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- 2022-04-22 11:34:49 发布
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第一章函数、极限与连续内容概要名主要内容（1.1、1.2）称邻U(a,δ)={xx−a<δ}（即Ua(,δ)={xa−δM函00数局区间I⊂D，对区间上任意两点xx，当xf(x)，则称函数在区间I上是单调减小函数；12设函数f(x)的定义域D关于原点对称；若∀x∈D，恒有f(−x)=f(x)，奇偶则称f(x)是偶函数；若∀x∈D，恒有f(−x)=−f(x)，则称f(x)是奇性函数；周若存在非零常数T，使得对∀x∈D，有(x±T)∈D，且期性f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数；初等几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；函数反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；思路：常见的表达式有①log□,（□>0）②N/□,（□≠0）③□(□≥0)a
课后答案网（http://www.khdaw.com）④arcsin□（□∈[−1,1]）等12⎧x≠0⎧x≠0解：（1）y=−1−x⇒⎨⇒⎨⇒x∈[−1,0)∪(0,1]；2x⎩1−x≥0⎩−1≤x≤1x−1x−1（2）y=arcsin⇒−1≤≤1⇒−1≤x≤3；221⎧3−x≥0⎧x≤3（3）y=3−x+arctan⇒⎨⇒⎨⇒x∈(−∞,0)∪(0,3)；x⎩x≠0⎩x≠0lg3−x⎧0<3−x⎧x<3（4）y=⇒⎨⇒⎨⇒x∈(−∞,−1)∪(1,3)；x−1⎩00,x∈R}，2虽然作用法则相同lgx=2lgx，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）y=2x+1，以x为自变量，显然定义域为实数R；x=2y+1，以x为自变量，显然定义域也为实数R；两者作用法则相同“2□+1”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；⎧πsinx,x<⎪⎪3πππ★3．设ϕ(x)=⎨，求ϕ()，ϕ()，ϕ(−)，ϕ(−2)，并做出函数⎪π6440,x≥⎪⎩3y=ϕ(x)的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；ππ1⎛π⎞π2⎛π⎞⎛π⎞2解：ϕ()=sin=，ϕ⎜⎟=sin=，ϕ⎜−⎟=sin⎜−⎟=662⎝4⎠42⎝4⎠⎝4⎠2
课后答案网（http://www.khdaw.com）ϕ(−2)=0；如图：3y20πx3π图1-1-33★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：x（1）y=(−∞,1)（2）y=2x+lnx，(0,+∞)1−x知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题。思路：利用单调性的定义即可。解：（1）设x，x∈(−∞,1)，当xf(x)，则结论成立。2121
课后答案网（http://www.khdaw.com）★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（2）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（3）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。本题可作为结论应用。思路：按定义证明即可。证明：设函数f(x),g(x)定义域分别是D,D（D,D是关于原点对称区间）；1212（1）设F(x)=f(x)+g(x)，定义域为D∩D，显然D∩D也关于原点对称，1212当f(x),g(x)均为偶函数时，F(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=F(x)，得F(x)为偶函数；当f(x),g(x)均为奇函数时，F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−F(x)，得F(x)为奇函数；（2）令G(x)=f(x)g(x)，定义域为D∩D，D∩D关于原点对称，1212当f(x),g(x)均为奇函数时，G(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)(−g(x))=G(x)，得F(x)为偶函数；当f(x),g(x)均为偶函数时，G(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)g(x)=G(x)，得F(x)为偶函数；当f(x),g(x)为一奇一偶时，G(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−G(x)，得G(x)为奇函数；★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？x−xe−ecosx（1）y=tanx−secx+1；（2）y=；（3）y=xcosxe；2（4）y=x(x−2)(x+2)。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解：（1）f(−x)=tan(−x)−sec(−x)+1=−tanx−secx+1，显然既不等于f(x)，也不等于−f(x)，故是非奇非偶函数；下面三个函数的定义域为全体实数R，关于原点对称
课后答案网（http://www.khdaw.com）−x−(−x)e+e（2）f(−x)==f(x)，故是偶函数；2cos(−x)（3）f(−x)=−xcos(−x)e=f(x)，故是偶函数；（4）f(−x)=−x(−x−2)(−x+2)=−f(x)，故是奇函数；★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：2（1）y=cos(x−1)；（2）y=xtanx；（3）y=sinx。知识点：函数周期性。思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数y=Acos(ϖx+ϕ)+C，2π则最小正周期T=，切函数也有类似结论）。ϖ解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期T=2π；（2）对正数T，f(x+T)=(x+T)tan(x+T)，而切函数周期是π的整数倍，故本题函数不是周期函数；21−cos2x2π（3）y=sinx=，则最小正周期T==π22★★9．证明：f(x)=xsinx在(0,+∞)上是无界函数；知识点：无界函数定义。思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对∀M>0（无论M有多大），∃x∈(0,+∞)，使其0函数值|f(x)|>M即可。0证明：对于任意正数M，要使|f(x)|=|xsinx|>M，π+π考虑当x=2kπ+,(k∈Z)，|f(x)|=|xsinx|=2kπ+22π⎡π⎤M−M−π2π⎢2⎥∴要使2kπ+>M，只要k>,(M>），取k0=⎢⎥+122π2⎢2π⎥⎢⎣⎥⎦π∴∀M>0（无论M有多大），∃x=2kπ+，使得|f(x)|=|xsinx|>M，000002∴f(x)=xsinx在(0,+∞)上是无界函数
课后答案网（http://www.khdaw.com）⎡π⎤M−⎛π⎞⎢2⎥（注1：k0取值只要并且确保f⎜2kπ+⎟>M即可，因此取k0=⎢⎥+2也可；⎝2⎠⎢2π⎥⎢⎣⎥⎦注2：数学符号“∀”表示“任意”；“∃”表示“存在”；“∋”表示“使得”。）★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费f(x)（元）与行李重量x(kg)之间的函数关系式。知识点：函数关系的建立。思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：⎧3⎧3x0≤x≤50x,0≤x≤50⎪⎪20,⎪⎪20fx()=⎨⇒fx()=⎨⎪3⋅+−1,⎪1−。50(x50)501600（2）：⎧90x−60,x0≤x≤100⎪⎪⎡1⎤L=RC−=px−60x=⎨⎢90−(x−100)⎥x−60,100x1600⎧30,x0≤x≤100⎪⎪12=−⎨x+31,100x1600
课后答案网（http://www.khdaw.com）12（3）L(1000)=−1000+31×1000=21000（元）。100习题1-2★1．求下列函数的反函数：x1−x2（1）y=;；（2）y=；x1+x2+1知识点：反函数求法；思路：解出x的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；1−x1−y1−x解：（1）y=⇒(1+x)y=1−x⇒x=⇒y=（习惯上自变量用字母x表示）1+x1+y1+xx2xxxyy（2）y=⇒y2+y=2⇒2=⇒x=logx22+11−y1−yx⇒y=log。21−x⎧1,x<0⎪2★2．设f(x)=⎨0,x=0，求f(x−1)，f(x−1)；⎪⎩−1,010⎩−1,x>12⎧1,x−1<0⎧1,x<1⎪⎪(2)2(2)fx−1=⎨0,x−1=0⇒fx−1=⎨0,x=1⎪−1,x2−1>0⎪−1,x>1⎩⎩3⎡⎛π⎞⎤★3．设函数f(x)=x−x，ϕ(x)=sin2x，求f⎢ϕ⎜⎟⎥，f{f[f(1)]}⎣⎝12⎠⎦知识点：复合函数定义；思路：逐层代入即可：3⎛π⎞π1⎡⎛π⎞⎤⎛1⎞⎛1⎞13解：ϕ⎜⎟=sin2=，f⎢ϕ⎜⎟⎥=f⎜⎟=⎜⎟−=−；⎝12⎠122⎣⎝12⎠⎦⎝2⎠⎝2⎠28()3f1=0，f(f(1))=f(0)=0−0=0，f{f[f(1)]}=f(0)=0x★★4．设f(x)=，求f[f(x)]和f{f[f(x)]}。1−x知识点：函数的复合；
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路：同上题，逐层代入即可。x⎛x⎞1−xx1解：f[f(x)]=f⎜⎟==，（x≠1,x≠）；⎝1−x⎠x1−2x21−1−xx{[()]}⎛x⎞1−2xxfffx=f⎜⎟==，⎝1−2x⎠x1−3x1−1−2xxx11定义域D:x≠1,≠1,≠1⇒D:x≠1,x≠,x≠。1−x1−2x23x★5．已知f[ϕ(x)]=1+cosx，ϕ(x)=sin，求f(x)。2知识点：函数复合；−1−1思路：换元法①令ϕ(x)=t⇒x=ϕ(t)（此种方法要求x易解），x、ϕ(x)分别用ϕ(t)、t代；换元法②将f[ϕ(x)]的表达式化成用ϕ(x)表达的式子（需要技巧），再令ϕ(x)=t代换；⎛x⎞2x2x解：用法②：f[ϕ(x)]=f⎜sin⎟=1+cosx=2cos=2−2sin，⎝2⎠22x2t↔x2令sin=t⇒f(t)=2−2t⎯⎯⎯→f(x)=2−2x（自变量与用何字母表示无关）。2★6．设f(x)的定义域是[0,1]，求：22（1）f(x);（2）f(sinx)；（3）f(x+a)+f(x−a)（0N1.3数时的一切x，总有x−a<ε成立，则limx=a；nnn列极n→∞限数列极限的极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性；性质：子数列收敛性；函数f(x)当x大于某正数时有定义，如果对任意给定正数ε（无论limf(x)=A多小），总存在正数X，使对满足x>X的一切x，总有x→∞f(x)−A<ε函函数f(x)在x的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数ε（无1.4数0函数极limf(x)=A论多么小），总存在正数δ，使对满足0M；大正无穷大，负无穷大统称为无穷大；无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；
课后答案网（http://www.khdaw.com）习题1-3★1．观察一般项x如下的数列{x}的变化趋势，写出它们的极限：nn1n11n−2（1）x=；（2）x=(−1)；（3）x=2+；（4）x=；nnnn3n3nnn+2n（5）x=(−1)nn知识点：数列定义。思路：写出前几项，观察规律。1111解：（1）,,⋯⋯→0；3927,811111（2）−1,,−,,−,⋯→0；23451111（3）2+1,2+,2+,2+,2+,⋯⋯→2；8276412544441（4）x=1−⇒1−,1−,1−,⋯1−,⋯→1；nn+2345100（5）−1,2−3,4,⋯→∞。★★2．利用数列极限定义证明：11+3n3n+2（1）lim=0（k为正常数）；（2）lim=；（3）limsinn=0。n→∞nkn→∞4n−14n→∞n2−2知识点：极限定义。思路：按定义即可。111⎛1⎞k证明：（1）lim=0：对任意给定的正数ε，要使＊−0<ε，即⎜⎟0，当n>N时，就有−0<ε，即lim=0⎢⎝ε⎠⎥nkn→∞nk⎣⎦1⎡⎤⎢⎛1⎞k⎥（注，只要保证N的取值能够让N以后的所有项的值满足＊式即可，因此N可取大于或等于⎜⎟⎢⎝ε⎠⎥⎣⎦的整数）；1+3n33n+137（2）lim=：对任意给定的正数ε，要使＊−=<ε，只要n→∞4n−144n−144(4n−1)74+ε⎡7+4ε⎤3n+13n>，∴取N=，则对任意给定的ε>0，当n>N时，就有−<ε，⎢⎥16ε⎣16ε⎦4n−14
课后答案网（http://www.khdaw.com）1+3n3∴lim=n→∞4n−14n+2（3）limsinn=0n→∞n2−2n+2n+21证明：由于sinn−0<=，22n−2n−2n−2n+211因此对任意给定的正数ε，要使sinn−0<ε，只要<ε，即n>+22n−2n−2ε（计算时为方便不妨设n>2，因为前面的有限项对极限无影响）⎡1⎤n+2取N=+2，则对任意给定的ε>0，当n>N时，就有sinn−0<ε，⎢⎥2⎣ε⎦n−2n+2∴limsinn=0n→∞n2−21nπ★3．设数列{x}的一般项x=cos。问limx=?求出N，使得当n>N时，x与其极nnnnn2n→∞限之差的绝对值小于正数ε。当ε=0⋅001时，求出N。知识点：数列极限定义思路：按极限定义即可1nπ解：观察可得：limcos=0，证明该结果如下：n→∞n21nπ11nπ1由于cos−0<，因此对任意给定的正数ε，要使cos−0<ε，只要<ε，即n2nn2n1⎡1⎤⎡1⎤n>，取N=（N取大于或等于的整数都可以），则对任意给定的ε>0，当n>N⎢⎥⎢⎥ε⎣ε⎦⎣ε⎦1nπ1nπ时，就有cos−0<ε，∴limcos=0。n2n→∞n2当ε=0⋅001时，可取N=1000。⎛1⎞nπ★4．设an=⎜1+⎟sin，证明数列{an}没有极限。⎝n⎠2知识点：判定数列极限不存在的方法思路：若某数列极限为A，则其任意子列的极限都为A，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列极限不存在。⎛1⎞2kπ证明：令n=2k,k∈N，则得子列a2k=⎜1+⎟sin，当n→∞时，k→∞；⎝2k⎠2⎛1⎞2kπ则lim⎜1+⎟sin=0；k→∞⎝2k⎠2
课后答案网（http://www.khdaw.com）取另一个子列n=4k+1,k∈N，⎛1⎞(4k+1)π⎛1⎞⎛π⎞得a4k+1=⎜1+⎟sin=⎜1+⎟sin⎜2kπ+⎟，⎝4k+1⎠2⎝4k+1⎠⎝2⎠⎛1⎞(4k+1)π1当n→∞时，k→∞，则lim⎜1+⎟sin=lim1+=1；k→∞⎝4k+1⎠2k→∞4k+1综上，原极限不存在。★5．设数列{x}有界，又limy=0，证明：limxy=0。nnnnn→∞n→∞知识点：数列有界及数列极限定义思路：有条件可知xN时，有y<ε；n1n1n→∞εε则对于任意正数ε，取ε=,由②可知：存在自然数N，当n>N时，有y≤ε=，1n1MMε从而有：xy0，根据条件，寻找使x−a<ε成立的n的范围。n证明：对于∀ε>0，由limx=a，则存在N，当2k-1>N时，x−a<ε；2k−1112k−1k→∞由limx=a，则存在N，当2k>N时，x−a<ε；2k222k−1k→∞取N=max{N,N}，当n>N时，（无论n=2k−1还是n=2k）12都有x−a<ε，即limx=a。nnn→∞习题1-4★1．在某极限过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，试判断：f(x)g(x)是否必无极限。知识点：函数极限性质思路：举例说明即可解：f(x)g(x)可能有极限，举例如下：
课后答案网（http://www.khdaw.com）11令f(x)=x，g(x)=sin，limx=0，limg(x)不存在，但limxsin=0；xx→0x→0x→0x★★2．用函数的极限定义证明：2x+32sinx（1）lim=；（2）lim=0x→+∞3x3x→+∞x21x−1（3）lim=1；（4）lim=2x→2x−1x→1x2−x知识点：函数极限定义2x+32思路：对于∀ε>0，找出符合要求（比如（1）中要求−<ε）的x范围，即找到描述自3x3变量范围的X或δ；为了找到X或δ，有时需要对不等式作适当的放缩。2x+3211证明：（1）任意正数ε，要使f(x)−A=−=<ε,即x>；3x3xε12x+322x+32只要取X=，当x>X时，有−<ε，即lim=；ε3x3x→+∞3x3sinx1（2）任意正数ε，∵f(x)−A=−0≤，xx11sinx∴当<ε，即x>时，−0<ε，2xεx1sinxsinx∴取X=，当x>X时（因为已知x>0），有−0<ε，即lim=02εxx→+∞x1x−2（3）由于f(x)−A=−1=,（为找到00解：∵fx()==⎨，x⎩−1x<0
课后答案网（http://www.khdaw.com）∴limf(x)=lim1=1；limf(x)=lim−1=−1；++−_−x→0x→0x→0x→0∴lim()fx不存在x→0★6．证明：如果函数f(x)当x→x时的极限存在，则函数f(x)在x的某个去心邻域内有界。00知识点：函数极限和局部有界的定义证明：设lim=A，则对于任意正数ε，存在正数δ，当01，总可以取x=2[M]π，有xcosx=2[M]π>M000∴y=xcosx在(−∞,+∞)上是无界的；π⎛π⎞⎛π⎞又因为当x=2kπ+时，k→+∞⇒x→+∞；此时lim⎜2kπ+⎟cos⎜2kπ+⎟=0，2k→+∞⎝2⎠⎝2⎠∴y=xcosx不是x→+∞时的无穷大★★★6．设x→x时，g(x)是有界量，f(x)是无穷大量，证明：f(x)±g(x)是无穷大量。0
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：函数局部有界和无穷大的定义。思路：可利用不等式fx()±gx()>fx()−gx()，及已知条件：g(x)是有界量，f(x)是无穷大量，证明结论。证明：x→x时，g(x)是有界量，知存在正常数δ及M，当0M，∵x→x时，f(x)是无穷大量，10∴对于M=2M，存在正常数δ，当0M=2M；22022综上，无论M多大，总可以取δ=min(δ,δ)，当0M同时成立；12则有f(x)±g(x)≥f(x)−g(x)>M−M>M成立，即f(x)±g(x)是无穷大量。21★7．设x→x时，g(x)≥M（M是一个正的常数），f(x)是无穷大量，证明：f(x)g(x)是无0穷大。知识点：无穷大的定义；证明：∵f(x)是无穷大量，则对任意M>0，存在正常数δ，当0M，101又g(x)≥M，∴这时f(x)g(x)>M⋅M，由M⋅M的任意性，知f(x)g(x)是无穷大。11
课后答案网（http://www.khdaw.com）内容概要名称主要内容（1.6,1.7,1.8,1.9）1.6极1．极限四则运算性质；限运2．复合函数极限运算法则；算法3．求极限的其他技巧：如约掉非零的无穷小或分子（分母）有理化；利用定理：有界量与无则穷小的乘积为无穷小1.7极1．夹逼准则限存准则2．单调有界准则：单调有界数列必有极限；在准□sin□11则，两极限lim=1，lim1(+□)□=e（或lim1⎛⎜+⎞⎟=e）；个极□→0□□→0□→∞⎝□⎠限柯西极限存在准则1.8无无穷小的比较（定义）：高阶；低阶；同阶及等价；k阶无穷小。穷小222几个等价无穷小公式：（□内可填变量或函数，如：当x→0时sinx~x~ln(1+x)）的比较当□→0时，sin~□□；tan~□□；arcsin□∼arctan~□□；ln1(+□)~□；□□αe−1~□；a−1∼□lna；(1+□)−1∼α□；定理：β∼α充要条件是β=α+o(α)1．函数f(x)在x的某邻域有定义，若在x处x取得微小增量∆x时，函数的增00定义量∆y也很小，且lim∆y=0，则称f(x)在x连续；0∆x→02．若有limf(x)=f(x)，则称则称f(x)在x连续；00x→x0左连续：limf(x)=f(x)−01.9x→x0f(x)在x连续当且仅当f(x)在x既左连续又右连续函数00右连续：limf(x)=f(x)+0的连x→x0续与基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；间断当f(x+0)=f(x−0)=A，称为可去间断点，此时可重新补00第一类：左右极限充函数的定义：f(x)=A，使之在x连续；00间断点都存在分类当f(x+0)≠f(x−0)，称为跳跃间断点；00第二类：当f(x+0)=∞或f(x−0)=∞，时，称为无穷间断点00左右极限至少有一当x→x的极限过程中，函数值不断震荡，称x=x为振荡间断个不存在00点
课后答案网（http://www.khdaw.com）习题1-6★1．计算下列极限：22x−3x−2x+1⎛11⎞（1）lim；（2）lim；（3）lim⎜2−+⎟；x→3x2+1x→1x2−1x→∞⎝xx2⎠2232x+xx−6x+84x−2x+x（4）lim；（5）lim;（6）lim；x→∞x4−3x2+1x→4x2−5x+4x→03x2+2x()22x+h−x⎛1⎞⎛1⎞cosx（7）lim；（8）lim⎜1+⎟⎜2−⎟；（9）lim；h→0hx→∞⎝x⎠⎝x2⎠x→+∞ex+e−x321−x−3x+2x2（10）lim；（11）lim；（12）limx(1+x−x)；x→−82+3xx→2(x−2)2x→+∞()30()20arctanx⎛13⎞2x−13x−2（13）lim；（14）lim⎜−⎟；（15）lim；x→∞xx→1⎝1−x1−x3⎠x→∞(2x+1)5022（16）lim(x+x+1−x−x+1)；x→∞知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的几种极限的求法222x−3解：（1）∵lim(x−3)=0,lim(x+1)=4，∴lim=02x→3x→3x→3x+12()2x−2x+1x−1x−1（2）lim=lim=lim=0；2x→1x−1x→1(x−1)(x+1)x→1x+1⎛11⎞11（3）lim⎜2−+⎟=lim2−lim+lim=2；x→∞⎝xx2⎠x→∞x→∞xx→∞x2112+x+xx2x3（4）lim=lim=0；x→∞x4−3x2+1x→∞311−+24xx2()()x−6x+8x−2x−4x−22（5）lim=lim=lim=；x→4x2−5x+4x→4(x−1)(x−4)x→4x−1332(2)(2)4x−2x+xx4x−2x+14x−2x+11（6）lim=lim=lim=；x→03x2+2xx→0x(3x+2)x→0(3x+2)2()22x+h−x(x+h−x)(x+h+x)（7）lim=lim=lim(2xh+)=2x；h→0hh→0hh→0
课后答案网（http://www.khdaw.com）⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞（8）lim⎜1+⎟⎜2−⎟=⎜1+lim⎟⎜2−lim⎟=2x→∞⎝x⎠⎝x2⎠⎝x→∞x⎠⎝x→∞x2⎠−xx1（9）∵lime=0,lime=+∞，∴lim=0，x−xx→+∞x→+∞x→+∞e+e1说明是无穷小，而cosx是有界量，x−xe+e1∴limcosx=0x−xx→+∞e+e1−x−3(1−x−3)(1−x+3)−(x+8)（10）lim=lim=limx→−82+3xx→−8(2+3x)(1−x+3)x→−8(2+3x)(1−x+3)121⎛⎞⎛⎞⎜x3+2⎟⎜x3−2x3+4⎟21=−1lim⎝⎠⎝⎠=−1lim⎛⎜x3−2x3+4⎞⎟=−26x→−8⎛1⎞6x→−83⎝⎠⎜2+x⎟⎝⎠32322x+2x（11）∵lim(x+2x)16,lim=(x−2)=0，∴lim=∞；x→2x→2x→2(x−2)2(2)221+x+xx1（12）limx(1+x−x)=limx(1+x−x)=lim=；x→+∞x→+∞1+x2+xx→+∞x2+1+x21arctanx（13）x→∞，→0，而arctanx是有界量，故lim=0；xx→∞x2⎛13⎞1+x+x−3(x−1)(x+2)（14）lim⎜−⎟=lim=−lim=−1；x→1⎝1−x1−x3⎠x→11−x3x→1(x−1)(x2++x1)()30()203020202x−13x−22⋅33（15）lim==，本题利用本节有理分式的极限规律，只要找到x→∞(2x+1)50250220分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由2x的30次方与3x的20次方乘积所得，即()30()20502x3x，而分母的最高次项由2x的50次方所得，即(2x)；无需确切计算分子分母；22（16）lim(x+x+1−x−x+1)x→∞22(22)(x+x+1+x−x+1)=limx+x+1−x−x+1=x→∞22x+x+1+x−x+12x=lim，x→∞22x+x+1+x−x+12x当x→+∞时，→1；22x+x+1+x−x+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）2x当x→−∞时，→−1；22x+x+1+x−x+122故lim(x+x+1−x−x+1)不存在x→∞★2．计算下列极限：⎛111⎞1+2+3+⋯+(n−1)（1）lim⎜1+++⋯+⎟；（2）lim；2n2n→∞⎝222⎠n→∞n()()()()3()3n+1n+2n+3n+2+2n+3（3）lim；（4）lim。n→∞5n3n→∞(n−1)(2n−1)(3n−2)知识点：数列极限求法；思路：（1）（2）需要先化简被求极限的式子，（3）（4）则利用有理分式极限的求法；n+1⎛1⎞1−⎜⎟⎛111⎞⎝2⎠解：（1）lim⎜1+++⋯+⎟=lim=2；n→∞⎝2222n⎠n→∞11−2(1+n−1)(n−1)1+2+3+⋯+(n−1)21（2）lim=lim=；n→∞n2n→∞n22(n+1)(n+2)(n+3)1（3）lim=；n→∞5n35()3()3n+2+2n+393（4）lim==；n→∞(n−1)(2n−1)(3n−2)62⎧3x+2,x≤0⎪⎪2★3．设f(x)=⎨x+1,00⎪★★3．设fx(−1)=⎨2,x=0，求limf(x)。x→0⎪x−1,x<0⎪⎩知识点：分段函数的极限思路：可以先将f(x)化成f(x−1)或f(t−1)，以利用已知的函数表达式；或者，由已知f(x−1)，
课后答案网（http://www.khdaw.com）求出f(x)的表达式，再求limf(x)。x→0解：方法一：换元：limf(x)t−1=xlimf(t−1)，由已知x→0t→1sintlimft(−1)=lim(−)=−sin1，则limf(x)=−sin1；t→1t→1tx→0方法二：令x−1=t，则x=t+1，代入已知得⎧sin(t+1)⎧sin(t+1)⎪−,⎪−t+1t+>10t+1t>−1⎪⎪⎪⎪ft()=⎨2,t+=⇒10ft()=⎨2,t=−1⎪⎪t,t+<10tt<−1⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎧sin(x+1)⎪−,x+1x>−1⎪⎪sin(x+1)⇒fx()=⎨2,x=−1，则limf(x)=lim−=−sin1；⎪x→0x→0x+1x,x<−1⎪⎪⎩x⎛x+c⎞2★4．已知lim⎜⎟=3，求c。x→∞⎝x−c⎠知识点：同题2思路：同题2xxccx−⋅⎛xc+⎞2⎛2c⎞2cxc−c解：lim⎜⎟=lim1⎜+⎟=e=⇒=3cln3；x→∞⎝xc−⎠x→∞⎝xc−⎠★★5．利用极限存在准则定理证明：⎛111⎞n（1）limn⎜++⋯+⎟=1；（2）lim1+x=1n→∞⎝n2+πn2+2πn2+nπ⎠x→0知识点：夹逼准则思路：关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限易求⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞解：（1）n⎜+⋯+⎟≤n⎜+⋯+⎟≤n⎜+⋯+⎟222222⎝n+nπn+nπ⎠⎝n+πn+nπ⎠⎝nn⎠22n⎛11⎞n1≤n⎜+⋯+⎟≤1，而lim=lim=1，2222n+nπ⎝n+πn+nπ⎠n→∞n+nπn→∞π1+n⎛111⎞由夹逼准则，知limn⎜++⋯+⎟=1n→∞⎝n2+πn2+2πn2+nπ⎠
课后答案网（http://www.khdaw.com）1n（2）1+x=(1+x)n，在求x→0时的极限时，不妨设−10，由极限的保号性，知极限A≥0，故limx=2；nnn→∞2★★7．设{x}满足：−10)与x相比是几阶无穷小？知识点：无穷小比较3思路：对a+x−a作适当的变形，使之可以套用常用的等价无穷小。⎛x3⎞解：a+x3−a=a⎜1+−1⎟，⎜a⎟⎝⎠x3⎛x3⎞x3⎛x3⎞ax3当x→0时，→0，故⎜1+−1⎟～，∴a⎜1+−1⎟~a⎜a⎟2a⎜a⎟2a⎝⎠⎝⎠3显然a+x−a是x的三阶无穷小；n★4．当x→0时，若1−cosx与mx等价，求m和n的值。知识点：无穷小比较；思路：注意利用书中所给的等价无穷小公式，及等价关系的传递性；12n1解：当x→0时，1−cosx～x～mx，显然m=,n=2；22★5．利用等价无穷小性质求下列极限：
课后答案网（http://www.khdaw.com）3arctan3x(sinx)tanxln(1+3xsinx)（1）lim；（2）lim；（3）lim；x→05xx→01−cosx2x→0tanx2235x1+xsinx−15x+sinx−2xe−1（4）lim；（5）lim（6）limx→0xarctanxx→0tanx+4x2x→0x知识点：等价无穷小代换求极限；333思路：要活用等价无穷小公式，如当x→0，有x→0，故sinx～x，以及有关定理。33arctan3x3x3(sinx)tanxx⋅x解：（1）lim=lim=；（2）lim=lim=2；x→05xx→05x5x→01−cosx2x→012(2)x2（3）当x→0时，3xsinx→0，故ln(1+3xsinx)～3xsinx，ln(1+3xsinx)3xsinxlim=lim=3；x→0tanx2x→0x21xsinx1+xsinx−121（4）lim=lim=；x→0xarctanxx→0x⋅x222sinx2sinx2235+−2x5lim+−lim2x5x+sinx−2xxx→0xx→0（5）方法一：lim=lim==52x→0tanx+4xx→0tanxtanx+4xlim+lim4xxx→0xx→0(2)ox2232(2)35+x+−2x5x+sinx−2x5x+x+ox−2xx方法二：lim=lim=limx→0tanx+4x2x→0x+o(x)+4x2x→0o(x)1++4xx(2)ox2lim5+limx+lim−lim2xx→0x→0x→0xx→0==5o(x)lim1+lim+lim4xx→0x→0xx→0222（其中，o(x)表示x的高阶无穷小，o(x)则表示x的高阶无穷小，自然由o(x)，o(x)的定义有(2)oxo(x)lim=0，lim=0；又由定理：β与α是等价无穷小的充分必要条件是：β=α+o(α)x→0xx→0x222所以sinx=x+o(x)，tanx=x+o(x)）5xe−15x（6）lim=lim=5x→0xx→0x
课后答案网（http://www.khdaw.com）习题1-9★★1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。2⎧x,0≤x≤1⎧x,−1≤x≤1（1）f(x)=⎨；（2）f(x)=⎨⎩2−x,10，存在正数δ，当x∈U(x,δ)时，f(x)−f(x)<ε，0002131即f(x)−f(x)<−f(x)⇒fx()0时，存在x的某一邻域U(x,δ)，当x∈U(x,δ)时，f(x)≠0。0000
课后答案网（http://www.khdaw.com）x⎧e,x<0★5．设f(x)=⎨，应当如何选择数a，使得f(x)成为(−∞,+∞)内的连续函数。⎩a+x,x≥0知识点：函数在区间上的连续性思路：关键是分段点处的连续问题解：由初等函数的连续性，显然f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)上是连续的；故只要在分段点x=0处连续即可；故只需在x=0处有limf(x)=limf(x)=f(0)，+−x→0x→0x代入lim(a+x)=lime=a，解得a=1；+−x→0x→02⎧a+x,x<0⎪★6．设f(x)=⎨1,x=0，已知f(x)在x=0处连续，试确定a及b的值。⎪ln(b+x+x2),01时，x→∞；故要分类讨论，以数1为分段点2n+12x+ax+bx1+a+b1+a+b解：当x=1，lim=lim=；n→∞x2n+1n→∞222n+12x+ax+bx−1+a−b−1+a−b当x=−1，lim=lim=；n→∞x2n+1n→∞222n+12x+ax+bx2当x<1，lim=ax+bx；n→∞x2n+111x2n+1+ax2+bx1+a2n−1+b2nxx当x>1，lim=lim=x；n→∞x2n+1n→∞11+2n+1xx⎧1++ab,x=1⎪2⎪⎪−+−1ab则fx()=⎨,x=−1，显然f(x)在(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，+∞)上连续，2⎪2⎪ax+bx,−<1x<1⎪⎩x,x>1故f(x)在(−∞,+∞)上连续，只需要求在x=1，x=−1处连续，2而limf(x)=limx=1，limf(x)=limax+bx=a+b，知ab+=1①；++−−x→1x→1x→1x→1()2limfx=limax+bx=a−b，limf(x)=limx=−1，知a−b=−1②；++−−x→−1x→−1x→−1x→−1由①②解得：a=0,b=1；
课后答案网（http://www.khdaw.com）内容概要名称主要内容连续函数的四则运算性质；反函数与复合函数的连续性；初等函数在定义区间内是连续的；最值定理：闭区间连续函数一定有最大最小值；1.10有界性定理：闭区间连续函数一定在该区间上有界；连续函数闭区间零点定理：闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，若f(a)与f(b)异号运算连续函与性数性（f(a)f(b)<0），则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至质质少存在一点ξ(a<ξx0⎧1,x<1⎪x★11．设f(x)=⎨0,x=1，g(x)=e,求f[g(x)]，g[f(x)]，并做出图形：⎪−1,10⎩−x,x>0g(f(x))。解：当x≤0时，f(0)=0,g(x)=0，则f[f(x)]=f(0)=0,f[g(x)]=f(0)=0，g[f(x)]=g(0)=0,g[g(x)]=g(0)=0；22当x>0时，f(x)=x,g(x)=−x，则f[f(x)]=f(x)=x,f[g(x)]=f(−x)=0[()]()2[()](2)gfx=gx=−x,ggx=g−x=0；⎧0,x≤0⎧0,x≤0故f[f(x)]=⎨，f[g(x)]=0，g[f(x)]=⎨；g[g(x)]=0；2⎩x,x>0⎩−x,x>0
课后答案网（http://www.khdaw.com）111★★13．x=++⋯+，求limx。n2n3154n−1n→∞知识点：数列极限；思路：多项和时，先化简x。n111111⎛11⎞1⎛1⎞解：∵x=[(1−)+(−)+⋯+⎜−⎟]=⎜1−⎟n2323522⎝n−12n+1⎠2⎝2n+1⎠1∴limx=nn→∞21⎛⎜2+exx⎞⎟★★14．求极限lim+。x→0⎜1xx⎟⎝1+e⎠知识点：左右极限的求法；1思路：求有绝对值的函数极限要先去绝对值，另外因ex在x=0处的左右极限值不同，所以需通过左右极限讨论上述极限12x解：∵x→−0时，ex→0,ex→0；→−1，x1⎛⎜2+exx⎞⎟∴f(0−0)=lim+=2−1=1x→0−⎜2xx⎟⎝1+e⎠12x∵x→+0时，ex→+∞,ex→+∞；→1，x⎛1⎞2+12+exxe1/x∴f(00+)=lim⎜+⎟=lim+==11f(00−)，+2+1/xx→0⎜⎝1+exx⎟⎠x→01+e1/xe1⎛⎜2+exx⎞⎟∴lim+=1x→0⎜1xx⎟⎝1+e⎠★15．用定义证明函数f(x)=x当x→0时极限为0。知识点：函数极限定义证明：∀ε>0，要使x−0=x<ε，只须取δ=ε，则当00，因limf(x)=A，∴∃X(0X时，总有f(x)−A<ε，111x→+∞
课后答案网（http://www.khdaw.com）又因limf(x)=A，∴对上述ε>0，∃X>0，当x<−X时，总有f(x)−A<ε，22x→−∞现取X=max{X,X}，当x>X时，总有f(x)−A<ε，故limf(x)=A；12x→∞★17．利用极限定义证明：函数f(x)当x→x时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在0并且相等。知识点：数列极限定义证明：必要性：设limf(x)=A，于是∀ε(ε>0)，∃δ(δ>0)，x→x0当00)，∃δ(δ>0)，0011当−δ0)，当00)，要使−0=x−3<ε，只须取δ=ε，x+322x−9x−9于是对于∀ε(ε>0)，存在δ，当x−3<δ，总有−0<ε，∴lim=0x+3x→3x+32px−2★19．已知f(x)=+3qx+5，当x→∞时，p、q取何值时f(x)为无穷小量？p、q2x+1取何值时f(x)为无穷大量？知识点：无穷小与无穷大的定义思路：分析p、q取值对极限的影响22⎛px−2⎞px−2解：（1）limf(x)=lim⎜+3qx+5⎟=lim+lim3qx+lim5x→∞x→∞⎜x2+1⎟x→∞x2+1x→∞x→∞⎝⎠
课后答案网（http://www.khdaw.com）=p+5+lim3qx=0x→∞则必有q=0,p+5=0，故当q=0,p=−5时，f(x)为无穷小量；2⎛px−2⎞（2）若limf(x)=lim⎜+3qx+5⎟==p+5+lim3qx=∞，必有q≠0，p为x→∞x→∞⎜x2+1⎟x→∞⎝⎠任意常数，故当q≠0，p为任意常数时，f(x)为无穷大量；★20．计算下列极限：nx−12x+1−3（1）lim（n为正整数）；（2）lim；（3）lim((x+p)(x+q)−x)；x→1x−1x→4x−2−2x→+∞2323x+12xsinx1x−2x+1（4）lim(3+cosx)；（5）limarctan；（6）limx→∞x3+xx→+∞1+x2xx→1(x−1)2知识点：极限求法；n()(n−1n−2n−3)x−1x−1x+x+x+⋯+x+1解：（1）lim=lim=n；x→1x−1x→1(x−1)2x+1−3(2x+1−3)(2x+1+3)(x−2+2)（2）lim=limx→4x−2−2x→4(x−2−2)(x−2+2)(2x+1+3)(2x−8)(x+2+2)22=lim=x→4(x−4)(2x+1+3)3()()2x+px+q−x(p+q)x+pq（3）lim((x+p)(x+q)−x)=lim=limx→+∞x→+∞(x+p)(x+q)+xx→+∞(x+p)(x+q)+xp+q=222x+1x+1（4）因为lim=0，而3+cosx是有界量，故lim(3+cosx)=0x→∞x3+xx→∞x3+x2xsinx12x1（5）limarctan=limsinxarctan=0；x→+∞1+x2xx→+∞1xx+12x2323(3)x−2x+1x−111（6）lim=lim=lim=222x→1(x−1)x→1[(3x−1)(3x2+3x+1)]x→1(3x2+3x+1)9
课后答案网（http://www.khdaw.com）⎧12,x<0⎪x⎪0,x=0★21．设f(x)=⎨，讨论x→0及x→2时，f(x)的极限是否存在，并且⎪200⎩x知识点：初等函数在定义区间内一定是连续的；在某一点连续等价于既左连续有右连续思路：函数在分段点x=0处连续，则必在该点左连续又右连续，据此列等式求a值。解：显然f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)上是连续的12在分段点x=0处，f(0+0)=limxsin=0，f(0−0)=limx+a=a，+−x→0xx→0由函数在x=0连续，知0=a=f(0)，知a=0，此时f(x)在(−∞,+∞)上连续。2n1−x★★★34．讨论函数f(x)=limx的连续性，若有间断点，判断其类型。n→∞1+x2n知识点：函数的连续与间断；思路：先计算极限，将函数表示成初等函数形式（视需要可以分段表示），再讨论连续性。而在计算极限2n2n的过程中，由于x的范围不同，当n→∞时x的极限也不同，即：当x=1时，x→1；当x<12n2n时，x→0；当x>1时，x→∞故要分类讨论。2n2n1−x1−x解：当x=1时，f(x)=limx=0；当x=−1时，f(x)=limx=0；n→∞1+x2nn→∞1+x2n
课后答案网（http://www.khdaw.com）2n1−x当x<1时，f(x)=limx=x；n→∞1+x2n12n−11−xx2n当10⎩x>0ee11故它的连续区间是(0,)∪(,)e∪(,e+∞)ee★★★36．设函数f(x)与g(x)在点x处连续，证明函数0φ(x)=max{f(x),g(x)},ψ(x)=min{f(x),g(x)}在点x处也连续。0知识点：连续函数的四则运算性质思路：关键是将φ(x),ψ(x)表示成代数式，再利用连续函数四则运算性质即可证明结论⎧f(x),f(x)≥g(x)f(x)+g(x)+f(x)−g(x)证明：φ(x)=max{f(x),g(x)}=⎨=，⎩g(x),f(x)0，当x>X时，总有f(x)−A<1，即x→∞A−1X时，f(x)1
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：分段函数思路：在相应范围内逐层代入。解：由已知f(x)≤1，故f[f(x)]=1，显然f{f[f(x)]}=13−−x1+x★★2．求lim。2x→1x+−x23−−x1+x(3−−x1+x)(3−+x1+x)解：lim=lim22x→1x+−x2x→1(x+−x2)(3−+x1+x)1(1−x)112=lim=−lim=−2x→1(x+2)(x−1)2x→1(x+2)6mx−1★★3．求lim（m，n为自然数）。x→1xn−1mm−1m−2m−1m−2x−1(x−1)(x+x+⋯+1)(x+x+⋯+1)m解：lim=lim=lim=x→1xn−1x→1(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+1)x→1(xn−1+xn−2+⋯+1)n⎛x⎞⎛x⎞⎛x⎞⎛x⎞★★★4．lim⎜cos⎟⎜cos⎟⎜cos⎟⋯⎜cos⎟。n→∞⎝2⎠⎝4⎠⎝8⎠⎝2n⎠⎛x⎞⎛x⎞⎛x⎞⎜cos⎟⋯⎜cos⎟⎜sin⎟nn⎛x⎞⎛x⎞⎛x⎞⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠解：lim⎜cos⎟⎜cos⎟⋯⎜cos⎟=limn→∞⎝2⎠⎝4⎠⎝2n⎠n→∞xsinn2⎛x⎞⎛x⎞⎜cos⎟⋯⎜sin⎟n−11⎝2⎠⎝2⎠1sinx1sinxsinx=lim=lim=lim=n→∞2xn→∞2nxn→∞xxxsinsinsinnnn222xn2★5．设{a}，{b}，{c}均为非负数列，且lima=0，limb=1，limc=∞，则必有（）nnnnnnn→∞n→∞n→∞(A)a0⎪arcsinx/2★★9．设f(x)=⎨在x=0处连续，求a。⎪2xae,x≤0⎪⎩解：由题意有f(0)=limf(x)=limf(x)，+−x→0x→0tanx1−e−tanxx而f(0)=a，limf(x)=lim=lim=−lim=−2，得a=−2；++++x→0x→0xx→0xx→0xarcsin222(n−1)x★★10．f(x)=lim，求其间断点。n→∞nx2+1n−1x(n−1)x(n−1)xnx1解：当x=0时，lim=lim0=0，当x≠0时，lim=lim==，n→∞nx2+1n→∞n→∞nx2+1n→∞1x2x2x+n⎧0,x=0⎪1即fx()=⎨1，显然函数f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)皆连续，而lim=∞，则函⎪,x≠0x→0x⎩x数f(x)在x=0处间断，且x=0是第二类的无穷间断点
课后答案网（http://www.khdaw.com）第二章导数与微分内容概要名主要内容称导数′=fx(0+∆x)−fx()0fx()lim的0∆→x0∆x定义fx(+h)−fx()′=00fx()lim0h→0hfx()−fx()′=0fx()lim0x→x0xx−0(1)导数的四则运算法则i.[()ux+vx()]′=ux′()+vx′()−−函数ii.[()()]uxvx⋅′=uxvx′()()+uxvx()()′的求导法ux()uxvx′()()−uxvx()()′iii.[]′=(()vx≠0)则2vx()vx()(2)复合函数的求导法则(链式法则)dydydu=⋅dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数dy的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出的dx导数vx()(2)对数求导法:对幂指函数y=ux(),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数反反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即函数的1导fx′()=,其中x=ϕ()y为y=fx()的反函数数ϕ′()y(1)直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导高(2)间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶阶导数导数n()nknk−k(3)莱布尼茨公式(uv)=∑Cunvk=0
课后答案网（http://www.khdaw.com）课后习题全解习题2-13★1.用定义求函数y=x在x=1处的导数.知识点：函数在某点处导数的定义思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限3323解：∆=y(1+∆x)−1=∆+3x3(∆x)+∆(x)∆y2=+∆+∆33x(x)∆x∆y2y′|=lim=lim(33+∆+∆x(x))=3x=1∆→x0∆x∆→x02★2.已知物体的运动规律s=tm(),求该物体在t=2()s时的速度.知识点：导数的定义思路：根据导数的定义，按照三个步骤求导222s(2+∆−t)s(2)(2+∆t)−2∆+∆t4t解:v|=lim=lim=lim=4t=2∆→t0∆t∆→t0∆t∆→t0∆t3.设fx′()存在，试利用导数的定义求下列极限：0知识点：导数的定义f(x+h)−f(x)00=′思路：利用导数的定义式limf(x)求极限0h→0hfx(−∆x)−fx()00★(1)lim∆→x0∆xfx(−∆x)−fx()fx(−∆x)−fx()0000′解：lim＝－lim＝－fx()0∆→x0∆x∆→x0－∆xfx(+h)−fx(−h)00★(2)limh→0hfx(+h)−fx(−h)fx(+h)−fx()+fx()−fx(−h)000000解：lim=limh→0hh→0hfx(+h)−fx()fx(−h)−fx()=00+00=′+′=′limlimfx()fx()2()fx000h→0hh→0−hfx(+∆x)−fx(−∆2x)00★★(3)lim∆→x02∆xfx(+∆x)−fx(−∆2x)fx(+∆x)−fx()+fx()−fx(−∆2x)000000解：lim＝lim∆→x02∆x∆→x02∆x1fx(+∆x)−fx()fx(−∆2x)−fx()1300+00′′′＝limlim＝fx()+fx()＝fx()0002∆→x0∆x∆→x0−∆2x22
课后答案网（http://www.khdaw.com）fx()★★4.设fx()在x=2处连续，且lim=2，求f′(2).x→2x−2知识点:导数和连续的定义思路:关键求出f(2),再利用导数的定义解:∵fx()在x=2处连续∴f(2)=lim()fxx→2fx()fx()fx()又lim()fx=lim(x−2)⋅=lim(x−2)lim⋅=⋅0lim=0x→2x→2x−2x→2x→2x−2x→2x−2∴f(2)=0fx()−f(2)fx()∴f′(2)=lim=lim=2x→2x−2x→2x−22★5.给定抛物线y=x−+x2,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:y′=2x−1∴切线的斜率k=y′|=2111i−=x=1∴切线的方程为y−=21(x−1),即y=+x1法线方程为y−=−2(1)(x−1),即y=−+x3x★6.求曲线y=e在点(01)，处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率x0解:y′=e∴切线的斜率k=y′|=e=1x=0∴切线的方程为y−=11(ix−0),即y=+x11法线方程为y−=−1(x−0),即y=−+x112⎧x+1,0≤x<1★7.函数fx()=⎨在点x=1处是否可导?为什么?⎩3x−1,1≤x知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别fx()−f(1)3x−−12解：f′(1)=lim=lim=3+++x→1x−1x→1x−12fx()−f(1)x+−12f′(1)=lim=lim=2−−−x→1x−1x→1x−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）∵f′(1)≠f′(1)+−∴fx()在x=1处不可导.⎧x,x<0★8.用导数的定义求fx()=⎨在x=0处的导数.⎩ln(1+x),x≥0知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件fx()−f(0)ln(1+x)0−解:f′(0)=lim=lim=1+++x→0x−0x→0x−0fx()−f(0)x−0f′(0)=lim=lim=1−−−x→0x−0x→0x−0∵f′(0)=f′(0)∴f′(0)=f′(0)=f′(0)1.=+−+−⎧sin,xx<0★★9.设fx()=⎨,求fx′().⎩x,x≥0知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导解：当x<0时，fx′()=(sin)x′=cosx当x>0时，fx′()=x′=1fx()−f(0)x当x=0时，f′(0)=lim=lim=1+++x→0x−0x→0xfx()−f(0)sinxf′(0)=lim=lim=1_−−x→0x−0x→0x∴f′(0)1=⎧cos,xx<0∴fx′()=⎨⎩1,x≥0⎧21⎪xsin,x≠0★★10.试讨论函数y=⎨x在x=0处的连续性与可导性.⎪⎩0,x=0知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断21解:lim()fx=limxsin==0f(0)x→0x→0x∴=yfx()在x=0处连续.
课后答案网（http://www.khdaw.com）21(∆x)sin−0∆y∆x1lim=lim=lim[(∆x)sin]0=∆→x0∆x∆→x0∆x∆→x0∆x21∴=yxsin在x=0处可导.x22★★11.设ϕ()x在x=a处连续,fx()=(x−a)()ϕx,求fa′().知识点：函数在某点处导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:ϕ()x在x=a处连续∴lim()ϕx=ϕ()ax→a22fx()−fa()(x−a)()0ϕx−∴fa′()=lim=lim=lim(xa+)()ϕx=2aϕ()ax→axa−x→axa−x→afx()★★12.设不恒为零的奇函数fx()在x=0处可导,试说明x=0为函数的何种间断点.x知识点：导数以及间断点的定义思路：利用导数的定义求极限解:∵fx()为奇函数∴f(0)=f(0)−=−f(0)∴f(0)=0fx()−f(0)"fx()又fx()在x=0处可导∴lim=f(0)即lim=f′(0)x→0x−0x→0xfx()∴在x=0处有极限.xfx()∴=x0为函数的可去间断点.x★★13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T与时间t的函数关系为T=Tt(),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度?知识点:导数的定义思路:导数反映的是函数的变化率,在t时刻的冷却速度即为函数T=Tt()对时间t的导数解:t时刻该物体的温度为T=Tt(),则t+∆t时刻物体的温度为T=Tt(+∆t),Tt(+∆−t)Tt()dT∴物体在t时刻的冷却速度vt()=lim==Tt′().∆→t0∆tdt★★★14.设函数fx()在其定义域上可导,若fx()是偶函数,证明fx′()是奇函数;若fx()是奇函数,则fx′()是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:若fx()为偶函数时,f(−x)=fx()
课后答案网（http://www.khdaw.com）f(−+∆xx)−f(−x)fx(−∆x)−fx()∴f′(−x)=lim＝lim∆→x0∆x∆→x0∆xfx(−∆x)−fx()＝-lim=－fx′()−∆→x0−∆x∴fx′()为奇函数.若fx()为奇函数时,f(−x)=−fx()f(−+∆xx)−f(−x)−fx(−∆x)+fx()∴f′(−x)=lim＝lim∆→x0∆x∆→x0∆xfx(−∆x)−fx()＝lim=fx′()−∆→x0−∆x∴fx′()为偶函数.习题2-2★1.计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)y=3x+5x;5解:y′=(3x+5x)′=(3)x′+(5x)′=+32x2xx(2)y=5x−3+3e;2xx2xxxx解:y′=(5x−3+3)e′=(5)x′−(3)′+(3)e′=10x−3ln33+e(3)y=2tanx+secx−1;2解:y′=(2tanx+secx−1)′=(2tan)x′+(sec)x′−(1)′=2secx+sectanxx(4)y=sinx⋅cosx;22解:y′=(sinx⋅cos)x′=(sin)cosx′x+sin(cos)xx′=cosx−sinx=cos2x3(5)y=xlnx;3332312解:y′=(xln)x′=()lnx′x+x(ln)x′=3xlnx+xi=x(3lnx+1)xx(6)y=ecosx;xxxxx解:y′=(ecos)x′=()cose′xe+(cos)x′=ecosxe−sinx
课后答案网（http://www.khdaw.com）lnx(7)y=;x1ix−lnx(ln)xxx′−′lnxx1ln−x解:y′===222xxx(8)y=(x−1)(x−2)(x−3);解:y′=(x−1)(′x−2)(x−3)(+x−1)(x−2)(′x−3)(+x−1)(x−2)(x−3)′=(x−2)(x−3)(+x−1)(x−3)(+x−1)(x−2)1sin+t(9)s=;1cos+t(1sin)(1cos)(1sin)(1cos)+t′+t−+t+t′cos(1cos)(1sin)(t+t−+t−sin)t解:s′==22(1cos)+t(1cos)+t1sin+t+cost=2(1cos)+t3xx(10)y=xsinxae+;3xx33xxxx解：y′=(xsin)x′+(ae)′=(x)sin′x+x(sin)x′+(a)′e+ae()′211−=x3sinx+x3cosxae+xxlnaae+xx3(11)y=xlogx+ln2;21解:y′=(logxx)′+(ln2)′=x′logx+x(logx)′+=0logx+2222ln225x−3x+4(12)y=.2x−12222(5x−3x+4)(′x−1)(5−x−3x+4)(x−1)′解:y"=22(x−1)222(103)(−xx−1)(5−x−3x+4)(2)x3(x−6x+1)==2222(x−1)(x−1)★2.计算下列函数在指定点处的导数:知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数33x(1)y=+,求y′(0);3−x3
课后答案网（http://www.khdaw.com）33x321解:y′=()′+()′=+x∴y′(0)=23−x3(3−x)3x2(2)y=ex(−3x+1),求y′(0).x2′x2xx2解:y′=⎡ex(−3x+1)⎤=ex(−3x+1)+e(2x−3)=ex(−−x2)⎣⎦x2∴y′(0)=ex(−−x2)=1(112)i−−=−2x=02★3.求曲线y=2sinx+x上横坐标为x=0的点处的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解:∵y′=2cosx+2x∴在x=0的点处切线的斜率k=y′|=2cos020+i=2x=01又当x=0时,y=0∴在x=0的点处切线方程为y=2x，法线方程为y=−x21★4.写出曲线y=−x与x轴交点处的切线方程.x知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率11解:y′=(x−)′=+12xx1当y=0时，即x−=0解得x=1或−1∴曲线与x轴的交点为(1,0),(1,0)−x∴点(1,0)处的切线的斜率为k=y′|=2∴切线方程为y=2(x−1)，即y=2x−21x=1∴点(1,0)−处的切线的斜率为k=y′|=2∴切线方程为y=2(x+1)，即y=2x+22x=−1★5.求下列函数的导数:知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)y=cos(43)−x;′′′解:y=[cos(43)−x]⋅(43)−x=−sin(43)(3)−xi−=3sin(43)−x−3x2(2)y=e;−3x2−3x22−3x2解:y′=(e)′=e⋅−(3)x′=−6xe22(3)y=a−x;22(a−x)′1x解:y′==i(2)−x=−2222222a−x2a−xa−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）2(4)y=tan(x);22222解:y′=sec(x)(⋅x)′=2sec(xx)x(5)y=arctan()e;xx()e′e解:y"==x22x1()+e1+e(6)y=arcsin(12)−x;(12)−x′1解:y′==−221(12)−−xxx−1(7)y=arccos;x11()′xx21解:y′=−==11||212xx−1()−1−2xx(8)y=ln(secx+tan)x;112解:y′=(secx+tan)x′=(sectanxx+secx)=secxsecx+tanxsecx+tanx(9)y=ln(cscx−cot)x.112解:y′=(cscx−cot)x′=⋅−(csccotxx+cscx)=cscxcscx−cotxcscx−cotx★6.求下列函数的导数:知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数22(1)y=(23)15+x+x;22222x(1645)+x解:y′=(23)15+x′+x+(23)(15+x⋅+x)′=215+x(2)y=lnx+lnx;1(ln)x′11解:y′=⋅(x)′+=+x2lnx2x2xlnx1+x(3)y=ln;1−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）11⋅−(1x)+⋅+(1x)1−x1+x1−x2x2x1解:y′=⋅()′=⋅=21+x1−x1+x(1−x)(1−x)⋅xx(4)y=lntan;21x12x11解:y′=⋅(tan)′=⋅sec⋅==cscxx2x22sinxtantan22(5)y=lnlnx;11解:y′=⋅(ln)x′=lnxxlnx2(6)y=x1−x+arcsinx;2212−2x12解:y′=1−x+⋅x(1−x)′+=1−x+⋅x+=21−x2221−x21−x1−xx2(7)y=(arcsin);2x2arcsinxxx1x2解:y′=2arcsin⋅(arcsin)′=2arcsin⋅⋅()′=2221(2)−x224−x22(8)y=1ln+x;2(1ln+x)′2ln(ln)xx′2lnxi(1)xlnx解:y′====222221ln+x21ln+x21ln+xx1ln+xarctanx(9)y=earctanxarctanxarctanx(x)′arctanx11e解:y′=e⋅(arctanx)′=e⋅=e⋅⋅=221(+x)1+x2x2x(1+x)xtan2x(10)y=10;xtan2xxtan2x2解:y′=10⋅ln10(tan2)⋅xx′=10ln10[tan2x+xsec2x⋅(2)]x′xtan2x2=10ln10(tan2x+2sec2)xx4xe(11)y=ln;4xe+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）14x4x14x解:y=[lne−ln(e+1)]=2x−ln(e+1)224x4x14x1(e+1)′2e∴y′=[2x−ln(e+1)]′=−⋅2=−24x4x22e+1e+121−sin(12)y=ex.212121−sin21−sin11−sin111解:y′=ex⋅−(sin)′=ex⋅−(2sin)(sin)⋅′=ex⋅−(2sin)(cos)()⋅⋅′xxxxxx211−sin2=exsin2xxdy★★7.设fx()为可导函数,求:dx知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数3(1)y=fx();3323解:y′=fx′()()⋅x′=3xfx′()22(2)y=f(sinx)+f(cosx);222222解:y′=f′(sinx)(sin⋅x)′+f′(cosx)(cos⋅x)′=sin2[(sinxf′x)⋅−f′(cosx)]1(3)y=f(arcsin).x11111解:y′=f′(arcsin)(arcsin)⋅′=f′(arcsin)⋅⋅−()2xxx1x1−2x11=−f′(arcsin)⋅x||xx2−1−x★★8.设f(1−x)=xe,且fx()可导,求fx′().知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令1−=xt,则x=−1t−−(1)tt−1x−1∴ft()=(1−te)=(1−te)∴fx()=(1−xe)x−1x−1x−1x−1∴fx′()[(1=−xe)]′=(1−xe)′+(1−xe)()′=−xe5★★9.设fu()为可导函数，且fx(+3)=x，求fx′(+3),fx′().
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：复合函数的导数思路：f′(x+3)表示对(x+3)的导数，f′(x)表示对x的导数，注意求导的变量55解:由fx(+3)=x有fx(+3)[(=x+3)3]−44∴fx′(+3)=5[(x+3)3]15−⋅=x令x+=3t,则x=−t35554∴ft()=(t−3)∴fx()=(x−3)∴fx′(+3)=(x)′=5x1x★★10.已知f()=，求fx′().x1+x知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数11解:令=t,则x=xt1t1111∴ft()==∴fx()=∴fx′()=()′=−112+t1+x1+x(1+x)1+tf2()x1★★11.已知ϕ()x=a,且fx′()=,证明ϕ′()x=2()ϕx.fx()lna知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求导数f2()x2f2()x解:ϕ′()x=a⋅lna⋅[f()]x′=2alnafx⋅()⋅fx′()11f2()x由fx′()=，得fx′()⋅fx()=∴ϕ′()x=2a=2()ϕxfx()lnalna22★★12.设fx()在(−∞+∞,)内可导,且Fx()=fx(−1)+f(1−x),证明:F′(1)=F′(1)−知识点:复合函数的导数思路:利用链式法则求导22解:由Fx()=fx(−1)+f(1−x),有22Fx′()=fx′(−⋅1)2x+f′(1−x)(2)⋅−x∴F′(1)=2(0)2(0)f′−f′=0F′(1)−=−2(0)2(0)f′+f′=0∴F′(1)=F′(1)−★13.求下列函数的导数:知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求导数(1)y=chshx();
课后答案网（http://www.khdaw.com）解:y′=shshx()(⋅shx)′=shshxchx()⋅chx(2)y=shxe⋅;chxchxchxchxchx2解:y′=(shx)′⋅e+shxe⋅⋅(shx)′=chxe⋅+shxe⋅⋅shx=e(chxshx+)(3)y=th(ln)x;11解:y′=⋅(ln)x′=22chlnxxch⋅(ln)x32(4)y=shxchx+;22解:y′=3shxshx⋅()′+2chxchx⋅()′=3shxchx⋅+2chxshx⋅2x(5)y=arche();2x12x12x解:y′=[arche()]′=⋅(e)′=⋅2e4x4xe−1e−12(6)y=arsh(1+x).122x解:y′=⋅+(1x)′=221(1++x)1(1++x)习题2-3★1.求下列函数的二阶导数:知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导53(1)y=x+4x+2x;423解:y′=5x+12x+2y′′=20x+24x3x−2(2)y=e;3x−23x−23x−23x−2解:y′=e⋅(3x−2)′=3ey′′=3e⋅(3x−2)′=9e(3)y=xsinx;解:y′=x′sinx+x(sin)x′=sinx+xcosxy′′=(sin)x′+x′cosx+x(cos)x′=2cosxx−sinx−t(4)y=esint;
课后答案网（http://www.khdaw.com）−t−t−t解:y′=(e)sin′te+(sin)t′=e(cost−sin)t−t−t−ty′′=(e)(cos′t−sin)t+e(cost−sin)t′=−2ecost2(5)y=1−x;2(1−x)′x解:y′==−2221−x1−x2222x′1−x−x(1−x)′1−x−x(−x1−x)1y′′=−=−=−(1−x2)21−x2(1−x23)2(6)y=ln(1−x);2222(1−x)′2x(2)(1x′−x)2(1−x−x)′2(1+x)解:y′==−y′′=−=−2222221−x1−x(1−x)(1−x)(7)y=tanx;22解:y′=secxy′′=2secx⋅(sec)x′=2secxtanx1(8)y=;2x+12−(x+1)′2x解:y′==−2222(x+1)(x+1)2222222(2)(x′x+1)2[(−x⋅x+1)]′2(x+1)2−x⋅2(x+1)2⋅x6x−2y′′=−=−=242423(x+1)(x+1)(x+1)x2(9)y=xe.x2x2x2x22x22解:y′=xe′+xe()′=e+xe(x)′=e(12+x)x22x22x22x2x22y′′=(e)(12′+x)+e(12+x)′=2xe(12+x)+e⋅4x=2xe(32+x)10★2.设fx()=(3x+1),求f′′′(0).知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导99解:fx′()10(3=x+1)(3⋅x+1)′=30(3x+1)88f′′()x=309(3×x+1)(3x+1)′=810(3x+1)77f′′′()x=8108(3×x+1)(3x+1)′=19440(3x+1)∴f′′′(0)19440=
课后答案网（http://www.khdaw.com）★3.已知物体的运动规律为s=Asinωt(A,ω是常数),求物体运动的加速度,并验证:2ds2+ωs=0.2dt知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导2解:s′=Aωcosωts′′=Aωsinωt22ds2ds222∴=a=−Aωsinωt∴+ωs=−Aωsinωt+Aωsinωt=022dtdtλx−λx2★4.验证函数y=Ce+Ce(λ,CC,是常数)满足关系式:y′′−λy=01212知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导λx−λx2λx2−λx解:y′=Ceλ−Ceλy′′=Cλe+Cλe121222λx−λx2λx−λx∴y′′−λy=λ(Ce+Ce)−λ(Ce+Ce)=012122★★5.设gx′()连续,且fx()=(xagx−)(),求fa′′().知识点:导数的定义思路:因为gx′′()不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求2解:fx′()=2(xagx−)()(+xagx−)′()∴fa′()=0又∵gx′()连续,但gx′()不一定存在∴limgx′()=ga′()x→afx′()−fa′()fx′()∴fa′′()=lim=lim=lim[2()(gx+xagx−)()]′=2()gax→axa−x→axa−x→a2dy★★6.若f′′()x存在,求下列函数的二阶导数:.2dx知识点:高阶导数,复合函数的求导法则思路:利用链式法则求导3(1)y=fx();323232343解:y′=fx′()3⋅x∴y′′=6xfx′()3+xf′′()3x⋅x=6xfx′()9+xf′′()x(2)y=ln[()]fx.2fx′()f′′()x⋅fx()[()]−fx′解:y′=∴y′′=2fx()[()]fx
课后答案网（http://www.khdaw.com）2⎧ax+bxc+,x<0★★★7.已知fx()=⎨在x=0处有二阶导数,试确定参数abc,,的值.⎩ln(1+x),x≥0知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解解:∵fx()在x=0处有二阶导数∴fx()在x=0处连续，且fx′()在x=0处连续2从而有limfx()=f(0)，即lim(ax+bxc+)=0∴=c0−−x→0x→0又∵fx()在x=0处可导∴f′(0)=f′(0)+−fx()−f(0)ln(1+x)而f′(0)=lim=lim=1+++x→0x−0x→0x2fx()−f(0)ax+bxf′(0)=lim=lim=b_−−x→0x−0x→0x∴=b1，且f′(0)=f′(0)1=+−⎧2ax+1,x<0⎪⎪1∴fx′()=⎨,x>0⎪1+x⎪⎩1,x=0又fx()在x=0处二阶可导∴f′′(0)=f′′(0)+−1−1fx′()−f′(0)1+x而f′′(0)=lim=lim=−1+++x→0xx→0xfx′()−f′(0)(2ax+1)1−f′′(0)=lim=lim=2a−−−x→0xx→0x1∴2a=−1，即a=−28.求下列函数所指定阶的导数:知识点：高阶导数思路:利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数x(4)★(1)y=ecos,x求y;(4)xxxx解:y=e+4(sin)6(cos)4e−x+e−x+esinx+−(cos)x()n★★(2)y=xlnx,求y;()n()n(n−1)n−1(n−1)!n−2(n−2)!解:y=x(ln)x+n(ln)x=x(1)−+⋅−n(1)nn−1xx
课后答案网（http://www.khdaw.com）1()n★★(3)y=,求y;2x−3x+2111解:y==−2x−3x+2x−2x−1()n1()n1()nnn!nn!∴y=()−()=−(1)−−(1)n+1n+1x−2x−1(x−2)(x−1)44()n★★(4)y=sinx+cosx求y.,44222221231解:y=sinx+cosx=(sinx+cosx)−2sinxcosx=−1sin2x=+cos4x244()n1()nn−1π∴y=(cos4)x=4cos(4xn+⋅)422dydy2x★★★9.作变量代换x=lnt简化方程−+ye=0,2.dxdx知识点:高阶导数思路:利用链式法则求导dydydx1dydydy=⋅=∴=t解:dtdxdttdxdtdt22dyddyd1dy1dy1ddy1dy1dydx=()=()=−+()=−+⋅又2222dtdtdtdttdxtdxtdtdxtdxtdxdt21dy1dy=−+22tdttdx22dy2dydy∴=t+t22dxdtdt222dy2dy代入方程得t+yt=0即+y=022dtdt习题2-4dy1.求下列方程所确定的隐函数y的导数dx:知识点:隐函数的导数思路:方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合dy函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dxxy+★(1)xy=e;xy+解:方程两边同时对x求导,得y+xy′=e(1+y′)
课后答案网（http://www.khdaw.com）xy+ye−解得y′=xy+e−x2★(2)xy−sin(πy)=0;2解:方程两边同时对x求导,得y+xy′−cos(πy)2⋅πyy′=0y解得y′=22πycos(πy)−xxy3★(3)e+y−5x=0;xy2解:方程两边同时对x求导,得e⋅(y+xy′)3+yy′−=50xy5−ye解得y′=xy2xe+3yy★(4)y=+1xe;yy解:方程两边同时对x求导,得y′=e+xey′ye解得y′=y1−xey22★(5)arctan=lnx+yx.解:方程两边同时对x求导,得2x+2yy′yx′−y22x22x+yx+y=即−+yxy′=+xyy′解得y′=y2x2y2x−y+1+2x2dy2.求下列方程所确定的隐函数y的导数:2dx知识点:隐函数的导数,高阶导数思路:方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合dy函数求导法则求之,然后从所得等式中解出,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则dx求导222222★★(1)bx+ay=ab222"bx解:方程两边同时对x求导,得2bx+2ayy′=0解得y=−2ay
课后答案网（http://www.khdaw.com）2222222224by−xy′bay+bxbabb∴y′′=−⋅=−⋅=−⋅=−2222322323ayaayaayay★★(2)siny=ln(x+y);11解:方程两边同时对x求导,得cosyy⋅′=(1+y′)解得y′=x+y(x+y)cosy−1""2""(1+y)cosy+(x+y)(sin)−y⋅y(x+y)cosy−(x+y)siny∴y=−=−23[(x+y)cosy−1][(x+y)cosy−1]★★(3)y=tan(x+y).2解:方程两边同时对x求导,得y′=sec(x+y)(1+y′)2−sec(x+y)122解得y′==−−1=−−1cot(x+y)=−csc(x+y)22sec(x+y)1−sec(x+y)1−222∴y′′=2csc(x+y)cot(x+y)(1+y′)=2csc(x+y)cot(x+y)[1csc(−x+y)]23=−2csc(x+y)cot(x+y)3.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点:对数求导法思路:在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数2tanx★(1)y=(1+x);2解:等式两边同时取对数,得lny=tanln(1x+x)1222x等式两边同时对x求导,得y′=secxln(1+x)tan+x⋅2y1+x2tanx222tanxx∴y′=(1+x)[secxln(1+x)+]21+x53x−33x−2★★(2)y=x+2解:等式两边同时取对数,得111lny=ln(x−3)+ln(3x−2)−ln(x+2)532等式两边同时对x求导,得11(x−3)′1(3x−2)′1(x+2)′y′=⋅+⋅−⋅y5x−333x−22x+2
课后答案网（http://www.khdaw.com）53x−33x−2111∴y′=[+−]x+25(x−3)3x−22(x+2)4x+2(3−x)★★(3)y=5(x+1)解:等式两边同时取对数,得1lny=ln(x+2)4ln(3+−x)5ln(−x+1)2等式两边同时对x求导,得11145y′=⋅−−y2x+23−xx+14x+2(3−x)145∴y′=[−−]5(x+1)2(x+2)3−xx+1y★4.设函数y=yx()由方程y−xe=1确定,求y′(0),并求曲线上其横坐标x=0处点的切线方程与法线方程.知识点:隐函数导数和导数的几何意义思路:方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合dy函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dxyyye解:方程两边同时对x求导,得y′−e−xey′=0解得y′=y1−xe当x=0时,y=1∴在x=0处切线的斜率k=y′(0)=e∴=x0处的切线方程为y−=1ex,即y=ex+111法线方程为y−=−1x,即y=−x+1ee2⎧x=ln(1+t)★★5.求曲线⎨在t=1对应点处的切线方程和法线方程.⎩y=arctant知识点:参数方程表示的函数的导数思路:利用参数方程表示的函数的求导公式求导1dy1+t21dy1解:==∴|=t=1dx2t2tdx221+tπ当t=1时,x=ln2,y=4
课后答案网（http://www.khdaw.com）π111π∴在t=1对应点处的切线方程为y−=(x−ln2),即y=x−ln2+42224ππ法线方程为y−=−2(x−ln2),即y=−2x+2ln2+44dy6.求下列参数方程所确定的函数的导数:dx知识点:参数方程表示的函数的导数思路:利用参数方程表示的函数的求导公式求导2⎧x=at★(1)⎨;3⎩y=bt2dyy′3bt3btt解:===dxx′2at2att⎧x=esint★(2)⎨;t⎩y=ecostttdyy′ecoste−sintcost−sintt解:===ttdxx′esinte+costsint+costt2⎧x=cost★(3)⎨.2⎩y=sintdyy′2sincosttt解:===−1dxx′−2cossintttdy7.求下列参数方程所确定的函数的导数:dx知识点:参数方程表示的函数的导数思路:利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数,−t⎧x=3e★★(1)⎨;t⎩y=2etdyyt′2e22t解:===−etdxx′−3e3t2dyd22td22tdt42t143t=(−e)=(−e)=−e⋅−()=e2−tdxdx3dt3dx33e92⎧x=−1t★★(2)⎨;3⎩y=−tt
课后答案网（http://www.khdaw.com）22dyy′13−t13−tt解:===−dxx′−2t2tt22222dyd13−td13−tdt−6t−213t+1∴=(−)=(−)=−⋅=−223dxdx2tdt2tdx4t−2t4t2⎧x=ln(1+t)★★(3)⎨.⎩y=−tarctant11−222dyy′1+t2tdydtdtdt11+t1+tt解:====()=()=⋅=dxx2t22′dxdx2dt2dx22t4tt21+t★★8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6m/2,问在2s末扰动水面面积的增大率为多少?知识点:导数的定义思路:导数反映的函数的变化率,列出函数求导2解:设最外一圈波半径为r,则水面面积s=πrds2πrdrdr∴扰动水面面积的增大率==2πr(*)dtdtdtdr在t=2s时,r=×=6212m.=6/msdtds2代入(*)式得=2π×126144(×=πm/)sdt★★9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为π时,该夹角的增加率.3知识点:导数的定义思路:导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设梯子下端离墙面的距离为L,则L=0.5tL0.5ttt设梯子与墙的夹角为α,则sinα===∴α=arcsin551010ππ5353当α=时,L=5sin=,即0.5t=∴=t5333221πdα101∴当α=时,夹角α的增加率为=|=t=533dtt521(−)10★★10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?知识点:导数的定义
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路:导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:在十二点后t小时甲船行驶的路程s=6t(km),乙船行驶的路程为s=8t(km)甲乙2222当0≤≤t2时,甲乙两船的距离s=(16)t+(168)−t=36t+64(2−t)甲乙ds甲乙−256200+t∴当t=1时,甲乙两船相距的速率=|=−2.8km/ht=1dt236t2+64(2−t)2习题2-53★1.已知y=x−1，在点x=2处计算当∆x分别为1，0.1，0.01时的∆y及dy之值.知识点：函数增量以及函数微分的定义思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可3解：∆y=f(2+∆x)−f(2)=(2+∆x)−8dy|=f′(2)dx=12dxx=23(1)当∆x=1时，∆y=3−8=19dy=12×1=123(2)当∆x=0.1时，∆y=(2.1)−8=1.261dy=12×0.1=1.23(3)当∆x=0.01时，∆y=(2.01)−8=0.120601dy=12×0.01=0.12★2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：知识点：微分形式的不变性思路：利用dy=f′(u)du求函数微分(1)d()=5xdx252解：∵d(x)=2xdx∴d(x+c)=5xdx2(2)d()=sinωxdx1解：∵d(cosωx)=−ωsinωxdx∴d(−cosωx+c)=sinωxdxω1(3)d()=dx2+x11解：∵d(ln(2+x))=dx∴d(ln(2+x)+c)=dx2+x2+x−2x(4)d()=edx−2x−2x1−2x−2x解：∵d(e)=−2edx∴d(−e+c)=edx21(5)d()=dxx
课后答案网（http://www.khdaw.com）11解：∵d(x)=dx∴d(2x+c)=dx2xx2(6)d()=sec2xdx212解：∵d(tan2x)=2sec2xdx∴d(tan2x+c)=sec2xdx23.求下列函数的微分：知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，以及微分的定义思路：利用dy=f′(x)dx求函数微分★(1)y=lnx+2x1111解：y′=+∴dy=(+)dxxxxx★（2）y=xsin2x解：y′=sin2x+2xcos2x∴dy=(sin2x+2xcos2x)dx22x★(3)y=xe22x22x2x2x解:y′=(x)′e+xe()′=2(1x+xe)∴dy=2(1x+xedx)3★(4)y=ln1−x322(1−x)′3x3x解:y′==−∴dy=−dx1−x32(1−x3)2(1−x3)x−x2★(5)y=(e+e)x−xx−x2x−2x2x−2x解:y′=2(e+e)(e−e)=2(e−e)∴dy=2(e−e)dx★(6)y=x−x(x−x)′2x−12x−1解:y′==∴dy=dx2x−x4xx−x4xx−x21−x★(7)y=arctan21+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）21−x()′1+x22x2x解:y′==−dy=−dx2441−x2x+1x+11(+)21+xx2xx★★(8)y=a+1−aarccos(a)2xxx(1−a)x2x(a)′解:y′=alna+arccos(a)+1−a[−]2x2x21−a1−a2x2xxalnaxxalnax=alna−arccos(a)−alna=−arccos(a)2x2x1−a1−a2xalnax∴dy=−arccos(adx)2x1−a★★4.求方程2y−=x(x−y)ln(x−y)所确定的函数y=yx()的微分dy.知识点:微分的四则运算法则和微分形式的不变性思路:方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分,d(2y−x)=dx(−y)ln(x−y)(+x−yd)(ln(x−y))dxdy−2ln(+x−y)即2dydx−=(dxdy−)ln(x−y)(+x−y)⋅化简得dy=dxx−y3ln(+x−y)22★★5.求由方程cos(xy)=xy所确定的函数y的微分.知识点:微分的四则运算法则和微分形式的不变性思路:方程两边同时求微分,再解出dy22解:方程两边同时求微分,得d(cos(xy))=dxy()即−sin(xydydx)(+xdy)=2xydx(+xdy)22xy+ysin(xy)化简得dy=−dx2xsin(xy)2+xy★★6.当||x较小时,证明下列近似公式:知识点:微分的应用思路:当||x较小时,fx()≈f(0)+f′(0)x(1)sinx≈x解:当||x较小时,fx()≈f(0)+f′(0)x∴sinx≈sin0cos0+⋅=xx即sinx≈x
课后答案网（http://www.khdaw.com）xe≈+1x(2)x00x解:e≈e+ex即e≈+1xnx(3)1+x≈+1n111−11nnnn解:1+x≈(10)++(10)+⋅x即1+x≈+1⋅xnn★★7.计算下列格式的近似值:知识点:微分的应用思路:当||x较小时,fx()≈fx()+fxx′()00100(1)1.002991−解:100′=100令fx()=x,则fx()x1001001取x=∆=1,x0.002,得1.002≈f(1)+f′(1)∆=+x1×0.0021.00002=01000(2)cos29解:令fx()=cosx,则fx′()=−sinx�π�π取x=30=,∆=−x1=−,06180�πππ3π得cos29≈cos+−(sin)(⋅−)=+661802360(3)arcsin0.50021解:令fx()=arcsinx,则fx′()=21−x取x=0.5,∆=x0.0002,得01π3arcsin0.5002≈arcsin0.5+×0.0002=+1(0.5)−267500★★8.为了计算出球的体积(精确到1%),问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少?知识点:微分的定义思路:当|∆x|很小时,∆≈ydy
课后答案网（http://www.khdaw.com）2πD3dD4D3πDdV23dD解:球的体积V=π()=∴==3326VπDD6dVdD1由题目已知条件可知||1%≤∴||≤≈0.0033VD300★★9.扩音器插头为圆柱形,截面半径r为0.15cm,长度l为4cm,为了提高它的导电性能,要在该圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的纯铜,问每个插头约需多少克纯铜?知识点:微分的定义思路:当|∆x|很小时,∆≈ydy2解:圆柱底面积S=πr∴dS=2πrdr−33∴镀层的体积dV=dSl⋅=2πrldr=2π×0.150.0014××≈3.76810×cm−3−2∴m=ρdV=8.93.76810××≈3.35410()×g0★★10.某厂生产一扇形板,半径R=200mm,要求中心角α为55,产品检测时,一般用测量弦长L的方法来间接测量中心角α.如果测量弦长L时的误差δ=0.1mm,问由此而引起的中心角测量误差是L多少?知识点:微分的定义思路:当|∆x|很小时,∆≈ydyLα2LL解:∵sin==∴α=2arcsin2R2R2Rαα�∴dα=dL,又L=2sinR=×2200sin22.5×≈184.74R2−L2220.1×∴δα≈dα≈=0.00056(弧度)224(200)×−184.7总习题二fx(+2)h−fx(−3)h★★1.设fx′()存在，求limh→0h知识点：导数的定义f(x+h)−f(x)00=′思路：利用导数的定义式limf(x)求极限0h→0hfx(+2)h−fx(−3)hfx(+2)h−fx()+fx()−fx(−3)h解：lim=limh→0hh→0hfx(+2)h−fx()fx(−3)h−fx()=2lim+3lim=2()3()fx′+fx′=5()fx′h→02hh→0−3h
课后答案网（http://www.khdaw.com）★★2．设fx()=xx(−1)(x−2)⋯(x−1000)，求f′(0).知识点:导数的四则运算法则思路:含有x的项为零,所以只需要求出导数不含x的fx()−f(0)解:f′(0)=lim=lim(x−1)(x−2)⋯(x−1000)1000!=x→0x−0x→0""★★★3.设fx()对任何x满足fx(+1)=2()fx,且f(0)1,=f(0)=C(常数),求f(1).知识点:导数的定义思路:关键凑出导数定义的极限形式解:由fx(+1)=2().fx得f(1)=2(0)f=2fx()−f(0)fx()1−∵f′(0)=C∴lim=lim=Cx→0xx→0xfx()−f(1)而f′(1)=lim令x−=1t,则x=+t1,当x→1时,t→0x→1x−1fx()−f(1)ft(+1)2−2()2ft−∴lim=lim=limf=2C即f′(1)=2Cx→1x−1t→0tt→0t★★4.设函数fx()对任何实数xx,有fx(+x)=fx()+fx()且f′(0)1=,证明:函数121212fx()可导,且fx′()1=.知识点:导数的定义思路:关键凑出导数定义的极限形式解:由fx(+x)=fx()+fx()f(0)=2(0)f∴f(0)=01212fx(+∆x)−fx()fx()+f(∆x)−fx()∴fx′()=lim=lim∆→x0∆x∆→x0∆xf(∆x)f(0+∆x)−f(0)=lim=lim=f′(0)1=∆→x0∆x∆→x0∆x5.求解下列问题:x★(1)求y=lnxe+的反函数x=xy()的导数;知识点:反函数的导数思路:反函数的导数等于原函数导数的倒数x1x1+xe1x解:y′=+e=∴xy′()==xxxy′1+xe"★(2)设y=fx()是x=ϕ()y的反函数,且f(2)=4,f′(2)=3,f′(4)1=,求ϕ(4).知识点:反函数的导数思路:关键是理解反函数和原函数之间的关系,反函数中的自变量的值是原函数的函数值
课后答案网（http://www.khdaw.com）11解:由f(2)=4,f′(2)=3得ϕ′(4)==f′(2)32★6.在抛物线y=x上取横坐标为x=1及x=3的两点,作过两点的割线,问抛物线上哪一点的切线12平行于这条割线?知识点:导数的几何意义思路:切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解解:当x=1时,y=1;当x=3时，y=991−∴过点(1,1)和点(3,9)的直线的斜率为k==431−设点Pxy(,)处的切线平行于这条割线，则fx′()=400∴2x=4，即x=2∴y=4，即P(2,4)00032★★7.求与直线x+9y−=10垂直的曲线y=x−3x+5的切线方程.知识点:导数的几何意义思路:切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解21解:y′=3x−6x直线x+9y−=10的斜率为k=−9设点Pxy(,)处的切线与直线垂直,则0023x−6x=9∴x=−1或x=30000当x=−1时,y=1;当x=3时,y=50000∴点P为(-1,1)或(3,5)∴切线方程为y−=19(x+1)即y−9x−10=0或y−=59(x−3)，即y−9x+22=0★★8.讨论函数y=xx||在点x=0处的可导性.知识点:导数的定义思路:利用定义求左右导数,看左右导数是否相等2⎧x,x≥0解:y=xx||=⎨2⎩−x,x<022fx()−f(0)xfx()−f(0)−x∴f′(0)=lim=lim=0f′(0)=lim=lim=0+++_−−x→0xx→0xx→0xx→0x∵f′(0)=f′(0)∴fx()在x=0处可导.+_
课后答案网（http://www.khdaw.com）2⎧x,x≤1★★9.设函数fx()=⎨,为了使函数fx()在x=1处连续且可导,ab,应取什么值⎩axb+,x>1知识点:连续与可导的定义思路:利用连续与可导的定义的方程组求解解：要使fx()在x=1处连续，则lim()fx=lim()fx=f(1)+−x→1x→1∴+=ab1要使fx()在x=1处可导，则f′(1)=f′(1)+_fx()−f(1)axb+−1而f′(1)=lim=lim=a,+++x→1x−1x→1x−12fx()−f(1)x−1f′(1)=lim=lim=lim(x+1)=2∴=a2∴=−b1_−−−x→1x−1x→1x−1x→1⎧b(1sin)+x++a2,x>0★★10.试确定ab,，使fx()=⎨在x=0处可导.ax⎩e−1,x≤0知识点:连续与可导的定义思路:可导一定连续,由连续性和可导得方程组求解解：若fx()在x=0处可导，则fx()在x=0处连续∴limfx()=limfx()=f(0)∴++=ab20①+−x→0x→0要使fx()在x=0处可导，则f′(0)=f′(0)+_fx()−f(0)b(1sin)+x++a2而f′(0)=lim=lim==lim(cos)bx=b++++x→0xx→0xx→0axfx()−f(0)e−1axf′(0)=lim=lim=lim(ae)=a∴=ab②_−−−x→0xx→0xx→0由①②得a=b=−13★★11.设函数fx()在[-1,1]上定义,且满足x≤fx()≤x+x,1−≤x≤1,证明f′(0)存在,且f′(0)1=.知识点:导数的定义思路:利用定义求左右导数,看左右导数是否相等3解：由x≤fx()≤x+xx,∈−+[1,1],得0≤f(0)≤0∴f(0)=0fx()2当x>0时1≤≤x+1x
课后答案网（http://www.khdaw.com）2而lim(x+1)1=+x→0fx()∴由夹逼准则知lim=1+x→0xfx()−f(0)fx()∴f′(0)=lim=lim=1+++x→0xx→0x2fx()当x<0时x+≤1≤1x2而lim(x+1)1=−x→0fx()∴由夹逼准则知lim=1−x→0xfx()−f(0)fx()∴f′(0)=lim=lim=1_−−x→0xx→0x又∴f′(0)=f′(0)1=∴f′(0)1=+_⎧x=2t+||tdy★★12.设⎨2,求|t=0.⎩y=5t+4||ttdx知识点:导数的定义思路:求分段函数在分段点的导数,利用定义求左右导数,看左右导数是否相等22∆y5∆+∆∆t4t|t|9∆t解:lim=lim=lim=0+++∆→t0∆x∆→t02∆+∆t|t|∆→t03∆t22∆y5∆+∆∆t4t|t|∆t∆y∆ydylim=lim=lim=0∵lim=lim∴|=0−−−+−t=0∆→t0∆x∆→t02∆+∆t|t|∆→t0∆t∆→t0∆x∆→t0∆xdx13.求下列函数的导数:知识点:导数的四则运算法则及复合函数的求导法则思路:利用导数的四则运算法则和链式法则求导数35★(1)y=(3x+5)(5x+4);2534解：y′=9(3x+5)(5x+4)+25(3x+5)(5x+4)x+1★(2)y=arctan;x−11x+11解：y′=⋅()′=−x+1x−1x2+121(+)x−11+−x1−x★★(3)y=;1++x1−x1+−x1−x2xx解：y===221++x1−x(1++x1−x)1+1−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）2−2x1+1−x−x()2121−x∴y′==2222(1+1−x)1−x+−1xlnx★(4)y=;xlnx−n1−n−−n1−(n+1)−(n+1)解：y==lnxx⋅∴y′=⋅x+lnx⋅−(nx)=x−nxlnxxxt−te−e★(5)y=;t−te+et−t2t−t2(e+e)−(e−e)4解：y′==t−t2t−t2(e+e)(e+e)axa★(6)y=x+a+a;a−1x解：y′=ax+alna1tanx★★(7)y=e;11tan1tan211解：y′=ex⋅(tan)′=ex⋅sec⋅−()2xxx★★(8)y=x+x;11+(x+x)′2x解：y′==2x+x2x+xx2★★(9)y=xarcsin+4−x.21x2−2xx解:y′=arcsin+⋅x+=arcsin2x24−x2221()−221211+x+1★★14.设y=arctan1+x+ln,求y′241+x2−1知识点:导数的四则运算法则及复合函数的求导法则思路:先利用对数的性质化简函数,再利用导数的四则运算法则和链式法则求导数21211+x+1解：y=arctan1+x+ln241+x2−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）2121x1212=arctan1+x+ln=arctan1+x+[lnx−ln(1+x−1)]24(1+x2−1)222221(1+x)′11(1+x−1)′1∴y′=⋅+[−]=−21(1++x2)22x1+x2−1x(2+x2)1+x2dy15.设fx()为可导函数,求:dx知识点:导数的四则运算法则及复合函数的求导法则思路:利用导数的四则运算法则和链式法则求导数xe★★(1)y=fe(+x);xexexexe−1解：y′=fe′(+x)(⋅e+x)′=fe′(+x)(⋅e+ex)xfx()★★(2)y=fee().xxfx()xfx()fx()xxx解：y′=fe′()⋅ee⋅+fe()⋅e⋅fx′()=e[()fe′⋅e+fe()⋅fx′()]13★★16.设x>0时，可导函数fx()满足：fx()2()+f=，求fxx′()(>0).xx知识点:函数的定义1思路:由已知条件可将自变量x换为,得方程组求解x13解：由fx()2()+f=①得xx1f()2()+fx=3x②x311②×−2①得3()fx=6x−∴fx()=2x−∴fx′()=+22xxx3x−22dy★★17.已知y=f(),fx′()=arctan(x),求|.x=03x+2dx知识点:复合函数的导数思路:利用链式法则求导dy3x−23x−23x−2212解:=f′()(⋅)′=arctan()⋅2dx3x+23x+23x+2(3x+2)dy3π∴|=arctan13⋅=x=0dx418.求下列函数的二阶导数:知识点:高阶导数思路:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导2★(1)y=(1+x)arctanx;
课后答案网（http://www.khdaw.com）21解：y′=2arctanxx+(1+x)⋅=2arctanxx+121+x2x∴y′′=2arctanx+21+x2★(2)y=ln(x+1+x).x1+211+x22112−2解：y′==(1+x−x)(1+x+x)⋅==(1+x)222x+1+x1+x1+x31−22∴y′′=−(1+x)2dx1★★★19.试从=导出:dyy′知识点:高阶导数思路:要分清求导的变量,求导过程中y′表示对自变量x的导数2dxy′′(1)=−;23dy()y′′2dxddxd1d1dxy′′1y′′解：=()=()=()⋅=−⋅=−223dydydydyy′dxy′dy()y′y′()y′32dx3()y′−yy′′′′(2)=.35dy()y′32dxddxdy′′dy′′dx解：=()=(−)=(−)⋅3233dydydydy()y′dx()y′dy322y′′′⋅()y′−3()y′y′′⋅y′′13()⋅y′′−y′′′⋅y′=−⋅=65()y′y′()y′2★★★20.已知函数fx()具有任意阶导数，且fx′()[()]=fx，则当n为大于2的正整数时，fx()的()nn阶导数f()x是(A)知识点:高阶导数思路:利用归纳推理法n+1n+12n(A)nfx![()];(B)nfx[()];(C)[()]fx;2解：fx′()[()]=fx
课后答案网（http://www.khdaw.com）3∴f′′()x=2()fx⋅fx′()=2![()]fx24f′′′()x=6[()]fx⋅fx′()=3![()]fx(4)35f()x=24[()]fx⋅fx′()=4![()]fx()nn+1归纳可得f=nfx![()]21.求下列函数所指定阶的导数：知识点:高阶导数思路:通过函数变形,利用已知的高阶导数公式间接求出指定的高阶导数,对乘积函数利用莱布尼茨公式求n阶导数1()n★★(1)y=,求y；2x−5x+61111解：y===−2x−5x+6(x−2)(x−3)x−3x−2()n1()n1()n()nn!()nn!∴y=()−()=−(1)⋅−−(1)⋅n+1n+1x−3x−2(x−3)(x−2)24x−1()n★★★(2)设y=，求y；2x−1224x−14(x−1)3+3311解：y===+4=+4(−)22x−1x−1(x+1)(x−1)2x−1x+1()n31()n31()n3()nn!n!∴y=()−()=(1)[−−]n+1n+12x−12x+12(x−1)(x+1)2(50)★★★(3)y=xsin2x，求y.(50)02(50)12(49)22(48)解：y=Cx(sin2)x+C(x)(sin2)′x+C(x)(sin2)′′x50505050494948=2sin(2x+25)100π+x⋅2sin(2x+π)12252sin(2+⋅x+24)π25021225=2(−xsin2x+50cos2xx+sin2)x2()n★★★22.设fx()=arctanx,求f(0).知识点:高阶导数思路:转化为乘积函数,利用莱布尼茨公式求n阶导数12解：fx′()=∴+(1x)()1fx′=21+x等式两边同时求n阶导数,并由莱布尼茨公式,可得
课后答案网（http://www.khdaw.com）(n+1)2()nnn(−1)(n−1)f()(1x+x)+nf()2x⋅x+f()2x⋅=02(n+1)(n−1)∴当x=0时,有f(0)+nn(−1)f(0)=0(n+1)(n−1)∴f(0)=−nn(−1)f(0)(*),(n≥3)又∵f(0)=0,f′(0)1,=f′′(0)=0∴由(*)式递推,可得(2)k(2k+1)kf(0)=0,f(0)=−(1)(2!)(kk=0,1,2⋯)22222333★★23.求曲线x+y=a在点(a,a)处的切线方程和法线方程.44知识点:导数的几何意义思路:利用隐函数的求导方法求出导数,得切线斜率112−32−3"解：方程两边同时对x求导,得x+yy=03311−22解得y′=−xy33∴点(a,a)处切线的斜率为k=y′|=−12244(a,a)44222∴切线方程为y−a=−(x−a)，即x+−ya=044222法线方程为y−a=−xa，即x−y=044dy★★24.设方程sin(xy)ln(+y−x)=x确定y为x的函数,求|.x=0dx知识点:隐函数导数思路:将方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复dy合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dxy′−1解：方程两边同时对x求导,得cos(xyy)(+xy′)+=1y−xy−−xyy(−x)cos(xy)1+解得y′=1+xy(−x)cos(xy)dy将x=0代入方程,得y=1∴|=y′|=1x=0(0,1)dx25.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点:隐函数求导思路:方程两边同时取对数,利用对数性质化简函数,再利用隐函数的求导方法求导数
课后答案网（http://www.khdaw.com）x★★(1)y=xsinx1−e;11x解:两边同时取对数,得lny=[lnx+lnsinx+ln(1−e)]22x111cosxe两边同时对x求导,得y′=[+−]xy2xsinx2(1−e)x1x1e∴y′=xsinx1−e[+cotx−]x2x2(1−e)sinxx★★(2)y=(tan)x+x.sinxxsinlntanxxxlnx解:y=(tan)x+x=e+e2sinlntanxxsecxxlnx两边同时对x求导,得y′=e(costanxx+sinx⋅)+e(lnx+1)tanxsinxx=(tan)x(costanxx+sec)x+x(lnx+1)y★★★26.设函数y=yx()由方程e+xy=e所确定，求y′′(0).知识点:隐函数求导法思路:先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将y看作中间变量,利用复合函数求导法求之y解:方程两边同时对x求导,得e⋅y′++yxy′=0yyyye′(+x)−ye(⋅y′+1)解得y′=−∴y′′=−yy3e+x(e+x)1将x=0代入方程得y=1∴y′′(0)=2e2dy27.求下列方程所确定的隐函数y的导数:2dx知识点:隐函数求导法思路:先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将y看作中间变量,利用复合函数求导法求之★★(1)y=tan(x+y)；21解:等式两边同时对x求导,得y′=sec(x+y)(1+y′)解得y′=−2sin(x+y)22cos(x+y)∴y′′=(1+y′)将y′代入得y′′=−33sin(x+y)sin(x+y)
课后答案网（http://www.khdaw.com）1★★(2)x−+ysiny=0.21解:方程两边同时对x求导,得1−y′+cosyy⋅′=022−2sinyy⋅′解得y′=∴y′′=22cos−y(2cos)−y−4siny将y′代入得y′′=3(2cos)−y2fy()ydy★★★28.设y=yx()由方程xe=e所确定,fu()二阶可导且f≠1,求.2dx知识点:隐函数的导数思路:利用对数求导法求一阶导数,再求二阶导数解：等式两边同时取对数,得lnx+fy()=y11等式两边同时对x求导,得+fyy′()′=y′∴y′=xx[1−fy′()]22dy1−fy′()+x[−fyy′()]′[()1]fy′−−f′′()y∴=−=−22223dxx[1−fy′()]x[1−fy′()]2dy29.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:2dx知识点:参数方程表示的函数的导数思路:求二阶导数时将t看作中间变量,利用复合函数求导法则求之⎧x=acost★★(1)⎨;⎩y=bsintdy2dydtbcostbdyddydbdtb解:==−=−costt⋅=()=(−costt⋅)=−dxdxata223sindxdxdxdtadxasintdt⎧x=ft′()★★(2)⎨,ft′′()≠0.⎩y=tft′()−ft()dy2dydtdyddyddt1解:=−=t=()=()t⋅=dxdx2dxdxdxdtdxft′′()dt2⎧x=2t−1dy★★★30.设由方程组⎨y确定了y是x的函数，则2|t=0=()⎩te++=y10dx
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点:参数方程表示的函数及隐函数的导数思路:求二阶导数时将t看作中间变量,利用复合函数求导法则求之(A)12;(B)12(C)−1(D)−1e2ee2eyyydydy解:在方程te++=y10的两边同时对t求导,得e+te⋅+=0dtdtydyedx解得=−由x=2t−1得=2ydtte+1dtdyy2ydydtedyddydedt∴==−∴=()=(−)⋅dxdxtey2y2(+1)dxdxdxdt2(te+1)dxdt2ydy★★★31.设函数y=fx()由方程xy=xx(>0,y>0)所确定，求.2dx知识点:隐函数的导数思路:利用对数求导法,在等式两边同时取对数,再求隐函数的导数11解:方程两边同时取对数,得lny=lnx.即ylny=xlnxxy等式两边同时对x求导,得y′lny+y′=lnx+1lnx+1∴y′=lny+111(lny+1)(ln−x+1)y′222dyxyy(lny+1)−x(lnx+1)∴==223dx(lny+1)xy(lny+1)dy★★★32.设函数y=fx()的极坐标式为ρ=a(1cos)+θ,求.dx知识点:参数方程表示的函数的导数思路:利用函数的极坐标形式转化为参数方程⎧x=ρcosθ=a(1cos)cos+θθ解:由ρ=a(1cos)+θ得⎨⎩y=ρsinθ=a(1cos)sin+θθ2dy−asinθ+a(1cos)cos+θθcos2θ+cosθ∴==−dx−asincosθθ−a(1cos)sin+θθsin2θ+sinθ⎧x=3sinωt−4cosωt★★★33.设一质点的运动方程为⎨,求质点在t=0时的运动速度及加速度的⎩y=4sinωt+3cosωt大小(ω为大于零的常数).
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点:参数方程表示的函数的导数2dydy思路:由导数的意义知vt()=,而at()=2dxdxdy4cosωt−3sinωt解:vt()==dx3cosωt+4sinωt2dyddyd4cosωt−3sinωtdt−25at()==()=()=23dxdxdxdt3cosωt+4sinωtdx(3cosωt+4sinωt)425∴v(0)=,(0)a=−32734.求下列函数的微分:知识点`:函数微分的定义思路:利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则先求导数,即得函数微分−x★★(1)y=ecos(3−x);−x−x−x解:y′=−ecos(3−x)+esin(3−x)∴dy=e[sin(3−x)cos(3−−xdx)]2★★(2)y=arcsin1−x;2(1−x)′xx解:y′==−∴dy=−dx2221(1−−x)||1x−x||1x−x22★★(3)y=tan(12)+x.22222解:y′=2tan(12+x)[tan(12⋅+x)]′=8tan(12x+x)sec(12+x)222∴dy=8tan(12x+x)sec(12+xdx)fx()★★35.设y=f(ln)xe,其中f可微,求dy.知识点`:函数微分的定义思路:利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则先求导数,即得函数微分1fx()fx()fx()1解:y′=f′(ln)xe+f(ln)xe⋅fx′()=e[f′(ln)x+f(ln)x⋅fx′()]xxfx()1∴dy=e[f′(ln)x+f(ln)x⋅fx′()]x22dydydydy★★★36.已知y=cosx,求,,,.232dxdxdxdx知识点:微分的定义思路:先求微分,得微商2dy2dy−2sinxxdx2解:=−2sinxx==−sinx2dxdx2xdx
课后答案网（http://www.khdaw.com）22dy−2sinxxdx2sinx==−32dx3xdx3x2dyddyd2222=()=(2sin−xx)=−2sinx−4xcosx2dxdxdxdx课外习题dy★★1.设fx()可导,求下列函数得导数:dx知识点:复合函数的导数思路:利用链式法则求导数2(1)y=fx();dy222解:=fx′()(⋅x)′=2xfx′()dx22(2)y=f(sinx)+f(cosx)dy2222解:=f′(sinx)(sin⋅x)′+f′(cosx)(cos⋅x)′dx22=sin2xf⋅′(sinx)sin2−xf⋅′(cosx)23★★2.若fx()=xx(>0).求f′(4).知识点:求函数的导数思路:利用换元法求出函数表达式,再求导数2解:令t=xx(>0),得x=t33∴ft()=(t)3=t22,即fx()=x133∴fx′()=x2,即fx′()=x223∴f′(4)=4=322dydy★★★3.设x=fty′(),=tft′()−ft(),且ft()的二阶导数存在,求,.2dxdx知识点:参数方程表示的函数的导数,高阶导数思路:分别求出对参数的导数,求二阶导数时,要将参数t看作中间变量,利用链式法则求导dydydttft′′()解:===tdxdxft′′()dt
课后答案网（http://www.khdaw.com）2dyddyddydtd11∴=()=()=()t⋅=2dxdxdxdtdxdxdtft′′()ft′′()2ydxdx★★★4.设y=−1xe,求,.2dydy知识点:隐函数的导数,高阶导数dx思路:等式两边同时对y求导,然后解出,再对一阶导数求导得二阶导数dyydxy解:等式两边同时对y求导,得1=−e−xedyydx1+xe解得=−ydyeyydxyyyee(+xe)−e(1+xe)2yydyddxd1+xedy2+xe∴=()=(−)=−=2yy2ydxdydydye()ee⎧x=arctantdy★★★5.设⎨,求.2t⎩2yty−+e=5dx知识点:隐函数的导数,参数方程表示的函数的导数dy思路:求隐函数的导数,方程两边同时对t求导,再解出dtdx1解:=2dt1+t2t在等式2yty−+e=5的两边同时对t求导,得2tdy2dytdyy−e2−y−2yt+e=0解得=dtdtdt2(1−yt)dy2t2dydt(y−e)(1+t)∴==dxdx2(1−yt)dt1()n★★★6.已知fx()=,求f(0).21−x知识点:高阶导数思路:首先裂项相减,再利用已知的高阶导数公式求n阶导数11111解:fx()===(−)21−x(1+x)(1−x)21+x1−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）()n11()n1()n1n11∴f()x=[()−()]=(1)−n![−]n+1n+12x+1x−12(x+1)(x−1)()nnn!1∴f(0)=−(1)[1−]n+12(1)−⎧1⎪||sinx,x≠02★★★7.设fx()=⎨x讨论fx()在x=0处的连续性与可导性.⎪⎩0,x=0知识点:函数连续与可导的定义思路:判断连续性,先求函数在x→0时的极限,看极限是否等于f(0);判断可导性,利用定义先求极限,看极限是否存在1解:lim()fx=lim||sinx=02x→0x→0x∵lim()fx=f(0)∴fx()在x=0处连续x→011||sinxsinfx()−f(0)x2x2又∵lim=lim=lim=+∞x→0xx→0xx→0||x∴fx()在x=0处不可导.fx()bfx()−be−e★★★8.设lim=A,试求limx→axa−x→axa−知识点:等价无穷小思路:利用等价无穷小和已知极限来求极限fx()−b解:由lim=A得x→axa−当x→a时,fx()−→b0fx()bbfx()−bfx()−be−eee[−1]be−1fx()−bb∴lim=lim=lime⋅=eAx→axa−x→axa−x→afx()−bxa−★★★★9.设fx()和gx()都是在整个实数轴上有定义的函数,且满足下列条件(1)fxh(+)=fxgh()()+fhgx()();(2)fx()和gx()在x=0处可微,f(0)=0,(0)1,g=f′(0)1,=g′(0)=0证明fx()对所有的x都可微,且有fx′()=gx().
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点:导数的定义思路:凑出导数定义的极限形式求极限证明:由于fx()和gx()在x=0处可微,所以gx()−g(0)fx()−f(0)lim=g′(0)=0lim=f′(0)1=x→0xx→0xfxh(+)−fx()fxgh()()+fhgx()()−fx()从而fx′()=lim=limh→0hh→0hfxgh()[()1]−+fhgx()()fxgh()[()1][()−+fh−f(0)]()gx=lim=limh→0hh→0hgh()−g(0)fh()−f(0)=lim()fx+lim()gx=fxg()(0)′+gxf()(0)′=gx()h→0hh→0h★★★★10.已知fx()是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1sin)3(1sin)+x−f−x=8x+α()x,其中α()x是当x→0时α()x高阶的无穷小,且fx()在x=1处可导,求曲线y=fx()在点(6,(6))f处的切线方程.知识点:导数的几何意义思路:凑出导数定义的极限形式,利用高阶无穷小的定义以及重要极限求极限解:令x→0得f(1)3(1)−f=0∴f(1)=0f(1sin)3(1sin)+x−f−xf(1sin)+x−f(1)f(1sin)+x−f(1)又lim=lim[+3]x→0sinxx→0sinx−sinx8xα()xx=lim[+−]8=x→0sinxxsinx∴f′(1)3(1)+f′=8即f′(1)=2又∵fx(+5)=fx(),从而f(6)=f(1)=0f′(6)=f′(1)=2∴所求切线方程为y−=02(x−6)即y=2x−12第3章中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1名称条件结论中值罗尔y=f(x)：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)至少存在一点ξ∈(a,b)使得定理中值定理/内可导；（3）f(a)=f(b)f(ξ)=0
课后答案网（http://www.khdaw.com）拉格y=f(x)：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)至少存在一点ξ∈(a,b)使得朗日中值内可导/f(b)−f(a)f(ξ)=定理b−a柯西f(x)、g(x)：（1）在[a,b]上连续，在(a,b)至少存在一点ξ∈(a,b)使得中值定理//内可导；（2）在(a,b)内每点处g(x)≠0f(ξ)f(b)−f(a)=/g(ξ)b−a3.2基本形式0∞型与型未定式洛必0∞达通分或取倒数化为0∞1）∞−∞型：常用通分的手段化为型或型；法则基本形式0∞0∞2）0⋅∞型：常用取倒数的手段化为型或型，即：0∞00∞∞0⋅∞⇒⇒或0⋅∞⇒⇒；1/∞01/0∞取对数化为000ln0⋅001）0型：取对数得0⇒e，其中0ln0⋅⇒⋅∞⇒0⇒基本形式1/∞0∞∞或0ln0⋅⇒⋅∞⇒0⇒；1/0∞∞∞∞⋅ln12）1型：取对数得1⇒e，00其中∞⋅ln1⇒∞⋅⇒0⇒1/∞0∞∞或∞⋅ln1⇒∞⋅⇒0⇒；1/0∞000⋅ln∞3）∞型：取对数得∞=e，00其中0ln⋅∞⇒⋅∞⇒0⇒1/∞0∞∞或0ln⋅∞⇒⋅∞⇒0⇒。1/0∞课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。2（1）f(x)=2x−x−3,[−1,1.5]；（2）f(x)=x3−x,[0,3]。知识点：罗尔中值定理。/思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f(ξ)=0，得到的根ξ便为所求。2解：（1）∵f(x)=2x−x−3在[−1,1.5]上连续，在(−1,1.5)内可导，且f(−1)=f(1.5)=0，
课后答案网（http://www.khdaw.com）2∴f(x)=2x−x−3在[−1,1.5]上满足罗尔定理的条件。令f′()ξ=4ξ−=10得1ξ=∈(−1,1.5)即为所求。4（2）∵f(x)=x3−x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)=f(3)=0，∴f(x)=x3−x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令ξf′()ξ=3−−ξ=0，得ξ=2∈(0,3)即为所求。23−ξ32★2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x−5x+x−2在区间[0,1]上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。f(1)−f(0)思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f′()ξ=，若得到的根ξ∈[0,1]则10−可验证定理的正确性。3232解：∵y=fx()=4x−5x+−x2在[0,1]连续，在(0,1)内可导，∴y=4x−5x+x−2在2区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又f(1)=−2,f(0)=−2，fx′()12=x−10x+1，f(1)−f(0)5±13∴要使f′()ξ==0，只要：ξ=∈(01),，10−125±13f(1)−f(0)∴∃=ξ∈(01),，使f′()ξ=，验证完毕。1210−4★3.已知函数f(x)=x在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。33f(2)−f(1)31515解：要使f′()ξ=，只要4ξ=15⇒ξ=，从而ξ=∈(12),即为满足定理21−44的ξ。2★★4.试证明对函数y=px+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。2证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y=px+qx+r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从22fb()−fa()(pb+qb+r)−(pa+qa+r)而有f′()ξ=，即2ξ+q=，ba−b−ab+a解得ξ=，结论成立。232★5.函数f(x)=x与g(x)=x+1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满
课后答案网（http://www.khdaw.com）足定理的数值ξ。知识点：柯西中值定理。f′()ξfb()−fa()思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程=，得到的根ξ便为所求。g′()ξgb()−ga()32解：∵f(x)=x及g()x=x+1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有2f′()ξf(2)−f(1)3ξ7gx′()=2x≠0，所以满足柯西中值定理的条件。要使=，只要=，解g′()ξg(2)−g(1)2ξ314得ξ=∈(1,2)，ξ即为满足定理的数值。9★★★6.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0。求证：f()ξ存在ξ∈(0,1)，使f′()ξ=−。ξ知识点：罗尔中值定理的应用。/f(ξ)/思路：从f(ξ)=−结论出发，变形为f(ξ)ξ+f(ξ)=0，构造辅助函数使其导函数为ξ/f(x)x+f(x)，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数F(x)=xf(x)，Fx′()=fx()+xfx′()根据题意F(x)=xf(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(1)=1⋅f(1)=0，F(0)=0⋅f(0)=0，从而由罗尔中值定理得：存在ξ∈(0,1)，使f()ξF′()ξ=f′()ξξ+f()ξ=0，即f′()ξ=−。ξfx()注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使fx′()=−，只要xfx′()1[xfx()]′=−⇔[ln()]fx′=−[ln]x′⇔[lnxfx()]′=⇔0=⇐0[xfx()]′=0fx()xxfx()∴只要设辅助函数F(x)=xf(x)★★7.若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x)=f(x)=f(x)123(a0，f(0)=−1<0，5∴由零点定理，至少有一点ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ+ξ−1=0；5假设x+x−1=0有两个正根，分别设为ξ、ξ（ξ<ξ），1212则f(x)在在[ξ,ξ]上连续，在(ξ,ξ)内可导，且f(ξ)=f(ξ)=0，121212
课后答案网（http://www.khdaw.com）4从而由罗尔定理，至少有一点ξ∈(ξ,ξ)，使得f′()ξ=5ξ+=10，这不可能。125∴方程x+x−1=0只有一个正根。★★10.不用求出函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)的导数，说明方程fx′()=0有几个实根，并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：∵f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续，在(1,2)、(2,3)、(3,4)内可导，且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，∴由罗尔中值定理，至少有一点ξ∈(1,2)、ξ∈(2,3)、ξ∈(3,4)，123使得f′()ξ=f′()ξ=f′()ξ=0，即方程fx′()=0至少有三个实根，123又方程fx′()=0为三次方程，至多有三个实根，∴fx′()=0有3个实根，分别为ξ∈(1,2)、ξ∈(2,3)、ξ∈(3,4)。123★★★11.证明下列不等式：x（1）arctana−arctanb≤a−b；（2）当x>1时，e>ex；11（3）设x>0，证明ln(1+x)0时，ln(1+)>。x1+x知识点：利用拉格朗日中值定理。fb()−fa()思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y=fx()，通过式子f′()ξ=ba−（或fb()−fa()=f′()(ξba−)）证明的不等式。证明：（1）令f(x)=arctanx，∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，1∴由拉格朗日中值定理，得arctana−arctanb=f′()(ξba−)=ba−≤ba−。21+ξx（2）令f(x)=e(x>1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，xξ∴由拉格朗日中值定理，得e−e=e(x−1)，xξx∵1<ξe(x−1)=ex−e，从而当x>1时，e>ex。（3）令f(x)=ln(1+x)(x>0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，
课后答案网（http://www.khdaw.com）1∴由拉格朗日中值定理，得ln(1+x)=ln(1+x)ln(10)−+=f′()(ξx−0)=x，1+ξ1∵0<ξ0，ln(1+x)0)，∵f(x)在[x,1+x]上连续，在(x,1+x)内可导，11∴由拉格朗日中值定理，得ln(1+)=ln(1+x)ln−x=f′()(10)ξ−=，xξ1111∵x<ξ<1+x，∴>，即当x>0时，ln(1+)>。ξ1+xx1+x2x★★12.证明等式：2arctanx+arcsin=π(x≥1).21+x知识点：fx′()=⇔0fx()=C（C为常数）。思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证fx′()=02x证明：令f(x)=2arctanx+arcsin(x≥1)，21+x当x=1时，有2arctan1+arcsin1=π；当x>1时，有22212(1+x)2−x⋅2x2122−xfx′()=+⋅=+⋅2222221+x2x(1+x)1+x1−x(1+x)21(−)21+x22=+(−)=0，∴fx()=C=f(1)=π；221+x1+x2x∴2arctanx+arcsin=π(x≥1)成立。21+xx★★★13.证明：若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式fx′()=fx()，且f(0)=1，则f(x)=e。知识点：fx′()=⇔0fx()=Cx−x−x思路：因为fx()=e⇔efx()1≡，所以当设Fx()=efx()时，只要证Fx′()=0即可−x证明：构造辅助函数Fx()=efx()，−x−x则Fx′()=efx′()−efx()=0；−x∴F(x)efx=()≡C=F(0)1=x∴f(x)=e。
课后答案网（http://www.khdaw.com）★★★14.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有f(a)=f(b)=0,f(c)>0(a0；21cb−ac−又fx′()在[ξ,ξ]上连续，在(ξ,ξ)内可导，从而至少有一点ξ∈(ξ,ξ)，121212f′()ξ−f′()ξ′′=21<使得f()ξ0。ξ−ξ21/★★★15.设f(x)在[a,b]上可微，且fa′()>0,fb′()>0,fa()=fb()=A,试证明f(x)在+−(a,b)内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。fx()−fa()证明：∵fa′()=lim>0，由极限的保号性知，++x→axa−b-af(x)−f(a)∃∪(a,δ)（不妨设δ<），对于∀x∈∪(a,δ)，均有>0，+11+12x−af(x)−f(a)1特别地，∃x∈∪(a,δ)，使得>0，∴得f(x)>f(a)=A；1+11x−a1b-af(x)−f(b)′>得()2同理，由fb()0,∃x∈∪b,δ（δ<），使得>0，−2−222x−b2从而得f(x)0，试证明存在唯一的c,a0矛盾。从而结论成立。方法二：∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f′′()x>0，∴fx′()在[a,b]单调递增，fb()−fa()从而存在存在唯一的c∈(a,b)，使得fc′()=。结论成立。ba−★★★17.设函数y=f(x)在x=0的某个邻域内具有n阶导数，且(n−1)f(0)=f′(0)=⋯=f(0)=0,试用柯西中值定理证明：(n)f(x)f(θx)=(0<θ<1)。nxn!知识点：柯西中值定理。n思路：对f(x)、g(x)=x在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。n证明：∵f(x)、g(x)=x及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导，(n−1)(n−1)且在(0,x)每一点处，g()x=nx!≠0，又f(0)=f′(0)=⋯=f(0)=0,，∴连续使用n次柯西中值定理得，(n−1)(n−1)fx()fx()−f(0)f′()ξf′()ξ−f′(0)f(ξ)−f(0)11n−1====⋯=nnn−1n−1(n−1)xx−g(0)nξnξ−g′(0)n!ξ−g(0)11n−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）(n)f(θx)=(0<θ<1)，从而结论成立。n!习题3-2★★1.用洛必达法则求下列极限：1x−xln(1+)e−esinx−sinalnsinxx（1）lim；（2）lim；（3）lim；（4）lim；x→0sinxx→ax-aπ(π-2x)2x→+∞arccotxx→23lntan7xx−1+lnxtanx−x（5）lim；（6）lim；（7）lim；（8）limxcot2x；x→+0lntan2xx→1ex−ex→0x-sinxx→0112x2x11x1（9）limxe；（10）limx(e−1)；（11）lim(−)；（12）lim(−)；x→0x→∞x→0xex−1x→1x-1lnxxaxsinx1tanxe+ln(1−x)−1（13）lim(1+)；（14）limx；（15）lim()；（16）lim；x→∞xx→0+x→0+xx→0x-arctanx111x21n2（17）lim(1+sinx)x；（18）lim(ln)；（19）lim(x+1+x)x；（20）lim(ntan)。x→0x→0+xx→+∞n→+∞+n知识点：洛必达法则。0∞思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未定0∞式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞−∞型与0⋅∞型的未定式，可通过通分或者取倒数的0∞0形式化为基本形式；对于0型、1型与∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。x−xx−xe−ee+e解：（1）lim=lim=2；x→0sinxx→0cosxsinx−sinacosx（2）lim=lim=cosa；x→ax−ax→a1cosxlnsinxsinxcosx−sinx1（3）lim=lim=lim=lim=−；π(−2)2π4(2x−π)π4(2x−π)π88x→πxx→x→x→222211ln(1+)−2xx(x+1)1+x（4）lim=lim=lim=1；x→+∞arccotxx→+∞1x→+∞x(x+1)−21+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）27sec7x2lntan7xtan7x7cos2x⋅tan2x（5）lim=lim=lim=1；x→+0lntan2xx→+02sec22xx→+0tan7x⋅2cos27xtan2x2133x+x−1+lnxx4（6）lim=lim=；x→1ex−ex→1exe22tanxx−secx−12tansecxx2（7）lim=lim=lim=lim=2；3x→0x−sinxx→01cos−xx→0sinxx→0cosxx11（8）limxcot2x=lim=lim=；x→0x→0tan2xx→02sec22x21122x12−e1ex32x2xx2（9）limxe=lim=lim=lime=+∞；x→0x→01x→02x→0−23xx11u=x2eueu2x2（或解为：limxe=lim=lim=+∞）x→0u→+∞uu→+∞1111−ex1x21x(e−1)xx（10）limx(e−1)=lim=lim=lime=1；x→∞x→∞1x→∞1x→∞−2xx111/x1e−11/x（或解为：∵当x→∞时，ex−1~，∴lim(xex−1)=lim=lim=1）xx→∞x→∞1/xx→∞1/xx(ex−1)~xxx11e−−1xe−−1xe−11（11）lim(−)=lim=lim=lim=；xx2x→0xe−1x→0xe(−1)x→0xx→02x2x1xlnx−x+1lnx1+lnx1（12）lim(−)=lim=lim=lim=；x→1x−1lnxx→1(x−1)lnxx→1x−1x→1lnx+22lnx+xxlnxx−+1ux=−1(u+1)ln(u+1)−uln(u+1)~u(u+1)ln(u+1)−u（或解为：lim=lim=lim2x→1(x−1)lnxu→0uln(u+1)u→0uln(u+1)1=lim=）u→02u2aaln(1+)aaxxxlimln(1x+)limlima（13）lim(1+)=ex→∞x=ex→∞1=ex→∞1=e；x→∞xxx
课后答案网（http://www.khdaw.com）lnx1tansinxxlimsinlnxxlimlimlim（14）limxsinx=ex→0+=ex→0+cscx=ex→0+−xcotcscxx=ex→0+−x=e0=1；+x→01−2−lnxxsinx1tanxlim+cotxlim+csc2xlim+x0（15）lim()=limex→0=limex→0−=limex→0=e=1；++++x→0xx→0x→0x→0x1xe+2xxe+ln(1−x)−1x−1(1+x)(xe−e+1)（16）lim=lim=limx→0x−arctanxx→01x→0(x−1)x21−21+xxxx(xe−e+1)xe1=−lim=−lim=−；2x→0xx→02x21ln(1+sinx)cosxlimlimxx→0xx→01+sinx（17）lim(1+sinx)=lime=lime=e；x→0x→0x→011⋅−()ln[ln]−x−lnxxlimlim+1+1x11x→0x→0−−lim−limxxx2x→0+lnxx→0+1/x（18）lim(ln)=e=e=e=e=1；+x→0xx1+21+x211limln(x+1+x)limlim2xx→+∞xx→+∞x+1+x2x→+∞1+x2（19）lim(x+1+x)=e=e=e=1；x→+∞1t=1lntant−lnt1x21x2xtantt2lim+t2t→0（20）令f(x)=(xtan)，则lim(tan)x=lim()=exx→+∞xt→0+t122t−sin2ttsect−tanttsect−tantt−sincostt2limlimlimlimt+2t2tantt+2t3t+2cost32tt+2t3=e→0=e→0=e→0=e→02x1cos2−t(1cos)~−x2t21lim2lim+62+623=et→0t==et→0t=e11n2∴lim(tan)n=e3+n→+∞nx+sinx★★2.验证极限lim存在，但不能用洛必达法则求出。x→∞x知识点：洛必达法则。思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。x+sinxsinxx+sinx解：∵lim=lim(1+)=1+0=1，∴极限lim存在；x→∞xx→∞xx→∞xx+sinx1+cosx若使用洛必达法则，得lim=lim=1+limcosx，x→∞xx→∞1x→∞
课后答案网（http://www.khdaw.com）而limcosx不存在，所以不能用洛必达法则求出。x→∞fxh(+)2()−fx+fxh(−)★★★3.若f(x)有二阶导数，证明f′′()x=lim。2h→0h知识点：导数定义和洛必达法则。思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。fxh(+)2()−fx+fxh(−)fxh′(+)−fxh′(−)证明：∵lim=lim2h→0hh→02hfxh′(+)−fx′()+fx′()−fxh′(−)=limh→02h1fxh′(+)−fx′()1fxh′(−)−fx′()//=lim+lim=f()x，∴结论成立。2h→0h2h→0−h1⎧(1+x)x1x>0⎪[]x,★★★4.讨论函数f(x)=⎨e在点x=0处的连续性。⎪−1e2,x≤0⎩知识点：函数在一点连续的概念。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。111x−11(1+x)ln(1+x)−x1+x(1+x)x1limlnlimlimxx→0+xex→0+x2x→0+2x解：∵limfx()=lim[]=e=e=e++x→0x→0e1−11lim−=e2x→0+1+x=e2=f(0)，∴f(x)在x=0处右连续；1−又∵limf(x)=e2=f(0)，∴f(x)在x=0处左连续；−x→01⎧(1+x)x1x>0⎪[]x,从而可知，f(x)=⎨e在点x=0处连续。⎪−1e2,x≤0⎩★★★5.设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=0。试确定a的值使f(x)在x=0处可导，并求⎧gx()⎪,x≠0f′(0)，其中fx()=⎨x。⎪⎩a,x=0知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使f(x)在x=0处可导，则必有f(x)在x=0处连续，g(x)g(x)−g(0)/又∵g(x)在x=0处g(0)=0，∴a=limf(x)=lim=lim=g(0)；x→0x→0xx→0x−0
课后答案网（http://www.khdaw.com）gx()−g′(0)fx()−f(0)xgx()−g′(0)x由导数定义，f′(0)=lim=lim=lim2x→0x−0x→0x−0x→0xgx′()−g′(0)1=lim=g′′(0)。x→02x2内容概要名称主要内容（3.3）3.3泰泰勒中值定理：如果f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有n+1阶的导数，则对任一0勒公式///f(x0)2x∈(a,b)，有f(x)=f(x)+f(x)(x−x)+(x−x)+⋯00002!
课后答案网（http://www.khdaw.com）(n)f(x0)n+(x−x)+R(x)，此公式称为n阶泰勒公式；0nn!(n+1)f(ξ)n+1其中R(x)=(x−x)（ξ介于x于x之间），称为拉格朗日型余项；或n00(n+1)!nR(x)=o[(x−x)]，称为皮亚诺型余项。n0n阶麦克劳林公式：//(n)/f(0)2f(0)nf(x)=f(0)+f(0)x+x+⋯+x+R(x)n2!n!(n+1)f(θx)n+1n其中R(x)=x（0<θ<1）或R(x)=o(x)。nn(n+1)!2nxxxn常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e=1+x++⋯++o(x)2!n!352n+1xxnx2n+22）sinx=x−+−⋯+(−1)+o(x)3!5!(2n+1)!2462nxxxnx2n+13）cosx=1−+−+⋯+(−1)+o(x)2!4!6!(2n)!23n+1xxnxn+14）ln(1+x)=x−+−⋯+(−1)+o(x)23n+112nn5）=1+x+x+⋯+x+o(x)1−xmm(m−1)2m(m−1)⋯(m−n+1)nn6）(1+x)=1+mx+x+⋯+x+o(x)2!n!习题3-342★1.按(x−1)的幂展开多项式f(x)=x+3x+4。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求f(x)按(x−x)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n+1阶的导0数在x=x处的值，然后带代入公式即可。032解：fx′()=4x+6x，f′(1)10=；f′′()12x=x+6，f(1)18′′=；
课后答案网（http://www.khdaw.com）(4)(4)(5)f′′′()x=24x，f′′′(1)=24；f(x)=24；f(1)=24；f(x)=0；将以上结果代入泰勒公式，得(4)f′(1)f′′(1)2f′′′(1)3f(1)4fx()=f(1)+(x−1)+(x−1)+(x−1)+(x−1)1!2!3!4!234=8+10(x−1)+9(x−1)+4(x−1)+(x−1)。★★2.求函数f(x)=x按(x−4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：同1。3111−1解：fx′()=，f′(4)=；f′′()x=−x2，f′′(4)=−；2x4432573−3(4)15−f′′′()x=x2，f′′′(4)=；f(x)=−x2；将以上结果代入泰勒公式，得825616(4)f′(4)f′′(4)2f′′′(4)3f()ξ4fx()=f(4)+(x−4)+(x−4)+(x−4)+(x−4)1!2!3!4!1121354=2+(x−4)−(x−4)+(x−4)−(x−4)，（ξ介于x与4之间）。7464512128ξ221+x+x4(3)★★★3.把f(x)=在x=0点展开到含x项，并求f(0)。21−x+x知识点：麦克劳林公式。12nn思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论=1+x+x+⋯+x+o(x)。1−x221+x+x1−x+x+2x2x1解：f(x)===1+=1+2x(1+x)22231−x+x1−x+x1−x+x1+x33244=1+2x(1+x)(1−x+o(x))=1+2x+2x−2x+o(x)；3f′′′(0)又由泰勒公式知x前的系数=0，从而f′′′(0)=0。3!★★4.求函数f(x)=lnx按(x−2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论23n+1xxnxn+1ln(1+x)=x−+−⋯+(−1)+o(x)。23n+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）1111方法一：（直接展开）fx′()=，f′(2)=；f′′()x=−，f′′(2)=−；2x2x421(n)n−1(n−1)!(n)n−1(n−1)!f′′′()x=，f′′′(2)=；⋯,f(x)=(−1)，f(2)=(−1)；3nnx4x2将以上结果代入泰勒公式，得(4)f′(2)f′′(2)2f′′′(2)3f(2)4lnx=f(2)+(x−2)+(x−2)+(x−2)+(x−2)+⋯1!2!3!4!(n)f(2)nn11213+(x−2)+o((x−2))=ln2+(x−2)−(x−2)+(x−2)−⋯33n!223⋅2n−11nn+(−1)(x−2)+o((x−2))。nn⋅2x−2x−21x−22方法二：f(x)=lnx=ln(2+x−2)=ln2+ln(1+)=ln2+−()22221x−23n−11x−2nx−2n112+()−⋯+(−1)()+o(())=ln2+(x−2)−(x−2)332n222213n−11nn+(x−2)−⋯+(−1)(x−2)+o((x−2))。3n3⋅2n⋅21★★5.求函数f(x)=按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。x知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论12n1n+1=++1xx+⋯+x+x。n+21−x(1−ξ)126方法一：fx′()=−，f′(1)−=−1；f′′()x=，f′′(1)−=−2；f′′′()x=−，234xxx(n)nn!(n)nn!f′′′(1)−=−6⋯,f(x)=(−1)，f(−1)=(−1)=−n!；n+1n+1x(−1)将以上结果代入泰勒公式，得1f′(1)−f′′(1)−2f′′′(1)−3=f(1)−+(x+1)+(x+1)+(x+1)+⋯x1!2!3!(n)(n+1)f(−1)nf(ξ)n+1+(x+1)+(x+1)n!(n+1)!n+123n(−1)n+1=−1−(x+1)−(x+1)−(x+1)−⋯−(x+1)+(x+1)（ξ介于x与−1之间）。n+2ξ1123n方法二：=−=−[1+(x+1)+(x+1)+(x+1)+⋯+(x+1)x1−(x+1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）n+1n+1(−1)n+123n(−1)n+1+(x+1)]=−1−(x+1)−(x+1)−(x+1)−⋯−(x+1)+(x+1)n+2n+2ξξ（ξ介于x与−1之间）。x★★6.求函数y=xe的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。x思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。f(x)中含有e时，通常利用已知结论2nxxxne=1+x++⋯++o(x)。2!n!xx(n)x方法一：y′=(x+1)e，y′(0)1=；y′′=(x+2)e，y′′(0)=2；⋯,y=(x+n)e，(n)y(0)=n，将以上结果代入麦克劳林公式，得(n)xf′(0)f′′(0)2f′′′(0)3f(0)nnxe=f(0)++x+x+x+⋯+x+ox()1!2!3!n!3n2xxn=x+x++⋯++o(x)。2!(n−1)!2n−13xxxn−12x方法二：xe=x(1+x++⋯++o(x))=x+x++⋯2!(n−1)!2!nxn++o(x)。(n−1)!231xxxx★★7.验证当00，证明：x−0，∴>0，3323(1+ξ)3(1+ξ)232xxx从而ln(1+x)=x−+>x−，结论成立。323(1+ξ)2（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）(n+1)★★11.证明函数f(x)是n次多项式的充要条件是f(x)≡0。
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：麦克劳林公式。思路：将f(x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。(n+1)解：必要性。易知，若f(x)是n次多项式，则有f(x)≡0。2(n+1)f′′(0)x充分性。∵f(x)≡0，∴f(x)的n阶麦克劳林公式为：fx()=f(0)+f′(0)x+2!3()nn(n+1)n+12f′′′(0)xf(0)xf()ξxf′′(0)x++⋯++=f(0)+f′(0)x+3!n!(n+1)!2!3(n)nf′′′(0)xf(0)x++⋯+，即f(x)是n次多项式，结论成立。3!n!(n−1)★★★12.若f(x)在[a,b]上有n阶导数，且fa()=fb()=fb′()=fb′′()=⋯=f()b=0(n)证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0(a<ξ0，则y=f(x)在[a,b]上单调增加；曲线的凹凸性（2）若在(a,b)内fx′()<0，则y=f(x)在[a,b]上单调减少。1）曲线凹凸性的概念：设f(x)在区间I内连续，如果对I上任意两点x,x，恒有12x+xf(x)+f(x)1212f()<，则称f(x)在I上的图形是凹的；如果恒有22x+xf(x)+f(x)1212f()>，则称f(x)在I上的图形是凸的。222）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则（1）若在(a,b)内f′′()x>0，则y=f(x)在[a,b]上的图形是凹的；（2）若在(a,b)内f′′()x<0，则y=f(x)在[a,b]上的图形是凸的。习题3-42★1.证明函数y=x−ln(1+x)单调增加。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，fx′()>0（fx′()<0），则f(x)在I单调增加（减少）。22x(1−x)证明：∵y′=−1=≥0（仅在x=1处y′=0），221+x1+x2∴y=x−ln(1+x)在(−∞,+∞)内是单调增加的。★2.判定函数f(x)=x+sinx(0≤x≤2π)的单调性。解：∵fx′()1cos=+x≥0（仅在x=π处fx′()=0），
课后答案网（http://www.khdaw.com）∴f(x)=x+sinx(0≤x≤2π)是单调增加的。★★3.求下列函数的单调区间：1328232（1）y=x−x−3x+1；（2）y=2x+(x>0)；（3）y=x−x；3x322（4）y=ln(x+1+x)；（5）y=(1+x)x；（6）y=2x−lnx。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。1322解：（1）y=x−x−3x+1的定义域为(−∞,+∞)；令y′=x−2x−=30，3得x=−1，x=3。列表讨论如下：12x−13(−∞,−1)(−1,3)(3,+∞)+0－0+fx′()↗↘↗f(x)132由上表可知，y=x−x−3x+1在(−∞,−1)、(3,+∞)内严格单增，而在(−1,3)内严格单减。38（2）在(0,+∞)内，令y′=−2=0，得x=2；2x当x∈(0,2)时，有y′<0；当x∈(2,+∞)时，有y′>0；8∴y=2x+(x>0)在(0,2)内严格单增，在(2,+∞)内严格单减。x1323222−2(x−1)（3）y=x−x的定义域为(−∞,+∞)；令y′=−x3==0，33333x得x=1；x=0为不可导点。列表讨论如下：x01(−∞,0)(0,1)(1,+∞)+0－0+fx′()↗↘↗f(x)232由上表可知，y=x−x在(−∞,0)、(1,+∞)内严格单增，而在(0,1)内严格单减。32（4）y=ln(x+1+x)的定义域为(−∞,+∞)，
课后答案网（http://www.khdaw.com）1x1y′=(1+)=>0，222x+1+x1+x1+x2∴y=ln(x+1+x)在(−∞,+∞)内严格单增。33（5）y=(1+x)x的定义域为[0,+∞)，∵y′=(x+x2)′=+1x>0，2∴y=(1+x)x在[0,+∞)上严格单增。2214x−11（6）y=2x−lnx的定义域为(0,+∞)，令y′=4x−==0，得x=；xx211当x∈(0,)时，y′<0；当x∈(,+∞)时，y′>0；22211∴y=2x−lnx在(0,)内严格单增，在(,+∞)内严格单减。22★★4.证明下列不等式：1x2（1）当x>0时，1+x>1+x；（2）当x>4时，2>x；2π13（3）当x≥0时，(1+x)ln(1+x)≥arctanx；（4）0x+x。23知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。1解：（1）方法一：令f(x)=1+x−1+x，21111则当x>0时，fx′()=−=(1−)>0，221+x21+x1∴f(x)=1+x−1+x在[0,+∞)上严格单增；从而f(x)>f(0)=0，21即1+x>1+x，结论成立。2方法二：由泰勒公式，得22111xxf(x)=1+x−1+x=1+x−(1+x−)=（0<ξ0，从而得1+x>1+x，结论成立。328(1+ξ)2x2x（2）方法一：令f(x)=2−x，则当x>4时，fx′()=2ln22−x，x222222f′′()x=2ln22−>f′′(4)16ln22=−=(ln4)−>2(lne)−>20，
课后答案网（http://www.khdaw.com）x∴fx′()=2ln22−x在(4,+∞)内严格单增，x从而fx′()=2ln22−x>f′(4)16ln24=−=4(ln161)−>0，x2x2∴f(x)=2−x在(4,+∞)内严格单增，在(4,+∞)内f(x)=2−x>f(4)=8>0，x2∴2>x，结论成立。注：利用f′′()x的符号判断fx′()的单调性，利用fx′()的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出f(x)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二：令f(x)=xln2−2lnx，/2111当x>4时，f(x)=ln2−>ln2−=ln4−>0，x222∴f(x)=xln2−2lnx在(4,+∞)内严格单增，∴f(x)=xln2−2lnx>f(4)=4ln2−2ln4=0，从而有，xln2>2lnx，xln22lnxx2∴e>e，即2>x，结论成立。（3）令f(x)=(1+x)ln(1+x)−arctanx，1则当x≥0时有fx′()=ln(1+x)1+−≥0（仅在x=0时，fx′()=0），21+x∴f(x)在[0,+∞)上严格单增，从而有f(x)≥f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)≥arctanx，结论成立。π22（4）令g(x)=tanx−x，则当002ππ从而g(x)=tanx−x在(0,)内严格单增，∴g(x)>g(0)=0，即在(0,)内tanx>x；2213再令f(x)=tanx−x−x，3π2222则当00，213π从而f(x)=tanx−x−x在(0,)内严格单增，∴f(x)>f(0)=0，32π13即在(0,)内tanx>x+x，结论成立。23★★★5.试证方程sinx=x只有一个实根。知识点：导数的应用。
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。解：易知，sin0=0，即x=0是方程的一个根；令f(x)=x−sinx，则fx′()1cos=−x≥0（仅在x=2kπ(k∈Z)处fx′()=0），∴f(x)=x−sinx在(−∞,+∞)内严格单增，从而f(x)只有一个零点，即方程sinx=x只有一个实根。★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：f(x)=x+sinx。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不一定为单调函数。∵fx′()1cos=+x≥0（仅在x=(2k+1)π(k∈Z)处fx′()=0），∴f(x)=x+sinx在(−∞,+∞)内严格单增；而fx′()1cos=+x在(2kπ,(2k+1)π)内严格单减，在((2k−1)π,2kπ)内严格单增，从而在(−∞,+∞)上不单调。★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：1x（1）y=x+(x>0)；（2）y=x+；（3）y=xarctanx；2xx−14x2arctanx（4）y=(x+1)+e；（5）y=ln(x+1)；（6）y=e。知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。12解：（1）y′=−1，y′′=，∵当x>0时，y′′>0，22xx1∴y=x+在[0,+∞)上为凹函数，没有拐点。xx（2）y=x+的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)；2x−1221+x2(xx+3)y′=−1，y′′=，令y′′=0，得x=0；2223(x−1)(x−1)当x<−1或01时，y′′>0；x∴y=x+的凹区间为(−1,0)、(1,+∞)，凸区间为(−∞,−1)、(0,1)；∴拐点为(0,0)。2x−1x2（3）y=xarctanx的定义域为(−∞,+∞)，y′=arctanx+，y′′=>0，2221+x(1+x)
课后答案网（http://www.khdaw.com）∴y=xarctanx在整个定义域上为凹函数，没有拐点。4x3x（4）y=(x+1)+e的定义域为(−∞,+∞)，y′=4(x+1)+e，2x4xy′′=12(x+1)+e>0，∴y=(x+1)+e在整个定义域上为凹函数，没有拐点。222x2(1−x)（5）y=ln(x+1)的定义域为(−∞,+∞)，y′=，y′′=，2221+x(1+x)令y′′=0，得x=±1；列表讨论如下：1,2x−11(−∞,−1)(−1,1)(1,+∞)－0+0－f′′()x∩∪∩f(x)2由上表可知，y=ln(x+1)的凸区间为(−∞,−1)、(1,+∞)，凹区间为(−1,1)，拐点为(−1,ln2)及(1,ln2)。arctanxarcanxarctanxee(12)−x（6）y=e的定义域为(−∞,+∞)，y′=，y′′=，2221+x(1+x)111令y′′=0，得x=；当x<时，y′′>0；当x>时，y′′<0；2221arctanx111arctan∴y=e的凹区间为(−∞,]，凸区间为[,+∞)，拐点为(,e2)。222★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：xyx+ye+ex+ycosx+cosyππ（1）>e2(x≠y)；（2）cos>,∀x,y∈(−,)。22222知识点：函数凹凸性的概念。思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线性组合时可考虑利用函数的凹凸性。xxx证明：（1）令y=e，∵y′′=e>0，∴y=e在(−∞,+∞)内是凹的。xyx+ye+e利用凹函数的定义，∀x,y∈(−∞,+∞)(x≠y)，有>e2，结论成立。2ππππ（2）令y=cosx，∵在(−,)内，y′′=−cosx<0，∴y=cosx在(−,)内是凸的。利2222ππx+ycosx+cosy用凸函数的定义，∀x,y∈(−,)(x≠y)，有cos>，结论成立。2222
课后答案网（http://www.khdaw.com）x−1★★★9.求曲线y=的拐点。2x+1知识点：导数的应用。思路：同7。2x−112+xx−解：y=的定义域为(−∞,+∞)，y′=，222x+1(1+x)22222(22)(1−x+x)−(12+xx−)4(1⋅x+x)2(x+1)(x−4x+1)y′′==2423(1+x)(1+x)令y′′=0，得x=−1，x=2±3；现列表讨论如下：12,3x−1(−∞,−1)(−1,2−3)2−3(2−3,2+3)2+3(2+3,+∞)－0+0－0+f′′()x∩∪∩∪f(x)1−31+3由上表可知，拐点为(−1,−1)、(2−3,)、(2+3,)。8−438+4332★★10.问a及b为何值时，点(1,3)为曲线y=ax+bx的拐点？知识点：导数的应用。思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。322解：y=ax+bx的定义域为(−∞,+∞)，y′=3ax+2bx，y′′=6ax+2b；32将(1,3)代入y=ax+bx中，得：3=a+b①；将(1,3)代入y′′=6ax+2b中，得：0=6a+2b②；39由①②得，a=−，b=。2232★★★11.试确定曲线y=ax+bx+cx+d中的a、b、c、d，使得在x=−2处曲线有水平切线，(1,−10)为拐点，且点(−2,44)在曲线上。知识点：导数的几何意义及导数的应用。思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。232解：y′=3ax+2bxc+，y′′=6ax+2b；将(−2,44)代入y=ax+bx+cx+d，得44=−8a+4b−2c+d①32将(1,−10)分别代入y=ax+bx+cx+d与y′′=6ax+2b中，得
课后答案网（http://www.khdaw.com）−10=a+b+c+d②；0=6a+2b③2将x=−2代入y′=3ax+2bxc+中，得0=12a−4b+c④由①②③④得，a=1，b=−3，c=−24，d=16。22★★★12.试确定y=k(x−3)中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。知识点：导数的应用。思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出k值。2222解：y=k(x−3)的定义域为(−∞,+∞)；y′=4(kxx−3)，y′′=12(kx−1)；2令y′′=0，得x=±1。易知，当x的取值通过x=±1的两侧时，y′′=12(kx−1)会变号，1,21,222∴(1,4k)与(−1,4k)均为y=k(x−3)的拐点；∵y′=−8k，y′=8k，x=1x=−111∴两拐点处法线方程分别为：y−4k=(x−1)，y−4k=−(x+1)；8k8k22又两法线过原点，将(0,0)代入法线方程，得32k=1，解得k=±。8★★★★13.设函数y=f(x)在x=x的某邻域内具有三阶导数，如果f′′()x=0，00而f′′′()x≠0，试问(x,f(x))是否为拐点，为什么？000知识点：导数的应用。思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。方法一：f′′()x=0，f′′′()x≠0不妨设f′′′()x>0，即000f′′()x−f′′()xf′′()x′′′=0=f()xlimlim>0；0x→x0xx−x→0xx−00f′′()x由极限的保号性知，必存在δ>0，使得∀x∈∪(x,δ)，均有>0；0xx−0从而当x−δ0；0000∴(x,f(x))为拐点。00内容概要名称主要内容（3.5）3.5极值的概念：设函数f(x)在点x的某个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点x（x≠x），00函数的极值与恒有f(x)f(x)），则称f(x)在点x处取得极大值（或极小值），000最大值
课后答案网（http://www.khdaw.com）最小值而x成为函数f(x)的极大值点（或极小值点）。0函数极值的第一充分条件：设函数f(x)在点x的某个邻域内连续且可导（fx′()可00判别法以不存在），（1）若在x的左邻域内，fx′()>0；在在x的右邻域内，fx′()<0，00则f(x)在x处取得极大值f(x)；00（2）若在x的左邻域内，fx′()<0；在在x的右邻域内，fx′()>0，00则f(x)在x处取得极小值f(x)；00（3）若在x的左邻域内，fx′()不变号，则f(x)在x处没有极值。00注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。第二充分条件：设f(x)在x处具有二阶导数，且fx′()=0，00f′′()x≠0，则0（1）当f′′()x<0时，函数f(x)在x处取得极大值；00（2）当f′′()x>0时，函数f(x)在x处取得极小值。00注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系习题3-5★★1.求下列函数的极值：2132lnx（1）f(x)=x−x−3x；（2）y=x−ln(1+x)；（3）y=；3xx32（4）y=x+1−x；（5）y=ecosx；（6）f(x)=(x−1)⋅x。知识点：极值的充分条件。思路：求y′=0的点或者y′不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。132解：（1）方法一：f(x)=x−x−3x的定义域为(−∞,+∞)，32令fx′()=x−2x−=30，得x=3，x=−1；现列表讨论如下：12
课后答案网（http://www.khdaw.com）x−13(−∞,−1)(−1,3)(3,+∞)+0－0+fx′()↗极大值↘极小↗f(x)点值点1325由上表知，f(x)=x−x−3x在x=−1处取得极大值为f(−1)=，在x=3处取得极小值为33f(3)=−9。2方法二：令fx′()=x−2x−=30，得x=3，x=−1；12由f′′()x=2x−2得，f′′(1)−=−<40，f′′(3)=>40，1325∴由极值的第二充分条件知，f(x)=x−x−3x在x=−1处取得极大值为f(−1)=，33在x=3处取得极小值为f(3)=−9。1x（2）方法一：y=x−ln(1+x)的定义域为(−1,+∞)，令y′=−1==0，得x=0；1+x1+x当−10时，有y′>0，∴由极值的第一充分条件知，y=x−ln(1+x)在x=0处取得极小值为f(0)=0。1x方法二：y=x−ln(1+x)的定义域为(−1,+∞)，令y′=−1==0，得x=0；1+x1+x1又由y′′=，得y′′(0)10=>，2(1+x)∴由极值的第二充分条件知，y=x−ln(1+x)在x=0处取得极小值为f(0)=0。22lnx2lnx−lnx2（3）方法一：y=的定义域为(0,+∞)，令y′==0，得x=1，x=e；212xx现列表讨论如下：x1(0,1)222(1,e)e(e,+∞)－0+0－/f(x)↘极小值↗极大↘f(x)点值点2lnx224由上表知，y=在x=1处取得极小值为y(1)=0，在x=e处取得极大值为f(e)=。2xe
课后答案网（http://www.khdaw.com）22lnx2lnx−lnx2方法二：y=的定义域为(0,+∞)，令y′==0，得x=1，x=e；212xx226ln−x+2lnx22由y′′=，得y′′(1)=>20，ye′′()=−<0；36xe2lnx2∴由极值的第二充分条件知，y=在x=1处取得极小值为y(1)=0，在x=e处取得极大值为x24f(e)=。2e21−−x13（4）y=x+1−x的定义域为(−∞,1]，令y′==0，得x=；21−x433当x<时，有y′>0；当0，k∈Z；44∴由极值的第二充分条件知，πxππ22kπ+y=ecosx在x=2kπ+处取得极大值为y(2kπ+)=e4，442πππ2(2k+1)π+在x=(2k+1)π+处取得极小值为y((2k+1)π+)=−e4，k∈Z。442注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件。325x−22（6）f(x)=(x−1)⋅x的定义域为(−∞,+∞)，令fx′()==0，得x=；313x5x=0为不可导点；现列表讨论如下：2x0222(−∞,0)(0,)(,+∞)555+0－0+fx′()
课后答案网（http://www.khdaw.com）↗极大值↘极小↗f(x)点值点322由上表知，f(x)=(x−1)⋅x在x=0处取得极大值为f(0)=0，在x=处取得极小值为53234f()=−。5525注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件。2x+ax+b★★★2.试证：当a+b+1>0时，f(x)=取得极值。x−1知识点：函数取得极值的条件。思路：在定义区间内求fx′()=0的点，然后利用极值的充分条件进行判断。22x+ax+bx−2xab−−证明：f(x)=的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，令fx′()==0，2x−1(x−1)2∵方程x−2xab−−=0根的判别式：∆=+44(ab+)=4(ab++1)2(1++ab)∴当a+b+1>0时，得驻点为x=1±1+a+b；由f′′()x=，得1,23(x−1)2(1++ab)2f′′(1+1++ab)==>0，3(1++ab)1++ab2(1++ab)2f′′(1−1++ab)==−<0，3(−1++ab)1++ab2x+ax+b∴f(x)=在x=1+1+a+b处取得极小值，在x=1−1+a+b处取得极大值。x−11π★★3.试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x在x=处取得极值，并求出极值。33知识点：取得极值的条件。思路：利用极值的必要条件，确定a的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值。π解：根据题意，得fx′()=(cosax+cos3)x=acos+cosπ=0，ππx=x=333a即−1=0，a=2；2π由f′′()x=−2sinx−3sin3x，得f′′()=−3<0，3ππ∴f(x)在x=处取得极大值f()=3。33
课后答案网（http://www.khdaw.com）★★4.求下列函数的最大值、最小值：42（1）y=x−8x+2,−1≤x≤3；（2）y=sinx+cosx,[0,2π]；2（3）y=x+1−x,−5≤x≤1；（4）y=ln(x+1),[−1,2]。知识点：导数的应用。思路：求函数f(x)在闭区间上最值的基本方法是先求y′=0的点或者y′不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是f(x)在该闭区间上的最大值，最小的即是f(x)在该闭区间上的最小值。3解：（1）在[−1,3]上令y′=4x−16x=0，得x=0，x=2；12∵y(−1)=−5，y(0)=2，y(2)=−14，y(3)=11，42∴比较可得y=x−8x+2,−1≤x≤3的最小值为y(2)=−14，最大值为y(3)=11。π5π（2）在[0,2π]上，令y′=cosx−sinx=0，得x=，x=；1244π5π∵y(0)=1，y()=2，y()=−2，y(2π)=1，445ππ∴比较可得y=sinx+cosx,[0,2π]的最小值为y()=−2，最大值为y()=2。4421−−x13（3）在[−5,1]上，y′==0，得x=；21−x435∵y(−5)=−5+6，y()=，y(1)=1，4435∴比较可得y=x+1−x,−5≤x≤1的最小值为y(−5)=−5+6，最大值为y()=。442x（4）在[−1,2]上令y′==0，得x=0；2x+1∵y(−1)=ln2，y(0)=0，y(2)=ln5，2∴比较可得y=ln(x+1),[−1,2]的最小值为y(0)=0，最大值为y(2)=ln5。★★★5.求下列数列的最大项：10⎧n⎫n（1）⎨n⎬；（2）{n}。⎩2⎭知识点：导数的应用。思路：求数列f(n)的最大项最小项问题可转化为求函数f(x)在区间[1,+∞)内的最值问题；若x=x0
课后答案网（http://www.khdaw.com）为f(x)在区间[1,+∞)内的最小值点，则f(n)=f([x])与f(n)=f([x]+1)中最小的一个为数00列中的最小项；若x=x为f(x)在区间[1,+∞)内的最大值点，则f(n)=f([x])与00f(n)=f([x]+1)中最大的一个为数列中的最大项。0109xx(10−xln2)10解：设f(x)=，则在区间[1,+∞)内，令fx′()==0，得唯一驻点x=；xx22ln2108822−10()x(9020ln2−x+xln2)10ln2由f′′()x=，得f′′()=<0，x102ln22ln21010（或者说：当x<时，fx′()>0；当x>时，fx′()<0）ln2ln21010x∴x=为f(x)=在区间[1,+∞)内唯一的极大值点，也是最大值点；xln221014101014∵[]=14，[]=14，且210≈1.00323>1，ln2ln21515210⎧n⎫∴当n=14时，⎨n⎬取得最大项。⎩2⎭111ln−x（2）设f(x)=xx，则在区间[1,+∞)内，令fx′()=xx()=0，得唯一驻点x=e；2x当00，当x>e时，有y′<0，1∴x=e为f(x)=xx在区间[1,+∞)内唯一的极大值点，也是最大值点；628n∵[e]=2，[e]+1=3，且=<1，∴当n=3时，{n}取得最大项。339★★6.从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？
课后答案网（http://www.khdaw.com）xa图3-5-6知识点：求最值问题。思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x，且x是函数f(x)的极值点，则当f(x)是极大值时，000f(x)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x)是极小值时，f(x)就是f(x)在该区间上的最小000值；f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x，且f(x)在该区间上确实存在最值，则f(x)就是00f(x)在该区间上的最值。解：设截去的小正方形的边长为x，则根据题意，得2adVaaV(x)=x(a−2x)，x∈(0,)；令=(a−2x)(a−6x)=0，得x=（舍去），x=；2dx26aa23∵V(0)=0,V()=0,V()=a，∴可得，当一个边长为a的正方形的四角上截去一块边长为2627a的小方块，才能使盒子的容量最大。6★★7.欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？22解：设圆柱形容器的底为r，高为h，则表面积S=2πrh+2πr，又V=πrh，∴得2V2S(r)=+2πr,00，3Vrr=32π3V∴r=为S(r)的极小值点，也是最小值点；2π
课后答案网（http://www.khdaw.com）3V∴当r=，h=2r时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。2π★★★8.从一块半径为R的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图3−5−8）容积为最大？22ϕRR4π−ϕ解：设漏斗的半径为r，高为h，容积为V，根据题意，得r=，h=，从而有2π2π322212Rϕ4π−ϕV(ϕ)=πrh=,0<ϕ<2π；2324π3222Rφ4π−φ88令V′()φ==0，得ϕ=0（舍去），ϕ=−π（舍去），ϕ=π；224π33∵漏斗的最大容积确实存在，即V(ϕ)(0<ϕ<2π)最大值确实存在，又V(ϕ)(0<ϕ<2π)的驻点唯一，88∴ϕ=π时，V(ϕ)(0<ϕ<2π)取得最大值，即当切去圆心角为2π−π的扇形时，余下的33部分卷成的漏斗容积最大。★★★9.设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动（见图3−5−9），设磨擦系数μ=0.25，问力F与水平线的交角α为多少时，才可使力F的大小为最小？Pμπ解：根据题意，得Fcosα=(P−Fsinα)μ，从而有F(α)=,0≤α≤，即cosα+µsinα21.25πF(α)=,0≤α≤，令f(α)=cosα+0.25sinα，cosα+0.25sinα2π则由f′()α=−sinα+0.25cosα=0，得f(α)在(0,)内唯一的驻点α=arctan(0.25)；2π1.251.25∵F()==5，F(0)==1.25，2ππcos0+0.25sin0cos+0.25sin221.25且F(arctan(0.25))=≈1.213cos(arctan(0.25))+0.25sin(arctan(0.25))∴力F与水平线的交角α=arctan(0.25)时，才可使力F的大小为最小。★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图3−5−10），如果杠杆的线密度为5kg/m，求最省力的杆长。
课后答案网（http://www.khdaw.com）x解：设杠杆长为x，则根据题意和力的平衡关系，得xF=49×0.1+5x×，即24.95xF(x)=+(x>0)；x2249.55x−98.9.8令Fx′()=−+==0(x>0)，得唯一的驻点x==1.4；22x22x5∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长x=1.4m时最省力。FαϕROP=5kg图3-5-8图3-5-9SA0.1mFabxOxMτ49kg图3-5-11图3-5-10★★★★11.光源S的光线射到平面镜Ox的哪一点再反射到点A，光线所走的路径最短（见图3−5−11）？解：设入射点为M,OM=x，则S所走的路程2222y=SM+MA=a+x+b+(τ−x)(00)656t−1312令St′()==0，得S(t)在区间(0,+∞)内唯一的驻点t=2；22(8216)−t+(20)t22∵两船最短的距离确实存在，∴t=2时，St()=(8216)−t+(20)(tt>0)取得最小值，即经过2小时后两船距离最近。内容概要名称主要内容（3.6）3.6函渐近线的概念：数图形1）水平渐近线：若函数y=f(x)的定义域是无穷区间，且limf(x)=C，则称直线的描绘x→∞y=C为曲线y=f(x)的水平渐近线；2）铅直渐近线：若函数y=f(x)在x处间断，且limf(x)=∞，则称直线x=x为曲00x→x0线y=f(x)的铅直渐近线；3）斜渐近线：设函数y=f(x)，若lim[f(x)−(ax+b)]=0，则称y=ax+b为x→∞f(x)y=f(x)的斜渐近线，其中a=lim(a≠0),b=lim[f(x)−ax]。x→∞xx→∞f(x)注：若lim不存在，或虽然它存在但lim[f(x)−ax]不存在，则y=f(x)不存在斜x→∞xx→∞渐近线。函数图形描绘的步骤：1）确定函数f(x)的定义域，求出函数的一阶导数fx′()和二阶导数f′′()x；2）求出fx′()和f′′()x的全部零点，f(x)的间断点，fx′()和f′′()x不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间；3）确定在这些部分区间内fx′()和f′′()x的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点；4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势；5）算出fx′()和f′′()x的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画出函数大致图形。
课后答案网（http://www.khdaw.com）习题3-6★1.求下列曲线的渐近线：1x−ex−x（1）y=e；（2）y=；（3）y=x+e。1+x知识点：渐近线的概念。思路：求出函数f(x)定义域；在间断点处或无穷大时，讨论f(x)的极限情况，用以求出fx()的水平f(x)渐近线和垂直渐近线；讨论、f(x)−ax无穷大时的极限，用以求出斜渐近线。x111−−−解：（1）y=ex的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)；∵limex=+∞，limex=1，x→0−x→∞∴x=0为铅直渐近线，y=1为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。xxxeee（2）y=的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)；∵lim=∞，lim=0，1+xx→−11+xx→−∞1+x∴x=−1为铅直渐近线，y=0为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。−x−x（3）y=x+e的定义域为(−∞+∞,)；∵lim(x+e)=∞，∴函数不存在铅直渐近线及水平x→∞渐近线，−xx+e−x而lim=1=a，lim[(x+e)−ax]=0=b，x→+∞xx→+∞−x∴y=x为函数y=x+e的斜渐近线。★★★2.描绘下列函数的图形：222xx(x−3)（1）y=；（2）y=；（3）y=；22x−11+x4(x−1)lnx（4）y=x3−x；（5）y=。x知识点：函数的性质及导数的应用。思路：根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标，描绘函数图形。22x解：（1）1）y=的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)；2x−1224(xx−1)2−x⋅2x−4x2）令y′===0，得驻点x=0；x=±1时y′不存在；2222(x−1)(x−1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）212x+4y′′==0无解；23(x−1)3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：x−101(−∞,−1)(−1,0)(0,1)(1,+∞)+不存在+0－不存在－fx′()+不存在－－－不存在+f′′()x↗∪不存在↗∩极大↘∩不存在↘∪f(x)值点22222x2x2x2x4）lim=−∞，lim=+∞，lim=−∞，lim=+∞，+2-2-2+2x→−1x−1x→−1x−1x→1x−1x→1x−122xlim=2，∴x=±1为铅直渐近线，y=2为水平渐近线，x→∞x2−122x容易验证，函数y=没有斜渐近线；2x−122x5）根据以上讨论，可描绘出函数y=的图形如下：2x−1y2−101x图3-6-2-1注：也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在(0,1)∪(1,+∞)内的情况，描绘出此区间上函数图形，然后再利用图像的对称性，将函数图形补充完整。
课后答案网（http://www.khdaw.com）x（2）1）y=的定义域为(−∞,+∞)；21+x223x+−⋅1x2x1−x2x−6x2）令y′===0，得驻点x=±1；令y′′==0，得22221,223(x+1)(x+1)(x+1)x=±3，x=0；3,45x3）∵y=为奇函数，∴在(0,+∞)内列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：21+xx1(0,1)(1,3)3(3,+∞)+0－－－fx′()－－－0+f′′()x↗∩极大点↘∩拐点↘∪f(x)f(1)=1/23f(3)=4xx4）lim=0，∴y=0为水平渐近线，容易验证，函数y=没有斜渐近线；x→∞1+x21+x2x5）根据以上讨论和函数y=的奇偶性，可描绘出该函数的图形如下：21+xy1/2••3/4x013图3-6-2-22(x−3)（3）1）y=的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)；4(x−1)(x−3)(x+1)2）令y′==0，得驻点x=−1，x=3；2124(x−1)8x=1时，y′′不存在；y′′==0无解；334(x−1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：x−113(−∞,−1)(−1,1)(1,3)(3,+∞)+0－不存－0+fx′()在－－－不存+++f′′()x在↗∩极大点↘∩不存↘∪极小↗∪f(x)在点22(x−3)(x−3)4）lim=+∞，lim=−∞∴x=1为铅直渐近线，+-x→14(x−1)x→14(x−1)2(x−3)容易验证，函数y=没有水平渐近线；4(x−1)222(x−3)1(x−3)(x−3)15而lim==a，lim[−ax]=lim[−x]=−，x→∞4x(x−1)4x→∞4(x−1)x→∞4(x−1)4415∴y=x−为斜渐近线。44又f(−1)=−2,f(3)=05）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：y−1013515y=x−44x−5/4−2图3-6-2-3（4）1）y=x3−x的定义域为(−∞,3]；−163−x2）令y′=3−+⋅xx==0，得驻点x=2；x=3时，y′不存在；223−x23−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）1−33−+x(63)−x⋅23−x3x−12y′′===0在(−∞,3]上无解；32(3−x)4(3−x)23）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：x23(−∞,2)(2,3)+0－不存在fx′()－－－不存在f′′()x↗∩极大值↘∩0f(x)点4）容易验证，函数y=x3−x没有渐近线。又f(2)=2,f(3)=0,f(0)=05）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：y023x图3-6-2-4lnx（5）1）y=的定义域为(0,+∞)；x31ln−x2lnx−32）令y′==0，得驻点x=e；令y′′==0，得x=e2；2132xx3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xe333(0,e)(e,e2)e2(e2,+∞)+0－－－fx′()－－－0+f′′()x
课后答案网（http://www.khdaw.com）↗∩极大值↘∩拐点↘∪f(x)点lnxlnx4）lim=∞，lim=0∴x=0为铅直渐近线，y=0为水平渐近线；函数无斜渐近线。x→0xx→+∞x5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：y−1e3/23/2ex0e3/2e图3-6-2-5内容概要名称主要内容(3.7)3.7/2弧微分计算公式：ds=1+(y)dx，其中s=s(x)为弧函数，其性质为单调增加。曲率曲率计算公式：设曲线方程为y=f(x)，f(x)具有二阶导数，则曲线y=f(x)在点x处//y的曲率计算公式为K=。3(1+(y/)2)21）曲率圆与曲率半径：设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0)，在点M处1的曲线的法线上，在凹的一侧取点D，使得DM==ρ。以D为圆心，ρ为半径K的圆成为曲线在点M处的曲率圆。曲率圆的圆心D称为曲线在点M处的曲率圆心。曲率圆的半径ρ称为曲线在点M处的曲率半径。2）y=f(x)在点M(x,y)处的曲率圆的圆心记为(ξ,η)，则其计算公式为：//2⎧y(1+(y))⎪ξ=x−//⎪y⎨。/2⎪1+(y)η=y+⎪y//⎩
课后答案网（http://www.khdaw.com）习题3-7★★★1.求曲线y=lnx的最大曲率。知识点：曲率的计算公式及最值的应用。思路：根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于x的曲率函数，然后求该函数的最大值，便得原来函数的最大曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。11解：∵y′=，y′′=−，∴得函数y=lnx在x处的曲率为2xx1y′′x2xKx()===(x>0)，333221222(1())+y′(1+)(1+x)2x下面求Kx(),(x>0)的最大值：2132×x12−x22由Kx′()=+x(−)==0，得x=±；舍去x=−35522222222(1+x)2(1+x)(1+x)22当00；当x>时，Kx′()<0，22222∴当x=时，K(x)在(0,+∞)内取得极大值K()=，也是K(x)在(0,+∞)内的最22332大值，即曲线y=lnx的最大曲率为。332★2.求抛物线y=x+3x+2在点x=1处的曲率和曲率半径。知识点：曲率和曲率半径的计算公式。思路：利用曲率及曲率半径的公式即可。2解：∵y′=2x+3，y′′=2，∴函数y=x+3x+2在x处的曲率和曲率半径分别为y′′21Kx()==，R(x)=，332222K(x)(1())+y′(1(2+x+3))1将x=1分别代入K(x)、R(x)中，得曲率和曲率半径为K=，R=1326。1326⎧x=a(t-sint)π★★3.计算摆线⎨在t=处的曲率。⎩y=a(1−cost)2dyyt′()sint解：∵===1，πππdxt=xt′()t=1cos−tt=222
课后答案网（http://www.khdaw.com）22dysint1cos(1cos)sint−t−t11=()′⋅=⋅=−；2ππ2πdxt=1cos−txt′()t=(1cos)−ta(1cos)−tt=a2221πy′′a2∴在t=处的曲率为K===。3322224a(1())+y′(11)+★★★4.曲线弧y=sinx(00；22ππ∴当x=时，ln()Rx也是Rx()在(0,π)内取得极小值R()=1，也是R(x)在(0,π)内的最小22ππ值，即曲线弧y=sinx(00)，从而桥端点坐标为0.252(5,0.25)在抛物线上，∴a==0.01，y=0.01x；∵y′(0)=0,y′′(0)=002.，25322(1())+y′∴顶点处抛物线的曲率半径R()0==50；x=0y′′233mv5×1021.6×102利用物理知识，得顶点处汽车的离心力F==()=3600(N)，R5060×603∴得汽车越过桥顶时对桥的压力为G=mg−F=5×10×9.8−3600=454009(N)。★★7.求曲线y=lnx在其与x轴的交点处的曲率圆方程。知识点：曲率圆的概念和计算公式。思路：先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方程。11解：∵y=lnx与x轴的交点为(1,0)，y′==1，y′′=−=−1，x=1x=1x=12x=1xxy′′11K==，∴曲率圆的半径为R==22；又由渐屈线方程的参数方程得32222K(1())+y′2⎧y′(1())+y′⎪ξ=−x=3(10),(10),⎪y′′⎨，即曲率圆的圆心为(3,−2)，2⎪1+(y)′η=y+=−2⎪(10),′′(10),⎩y22从而曲线y=lnx在其与x轴的交点处的曲率圆方程为(x−3)+(y+2)=8。2★★8.求曲线y=2px的渐屈线方程。知识点：渐屈线的概念。思路：根据渐屈线的参数方程公式求方程。22p−py′p解：由y=2px，得2yy′=2p，y′=，y′′==−；23yyy22222y′(1())+y′y(py)(1+(py))3y+2p∴ξ=−x=−=，23y′′2p−py2p
课后答案网（http://www.khdaw.com）2231()+y′1(+py)yη=y+=y+=−，即所求渐屈线的参数方程为：232y′′−pyp22⎧3y+2p⎪ξ=⎪2p⎨（y为参数）。3⎪yη=−⎪p2⎩总习题三★★1.证明下列不等式：n−1nnn−1（1）设a>b>0,n>1，证明：nb(a−b)b>0，证明：0，故nb(a−b)0，F(1)=f(1)10−<，由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0,1)，使F()ξ=0，即f(ξ)=ξ。2）唯一性。假设存在另一点η∈(0,1),，使f(η)=η，则Fx()在[,]([,])ξηηξ上连续，在相应开区间内可导，且F()ξ=F()η=0，由罗尔定理可知，至少存在某ς∈(ξ,η)⊂(0,1)，使F′()ζ=0，从而/f′()10ζ−=，f′()1ζ=，这与f(x)≠1矛盾，故有且仅有一个数ξ，使f(ξ)=ξ。
课后答案网（http://www.khdaw.com）★★★3.若a0(δ<)，当a0(δ<)，当b−δf(b)=0，1112取x∈(b−δ,b)，则有f(x)>0；111由零点定理，至少有一点ξ∈(x,x)，使f(ξ)=0；01易知，f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]在上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，∴由罗尔中值定理，知至少有一点ξ∈(a,ξ)、ξ∈(ξ,b)，使得f′()ξ=0，f′(ξ)=0；1212故选（D）。★★★4.设f(x)于[0,π]上连续，于(0,π)内可导，求证：存在ξ∈(0,π)，使得f′()ξ=−f()cotξξ知识点：罗尔定理思路：设置辅助函数，使其满足罗尔定理。解：设Fx()=fx()sinx，则Fx()在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，且F(0)=f(0)sin0=0，F(π)=f(π)sinπ=0，即F(0)=F()π；由罗尔定理，至少存在一ξ∈(0,π)，F′()ξ=0，即f′()sinξξ+f()cosξξ=0，/又sinξ>0,ξ∈(0,)π，故f(ξ)=−f(ξ)cotξ。fx′()cosx注：辅助函数可通过如下推导获得：∵fx′()=−fx()cotx⇔=−fx()sinx
课后答案网（http://www.khdaw.com）⇔[ln()]fx′=−[lnsin]x′⇔[ln(()sin)]fxx′=⇐0[()sin]fxx′=0∴设Fx()=fx()sinx★★★5.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证：对任意给定的正数a,b在ab(0,1)内存在不同的ξ,η，使+=+ab。f′()ξf′()η知识点：拉格朗日中值定理。思路：证明在(a,b)至少存在不相等的ξ,η，满足某种关系式，一般不构造辅助函数，而是依据结论中各部分的特点分别利用微分中值定理。a证明：显然，0<<1；又由f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0,f(1)=1，a+ba根据介值定理，至少存在一点τ∈(0,1)，使f(τ)=；a+b易知f(x)在[0,τ]、[τ,1]上满足拉格朗日中值定理，从而存在ξ∈(0,τ),η∈(τ,1)，分别使af()τ−f(0)=(τ−0)()f′ξ⇒=τf′()ξ（1）；ab+af(1)−f()τ=(1−τ)()f′η⇒−1=(1−τ)()f′η（2），ab+将（1）（2）两式相加，消去τ即得ab+=+ab。f′()ξf′()η★★★6.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点ξ和η，使ab+f′()ξ=f′()η。2η知识点：同5。思路：同5。2证明：易知，f(x)、g(x)=x在[a,b]上满足柯西中值定理，从而∃η∈(a,b)，使得fb()−fa()f′()η=（1）22b−a2η又由朗格朗日中值定理知，∃ξ∈(a,b)，使得fb()−fa()=f′()ξ（2）ba−
课后答案网（http://www.khdaw.com）1f′()η1由（1）（2）两式相比得=ba+2ηf′()ξab+即f′()ξ=f′()η。2η3★★★7.证明多项式f(x)=x−3x+a在[0,1]上不可能有两个零点。知识点：罗尔中值定理。思路：反证法。3解：假设f(x)=x−3x+a在[0,1]上有两个零点xx,，12不妨设x0，∴f′()ξ+f()ξ=0，结论成立。a2n−1an★★★9.设a−+⋯+(−1)=0，证明方程132n−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）πacosx+acos3x+⋯+acos(2n−1)x=0在(0,)内至少有一个实根。12n2知识点：罗尔中值定理。思路：构造辅助函数，证明辅助函数有驻点。sin3xsin(2n1)x−π证明：设fx()=asinxa++⋯+a，易知fx()在[0,]上连续，12n32n−12ππa2n1−an在(0,)上可导，且f(0)=0，f()=a−+⋯+−(1)=0，12232n1−π由罗尔中值定理知，至少存在ξ∈(0,)，使得f′()ξ=0，2又fx′()=acosxa+cos3x+⋯+acos(2n−1)x，12nπ故acosx+acos3x+⋯+acos(2n−1)x=0在(0,)内至少有一个实根。12n2★★★10.设在[1,+∞)上处处有f′′()x≤0，且f(1)=2,f′(1)=−3，证明在(1,+∞)内方程f(x)=0仅有一实根。知识点：零点定理及其函数的单调性。思路：利用零点定理，或者证明f(x)=0有实根；再利用函数单调性证明根唯一。证明：由泰勒公式得：f′′()ξ2f′′()ξ2fx()=f(1)+f′(1)(x−1)+(x−1)=−3x++5(x−1)；2!2!f′′()ξ2∵在[1,+∞)上处处有f′′()x≤0，∴(x−1)≤0，从而f(x)≤−3x+5；2!取x=2，则有f(2)≤−×+=−<32510，又f(1)=2>0，0∴由零点定理知，∃η∈(1,2)，使得f(η)=0，根的存在性成立；下证唯一性：∵在[1,+∞)上处处有f′′()x≤0，∴fx′()在[1,+∞)上单调递减，从而在[1,+∞)上，有fx′()≤f′(1)=−3，∴f(x)在[1,+∞)上严格单调递减，从而f(x)=0仅有一实根。★★★11.设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f′′()x，且f(2)=f(1)=0.若F(x)=(x−1)f(x)，证明：至少存在一点ξ∈(1,2)，使得F′′()ξ=0。知识点：罗尔中值定理。(n)思路：证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0的命题，可考虑连续n次使用罗尔中值定理。证明：由题意可知F(x)在[1,2]上连续，在(1,2)上可导，且F(1)=F(2)=0，
课后答案网（http://www.khdaw.com）由罗尔定理，至少存在η∈(1,2)，使得F′()η=0；又Fx′()=fx()(+x−1)()fx′，由题意Fx′()在[1,]η上连续，在(1,)η上可导，且F′(1)=f(1)0+=0，即F′(1)=F′()η=0，由罗尔定理，至少存在ξ∈(1,η)⊂(1,2)，使得F′′()ξ=0。★★★12.设函数f(x)在[a,b]上可导，且fa′()⋅fb′()<0，则在(a,b)内存在一点ξ，使得+−f′()ξ=0。知识点：费马引理。思路：可导的极值点必为驻点，所以证明在(a,b)内存在极值点即可。证明：∵fa′()⋅fb′()<0，∴不妨设fa′()<0，fb′()>0；+−+−fx()−fa()∵fa′()=lim<0，由极限的保号性知，++x→axa−f(x)−f(a)∃δ>0，当a0知，∃δ>0，当b−δ0，−22x−b即有f(x)0,∃θ∈(0,1),使得11ln(1+x)ln(10)−+=x，证明：limθ=。1+θxx→02知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据已知条件，求出θ的表达式，再利用求极限的方法求出极限。x−ln(1+x)x−ln(1+x)x−ln(1+x)证明：由题意知，θ=，∴limθ=lim=lim2xln(1+x)x→0x→0xln(1+x)x→0x11−1+xx1=lim=lim=。x→02xx→02(1x+x)21f(x)x3★★★17.设f(x)在x=0的某个邻域内有二阶导数，且lim(1+x+)=e，求0x→0xf(0),f′(0),f′′(0)。知识点：导数的定义。思路：求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求出各阶导数值。1f(x)x3f(x)解：由lim(1+x+)=e，可得lim=0，从而limf(x)=0；x→0xx→0xx→0∵f(x)在x=0的某个邻域内有二阶导数，∴有f(0)=limf(x)=0，0x→0fx()−f(0)fx()从而有f′(0)=lim=lim=0；x→0x−0x→0x1xx2+f(x)2f(x)x+f(x)x2+f(x)23再由lim(1+x+)x=lim[(1+)]x=e，知x→0xx→0x2x+fx()2x+fx′()fx′()lim=lim=3，∴lim=4，从而有2x→0xx→02xx→0x
课后答案网（http://www.khdaw.com）fx′()−f′(0)fx′()f′′(0)=lim=lim=4。x→0x−0x→0xx★★18.求f(x)=ecosx的三阶麦克劳林公式。知识点：麦克劳林公式。思路：利用公式直接展开。0xx解：f(0)=ecos0=1，f′(0)=e(cosx−sin)x=1，f′′(0)=−2esinx=0，x=0x=0x(4)xf′′′(0)=−2(sinex+cos)x=−2，f(x)=−4ecosx，x=0x从而得f(x)=ecosx的三阶麦克劳林公式为()4f′′(0)2f′′′(0)3f()θx4fx()=f(0)+f′(0)x+x+x+x2!3!4!θx13ecosθx4=1+x−x−x(0<θ<1)。363112x★★19.证明：1+x=1+x−x+(0<θ<1)。52816(1+θx)211证明：设f(x)=1+x，则f(0)=1，f′(0)==，x=021+x2351−13−f′′(0)=−(1+x)2=−，f′′′()x=(1+x)2，从而有x=0448f′′(0)2f′′′()θx31+x=f(0)+f′(0)x+x+x2!3!3112x=1+x−x+(0<θ<1)。52816(1+θx)222πxx★★★20.设0−()=−>−>=>，又x>0，∴有224296969696963π4!22xx<1−cosx<，结论成立。π22sinxπ★★★21.证明不等式：<<1(00(0F()=①；2222π又有Fx()−F(0)=F′()(ηx−0)<0(0<η0)；（2）y=xe(n>0,x≥0)；（3）y=x+sin2x。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1）y=3(2x−a)(a−x)2(a>0)的定义域为(−∞,+∞)；22112−2−2a−3x令y′=(2xa−)(3ax−)3−(2xa−)(3ax−)3==0，得驻点为333(2xa−)(2ax−)2ax=a；不可导点为x=，x=a。列表讨论如下：12332xaa2a2(−∞,)(,)(a,a)(a,+∞)2233++－+fx′()
课后答案网（http://www.khdaw.com）↗↗↘↗f(x)2a2由上表可知，y=3(2x−a)(a−x)2(a>0)在(−∞,]、[a,+∞)内严格单增，而在[a,a]内33严格单减。n−xn−1−xn−xn−1−x（2）y=xe(n>0,x≥0)，令y′=nxe−xe=xe(nx−)=0，得x=0，x=n；当00，当x>n时，y′<0；12n−x∴y=xe(n>0,x≥0)的单增区间为[0,n]，单减区间为(n,+∞)。⎧πx+sin2,xnπ≤x0，函数单调递增，当+nπ0，函数单调递增，当+nπ0时，1+xln(x+1+x)>1+x；13（2）当x>0时，x−x0，221+x1+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）22∴f(x)=1+xln(x+1+x)−1+x在[0,+∞)上严格单增；从而f(x)>f(0)=0，22即1+xln(x+1+x)>1+x，结论成立。（2）令f(x)=x−sinx，则f(x)在[0,+∞)内连续，可导，fx′()1cos=−x≥0，且fx′()=0仅在可数的孤立点处成立，∴f(x)=x−sinx在[0,+∞)上严格单增，从而f(x)>f(0)=0，即x>sinx(x>0)；13令g(x)=sinx−x+x，则g(x)在[0,+∞)内连续，可导，322222x2xx且gx′()=cosx−+1x=x−2sin>x−=>0(x>0)，22213从而g(x)在[0,+∞)上严格单增，从而g(x)>g(0)=0，即sinx>x−x(x>0)；313综上可知x−xa>0,证明：ln>。aa+b知识点：导数的应用。思路：可以将b看作变量x，利用函数单调性证得结论。证明：设f(x)=(lnx−lna)(a+x)−2(x−a)，(x≥a)，则1afx′()=(a+x)(ln+x−ln)2a−=(lnx−ln)a+−1，xx11axa−f′′()x=(a+x)(ln+x−ln)2a−=−=>0,(x≥a)，22xxxx∴fx′()在[a,+∞)内严格单调递增，∴fx′()>fa′()=0，从而有f(x)=(lnx−lna)(a+x)−2(x−a)在[a,+∞)内严格单调递增，∴当b>a时，有f(b)=(lnb−lna)(a+b)−2(b−a)>f(a)=0，b2(b−a)即有ln>，结论成立。aa+b★★27.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：4−x3（1）y=x(12lnx−7)；（2）y=xe；（3）y=1+x−2。知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
课后答案网（http://www.khdaw.com）4解：（1）y=x(12lnx−7)的定义域为(0,+∞)，3413y′=4(12lnxx−7)+x⋅12⋅=4(12lnxx−4)，x2312y′′=12x(12lnx−4)4+x⋅12⋅=144xlnx，令y′′=0，得x=1；x当01时，y′′>0，4∴y=x(12lnx−7)的凸区间为(0,1]，凹区间为[1,+∞)，拐点为(1,−7)。−x−x−x（2）y=xe的定义域为(−∞,+∞)，y′=e(1−x)，y′′=e(x−2)，令y′′=0，得x=2；当x<2时，y′′<0，当x>2时，y′′>0，−x−2∴y=xe的凸区间为(−∞,2]，凹区间为[2,+∞)，拐点为(2,2e)。21−3′=−3，（3）y=1+x−2的定义域为(−∞,+∞)，y(x2)3512−2y′′=⋅−()(x−2)3=−，x=2为y′′不存在的点；339(3x−2)5当x<2时，y′′>0，当x>2时，y′′<0，3∴y=1+x−2的凹区间为(−∞,2]，凸区间为[2,+∞)，拐点为(2,1)。★★★28.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：x+yxx（1）xlnx+ylny>(x+y)ln(x>0,y>0,x≠y)；（2）sin>(00)，y′=+1lnt，y′′=>0，∴y=tlnt在(0,+∞)内是凹的。txlnx+ylnyx+yx+y利用凹函数的定义，∀x,y∈(0,+∞)(x>0,y>0,x≠y)，有>ln，222x+y从而有xlnx+ylny>(x+y)ln，结论成立。2xx1x11x（2）令f(x)=sin−，y′=cos−，由y′′=−sin<0,(00(0，结论成立。2π2π（也可用单调性证明）32★★★29.设f(x)=x+ax+bx在x=1处有极值−2，试确定系数a,b，并求出y=f(x)的所
课后答案网（http://www.khdaw.com）有极值点及拐点。知识点：导数的应用。思路：根据题意，得关于a,b的关系式，确定a,b的值；利用一阶导数符号判断函数的单调性和极值（可导的驻点还有第二充分条件）；利用二阶导数的符号求函数的凹凸和拐点。2⎧⎪fx()x=1=−2⎧1+a+b=−2解：fx′()=3x+2axb+，根据题意有⎨，即有⎨，解得⎪⎩fx′()x=1=0⎩3+2a+b=03a=0,b=−3，从而f(x)=x−3x；2令fx′()=3x−=30，得x=±1；1,2当x<−1或者x>1时，fx′()>0，当−10时，f′′()x>0，从而知(0,0)为拐点。★★★30.求下列函数的极值：1+3xx−x（1）y=；（2）y=2e+e；（3）y=x+tanx。24+5x知识点：极值的充分条件。思路：求y′=0的点或者y′不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。1+3x解：（1）y=的定义域为(−∞,+∞)，24+5x25x345+x−(13)+x⋅45+x2125−x12令y′===0，得x=；45+x2(45)45+x2+x251212当x<时，y′>0，当x>时，y′<0，551+3x1212205∴y=在x=处取得极大值为f()=。4+5x25510x−x（2）y=2e+e的定义域为(−∞,+∞)，2xx−x2e−11令y′=2e−e==0，得x=−ln2，xe2
课后答案网（http://www.khdaw.com）x−x又y′′=2e+e>0，∴y′′>0，1x=−ln22x−x11从而y=2e+e在x=−ln2处取得极小值为f(−ln2)=22。22ππ2（3）y=x+tanx的定义域为(kπ−,kπ+)(k∈Z)，y′=+1secx>0，22∴y=x+tanx没有极值点。−x−1★★★31.研究函数f(x)=xe的极值。思路：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求极值。x−1⎧−xex≤0−x−1⎪x−1解：f(x)=xe=⎨xe01⎩x−1fx()−f(0)−xe−0−1在x=0处，有f′(0)=lim=lim=−e，−−−x→0x−0x→0x−0x−1fx()−f(0)xe−0−1f′(0)=lim=lim=e，++−x→0x−0x→0x−0∵f′(0)≠f′(0)，∴f(x)在x=0处不可导，同理，f(x)在x=1也处不可导；−+易知，当x<−1时，fx′()>0，当−10，∴f(x)在x=0处取得极小值为f(0)=0；当00，当x>1时，fx′()<0，∴f(x)在x=1处取得极大值为f(1)=1。★★★32.求下列函数的最大值、最小值：21x1（1）y=,x∈[−,1]；（2）y=xx,x∈(0,+∞)。1+x2知识点：导数的应用。22x12x+x解：（1）y=,x∈[−,1]，令y′==0，得x=0；21+x2(1+x)
课后答案网（http://www.khdaw.com）111∵f(−)=，f(0)=0，f(1)=，2222x111∴y=在区间[−,1]上的最大值为f(−)=f(1)=，最小值为f(0)=0。1+x222111ln−x（2）y=xx,x∈(0,+∞)，令y′=xx()=0，得唯一驻点x=e；2x当00，当x>e时，有y′<0，1∴x=e为y=xx在区间[1,+∞)内唯一的极大值点，11从而y=xx在区间[1,+∞)内的最大值为f(e)=ee，没有最小值。11★★★33.设a>0，求f(x)=+的最大值。1+x1+x−a知识点：导数的应用。思路：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求最值。⎧11+,x≤0⎪1−x1+−ax⎪⎪11解：fx()=⎨+,0a22⎩(1+x)(1+−xa)当x<0时，fx′()>0，函数f(x)单调递增；当x>a时，fx′()<0，函数f(x)单调递减，11∴f(x)=+在定义域(−∞,+∞)上的最大值即为在[0,a]上的最大值；1+x1+x−aaa42+a令fx′()=0，得x=，又f()=，f(0)=f(a)=，222+a1+a242+aa且−=−<0，2+a1+a(2+a)(1+a)
课后答案网（http://www.khdaw.com）112+a∴函数f(x)=+在定义域(−∞,+∞)上的最大值为f(0)=f(a)=。1+x1+x−a1+a3⎧(1+n)⎫★★★34.求数列⎨2⎬的最小项的项数及该项的数值。⎩(1−n)⎭知识点：导数的应用。思路：求数列f(n)的最大项最小项问题可转化为求函数f(x)在区间[1,+∞)内的最值问题；若x=x0为f(x)在区间[1,+∞)内的最值点，则f(n)=f([x])与f(n)=f([x]+1)其中之一为数列中的00最值项。3(1+x)解：设fx()=,(x≥2)，则在区间[2,+∞)内，2(1−x)22323(1+x)(1−x)+2(1−x)(1+x)(1+x)(5−x)令fx′()===0，得唯一驻点x=5；43(1−x)(1−x)当2≤x<5时，fx′()<0，当x>5时，fx′()>0，3(1+x)∴x=5为f(x)=在区间[2,+∞)内唯一的极小值点，也是最小值点；2(1−x)3⎧(1+n)⎫27∴当n=5时，⎨2⎬取得最小项，且该项的数值为。⎩(1−n)⎭21pp★★★35.证明：≤x+(1−x)≤1(0≤x≤1,p>1)。p−12知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上的最大值和最小值。ppp−1p−1证明：设f(x)=x+(1−x),x∈[0,1]，则fx′()=px−p(1−x)，1令fx′()=0，得x=；211当0≤x<时，fx′()<0，当0，22pp1∴f(x)=x+(1−x)在x=处取得极小值，21111又f(0)=f(1)=1，f()=+=，ppp−12222pp1∴f(x)=x+(1−x)在[0,1]上的最小值为，最大值为1，p−121pp从而有≤x+(1−x)≤1(0≤x≤1)。p−12
课后答案网（http://www.khdaw.com）★★★★36.某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费为c元/年，若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商店应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少？知识点：导数的应用。思路：根据题意，建立函数模型，求函数的最值。a解：设商店分x批购进商品，则所用手续费为bx元，因为商品均匀销售，所以商店的库存量为件，2xacac库存费为元，从而手续费和库存费总和函数为y=bx+,(x>0)；2x2xacacacac令y′=−b=0，得x=；又y′′=>0，y′′()>0，232x2bx2bacac∴x=为y=bx+,(x>0)的极小值点，也为最小值点；2b2xac从而可知，商店应分批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少。2b★★★★37.以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能来回10次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？知识点：同36。思路：同36。解：设每日来回x次，每次拖z只小船，每只小船运货为a，则每日的运货总量为y=axz，又根据题z−47−41意（小船增多的只数与来回减少的次数成正比）可得=，∴z=12−x，16−x16−1021从而得每日运货总量函数为y=ax(12−x)(x>0)，211令y′=a(12−x)+ax(−)=a(12−x)=0，得x=12；221又y′′=−0)的极大值点，也为最大值点，2又x=12时，z=6，∴每日来回12次，每次拖6只小船能使运货总量达到最大。33★★★38.求笛卡尔曲线x+y−3axy=0的斜渐近线。知识点：斜渐近线的概念。思路：利用结论：f(x)L:y=kx+b为y=f(x)的斜渐近线⇔k=lim,b=lim[f(x)−kx]x→∞xx→∞⎛x→+∞⎞⎛x→+∞⎞⎜⎟⎜⎟⎝x→−∞⎠⎝x→−∞⎠⎧3atx=⎪333⎪1+t解：笛卡尔曲线x+y−3axy=0的参数方程为⎨，2⎪3aty=⎪⎩1+t3
课后答案网（http://www.khdaw.com）23f(x)3at1+tk=lim=lim⋅=limt=−1，x→∞xt→−11+t33att→−123at+3at6at+3ab=lim[f(x)−kx]=lim[f(x)−kx]=lim=lim=−a，x→∞x→∞t→−11+t3t→−13t2∴所求斜渐近线为y=−x−a。★★39求曲线y=ln(secx)在点(x,y)处的曲率及曲率半径。知识点：曲率和曲率半径的计算公式。思路：利用曲率及曲率半径的公式即可。12解：∵y′=⋅secx⋅tanx=tanx，y′′=secx，secx∴曲线y=ln(secx)在点(x,y)处的曲率及曲率半径分别为y′′sec2x2secx1K====cosx，R==secx。3332222secxK(1())+y′(1tan+x)2xy★★★40.证明曲线y=ach在点(x,y)处的曲率半径为。aaxxxxxxxa−a1−1−解：∵y=ach=(ea+ea)，y′=⋅(ea−ea)=(ea−ea)，a22a2xxxx1−1−(ea+ea)(ea+ea)xx′′1−y2a2ay′′=(ea+ea)，K===3xx3xx2a221−221−3(1())+y′(1+(ea−ea))[(ea+ea)]421aaa===，xxxx21−2a−2y[(ea+ea)][(ea+ea)]222x1y∴曲线y=ach在点(x,y)处的曲率半径R==。aKa222333★★★41.求内摆线x+y=a的曲率半径和曲率圆心坐标。知识点：曲率半径和曲率圆的概念。思路：利用曲率半径和曲率圆中心公式。3222⎧⎪x=acosθ解：内摆线x3+y3=a3的参数方程为，⎨3⎪⎩y=asinθ
课后答案网（http://www.khdaw.com）2yθ′3sinaθcosθ114y′==−=−tanθ，y′′=−(tan)θ′⋅=secθcscθ，2θx′3cosaθsinθx′3aθθ44y′′secθcscθsecθcscθ1K====，33322223secaθ3sincosaθθ(1())+y′3(1tana+θ)22213∴x3+y3=a3的曲率半径为R==asin2θ；令曲率圆的圆心为(ξ,η)，则有K222y′(1())+y′3−tan(1tanθ+θ)22ξ=−x=acosθ−=acos(cosθθ+3sinθ)y′′14secθcscθ3a，221()+y′31tan+θ22η=y+=asinθ+=asin(sinθθ+3cosθ)y′′14secθcscθ3a2222即曲率圆的圆心为(cos(cosaθθ+3sinθ),asin(sinθθ+3cosθ))。课外习题与解答★★★★1、求下列极限1n2(1)、（1998）lim(ntan)n→∞n1t=1lntant−lnttsec2t−tant1x21x2xtantt2lim+2lim+2解：令f(x)=(xtan)，则lim(tan)x=lim()=et→0t=et→02ttantxx→+∞xt→0+t1t−sin2t2t−sincostt21cos2−t2t1limlimlimlimt+2cost32tt+2t3t+6t2t+6t23=e→0=e→0=e→0=e→0=e。a12(2)、（1997）lim[−(−a)ln(1+ax)](a≠0)x→0xx2a12aln(1+ax)2解：lim[−(−a)ln(1+ax)]=lim[−+aln(1+ax)]x→0xx2x→0xx2aa−aln(1+ax)ax−ln(1+ax)1+ax=lim[−]=lim=limx→0xx2x→0x2x→02x22a+ax−aa=lim=。x→02x(1+ax)21+tanx−1+sinx(3)、（1999）limx→0xln(1+x)−x21+tanx−1+sinxtanx−sinx解：lim=limx→0xln(1+x)−x2x→0(xln(1+x)−x2)(1+tanx+1+sinx)
课后答案网（http://www.khdaw.com）2xsin(1cos)x−x212x1=lim=lim=lim=−x→02cos(ln(1xx+x)−x)x→02(ln(1+x)−x)4x→012(−1)1+xtan(tanx)−sin(sinx)（4）、limx→0tanx−sinx233133解：∵tanx=x+x+o(x),sinx=x−x+o(x)3!3!233133∴tan(tanx)=tanx+tanx+o(x),sin(sinx)=sinx−sinx+o(x),3!3!23133tan(tanx)−sin(sinx)=tanx−sinx+tanx+sinx+o(x)3!3!23133tanx−sinx+tanx+sinx+o(x)tan(tanx)−sin(sinx)3!3!从而lim=limx→0tanx−sinxx→0tanx−sinx23133tanx+sinx+o(x)3!3!21=1+lim=1+⋅2+⋅2=2。x→0133!3!x2f(x)★★★2、设在区间(−∞,+∞)内，f′′(x)>0,f(0)<0。试证明函数分别在区间(−∞,0)和x(0,+∞)内是单调增加的。f(x)xfx′()−fx()证明：令F(x)=，则Fx′()=，2xx再令gx()=xfx′()−fx()，则gx′()=f′′()xx+fx′()−fx′()=xf′′()x，∵f′′(x)>0，∴当x<0时，gx′()<0，当x>0时，gx′()>0；/∴g(x)=xf(x)−f(x)在(−∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增，由f(0)<0，可得g(0)>0，从而∀∈−∞+∞x(,)，均有gx()≥g(0)>0；xfx′()−fx()gx()f(x)∴有Fx′()==>0，F(x)=在(−∞,0)和(0,+∞)内单调递增，结论22xxx成立。★★3、设f(x)在[a,b]上可导，若c为(a,b)内一定点，且f(c)>0，(x−c)f′(x)≥0。证明在[a,b]上必有f(x)>0。证明：∵f(x)在[a,b]上可导，(x−c)f′(x)≥0，
课后答案网（http://www.khdaw.com）∴当x>c时，有fx′()≥0，fx()单调增；当x0，∴在[a,b]上必有f(x)>022★★★4、（1999）试证：当x>0时，(x−1)lnx≥(x−1)。2x−112x+1证明：令ϕ(x)=lnx−，则ϕ′()x=−=>0，22x+1x(x+1)xx(+1)x−11−1∴ϕ(x)=lnx−在(0,+∞)内单调递增；又ϕ(1)=ln1−=0，x+11+1x−122∴当01时，ϕ(x)=lnx−≥0，(x+1)lnx≥x−1，从而(x−1)lnx≥(x−1)，综上x+122可知，当x>0时，(x−1)lnx≥(x−1)。322★★★★5、（1996）设y=y(x)由方程2y−2y+2xy−x=1所确定。求y=y(x)的驻点，并判定其是否为极值点。2解：对方程两边求关于x的导数，得6yy′−4yy′+2xy′−2x=0，x−y解得y′=，令y′=0，得y=x；23y−2y+x322322232将y=x代入2y−2y+2xy−x=1，得2x−2x+2x−x=⇒12x−x−=10①32222∵x=1是方程①的解，∴2x−2x+2x−x=⇒1(x−1)(2x++x1)=0，解得驻点x=1；由x=1，得y=1，2(1−y′)(3y−2y+x)(−x−y)(6yy′−2y′+1)1又y′′==>0，x=122x=1y=1(3y−2y+x)y=12∴x=1为y=y(x)的极小值点。22★★★6、设抛物线y=x上点A(a,a)（a≠0）处的法线交该抛物线的另一点为B，求线段AB的最短长度。2222b−a解：设B(b,b)，则在点A(a,a)处，法线的斜率k==b+a，法b−a11而切线的斜率为k=y′=2a，∴有b+a=−，即b=−a−；从而切xa=2a2a
课后答案网（http://www.khdaw.com）32222122线段AB的长度L=AB=(b−a)+(b−a)=(4a+1)；24a3122dL12213224a+1(2a−1)令=−(4a+1)+⋅(4a+1)⋅8a==0，323da2a4a22a1133得a=±，且易验证a=±为极小点，也为最小点，故可得AB的最短长度为。22211★★★★7、设f(x)在[0,1]连续。f(0)=0,f(1)=1试证∫f(x)−f′(x)dx≥。0e证明：根据已知条件，得111−x−x−x∫0fx()−fxdx′()≥∫0efx′()−fxdx()≥∫0(efx′()−efxdx())−x11=ef(x)=，结论成立。0e★★★★8、f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且满足f(1)=f(0)及f′′(x)≤M(x∈[0,1]，证M明对一切x∈[0,1]有f′(x)≤成立。2证明：∀x∈[0,1]，由泰勒公式，可得f′′()ξ12f(1)=fx()+fx′()(1−x)+(1−x)（ξ介于1与x之间）①12!f′′()ξ22f(0)=fx()+fx′()(0−x)+x（ξ介于0与x之间）②22!f′′()ξ22f′′()ξ12∵f(1)=f(0)，∴由②-①，得fx′()=x−(1−x)，2!2!22又∀x∈[0,1]，有x+(1−x)≤1，且f′′(x)≤M(x∈[0,1]，从而有f′′()ξf′′()ξMM221222fx′()≤x+(1−x)≤[x+(1−x)]≤，结论成立。2!2!22★★★★9、设函数f(x)在区间[−1,1]上具有三阶连续导数，且f(−1)=0,f(0)=0,f(1)=1,f′(0)=0，证明存在一点ξ∈(−1,1)，使f′′′(ξ)≥3。证明：∀x∈[−1,1]，由泰勒公式得f′′(0)2f′′′()η3fx()=f(0)+f′(0)x+x+x（η介于0与x之间）2!3!分别令x=−1和x=1，并结合已知条件得f′′(0)f′′′()η10=f(1)−=−（η介于0与−1之间）①126
课后答案网（http://www.khdaw.com）f′′(0)f′′′()η21=f(1)=+（η介于0与1之间）②226由②-①，得f′′′()η+f′′′()η=621∵f(x)在区间[−1,1]上具有三阶连续导数，∴f′′′()x在[η,η]上连续，12从而由介值定理知，至少有一点ξ∈[η,η]⊂(−1,1)，使得1121f′′′()ξ=[f′′′()η+f′′′()]3η=；1122再由最值定理知，至少有一点ξ∈[η,η]⊂(−1,1)使得f′′′()x在x=ξ处取得[η,η]上的最大值，1212从而有f′′′()ξ≥f′′′()ξ=3，结论成立。1★★★★10、（1996）设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，f(x)≤a,f′′(x)≤b,c∈(0,1)，求证：bf′(c)≤2a+。2证明：∀x∈[0,1]，由泰勒公式，得f′′()ξ2fx()=fc()+fcxc′()(−)+(xc−)，又f(x)≤a,f′′(x)≤b,c∈(0,1)，2!f′′()ξ2f′′()ξ2从而可得fcxc′()(−)=fx()−fc()−(xc−)≤fx()+fc()+(xc−)2!2!b≤2a+。2第4章不定积分内容概要名称主要内容不设fx()，x∈I，若存在函数Fx()，使得对任意x∈I均有Fx′()=fx()定积或dFx()=fxdx()，则称Fx()为fx()的一个原函数。分的fx()的全部原函数称为fx()在区间I上的不定积分，记为概念∫fxdx()=Fx()+C
课后答案网（http://www.khdaw.com）注：（1）若fx()连续，则必可积；（2）若FxGx(),()均为fx()的原函数，则Fx()=Gx()+C。故不定积分的表达式不唯一。性d性质1：⎡fxdx()⎤=fx()或d⎡fxdx()⎤=fxdx()；质dx⎣∫⎦⎣∫⎦性质2：∫Fxdx′()=Fx()+C或∫dFx()=Fx()+C；不定性质3：∫[αfx()±βgxdx()]=α∫fxdx()±β∫gxdx()，αβ,为非零常数。积分计设fu()的原函数为Fu()，u=ϕ()x可导，则有换元公式：算第一换元方积分法∫f(())()ϕxϕ′xdx=∫f(())ϕxdϕ()x=F(())ϕx+C法（凑微分法）第二类设x=ϕ()t单调、可导且导数不为零，f[()]()ϕtϕ′t有原函数Ft()，换元积分法−1则∫fxdx()=∫f(())()ϕtϕ′tdt=Ft()+C=F(ϕ())x+C分部积分法∫uxvxdx()()′=∫uxdvx()()=uxvx()()−∫vxdux()()有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。本章在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！dx★(1)∫2xx51−思路:被积函数=x2，由积分表中的公式（2）可解。2xx53dx−2−解：∫=∫xdx2=−x2+C23xx31★(2)∫(x−)dxx
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。1111411−−3解：∫(3x−)dx=∫(x3−x2)dx=∫xdx3−∫xdx2=x3−2x2+Cx4x2★(3)（∫2+xdx）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。xx2x2213解：（∫2+xdx）=∫2dx+∫xdx=+x+Cln23★(4)∫xx(−3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。31532解：∫x(x−3)dx=∫xdx2−3∫xdx2=x2−2x2+C5423x+3x+1★★(5)dx∫2x+1423x+3x+121思路:观察到=3x+后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积22x+1x+1分。423x+3x+1213解：dx=3xdx+dx=x+arctanxC+∫2∫∫2x+11+x2x★★(6)dx∫21+x22xx+−111思路:注意到==−1，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。2221+x1+x1+x2x1解：dx=dx−dx=−xarctanxC+.∫2∫∫21+x1+x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。x134★(7)（∫-+-）dx342xxx思路:分项积分。x13411−3−4解：（∫-+3-4）dx=∫xdx−∫dx+3∫xdx−4∫xdx2xxx2x123−24−3=x−ln||x−x+x+C.423
课后答案网（http://www.khdaw.com）32★(8)(−)dx∫1+x21−x2思路:分项积分。3211解：(−)dx=3dx−2dx=3arctanx−2arcsinxC+.∫1+x21−x2∫1+x2∫1−x2★★(9)∫xxxdx1117++思路:xxx=？看到xxx=x248=x8，直接积分。7158解：∫xxxdx=∫xdx8=x8+C.151★★(10)dx∫22x(1+x)思路:裂项分项积分。111111解：dx=(−)dx=dx−dx=−−arctanxC+.∫22∫22∫2∫2x(1+x)x1+xx1+xx2xe−1★(11)∫xdxe−12xxxe−1(e−1)(e+1)xx解：dx=dx=(e+1)dx=e++xC.∫x∫x∫e−1e−1xx★★(12)∫3edxxxx思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然3e=（3e）。xxxx（3e）解：∫3edx=∫（3edx）=+C.ln(3)e2★★(13)∫cotxdx22思路:应用三角恒等式“cotx=cscx−1”。22解：∫cotxdx=∫(cscx−1)dx=−cotxxC−+xx23⋅−⋅52★★(14)dx∫x3
课后答案网（http://www.khdaw.com）xx23⋅−⋅522x思路:被积函数=−25（），积分没困难。x332xxx()23⋅−⋅522x3解：dx=（25−（））dx=2x−5+C.∫x∫33ln2ln3−2x★★(15)∫cosdx2思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。2x1cos+x11解：∫cosd=∫dx=x+sinxC+.22221★★(16)∫dx1cos2+x思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。11121解：dx=dx=secxdx=tanxC+.∫∫2∫1cos2+x2cosx22cos2x★(17)∫dxcosx−sinx22思路:不难，关键知道“cos2x=cosx−sinx=(cosx+sin)(cosxx−sin)x”。cos2x解：∫dx=∫(cosx+sin)xdx=sinx−cosxC+.cosx−sinxcos2x★(18)dx∫22cosx⋅sinx22思路:同上题方法，应用“cos2x=cosx−sinx”，分项积分。22cos2xcosx−sinx11解：dx=dx=dx−x∫22∫22∫2∫2cosx⋅sinxcosx⋅sinxsinxcosx22=∫cscxdx−∫secxdx=−cotx−tanxC+.1−x1+x★★(19)∫(+)dx1+x1−x1−x1+x1−x1+x2思路:注意到被积函数+=+=，应用公式(5)即可。1+x1−x1−x21−x21−x21−x1+x1解：∫(+)dx=2∫dx=2arcsinxC+.1+x1−x1−x221cos+x★★(20)∫dx1cos2+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）221cos+x1cos+x121思路:注意到被积函数==secx+，则积分易得。21cos2+x2cosx2221cos+x121tanx+x解：∫dx=∫secxdx+∫dx=+C.1cos2+x222★2、设∫xfxdx()=arccosxC+，求fx()。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。d思路分析：直接利用不定积分的性质1：[∫fxdx()]=fx()即可。dx解：等式两边对x求导数得：11xfx()=−,∴fx()=−221−xx1−x★3、设fx()的导函数为sinx，求fx()的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，fx()=sinxdx=−cosxC+∫1所以fx()的原函数全体为：（−cosxCdx+）=−sinxCxC++。∫112x12xxxe★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数2chxhx-s知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。xe2xd12xdxdx2x解：∵=e，而[(e)]=[eshx]=[echx]=echx−shxdx2dxdx2★5、一曲线通过点(,3)e，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。d1解：设曲线方程为y=fx()，由题意可知：[()]fx=，∴fx()=ln||x+C；dxx22又点(,3)e在曲线上，适合方程，有3ln()=e+C,∴C=1，所以曲线的方程为fx()=ln||1.x+2★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3(/)tms，问：
课后答案网（http://www.khdaw.com）（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：y=ft()，d23则由速度和位移的关系可得：[()]ft=3t⇒ft()=t+C，dt3又因为物体是由静止开始运动的，∴f(0)=0,∴C=0,∴ft()=t。3(1)3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)=3=27米；33(2)令t=360⇒=t360秒。习题4-2★1、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。112314解：(1)dx=d(7x−3);(2)xdx=−d(1−x);(3)xdx=d(3x−2);72122x12xdx1dx1(4)edx=de();(5)=d(5ln||);(6)x=−d(35ln||);−x2x5x51dx1dx1(7)dt=2(dt);(8)=d(tan2);(9)x=d(arctan3).x22tcos2x219+x32、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！3t★（1）∫edt思路:凑微分。3t13t13t解：∫edt=∫edt(3)=e+C333★(2)∫(35)−xdx思路:凑微分。31314解：∫(35)−xdx=−∫(35)(35)−xd−x=−(35)−x+C5201★(3)∫dx32−x思路:凑微分。
课后答案网（http://www.khdaw.com）1111解：∫dx=−∫d(32)−x=−ln|32|−x+C.32−x232−x21★(4)∫dx353−x思路:凑微分。121111−1解：∫dx=−∫d(53)−x=−∫(53)−x3d(53)−x=−(53)−x3+C.353335332−x−xxb★(5)∫(sinaxedx−)思路:凑微分。xxx1x1解：∫(sinaxedx−b)=∫sinaxdax()−bed∫b()=−cosaxbe−b+Cabacost★★(6)∫dtt1思路:如果你能看到d(t)=dt，凑出d(t)易解。2tcost解：∫dt=2cos∫td(t)=2sint+Ct102★(7)∫tanxsecxdx思路:凑微分。10210111解：∫tanxsecxdx=∫tanxd(tan)x=tanxC+.11dx★★(8)∫xlnlnlnxx思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。dxd(ln||)xd(ln|ln|)x解：∫=∫=∫=ln|lnln|x+Cxlnlnlnxxlnlnlnxxlnlnx2xdx★★(9)∫tan1+x21+xxdx2思路:本题关键是能够看到是什么，是什么呢？就是d1+x！这有一定难度！21+x2xdx222解：∫tan1+x=∫tan1+xd1+x=−ln|cos1+x|+C21+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）dx★★(10)∫sincosxx思路:凑微分。解：方法一：倍角公式sin2x=2sincosxx。dx2dx∫=∫=∫csc2xdx2=ln|csc2x−cot2|x+Csincosxxsin2x方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。dxcosx121=dx=secxdx=dtanx=ln|tan|x+C∫∫2∫∫sincosxxsincosxxtanxtanx22方法三：三角公式sinx+cosx=1，然后凑微分。22dxsinx+cosxsinxcosxdcosxdsinx∫=∫dx=∫dx+∫dx=−∫+∫sincosxxsincosxxcosxsinxcosxsinx=−ln|cos|ln|sin|x+x+C=ln|tan|x+Cdx★★(11)∫x−xe+exxxdxedxdede思路:凑微分：===。x−x2x2xx2e+ee+11+e1()+exxdxedxdex解：===arctane+C∫x−x∫2x∫x2e+ee+11()+e2★(12)∫xcos(xdx)思路:凑微分。212212解：∫xcos(xdx)=∫cosxdx=sinx+C22xdx★★(13)∫223−x22xdx1dx1(23)d−x思路:由==−凑微分易解。23−x2223−x2623−x221xdx1d(23)−x12−2212解：∫2=−∫2=−∫(23)−xd(23)−x=−23−x+C23−x623−x632★★(14)∫cos(ωt)sin(ωtdt)思路:凑微分。21212解：∫cos(ωt)sin(ωtdt)=∫cos(ωt)sin(ωtdt)ω=−∫cos(ωtd)cos(ωt)ωω
课后答案网（http://www.khdaw.com）13=−cos(ωt)+C.3ω33x★★(15)dx∫41−x思路:凑微分。333x34x31431434解：dx=dx=dx=−d(1−x)=−ln|1−x|+C.∫4∫4∫4∫41−x41−x41−x41−x4sinx★(16)dx∫3cosx思路:凑微分。sinx111解：dx=−dcosx=+C.∫3∫32cosxcosx2cosx9x★★(17)∫dx202−x思路:经过两步凑微分即可。91010x111011x1x解：∫dx=∫dx=∫d=arcsin()+C2−x20102−x2010x10210221(−)21−x★★(18)∫dx294−x思路:分项后分别凑微分即可。1−x1x解：∫2dx=∫2dx−∫2dx94−x94−x94−x112x112=∫d−∫dx422x3894−x221−（）3112x112=∫d+∫d（94−x）22x3894−x221−（）312x12=arcsin()+94−x+C.234dx★★(19)∫22x−1思路:裂项分项后分别凑微分即可。dxdx111解：==(−)dx∫2∫∫2x−1(2x+1)(2x−1)22x−12x+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）111=∫(−)d2x222x−12x+1111112x−1=∫d(2x−1)−∫d(2x+1)=ln+C.222x−1222x+1222x+1xdx★(20)∫2(45)−x思路:分项后分别凑微分即可。xdx145−x−4111解：=−（）dx=（−4）d(45)−x∫2∫2∫2(45)−x5(45)−x2545−x(45)−x1141141=d(45)−x−d(45)−x=ln|45|−x++C.∫∫22545−x25(45)−x252545−x2xdx★(21)∫100(x−1)思路:分项后分别凑微分即可。222xdx(x−+11)dx(x−1)(x−1)1解：==(+2+)dx∫100∫100∫100100100(x−1)(x−1)(x−1)(x−1)(x−1)111=(+2+)(dx−1)∫9899100(x−1)(x−1)(x−1)111111=−−−+C.97989997(x−1)49(x−1)99(x−1)xdx★★(22)∫8x−1思路:裂项分项后分别凑微分即可。xdxxdx1111112解：==(−)xdx=(−)dx∫8∫44∫44∫44x−1(x−1)(x+1)2x−1x+14x−1x+111111211212=[(−)−]dx=[dx(−1)−dx(+1)]∫224∫2∫242x−1x+1x+18x−1x+121121x−112−dx=ln||−arctanx+C.∫2224(x)+18x+143★(23)∫cosxdx思路:凑微分。cosxdx=dsinx。3222解：∫cosxdx=∫cosx⋅cosxdx=∫cosxdsinx=∫(1sin−xd)sinx
课后答案网（http://www.khdaw.com）13=sinx−sinxC+32★★(24)∫cos(ωt+ϕ)dt思路:降幂后分项凑微分。21cos2(+ωt+ϕ)11解：∫cos(ωt+ϕ)dt=∫dt=∫dt+∫cos2(ωt+ϕ)2(dωt+ϕ)224ω11=t+sin2(ωt+ϕ)+C24ω★★★(25)∫sin2cos3xxdx思路:积化和差后分项凑微分。111解：∫sin2cos3xxdx=∫(sin5x−sin)xdx=∫sin5xdx5−∫sinxdx210211=−cos5x+cosxC+102★★★(26)∫sin5sin7xxdx思路:积化和差后分项凑微分。111解：∫sin5sin7xxdx=∫(cos2x−cos12)xdx=∫cos2xdx2−∫cos12xd(12)x242411=sin2x−sin12xC+.4243★★★(27)∫tanxsecxdx思路:凑微分tansecxxdx=dsecx。3222解：∫tanxsecxdx=∫tanx⋅tansecxxdx=∫tanxdsecx=∫(secx−1)secdx213=∫secxdsecx−∫dsecx=secx−secxC+3arccosx10★★(28)∫dx21−x1思路:凑微分dx=d(arccos)−x。21−xarccosxarccosx10arccosx10解：∫dx=−∫10darccosx=−+C.1−x2ln10dx★★(29)∫22(arcsin)x1−x1思路:凑微分dx=d(arcsin)x。21−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）dxdarcsinx1解：==−+C∫(arcsin)x21x2∫(arcsin)x2arcsinx−arctanx★★★★(30)∫dxx(1+x)arctanx2arctanx思路:凑微分dx=dx=2arctanxd(arctanx)。2x(1+x)1(+x)arctanx2arctanx解：∫dx=∫2dx=∫2arctanxd(arctanx)x(1+x)1(+x)2=(arctanx)+Clntanx★★★★(31)∫dxcossinxx2思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，lntanxlntanxlntanx2lntanxdx=dx=secxdx=dtanx2cossinxxcosxtanxtanxtanx12=lntanxd(lntan)x=d((lntan))x2lntanxlntanxlntanx解：dx=dx=dtanx=lntanxd(lntan)x∫∫2∫∫cossinxxcosxtanxtanx12=(lntan)x+C21ln+x★★★★(32)dx∫2(ln)xx思路:dx(ln)x=(1ln)+xdx1ln+x11解：dx=dx(ln)x=−+C∫2∫2(ln)xx(ln)xxxlnxdx★★★★(33)∫x1−e解：方法一：x思路:将被积函数的分子分母同时除以e，则凑微分易得。−xdxe1−x1−x−x=dx=−de()=−de(−1)=−ln|e−1|+C∫x∫−x∫−x∫−x1−ee−1e−1e−1方法二：思路:分项后凑微分
课后答案网（http://www.khdaw.com）xxxdx1−e+ee1x=dx=1dx+dx=−xd(1−e)∫x∫x∫∫x∫x1−e1−e1−e1−exx−x=−xln|1−e|+C=−xln(e|e−1|)+Cx−x−x=−x(lne−ln|e−1|)+C=−ln|e−1|+C方法三：x思路:将被积函数的分子分母同时乘以e，裂项后凑微分。xxdxedxde⎡11⎤xx1x===+de=lne−d(1−e)∫x∫xx∫xx∫⎢xx⎥∫x1−ee(1−e)e(1−e)⎣e1−e⎦1−ex−x=−xln|1−e|+C=−ln|e−1|+Cdx★★★★(34)∫6xx(+4)解：方法一:思路：分项后凑积分。665dx14dx1x+−4xdx1⎛1x⎞===⎜−⎟dx∫6∫6∫6∫6xx(+4)4xx(+4)4xx(+4)4⎝xx+4⎠611dx(+4)116=ln||x−=ln||x−ln|x+4|+C∫6424x+4424方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。11令x=，则dx=−dt。2tt66dxt11dt(4)1dt(4+1)∴=×−()dt=−=−∫(64)∫1224∫14624∫146xx+t+t+t+46t1614=−ln(14)+t+C=−ln(1+)+C.62424xdx★★★★(35)∫82x(1−x)解：方法一:思路：分项后凑积分。88224dx1−x+x(1−x)(1+x)(1+x)dx=dx=dx+∫82∫82∫82∫2x(1−x)x(1−x)x(1−x)1−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）2461+x+x+xdx=dx+∫8∫x(1−x)(1+x)11111=(+++)dx+dx∫8642∫2xxxx1−x111111−x=−−−−−ln+C7537x5x3xx21+x方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。11令x=，则dx=−dt。2tt88dxt1t6421∴=×−(dt)=−dt=−(t+t+t++1)dt∫8(12)∫12∫21∫21x−xtt−t−1−2t6421642111=−(t+t+t+1)dt−()dt=−(t+t+t+1)dt−(−)dt∫∫2∫∫t−12t−1t+11715131t−1111111111−x=−t−t−t−−tln||+C=−−−−−ln||+C757532t+17x5x33xx21+x3、求下列不定积分。知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。2222sinx+cosx=1;secx−tanx=1.为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。dx★★★(1)∫21+1−xπ思路:令x=sin,tt<，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。2π解：令x=sin,tt<，则dx=costdt。2dxcostdtdtdt2tt∴∫2=∫t=∫dt−∫t=−t∫t=−t∫secd1+1−x1cos+1cos+2222cos22tx1−1−x=−ttan+C=arcsinx−+C.（或=arcsinx−+C）21+1−x2xtsint1cos−t2（万能公式tan==，又sint=x时，cost=1−x）21cos+tsint
课后答案网（http://www.khdaw.com）2x−9★★★(2)∫dxxπ思路:令x=3sec,tt∈(0,)，三角换元。2π解：令x=3sec,tt∈(0,)，则dx=3sectanttdt。22x−93tant22∴∫dx=∫3sectanttdt=3tan∫tdt=3(sec∫t−1)dtx3sect23=3tant−3tC+=x−−93arccos+C.||x223x−9x−9（x=3secx时，cosx=,sinx=,tanx=）xx3dx★★★(3)∫23(x+1)π思路:令x=tan,tt<，三角换元。2π2解：令x=tan,tt<，则dx=sectdt。22dxsectdtdtx∴===costdt=sint+C=+C∫(x21)3∫sec3t∫sect∫1x2++dx★★★(4)∫223(x+a)π思路:令x=atan,tt<，三角换元。2π2解：令x=atan,tt<，则dx=asectdt。22dxasectdtdt11∴===costdt=sint+C∫(x2a23)∫a3sec3t∫a2secta2∫a2+x=+C.222aa+x2x+1★★★★(5)∫dx4xx+12π思路:先令u=x，进行第一次换元；然后令u=tan,tt<，进行第二次换元。222x+11x+122解：∵∫dx=∫dx，令u=x得：xx4+12x2x4+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）2x+11u+1π2∫dx=∫du，令u=tan,tt<，则du=sectdt，xx4+12uu2+122x+11u+11tant+121tant+1∴∫4dx=∫2du=∫sectdt=∫sectdtxx+12uu+12tansect⋅t2tant111=∫(csct+sec)tdt=lnsect+tant+lncsct−cott+C22224121u+111421x+−11=lnu++1u+ln−+C=lnx++1x+ln+C.222uu22x（与课本后答案不同）2★★★(6)∫54−x−xdx思路:三角换元，关键配方要正确。22π解：∵54−x−x=−9(x+2)，令x+2=3sin,tt<，则dx=3costdt。2221cos2+tt1∴∫54−xxdx−=∫9costdt=9∫dt=9(+sin2)t+C2249x+2x+22=arcsin+54−xx−+C.232"1★★4、求一个函数fx(),满足fx()=，且f(0)=1。1+x1思路:求出的不定积分，由条件f(0)=1确定出常数C的值即可。1+x11解：∵∫dx=∫dx(+1)21=+x+C.1+x1+x令fx()=21+x+C，又f(0)=1，可知C=−1，∴fx()21=+x−1.n1n−15★★★5、设I=tanxdx,，求证：I=tanxI−，并求tanxdx。n∫nn-2∫n−1nn−22思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx分开成tanxtanx，进而写成：n−22n−22n−2tanx(secx−1)=tanxsecx−tanx，分项积分即可。nn−22n−2n−22n−2证明：I=tanxdx=(tanxsecx−tanxdx)=tanxsecxdx−tanxdxn∫∫∫∫
课后答案网（http://www.khdaw.com）n−21n−1=tanxdtanxI−=tanxI−.∫n−2n−2n−15141412n=5时，I=tanxdx=tanxI−=tanx−tanxI+5∫3144214121412=tanx−tanx+∫tanxdx=tanx−tanx−lncosx+C.4242习题4-31、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。★（1）∫arcsinxdx00思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。1112解：∫arcsinxdx=xarcsinx−∫x2dx=xarcsinx+∫2d(1−x)1−x21−x2=xarcsinx+1−x+C.2★★（2）∫ln(1+xdx)思路：同上题。2222x22x解：ln(1+xdx)=xln(1+x)−xdx=xln(1+x)−dx∫∫2∫21+x1+x222(x+1)2−2dx=xln(1+x)−dx=xln(1+x)−2dx+2∫2∫∫21+x1+x2=xln(1+x)2−x+2arctanxC+.★（3）∫arctanxdx思路：同上题。2dx1d(1+x)解：arctanxdx=xarctanx−x=xarctanx−∫∫2∫21+x21+x12=xarctanx−ln(1+x)+C2−2xx★★(4)∫esindx2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
课后答案网（http://www.khdaw.com）−2xxx1−2x1−2xx1−2x1x解：∵∫esindx=∫sind(−e)=−esin+∫ecosdx222222221−2xx1x1−2x=−esin+∫cosd(−e)224221−2xx11−2xx1−2xx=−esin+(−ecos−∫esindx)22422421−2xx1−2xx1−2xx=−esin−ecos−∫esindx2282162−2x−2xx2exx∴∫esindx=−(4sin+cos)+C.217222★★(5)∫xarctanxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。32x13131解：xarctanxdx=arctanxd()=xarctanx−xdx∫∫∫23331+x3131x+−xx131x=xarctanx−dx=xarctanx−(x−)dx∫2∫2331+x331+x1311x1312112=xarctanx−xdx+dx=xarctanx−x+d(1+x)∫∫2∫23331+x3661+x131212=xarctanx−x+ln(1+x)+C.366x★(6)∫xcosdx2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。xxxxxxx解：∫xcosdx=2∫xdsin=2sinx−2sin∫dx=2sinx−4sin∫d2222222xx=2sinx+4cos+C.222★★(7)∫xtanxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。2222解：∫xtanxdx=∫x(secx−1)dx=∫(secxx−xdx)=∫xsecxdx−∫xxd1212=∫xd(tan)x−∫xdx=xtanx−∫tanxdx−x=xtanx+lncosx−x+C.222★★(8)∫lnxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。221221解：∫lnxdx=xlnx−∫x⋅2lnx⋅dx=xlnx−2ln∫xdx=xlnx−2lnxx+2∫x⋅dxxx
课后答案网（http://www.khdaw.com）22=xlnx−2lnxx+2∫dx=xlnx−2lnxx+2xC+.★★(9)∫xln(x−1)dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。22x121x解：∫xln(x−1)dx=∫ln(x−1)d=xln(x−1)−∫dx222x−12121x−+111211=xln(x−1)−∫dx=xln(x−1)−∫(x++1)dx22x−122x−1121211=xln(x−1)−x−x−ln(x−1)+C24222lnx★★(10)dx∫2x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。2lnx21121112lnx解：dx=lnxd(−)=−lnx+2lnx⋅dx=−lnx+2dx∫2∫∫∫2xxxxxxx12112211222=−lnx+2lnxd(−)=−lnx−lnx+2dx=−lnx−lnx−+C∫∫2xxxxxxxx12=−(lnx+lnx+2)+Cx★★(11)∫coslnxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。1解：∵∫coslnxdx=xcoslnx+∫xsinlnx⋅dx=xcoslnx+∫sinlnxdxx1=xcoslnx+xsinlnx−∫xcoslnx⋅dx=xcoslnx+xsinlnx−∫coslnxdxxx∴∫coslnxdx=(coslnx+sinln)x+C.2lnx★★(12)dx∫2x思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。n★★(13)∫xlnxdx(n≠−1)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。n+1nx1n+11n+11解：∫xlnxdx=∫lnxd=xlnx−∫x⋅dxn+1n+1n+1x
课后答案网（http://www.khdaw.com）1n+11n1n+1⎛1⎞=xlnx−∫xdx=x⎜lnx−⎟+C.n+1n+1n+1⎝(n+1)⎠2−x★★(14)∫xedx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。2−x2−x−x2−x−x−x解：∫xedx=−xe+∫e2xdx=−xe−2xe+2∫edx2−x−x−x−x2=−xe−2xe−2e+C=−e(x+2x+2)+C32★★(15)∫x(ln)xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。32214142141解：∫x(ln)xdx=∫(ln)xd(x)=x(ln)x−∫x⋅2lnx⋅dx444x1421314214=x(ln)x−∫xlnxdx=x(ln)x−∫lnxdx4248142141411421413=x(ln)x−xlnx+∫x⋅dx=x(ln)x−xlnx+∫xdx488x48814214141421=x(ln)x−xlnx+x+C=x(2lnx−lnx+)+C.483284lnlnx★★(16)∫dxxlnlnx思路：将积分表达式dx写成lnlnxd(ln)x，将lnx看作一个整体变量积分即可。xlnlnx111解：∫dx=∫lnlnxd(ln)x=lnlnlnxx−∫lnx⋅⋅dx=lnlnlnxx−∫dxxlnxxx=lnlnlnxx−lnxC+=ln(lnlnxx−1)+C.★★★(17)∫xsincosxxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。11111解：∫xsincosxxdx=∫xsin2xdx=∫xd(−cos2)x=−xcos2x+∫cos2xdx222441111=−xcos2x+∫cos2xdx2=−xcos2x+sin2xC+.484822x★★(18)∫xcosdx22x1cos+x思路：先将cos降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺22序凑微分即可。22x12121212解：∫xcosdx=∫(x+xcos)xdx=∫xdx+∫xcosxdx22222
课后答案网（http://www.khdaw.com）131213121=x+∫xdsinx=x+xsinx−∫2sinxxdx6262213121312=x+xsinx+∫xdcosx=x+xsinx+xcosx−∫cosxdx62621312=x+xsinx+xcosx−sinxC+622★★(19)∫(x−1)sin2xdx思路：分项后对第一个积分分部积分。22211解：∫(x−1)sin2xdx=∫xsin2xdx−∫sin2xdx=∫xd(−cos2)x+cos2x221211121=−xcos2x+∫2cos2xxdx+cos2x=−xcos2x+∫xdsin2x22222112111+cos2x=−xcos2x+xsin2x−∫sin2xdx+cos2x2222212111=−xcos2x+xsin2x+cos2x+cos2xC+2242121313x=−xcos2x+xsin2x+cos2xC+=−(sin2xx−)cos2x+sin2xC+.2242223x★★★(20)∫edx思路：首先换元，后分部积分。332解：令t=x，则x=tdx,=3tdt,3xt2t22t2tt∴∫edx=∫etdt3=3∫etdt=3∫tde=3te−32∫tedt2tt2ttt2ttt=3te−32∫tde=3te−6et+6∫edt=3te−6et+6e+C323x3x33x3x323=3xe−6ex+6e+C=3e(x−2x+2)+C.2★★★(21)∫(arcsin)xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。222arcsinx解：∫(arcsin)xdx=x(arcsin)x−∫x⋅dx21−x2arcsinx222=x(arcsin)x+∫d(1−x)=x(arcsin)x+2arcsin∫xd(1−x)21−x2221=x(arcsin)x+21−xarcsinx−2∫1−x⋅dx21−x2222=x(arcsin)x+21−xarcsinx−2∫dx=x(arcsin)x+21−xarcsinx−2xC+.
课后答案网（http://www.khdaw.com）x2★★★(22)∫esinxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：方法一：x22xx2x∫esinxdx=∫sinxde=esinx−∫e2sincosxxdxx2x=esinx−∫esin2xdxxxxxxx∵∫esin2xdx=∫sin2xde=esin2x−∫e2cos2xdx=esin2x−2cos2∫xdexxx=esin2x−2ecos2x−4∫esin2xdxxxe(sin2x−2cos2)x∴∫esin2xdx=+C5xx2e2∴∫esinxdx=(5sinx−sin2x+2cos2)x+C5方法二：x2x1cos2−x1x1x1x1x∫esinxdx=∫edx=∫edx−∫ecos2xdx=e−∫ecos2xdx22222xxxxxx∵∫ecos2xdx=∫cos2xde=ecos2x+∫e2sin2xdx=ecos2x+2sin2∫xdexxx=ecos2x+2esin2x−4∫ecos2xdxxxe(cos2x+2sin2)x∴∫ecos2xdx=+C5xx2e1x1x∴∫esinxdx=−esin2x−ecos2xC+2510ln(1+x)★★★(23)∫dxx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。ln(1+x)2x解：∫dx=∫ln(1+xd)(2x)=2xln(1+x)−∫dxx1+x令t=x，则dx=2tdt,22xt1∴dx=4dt=4dt−4dt=4t−4arctant−C∫∫2∫∫21+x1+t1+t=4x−4arctanx−Cln(1+x)所以原积分∫dx=2xln(1+x)4−x+4arctanx+C。xxln(1+e)★★★(24)dx∫xe
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。xxln(1+e)x−x−xx−xe解：dx=ln(1+ed)(−e)=−eln(1+e)+edx∫x∫∫xe1+e−x−xxe−xx1−x=−eln(1+e)+dx=−eln(1+e)−d(1+e)∫−x∫−x1+e1+e−xx−x=−eln(1+e)ln(1−+e)+C.1注：该题中dx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）。∫x1+e1+x★★★(25)∫xlndx1−x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。1+x1+x12121+x121−x1−++x1x解：xlndx=lnd(x)=xln−x⋅dx∫∫∫21−x1−x221−x21+x(1−x)2121+xx121+x1=xln−dx=xln+dx−dx∫2∫∫221−x1−x21−x1−x121+x111121+x1=xln+−x∫(+)dx=xln+−x[−ln(1−x)ln(1++x)]21−x21−x1+x21−x2121+x11+x121+x=xln+−xln+C=(x−1)ln++xC21−x21−x21−x1+x注：该题也可以化为∫xlndx=∫x[ln(1+x)ln(1−−xdx)]再利用分部积分法计算。1−x21+xx∫xlndx=∫x[ln(1+x)ln(1−−xdx)]=∫[ln(1+x)ln(1−−xd)]1−x22222x1+xx11x1+xx=ln−⋅[+]dx=ln−dx∫∫221−x21+x1−x21−x1−x222x1+x1−x−1x1+x111=ln+dx=ln+dx−[+]dx∫2∫∫21−x1−x21−x21+x1−x2x1+x11+x=ln+−xln+C21−x21−xdx★★★(26)∫sin2cosxx2dxdxsecxdxdtanx思路：将被积表达式写成==，然后分部积分即可。2sin2cosxx2sincosxx2sinx2sinx2dxdxsecxdxdtanx解：===∫∫2∫∫sin2cosxx2sincosxx2sinx2sinx
课后答案网（http://www.khdaw.com）tanx1tanx1=−∫tan(csccot)x−xxdx=+∫cscxdx2sinx22sinx21=(secx+lncscx−cot)x+C.22、用列表法求下列不定积分。知识点：仍是分部积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。3x★(1)∫xedx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。3x13x13x13x13x13x113x解：∫xedx=∫xd(e)=xe−∫edx=xe−∫edx3=(x−)e+C.3333933x★(2)∫(x+1)edx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。xxxxx解：∫(x+1)edx=∫(x+1)de=(x+1)e−∫edx=xe+C。2★(3)∫xcosxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。2222解：∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx−2∫xsinxdx=xsinx+2∫xdcosx22=xsinx+2cosxx−2cos∫xdx=xsinx+2cosxx−2sinxC+2−x★(4)∫(x+1)edx思路：分项后分部积分即可。2−x2−x−x2−x−x解：∫(x+1)edx=∫xedx+∫edx=∫xd(−e)+∫edx−x2−x−x−x2−x−x=−ex+2∫xedx+∫edx=−ex+2∫xd(−e)+∫edx−x2−x−x−x−x2−x−x=−ex−2xe+2∫edx+∫edx=−ex−2xe+3∫edx−x2=−e(x+2x+3)+C.★(5)∫xln(x+1)dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。212121x解：∫xln(x+1)dx=∫ln(x+1)(dx)=xln(x+1)-∫dx222x+11211121211=xln(x+1)−∫(x−+1)dx=xln(x+1)−x+x−ln(x+1)+C.22x+12422
课后答案网（http://www.khdaw.com）−x★(6)∫ecosxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。−x−x−x−x解：∵∫ecosxdx=∫cosxd(−e)=−ecosx−∫esinxdx−x−x−x−x−x=−ecosx−∫sinxd(−e)=−ecosxe+sinx−∫ecosxdx−x−xe∴∫ecosxdx=(sinx−cos)x+C.2sinx★3、已知是fx()的原函数，求∫xfxdx′()。x知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。sinx思路分析：积分∫xfxdx′()中出现了fx′()，应马上知道积分应使用分部积分，条件告诉你xsinx是fx()的原函数，应该知道∫fxdx()=+C.x解：∵∫xfxdx′()=∫xd(fx())=xfx()−∫fxdx()sinxxcosx−sinxxcosx−sinx又∵fxdx()=+C,∴fx()=,∴xfx()=;∫2xxxxcosx−sinxsinx2∴∫xfxdx′()=−+C=cosx−sinx+Cxxxxe★★4、已知fx()=，求∫xf′′()xdx。x知识点：仍然是分部积分法的练习。思路分析：积分∫xf′′()xdx中出现了f′′(x)，应马上知道积分应使用分部积分。解：∵∫xf′′()xdx=∫xdfx(())′=xfx′()−∫fxdxxfx′()=′()−fx()+C.xxxxxexe−eex(−1)ex(−1)又∵fx()=,∴fx′()==,∴xfx′()=;22xxxxxxxex(−1)eex(−2)∴∫xf′′()xdx=−+C=+C.xxxdx1cosxn−2★★★★5、设I=，(n≥2)；证明：I=−⋅+I。n∫nnn−1n−2sinxn−1sinxn−1知识点：仍然是分部积分法的练习。cosx思路分析：要证明的目标表达式中出现了I，和I提示我们如何在被积函数的表达式nn−1n−2sinx1cosx1中变出和呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的nn−1n−2sinxsinxsinx22介绍，这里1可变为sinx+cosx。
课后答案网（http://www.khdaw.com）22证明：∵1=sinx+cosx22222dxsinx+cosxcosxsinxcosx1∴I==dx=dx+dx=dx+dxn∫n∫n∫n∫n∫n∫n−2sinxsinxsinxsinxsinxsinx2cosxcosx=dxI+=dsinxI+∫nn−2∫nn−2sinxsinxnn−12cosx−sinx⋅sinxn−sinxcosx=sinx−sinx⋅dxI+n∫2nn−2sinxsinx22cosxcosxcosx1sin−x=+I+ndxI+=+I+ndxI+n-1n−2∫nn−2n−1n−2∫nn−2sinxsinxsinxsinxcosxcosx=+I+nI−nI+I=+nI−(n−2)In−1n−2nn−2n−2n−1nn−2sinxsinx1cosxn−2∴I=−⋅+Inn−1n−2.n−1sinxn−1-1★★★★6、设fx()为单调连续函数，f()x为其反函数，且∫fxdx()=Fx()+C，−1求：∫f()dxx。知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。−1思路分析：要明白x=ff(())x这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。-1-1-1解：∵∫f()d=xxxf()-x∫xd(f())x−1又∵x=ff(())x−1−1−1−1−1−1∴∫f()xdxf=()x−∫xdf(())x=f()x−∫ff(())(xdf())x又∵∫fxdx()=Fx()+C−1−1−1−1−1−1∴∫f()xdxf=()x−∫ff(())(xdf())x=f()x−Ff(())x+C.习题4-41、求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习。思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。3x★(1)∫dxx+3思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。33xx+2727−227解：∵==x−3x+−9x+3x+3x+3
课后答案网（http://www.khdaw.com）3x227227∴∫dx=∫(x−3x+−9)dx=∫(x−3x+9)dx−∫dxx+3x+3x+31332=x−x+9x−27lnx+3+C.3254x+x−8★★★(2)dx∫3x−x思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。545342322x+x−8(x−x)(+x−x)(+x−x)+x+−x82x+−x8解：∵==x+++x1,333x−xx−xx−x3而x−x=xx(+1)(x−1),2x+−x8ABC令=++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：3x−xxx+1x−1⎧ABC++=1⎧A=8⎪⎪⎨C−B=1解此方程组得：⎨B=−4⎪⎪⎩A=8⎩C=−354x+x−82843∴=x+++x1−−3x−xxx+1x−154x+x−82843∴dx=(x+++x1−−)dx∫3∫x−xxx+1x−11312=x+x++x8lnx−4lnx+−13lnx−+1C323★★★(3)dx∫3x+1思路：将被积函数裂项后分项积分。323ABxC+解：∵x+=1(x+1)(x−+x1)，令=+等式右边通分后比较两边分子32x+1x+1x−+x1x的同次项的系数得：⎧A+B=0⎧A=1⎪⎪⎨B+C-A=0解此方程组得：⎨B=−1⎪⎪⎩A+C=3⎩C=213(2x−1)−31−+x2122∴=+=−32x+1x+1x−+x1x+11322(x−)+()22
课后答案网（http://www.khdaw.com）1(2x−1)1231=−+x+1123213(x−)+(x−)2+()224221(2x−1)31231∴dx=dx−dx+dx∫31∫1∫132∫13x+x+2(x−)+(x−)2+()224221x−1112312=lnx+−1∫dx((−)+)+3∫d()21232413(x−)+x−24(2)2+1232122x−1=lnx+−1ln(x−+x1)+3arctan()+C.23x+1★★★(4)dx∫3(x−1)思路：将被积函数裂项后分项积分。x+1ABC解：令=++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数323(x−1)x−1(x−1)(x−1)得：A=0,B−2A=1,ABC−+=1，解此方程组得：A=0,B=1,C=2。x+112∴=+323(x−1)(x−1)(x−1)x+11211x∴dx=dx+dx=−−+C=−+C∫3∫2∫322(x−1)(x−1)(x−1)x−1(x−1)(x−1)3x+2★★★(5)dx∫3xx(+1)思路：将被积函数裂项后分项积分。3x+2322ABCD解：∵=+，令=+++333323xx(+1)(x+1)xx(+1)xx(+1)xx+1(x+1)(x+1)等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：
课后答案网（http://www.khdaw.com）⎧A+B=0⎧A=2⎪⎪⎪3A+2BC+=0⎪B=−2⎨解此方程组得：⎨。⎪3A+BC++D=0⎪C=−2⎪⎩A=2⎪⎩D=−222222∴=−−−323xx(+1)xx+1(x+1)(x+1)3x+2322221222∴=+−−−=+−−332332xx(+1)(x+1)xx+1(x+1)(x+1)(x+1)xx+1(x+1)3x+21222∴dx=dx−dx−dx+dx∫3∫3∫2∫∫xx(+1)(x+1)(x+1)x+1x112=−+−2lnx++12lnx+C22(x+1)x+1x4x+3=2ln++C.2x+12(x+1)xdx★★★(6)∫2(x+2)(x+3)思路：将被积函数裂项后分项积分。xx+−22x+22解：∵==−2222(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)122ABC=−；令=++，等式右边通2222(x+3)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)x+2x+3(x+3)分后比较两边分子x的同次项的系数得：⎧A+B=0⎧A=2⎪⎪2222⎨6A+5BC+=0解此方程组得：⎨B=−2∴=−−22⎪⎪(x+2)(x+3)x+2x+3(x+3)⎩9A+6B+2C=2⎩C=−2x1222322∴=−(−−)=−+2222(x+2)(x+3)(x+3)x+2x+3(x+3)(x+3)x+2x+3xdx322∴=dx−dx+dx∫2∫2∫∫(x+2)(x+3)(x+3)x+2x+323⎛x+3⎞3=−−2lnx+2+2lnx++3C=ln⎜⎟−+C.x+3⎝x+2⎠x+33x★★★(7)dx∫3x−1思路：将被积函数裂项后分项积分。3x3(x−1)3+33解：∵==+3323x−1x−1x++x1x−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）3ABxC+令=+，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：32x−1x−1x++x1⎧AB+=0⎧A=1⎪⎪⎨ABC−+=0解此方程组得：⎨B=−1⎪⎪⎩AC−=3⎩C=−231−−x21x+2∴=+=−322x−1x−1x++x1x−1x++x1131313(2x+1)+(2x+1)(2x+1)x+2222222而==+=+222222x++x1x++x1x++x1x++x1x++x1x++x133x211(2x+1)∴dx=dx+dx−dx∫3∫2∫∫2x−1x++x1x−12x++x11x+12112=3d()ln+x−−1dx(++x1)∫132∫21x++xx+(2)2+12322x+112=3arctan+lnx−−1ln(x++x1)+C322x+1x−1=3arctan+ln+C321x++x21−−xx★★★(8)dx∫22(x+1)思路：将被积函数裂项后分项积分。21−−xx1x2解：∵=−−+2222222(x+1)x+1(x+1)(x+1)21−−xx1xdx∴dx=−dx−dx+2∫22∫2∫22∫22(x+1)x+1(x+1)(x+1)1112dx=−dx−dx(+1)+2∫2∫22∫22x+12(x+1)(x+1)dxx1又由分部积分法可知：2=+dx∫222∫2(x+1)x+1x+121−−xxx1112x+1∴dx=++C=()+C∫22222(x+1)x+12x+12x+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）xdx★★★(9)∫(x+1)(x+2)(x+3)思路：将被积函数裂项后分项积分。xx+−3313解：∵==−(x+1)(x+2)(x+3)(x+1)(x+2)(x+3)(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+3)3ABC令=++，(x+1)(x+2)(x+3)x+1x+2x+3等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：⎧3⎧ABC++=0⎪A=332⎪⎪3232⎨5A+4B+3C=0解之得：⎨B=−3∴=−+⎪⎪(x+1)(x+2)(x+3)x+1x+2x+3⎩6A+3B+2C=33⎪C=⎩2111而=−(x+1)(x+2)x+1x+23x1122∴=−+−(x+1)(x+2)(x+3)2x+1x+2x+3xdx11dx3dx∴∫=−∫dx+2∫−∫(x+1)(x+2)(x+3)2x+1x+22x+313=−lnx++12lnx+2−lnx+3+C.222x+1★★★(10)dx∫2(x+1)(x−1)思路：将被积函数裂项后分项积分。22x+1x−+1212解：∵==+222(x+1)(x−1)(x+1)(x−1)x+1(x+1)(x−1)2ABC令=++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：22(x+1)(x−1)x−1x+1(x+1)11AB+=0,2AC+=0,ABC−−=2；解之得：A=,B=−,C=−1。22112221∴=−−22(x+1)(x−1)x−1x+1(x+1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）112x+1221∴=+−22(x+1)(x−1)x−1x+1(x+1)2x+11dx1dx1∴dx=+−dx∫2∫∫∫2(x+1)(x−1)2x−12x+1(x+1)111121=lnx−+1lnx++1+C=lnx−+1+C.22x+12x+11★★★(11)dx∫2xx(+1)思路：将被积函数裂项后分项积分。1ABxC+解：令=+，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：22xx(+1)xx+1⎧AB+=0⎧A=1⎪⎪11x⎨C=0解之得：⎨B=−1∴=−22⎪⎪xx(+1)xx+1⎩A=1⎩C=011x112∴dx=dx−dx=lnx−dx(+1)∫2∫∫2∫2xx(+1)xx+12x+11x2=lnx−ln(x+1)+C=ln+C.2x2+1dx★★★(12)∫22(x+xx)(+1)思路：将被积函数裂项后分项积分。11解：∵=222(x+xx)(+1)xx(+1)(x+1)1ABCx+D令=++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：222(x+xx)(+1)xx+1x+1ABC++=0,AC++D=0,ABD++=0,A=1，解之得：111A=1,B=−,C=−,D=−.222
课后答案网（http://www.khdaw.com）11111x+1∴=−⋅−⋅222(x+xx)(+1)x2x+12x+111111x11∴=−⋅−⋅−⋅2222(x+xx)(+1)x2x+12x+12x+1dx1111x1dx∴=dx−dx−dx−∫22∫∫∫2∫2(x+xx)(+1)x2x+12x+12x+111121=lnx−lnx+−1dx(+1)−arctanx∫224x+121121=lnx−lnx+−1ln(x+1)−arctanxC+.242dx★★★★★(13)∫4x+1思路：将被积函数裂项后分项积分。422解：∵x+=1(x+−12)(xx++12)x1Ax+BCx+D令=+，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：422x+1x+−12xx++12x⎧2⎪A=−⎪4⎧AC+=0⎪1⎪B=⎪2A+B−2C+D=0⎪⎪2⎨解之得：⎨⎪A+2BC+−2D=0⎪2C=⎪⎩B+D=1⎪4⎪⎪=1D⎪⎩2112x−212x+22(2x−2)−22(2x+2)+2∴=−+=−+422x+14x+−12x4x++12x82182122(x−)+(x+)+22222(2x+2)(2x−2)111=[−]+[+]82121421212222(x+)+(x−)+(x+)+(x−)+22222222dx2(2x+2)(2x−2)111∴=[−]dx+[+]dx∫4∫∫x+182212214221221(x+)+(x−)+(x+)+(x−)+22222222
课后答案网（http://www.khdaw.com）2(2x+2)(2x−2)111=8[∫212dx−∫212dx]+4[∫21dx+∫21dx]x++xx+−x22(x+)+(x−)+222221212=[∫2dx(++12)x−∫2dx(+−12)]x8x++12xx+−12x211+[∫2d(2x+1)+∫2d(2x−1)]4(2x+1)+1(2x−1)+122x+2x+12=ln+[arctan(2x+1)arctan(2+x−1)]+C28x−2x+1422x−2x+122x=−ln+(arctan)+C.228x+2x+141−x2x注：由导数的性质可证arctan(2x+1)arctan(2+x−1)=arctan21−x本题的另一种解法：2211x+1x−1∵=[−]444x+12x+1x+111221+1−dx1x+1x−11x2x2∴=[dx−dx]=[dx−dx]∫412∫41∫412∫1∫1x+x+x+22x+x+22xx11111=[∫dx(−)−∫dx(+)]221x21xx+x+22xx11111=[∫dx(−)−∫dx(+)]212x12x(x−)+2(x+)−2xx1x−21x2111=∫d()−[(∫−)(dx+)]412811xx−(x+)−2(x+)+2x2xx()+12
课后答案网（http://www.khdaw.com）221x−1211=d()−[dx(+−2)4∫2128∫1x−2xx1(+)x+−22xx12x+−2112x−12x−∫dx(++2)]=arctan−ln+C1x42x81x++2x++2xx222x−12x−2x+1=arctan−ln+C428221xx+x+22x+2x+122x=ln+(arctan)+C.228x−2x+141−x2x−1π2x注：由导数的性质可证arctan=+arctan。22x21−x2−x−2★★★★★(14)dx∫22(x++x1)思路：将被积函数裂项后分项积分。22−x−2x++−+x1x1解：∵=−2222(x++x1)(x++x1)112x+131=−+−22222x++x12(x++x1)2(x++x1)2−x−2dx12x+131∴dx=−+dx−dx∫22∫2∫22∫22(x++x1)x++x12(x++x1)2(x++x1)dx11231=−+dx(++x1)−dx∫132∫(21)22∫(21)22x++xx++x(x+)+24dx11231=−+dx(++x1)−dx∫∫22∫22132(x++x1)2(x++x1)22(x+)+()222x+1d()23311231=−+dx(++x1)−dx3∫2x+1∫22∫2222(x++x1)2(x++x1)()+13232x+11131=−arctan()−−dx2∫22332x++x12(x++x1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）3112x+1dx又∵dx=+∫222∫22(x++x1)2x++x1x++x112x+1232x+1=+arctan()+C22x++x1332−x−2432x+1x+1∴dx=−arctan()−+C.∫222(x++x1)33x++x1注：本题再推到过程中用到如下性质：（本性质可由分部积分法导出。）dx若记I=，其中n为正整数，a≠0，则必有：n∫22n(x+a)1xI=[+(2n−3)I]。n222n−1n−12an(−1)(x+a)2、求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。dx★★(1)∫23sin+x22思路：分子分母同除以sinx变为cscx后凑微分。32d(cot)xdxcscxdxdcotx32解：==−=−∫2∫2∫2∫3sin+x3cscx+13cotx+4632(cot)x+123332=−arctan(cot)x+C=arctan(tan)x+C.6263dx★★(2)∫3cos+x思路：万能代换！2x1−t2dt解：令t=tan，则cosx=,dx=;2221+t1+t2dtdx1+t2dt1t∴===arctan+C∫∫2∫23cos+x1−t2+t223+21+tdx11x∴∫=arctan(tan)+C.3cos+x222注：另一种解法是：
课后答案网（http://www.khdaw.com）2xsecdxdx1dx12∫x=∫x=∫x=∫xdx3cos+2222232cos+−11cos+sec+12221x1x11x∫dtan=∫dtan=arctan(tan)+C.2x2x222222tan+2(tan)+(2)22dx★★(3)∫2sin+x思路：万能代换！x2t2dt解：令t=tan，则sinx=,dx=;2221+t1+t2dt2t+1d()dx1+t2dtdt23∴====∫2sin+x∫2t∫t2++t1∫133∫2t+1222+(t+)+1(+)21+t24322t+1=arctan()+C33x2tan+1dx22∴∫=arctan()+C.2sin+x33dx★★(4)∫1tan+x思路：利用变换t=tanx！（万能代换也可，但较繁！）dt解：令t=tanx，则x=arctan,tdx=;21+tdtdx1+t2dt∴==∫∫∫21tan+x1+t(1+t)(1+t)111t−111t1∵=(−)=(−+)2222(1+t)(1+t)21+t1+t21+t1+t1+tdt11t1∴=(dt−dt+dt)∫2∫∫2∫2(1+t)(1+t)21+t1+t1+t112=[ln1+−tln(1+t)arctan]+t+C22dx112∴∫=[ln1tan+x−ln(1tan+x)+x]+C.1tan+x22dx★★(5)∫1sin+x+cosx思路：万能代换！
课后答案网（http://www.khdaw.com）2x2t1−t2dt解：令t=tan，则sinx=,cosx=,dx=;22221+t1+t1+t2dt1+t2dtx∴==ln1++tC=ln1tan++C∫2∫2t1−t1+t21++221+t1+tdx★★(6)∫52sin+x−cosx思路：万能代换！2x2t1−t2dt解：令t=tan，则sinx=,cosx=,dx=;22221+t1+t1+t2dtdx1+t2dt∴==∫∫2∫252sin+x−cosx2t1−t3t+2t+252+−221+t1+t3t+1d()dt1dt1513t+1而===arctan()+C∫3t2+2t+23∫155∫3t+155(+)2+()2()2+1t335x3tan+1dx12∴∫=arctan()+C.52sin+x−cosx55dx★★★★(7)∫(54sin)cos+xx思路一：万能代换！2x2t1−t2dt解：令t=tan，则sinx=,cosx=,dx=;22221+t1+t1+t2dtdx1+t22(1+tdt2)∴==222(54sin)cos+xx2t1−t(5t+8t+5)(1−t)(54+)221+t1+t24=−(+)dt2225t+8t+5(5t+8t+5)(t−1)44而=，222(5t+8t+5)(t−1)(5t+8t+5)(t−1)(t+1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）4At+BCD令=++，等式右边通分后比较两边分子t的同22(5t+8t+5)(t−1)(t+1)5t+8t+5t−1t+1次项的系数得：⎧A+5C+5D=0⎧5⎧1⎪⎪B+13C+3D=0⎪⎪A=⎪⎪C=216⎨解之得：⎨,⎨;⎪−+A13C−3D=0⎪B=7⎪D=−9⎪⎩B+5C−5D=4⎪⎩8⎪⎩164120t+71191∴=⋅+⋅−⋅22(5t+8t+5)(t−1)(t+1)85t+8t+516t−116t+11191110t+891=⋅−⋅+⋅−⋅2216t−116t+145t+8t+585t+8t+5dx1191110t+871∴=−(⋅+⋅−⋅−⋅)dt22(54sin)cos+xx16t−116t+145t+8t+585t+8t+5dx1191110t+871∴=−dt+dt−dt−dt∫∫∫∫2∫2(54sin)cos+xx16t−116t+145t+8t+585t+8t+5191275t+4=−lnt−1+lnt+−1ln(5t+8t+5)−arctan()+C16164243x5tan+41x9x12xx72=−lntan−+1lntan+−1ln(5tan+8tan+5)−arctan()+C162162422243思路二：利用代换t=sinx！πdt2解：令t=sinxx，<，则dx=,cosx=1−t21−t2dtdx1−t2dtdt∴===−∫(54sin)cos+xx∫(54)1+t−t2∫(54)(1+t−t2)∫(54)(+tt2−1)11∵=2(54)(+tt−1)(54)(+tt−1)(t+1)1ABC令=++，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得：2(54)(+tt−1)54+tt−1t+1⎧16A=⎪9⎧A+4B+4C=0⎪⎪⎪111611111⎨9BC+=0解之得:⎨B=∴=⋅+⋅−⋅2⎪⎪18(54)(+tt−1)954+t18t−12t+1⎩−+A5B−5C=1⎪1⎪C=−⎩2
课后答案网（http://www.khdaw.com）dt1611111∴=dt+dt−dt∫2∫∫∫(54)(+tt−1)954+t18t−12t+1411=ln54+t+ln1−−tln1+−tC9182dx411∴∫=−ln54sin+x−ln1sin−x+ln1sin+x+C.(54sin)cos+xx9182注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！1sin+x★★★★(8)∫dx(1cos)sin+xx思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换t=cosx和万能代换！1sin+x11解：∵=+(1cos)sin+xx(1cos)sin+xx1cos+x1sin+x11∴∫dx=∫dx+∫dx(1cos)sin+xx(1cos)sin+xx1cos+x1dt2对积分∫dx，令t=cos,xx∈(0,)π，则dx=−,sinx=1−t;(1cos)sin+xx1−t2dt−11t2dtdt−∴dx===∫(1cos)sin+xx∫(1+t)1−t2∫(1+tt)(2−1)∫(1+t)(2t−1)1ABC令=++，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得：22(1+t)(t−1)t−11+t(1+t)⎧1A=⎪4⎧AB+=0⎪⎪⎪11111111⎨2AC+=0解之得：⎨B=−∴=⋅−⋅−⋅22⎪⎪4(1+t)(t−1)4t−141+t2(1+t)⎩ABC−−=1⎪1C=−⎪⎩21111111∴dt=dt−dt−dt∫2∫∫∫2(1+t)(t−1)4t−141+t2(1+t)1111=lnt−−1lnt++1⋅+C14421+t11111∴dx=ln1cos−x−ln1cos+x+⋅+C;∫1(1cos)sin+xx4421cos+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）21x1−t2dt对积分dx，令t=tan,oscx=,dx=∫221cos+x21+t1+t2dt2dt11+t21+t2x∴dx===dt=+tC=tan+C;∫∫2∫2∫221cos+x1−t1−t21+1+221+t1+t1sin+x1111x∴dx=ln1cos−x−ln1cos+x+⋅+tan+C∫3(1cos)sin+xx4421cos+x21x12xx=lntan+tan+tan+C.22422dx★★(9)∫31+x+13思路：变无理式为有理式，变量替换t=1+x。332解：令t=1+x，则1+=xtdx,=3tdt;22dx3tdttdt132∴∫3=∫=3∫=3(∫t−1)dt+3∫dt=t−3t+3lnt++1C1+x+11+t1+t1+t233233=(1+x)−31++x3ln1+++x1C.231(+x)★★(10)∫dx1+x思路：变无理式为有理式，变量替换t=x。2解：令t=xx，=tdx,=2tdt;331(+x)1()+t232∴∫dx=∫2tdt=2(∫t−+t1)tdt=2(∫t−t+tdt)1+x1+t3142321222=t−t+t+C=x−x++xC.2323x+−11★★(11)∫dx1+x+1思路：变无理式为有理式，变量替换t=x+1。2解：令t=x+1，则x+=1tdx,=2tdt;
课后答案网（http://www.khdaw.com）22x+−11t−1t−tt−t2∴∫dx=∫2tdt=2∫dt=2∫dt=2(∫t−+2)dt1+x+11+t1+t1+t1+t12=2∫tdt−4∫dt+4∫dt=t−4t+4lnt++1C=−x4x++14ln(x++11)+C1+tdx★★★(12)∫4x+x8思路：变无理式为有理式，变量替换t=x。887解：令t=xx,=tdx,=8tdt;75533dx8ttt+t−t−+tt3t∴=dt=8dt=8dt=8(t−+t)dt∫4∫24∫2∫2∫2x+xt+t1+t1+t1+t42244=2t−4t+4ln(1+t)+C=2x−4x+4ln(1+x)+C3xdx★★★(13)∫21+x思路：变无理式为有理式，三角换元。π2解：令x=tan,tt<,则dx=sectdt.233xdxtant2322∴∫2=∫sectdt=∫tantsectdt=∫tantdsect=∫(sect−1)secdt1+xsect131322=sect−sectC+=1+x−1+x+C.33a+x★★★(14)∫dxa−xa+xa+x思路：将被积函数变形为后，三角换元。a−xa2−x2π解：令x=asin,tt<;则dx=acostdt；2a+xa+xa+asint∴∫dx=∫dx=∫acostdt=a∫(1sin)+tdta−xa2−x2acostx22=at−acost+C=aarcsin−a−x+C.a注：另一种解法，分项后凑微分。a+xa+xax∫dx=∫22dx=∫22dx+∫22dxax−a−xa−xa−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）a1122x22=∫dx−∫da(−x)=aarcsin−a−x+Cx2a2−x2a2a1()−adx★★★(15)∫324(x+1)(x−1)思路：换元。x+1−2解：令=t，则dx=dt.2x−1(x−1)21dxdx111−3∴∫=∫=∫(−)dt=−∫tdt3=−t3+C3(x+1)(2x−1)4x+13t2222223()(x−1)x−13x+1=−3+C.2x−1总习题四−2x★1、设fx()的一个原函数是e，则fx()=().−2x−2x−2x−2x(A)e(B)-2e(C)-4e(D)4e知识点：原函数的定义考察。思路分析：略。解：(B)。dx★2、设∫xfxdx()=arcsinxC+，则∫=。fx()知识点：原函数的定义性质考察。思路分析：对条件两边求导数后解出fx()后代入到要求的表达式中，积分即可。解：对式子∫xfxdx()=arcsinxC+两边求导数得：1112xfx()=,∴fx()=,∴=x1−x;1−x2x1−x2fx()dx2122122123∴∫=∫x1−xdx=∫1−xdx=−∫1−xd(1−x)=−(1−x)+Cfx()22322x★★3、设fx(−1)=ln，且f(())ϕx=lnx，求ϕ()xdx。2∫x−2知识点：函数的定义考察。思路分析：求出fx()后解得ϕ()x，积分即可。
课后答案网（http://www.khdaw.com）222xx−+11t+1ϕ()1x+解：∵fx(−1)=ln=ln,∴ft()=ln,∴f(())ϕx=ln,22x−2x−−11t−1ϕ()1x−ϕ()1x+x+1又∵f(())ϕx=ln,x∴=x,∴ϕ()x=;ϕ()1x−x−1x+12∴∫ϕ()xdx=∫dx=∫(1+)dx=x+2lnx−+1Cx−1x−12★★★4、设F()x为fx()的原函数，当x>0时，有fx()F()x=sin2x，且F(0)1=，Fx()≥0试求fx()。知识点：原函数的定义性质考察。思路分析：注意到dFx()=fxdx()，先求出Fx()，再求fx()即可。22解：∵fxFx()()=sin2x；∴∫fxFxdx()()=∫sin2xdx2122即∫FxdFx()()=∫sin2xdx,∴(())Fx=∫sin2xdx,2221∴(())Fx=2sin2∫xdx=∫(1cos4)−xdx=−xsin4xC+;421又F(0)=∴1,C=∴1;(())Fx=x−sin4x+1;(x>0.)41又Fx()>0,∴Fx()=x−sin4x+1,422sin2x又fxFx()()=sin2,x∴fx()=。1x−sin4x+145、求下列不定积分。知识点：求不定积分的综合考察。思路分析：具体问题具体分析。★★(1)∫x25−xdx思路：变无理式为有理式，变量替换t=25−x。22−t2t解：令t=25−x，则x=,dx=−dt,5522−t2t22422315∴∫x25−xdx=∫t⋅−(dt)=−∫(2t−tdt)=−(t−t)+C55252535432530x+83=−(25)−x+(25)−x+C=−(25)−x+C.75125375
课后答案网（http://www.khdaw.com）dx★(2)∫(x>1)2xx−1思路：变无理式为有理式，变量替换x=sect。π解：令x=sec,0t<0)∫66a−x思路：凑微分。2x1131133解：∵dx=dx=dx,令t=x,∫66∫66∫632a−x3a−x3a−(x)23x111111ta−∴dx=dt=−(−)dt=−ln+C∫66∫3223∫3333a−x3()a−t6ata−ta+6ata+33331x−a1x+a=−ln+C=ln+C.3333336ax+a6ax−a
课后答案网（http://www.khdaw.com）dx★★(5)∫x(1+x)思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。dxdx解：方法一：∵∫=∫x(1+x)1212(x+)−()2211π1令x+=sec,0t<1)，求证：I=tanx−I，，并求tanxdx。n∫nn−2∫n−1知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。nn−22思路分析：由要证明的目标式子可知，应将tanx分解成tanxtanx，进而写成n−22tanx(secx−1)，分部积分后即可得到I。n−2nn−22n−22证明：I=tanxdx=tanxtanxdx=tanx(secx−1)dxn∫∫∫n−2n−21n−1=tanxdtanx−tanxdx=tanx−I。∫∫n−2n−15141412∴tanxdx=I=tanx−I=tanx−(tanx−I)∫53144214121412=tanx−tanx+∫tanxdx=tanx−tanx−lncosx+C42421+x★★★8、∫dx=().B1−x思路：化无理式为有理式，三交换元。1+x1+xπ解：∵=，令x=sin,tt<，则dx=costdt。1−x1−x221+x1+x1sin+t∴∫dx=∫dx=∫costdt=∫(1sin)+tdt=−tcost+C1−x1−x2cost2=arcsinx−1−x+C.1+xx★★★9、设不定积分I=dx，若u=xe，则有()D。1∫xx(1+xe)xx思路：uxe=，提示我们将被积函数的分子分母同乘以e后再积分。x1+xe(1+x)解：∵I=dx=dx1∫x∫xxx(1+xe)ex(1+xe)xxx又∵du=(e+xedx)=e(1+xdx);du∴I==I,选()D。1∫2u(1+u)
课后答案网（http://www.khdaw.com）10、求下列不定积分:知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式。dx★★★★(1)、∫.4x1+x思路：先进行倒代换，在进行三角换元。11解：令x=，则dx=−dt。2tt2dxt1t1dt∴=(−dt)=−dt=−∫x1x4∫1t2∫1t42∫1t4+++1+4t2π22令t=tan,0u0，若小于零，不影响最后结果的形式。也就是：不论正负，x-1结果都一样。）t−1d()dxt1dt2∴=(−dt)=−=−∫(x−1)x2−2∫1t2∫2(−t−1)2∫t−122(+1)−21(−)t21−1t−1x−12−x=−arcsin+C=−arcsin+C=−arcsin+C.222(-1)xdx★★★(9)、∫324(x+1)(x−1)解答详见习题4-4第2题的（15）题。xdx★★★★★(10)、∫2231+x+(1+x)
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路:“一路”换元。22xdx1dx1d(1+x)解：∵∫=∫=∫223222322231+x+(1+x)1+x+(1+x)1+x+(1+x)2令t=+1x，则xdx1dt1dt1dtdt∫=∫=∫=∫=∫+x2++x232t+t32t+tt2t1+t1+t1(1)令u=t，则xdxdud(1+u)2∫=∫=∫=21++uC=21+1+x+C.1+x2+(1+x23)1+u1+u15、求下列不定积分:知识点：求解较复杂的三角函数有理式的不定积分。思路分析：基本思路——三角代换等，具体问题具体分析。dx★★★(1)、∫sin2x+2sinx思路:万能代换。2x2dt2t1−t解：令t=tan，则dx=,sinx=,cosx=;22221+t1+t1+t2dt2dx1+t21(1+tdt)1dt∴===[+tdt]∫∫2∫∫∫sin2x+2sinx2t1−t2t4t4t2+22221+t1+t1+t1121x12x=lnt+t+C=lntan+tan+C.484282xtandx2★★★(2)、∫1sin+x+cosx思路:万能代换。2x2dt2t1−t解：令t=tan，则dx=,sinx=,cosx=;22221+t1+t1+tx2dttandxt⋅21+t2tdtdt∴===dt−=−tln1++tC∫∫2∫∫∫1sin+x+cosx2t1−t1+t1+t1++221+t1+txtandx2xx∴∫=tan−ln1tan++C.1sin+x+cosx22
课后答案网（http://www.khdaw.com）dx★★★★★(3)、∫3sinxcosx22思路:将被积函数的分子1变换一下，1sin=x+cosx。22221sinx+cosx1cosxsinx+cosxcosx解：∵==+=+3333sinxcosxsinxcosxsincosxxsinxsincosxxsinx22=tanx+cotx+cscxcotx=tanx+cotx+cscxcotxdx22∴=(tanx+cotx+cscxcot)xdx=tanxdx+cotxdx+cscxcotxdx∫3∫∫∫∫sinxcosx12=−lncosx+lnsinx−∫cscxdcscx=−lncosx+lnsinx−cscxC+212=lntanx−cscxC+.2sincosxx★★★★★(4)、∫dxsinx+cosx2π1π思路:注意到sincosxx=sin(x+)−,，而sinx+cosx=2sin(x+)，此题易解。4242π1sin(x+)−sincosxx42解：∵=sinx+cosxπ2sin(x+)42π1sin(x+)−sincosxx422π2π∴∫dx=∫πdx=∫sin(x+)dx−∫csc(x+)dxsinx+cosx24442sin(x+)42π2ππ=−cos(x+)−lncsc(x+)cot(+x+)+C.24444★★★★★(5)、∫sinsin2sin3xxxdx思路:将被积函数积化和差。1解：∵sinsin3xx=−(cos4x−cos2)x2
课后答案网（http://www.khdaw.com）1∴∫sinsin2sin3xxxdx=−∫(cos4x−cos2)sin2xxdx211=−∫cos4sin2xxdx+∫cos2sin2xxdx22121=−∫(2cos2x−1)sin2xdx+∫sin4xdx24211=−∫cos2sin2xxdx+∫sin2xdx+∫sin4xdx241211=∫cos2xdcos2x+∫sin2xdx2+∫sin4xdx424161311=cos2x−cos2x−cos4xC+.6416注：另一种解法是：1∫sinsin2sin3xxxdx=−∫(cos4x−cos2)sin2xxdx211=−∫cos4sin2xxdx+∫cos2sin2xxdx22111111=−∫(sin6x−sin2)xdx+∫sin4xdx=cos6x−cos2x−cos4xC+.22424816sincosxx★★★★★(6)、dx∫44sinx+cosx14412思路:注意到被积函数的分子sincosxx=sin2x，分母sinx+cosx=−1sin2x，易解。2214412解：∵sincosxx=sin2,sinxx+cosx=−1sin2,x2211sin2xsin2xsincosxx2211∴dx=dx=dx=−dcos2x∫sin4cos4∫1∫12∫1cos22x+x22+x1−sin2x1−sin2x221=−arctan(cos2)x+C.2211−r★★★★★(7)、、dx(0<<−1时，max1,{x}=x；2x∴当x<−1时，max1,{xdx}=−xdx=−+C;∫∫12当x≤1时，max1,{xdx}=dx=xC+;∫∫22x当x>1时，max1,{xdx}=xdx=+C.∫∫3211由max1,{xdx}的连续性可知：C=C+,C=C+=C+1,设C=C,∫213211222⎧x⎪−+C,x<−1;2⎪⎪1∴∫max1,{xdx}=⎨x++C,x≤1;⎪22⎪x⎪++1C,x>1.⎩2
课后答案网（http://www.khdaw.com）2dx★★★★17、设yx(−y)=x,求∫x−3y思路:变量替换。3342tt−3tt−3t解：令t=x−y，则y=xtx−,=;x−3y=;dx=dt;2222t−1t−1(t−1)2dxt1dt(−1)1212∴=dt==lnt−+1C=ln(x−y)−+1C。∫∫2∫2x−3yt−12t−122★★★★18、设fx()定义在(,)ab上，c∈(,)ab,又fx()在(,){}abc连续，c为fx()的第一类间断点，问fx()在(,)ab内是否存在原函数？为什么？知识点：考察对原函数定义的理解。思路分析：反证法。解证：假设Fx()为fx()的一个原函数，考察Fx()在点c的导数，Fx()−Fc()Fx()−Fc()∵lim=fc(−0),lim=fc(+0);−+x→cxc−x→cxc−Fx()−Fc()而lim=Fc′()=fc(),∴fc(−0)=fc(+0)=fc()x→cxc−∴fx()在点c连续，这与c为fx()的第一类间断点矛盾！课外典型例题与习题解答dx★★★1、∫62x(1+x)思路分析：此题属于有理函数的积分，且分母的次数大于分子的次数，可使用倒代换。下面的解答采用另一种方法，仔细体会，你会收获不小！2222dx(1+x)−xdxdxdx(1+x)−x解：=dx=−=−dx∫62∫62∫6∫42∫6∫42x(1+x)x(1+x)xx(1+x)xx(1+x)dxdxdxdxdxdxdx=−+=−+−∫6∫4∫22∫6∫4∫2∫2xxx(1+x)xxx1+x111=−+−−arctanxC+.535x3xx5x★★★2、∫dx1+x思路分析：此题属于有理函数的积分，且分子的次数大于分母的次数。经典的解法----将被积函数写成一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。
课后答案网（http://www.khdaw.com）5444333xx(1+x)−x4x4x(1+x)−x43x解：∵==x−=x−=x−x+1+x1+x1+x1+x1+x22243x(1+x)−x432x432x(1+x)−x=x−x+=x−x+x−=x−x+x−1+x1+x1+x432x432x+−114321=x−x+x−+x=x−x+x−+x=x−x+x−+−x11+x1+x1+x5x43214321∴∫dx=∫(x−x+x−+−x1)dx=∫(x−x+x−+x1)dx−∫dx1+x1+x1+x15141312=x−x+x−x+−xln1+x+C.54325★★★3、∫cosxdx思路分析：经典思路----若被积函数为弦函数的奇数次幂，则取其一次凑微分，余下部分化为余函数的形式积分即可。5422解：∫cosxdx=∫cosxd(sin)x=∫(1sin−xd)(sin)x242315=∫(12sin−x+sinxd)(sin)x=sinx−sinx+sinxC+.354★★★4、∫sinxdx思路分析：经典思路----若被积函数为弦函数的偶数次幂，则将被积函数降幂，然后分项积分即可。41cos2−x2121112解：∵sinx=()=(12cos2−x+cos2)x=−cos2x+cos2x244241111cos4+x311=−cos2x+⋅=−cos2x+cos4;x42428284311311∴∫sinxdx=∫(−cos2x+cos4)xdx=x−sin2x+sin4xC+.8288432x★★★5、∫esin2xdx思路分析：经典思路----大凡被积函数表现为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数等五大类基本初等函数中的某两类的乘积的形式，则使用分部积分法求解！且按照“反、对、幂、三、指”的顺序，顺序排后者优先纳入到微分号下凑微分。其中“反、对、幂、三、指”依次代表“反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数”五类函数。xxxxxx解：∵∫esin2xdx=∫sin2xde=esin2x−2∫ecos2xdx=esin2x−2cos2∫xdexxx=esin2x−2ecos2x−4∫esin2xdxx1x∴∫esin2xdx=e(sin2x−2cos2)x+C.511+x6、lndx∫21−x1−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路分析：凑微分。11⎛11⎞11⎛1+x⎞dx=⎜+⎟dx=d[ln(1+x)ln(1−−x)]=d⎜ln⎟21−x21⎝+x1−x⎠22⎝1−x⎠11+x11+x1+x121+x解：lndx=lndln=ln+C。∫2∫x−11−x21−x1−x41−x2ln(x+1+x)7、∫dx21+x思路分析：凑微分。22dx(+1+x)1xdxd(ln(x+1+x)==(1+)dx=2222x+1+xx+1+x1+x1+x2ln(x+1+x)22122解：∫dx=∫ln(x+1+xd)ln(x+1+x)=ln(x+1+x)+C1+x22注：第一类换元法∫f(())()ϕxϕ′xdx=∫f(())ϕxdϕ()x=F(())ϕx+C，6、7小题均为中间变量较复杂的情形，这需要大家对第3章求导数过程比较熟悉，请大家好好体会！1ln−x8、dx∫2(x+ln)xlnx1ln−x解：方法一：凑微分。注意到被积函数中有1ln−x，而d=dx，这同样需要大家对经2xx常出现的求导过程比较熟悉。1ln−x1ln−x1lnx1⎛lnx⎞dx=dx=d=d⎜1+⎟∫(xln)x2∫lnx∫lnxx∫lnxx+2222⎝⎠x(1+)(1+)(1+)xxx1x=−+C=−+C.lnxx+lnx1+x1方法二：分部积分法。先分项，再用分部积分法，注意到dx(+ln)x=(1+)dx。x1ln−x−−xlnx++x11x+1dx=dx=−dx+dx∫2∫2∫∫2(x+ln)x(x+ln)xx+lnx(x+ln)x11+1x11=−dx+xdx=−dx+xdx(+ln)x∫∫2∫∫2x+lnx(x+ln)xx+lnx(x+ln)x111x1x=−∫dx−∫xd=−∫dx−+∫dx=−+Cx+lnxx+lnxx+lnxx+lnxx+lnxx+lnx
课后答案网（http://www.khdaw.com）sinx+cosxπ9、∫dx(00（C）令fx()|sin|=x，其周期为π，Fx()=⎨不是周期函数。⎩cosx+1.sinx<02（D）令fx()=2x，单增函数。但Fx()=x不是单调函数。故答案为A。第五章定积分内容概要名主要内容称
课后答案网（http://www.khdaw.com）微牛顿-莱布尼茨公式：如果Fx()是连续函数fx()在区间[,]ab上的一个原函数，则积分bb基∫afxdx()=Fb()−Fa()=Fx()a本dψ()x积分上限函数的导数：(∫ftdt())=f(())ψxψ′()x−f(())()ϕxϕ′x公dxϕ()x式定设函数fx()在区间[,]ab上连续，函数x=ϕ()t满足条件：积分（１）ϕα()=a,()ϕβ=b，且a≤ϕ()t≤b（２）ϕ()t在区间[,]αβ上具有连续导数，换元bβ则有∫fxdx()=∫f[()]()ϕtϕ′tdt公aα式运用定积分换元公式时，换元必须变换积分上下限，换元后直接计算得到结果，不必回代原变量．bx=ϕ()tβbβx=ϕ()tbb∫afxdx()=∫αf[()]()ϕtϕ′tdt=Ft()a∫αf[()]()ϕtϕ′tdt=∫afxdx()=Fx()a（其中Ft′()=f(())()ϕtϕ′t）（其中Fx′()=fx()）分bbb公式：∫uvdx′=[uv]−∫uvdx′（其中u=uxv(),=vx()）部aaa积b注：当[uv]不存在时，请正确使用公式：①求∫uvdx′=uv−∫vudx′=Fx()+C分a公bb②∫uvdx′=Fx()式aa广无穷限广义积分的计算（Fx′()=fx()）无界函数的广义积分的计算（Fx′()=fx()）义积+∞+∞①x=a为暇点分∫afxdx()=Fx()a=xlim→+∞Fx()−Fa()bb+∞a+∞∫afxdx()=Fx()a=Fb()lim()−x→aFx∫−∞fxdx()=∫−∞fxdx()+∫afxdx()②x=a为暇点，a∈(,)bc+∞∫fxdx()收敛当且仅当−∞caca+∞∫bfxdx()=∫bfxdx()+∫afxdx()∫fxdx(),∫fxdx()都收敛−∞a左收敛当且仅当右两项都收敛对aa设fx()在[−aa,]上连续，则（１）当fx()为偶函数，有∫fxdx()=2∫fxdx()称−a0性a（２）当fx()为奇函数，有∫fxdx()=0应−a用课后习题全解习题5-12★★1.利用定积分的定义计算由抛物线y=x+1，直线x=a，x=b(b>a)及横轴所围成的图形的
课后答案网（http://www.khdaw.com）面积知识点：定积分的定义及几何意义思路：根据求定积分的三步骤做i−1i解:将[ab,]分成n等分,取ξ(i=1,2⋯,)n为第i个小区间[a+(baa−),+(ba−)]的右端innba−ba−点,则λ=∆=x,ξ=+aii,iinn显然,λ→⇔0n→∞,于是根据定积分的几何意义,该图形面积nnbba−2ba−A=∫ydx=lim∑y()ξi∆xi=lim∑[(ai+i)+1]aλ→0i=0n→∞i=1nnn2ba−2ba−(ba−)2=lim∑[a++12ai+2i]n→∞ni=1nnn2nba−2ba−(ba−)2=lim[(na+1)+2a∑i+2∑i]n→∞nni=1ni=1222(abann−)(+1)(ba−)1=lim{(baa−)[++1i+inn(+1)(2n+1)]}23n→∞n2n6221(ba−)11=(ba−)lim[a++1aba(−)(1i+)+(+1)(+2)]n→∞n6nn23322(ba−)b−a=(baa−)[++1aba−+]=+(ba−).33★★2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义思路：根据求定积分的三步骤做b(1)∫xdx(a0)的值.a知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积ba−2ab+2ab+ba−解:因为(xabx−)(−)=()−(x−)是以为圆心，为半径的上半圆，2222212πba−2π(ba−)其面积为：S=πr=()=22282bπ(ba−)由定积分的几何意义知：∫(xabxdx−)(−)=.a8ppp1+2+⋯+n★★★5.试将和式的极限lim(p>0)表示成定积分.p+1n→∞n知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分pppn1+2+⋯+n11p2pnp1ip解:limp+1=lim[()+()+⋯+()]=lim∑()n→∞nn→∞nnnnn→∞ni=1n1p设fx()=x，则用定义求解∫fxdx()为：0i−1i1①、等分[0,1]为n个小区间：[,],i=1,2,⋯n,∆=xinnnnni−1iii1②、求和：取区间[,]上的右端点为ξi，即ξi=，作和：∑f()ξi∆=xi∑×nnni=1i=1nnnnnip11ip③、求极限：lim∑f()ξi∆=xilim∑()×=lim∑()λ→0i=1n→∞i=1nnn→∞ni=1npppn1+2+⋯+n1ip1p∴limp+1=lim∑()=∫0xdxn→∞nn→∞ni=1n★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：xm宽020406080100120140160180200ym深25911191721151163试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：xi用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即f()ξ∆≈xfxdx()，ii∫xi−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）1xi若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：[(fx)+fx()]∆≈xfxdx()。i−1ii∫x2i−1解:积分区间[ab,]=[0,200,]并对该区间作10等分，则区间分点xi(=1,2,⋯,)n及其对应的函数值i1ba−y恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积：(y+y)×ii−1i2nba−1∴此河横截面面积A≈[(y+y)+y+y+⋯+y]=2330m010129n2习题5-2★1.证明定积分性质:bb(1)∫kfxdx()=k∫fxdx().(k是常数)aa知识点：定积分性质思路：利用定义推导定积分的性质证明：设fx()在[ab,]上可积，对任意的分法与取法，记λ=max{∆x}(i=1,2,⋯,)ninnbb⇒k∫fxdx()=klim∑f()ξi∆=xilim∑kf()ξi∆=xi∫kfxdx()aλ→0λ→0ai=1i=1bb(2)∫1•dx=∫dxba=−.aa知识点：定积分的定义证明：因为fx()1,=于是对任意的分法，有nb∫dx=lim∑1i∆=xilim(ba−)=−ba.aλ→0λ→0i=1★2.估计下列各积分的值:42(1)∫(x+1)dx1知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围222解：因为x及x+1在区间[1,4]上单调递增，故2≤x+≤117,x∈[1,4]，42而区间长度ba−=−=413，所以236×=≤∫(x+1)dx≤17351.×=142即6≤∫(x+1)dx≤51112x(2)∫edx0知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围
课后答案网（http://www.khdaw.com）2x解：记fx()=e，先求出fx()在[0,1]上的最值，22xx由于fx′()=ei2x=2xe≥0,x∈[0,1,]所以fx()在[0,1]上单调增加，01因此min()fx=f(0)=e=1,max()fx=f(1)=e=e，即1≤fx()≤e，x∈[0,1]x∈[0,1]1121x再由定积分的性质，得：1=∫1dx≤∫edx≤∫edx=e0003(3)∫1xarctanxdx3知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：记fx()=xarctan,xx∈[1,3]，3因为fx′()=arctanx+x>0,x∈(1,3),所以fx()在⎡1,3⎤单调增加1+x23⎢⎣3⎥⎦113π⇒m=min()fx=f()=arctan=,333633πM=min()fx=f(3)=3arctan3=,3π13π1⇒(3−)≤∫1xarctanxdx≤(3−),633333π32π即≤∫1xarctanxdx≤9332x(4)dx∫11+x2知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围2x1−x解：令fx()=,因为当10，000∵fx()在x处连续，∴lim()fx=fx()>0，00x→x0由极限的保号性：∃(x−δ,x+δ)⊂(,)ab，使当x∈(x−δ,x+δ)时，有fx()>0，0000x0+δbb从而∫fxdx()>0⇒∫fxdx()>0，与条件∫fxdx()=0矛盾！x0−δaa∴fx()≡0，x∈(,)ab，同理可证：当x=a或x=b时，fa()=0,()fb=0所以fx()≡0，x∈[,]abb(2)若在[ab,]上,fx()≥0,且fx()≠0,则∫fxdx()>0;a知识点：定积分性质思路：反证法和(1)的结论来求证b证明：因为fx()≥0(x∈[ab,)]，所以∫fxdx()≥0，ab而∫fxdx()是数值，它仅有零或非零两种可能ab若设∫fxdx()=0，则由上面已证，在上必有fx()=0，这与题设fx()≠0矛盾，ab从而∫fxdx()>0.abb(3)若在[ab,]上,fx()≥gx(),且∫fxdx()=∫gxdx(),则在[ab,]上,fx()≡gx().aa知识点：定积分性质
课后答案网（http://www.khdaw.com）思路：由定积分性质和(1)结论求证证明：设Fx()=fx()−gxx(),∈[,]ab，则由题设可知：Fx()≥0,x∈[,]abbbb又因为∫Fxdx()=∫fxdx()−∫gxdx()=0，aaa由(1)得，Fx()=fx()−gx()=0，从而fx()≡gxx(),∈[,]ab★★4.根据定积分性质比较下列每组积分的大小:1123(1)∫xdx，∫xdx00知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小11132232323解：当x∈(0,1)时，x0.⇒∫0(x−xdx)>0⇒∫0xdx>∫0xdx112xx(2)∫edx，∫edx00知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小21122xxxx解：因为当x∈(0,1)时，x>x，故e>e.因此：∫edx>∫edx0011x(3)∫edx，∫(x+1)dx00知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小xx解：令fx()=e−(1+x)，则fx′()=e−≥10，x∈[0,1]，且仅当x=0时，f′(0)=0，所以在[0,1]上，fx()单调增加xx⇒fx()=e−(1+x)≥=0f(0),即e≥(1+x)x又因为在[0,1]上，e≠(1+x)，即fx()不会恒为0.11x所以∫fxdx()=∫[e−(1+xdx)]>0,0011x即∫edx>∫(x+1)dx00ππ(4)∫2xdx，∫2sinxdx00知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小⎡π⎤解：令fx()=−xsinx，则fx′()1cos=−x≥0,x∈0,.⎢⎥⎣2⎦
课后答案网（http://www.khdaw.com）⎡π⎤且仅当x=0时，f′(0)=0，故在⎢0,⎥上，fx()单调增加⎣2⎦⎡π⎤⇒fx()=−xsinx≥=0f(0),即x≥sin,x又在0,上，x≠sinx，即fx()≠0,⎢⎥⎣2⎦ππ⇒∫2xdx>∫2sinxdx00π0(5)sinxdx，2sinxdx∫−π∫02知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小⎡π⎤0解：当x∈−⎢,0⎥，sinx≤0，从而∫πsinxdx≤0；⎣2⎦−2π⎡π⎤又当x∈0,，sinx≥0，从而∫2sinxdx≥0⎢⎣2⎥⎦0π0所以sinxdx≤2sinxdx∫π∫−0200x(6)∫ln(1+xdx)，∫dx111+x知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小x11x解：令Fx()=ln(1+x)−，则Fx′()=−=>0,x∈(0,1).221+x1+x(1+x)(1+x)所以Fx()在(0,1)单调增加，且F(0)=0，故Fx()>0,x∈(0,1)，1000x所以∫Fxdx()>⇒0∫Fxdx()<⇒0∫ln(1+xdx)<∫dx01111+x★★★5.利用积分中值定理证明：1xn2lim∫dx=0n→∞01+x知识点：定积分性质思路：利用定积分的中值定理求极限11xnξ1⎡⎤2n证：由积分中值定理知，存在一点ξ∈0,，使dx=i，n⎢⎣2⎥⎦∫01+x1+ξ2n1ξn因为0≤ξ≤，所以limξ=0⇒lim=0，nn2n→∞n→∞1+ξn
课后答案网（http://www.khdaw.com）1xnξ12n所以lim∫dx=limi=0.n→∞01+xn→∞1+ξ2n1★★★6.设函数fx()在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3∫fxdx()=f(0)23证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f()ξ=0.知识点：定积分性质思路：先利用积分中值定理，得到满足罗尔定理条件，再求证证：由积分中值定理知，在⎡2,1⎤上存在一点c，使⎣3⎦123∫2fxdx()=3ifc()(1−)=fc()=f(0)，33故fx()在区间[0,c]上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点ξ∈(0,)c⊂(0,1)，使f′()ξ=0习题5-3xπ★1．设y=∫sintdt,求y′(0),y′().04知识点：积分上限函数求导公式思路：先利用积分上限函数导数公式求出导数,再把特殊点代入计算π2解：因为yx′()=sin,x所以y′(0)=0,()y′=.42★2．计算下列各导数:2dx3(1)∫1+tdt;dx0知识点：积分上限函数求导公式22dx323dx()6解：∫1+tdt=1(+x)=2x1+x.dx0dxdx3dt(2);dx∫x2+t41知识点：积分上限函数求导公式33232dxdtdxdtxdt1dx()1dx()解：=[−]=−.dx∫x2t4dx∫0t4∫0t4x34dxx24dx1+1+1+1()+1(+)23x2x=−1281+x1+x
课后答案网（http://www.khdaw.com）dcosx2(3)∫cos(πtdt);dxsinx知识点：积分上限函数求导公式dcosx2dcosx2sinx2解：∫sinxcos(πtdt)=[∫0cos(πtdt)−∫0cos(πtdt)]dxdx22=cos(cosπx)(cos)x′−cos(sinπx)(sin)x′222=−sincos(xπ−πsinx)coscos(sin−xπx)=cos(sinπx)(sinx−cos).x2xdx★★3．设gx()=，求g′′(1)。∫01+x3知识点：积分上限函数求导公式思路：先利用积分上限函数导数公式和商的求导公式求出各阶导数,再把特殊点代入计算6562x2(1+x)6−xi2x210−x解：gx′()=,gx′′()==,662621+x(1+x)(1+x)210−所以g′′(1)==−2.2(11)+yxdyt★★4．设函数y=yx()由方程∫edt+∫costdt=0确定，求00dx知识点：积分上限函数求导公式思路：方程两边同时对x求导求得解：方程两边同时对x求导,得ydydycosxei+cosx=⇒0=−,ydxdxeyxyy由题设,有e+sint=0,即e=−1sin,x00dycosx所以=.dxsinx−1ttdy★★5．设x=∫sinudu，y=∫cosudu，求00dx知识点：积分上限函数求导公式思路：利用积分上限函数和参数方程求导公式求得dyy′costt解:因为x′=sin,ty′=cost，所以===cot.tttdxx′sintt★★★6．求下列极限：x2∫costdt0(1)lim;x→0x知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则
课后答案网（http://www.khdaw.com）x022解:因为lim∫costdt=∫costdt=0,x→000x2∫costdtcosx20利用洛必达法则：lim=lim=cos01.=x→0xx→01x∫arctantdt0(2)lim;2x→0x知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则xx1∫arctantdt(∫arctantdt)′arctanx21001+x解:lim=lim=lim=lim=.22x→0xx→0(x)′x→02xx→0222x2∫1+tdt0(3)lim;2x→0x知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则22xx22∫1+tdt(∫1+tdt)′1+x4i2x00解:lim=lim=lim=1.22x→0xx→0(x)′x→02x★★★7．设fx()在0≤≤+∞t上连续fx()22(1)若∫tdt=x(1+x)，求f(2)0知识点：牛顿—莱布尼茨公式思路：利用牛顿—莱布尼茨公式求出函数表达式,再把特殊点代入求值fx()1fx()1233解:因为∫tdt=t=f(),x030313232所以f()x=x(1+x)⇒fx()=3(1x+x),3323故f(2)=32(12)i+=36.x2−t★★★8．当x为何值时，函数Ix()=∫tedt有极值？0知识点：函数的单调性求极值思路：求出函数的驻点,并判断函数在该点左右区间的单调性,利用单调性判断极值点−x2解:因为Ix′()=xe,令Ix′()=0,,得驻点x=0.而当x<0时,Ix′()<0;当x>0时,Ix′()>0.x2−t所以当x=0时,函数Ix()=∫tedt取得极小值也是最小值.0
课后答案网（http://www.khdaw.com）2xdt★★★9．设x>0，问x取何值时∫最大x31+t知识点：函数的单调性,积分上限函数求导公式思路：求出函数的驻点,并判断函数在该点左右区间的单调性332xdt2121+x−18+x解：设gx()=∫,而gx′()=−=.x333331+t18+x1+x(18)(1+x+x)3由gx′()=0.解得驻点为x=3043333∵当x>0时，(18)(1+x+x)>0,要使21+x−18+x>0，33331+x11+x13只要21+x>18+x⇒>⇒>⇒x<33318+x218+x4433∴当00；当x>3时，gx′()<04432xdt因此,当x=3时,函数∫取到最大值.4x1+t3★★10．计算下列各定积分：212(1)(x+)dx;∫1x4知识点：牛顿—莱布尼茨公式思路：利用牛顿—莱布尼茨公式先求出原函数,再代入积分上下限3221x121313116321解:(x+)dx=(−)=[2−−(1−)]=×=∫1x433x31323133889(2)∫x(1+xdx);4知识点：牛顿—莱布尼茨公式132992x9211解:∫x(1+xdx)=∫(x2+xdx)=(x2+)=(278)−+(8116)−=45.443243263adx(3);∫0a2+x2知识点：牛顿—莱布尼茨公式3a3adx1x11π解:=arctan=arctan3−arctan0=.∫0a2+x2aaaa3a01dx(4)2;∫−1221−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：牛顿—莱布尼茨公式1dx1/2πππ解:2=arcsinx=−−()=.∫12−1/2−1−x6632π42(5)∫tanθθd;0知识点：牛顿—莱布尼茨公式ππ22π/4π解:∫4tanθθd=∫4(secθ−1)dθ=(tanθθ−)=−1.00043π(6)∫41cos2+xdx;0知识点：牛顿—莱布尼茨公式思路：利用牛顿—莱布尼茨公式求出原函数,再代入积分上下限求得333πππ4424解:∫01cos2+xdx=∫02cosxdx=2∫0cosxdxπ3ππ/23/4π=22cosxdx−42cosxdx=2sinx−2sinx=221.−∫0∫π0π/22⎧1⎪sinx0≤x≤πx★★11．设fx()=⎨2,求φ()x=∫ftdt()在(−∞+∞,)内的表达式.x<0或x>π0⎪⎩0知识点：牛顿—莱布尼茨公式x思路：φ()x=∫ftdt()随x而变，并注意到被积函数fx()在不同区间的表达式不同,所以必要时对0x∫ftdt()进行分段积分。0x解:当x<0时,φ()x=∫0dt=0,0x11x1cos−x2x当0≤x≤π时,φ()x=∫sintdt=−cost==sin,022022π1x当x>π时,φ()x=∫sintdt+∫0dt=1.02π⎧0x<0⎪⎪2x所以φ()x=⎨sin0≤x≤π⎪2x>π⎪⎩11x★★★12．设fx()连续,若fx()满足∫fxtdt()=fx()+xe,求fx()0知识点：积分上限函数求导公式思路：换元法求得积分上限函数,再对积分上限函数求导
课后答案网（http://www.khdaw.com）解:令u=xt,则1xdu1x∫0fxtdt()=∫0fu()−∫0fudu(),xxx2x因此fx()满足∫fudu()=xfx()+xe,0x2x两边关于x求导,可得：fx()=fx()+xfx′()2+xe+xe.xx因此fx′()=−(2+xe),说明fx()是−(2+xe)的原函数.xx∴fx()=−∫(2+xedx)=−(x+1)e+CC为任意常数.xln(1+t)1★★★13．设fx()=∫dtx(>0),求fx()+f()0tx知识点：积分上限函数1思路：用换元法改变积分限，使fx()和f()积分限相同x1ln(1+)11xln(1+t)u=1/txu解:由于f()=∫dt=−∫dux1t1uxln(1+u)xlnu=−∫du+∫du,1u1uxxlnu1212而∫du=(ln)u=(ln)x1u2211xln(1+t)xln(1+u)1212因此：fx()+f()=∫dt−∫du+(ln)x=(ln).xx1t1u22★★★14．设fx()在[ab,]上连续,在(ab,)内可导,且fx′()≤01xFx()=∫ftdt()，证明:在(ab,)内有Fx′()≤0xa−a知识点：积分上限函数的导数,积分中值定理,拉格朗日中值定理xfxxa()(−)−∫ftdt()′=a证明:Fx()2(xa−)fxxa()(−)−f()(ξxa−)=(a≤ξ≤x)2(xa−)fx()−f()ξf′()(ηx−ξ)==(ξ≤η≤x)(xa−)(xa−)∵a≤ξ≤x，fx′()≤⇒0f()η≤0，∴Fx′()≤0习题5-4★★1．用定积分换元法计算下列各积分
课后答案网（http://www.khdaw.com）ππ(1)∫πsin(x+)dx33π知识点：定积分换元法（凑微分：dx=dx(+)）3ππππππππ2π解:∫πsin(x+)dx=∫πsin(x+)(dx+)=−cos(x+)=cos+cos=0333333π/3331dx(2)∫−2115+x3()1知识点：定积分换元法（凑微分：dx=d(115)+x）511dx11−31−2解:=(115+x)d(115+x)=−(115+x)∫−2(115+x)35∫−210−21−251=−(16−1)=.10512π23(3)∫sincosϕϕϕd0知识点：定积分换元法（凑微分：sinϕϕd=−dcosϕ）πππ/22323141解:∫sincosϕϕϕd=−∫cosϕdcosϕ=−cosϕ=.00440π22(4)cosudu∫π6知识点：定积分换元法思路：先用三角公式降低被积函数的幂次，再逐项积分。πππ/22221cos2+u11解:cosudu=du=[(u+sin2)u]∫π∫π22266π/61π13π3=(+−0i)=−.23226835x(5)dx∫0x2+112知识点：定积分换元法（凑微分：xdx=dx）2思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分。3325x5x+−xx515dx(+1)解:dx=dx=xdx−∫0x2+1∫0x2+1∫02∫0x2+1
课后答案网（http://www.khdaw.com）552x12251=−ln(x+1)=−ln26.222200252x+3x−5(6)∫dx0x+3知识点：定积分换元法思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分252x+3x−552(xx+3)3x+9454解:∫0dx=∫0[−+]dx=∫0(2x−+3)dxx+3x+3x+3x+3x+3258=[x−3x+4ln(x+3)]=104ln+=1012ln24ln3.+−031xdx(7)∫−1(x2+1)212知识点：定积分换元法（凑微分：xdx=dx(+1)）2121xdx11dx(+1)1解:==−=0.∫−1(x2+1)22∫−1(x2+1)22(x2+1)−112ex(8)dx∫1x211知识点：定积分换元法（凑微分：dx=−d()）2xx12ex211121解:dx=−edx()=−ex=−ee2.∫1x2∫1x12t1−(9)∫te2dt02t知识点：定积分换元法（凑微分：tdt=−d(−)）22221tt2t11−1−t−−解:∫te2dt=−∫e2d(−)=−e2=−1e2.00202axdx(10)∫0223a−x知识点：定积分换元法解:方法一：令x=3sin,at则dx=3cosatdt,不妨设a>0,
课后答案网（http://www.khdaw.com）2222axdxarcsin3asincosttdtarcsin∫=∫3=∫33sinatdt0220203a−x3a1sin−tarcsin2/3=−3cosat=(31).−a0122方法二：凑微分：xdx=−da(3−x)22axdx12ada(32−x2)12a22∫=−∫=−×23a−x=(31)−a03a2−x2203a2−x2202edx(11)∫1x1ln+x1知识点：定积分换元法（凑微分：dx=d(1ln)+x）x222edxed(1ln)+xe解:∫=∫=21ln+x=2(31).−1x1ln+x11ln+x1π(12)2sincos2xxdx∫π−2知识点：定积分换元法（凑微分：sinxdx=−d(cos)x）思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数πππ22222解:sincos2xxdx=sin(2cosxx−1)dx=−(2cosx−1)cosdx∫π∫π∫π−−−222π/223=(cosx−cosx)=0.3−π/2π23(13)cosx−cosxdx∫π−2知识点：定积分换元法思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数πππ23222解:cosx−cosxdx=2cossinxxdx=2cossinxxdx∫π∫π∫π−−−222π/2324=−2i(cos)x2=.33012(14)∫2xxdx−0知识点：定积分换元法（变量代换去根号）
课后答案网（http://www.khdaw.com）11x−=1sint00222解:∫02xxdx−=∫01(−x−1)dx(−1)=∫−πcostdsint=∫−πcostdt2201011π=∫π(1cos2)+tdt=(t+sin2)t=.2−222/24−π22(15)∫2−xdx0知识点：定积分换元法（变量代换去根号）2x=2sintπππ222222解:∫02−xdx=2∫01sin−td(2sin)t=2∫0costdt=∫0(1cos2)+tdtπ/2π/21π1π=t+sin2t=+i0=.0222203dx(16)∫122x1+x知识点：定积分换元法方法一：用三角代换去根号π2ππ/33dxx=tanusecududsinu123解:=3=3=−=2−.∫122∫π2∫π2x1+x4tanusecu4sinusinuπ/43方法二：倒代换3dxx=1/u3udu13d(1+u2)3/323332∫122=−∫12=−∫12=−1+u=2−.x1+x1+u21+u13−3122(17)∫(1+x)dx0知识点：定积分换元法思路：用三角代换去根号−31−3x=tantπ2π224224π/42解:∫0(1+x)dx=∫0(1tan)+tsectdt=∫0costdt=sint0=.21xdx(18)∫−154−x知识点：定积分换元法思路：用变量代换去根号1xdx54−xu=15−uu213113123解:∫=−∫idu=∫(5−udu)=(5u−u)=.−154−x34u28183161dx(19)∫341−−x1
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：定积分换元法思路：用变量代换去根号1dx1−=xu0−2udu1u−+11du解:==22∫3∫1∫041−−x12u−1u−1111/2=2∫2(1+)du=2(u+lnu−1)=−12ln2.0u−100x+1(20)∫dx−3x+4知识点：定积分换元法思路：用变量代换去根号0x+1x+=4t2t2−+41212423解:∫−3dx=∫12tdt=2∫1(t−3)dt=2(t−3)t=−.x+4t313−x1e(21)∫dx0x−xe+e知识点：定积分换元法−x−x方法一：凑微分：edx=−de()−x−x−x11e1e1de()−x−2x解:∫0x−xdx=∫0−2xdx=−∫0−2x=−lne+1+ee+e1+e1+e02=ln(1+2)ln(1−+1+e)1.+−x1方法二：作代换：e=t,则x=−ln,tdx=−dtt−x−1−11eet1e111则dx=−×dt=−dt=dt∫0exe−x∫1t∫1t2∫e−1t2+11+1++tt122=ln(t+1+t)=ln(1+2)ln(1−+1+e)1.+−1e★★2．用分部积分计算下列定积分1−x(1)∫xedx0知识点：分部积分法思路：利用分部积分去多项式函数1111−x−x−x−x解:∫0xedx=−∫0xde=−(xe)0+∫0edx−1−x12=−e−e=−1.0e
课后答案网（http://www.khdaw.com）e(2)∫xlnxdx1知识点：分部积分法思路：利用分部积分去对数函数（lnx）e1e212ee解:∫1xlnxdx=∫1lnxdx()=[xlnx1−∫1xdx]221212e12=[e−x]=(e+1).22141(3)∫xarctanxdx0知识点：分部积分法思路：利用分部积分去反三角函数211121211x解:xarctanxdx=arctanxdx()=[(xarctan)x−dx]∫02∫020∫01+x221π11+x−1π11π1=[−dx]=−[x−arctan]x=−.24∫01+x2820421arctanxt=π/41π/42（或者先变量代换再分部积分：∫xarctanxdx=∫ttantdtant=∫td(tan)t）002012π/4π/42π1π/42π1π/4π1=[tantt−∫tantdt]=−∫(sect−1)dt=−tant=−）00002824242e(4)∫sin(ln)xdx1知识点：分部积分法思路：通过反复使用分部积分，建立等式求解eee解:∫1sin(ln)xdx=[sin(ln)]xx1−∫1cos(ln)xdxee=esin1[cos(ln)]−xx1−∫1sin(ln)xdxe1所以∫sin(ln)xdx=(sin1e−ecos11).+12elnxt=1t（或者先变量代换再分部积分：∫sin(ln)xdx=∫esintdt）10π(5)∫2xsin2xdx0知识点：分部积分法思路：用分部积分去多项式函数πππ11π/21解:∫2xsin2xdx=−∫2xd(cos2)x=−xcos2x+∫2cos2xdx0000222π1π/2π=+sin2x=0444
课后答案网（http://www.khdaw.com）2π2(6)∫xcosxdx0知识点：分部积分法思路：先化简，再用分部积分去多项式函数2π212π12π12π解:∫0xcosxdx=∫0x(1cos2)+xdx=∫0xdx+∫0xcos2xdx222212π212π12π=π+∫0xdsin2x=π+xsin2x0−∫0sin2xdx444212π2=π+cos2x=π.082(7)xlogxdx∫12知识点：分部积分法思路：用分部积分去logx2212212221解:xlogxdx=logxdx=[(x)logx−xdx]∫122∫12221∫1ln211223=[4−x]=−2.22ln214ln24lnx(8)∫dx1x知识点：分部积分法思路：用分部积分去lnx4lnx44解:∫dx=2∫lnxdx=2[(xlnx−2x)]=4(2ln21).−1x11πx(9)3dx∫π2sinx4知识点：分部积分法思路：用分部积分去多项式函数πππxπ/3cosx解:3dx=−3xdcotx=−xcotx+3dx∫π2∫ππ/4∫πsinxsinx444π3ππ/31313=−(i−)lnsin+x=(−)π+ln.334π/44922ln223x(10)∫xedx0知识点：分部积分法思路：用分部积分去多项式函数ln23x21ln22x221ln22x2解:∫0xedx=∫0xedx=∫0xde22
课后答案网（http://www.khdaw.com）12x2ln21ln2x221x2ln21=xe−∫edx=ln2−e=ln2−.2020202π2xsecx(11)4dx∫0(1tan+2x)2知识点：分部积分法思路：用分部积分去多项式函数π2ππ/4πxsecx1x1解:4dx=−4xd()=−+4dx∫0(1tan)+x2∫01tan+x1tan+x∫01tan+x0ππ1=−+∫4dx801tan+xπ设x=−t,则4ππx=−tπ14011tan+tπ14dx=−dt=4dt=+ln2.∫01tan+x∫πtan(/4)tanπ−t∫028441+1tan(/4)tan+πtπ2πxsecxπ1ππ11所以,4dx=−+4dx=−++ln2=ln2.∫0(1tan+2x)28∫01tan+x8844π22x(12)∫ecosxdx0知识点：分部积分法思路：通过反复使用分部积分，建立等式求解ππππ22x122x1122x1122x解:∫0ecosxdx=∫0cosxde=[1−+∫0esinxdx]=−+∫0sinxde22224π112xπ/2122x=−+esinx0−∫0ecosxdx244π22x411π1π所以,∫ecosxdx=(−+e)=(e−2).0524522(13)∫ln(x+x+1)dx0知识点：分部积分法思路：用分部积分去对数函数222222解:∫0ln(x+x+1)dx=[ln(xx+x+1)]0−∫0xdln(x+x+1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）222x12dx(+1)2=2ln(2+5)−∫dx=2ln(2+5)−∫=2ln(2+5)−x+10x2+120x2+10=2ln(2+5)−51.+12x−1(14)∫edx12知识点：换元法和分部积分法思路：先换元去根号，再用分部积分求解12解:令t=2x−1,则x=(t+1)2111112x−1tttt∴∫edx=∫tedt=∫tde=te−∫edt=−e(e−1)1.=100002★★3．利用函数的奇偶性计算下列的定积分π4(1)∫xsinxdx−π知识点：利用函数的奇偶性计算定积分a思路：若fx()是奇函数,则∫fxdx()=0−aπ44解:∵xsinx是奇函数，∴∫xsinxdx=0.−ππ24(2)4cosθθd∫π−2知识点：利用函数的奇偶性计算定积分aa思路：若fx()是偶函数,则∫fxdx()=2∫fxdx()−a0πππ242421cos2+θ2解:4cosθθd=8cosθθd=8()dθ∫π∫0∫0−22ππ2π/21cos4+θ=2∫2(12cos2+θ+cos2)θdθ=2(θ+sin2)θ+2∫2dθ0002π/213=π+(θ+sin4)θ=π.42012(arcsinx)(3)2dx∫12−21−x知识点：利用函数的奇偶性计算定积分121(arcsinx)2解:2dx=22(arcsinx)d(arcsin)x∫12∫0−21−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）3231/22π3π=(arcsin)x=()=.3036324325xsinxdx(4)∫−5x4+2x2+1知识点：利用函数的奇偶性计算定积分解:∵被积函数是奇函数,积分区间是以原点为中心的对称区间,325xsinxdx∴=0.∫−5x4+2x2+13(5)∫arctanxdx−3知识点：利用函数的奇偶性计算定积分3333x解:arctanxdx=2arctanxdx=2arctanxx−2dx∫−3∫00∫01+x2232323=π−ln(1+x)=π−2ln2.3032x+x(6)dx∫−22+x2知识点：利用函数的奇偶性计算定积分2x+x2x2x2x解:dx=dx+2dx=+02dx∫−22+x2∫−22+x2∫02+x2∫02+x222d(2+x)22==ln(2+x)=ln3.∫02+x2012★★4．已知2∫1−xdx=π,试利用此结果求下列积分:−132(1)∫9−xdx−3知识点：换元积分法x=t323x2x3129π解:∫−39−xdx=9∫−31()−d()=9∫−11−tdt=.33223223π（或解为：按定积分的几何意义，∫9−xdx表示上半圆y=9−x和x轴所围面积，即）−32212(2)∫1−xdx04知识点：换元积分法
课后答案网（http://www.khdaw.com）x=t2122x2x212ππ解:∫01−xdx=2∫01()−d()=2∫01−tdt=2i=.422422212x212×ππ（或解为：∫1−xdx在几何上表示椭圆+y≤1在第一象限内的面积，即=）0444222(3)∫(x−3)4−xdx−2知识点：换元积分法和奇偶性在定积分上的应用22222222解:∫−2(x−3)4−xdx=∫−2x4−xdx−3∫−24−xdx=−03∫−24−xdxx=t2x2x212=−34i∫1()−d()=−12∫1−tdt=−6.π−222−1ππn2n★★★5．证明:∫sinxdx=2∫sinxdx00知识点：换元积分法πππ证明n2nn:∵∫sinxdx=∫sinxdx+∫πsinxdx002πx=−πt0ππnn2n2n其中∫πsinxdx=−∫πsin(π−tdt)=∫sintdt=∫sinxdx0022ππππn2nn2n∴∫sinxdx=∫sinxdx+∫πsinxdx=2∫sinxdx0002m122★★★6．计算定积分Im=∫(1−x)dx，m为自然数0知识点：分部积分法思路：利用分部积分法求出递推公式1mmmm1−11−12222222解:I=[(1x−x)]−x(1−x)(2)−xdx=−m1−x(1−x−1)dxm∫0∫0()20mm−211m2222=−m∫0(1−x)dxm+∫0(1−x)dx=−mIm+mIm−2⇒Im=Im−2,m+1102而I=(1−x)dx=1,0∫011x=sintππ1cos2+t1π1ππI=(1−x2)2dx=2cos2tdt=2dt=i+2dsin2t=.1∫0∫0∫02224∫04mm−242m!!所以,当m为偶数时,I=i⋯iI=;m0m+1m−153(m+1)!!
课后答案网（http://www.khdaw.com）mm−254m!!π当m为奇数时,I=i⋯iI=i.m1m+1m−165(m+1)!!21mx=cost0π22m2m+1（若作换元x=cost，则Im=∫0(1−x)dx=−∫πsintsintdt=∫0sinxdx）2★★★7．已知fx()是连续函数,证明:b1(1)∫fxdx()=(ba−)∫fa⎡⎣+(baxdx−)⎤⎦a0知识点：换元积分法思路：利用换元法将fa(+(bax−))和fu()相互转换证明:设x=+a(bat−),则b11∫afxdx()=∫0fa⎡⎣+(batbadt−)⎤⎦(−)=(ba−)∫0fa⎡⎣+(baxdx−)⎤⎦1ua=+(bax−)b1b（或证明：(ba−)∫fa⎡⎣+(baxdx−)⎤⎦=(ba−)∫fu()du=∫fxdx()）0aba−a2aa(2)∫fxdx()=∫⎡⎣fx()+f(2axdx−)⎤⎦00知识点：换元积分法思路：利用换元法将f(2ax−)和fu()相互转换2aa2a证明:∫0fxdx()=∫0fxdx()+∫afxdx()2a0令x=2at−,则∫fxdx()=∫f(2atd−)()−taaaa=∫f(2atdt−)=∫f(2axdx−)002aa⇒∫0fxdx()=∫0⎡⎣fx()+f(2axdx−)⎤⎦1mn1nm★★★8．证明∫x(1−x)dx=∫x(1−x)dx00知识点：换元积分法思路：利用换元法互换x,1−x1mn0nm1nm证明:设x=−1t,则∫x(1−x)dx=∫t(1−t)d()−=t∫t(1−t)dt.010πm★★★9．计算定积分J=xsinxdx，（m为自然数）m∫0知识点：换元积分法思路：先用换元法除去被积函数中的变量x，再求三角函数的积分解:做变量代换x=π−t,可得
课后答案网（http://www.khdaw.com）π0ππmmmm∫0xsinxdx=−∫π(π−t)sintdt=∫0πsintdt−∫0tsintdtπππmm∴∫xsinxdx=∫sinxdx020πππm2m由本节第5题可知：∫sinxdx=π∫sinxdx200π2m再由本节第6题解中的括号部分可知：J=πsinxdx=πIm∫0m−1m−1m−342m!!所以,当m为奇数时,J=πi⋯iI=π;m0mm−253(m+1)!!2m−1m−354m!!π当m为偶数时,J=πi⋯iI=i.m1mm−265(m+1)!!2★★★10．设ft()是连续函数,证明:x(1)当ft()是偶函数时,则φ(x)=∫ftdt()为奇函数;0x(2)当ft()是奇函数时,则φ(x)=∫ftdt()为偶函数;0知识点：换元积分法证明:当ft()是偶函数时,有f()−=tft(),于是−xt=−uxxxφ(−x)=∫0ftdt()=∫0f(−ud)(−u)=−∫0fudu()=−∫0ftdt()=−φ(x),x所以,φ(x)=∫ftdt()为奇函数.0同理可证(2).★★★11．若f′′()x在[0,π]连续,f(0)=2,f()1π=,证明:π∫⎡⎣fx()+f′′(x)⎤⎦sinxdx=30知识点：分部积分法思路：利用分部积分法降低fx()导数的阶数ππππ证明:因为∫0f′′(x)sinxdx=∫0sinxdf′(x)=sinxfx′()0−∫0f′(xd)sinxππππ=−∫0cosxdfx()=−cosxfx()0−∫0fx()sinxdx=−3∫0fx()sinxdxπππ∴∫0⎡⎣fx()+f′′(x)⎤⎦sinxdx=∫0fx()sinxdx+∫0f′′()sinxxdx=32xsint1★★★12．设fx()=∫dt,求∫xfxdx()1t0
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：分部积分法22sintxsint2sinx思路：由于无初等原函数，所以不能求出fx()，但知fx′()=(∫dt)′=t0tx所以尝试用分部积分求解1111111222解:∫0xfxdx()=∫0fxdx()=xfx()−∫0xfxdx′()2202因为f(1)=0，21122sinx11221所以,原式=−∫x()dx=−∫sinxdx=(cos11).−20x202习题5-5★1．判断下列各广义积分的敛散性,若收敛,计算其值:+∞dx(1)∫1x3知识点：无穷限的广义积分思路：根据定义判断广义积分的敛散性+∞dxb−311b11解:=limxdx=lim−i=−(01)−=.∫1x3b→+∞∫1b→+∞2x2122+∞dx(2)∫1x知识点：无穷限的广义积分思路：根据定义判断广义积分的敛散性+∞dx+∞解:∫=2x=+∞,所以此广义积分发散.1x1+∞−ax(3)∫edxa(>0)0知识点：无穷限的广义积分+∞−ax1−ax+∞111解:∫edx=−e=−(01)−=，故题设广义积分收敛于.0a0aaa+∞dx(4)∫−∞x2+4x+5知识点：无穷限的广义积分+∞dx+∞dx(+2)+∞ππ解:==arctan(x+2)=−−()=π.∫−∞2∫−∞2−∞x+4x+5(x+2)+122故题设广义积分收敛于π.+∞lnx(5)∫dxex
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：无穷限的广义积分+∞lnx+∞12+∞解:∫dx=∫lnxdlnx=lnx=+∞exe2e+∞lnx∴∫dx发散.ex+∞dx(6)∫12xx(+1)知识点：无穷限的广义积分+∞dx+∞1x2+∞11解:=(−)dx=(lnx−lnx+1)=−ln=ln2.∫1xx(2+1)∫1x(x2+1)1221故题设广义积分收敛于ln2.21xdx(7)∫021−x知识点：无界函数的广义积分（暇积分）21xdx1−εd(1−x)21−ε解:∫=lim∫=−lim[1−x]=−(01)1.−=01−x2ε→+00−21−x2ε→+00故题设广义积分收敛于1.2dx(8)∫02(1−x)知识点：无界函数的广义积分（暇积分）思路：注意到x=1是被积函数的无穷间断点（暇点）2dx1dx2dx解:=+∫01−x2∫01−x2∫11−x2()()()11dx1∵==∞∫01−x21−x()0故题设瑕积分发散.2xdx(9)∫1x−1知识点：无界函数的广义积分（暇积分）解:本题是瑕积分,x=1是被积函数的无穷间断点（暇点）2xdx2x−+11∫=lim∫dx(−1)1x−1ε→+01+εx−1322222=(x−1)2+2limx−1=+−=202.31ε→+01+ε33
课后答案网（http://www.khdaw.com）2故题设广义积分收敛于2.32xdx2x−+1123/2228注：暇积分的计算可简化为：∫=∫dx(−1)=(x−1)+2x−1=，1x−11x−13113简化过程概括为：先求原函数，再代入上下限，其中暇点的代入过程是求原函数在该点处极限的过程。+∞dx★★2．当k为何值时,广义积分收敛?当k为何值时,该广义积分发散?又当k为何值时,∫2kx(lnx)该广义积分取得最小值?知识点：无穷区间的广义积分，函数的最值dxdlnx11解:当k≠1时,==+C;∫k∫kk−1x(lnx)lnx1−k(ln)xdxdlnx当k=1时,∫=∫=lnlnxC+.xlnxlnx+∞⎧lnlnx,k=12+∞dx⎪⎪所以=⎨+∞∫2k11x(lnx)⎪,⎪1−k(ln)xk−1k≠1⎩2(1)k=1时,原式=+∞.原广义积分发散;11−k+∞(2)k<1时,原式=(ln)x=+∞,原广义积分发散;1−k211−k+∞11(3)k>1时,原式=(ln)x=i,原广义积分收敛;2k−11−kk−1(ln2)11k−1(4)k>1时,记fk()=(),则k−1ln211k−111k−1111k−11fk′()=()+()ln()=−()(+lnln2)2(k−1)ln2k−1ln2ln2k−1ln2k−11令fk′()=⇒0k=−1为唯一的驻点.lnln2当k从该驻点的左边运动到其右方时,fk′()由负数变为正数,所以该驻点为fk()的极小值点,且该函1数没有边界值,因此k=−1为原广义积分的最小值点.lnln211k−1注：求最值部分，也可解为：记fk()=ln[()]=−ln(k−1)(−k−1)lnln2,k−1ln2111fk′()=−−lnln2=⇒0k=−1，∵fk′′()=>0，2k−1lnln2(k−1)
课后答案网（http://www.khdaw.com）1fk()11k−1∴k=−1是fk()的极小点，也是e=()的极小点。lnln2k−1ln2★★3．下列计算是否正确?为什么?11dx1(1)=−=−2∫−1x2x−1解:不正确.本题是无界函数的广义积分,有瑕点x=∈−0[1,1].011dx0dx1dx0dx11dx1正确的做法：=+，∵=−=+∞，（或=−=+∞）∫−1x2∫−1x2∫0x2∫−1x2x∫0x2x−10故该积分是发散的.+∞x(2)∫dx=0（因为被积函数为奇函数）−∞21+x知识点：广义积分的敛散性+∞a+∞思路：据定义：∫−∞fxdx()=∫−∞fxdx()+∫afxdx()；+∞a+∞∫fxdx()收敛当且仅当∫fxdx(),∫fxdx()都收敛−∞−∞a解:不正确.对于广义积分没有类似奇偶函数的积分公式.2+∞xb(1+x)2b∫dx=lim∫=lim(1+x)−∞1+x2x→−∞a21+x2x→−∞ab→+∞b→+∞22=lim(1+b−1+a),x→−∞b→+∞所以发散.0x0+∞x2（或说明为：∵∫dx=1+x=−∞，∴∫dx发散）−∞2−∞−∞21+x1+x+∞n−x★★4．计算广义积分I=xedx(n为自然数)n∫0知识点：无穷限的广义积分思路：用分部积分求出递推公式+∞+∞+∞+∞n−xn−xn−xn−1−x解:I=xedx=−xde=−xe+nxedxn∫0∫00∫0nxn!=−lim++0nI=−lim+nI=nI.xn−1xn−1n−1x→∞ex→∞e所以I=nI.nn−1+∞+∞+∞x+∞−x−x−x−x而I=xedx=−xe+edx=−lim−e=1.1∫00∫0x→+∞ex0
课后答案网（http://www.khdaw.com）所以I=nI=nn(−1)I=⋯=nI!=n!.nn−1n−21习题5-6★★1．判断下列广义积分的敛散性:2+∞lnx(1)dx∫1x2知识点：无穷限广义积分的敛散性思路：由无穷限广义积分的比较极限审敛原理，对非负函数fx()，fx()p1①若lim=limxfx()=l（l>0），（该式表明：fx(),是x→+∞时的同价无穷小），px→+∞1x→+∞xpx+∞+∞则当p>1时，∫fxdx()收敛，当p≤1时，∫fxdx()发散。aafx()p1②若l=0，式子lim=limxfx()=l表明：fx()是比高阶的无穷小（p>0），px→+∞1x→+∞xpx+∞则当p>1时，∫fxdx()收敛afx()p1③若lim=limxfx()=+∞，该式表明：fx()是比低阶的无穷小（p>0），px→+∞1x→+∞xpx+∞则当p≤1时，∫fxdx()发散。a+∞因此对非负函数fx()，∫fxdx()的敛散性和fx()当x→+∞时趋于0的速度密切相关。a2lnx解:fx()==fx()≥0(1≤≤+∞x),2x2lnx1x2ln2x2lnxx∵lim=lim=lim=4lim111x→+∞1x→+∞x2x→+∞x2x→+∞2x23x221=8lim=0.x→+∞x23+∞lnx又p=>1,l=0,故无穷积分dx收敛.2∫1x2+∞1(2)sindx∫1x2知识点：无穷限广义积分的敛散性
课后答案网（http://www.khdaw.com）11解:因为0sin<<，由比较审敛原理（推论1）知22xx+∞1sindx(p=21)>收敛∫1x221（或解为：∵limxsin=1，又p=21>，∴原广义积分收敛）2x→+∞x1(3)∫lnxdx0知识点：无界函数广义积分的敛散性思路：由无界函数广义积分的比较极限审敛原理：对非负函数fx()，满足limfx()=+∞，x→+a0fx()q1若lim=lim(xa−)fx()=>l0x→+a01x→+a0q(xa−)bb则当0时，y′>0，∴x=是y=x−x+1的极小点，444343又∵y()>0，∴y=x−x+>10,(x≥0)42xlnx2lnxx−1又因为lim=limxlnx=lim=lim=043−2−3x→0x−x+1x→0x→0xx→0−2x2+∞xlnx∴dx仅为无穷限的广义积分，∫0x4−x3+12−13/2xlnxlnxx∵limx=lim=lim=0431/2−1/2−7/2x→∞x−x+1x→∞x−x+xx→∞1−1/21−3/27−9/2x+x−x22223+∞xlnx又p=>1,∴dx收敛.2∫0x4−x3+1m+∞x★★2．讨论dxm(>0,n>0)的敛散性.∫01+xn知识点：无穷限广义积分的敛散性mx1解:fx()=∼,当x充分大时,nnm=1+xxm+∞xnm−若nm−>1,limxfx()1=,则dx收敛.x→+∞∫01+xnm+∞xnm−若nm−≤1,limxfx()1=,则dx发散.x→+∞∫01+xn★★★3．计算
课后答案网（http://www.khdaw.com）Γ(7)(1)2(4)(3)ΓΓΓ(7)6!解:==30;2(4)(3)ΓΓ23!2!ii3Γ(3)()Γ2(2)9Γ()21解:∵Γ()=π，Γ(s+1)=Γs()s233Γ(3)()Γ2!()Γ2216∴==;97533105Γ()iiiΓ()22222+∞4−x(3)∫xedx0+∞4−x解:∫xedx=Γ(5)=4!24;=0+∞22−2x(4)∫xedx0tx=21+∞2−2x21+∞2−t13π解:∫xedx=∫tedt=Γ()=.042042282★★4．用Γ函数表示下列积分,并指出积分的收敛范围:+∞n−x(1)∫edxn(>0)0解:用换元法将积分化为Γ函数.111nn1n−1+∞−xn+∞−n1n−111令x=⇒ux=udx,=udu,则∫edx=∫eudu=Γ().n00nnn1此处当s=>0,即n>0时,该Γ函数表示的积分收敛,故题设广义积分收敛.np11(2)∫(ln)dx0x1−u−u解:令u=ln,则x=e,dx=−edu,xp110+∞p−u(p+−1)1−u∫0(ln)dx=−∫+∞uedu=∫0uedu=Γ(p+1)x当s=p+>10,即p>−1时,题设积分收敛.
课后答案网（http://www.khdaw.com）x2+∞1−(3)∫e2dx−∞2πx2x2x2+∞1−01−+∞1−解:∫e2dx=∫e2dx+∫e2dx−∞2π−∞2π02πx211+∞1−+∞1−t1−1+∞−t−111∫e2dx=∫e2itdt2=∫etdt2=Γ()=.02π02π22π02π22x2t2t201−x=−t01−+∞1−1∫e2dx=∫e2d()−=t∫e2dt=.−∞2π+∞2π02π2x2+∞1−所以∫e2dx=1.−∞2π2n−11★★5．证明：πΓ(2)n=2Γ()(nΓn+)2证明：左式=π(2n−1)!2n−1135ii⋯(2n−1)πnn−1135ii⋯(2n−1)π右式=2(n−1)!=22i(n−1)!nn22=(2n−2)!!(2n−1)!!π=π(2n−1)!左式=右式=π(2n−1)!.总习题五★1估计下列各积分的值知识点：定积分的性质（估值不等式）思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围02x−x(1)∫edx222x−xx−x解：设fx()=e,x∈[0,2,]fx′()=(2x−1)e,111−42令fx′()=0,得到唯一的驻点x=，又因为f()=e,(0)1,(2)f=f=e,2211−42所以m=min()fx=f()=e,M=max()fx=e21−224x−x2而区间长度为ba−=−=202,从而2e≤∫edx≤2e0102−2x−x4所以−2e≤∫edx≤−2e2
课后答案网（http://www.khdaw.com）1dx(2)∫0234−x+x232解：:因为4≥−4x+x≥−4xx,∈[0,1]111所以≤≤,44x2x34x2−+−11111x1π所以=∫dx≤≤I∫dx=arcsin=20204−x220611dxπ即≤∫≤204−x2+x36np+sinx★2.利用积分中值定理证明:lim∫dxn→∞nx知识点：定积分的性质（积分中值定理）sinx证:因为的原函数不是初等函数,不能直接积分,根据积分中值定理xnp+sinxsinξsinξ∫dx=(n+pn−)=p,ξ∈[,nn+p]nxξξsinξ当n→∞时,有ξ→∞，所以lim=0ξ→∞ξnp+sinxsinξ因此lim∫dx=limp=0n→∞nxξ→∞ξ2n+2x★★3.求极限limdxn∫nx2→∞e知识点：定积分的性质（估值不等式）、夹逼准则22x(n+2)解：:由于当n≤x≤+n2时，0<<22xnee22n+2x(n+2)所以01时,<∫dx∑∫dx=∫dx=ln(1+n)23nk=2k−1x1x111从而ln(1+n)1<+++...+<+1lnn23n★★6.设函数fx()在[,]ab上连续,且fx()>0,证明1b1bln[∫fxdx()]≥∫ln()fxdxba−aba−a知识点：定积分性质ba−证:把[,]ab分成n等份（a=xxx,,,⋯,x,x=b;∆=x）,因为fx()>0,由算术平均012n−1ninnn1ba−1值不小于其几何平均值得：•∑fx()=∑fx()≥nfxfx()()⋯fx()kk12nba−nk=1nk=1nn⎡1ba−⎤1ba−所以ln⎢•∑fx()k⎥≥•∑ln()fxk⎣ba−nk=1⎦ba−nk=1nn1ba−1ba−由fx()及ln()fx的连续性得：limln[∑fx()k]≥lim∑ln()fxkn→∞ba−k=1nba−n→∞k=1n
课后答案网（http://www.khdaw.com）nn1ba−1ba−∴limln[∑fx()k]≥lim∑ln()fxkn→∞ba−k=1nba−n→∞k=1n1b1b故ln[∫fxdx()]≥∫ln()fxdxba−aba−a★★7.设fx()在[0,](aa>0)上有连续导数,且f(0)=0,证明2aMa∫fxdx()≤,其中M=maxfx′().020≤≤xa知识点：拉格朗日中值定理,定积分的估值不等式证:对于任意给定的x∈(0,]a,由拉格朗日中值定理有fx()−f(0)=f′()ξ•x,ξ∈(0,)x又因为f(0)=0，所以fx()=f′()ξ•x(0≤x≤a)2aaaMa故∫fxdx()≤∫fxdx()≤∫Mxdx=,0002★★★8.设fx()在[0,1]上连续且单调减少,试证:对任何a∈(0,1)有a1∫fxdx()≥a∫fxdx().00知识点：第一类换元积分法a1证:令x=at，则∫fxdx()=a∫fatdt()00又∵fx()在[0,1]上连续且单调减少111∴fat()≥ft()⇒a∫fatdt()≥a∫ftdt()=a∫fxdx().000所以原式成立x★★9.ϕ()x在[,]ab上连续,fx()=(xb−)∫ϕ()tdt,则由罗尔定理,必有ξ∈(,)ab,a使f′()ξ=()(A)1(B)−1(C)0(D)ϕξ()知识点：罗尔定理思路：通过求证fx()满足罗尔定理条件,再由罗尔定理得到结论解：选(C)x由于ϕ()x在[,]ab上连续,则∫ϕ()tdt可导a
课后答案网（http://www.khdaw.com）x从而fx()=(xb−)∫ϕ()tdt可导,又fa()=0,()fb=0a故满足罗尔定理条件,从而∃∈ξ(,)ab,使f′()ξ=0x★★10.已知∫[2()1]ft−dt=fx()1−,则f′(0)=()0(A)2(B)2e−1(C)1(D)e−1知识点：积分上限函数求导公式思路：两边同时对x求导,从而得到结果解：选(C)x由等式∫[2()1]ft−dt=fx()1−两边同时对x求导可得：2()1fx−=fx′()0∴2(0)1f−=f′(0)又由题设可知f(0)1=,从而f′(0)1=x2⎧(et−1)dtx≠0⎪∫0★★★11.若fx()=⎨2,求f′(0)x⎪⎩0x=0知识点：某一点处的函数导数公式,罗必达法则解：按照x=0处导数的定义及罗必达法则：x2t2fx()0−∫(e−1)dtex−11′==0==f(0)limlimlim32x→0x−0x→0xx→03x32y0dy−t2★★★12.设函数y=yx()由方程∫edt+∫costdt=0所确定,求0xdx知识点：积分上限函数求导公式思路：两边同时对x求导,从而得到结果解：两边同时对x求导,得:−y2dy2e2y−cosx=0dx2y2dyecosx从而=，(y≠0)dx2y22t1dy2★★★13.设x=ulnudu,y=ulnudut(>1),求∫1∫t2dx2知识点：参数方程的求导法则,积分上限函数求导公式223解：x′=tlnt•2t=4ln,ttt425y′=−tlnt•2t=−4ln,ttt
课后答案网（http://www.khdaw.com）dyy′−4lnt5tt2===−t,3dxx′4lnttt22dyd⎛dy⎞d(−t)1−2t1=⎜⎟=•==−dx2dxdxdtdxt3tt2t⎝⎠4ln2lndtx2t2(∫edt)0★★★14.求极限limx2x→02t∫tedt0知识点：罗必达法则,积分上限函数求导公式0思路：本题为型,利用罗必达法则依次求导可得0解：根据罗必达法则x2x22x2x2t2txtt(∫0edt)2∫0edte•∫0edt∫0edtlim=lim=2lim=2lim0x2202x20x20x→tedttx→xex→xex→x∫0x2e=2lim=2x→01x22★★★15.设ft()在0≤≤+∞t上连续,若∫ftdt()=x(1+x),求f(2)0知识点：积分上限函数求导公式x22解：在∫ftdt()=x(1+x)两边同时对x求导,得02223xfx()2•x=2x+3x从而fx()1=+232令x=2,所以f(2)1=+2x★★★16.求函数Fx()=∫tt(−4)dt在[−1,5]上的最大值与最小值0知识点：函数的最值求法,积分上限函数求导公式思路：先求出函数的驻点,判断驻点处函数值的大小,从而得到最值解：令Fx′()=xx(−4)=0,x=0,x=4为驻点1233x⎛t2⎞xx2又因为Fx()=∫tt(−4)dt=⎜−2t⎟=−2x0⎝3⎠0332725从而F(0)=0,(4)F=−,(1)F−=−,(5)F=−,333
课后答案网（http://www.khdaw.com）32所以最大值为F(0)=0,最小值为F(4)=−32x03★★★★17.已知fx()为连续函数,且∫xftdt()+2∫tf(2)tdt=2(xx−1),0x求fx()在[0,2]上的最值知识点：函数的最值求法,积分上限函数求导公式思路：先求出函数fx()表达式,求其驻点,判断驻点处函数值的大小,从而得到最值2x03解：原方程化为：x∫ftdt()+2∫tf(2)tdt=2(xx−1),两边对x求导:0x2x0′2x2x⎡⎤左边求导=xftdt()+2tf(2)tdt=ftdt()+2xf(2)2x−xf(2)x=ftdt(),⎢⎣∫0∫x⎥⎦∫0∫03′32右边求导=⎡2(xx−1)⎤=8x−6x⎣⎦2x32所以∫ftdt()=8x−6x02两边再对x求导,得2(2)fx=24x−12x，所以f(2)x=•32(2xx−1)⇒fx()=3(xx−1)113因为fx′()=6x−3,令fx′()=0得x=,又f(0)=0,()f=−,(2)f=6,22413因此f(2)=6,()f=−分别为fx()的最大值和最小值242⎧x,x∈[0,1)x★★★18.设fx()=⎨,求ϕ()x=∫ftdt()在[0,2]上的表达式,⎩x,x∈[1,2)0并讨论ϕ()x在(0,2)内的连续性知识点：定积分及函数的连续性判断思路：先求出函数ϕ()x表达式,再判断分段点处的连续性x213x13解：当0≤x≤1时,ϕ()x=∫tdt=t=x;030312x112x121当1≤x≤2时,ϕ()x=∫tdt+∫tdt=+x=x−;0132126⎧1x3,x∈[0,1)⎪⎪3所以ϕ()x=⎨⎪1x2−1,x∈[1,2)⎪⎩26可知ϕ()x在(0,1)∪(1,2)内都是初等函数,所以其在(0,1)∪(1,2)内为连续函数.
课后答案网（http://www.khdaw.com）131121111又因为ϕ(10)−=lim(x)==ϕ(1)；ϕ(10)+=lim(x−)=−==ϕ(1)−−x→133x→126263所以ϕ()x在(0,2)内处处连续.212★★★19.已知fx()=x−x∫fxdx()+2∫fxdx(),求fx()00知识点：定积分的性质212解：设∫fxdx()=a,∫fxdx()=b,则fx()=x−ax+2b002282把fx()分别代人两式,得：∫fxdx()=∫(x−ax+2)bdx=−2a+4b=a0031121a∫fxdx()=∫(x−ax+2)bdx=−+2b=b00328241解得:3a−4b=，a−2b=⇒a=,b=.3333242所以fx()=x−x+.33x2x★★★20.设fx()连续,若满足∫tf(2xtdt−)=e,且f(1)1=,求∫fxdx()01知识点：第一类换元积分,,积分上限函数求导公式解：设u=2xt−,则xx2x2x∫0tf(2xtdt−)=−∫2x(2xufudu−)()=2x∫xfudu()−∫xufudu()2x2xx因此fx()满足：2x∫fudu()−∫ufudu()=exx2xx方程两边关于x求导：2∫fudu()+2[2(2)xfx−fx()]4−xf(2)x+xfx()=ex2xx整理可得：2∫fudu()=xfx()+ex21+e取x=1,可得：∫fxdx()=12★★21.用定积分换元法计算下列定积分知识点：定积分的运算π3(1)∫(1sin−θ)dθ0π3ππ2π13π4解：∫0(1sin−θ)dθ=θ0+∫0(1cos−θ)cosdθ=π+cosθ0−cosθ0=π−.333dx(2)∫0(1+x)x3dx3dx32π解：∫0=2∫02=2arctanx=.(1+x)x1(+x)03
课后答案网（http://www.khdaw.com）edx(3)∫exln(1ln)x−x1解：设t=lnx,当x=e时,t=,当x=e时,t=12edx1dt1dt1π所以,∫=∫1=2∫1=2arcsint=.exln(1ln)x−x2t(1−t)21(−t)21/2222(4)∫82−ydy−2解：设,y=2sinx,则ππ22424282−ydy=81sin−xd(2sin)x=42cosxdx∫−2∫−π∫−π44π=42∫4(1cos2)+xdx0⎡π1π/4⎤=42+sin2x=2(π+2)⎢0⎥⎣42⎦211−x(5)∫12dxx2解：设x=sint2π2ππ11−x21sin−t2222则∫12dx=∫π2costdt=∫πcottdt=∫π(csct−1)dtxsint2444π/2π=−(cottt+)=−1.π/44a222(6)∫xa−xdx0解：设x=asintππa22224224222则∫xa−xdx=∫asint1sin−tcostdt=a∫sintcostdt0004πa22=∫sin2td(2t)80在利用换元法,令u=2t,则44aπ1cos−uaπ14原式==du=⎡π−sinu⎤=πa.8∫0216⎣0⎦161x(7)∫dx02−x
课后答案网（http://www.khdaw.com）2解：设t=x,则x=tdx,=2tdt,1x1t14从而∫dx=∫2tdt=−2(∫t+−2)dt02−x02−t02−t1⎡12⎤=−2t+2t+4ln2−t=8ln25.−⎢⎥⎣2⎦02dx(8)∫03x++1(x+1)解：设t=1+x,则2dx32tdt32dt3π===2arctant=.∫0x++1(x+1)3∫1tt+3∫11+t21622(9)∫min(2,xdx)−3⎧x2x≤22解：因为fx()=min(2,x)=⎨⎩2x>222−2228222所以∫min(2,xdx)=∫fxdx()=∫2dx+∫xdx+∫2dx=10−−3−3−3−223★★22.用分部积分计算下列积分知识点：分部积分法e(1)∫1lnxdxee1eee11解：∫1lnxdx=−∫1lnxdx+∫1lnxdx=(ln)xx1−∫1dx−(ln)xx1/e+∫1dxeee112=−+−+−ee11=−2.eee153(2)∫xlnxdx01531136163111521126解：∫0xlnxdx=∫0lnxdx=xlnx0−∫03xlnxdx=−∫0lnxdx6661216211151151=−xlnx+∫xlnxdx=−∫xdx=−.12060360216kk−16k16klnxklnxk!注：xlnx=−0limxlnx=−lim=lim=lim=0，0++−6+−6+kk−6x→0x→0xx→06xx→0(1)36−x（k∈N）
课后答案网（http://www.khdaw.com）1ln(1+x)(3)dx∫0(2−x)211ln(1+x)1⎛1⎞ln(1+x)11解：dx=ln(1+xd)⎜⎟=−dx∫0(2−x)2∫0⎝2−x⎠2−x∫0(1+x)(2−x)01111111+x1=ln2−∫(+)dx=ln2−ln=ln2.301+x2−x32−x30★★★23.利用函数的奇偶性计算下列积分知识点：在对称区间上的积分,若被积函数为奇函数,积分结果为0.若被积函数为偶函数,积分结果为单侧区间积分的两倍.12(1)∫(2x+x+1)dx−11122解：∫(2x+x+1)dx=∫(5x+2x++14xx+4)xdx−1−12因为4xx+4x为奇函数,5x+2x+1为偶函数,112222所以,原式=∫(5x+2x+1)dx=2(5∫x+2x+1)dx=.−103π(2)∫(1cos2+x+xsin)xdx−π解：因为xsinx是[−ππ,]上的奇函数,且1cos2+x是[−ππ,]上的偶函数π所以∫xsinxdx=0.−ππππ原式=∫1cos2+xdx=2∫1cos2+xdx=22∫cosxdx−π00ππ⎛2⎞=22⎜∫0cosxdx−∫πcosxdx⎟=42.⎝2⎠ee2★★24.设定积分I=lnxdx,I=lnxdx,则()1∫12∫12(A)I−I=0(B)I−2I=02121(C)I+2I=e(D)I−2I=e2121知识点：分部积分法.eee22解：∵I=lnxdx=xlnx−2lnxdx=−e2I2∫11∫11从而I+2I=e，故选C21122★★25.填空:∫(x+1−x)dx=________.−1
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：利用函数的奇偶性计算定积分.解：应填2.理由是：11111222222∫−1(x+1−x)dx=∫−1(x+2x1−x+−1xdx)=∫−12x1−xdx+∫−1dx=∫−1dx=255★★26.填空:设f(5)=2,∫fxdx()=3,则∫xfxdx′()=________.00知识点：分部积分法.解：应填7.理由是：5555∫0xfxdx′()=∫0xdfx(())=xfx()0−∫0fxdx()=7aa22★★★27.证明:∫ϕ(xdx)=2∫ϕ(xdx),其中ϕ()x为连续函数−a0知识点：利用函数的奇偶性计算定积分..222证:由ϕ()x及x的连续性可知等式两边的积分都存在,显然ϕ⎡⎣(−x)⎤⎦=ϕ(x),2从而ϕ(x)为区间[−aa,]上的偶函数,所以aa22∫ϕ(xdx)=2∫ϕ(xdx)−a011dxdxx★★★28.证明:=(x>0)∫x1+x2∫11+x2知识点：换元积分.11证:设x=,则dx=−dt,2tt111dx1dtdtdx=−=t=x.∫x1+x2∫1t2(1+1)∫11+t2∫11+x2t2tπ24′′′★★★★29.已知fx()=tanx,求∫fxf()()xdx0知识点：换元积分法.2解：因为fx′()=2tanx•secx,ππ4′′′=4′′=1′2π/4=12•4π/4=所以∫fxf()()xdx∫fxdfx()()[()]fx[4tanxsecx]8.002020★★★★30.设连续函数fx()是一个以T为周期的周期函数,试证明:对任意的常数a,有aT+T∫fxdx()=∫fxdx(),a0并说明其几何意义知识点：第一类换元积分法.aT+0TaT+方法一、证：∫afxdx()=∫afxdx()+∫0fxdx()+∫Tfxdx()
课后答案网（http://www.khdaw.com）aT+在∫fxdx()积分中,设x=T+t,则dx=dtTaT+aa从而∫fxdx()=∫ftTdt(+)=∫ftdt()T00aT+0TaT所以∫fxdx()=∫fxdx()+∫fxdx()+∫ftdt()=∫fxdx()aa000其几何意义是在任意一个周期内曲边梯形面积的代数和均相等.aT+方法二、证：令Fa()=∫fxdx()a∵Fa′()=faT(+)−fa()=⇒0Fa()=C=F(0)aT+T∴∫fxdx()=∫fxdx()a02⎧x0≤x≤12★★31.设fx()=⎨,求∫fxdx()⎩2−x10,bx−>0,b所以2∫ftdt()≥(bafx−)()a2b即fx()≤∫fxdx()ba−a★★★★37.设函数fx()在(−∞+∞,)内满足fx()=fx(−π)sin+x,且fx()=xx,∈[0,)π,求3π∫fxdx()π知识点：定积分的换元法3π3π3π解：∫πfxdx()=∫π[(fx−π)sin]+xdx=∫πfx(−π)dx
课后答案网（http://www.khdaw.com）2ππ2π设t=−xπ,原式=∫ftdt()=∫ftdt()+∫ftdt()00ππ2π=∫tdt+∫[(ft−π)sin]+tdt0π2π2π=−+2∫ft(−π)dt2π2ππ2再设u=−tπ,原式=−+2∫fudu()=π−2.201★★★38.设在[1,+∞)上,00，可知在[1,+∞)上fx()单调增加，利用单调有界准则，要想使lim()fn存在，只n→∞要证明fx()有界即可1xx1因为0I>1;(B)1>I>I;1212(C)I>I>1;(D)1>I>I.2121
课后答案网（http://www.khdaw.com）应选B12x−sin2xtanxxsecx−tanx2π解：设fx()=，则fx′()==>0,x∈(0,].xx2x2cos2x4ππ4从而fx()在(0,]内单调递增，且f()=,44πππtanx4tanxx所以I=4dx<4dx=1,又x1,<1，故I>I.1∫0x∫0πxtanx12∴选B+★★4.把x→0时的无穷小量xx2x23α=∫0costdt,β=∫0tantdt,γ=∫0sintdt排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是().(A)αβγ,,;(B)αγβ,,;(C)βαγ,,;(D)βγα,,.应选B+解：由于x→0时22131α′=cos(x)→1,β′=2tanxx∼2,xγ′=sin(x2)∼x,2x2所以α′不是无穷小量，β′为2阶无穷小量，γ′为1阶无穷小量，于是αβγ,,分别为1阶，3阶与2阶无穷小量，将其排序即得αγβ,,.1222n2★★★5.limln(1n+)(1+)⋯(1+)等于().n→∞nnn222(A)∫lnxdx;(B)2∫lnxdx;11222(C)2∫ln(1+xdx);(D)∫ln(1+xdx).11应选Bnni1解：因为原式=2lim∑ln(1+)i=2lim∑ln(1+xi)∆xi,n→∞nnn→∞i=1i=11i将区间[1,2]等分为个n小区间，则∆=x，在每个小区间[x,]x上取右端点x=+1，ii−1iinni函数fx()=lnx在x的值为fx()=ln(1+)，根据定积分的定义，所以iin
课后答案网（http://www.khdaw.com）1222n22limln(1n+)(1+)⋯(1+)=2∫lnxdx.n→∞nnn1★★6.设Fx()是连续函数fx()的一个原函数,"M⇔N"表示"M的充分必要条件是N",则必有(A)Fx()是偶函数⇔fx()是奇函数;(B)Fx()是奇函数⇔fx()是偶函数;(C)Fx()是周期函数⇔fx()是周期函数;(D)Fx()是单调函数⇔fx()是单调函数;应选Ax解：任一原函数可表示为Fx()=∫ftdtC()+,且Fx′()=fx().当Fx()为偶函数时，有0F(−x)=Fx(),于是F′(−x)(1)i−=Fx′(),即−f(−x)=fx(),也即f(−x)=−fx(),可见xxfx()为奇函数；反过来，若fx()为奇函数，则∫ftdt()为偶函数，从而Fx()=∫ftdtC()+,为00偶函数，所以(A)为正确选项。121x★★7.edx=_________.∫1x3e应填.2解:利用分部积分法,则1111121211221e2eedxx=−dex=−ex+edx=−e+ex=.∫1x3∫1xx1∫1x212e所以应填.21xdx★★8.∫=_________.022(2−x)1−xπ应填.4解：令x=sin,t则π1xdxsincostt=2dt∫0(2−x2)1−x2∫0(2sin)cos−2tt
课后答案网（http://www.khdaw.com）ππdcostπ=−2=−arctancost2=.∫01cos+2t041π2πnπ★★★9.填空lim[1cos++1cos++⋯+1cos+]=_________.n→∞nnnnn1π2πnπiπ1解:lim[1cos++1cos++⋯+1cos+]=lim∑1cos+in→∞nnnnn→∞i=1nn1π1πx2πx22=∫01cos+xdx=∫0|2cos|dx=∫0cosdx=.ππ2π2ππ2322★★10.填空∫(x+sinx)cosxdx=_________.−π2π32232解:因为xcosx是奇函数,从而∫−πxcosxdx=0,2ππ2322222所以∫(x+sinx)cosxdx=∫sinxcosxdx−π−π22ππ22222222又因为sinxcosx是偶函数,所以∫sinxcosxdx=2∫sinxcosxdx−π021π221π2π=∫sin2xdx=∫(1cos4)−xdx=.20408+∞dx★★11．填空∫=_________.2(x+7)x−22解:令t=x−2,则x=t+2,dx=2tdt,+∞dx+∞2tdt+∞dt1t+∞π==2=2iarctan=.∫2(x+7)x−2∫0(t2+9)t∫0t2+93303fx()2x★★★12.设函数fx()在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且其反函数为gx().若∫gtdt()=xe,求0fx().x2x解:等式两边对x求导得：gfxfx[()]()′=2xe+xe,x2xxx而gfx[()]=⇒xxfx′()=2xe+xe,当x≠0时,fx′()=2e+xe,x积分得fx()=(x+1)e+C,由f(0)=0代入可得C=−1,
课后答案网（http://www.khdaw.com）x所以fx()=(x+1)e−1.★★★13.设fx()在区间[−aa,](a>0)上有二阶连续导数,f(0)=0,(1)写出fx()的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明在[−aa,]上至少存在一点η,使a3af′′()η=3∫fxdx().−a解:(1)对于区间[−aa,]内的任意一点x,有f′′()ξ2f′′()ξ2fx()=f(0)+f′(0)x+x=f′(0)x+xξ∈(0,).x2!2!aaaf′′()ξ21a2(2)∫−afxdx()=∫−axf′(0)dx+∫−axdx=∫−af′′()ξxdx2!2因为f′′()x在[−aa,]上连续,所以存在Mm,>0,使得m≤f′′()x≤Mma2a1a2Ma2⇒∫−axdx≤∫−afxdx()=∫−axf′′()ξdx≤∫−axdx,2223a即m≤fxdx()≤M,a3∫−a对于f′′()x，由介值定理知,至少存在一点η∈−[aa,],使得3aa3f′′()η=fxdx(),即af′′()η=3fxdx().a3∫−a∫−a★★★14．设xoy平面上有正方形D={(,)|0xy≤x≤1,0≤y≤1}及直线lx:+y=t(t≥0).x若St()表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求∫Stdt()(x≥0).0解:见下图，由题设知yx+y=tt0tx
课后答案网（http://www.khdaw.com）2⎧t,⎪20≤≤t1⎪⎪1212St()=⎨1−(2−t)=−t+2t−1,1<≤t2⎪22t>2⎪1,⎪⎩xx1213当0≤x≤1时,∫Stdt()=∫tdt=x,00263x1xx21当12时,∫Stdt()=∫Stdt()+∫Stdt()=−x1.002⎧1x3,0≤x≤1⎪6⎪3x⎪x21所以,12⎩x★★★15.设函数Sx()=∫|cos|tdt,0(1)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证2n≤Sx()<2(n+1);Sx()(2)求lim.x→+∞x解:(1)因为|cos|0,t≥且nπ≤x<(n+1),πnπx(n+1)π所以∫|cos|tdt≤∫|cos|tdt<∫|cos|tdt,000又因为|cos|t是以为π周期的函数,在每个周期上积分相等nππ(n+1)π⇒∫0|cos|tdt=n∫0|cos|tdt=2,n∫0|cos|tdt=2(n+1),所以.当nπ≤x<(n+1)π时,有2n≤Sx()<2(n+1);2nSx()2(n+1)(2)由题(1)可知,当nπ≤x<(n+1)π时,≤<,(n+1)πxnπ2n2(n+1)2∵lim=lim=n→∞(n+1)πn→∞nππSx()2∴由夹逼准则得lim=.x→+∞xπ
课后答案网（http://www.khdaw.com）arctanx2−t★★★16.已知两曲线y=fx()与y=∫edt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求02极限limnf().n→∞narctanx2−t解:由题设条件y=fx()与y=∫edt都过(0,0)点，可知f(0)=0,02−(arctan)xe又在(0,0)初切线相同，∴f′(0)==1,21+xx=0所以所求切线方程为：y=x,2⎧x=+12t2⎪dy★★★17.设函数y=yx()由参数方程⎨12ln+teu(t>1)所确定,求.2⎪y=∫dudxx=9⎩1u12ln+tdye22etdx解：由=i=,=4tdt12ln+tt12ln+tdtdy2et⇒dy=dt=12ln+t=e,dxdx4t2(12ln)+tdtddy2()dye−121e所以=dtdx=iii=−.dx2dx2(12ln)+t2t4t4(12ln)t2+t2dt2当x=9时，由x=+12t及t>1⇒=t2.2dyee故=−=−.2222dxx=94(12ln)t+tt=216(12ln2)+2f()−f(0)2nlimnf()=lim=2(0)f′=2.n→∞nn→∞2nπx+2★★★18.设fx()=∫|sin|tdt,x(I)证明fx()是以π为周期的周期函数;(II)求fx()的值域.x+3πtu=+πx+πx+π证明：(I)fx(+π)=∫2|sin|tdt=∫2|sin(u+π)|du=∫2|sin|udu=fx(),x+πxx故fx()是以π为周期的周期函数.
课后答案网（http://www.khdaw.com）解：(II)因为|sin|t在(−∞+∞,)上连续，因为fx()的周期为π，故只需在[0,π]上讨论其值域.3π因为fx′()|sin(=x+)||sin(−x+π)||cos||sin|,=x−x2π3π令fx′()=0，得驻点x=,x=,函数fx()在驻点与端点的值为1244fx()=2,fx()=−22,12π3πf(0)=∫2sintdt=1,f()π=∫2(sin)−tdt=1,0π比较上述4个函数值，其中最大的2为其最大值，其中最小的2−2为其最小值，故fx()的值域为：[2−2,2].★★★19.曲线C的方程为y=fx(),点(3,2)是它的一个拐点,直线l与l分别是曲线C在点(0,0)与12(3,2)处的切线,其交点为(2,4),设函数fx()具有三阶连续导数,计算定积分32∫(x+xf)′′′().xdx0解：因为曲线经(0,0)，(3,2)，∴f(0)=0,(3)f=2,40−42−又∵f′(0)==2;f′(3)==−2;f′′(3)=0（因为(3,2)是fx()的拐点），20−23−3333222所以∫(x+xf)′′′()xdx=∫(x+xdf)′′()x=(x+xdf)′′()x−∫(2x+1)f′′()xdx0000333=−∫0(2x+1)dfx′()=−(2x+1)()fx′0+2∫0fxdx′().3=162()+fx=200★★★20.设函数fx()连续,且f(0)≠0,求极限x∫(xtftdt−)()0lim.xx→0x∫fxtdt(−)0xxtu−=0x解：因为∫0fxtdt(−)=∫xfu()(−du)=∫0fudu(),xxxx∫0(xtftdt−)()x∫0ftdt()−∫0tftdt()∫0ftdt()+xfx()−xfx()故lim=lim=limxxxx→0x→0x→0x∫0fxtdt(−)x∫0fudu()∫0fudu()+xfx()
课后答案网（http://www.khdaw.com）xx∫ftdt()0∫ftdt()xf(0)10=lim=lim==.xxx→0fudu()+xfx()x→0fudu()f(0)+f(0)2∫0∫0+fx()x2⎧⎪x=t+1★★★21.已知曲线L的方程为⎨(t≥0),2⎪⎩y=4tt−(1)讨论L的凹凸性;(2)过点(1,0)−引L的切线,求切点(,xy),并写出切线的方程;00(3)求此切线L与(对应于x≤x的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.0dxdydy42−t2解:(1)=2,t=−42,t==−1,dtdtdx2ttdyd()dx2dy=dt=−(2)i1=−1<0,(t>0)dx2dxt22tt3dt所以曲线L是凸的(t>0).22(2)(,xy)满足：x=t+1,y=4t−t,0000000222切线方程为y−4t+t=(−1)(xt−−1),由于切线过点(1,1)−000t02222∴−4t+t=(−1)(1−−t−1)⇒t+t−=⇒20t=1（舍去t=−2）0000000t0故所求点为(,xy)=(2,3)，所求切线方程为：y=+x1.003(3)设L的方程为x=gy(),则S=∫[()(gy−y−1)].dy022由t−4t+y=0,解出t=±24−y,得：x=(2±4−y)+1.2由于(2,3)在L上,由y=3,x=2可知：x=(2±4−y)+=1gy().333S=∫0[(9−−y44−y)(−y−1)]dy=∫0(102)−ydy−4∫04−ydy333237=(10y−y2)+44−yd(4−y)=214+ii(4−y)2=.0∫0303★★★★22．设函数fx()在[0,π]上连续,且
课后答案网（http://www.khdaw.com）ππ∫0fxdx()=0,∫0fx()cosxdx=0,试证在(0,)π内至少存在两个不同的点ξξ,,使12f()ξ=f()ξ=0.12xπ证明:令Fx()=∫ftdt()(0≤x≤π)⇒F(0)=0；∫fxdx()=⇒0F()π=0,00ππ又因为∫fx()cosxdx=∫cosxdFx()00πππ=Fx()cosx0+∫0Fx()sinxdx=∫0Fx()sinxdx=0π则总存在一点ξ∈(0,),π使∫Fx()sinxdx=F()sinξξ=⇒0F()ξ=0.0否则，若对于∀∈x(0,),()πFx≠0，由F(0)=0，F()π=0，以及Fx()的连续性，可得在(0,)π上Fx()>0（或Fx()<0）ππ这时∫Fx()sinxdx>0，与∫Fx()sinxdx=0矛盾，00∴存在一点ξ∈(0,),π使F()ξ=0.从而有：F(0)=F()ξ=F()π=0.再对Fx()在区间[0,ξ],[ξπ,]上分别用罗尔定理,知至少存在ξ∈(0,),ξξ∈(,),ξπ使12F′()ξ=F′()ξ=0,即f()ξ=f()ξ=0.1212第六章定积分的应用内容概要名主要内容称定b定积分的元素法是一种简单记忆定积分（A=∫f(x)dx）三步骤的方法：积a分1、将∆A≈f(ξ)∆x记为dA=f(x)dxiii的元nb素2、将lim∑写为∫λ→0ai=1法平直角坐标系X-型Y-型
课后答案网（http://www.khdaw.com）面⎧aa>0)知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8y=lnxyy=lnby=lnax01lnalnb图6-2-8⎧lna0）所围成的图形绕x轴旋转a而成的立体体积。知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、yy范围），代入相应的公式⎧0≤x≤ax解：平面图形D：⎪x，见图6-3-4，y=achD⎨0≤y≤acha⎪⎩aax0a图6-3-4绕x轴旋转产生的立体体积：
课后答案网（http://www.khdaw.com）2xch+1a3ax22aa2a2xaπaV=∫π(ach)dx=aπ∫dx=aπ(sh+)=(2+sh2)0a024a240★★★5．求摆线x=a(t−sint)，y=a(1−cost)的一拱与y=0所围图形绕直线y=2a轴旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：若设所围区域为D，则该平面图形绕y=2a旋转而成体积V可看作矩形区域D：1⎧0≤x≤2π⎧0≤x≤2π⎨绕y=2a旋转而成的体积V1，减去区域D2：⎨绕y=2a旋转⎩0≤y≤2a⎩yx()≤y≤2a而成的立体体积V所得，（其中，yx()表2示摆线的函数式，见图6-3-5y⎧x=a(t−sint)⎨⎩y=a(1−cost)2aDD22πax0图6-3-52πa22解：V=V−V=π(2a)×2πa−π(2a−y)dx，作代换x=a(t−sint)，则12∫02π2π3222232V=8aπ−∫π(aa+cos)tadt(−sin)t=8aπ−∫πasin(1cos)t−tdt002232π1cos2−t2π223=8aπ−πa(∫dt−∫sintdsin)t=7πa020222★★★★6．求x+y≤a绕x=−b（b>a>0）旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积222思路：由图形的对称性可知所求体积V=2V，其中V是由x+y≤a（y≥0）部分，11绕x=−b旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，V是由图形中的线段y（1220≤y≤a−x）绕x=−b旋转一周所得的圆x=−b线段y柱面叠加而成，见图6-3-6r−a0axx+dx图6-3-6
课后答案网（http://www.khdaw.com）aa222222解：V=2V=22π(x+b)a−xdx=4πba−xdx=2πab1∫−a∫−aπ★★★★7．由心形线ρ=4(1+cosθ)和射线θ=0及θ=所围图形绕极轴旋转而成的旋转2体体积。知识点：旋转体体积思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转解：平面区域D：0≤ρ≤4(1cos)+θ（yπ0≤θ≤），见图6-3-7ρ=4(1+cosθ)2r08图6-3-7∵心形线ρ=4(1+cosθ)的直角坐标表示：⎧x=4(1+cosθ)cosθ222⎨（0≤x≤8），根据直角坐标下的体积计算及x+y=ρ，得：⎩y=4(1+cosθ)sinθ388882222V=∫πydx=∫π(ρ−x)dx=∫πρdx−π0003x=4(1cos)cos+θθ0832=∫ππ16(1cos)+θd[4(1cos)cos]+θθ−π2330822=∫π64π(1+cosθ)[d(1+cosθ)−d(1+cosθ)]−π320314138=64π[(1+cosθ)−(1+cosθ)]−π=160π23π32★★★8．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三
课后答案网（http://www.khdaw.com）角形的立体体积。知识点：已知平行截面面积的立体体积222思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：x+y=R，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公式。见图6-3-8zyxx图6-3-8222解：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：x+y=R，1322在圆内，垂直于x轴的截面面积A(x)=×2y×2y=3(R−x)，22R22433∴V=∫−3(R−x)dx=RR3★★9．求曲线xy=a(a>0)与直线x=a，x=2a及y=0所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式⎧a≤x≤2a⎪2aa21解：平面图形D：⎨a，绕x轴旋转产生的立体体积：V=∫π()dx=πa；⎪⎩0≤y≤ax2x2aa2绕y轴旋转产生的立体体积：V=∫2πxdx=2πaax（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）★★★★10．设直线y=ax+b与直线x=0，x=1，及y=0所围成的梯形面积等于A，试
课后答案网（http://www.khdaw.com）求a、b，使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（a>0，b>0）。知识点：旋转体体积，以及最值问题思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），进而求出以a,b为变量的旋转体体积，再求最小值。y=axb+解：梯形区域D：0≤x≤1，0≤y≤ax+b，0121a22∴V=∫π(ax+b)dx=π(+ab+b)03142212∵由条件(b+a+b)=A，∴V(b)=π(A−Ab+b)23332V′(b)=π(b−A)=0，得b=A，a=03习题6-4★★1．用定积分表示双曲线xy=1上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。11思路：曲线表达为y=（或x=）代入相应公式计算弧长xy1b221解：y′=−，∴s=1+y′dx=1+dxx2∫a∫1x4★★2．计算曲线y=lnx上相应于3≤x≤8的一段弧的弧长。y思路：曲线表达为y=lnx（或x=e）代入相应公式计算弧长b2x2=t8128181+x1211+t解：y′=，∴s=∫a1+y′dx=∫31+2dx=∫32(dx)=∫3dtxxx22t31+t=u3u21u−113=∫du=(u+ln)=1+ln2u2−12u+12221★★3．计算曲线y=x(3−x)上相应于1≤x≤3的一段弧的弧长。31x11解：y′=−=(−x)，2x22x
课后答案网（http://www.khdaw.com）323b23(1−x)31+x124∴s=∫1+y′dx=∫1+dx=∫dx)=(2x+x2=23−a14x12x2331121★★4．计算曲线x=y−lny（1≤y≤e）的弧长。42y111解：x′=−=(y−)，22y2ye222b2e112ey+11ye+1∴s=∫a1+x′dy=∫11+(y−)dy=∫1dy=(+lny)=4y2y22412★★★5．计算抛物线y=2px（p>0）从顶点到其上点M(x,y)的弧长。2y思路：抛物线表达为y=±2px（或x=），代入相应公式计算弧长2py解：x′=，p⎧y122⎪∫p+ydy,y≥0b2⎪0py122∴s=∫1+x′dx=⎨0=∫p+ydya⎪1220p∫p+ydy,y<0⎪⎩ypyy=ptantyarctanarctanpp=ppsec3tdt=(secttant+lnsect+tant)∫0202222pyp+yy+p+y=(+ln22ppbxp2（或通过公式s=∫1+y′dx=∫1+dx计算）a02x22★★★★6．证明曲线y=sinx的一个周期（0≤x≤2π）的弧长等于椭圆x+2y=2的周长。思路：分别求出y=sinx的弧长s及椭圆的周长s，求椭圆周长时采用参数式求解12πb2π解：y=sinx的弧长s=1+y′2dx=1+cos2xdx=421+cos2xdx1∫a∫0∫0π=421+sin2xdx∫0椭圆方程表达为：x=2cost，y=sint；代入公式得弧长
课后答案网（http://www.khdaw.com）πππs=42x′2+y′2dt=422sin2t+cos2tdt=421+sin2tdt2∫0∫0∫0∴s=s12aθ★★★7．求对数螺线r=e相应于自θ=0至θ=ϕ的一段弧的弧长。βaθ22思路：曲线是极坐标的表达式r=e，因此代入公式s=∫r(θ)+r′(θ)dθα2β22ϕ2aθ22aθ1+aaϕ解：s=∫r(θ)+r′(θ)dθ=∫e+aedθ=(e−1)α0a34★★★8．求曲线rθ=1相应于自θ=至θ=的一段弧的弧长。431β22思路：曲线是极坐标的表达式r=，因此代入公式s=∫r(θ)+r′(θ)dθθα4423β223111+θ2解：s=∫αr()θ+r′()θdθ=∫32+4dθ=−(+ln1+θ+θ)4θθθ3453=+ln1221+θ2θ=tantsect1sin2t+cos2t2（其中dθ=sectdt=dt=dt∫2∫2∫2∫2θtantsintcostsintcost2cost121+θ=(sect+)dt=lnsect+tant−+C=ln1+θ+θ−）∫2sintsintθ12★★★9求曲线x=arctant，y=ln(1+t)相应于自t=0至t=1的一段弧的弧长。2β22思路：曲线是参数表达式x=ϕ(),ty=ψ()t，因此代入公式s=∫ϕ′(t)+ψ′(t)dtα2β2211t11解：s=ϕ′(t)+ψ′(t)dt=+dt=dt∫α∫0(1+t2)2(1+t2)2∫021+t12=lnt+1+t=ln(1+2)0习题6-52★1．设一质点距原点x米时，受F(x)=x+2x牛顿力的作用，问质点在F作用下，从x=1移动到x=3，力所做的功有多大？知识点：微元法在物理上的应用思路：当变力沿直线作功，质点从x至x+dx段所作功的微元dW=F(x)dx。
课后答案网（http://www.khdaw.com）2解：∵dW=Fxdx()=(x+2)xdx3332x250∴W=∫(x+2x)dx=(+x)=1331★★2．某物体作直线运动，速度为v=1+t(m/s)，求该物体自运动开始到10s末所经过的路程，并求物体在前10s内的平均速度。知识点：微元法在物理上的应用思路：变速直线运动物体在t至t+dt时间段内所经过路程的微元dS=V(t)dt。解：∵dS=Vtdt()=1+tdt1031022∴S=∫1+tdt=(1+t)2=(1111−1)（m）；0330S2V==(1111−1)（m/s）10302★★★3．直径为20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？知识点：微元法在物理上的应用思路：设P为压强、体积为V，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此k2当圆柱体的高为h时，P=,k=10×π10×80。2π10h8002解：∵压力p=压强×面积，∴当圆柱体的高为h时压力p=π×10，h80000π功的微元dW=dhh8080000π∴W=∫dh=800πln2,(Nm)40h★★★4．半径为R的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？知识点：微元法在物理上的应用2222思路：设半球形水池的方程为x+y+z=R（z≤0），见图6-5-4，则将z至z+dz薄22片体积的水吸出，克服重力所作的功为dW=−ρπ(R−z)dz×g×z，（ρ是水的比重，3可取1kg/m）
课后答案网（http://www.khdaw.com）z0yz+dzzx图6-5-422解：∵dW=−ρπ(R−z)dz×g×z，4022πgR∴W=−∫−gπz(R−z)dz=(Nm)R4★★★5．设有一半径为R，长度为l圆柱体平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设圆柱体的比重为ρ(ρ>1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？知识点：微元法在物理上的应用222思路：设圆柱体的方程为(x−R)+y=R，见图6-5-5，则将x至x+dx段薄圆台为底高为l的柱体移出水面，浮力减重力所作的功为2222dW=2lR−(x−R)dx×ρg×x−2lR−(x−R)dx×g×x，1另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动2R−x距离，该部分的功22dW=2lR−(x−R)dx×ρg(2R−x)2
课后答案网（http://www.khdaw.com）−(2R−x)y0Rxx+dx图6-5-5x22解：∵dW=dW+dW=2lgR−(x−R)(2Rρ−x)dx，12∴2Rx−R=uR2222W=∫2lg(2Rρ−x)R−(x−R)dx=∫−2lg(2Rρ−u−R)R−udu0RR223=∫−2lg(2ρ−1)RR−udu=πRl(2ρ−1)g,(Nm)R★★6．有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶2m，求闸门上所受的水压力。知识点：微元法在物理上的应用思路：由物理知识可知，水深h处的压强为p=γh，（γ为水的比重）以门顶中心为原点向下建立x轴，见图6-5-6，则在x至x+dx段门条上所受的水压力为dP=γ(x+2)×2dx
课后答案网（http://www.khdaw.com）220x3x+dxx图6-5-6解：∵dP=γ(x+2)×2dx，3∴P=∫2γ(x+2)dx=21γ0★★★7．洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力。知识点：微元法在物理上的应用2x2思路：设椭圆方程为+y=1，见图6-5-7，则在x至x+dx的一条端面上所受的水20.75压力为2xdP=γ(x+0.75)×21−dx20.7541.5yxxdx+2x图6-5-7
课后答案网（http://www.khdaw.com）2x解：∵dP=γ(x+0.75)×21−dx，20.75∴20.75xP=2(γx+0.75)1−dx∫−0.750.7522220.75x0.75x0.75x=2γx1−dx+1.5γ1−dx=1.5γ1−dx∫−0.750.752∫−0.750.752∫−0.750.7521=1.5×π×0.75γ=1.77(γkg)17.3(=kN)2�★★★8．以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜30角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为100m和10m，高为70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压力。知识点：微元法在物理上的应用45思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，等腰梯形腰的方程则为：y=−x+50，70见图6-5-8，因此在x至x+dx的闸门条带上，所受的静压力为45�dP=γ×2(−x+50)dx×xcos3070100my0x70mx+dx9y=−x+501410mx图6-5-89解：∵dP=γ3(−x+50)xdx，147094∴P=∫γ3(−x+50)xdx=8.379×10γ（kg）014★★★★9．设一旋转抛物面内盛有高为Hcm的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达hcm，问液面上升多少？知识点：旋转体体积22思路：设两个旋转抛物面Σ、Σ的方程分别为由yoz面上曲线z=ay和z=by+c绕z12
课后答案网（http://www.khdaw.com）轴旋转而成，见图6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值zhHcy图6-5-92H2Hz−cπ(H−c)解：高为H的Σ旋转面所占的体积V=πydz=πdz=，22∫c∫cb2b液面从H上升至h两个旋转抛物面所夹的体积：2222h+czz−c(h+c)−Hh−(H−c)V=π(−)dz=π(−)，由V=V可得：1∫12Hab2a2b2a22a2h+c=H+h，∴液面上升的高度为h+c−H=H+h−H。bb★★★★10．设有长度为l、线密度为µ的均匀细直棒，在于棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求该细棒对质点M的引力。知识点：微元法在物理上的应用思路：以棒的一端为坐标原点，棒置于x轴正向上，建立平面直角坐标，见图6-5-10，质点M位于（0，a）处，则x至x+dx段的细棒对质点M的引力为：�kmdMµdx��xadF==km，dF=dF{,−}r2x2+a22222x+ax+a
课后答案网（http://www.khdaw.com）yax0xx+dxl图6-5-10��xa解：∵dF=dF{,−}={dF,dF}，xy2222x+ax+alxdx11∴F=kmµ=kmµ(−),x∫0223/222(x+a)al+alladxxkmµlF=−kmµ=−kmµ=−y∫0223/2221/2221/2(x+a)a(x+a)a(l+a)0★★★★11．长为2l的杆质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小。知识点：微元法在物理上的应用思路：以棒的中点为坐标原点，棒置于x轴的（−l,l）上，中垂线为y轴，建立平面直角坐标，见图6-5-11，质点M位于（0，h）处，则x至x+dx段的细棒对质点M的引力为：�kmdMkmMdx��xhdF==，dF=dF{,−}r22l(x2+h2)2222x+hx+hyhx−ll0xx+dx图6-5-11
课后答案网（http://www.khdaw.com）��xh解：∵dF=dF{,−}={dF,dF}，xy2222x+hx+hlkmMxdx∴F==0x∫−l223/22l(x+a)llkmMhdxkmMxkmMF=−=−=−y∫−l223/2221/2221/22l(x+h)lh(x+h)h(l+h)0总习题六23★★★1．求由曲线y=(4−x)与纵轴所围图形面积。233/2思路：曲线y=(4−x),(x≤4)关于x轴对称，又曲线的一条分支y=(4−x)是关于x的减函数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。y804x−8图6-12/3解：曲线表达为x=4−y，它和y轴的交点：（0,±8）882/382/335/3128∴S=∫−(4−y)dy=2∫(4−y)dy=2(32−y=80550★★★2．求介于直线x=0,x=2π之间、由曲线y=sinx和y=cosx所围成的平面图形的面积。2π解：S=∫sinx−cosxdx0π/45π/42π=∫(cosx−sinx)dx+∫(sinx−cosx)dx+∫(cosx−sinx)dx=420π/45π/422★★★3．直线y=x将椭圆x+3y=6y分成两块，设小块面积为A，大块面积为B，求A/B的值。22思路：由于y=x和x+3y=6y的交点为(0,0)及(3/2,3/2)，3/2>1，因此面积较
课后答案网（http://www.khdaw.com）小的一部分用y型做较简单，见图6-3yBy=x3/2A1x3/2图6-3⎧0≤y≤3/2解：较小部分区域表达为：DA：⎨2⎩y≤x≤6y−3yx=3cost3/2y=sint+1π/693322则A=∫(6y−3y−ydy)=∫3costdt−=π−，0−π/2834332334π−33B=3π−π+=π+，∴AB/=34348π+33212122★★★4．求椭圆x+y=1和x+y=1公共部分的面积。33122思路：由图形的对称性可得所求面积是x=0和y=x及y+x=1所围在第一象限内区3域D面积的8倍，见图6-41
课后答案网（http://www.khdaw.com）y122y+x=13y=xD1x图6-4⎧0≤y≤3/2⎪解：D1：⎨y2⎪y≤x≤1−⎩33/2y2y=3sintπ262∴S=8S=8(1−−ydy)=83costdt−=33πD1∫03∫0333★★★5．求由曲线x=acost,y=asint所围图形面积。思路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域D面积的4倍1⎧0≤x≤a解：D1：⎨，（设y=y(x)是星形线函数）⎩0≤y≤y(x)3axa=cost0232∴S=4S=yxdx()=4asint×3cos(sin)t−tdtD1∫0ya=sin3t∫π/22π/23a22=∫(sin2t−cos2sin2)ttdt02223aπ/21cos4−t3aπ/2232=∫dt−∫sin2(sin2)tdt=πa202408★★★6．圆ρ=1被心形线ρ=1+cosθ分割成两部分，求这两部分的面积思路：设分割成的右边图形为D，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分D面积的12倍，见图6-6
课后答案网（http://www.khdaw.com）r=1D1r=1+cosθ0r012图6-6解：ρ=1和ρ=1+cosθ相交于θ=±π/2，⎧0≤θ≤π/2⎧π/2≤θ≤π∴D1由A、B两部分组成，A：⎨，B：⎨，⎩0≤ρ≤1⎩0≤ρ≤1+cosθπ1π25π∴S=2[+(1cos)+θdθ]=π−2，左边部分的面积S=−2D42∫π/24D4π★★★★7．设y=sin,0x≤x≤，问t取何值，右图中阴影部分的面积S与S之和S最122小？最大？yS2sintS10tπ/2x图6-7tπ/2解：S=(sint−sinx)dx,S=(sinx−sint)dx，S(t)=S+S，1∫02∫t12πππS′(t)=(tsint)′−sint−sint−[(−t)sint]′=(2t−)cost=0，得t=，224π/2πππ比较S(0)=∫sinxdx=1,S()=2−1,S()=−1，0422∴S=1,S=2−1maxmin
课后答案网（http://www.khdaw.com）22★★★8．由曲线y=1−x(0≤x≤1)与x,y轴围成的区域，被曲线y=ax(a>0)分为面积为相等的两部分，求a的值，见图6-8y2y=ax1DD122y=−1xx10图6-8221a解：两曲线y=1−x(0≤x≤1)，y=ax(a>0)交于：（,），1+a1+a⎧a⎧10≤y≤⎪0≤x≤⎪⎪1+aD1:⎨1+a;D2:⎨⎪⎩ax2≤y≤−1x2⎪1−y≤x≤y⎪⎩a1∴S=1+a(1−x2−axdx2)=2D1∫031+aaa1y23/223/21+a22S=+a(1−y−)dy=−((1−y)−y)=−D2∫0a33a331+a0由S=S，计算可得a=3D1D22/32/32/3★★★9．求星形线x+y=a(a>0)所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：由于星形线关于x、y轴都对称，因此所求旋转体体积V是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体积V的两倍1a2解：根据旋转体积的公式：V=2V=2πydx，利用星形线的参数方程1∫033x=acost,y=asint进行变量代换，0π/22623232可得V=2∫πasint×3acostdcost=−6πa∫(1−cost)costdcostπ/20
课后答案网（http://www.khdaw.com）323=πa10522★★★10．求由圆x+(y−5)=16绕x轴旋转而成的环体体积。思路：可以对照y=f(x)绕y轴旋转的旋转体体积求法，见图6-10x2x=16−(y−5)y510图6-102解：该体积是曲线x=16−(y−5),(1≤y≤9)及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得体积的两倍9u=y−544222∴V=2∫12πy16−(y−5)dy=4π∫−4(u+5)16−udu=20π∫−416−udu2=160π★★★11．证明：由平面图形0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕y轴旋转而成的旋转体体积为bV=2π∫xf(x)dxa知识点：元素法的应用证明：由平面图形0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕y轴旋转而成的旋转体体积，可看作y=f(x)绕y轴旋转所得的侧面积在a≤x≤b范围内叠加而成，dV=2πxf(x)dxb∴V=2π∫xf(x)dx。a★★★12．曲线y=(x−1)(2−x)和x轴围成一平面图形，计算此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积。思路：用y=f(x)绕y轴旋转的旋转体体积求法解：平面图形为：曲线y=(x−1)(2−x)，（1≤x≤2）和x轴围成2π∴V=∫2πx(x−1)(2−x)dx=122★★★★13．设抛物线y=ax+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与
课后答案网（http://www.khdaw.com）直线x=1及x轴所围图形的面积为1/3，求a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。2解：因为抛物线y=ax+bx+c过原点，所以c=0，又当0≤x≤1时，y≥0，所以该12ab1抛物线与直线x=1及x轴所围图形的面积S=∫(ax+bx)dx=+=，得03232b=(1−a)，3又此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积22122aabbV(a,b)=∫π(ax+bx)dx=π(++)，0523222aa(1−a)4(1−a)将b=(1−a)代入可得V(a)=π(++)，3532741V′(a)=a+=0，5×2727553得到：a=−，因为只有一个驻点，∴可得满足所给条件的a=−,b=,c=0。44222y★★★★14．在由椭圆域x+≤1绕y轴旋转而成的椭球体上，以y轴为中心轴打一个圆4孔，使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径。知识点：旋转体体积思路：打一个以y轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆部分的体积V是由xoy坐标面上，如图所示的平面图形D绕y轴旋转而成立体体积的两倍，见图6-141D1D2yr221−rx图6-1422y2解：设圆孔的半径为r则在xoy面上曲线x+=1和x=r的交点（r,±21−r），4
课后答案网（http://www.khdaw.com）⎧−21−r2≤y≤21−r2⎪平面图形由D∪D减D部分组成，D∪D：⎨2；12212y⎪0≤x≤1−⎩4⎧⎪21−r2≤y≤21−r221−r2y222D2：⎨，⇒V1=∫2π(1−)dy,V2=πr×21−r⎪⎩0≤x≤r−21−r428π23/212y4π∴V=V−V=(1−r)，由条件V=×2π(1−)dy=，12∫320432133可得：1−r=⇒r=1−1/4⇒2r=4−162/32222222★★★15．求由柱体x+y≤a与x+z≤a相贯部分的体积。思路：由立体图形的对称性可知所求体积为第一象限内体积V的8倍，用垂直于x轴的平1行截面截V，可得截面面积A(x)，以此计算体积V，见图6-1511z0xyx图6-152222解：垂直于x轴的平行截面截V，得截面为长：y=a−x；宽：z=a−x的长1方形。a1622223∴A(x)=a−x，V=8V=8(a−x)dx=a1∫03x16．将曲线y=绕x轴旋转得一旋转体21+x★★(1)．求此旋转体体积V∞
课后答案网（http://www.khdaw.com）x解：∵函数y=的定义域：x≥0，21+x+∞+∞2+∞x1π∴V=πydx=πdx=π(−=∫0∫0222(1+x)2(1+x)20★★★(2)．记此旋转体介于x=0与x=a之间的体积为V(a)，问a为何值时有V(a)=V/2。∞aa21π1解：∵V=πydx=π(−=(1−)，要使V(a)=V/2，a∫022∞2(1+x)21+a0π1π只要(1−)=⇒a=1221+a42★★★17．将抛物线y=x−ax在横坐标0与c(c>a>0)之间的弧段和x=c以及x轴所围图形绕x轴旋转，问c为何值时，所得旋转体体积V等于弦OP（P为抛物线与x=c的交点）绕x轴旋转所得锥体体积。思路：抛物线经过原点，并且开口向上，如图6-17yPxac0图6-175423c22cacac2解：V=∫π(x−ax)dx=π(−+)，经（0，0）和（c,c−ac）的弦OP方0523c12232程为：y=(c−a)x⇒V=π(c−a)xdx=πc(c−a)，锥∫035aV=V⇒c=锥42232x★★★★18．计算半立方抛物线y=(x−1)被抛物线y=截得的一段弧的长度。33
课后答案网（http://www.khdaw.com）知识点：求平面弧长思路：作简图确定弧段的范围，代入公式，见图6-18y222y=(x−1)32xy=3x01图6-182232x23x322解：y=(x−1)和y=的交点为：(x−1)=⇒2x−6x+5x−2=03333将x=2代入方程可知是方程的根，∴分解因式可得32222x−6x+5x−2=(x−2)(2x−2x+1)=0，∴方程只有一解x=2622223交点：（2,±），由图形关于x轴对称∴S=2∫1+y′dx，∵y=(x−1)313422(x−1)3两边对x求导：2yy′=2(x−1)⇒y′==(x−1)2y222231853/2∴S=2∫1+y′dx=2∫x−=[()−1]1122921dx22★★★19．证明双纽线r=2acos2θ的全长L可表示为L=42a∫。041−x证明：根据双扭线的对称性，L=4L，其中L是双扭线在第一象限内的一段弧长，11∴用极坐标的弧长公式可得：2π/422π/422sin2θL=4∫r+r′dθ=4∫2acos2θ+2adθ00cos2θπ/41π/4cos2θ+sin2θtanθ=x11+x21=42adθ=42adθ=42a×dx∫0cos2θ∫0cos2θ−sin2θ∫01−x21+x2
课后答案网（http://www.khdaw.com）1dx=42a∫041−x★★★20．在摆线x=a(t−sint),y=a(1−cost)上，求分摆线第一拱成1：3的点的坐标。知识点：平面曲线的弧长解：摆线第一拱的t的范围：（0,2π），设在t处分摆线成1：3，则根据弧长参数公式，可0得：t022t0t0L1∫0x′+y′dt1∫02a1−costdt1∫0sint/2dt1==⇒=⇒=2π2π2πL223332∫x′+y′dt∫2a1−costdt∫sint/2dtt0t0t0∵t/2∈[0,π]，t0∫0sint/2dt11−cost0/212π2π3a∴=⇒=⇒t=⇒(x,y)=(a(−),)2π00031+cost/233322∫sint/2dt0t02★★★★21．求曲线y=y(x)，该曲线上两点（0，1）及(x,y)之间的弧长为s=y−1。x22解：由条件：曲线上两点（0，1）及(x,y)之间的弧长L=∫1+y′dx=y−1，02yy′2等式两边对x求导：1+y′=⇒y′=±y−1，根据第十二章的微分方程2y−1求解得到：dydy22±x=±dx⇒∫=±x+c⇒lny+y−1=±x+c⇒y+y−1=ce22y−1y−12x1+e∵y=y(x)经过（0，0），∴代入求得c=1⇒y=x2e2★★★22．设有一半径为R的平面圆板，其密度为µ=4ρ+3ρ，ρ为圆板上的点到圆板中心的距离，求该圆板的质量M。知识点：元素法在物理上的应用思路：由于任一点的密度µ只和该点到圆板中心的距离有关，设平面圆板的方程为ρ=R，则在圆环2ρ=r至ρ=r+dr上的每一处都近似有µ(r)=4r+3r。2解：ρ=r至ρ=r+dr的圆环质量微元：dM=(4r+3r)×2πrdr，
课后答案网（http://www.khdaw.com）R323⇒M=∫2π(4r+3r)dr=2πR(R+1)03★★23．一物体按规律x=ct作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移至x=a时，克服媒质所做的功。知识点：元素法在物理上的应用=33axcta/c222436解：F=kV,V=x′⇒F=kx′=9kct⇒W=∫Fdx=∫27kctdt00272/37/3∴W=kca7★★★★24．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力和铁钉进入木板的深度成正比，铁钉在第一次捶击时将铁钉击入1cm，若每次捶击所作的功相等，问第n次捶击时又将铁钉击入多少？知识点：元素法在物理上的应用1k解：设木板对铁钉的阻力为F；铁钉进入木板的深度为x，则F=kx⇒W=kxdx=，1∫02则由每次捶击所作的功相等的条件可得xnk22k22W=kxdx=(x−x)=⇒x−x=1，n∫nn−1nn−1xn−12222∵x=1，∴x=2,x=3,设x=k，则由x=1+x=1+k⇒x=k+1123kk+1kk+1∴由归纳法得证：x=n⇒x−x=n−n−1（cm）nnn−125．以每秒a的流量往半径为R的半球形水池内注水。★★★(1)．求在池中水深h(01的解可得⎩y=1+x−2x22在7−353−50≤x≤1范围内的交点是x=,y=，，而y=x是一个单调增函数，22⎧3−5⎪0≤y≤∴该图形区域可表达为：⎨2，⎪y2≤x≤1+y−2y⎩3−52211−35∴所求S=∫(1+y−2y−y)dy=0122222★★★★2．求曲线(x+y)=2axy所围成图形的面积22思路：该曲线的参数式为ρ=asin2θ，它是伯努利双纽线（见书后附录Ⅱ），可用对称性求该图形的面积解：所求面积S=2S，S是该曲线在第一象限内围成的区域面积，11⎧ππ⎪0≤θ≤2122S1所占区域可表达为：⎨2，∴S=2S1=2∫asin2θdθ=a02⎪⎩0≤r≤asin2θ
课后答案网（http://www.khdaw.com）x★★★★3．设f(x)=∫(1−t)dt,(x≥−1)，试求曲线f(x)与Ox轴所包围的面积−1思路：首先需要确定f(x)的大致图形，然后才能确定x,y的变化范围x解：f′(x)=(∫−(1−t)dt)′=1−x⇒驻点x=±1（舍x=−1）得唯一驻点x=111当x≤1时，f(x)单调增，当x≥1时，f(x)单调降，又f(1)=∫−(1−t)dt=1,f(−1)=0；120x1xf(x)=∫−(1+t)dt+∫(1−t)dt=+x−(x≥1)，1022∴f(x)=0⇒x=1±2，舍去x=1−2，得f(x)和Ox轴所围图形在0≤x≤1+2内，21+21x5+42∴所求面积S=∫(+x−)dx=0226−x★★★★4．如图6-（4），在曲线y=e,(x≥0)上面作一个台阶曲线，台阶的宽度为1，试求图中无穷多个阴影部分的面积之和−xy=ey10123x图6-（4）−k解：台阶曲线可表示为：y=e(k≤x−，证明（1）中的x是0x唯一的1证（1）：即要证存在x∈(0,1)，使得f(x)dx=xf(x)0∫00x01设函数F(x)=x∫f(x)dx,F(0)=F(1)=0，∴F(x)在[0，1]上用罗尔定理可得：x11∃x∈(0,1)，使得F′(x)=f(x)dx−xf(x)=0⇒f(x)dx=xf(x)00∫x00∫x000012f(x)（2）设G(x)=∫f(x)dx−xf(x),G′(x)=−2f(x)−xf′(x)，∵f′(x)>−xx∴G′(x)<0,G(x)单调降，∴（1）中的x是唯一的0★★★★6．（1）对曲线y=f(x)，试在横坐标a和a+h之间找一点ξ，使在这点两边有阴x影部分的面积相等（如图6-（6））（2）在（1）中设曲线y=e，记ξ=a+θh。其余的如（1）所述，试求θ并计算limθ=?h→0yy=f(x)x0aξa+h图6-（6）解（1）：要使x=ξ处两边有阴影部分的面积相等，即要：ξa+h∫(f(x)−f(a))dx=∫(f(a+h)−f(x))dx⇒aξξaa+h∫af(x)dx−f(a)(ξ−a)=(a+h−ξ)f(a+h)−∫ξf(x)dx−∫af(x)dx⇒a+haf(a)−(a+h)f(a+h)+∫f(x)dx=f(a)ξ−f(a+h)ξ⇒a
课后答案网（http://www.khdaw.com）a+haf(a)−(a+h)f(a+h)+∫f(x)dxaξ=f(a)−f(a+h)x（2）若y=e，则a+haa+hxae−(a+h)e+∫edx(h−1)eh+1aξ=a+θh=⇒θ=aa+hhe−eh(e−1)hh(h−1)e+1(h−1)e+1limθ=lim=lim（等价无穷小代换）h→0h→0h(eh−1)h→0h2hhe+(h−1)e1limθ=lim=h→0h→02h2★★★★7．证明：将极坐标下的面积：0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)绕极轴旋转所成的体积是2πβ3V=∫r(θ)sinθdθ3α证明：用微元法，取小片面积θ≤θ≤θ+∆θ,0≤r≤r(θ)，见图6-（7）θ=βθ+dθr=r(θ)θθ=α0rR图6-（7）该面积绕极轴旋转所成的体积近似于面积：θ≤θ≤θ+∆θ,r=r(θ)绕极轴旋转所成的体积∆V，先求区域0≤θ≤θ,r=r(θ)绕极轴旋转所成的体积：12r2223V=π(rsinθ)rcosθ+π(r−x)dx=πr(1−cosθ)1∫3rcosθ32323则∆V≈dV=πrsinθ，得到体积微元dV=πr(θ)sinθ1332πβ3∴V=∫r(θ)sinθdθ3α
课后答案网（http://www.khdaw.com）2xsinxt★★★★8．设曲线方程为f(x)=∫dt，当x=1时，对应曲线上的点为A。求过A点xt的切线与Ox轴、直线x=2所围成的图形绕Ox轴旋转所得立体体积解：显然，点A的坐标为（1，0），23232xsinxtsinxsinx2sinx−sinxf′(x)=(dt)′=2x−=则过A的切线：∫xtx2xxy=sin1(x−1)，当y=0时，x=1，所以该切线与Ox轴、直线x=2所围成的图形在2π2221≤x≤2范围内，∴所求立体体积V=∫πsin1(x−1)dx=sin113★★★★9．有一立体的底是半径为R的圆，以一组垂直于底面的平行平面截这立体所得的截面为为抛物线拱形，每次截得的拱形高H都不变，求此立体的体积222解：设底圆的方程为x+y=R，过(x,0,0)作垂直于x轴的平面，截得的截面边界为02关于z轴对称的抛物线，所以方程设为z=ay+b，22H2又拱形高为H，且过(x,R−x,0)，∴z=−y+H，截面面积0022R−x022R−x0H2422A(x)=2(−y+H)dy=HR−x0∫0220R−x30422过(x,0,0)的截面面积为A(x)=HR−x，3R22所求体积为V=2∫A(x)dx=πHR03'
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