《连续体力学》习题及解答7.doc 73页

'7弹性物质(一)概念、理论和公式提要7-1Cauchy弹性物质弹性是一个重要的流变模型，很多物质在一定的条件下都呈现弹性性质。弹性物质的显著特征是相对于参考构形，现时构形上的应力唯一确定于变形，与从的变形过程无关，与从所经历的时间无关(应力所作的功或应变能则不一定与过程无关)。这样的弹性物质称为Cauchy弹性物质。(1)Cauchy弹性物质的本构方程弹性物质的应力与变形史无关，所以Noll简单物质的本构方程为(7-1-1)是相对于给定参考构形对应于Cauchy应力的响应函数。上式表明，现时构形上的Cauchy应力唯一确定于变形的现时值。参考构形改变，响应函数要改变；应力形式改变，响应函数也改变。因此响应函数必定是相对于某参考构形，对应于某种应力的。客观性原理要求式(7-1-1)具有如下几种形式(7-1-2)(7-1-3)(7-1-4)(7-1-5)此处为简单计，对于不同的应变或变形采用了同一的函数记号。由上列本构方程可以导出对应于其他应力的本构方程(7-1-6)(7-1-7)(7-1-8)式中355 (7-1-9)(7-1-10)(2)Cauchy弹性物质的对称性各向同性弹性Cauchy弹性物质的本构方程一般地为如果物质对，则有(7-1-11)所以满足上式的(可限制为正常正交张量)构成弹性物质的对称群。对于各向同性弹性物质，式(7-1-11)中的可以是任意的正常正交张量。取，则式(7-1-11)变为(7-1-12)上式还应满足客观性原理，即(7-1-13)式中是任意的正常正交张量，这正说明，响应函数应是各向同性张量函数(参阅式2-6-14)，即有(7-1-14)式中的主不变量的标量函数。如果在式(7-1-13)中取，则得到式中为Lagrang型张量。将式(7-1-14)代入上式左侧，就得到(7-1-16)(3)弹性张量线性弹性已知Cauchy弹性本构方程(式7-1-8)(7-1-17)则有(7-1-18)(7-1-19)355 是四阶张量，称为弹性张量。其分量式为(7-1-20)且有(7-1-21)所以的81个分量中只有36个是独立的。的分量称为弹性系数。如果都是常数，称为弹性常数；这样的弹性物质称为线弹性物质。于是积分式(7-1-18)，注意到是常数张量，得到(7-1-22)此处假定参考构形是自然构形，在其上，。大多数物质在小变形条件下呈现为线性弹性，此时为小应变条件下的应变张量。于是上式可近似写成(7-1-23)可以证明，对于线性弹性，恒有上式表明，线性弹性物质只有21个独立的弹性常数。对于各向同性线弹性物质，应是四阶各向同性张量，即有(7-1-25)式中为任意标量。将上式代入(7-1-23)，得到(7-1-26)上式就是小变形条件下的广义Hooke定律的一种形式，为Lame常数。7-2Green弹性物质355 (1)弹性势函已知在参考构形上单位体积的应变能率为(式4-5-7)(7-2-1)式中，使得则有(7-2-2)称为弹性势函或应变能函数；具有弹性势函的弹性物质称为Green弹性物质或超弹性物质。由式(7-2-1)，弹性势函可以写作为简单计，经常将上式直接写成(7-2-3)对应于式(7-2-1)、(7-2-3)，有(7-2-4)(7-2-5)式(7-2-5)是用应变能函数表示的最一般的本构方程，它包括了Seth类应变。可以看出。由式(7-2-4)可得(7-2-6)(7-2-7)上式表明，超弹性物质的独立的弹性系数只有21个，所以，①存在一个弹性势函，或者②只有21独立的弹性系数是Green弹性与Cauchy355 弹性的主要区别；或者说，Cauchy弹性要求现时应力唯一确定于现时变形，与变形过程无关，而Green弹性则不只现时应力而且应力作功(应变能)都与变形过程无关。显然，线性弹性总是超弹性的。(2)Green弹性物质的客观性和对称性由式(7-2-1)可见，弹性应变能是客观的标量值张量函数，且有。其中因此符合客观性要求的弹性势函必需满足(7-2-8)令，上式变为(7-2-9)上式表明，弹性势函的客观性等价于物质单元在纯变形之后叠加任何转动，不影响其应变能函数的值。前已说明，如果Cauchy弹性物质对对称，则有为此对应，Green弹性物质如果对对称，则应有(7-2-10)相应地有(7-2-11)(7-2-12)于是Green弹性物质如果对对称，则弹性势函应满足由于如果是物质的对称元，则也是它的对称元，所以上式又可写成(7-2-13)上式是物质的对称性对弹性势函的限制。355 对于线性弹性(用)，则有将就可得到对于弹性常数的附加条件，这将使独立的弹性常数的数目减少。还可导出，如果Green弹性物质对对称，则本构方程应满足(7-2-14)这是对称性对Green弹性物质的本构方程的限制。(3)各向同性Green弹性物质的应变能函数对于各向同性Green弹性物质，对称群包含所有的正常正交张量，即在式(7-2-13)和(7-2-14)中，可以是任意的正常正交张量。根据式(2-6-11)和(2-6-13)可见，应变能函数的各向同性标量函数和张量函数，即(7-2-15)(7-2-16)上式分别是Green弹性物质的应变能函数和对应于应力的本构方程；式中的主不变量，的主不变量的标量函数。又从弹性势函既要满足对称性，又要满足客观性的要求，应有对于各向同性物质，可取为任意的正常正交张量。于是分别将，将分别得到(7-2-17)上式表明355 给定时，对任意的正常正交张量都成立。于是可将式(7-2-17)改写成(7-2-18)由上式可见，各向同性弹性物质的应变能函数应是的各向同性标量值函数，亦即它是的主不变量的标量函数(7-2-19)或中(7-2-20)是主伸长比。因为，所以也可以写作的主不变量的函数，即在式(7-2-19)中，也可取(7-2-21)从式(7-2-20)和(7-2-21)可见，各向同性弹性物质的应变能函数也可写作(7-2-22)但必须是的对称函数，即满足(7-2-23)实际上的对称函数。根据式(7-2-5)。如果将的对称函数，记的主值为，则(7-2-24)例如，对于Seth类应变，355 (7-2-25)的主值为(7-2-26)于是为(7-2-27)当时，得到(7-2-28)结合式(7-2-27)和(7-2-28)，可得(7-2-29)于是可用上式由。已知为(7-2-30)其中(7-2-31)的主值。由式(7-2-30)和(7-2-31)，可得(7-2-32)在式(7-2-29)中取，得到(7-2-33)由式(7-2-32)和(7-2-33)，并注意到式(7-2-28)，得到(7-2-34)注意到是Lagrange型张量，是Euler型张量，它们的主值相同，因此式(7-2-34)的直接表述为(7-2-35)355 (4)各向同性不可压缩Green弹性物质的本构方程由于物质不可压缩，，所以应变能函数为(7-2-36)式中的第一和第二主不变量。约束方程为(7-2-37)由式(7-2-1)及，有(7-2-38)在式(7-2-36)中，取的主不变量，应用式(2-6-5)，可得式中于是上式变为将上式代入式(7-2-38)，得到(7-2-39)对于不可压缩物质，约束方程为式(7-2-37)；于是只要括号中的值为或(为任意标量)，都能满足上式，即有(7-2-40)或者(应用C-H方程消去)(7-2-41)已知各向同性Cauchy弹性物质的本构方程为(式7-1-14)应用C-H方程，可将上式写成常用的形式(7-2-42)对于不可压缩物质，上式应修改为(参阅式6-8-6或6-8-8)(7-2-43)此时的第一和第二主不变量的标量函数。比较式(7-2-41)和(7-2-43)355 ，可得(7-2-44)所以，只当式(7-2-43)中的满足下式时，物质才是超弹性的(7-2-45)7-3各向同性弹性物质的若干应变能函数的表达式下面介绍几种常用的应变能函数(7-3-1)(7-3-2)(7-3-3)为有限的正整数。式(7-3-3)表示的应变能函数同橡胶类物质的实验数据有很成功的一致性。以下是用表示的应变能函数(7-3-4)上式称为Mooney或Mooneg-Rivlin应变能函数(7-3-5)上式是Treloar或Neo-Hooke应变能函数，是适用于橡胶类物质的最简单的模型。(7-3-6)；这个应变能函数适用于生物软组织。(7-3-7)355 上式称为Rivlin-Saunders应变能函数。式中为常数，为一元函数，且有。对应于式(7-3-6)和(7-3-7)的本构方程分别为(7-3-8)(7-3-9)对于式(7-3-1)的一个如下具体形式(7-3-10)按式(7-2-34)可以求出(7-3-11)如果(材料不可压缩)，则(7-3-12)7-4热弹性物质的本构方程热弹性物质是经历热力学过程的弹性物质，在它的本构方程中要引入热力学变量。热弹性本构方程一般可写作(7-4-1)(7-4-2)(7-4-3)(7-4-4)上式即式(6-6-1)对应于弹性物质的情况。热力学第二定律为(式5-3-10，但)355 对于弹性物质，，上式变为(7-4-5)由式(7-4-3)于是式(7-4-5)可写成(7-4-6)注意到是速度梯度，上式又可写成(7-4-7)上式对任意的都成立，由此得到(7-4-8)(7-4-9)(7-4-10)上式表明，的函数。于是热弹性本构方程最后表示为(7-4-11)由于，所以热力学第二定律为(7-4-12)可以证明，当物质的导热能力有限，即必然导致，即热流直接依赖于温度场的梯度。355 还可证明，在均温情况下，弹性变形都是纯力学的，的函数(假设讨论小变形情况)，温度只作为参数出现在中。(二)习题和解答7-1设与具有如下的弹性本构关系已知函数是对称张量。解由，导致由上式可得是对称张量。提示：是Green应变张量，常简记为Kirchhoff应力。7-2试举例说明，虽然Cauchy应力独立于参考构形的选择，但功共轭应力张量却与参考构形的选择有关。解设有两个参考构形，其变形梯度之间有下列关系。对于功共轭应力，它们与有下列关系相对于参考构形，则有355 上式表明。7-3设弹性物质的本构律为，这个物质对于对称，且有。证明是现时构形的质量密度。解弹性物质对对称，则有(a)式中只要满足条件，其中，则，因此是此物质的对称群的一个元素，令，则响应函数应满足下式(或式a变为)上列响应函数应该满足客观性原理，即有(b)上式对所有的正常正交张量应是各向同性张量函数，即有(c)，式(c)最后可写成上式是非粘性可压缩流体的本构方程。本题结果表明，流体的对称群是正的单模群，即等容变形不影响流体的力学状态，在体积不变的条件下，无论参考构形如何变化(称为等容变换)，流体的响应函数不变。这正是流体区别于固体的特征之一。7-4如果上题的弹性物质对对称，但是正常正交张量，即，证明解令，则由对称性上式应满足客观性原理，即满足下式355 式中是任意正常正交张量，因此的各向同性张量函数，即有上式是各向同性固体物质的本构方程。7-5比较下列两式应用Cayley-Hamilton定理，用。解C-H定理表示为(a)式中的不变量的标量函数。由式(a)可解出(b)用遍乘上式，得到(c)将式(b)代入式(c)，再将式(b)、(c)代入的第二个表达式，得到用表示的式子。将上式与题给的第一式进行比较，得(d)由式(d)可解出(e)或者由式(b)、(c)，解出355 再代入题给第一式，并与第二式进行比较，即得式(e)。7-6证明受到内部约束的弹性固体物质用Cauchy应力表示的本构方程可写成如果物质是不可压缩的，试导出其本构方程。解内部约束方程为，则根据可令的不确定应力。于是总应力为(a)如果物质是不可压缩的，则内部约束方程为代入式(a)，并按一般习惯，将，得到如果物质是各向同性的，则(参阅习题7-4)7-7已知，于是约束方程可等价地写成。此处是Green应变，记作。写出弹性固体材料的本构方程。解已知应力功率为，可得355 记不确定应力为式中为任意标量，则有，从而的响应函数。7-8如果有个独立的内部约束试推导式中是没有内部约束的物质的响应函数。证明，如果材料在参考构形内有两个不可伸缩的方向，Cauchy应力可表示成指出可实现非零变形的内部约束的最大个数是多少。解由题给的约束方程，可得令为对应于的不确定应力，则有于是355 设材料在两个方向上不可伸缩，则约束方程为：或于是的非确定应力为Cauchy应力的表达式为(参阅习题7-6)已知各有6个独立的分量；因此，当材料的独立的内部约束大于或等于6个时，就不能实现实际的变形。所以可实现非零变形的独立约束不能多于5个。7-9证明不可压缩弹性固体要实现非零的平面变形，至多只能存在一个(面内的)可伸缩的方向。并证明，如果存在这样一个不可伸缩的方向时，变形必然是简单剪切。如果材料是各向同性的，面内的Cauchy应力分量可写作解(1)平面变形只有三个独立的变形分量，要实现非零平面变形至多只能有2个内部约束；不可压缩是1个内部约束，于是至多只能有1个(面内的)不可伸缩方向。(2)平面变形、等容变形及在一个方向不可伸缩是简单剪切的三特点或三要素。设不可伸缩方向(即剪切方向)是，变形平面是平面，则简单剪切的变形梯度的分量矩阵为355 为剪切量。(3)本题给出的内部约束有两个，其约束方程分别为于是，Cauchy应力表述的本构方程为(参阅上题并参照习题7-6)(a)式中(b)(c)以上都是相对于基的分量矩阵。将式(a)写成分量矩阵，并将式(b)、(c)代入，可以得到(只写出面内的应力分量)证毕。7-10是Lagrange355 主轴。证明(1)不求和；(2)设的主不变量，则有解(1)的主值，因此有取基则上式可写成的导数为于是注意(参见习题2-39)。(2)先计算，由于，于是注意到，可类似地求出又已知355 于是易于求出应用C-H方程，，将此式遍乘，得到因此又有本题的另一种证法。已知。于是有由上式可得(a)式中此处的主不变量。于是(b)将式(b)代入(a)，并按的幂次集项，可得355 以，即得所要证明的结果。7-11设的主不变量，证明解先求。于是设，且为Lagrange型张量，则于是(记)355 7-12设将Cauchy弹性材料推广为广义弹性材料，其本构方程为式中是Euler型张量值张量函数。试推导各向同性广义弹性材料的本构方程。解题给本构方程要满足客观性原理，必须满足下列条件(a)上式对所有的正常正交张量都成立，于是式(a)的前一个等式表明，的各向同性张量函数，即有又设材料对对称，则有由于材料是各向同性的，可以是任意正常正交张量，了取，于是有此处为简单计，对于不同的变量采用了同样的函数符号。于是客观性原理要求满足下式上式对任意的都成立，表明的各向同性张量函数，即(c)后一等式是应用C-H方程消去所得到的结果。结合式(b)和(c)，得到题给各向同性广义弹性材料的本构方程为355 7-13设弹性材料的应变能函数为，试讨论的客观性。解已知，式中于是积分，可得上式表明，相同，只主转动张量不同，所以有上式又表明，是客观的标量值张量函数。上式可作如下解释；弹性贮存能(即弹性应变能)与在给定的变形之后叠加的刚性转动无关。7-14设Green弹性材料的对称群是正交群，即有(a)上式对所有的正交张量成立。证明(b)解应变能函数应满足客观性要求于是结合对称性(式a)，得到(c)令，分别代入式(c)，就可得到式(b)。式(b)表明，和都是各向同性标量值张量函数，它们对所有正交张量成立，包括。7-15设有，证明：意味着=。解已知以及355 式中是不变的。于是由上式可得于是得到7-16记的主不变量。证明对于各向同性材料，有解记。于是有(a)对于各向同性Green弹性材料，的主不变量，也是的主不变量。于是式(a)可写成(b)注意到，所以式(b)最终可写成7-17的主不变量，设某各向同性弹性固体的应变能为(1)对Cauchy应力张量，推导355 并用。(2)证明(3)推导不可压缩材料的相应结果。解(1)对于Green弹性固体材料，设应变能函数为，则有(a)式中Green应变张量。已知，、的主不变量。于是有(b)的主不变量，易于证明用主伸长比，就可证明以上关系式。于是(c)将式(b)和(c)代入式(a)，并记求和，得到注意到，上式可写成355 再应用C-H方程消去上式中的，得到将含的项合并，上式可大为简化，最后得到与比较之后，且注意到，可得(d)式中。(2)已知是同轴的(见上面的结果)，材料是各向同性的，因此可写作的对称函数。且记的主值(主应力)，则有在上式中对不求和，及已知代入原式，得到355 或者按轮换指标，可得从以上两式易得(3)对于不可压缩材料，写成为Lagrange乘子。于是，将此值及代入式(d)，并注意到得到(f)当，再加上不确定应力，式(e)变为(g)7-18设应变能函数为，求反射对称对所加的限制。此处，空间和物质坐标系取为相同。355 解若物质对对称，则应变能函数应满足下式于是，与上式等价，应有所以上式可写成(a)如果是正交张量，即，则材料对亦对称，于是式(a)又可写成设坐标面为反射平面，则的分量矩阵为(b)这表明，于是式(a)的分量表示为即在等号两侧，符号相的反。为使函数相等，必然是，的函数。由此可见，如果材料对非正常正交张量对称，例如对式(b)所示的对称，则可能是上列7个项的函数，这就是这种对称性对的限制。7-19设各向同性Green弹性固体材料的应变能函数为，承受下列内部约束其中是单位矢在Lagrange主轴上的分量，是主伸长比。(1)证明(2)如果，它与点的位置坐标无关，即355 是固定的，说明这个变形运动等价于无内部约束时正交于平面内的平面变形。(3)证明，只要沿Lagrange主轴之一，则同轴。提示：对于各向同性具有内部约束的固体，功共轭的应力和应变一般地是不同轴的，这一情况与无内部约束时不同。解(1)证明方法有两种(a)对于无约束的各向同性Green弹性材料，本构方程为(a)有内部约束为或者(b)题给约束方程可写成于是代入式(b)，得到(c)于是，结合式(a)与(c)，总应力为(b)已知，于是已知355 的对称部分是相等的。又。于是式中是对称张量，已知对称部分相等，所以上式可写成设的不确定部分，则有或者与第一种方法所得结果一致。(2)当是固定单位矢时，表明在方向，因此这个变形等价于没有内部约束时的平面变形；相应地的不确定部分为(3)已知的确定部分(依赖于变形的部分)为，即与，不确定应力为上式表明同轴。7-20设各向同性Green弹性材料是不可压缩的，证明式中。解已知没有内部约束的Green弹性材料，本构方程为(式7-2-27)(a)此处。当Green弹性固体材料受到内部约束功共轭的应力355 的不确定部分可以应用2种方法确定。(a)设约束方程为为(式6-8-13)(b)由于的非确定部分为(c)已知，由式(a)可得或者于是的非确定部分为对于不可压缩材料，于是(b)另一方法由，可得于是由于同轴，位置可以互换，于是上式可写成式中的对称部分相等(请读者证明这两个结论)，因此上式又可写成355 于是应满足下式：或者(e)当时，则有(f)我们又得到了上题的结果(其中)。如果材料是不可压缩的，，代入式(e)，得到所以总应力为证毕。7-21设不可压缩的Green弹性材料在固定方向上是不可伸缩的，证明Cauchy应力张量表达的本构方程可表示为下式式中是Euler主轴，。解这个材料受到两个独立的内部约束。在习题7-19中，已求出材料在方向不可伸缩时，有下列关系(材料是各向同性的)355 注意到当材料不可压迫时，。对应于不可压缩的Cauchy应力的不确定部分为；于是对于题给材料由上式及不可压缩的条件，可以得到用表述的本构方程为应当指出，在上式中，上的分量，在数值上等于上的分量。实际上，由习题7-19的解中，已得的不确定部分的张量表述为式中上的分量：7-22设Green弹性材料的应变能函数为是的主不变量。证明名义应力张量可给出为推导材料不可压缩时的对应表达式解。于是利用C-H方程，上式中的乘因子可简化为。于是最后可得355 证毕。当材料不可压缩时，的不确定部分为所以7-23设弹性材料的应变能函数为如果材料是不可压缩的，，则证明，当材料无内部约束时，有当材料不可压缩时，则有式中是Cauchy应力的主值，为主伸长比，是非零常数，为任意标量。解在参考构形内，，所以在没有变形时，。于是对于所给的应变能函数，已知有(以下对不求和)(a)此处用到。当材料不可压缩时，，Cauchy应力的不确定部分为()，所以355 (b)当时，不可压缩材料内将存在一静水应力。7-24应用上题中的本构方程(式a和b)讨论有侧向收缩的均匀拉伸变形。解设圆柱体沿其轴向均匀伸长，因此这是变形的一个主轴，以表示该方向的主伸长比。根据对称性，另外两个主伸长比相等，可以写作。由于材料是各向同性的，Cauchy应力与变形是同轴的，其主方向分别沿着和正交于圆柱的轴线。于是，对于无内部约束材料，按上题的式(a)有(a)(b)当变形属简单拉伸时，由式(b)可得(c)将式(b)代入式(a)，得到(d)式(c)和(d)提供了用的表达式。上式表明，给定，可唯一确定；反之，给定，不能唯一确定；这是非线性问题和线性问题的重大区别。根据物理的直觉或观察，侧向主伸长比增长而递减，以及伸长要求，式(d)意味着(e)而且还可看到，当，从而=；于是由式(c)可得当。这表明，拉伸将伴随体积增长。这一点是与物理解释相符的；因为在简单拉伸情况下，平均应力，所以体积是增长的。当材料不可压缩时，按上题的式(b)有355 当，于是显然应有。另外，如果在式(b)中令，得到即如果在轴向均匀拉伸时，在侧向施加应力，则圆柱体的体积不变，但材料是无内部约束的，只不过加了侧向应力之后，变形是等容的。7-25试用习题7-23的本构方程(式a和b)讨论纯膨胀变形。解按题意本构方程为(a)(b)对于纯膨胀变形，三个主伸长比相等，应力是静水应力，设，Cauchy应力的主值(按式a)为显然，，材料的体积增加(或减少)，这正与物理直觉一致。下面讨论两个极端情况，即，相应地这一般地只有数学上的意义，以及在证明边值问题解的存在性和唯一性时有重要作用。当材料不可压缩时，为不定值。7-26本构方程与上题相同，分析双轴等拉变形。解取一材料正方形薄片，在面内沿边长的主伸长比为355 ，则正交于薄片方向的主伸长比为。由于材料是各向同性的，应力主轴也平行于边长和正交于薄片。如果正交于薄片的方向没有应力，则应用上题的本构方程(式a)，可得这里已用到，即所得应力状态称为双轴等拉。其中的意义类似于简单拉伸。对于不可压缩材料，应用上题的本构方程(式b)及，可得7-27应用上题的本构方程分析简单剪切变形。解根据题意，材料的本构方程为(a)当材料不可压缩时，(b)设剪切方向为，则简单剪切的变形梯度为为固定的标准正交基。设Euler主轴给出为(c)逆时针量的角度。已知(此处)，，主伸长比为(以上结果见第3章3-3(5))。Cauchy应力张量可写出为(d)设，则有(e)355 将式(c)代入(d)，再与式(e)比较，可得之间的如下关系(只写出面内应力)(f)由上式可得，，再与式(f)的第二式相结合，并注意到，易得(g)上式建立了面内应力分量之间的一个关系式，它独立于本构方程，因而属于普适关系(对简单剪切)。现在应用本构方程(式a和式b)，分析简单剪切变形中的应力(注意)由上列本构方程可分别得到(注意)(h)(i)式(f)可改写成(j)式中(注意)355 (k)将式(h)和(i)分别代入式(j)，并将式(k)代入，将分别得到(l)(m)以上分析结果表明，要实现简单剪切变形，一般地仅仅施加剪应力是不够的，还需要施加法向应力。下面考察在参考构形内正交于(图7-1)。图中(参见第3章3-3(5))。于是右侧面的法线和切线方向分别为图7-1355 左侧面的法线方向为。应用应力转轴公式，易于求得如果对材料不施加法向力，则在剪力作用下一般都将引起体积和形状的改变，变形不属于简单剪切。在没有法向应力时变形过程中出现的体积改变称为Kelvin效应，而法向应力的不等性()通称为Poynting效应。对于不可压缩材料，变形总是等容的，所以不存在Kelvin效应，但是仍然需要施加一定的法向应力才能实现简单剪切变形。在小变形情况下，相比属高阶小量，可以略去不计，从而Poynting效应就可略去。因此在经典线弹性理论中不出现的情况。7-28设不可压缩材料的应变能函数为证明在简单剪切变形中，相对于基为(参阅上题)对于Mooney应变能函数，证明。解如上题，设剪切变形是在是剪切方向。对于不可压缩材料及简单剪切变形，有。记为Cauchy应力张量的主值，则有已知，于是355 Cauchy应力与同轴，因此(a)相对于基的分量式为(b)另外，有将上式代入式(a)，并与式(b)比较，可得或者Mooney应变能函数为于是按式，得所以上式表明线性依赖于。7-29试求正交异性线弹性物质独立的弹性常数的个数。解正交异性弹性物质具有三个相互正交的对称平面，如果将这三个对称平面取为笛卡尔坐标系的坐标平面，则物质对下列三个正交张量对称，即物质的对称群包含下列三个正交张量。355 于是根据。将分别代入以上式子，易于得到正交异性线弹性物质只有下列九个独立的弹性常数：一般将本构方程写成以及7-30试求横观各向同性线性弹性材料弹性常数的个数。解所谓横观各向同性弹性体是指在正交于某特定方向的平面内具有等向性的弹性体，亦即对称群包括所有绕旋转的转动张量。设，则在平面内物质具有等向性；因此可将这类物质看作正交异性物质的一个特例；物质的独立的弹性常数将进一步减少。在所选取的坐标系内，在上题的结果中，应有这就减少了三个独立的弹性常数。由于物质在平面内是各向同性的，所以可进一步讨论平面应力状态，即非零应力分量有再设，这是纯剪切。在小变形条件下，这个应力状态的主应力355 为于是由上式得到式中。因此这类物质只有5个独立的弹性常数。如果采用上题的符号，则有本构方程可写成以及7-31设弹性材料的应变能函数为变形运动为是的主不变量。求应力。解由题给的变形运动，易于求出355 于是按式可求出的分量矩阵按式。7-32设弹性物质的应变能函数为为常数，求本构方程。解按式，可以求出例如7-33设应变能函数为为比内能，试根据能量守恒方程分别是参考和现时构形内的355 密度。又设，试根据能量守恒方程，推导。。解已知，按题给条件有又知，代入上式，得上式对任意的都成立，所以类似地上式对任意的都成立，所以由上式可得7-34在小变形情况下(1)证明线弹性静力学问题用位移表示的平衡方程为(2)将上式写成张量的抽象表述；(3)当，上式右侧第二项失去意义。证明，当时，上式可写成355 式中为剪切弹性模量，为Poisson比。解(1)用应力表示的平衡方程为线弹性本构方程为式中为Lame常数，。线性几何方程为将几何方程代入本构方程，再代入平衡方程，就得到用表示的平衡方程为(a)在推导上式中，用到了。(2)按式上式对求导，及，得到当，上式变为所以当，式(a)可写成(b)(3)式(a)的抽象写法为355 7-35根据的典则表示式(第2章式2-4-42)，并假定，及是固定的；证明反称张量的分量矩阵为解的典则式为相对于基的分量矩阵为及(因是固定的)于是上式表明，反称张量的旋转速度张量(旋率张量)。事实上由的分量矩阵可写出它的分量式这是一个反对称张量，其轴矢量为7-36各向同性弹性材料的本构方程为(1)式中为Cauchy应力张量的主值(主应力)，为主伸长比；都是355 的对称函数。设存在一函数，使得(2)证明式(2)是式(1)存在的必要和充分条件。解充分性。若式(2)存在，则Cauchy应力张量与左Cauchy-Green变形张量同轴。当互不相等时，则根据习题2-36，是线性无关的，所以有或者充分性得证。必要性。当式(1)存在时，则有(4)因为的对称函数，于是的对称函数。从而存在一个函数使得必要性得证。7-37各向同性弹性本构方程为。于是式(1)可写作(1)式中的主不变量的标量函数。记(2)355 是4阶张量，称为弹性张量。证明在的主轴坐标系内(3)(4)(5)其它分量为零。并说明，这9个非零分量分别是拉伸的切线模量和剪切的割线模量。解由式(1)可得(6)(7)在任选的标准正交基内(8)于是(9)其中用到了355 由式(9)可得易证其他分量为零在主轴坐标系内，于是得到由式(6)、(7)及(1)，可以得到在拉伸情况下，和曲线的切线模量。当，所以是剪切割线模量。7-38已证(参见上题)355 证明：解对于各向同性Cauchy弹性材料，本构方程为(1)上式存在的充分和必要条件是存在一个函数使得(见习题7-36)(2)(3)上式表明即的变化值相同，或者因是连续函数，所以上式的极限存在，即因此处是讨论各向同性Cauchy弹性材料，其弹性张量不具下列对称性因此。7-39设各向同性弹性材料的本构方程为(1)物体经历简单剪切变形，其变形梯度相对于基的分量矩阵为355 (2)是剪切量。证明(3)为主伸长比。又证(4)解由式(2)可以求出(5)将上式代入式(1)，得到(6)式中的函数。由式(5)易见(7)于是的特征方程为355 或者上式的解为式(3)得证。从式(6)易得剪应力(8)上式表明，也反号。由式(1)可得或者(注意到)(9)由式(6)还可得到(10)(11)(12)以及与无关的普遍关系式(13)355 由式(13)可见，如果，这是不可能的，除非认为(按式8)，即物质不能承受任何剪应力(流体)。在下题中还将进一步讨论这个问题。在简单剪切变形中正应力不相等的现象称为Poynting效应。Poynting曾注意到如同式(11)和(12)的公式，并推断如果对块体只施加剪应力而没有正应力，则块体的表面将按正比于的值或是分开，或是靠近。事实上由式(6)可得平均应力为(14)这样一种平均应力的出现称为Kelvin效应。如果不施加对应于式(14)的静水应力，被剪切的各向同性弹性体将趋向于按正比于的值收缩或扩张(视式14的符号而定)。7-40续上题。证明参考构形内，平面在现时构形内的正应力剪应力分别为(1)并讨论的情况。解设物体的剪切角为。于是可算出根据张量(平面应力)转轴公式(图7-1)355 图7-1(3)将式(2)代入上式，得到式(1)得证。由式及上题的式(13)，又可得与无关的普遍关系式(4)当时，属于小变形问题，此时由式(4)可得然而，如果；所以严格地说，两个正应力相等是不可能的。更一般地，如果响应系数在参考构形上是可微的，则有(5)于是，按上题的结果式(11)和(12)，正应力的不相等(即正应力之差)一般地是的二次效应。同样，由上题的式(14)可见，如果未畸变构形是自然构形，则在参考构形内；于是由上题的式(6)可见，在参考构形内(6)如果式(5)仍成立，则上题的式(14)可写成可见，Kelvin效应也是剪切量的二次效应。7-41续上题。如果材料是不可压缩的，讨论块体承受简单剪切变形时的应力。解由于简单剪切是等容变形，但当材料不可压缩时，仍然存在非确定应力，即在习题7-39的式(6)中、要加入非确定应力，即355 式中(见习题7-39式8)。Cauchy第一定律，要求，但其值未定。由于材料不可压缩，Kelvin效应不存在，但Poynting效应不会消失。由于可任意选取，因此总可选取的值，使得，或诸族平面中的一族平面上没有正应力。如果选取，则由式(1)可见(2)上式再次表明，；同时，上题中的式(4)依然成立，所以。另外，式(2)也是对响应系数的一个直接的解释。7-42试推导Neo-Hooke材料的本构方程。解Neo-Hooke材料是各向同性不可压缩的Green弹性材料，其应变能函数为(见式7-3-5)(1)式中是常数，的一次主不变量，即为主伸长比；于是式(1)可写成(2)根据式(7-2-34)，，可得(3)式中是Cauchy应力张量的主值。将式(2)代入式(3)，得到355 或者7-43给出变形运动为常数。求对应于Mooney应变能函数的应力。解Mooney应变能函数为(1)式中的一次和二次主不变量，=。按式(7-3-4),将式(1)代入上式，得到其中于是(2)由式(1)可计算出355 (3)将式(3)代入(2)，就得到所要计算的应力。7-44试由Coleman-Noll条件(C-N条件)(1)推导广义C-N条件(GCN条件)(2)此处的对称正定张量。解式(1)可写作(3)将式(3)中的互换，然后与式(3)相加，即得到式(2)。证毕。7-45应变能函数外凸的条件为对于各向同性材料，有外凸的条件为355 式中。现设证明所给定的应变能函数是外凸的。解由题给的，可得于是证毕。7-46设应变能函数为，则有(1)又根据客观性原理，知(2)证明(3)式(3)是为标架无关量的条件。解根据式(1)及(2)，可得由以上二式可得积分上式，可得355 (4)对应力没有影响，不失一般性，可取。于是式(3)得证。注：①从式(4)可得应用正交群的理论，Noll曾证明。于是对应力无关紧要的附加项的确为零。②本题与习题7-15是互为逆命题，只不过在习题7-15中，用表示。7-47证明①的标架无关将导致的对称性；②的对称性。解①的客观性要求(参见上题)式中为任何正交张量，取。于是如果应变能函数是客观的，则必有(1)于是(2)因为是对称张量，亦为对称张量，因此有(3)将式(3)代入(2)，得到355 (4)再将式(4)代回式(2)，将得到由上式可得或者(5)再按式可见，式(5)导致为对称张量；于是我们证明了的客观性必然导致的对称性。②的下列表达式(6)可见，如果是客观的，则为客观的，于是由上面的结果(式4)，上式可写作已知是对称张量，所以，上式表明为对称张量。亦即的客观性(通过式6)导致的对称性。7-48证明所有弹性流体都是超弹性的，其应变能函数为(1)355 解弹性流体的本构方程为(2)于是单位质量的应变能率为(3)根据质量守恒定律，有将上式代入式(3)消去，得到于是单位质量的应变能为7-49设弹性材料的Cauchy应力响应函数，则有。又该材料的应变能函数为，试证(1)解已知，于是有由以上的两式可得(2)此处已用到。对于具有应变能函数的超弹性材料，式(2)可写成(3)式中为不变的张量。记355 则由上式可得或者将上式代入式(3)，得(4)积分上式，得到上式对任何变形梯度都成立，令，可得上式是超弹性材料对对称的充分和必要条件。由此可见，Cauchy应力响应函数的对称群不等同于应变能函数的对称群。现设在的对称群中，有部分元素，则式(1)变为(5)上式表示，这样的的对称元素。记的一个子群。注意到，时，则有。于是，如果材料的对称群属于正交群，则有，即355 7-50各向同性弹性材料在无限小变形下的本构方程为(1)式中为小变形下的应变，为记为小变形下的转动。①求弹性刚度②设平面内的简单剪切变形中，平面沿方向的剪切量。证明(2)③设参考构形内的体元，证明(3)④设证明(4)⑤由式(1)可得(5)对以上两式作出力学解释。解①由式(1)可求出弹性刚度为(6)上式表明355 (7)②题给简单剪切的变形梯度的分量矩阵为于是位移梯度的分量矩阵为所以的分量矩阵为即式(2)得证。③其中可以略去，所以式(3)得证。④根据题给不等式，有(应用式1及7)其中355 的偏张量。于是，所以上式要求式(4)得证。⑤上面已证，所以式(5)表明，在无限小变形中，剪应力应指向实际剪切的方向，式则表明，平均压应力对应于体积减小，平均拉应力对应于体积增加。7-51对于均匀变形运动，其变形梯度只是时间的函数，运动方程为(1)设比体力Cauchy第一定律为(2)试求出式(1)中的。解简单材料的本构方程为；由于变形梯度只是时间的函数，所以本构方程简化为从而。于是式(2)化简为(3)将式(1)代入式(3)，得到由上式可得(4)于是355 (5)式中是任意非奇异张量，是任意的固定点。7-52续上题，已求出，求速度梯度。解已知速度梯度为，又由上题中的式(5)，可求出所以本均匀变形运动的速度梯度为7-53续上题。证明习题7-51中的均匀变形是等容变形的充分和必要条件为(1)解充分性。证明若式(1)成立，则。实际上(2)其中(3)式中。将式(1)和(3)代入式(2)，得到。充分性得证。必要性。由式(2)及(3)可得如果，必有必要性得证。355 7-54试说明前题中的为非奇异张量的条件。解张量为非奇异张量的条件是(1)已设的条件是(2)(3)①由式(2)可见，当。但是是任意的二阶张量，(见习题7-51)，所以，一般地无从谈论其特征值的问题。②由式(3)可见，在某时段；其中不排斥例如，在等容变形中，(参见上题)。于是式(3)表明，在时段之内，包括，都可保证变形运动是非奇异的。7-55证明简单剪切变形是等容均匀变形，且有。解在笛卡尔坐标系内，简单剪切变形的变形梯度为(分量矩阵)(1)上式表明，，所以简单剪切是均匀变形。将式(1)与习题7-51中的式，相比较，可见(2)从式(2)易见，。所以简单剪切是等容变形。355 7-56均匀变形的另一典型例子是均匀纯变形，即(1)证明，应满足下式解从式(1)。按式(3-8-13)，有其中，所以上式要求(3)现在，由式(3)可见，同轴(或可交换的)；而同轴，即式(2)得证。7-57续上题。对于均匀纯变形运动，证明：①如果，则的主方向(Lagrange主轴)是固定的，即其中为固定不变的单位矢量。②如果均匀纯变形运动中的加速度为常数，则为时间的线性函数。③棱边与平行的矩形块，在时段内(参见习题7-54)将变为另一矩形块。④只当运动变为静止时，此变形运动才是等容的。解①记，则有给出同轴，由上式可看出是固定不变的；而355 。②已知均匀变形可表示为加速度为(设为惯性系)如果(纯变形)及于是或者即是时间的线性函数。③已证在均匀纯变形运动中，是固定的，因此棱边平行于的矩形块在变形过程中方位不变，但边长分别为分别是原矩形块的边长。亦即原来棱边平行于的矩形块变形后依然是矩形块。④等容变形要求或者由于之间彼此独立，所以上式要求亦即相对于时间是常数，表明只当运动转为静止时，变形才是等容的。7-58设热弹性材料的比自由能，求满足热力学第二基本定律的条件；证明，在等温过程中热弹性材料呈现超弹性材料的行为，但在等能过程中(比内能)热弹性材料一般地不是超弹性材料。解以自由能表示的热力学第二定律为(参见式5-3-9，但将)355 (1)式中将上两式代入式(1)，得到(2)上式对任何热力学过程都成立，而无关，因此由上式可得(3)这就是热弹性材料本构方程保证式(1)成立应满足的条件。当时，，(4)这时，热弹性材料呈现超弹性材料的行为，其应变能函数(5)用比内能表示的热力学第二定律为(参见式5-3-7，其中)式中，代入上式得到为保证上式在所有热力学过程成立，要求(6)上式表明，即使在等能过程中()355 热弹性材料也不存在应变能函数，即不能看作超弹性材料。如果视作基本状态变量，则可得到(读者自行证明)(7)当 时，(等熵过程)，则有(8)355'