微分几何 (陈维恒 著) 北京大学出版社 课后答案 31页

'课后答案网：www.hackshp.cn课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn《微分几何》第10页习题解答1.证明(a£b)¢(a£b)+(a¢b)2=a2b2.证明：由向量积的定义,当a与b的夹角为µ时,(a£b)2=ja£bj2=jaj2jbj2sin2µ;(a¢b)2=ja¢bj2=jaj2jbj2cos2µ;于是(a£b)¢(a£b)+(a¢b)2=jaj2jbj2=a2b2:2.证明a£(b£c)+b£(c£a)+c£(a£b)=0.证明：由二重向量积的定义a£(b£c)=(c¢a)b¡(b¢a)c;直接验证便得.3.证明(b£c)¢(a£d)+(c£a)¢(b£d)+(a£b)¢(c£d)=0.证明：利用拉格朗日(Lagrange)恒等式¯¯¯¯课后答案网¯a¢ca¢d¯(a£b)¢(c£d)=¯¯;¯b¢cb¢d¯¯¯¯¯¯c¢bc¢d¯(c£a)¢(b£d)=¯¯;¯a¢ba¢d¯¯¯¯¯www.hackshp.cn¯b¢ab¢d¯(b£c)¢(a£d)=¯¯:¯c¢ac¢d¯以上三式相加即得.4.证明((a+b);(b+c);(c+a))=2(a;b;c).证明：根据混合积中若有两个向量相同时混合积为0的事实及混合积的线性性质,直接验证可得本题结论.5.证明(a£b;c£d;e£f)=(a;b;d)(c;e;f)¡(a;b;c)(d;e;f).1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn证明：根据混合积的定义,利用拉格朗日恒等式直接验证.6.证明如果a?b,则a£fa£[a£(a£b)]g=a4b.证明：首先因为a?b,则a¢b=0,于是a£(a£b)=(b¢a)a¡(a¢a)b=¡a2b;进而a£[a£(a£b)]=¡a2(a£b);最后a£fa£[a£(a£b)]g=a£[¡a2(a£b)]=¡a2¢a£(a£b)=¡a2(¡a2b)=a4b¯¯¯¯a1¢b1a1¢b2a1¢b3¯¯¯¯7.证明(a1;a2;a3)(b1;b2;b3)=¯a2¢b1a2¢b2a2¢b3¯.¯¯¯a3¢b1a3¢b2a3¢b3¯证明：利用混合积的坐标表示及行列式的乘法法则直接验证即可.8.求三平面r¢a=®;r¢b=¯;r¢c=°平行与同一直线的条件.解：设题设三平面都平行于具有方向课后答案网v的直线,则(r+v)¢a=®;(r+v)¢b=¯;(r+v)¢c=°;此即v¢a=0;v¢b=0;v¢c=0,换句话说,a;b;c同垂直于v,于是必有a;b;c共面.所以三平面r¢a=®;r¢b=¯;r¢c=°平行于同一直线的条件是三矢量a;b;c共面或它们的混合积为0.www.hackshp.cn2若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn《微分几何》第22页习题解答1.(略)2.求证常向量的微商等于零向量.证明：设r(t)在其定义域内是常向量,即对其定义域内的任何t1和t2都有r(t1)=r(t2),于是由微商的定义0r(t+¢t)¡r(t)r(t)=lim=0:¢t!0¢t³´dr(t)r0(t)½(t)¡r(t)½0(t)3.证明dt½(t)=½2(t),其中½(t)是t的标量函数.证明：利用向量微分的性质(¸r)0=¸r0+¸0r直接计算即可.4.利用向量函数的泰勒公式,证明如果向量在某区间内所有点其微商为0,则此向量在该区间是常向量.证明：设t02(a;b)是向量函数课后答案网r(t)在定义域内的任意一个取定点,则对8t=t0+¢t2(a;b),由向量函数的泰勒公式有(¢t)2r(t+¢t)¡r(t)=¢tr0(t)+r00(t)+¢¢¢;00002!由题设,对8t2(a;b);r0(t)=0,于是r0(t0)=r00(t0)=¢¢¢=0,从而在(a;b)内成立www.hackshp.cnr(t)=r(t0);8t2(a;b):5.证明r(t)具有固定方向的充要条件是r£r0=0.证明：设r(t)=¸(t)e(t),其中¸(t)=jr(t)j6=0;e(t)是与r(t)同向的单位向量.若r(t)具有固定方向,则e(t)为常向量e,因此r0(t)=¸0(t)e,所以r(t)£r0(t)=¸¸0e£e=0:1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn反之,若r£r0=0,我们来证明r(t)具有固定方向,换句话说即证明e(t)与t无关.事实上,对r(t)=¸(t)e(t)两边求导得r0(t)=¸0(t)e(t)+¸(t)e0(t);由题设0=r£r0=¸2(t)e(t)£e0(t);由于¸(t)6=0,故e(t)£e0(t)=0.另一方面由Lagrange恒等式,(e(t)£e0(t))2=e2(t)e02(t)¡(e(t)¢e0(t))2=(e0)2(t);(这里利用e(t)是单位向量,所以e2(t)=1).所以e0=0,即e(t)是常向量,或者说r(t)具有固定方向.6.证明r(t)平行于固定平面的充要条件是(r;r0;r00)=0.证明：设固定平面的法向量为n(非零常向量).注意到若r£r0=0时,结论显然成立,所以我们以下假定r£r06=0.=))由r(t)¢n=0,两边求导得r0(t)¢n=0;对上式两边再求导得课后答案网r00(t)¢n=0;于是非零矢量n同时垂直于r;r0;r00.故r;r0;r00共面,或(r;r0;r00)=0.(=)若(r;r0;r00)=0,则r;r0;r00共面,而r£r06=0说明r与r0不共线,从而可设r00=¸r+¹r0,其中¸;¹为纯量函数.此时令n=r£r0,则n0=¹n.所以n£n0=0,由第5题知n具有固定方向,所以作为垂直于固定方向的向量r(t)平行于固定平面.www.hackshp.cn2若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn《微分几何》第37页习题解答1.对于圆柱螺线x=cost;y=sint;z=t,求它在点(1;0;0)的切线和法面.解：令r(t)=fcost;sint;tg,则r0(t)=f¡sint;cost;1g,注意到(1;0;0)点正好是参数t=0时的曲线点,因此r(0)=f1;0;0g;r0(0)=f0;1;1g;从而圆柱螺线r(t)在点(1;0;0)处的切线的对称式方程为x¡1yz==;011法平面的方程为y+z=0:2.求三次挠曲线r(t)=fat;bt2;ct3g在点t=t0的切线和法面.解：当t=t0时,有r(t)=fat;bt2;ct3g;r0(t)=fa;2bt;3ct2g;0000000所以切线方程为课后答案网x¡at0y¡bt20z¡ct30==;a2bt03ct20法面方程为ax+2bty+3ct2z¡(a2t+2b2t3+3c2t5)=0:000003.证明圆柱螺线r(µ)=www.hackshp.cnfacosµ;asinµ;bµg的切线和z轴作固定角.证明：取z轴正方向的单位矢量e3=f0;0;1g,若记z轴与圆柱螺线的切线间的夹角为",则r0¢e3bcos"==p;jr0jje3ja2+b2与圆柱螺线的参数µ无关,因此"为定角.4.求悬链线r(t)=ft;acoshtg(¡1>>>>:z=ua;3若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn其中u为参数,消去t得到80);(2)r(t)=fa(3t¡t3);3at2;a(3t+t3)g;(a>0).解(1)由参数方程得到r0=fasinht;acosht;ag;r00=facosht;asinht;0g;r000=fasinht;acosht;0g;所以r0£r00=f¡a2sinht;a2cosht;¡a2g;pjr0£r00j=2a2cosht;(r0;r00;r000)=a3;课后答案网pjr0j=2acosht:于是,双曲螺线的曲率k和挠率¿分别为pjr0£r00j2a2cosht1k==p=;jr0j322a3cosh3t2acosh2t(www.hackshp.cnr0;r00;r000)a31¿===:(r0£r00)22a4cosh2t2acosh2t(2)由参数方程得到©ªr0=a(3¡3t2);6at;a(3+3t2);r00=f¡6at;6a;6atg;r000=f¡6a;0;6ag:4若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以©ªr0£r00=18a2t2¡1;¡2t;t2+1;pjr0£r00j=182a2(t2+1);(r0;r00;r000)=216a3;pjr0j=32a(t2+1):于是,曲线的曲率k和挠率¿分别为jr0£r00j1k==;jr0j33a(t2+1)2(r0;r00;r000)1¿==:(r0£r00)23a(t2+1)28.曲线r(t)=fcos3t;sin3t;cos2tg,求:1)基本向量®;¯;°;2)曲率和挠率;3)验证Frenet公式.解首先由曲线的参数方程求出01r(t)=sin2tf¡3cost;3sint;¡4g;2r00(t)=f6costsin2t¡cos3t;6sintcos2t¡3sin3t;¡4cos2tg:Rt0Rt5因为曲线的弧长s=jr(t)jdt=sin2tdt,所以0课后答案网02ds5dt2=sin2t;=:dt2ds5sin2t所以drdrdt1r_==¢=f¡3cost;3sint;¡4gwww.hackshp.cndsdtds5由于000dsd2sdr_¡ds¢2d2s¡ds¢2d2sr(t)=(r_)+r_=+r_=rÄ+r_;dtdt2dsdtdt2dtdt2所以00d2sr¡r_dt22rÄ=¡¢2=f3sint;3cost;0g:ds25sin2tdt5若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn1)求基本向量®;¯;°:由定义1®=r_=f¡3cost;3sint;¡4g;5rį==fsint;cost;0g;jrÄj1°=®£¯=f4cost;¡4sint;¡3g:52)计算曲率k和挠率¿由曲率的定义,得6k(s)=jrÄj=;25jsin2tj为了计算挠率,我们先计算®;_¯_;°_,d®d®dt6®_==¢=fsint;cost;0g;dsdtds25sin2td¯d¯dt2¯_==¢=fcost;sint;0g;dsdtds25sin2td°d°dt8°_==¢=f¡sint;¡cost;0g:dsdtds25sin2t由挠率的定义,注意到°_与¯是同向还是异向取决于sin2t的正负,若sin2t为正,则°_与¯异向；若sin2t为负,则°_与¯同向.无论何种情况都有8¿(s)=:课后答案网25sin2t3)验证Frenet公式由上述算式,显然有®_=k(t)¯;°_=¡¿(t)¯,最后,容易计算2¡k(t)®+¿(t)°=fcost;¡sint;0g=¯:_www.hackshp.cn5sin2t9.证明:如果曲线的所有切线都经过一定点,则此曲线为直线.证法Ⅰ设曲线的一般参数方程为r=r(t),½是切线上任一点的向径,则任意一点处的切线方程为½¡r(t)=¸(t)r0(t);(¸(t)6=0):若设切线都过定点r0,则r¡r(t)=¸(t)r0(t);06若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn两边关于t求导,得0=(1+¸0(t))r0(t)+¸(t)r00(t);由于¸(t)不为零,故上式表明r0(t)与r00(t)线性相关,从而r0(t)£r00(t)=0,于是曲线的曲率k(t)´0,即该曲线为直线.证法Ⅱ设曲线的自然参数方程为r=r(s),并设切线上流动点的径矢为½,则切线方程为½¡r(s)=¸(s)®;(¸(s)6=0)由题设切线过定点,设定点为r0,则r0¡r(s)=¸(s)®;两边关于s求导,得0=(1+¸0(s))®+¸(s)k(s)¯;而®?¯,故1+¸0(s)=0,且¸(s)k(s)=0,若曲线上某点处k(s)6=0,由后式必须¸(s)=0,这与前式矛盾.于是k(s)´0,即该曲线为直线.¥10.证明:如果曲率处处不为零的曲线的所有密切平面都经过一定点,则此曲线为平面曲线.证明Ⅰ设曲线的一般参数方程为r=r(t),并设密切平面上流动点的径矢为R,则密切平面方程为课后答案网(R¡r(t);r0(t);r00(t))=0:利用密切平面过定点的条件,不失一般性设定点为坐标原点,则(r(t);r0(t);r00(t))=0;(1)上式两边关于参数t求导,得www.hackshp.cn(r(t);r0(t);r000(t))=0;(2)由(1),(2)知r0(t);r00(t);r000(t)共面,即有(r0(t);r00(t);r000(t))=0:于是,挠率¿(t)´0,即曲线为平面曲线.¥7若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn证法Ⅱ设曲线的自然参数方程为r=r(s),并设密切平面上流动点的径矢为R,则密切平面方程为(R¡r(s))¢°=0:由题设密切平面过定点,不失一般性设定点为坐标原点,则r(s)¢°=0;(3)两边关于弧长s求导,得¿(s)r(s)¢¯=0:(4)反设曲线在某点处¿(s)6=0,则由(4)式r(s)?¯,而由(3)r(s)?°,所以r(s)k¯£°,即r(s)k®,这时r(s)£®=0,两边对s求导,得k(s)r(s)£¯=0,而k(s)处处不为零,于是r(s)£¯=0,这与r(s)£®=0矛盾.上述矛盾说明曲线的挠率¿(s)´0,即曲线为平面曲线.¥11.证明:若曲线的所有法平面包含非零常向量e,则曲线是直线或平面曲线.证明Ⅰ设曲线的自然参数方程为r=r(s),由题设e¢®=0;于是,d(r(s)¢e)=®¢e=0;ds即r(s)¢e=p0(常数),换句话说课后答案网,曲线为平面曲线.¥证明Ⅱ对一般参数方程r=r(t),由题设r0(t)¢e=0:两边关于t连续求导得到www.hackshp.cnr00(t)¢e=0;r000(t)¢e=0;以上三式说明r0(t);r00(t);r000(t)共面,从而¿(t)´0,曲线为平面曲线.¥12.证明:常曲率空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线.证明设空间曲线的自然参数方程为r=r(s),其曲率k为常数,挠率为¿,根据曲率中心的定义,r=r(s)的曲率中心的轨迹为¤¯(s)r(s)=r(s)+(注意:s并非弧长参数).k8若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn方程两边关于s求导,得dr¤1¿=®+(¡k®+¿°)=°;dskk再次对s求导,有d2r¤¿0¿2=°¡¯;ds2kk于是µ¶dr¤d2r¤³¿´¿0¿2¿3¿3£=°£°¡¯=¡(°£¯)=®:dsds2kkkk2k2最后,r¤(s)的曲率为jdr¤£d2r¤j¿3k¤=dsds2=k2=k(常数).¥jdr¤j3¿3dsk313.证明曲线x=1+3t+2t2;y=2¡2t+5t2;z=1¡t2为平面曲线,并求出它所在的平面方程.证明令r(t)=f1+3t+2t2;2¡2t+5t2;1¡t2g,则r0(t)=f3+4t;¡2+10t;¡2tg;r00(t)=f4;10;¡2g;r课后答案网000(t)=f0;0;0g:于是,曲线r(t)的挠率¿(t)为(r0;r00;r000)¿(t)=´0:(r0£r00)2即曲线为平面曲线.以下我们用两种方法求该曲线所在的平面方程www.hackshp.cn.方法Ⅰ因为曲线为平面曲线,所以该曲线所在平面正好是它的密切平面,在曲线上取一点(0;9;0),(对应的参数t=¡1),则密切平面方程为¯¯¯¯xy¡9z¯¯¯¯¯3+4t¡2+10t¡2t¯=0;即2x+3y+19z¡27=0:¯¯¯410¡2¯9若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn方法Ⅱ任选曲线上三点,如P1(6;5;0);P2(0;9;0);P3(1;2;1),由P1;P2;P3三点确定的平面正好是曲线所在的平面,其方程为¯¯¯¯x¡1y¡2z¡1¯¯¯¯¯¡17¡1¯=0;即2x+3y+19z¡27=0:¥¯¯¯53¡1¯14.设在两条曲线¡;¡的点之间建立了一一对应关系,使他们在对应点的切线平行,证明他们在对应点的主法线及副法线也分别平行.证明设两条对应曲线¡和¡的自然参数方程分别是r=r(s)和r=r(s),其中s和s分别是对应曲线的自然参数,记¡和¡在对应点的基本向量分别为®;¯;°和®;¯;°,曲率分别为k和k,根据题设知®k®;即®=§®;上式两边同时关于参数s求导,得d®d®d®ds=§=§¢:dsdsdsds利用Frenet公式,上式即课后答案网dsk¯=§k¢¯ds于是¯k¯,最后由于°=®£¯;°=®£¯,所以°k°:¥15.设在两条曲线¡;¡的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线总是互相平行,证明它们在对应点的切线作成固定角.证明设两条对应曲线www.hackshp.cn¡和¡的自然参数方程分别是r=r(s)和r=r(s);其中s和s分别是对应曲线的自然参数,记¡和¡在对应点处的基本向量分别是®;¯;°和®;¯;°,曲率分别为k和k,挠率分别为¿和¿.由题设知¯k¯即¯=§¯(1)10若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn设¡和¡在对应点的切线间的夹角为",则®¢®cos"==®¢®j®jj®j下面我们来证明®¢®与参数s和s都无关,从而"是定角.事实上d(®¢®)d®d®=¢®+®¢dsdsds¢d®ds=!®¢®+®¢¢dsdsds=k¯¢®+k®¢¯ds对(1)式两边与®作内积,得到¯¢®=0,与®作内积,得到®¢¯=0;于是上式即为d(®¢®)=0;(2)ds类似的推理,我们可以得到d(®¢®)=0;(3)ds(2);(3)两式即说明,®¢®是与参数s和s无关的量.¥16.若曲线¡的主法线是曲线¡的副法线,¡的曲率、挠率分别是k;¿,求证:k=¸0(k2+¿2),其中¸0是常数.证明设曲线¡的自然参数方程为r=r(s)曲线¡的一般参数方程为r=r(s)(注意,s不是¡的弧长).由题目的假设条件知道课后答案网r(s)=r(s)+¸(s)¯(s)(1)将(1)式两边对s求导,并利用Frenet公式得到dr0=(1¡¸k)®+¸¯+¸¿°(2)www.hackshp.cnds注意到r的切线方向dr?°,且°k¯,所以dr?¯.这样dsdsdr000=¯¢=(1¡¸k)®¢¯+¸¯¢¯+¸¿°¢¯=¸ds因此¸=常数(记为¸0),且dr=(1¡¸0k)®+¸0¿°ds11若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn设s是¡的弧长,则drdrds¡¢ds®==¢=(1¡¸0k)®+¸0¿°:dsdsdsds直接计算并利用Frenet公式,容易得到µ¶22dr020dsds=f¡¸0k®+[k(1¡¸0k)¡¸0¿]¯+¸0¿°g+[(1¡¸0k)®+¸0¿°]2;dsdsds因为dr=k¯,又¯?¯,因此将上式两边与¯作内积,得dsµ¶2dr2ds0=¯¢=[(1¡¸0k)¸0¿];dsds但ds6=0,从而(1¡¸k)k¡¸¿2=0,即ds00¸(k2+¿2)=k:¥0注记满足题设条件的曲线¡称为孟恩哈姆曲线.事实上,该题的逆命题也成立.即有:在题设条件下,曲线¡为孟恩哈姆曲线的充要条件是¸(k2+¿2)=k;0其中¸0是常数.为证明充分性,作一曲线课后答案网¡:r(s)=r(s)+¸0¯(¸0是条件中给定的常数).我们来证明如此作出的曲线¡的副法线°重合于¡的主法线.r0=(1¡¸k)®+¸¿°;00r00=¡¸k0®+(1¡¸k)k¯+¸¿0°¡¸¿2¯;0000=¡¸k0®+¸¿0°00°kr0£r00=¡¸¿0(1¡¸k)¯¡¸¿k0¯:www.hackshp.cn000所以¡为孟恩哈姆曲线.17.曲线r=fa(t¡sint);a(1¡cost);4acostg在那些点的曲率半径最大?2解们先来求曲线在任一点处的曲率.为此,容易计算得到0tr(t)=fa(1¡cost);asint;¡2asing;212若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn00tr(t)=fasint;acost;¡acosg:2因此00023t2t2t22tr£r=f¡2asin;¡2acossin;¡2asing2222ptptjr0£r00j=22a2sin2;jr0j=22ajsinj22所以,曲率为pjr0£r00j22a2sin2t1k==p2=:jr0j3162a3jsin3tj8ajsintj22于是,曲线在任一点处的曲率半径为8ajsintj当且仅当sint=§1,即t=§¼时,曲22率半径最大.当t=¼时,x=a¼;y=2a;z=0;当t=¡¼时,x=¡a¼;y=2a;z=0:因此,给定曲线在点(a¼;2a;0)和(¡a¼;2a;0)处,曲率半径最大.¥18.已知曲线C(2C3):r=r(s)上一点r(s0)的邻近一点r(s0+¢s).求点r(s0+¢s)到点r(s0)的密切平面,法平面,从切平面的距离.(设r(s0)点的曲率,挠率分别为k0;¿0).解课后答案网www.hackshp.cn13若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn《微分几何》第87页习题解答1.求以下平面曲线的相对曲率kr和曲率半径R(假设弧长增加的方向就是参数增加的方向):(1)双曲线r(t)=facosht;bsinhtg;(2)旋轮线r(t)=fa(t¡sint);a(1¡cost)g.解:(1)由于r0(t)=fasinht;bcoshtg;r00(t)=facosht;bsinhtg;则相对曲率x0y00¡x00y0¡abkr=02023=2=22223=2;(x+y)((a+b)sinht+b)曲率半径1((a2+b2)sinh2t+b2)3=2R==:jkrjjabj(2)由于r0(t)=fa(1课后答案网¡cost);asintg;r00(t)=fasint;acostg;则相对曲率x0y00¡x00y0¡1kr=02023=2=t;(x+y)4asin2曲率半径¯¯1¯t¯R==4¯¯asin¯¯:www.hackshp.cnjkrj22.求旋轮线r(t)=fa(t¡sint);a(1¡cost)g的渐缩线.解:由渐缩线的一般参数表示8<¤y0(x02+y02)x(t)=x(t)¡x0y00¡x00y0;:¤x0(x02+y02)y(t)=y(t)+x0y00¡x00y0;1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn直接计算可得旋轮线的渐缩线方程为r¤(t)=fa(t+sint);a(cost¡1)g:3.证明曳物线x=¡a(lntant+cost);y=asint的渐缩线就是悬链线.2证法Ⅰ:由渐缩线的一般参数表示8<¤y0(x02+y02)x(t)=x(t)¡x0y00¡x00y0;:¤x0(x02+y02)y(t)=y(t)+x0y00¡x00y0;直接计算可得曳物线的渐缩线方程为½¾¤tar(t)=¡alntan;:2sint我们再做参数变换,令t¤¡lntan=t;2那么t¡t¤tan=e;2因此t¤¡t¤2e+e=;sint即课后答案网1¤=cosht;sint所以渐缩线的参数方程为½¾t¤r¤=aft¤;cosht¤g;或r¤=t¤;acosh;a这正是悬链线的参数方程www.hackshp.cn.cos2t22222证法Ⅱ:因为dr=af¡;costgdt,所以,ds=dr=acottdt,因此sintds=acottdt;drdrdt®===f¡cost;sintg;dsdtdsd®d®dt1k¯===fsint;costg;dsdtdsacott2若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn于是1k=;¯=fsint;costg;acott由渐缩线的定义知它的方程为¤1r=r+¯k½¾ta=¡alntan;;2sint以下同证法Ⅰ.4.求抛物线y2=2px的渐缩线.2t2解:令y=t,则抛物线y=2px有参数方程r(t)=f;tg;(t¸0),由渐缩线的一2p般参数表示8<¤y0(x02+y02)x(t)=x(t)¡x0y00¡x00y0;:¤x0(x02+y02)y(t)=y(t)+x0y00¡x00y0;直接计算可得抛物线y2=2px的渐缩线方程为½¾¤3t2+2p2t3r(t)=;¡;t¸0:2pp25.证明:如果曲线的所有密切平面垂直于某固定直线,那末它是平面曲线.证法Ⅰ:设曲线的自然参数方程为r=r(s),其中s是弧长参数,并设固定直线的方向为n,由题设知n?®;课后答案网n?¯,即n¢®=0;n¢¯=0;对n¢¯=0两边关于弧长s求导,并利用Frenet公式得到www.hackshp.cn¿(s)n¢°=0;由题设注意到nk®£¯=°,于是我们有¿(s)´0,从而曲线为平面曲线.证法Ⅱ:设曲线的一般参数方程为r=r(t),其中t为一般参数,并设固定直线的方向为n,由题设知n¢r0(t)=0;n¢r00(t)=0;第2式两边关于t求导,有n¢r000(t)=0;3若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn以上三式说明r0(t);r00(t);r000(t)共面,即(r0(t);r00(t);r000(t))=0,从而¿´0,即曲线为平面曲线.证法Ⅲ:设固定直线的方向为n,则n=§°;两边关于s求导,并注意n是常向量,我们得到¿¯=0;从而¿´0,即曲线为平面曲线.6.证明:如果所有的法平面包含固定向量e,那末这条曲线是直线或平面曲线.证法Ⅰ:设曲线¡的一般参数方程为r=r(t),由题设知r0(t)¢e=0;上式两边关于t求导得,r00(t)¢e=0;若r0(t)与r00(t)共线,则k´0,曲线为直线.否则,上式两边关于t再求导得r000(t)¢e=0;以上三式说明r0(t);r00(t);r000(t)共面,从而(r0(t);r00(t);r000(t))=0,即¿´0,曲线为平面曲线.课后答案网证法Ⅱ:设曲线¡的自然参数方程为r=r(s),其中s为弧长参数,®为曲线¡的切向量,由题设知dr®¢e=0;或¢e=0;ds若®是常向量,则k´0,曲线为直线,否则积分上式得r¢e=p0(常数),故¡为平面曲线.www.hackshp.cn7.如果两条不相交的,曲率处处不为0曲线在对应点有公共的副法线,则它们都是平面曲线.证法Ⅰ:设曲线¡:r=r(s),其中s为弧长参数,曲线°¹:r¹=r¹(s),(注意s不是°¹的弧长).若¡与°¹在对应点有公共的副法线,则r¹(s)=r(s)+¸(s)°(s);4若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn对上式两边关于s微分,得dr¹0=®¡¸¿¯+¸°;ds注意到°¹的切线方向dr¹?°¹,而°¹k°,所以dr¹?°,这样dsdsdr¹00=°¢=¸;ds因此¸为常数(记为¸0),且由题设知¸06=0,这时dr¹=®¡¸0¿¯:ds设s¹是°¹的弧长,则dr¹dr¹dsds®¹===(®¡¸0¿¯);ds¹dsds¹ds¹直接计算并利用Frenet公式,容易得到2µ¶2£¤d®¹dsds02=2(®¡¸0¿¯)+k¯¡¸0¿¯+¸0k¿®¡¸0¿°:ds¹ds¹ds¹所以d®¹°¹k®¹£k¯=®¹£ds·µ¶¸d3s=2¸¿+(k¡¸¿0+¸2¿2k)°0ds¹200课后答案网µ¶3ds223+[¸0¿¯+¸0¿®]ds¹为保持副法线一致,则必须¸¿2¯+¸2¿3®=0;00即www.hackshp.cn¸¿2(¯+¸¿®)=0:00从而¿´0,曲线¡为平面曲线.再由题设°=§°¹,则¿¯=§¿¹ds¹¯¹,结合¡为平面曲ds线,于是°¹也为平面曲线.证法Ⅱ:设¡:r=r(s);s为弧长,¡¤:r¤=r¤(s¤(s));s¤为弧长,¡与¡¤在对应点有公共的副法线,意味着r¤(s¤(s))¡r(s)=¸(s)°(s);(9:1)5若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由题设条件¸(s)6=0,且°(s)=§°¤(s¤(s));(9:2)(9.2)式两边对s求导得ds¤¡¿(s)¯(s)=¨¿¤(s¤(s))¯¤(s¤(s));dsds¤¤¤由于是一一对应的可微分关系,6=0,如果¿(s)´0,则¿(s(s))´0,反之亦然.ds下面用反证法证明¿(s)´0.如果¿(s)6=0,则¯(s)=§¯¤(s¤(s)),且®(s)=¯(s)£°(s)=§¯¤(s¤(s))£°¤(s¤(s))=§®¤(s¤(s)),(9.1)式两边对s求导有¤¤ds¤d¸(s)®(s(s))¡®(s)=°(s)¡¸(s)¿(s)¯(s);(9:3)dsds(9.3)式左边平行于®(s),右边垂直于®(s),而且¸(s)¿(s)6=0,矛盾.8.如果曲线¡:r=r(s)为一般螺线,®;¯为¡的切线向量和主法向量,R为¡的R曲率半径.证明°¹:r¹(s)=R®¡¯ds也是一般螺线.证明:首先注意s并不一定是°¹的自然参数,于是r¹0(s)=R0®+R®_¡¯=R0®+Rk¯¡¯=R0®所以,°¹与¡的切向量平行,课后答案网即®¹k®.由¡是一般螺线知,®与固定方向成定角,而®¹k®,故®¹也与固定方向成定角,因此°¹也是一般螺线.9.证明一条曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件是(Är;...r;r(4)).证明:利用Frenet公式直接计算如下www.hackshp.cn®_=k¯;®Ä=k0¯¡k2®+k¿°;...0003200®=¡3kk®+(k¡k¡k¿)¯+(2k¿+k¿)°;6若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn于是...(4)...(Är;r;r)=(®_;®Ä;®)¯¯¯¯0k0¯¯¯20¯=¯¡kkk¿¯¯¯¯¡3kk0k00¡k3¡k¿22k0¿+k¿0¯=k3(k¿0¡¿k0)³´5d¿=kdsk而曲线是一般螺线的充要条件是曲率与挠率成定比,命题得证.10.证明一条曲线的切线不可能同时都是另一条曲线的切线.证明:反设¡:r=r(s)(s为弧长)与°¹:r¹=r¹(s)(s并非弧长)有共同的切线,则r¹(s)=r(s)+¸(s)®(s);关于s微分上式,得dr¹0=®+¸®+¸k¯;ds注意到dr¹k®¹,为保持切线一致,必须¸k=0.若¸=0,则¡与°¹为同一条曲线,因ds此k=0,此时¡与°¹为一对平行直线.11.设在两条曲线C和C¹的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的切线平行.证明它们在对应点的主法线及副法线也分别平行课后答案网,而且它们的挠率和曲率都成比例,因此如果C是一般螺线,C¹也是一般螺线.证明:设C的自然参数方程为r=r(s),(C¹)的自然参数方程为r¹=r¹(¹s),则由题设条件®k®¹,即®=§®¹;上式两边同时关于s求导,得www.hackshp.cnk¯=§ds¹k¹¯¹;ds于是¯k¯¹;°k°¹.一方面,由于k¯=§ds¹k¹¯¹,则ds¹=k;另一方面因为°k°¹,所以°=§°¹,两边对dsdsk¹s求导得ds¹¿¯=¨¿¹¯¹;ds7若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn于是有ds¹¿=;ds¿¹结合两方面有k¿kk¹=;或=;k¹¿¹¿¿¹据此,如果C为一般螺线,C¹也为一般螺线(或反之亦成立).12.证明具有常曲率k6=0的曲线C是贝特朗曲线,且C的侣线C¹是C的曲率中k2心的轨迹,并证明C¹的曲率k¹=k,挠率¿¹=.¿证明:设曲线C的自然参数方程为r=r(s),我们立即可以写出C的曲率中心的轨迹C¹的方程为¯(s)r¹(s)=r(s)+;k(这里要注意s并非C¹的弧长参数).我们只要证明C与C¹在对应点的主法线重合,从而C是贝特朗曲线,且C的侣线正好是C的曲率中心的轨迹.事实上,经过直接计算可得到¿¿0¿2r¹0=°;r¹00=°¡¯;kkk¿3°¹kr¹0£r¹00=®;k2于是¿4¯¹=°¹£®¹k(r¹0£r¹00)£r¹0=(®£°)k¯;课后答案网k3最后jr¹0£r¹00jk¹==k;jr¹0j3000000¿52(r¹;r¹;r¹)k2k¿¹===:(r¹0£r¹00)2¿4¿www.hackshp.cnk413.设曲线C:r=r(s)是常挠率曲线,证明曲线C¹:r¹=ar(s)+b(¡1¯(s)+R¿°(s)ds)是贝特朗曲线(其中a和b是常数,¿是曲线C的挠率,¯(s)是曲线C的主法向量,°(s)是曲线C的副法向量).证明:应用Frenet公式容易计算知µ¶0br¹=a+k®;即®¹k®;¿8若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnµ¶µ¶00b0br¹=k®+a+kk¯;¿¿于是µ¶2000b°¹kr¹£r¹=a+kk°;即°¹k°;¿所以¯¹k¯;即C¹是贝特朗曲线.注记:12题和13题说明常挠率曲线和常曲率曲线均为贝特朗曲线,前者的侣线是Rr¹=ar(s)+b(¡1¯(s)+°(s)ds),后者的侣线是原曲线的曲率中心的轨迹.¿课后答案网www.hackshp.cn9若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn'