初等数论 第三版 (闵嗣鹤 著) 高等教育出版社 课后答案 初等数论原题目 16页

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5.设a，b，c是正整数，证明：22[a,b,c](a,b,c)。[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)6.设k是正奇数，证明：1291k2k9k。第5节1.说明例1证明中所用到的四个事实的依据。2.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x162y=(1387,162)。3.计算：(27090,21672,11352)。4.使用引理1中的记号，证明：(Fn+1,Fn)=1。5.若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？n1，证明：对于正整数a，b，有(M6.记Mn=2a,Mb)=M(a,b)。第6节1.证明定理1的推论1。2.证明定理1的推论2。3.写出22345680的标准分解式。4.证明：在1,2,,2n中任取n1数，其中至少有一个能被另一个整除。115.证明：1（n2）不是整数。2n6.设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。第7节1.证明定理1。2.求使12347!被35k整除的最大的k值。n2r13.设n是正整数，x是实数，证明：[]=n。rr124.设n是正整数，求方程x2[x2]=(x[x])2在[1,n]中的解的个数。2 5.证明：方程f(x)=[x][2x][22x][23x][24x][25x]=12345没有实数解。6.证明：在n!的标准分解式中，2的指数h=nk，其中k是n的二进制表示的位数码之和。第8节1.证明：若2n1是素数，则n是2的乘幂。2.证明：若2n1是素数，则n是素数。3.证明：形如6n5的素数有无限多个。4.设d是正整数，6|d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。5.证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。16.证明：级数发散，此处使用了定理1注2中的记号。n1pn第2章第1节1.证明定理1和定理2。2.证明定理4。3.证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。4.求81234被13除的余数。5.设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),,f(m)都不能被m整除，则f(x)=0没有整数解。6.已知9962427，求与。第2节1.证明定理1。2.证明：若2p1是奇素数，则(p!)2(1)p0(mod2p1)。3.证明：若p是奇素数，N=12(p1)，则(p1)!p1(modN)。3 4.证明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n1)!1(modn)，则n是素数。5.设m是整数，4m，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}是模m的两个完全剩余系，证明：{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m的完全剩余系。6.设m1,m2,,mn是两两互素的正整数，i（1in）是整数，并且i1(modmi)，1in，i0(modmj)，ij，1i,jn。证明：当bi通过模mi（1in）的完全剩余系时，b11b22bnn通过模m=m1m2mn的完全剩余系。第3节1.证明定理1。2.设m1,m2,,mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩m余系（1in），m=m1m2mn，Mi=，则miM1x1M2x2Mnxn通过模m的简化剩余系。3.设m>1，(a,m)=1，x1,x2,,x(m)是模m的简化剩余系，证明：(m)ax1{i}(m)。i1m2其中{x}表示x的小数部分。4.设m与n是正整数，证明：(mn)((m,n))=(m,n)(m)(n)。5.设a，b是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使得a(m)=b(n)。4 6.设n是正整数，证明：1(ⅰ)(n)>n；2(ⅱ)若n是合数，则(n)nn。第4节1.证明：197810319783能被103整除。2.求313159被7除的余数。3.证明：对于任意的整数a，(a,561)=1，都有a5601(mod561)，但561是合数。4.设p，q是两个不同的素数，证明：pq1qp11(modpq)。5.将6121分解成素因数之积。6.设nN，bN，对于bn1的素因数，你有甚麽与例6相似的结论？第5节1.证明例2中的结论。2.证明定理2。13.求。d|nd4.设f(n)是积性函数，证明：(ⅰ)(d)f(d)(1f(p))d|np|n2(ⅱ)(d)f(d)(1f(p))。d|np|n5.求(n)的Mobius变换。第3章第1节1.证明定理3。2.写出789的二进制表示和五进制表示。83.求的小数的循环节。214.证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。m5.证明：既约正分数的b进制小数(0a1a2a3)b为有限小数的充n5 要条件是n的每个素因数都是b的素因数。第2节pk1.设连分数1,2,,n,的第k个渐近分数为，证明：qka100010000011a1000a1002201a310001a3100pk，qk，001ak11001ak110001ak0001akpk2.设连分数1,2,,n,的第k个渐近分数为，证明：qka11a21ak1pkpk1，k2。101010qkqk13.求连分数1,2,3,4,5,的前三个渐近分数。4.求连分数2,3,2,3,的值。5.解不定方程：7x9y=4。第3节1.证明定理4。2.求13的连分数。3.求23的误差105的有理逼近。4.求sin18的误差105的有理逼近。5.已知圆周率=3,7,15,1,292,1,1,1,21,，求的误差106的有理逼近。15Fk16.证明：连分数展开的第k个渐近分数为。此处{Fn}是2FkFibonacci数列。第4节1.将方程3x22x2=0的正根写成连分数。6 2.求=1,2,3之值。23.设a是正整数，求a1的连分数。pk4.设无理数d=a1,a2,,an,的第k个渐近分数为，证明：qkda1,a2,,an,2a1的充要条件是pn=a1qnqn1，dqn=a1pnpn1。pk5.设无理数d=a1,a2,,an,的第k个渐近分数为，且正qk整数n使得pn=a1qnqn1，dqn=a1pnpn1，证明：(ⅰ)当n为偶数时，p2dy2n，qn是不定方程x=1的解；(ⅱ)当n为奇数时，p2dy22n，q2n是不定方程x=1的解。第4章第1节171.将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。1052.求方程x12x23x3=41的所有正整数解。3.求解不定方程组：x12x23x37。2x15x220x3114.甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？5.证明：二元一次不定方程axby=n，a>0，b>0，(a,b)=1的nn非负整数解的个数为[]或[]1。abab6.设a与b是正整数，(a,b)=1，证明：1,2,,abab中恰有7 (a1)(b1)个整数可以表示成axby（x0，y0）的形式。2第2节1.证明定理2推论。2.设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：2z1，2(xy1)都是平方数。3.求整数x，y，z，x>y>z，使xy，xz，yz都是平方数。4.解不定方程：x23y2=z2，x>0，y>0，z>0，(x,y)=1。5.证明下面的不定方程没有满足xyz0的整数解。(ⅰ)x2y2z2=x2y2；(ⅱ)x2y2z2=2xyz。6.求方程x2y2=z4的满足(x,y)=1，2x的正整数解。第3节1.求方程x2xy6=0的整数解。xyz02.求方程组的整数解。333xyz183.求方程2x3y=1的正整数解。1114.求方程的正整数解。xyz2115.设p是素数，求方程的整数解。pxy6.设2n1个有理数a1,a2,,a2n1满足条件P：其中任意2n个数可以分成两组，每组n个数，两组数的和相等，证明：a1=a1==a2n1。第5章第1节1.证明定理1。2.解同余方程：(ⅰ)31x5(mod17)；(ⅱ)3215x160(mod235)。3.解同余方程组：8 3x5y38(mod47)。xy10(mod47)4.设p是素数，0n。第4节1.解同余方程：(ⅰ)3x112x85x410(mod7)；(ⅱ)4x203x122x73x20(mod5)。2.判定(ⅰ)2x3x23x10(mod5)是否有三个解；(ⅱ)x62x54x230(mod5)是否有六个解？3.设(a,m)=1，k与m是正整数，又设xka(modm)，证明同余方0程xka(modm)的一切解x都可以表示成xyxk10(modm)，其中y满足同余方程y(modm)。4.设n是正整数，p是素数，(n,p1)=k，证明同余方程xn1(modp)有k个解。5.设p是素数，证明：(ⅰ)对于一切整数x，xp11(x1)(x2)(xp1)(modp)；(ⅱ)(p1)!1(modp)。6.设p3是素数，证明：(x1)(x2)(xp1)的展开式中除首项及常数项外，所有的系数都是p的倍数。第5节1.同余方程x23(mod13)有多少个解？2.求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。3.设p是奇素数，证明：模p的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。10 p1n4.设素数p3(mod4)，()=1，证明xn4(modp)是同余方p程x2n(modp)的解。5.设p是奇素数，(n,p)=1，是正整数，证明同余方程x2n(modp)n有解的充要条件是()=1。pp16.设p是奇素数，证明：模p的所有二次剩余的乘积与(1)2对模p同余。第6节1.已知769与1013是素数，判定方程(ⅰ)x21742(mod769)；(ⅱ)x21503(mod1013)。是否有解。2.求所有的素数p，使得下面的方程有解：x211(modp)。3.求所有的素数p，使得2QR(p)，3QR(p)。4.设(x,y)=1，试求x23y2的奇素数因数的一般形式。5.证明：形如8k5（kZ）的素数无穷多个。6.证明：对于任意的奇素数p，总存在整数n，使得p(n21)(n22)(n22)。第7节1.证明定理的结论(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)。2.已知3019是素数，判定方程x2374(mod3019)是否有解。d3.设奇素数为p=4n1型，且dn，证明：()=1。paa4.设p，q是两个不同的奇素数，且p=q4a，证明：()()。pq5.设a>0，b>0，b为奇数，证明：11 aa()当a0，1(mod4)()b2aba()当a2，3(mod4)。baa6.设a，b，c是正整数，(a,b)=1，2|b，b<4ac，求()与()4acbb的关系。第6章第1节1.设n是正整数，证明：不定方程x2y2=zn总有正整数解x，y，z。2.设p是奇素数，(k,p)=1，则p1i(ik)()1，i0pa此处()是Legender符号。p3.设素数p1(mod4)，(k,p)=1，记p1i(i2k)S(k)()，i0p则2S(k)，并且，对于任何整数t，有2tS(kt)()S(k)，pa此处()是Legender符号。pmn4.设p是奇素数，()1，，()1则pp22p1222p12m1，m2，，m()，n1，n2，，n()22构成模p的一个简化剩余系。5.在第3题的条件下，并沿用第2题的记号，有1212p(S(m))(S(n))。22即上式给出了形如4k1的素数的二平方和表示的具体方法。12 6.利用题5的结论，试将p=13写成二平方和。第2节1.若(x,y,z)=1，则不存在整数n，使得x2y2z2=4n2。2.设k是非负整数，证明2k不能表示三个正整数平方之和。3.证明：每一个正整数n必可以表示为5个立方数的代数和。4.证明：16k15型的整数至少需要15个四次方数的和表之。5.证明：16k31不能表示为15个四次方数的和。第7章第1节2.求模14的全部原根。3.设m>1，模m有原根，d是(m)的任一个正因数，证明：在模m的简化剩余系中，恰有(d)个指数为d的整数，并由此推出模m的简化剩余系中恰有((m))个原根。4.设m3，g是模m的原根，x1,x2,,x(m)是模m的简化剩余系，证明：(m)(ⅰ)g21(modm)；(ⅱ)x1x2x(m)1(modm)。5.设p=2n1是一个奇素数，证明：模p的全部二次非剩余就是模p的全部原根。6.证明：(ⅰ)设p奇素数，则Mp1的素因数必为2pk1型；p=2n(ⅱ)设n0，则F2n+1n=21的素因数必为2k1型。第2节1.求模29的最小正原根。2.分别求模293和模2293的原根。3.解同余方程：x1216(mod17)。4.设p和q=4p1都是素数，证明：2是模q的一个原根。13 5.设m3，g1和g2都是模m的原根，则g=g1g2不是模m的原根。6.设p是奇素数，证明：当且仅当p1|n时，有1n2n(p1)n0(modp)。第8章第1节1.补足定理1的证明。2.证明定理2。3.证明：有理数为代数整数的充要条件是这个有理数为整数。第2节1.证明例中的结论。2.证明连分数11112!3!n!10101010是超越数。3.设是一个超越数，是一个非零的代数数，证明：，，都是超越数。第3节1.证明引理1。a2.证明定理3中的F()F(0)是整数。b第9章第1节1.问：1948年2月14日是星期几？2.问：1999年10月1日是星期几？第2节1.编一个有十个球队进行循环赛的程序表。2.编一个有九个球队进行循环赛的程序表。14 第3节1.利用例1中的加密方法，将“ICOMETODAY”加密。2.已知字母a，b，，y，z，它们分别与整数00，01，，24，25对应，又已知明文h与p分别与密文e与g对应，试求出密解公式：PaEb(mod26)，并破译下面的密文：“IRQXREFRXLGXEPQVEP”。第4节1.设一RSA的公开加密钥为n=943，e=9，试将明文P=100加密成密文E。2.设RSA(nA,eA)=RSA(33,3)，RSA(nB,eB)=RSA(35,5)，A的签证信息为M=3，试说明A向B发送签证M的传送和认证过程。第5节1.设某数据库由四个文件组成：F1=4，F2=6，F3=10，F4=13。试设计一个对该数据库加密的方法，但要能取出个别的Fi（1i4），同时不影响其他文件的保密。2.利用本节中的秘密共享方案，设计一个由三方共管文件M=3的方法，要求：只要有两方提供他们所掌握的数据，就可以求出文件M，但是，仅由任何一方的数据，不能求出文件M。（提示：取p=5，m1=8，m2=9，m3=11）第6节1.设明文P的二进制表示是P=(p1p2p3p4p5p6p7p8)2，与P对应的密文是E是E=a1p1a2p2a8p8，如果这里的超增背包向量(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)=(5,17,43,71,144,293,626,1280)，并且已知密文E=1999，求明文P。2.给定超增背包向量(2,3,7,13,29,59)，试设计一个背包型加密方法，将明文P=51加密。（提示：取M=118，k=77）。15'