H(k)WNNk=0由于当k=2,3,⋯,13时H,故也有H(k)=0,因此k=01[H(0)+H(1)W-n-14n](0≤n≤14)h(n)=+H(14)W151515j0H(0)=H0e=H0=1H(1)=H-j14π/15-jπjπ/15jπ/151e=0.5ee=-0.5eH(14)=H-j14π(14/15)j14π(1/15-1)14e=0.5e课后答案网=0.5ej14π/15e-j14π=0.5ejπ(1-1/15)=-0.5e-jπ/15所以h(n)=115www.hackshp.cn(1-0.5ej1π5ej21π5n-0.5e-j1π5ej2π1154n)1jπj2πn-jπj2πn(1-1)=[1-0.5e15e15-0.5e15e15]151jπ(2n+1)-jπ(2n+1)=[1-0.5e15-0.5e15]151(2n+1)π=[1-cos](0≤n≤14)1515注:上面的推导用到了ej2πn=1。而7H(ejω)=e-j7ω∑a(n)cos(nω)n=0·86· 其中h(7)n=0a(n)={2h(7-n)n=1,2,⋯,77.14在h(n)偶对称,长度N=8的情况下,已知其频率响应的幅度可以表示为4∧1H(ejω)=∑b(n)cos[(n-)ω]n=02证明该幅度还可以表示为3∧ω∧H(ejω)=cos∑b(n)cos(nω)2n=0∧并且写出b(n)(n=0,1,2,3)的表示式(注意:请详细写出推导过程)。解下面的推导要利用三角公式:α+βα-βcosα+cosβ=2coscos224∧1H(ejω)=∑b(n)cos[(n-)ω]n=12=b(4)cos(3.5ω)+b(3)cos(2.5ω)+b(2)cos(1.5ω)+b(1)cos(0.5ω)+b(4)cos(2.5ω)-b(4)cos(2.5ω)=2b(4)c课后答案网os(3ω)cos(0.5ω)+[b(3)-b(4)]cos(2.5ω)+b(2)cos(1.5ω)+b(1)cos(0.5ω)+[b(3)-b(4)]cos(1.5ω)-[b(3)-b(4)]cos(1.5ω)=2b(4)cos(3ω)www.hackshp.cncos(0.5ω)+[2b(3)-2b(4)]cos(2ω)cos(0.5ω)+{b(2)-[b(3)-b(4)]}cos(1.5ω)+b(1)cos(0.5ω)+{b(2)-[b(3)-b(4)]}cos(0.5ω)-{b(2)-[b(3)-b(4)]}cos(0.5ω)=2b(4)cos(3ω)cos(0.5ω)+[2b(3)-2b(4)]cos(2ω)cos(0.5ω)+{2b(2)-[2b(3)-2b(4)]}cos(ω)cos(0.5ω)+{b(1)-b(2)+[b(3)-b(4)]}cos(0.5ω)∧(3)cosω∧(2)cosω∧(1)cosω∧(0)cosω=bcos(3ω)+bcos(2ω)+bcos(ω)+b22223ω∧=cos∑b(n)cos(nω)2n=0·87· 其中∧烄b(3)=2b(4)∧∧烅b(k-1)=2b(k)-b(k)(k=3,2)∧∧烆b(0)=b(1)-b(1)/27.15在h(n)奇对称,长度N=9的情况下,已知其频率响应的幅度可以表示为4∧H(ejω)=∑c(n)sin(nω)n=1证明该幅度还可以表示为3∧∧H(ejω)=sinω∑c(n)cos(nω)n=0∧并且写出c(n)(n=0,1,2,3)的表示式(注意:请详细写出推导过程)。解下面的推导要利用三角公式:α-βα+βsinα-sinβ=2sincos224∧H(ejω)=∑c(n)sin(nω)n=1=c(4)sin(4ω)+c(3)sin(3ω)+c(2)sin(2ω)+c(1)sinω-c(4)sin(2ω)+课后答案网c(4)sin(2ω)=2c(4)sinωcos(3ω)+c(3)sin(3ω)+[c(4)+c(2)]sin(2ω)+c(1)sinω-c(3)sinwww.hackshp.cnω+c(3)sinω=2c(4)sinωcos(3ω)+2c(3)sinωcos(2ω)+[c(4)+c(2)]sin(2ω)+[c(3)+c(1)]sinω=sinω{2c(4)cos(3ω)+2c(3)cos(2ω)+2[c(4)+c(2)]cosω+[c(3)+c(1)]}3∧=sinω∑c(n)cos(nω)n=0注:上面的推导还用到了三角公式sin(2ω)=2sinωcosω。·88· 其中∧烄c(3)=2c(4)∧c(2)=2c(3)烅∧∧c(k-1)=2c(k)+c(k+1)(k=2)∧∧烆c(0)=c(1)+c(2)/27.16试证明在用等波纹逼近法设计线性相位FIR滤波器时,如果冲激响应h(n)∧N奇对称,并且其长度N为偶数,那么幅度函数H(ejω)的极值数N的约束条件为N。ee≤2证对于这种情况(情况4),有N/2∧1H(ejω)=∑d(n)sin[(n-)ω]n=12N-12ω∧=sin∑d(n)cos(nω)2n=0由三角公式nmcos(nω)=∑dmncosω课后答案网m=0得到N-12n∧www.hackshp.cnω∧H(ejω)=sin∑d(n)(∑dmncosmω)2n=0m=0N-12ωk=sin∑d(k)cosω2k=0其中系数d(k)是通过合并coskω的同幂次项而得到的。现在通过求导来考察极值点。NN-1-122d∧1ωωH(ejω)=cos∑d(k)coskω+sin∑kd(k)cosk-1ω(-sinω)dω22k=02k=0d∧令H(ejω)=0,则有dωNN-1-1221cosω∑d(k)coskω=sinω·sinω∑kd(k)coskω22k=02cosωk=0·89· 两边同除以cosω,并利用三角公式2ω1-cosωtan=2sinω则上式变为NN-1-1221k1-cosωk∑d(k)cosω=∑kd(k)cosω2k=0cosωk=0令x=cosω,则上式变为NNN-1-1-12221k+1kk+1∑d(k)x=∑kd(k)x-∑kd(k)x2k=0k=0k=0将x的同次幂的系数合并,则上式可以写为N-12k+1∑g(k)x=0k=0d∧显然,上式左边是一个x的N/2次多项式,它有N/2个根,这也就是说,H(ejω)有dω∧∧N/2个零点,或者说H(ejω)至多有N/2个极值。设N为H(ejω)的极值数,因此对于情e况4,N的约束条件为eNNe≤2课后答案网www.hackshp.cn·90· 第8章数字滤波器的结构8.1分别用代数方程组求解法和Mason公式来求图P8.1所示流图的系统函数,并且写出差分方程。课后答案网图P8.1解www.hackshp.cn①代数方程组求解法(a)节点A、B、C、D如图P8.1(a)中所示,要求的系统函数H=Y/X,但是实际上Y=D。下面列出4个节点变量之值:-1烄A=2X+zBB=1X+1C-3z-1C=1X+(1-3z-1)C烅448448C=D烆D=A实际上,这4个方程可以合并为两个:烄-1A=2X+zB(8.1)烅113-1)A(8.2)B=X+(-z烆448·91· 将(8.1)式代入(8.2)式:B=1X+(1-3z-1)(2X+z-1B)448由这个式子可以解出:(3/4)(1-z-1)XB=-1/4+(3/8)z-21-z将B代入(8.1)式,得到z-1(3/4)(1-z-1)XA=2X+-1/4+(3/8)z-21-z-12+(1/4)z=-1/4+(3/8)z-2X1-z因此,系统函数为-1YDA2+(1/4)zH=X=X=X=-1-21-(1/4)z+(3/8)z(b)节点A、B、C、D如图P8.1(b)中所示,要求的系统函数为H=Y/X,但是实际上Y=C。下面写出节点变量之值:烄A=X+rcosθB-rsinθD-1B=zA烅C=rsinθB+rcosθD烆D=z-1C将含有4个未知数的这4个方程组成的方程组用矩阵形式表示出:烄1-rcosθ0rsinθ烌烄A烌烄X烌-1z-100B0课后答案网=0rsinθ-1rcosθC0烆0www.hackshp.cn0z-1-1烎烆D烎烆0烎只需要求出未知数C:C=Δ3/Δ1-rcosθ0rsinθ-1z-100Δ=0rsinθ-1rcosθ-100z-1-100-rcosθ0rsinθrsinθ-1rcosθ-1rsinθ-1rcosθ=-z-1-10z-10z-1=(-1+rcosθz-1)-z-1(-rcosθ+r2sin2θz-1+r2cos2θz-1)-12-2=-1+2rcosθz-rz·92· 1-rcosθXrsinθ-1z-100Δ3=0rsinθ0rcosθ000-1-1z-10rsinθrcosθ-1=X0rsinθrcosθ=Xz0-100-1-1=-rsinθzX因此,系统函数为YCΔ3/Δrsinθz-1H=X=X=X=-12-21-2rcosθz+rz②用Mason公式求解系统函数Y∑giΔiH==XΔ(a)这个流图有两个环路,并且这两个环路相互接触,故Δ=1-z-1/4+(3/8)z-2从源点X到汇点Y有两条通路,并且这两条通路都与每个环路接触,所以Mason公式的分子中Δ均为1,只需要将两个通路传输相加,即分子为i2+z-1/4于是可以得到系统函数课后答案网-1Y2+(1/4)zH==-1-2www.hackshp.cnX1-(1/4)z+(3/8)z由这个式子有Y(z)[1-(1/4)z-1+(3/8)z-2]=X(z)[2+(1/4)z-1]于是可以得到差分方程y(n)=2x(n)+(1/4)x(n-1)+(1/4)y(n-1)-(3/8)y(n-2)(b)这个流图有3个环路,环路传输分别为:(1)rcosθz-1(2)rcosθz-1(3)-r2sin2θz-2其中,环路(1)和环路(2)互不接触,因此,Mason公式的分母为:-1-122-222-2Δ=1-rcosθz-rcosθz+rsinθz+rcosθz-12-2=1-2rcosθz+rz·93· 从源点X到汇点Y只有一条通路,并且这条通路与所有的环路都接触,于是Mason公式的分子为-1rsinθz于是得到系统函数-1YrsinθzH=X=-12-21-2rcosθz+rz由此式得到Y(z)[1-2rcosθz-1+r2z-2]=X(z)rsinθz-1故差分方程为2y(n)=rsinθx(n-1)+2rcosθy(n-1)-ry(n-2)8.2一个系统的信号流图如图P8.2所示,X为源点,Y为汇点,设系统函数为H。分别用代数方程组求解法和Mason公式求其系统函数H=Y/X,并且写出差分方程。图P8.2解①代数方程组求解法课后答案网由流图得到各节点变量之值www.hackshp.cnX1=H1X-G2X2-G1X5X2=H2X1X3=X2-G3X4X4=H3X3-G4X5X5=H4X4这5个等式组成一个含有5个未知数的代数方程组,下面将这个方程组用矩阵表示出来:烄1G2G1烌H00烄X1烌烄X烌1H1H1X20H2-1000X3=001-1-G30X4000H3-1-G4烆X5烎烆0烎烆000H4-1烎·94· 要求系统函数H=Y/X,由于Y=X,所以只需从方程组中解出未知数X。55由克莱姆法则X5=Δ5/ΔΔ为线性方程组系数矩阵的行列式。1G2G100H1H1H1H2-1000Δ=01-1-G3000H3-1-G4000H4-1G2G1-100000H1H11-1-G3011-1-G30=-H2H10H3-1-G40H3-1-G400H4-100H4-1-1-G30烄-1-G301-1-G3烌-1G2G1=H3-1-G4-H2H3-1-G4-0H3-1H1H1H10H4-1烆0H4-100H4烎=(-1-G3H课后答案网3-G4H4)[-(1/H1)(1+G2H2)]+(G1H2/H1)(H3H4)=(1/H1)(1+G2H2+www.hackshp.cnG3H3+G3H3G2H2+G4H4+G4H4G2H2+G1H2H3H4)1G200XH1H1H2-1000而Δ5==X·Δ′501-1-G3000H3-10000H40H2-10001-1-G3Δ′5==H2H3H400H3-1000H4·95· 因此,系统函数YX5Δ5Δ′5H====XXΔ·XΔH1H2H3H4=1+G2H2+G3H3+G4H4+G1H2H3H4+G2H2G3H3+G2H2G4H4②用Mason公式求解共有4个环路,环路传输分别为(1)-G2H2(2)-G3H3(3)-G4H4(4)-G1H2H3H4其中两两互不接触的环路是(1)和(2),(1)和(3)。因此Mason公式的分母为:Δ=1+G2H2+G3H3+G4H4+G1H2H3H4+G2H2G3H3+G2H2G4H4从输入X到输出Y只有一条通路,通路传输=H,并且它与所有的环路都接1H2H3H4触。于是根据Mason公式即可写出系统函数YH1H2H3H4H==X1+G2H2+G3H3+G4H4+G1H2H3H4+G2H2G3H3+G2H2G4H4差分方程为H1H2H3H4y(n)=x(n)1+G2H2+G3H3+G4H4+G1H2H3H4+G2H2G3H3+G2H2G4H48.3图P8.3课后答案网中有4个网络,分别画出它们的转置网络,并且用Mason公式说明为什么转置网络与原网络有相同的系统函数。www.hackshp.cn图P8.3·96· 解(a)转置网络如图T8.3(a)所示,它与原网络都只有一个环路,环路传输均为z-1;由X到Y又都只有一条通路,通路传输均为1;并且都是通路与环路相接触。故根据Mason公式,这两个网络有相同的系统函数H=Y/X=1/(1-z-1)(b)转置网络如图T8.3(b)所示,它与原网络的环路情况以及由X到Y的通路情况完全相同,即:一个环路传输为z-1/2的环路,两条由X到Y的通路,通路传输分别为:1、z-1/2,这两条通路都与环路接触。所以这两个网络的系统函数都是H=Y/X=(1+z-1/2)/(1-z-1/2)(c)转置网络如图T8.3(c)所示,它与原网络都是前馈网络,即没有环路;由X到Y的通路情况也相同。所以这两个网络的系统函数都是-1-2H=Y/X=a+bz+cz(d)转置网络如图T8.3(d)所示,它与原网络的环路情况以及由X到Y的通路情况完全相同,即有3个环路,环路传输分别为:(1)rcosθz-1(2)rcosθz-1(3)-r2sin2θz-2其中,环路(1)和环路(2)互不接触,因此,Mason公式的分母为:-1-122-222-2Δ=1-rcosθz-rcosθz+rsinθz+rcosθz-12-2=1-2rcosθz+rz从源点X到汇点Y只有一条通路,并且这条通路与所有的环路都接触,于是Mason公式的分子为-1课后答案网rsinθz所以转置网络与原网络的系统函数均为-1Yrsinθzwww.hackshp.cnH=X=-12-21-2rcosθz+rz图T8.3·97· 8.4用最方便的方法求出图P8.4的系统函数H(z)=Y(z)/X(z)。图P8.4解整个网络由前后两个子网络级联而成,下面用Mason公式分别求这两个子网络的系统函数。第一个子网络:输入为x(n),输出为y(n),从输入到输出有3条通路,整个子网络1有相互接触的两个环路,并且每一条通路都与每一个环路相接触,因此可以写出其系统函数Y1(z)1+0.5z-1+2z-2H1(z)=X(z)=-1-21-1.5z-0.5z第二个子网络:输入为y(n),输出为y(n)。这个子网络共有3个环路,环路传输分课后答案网1别为:(1)-0.2z-1www.hackshp.cn(2)0.2z-1(3)-0.8z-2显然,(1)和(2)不接触,(1)和(3)也不接触,故有-1-1-2-2-3Δ=1+0.2z-0.2z+0.8z-0.04z+0.16z-2-3=1+0.76z+0.16z由y(n)到y(n)有4条通路:11)通路传输g1=2,与环路(2)、(3)不接触,而环路(2)、(3)相互接触,故-1-2Δ1=1-0.2z+0.8z·98· 2)通路传输g2=4,与所有的环路都接触,故Δ2=13)通路传输g3=z-1,与所有的环路都接触,故Δ3=14)通路传输g4=2z-2,与所有的环路都接触,故Δ4=1于是可以得到系统函数Y(z)H2(z)=Y1(z)2(1-0.2z-1+0.8z-2)+4+z-1+2z-2=-2-31+0.76z+0.16z-1-26+0.6z+3.6z=-2-31+0.76z+0.16z因此整个网络的系统函数Y(z)H(z)==H1(z)H2(z)X(z)(1+0.5z-1+2z-2)(6+0.6z-1+3.6z-2)=(1-1.5z-1-2)(1+0.76z-2-3)-0.5z+0.16z8.5用直接型以及正准型结构实现以下系统函数:课后答案网32(a)H(z)=0.83z+2z+2z+632z+4z+3z+2-5+2zwww.hackshp.cn-1-0.5z-2(b)H(z)=-1-2-31+3z+3z+z(c)H(z)=-z+228z-2z-3解-1-2-3(a)H(z)=0.83+2z+2z+6z-1-2-31+4z+3z+2z图T8.5(a)之(1)图表示其直接型结构,(2)图是其正准型结构。(b)图T8.5(b)之(1)图表示其直接型结构,(2)图是其正准型结构。-z-1/8+z-2/4(c)H(z)=1-z-1/4-3z-2/8·99· 图T8.5(c)之(1)图表示其直接型结构,(2)图是其正准型结构。课后答案网图T8.58.6用级联型结构实现系统函数,www.hackshp.cn画出所有的各种级联型结构。5(1-z-1)(1-2z-1+2z-2)H(z)=(1-0.5z-1)(1+2z-1-2)+5z解H(z)零极点的搭配有两种方式,每种方式下都得到两个不同的子网络。①第一种方式-11-zH11(z)=-11-0.5z-1-21-2z+2zH12(z)=-1-21+2z+5zH11(z)和H12(z)的网络结构分别如图T8.6(a)、(b)所示。这种情况下可以得到3!=6·100· 种级联形式:-11-z②第二种方式H21(z)=-1-21+2z+5z-1-21-2z+2zH22(z)=-11-0.5zH21(z)和H22(z)的网络结构分别如图T8.6(c)、(d)所示。这种情况下也可以得到3!=6种级联形式:课后答案网www.hackshp.cn图T8.6·101· 因此,H(z)的级联型结构总共有12种不同的形式。8.7用级联型及并联型结构实现系统函数:322z+3z-2zH(z)=(z2-z+1)(z-1)解①用级联型结构实现2z(z+2)(z-1/2)1+2z-11-z-1/2H(z)=(z2=2·-1-2·-1-z+1)(z-1)1-z+z1-z信号流图如图T8.7(a)所示。②用并联型结构实现27z-6z+24z+13H(z)=2+(z2=2+2+-z+1)(z-1)z-z+1z-1-1-2-14z+z3z=2+-1-2+-11-z+z1-z信号流图如图T8.7(b)所示。课后答案网www.hackshp.cn图T8.78.8设滤波器的差分方程为131y(n)=x(n)+x(n-1)+y(n-1)-y(n-2)348试用正准型及一阶网络的级联型、一阶网络的并联型结构实现。解对差分方程两边进行z变换:1-13-11-2Y(z)=X(z)+zX(z)+zY(z)-zY(z)348于是得到系统函数Y(z)1+z-1/3H(z)=X(z)=-1/4+z-2/81-3z·102· 正准型结构如图T8.8(a)所示。又,1+z-1/31H(z)=-1/4·-1/21-z1-z级联型结构如图T8.8(b)所示。又,10/37/3H(z)=-1/2--1/41-z1-z并联型结构如图T8.8(c)所示。课后答案网图T8.88.9试问用什么结构可以实现以下单位抽样响应:www.hackshp.cnh(n)=δ(n)-3δ(n-3)+5δ(n-7)解对上式两边进行z变换:-3-7H(z)=1-3z+5z可用横截型结构直接实现,如图T8.9所示。图T8.9·103· 8.10已知滤波器单位抽样响应为烄n20≤n≤5h(n)=烅烆0其他画出横截型结构。解55ky(n)=h(n)x(n)=∑h(k)x(n-k)=∑2x(n-k)k=0k=0横截型结构如图T8.10所示。图T8.108.11用卷积型和级联型网络实现系统函数:H(z)=(1-1.4z-1+3z-2)(1+2z-1)解H(z)=(1-1.4z-1+3z-2)(1+2z-1)(8.3)课后答案网=1+0.6z-1+0.2z-2+6z-3(8.4)由(8.3)式得到级联型结构如图T8.11(a)所示,由(8.4)式得到卷积型结构如图T8.11(b)所示。www.hackshp.cn图T8.118.12长度N=6的FIR数字滤波器的h(n)是偶对称的,已知h(0)=1.5,h(1)=2,h(2)=3。试用尽量简单的结构来直接实现。·104· 解系统函数为5-nH(z)=∑h(n)zn=0-1-2-3-4-5=h(0)+h(1)z+h(2)z+h(2)z+h(1)z+h(0)z=h(0)(1+z-5)+h(1)(z-1+z-4)+h(2)(z-2+z-3)该结构的信号流图如图T8.12所示。图T8.128.13长度N=7的FIR数字滤波器的h(n)是奇对称的,已知h(0)=3,h(1)=-2,h(2)=4。试用尽量简单的结构来直接实现。解系统函数为:6-nH(z)=∑h(n)zn=0课后答案网-1-2-3-4-5-6=h(0)+h(1)z+h(2)z+h(3)z-h(2)z-h(1)z-h(0)z=h(0)(1-z-6)+www.hackshp.cnh(1)(z-1-z-5)+h(2)(z-2-z-4)(h(3)=0)该结构的信号流图如图T8.13所示。图T8.138.14用频率抽样型结构实现系统函数:-3-65-2z-3zH(z)=-11-z·105· 抽样点数N=6,修正半径r=0.9。解5-2z-3-3z-6(3z-3+5)(1-z-3)H(z)=-1=-11-z1-z=(3z-3+5)(1+z-1+z-2)-1-2-3-4-5=5+5z+5z+3z+3z+3z故有h(0)=h(1)=h(2)=5h(3)=h(4)=h(5)=3频率抽样型结构2H(z)=1(1-r6z-6)[∑2H(k)·Hk(z)+H0(z)+HN/2(z)](8.5)6k=1其中π-1cosθ(k)-rcos[θ(k)-k]zHk(z)=3(k=1,2)-1π2-21-2rzcos(k)+rz3H(0)H0(z)=-11-rzH(N/2)HN/2(z)=-11+rz可以求得课后答案网5烄H(0)=∑h(n)=24n=0烅www.hackshp.cn5H(N)=H(3)=∑(-1)nh(n)=烆22n=0由于55πH(k)=∑h(n)Wnkh(n)e-j3nk(k=0,1,2,3,4,5)6=∑n=0n=0故对于H(k)的模和幅角θ(k),有55烄H(k)={[∑h(n)cos(πnk)]2+[∑h(n)sin(πnk)]2}1/2n=03n=035烅π∑h(n)sin(nk)n=03tanθ(k)=-5π)烆∑h(n)cos(nkn=03·106· 于是可以算得烄|H(1)|=4烅|H(2)|=0烆tanθ(1)=-槡3由tanθ(1)可以得到烄1cosθ(1)=±2烅槡3烆sinθ(1)=2于是可以得到cos[θ(1)-π]=cosθ(1)cosπ+sinθ(1)sinπ=13332将这些计算结果代入(8.5)式,得到1-0.9(-1)z-1H(z)=1(1-0.96z-6)[822+24+2]61-1-11-1.8()z-1+0.92z-21-0.9z1+0.9z2-1=(1-0.96z-6)(2/3+0.6z+4+1/3)-1-2-1-11-0.9z+0.81z1-0.9z1+0.9z这个结构的信号流图如图T8.14所示。课后答案网www.hackshp.cn图T8.148.15FIR数字滤波N=5,h(n)=δ(n)-δ(n-1)+δ(n-4),用频率抽样型结构实现,修正半径r=0.9。解显然有h(0)=1,h(1)=-1,h(2)=0,h(3)=0,h(4)=1。·107· 频率抽样型结构:2H(z)=1(1-r5z-5)[∑2H(k)·Hk(z)+H0(z)](8.6)5k=1其中2π-1cosθ(k)-rcos[θ(k)-k]zHk(z)=5(k=1,2)-12π2-21-2rzcos(k)+rz5而H(0)H0(z)=-11-rz可以求得4H(0)=∑h(n)=1n=0由于442πH(k)=∑h(n)Wnkh(n)e-j5nk(k=0,1,2,3,4)5=∑n=0n=0故对于H(k)的模和幅角θ(k),有44烄H(k)={[∑h(n)cos(2πnk)]2+[∑h(n)sin(2πnk)]2}1/2n=05n=054烅2π∑h(n)sin(nk)n=05tanθ(k)=-42π)烆课后答案网∑h(n)cos(5nkn=0于是可以算得|H(1)|=2.147,|H(2)|=1.543,tan[θ(1)]=1.9,tan[θ(2)]=1.176。由tan[θ(1)]可以得到www.hackshp.cn2-1/2cosθ(1)=±[1+tanθ(1)]=±(1+1.92)-1/2=±0.466如果取正号,那么由于cos[θ(1)]和tan[θ(1)]都为正,故θ(1)在第一象限,于是sin[θ(1)]也为正,有2sinθ(1)=1槡-cosθ(1)=1槡-0.2169=0.885而cos[θ(1)-2π]=cosθ(1)cos2π+sinθ(1)sin2π555=0.466×0.309+0.885×0.951=0.986·108· 由tan[θ(2)]可以得到2-1/2cosθ(2)=±[1+tanθ(2)]=±(1+1.1762)-1/2=±0.648如果取正号,那么由于cos[θ(2)]和tan[θ(2)]都为正,故θ(2)在第一象限,于是sin[θ(2)]也为正,有2sinθ(2)=槡1-cosθ(2)=槡1-0.4196=0.762而4π4π4πcos[θ(2)-]=cosθ(2)cos+sinθ(2)sin555=0.648×(-0.809)+0.762×0.588=-0.076将这些计算结果代入(8.6)式,得到-1H(z)=1(1-0.95z-5)[4.2940.466-0.9×0.986z5-12-21-1.8×0.309z+0.9z-10.648+0.9×0.076z1+3.086-12-2+-1]1+1.8×0.809z+0.9z1-0.9z-1-1=(1-0.95z-5)(0.4002-0.762z+0.3999+0.0422z+0.2)-1-2-1-2-11-0.5562z+0.81z1+1.4562z+0.81z1-0.9z这个结构的信号流图如图T8.15所示。课后答案网www.hackshp.cn图T8.15·109· 第9章数字信号处理中的有限字长效应9.1将下列十进制数分别用8位(数据7位符号1位)的原码、补码、反码定点表示出来,分别考虑截尾和舍入两种情况。x1=0.4375,x2=-0.4375,x3=0.9515625,x4=-0.9515625解原码反码补码十进制数截尾舍入截尾舍入截尾舍入x1=0.43750Δ01110000Δ01110000Δ01110000Δ01110000Δ01110000Δ0111000x2=-0.43751Δ01110001Δ01110001Δ10001111Δ10001111Δ10010001Δ1001000x3=0.9515625课后答案网0Δ11110010Δ11110100Δ11110010Δ11110100Δ11110010Δ1111010x4=-0.95156251Δ11110011Δ11110101Δ00001101Δ00001011Δ00001111Δ0000110www.hackshp.cn9.2当以下二进制数分别是原码、补码、反码时,分别写出所代表的十进制数。x1=0Δ1001,x2=0Δ1101,x3=1Δ1000,x4=1Δ1011解所代表的十进制数:若是原码若是反码若是补码x1=0Δ10010.56250.56250.5625x2=0Δ11010.81250.81250.8125x3=1Δ1000-0.5-0.4375-0.5x4=1Δ1011-0.6875-0.25-0.3125·110· 9.3将9.1题中的各个数用4位(包括符号位)定点补码表示出来,并且分别就截尾和舍入两种情况计算它们与相应的8位表示时的误差。解4位定点补码x(4)8位定点补码x(8)Δx=x(4)-x(8)十进制数截尾舍入截尾舍入截尾舍入x1=0.43750Δ0110Δ1000Δ01110000Δ0111000-0.06250.0625x2=-0.43751Δ1001Δ1011Δ10010001Δ1001000-0.06250.0625x3=0.95156250Δ1111+0Δ0000Δ11110010Δ1111010-0.07031250.046875x4=-0.95156251Δ0001Δ0001Δ00001111Δ0000110-0.0546875-0.0468759.4设输入序列x(n)通过一量化器Q[]的输入输出关系如图P9.4所示,量化器输出x(n)的形式为x(n)=x(n)+e(n)。误差序列e(n)是一个平稳随机过程,它==在误差范围内有均匀分布的概率密度,它的各抽样值之间互不相关,并且e(n)与x(n)也不相关。假设x(n)是均值为0、方差为σ2的平稳白噪声。x课后答案网www.hackshp.cn图P9.4(a)写出e(n)的误差范围,求e(n)的均值和方差。(b)求信噪比σ2/σ2。xe解(a)由量化器的输入输出关系(即图P9.4)可知,量化误差的范围为-Δ/2<e(n)≤Δ/2·111· 由所假设的e(n)的统计特性以及e(n)的误差范围,可知e(n)的均值为me=0方差为σ22/12e=Δ假设量化器的字长为L+1位,则-LΔ=2为量化间距。(b)信噪比222σxσx12σx2L22=2/12=-2L=12×2σxσeΔ2用对数表示:SNR=10lg(σ2/σ2)=6.02L+10.79+10lgσ2xex9.5设一个数字系统的系统函数为:-10.5-0.826543321zH(z)=-1-21-1.65782344z+0.7566223z而存储器的字长为8bit,请写出实际的系统函数H(z)的表达式。=解令a课后答案网=0.826543321,b1=1.65782344,b2=0.7566223将这些系数用8位二进制数表示出来,不考虑符号位,并且进行舍入处理,得到:a==0Δ1101010www.hackshp.cn,b=1=1Δ1010100,b=2=0Δ1100001再将每个8位二进制数转换为十进制数:a=0.828125,b1=1.65625,b2=0.7578125===因此,系数量化后实际的系统函数为-1H(z)=0.5-0.828125z-1-2=1-1.65625z+0.7578125z9.6A/D变换器的字长为L+1位,它的输出信号通过一个单位抽样响应1nnh(n)=[a+(-a)]u(n)2的离散系统,其中|a|<1。试确定系统输出端上量化噪声的方差,以及输出端的信噪比。·112· 解离散系统的系统函数:∞∞∞H(z)=∑h(n)z-n=1[∑anz-n+∑(-a)nz-n]n=-∞2n=0n=0111=2[1-az-1+1-(-az-1)]上式中的两个幂级数收敛分别应该满足条件:|az-1|<1和|-az-1|<1,综合起来则应该满足|z|>|a|。系统H(z)的输入量化噪声-2L22σe=12而输出量化噪声σ22[1z-1H(z)H(z-1)dz]=σ2f=σeeI2πj∮c下面用留数定理求积分I。令被积函数z-1H(z)H(z-1)=H(z)1由于H(z)的收敛域为|z|>|a|,而|a|<1,所以单位圆在H(z)的收敛域内;而H(z-1)的收敛域应该为|z-1|>|a|,即|z|<(1/|a|),由于(1/|a|)>1,所以单位圆也在H(z-1)的收敛域内。因此单位圆在被积函数H(z)的解析区域内,于是就选单位圆1作为积分围线c。H-1-1)1(z)=zH(z)H(z课后答案网-11zz111=z[(+)][(+)]2z-az+a21-az1+az11111=4www.hackshp.cn(z-a+z+a)(1-az+1+az)在围线c内H(z)有两个极点z=±a,于是有1I=Res[H1(z),z=a]+Res[H1(z),z=-a]1z-a111z+a11=(1+)(+)+(+1)(+)4z+a1-az1+azz=a4z-a1-az1+azz=-a111111=(2+2)+(2+2)41-a1+a41+a1-a111=(2+2)21-a1+a因此,输出噪声功率即输出端量化噪声的方差-2Lσ222(1+1)f=σeI=24221-a1+a·113· 令输入信号未经A/D变换器量化时,系统输出信号的功率为σ2,则输出端的信噪y比为:2σy2-2L11=σ2/[(+)]=12×22L(1-a2)(1+a2)σ22y241-a21+a2yσf9.7研究下面的系统函数:-11-0.4zH(z)=-1-21-0.9z+0.18z(a)计算H(z)的零点和极点。(b)若系数舍入成4位(包括符号位)的定点补码表示,计算系统函数系数量化后的零点和极点。解-1-1(a)H(z)=1-0.4z=1-0.4z1-0.9z-1+0.18z-2(1-0.3z-1)(1-0.6z-1)因此H(z)的零极点为:零点:z=0.4;极点:z=0.3,z=0.6。-11+1Δ101z(b)H(z)=-1-21+1Δ001z+0Δ001z-11-0.375z=-1-21-0.875z+0.125z课后答案网-11-0.375z=(1-0.1798z-1)(1-0.6952z-1)零点:z=0.375;www.hackshp.cn极点:z=0.1798,z=0.6952。9.8一个二阶IIR网络的系统函数为-10.4-0.34zH(z)=(1-0.9z-1)(1-0.7z-1)用6位字长的定点算法来实现,尾数作舍入处理。(a)在正准型结构下,画出信号流图,并且标明乘积项有限字长效应所产生的误差的输入点。(b)计算由于乘积的有限字长效应所产生的输出噪声功率。(c)对于级联型结构,重复(a)、(b)。(d)对于并联型结构,重复(a)、(b)。·114· 解每次相乘所产生的噪声的功率-2L2211σe==10=1212×212288(a)-10.4-0.34zH(z)=-1-21-1.6z+0.63z正准型结构以及相乘误差的输入点如图T9.8(a)所示。(b)图T9.8(a)中,e(n)、e(n)、e(n)、e(n)分别表示与系数0.4、-0.34、1.6、1234-0.63相乘后因有限字长所产生的误差,其中e1(n)和e2(n)直接输出,而e3(n)和e4(n)均通过网络H(z),因此输出噪声的功率为σ222[1z-1H(z)H(z-1)dz]=2σ2(1+I)f=2σe+2σee2πj∮c积分I用留数定理计算,被积函数A(z)=z-1H(z)H(z-1)-1A(z)=1·0.4-0.34z·0.4-0.34zz(1-0.9z-1)(1-0.7z-1)(1-0.9z)(1-0.7z)0.4z-0.34·0.4-0.34z=(z-0.9)(z-0.7)(1-0.9z)(1-0.7z)选单位圆作为积分围线c,则A(z)在c内的极点为z=0.9,z=0.7。于是1I=A(z)dz2πj课后答案网c=Res[A(z),z=0.9]+Res[A(z),z=0.7]0.4z-0.340.4-0.34z=www.hackshp.cn·(1-0.9z)(1-0.7z)z-0.7z=0.90.4z-0.340.4-0.34z+·z-0.9(1-0.9z)(1-0.7z)z=0.7(0.36-0.34)(0.4-0.306)(0.28-0.34)(0.4-0.238)=+0.2(1-0.81)(1-0.63)-0.2(1-0.63)(1-0.49)0.00188-0.00972=+0.01406-0.03774=0.1337+0.25755=0.39125·115· 输出噪声的功率222σf=2σe×1.39125=2.7825σe-1(c)H(z)=1·0.4-0.34z-1-11-0.9z1-0.7z级联型结构以及相乘误差的输入点如图T9.8(b)所示。图T9.8(b)中,e(n)、e(n)、e(n)、e(n)分别表示与系数0.4、-0.34、0.9、0.7相1234乘后因有限字长所产生的误差,其中e(n)和e(n)直接输出,e(n)通过网络H(z),而123e4(n)通过网络-10.4-0.34zH1(z)=-11-0.7z因此输出噪声的功率为σ222[1z-1H(z)H(z-1)dz]+σ2[1z-1H1(z)H1(z-1)dz]f=2σe+σe2πj∮ec2πj∮c=σ2(2+I+I)e1积分I上面已经算出:I=0.39125积分I也用留数定理计算,被积函数1B(z)=z-1H-1)1(z)H1(z-1B(z)=1·0.4-0.34z·0.4-0.34zz-11-0.7z课后答案网1-0.7z0.4z-0.34·0.4-0.34z=z(z-0.7)1-0.7z选单位圆作为积分围线cwww.hackshp.cn,则B(z)在c内的极点为z=0,z=0.7。于是1I1=B(z)dz2πj∮c=Res[B(z),z=0]+Res[B(z),z=0.7]0.4z-0.340.4-0.34z0.4z-0.340.4-0.34z=·+·z-0.71-0.7zz=0z1-0.7zz=0.7-0.34×0.4(0.28-0.34)(0.4-0.238)=+-0.70.7(1-0.49)0.136-0.00972=+0.70.357=0.1943-0.0272=0.1671·116· 输出噪声的功率σ22(2+0.39125+0.1671)=2.55835σ2f=σe×e(d)H(z)=0.1+0.3-1-11-0.9z1-0.7z并联型结构以及相乘误差的输入点如图T9.8(c)所示。课后答案网图T9.8图T9.8(c)中,e(n)、e(n)、e(n)、e(n)分别表示与系数0.1、0.9、0.7、0.3相乘1www.hackshp.cn234后因有限字长所产生的误差,其中e(n)通过网络H(z),e(n)通过网络H(z),而2233e1(n)和e4(n)直接输出,这里0.1H2(z)=-11-0.9z0.3H3(z)=-11-0.7z因此输出噪声的功率为σ222[1z-1H2(z)H2(z-1)dz]+σ2[1z-1H3(z)H3(z-1)dz]f=2σe+σee2πj∮c2πj∮c=σ2(2+I)e2+I3·117· 积分I用留数定理计算,被积函数2C(z)=z-1H-1)2(z)H2(z10.10.1=··z1-0.9z-11-0.9z0.10.1=·z-0.91-0.9z选单位圆作为积分围线c,则C(z)在c内的极点为z=0.9,于是1I2=C(z)dz=Res[C(z),z=0.9]2πj∮c0.010.01===0.05261-0.9zz=0.90.19积分I也用留数定理计算,被积函数3D(z)=z-1H-1)3(z)H3(z10.30.3=··z1-0.7z-11-0.7z0.30.3=·z-0.71-0.7z选单位圆作为积分围线c,则D(z)在c内的极点为z=0.7,于是1I3=D(z)dz=Res[D(z),z=0.7]2πj∮c0.090.09===0.1765课后答案网1-0.7zz=0.70.51输出噪声的功率σ22(2+0.0526+0.1765)=2.2291σ2f=www.hackshp.cnσe×e9.9设有一数字均衡器的系统函数为222a0kz+a1kz+1H(z)=∏(z-a)(z+a)=∏Hk(z)k=10k1kk=1其中a和a如下表所示:0k1kka0ka1k10.90.320.70.1·118· (a)画出二阶子网络H(z)的正准型信号流图,并且标出乘积的舍入误差的馈入k点。(b)令H(z)=H(z)H(z),再令H(z)=H(z)H(z),比较在两种不同的级联a12b21次序下乘积的舍入误差所产生的输出噪声功率的大小。注:写出每种情况下输出噪声功率的表达式,只需要用留数定理计算这两个表达式中不同的积分以进行比较,并不需要计算表达式中的每一个积分。解-1-2a0k+a1kz+z(a)H(z)=k-1-21-a3kz-a2kz其中a3k=a0k-a1ka2k=a0ka1k正准型信号流图以及乘积的舍入误差的馈入点如图T9.9所示。课后答案网图T9.9(b)对于H(z)=H(z)H(z)的级联结构,误差e(n)、e(n)通过网络H(z)H(z),a1www.hackshp.cn2312112误差e(n)、e(n)和e(n)、e(n)通过网络H(z),而误差e(n)、e(n)直接输出。0111322220212因此,输出噪声的功率为σ22[1z-1H1(z)H2(z)H1(z-1)H(z-1)dz]fa=2σe22πj∮c+4σ2[1z-1H2(z)H2(z-1)dz]+2σ2ee2πj∮c=2σ2(I+2I)e2+1对于H(z)=H(z)H(z)的级联结构,误差e(n)、e(n)通过网络H(z)H(z),误差b21322221e02(n)、e12(n)和e31(n)、e21(n)通过网络H1(z),而误差e01(n)、e11(n)直接输出。因此,输出噪声的功率为·119· σ22[1z-1H2(z)H1(z)H2(z-1)H(z-1)dz]fb=2σe12πj∮c+4σ2[1z-1H1(z)H1(z-1)dz]+2σ2ee2πj∮c=2σ2(I+2I)e1+1因此,只需要计算出积分I和I,就可以比较在不同的级联次序下的输出噪声的大小。12积分I的被积函数1A(z)=z-1H-1)1(z)H1(z-1-221a01+a11z+za01+a11z+z=··z-1-221-a31z-a21z1-a31z-a21z22a01z+a11z+1a01+a11z+z=·z(z-a01)(z+a11)(1-a01z)(1+a11z)220.9z+0.3z+1·0.9+0.3z+z=z(z-0.9)(z+0.3)(1-0.9z)(1+0.3z)选单位圆作为积分围线c,A(z)在c内有3个极点:z=0,z=0.9,z=-0.3。于是有I1=Res[A(z),z=0]+Res[A(z),z=0.9+]Res[A(z),z=-0.3]220.9z+0.3z+1·0.9+0.3z+z=(z-0.9)(z+0.3)(1-0.9z)(1+0.3z)z=0220.9z+0.3z+1·0.9+0.3z+z+z(z+0.3)(1-0.9z)(1+0.3z)z=0.9220.9z+0.3z+1·0.9+0.3z+z课后答案网+z(z-0.9)(1-0.9z)(1+0.3z)z=-0.310.91.9991.980.9910.9=www.hackshp.cn×+×+×-0.2711.080.24130.361.1557=-3.333+15.188+2.144=13.999积分I的被积函数2B(z)=z-1H-1)2(z)H2(z-1-221a02+a12z+za02+a12z+z=··z-1-221-a32z-a22z1-a32z-a22z22a02z+a12z+1a02+a12z+z=·z(z-a02)(z+a12)(1-a02z)(1+a12z)220.7z+0.1z+1·0.7+0.1z+z=z(z-0.7)(z+0.1)(1-0.7z)(1+0.1z)·120· 选单位圆作为积分围线c,B(z)在c内有3个极点:z=0,z=0.7,z=-0.1。于是有I2=Res[B(z),z=0]+Res[B(z),z=0.7+]Res[B(z),z=-0.1]220.7z+0.1z+1·0.7+0.1z+z=(z-0.7)(z+0.1)(1-0.7z)(1+0.1z)z=0220.7z+0.1z+1·0.7+0.1z+z+z(z+0.1)(1-0.7z)(1+0.1z)z=0.7220.7z+0.1z+1·0.7+0.1z+z+z(z-0.7)(1-0.7z)(1+0.1z)z=-0.110.71.4131.260.9970.7=×+×+×-0.0710.560.54570.080.997=-10+5.826+8.75=4.576由于I,所以σ22。1>I2fb>σfaN-19.10一个FIR滤波器为H(z)=∑anz-n,用直接型结构实现,以6位(包括符号n=0位)字长舍入方式进行量化处理。(a)计算由于乘积项的有限字长效应所产生的输出噪声功率σ2。课后答案网f(b)当N=512时,若要求σ2≤10-8,则字长至少应该选取多少位?f解www.hackshp.cn-2L-10(a)σ222N=2Nf=Nσe=1212(b)要求-2L2-8×512≤1012故有8L-8-110×1284≥(10×12/512)=3于是有8+lg128-lg38+2.107-0.477L≥==15.997lg40.602因此L≥16,而字长(L+1)≥17。·121· 9.11一阶IIR系统的差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n),已知在无限精度情况下,这个系统是稳定的。当在有限精度情况下实现时,对相乘的结果作截尾处理,因此实际的差分方程是y(n)=Q[ay(n-1)]+x(n)==式中Q[]表示截尾量化后的结果。(a)如果信号和乘法器系数都是原码表示的,试问当有限精度实现时,是否存在形式为y(n)=y(n-1)的零输入极限环?请说明理由。==(b)上述结果对于补码截尾仍然成立吗?为什么?解由差分方程可以得到这个系统的系统函数1zH(z)=-1=1-azz-a因此可知z=a为其极点。由于在无限精度下系统是稳定的,故极点应该在单位圆内,所以有|a|<1。(a)根据原码截尾的量化特性,即图9.1(b),可知,不论x为正或负,都有|Q[x]|≤|x|因此有|Q[ay(n-1)]|≤|ay(n-1)|(9.1)==而实际输出满足差分方程y(n)=Q[ay(n-1)]+x(n)==零输入时,x(n)=课后答案网0,故有|y(n)|=|Q[ay(n-1)]|==所以(9.1)式可以写为www.hackshp.cny(n)≤|ay(n-1)|=|a||y(n-1)|<|y(n-1)|====这就是说,当x(n)=0时|y(n)|<|y(n-1)|==因此不存在|y(n)|=|y(n-1)|的零输入极限环。==(b)对于补码截尾的情形,由图9.1(a)可知,当x>0时|Q[x]|≤|x|而当x<0时|Q[x]|≥|x|因此上述结果不成立。·122·'

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