微分几何初步 (陈维桓 著) 北京大学出版社 课后答案 第五章 课后答案 17页

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§5.1自然标架的运动公式1"2"u1.设有参数变换uuuua(,),命""",假定det(a)0.证明：ug""gaa"",.b""baa""证明：gr"""rr"()ar"()ag"a"a".br"""nr"()an"()ar"na""aba""a.2.证明：在上题的参数变换下，(gg)的逆矩阵()的变换规律是""gga""a.""证明：由上题知，g""gaa""g""gaa""ggaa""."3.如果用""记关于(g"")的Christoffel记号，证明：在习题的参数变换下有变1"""a""""u换规律""aaa"""a,()其中a是()a"的逆矩阵，即a.uu"""""证明：""gg"""r"""r""""a"gaagr,(""""rar")a"ar",rr"a"uu"""aa""""""aagraa()""r"ra"grraaa"""ggauu""a"aaa"""a.(因gg)u14.验证：曲面的平均曲率可以表示成HHbg，并且在习题的参数变H12换下是不变的.LG21MFNEbg11222bg1221bg2211111222证明:Hb(2gbgbg)21112222(EGF)2g21bg2"11""""1Hb""gba"a"aagbgH.222 5.证明下列恒等式:g(1)gg.ugg(2)gg.uu1lng2(3),其中gggg().1122122uggggll证明:(1)gg,ug,g0gglllluuuugglgg()ggg()gggllllluugl()gglug()lgg.u(2)gggggggg.uu1lngg11ggg112212(3)(gg2g)221112222uguguuu1gg1111222212g1221g21()gggg2uuuu11gr()r1ggg()rrrr22uu2111gg()(g)().222 §5.2曲面的唯一性定理1.推导函数fufufu(),(),()所满足的方程组(4).(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)证明:(furrrr)()(),(furrnn)()()(1)(2)2fu()(nn).(1)(2)(1)(2)fr()rr(1)(2)(1)(2)()r()rrrr()uuu(1)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(rbnrbnrrrr)()()(r(1)(2)(2)bnrbn)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)()rrrr()()rrrrbnn()()(1)(2)(1)(2)(1)(2)()rrbnnrr()()ffbfbf(1)(2)(1)(2)frr()(1)(2)(1)(2)()nn()nnrr()uuu(1)(2)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)(1)(2)()rrnnbnn()()(brbrrr)()fbfbf(1)(2)fn2(nn(1)(2))()n2(nnbrr(1)(2))()((1)(2))2bfuu2.已知函数fufufu(),(),()满足方程组(4).命2Fu()Fu()ggff2gfff,证明:0.uFuggff()证明:gffgffggfggfuuuuugfff2222ffgfgffuuuu()gggff()gggfff(fbfbfggf)(ffbfbfggf)2(ggf)fb(ffbf)gfb2(ffbfgf)2fbf(2)0(,最后一个等式利用公式gbgb) §5.3曲面论基本方程1.验证方程(13)和(8)的等价性.bb证明:(方程13):bbuubb方程(8):bbuubb(13)(8):若bb,两边同乘g,并对求和得,uubb()gbg()bgg0(gbb)bbuuuuuugbgbg由5.5习题5(1)的结论:gg,可得ubb0()ggbggb()uugbgbbbbbuubbbb()uu反之,(8)(13):(8)式两边同乘以g,并对求和同理可得,(13).式2.证明：若(,)uv是曲面上的参数系使得参数曲线网是正交的曲率线网，则主,曲率kk,:满足下列方程12k1E1v()kk,21vE2k1G2u()kk.12vG2 LN证明：kk,12EGkL11ENELELE1()EL()22vEvvEGvEvEv2211ENLLE1ENLL2v()()222EvGEEvEGEE11EENLvv()()kk2122EGEEk11NGNGLGNG2()GN()22vGuuGGuEuGu22GGNLN2LN1Guuu()()()kk122GGEG22GEGG3.证明：平均曲率为常数的曲面或是平面，或是球面，或是它的第一基本形式和第二基本形式可以表示成2222I[(du)(dv)],II(1Hdu)()(1Hdv)().1证明：Hk()k122ikk).若0,则曲面为平面.12ii).若kkc0,则曲面为球面.121"iii).若kk,且H(kk)c,不妨设kHk.1212122LENG取曲面的正交曲率线网作为参数曲线网则SH,,Hvvuu故可设LHEuNH(),Gv()Lu()Nv()()uv()则kHkH,.0显然有,0且12EEGGEG()uv()0.设则Eu(,)(),vuGu(,)()vvEG22*****2*2Iu(,)(()vuduv()dvu)((,),(,))(uvvuvdudv)**其中du(),ududv().vdvII(1H)()udu2(1H)()vdv2(1Hdu)*2(1Hdv)*2.34.设是中的一块曲面它的主曲率是两个不相等的常值函数证明SE,.:S是圆柱面的一部分. uu证明:(圆柱面racos,asin,v)的第一、第二基本形式分别为aa2212IdudvI,Idu11a3故只需证明与该圆柱面有相同的第一、第二基本形式从而在的一个SE.刚体运动下与圆柱面重合S.取正交的曲率线网作为的参数曲线网Sk,k12LEEEkH0vvv1vEfu()0,,又因HkHk,故12NGGkHG0Ggv()02uuuu22故可设Ifud()ugvd(),v此时R0LN.12122不妨设NI0,则Ikf()udu1222令则dufududv(),gvdv(),Idudv,IIkdu1111111记有aI,,IIIII.11k15.已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别为22222Iud((ud)(v)),IIAuvd(,)(uBuvd)(,)(v).证明:(1)AB1;(2)AB和只是的函数u.证明:(1)FM0该参数系是由正交曲率线网构成的.()EG()vuREGLN1212GEvu2222由Iudu()dv,得EGu,则上式化为LN1,即AB1LE(2)HL0,故即f(),uAf(),uABB1g()uvvAB和只是的函数u. §5.4曲面的存在性定理1212121.验证fuufuufuu(,),(,),(,)满足方程组(12).12121212证明:fuu(,)(,)(,)ruuruuguu(,)121212121212fuu(,)ruunuu(,)(,),(,)(,)(,)1fuunuunuufrrgrruuuu()rbnr()rbnr()ffbfbffrnnr()rbnnrbr()bffbfuuufn22nn(brb)2fuu32.判断下列给出的二次微分形式,能否作为中一块曲面的第一基本形式和E第二基本形式说明理由?.2222(1)dudv,dudv;222222(2)ducosudv,cosududv.解:(1)不能因为.Gauss方程不成立.EGFLM1,0;1,0,N1,()EG()vu则REG01212GEvu222而即bbbLNM10.R(bbb)1122121212112212(2)FM0,22()EG()2vubbbcosuR,EGcosu1122121212GEvu2R()bbb,即Gauss方程成立.12121122124NG11NLucos但0,sin2,uH()2uu22GEucosNGH,.即Codazzi方程不成立uu 3.求曲面，使它的第一基本形式和第二基本形式分别为12222222I(1udu)udv,II(duudv).21urruv解：设所求曲面Srruv:(,).,记,,则12312EGEvL1()(1)12u3232EGE1uEvM()0(2)21u32EGGLM1()(3)31u212EG1uGuM1()12v32(4)2EGE1u2GuNu1()(5)2v13132EGGuu2211MNu()(6)31v22EGu21由(2),得(),vC不妨设曲线:rr(),v以为其弧长参数v,2211cossin(7)1有rv12(),其Frenet标架r;,,,从而2(8)sincos(9)3 (7)式对求导得vk,()cos(),代入(4)式得,(10)12vv3v1kcos(11)21u(8)式对求导代入v,(5)式得,kcosucossin01u2cosuksin1u2uksin1u222由可cossin1,得k1.1cos21u(12)usin1u2对(12)中两式关于求导可得v,0,从而由(10)式知0v因此曲线为圆Ck(10).于是可选取坐标系使得,,Cr:(cosv,sinv,0)1(sin,cos,0),vv(cos,sin,0),vv(0,0,1).2(coscos,coscos,sin)vv1(sin,cos,0)vv21(cos,sin,)vvu1又由(12)式得12u(sin,cos,0)vv2rE(cos,sin,)vvuu1rG(suvin,cuvos,0)v22u12解方程组可得,(ruvcos,uvsin,),这是抛物线zxy,0绕轴旋转所z22得的旋转抛物面.224.已知EuvduGuvdv(,)(,),(,)uv,其中E0,G0.若,能够作为曲面的第一基本形式和第二基本形式则函数,,EG,应该满足什么条件?假定EG,,写出满足上述条件的EG,的具体表达式.解:,若能够作为曲面的第一、第二基本形式则,,的系数需满足GaussCodazzi方程.0FM该曲面的参数曲线网为正交的曲率线网.故EG,,需满足方程: 2()EG()vuEGEG(1)GEvu()EE(2)vv()GG(3)uuE00vv由可(2),(3)得.又因EG0,0,c()cG00uu故EG,,需满足(1)式及const.22()EG()vu若由EG,(则1),式EEEElogGEvu2即其logEE,中const. §5.5Gauss定理1.已知曲面的第一基本形式如下所示,求它们的Gauss曲率.22dudv(1)Ic,是常数.c222[1(uv)]4222adudv()(2)Iv,0,a是常数.2v22dudv(3)Ic,0是常数.222()uvc2u(4)Idued22ava,是常数.222u(5)Iduchdva,是常数.a解:(1)F0,曲面的参数曲线网为正交的.1()EG()vuKEGGEvu11EGK()logEcEuv22222[1(uv)]4 2ccc222uu[1(v)]424logEu2c222[1(uv)]422cc2222Ku()()vcuvc442a(2)EG,F02v1logEE0,log222uvv211v1(1),KE()log22222Euvava1(3)EG,F0222()uvc22222(uvc)2(vuc)logE,logE22222222uu()vcvu()vc2224cKuvc()4c222()uvc2uuu11()G(4)EFGe1,0,aa.(Ge),u(G)eauuaaEu2uuu11Keaa0e22aa2uu()Gu1(5)EFGc1,0,h.(G)chaaEuu2au111uKchu22aaacha2.证明在下列曲面之间不存在等距对应:22(1);(球面2);(柱面3)双曲抛物面zxy.证明:设球面:(,)raaaa(coscos,cossin,sin)(0)1柱面:(,)ruv(cos,sin,)bubuv(b0)222双曲抛物面:(,)(,,ruvuvuv)31则球面的Gauss曲率为K12a柱面的Gauss曲率为K02 4双曲抛物面的Gauss曲率为K3222(14uv4)故三曲面之间不存在等距对应.3.设曲面和的第一基本形式分别为SS2222u222Idu(1udv),Iduudv,2u1试问在与之间是否存在保长对应?:SS11解:,S和的SGauss曲率分别为KK224(1uu)uu12uu221u2222222令则,(Iduudv)du(1u)dvvvuu2211u2222du(1udv)I2SS与之间存在保长对应:1,.uuvv4.设曲面和的方程分别为SSruvuvuruvuvv(cos,sin,ln)和(cos,sin,).证明:在uuv,,v的对应下曲面和有相同的SSGauss曲率但是在和之间不存在保长SS对应.1证明:Sr:(cosv,sinv,),(sruvuvin,cos,0)uvu112222EF1,0,GuId(1)uudv22uu211R12121Ru1,K12123222222uE1(GFu1)(1u)222211SIdu:(1udv),1Ru121232221u(1u)R11212K222EGF(1u)在对应uuvvKK,,.下假设与之间存在保长读SSuuuvvvuv(,),(,),则由Gauss定理,KK22从而uu.uvv1uuuJuvv0vvv 1u10T210当时1,由JJu,2u01u20u2vvv22(1uu)(1)1uuv10即2u2(122)vv(1)v0u2uuvuv22v11(u1)1(1)2uuvv0(2)vu22v2(1u)u(3)v222vv11uvv由由(1),,(3),022222uu(1u)vu1vuu(1)与(2)式矛盾.u当1,时同理可得出矛盾.uSS与之间不存在保长对应.5.设曲面和的第一基本形式分别为SS22222vv22222Ie[dua(1udv)],Ie[dub(1udv)],22其中ab.:证明在对应uuv,v下这两个曲面有相同的Gauss曲率但是该对,应不是保长对应.()EG()ea22vvu证明:0FFREG1212GE1u2vuR121212vKe222EGF(1u)22vebR121212vRK,e121222221(uEGFu1)在对应uuvvKK,,.下22但因ab,,故在对应uuvvII下,.该对应不是保长对应. 6.证明:曲面在一般的参数系(,),uv下Gauss曲率有下面的表达式:GEEEEGuuvvuvvuFF0uvu2222221GEuvKFEFEF.22v()EGF22GGvuFGFG22rrrrruv(,,)uuuv(,,)rrruvuv证明:,LrnruuuuMrnuvrrrrrruvuvuv(,,)rrrvvuv222Nrnvv,rruv(rrrrrrrrrruvuv)()(uuv)(v)(uv)EGFrruv22(,,)rrrruuuv(,vvrruv,)(,,)rrruvuvLNM2rruv22LNM(,,)(,,)(,,)rrrrrrrrruuuvvvuvuvuvK222EGF()EGF222KEGF()(,,)(,,)(,,)rrrrrrrrruuuvvvuvuvuvrrrrrrrrrrrruuvvuvvvvvuvuvuuvvuvrrrrrrrrrrrruuuuuvuuvuuuvurrrrrrrrrrrruuvuvvvuvvuvvvGGuvEGvurrFrruuvvvuvuv2222EEuvEFEF22EGvuFFGFGu22GGEG00Fuvvuv22222EEuv()rrrrEGF()EFEFuuvvuvuv22EGvuFFGFGu22EEEGuvvu00Fu2222112GEuv()FEGE(GFF)EFEFuvvvuuv2222GGvuFGFG22 GEEEEGuuvvuvvuFF0uvu222222GEuvFEFEFv22GGvuFGFG22GEEEEGuuvvuvvuFF0uvu2222221GEuvKFEFEF22v()EGF22GGvuFGFG227.若在定理中的3SGauss曲率K0,则定理的结论是否成立?举例说明.1解:3若定理中的SGauss曲率K0,定理的结论不成立.12222因此时的为可展曲面而使S,,ICduCdvIIDduDdv的曲面是11212不存在的这与保持在每一点沿每一个切方向的法曲率不变,从而处,*处非退化矛盾.'