《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案七.doc 41页

'《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习题七（A）1．在空间直角坐标系中，下列方程表示什么形状的图形.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）旋转抛物面.（2）以（1,2,0）为原点为半径的球面.（3）抛物线柱.（4）以为中心的椭球面.（5）旋转抛物面.（6）圆锥面.（7）一个点（8）双曲抛物面.2．给定两点，，求（1）与之间距离；（2）线段的垂直平分面的方程；（3）以为中心，为半径的球面方程.解：（1）. （2）中点；垂直向量；方程为：.（3）.3．求下列函数定义域，并画出定义域示意图.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）（2）定义域：（3）（4）（5）（6）（7）且（8）4．设，求 解：令；所以5．设，求.解：令则所以所以6．计算下列函数在给定点处的偏导数；（1），求；（2），求；（3），求；（4），求，，；（5），求，；（6），求，.解：（1）（2） （3）（4）（5）（6）7．求下列函数的一阶偏导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）（2） （3）（4）（5）（6）（7）（8） 8．设，验证方程解：证明：9．设，可导，验证方程解：证明：10．设，验证方程解：证明：11．设，其中为可微函数，验证方程解：证明：12．设，验证方程解： 证明：13．求下列函数的二阶编导数（1）（2）（3）（4）（5）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）14．求下列函数的全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （9）（10）（11）（12）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12） 15．求下列函数在给定点的全微分（1）（2）（3），（4）解：（1）当，时.(2)当，时.(3)当，时.；当，时(4)当，时.16．求函数在点（2，1）当，时的全增量和全微分.解：17．求函数在给定点与给定，的全微分（1）点（0，1），，； （2）点（1，0），，.解：（1）（2）18．用全微分求下列各数的近似值.（1）（2）解：（1）令令，，，，（2）令令，，，所以19．已知一长为8米，宽为6米的矩形，当宽增加5厘米，长减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值.8610解：设长为，宽为对角线长. 20．用圆锥体形变时，它的底半径R由30厘米增到30.1厘米，高h由60厘米减到59.5厘米，试求体积变化的近似值.解：令体积，，，变后的体积21．用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长5米，宽4米，深3米，侧面和底均厚20厘米，求所需水泥的精确值和近似值.解：精确值近似值22．求下列复合函数的偏导数或全导数（1），，，求；（2），，求；（3），而，，求；（4），，，求，； （5），，，求，；（6），，，求，；（7），，，求，；（8），，，求.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） （8）23．，可微，求，.解：令则24．，可微，求，.解：令25．设，求.解：26．设，求.解： 27．设，其中可微，求.解：令28．设，其中可微，而，证明.解：证明：29．设，且可微，证明.解：证明：30．设，其中可微，求，.解：令，则 31．，，，求.解：32．设，求，其中有二阶编导数.解：33．已知，，，且的二阶偏导数都连续，求.解：34．设具有二阶连续偏导数，且满足，又求. 解：令35．设，其中为可微函数，求.解：36．已知，，其中是和的函数，求证解：对等式两边分别微分得：同理可得：两式相乘得：37．设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求.解：所以 38．求下列方程所确定的隐函数的导数（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）令则（3）令则（4）令则39．求下列方程所确定的隐函数的全微分（1）（2）（3）（4）解：（1）令则所以（2）令 则所以（3）令（4）令所以40．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 解：（1）令，因为所以又因为所以（1，0）是极小值。（2）令，因为所以又因为所以（1，1）是极小值（3）令因为所以又因为所以极大值（4）令因为所以当，时而所以而当，时无极限。（5） 因为所以而所以（6）令因为所以，且所以（7）令因为因为，且所以（8）令.当,时，且时，，但，所以。当时，因为，所以无极值。 当时，因为所以无极值。当，或时，无极值。41．求下列函数在指定条件下的极值（1）（2）（3）解：（1）令即又因为（2）令即又因为（3）令即又因为所以42．设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为和（单位：千件），利润函数为已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？ 解：设分别生产4件，令则即又因为所以所以当分别生产3.8件和2.24件时利润最大为22.2万元。43．某地区生产出口服装和家用电器，由以往的经验得知，欲使这两类产品的产量分别增加单位和单位，需分别增加和单位的投资，这时出口的销售总收入将增加单位.现该地区用单位的资金投给服装工业和家用电器工业，问如何分配这单位资金，才能使出口总收入增加最大？最大增量为多少？解：令，设分别投入单位和单位令则又因为所以，所以当分别分配单位和单位时总收入增加最大为44．设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两种要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为，其中，为正常数，且.假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小？解：6，则 代入总费用令则45．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即.（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润。（2）如果该企业实行价格无差异策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.解：（1）利润所以当，；时（2）利润设则所以所以当时，46．将二重积分按两种顺序化成累次积分，其中 是由下列曲线或直线围成的区域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）在第一象限；（8）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 47．交换下列积分的次序（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （9）48．计算下列二重积分（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）令则有（4）49．计算下列给定区域内的二重积分：（1）由和所围成；（2）由和所围成；（3）由所围成；（4）由所围成；（5）由所围成； （6）由所围成；（7）由所围成；（8）由围成；（9）由所围成；（10）由所围在第一象限；（11）由所围成；（12）由所围成；（13）由所围成；（14）由所围成；（15）由所围成；（16）解：（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）解：积分区域如右图阴影部分 01y1x（12）积分区域如图所示：ba0由得：从而令（13） （14）（15）（16）50．交换积分次序计算下列积分（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）51．设求，其中解：当 52．利用极坐标计算下列二重积分（1）由围成，且；（2）；（3）；（4）解：（1）令（2）令（3）令（4）令53．设，求.解：54．计算,其中D：解：令（B） 1．选择题（1）函数在点的某邻域内偏导数存在且连续是在该点处可微的（）.A．必要条件，但不是充分条件B．充分条件，但不是必要条件C．充分必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件（2）已知为某一函数的全微分，则的值分别为（）.A．-2和2B．2和-2C．-3和3D．3和-3（3）求函数，有，且则=（）.A．B．C．D．（4）已知函数的全微分则=（）.A．B．C．D．（5）函数的极限情况是（）.A．无极值B．有有限个极值C．有无穷多个极大值D．有无穷多个极小值（6）已知为函数的极小值，则的值分别为（）.A．1，1，4，10B．-1，-1，-4，-10C．1，1，-4，-10D．-1，-1，4，10（7）的值（），其中A．0B．0C．D．以上都不对（8）累次积分可以写成（）.A．B．C．D． （9）设连续，且，其中是由所围区域，则等于（）.A．B．C．D．解：（1）B可导可微，但可微不能推出可导。（2）（3）B将答案代入条件中，(4)由题知：则选（5）（6）令选（7）A（8）由题知：选（9）当代入选2．证明下列函数为齐次函数，并说明各为几次齐次函数（齐次函数的概念见§7．5例9）（1）（2） （3）（4）解：(1)证明：所以是4次齐次函数。(2)证明:所以是次齐次函数。(3)证明：所以是次齐次函数。（4）证明：所以是次齐次函数。3．求下列二元函数的极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）令则（2）=（3） (4)（5）（6）令4．证明：当时，极限不存在.解：令则因极限值与有关，即沿不同抛物线趋向于坐标原点时，有不同极限值，所以原极限不存在。5．设，求.解：6．设函数，方程确定是的函数，其中可微；连续，且，求解：令且 则7．求下列各题近似值（1）（2）解：（1）令（2）8．已知，求解：9．设有连续偏导数，和分别由方程和所确定，求解：由 由10．函数由方程所确定，证明解：知11．函数由方程所确定，证明解： 12．求下列函数的最值（1）（2）（3）解：（1）令则求出存在极大值对于端点，当时，取时存在极值当时，取时存在极值所以的最值是，（2）即当时，（3）令对于端点，所以对于端点存在13．计算二重积分，其中 解：令所以14．计算二重积分，其中解：令15．设闭区域为上的连续函数，且求解：令令则所以 所以16．计算积分解：令17．计算下列二重积分（1），其中（2），其中（3），其中由四条直线所围成.解：（1）（2） （3）18．计算解：19．计算二重积分解：'