《微积分》各章习题及详细答案.doc 42页

'《微积分》各章习题及解答第一章函数极限与连续一、填空题1、已知，则。2、。3、时，是的阶无穷小。4、成立的为。5、。6、在处连续，则。7、。8、设的定义域是，则的定义域是__________。9、函数的反函数为_________。10、设是非零常数，则。11、已知当时，与是等价无穷小，则常数。12、函数的定义域是__________。13、。14、设，则________。15、=____________。二、选择题1、设是上的偶函数，是上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（D）。2、，，则当时有。（Ａ）是比高阶的无穷小；（Ｂ）是比低阶的无穷小；（C）与是同阶无穷小；（D）。3、函数在处连续，则。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（D）。4、数列极限。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（D）不存在但非。5、，则是的。第42页 《微积分》各章习题及解答（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。6、以下各项中和相同的是（）（Ａ），；（Ｂ），；（C），；（D），。7、=（）（Ａ）1；（Ｂ）-1；（C）0；（D）不存在。8、（）（Ａ）1；（Ｂ）-1；（Ｃ）；（Ｄ）。9、在的某一去心邻域内有界是存在的（）（Ａ）充分必要条件；（Ｂ）充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.10、（）（Ａ）1；（Ｂ）2；（C）；（D）0。11、设均为非负数列，且，则必有（）（A）对任意成立；（B）对任意成立；（C）极限不存在；（D）极限不存在。12、当时，函数的极限（）（Ａ）等于２；　　（Ｂ）等于０；　（Ｃ）为；　（Ｄ）不存在但不为。三、计算解答1、计算下列极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。３、试确定之值，使。４、利用极限存在准则求极限(1)。（2）设，且，证明存在，并求此极限值。5、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。6、设在上连续，且，证明在内至少有一点，使。第42页 《微积分》各章习题及解答第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、。，。2、。。3、高阶。，是的高阶无穷小。4、。为有界函数，所以要使，只要，即。5、。。6、。，，。7、。8、根据题意要求，所以。9、，，，的反函数为。10、原式=。11、由（利用教材P58）与，以及，可得。12、由反三角函数的定义域要求可得解不等式组可得，的定义域为。13、。14、,令t=，所以x=即：=第42页 《微积分》各章习题及解答。15、2。二、选择题1、选（Ｄ）令，由是上的偶函数，是上的奇函数，。2、选（Ｃ）（利用教材P58）3、选（A）（利用教材P58）4、选（Ｂ）5、选（Ｃ），，6、选（Ｃ）在（A）中的定义域为，而的定义域为，故不正确在（B）的值域为，的值域为，故错在（D）中的定义域为R，的定义域为，，故错7、选（Ｄ），不存在8、选（Ｄ），9、选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知，存在，则必有的某一去心邻域使有界，而在的某一去心邻域有界不一定有存在，例如，函数有界，但在点极限不存在10、选（Ｃ）（第42页 《微积分》各章习题及解答11、选（D）（A）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况，不可能得出“对任意成立”的性质。（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选（D）当时函数没有极限，也不是。三、计算解答1、计算下列极限：（1）解：。（2）解：。（3）解：。（4）解：。（5）解：。（6）解：。（7）解：。（8）解：。第42页 《微积分》各章习题及解答３、解：４、（1）而。（2）先证有界（数学归纳法）时，设时，，则数列有下界，再证单调减，且即单调减，存在，设，则有（舍）或，５、解：先求极限得而的连续区间为为跳跃间断点.。６、解：令，则在上连续而由零点定理，使即，亦即。第42页 《微积分》各章习题及解答第二章导数与微分一、填空题1、已知，则=。2、存在，有，则=。3、，则=。4、二阶可导，，则=；=。5、曲线在点处切线与连接曲线上两点的弦平行。6、，则=。7、，则=，=。8、若，则=。9、曲线于点_________处的切线斜率为2。10、设，则。11、设函数由方程确定，则。12、设则。二、单项选择1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则=（）。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。3、函数，且，则（）。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。4、已知为可导的偶函数，且，则曲线在处切线的方程是。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。5、设可导，则=。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。6、函数有任意阶导数，且，则=。（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。7、若，则=（）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。8、设函数在点处存在和，则是导数存在的（）（Ａ）必要非充分条件；（Ｂ）充分非必要条件；（C）充分必要条件；（Ｄ）既非充分又非必要条件。9、设则（）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。第42页 《微积分》各章习题及解答10、若可导，且，则有（）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。11、设函数连续，且，则存在，使得（）（A）在内单调增加；（B）在内单调减少；（C）对任意的有；（D）对任意的有。12、设在处可导，则（）（A）；（B）为任意常数；（C）；（C）为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题（1），求；（2），求；（3），；（4），求；（5），求；（6），求；（7），在处有连续的一阶导数，求；（8）设在处有连续的一阶导数，且，求。2、试确定常数之值，使函数处处可导。3、证明曲线与（为常数）在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数对任意实数有，且，证明。6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程。第42页 《微积分》各章习题及解答第二章导数与微分习题解答一、填空题1、2、3、4、，，5、弦的斜率，当时，。6、7、，8、9、，由，在点处的切线斜率为210、2，11、方程两边对求导得解得。12、由参数式求导公式得，再对求导，由复合函数求导法得。二、选择题1、选（Ｄ）由交点为，，第42页 《微积分》各章习题及解答3、选（Ｃ）由得4、选（A）由切线方程为：即5、选（Ｄ）6、选（Ｂ）设，则7、选（Ｃ）又，8、选（Ｃ）在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。9、选（Ｄ）另解：由定义，10、选（Ｂ）11、由导数定义知，再由极限的保号性知当时，从而当时，，因此C成立，应选C。12、由函数在处可导，知函数在处连续，所以。又，所以。应选C。三、计算解答1、计算下列各题（1）第42页 《微积分》各章习题及解答（2），，（3）两边对求导：（4）设则（5）两边取对数：两边求导：（6）利用定义：（7）又[注：因在处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]（8）2、易知当时，均可导，要使在处可导则，且在处连续。即而又由第42页 《微积分》各章习题及解答3、证明：设交点坐标为，则对两边求导：曲线在处切线斜率又由曲线在处切线斜率又两切线相互垂直。4、设分钟后气球上升了米，则两边对求导：当m时，当m时，（弧度/分）5、证明：6、解：由于，于是所求切线斜率为，从而所求切线方程为，即又法线斜率为所以所求法线方程为，即第42页 《微积分》各章习题及解答第三章中值定理与导数应用一、填空题1、__________。2、函数在区间______________单调增。3、函数的极大值是____________。4、曲线在区间__________是凸的。5、函数在处的阶泰勒多项式是_________。6、曲线的拐点坐标是_________。7、若在含的（其中）内恒有二阶负的导数，且_______,则是在上的最大值。8、在内有__________个零点。9、。10、。11、曲线的上凸区间是___________。12、函数的单调增区间是___________。二、单项选择1、函数有连续二阶导数且则（）（Ａ）不存在；（Ｂ）0；（Ｃ）-1；（Ｄ）-2。2、设则在内曲线（）（Ａ）单调增凹的；（Ｂ）单调减凹的；（Ｃ）单调增凸的；　（Ｄ）单调减凸的。3、在内连续，，则在处（）（Ａ）取得极大值；（Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点；（Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。4、设在上连续，在内可导，则Ⅰ：在内与Ⅱ：在上之间关系是（）（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件；（Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件；（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。5、设、在连续可导，，且，则当时，则有（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；　（Ｄ）。6、方程在区间内（）（Ａ）无实根；（Ｂ）有唯一实根；（Ｃ）有两个实根；　　（Ｄ）有三个实根。7、已知在的某个邻域内连续，且，，则在点处（）（Ａ）不可导；　　　　（Ｂ）可导，且；（C）取得极大值；　（Ｄ）取得极小值。８、设有二阶连续导数，且，，则（　　　）第42页 《微积分》各章习题及解答（Ａ）是的极大值；　　　　　　（Ｂ）是的极小值；（Ｃ）是曲线的拐点；　　（Ｄ）不是的极值点。9、设为方程的二根，在上连续，在内可导，则在内（）（A）只有一实根；（B）至少有一实根；（C）没有实根；（D）至少有2个实根。10、在区间上满足罗尔定理条件的函数是（）（A）；（B）；（C）；（D）。11、函数在区间内可导，则在内是函数在内单调增加的（）（A）必要但非充分条件；（B）充分但非必要条件；（C）充分必要条件；（C）无关条件。12、设是满足微分方程的解，且，则在（）（A）的某个邻域单调增加；（B）的某个邻域单调减少；（Ｃ）处取得极小值；　　　　（Ｄ）处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。2、证明以下不等式(1)、设，证明。(2)、当时，有不等式。3、已知，利用泰勒公式求。4、试确定常数与的一组数，使得当时，与为等价无穷小。5、设在上可导，试证存在，使。6、作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该体积最小值。7、若在上有三阶导数，且，设，试证：在内至少存在一个，使。第42页 《微积分》各章习题及解答第三章中值定理与导数应用习题解答一、填空题1、2、在上单调增3、20令当时，；当时，极大值为4、，当时，.当时，；当时，曲线在上是凸的5、（见教材P13页，泰勒公式）6、，令，当时，；当时而当时，拐点为7、,当时，单调增加；当时，单调减少8、1，在上单调增加又.在内有1个零点。9、原式。10、原式=。11、令，当时，，上凸，其它区间，上凹，故应填入。12、函数的定义区间为，在定义区间内连续、可导，且，因为在内，所以函数在上单调增加。二、选择题1、选（Ｃ）2、选（Ｂ）当时，，又第42页 《微积分》各章习题及解答在上单调减且为凹的。3、选（Ｄ），则，是的拐点；设，则，而是的极值点。4、选（Ｃ）由在内的充分必要条件是在内（为常数），又因为在内连续，所以，即在上。5、选（Ｃ）由单调减少，.6、选（Ｄ）令，则；当时，，单调增加，当时，，单调减少当时，，单调增加.而，，在上有一实根，在上有一实根，在上有一实根。７、选（Ｄ）利用极限的保号性可以判定的正负号：（在的某空心邻域）；由，有，即在取极小值。8、选（Ｂ）由极限的保号性：（在的某空心邻域）；由此（在的某空心邻域），单调增，又由，在由负变正，由极值第一充分条件，是的极小点。9、选（B）由罗尔定理保证至少存在一点使。10、选（C），A选项在不连续，B选项在处不可导，D选项。11、选（B），如在单增，但，故非必要条件。12、选（Ｃ），由有，所以在处取得极小值。三、计算解答1、计算极限（1）解：(2)解：。第42页 《微积分》各章习题及解答(3)解：(4)解：(5)解：。(6)解：2、(1)证明：令，则在上连续在上单调增加，得，即(2)令在时，在上单调增，又，即3、解：麦克劳林公式而对比的系数有：4、解：，5、即证：令，则在上满足拉格朗日定理的条件第42页 《微积分》各章习题及解答，使即即6、解：设圆锥的高为，底面圆半径为，则有比例关系令唯一驻点所以，当时，体积最小，此时7、解：由题设可知在上存在，又，由罗尔定理，使，又，可知在上满足罗尔定理，于是，使，又，对在上再次利用罗尔定理，故有，使得。第42页 《微积分》各章习题及解答第四章不定积分一、填空题1、=___________。2、=_____________。3、=_____________。4、=___________。5、=____________。6、=___________。7、=___________。8、=__________。9、____________。10、____________。11、________________。12、。二、单项选择1、对于不定积分，下列等式中（）是正确的.（A）；（B）；（C）；（D）。2、函数在上连续，则等于（）（A）；（B）；（C）；（D）。3、若和都是的原函数，则（）（A）；（B）；（C）(常数)；（D）(常数)。4、若，则（）（A）；（B）；（C）；（D）。5、设的一个原函数为，则（）（A）；（B）；（C）；（D）。6、设，则（）（A）；（B）；第42页 《微积分》各章习题及解答（C）；（D）。７、（）（A）；（B）；（C）；（D）。８、若的导函数为，则的一个原函数是（）（A）；（B）；（C）；（D）。９、为可导函数，且，又，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）。10、（）（A）；（B）；（C）；（D）。11、=（）（A）；（B）；（Ｃ）；（D）。12、=（）（Ａ）；　　（Ｂ）；　　（Ｃ）；　（Ｄ）。三、计算解答1、计算下列各题(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。2、设，当时求。3、设为的原函数，当时有，且，求。4、确定A、B使下式成立5、设的导数的图像为过原点和点的抛物线，开口向下，且的极小值为2，极大值为6，求。第42页 《微积分》各章习题及解答第四章不定积分习题解答一、填空题1、　　　。2、　　。3、　　。4、　　　　　　　　　　　　。5、　　　。6、　　。7、　　　　　　　　　　　　　　　。8、　　　　　　　　　　　　　　　。9、　　　　　　　　　　　　　　　　。10、　　　　　　　　　　　　　　　11、　　令，则原式12、　　。二、选择题1、选（Ｄ）。由，，知（A）、（B）、（Ｃ）选项是错的，故应选Ｄ。2、选（Ｂ）。由微分的定义知。3、选（Ｃ）。函数的任意两个原函数之间相差一个常数。4、选（B）两边对微分得第42页 《微积分》各章习题及解答5、选（B）原式　　　　　　　6、选（C）７、选（D）8、选（B）由题意知，，的原函数为，取，故选B。9、选（C）由两边求导得，又，所以，所以，又因为，所以。10、选（Ｄ）　　　　　　　　　　　　　　。11、选（B）。12、选（Ｂ）。三、计算解答1、计算下列各题(1)解：；(2)解：；(3)解：；第42页 《微积分》各章习题及解答(4)解：令，则得；(5)解：；(6)解：。2、解：3、解：对两边积分：由知又得4、解：由整理得由不定积分的定义：有即对此导数：，（也可直接两边求导求解）5、解：设第42页 《微积分》各章习题及解答由，.由令驻点，又，为极小值点，，为极大值点，而由第五章定积分一、填空题1、=__________。2、=___________。3、。4、。5、。6、。7、设在上连续，则。8、设在上连续，且，则。9、。10、。11、。12、___________，_____________。13、__________。二、单项选择1、（）（A）0；（B）e；（C）ln2；（D）1。2、若，则等于（）。（A）；（B）；（C）；（D）0。第42页 《微积分》各章习题及解答3、定积分的值是（）。（A）0；（B）2；（C）2e2+2；（D）。4、设连续，已知，则n=（）（A）1/4；（B）1；（C）2；（D）4。5、若连续函数满足关系式，则等于（）。（A）；（B）；（C）；（D）。6、设，，则有（）（A）；（B）；（C）；（D）。7、设则当时，是的（A）等价无穷小；（B）同阶但非等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。8、设是连续函数，且，则等于（）（A）；（B）；（C）；（D）。9、设函数在闭区间上连续，且，则方程在开区间内的根有（）（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）无穷多个。10、设连续，则（）（A）；（B）；（C）；（D）。11、设是连续函数，且，则=（）（A）；（B）；（Ｃ）；（D）。12、=（）（Ａ）１；　　　　（Ｂ）０；　　　（Ｃ）；　　　（Ｄ）。三、计算解答1、计算下列各题(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。2、已知在的邻域内可导，且，求。第42页 《微积分》各章习题及解答3、设其中，求。4、证明方程在区间内有且仅有两个不同实根。5、已知在上连续，且，证明，其中。6、已知在上连续，定义，证明，并求。第42页 《微积分》各章习题及解答第五单元定积分习题解答一、填空题1、。2、。3、。4、。5、。6、7、两边求导：，令得8、29、10、011、，12、原式二、选择题1、选（Ｃ）第42页 《微积分》各章习题及解答2、选（A）3、选（Ｃ）4、选（Ｄ）令得5、选（Ｂ）两边求导6、选（D）因为，7、选（B）8、选（A）。9、选（B）因为，则有，又.可知是严格增的，由介值定理知存在唯一的一个，使。10、选（A）首先通过积分换元，把被积函数中的参变量“解脱”出来：由此，原式=。11、选（A）设，则有恒等式。为求常数，两边取由０到１的积分得，解得。由此，。12、选（A）三、计算解答1、计算下列各题(1)解：令得(2)解：(3)解：第42页 《微积分》各章习题及解答(4)解：(5)解：。(6)解：。2、解：3、解：4、解：令则令驻点在内，，单调增加.在内，单调减少又而在内有且仅有一个零点，在内有且仅有一个零点即方程在内有且仅有两个不同实根5、解：证：其中第42页 《微积分》各章习题及解答6、解：即而第42页 《微积分》各章习题及解答第六章定积分的应用一、填空题1、由曲线及轴所围成平面区域的面积是______________。2、由曲线及直线所围成平面区域的面积是____________。3、由曲线所围成平面区域的面积是_______。4、由曲线与直线所围成平面区域的面积是_________。5、连续曲线直线，及轴所围图形绕轴旋转一周而成的立体的体积__________，绕轴旋转一周而成的立体的体积____________。6、抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转而成的立体的体积______。7、渐伸线，上相应于从0变到的一段弧长为______。8、曲线与轴所围成的图形的面积。9、界于之间由曲线所围图形的面积_______。10、对数螺线自到的弧长。11、心形线和直线围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为____________。二、选择题1、曲线及轴所围图形的面积（）。（A）；（B）；（C）；（D）。2、曲线所围面积（）。（A）；（B）；（C）；（D）。3、曲线及所围面积（）。（A）；（B）；（C）；（D）。4、曲线上一段弧长（）。（A）；　（B）；（C）；（D）。5、双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（）（A）；（B）；（C）；（D）。6、绕轴所产生的旋转体的体积为（　　　　）（Ａ）；　　（Ｂ）；　　（Ｃ）；　　　（Ｄ）。７、曲线上相应于从到的一段弧的长度（）第42页 《微积分》各章习题及解答（Ａ）；　　（Ｂ）；　（Ｃ）；　　　（Ｄ）。8、曲线的一个周期的弧长等于椭圆的周长的（）（Ａ）1倍；　　（Ｂ）2倍；　　（Ｃ）3倍；　　　（Ｄ）4倍。三、计算解答1、求抛物线及其在和处的切线所围成图形的面积。2、求双纽线所围图形的面积。3、求由平面图形绕轴旋转的旋转体体积。4、求摆线的一拱及绕轴旋转的旋转体的体积。5、求心形线的全长，其中是常数。6、求由曲线及所围图形的面积。7、计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。第42页 《微积分》各章习题及解答第六单元定积分的应用习题解答一、填空题1、1与及轴交点为，取微积分变量则2、与交点为，取微积分变量则。3、。4、。5、由旋转体体积公式知：，。6、。7、。8、，零点为则。9、10、由极坐标弧长公式得所求的弧长11、由得，时，由元素法。二、选择题1、选（C）。以为积分变量，以为积分变量。2、选（D）。由极坐标曲边扇形面积公式，知第42页 《微积分》各章习题及解答。3、选（D）。。4、选（B）。。5、选（A）。由方程可以看到双纽线关于轴、轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单：。其在第一象限部分的变化范围是：。再由对称性得。6、选（B）。绕轴旋转所得旋转体的体积。7、选（C）。从而弧长元素，所求弧长为。8、选（A）。设为曲线的一个周期的弧长，为椭圆的周长，显然，将椭圆化成参数方程则从而有=。三、计算解答1、解：切线方程分别为和，其交点坐标是，。2、解：由对称性。3、解：。4、解：。5、解：由极坐标系下的弧微分公式得，由于以为周期，因而的范围是。又由于，心形线关于极轴对称。由对称性，。第42页 《微积分》各章习题及解答6、解：由于在处取极小值所以可得所围图形面积为。7、解：取固定直径为轴，为积分变量且，过点且垂直于轴的立体截面面积为于是。第42页 《微积分》各章习题及解答第七八章多元函数微积分（以课件例题为主）第九章微分方程一、填空题1、方程是阶微分方程。2、以函数为通解的微分方程是。3、设曲线上任意一点的切线垂直于此点与原点的连线，则该曲线所满足的微分方程为。4、连续函数满足关系式，则=。5、微分方程的通解。6、以为特征根的二阶常系数线性齐次微分方程是。7、判断对错：（填“正确”或“错误”）（1）所有微分方程都存在通解。（2）微分方程的通解包含了所有的解。（3）设为某二阶微分方程的解，其中为任意常数，则此解是该方程的通解。（4）若函数是一阶线性微分方程两个不相同的特解，则就是该方程的通解。8、若是全微分方程，则函数应满足。9、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为。10、微分方程满足初始条件的特解。11、求方程的通解时可令，则。12、微分方程的通解为。二、选择题1、下列方程中（）是常微分方程(A)；(B)；(C)；(D)。2、下列方程中（）二阶微分方程(A)；(B)；(C)；(D)。3、微分方程的通解是（），其中均为常数(A)；(B)；(C)；(D)。4、一曲线在其上任意一点处的切线斜率等于，这曲线是（）(A)直线；(B)抛物线；(C)圆；(D)椭圆。5、下列微分方程：（1），（2），（3）中，线性微分方程是（）(A)（1）；(B)（2）；(C)（3）；(D)（1）、（2）、（3）均不是。6、曲线经过点，且满足微分方程，则当时，（）(A)0；(B)1；(C)2；(D)4。第42页 《微积分》各章习题及解答7、已知微分方程有一特解，则此方程通解为（）(A)；(B)；(C)；(D)。8、设是方程的解，若，且，则在点（）(A)取得极大值；(B)取得极小值；(C)某邻域内单调增；(D)某邻域内单调减。9、若和是二阶齐次线性方程的两个特解，、为任意常数，则（）(A)是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。10、曲线经过原点，且在原点处切线与直线平行，而满足方程，则曲线方程是（）(A)；(B)；(C)；(D)。11、微分方程的特解的形式为（）(A)；(B)；(C)；(D)。12、微分方程的特解的形式为（）(A)；(B)；(C)；(D)。三、计算解答1、验证由方程所确定的函数是微分方程的通解。2、求解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。3、设，为可微函数，求。4、已知，曲线积分与路径无关，求函数。5、设都是方程的特解，且不恒等于常数，证明为方程的通解（其中为任意常数）。6、一质量为的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系数为），试求此质点的速度和时间的关系。第42页 《微积分》各章习题及解答第九章微分方习题解答一、填空题1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程。2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对分别求一阶和二阶导数得：，，三个式子连立消去得，即为所求。另解，直观看出是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为，其对应的特征方程为，从而对应的微分方程是。3、设曲线为，则由题意有：即为所求。4、对两边求导得，解此微分方程得，即，又由可知，，代入求得，从而。5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根，从而通解为。6、以为根的一元二次方程是，从而对应的二阶常系数线性齐次微分方程是。7、（1）错误，例如微分方程，该方程只有解，显然这不是通解。（2）错误，例如微分方程，易求得该方程的通解为，又知也是方程的解，显然不包含在中。（3）错误，因为中的不是相互独立的，事实上，，可见该解中只含有一个任意常数。（4）正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于不相等，所以线性无关且是对应齐次方程的解，从而是对应齐次方程的通解，因此就是该方程的通解。8、。9、根据线性微分方程解的结构理论，和是对应齐次线性微分方程的解，又这两个解是线性无关的，所以是对应齐次线性微分方程的通解，从而是该非齐次线性微分方程的通解10、方程中不显含未知函数，因此作变量代换令，则，代入方程得，变量分离法解此方程得，即，代入初始条件得，于是，两边积分得，代入初始条件得，所以所求特解为。11、方程不显含自变量，因此作变量代换时应令，则。12、方程是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根第42页 《微积分》各章习题及解答，从而通解为。二、选择题1、选(D)；由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函数的导数，（C）中的未知数是多元函数。2、选(A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，(B)、(D)中方程是一阶微分方程，而(C)中的方程是三阶微分方程。3、选(C)；由通解的定义，含有任意常数，且任意常数（相独立）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A）、（B）、（D）均不符合。4、选(D)；按题意有，即，积分得，可见，该曲线是椭圆。5、选(C)；方程（1）、（2）可直观看出不是线性微分方程，对于（3），整理得，视为未知函数，为自变量，则该方程是线性微分方程。6、选(B)；方程为一阶线性微分方程，其通解由时知，所以曲线为，由此，当时。7、选(C)；将代入方程，求出，于是方程通解为。8、选(A)；由为的解，得，即，由极值判定定理知，在点处取得极大值。9、选(C)；由线性方程解的结构定理，一定是方程的解，当与线性无关时才是方程的通解。10、选(B)；解方程得其通解为，由得，由得，所以所求曲线为。11、选(D)；由特征方程解得特征根，而，可见是特征根单根，所以特解应设为。12、选(C)；由特征方程解得特征根，而，可见是特征根，所以特解应设为。三、计算解答1、解：将两边对求导得，，整理得，，可见，由方程所确定的函数满足微分方程，又中含有一个任意常数，所以由方程所确定的函数是所给微分方程的通解。2、（1）解：变量分离得，，两边积分得，，从而方程通解为。第42页 《微积分》各章习题及解答（2）解：整理得，，可见该方程是齐次方程，令，即，则，代入方程得，，变量分离得，，积分得，，所以原方程的通解为，或写为。（3）解：整理得，，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为。（4）解：整理得，，这是一阶线性方程，利用公式得通解为，代入初始条件得，从而所求特解为。（5）解：整理得，，这是伯努利方程，令，则，代入方程得，，这是线性方程，其通解为，，所以原方程的通解为。（6）解：令，则，可见该方程是全微分方程，于是有所以原方程通解为。（7）解：将方程两边逐次积分得，，，即原方程通解为。（8）解：方程中不显含未知函数，所以可令，则，代入方程得，，这是一阶线性方程，其通解为，从而，两边积分得原方程通解为。第42页 《微积分》各章习题及解答（9）解：方程中不显含自变量，所以可令，则，代入方程得，，整理得，积分得，即，变量分离并积分得，此即为原方程的通解。（10）解：由特征方程解得特征根，所以对应齐次方程的通解为。又因为中不是特征根，所以可设原方程的特解为，代入原方程并整理得，，从而，即。所以原方程的通解为。3、解：将两边对求导并整理得，，这是一阶线性微分方程，所以，又由可知，从而，所以所求。4、解：因曲线积分与路径无关，所以有，整理得为一阶线性方程，所以，又因，得，所以所求。5、证明：因为都是方程的特解，所以和都是方程对应齐次方程的解，又因不恒等于常数，所以和线性无关，从而对应齐次方程的通解为，所以原方程的通解为，即。6、解：设质点速度和时间的关系为，则由题意有，整理得，这是一阶线性方程，从而，由得，所有所求。第42页 《微积分》各章习题及解答第十章无穷级数（以课件例题为主）第42页'