微分几何初步 (陈维桓 著) 北京大学出版社 课后答案 第三章 课后答案 15页

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3,对于P点,记对应的南极投影uv,北极投影uv,xy由知1,*uvzz112222uvu1v由知2,xyz,222222uv11uvuv1uv代入*,有uv,2222uvuv3.把单叶双曲面、双曲抛物面写成直纹面形式的参数方程.222xyzxzxzyy解:单叶双曲面+=1，即11222abcacacbbxzy+=1uacb一直母线为xzyu1acbya111acc1令则vxuv,,uzuvubuuu2222uac11ac11ru,0,uvub,,u22uu22uu22xyxyxy双曲抛物面：2,zz即+222abababxycab一直母线为xycz2abuavaubvb令则vzucx,,,y22uuuaubabr,,0v,,122uu34.已知空间E中四个点Pii1ix4的坐标,,yizi,过线段PP与PP上有相同分比的点1234所作的直线构成一直纹面,写出此直纹面的参数方程.考察它是正则曲面片的条件.解：OP,ttr1OP12OP1PP13PP24,trtOP12OPPP13PP24rt1P13PP24P故正则只需rrt=1PPPP+PPPP12131224tPPPP01324 2225.求正螺旋面rruv=,uvuvbvcos,sin,与圆柱面xaya的交线,及其曲率、挠率.解:将正螺旋面的参数表示代入圆柱面方程222uvauvacossin2得到ua2uvuuavcos0,或2cos代回正螺旋面的参数表示,交线cc,分别是12rv110,0,bv,1024a2brv222cos,2cossin,,avavvbv22,2224ab4ab §3.2切平面和法线1.证明:一个曲面是球面它的所有法线通过一个定点.2证明:ٛrcrdr0因dr是切向量，可知是法向量,则法向量过点，r00“”移动坐标轴使所有法线过点，则也是法向量00,r2rdr0rc2.证明:一个曲面是旋转面的充分必要条件是它的所有法线与一条固定的直线都相交.证明:""设ruv,cfvosufv,sinugv,rfuvvusin,fvurfvucos,0,cos,fvusin,gvrrfvgvufvgvufvfvuvcos,sin,法线的参数方程为：xfvucosyfvusinzgvfvgvcosufvgvsinufvfvfvfv显然0,0,gv在法线上,也在轴上,即法线总与Z轴相交.Zgv“”不妨设曲面S的所有法线与轴重合,法线与轴的交点为ZZh0,0,u,v,曲面的S方程为：ruv,xuvyuvzuv,,,,,,则ruv,0,0,huv,//rruv,即22xyzxyzxyzh02zhuuuuuxyzxy22zxyzh0vvv2zhvv2222xyxyuv0zzuv2222xyz与是函数相关的，故函数fs,..txyfzSr的方程可表示为=cfzos,sfzin,z,即为旋转面S3.证明:一个曲面是锥面的充要条件是它的所有切平面都经过一个定点.证明:ٛruv,,,avluruvvlurlu点uv,X处的切平面:，=av+luvlu取总=0,=va,有在X上.“”不妨设定点为原点，，,曲面000rx,,yfx,y,则 rfxx1,0,,rfyy0,1,依题意，-与，共面,即rr0,xyrrrxy,r010fx01fyx0fxyxfyf,yxyfxy,xfxyF,该曲面为锥面y222xyz4.假定在方程1中,abc,,为常数且abc,为参数当.,cabc时,方程给出一族椭球圆；当cb,,时,方程给出一族单叶双曲面；当ba时,方程给出一族双叶双曲面.证明:过空间中不在各坐标轴上的任一点有且恰有分别属于这三族曲面的三个二次曲面，且它们沿交线是彼此正交的.222xyz000证明:对于空间中任一点xyz000,,,令f1,其中,cabccb,,ba.f分别在,,,ccbba，，上单增,且ffc0,fcfb0,fbfa0,故存在唯一确定的12,cc,,bb,3,afi,使得i0,1,2,3这样就确定了三个二次曲面：222xyz椭球面：1abc111222xyz单叶双曲面：1abc222222xyz双叶双曲面：1abc333xyz000三个二次曲面在点xyz000,,处的法向量记为ni,,,1i,2,3,则abciiixyz222000nnijaaijbbijccij1xxy222yzz2220000,ijaabbccijijijij故它们沿交线是彼此正交的.t5.设S是圆锥面:rvcos,sin,uvuvc,为S上一条曲线,方程为u2,tve.1,将的切向量用cruvr的线性组合表示出来.2:证明的切向量平分了与的夹角cruvr. drdudvt解：12rtruvrreruvdtdtdt2sruvvinuv,cosuvr,,cosu,sinu,1rtrt22rtrtuvcosrtrt,()uv,cosrtrt,()22||rtrt||uv||rtrt||得证rtrt,()u=,rtrtv()=4 §3.3曲面的第一基本形式1.求下列曲面的第一基本形式:(1).ruv(cos,sin,()).uvv(2).(cos,sin,()ruvuvuav),其中是常数.a解：(1).rvu(cos,sin,0)v"ruvv(sin,cuvvos,())22222"2Eruucosvsinv1,Frrv0,Gruv()V2222"22IEdu2(FdudvGdvduu(vdv))"(2).rvu(cos,sin,v())uruvv(sin,cuvos,)a22"2"22Eruu1(uFrrauGrua),v(),v22"22"222IEdu2(FdudvGdv1(udu))2a(ududv)(uadv)2.设曲面的参数方程是2222auavuvar,,,2222222uvauvauva求它的第一基本形式.22222(auva)4auv4au解：r,,u222222222222()uva()uvauva()222242auvau()va4avr,,v222222222222()uva()uva()uva222244aaEr,0F,Gruv22222222()uva()uva24a22I()dudv2222()uva3.设在曲面上一点,由二次方程22Pdu20QdudvRdv确定了两个切方向.证明:这两个正方向彼此正交的充分必要条件是ER20FQGP. 222dudu证明：Pdu20QdudvRdvP20QRdvdvdudu2QRdudu1212,dvdvPdvdvP1212两个切方向drdr,(正交drdrEduduFdudvdvduGdvdv)121212121212dudududu1212EF()G0dvdvdvdv1212RQ2EF()0GPPER20FQGP4.求球面上与经线交成定角的轨线方程.解：设球面ra(coscos,cossin,sin)aa22222222Eacos,F0,GaIa,cosdad对于球面上的经线（常数）,d=00设所求曲线（方向向量(,)）与经线（方向向量(d,d)）的夹角为定角，则02drradcos0drraa2222222cosadcos22222221cos0costan022cos010,tan,两边积分，得tanlnsectanc0002cosrc(,tanlnsectan)022225.已知曲面的第一基本形式为Idu()uadv，求：(1)曲线Cuv:0:与Cuv0的交角.12aa22(2)曲线Cu:,vCu:,vCv:1所构成的曲边三角形的边长和各个内角.12322(3)曲线uavua,v和v1所围成的曲边三角形的面积. 222222解：由Idu()uadv得E1,0F,Gua(1).对uv0两边微分得,dudv0dudv对uv0,两边微分得uv设CC,,的交角为则1222drrduu()uadvvcosdrrdu2222222()uadvu()uav222dvv()uadvv22222222dv()uadvv(ua)v22(1ad)vva1在交点(0,0)处,cos(1ad22)(1vav22)a212a1交角为:arccos,.2a1aa(2).CCC,,的交点为O(0,0),A(,1),B(,1)12322211du22a427OA的弧长=()uadvv4v4dva00dv267OB的弧长=a,ABa6在上，CduadvCd,,在上，uadvCv在上，d011122233duduv213cosA()(du2222uadv)du2v431132v1422ABarccos,Aarccos332duduadvdv1212cosO1222222duadvduadv1122O0(3).CCC,,的交点为O(0,0),A(a,1),Ba(,1)123a122222222AEGFdudvuadudv2[0uaduudvln(21)]aDDa33 §3.5保长对应和保角对应tt1.证明:在悬链面ra(chcos,achsin,),tt,02aa与正螺旋面rvu(cos,sin,),0vuauu2,v之间,存在保长对应.222tt22证明:悬链面的第一基本形式为Ichdtachdaa*2222正螺面的第一基本形式为Ivad()udvtt2222*令achvau,,则有vashu,,从而可算得IIaat因此悬链面与正螺旋面之间有保长对应,:uva,sh.a2.证明曲面:r((aconucos),(sinvausin),(vbuv))和一个旋转面能够建立保长对应.uvuvuvuvuv证明:曲面可化为ra(2coscos,2cosasin,2(b))22222""uvuv"""""令uv,=2cosa,则曲面又化为r(cosvu,vsinu,2bu)22"2""Ivbd(4)udv设旋转面为rf(()cos,()sin,()),vufvugv则Ifvd22"()ufvgvd(()2"22())v""uvuv令uu,2vva=则cos,22222"2"2只需满足fvvbfvgv()4,()()1可取f()vvbg224,()2lnvbvvb224,便有II.222222因此曲面和旋转面rvbu(4cos,4vbusin,2bvvbln4)uvuv可建立保长对应:uv,=2cosa.223.证明平面到它自身的任意一个保长对应必定是平面上的一个刚体运动(或:与关于一条直线的反射的合成). 22证明:(设ruv,)(uv,,0),Idudv**22ruv(,)(,,0),uvIdudv设:ufuvvguv(,),(,)为两平面之间的一个保长对应且记,fguu*duTduduJ,,IdudvdudvJJIdudvfgdvdvdvvv*T由于II,故有JJ1,即为正交矩阵,从而保长对应为平面上一刚体运动J(当detJJ1)时或刚体运动与关于一条直线的反射的合成(当det1时).4.试建立旋转面rf(()cos,()sin,())uvfuvgu与平面的保角对应."2"2222解：旋转面的第一基本形式为Ifugud(()())ufu()dv"2"222fugu()()2f()ududv2fu()22平面r(,,0)uv的第一基本形式为Idudv"2"2"2"222fugu()()22uftgt()()令dududv,,dv，可取udtvv,fu22()0ft()则有IfuI2()"2"2uftgt()()故所求的保角对应为udt,.vv0ft2()5.试建立第2题中的曲面与平面的保角对应.解：设平面r(,,0),uv其第一基本形式为Idu22dvuvuvuvuvuv曲面ra(2coscos,2cosasin,2(b))22222uvuv令uv,,则曲面的第一基本形式为11222222222I(4acosv4)bdu4asinvdv1111222222avsin12(4avbcos114)du222dv1avcosb122222avsin12令，dududvdv11222avcosb1 22b可取uuvlncosvcosv1,112a则有Iavb(422cos4)2I1uvuvuvb22故所求的保长对应为uv,lncoscos.2222a §3.6可展曲面vu22v2341.1证明曲面:ru=,2uuvu,是可展曲面.3312u2234证明:ruuuvu=,2,,,uvlu3323uu2,6,4uuuu6luu,lu,lu02证明:rcosuuvvvuvsin,sincos,vuv2是可展曲面,它是哪一类可展曲面？证明:rv=cos,sin,vvuvsin,cos,1vvvtlvvvsin,cos,1vlvululu,,0=且rvtv,即为切线面r.3:证明rauvbuvu,,2v不是可展曲面.证明:=,,0raubuvabu,,2uvluua,,0,blu0,0,2ul,ulu,40ab2.证明挠率不为的曲线的主法线和次法线分别生成的直纹面都不是可展曲面.:0证明:设曲线rrss=,为弧参.主法线和次法线分别生成的直纹面为:rsrstsrsrsts12()()(),()()()rs()(),()ss()()()(),()sssss()()ssrs(),(),()ss()0,(),(),()srssss()0,得证.3.对于挠率不为的曲线,是否有单参数法线族构成可展曲面?若有,求出所有可能的0这种可展曲面.解单参数法线生成的直纹面::rstrstss1,()()()()()ssastls()()则arl==,22all，,若为可展曲面,则22=0 2若0,则=+1,即=tan(),sds也即=tan().sds=0时也满足所有可能的可展曲面为:rstrsts1,()()tan()sdss()()s4.已知空间挠曲线rrss=(),为弧参,求定义在曲线上的向量场ls()=()()+()(),ssss使得由ls()生成的,以已知曲线为准线的直纹面是可展曲面.解:rstrstlsrstss1,()()()()()+(ss)()rl,,rl,l若为可展曲面,0,则=0,或()s即或ls()=()(),()=()()+sslsss()s()s5.设为直纹面上与直母线处处正交的一条曲线,曲面沿曲线的法线生成另一直纹cSSc面.证明:是可展曲面SSS是可展曲面.证明设::Sruvruvlucrru1,,：,其中rulu与处处正交,即rulu=0.Srut：2,,rutnu其中nu为曲面沿曲线的法向量,不妨设Scnurulu.rnn,,rr,lrlrl,rrlrlrl2rlrrrlrlrl||,,rrllSS是可展曲面是可展曲面'