复变函数与积分变换 第二版 (盖云英 著) 科学出版社 课后答案 复变函数与积分变换【傅士变换与拉氏变换】 42页

'课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn傅氏变换习题解答习题一1．试证：若f()t满足傅氏积分定理的条件，则有+∞+∞f()tat=+∫∫()cosωωωdbt()sinωωωd00其中1+∞af()ω=∫()cosτωτdτ,π−∞1+∞bf()ω=∫()sinτωτdτπ−∞11+∞+∞+∞+∞−jjωτωt证f()tf==∫∫()τedτωedf∫∫()τω(cosτω−jsinτω)costdτdωkhdaw.com22ππ−∞−∞−∞−∞1+∞+∞+∞1+∞+∫∫ft()τω(cosτω−=jsinτω)jsindτdω∫∫f()τcosωττdtcosωωd2π−∞−∞0π−∞+∞1+∞+∞+∞+∫∫fd()τωsinττsinωtdω=+∫∫at()cosωωdbtω()sinωωdω−∞π−∞00+∞+∞因∫ft()τωsinτωcosdτdωω为的奇函数，∫ft()τωcosτωcosdτdω为的偶函数ω。−∞−∞2．试证：若f()t满足傅氏积分定理的条件，当f(t)为奇函数时，则有+∞f()t=∫b()()ωsinωtdω0其中2+∞bf()ω=∫()()τωsinτdτ课后答案网π0当f()t为偶函数时，则有www.hackshp.cn+∞f()t=∫a()ωcos()ωtdω0其中2+∞af()ω=∫()()τωcosτdτπ0证设f()t是奇函数1+∞+∞−jjωτωt1+∞+∞jωtf()tf=∫∫−∞−∞()τedτωed=−∫∫−∞−∞f()(τcosωτjsinωτ)dedτω2π2π1+∞+∞jωt1+∞jωt=∫∫−∞0f()τsinωττdedω=∫−∞bed()ωω。（b()ω是ω的奇函数）πj2j1+∞+∞=+∫∫btt()(ωcosωωjsin)dωω=b()sinωtdω2j−∞0设f()t是偶函数khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1+∞+∞−jjωτωt1+∞+∞jωtf()tf=∫∫−∞−∞()τedτωed=−∫∫−∞−∞f()(τcosωτjsinωτ)dedτω2π2π1+∞+∞jωt==∫∫aed()ωωωa()cosωtdω2−∞0a()ω是ω的偶函数。（注也可由1题推证2题）⎧1,||1t≤3．在题2中，设ft()=⎨，试算出a(ω)，并推证⎩0,||1t>⎧π,||1t<⎪2⎪+∞sinωωcost⎪π∫dtω=⎨,||1=0ω⎪4⎪0,||1t>⎪khdaw.com⎩证f()t是偶函数2+∞2sinωt12sinωa()ω=∫f()tcosωtdt==π0πω0πω+∞2+∞sinωcosωtf()t=∫∫a()ωcosωtdω=dω0π0ω⎧π||1t<⎪2⎪+∞sinωωcostπ⎪π01+π所以∫dfω===()t⎨||1t=。0ω22⎪24⎪0|t|>1⎪⎩课后答案网习题二⎧www.hackshp.cnAt,0≤≤τ1．求矩形脉冲函数ft()=⎨的傅氏变换。⎩0,其他+∞τ−−jjωωtt解F()ω=¶⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫fte()dtAedt−∞0τ−jωteee−−ijωτω−−11τ0===AAA−−jjjωωω2．求下列函数的傅氏积分：⎧0,−∞<<−t122⎪⎧1,−1⎩esin2t,t≥0⎪1,0<1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1+∞+∞−iiωωtt1+∞12ii−ωωttf()tf=∫∫−∞−∞()tedtedω=−∫∫−∞−1()1tedtedω2π2π121+∞12iωt1+∞⎡⎤sinωωωωttt⎛⎞2cos2sintttsiniωt=−()1cttosωdtedω=−⎢⎥⎜⎟−+edω]π∫∫−∞0πωωωω∫−∞23⎣⎦⎝⎠01+∞2sin()ωωω−cosiωt4s+∞incω−ωωos=edω=cosωtdωπω∫−∞3πω∫03⎧,0t<0（2）f()t=⎨−t满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为⎩esin2t,t≥011+∞+∞+∞+∞−−iiωωttt−iiωωttf()tf==∫∫()tedtedeω∫∫sin2tedtedω22ππ−∞−∞−∞0i2tt−i21+∞+∞−−ttee−iiωωt1+∞+∞−+−tttti2()ωω−−+i2()iωt=∫∫eedtedω=−∫∫(eed)tedωkhdaw.com22π−∞0i4iπ−∞0+∞⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦−+−1i2()ωωtt−−+1i2()1+∞eeiωt=−∫⎢⎥edω4iπω−∞⎢⎥⎣⎦−+1i2()−−−1i2()+ω0111+∞⎡⎤−−iωt=−∫⎢⎥edω4iπω−∞⎣⎦−+1i2()−−−1i2()+ω21+∞()52−−ωωi=+()cosωttisinωωdπω∫−∞256−+24ω221i+∞()5−+ωωωωcostt2sin+∞(5−−ωωωω)sintt2cos=+ddωωπω∫∫−∞256−+24ωπω−∞256−+24ω22+∞()5c−+ωωωωos2ttsin=dωπω∫0课后答案网256−+24ω⎧−,1−10），证明deω=∫0βω22+2β2−t||+∞ω+2π−t||（2）f()t=ecost，证明cos()ωtdω=ecost∫0ω4+42khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn⎧π⎧sint,|t|≤π,+∞sinωπsinωt⎪sin,||tt≤π（3）f()t=⎨证明dω=⎨2,0|t|>π,∫01−ω2⎩⎪0,||t>π⎩iiωωtt−+∞−−βω||tti+∞−−ββtt+∞ee+解（1）F()t=¶⎡⎤⎣⎦f()te=∫edt=2c∫∫etos2ωdte=dt−∞002+∞+∞−−()βωiitt−−()βωee+∞=+=+⎡⎤−−()()βωiitt−+βω00eedt∫0⎣⎦−−()βiiωβ−+()ω112β=+=22β−++iiωβωβωf()t的积分表达式为1+∞12+∞β2+∞β()∫()iωtft=Fωedω=+()cosωttisinωωd=cosωtdωkhdaw.com2π−∞2πβω∫−∞22+πβω∫022++∞cosωtπ−β||t即deω=∫0βω22+2βit−it+∞−t||−iωt+∞−t||e+e−iωt（2）F()ω=¶[]f()t=∫ecostedt=∫eedt−∞−∞2100⎡⎤⎣⎦1i1+−()ωωωttt⎡⎤⎣⎦1i1−+()+∞⎡⎤⎣⎦−+−1i1()+∞⎡⎤⎣⎦−−+1i1()ωt=+{∫∫∫∫edtedt++edtedt}2−∞−∞0000+∞+∞⎧⎫ee⎡⎤⎣⎦1i1+−()ωωtt⎡⎤⎣⎦1i1−+()ee⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦−+−1i1()ωωtt−−+1i1()1⎪⎪−∞−∞00=⎨⎬+++21i1⎪⎪+−()ω1i1−+()ωω−+−−−+1i1()1i1()ω⎩⎭⎡⎤21111124ω+=+⎢⎥++=课后答案网421i1⎣⎦+−()ω1i1−+()ωω1i1−−()1i1++()ωω+4f()t的积分表达式为www.hackshp.cn221+∞iωt1+∞2ω+4iωt1+∞2ω+4f()t=F()ωedω=edω=cosωtdω2π∫−∞2π∫−∞ω4+4π∫0ω4+42+∞ω+2ππ−t||因此有cosωtdω=f()t=ecost∫0ω4+422+∞πππ−−iiωωtt（3）F()ω=¶⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫−∞fte()dt−πsintedt=∫−πsint()cosωt−isinωtdt=−i2∫0sintsinωtdtπππ⎡sin()1+ωtsin()1−ωt⎤=i∫[]cos()()1+ωt−cos1−ωtdt=i⎢0−0⎥0⎢1+ω1−ω⎥⎣⎦sin()1+ωπ−ωsin()()1+ωπ−sin1−ωπ−ωsin(1−ω)πsinωπ=i=−i2221−ω1−ωf()t的积分表达式为1+∞iωt1+∞⎛sinωπ⎞iωtf()t=∫F()ωedω=∫⎜−i2⎟edω2π−∞2π−∞⎝1−ω2⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn−i+∞sinωπ2+∞sinωπsinωt=∫()cosωt+isinωtdω=∫dω22π−∞1−ωπ01−ω⎧π+∞sinωπsinωtπ⎪sint,|t|≤π因此有∫2dω=f()t=⎨201−ω2⎪⎩,0|t|>πsinω4．已知某函数f()t的傅氏变换为F()ω=，求该函数f(t)。ω1+∞iωt1+∞sinω解f()t=∫F()ωedω=∫()cosωt+isinωtdω2π−∞2π−∞ω1s+∞inω1+∞sin(1++−tt)ωωsin1()==∫∫cosωtdωωd22πω−∞π0ω1+∞sin()1+tω1+∞sin(1−t)ω=∫∫dω+dω（*）2π00ω2πωkhdaw.com+∞sinxπ而由∫dx=得0x2+∞sinuω+∞sinuω+∞sinxπ当u>0时，∫∫∫dω=duω=dx=000ωuωx2+∞sinuω+∞sin(−u)ωπ当u<0时，∫∫dω=−dω=−00ωω2+∞sinuω当u=0时，∫dω=0,所以由(*)式有0ω⎧1⎪,|t|<12⎪⎪1f()t=⎨,|t|=1⎪4⎪,0|t|>1课后答案网⎪⎩5．已知某函数的傅氏变换为F()[(ω=+πδωω)(+−δωω)]，求该函数f()t。0011+∞iiωωttwww.hackshp.cn+∞解f()t==Fed()ωωπ[(δω+ω)(+δω−ω)]edω∫∫0022ππ−∞−∞ee-iωω00tt+i==cosωt02t⎧−1,t<06．求符号函数（又称正负号函数）sgnt==⎨的傅氏变换。||t⎩1,t>0+∞解符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然∫|sgn|tdt→+∞不收敛。按照如下方式推广傅氏−∞−tn/⎧et,0>df⎪变换的定义。首先注意到可取ft()==⎨0t0，且sgntf=lim()t，FtF[sgn]lim[=f()]t，而nnnn→∞n→∞⎪tn/−τ/2⎪⎪2A解ft()=−⎨tA+,0≤≤tτ/2，则f()t的频谱函数为⎪τ⎪2A⎪tA+−≤,/τ2t≤0⎩τ0/22AA−−iiωωttτ2F()ω=¶⎡⎤⎣⎦f()tt=++∫∫()Aedtt()−+Aedt−τ/2ττ0iiωτωτ⎡⎤222Ae⎢⎥−+−22iωτω22++eiτ4A⎛⎞ωτ=−=⎜⎟1cos−τω⎢⎥2222ωτω2⎝⎠2⎢⎥⎣⎦15．求作如图所示的锯齿形波的频谱图。khdaw.comf(t)h-3T-3T-2T-TOT2T3Tth解如图可知,在一个周期T内的表达式为f()t=t()0≤t0，有¶[()]fat==∫∫fate()dtfate()dat()==∫fue()duF()；−∞−∞aakhdaw.com−∞aa若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cnωω+∞-iωt+∞-iaaat11+∞-iu1ω同理a>0时，¶[()]fat=∫∫fate()dt=fate()dat()=−∫fue()du=−F()；−∞−∞aa−∞aa1⎛⎞ω综上，¶[]fat()=F⎜⎟。||aa⎝⎠4．若F()ω=¶[f()t]，证明（象函数的位移性质）：−1±jω0t±jω0t¶[Fe()ωω∓]=f()t，即F()ω∓ω=¶[]eft()。00+∞+∞证¶[]eft±±jjωω00tt()===eft()ed−jωttft()e−j(ω∓ω0)tdtF(ω∓ω)。∫∫0−∞−∞d5．若F()ω=¶[f()t]，证明（象函数的微分性质）：F()ω=¶[j−tft()]。dωddd+∞−−jjωωtt+∞+∞−jωt证F()ω=∫∫−∞f()tedt==−∞fted()t∫−∞−jtfted()t＝¶[j−tft()]。dωkhdaw.comddωω6．若F()ω=¶[f()t]，证明（翻转性质）F(−ω)=¶[]f(−t)+∞+∞+∞−−ii()ωωtt−−−()()−iωt证F()−=ω∫∫−∞fte()dt=−∞fte()−dt()−=∫−∞f()−tedt=¶⎡⎤⎣⎦f()−t。17．若F()ω=¶[f()t]，证明：¶[()cos][(ftωt=−Fωω)(+Fωω+)]，00021¶[()sin]ftωt=−[(Fωω)(−Fωω+)]。0002jjjωω00tt−+∞ee+−jωt1⎡+∞−−j(ωω)tt+∞−+j(ωω)⎤证¶[()cos]fttfω==()tedtf()ted00tf+()tedt0∫∫−∞22⎢⎣−∞∫−∞⎥⎦1课后答案网=−[(FFωωω)(++ω)]；002jjωω00tt−+∞ee−www.hackshp.cn−jωt1⎡+∞−−j(ωω)tt+∞−+j(ωω)⎤¶[()sin]ftωt==ft()edtfte()00dt−fte()dt0∫∫−∞2j2j⎢⎣−∞∫−∞⎥⎦1=−[(FFωωω)(−+ω)]。002j+∞1+∞228．利用能量积分∫∫[()]ftdt=|()|Fωdω，求下列积分的值：−∞2π−∞42+∞1cos−x+∞sinx+∞1+∞x（1）dx；（2）dx；（3）dx；（4）dx∫−∞x2∫−∞x2∫−∞(1+x22)∫−∞22()1+x2xsin22+∞1cos−x+∞2+∞⎛⎞sinx1+∞⎡sinx⎤解（1）dx=2dx=⎜⎟dx=¶dω（*）∫−∞x2∫∫−∞xx2−∞⎝⎠2π∫−∞⎢⎣x⎥⎦⎡sinx⎤+∞sinx−iωx+∞sinxcosωx+∞sin(1+ω)x+sin(1−ω)x¶⎢⎥=∫∫−∞edx=20dx=∫0dx（**）⎣x⎦xxxkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn+∞sinxπ再由∫dx=0x2⎧π⎧π−,ω<−1−,ω>1⎪⎪+∞sin()1+ωx⎪2+∞sin()1−ωx⎪2得∫dx=⎨,0ω=−1，∫dx=⎨,0ω=10x⎪π0x⎪π⎪,ω>−1⎪,ω<1⎩2⎩2所以由（**）式得⎡sinx⎤⎧π,−1<ω<1¶⎢⎥=⎨⎣x⎦⎩,0其他因此由（*）式得+∞1cos−x1+12dx=πdωπ=∫∫−∞x22π−12214sinx−sin2x22khdaw.com+∞sinx+∞4+∞⎛⎞sinxx1+∞⎛⎞sin（2）dx=dx=−⎜⎟dx⎜⎟dx∫∫−∞xx22−∞∫∫−∞⎝⎠xx2−∞⎝⎠221s+∞⎛⎞inx11+∞⎡⎤sinx112π==∫∫−∞⎜⎟dx⋅−∞¶⎢⎥dω=4π∫−1πdω=222⎝⎠x2π⎣⎦x（3）参见本题第4小题。22+∞xx+∞+−11（4）dx=dx∫∫−∞2222−∞()11++xx()+∞11+∞=−dxdx∫∫−∞1+x2−∞()1+x22+∞1+∞ππ⎛⎞dt=arctan|x=−−=⎜⎟π课后答案网∫−∞12+x2−∞⎝⎠22+∞www.hackshp.cn11+∞⎡⎤1dx=¶dω∫−∞1222∫−∞⎢⎥⎣⎦1+x2()+xπ⎡⎤11+∞−iωx+∞cosωx¶==edxdx（利用留数理论计算）⎢⎥⎣⎦11++xx22∫∫−∞−∞1+x2⎧+∞e|iω|t⎫⎧⎪⎡e|iω|z⎤⎫⎪Re⎨∫−∞2dt⎬=Re⎨2πiRes⎢2i,⎥⎬⎩1+t⎭⎪⎩⎣1+z⎦⎪⎭−|ω|⎧e⎫−|ω|−|ω|Re⎨2πi⎬=Re{}()πi+πe=πe⎩1+i⎭−2ω+∞+∞11+∞2−|2ω|+∞−2ωe|π0故dt=πedω=πedω=π=∫∫∫−∞()1+t222π−∞0−222+∞tππ于是dt=π−=。∫−∞()12222+t习题四khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1、证明下列各式：（1）f()tftftft∗=∗()()()；1221（2）f()tftftftftft∗∗=∗∗[]()()[]()()()；123123（3）aftft[]()∗=∗=∗()[aft()]ft()ftaft()[()]（a为常数）;121212αtαtαt（4）e[]f()t∗f()t=[]ef()t∗[ef(t)]（a为常数）;1212（5）[]f()tftgtgtftgtftgtftgtftgt+∗+=∗+∗+∗+∗()[]()()()()()()()()()()；121211211222d⎛⎞dft12()⎛dft()⎞（6）⎡⎤⎣⎦ftft12()∗=∗=∗()⎜⎟ftft21()()⎜⎟.dt⎝⎠dt⎝dt⎠+∞+∞证（1）f()tft∗=()fftd()(τ−ττ)=−f()(tufuduftft)=∗；12∫−∞12∫−∞1221()()（2）记gx()=ftft()*()，khdaw.com23+∞+∞[]f123()tftft∗∗=()()⎡⎤ff12(ζ)(τ−ζζ)dftd3(−ττ)∫∫−∞⎢⎥⎣⎦−∞+∞+∞+∞=−f()ζ⎡⎤ff(τζ)(t−ττ)ddfζζ=()(gt−ζ)dζ∫∫−∞123⎢⎥⎣⎦−∞∫−∞1==f()*()tgtftftft()∗[()∗()]；1123+∞+∞+∞（3）aftft[()∗=()]af(τ)()ft−=ττd[(afτ)]()ft−=ττdf(τ)[()aft−ττ]d12∫∫∫121212−∞−∞−∞=∗=∗[]aft1212()ft()ft()[aft()]；+∞ααttατα()t−τ（4）⎡⎤eft()∗=⎡⎤eft()efe()τft(−ττ)d⎣⎦12⎣⎦∫−∞12+∞课后答案网ααtt=−eff∫−∞12()(ττtdef)τ=⎡⎣1()tf∗2()t⎤⎦；+∞（5）[]f1212()tftgtgt+∗+=()[]()www.hackshp.cn()∫[]f121()τ+⋅−f()τττ[gt()+−gtd2()]τ−∞+∞+∞+∞+∞=∫∫∫∫f11()(τ⋅−+gtττ)dfg12()τ⋅−+(tττ)dfg21()(τ⋅−+tττ)dfg22()τ⋅−(tττ)d−∞−∞−∞−∞=∗+∗+∗+∗f11211222()tgtftgtftgtftgt()()()()()()()；dd+∞+∞⎡d⎤⎡⎤d（6）⎡⎤⎣⎦f12()tft∗=()∫−∞fftd12()(τ−ττ)=−∫−∞f12()τ⎢ft()ττ⎥d=∗f12()tf⎢⎥()tdtdt⎣dt⎦⎣⎦dtdd⎡d⎤⎡⎤d⎡⎤⎣⎦f12()tft∗=()⎡⎤⎣⎦ftftft21()∗=∗()2()⎢ft1()⎥=∗⎢⎥f12()tft()dtdt⎣dt⎦⎣⎦dtd⎡⎤dft12()⎡dft()⎤因此有⎡⎤⎣⎦ftft12()∗=∗=∗()⎢⎥ftft21()()⎢⎥。dt⎣⎦dt⎣dt⎦⎧π⎧0,t<0⎪sin,0tt≤≤,3．若ft1()=⎨−t与ft2()=⎨2求f12(tft)∗()。⎩et,0≥⎪⎩0,其他;khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn+∞+∞解f()tft∗=()fftd()(τ−ττ)=−eft−ττdτ（*）12∫−∞12∫02()π当0<≤t时，（*）式为2ii(tt−−ττ)(−)tt−−ττee−f12()tfte∗=()∫∫sin(td−=τ)ττed002i()t()t⎡−1+iτ−1−iτ⎤1⎡iitttt−+()1iττ−−−()1i⎤1⎢ite0−ite0⎥=−eedeedττ=e−e2i⎢⎣⎦∫∫00⎥i2⎢−()1+i−()1−i⎥⎢⎣⎥⎦1⎛e−(1+i)t−1e−(1−i)t−1⎞1⎛eit−e−te−t−e−it⎞itit=⎜e−e⎟=⎜+⎟i2⎜⎝−()1+i−()1−i⎟⎠i2⎜⎝1+i1−i⎟⎠it−tit−t−t−it−t−itit−itit−it−t1e−e−ie+ie+e−e+ie−ie1⎛e−ei(e+e)i2e⎞==⎜−+⎟khdaw.comi222⎜⎝i2i2i2⎟⎠1−t=()sint−cost+e2π当t>时，（*）式为2tt⎡−()1+iτ−()1−iτ⎤eπeπt−τ1⎢t−t−⎥ftft∗=esintd−ττit2−it212()()∫π()=⎢e−e⎥t−i2⎢−()1+i−()1−i⎥2⎢⎣⎥⎦⎡−()1+i⎛⎜t−π⎞⎟−()1−it⎛⎜t−π⎞⎟⎤1⎢e⎝2⎠−e−()1+ite−()1−it−e⎝2⎠⎥it−it=⎢e+e⎥i21+i1−i⎢⎥⎣⎦⎛ππ⎞ππππ1⎜ie2−11+ie2⎟e−tie2−1+e2+i+1+ie2+i−e2−t=e⎜课后答案网+⎟=⋅i2⎜1+i1−i⎟i22⎝⎠−t⎛π⎞www.hackshp.cne=⎜1+e2⎟2⎜⎟⎝⎠当t<0时，（*）式为0.故有⎧⎪⎪0,当时t≤0⎪⎪1π−tftft12()∗=()⎨()sint−+coste,当时0et2当时⎪⎩22⎝⎠13．若F()ω=¶⎡⎤f()t，F()ω=¶⎡f(t)⎤，证明¶[()()]ftft⋅=F()ω∗F()ω。1⎣⎦12⎣2⎦12122π1+∞+∞−1iωt证¶[()*()]FFωωτ=−[FFd()(ωτ)]τedω12∫∫122π−∞−∞khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1+∞+∞i(ωτ−)ttiτ=−Fe()()(ωτdeωτ−Fττπ)2(df=t)(⋅ft)2π∫∫−∞−∞21`24、求下列函数的傅氏变换.−βt−βt（1）f()tt=sin(ω)()ut；（2）f(te)=⋅sinωtut()；（3）f()te=⋅cosωtut()；000（4）f()teut=jω0t()；（5）f(teutt)=jω0t(−)；（6）f()tetut=⋅jω0t()0+∞+∞eiω0t−e−iω0t−iωt−iωt解（1）F()ω=¶[]f()t=∫u()(tsinω0t)edt=∫u()tedt−∞−∞i21⎡+∞−()ω−ωt+∞−()ω+ωt⎤1⎡11⎤=u()tei0dt−u()tei0dt=+πδ()ω−ω−−πδ()ω+ωi2⎢⎣∫∫−∞−∞⎥⎦i2⎢i()ω−ω0i()ω+ω0⎥⎣00⎦ω0πi[]()()ω0πi=−−δω−ω−δω+ω=+[]δ()ω+ω−δ(ω−ω)22002200ω−ω2ω−ω200iiωω00tt−+∞−−βωtti+∞−−βωttee−i（2）F()ω=¶⎡⎤f()te=u()ttsinωedt=eedtkhdaw.com⎣⎦∫−∞0∫02i+∞+∞⎛⎞ee−+−⎡⎤⎣⎦βωωii()00tt−++⎡⎤⎣⎦βωω()1+∞−+−⎡⎤⎣⎦βωωii()00tt−++⎡⎤⎣⎦βωω()1⎜⎟00=−∫()eedt=−⎜⎟2i02i−+−⎡βωωii()⎤⎡−++βωω()⎤⎜⎟⎣00⎦⎣⎦⎝⎠11⎛⎞112iωω00=−⎜⎟==2i⎜⎟βωωβωω+−i()++i()2i()βωω++i2()β++iωω22⎝⎠0000iiωω00tt−+∞−−βωtti+∞−−βωttee+i（3）F()ω=¶⎡⎤f()te=u()ttcosωedt=eedt⎣⎦∫−∞0∫021+∞−+−⎡⎤⎣⎦βωωii()00tt−++⎡⎤⎣⎦βωω()11⎛⎞1=+∫()eedt=+⎜⎟⎜⎟+−++202iβωωβωω()i()课后答案网⎝⎠00β+iω=22()β++iωω0www.hackshp.cn1（4）由像函数的位移性质及¶[]u()t=+πδ()ω得iωiωt1¶⎡⎤eut0()=+πδωω()−⎣⎦0i()ωω−0（5）根据位移性质¶[]u()t−t=e-iωt0¶[]u()t=e-iωt0⎡1+πδ()ω⎤0⎢⎥⎣iω⎦再根据像函数的位移性质⎡⎤iω0t−=-ti(ωω−00)⎡1⎤¶⎣⎦eutt()0e⎢+−πδωω()0⎥⎣i()ωω−0⎦−−i(ωω00)te=+πδωω()−0i()ωω−0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cnn()n()（6）由微分性质¶[()(−itft)]=Fω得d⎛1⎞1¶[]tu()t=i¶[]u()t=i⎜+πδ()ω⎟′=−+πiδ"()ω2dω⎝iω⎠ω再由象函数的位移性质得iω0t−1()¶[]etu()t=+πiδ′ω−ω()20ω−ω05．证明互相关函数和互能量谱密度的下列性质：RR()τ=−(),S()τω=S()ω。21122112+∞+∞证Rf()τ=+=(tττ)()ftdtf()(ufu−)du=R()−τ；21∫∫121212−∞−∞+∞+∞+∞+∞−−iiωτωτiωτ-iωτS()ω==Red()ττRed()−ττ==Red()ττRedS()ττ=()ω。21∫∫∫∫2112121212−∞−∞−∞−∞1−2||aτ6．已知某信号的相关函数Re()τ=，求它的能量谱密度S()ω。khdaw.com4+∞11+∞+∞0证SR()ω===+()ττe−−iωτde2||aaτe−−iωτdedτ⎡i(ω−2i)ττe−i(ω+2i)aτdτ⎤∫∫∫∫−∞44−∞⎢⎣0−∞⎥⎦11⎡⎤1a=−=⎢⎥=。224i(⎣⎦ω−+2i)aai(ωω2i)4a+17．已知某波形的相关函数R()τ=cos()ω0τ(ω0为常数),求这个波形的能量谱密度.2解波形的能量谱密度+∞+∞1−iωτ−iωτS()ω=∫R()τedτ=∫cosωτ⋅edτ0−∞−∞21π=¶[]cosωt=[]δ()ω+ω+δ(ω−ω)000课后答案网22⎧b⎪tt,0≤≤a⎧1,0≤ta≤8．若函数ft()=⎨a，与ft()=⎨，求f()t和f()t的互相关函数R()τ。121212⎪0,www.hackshp.cn⎩0,其他⎩其他+∞证当||τ>a时，Rf()ττ=+()(tft)dt=0;12∫12−∞+∞a−τbb2当0<≤τa时，Rf()τ=+()(tftττ)dtt=dt=(a−);12∫∫12−∞0aa2+∞abb22当−≤≤aτ0时，Rf()τ=+()(tftττ)dt=tdt=(a−).12∫∫12−∞−τaa2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn拉氏变换习题解答习题一1．求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果.t−2t2(1)ft()=sin；(2)f()te=；(3)f(tt)=；(4)f()tt=sincost；222(5)f()t=sinhkt；(6)f()tk=cosht；(7)f(t)=cost;(10)f()tt=cos.iitt−22−st+∞te−st+∞()−ee解(1)&⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫sinedtdt0022iii⎡−−()st+∞+−+()st∞⎤iiee221+∞−−()st−+()st1⎢||⎥=−∫()ee22dt=−⎢00⎥khdaw.com2i02i⎢−+ii−−⎥ss⎣22⎦⎡⎤iiss+−+1111⎢⎥22=−⎢⎥=2iii2i⎛⎞ii⎛⎞⎢⎥ss−+⎜⎟ss−+⎜⎟⎣⎦22⎝⎠22⎝⎠122==()Res>014122s+s+4+∞−+(2st)+∞+∞e|1−−2(tst−+st2)0(2)&⎡⎤⎣⎦f()te==∫∫edtedt==>()Res−200课后答案网−+(2ss)+2−st+∞22−−ste+∞1+∞st22−−st+∞+∞st(3)&⎡⎤⎣⎦f()tt==∫∫00edtt−|0+2tedt=−22te|0+∫0edtwww.hackshp.cnssss22+∞−st=−es|=()Re>0ss32t=0+∞−−st1+∞st1+∞−−(2sti)−+(2sti)(4)&⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫00sincosttedtsin2tedt=−∫0⎡⎤⎣⎦eedt24i+∞+∞⎡−(s−2i)t−(s+2i)t⎤1⎢e|0e|0⎥1⎛11⎞1=−=⎜−⎟=()Res>0i4⎢−()s−i2−()s+i2⎥i4s−i2s+i2s2+4⎝⎠⎢⎣⎥⎦kt−kt+∞−−st+∞ee−st1+∞−−()skt+∞−+()skt(5)&⎡⎤⎣⎦f()tk==∫∫00sinhtedtedt=−(∫∫00edtedt)22+∞+∞⎛⎞−−()skt−+()skt=−1⎜⎟ee||00111⎛⎞k=−=⎜⎟()Resk>−max{,k}⎜⎟−−−+222()()sksk2⎝⎠sksksk−+−⎝⎠khdaw.com-1-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cnkt−kt+∞−−st+∞ee+st1+∞−−()skt+∞−+()skt(6)&⎡⎤⎣⎦f()tk==∫∫00coshtedtedt=+(∫∫00edtedt)22+∞+∞⎛⎞−−()skt−+()skt=+1⎜⎟ee||0011⎛⎞1s=+=⎜⎟()Resk>−max{,k}⎜⎟−−−+222()()sksk2⎝⎠sksksk−+−⎝⎠+∞1+∞2−−stst(7)&⎡⎤⎣⎦f()t=⋅∫∫costedt=+()1cos2tedt00221⎛+∞−st+∞−st⎞1⎛1s⎞s+2=⎜∫0edt+∫0cos2t⋅edt⎟=⎜+2⎟=2()Res>02⎝⎠2⎝ss+4⎠s(s+)4+∞1+∞2−−stst(8)&⎡⎤⎣⎦f()tt=⋅∫∫sinedt=−()1cos2tedt0021+∞−−st+∞st11⎛⎞s2khdaw.com=−(∫∫00edtcos2tedt⋅)=⎜⎟−=22()Res>0224⎝⎠ss++ss(4)2．求下列函数的拉氏变换.⎧,30≤t<2πt<⎪⎧,32(1)f()t=⎨−,12≤t<4;(2)f()t=⎨⎪⎩cost,t>π.⎩,0t≥.422t(3)f()t=e+5δ()t.;(4)f(t)=δ(t)cost−u(t)sint.24−st−st+∞−st2−st4−st3e|3e|1−2s−4s02解（1）&[]f()t=∫∫f()tedt=3edt−∫edt=+=3(−4e+e)002−sssπ+∞+∞（2）&[]f()t=f()te−stdt=23e−stdt+cost⋅e−stdt∫0∫0∫π2πit−itπs3−st+∞e+e−st33−21+∞−(s−i)t−(s+i)t=课后答案网e|2+∫πedt=−e+∫π(e+e)dt−st=02ss222+∞+∞www.hackshp.cn⎡e−(s−i)te−(s+i)t⎤⎛ππ⎞πs⎢|π|π⎥πs−(s−i)2−(s+i)233−1t=2t=233−1⎜ee⎟=−e2+⎢+⎥=−e2+−⎜⎟ss2⎢−(s−i)−(s+i)⎥ss2⎜s−is+i⎟⎢⎣⎥⎦⎝⎠πsπs33−1−=−e2−e22sss+1+∞+∞+∞2t−st2t−st−st（3）&[]f()t=∫[]e+5δ(t)edt=∫eedt+5∫δ()etdt0001+∞−st1−st5s−9=+5∫δ()etdt=+5e|=s−2−∞s−2t=0s−2+∞+∞11s2−−stst−st（4）&⎡⎤f()t=⋅δ()tcostedt⋅−sintedt=cost⋅e|−=1−=⎣⎦∫∫−∞0t=0s2+1s2+1s2+13．设f()t是以2π为周期的函数,且在一个周期内的表达式为⎧sint,00)1−e−sT∫0因此有12π−st1π−st&[]f()t=f()tedt=sint⋅edt1−e−2πs∫01−e−2πs∫0ππ⎡−(s−i)t−(s+i)t⎤1πeit−e−it11e|e|=e−stdt=⋅⎢t=0−t=0⎥1−e−2πs∫0i21−e−2πsi2⎢−()s−i−()s+i⎥⎢⎣⎥⎦⎛−(s−i)π−(s+i)π⎞−πs111−e1−e11+e1=⋅⎜−⎟==。1−e−2πsi2⎜s−is+i⎟−2πs2()1−πs(21)⎝⎠1−es+1−es+4.求下列各图所示周期函数的拉氏变换()1khdaw.com(2)ft()f()tbOb2b3b4btOπ2πt()3(4)f()tf(t)112a3ab2b3b4b5bOa课后答案网4a5atOt-1www.hackshp.cn-1解(1)由图易知f(t)是周期为b的函数,且在一个周期内的表达式为f(t)=t,0≤t−1，α+1s3⎡⎤⎡⎤tt2++=32⎡t2⎤+3&2&[]&[]f()t=&⎣⎦&⎣⎦⎢t⎥+21⎣⎦232=++32sss"tt1dt1⎛1⎞11（2）&[]f()t=&[]1−te=&[]1−&[te]=+&[]e=−⎜⎟−=−2khdaw.comsdss⎝s−1⎠s()s−122t2tdtdtt（3）&[]f()t=&⎡⎤(1te−=)&⎡(21tte−+)⎤=&[e]＋2&[e]＋&[]e⎣⎦⎣⎦2dsds2ss−+45=3(1s−)⎡t⎤11d1⎛⎞as（4）&[]f()t=&⎢sinat⎥=&[tsinat]=−&[sinat]=−⎜⎟22"=222⎣2a⎦2a2ads2(asa⎝⎠++sa)22d⎛⎞ss−a（5）&[]f()t=&[tacost]=－&[cosat]=−⎜⎟"=22222ds⎝⎠sa++()sa103s10−3s（6）&[]f()t=&[5sin2t−3cos2t]=5&[sin2t]−3&[cos2t]=−=222课后答案网s+4s+4s+4−2t6（7）&[]f()t=&⎡⎤etsin6=⎣⎦2www.hackshp.cn(2s+)3+6这里有6&[]sin6t=2s+36再利用位移性质得到.s（8）同（7）利用&[]cos4t=及位移性质2s+16−4ts+4&[]f()t=&⎡⎤etcos4=⎣⎦2()s+41+6nn!（9）利用&[]t=及位移性质得n+1snatn!&[]f(t)=&[te]=()n+1s−akhdaw.com-5-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn⎧5t>⎪,1（10）解法1由u()3t−5=⎨3,05⎪t<⎩3+∞−st&[]f()t=&[]u()3t−5=∫u()3t−5edt0+∞−st5e|5−s+∞t=e3−st3=∫5edt==−ss3解法2由相似性质111&[]u()3t=⋅=3ss3由位移性质khdaw.com5−s53⎡⎛5⎞⎤−se&[]u()3t−5=&{u3t−⎥}=e3&⎡⎤ut()3=⎢⎜⎟⎣⎦⎣⎝3⎠⎦s−t−t⎧,11−e>,0t>0（11）因为u()1−e=⎨−t⎩,01−e<,0t<0所以+∞+∞1−st−st&[]f()t=∫f()tedt=∫edt=00s⎛1⎞1Γ⎜⎟⎡−2⎤⎝2⎠π（12）利用&⎢t⎥=1=1及位移性质⎢⎣⎥⎦s2s23t课后答案网⎡e⎤π&[f(t)]=&⎢⎥=⎣t⎦s−3www.hackshp.cn1s2．若&[(ftF)]=()s，a为正实数，证明（相似性质）&[()]fat=F()。aas+∞−st11+∞−aats证&[()]fat==∫∫fatedt()fate()dat()=F()00aaa()nn3．若&[(ftF)]=()s，证明Fs()=&[(−tft)()]，Re()s>c。特别&[(tft)]=−Fs"()，或1−1f()t=−&["()]Fs，并利用此结论，计算下列各式：tt−3t−3t（1）f()tt=esin2t，求Fs()；（2）f()tte=∫sin2tdt，求Fs()；0s+1t−3t（3）Fs()ln=，求f()t；（4）f()tt=∫etsin2dt，求Fs()。s−10nnn()nddd+∞−−st+∞st+∞n−st解Fs()=&[(ft)]===f()tedt[()ftedt]()()−tftedtdsndsnn∫∫00dskhdaw.com∫0-6-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cnn＝&[(−tft)()]，Re()s>c。（1）利用公式&[]tf(t)=−F"()s−3td−3t⎛⎞24(s+3)&[]f()t=&⎡⎤tesin2t=−&[setin2]=−⎜⎟′=⎣⎦222ds⎝⎠(3s++)2⎡⎤(3s++)42⎣⎦（2）由积分性质⎡t−3τ⎤1−3t12&esin2τdτ=&[esin2t]=⋅⎢⎣∫0⎥⎦ss()s+32+4再由像函数的微分公式2⎡t−3τ⎤d⎧2⎫2(3s+12s+13)&[]f()t=&⎢⎣t∫esin2τdτ⎥⎦=−⎨2⎬=2220ds⎩s[()s+3+]4⎭s[]()s+3+4khdaw.com⎛⎞s+1122（3）Fs"()==⎜⎟ln"−2=&[sttinh]，知f()tt=sinh2⎝⎠ss−−11tt⎡⎤t−3t1−3t4(s+3)（4）&[]f()t=&tesin2tdt=&[tesin2t]=⎢⎥⎣⎦∫0s[]()22ss+3+4⎡⎤ft()∞－1⎡∞⎤4．若&[(ftF)]=()s，证明&⎢⎥=∫Fsds()，或f()tt=&⎢⎣∫Fsds()⎥⎦。并利用此⎣⎦tss结论，计算下列各式：−3tsinktetsin2（1）ft()=，求Fs()；（2）ft()=，求Fs()；tt−3tstetsin2（3）Fs()=，求f()t；（4）f()td=t，求Fs()。(1s2−课后答案网)2∫0t∞∞+∞−−st+∞∞st+∞ft()−st⎡⎤f()t解∫∫ssFsds()===∫00ftedtds()∫∫sftedsdt()∫0edt=&⎢⎥www.hackshp.cnt⎣⎦t⎡⎤sinkt∞∞ku∞（1）F()s=&=&[sinktdu]==duarctan|⎢⎥⎣⎦t∫s∫suk22+ksπss=−arctan=arccot2kk−3t⎡esin2t⎤∞−3t∞2u+3∞（2）F()s=&⎢⎥=∫&[]esin2tdu=2du=arctan|⎣t⎦s∫s()u+3+42sπs+3s+3=−arctan=arccot222⎡⎤∞−1⎢⎥∞u=−1⎡−11⎤−1⎡1111⎤1t−t（3）f()t=t&dut&⎢⋅⎥=t&⋅−⋅=t()e−e∫s22⎢⎥⎢⎥()u2−1⎢⎣2u−1s⎥⎦⎣4s−14s+1⎦4⎣⎦t=sht2khdaw.com-7-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn−3τ−3τ⎡tesin2τ⎤1⎡esin2t⎤1∞−3t1∞2（4）F()s=&⎢∫0dτ⎥=&⎢⎥=⋅∫s&[esin2t]du==⋅∫s2du⎣τ⎦s⎣t⎦ss(u+)3+41u+3∞1s+3=arctan|=arccots2u=ss25．计算下列积分：−t−2t−at−mt+∞e−e+∞1−cost−t+∞ecosbt−ecosnt(1)∫dt.(2)∫edt(3)∫dt0t0t0t+∞+∞+∞−3t−2t−3t(4)∫ecos2tdt.(5)∫tedt.(6)∫tesin2tdt.000−2t−t2+∞esht⋅sint+∞esint+∞3−t(7)∫dt.(8)∫dt.(9)∫tesintdt.0t0t0+∞sin2t+∞+∞−t(10)dt.(11)eterfdt.(12)J().tdtkhdaw.com∫0t2∫0∫00+∞k2k2t−u2(1)−⎛⎞t其中erfte=∫du称为误差函数，J()0t=∑2⎜⎟称为零阶贝塞尔(Bessel)函π0k=0(!)2k⎝⎠数。+∞f(t)∞解(1)由公式∫∫dt=&[]f()tds得00t−t−2t+∞e−e∞−t−2t∞⎛11⎞s+1∞∫∫dt=&[]e−eds=∫⎜−⎟ds=ln|=ln200t0⎝s+1s+2⎠s+20+∞1−cos−t∞−t∞⎡1s+1⎤s+1∞1(2)∫∫e=&[]e()1−costds=⎢−2⎥ds=ln|=ln200t∫0⎣s+1()s+1+1⎦()s+12+102−at−mt+∞ecosbt−ecosnt∞−at−mt∞⎡s+as+m⎤(3)∫∫00dt=&[ecosbt−ecosnt]ds=∫0⎢22−22⎥dst课后答案网⎣()s+a+b()s+m+n⎦22221()s+a+b∞1m+n=ln2|=ln22www.hackshp.cn2()s+m+n2s=02a+b+∞−sts+∞−3ts3(4)已知&[]cos2t=cos2t⋅edt=，因此ecos2tdt==∫02∫02+s=313s+4s4+∞−2t11(5)tedt=&[]t==∫0s=224ss=22⎛2⎞4s(6)已知&[]sin2t=再由微分性质&[]tsin2t=−⎜⎟′=s2+4s2+422⎝⎠()s+4+∞−3t4s12得tesin2tdt==∫0()22s=3169s+4−2tt−t+∞esht⋅sint∞⎡−2te−e⎤1∞−(2−1)t−(2+1)t()7∫dt=∫&⎢esint⎥ds=∫&[esint−esint]ds0t0⎣2⎦201∞⎡11⎤1⎡∞∞⎤=∫⎢2−2⎥ds=⎢⎣arctan(s+2−1)|0−arctan()s+2+1|0⎥⎦20⎢()s+2−1+1()s+2+1+1⎥2⎣⎦khdaw.com-8-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1[]()()1π=arctan2+1−arctan2−1=arctan1=228−t2+∞esint+∞−t21∞−t(8)∫∫dt=&[]esintds=∫&[e(1−cos2t)]ds00t201∞⎡1s+1⎤1s+1∞1=∫⎢−2⎥ds=ln|=ln520⎣s+1()s+1+4⎦2()s+12+404313⎛1⎞24s−24s(9)已知&[]sint=,利用微分性质&[]tsint=−⎜⎟″′=s2+1s2+124⎝⎠()s+43+∞3−t324s−24stesintdt=&[]tsint==0∫0s=1()24s+4s=122+∞sint+∞2⎛1⎞sint∞+∞sin2t+∞sin2t(10)∫∫002dt=−sint⎜⎟′dt=−|0+∫∫00dt=dtkhdaw.comt⎝t⎠ttt∞∞2s∞π=∫&[]sin2tds=∫ds=arctan|=00s+4202+∞12−t⎡⎤==(11)∫eterfdt=&⎣⎦erf(t)0s=1ss+12s=1+∞1(12)J()tdt=&[]J()t==1∫000s=02s+1s=06．求下列函数的拉氏逆变换.111（1）F()s=.（2）F()s=.（3）F()s=.244s+4s()s+112s+3s+3（4）F()s=.（5）F()s=.（6）F()s=.2s+3课后答案网s+9()s+1()s−3s+12s+5（7）F()s=.（8）F()s=.22s+s−6www.hackshp.cns+4s+13−11−1⎡2⎤1解（1）f()t=&[]F()s=&=sin2t⎢2⎥2⎣s+4⎦2−1⎡1⎤1−1⎡!3⎤13（2）f()t=&=&=t⎢4⎥⎢3+1⎥⎣s⎦!3⎣s⎦6−1⎡1⎤13−1at（3）由&=t及位移性质&[F(s−a)]=ef(t)得⎢4⎥⎣s⎦6()−1−1⎡1⎤13−tft=&[F(s)]=&⎢⎥=te4⎣()s+1⎦6−1−1⎡1⎤−3t（4）f()t=&[]F(s)=&⎢⎥=e⎣s+3⎦−1−1⎡s⎤−1⎡3⎤（5）f()t=&[]F(s)=2&+&=2cos3t+sin3t⎢2⎥⎢2⎥⎣s+9⎦⎣s+9⎦khdaw.com-9-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn−1−1⎡s+3⎤−1⎡1⎛31⎞⎤3−1⎡1⎤1−1⎡1⎤（6）f()t=&[]F()s=&⎢⎥=&⎢⎜−⎟⎥=&⎢⎥−&⎢⎥⎣()s+1()s−3⎦⎣2⎝s−3s+1⎠⎦2⎣3-s⎦2⎣s+1⎦33t1−t=e−e22−1−1⎡s+1⎤−1⎡1⎛32⎞⎤（7）f()t=&[]F()s=&⎢2⎥=&⎢⎜+⎟⎥⎣s+s−6⎦⎣5⎝s−2s+3⎠⎦3−1⎡1⎤2−1⎡1⎤32t2−3t=&⎢⎥+&⎢⎥=e+e5⎣s−2⎦5⎣s+3⎦55−1−1⎡2s+5⎤−1⎡2(s+2)+1⎤（8）f()t=&[]F()s=&⎢2⎥=&⎢22⎥⎣s+4s+13⎦⎣()s+2+3⎦−1⎡()s+2⎤1−1⎡3⎤=2&⎢⎥+&⎢⎥()2222khdaw.com⎣s+2+3⎦3⎣()s+2+3⎦−−−222ttt11=+=2cetos3etsin3e()6cos3st+in3t337．求下列各图所示函数f()t的拉氏变换.ft()ft()Aoτ2τ3τ4τ6t42−A课后答案网oτ3τ5τt(1)www.hackshp.cn(2)ft()ft()48364221o2oτ2τ3τtt(3)(4)(1)由图易知,f()t是周期为2τ的周期函数,在一个周期内khdaw.com-10-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn⎧At,0≤<τft()=⎨⎩−At,2τ≤<τ由公式A2τ−stAττ−−st2st&⎡⎤f()tf=()tedt=+edt−1edt⎣⎦1−e−2τs∫01−e−2τs(∫∫0τ())ττ2A⎡⎤ee−−st||st−−−τs2ττssAe1−+−ee=−⎢⎥tt==0τ=⋅−2τs−2τs1−−−ess⎢⎥1−es⎣⎦2−τsAA()1−eτs=⋅=tanh−2τsses12−∞(2)khdaw.com由图易知ft()2[(=−+−+−+=utτ)ut(3)ττut(5)?]2∑ut((2−+k1))τ，k=0∞−sτ22−+(2ks1)τe1当Re()s>0时，&⎡⎤⎣⎦ft()==∑e⋅−2sτ=ssk=01s−esinhsτ(3)由图易知ft()8()2(2)=ut−−ut，当Re()s>0时，∞−2s18−−ksτ22e2s&⎡⎤⎣⎦f()te==∑−=(4−e)k=0ssss∞(4)由图易知f(tu)[(=+−tu)()(2)]tτ+−+=−utτ?∑u(tkτ)，当Re()s>0时k=0∞11−ksτ11sτ&⎡⎤⎣⎦ft()==∑e⋅=−sτ(1coth+)k=0ss12−es2课后答案网习题三1．设f()t，f()t均满足拉氏变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c），且12www.hackshp.cn&[()]ftF=()s，&[()]ftF=()s，则乘积f()tft⋅()的拉氏变换一定存在，且1122121β+∞j&[]f()tft⋅=()FqFsqd()(−)q12∫122jπβ−∞j其中β>c，Re()sc>+β。证由于f()()t,ft均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为c，知乘积f()tf(t)也一12012定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为2c.根据拉氏存在定理的证明当β>c时，00+∞−st&⎡⎤f()tft⋅=()ftfted()()t在Res≥β+c上存在且一致收敛.由于⎣⎦12∫01201β+∞iqtf11()tF=∫()qedq2iπβ−∞i+∞−st+∞⎛⎞1β+∞iqt−st而&⎡⎤⎣⎦f12()tft⋅=()∫0ftfted12()()t=∫∫0i⎜⎟β−∞Fqedqftedt12()()⎝⎠2iπkhdaw.com-11-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1β+∞i+∞−−()sq1β+∞i=∫∫β−∞i0Fq12()fte()dtdq=−∫β−∞iFqFsqdq12()()2iπ2iπ2．求下列函数的拉氏逆变换（像原函数），并用另一种方法加以验证.1s（1）F()s=.（2）F()s=.22s+a()s−a()s−b22s+cs+2a（3）F()s=（4）F()s=()s+a()s+b2()222s+a11（5）F()s=.（6）F()s=223()()()s+asss+as+b21s+2s−1（7）F()s=.（8）F()s=442s−as()s−11s（9）F()s=.（10）F()s=khdaw.coms2(s2−1)()s2+1(s2+4)−1−1⎡1a⎤1−1⎡a⎤sinat（1）解法1f()t=&[]F()s=&⋅=&=⎢22⎥⎢22⎥⎣as+a⎦a⎣s+a⎦a⎡st⎤⎡st⎤iat−iateeeesinat解法2f()t=Res⎢22,ai⎥+Res⎢22,−ai⎥=−=⎣s+a⎦⎣s+a⎦2ai2aia−1⎡1⎤−1⎡1⎛11⎞⎤解法3f()t=&⎢22⎥=&⎢⎜−⎟⎥⎣s+a⎦⎣2ai⎝s−ais+ai⎠⎦1−1⎡1⎤−1⎡1⎤1iat−iatsinat=（&−&）=()e−e=⎢⎥⎢⎥2ai⎣s−ai⎦⎣s+ai⎦2aiastst−1−1⎡s⎤⎡se⎤⎡se⎤（2）解法1f(t)=&[]F()s=&⎢⎥=Res⎢()(),a⎥+Res⎢()(),b⎥⎣()s−a()s−b⎦⎣s−as−b⎦⎣s−as−b⎦课后答案网atbtaebe1()atbt=+=ae−bea−www.hackshp.cnbb−aa−b−1−1⎡s⎤−1⎡1⎛ab⎞⎤解法2f(t)=&[]F()s=&⎢⎥=&⎢⎜−⎟⎥⎣()s−a()s−b⎦⎣a−b⎝s−as−b⎠⎦1−1⎡1⎤−1⎡1⎤1atbt=（a&⎢⎥−b&⎢⎥=()ae−bea−b⎣s−a⎦⎣s−b⎦a−b⎡st⎤⎡st⎤−1(s+c)e(s+c)e（3）解法1f(t)=&[]F()s=Res⎢,−a⎥+Res⎢,−b⎥()()2()()2⎢⎣s+as+b⎥⎦⎢⎣s+as+b⎥⎦−at()c−aed⎛s+cst⎞c−a−atc−b−bta−c−bt=+⎜e⎟=e+te+e222()b−ads⎝s+a⎠s=−b()a−ba−b()a−b−1−1⎡s+c⎤−1⎡c−a1a−c1c−b1⎤解法2f()t=&[]F(s)=&⎢2⎥=&⎢2⋅+2⋅+⋅2⎥⎣()s+a()s+b⎦⎣()a−bs+a()a−bs+ba−b()s+b⎦c−a−1⎡1⎤a−c−1⎡1⎤c−a−1⎡1⎤=2&⎢⎥+2&⎢⎥+&⎢2⎥()a−b⎣s+a⎦()a−b⎣s+b⎦a−b⎢⎣()s+b⎥⎦khdaw.com-12-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cnc−a−ata−c−btc−b−bt=e+e+te22()a−b()a−ba−b⎡22⎤⎡"⎤−1−1s+2a−13a1⎛s⎞（4）解法1f()t=&[]F()s=&⎢⎥=&⎢⋅+⎜⎟⎥()2222as2+a22⎝s2+a2⎠⎢⎣s+a⎥⎦⎢⎣⎥⎦"3−1⎡a⎤11⎡⎛s⎞⎤31=&+&⎢⎜⎟⎥=sinat−tcosat⎢22⎥222a⎣s+a⎦2⎢⎣⎝s+a⎠⎥⎦2a2⎡s2+2a2⎤⎡s2+2a2⎤−1stst解法2f()t=&[]F()s=Res⎢e,ai⎥+Res⎢e,−ai⎥⎢()222⎥⎢()222⎣s+a⎦⎣s+a⎥⎦2222=ds+2aest+ds+2aest3i1i3−i1−iatatatatds()2ds()2=e−te−e−tes+ais=ais−ais=−ai4ai44ai431khdaw.com=sinat−tcosat2a2−1⎡1⎤1−1⎡11⎤1−1⎡1⎤−1⎡1⎤（5）解法1f(t)=&⎢()223⎥=2&⎢3−()22⎥=2(&⎢3⎥−&⎢()22⎥)⎣s+as⎦a⎣sss+a⎦a⎣s⎦⎣ss+a⎦113t−1⎡1⎤111⎛⎞3t=(t−&dt)=−⎜⎟tasintdta22∫0⎢⎣s2+a2⎥⎦22aa2∫0⎝⎠113=−−ta()1cost242aa−1⎡1⎤解法2f()t=&⎢()223⎥⎣s+as⎦ststst⎡e⎤⎡e⎤⎡e⎤=Res⎢()2230,⎥+Res⎢()223,ai⎥+Res⎢()223,ai⎥⎣s+as⎦⎣s+as⎦⎣s+as⎦=课后答案网1d2⎛⎜est⎞⎟+eait−e−aitds2⎜s2+a2⎟()3()32⎝⎠2aiai2ai−aiwww.hackshp.cns=0121()=t−1−cosat242aa−1⎡1⎤−1⎡111111⎤（6）解法1f()t=&⎢⎥=&⎢⋅+⋅−⋅⎥⎣s()s+a()s−b⎦⎣absa()a−bs+ab()a−bs+b⎦1−1⎡1⎤1−1⎡1⎤1−1⎡1⎤=&⎢⎥+&⎢⎥−&⎢⎥ab⎣s⎦a()a−b⎣s+a⎦b()a−b⎣s+b⎦11−at1−bt=+e−eaba()a−bb()a−b−1⎡1⎤解法2f()t=&⎢⎥⎣s()s+a()s+b⎦stst⎡st⎤⎡e⎤⎡e⎤e=Res⎢()()0,⎥+Res⎢()(),−a⎥+Res⎢()(),−b⎥⎣ss+as+b⎦⎣ss+as+b⎦⎣ss+as+b⎦khdaw.com-13-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn11−at1−bt=+e−eaba()a−bb()a−b−1⎡1⎤−1⎡1⎛11⎞1a⎤（7）解法1f()t=&⎢44⎥=&⎢3⎜−⎟−322⎥⎣s−a⎦⎣4a⎝s−as+a⎠2as+a⎦1()at−at11=e−e−sinat=()shat−sinat3334a2a2a−1⎡1⎤解法2f()t=&⎢44⎥⎣s−a⎦stststst⎤⎡e⎤⎡e⎤⎡e⎤⎡e=Res⎢44,a⎥+Res⎢44,−a⎥+Res⎢44,ai⎥+Res⎢44,−ai⎥⎣s−a⎦⎣s−a⎦⎣s−a⎦⎣s−a⎦st−atait−aiteeee1=−++=()shat−sinat333334a4a4()ai4()−ai2akhdaw.com⎡2⎤⎡⎤−1s+2s−1−1122（8）解法1f()t=&⎢2⎥=&⎢−++2⎥⎣s()s−1⎦⎣ss−1()s−1⎦−1⎡1⎤−1⎡2⎤−1⎡2⎤tt=&⎢−⎥+&⎢⎥+&⎢2⎥=−1+2e+2te⎣s⎦⎣s−1⎦⎣()s−1⎦⎡2⎤⎡2⎤⎡2⎤−1s+2s−1s+2s−1sts+2s−1st解法2f()t=&⎢2⎥=Res⎢2e0,⎥+Res⎢2e1,⎥⎣s()s−1⎦⎣s()s−1⎦⎣s()s−1⎦2d⎛s+2s−1st⎞=−1+2et+2tet=−1+⎜e⎟ds⎜s⎟⎝⎠s=1−1−1⎡1⎤−1⎡1⎛11⎞1⎤1t−t（9）解法1f()t=&[]F()s=&⎢2()2⎥=&⎢⎜−⎟−2⎥=()e−e−t⎣ss−1⎦⎣2⎝s−1s+1⎠s⎦2课后答案网=sht−tstst⎡st⎤⎡e⎤⎡e⎤e解法2f()t=Res⎢2()20,⎥+Res⎢2()21,⎥+Res⎢2()2,−1⎥⎣swww.hackshp.cns−1⎦⎣ss−1⎦⎣ss−1⎦⎛st⎞t−tdeee=⎜⎟+−=sht−tds⎜s2−1⎟22⎝⎠s=0−1⎡s⎤−1⎡1⎛ss⎞⎤（10）解法1f(t)=&⎢22⎥=&⎢⎜2−2⎟⎥⎣()s+1()s+4⎦⎣3⎝s+1s+4⎠⎦1−1⎡s⎤−1⎡s⎤1=(&−&)=()cost−cos2t⎢2⎥⎢2⎥3⎣s+1⎦⎣s+4⎦3−1⎡s⎤解法2f(t)=&⎢()2(2)⎥⎣s+1s+4⎦stststst⎤⎡se⎤⎡se⎤⎡se⎤⎡se=Res⎢()2()2i,⎥+Res⎢()2()2,−i⎥+Res⎢()2()2i2,⎥+Res⎢()2()2,−i2⎥⎣s+1s+4⎦⎣s+1s+4⎦⎣s+1s+4⎦⎣s+1s+4⎦it−iti2t−i2tit−iti2t−i2tie−iei2e−i2eeeee1=+++=+++=()cost−cos2t()2()2()2()2()ii2+4−ii2+4i4+1i4i4+1−i4666khdaw.com63-14-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn3.求下列函数的拉氏逆变换.1s（1）F()s=（2）F()s=()22s+2s+42s+11（3）F()s=（4）F()s=()()42ss+1s+2s+5s+42s+1s−1（5）F()s=（6）F()s=ln229s+6s+5ss+21（7）F()s=.（8）F()s=.(2)2()22s+4s+5s+2s+222s+4s+42s+s+5（9）F()s=（10）F()s=.(2)2s3+6s2+11s+6s+4s+132s+32s+3s+3（11）F()s=（12）F()s=khdaw.coms3+3s2+6s+4()()3s+1s+3−2s1+e（13）F()s=2s−1⎡1⎤−1⎡121⎛s⎞⎤1−1⎡2⎤1−1⎡⎛s⎞⎤解（1）&⎢22⎥=&⎢2+⎜2⎟′⎥=&⎢2⎥+&⎢⎜2⎟′⎥⎢⎣()s+4⎥⎦⎣16s+48⎝s+4⎠⎦16⎣s+4⎦8⎣⎝s+4⎠⎦11=sin2t−tcos2t168−1⎡s⎤−1⎡2⎤−1−1⎡2⎤−2t（2）f()t=&⎢⎥=&⎢1−⎥=&[1]−&⎢⎥=δ()t−2e⎣s+2⎦⎣s+2⎦⎣s+2⎦ststst⎤−1⎡2s+1⎤⎡()2s+1e⎤⎡(2s+1)e⎤⎡()2s+1e（3）f()t=&⎢⎥=Res⎢()()0,⎥+Res⎢()(),−1⎥+Res⎢()(),−2⎥⎣s()s+1()s+2⎦⎣ss+1s+2⎦⎣ss+1s+2⎦⎣ss+1s+2⎦课后答案网ststst()2s+1e()2s+1e(2s+1)e1−t3−2t=lim+lim+lim=+e−es→0()s+1()s+2s→−www.hackshp.cn1s()s+2s→−2s()s+122−1⎡1⎤−1⎡1⎤−1⎡1112⎤（4）f()t=&⎢42⎥=&⎢()2(2)⎥=&⎢⋅−22⎥⎣s+5s+4⎦⎣s+1s+4⎦⎣31ss+64+⎦1−1⎡1⎤1−1⎡2⎤11=&−&=sint−sin2t⎢2⎥⎢2⎥3⎣s+1⎦6⎣s+4⎦36⎡⎤⎡⎤12⎢⎥⎢s+⎥（5）f()t=&−1⎡s+1⎤=&−1⎢s+1⎥=1&−1⎢33⎥+⎢⎣9s2+6s+5⎥⎦⎢12⎥9⎢12221222⎥⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎢9⎜s+⎟+4⎥⎢⎜s+⎟+⎜⎟⎜s+⎟+⎜⎟⎥⎢⎣⎝3⎠⎥⎦⎢⎣⎝3⎠⎝3⎠⎝3⎠⎝3⎠⎥⎦⎛11⎞112−t2−t1⎛22⎞−t=⎜cost⋅e3+sint⋅e3⎟=⎜sint+cost⎟e39⎜⎝33⎟⎠9⎝33⎠⎡s2−1⎤1⎡⎛s2−1⎞⎤1⎡2s2⎤1⎡112⎤−1−1−1−1（6）f()t=&⎢ln2⎥=−&⎢⎜⎜ln2⎟⎟′⎥=−&⎢2−⎥=−&⎢+−⎥⎣s⎦t⎢⎣⎝s⎠⎥⎦t⎣s−1s⎦t⎣s−1s+1s⎦khdaw.com-15-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1()t−t2()=−e+e−2=1−chttt−1⎡s+2⎤−1⎡s+2⎤−1⎡1⎛1⎞⎤1−1⎡⎛1⎞⎤（7）f()t=&⎢22⎥=&⎢22⎥=&⎢−⎜⎜2⎟⎟′⎥=−&⎢⎜⎜2⎟⎟′⎥⎢⎣()s+4s+5⎥⎦⎢⎣[]()s+2+1⎥⎦⎢⎣2⎝()s+2+1⎠⎥⎦2⎢⎣⎝()s+2+1⎠⎥⎦1()−1⎡1⎤t−2t1−2t=−⋅−t&⎢⎥=sint⋅e=tesint22⎣()s+2+1⎦22−1⎡1⎤−1⎡1⎤1−1⎧⎪1⎡s+1⎤⎫⎪（8）f()t=&⎢22⎥=&⎢22⎥=&⎨2+⎢2⎥′⎬⎢⎣()s+2s+2⎥⎦⎢⎣[]()s+1+1⎥⎦2⎪⎩()s+1+1⎣()s+1+1⎦⎪⎭1−1⎡1⎤−1⎡⎛⎜s+1⎞⎟⎤1−t−1⎡s+1⎤=(&⎢2⎥+&⎢⎜2⎟′⎥=(esint−t&⎢2⎥）2⎣()s+1+1⎦⎢⎣⎝()s+1+1⎠⎥⎦2⎣()s+1+1⎦1()−t−t1−t=esint−tecost=e()sint−tcostkhdaw.com22⎡s2+4s+4⎤⎡()s+22⎤⎡19⎤−1−1−1（9）f()t=&⎢⎥=&⎢⎥=&⎢−⎥()22⎢22⎢()+22+9[]()22⎥⎢⎣s+4s+13⎥⎦⎣[]()s+2+9⎥⎦⎣ss+2+9⎦−1⎡131⎛⎜s+2⎞⎟⎤1−2t1−1⎡s+2⎤=&⎢6⋅22−2⎜22⎟′⎥=6esin3t+2t&⎢()22⎥⎢⎣()s+2+3⎝()s+2+3⎠⎥⎦⎣s+2+3⎦1−2t1−2t1−2t=esin3t+tecos3t=e()sin3t+3tcos3t6262⎡2⎤−1⎡2s+s+5⎤−12s+s+5（10）f()t=&⎢32⎥=&⎢⎥⎣s+6s+11s+6⎦⎣()s+1()s+2()s+3⎦2st2st2st⎤⎡()2s+s+5e⎤⎡(2s+s+5)e⎤⎡(2s+s+5)e=Res⎢,−1⎥+Res⎢,−2⎥+Res⎢,−3⎥⎣()s+1()s+2()s+3⎦⎣()s+1()s+2()s+3⎦⎣()s+1()s+2()s+3⎦2s2+s+课后答案网52s2+s+52s2+s+5stst−t−2t−3t=lime+lim+lime=3e−11e+10es→−1()s+2()s+3www.hackshp.cns→−2()s+1()s+3s→−3()s+1()s+2−1⎡s+3⎤−1⎡s+3⎤−1⎡12⎤（11）f()t=&⎢32⎥=&⎢3⎥=&⎢2+2⎥⎣s+3s+6s+4⎦⎣()()s+1+3s+1⎦⎣()s+1+3[()()s+1+]3s+1⎦−1⎡1212s+1⎤=&⎢2+⋅−2⎥⎣()s+1+33s+13()s+1+3⎦1−1⎡3⎤2−1⎡1⎤2−1⎡s+1⎤=&⎢⎥+&−&⎢⎥3⎢22⎥3⎢⎣s+1⎥⎦⎢22⎥⎣()s+1+()3⎦3⎣()s+1+()3⎦1−t2−t2−t1−t=esin3t+e−ecos3t=e(2−2cos3t+3sin3t)3333⎡2⎤⎡⎤−12s+3s+3−11111311(12)f()t=&⎢3⎥=&⎢⋅−+2−6⋅3⎥⎣()s+1()s+3⎦⎣4s+14s+32()s+3()s+3⎦1−1⎡1⎤1−1⎡1⎤3−1⎡1⎤−1⎡1⎤=&⎢⎥−&⎢⎥+&⎢2⎥−6&⎢3⎥4⎣s+1⎦4⎣s+3⎦2⎣()s+3⎦⎣()s+3⎦khdaw.com-16-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1−t1−3t3−3t32−3t=e−e+te−te4422−2s−2st,0≤t<2−1⎡1+e⎤−1⎡1⎤−1⎡e⎤()()⎧(13)f()t=&⎢2⎥=&⎢2⎥+&⎢2⎥=t+t−2ut−2=⎨()⎣s⎦⎣s⎦⎣s⎦⎩2t−,1t≥2习题四1．求下列卷积。（1）1∗.1（2）t∗tmn)t（3）t*t(m,n为正整数.（4）t∗e（5）sint∗cost.（6）sinkt*sinkt.（7）t*sinht.（8）sinhat*sinhat.（khdaw.com9）u()(t−a*ft).（10）δ(t−a)*f(t).解卷积定义:tf()t*f()t=∫f()(τft−τ)dτ12120t（1）1*1=∫1⋅1dτ=t0ttt2131313（2）t*t=∫∫τ()t−τdτ=tτdτ−∫τdτ=t−t=t000236nιt⎛⎞mnmnmkkn−kk（3）t*t=τ()t−τdτ=τ⎜(−)1Ctτ⎟dτ∫∫00⎜∑n⎟⎝k=0⎠nn∑()kkn−k∫tm+k∑()kk1m+n+1=−1Ctτdτ=−1Ctnnk==00k0m+k+1n()kmn!!m+n+1−1kn!m+n+1mn++1=tC=t=t∑n()()()课后答案网k=0m+k+1m+1m+2...m+1+n()mn++1!tttttt−τt−τt⎡−τ−τ⎤t（4）t*e=∫∫τedτ=eτwww.hackshp.cnedτ=e⎢⎣−τe|+∫edτ⎥⎦=e−t−10000tt11t（5）sint∗cost=∫∫sinτcos()t−τdτ=sintdτ+∫sin()2τ−tdτ0022011t1=tsint−cos()2τ−t|=tsint24τ=02t1tt1（6）sinkt*sinkt=∫sinkτ⋅sink()t−τdτ=∫∫cos()2kτ−ktdτ−cosktdτ0200211=sinkt−tcoskt2k2ttt−τ−−(tτ)t−tee−ett−τeτ（7）tt*sinh=−∫∫τsinh()tdτττ=dτ=∫∫τedτ−τedτ0022002tte⎡−τt⎤e⎡τt⎤=−e()τ+1|−e()τ−1|=sinhtt−2⎢⎣0⎥⎦2⎢⎣0⎥⎦tteaτ−e−aτea(t−τ)(−e−at−τ)（8）sinhat∗=sinhat∫sinhaτsinhat()−ττd=∫⋅dτ002khdaw.com2-17-若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn1tttt⎡at−at2aτat−2aτ−at⎤=⎢⎣e∫0dτ−e∫0edτ−e∫0edτ+e∫0dτ⎥⎦411=−tacoshtsinhat22at（9）u()(t−a*ft)()=∫uτ−af()t−τdτ0当t