微分几何初步 (陈维桓 著) 北京大学出版社 课后答案 第六章 课后答案 21页

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3.证明在曲面的一般参数:(,),uv下曲线uusvvs(),()的测地曲率是kgBu()Avuvvu,g21211222222其中gEGFA,(u)2uv(vB),(u)2uv(v).1112221112222313特别是参数曲线的测地曲率分别为,(kgu),kgv().gg121122证明:(SC上的曲线的参数方程为rru(s),v(s)),s为的弧长参数C.nSC为沿的法向量.2222dudvdududvdvdudvrrr,2rrrrrruvuuuvvvu22vdsdsdsdsdsdsdsds32dududvkn(,,)(,,)rrrrn[2(,,)rrn(,,)]rrnguuuuuvvuvdsdsds2322dudvdvdudvdudv[(,,)2rrn(,,)rrn](,,)rrn(,,)rrn()uvvvuvvvvuv22dsdsdsdsdsdsds12由Gauss方程:rrrLn可得uu11u11v122(,,)rrn(,,)rrn(,,)(,,)rrnLrnn(,,)rrnuuu11uu11uvu11uvrruv2又因(,,)(rrnuvrruv)rruvEGFrruv22故(,,)rrnEGFuuu111222类似可得(,,)rrnEGFrrn,(,,)EGF,vuu11uuv12121212(,,)rrnEGF,(,,)rrnEGF,(,,)rrnEGF.vuv12uvv12vvv22将其代如的方程得k,g322322du1dudv21dudv1dvk[(2)(2)g111111222222dsdsdsdsdsds22dudvdudv2]()EGFgBuAvuvvu22dsdsdsds21211222222其中gEGFA,()2uuv(),vB()2uuv().v11122211122223特别地,(u曲线即vconst)(的测地曲率为kgu)g11113v曲线即()uconst的测地曲率为kg(v).g2224.假定是曲面上的保长变换构成的变换群并且保持曲面上的一条不变.SS,C证明:如果限制在上的作用是传递的则曲线的测地曲率必为常数CC,. 证明:,保持上不变SC对PC,有(PC)PQC,,,设(),,()PPPP,,()PQ11111ii1n由于在上的作用是传递的故CP,,使得()Q又因为保长变换故,kkggPQ由PQ,,的任意性知C上的测地曲率kconst.g5.设ee,是曲面在一点的两个彼此正交的主方向,对应的主曲率分别为kk,.证121211dk()n明曲面在该点与成角的切方向的测地饶率是:(ekk)sin2.12g122d证明:,在该点附近取正交曲率线网作为参数曲线网,并且有rere.uv122222则IEduGdvII,kEdukGdv12drdudvdudvrrEeGeeecossinuv1212dsdsdsdsdsducoscosdvsinsin,dsrEGdsruv22dvdudvdudsdsdsds11dudvEFG()kkEGg21gEGdsdsLMNcosksin12EG()()kkkksin22121EG222dk()dk(cosksin)n12()kksin221dd1dk()ng2d6.假定曲面上经过一个双曲点的两条渐进曲线在该点的曲率不为零.证明:这两条曲线在该点的饶率的绝对值相等,符号相反,并且这两个饶率之积等于曲面在该点的Gauss曲率K. 证明:,设曲面在该双曲点的两个彼此正交的主方向为ee,对应的主曲率分别12为kk,,,且其中一条渐进曲线与成角则另一渐进曲线与成-角.ee1211由上题结论知,曲面在该点沿两渐进方向的测地饶率分别为111()kksin2,()kksin(2)()kksin2gg12222212121g1又因两渐进曲线在该双曲点处曲率不为零,故两渐进曲线在该点的饶率分别为,,从而两条曲线在该点的饶率的绝对值相等,符号相反.gg12K由4.5节的习题4(1)的结论知,tg2,即H122()kksin212224KHtg22cos212224()kkt12g2sin2222Kk()k1222122sin24cos2tg21222222sin24cos2kkK,122sin21221222(kkk)sin2(k2)sin2Kgg122112441222(2sin2KKKK4cos22sin2)4227.证明:kH2kk0.ngn证明：取正交的曲率线网作为参数曲线网,ee,,为主方向kk,为对应的主曲率,1212切方向与成角e.122由公Euler式,ckkosskinn121由习题结论5,()kksin2g212122又Hk()k,,Kkkk2Hkk01212ngn28.证明任何两个正交方向的测地饶率之和为零.: 证明:,,,eekk同习题设两个正交方向与的夹角分别为及5,e.121212111则(kk)sin2,(kk)sin(2)(kk)sin2gg122121212220gg12 §6.2测地线1.证明柱面上的测地线必定是定倾曲线:.证明:,不妨设柱面的直母线与轴平行故曲面方程可取为ozrruv(,)(fu(),guv(),),其中为准线的弧厂参数现在求形如v.vvu()的测地线方程此时.,"""""""""""nrrgf(,,0),rfgvr(,,),(,,)fgvuvuuu""gf0""""2"2"""""""""对于测地线,有fgv0,即(gfvg)(gffv)0""""""fgv2"2"2""""""1"2"2""因故nfg1,ggffgf()0,从而vvc0,uc122测地线族的方程为rf((),(),ugucuc)12rucc11coscos(,)rurgfc"2"221c2u11即测地线与轴即直母线成定角从而形如oz(),vvu()的测地线为定倾曲线.又因直母线也是测地线且与轴平行故直母,,oz线也是定倾曲线.柱面上的测地线必定是定倾曲线.2.设曲线是旋转面Cr(,)(()cos,()sin,())uvfuvfuvgu上的一条测地线用表,示曲线与经线的交角证明沿测地线成立恒等式CC.:f(u)sin常数."2"2222证明:Ifugud(()())ufu(),dvF0,由测地线方程有,"2dE1ln1lnGf(u)cossinsinds22GEvufufugu()"2()"2()du11coscosdsEfugu"2()"2()dfu(()sin)"dudfu()sinfu()cos0dsdsdsfu()sin常数3.设在旋转曲上存在一条测地线与经线交成定角C,并且0,90.证明此旋:转面比为圆柱面. 22"22证明:设旋转面方程为rf(()cos,()sin,),vufvuvIfv则()du(1fvd())v""df12()vf()vcos()sinds21fv"2()fv()2fv()1fv"2()du11测地线方程为cos()sindsfv()2fv()dv11sin()cosds1(fv"2)21(fv"2)"df()vdtg,(因常c数),0且,90,0故,dvfv()dv"从而fv()0,()fvconst,因此曲面为圆柱面.4.证明:(1)若曲面上一条曲线既是测地线又是渐进曲线则它必定是直线,,.(2)若曲面上一条曲线既是测地线又是曲率线则它必定是平面曲线,,.(3)若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线,则它必定是曲率线.证明:(1)因曲线为测地线故,kk0,又由曲线为渐进曲线可知,0gn222kkkK0,0曲线为直线.gn(2)设曲线既是测地线又是曲率线则若为直线当然是平面曲线CC,,;若不是直线由为测地线知CC,,nk,从而n,又因为曲率线故依C,,Rodriques定理有n,即n(为某一确定常数)kkC,(即)0,故0是平面曲线.(3)因曲线为非直线的测地线故Cn,从而dndds()kdskdskdr(因为平面曲线故C,0)即dndr,.C是曲率线5.证明：若曲面上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面. 证明:因对PS及点的任一单位切向量均存在唯一的一条测地线过点Pv,,P且以为其在处的切向量.vP故上任一点处均存在至少三条测地线是非直线的平面曲线S.PSCCC,,,设为过点的三条非直线的测地线对应的在点处的单位P,P123切向量分别为vvv,,.123由习题4(3)的结论知,CCC,,均为曲率线从而,vvv,,均为点123123PPS处的主方向故由的任意性知曲面在每一.,点处均有三个不同的主方向,而这只有在脐点处才会产生.因此为全脐点曲面,.S6.已知曲面的第一基本形式如下求曲面上的测地线:,22(1)Ivdu(dv);2a22(2)Id(udv).2vdcos3ds2v2dv2(vtg1)du1d证明:(1)测地线方程:cosdsvdvtg(2)dv1dusindsv2vc由(1)vctcosgc2dvvc2由(2)ucvcc21ducd1cosdsadvvtgduvd(2)测地线方程:cosdsadvtgdvvdusindsa22vcvctgcosv22ucvc1 7.若在曲面上存在两族测地线,它们彼此正交成定角,则该曲面必是可展曲面.证明:,取其中一族测地线为Cu曲线建立正交参数系(uv,),设另一族测地线C12与u曲线的夹角为,则1lnE00kEgv12GvdG1ln0skin.又且const,(0,)G0g2uds2Eu1()EG()vu代入公式:,KK得0曲面可展.EGGEvu8.证明曲面上的测地线的饶率恰是曲面沿曲线的切方向的测地饶率:.dre1dsde1ken3ds证明:0测地线krg,其标架场(s);e123,e,e的运动公式为de2eg3dsde3keeng12dsdr*e1ds*de1*kedsn2***令则eeeeee11,,,2332有*de2ke**eng13ds*de3e*g2ds当k0,时由定理知结论成立.4n***当kn0,;,,时re123ee恰好是曲线的Frenet标架其中,signkn.由曲线论基本定理知,.g 9.假定曲面和沿曲线相切证明若是上的测地线则也必定是上的SSC,:CS,CS1212测地线.如果是上的曲率线或渐进曲线又如何CS,?1证明:(1)因SSC,沿相切故,SSC,沿的单位法向量nn,平行即,nn12121212若是直线则既是上的测地线也是上的测地线CC,,SS.12若不是直线则因是上的测地线故的主法向量CC,,,SCn从而n112故也是上的测地线CS.2(2)若是上的曲率线则有CS,dndr,从而dndr,即也是上的曲率线CS.1122若是上的渐进曲线此时若为直CS,,C线则显然也是上的渐进曲线,.CS12若不是直线则Cd,,ndr从而dndr,故也是上的渐进曲线CS.122 §6.3测地坐标系221.设曲面的第一基本形式为IduGuvdv(,),求及Gauss曲率K.解：Fuv(,)0,有正交的参数曲线网1112111GG221ln0,G,1112211122u122122Eu2u21lnG222v11()EG()vuKG()EGGEGuuvu222.设曲面的第一基本形式为IduGuvd(,),v并且Guv(,)满足条件Gv(0,)1,22Gv(0,)0.证明:(,)1GuvuKvo(0,)(u).u2GvGv(0,)(0,)(0,)Gv1uuu证明:由上题知,(0,)KvGv(0,)2uu2(Gv0,)2对关Guv(,)于uu在处展0Taylor开,有12222Guv(,)GvG(0,)(0,)vuG(0,)vuou()1uKvou(0,)()uuu23.设曲面上以点为中心、以为半径的测地圆的周长为PrL,所围面积是A,rr2312rL2rArr证明点处的:lPGauss曲率是Kimlim.034rr00rr证明:(在点附近取测地极坐标系Ps,),则有22IdsGsd(,),其中limGs(,)0,limGs(,)1ss00s11()EG()sKG()EGGEGsss3GGK()GKG,两边关于求导得s,KGss3sss33GG(0,)(,)sG(,)sKlimKGlimlimlim(,)s330ssss00ss0ss0K0对关Gs(,)于ss在0处展Taylor开,得 23Gs(,)11Gs(,)2Gs(,)Gs(,)G(0,)|s|s|ss0023s0sss2623311Gs(,)233sosR()()s|sKsosR()()2s0026s2Gs(,)又limGs(,)1lim02ss00ss133Gs(,)sKsosR()()0622K033LG(,)rdrro22()rR()dr00622(rLor3)Rd()32rLr0rKlimlim03rr003rr3rr22243K0又AG(,)sdsdrro()sdsR()dr000012212rArKlim04r0r §6.4常曲率曲面1.试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式.解:.常曲率曲面的SGauss曲率Kconst在上取测地极坐标系S(s,),则22Gs(,)IdsGsd(,),且limGs(,)0,lim1ss00s11()EG()sKG()EGGEGsss()GKG0ssiK).当时0,Gf()cos(Ksf)()sin(Ks)12因limG0,故f()01s0GG1又因Kf()cos(Ks),lim1,故f()22sss0K11222于是GI,sdsKin(s)dKKii).当时K0,()G0,从而Gf()f()sss12因故limGf0,()01s0G又因lim1,故fG()1,s2s0s222从而Idssdiii).当时K0,Gf()ch(Ks)f()(shKs)12G1由得又limGf0,()0,由得lim1,f()12ss00sK11222Gsh()KsI,从而dssh()KsdKK2.证明在常曲率曲面上以点为中心的测地圆具有常测地曲率:,P.22证明：在上取测地极坐标系S(,),s则IdsGsd(,)1ln1GGs测地圆为曲线，即ss（常数），其测地曲率为k0g2EuG2因为常曲率曲面，故的第一基本形式为下列三种情况之一：SS2212Idssin(Ksd)(K0)K 222Idssd2212Idssin(KsdK)(0)KGs而在上述三种情况下，k均与无关即,.kconstgg2G因此，在常曲率曲面上，测地圆有常测地曲率.3.已知常曲率曲面的第一基本形式是2221dusin(KudvK),0,KIdu221sh()KudvK2,0.K证明该曲面大会的测地线可以分别表示为::sin(AKuv)cosBKsin(uv)sinCcos(Ku)0,及其Ash(Ku)cosvBsh(Ku)sinvCch(Ku)0,中AB,,C是不全为零的常数.证明:0当K时测地线方程为,dKcos(u)Ksindssin(Ku)dKcos(u)Ktgdudusin(Ku)cosdsdvKtgdvKdusin(Ku)sindssin(Ku)cc1sintgsin(Ku)sin(22Ku)cdvcKcK11dvdu,dusin(Ku)sin(22Ku)csin(Ku)sin(22Ku)c积分上式即可证得.当K0,时同理可得到测地线方程.2222dudv4.试求Klein圆:uv1,I内的测地线.222[1(uv)]urcos1r222解令:(0r1,02),则Idrd2222vrsin(1rr)(1) 2dr1sindsrdr2测地线方程:(1r)cosds2dr1sindsr其中为该测地线与rs曲线的夹角为测地线的弧长参数,.2dr1tg(1)2drr(1r)drrctg(2)d221(rr"c1r)由式(1)lnsinlnccsinsin2rr1r222cr(1)12r"ctg(,cc为积分常数)2cr(1)r22222drrrc(1r)c(1r)drdc(1r2)rrc22(1r2)22ar(1)c令其xa,,中则有r14c2222222222rarrcr(1)(1)ar(1)1,xdxdr2222rr(14c)rdxarccosx,(为积分常数)2001x2ar(1)c2xcos()(rrcoscossinsin)(1)000r14c2c22uvcossin(1uv)00214c222214cc14uucosvvsin1000cc2214cc22141(cuvos)(sin)00222cc4c2222dudv5.试求Klein圆:uv1,I和222[1(uv)] 122Poincare上半平面:0y,I(xy)之间的保长对应.24yzb解:,记uivzxiy,考虑分式线形变换:a,则zc22acb()ddzddz,,II221222()zc(1)()zz22222dacb()dzacb()dz为使II,即1222222(1)2azb()[zcazb()]22()(zc1)2zc2222acbdzdz222[(zczcazbzb)()()()]()zz2cb1令则abc1,,有22[]zcczzccz(zz)22cc1cc即12222()zzcc()()zz()cccc必是虚数不妨设,,ibi,且取a1,.从而有II1222zixiyixy12x此时,即uivi2222zixiyixy(1)xy(1)22xy1u22xy(1)为Klein圆和Poincare上半平面之间的一个保长对应.2xv22xy(1)16.第一基本形式如下的曲面都具有常数Gauss曲率试求它们之间的保长对应:a2a22(1)Id(udvv)(0)2v2u(2)Idued22av222u(3)Iduchdv.auv12解与令:(1)(2):u,则II212vaea1 urcos1(1)与令(3):,则vrsin12a2222222222Icscdracscdcsc(daln)racscd12rv3varrealn3令即则u,,1有ch3cscarcsinuach3a22u32IduchdvI333av3uuetah31avv33为与之间的一个保长对应II.1u12veaaesech31uach3av3uuaaln(ecah3)2a(2)(3):与则,有IIv233uvetah32a §6.5曲面上向量场的平行移动12x1.证明若:xxuu(,)是偏微分方程组x的非零解则,u1212()ifgxx是非零常数;()iiXxuuruu(,)(,)是曲面上的切向量场它沿,曲面上任意一条曲线是平行的.fxgx证明:()ixxgxgx1111uuuuxxxxxgxxgx1111xxxxxxxx1111xxxxxxxx11110f同理可得0.fconst又x0,x0f0.2udxxdu()ii设Cu:ut()为曲面上任一条曲线因,,1,2dtudtdxduxdudududuxxxxdtdtudtdtdtdtduduxx0,1,2dtdtX沿曲面上任一条曲线平行.2.证明在曲面上存在一个非零的、与路径无关的平行切向量场,当且仅当该:曲面的Gauss曲率为零.22证明：)0当曲面的SGauss曲率K时可取参数系,(uv,),使得Idudv从而0.取切向量场Xt()xr,其中:x1,1,2.DXt()dxdu则Xt()0沿上任一曲线Suut(),有(x)r0dtdtdt即Xt()为非零的平行切向量场.121212),在上取正交参数曲线网SX(u(t),u(t))x(u(t),u())trutut((),())为非零的、与路径无关的平行切向量场.2不妨设xSu0,则对上任一曲线u(),t有DXt()dxduxdu()xr(xr)0dtdtdtudt 1212dudux当取utu,1时,有1,0,从而x0(1,2)11dtdtu1212dudux当取uut1,时,有0,1,从而x0(1,2)22dtdtu12记则uuvu,,有11xx1112EEuv12EEvu12xxxx,,xx1121uE22Ev22EE22xxEGuu12GGuv12xx,xx.uGG22vGG222121xxEEuv12EEvu12又因,(即xxx)(x)uvvuv22EEu22EE1212xx12()ExEExE2EExExE()2uvuvvvuvvvu1212xx12()ExEGxG2EExGxE()2uvvuuuvuuuu222[2EGE(G)EEGGGEGEEGx]0vvuuvvuuvu222xE02(GEG)EEGGGEGEEG0vvuuvvuuvu1()EG()vuKEGGEvu122[2EGE(G)(EEGGGEGEEG)]022vvuuvvuuvu4EG3.证明曲面上的:Su曲线的单位切向量沿曲线C:uu()t是平行的充分必要du条件是沿曲线成立C0().dtr证明:)Su上的曲线的单位切向量为Xxrr1,dx则xr0,dt0,dxdu因沿平行故XC,0x()dtdt1dudux0()rdtdt 1dudu00()rdtdtr1),1XX当,即当为u曲线的单位切向量时,r21211dx2duxx,0.x0rdgtdt11111dx12dudx11du(现要证:xx0.因0,故只需证:0)1dtdtdtgdt11dg11dt1dx1111du2g11du11dg111du()111dtggdtgdtg2gdtdt111111111112111111du1gg11121du()()11gggdtgdt11111111112dug0211ggdt1111同理可证2.的情形'