微分几何初步 (陈维桓 著) 北京大学出版社 课后答案 第四章 课后答案 22页

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§4.1第二基本形式1.求下列曲面的第二基本形式.1racoscos,cossin,sinab1222,ruvuv,23,rauvauvu,2v解:1rasincos,asinsin,cosbra,cossin,coscos,0a2222nbcoscos,cossin,sinbabcosasinracoscos,abcossin,sin,raasinsin,sincos,0racoscos,acossin,02222Lrnabbcosasin,Mrn022222Nrnabcosbcosasin2222222Ⅱabcosddbcosasin2ruv1,0,ur,0,1,v22nuv,,11uvr,uu0,0,1,ruv0,0,0,rvv0,0,12222Lrn11uvMrnNrn,0,11uvuuuvvv2222Ⅱdudv1uv3rauv,,2,avraau,,2222nuvvuauv,,22arrruu0,0,0,uv0,0,2,vv0,0,0222LrnMrnauvaNrn0,22,0uuuvvv222Ⅱ42adudvu2va2.求曲线rrs=()的切线面的第二基本形式其中是曲线的弧长参数.,s解:rrs=()的切线面:rstrsts1,()rt,r11stnrt,,11ssttrrst,1tt0LrntMrnNr,0,n011ssst1tt2Ⅱtds3.求曲面zfxy,的第一、第二基本形式. 解:,rxyxyfxyr,,,,1xx,0,,0fryy,1,f22nffx,yx,11ffry,xxx0,0,frx,xyx0,0,fry,yy0,0,fyy22Err1,fFrrffGrr,1fxxxxyxyyyy2222Lrnf1,ffMrnf1,ffxxxxxyxyxyxy22Nrnf1ffyyyyxy2222Ⅰ=11fdxxxffdyxdyfdyy2222Ⅱ=fdxxx21fdxdyxyfdyyyfxfy34.证明当曲面在空间中作刚体运动时,它的:EⅠⅡ、是不变的.**T证明:刚体运动fSSrfrrTr:,+0,=其中TTE,且detT1***rrT,,rrTnnTuuvv**drdrTdn,dnT*222*Ⅰ=drdrTdrⅠ***ⅡdrdndrTdnTⅡ5.直接证明:若在可展曲面上存在两个不同的单参数直线族,则必定是平面.SS证明:Sruv:,()uvlu()vumv,则ruv()uvlu()mvrlu,()从而rrrlu0,(),uuvvuv又rrruvuvvlll,,,,ll0Mnr0,LrnNrn0,0uvuuvvⅡ0,即必定是平面S §4.2法曲率2222221.设悬链面方程为ruavuav=cos,sin,lnauua,求它的ⅠⅡ,和并求它在点，沿切向量00dr2ruvr的法向量.2222解:=ruvuvcos,sin,uvauarua,sin,cos,0vv3222222navavuuarcos,sin,,uuacos,vavausin,ua2222ruuvsin,vucos,0vua,ruvvavvcos,sin,02222Er1,Frr0,GruauuvvaLrn,0MrnNrn,0uu22uvvvua2222a22Ⅰ=duuadv,Ⅱ=duadv22uaⅡ4a2切向量dr2,ruvr的方向为dudv2,1,n2Ⅰ2,1aa42.证明曲面上一条曲线在任意一点的法曲率等于该曲线在该点由其切向量决定的法:截面上的投影曲线在该点的相对曲率.证明法截面由，张成,则曲线:(nrs)在法截面上的投影为rs10rssrsns(),0xy,rs10=()ss,snsrs0，1=()()(),()()sss00ssnsrs10=1，0,rs100,()ns0xy3||rrnxy3.求下列曲面上的渐近曲线:1c正螺旋面：ruosvu,sinvbv,uvuvuv2:双曲抛物面r=,,222解:12LN0,参数曲线网为渐近曲线网.4.设为曲面上一非直线的渐近曲线,其参数方程为cuu(),svv(),s其中为弧参s. 22vuvu1证明的挠率等于:=cEFG2EGFLMN证明因为非直线的渐近曲线,故由定理知,:3cn=0,又因n=0,故n.1nnnnr,,nnurvr,rr,unvnuvuvuv||rruv1uruvvuuvvrrrunvnuruvuvuvvrrrunvn|rr|uv1FuGvLuMvEuFvMuNv所求.2EGFn2225.设为正整数则nr,ncos,sin,sgn||trttt落在圆柱面xyr上试求曲线在,ntn0.处的法曲率验证当:2时,在t0处的曲率中心在一个圆周上写出这个圆周,n的方程.uu2212解:圆柱面的方程是Sr:cros,rsin,v,Ⅰ=dudvd,Ⅱ=urrrurturtn1中,n||tn2nnvtsgn||tvt11n12r1rn2222n2rntrⅡt0nt0Ⅰt01r2rrn1rr2211t011已知曲率中心在以Ctn()()t为中心，为半径的圆上cnnn22nnnt2,0,时nn()tr,0,0,()trn0,,0n()t1,0,022rr2cx都可表示为z,.得证n22 §4.3Gauss映射和Weingarten映射1.证明在曲面上任意一点，任意两个彼此正交的切方向上的法曲率之和是一常数:.证明曲面上任一点P,设:,ee12是P的两个彼此正交的主方向单位向量,对应的主曲率12是,,则在点P沿两个彼此正交的切向量eecosesin,eecos121212esin的法曲率分别是:22122222cossin,sincos121212const12i2.设曲面SS12,的交线的曲率是曲线在曲面上的法曲率是c1,c1Sini1,2.假定和SS12在交点的法线之间的夹角是证明.:22221212sinnnn2ncos证明设的主法向量为:,cS11、在交线上的单位法向量分别是、，则S2n1n2n1，n2=且记，nnn11==，，22，由于，，1n2都在法平面上，有12=12nn=cos12cos,cos2221212222nnn2ncos=cos22cos2cos2cos2cos22sin3.证明:在可展曲面上,直母线既是渐近线,又是曲率线;直母线的正交轨线是另一族曲率线.证明；直母线是直线直母线是渐近线可展曲面沿直母线的切平面不变,故法向量不变,从而曲面沿直母线的法线展成平面一种特殊的可展曲面直母线是曲率线两确定的主方向正交,若不确定,任一主方向的正交方向也是主方向直母线的正交轨线是另一族曲率线4.设曲面上的一条曲率线不是渐近曲线并且它的密切平面与曲面的切平面交成定角,,证明该曲线必是平面曲线.证明:该曲线是曲率线，nr////又因为密切平面与切平面交成定角，0=nn=+==||nnrn已知||0rn,若=0,4由.2节定理知,曲线为渐近线,与题意矛盾,30,得证 5.假定两个可展曲面相交成一条曲线并且这条曲线与两个可展曲面的直母线分别正,交.证明:这两条曲面在各交点交成定角.证明由题这条交线是两曲面的曲率线，:3,nrii//1,2又nrnnii,0jij,1,2nn12nnnn12120,nnconst12,即两条曲面在各交点交成定角6.证明在曲面上任意一点的某个邻域内都能取正交参数系:Pu,v,使得参数曲线在该点的切方向是彼此正交的主方向.证明:设曲面Srruv:=,,对曲面上任一点PTS,在P上总是可取单位正交基cc12,,使得，是曲面在点的主方向cc12SP另一方面,将rrSchmidtuv，正交化，得到ee12，,作为TSP的活动基底设.=,,PPuv00则aab,,,bst,..1212caeuvb1110,,01euv200caeuvb2210,,02euv200根据这样的aabb,,,,设1212duvaeuvbeuv11,,,314duvaeuvbeuv22,,,324cc1200aabb1212duvduv1,2,0从而d,,dd是曲面上两个处处线性无关的连续可微的切向量场且P=c,dPc121122从而在点的某个邻域上存在新参数系Pu,,v使得ruv//,//d12rd，满足题意7.设在曲面上一个固定点与一个主方向的夹角为的切方向所对应的法曲率,记为112nn.:证明dHH.=+.其中1222011222211证明:ndd12cossin121+2220022H8.在非脐点处,如果夹角为的任意两个切方向的法曲率之和为常数,则该夹角必00为.212证明不妨设两切向量为:cee12osesin,ee10cose20sin,其中ee12,,是曲面在该非脐点处的主方向单位向量00122222则nn1210cossincos20sinconst 12dnn0=21sin2sin20d由非脐点知,120=sin2sin2002sincos0,对一切都成立=02 §4.4主方向和主曲率的计算1.求螺面ruv(cos,sin,uvuv)的Gauss曲率和平均曲率.解：rv(cos,sin,1),vru(sin,cos,1)vuvuvrruv1nv(sinucos,cosvvusin,)vurr21u2uvrrv0,(sin,cos,0),vru(cos,vusin,0)vuuuvvv222Er2,Frr1,Gru1uuvv21uLrn0,Mrn,Nrnuuuvvv2221u21u22LNM12LGMFNEu1KHEGF22(2u1)22(EGF2)(2u231)2(1)()m2.设曲面S在一点的两两夹角为的m个切向量所对应的法曲率为kk,,.nnm1(1)()m证明:当m2时有Hk()k.nnm证明：设ee12,是在一点P的两个彼此正交的主方向单位向量，对应的的主曲率为kkm,.个切向量为d,,,d其中与的夹角为，则de121m11(1)22kkcosksinn12()i2(1ii)22(1)2kkcos()ksin(),2im.n12mmmmm()i2(1ii)22(1)2kkn12cos()ksin()ii11mi1mmmkkk(1ii)4k(1)41212mcos(2)cos(2)22ii11mm2mkkkk4(i1)1212m()cos(2)222i1m mm4(ii1)124(1)又cos(2)2sincos(2)ii11mm2sin2mmm124(ii1)4(1)2sin(2)sin(2)2sin2i1mmm1224(m1)sin(2)sin(2)2mm2sinm0mm()iikk121()kmnnmHHki12mi13.求双曲抛物面ra((uvb),(uvu),2v)的Gauss曲率，平均曲率，H主曲率kk,及对应的主方向.12证明:(ra,bvrabu,2),(,,2)uvrruv((buvavu),(),ab)rruuvv0,ruv(0,0,2),nrrbuvavuab22()()2222uv22222222EabvFabu4,4,vGabu42abLN0,M222222buvavuab()()222LNMabK22EGFab22()u2va2()2b22uvab()2222LG2(MFNEabab4uv)H232(EGF)2222222222()abuva()b2uvab()22vuvu22222222主方向满足:abvab444uvabu000M222uabu42IIab,对应的主曲率为k1vIabv2224(EGFE2GF)222uabu42IIab,对应的主曲率为k2vIabv2224(EGFE2GF)4.设在曲线rrs()的所有法线上截取长度为的一段它的端点的轨迹构成,一个管状面其方程可以表为, rs(,)rs()(cos()sin()),ss其中,分别是曲线rs()的主法向量和次法向量求该曲面上各点的主曲.率kk,.及Gauss曲率和平均曲率12解:rkcos()sin()s(1kcos)sincosrsincos1nk(cos(cos1)sin(kcos1))(ckos1)cossin22rkk(cossin)(kkcossincos)ss2(cossin)rksincossinsrcossin2222222222Ek(1cos)sincos(1kcos)22FG,222Lrnkcoskcos,Mrn,Nrnsss2LNMkcosLG2MFNEk12cosK,H22EGF(kcos1)2(EGF)2(kcos1)221ckoskHHK,kHHK12kcos15.在曲面rruv(,)上每一点沿法线方向截取长度为的一段（假定充分小），**其端点的轨迹构成曲面ruv(,)ruv(,)nuv(,).从点ruv(,)到点ruv(,)的对应记作.(1)证明两个曲面在对应点的切平面互相平行:.*(2)证明:把曲面ruv(,)上的曲率线映为曲面ruv(,)上的曲率线.(3)在对应点的Gauss曲率和平均曲率有下列关系:*K*HKK,.H2212HK12HK**证明:(1).rrnrrn,uuuvvv**2rrrrrnnrnnuvuvuvuvuvnn1,nnnn0,即n,nnuvuv 又均rnrn,,rrrnnrnn,,,与n平行uvuvuvuuv***rrn与平行从而与平行因此两曲面在对应点的切平面互相平行,,nn.uv****(2).由(1)知,与平行又因nn,nn1,故nndn与dn平行若rutvt((),())(,)为ruv上的曲率线,则**1**drdrdn()dndr与平dn行故与平,drdn行kn*由Rodriques定理知,(()rutvt,())也是曲率线.***1kknn*(3).由(2)得,dndrdrkn1kk11nnkn**kk12kk,1211kk12***kk12Kkkk12221(kk)kk12HK1212***kk12()kk122k1k2HKH2222[1()kkkk]12HK12121LMEF1nrnnrn()()uvuu6.证明：(1).MNFGEGF2nrnnrn()()vvvu1LMEFLMef(2).MNFGMNfg1LMEF1LMGF证明：(1)2MNFGEGFMNFE1LGMFLFME2EGFMGNFMFNEnrnnrnuv()()uu1nrrrnrrruvuv[()][()uuuv]而nrnnrn()()EGF2n[()rrrnrrr][()]vvvuvvuvvuuv1nr[(rrr)(rrnr)][(rrr)(rr)]uuvvvvuuuuvvuuEGF2nr[(rrr)(rrnr)][(rrr)(rr)]vuvvvvuvuuvvuu1LGMFLFME得证.EGF2MGNFMFNET11efnruuLMEFEF(2)nnuvrruvfgnrvvMNFGFG 1TT1LMLMEFLMLMEFLMMNMNFGMNMNFGMN得证. §4.5Dupin标形和曲面在一点的标准展开1.设旋转曲面的经线有水平切线证明这些切点都是曲面的抛物点,:.证明:设旋转曲面的参数方程为ruv(,)(()cos,()sin,()),(()fvufvugvfv0)因S的经线为vu曲线即,(u,ru,v)(f(v)cosu,f(v)sinu,g(v))0000"""经线的切线为rf(()cos,()sin,()).vufvugv又因经线有水平切线故,v00""""""""ggffg()gv()0,从而K0""2ffg()因此这些切点都是曲面的抛物点.332.求曲面ruvuv(,,)上的抛物点轨迹.2212222解:ru(3,0,1),rvn(0,3,1),(,vuu,3v)uv4444uvuv9rur(6,0,0),(0,0,0),rv(0,6,0)uuuvvv2266uvuvLrn,0M,Nrnuuvv22EGFEGF2LNM233抛物点KL00NM36uv00uv或02EGF33故所求抛物点的轨迹为ruur(,0,),(0,vv,).123.研究4.4的习题中管状曲面上各种类型点的分布4,.kcos解:K(1kcos)().ikK当0,时0,为抛物点().ii当k0,时K的符号由cos决定3当或时,0K,为抛物点223当时,0K,为椭圆点223当02或时,K0,为双曲点.22 4.设是曲面上的一个双曲点的两个渐进方向的夹角.证明:K(1)tgHEN2FMGL(2)cos,22()ENGL4()EMFLGM()FN其中EFGLMN,,;,,分别是曲面在该点的第一类、第二类基本量.222证明:(1)在双曲点上,LNM0,故方程Ldu2MdudvNdv0在该双曲点的一个邻域内有两个不同的解U,即上每一点都存在两个渐进方向.U在曲面上可取渐进曲线网为参数曲线网从而有,0LN22rruvFE1cosGFcoscos(,)rruv,tgrrEGcosFuv22LG2MFNEMFLNMM又HK,22222(EGF)EGFEGFEGF22KMEGFEGFK,tgHMEGF2FFH11H(2)cossec1tg22HK2LG2MFNELNM将HK,,代入上式即可得证.222(EGF)EGF5.求下列曲面在原点处的近似曲面:22(1)zxexp(y)1;(2)zxylncoslncos;3(3)zxy(3).22解:(1)ruv(,)(,,exp(xyxy))xy22xy22则rx(1,0,2ery),(0,1,2e)xy1xy22xy22nx(2e,2ye,1)2222xy14(xye)2xy22xy222xy22r(0,0,(24x)erx),(0,0,4yer),(0,0,(24y)e)xxxyyy 在原点(0,0),处nrr(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)xyrrr(0,0,2),(0,0,0),(0,0,2)xxxyyyEGF1,0;LN2,M022HKkHHKkHHK2,4,2,21212222近似曲线为:(zkxkyxy)122122(2)同(1),可解得在原点处的近似曲线为:zxy().2(3)同(1),可解得在原点处的近似曲线为:z0.22()xy6.求曲面ze的Gauss曲率画出它的草图并指出椭圆点和双曲点的区域,,.xyxyxy解则:(ruv,)(xye,,)22,r(1,0,xe),(r0,1,ye2)xxxyxy1nx(,,e22ye1)xy2221(xye)xyxyxy22222rx(0,0,(1)erx),(0,0,yery),(0,0,(1)e)xxxyyy2222222(xy)(xy)2(xy)Ex1,eFxyeG,1yexyxyxy(1xe2)22xye(1ye2)2LMN,,22222222()xy22()xy22(xy)1(xye)1(xye)1(xye)22222(xy)LNM(1xye)K222()xy222EGF[1(xye)]22椭圆点Kx01y02222xy1,故椭圆点区域为:{xy1}22双曲点Kx01y22双曲点的区域为:{xy1}7.证明:如果曲面在一点有三个渐进方向它们两两不共线,则该点必定是,平点.2证明:0设该点不是平点,则若是椭圆点,有KL,即NM0,无渐近方向.2若是双曲点则,0KL,即NM0,有2个渐近方向.2若是非平点的抛物点则,0KL,即NM0,有1个渐近方向. 该点只能是平点. §4.6某些特殊曲面y1.证明:zcarctg是极小曲面并求它的主曲率..xycycx证明:(rxycarctg,,),(r1,0,),(r0,1,)xy2222xxyxy122nc(,,ycxxy)2222222cxcy()xy222(cxycyx)2cxyrrr(0,0,),(0,0,),(0,0,)xx222xy222yy222()xy()xy()xy22222cycxycxEF1,,1G222222222()xy(xy)(xy)ycycx证明:(rxycarctg,,),(r1,0,),(r0,1,)xy2222xxyxy122nc(,,ycxxy)2222222cxcy()xy222(cxycyx)2cxyrrr(0,0,),(0,0,),(0,0,)xx222xy222yy222()xy()xy()xy22222cycxycxEF1,,1G222222222()xy(xy)(xy)2cxyL222222222cxcyxyxy()()22cyx()M222222222cxcy()xy()xy2cxyN222222222cxcy()xy()xy故LG20MFNE,0从而H，即曲面为极小曲面.22LNMc2又Kkkk22222121EGF()cxycc故kk,.12222222cxycxy2.假定一个极小曲面的方程可以写成zfxgy()()的形状证明除了一个附加.:1cosay的任意常数外,它必定是zaln,其中是常数此曲面成为Scherk曲面..aacosx ""fL""2"2Ef11fg""证明:(rx,yfxgy,()()),Ffg,M0"""Gg1gN1fg"2"2"""2"""2极小曲面HL02GMFNEfg0(1)gf(1)0""""fg"a()a为常数积分可得,arctgfx(),axc"2"2111fg"arctggy()ayc2""f()xtga(xcgyt),()ga(yc),再积分得1211""fx()lncos(axc)c,gy()lncos(ayc)c1122aa""11当取ccccc0,()时fxlncos,()lncosaxgyay1212aa1cosayzlnaacosx2323223.证明:(ruvuvuvuv3(1),3(1),3())是极小曲面它称为Ennerper.曲面.证明它的曲率是平面曲线,并求曲率线所在平面.1222Eu9(122v)2Lu(1v)证明:0FM,0222Gu9(1v)Nu1(122v)21222其中:取nu(2,2,1vuv),EGF2222244(uv1uv)LG20MFNEH0曲面为极小曲面.22vuvu曲率线方程为EFG0LMN223因FM0,故方程为(ENLGuv)0(1uv)uv0uv0uconst或vconst,.即曲率线为v曲线和u曲线 又因(,rrr,)0,故始终与rrr36(0,1,)v垂直uuuuuuuuuuuu即uv曲线即()v为平面曲线.03该平面为XXr:()(0,1,)0,v即yvzvv320(与无关u)0000同理,(,rrr)0,故始终与rrr36(1,0,)u垂直vvvvvvvvvvvv即vu曲线即()u为平面曲线.03该平面为XXr:()(1,0,)0,ux即与uz3u2uv0(无关)00004.证明正螺面:r(cos,sin,uvuvbv)是极小曲面并证明除了平面之外直纹极.:,小曲面都是正螺面.L0E1b证明:(1).FM0,2222ubGubN0LG20MFNEH0正螺面为极小曲面.(2).设直纹面:(,)ruvauvlu()(),其中为uruau()()的弧长参数,()1,()luaulu().1记曲线ruFrenet11()的标架为r;,,,曲率及饶率分别为k,.""""ru()vl(),url(),urkvlrl,(),ur0uvuuuvvv""2ErrFrr,(vll)0lvll,Grrl1uuuvvvNrn0.若为极小曲面则,H0LGM2FNE0vvLG00(Lrrr)0对任意的成立v.uuuv特别地,(rrr)0,即k(,,)0lk0(,,)0或luuuvv0kl0或1.当kr0,()时ua()u为直线.1若lul()(常向量),则ruv(,)为平面.0若可lul(),设au()(0,0,buz)为轴,lu()(cos,sin,0)uu0则ruv(,)(cos,sin,)vuvubu为正螺面.2.当ll时不失一般性地,可设,(否则只需在的方程中用,,"""22lu()替换lu()).则lk,lk(k)rkvkk[()]22vkkv(kv22)vuu rrv(1vk)uv因对rrrvv()[()kk]0v成立uuuv故对v,()有vkk00且kk00且k000或kir).若0,则()ua()u为平面曲线从而为一平面,.1ii).若k0,则kc,ccc(,均为常数)1212当kc0,时为情形1.1当kc0,()时ruau()为圆螺旋线此时可设,11ruau()()(cos,sin,)auaubu1ru()11则lu()()u(cos,sin,0)(cos,sin,0)auauuuru()a1ruv(,)(()avcosuav,()sinubu,)为正螺面.5.证明如果Gauss映射是曲面到单位球面的保角对应则该曲面或者是球面或:,,者是极小曲面.证明:,曲面的第一基本形式为SIdrdr单位球面的第一基本形式为"IdndnuvIuv(,),((,)0)"故曲面的第三基本形式为IIIdndnI(,)uvI由即III20HIIKI,I20HIIKI(KI)2HII().iH若0,则为极小曲面S.K().ii若H0,则III,PSP,沿任一单位切向量的法曲率均为2HIIKk,,即kkkS故上每一点均为脐点.nn12IH2若kk0,则上的点为平点从而为平面当然是极小曲面S,S,.12若kk0,则上的点为圆点从而为球面S,S.126.求伪球面见方程((15))的全面积由结果可知伪球面尽管向无穷远处延伸,但.(:是它的全面积是有限的)解:ra(,)(coscos,cossin,aat[ln(secg)sin])其中0,02.2ra(sincos,asinsin,a(seccos)) ra(cossin,coscos,0)a222222222Easina(seccos2)atg,F0,Gacos2222Sadsind2a.00'