微分几何初步 (陈维桓 著) 北京大学出版社 课后答案 第二章 课后答案 27页

'§2.1参数曲线1.将一个半径为r的圆盘在XY平面内沿X轴作无滑动的滚动,写出圆盘上一点的轨迹方程（此曲线称为旋轮线,or摆线）.解：设初始位置时,圆盘中心C(0,r),考虑点M(0,0)的运动轨迹.设CM转过的弧度为t,C与M在X轴上的投影为C、M,M在CC上的投影为N,则若设M=(x(),())tyt,有x()t=|OC|-|MC|=MC-|MC|=rtrsintyt()=|CC|-|CN|=rrtcos所以,M=(srtrintrr,cost).2.证明：曲线的切线与某个确定的方向成定角.212证明：rt()(3,6,6)tt,单位切向量rt*()(1,2,2)tt,若rt*()与单位常向量212tCc(,,)cc成定角,则12312cos(rtCrtC**(),)()(cctcta22),a为常数212312t222ccc11232则cca,0c.132222所以,rt()的切线与(,0,)的方向始终成定角.2243.设平面曲线c与同一平面的一条曲线l相交于正则点P,且落在直线l的一侧.证明：l是曲线c在点P的切线.证明：设曲线c：rrt(),点P对应tt.0在c与l所在平面内,作l//l,记lcrr()|tttttt,.再作11011012ll//,s.t.distl(,)ldistl(,)l,记lcrr()|tttttt,,i2,3,4,ii1iiii010i2这样有,lll//////////l,ll.12nnrt(t)rt()t0nn201//l.ttnn12 rt()0201tnnrt()t由P为正则点,可知rt()存在,rt()00ttnn12lr//()t,即l是c在点P的切线.04.证明：若曲线rt()在点t有x()t0,则该曲线在t的一个邻域内可表示成000yfx(),zg()x.证明：因xt()0,不妨设xt()0,则存在t的一个邻域()t,使得xxt()在()t内00000连续且严格递增.从而在()t内存在xxt()的反函数,设为th()x.所以,在()t内,00yyt()yhx(())fx(),zztzhxgx()(())().即曲线在t的一个邻域内可表示成yfx(),zgx().0222xyz15.求曲线,z0的参数方程.22xyx222222xyz1xyz1解：221122xyx()xy2411111令ytsin,则xcost,ztcos,02t.2222211111所以,该曲线的参数方程为rt()(cos,sintt,cos)t.22222 §2.2曲线的弧长1.设下面的常数a0,求曲线在指定范围内的弧长：（1）rt()(achtashtat,,),0tb.x（2）悬链线yach,0,x.a（3）曳物线rt()(cos,ln(secatattan)tasin)t,0,t.222解：（1）rt()(ashtachta,,),|()|rtashtcht(1)2acht.bbsr|()|tdta2chtdta2.shb00ttt（2）令则xt,,yachrt()(tach,),rt()(1,sh).aaaxx2txsr|()|tdt1shdtash.00aa1（3）rt()(sin,(atacos))tcosttt22212s|()|rtdtasinta(cos2)tdtalncos.t00cos2tdr2.求下列曲线的单位切向量场：ds（1）圆螺旋线rt()(cos,sin,),atatbta0.33（2）rt()(cos,sin,cos2).ttt解：（1）rt()(sin,cos,)atatbdrdrdtdr11(atsin,cos,).atbdsdtdsdtab22|()|rt22（2）rt()(3costtsin,3sinttcos,2sin2)tdrrt()122(3costtsin,3sinttcos,2sin2).tds|5sincos|tt|()|rt 22xyz3.设曲线是下面两个曲面的交线：c1,xachab,,0.求c从点(,a0,0)到点22aba(,,xyz)的弧长.tt解：：令zt,则xach,ybshaattc的参数方程为rt()(ach,bsh,)taatbtrt()(sh,ch,1)aaazzabt22z22sr|()|tdtchdtabsh00aaa2t4.求曲线rrt(),使得rr(0)(1,0,5),()t(,,)tte.2t1132t解：由rt()(,,)tte可得rt()(t,te,)c,c为常向量.32当t0,rc(0)(0,0,1)(1,0,5)c(1,0,6).1132trt()(t1,te,6).32 §2.3曲线的曲率和Frenet标架1.求曲线的曲率：a（1）ra=,2taln,.0tat323（2）rttttt=3,3,3.（3）r=satinta,1costbt,.a033（4）rtt=cos,sin,cos2.t22aaaa2解：（1）rt()(,a,),()rt0,,,tt22tt3222aaa422rtrt()(),,.ttt4322|()()|rtrt2t.2|()|rt3at2122（2）rt()(33,6,33),()tttrt6,6,6,tt22rtrt()()8t1,2,tt1.|()()|rtrt1.2|()|rt331t2（3）rt()(1cos,sin,),()atatbrtatatsin,cos,0,2rtrt()()abtabtacos,sin,cos1.t224tab4sain|()()|rtrt2.33|()|rt222t2ba4sin222（4）rt()(3costtsin,3sinttcos,2sin2),t2323rt()6cossintt3cos,6sincosttt3sin,4cos2,tt 233222r()tr()12sincos,12sincos,9sincosttttttt.|()()|rtrt3.325|sincos|tt|()|rt2.求曲线的密切平面方程：22（1）rt()=acos,sin,tatbtab,0.t（2）rt()=cos,sin,atbte,在t0处,其中ab0.解：（1）rt()atatbrtsin,cos,,()=atatcos,sin,0,2rtrt()()abtabtasin,cos,.密切平面Xr=0,即Xrrtrt()()=0,亦即bsintxbcostyazabt0.tt（2）rt()atbtertsin,cos,,()=atbtecos,sin,,ttrt()rt()becostsin,taesintcos,tab.密切平面Xr=0,即Xrrtrt()()=0,当t=0时,ra,0,1,rrba,,ab.xy此时,密切平面为z2.abxshxysiny3.求曲线z,在0,0,0处的曲率和Frenet标架.zex1ln1x解：设曲线的参数方程为：xxsyyszzs,,,其中是弧长参数s,且s0对应于点0,0,0.因此函数xsyszs,,满足下列方程组：xshxysiny1zzex(1)ln1x2222xyz13 1,2式关于求导得到s,xchxxycosyy4xzzezx5x11令s0,可得到xyz000.33330(r0)(,,).3333,4,5式再关于求导s,得xxyyzz022xshxxchxxysinyycosyy*2zz2xxzezezx2x1x112112令s0,得到xy00,z0,r0,,.999996|0|r,9r0666220,,,000,,0.|0|r66322222xyz++=94.求曲线在2,2,1处的曲率和密切平面方程.22xz=3解：设曲线的参数方程是xxsyyszzs,,,其中s是弧长参数,且s0对应于点2,2,1.因此函数xsyszs,,满足：222xyz9122xz32222xyz13 1,2式关于求导s,得xxyyzz04xxzz05122令s0,得到xyz0,0,0.33312200,,r.3333,4,5式再求导,得xxyyzz0222xxxyyyzzz022xxxzzz01111令s0,得到xyz00,0,0,r00,,333322r02|0|r,00,,,322|0|r22220=00=，，.3662222密切平面：xyz2210,即49xyz0.3661t2ett,,0,05.设曲线的方程rt()0,0,0,t0,1t20,,te,t0证明：这是一条正则曲线,且在t0处的曲率为00tt0212证明：tr0,()tet,1,03t212tr0,()t0,1,et3t tr0,(0)0,1,0,r(0)0,1,0,r(0)0,1,0.trt,()0.这是一条正则曲线.4612tr0,()tet,0,064tt4612tr0,()t0,0,et64tttr0,(0)0,0,0,r(0)0,0,0,r(0)0,0,0.曲线在t0处的曲率为0.rt()121t2t0时,()te,1,01342t|()|rt1et6trtrt()()2()tt=sgn460,0,1|()()|rtrt2sgn46t212()ttt()()1,et,03412t1et6t1212t0时,()te0,1,t3412t1et6t2()sgn46tt1,0,02sgn46t112()te0,t,13412t1et6tt0,0,1,0,0,0,1,1,0,0t0,0,1,0,1,0,0,0,0,1 §2.4挠率和Frenet公式1.计算§3习题1中各曲线的挠率.a（1）ra=,2taln,.0tat323（2）rttttt=3,3,3.（3）r=satinta,1costbt,.a033（4）rtt=cos,sin,cos2.t22aaaa2解：（1）rt()(,a,),()rt0,,,tt22tt322aa6rt()=0，,tt34rtrtrt(),(),()22t2|()()|rtrt2at2122（2）rt()(33,6,33),()tttrt6,6,6,ttrt()=6,0,6rtrtrt(),(),()12|()()|rtrt231t2（3）rt()(1cos,sin,),()atatbrtatatsin,cos,0,rtatat()=cos,sin,0rtrtrt(),(),()b222|()()|rtrt2bacost122（4）rt()(3costtsin,3sinttcos,2sin2),t 3232rt()=6sint21costtsin,6cost21sinttcos,8sin2trtrtrt(),(),()8225sin2t|()()|rtrt2323rt()6cossintt3cos,6sincosttt3sin,4cos2,tt2.求§3习题3中的曲线在0,0,0处的挠率.xshxysiny解：曲线zzex1ln1x333112rr(0)(,,),0,,.333999原题中的方程组*再求导,得222xxxyyyzzz033xchxx3cshxxxchxxyosyy3sinyyycosyy23zzz3xx121xxxxx2xx1zezez3zezx24xx11833令s0,得到r03,,818181rrr0,0,01022|0|r~13.设曲线rrs()的挠率是非零常数,求曲线rss()()ds的曲率和挠率.~1~12解：r,r,~11232r22 ~~35~~~rr,,,rrr22~~~rrr,,~~~~2||rr||,.~~~32||rr|r|2211d4.证明：满足条件+常数的空间挠曲线或是常曲率的曲线或是球面上的ds一条曲线.ddd11111d证明：rdsdsdsds2211d因+常数,故两边对求导s,ds212111dddd0dsdsdsds两边同数乘,2ddd1111d0dsdsdsdsd1dd11①0时,0,从而dsdsdsdd111r0dsds111drr,r为常向量.00ds||rrc,c为常数.即曲线是球面上的一条曲线.0d1②0时,为常数,即曲线为常曲率的曲线ds5.试求沿曲线定义的向量场()s,使得以下各式同时成立： ()ssssssss()(),()()(),()()()s解：因()s沿曲线定义,可设()sassbsscss()()()()()(),则有()sabc()sbc()sabc()sac()sabcsab()abc,0,()ssss()()()()s6.证明：（1）若曲线在每一点处的切线都经过一个定点,则该曲线必是一条直线；（2）若曲线在每一点处的密切平面都经过一个定点,则该曲线必是一条平面曲线；（3）若曲线在每一点处的法平面都经过一个定点,则该曲线必是一条球面曲线.证明：（1）设定点为c,则有rscrs()()0,即rsc()()0s.对上式求导,有rscrs()()0,即rsc()0.,故rsc()0或0,总有该曲线是一条直线.（2）设定点为c,则有rc0.对上式求导,得到rc0.0或rc0（后一种情况为题1）,总有该曲线是平面曲线.（3）设定点为c,则有rc0,即rcr0,d也等价于rcrc0,即||rcc,该曲线是球面曲线.ds7.设rs();(),(),()sss是定义在曲线rs()上的单位正交标架场,命123d3iijj,1i3,证明：ijji0.dsj1didj证明：0(ss)().ijjiijjidsds331+ss221s8.证明：曲线rs()=,,,1s1,以s332 111ss证明：rs(),,,|()|1rs222s为曲线弧参.112rs(),,0,|()|rs.41ss4141s2rrr,,11332rs()1s22,1s,0,.884122s||r111ss()srs(),,222rs()1s1s()s,,022|()|rs111ss()sss()(),,.2229.如果()s是曲线rrs()的切线象.证明：该曲线的曲率和挠率分别是d2ds1,,并求它的Frenet标架场.212证明：,,32322||1.3||d,,ds.2||21.|| 1.2||11.213310.rrtrt;(),(),()ttt,,,,||||sgn2222证明：,,,||,||rr||rr||||rr||23||r,2222,,,||,rr||||||rr||r23||r,|||||rr|||,|||||rr|sgn||.33,,,,||||,sgn. §2.5曲线论基本定理1.如果一条曲线的切向量与一个固定的方向成定角,则称该曲线为定倾曲线,或一般螺线（这样的曲线可以看成是柱面上与直母线成定角的曲线）,证明：曲线0是定倾曲线的充要条件是它的挠率与曲率之比是常数.证明：设曲线rrs(),s为弧参,是一定倾曲线.则ast,..()saconst.对上式求导,得()sa0,即()sa00,即()s与一固定方向垂直.0100,,022d0,即const.2ds若c,c为常数,则cc.两边对求积分s,得ca（a为常向量）.数乘,0ca,即ac,rs()为定倾曲线.2.设c，为常数。写出这条曲线的参数方程。csdt证明：令ts()()sds,则()s.0dsddsdtdtdcdtcdcdtddd2222cc1,解得Accos1tBsin1ct.2dtdtdt222222222||1cos1ctAsin1ctB2ABcos1ctsin1ct1 2A12Ae122B1可取,则cos1ct,sin1ct,0Be2AB0d122对两边关于t积分,得sin1ct,cos1ct,0adt1c2122222||1||acsin1tecos1ctea12121c1c2||c令上式中t0及t,可得ea0,||a2221c1c322令t及t,可得ea01221c1cc122于是有a与e、e均垂直,aesin1ct,cos1ctc,123221c1c关于求积分s,最终得到1ss22r2sin1c00()sdsds,cos1c()sdsdscs,1cuu3.证明：曲线rt()t3sin,2cos,3tttsint和ru12cos,2sin,u是合同22的.证明：rt()13cos,2sin,3costtt,rt()3sin,2cos,sintttrt()3cos,2sin,costtt,rtrt()()23cost2,4sin,2costt23,rrr,,8.rrr,,||rr11,.3244||rr|r| uuru()sin,cos,1,12211uuru()cos,sin,0,1222211uuru()sin,cos,0,1424211uu1ruru()()sin,cos,,1122222rrr,,8.rrr111,,||rr1111,.114432||rr|r|111,.11rt与ru1()合同.eeuu34.证明：曲线crchtshtt:,,与曲线cr:,,u1在空间E的一个刚体运动1222下是合同的,试求使c与c合同的刚体运动.12tttteeee解：chthtt,s,,,t2211022ttee110,0,1,,t102222001 1102211且0是正交阵,故c和c合同.1222001 §2.6曲线在一点的标准展开1.若在两条曲线之间可以建立一个点对应,使得在对应点这两条曲线有公共的主法线,则称这两条曲线互为共轭曲线.若一条曲线有非平凡的共轭曲线,则称它为Bertrand曲线.证明：在互为共轭的曲线cc,的对应点之间的距离为常数,并且在对应点处的切线成定角.12证明：①设其中一条曲线c的Frenet标架为rs();(),(),()sss,另一条曲线c以c1111121的弧参s为参数,可记做rs()rs()()s()s211两边关于s求导,得||r22111111111两边数乘,得0(s).()sc（常数）1|()rsrs()||()|||sc,即c与c在对应点之间的距离为常数.2112d12②121211222||r120/1/,221ds()ss()c（常数）,即c与c在对应点处的切线成定角.12122.证明：曲率和挠率均不为0的曲线是Bertrand曲线的充要条件是：常数,0,st..1.证明：设曲线cr:(rs),s为其弧参,且曲率k和挠率均不为0.若rs()为Bertand曲线,则由上题知,其非平凡共轭曲线为rsrs()()()s,其中为1非0常数.两边关于s求导,得r11r1111222||r111由题1的结论可知,11cos,cos0（0为一定值）22211于是有ctg,即ctg1.00取ctg,即得结论成立.0 令rsrs()()()s,只需证明r为r的共轭曲线,即//.1111已知112221sgn1,1.22sgn两边关于s求导,可得,||r11122//,即rs()为rs()的一非平凡共轭曲线,从而rs()为Bertrand曲线.113.若在曲线c1c2c1c2c2c1c1c2c1rrs1()sc1c2rsrs21()()cs1()sc1()sc1证明：设crsrs:()()()()ss,其中s是r的弧参.22111已知r法线与平行,则与垂直,也即r与垂直.212121r1r10,即sc.得证.2111214.设c的方程是rrs(),试求c的渐缩线c的方程（提示：设c的方程为11122rs21()rs()()s1()s()(s1s),且要求rs2()//11,以此确定和）.证明：由题意,设crsrs:()()()()()()ssss22111则r1-+-++2111111因c为c的渐缩线,故有()()ssssrs()()//()21112112r0,即2220,,1-111,-,+11,11,0221-0,01111,arctan1221 1tan1()sds111rsrs21()()1()stan1()sds1()s()ss()115.证明：若平面曲线的曲率中心轨迹是正则曲线,则它是原曲线的一条渐缩线.1证明：设平面曲线为rrs=(),s为弧参,则rsrs()()()s.1()s1(s)两边关于s求导,得rs()()s()s1()ss()因rs()为平面曲线,()0s1rs()()s1()srs()为正则曲线10(rs)//(s),从而曲率中心轨迹是原曲线的一条渐缩线.16.经过曲率中心,并与密切平面垂直的直线称为曲率轴.证明：球心在点s0的曲率轴上、经过点r0的球面与曲线rr()s在s0处有二阶以上的切触（提示：只要证明21112lim|()rsr00c0|c0）.2s0s00s22证明：rsr()0s00os,曲率轴上的点可表示为021r00c0,故只需证明题中提示.021112lim2|()rsr00c0|cs0s002211s2lim2|sc0000|cs0s20 211220212limsscc2s0s20022s04lim0s022201122sscc2007.与曲线在一点有三阶以上切触的球面称为密切球面.试求曲线rrs()在点处的密切球s面的中心.解：设rrs()在点s处的密切球面的中心:rsrs()()()()ss()()ss()()ss,则112322rssrs1()Rs()222球面半径R()ssss()()(),且lim0.1233s0sTaylor展开rss,有2()s()ss()323rssrs11()ss()()ssss2()()ss626()()ss33sss3()()os622rssrs11()2()ss12()()sss12()ss23()3()s3222()sss()()()ssos123()s()s()s33312()ss2()3()s2()0,1ss()()0,s()sss()()()s123331(s)()0,()ss,()s1232()ss()()s1(s)rsrs()()()s()()ss()s122()ss()()s §2.7平面曲线1.求下列平面的相对曲率：r（1）椭圆ratcos,sinbtt,02解：ratsin,cos,btratcos,bsintxyxyabr3322222222xyasintbcost（2）双曲线racht,bsht解：rashtbchtr,,achtbsht,abr322222ashtbcht2（3）抛物线rt,t2解：rt1,2,r0,2,r32214t（4）摆线rattasin,1cost解：ra1cos,sintatrat,sin,cosat1r222atcost（5）悬链线rt,acha2tt11t解：rs1,hr,0,ch,chraaaaa（6）曳物线racos,lnsecatanasin,02asin解：rasin,araacos,cos,2asincoscostanra 2.设在平面极坐标系下,曲线方程为=,为极角,为极距.求曲线的相对曲率的表达式.解：rcos,sinrsincos,cossinrcos2sin,sin2cos222r322213.已知曲线的相对曲率为s,其中为弧参s,求此平面曲线的参数方程.r21s解：不妨设xy00,00,00，则s1sd0asrctans01s2s2xsx0cosarctansdssln|1s|0s2ysy0sinarctansds1s1022rsln|s1s|,1s14.求第1题中各类曲线的曲率中心轨迹.（1）椭圆ratbt=cos,sin,0t2.11解：ty,cxbost,asint||rat2222sinbtcos曲率中心轨迹为1cos33ttsin22rttab,rab（2）双曲线racht,bsht.11解：ty,,xbchtashtrbchtasht2222||曲率中心轨迹为1ab22ba2233rttcht,shtrab2（3）抛物线rt,t. 11解：ty,2xt,1||r1+4t2曲率中心轨迹为1132rtt4,3ttr2（4）摆线rattasin,1cost.11解：ty,sxaint,a1cost||rat222cos曲率中心轨迹为1rttatsint,a1costrt（5）悬链线rt,ach.a11t解：ty,,xsh1ta||r1sh2a曲率中心轨迹为12attrtttsh,2achr2aa（6）曳物线racos,lnsecatanasin,0.21a解：aacos,sincos||r曲率中心轨迹为1rasec,lnsecatanr5.求下列曲线的渐伸线.222（1）圆周：xya. 解：rtacos,sintattssr||,tdtatt0assssrs()acos,sina,()srs()sin,cosaaaa所求渐伸线方程为：ssssrsrscssa2()=()+()coscssin,sinacscosaaaax（2）悬链线：yach.at解：rttach,attsr||tdtash0a所求渐伸线方程为：tttrtcashaacashrtrt()=()+casht,2att||rtchchaa（3）摆线：rttsin,1costt.解：rt1cos,sinttttsr||4tdtcos02所求渐伸线方程为：ttrttrtrtc()=()+4costsintcsin,3costccos2222||rt'