《机械工程控制基础》课后题答案.doc 68页

'目录第一章自动控制系统的基本原理第一节控制系统的工作原理和基本要求第二节控制系统的基本类型第三节典型控制信号第四节控制理论的内容和方法第二章控制系统的数学模型第一节机械系统的数学模型第二节液压系统的数学模型第三节电气系统的数学模型第四节线性控制系统的卷积关系式第三章拉氏变换第一节傅氏变换第二节拉普拉斯变换第三节拉普拉斯变换的基本定理第四节拉普拉斯逆变换第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节线性控制系统的典型环节第三节系统框图及其运算第四节多变量系统的传递函数第五章时间响应分析第一节概述第二节单位脉冲输入的时间响应第三节单位阶跃输入的时间响应第四节高阶系统时间响应第六章频率响应分析第一节谐和输入系统的定态响应第二节频率特性极坐标图第三节频率特性的对数坐标图第四节由频率特性的实验曲线求系统传递函数第七章控制系统的稳定性第一节稳定性概念第二节劳斯判据第三节乃奎斯特判据第四节对数坐标图的稳定性判据第八章控制系统的偏差第一节控制系统的偏差概念 第一节输入引起的定态偏差第二节输入引起的动态偏差第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节希望对数幅频特性曲线的绘制第三节校正方法与校正环节第四节控制系统的增益调整第五节控制系统的串联校正第六节控制系统的局部反馈校正第七节控制系统的顺馈校正第一章自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。第一节控制系统的工作原理和基本要求一、控制系统举例与结构方框图例1．一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为100C°,利用表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。图1人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。 图2例1．图示为液面高度控制系统原理图。试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度，调解气动阀门的开合度，对误差进行修正，可保持液面高度稳定。图3图4图5结构方块图说明：1.信号线：带有箭头的直线（可标时间或象函数）U(t),U(s)；2.引用线：表示信号引出或测量的位置；3．比较点：对两个以上的同性质信号的加减运算环节；4．方框：代表系统中的元件或环节。 方块图中要注明元件或环节的名称，函数框图要写明函数表达式。二．控制系统的组成1．给定环节：给出输入信号，确定被控制量的目标值。2．比较环节：将控制信号与反馈信号进行比较，得出偏差值。3．放大环节：将偏差信号放大并进行必要的能量转换。4．执行环节：各种各类。5．被控对象：机器、设备、过程。6．测量环节：测量被控信号并产生反馈信号。7．校正环节：改善性能的特定环节。三．控制系统特点与要求1．目的：使被控对象的某一或某些物理量按预期的规律变化。2．过程：即“测量——对比——补偿”。或“检测偏差——纠正偏差”。3．基本要求：稳定性系统必须是稳定的，不能震荡；快速性接近目标的快慢程度，过渡过程要小；准确性第一节控制系统的基本类型1．开环变量控制系统（仅有前向通道）图62．闭环变量控制系统开环系统：优点：结构简单、稳定性能好；缺点：不能纠偏，精度低。闭环系统：与上相反。第三节典型控制信号输入信号是多种多样的，为了对各种控制系统的性能进行统一的评价，通常选定几种外作用形式作为典型外作用信号，并提出统一的性能指标，作为评价标准。1．阶跃信号x(t)=0t＜0X(t)=At≥0图7当A=1时，称为单位阶跃信号，写为1（t）。阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。例如，电源突然跳动，负载突然增加等。因此，在研究过渡过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用，相应的过渡过程称为阶跃响应。 2．脉冲函数数学表达式x(t)=A/T0≤t≤TX(t)=0其它图8脉冲函数的强度为A，即图形面积。单位脉冲函数（δ函数）定义为δ(t)=1(t)性质有:δ(t)=0t≠0δ(t)=∞t＝0且图9强度为A的脉冲函数x(t)也可写为x(t)=Aδ(t)必须指出，脉冲函数δ(t)在现实中是不存在的，它只有数学上的意义，但它又是很重要的很有效的数学工具。3．斜坡函数（恒速信号）x(t)=Att≥0x(t)=0t＜0图10在研究飞机系统时，常用恒速信号作为外作用来评价过渡过程。4．恒加速信号x(t)=At2/2t≥0x(t)=0t＜0 图11在研究卫星、航天技术的系统时，常用恒加速信号作为外作用来评价过渡过程。5．正弦函数（谐波函数、谐和信号）x(t)=xm.sin(ωt+φ)t≥0x(t)=0t＜0-图126．延时函数（信号）f(t)=x(t-τ)t≥τf(t)=0t＜0图137．随机信号（使用白噪声信号代替）第四节控制理论的研究内容和方法一．经典控制理论1．主要内容：分析——掌握系统的特性，进行系统性能的改善；实验——对系统特性和改善措施进行测试；综合——按照给定的静态、动态指标设计系统。2．方法时域法——以典型信号输入，分析输出量随时间变化的情况；频域法——以谐和信号输入，分析输出量随频率变化的情况；根轨迹法——根据系统的特征方程式的根，随系统参数的变化规律来研究系统（又称图解法）。二．现代控制理论1．引入状态空间概念；2．动态最佳控制；3．静态最优控制； 4．自适应和自学习系统。图14瓦特调速器第一章控制系统的数学模型为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系，必须建立数学模型。这一章中心问题是如何从控制系统实体中抽象出数学模型。第一节机械系统的数学模型1.机械平移系统（应用牛顿定律）∑F=0,F=mF(t)-c-kx=m或F(t)-Fc(t)-Fk(t)=mFc(t)=阻尼器产生的阻尼力，为c(t)Fk(t)=弹性恢复力，为kx(t)整理：m+c+kx=F(t)2．机械旋转系统J(t)+c(t)+k(t)=M(t)J—转动惯量c—阻尼系数K—刚度系数图14 图153．机械传动系统参数的归算机械系统的运动形式：旋转运动、直线运动。机械系统的组成元件：齿轮、轴、轴承、丝杠、螺母、滑块等。对一个复杂的大系统，必须把各部件参数归算到同一部件上。在这个部件的惯性力、阻尼力、弹性恢复力称为当量参数。如何归算？采用单因素法。3—1惯性参数的归算1．转动惯量的归算将图示系统中的J1、J2和J3归算到a轴上。图16列各轴力矩平衡方程式：a轴：M=J1+Mb-ab轴：Ma-b=J2+Mc-bc轴：Mb-c=J3Mb-a——负载力矩；Ma-b——是b轴的主动（驱动）力矩。列关系式：==，同理力相等关系由线速度相等关系：ω1=ω2得，同理，代入各关系式，得 M(t)=M=[J1+J2()2+J3()2]=Ja∑Ja∑—称为归算到a轴上的归算转动惯量。推之，对于系统有n个轴，归算到a轴时，Ja∑=Ui—是从a轴到第i轴的总速比，即主动齿轮齿数积/被动齿轮齿数积。2．移动质量归算为转动惯量列运动平衡方程式丝杠：M=J+M1滑块:F=m=F轴式中：M1是滑块作用于丝杠的力矩；F轴是丝杠作用于滑块的轴向力。为求M与F之间的关系,列关系式,把丝杠按πD展成平面。tgα=F周/F轴=S/πD由关系式F周=M1,则F轴=F==根据运动关系==代入到M=J+M1中，整理后得M=[J+m()2]=J∑J∑=J+m()2图17 图18第二节液压系统的数学模型分析思路（见图19）：划分为两个环节。滑阀：输入量xi(t)输出量θ(t)（中间变量）液压缸：输入量θ(t)输出量xo(t)建立各元件方程式图191、滑阀流量方程式θ(t)=f[xi(t),],其中=压强差流量θ(t)是阀芯位移xi(t)函数，同时又是负载压强差的函数，具有非线性关系。 如果把非线性问题线性化，这是考虑在额定工作点附近可展成泰勒级数办法，则θ(t)=kqxi(t)-kp(1)其中kq是流量增益系数，kp是压力影响系数。（1）式是根据试验数据修正而来。2、液压缸工作腔液体流动连续方程式θ(t)=Ao(t)+kt+(2)A—工作面积，kt—漏损系数，V—液体体积压缩率，—弹性模量。在不考虑液体的的可压缩性，又不考虑泄漏，（2）式可简化为θ(t)=Ao(t)（3）3、液压缸负载平衡方程式A=mo(t)+co(t)+kxo(t)+F(t)(4)若自由状态，即F(t)=0,则A=mo(t)+co(t)+kxo(t)（5）4、系统的运动方程式消去中间变量和θ(t)，得mo(t)+co(t)+（k+A2/ρ(t)=Akqxi(t)/kp(6)若外部系统阻尼、刚度系数不受影响，即c=0,k=0,惯性力不考虑。则kqxi(t)=Axo(t)(7)这是来多少油出多少油的关系式。第三节电气系统的数学模型1.阻容感网络系统图20由基尔霍夫第一定律（封闭系统）Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=0Ui(t)-Ri(t)--L=0=L+R+二阶微分方程2．放大器网络系统 图211）比例运算放大器由ij(t)=0i1(t)=i2(t)+i3(t)因为放大器内阻很大，i3(t)0，于是有i1(t)i2(t)即=i1(t)=i2(t)=（引入：Uo(t)=-βUA=-(104-106)UA由于β很大,UA0）UO(t)=(1+)UA(t)-Ui(t)2）积分运算放大器图22同前分析过程。i1(t)=;U0(t)==由i1(t)i2(t)而来输出与输入之间存在积分关系。3）微分运算放大器图23 由Ui(t)=得i1(t)=ci2(t)=,由i1(t)i2(t)关系式，得U0(t)=R2C输出与输入之间存在微分关系。第四节线性控制系统的卷积关系式为建立输出与输入之间的关系，常利用卷积关系式。一.线性控制系统的权函数图24设图示系统，任意给输入量xi(t)，输出量为xo(t)。当xi(t)=δ(t)，即为单位脉冲函数，此时的输出（也称为响应）xo(t)记为h(t)。h(t)称为系统的单位脉冲响应或称为权函数。若输入脉冲发生在τ时刻，则δ(t)和h(t)曲线都会向右移动τ，形状不变。图25-1即xi(t)=δ(t1)，对应的xo(t)=h(t1)，其中t1=t-τ定义：δ(t-τ)=τ≤t≤τ+δtδ(t-τ)=0其它这里δ(t)≠δt，δt=⊿t二、任意输入响应的卷积关系式当xi(t)为任意函数时，可划分为n个具有强度Aj的脉冲函数的叠加，即 图25-2图25-3Xi（t）=其中Aj=xi（jδt）.Δt=面积=强度在某一个脉冲函数Ajδ(t-jδt)作用下，响应为Ajh(t-jδt)。系统有n个脉冲函数，则响应为：xo(t)==当n时，，nδt，j.δt=τ，δt=dτxo(t)=卷积关系式上式说明“任意输入xi(t)所引起的输出xo(t)等于系统的权函数h(t)和输入xi(t)的卷积”。三、卷积的概念与性质定义：若已知函数f（t）和g（t），其积分存在，则称此积分为f（t）和g（t）的卷积，记作。性质：1、交换律=证明：令t-τ=t1dτ=-dt1（τ=t-t1）===（左=右，变量可代换）证毕。2、分配律3、若t∠0时，f（t）=g（t）=0，则= f（t）—输入；g（t）—系统；x0（t）—输出x0（t）=四．卷积积分的图解计算积分上下限的确定：下限取f（τ）和g（t-τ）值中最大一个；上限取f（τ）和g（t-τ）值中最小一个。 图26第三章拉普拉斯变换第一节傅氏变换（傅立叶变换）一、傅氏级数的复指数形式（对周期函数而言，略讲）二、非周期函数的傅氏积分非周期函数f（t）可以看作是T周期函数fT（t），即f（t）=，若f（t）在上满足：1、在任一有限区间上满足狄氏条件（10连续或只有有限个第一类间断点；20只有有限个极值点）；2、在上绝对可积（收敛）。f（t）=非周期函数的积分式三、傅氏变换1、傅氏变换概念在傅氏积分式中，令t是积分变量，积分后是的函数。称F（ω）=F[f（t）]——傅氏变换f（t）=F-1[F（ω）]——傅氏逆变换2、傅氏变换的缺点说明10条件较强，要求f（t）绝对收敛。做不到。例如，1（t）、Asinωt，它们的积分均发散，即F[f（t）]不存在，无法进行傅氏变换。20要求f（t）在有意义，而在实际中，t＜0常不定义。解决的办法：10将f（t）乘以收敛因子e-σt使积分收敛（σ>0）；20将f（t）乘以1（t），使当t＜0时，函数值为零。可将积分区间由换成。于是傅氏变换变形为拉氏变换L[f（t）]：L[f（t）]=其中S=—复变量。成立的条件是Re（s）=σ>0经过处理，能解决大部分工程上的问题。这就是Laplace变换(F.L.Z.H.W.X).第一节拉普拉斯变换(Laplace)一.定义:1.若t0时,x(t)单值;t<0时,x(t)=02.收敛,Re(s)=σ>0则称X(s)=为x(t)的拉氏变换式,记作X(s)=L[x(t)]X(t)=L-1[X(s)]拉氏逆变换 一.举例1.脉冲函数δ(t)的拉氏变换L[δ(t)]=12.单位阶跃函数x(t)=1(t)=1的拉氏变换X(s)=L[1(t)]=,Re(s)>0即σ>03．x（t）=，—常数=L[]=Re(s)>0即σ>4、x（t）=sint，—常数=L[sint]==Re(s)>05．X（t）=tn幂函数的拉氏变换利用伽玛函数方法求积分。=L（tn）=函数标准形式令st=u，t=tn=s-nundt=du，则=若n为自然数，X（s）=L（tn）=Re(s)>0比如：x（t）=t，=x（t）=t2，=x（t）=t3，=第三节拉氏变换的基本定理与傅氏变换的定理差不多，但有的定理不相同，同时比傅氏变换定理多也许一些。1、线性定理（比例和叠加定理）若L[x1（t）]=X1（s），L[x2（t）]=X2（s）L[k1x1（t）+k2x2（t）]=k1X1（s）+k2X2（s）例题x（t）=at2+bt+c=L[at2+bt+c]=aL（t2）+bL（t）+cL（1）=Re(s)>02、微分定理若L[x（t）]=X（s），则L[（t）]=s2X（s）-x（0）x（0）是x（t）的初始值，利用分部积分法可以证明。推论：L[ 、、L[x（n）（t）]=snX（s）-sn-1x（0）-、、、x（0）（n-1）注意大小写，小写为时间函数。若初始条件全为零，则L[x（n）（t）]=snX（s）3、积分定理若L[x（t）]=，则L[]=推论：L[]=4、衰减定理（复数域内位移性质）若L[x（t）]=，则L[]=表明原函数乘以指数函数的拉氏变换，等于象函数做位移。例题x（t）=因L[]=，则=L[]=5、延时定理（时间域内位移性质）若L[x（t）]=，t＜0时，x（t）=0，则L[x（t）]=、在时间域内延迟（位移），行动于它的象函数乘以指数因子。图276、初值定理若L[x（t）]=X（s），且存在，则它建立了x（t）在坐标原点的值与象函数s在无限远点的值之间的对应关系。表明，函数x（t）在0点的函数值可以通过象函数乘以s，然后取极限值而获得。7、终值定理若L[x（t）]=，且存在，则8、卷积定理若L[x（t）]=，L[y（t）]=，则L[]=.第四节拉氏逆变换 已知象函数X（s）求原函数x（t）的运算称为拉氏逆变换，记作x（t）=L-1[]推导过程略。这是复变函数的积分公式，按定义计算比较困难。其一是查表法（略）；其二是变形法；第三是配换法；第四是分项分式法。这里简单介绍第二项，着重讲第四项。一、变形法（要利用好各个性质）例1已知=，求x（t）解：s变量中有位移量a，原函数中必有衰减因子e-at，原本是1（t），现在是e-at.1（t）=e-at例2X（s）=，求x（t）解：s变量中有位移a，x（t）中必有衰减因子e-at；X（s）中有衰减；x（t）中的时间t必有位移。对于的逆变换是第一步变形原函数乘以衰减因子e-at，得x（t）1=e-at第二步变形t位移，即（t-），得X（t）2=x（t）=二、分项分式法若X（s）为有理分式，即=（n＞m）分母多项式Qn（s）具有个重根s0和个单根s1s2…，显然n=+，则分母多项式Qn（s）=Si是实数也可能是虚数，是Qn（s）的零点，又是X（s）的极点。可化成：在分项分式中，k0i、kj均为常数，称为的各极点处的留数。对于各个单项，则K如何求得？？？★★★留数的求解1、比较系数法例：=s=0，-3，-4为三个单极点。=通分联立方程：1=a+b+c4=7a+4b+3c2=12a 解得a=2、极限法（留数规则）10单极点处的留数（相对比较系数法简单一些）若S是X（s）的分母多项式Qn（s）的一个单根，称s=S为的一个单极点。此时可设：=+是余项，其中不再含有S-S的因子。可写成：（S-S）=K+（S-S）令sS，对等式两边取极限，可得K=例题：==k1=k2=k3=毕20、重极点处的留数若s0是的分母多项式Qn（s）的一个重根，则称s=s0是一个重极点。在重极点处有个留数k01、k02、、、，此时可设=，W（s）中不含（s-s0）。=令s，两边取极限，得为求，可对求阶导数，再令s，两边取极限，得例题：已知=，求其留数。解（s）是三重极点，（是两重极点，（是单极点。==-1=-2 =-3=-2=2=1第一节常系数线性微分方程的拉氏变换解微分方程L变换象函数的代数方程原函数的微分方程L-1逆变换象函数例题：求的解，并满足初始条件；解：L变换=代入初始条件，求解代数方程。L-1逆变换毕第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质一、传递函数的概念对于单输入、单输出的线性定常系统，传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。原函数描述的系统：输入xi（t）系统h（t）输出x0（t）以象函数描述的系统：输入Xi（s）系统G（s）输出X0（s）传递函数为：传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式，是系统的复数域数学模型二、传递函数的一般形式线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为：其中a0、a1。。。an，b0、b1。。。bm均为实常数。对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。传递函数具有以下三种常用形式：Ⅰ型Ⅱ型 Ⅲ型其中，Ⅱ型中，sb1、sb2、sbm是G（s）的零根，sa1、sa2、san是G（s）的极点，也是分母多项式的根。这些根可以是单根、重根、实根或复根。若有复根，则必共轭复根同时出现。Ⅲ型中，kl称为环节增益；是环节的时间常数；是环节的阻尼比。以上均为实常数，且，。在分子、分母多项式中，每个因式代表一个环节。其中每个因式确定一个零根；每个因式（）确定一个非零实根；每个因式确定一对共轭复根。三、传递函数的性质1、传递函数只决定于系统的内在性能，而与输入量大小以及它随时间的变化规律无关。2、传递函数不说明系统的物理结构，只要动态性能相似，不同的系统可具有同形式的传递函数。3、分母的最高阶次为n的系统称为n阶系统。实用上n≥m。4、s的量纲为时间的倒数，G（S）的量纲是输出与输入之比。5、所有系数均为实数，原因是：“它们都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数”。第二节线性控制系统的典型环节控制系统都是由若干个环节组合而成，无论系统多么复杂，但所组成的环节仅有几种，举例说明。一、比例环节传递函数G（s）=K例：(机械系统，不考虑弹性变形)图a(液压系统，不考虑弹性变形，可压缩性和泄漏)图b图c图4-1比例环节 G（s）=g（t）=A.V（t）G（s）=u（t）=R.i（t）G（s）=二、积分环节传递函数的标准形式：G（s）一阶系统G（s）=二阶系统例：电感电路系统i0（t）=i0（t）—输出；ui（t）—输入L—变换I0（s）=G（s）=这里三、惯性环节一阶惯性环节的传递函数标准形式：例：阻容电路K=1，T=RC 四、振荡环节传递函数标准形式：其中K—比例系数，—阻尼比，T—周期，—无阻尼自由振动固有角频率。例1：质量—弹性—阻尼系统输入f（t），输出x（t）运动方程：L—变换：=其中，例2：阻容感电路（R—C—L电路）***引人复阻抗概念L—变换L—变换L—变换复阻抗，又称为复数域的欧姆定律。 见题图得其中，需要注意的是，只有当的特征方程具有一对共轭复根时，系统才能称为振荡环节。否则，称为二阶惯性环节。即五、放大器模拟电路举例（第二章已说过） 通式：1、若比例环节2、若积分环节3、若微分环节4、若一阶惯性环节5、若二阶导前环节第三节系统框图及其运算系统有很多环节组成，相互之间如何运算？框图又如何运算？一、系统框图的联接及其传递函数1、串联 2、并联=对于n个系统3、反馈联接Xi（s）—输入信号X0（s）—输出信号=E（s）.G1（s）E（s）—偏差信号=Xi（s）B（s）B（s）—反馈信号=H（s）.X0（s）10、前向传递函数20、开环传递函数30、闭环传递函数整理得：二、框图的变换变换的目的：将复杂联接的框图，进行等效变形，使之成为仅包含有串、并、反馈等简单联接方式，以便求算系统的总传递函数。1、汇交点的分离、合并与易位 2、汇交点与分支点易位 3、汇交点与方框易位4、分支点与方框易位 第四节多变量系统的传递函数一、有干扰作用时系统的输出由于是线性系统，可单独考虑输入与干扰的作用。1、仅有输入作用，即=0时。前向通道传递函数=系统传递函数2．仅有干扰作用，即=0时。 前向通道传递函数=系统传递3、输入和干扰同时存在的总输出二、双自由度弹簧、阻尼、质量系统输入和输出和。按质量可分两个隔离体。或者写成L—变换 或简写成[H]=两边同左乘[H]-1[G]是传递矩阵，是伴随矩阵。第五章时间响应分析（时域分析法）第一节概述一、时间响应概念这是设备性能测试的一种方法，即在典型信号作用下，对系统的输出随时间变化情况进行分析和研究。二、时间响应的组成（瞬态、稳态）1°、瞬态响应：从是系统进入理想状态的时间。此过程称为过渡过程。由于系统内总会有储能元件，输出量不可能立即跟踪上输入量,在系统稳定之前，总是表现出各种各样的瞬态过程。2°、稳态响应：tst阶段的响应。三、时间响应分析的目的1°、了解系统的动态性能和质量指标;2°、作为设计，校正及使用系统的依据。四、方法利用传递函数来求算微分方程的解第二节单位脉冲输入的时间响应输入信号：xi=δ，则=1；输出信号：x0，则=H=H=G一、一阶惯性环节的单位脉冲响应一阶惯性环节传递函数标准形式:G==输出：=G=G== （提示：L=，注意符号）时间响应（时域）=L=e是一个指数函数可根据单位脉冲响应，获知被测系统的传递函数（锤击）。由图可知，用两点坐标值可定出K和T。第一节振荡环节的单位脉冲响应系统传递函数标准形式=按阻尼比的大小分析四种情况。1、无阻尼状态，即=0===时间响应：或者 2、欠阻尼状态，即0＜＜1（复习：衰减定理：；另外：）==时间响应为衰减的正弦函数。—无阻尼自由振动的角频率；—为有阻尼自由振动的角频率。3、临界阻尼状态，即=1=时间响应：=是两个相同的一阶惯性环节的串联。当t＞0，＞0，没有振动现象，称为蠕动。4、过阻尼状态，＞1===时间响应：是两个不同的一阶惯性环节的串联，图形同上相似，蠕动。第三节单位阶跃输入的时间响应输入信号：=1（t），则= 输出信号：=，一、一阶惯性环节的传递函数：=（由分解因式（而来）时间响应：=归一化处理（因输入是单位阶跃函数），其中通常认为：0≤t≤4T为瞬态响应，t＞4T为稳态响应。二、振荡环节的单位阶跃响应振荡环节的传递函数：==有无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼四种状态，着重分析欠阻尼。★★★欠阻尼状态：0＜＜1由上式的分母多项式，即 时间响应：（）===归一化处理：=由于高阶系统常用一个二阶系统来近似，故有必要对二阶系统的动态性能指标进行推算和定义。1、峰值时间来理：令，得又由： 即当n=1时是第一个峰，故2、峰值3、稳态响应值4、最大超调量%=%5、调整时间人们定义，波动量误差在0.02—0.05之间，系统进入稳态区域，在此之前的时段称为过渡过程，其时间称为调整时间或过渡过程时间。公式为：若系数，则上式更能满足要求。则若=0.02，若=0.05，★★★讨论、与各性能指标间的关系10若不变，↑不变，↓，↓。此时有利于提高系统的灵敏度。即系统的快速性能好。20若不变，↑↓，（＜0.707时）↓↓，（＞0.707时）↑若0.4＜＜0.8，=0.24—2.5%＜0.4时，↑↑相对稳定性能差。＞0.8时，↑↑、反应迟钝。30当=0.707时，均小，=0.4%。称=0.707为最佳阻尼比。例题、图为机械系统及其时间响应曲线（是由试验记录所得），输入=8.9N，求弹簧刚度系数k、质量m和阻尼系数c。 解：输入是力，即=8.9N。L—变换后，由左图，写出运动方程式。L—变换式中由稳态响应K=0、03=解得由超调量%=%=%==%则由 由由第四节高阶系统的时间响应若n阶系统传递函数的一般形式为：其中给系统以单位阶跃输入，则考虑无重根的情况，此时可化为分项分式=K时间响应：K分析：1、或是一些简单的函数组成，即由一些一阶和二阶环节的时间响应组成。其中一阶环节数为，为的实根数；二阶环节数为，为的共轭复根的对数。2、若系统能正常工作，当，应为零或为有界值，为此必须：10、m＜n，否则分项分式中存在整数项或sn项，其原函数不存在。举例说明：，其中m=3。n=2，m＞n则（补充说明数学定义：）在数学上有意义，实际中不存在，的导数及高阶导数不存在。物理意义：系统必然有质量、惯性，且能量又是有限的，不可能出现m＞n超能量系统。20即在中，s要具有负实根。在中，一对共轭复根。即，要具有负实部的根。否则，当时，不存在。举例：本例中具有负实根。，具有负实部。 当能恢复到零位。举例：当不存在。30、在中实部绝对值较大根所在的项，对系统影响很小，可忽略不计。工程上常用此法使系统降低阶数。举例：则当忽略绝对值较大根所在的项，得 第六章频率响应分析（频率特性分析）微分方程→是时间域中的数学模型传递函数→是复数域中的数学模型频率特性→是频率域中的数学模型第一节谐和输入时系统的定态响应一、谐和定态响应公式系统以谐和函数输入：设系统的传递函数为G，以S=代替，即G谐和传递函数输出：（幅值和相角在变化）其中：，是的模.同理：1°若；则2°若；则3°若则二、谐和定态响应的性质输入：；输出：；比较得：；由此得出以下结论：1.当系统以谐和时间函数信号输入时，系统的定态响应仍为谐合时间函数；2.响应函数与输入函数具有相同的角频率；3.响应函数与输入函数的幅值之比等于复变量的模→称为幅频特性；4.响应函数与输入函数的相位之差等于复变量的相位角→称为相频特性；5.复变量的函数形式与传递函数相同，仅以替代s；6.与是且仅是输入信号频率的函数，而与其它因素无关。三、频率特性谐和输入传递函数谐和稳态输出—频率特性；﹤—相频特性=；—实频特性；—虚频特性。=；若=则 为什么要对系统输入谐和函数？系统是由具体的结构元件组成，而结构元件有其自身的各阶固有频率，在力的作用下（任意力都可以展成富氏级数，是各谐和函数作用之和），若某个元件有故障，就有可能引起系统工作的不正常。故要在频率域内对系统进行研究。第二节频率特性极坐标图频率特性的极坐标图，又称乃斯特图（Nyquist），是研究在复平面上，当从0变到时，矢量的端点所描述的轨迹图。由此图可以直观地了解系统的动态特性。一、典型环节的极坐标图1、比例环节传递函数（频率特性）谐和传递函数=K其中=0，=K对于输入，输出2、积分环节传递函数（令） 频率特性：=幅频特性：=相频特性：（滞后900）定态响应：3、微分环节传递函数（令KT=1）频率特性：=；=； =0；=；（超前900）定态响应；4、二阶积分环节传递函数=-，=-，=0=，（滞后1800）定态响应；5、二阶微分环节传递函数 =-2，=-2=0，=2，（超前1800）定态响应；6、导前环节传递函数=1+jT，=1，=T，=，7、一阶惯性环节传递函数=，=，=-，， =是圆的极坐标方程，由于∠0，只是半个圆图形。8、惯性积分环节=，∠0，曲线在第3象限内。寻找渐近线。即当→0，=-T（直线），→9、振荡环节=（令K=1） 分析：随变化，由正→0→负，且＜0，曲线在第四、第三象限内。起点：过虚轴点：终点：=10、延时环节 ==1，（单位圆）11．振荡环节二、极坐标曲线的一般形式1、频率特性的一般形式线性系统频率特性（谐和传递函数）一般形式为：=幅率特性：=相频特性：其中指分子、分母的阶数。 当、、时，称系统为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型系统。2、极坐标曲线的起始状况当0时，有，同时10、O型系统（=0）起始于正实轴的（K，j0）点上。20、非O型系统（≠0）起始于无穷远处，且由实轴顺时针方向转过个象限。3、极坐标曲线的终止状况当→时，有，10、当n＞m时，，沿着某坐标轴趋向于原点，该坐标轴与正实轴的夹角为。20、当n=m时，，，即终止于实轴上的有限点（A，0）。4、K对极坐标图形的影响设有两个系统，则，=10、增益K的变化仅仅使极坐标曲线按比例放大或缩小；20、K值不同的两个系统，极坐标曲线同频率点的联线必过原点，这是因为该点与原点间的夹角相同。第三节频率特性的对数坐标图问题的提出：有了极坐标图，何必需要对数坐标图（Bode波德图）？乃氏图存在的缺点：10、绘制麻烦，需要很多点才能描绘曲线；20、不能明显地表示系统基本的组成情况；30、由极坐标图很难写出系统的传递函数。优点是可直观地了解系统的动态特性。一、对数坐标图概念设=，取自然对数，得由两部分组成，各自都是的函数，可分别考虑。即由乃氏图的一张图改为两张图。考虑到人们常用的习惯，改用log。定义：L（）=Log=Lg—幅频图。单位是“贝”，是两个信号的功率之比（这里考虑到功率与速度、电流、压强的平方成正比），即2=对数坐标图改为单位还是贝。 考虑的贝的单位过大，计算不方便，用“分贝”（dB）来表示。1贝=10分贝，故单位是分贝（这里的分贝是借用的概念，与专门作为计量单位的电平、声量的分贝不同）既然是的函数，可直接用直角坐标系来描述。★★★对数坐标图的优点。10、便于在较宽的频率范围内研究系统的频率特性。即，低频带得以拓宽，高频带得以压缩。纯线性坐标办不到；20、可将幅值的乘积转化为相加，对于绘制由多个环节串联而成的系统，在图纸上可直接叠加；30、可采用渐近线近似的作图方法，简化作图。接第六章二、典型环节的对数坐标图1.比例环节（1）K＞0时，（2）K＜0时，2．一阶积分环节（）（1）K＞0时，； 当=1时，当=10时，，全频带滞后9003．二阶积分环节（），全频带滞后18004．一阶微分环节（），，5．二阶微分环节（），6．一阶贯性环节（）， ，分析:(1)当＜＜0时，，(2)当＞＞0时，，(3)当=时，7．一阶导前环节（），8．振荡环节（）， ，分析:(1)当＜＜0时，，(2)当＞＞0时，，(3)当=时，（4）误差分析略（5）谐振频率与谐振峰值令，得（转角频率）当时，=；当时，=，无谐振现象。三、典型环节的对数坐标图的一般特点（总结）1.比例环节的幅频特性为的水平线。2.纯积分、微分环节的幅频特性为斜直线（=）二阶纯积分、微分环节，直线，积分为-，微分为+3.一阶惯性，导前环节，有两条渐近线：0db线+（二阶惯性，振荡系统（环节）： 0db线+（。转角频率W为：一阶四．一般系统的对数坐标图一般系统的谐和传递函数可表示为一些包括上述十种基本环节的连成积。即=K,则L(w)=20lg可以逐一环节叠加。例：G（s）=,作频率响应的对数坐标图。解：G(jw)=,按各环节化成标准型。=（1+j,1-）共有6个环节，即比例环节k=0.4；积分环节；一阶惯性环节（=1）；一阶导前环节（=2）；一阶惯性（=5）和振荡环节=10，按转角频率顺序，从小到大排列。排序：比例比例环节：20lgk=20lg0.4=-8db相当于把横坐标平移8db,不影响其他图形。 第四节由频率特性的实验曲线求系统的传递函数用实验方法确定系统的频率特性，又叫做系统识别。方法：由频率特性坐标图，估算系统谐和传递函数。一、做幅频特性的近似折线（渐近线）1.近似折线由若干个首尾衔接的直线段构成，衔接点称为折点。2.各线段必须是20db/dec的整数倍。3.折点分贝值与实验曲线在该频率处分贝值的偏差，取决于折点处的斜率增量，即前后段斜率之差。二、确定型级λ以及估算增益K频率特性一般形式：在低频处：即当ω→0时，此时，若视相当于x看，是一条直线方程。低频段曲线的斜率为：低频率段斜率的就是积分环节的作用结果1.确定。2.估算K。由低频段公式：10.若起始线段或者是延长线在处与0db线相交时，即时，则 20.在起始线段任取点（一点要在实验曲线上），便能得到相对应的分贝值，则若已知第一个折点，即可代入。三、确定最小相位系统传递函数最小相位系统定义是系统传递函数G(s)在右半复平面上既无极点，又无零点，最小相位系统的相角的变化范围最小（名称由来）。最小相位系统，在同一个中，有且仅有一个最小相位传递函数。1.若处折线的斜率增量为20db/dec（前后段斜率差），则有一个导前环节：　　　　　　　　　　　　　2.若处折线的斜率增量为-20db/dec，则有一阶惯性环节： 3.若处折线的斜率增量为40db/dec，则有二阶导前环节：，其中，ξ是由偏差（折线处）Δ而来。4.若处的斜率增量为-40db/dec，则有二阶惯性或振荡环节：，其中5.最小相位系统谐和传递函数及传递函数分别为：四、举例第七章控制系统的稳定性第一节稳定性的概述一、系统稳定性概念定义：当使它偏离初始的平衡状态或稳定响应的扰动（干扰）去除以后，系统能以足够的精度恢复到初始的平衡状态或稳定响应状态中。二、系统稳定的充要条件对于一般系统，其运动微分方程总可以写成如下形式（以此说明判据来源）当扰动去除后，即时，上式变为齐次微分方程，即：设解为，特征方程为（可求出n个根）齐次方程的通解形式为系统稳定的充要条件是： ，即说明都应具有负实部。在控制工程学科中，要用系统传递函数称为系统的特征方程式。系统稳定的必要条件是：“系统特征方程式的全部根在左半S平面内”，即无右极点。三、系统稳定性的判别方法1.李亚普诺夫的直接法2.李亚普诺夫的第一近似法3.胡维茨法（Hurwitz）4.劳斯法（Routh）5.米哈依洛夫6.乃奎斯特法（Nyquist）7.波德法（Bode）8.艾文思法（根轨迹法）第二节Hurwitz(胡维茨判据)的所有根的实部均为负值的充要条件是Δ为各阶行列式：对于2阶系统：对于3阶系统：.第三节Routh(劳斯判据)列劳斯表（注：1，2行直接写，其余靠计算得到） 其中:劳斯判据如下：特征方程式全部根的实部全为负值的充要条件，即是系统稳定的充要条件：a.第一列的各行值均不为零，符号全部为正；b.若上述值符号不同，系统不稳定。变号的次数即是特征方程具有正实部的个数。c.若第一列中有零值（临界状态），可设一个接近于零的正数ε（让），然后再按a,b项判别。举例第四节Nyquist（乃奎斯特判据）一、概念方法是：由开环传递函数来判断闭环系统的稳定性。开环传递函数：闭环传递函数：若是n阶系统，则特征方程仍然是n阶系统。建立一个中间变量，其中F(s)的分母多项式是开环传递函数的分母，即为开环传递函数的特征多项式。F(s)的分子多项式是闭环传递函数Φ(s)的分母，即为闭环传递函数的特征多项式。再把F(s)写成,的幅角变化为（）在复平面上，的轨迹是开环系统的图向右平移一个“1”单位量，也可以理解坐标轴向左平移一个单位量。要使中幅角变化为零，曲线不得过原点。即不能包围（-1，j0）点。 的图形=1+的图形结论：若系统在开环状态下稳定，则系统在闭环状态下稳定的充要条件是“它的开环频率特性曲线不包围复平面上的（-1，j0）点”。例1.，单位负反馈，判定系统是否稳定。解：开环系统是稳定的，因为S的单根是负的。绘制开环系统的乃氏图。闭环系统也是稳定的，因为开环乃氏图没有围住（-1，j0）点。不再列闭环系统的特征方程式。例2：所构成的闭环系统是否稳定。解：开环特征方程式的根，＞0，＞0，负实部，开环稳定。从开环图形看，（-1，j0）点没有围住，所组成的闭环系统稳定，无论，，参数如何变化，闭环稳定。 二、开环不稳定系统的乃氏判据开环不稳定系统，闭环可以是稳定的，能够工作，关于“穿越概念”自学。三、关于零根的处理在劳斯、胡维茨方法中都没有正面回答开环系统的特征方程式含有零根如何处理问题。如果中含有积分环节，假如是I型系统。有积分环节，具有零根。当时，→∞；当→∞时，→0。以无穷大为半径的假想圆弧相连没有围住（-1，j0）点，闭环稳定四、乃氏判据综合分析1.一阶系统的稳定性（看阶数，看型数）10.；20.；＞0，＞0，开环稳定。没有围住（-1，j0）点，无论K，T如何变化，一阶系统总是稳定的。 1.二阶系统的稳定性不含微分和导前环节。10.，两个一阶惯性环节串联。20.，振荡环节。30.，积分与惯性环节串联。40.，二阶积分环节。前三种都不围住（-1，j0）点，闭环系统稳定。第四种处于临界状态。K、T、的大小变化与前三种系统无影响。2.三阶以上系统的稳定性例.==-当时，，；当时，，；当时，，；当时，，。 是多少，决定闭环稳定性20.三阶以上的I型系统（不含导前环节）与K值有很大关系。从稳定角度看，阶数、型数越低越稳定，但跟踪能力差。30.在开环中含有导前环节的三阶以上系统在三阶以上系统中，在开环环节前加设导前环节，就有可能使本来不稳定的闭环系统变为稳定系统。40.增加局部反馈可降低开环系统的型级，能增加闭环系统稳定性的可能性。例题：，三阶Ⅱ型系统。 解：本例题为三阶Ⅱ型系统，通过增加局部反馈，能实现Ⅱ型变为Ⅰ型的目的。10.第一方案:，为三阶I型系统，阶数不能变。20.第二方案第五节对数坐标图的稳定性判据（Bode法）一、基本原理是Nyquist判据的另一种表现形式，但比Nyquist方法更直观。例如：现有两条曲线，曲线1的闭环系统稳定，曲线2的闭环系统不稳定现绘制一个单位图，单位圆与曲线相交点处的频率称为“增益交界频率”曲线与实轴交点频率称为“相位交界频率”。由图可知，当＜时，闭环稳定。 如何更直观表述？Bode利用对数坐标图来判断。频率点的对数值，即，即曲线穿越对数坐标的0分贝线；频率点是穿越相位点。二、Bode法稳定性判据1.对于开环系统稳定，闭环系统稳定的充要条件是：在的所有频率区间内，曲线在-1800线上无穿越，或正负穿越数为零。或者 1.若不存在，即当，＜1800，系统绝对稳定（指一、二阶系统）。第六节控制系统的相对稳定性一、系统相对稳定性的概念现象：一个理论上稳定的系统，实际工作中，系统受到各种干扰后不一定稳定。原因：数学模型建立的误差，参数精度误差，信号精度，干扰状态和测试精度等等。解决办法：要使系统具有一定的裕量，用稳定裕量表示。二、相对稳定性参数1.相位裕量——开环频率特性在增益交界频率处相角与-1800之差。Nyquist图 Bode图2.增益裕量——开环频率特性在相位交界频率处的幅值的倒数，即＞13.判据：＞0和＞1，，越大越好，表明系统相对稳定性能好。通常取≥300-600，＞2或者＞6db。三、增益交界处斜率对相对稳定性能的影响增益交界频率处幅频特性对数坐标曲线的斜线(db/dec)，对于最小相位系统，闭环系统的相对稳定性在很大程度上取决于。1.=-20db/dec无论起始斜率为何值，=900。相位裕量足够（尚需校正装置）。2.=-40db/dec=00，一般不足。3.=-60db/dec≤-900，系统不稳定。 '