《复变函数》陈志辉课后习题解答.pdf 22页

'第一章较简单,就不给解答了.第二章只给出部分习题解答.1、2两题利用柯西-黎曼方程判定.323222226.u=my+nxy,v=x+lxy,u=2nxy,u=3my+nx,v=3x+ly,v=2lxy.因xyxy为函数f(z)解析,所以u=v且u=-v,即xyyxì2nxy=2lxyí2222î3my+nx=-(3x+ly)比较同类项的系数可得n=l=-3,m=1.iz-ize-e2iz10.(1)sinz=0,即=0,即e=1,故而2i2iz=Ln1=ln|1|+i(arg1+2kp)=2kpi,kÎZ,即z=kp,kÎZ.iz-ize+e2iz(2)cosz=0,即=0,即e=-1,故而22iz=Ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1)+2kp)=(2k+1)pi,kÎZ,1即z=(k+)p,kÎZ.2zz(3)1+e=0,即e=-1,故而z=Ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1)+2kp)=(2k+1)pi,kÎZ.iz-iziz-ize-ee+e2iz(4)sinz+2icosz=0,即=-2i×,即e=-3,于是2i22iz=Ln(-3)=ln|-3|+i(arg(-3)+2kp)=ln3+(2k+1)pi,kÎZ,i1从而z=-ln3+(k+)p,kÎZ.22PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion z-ze-e2zzz2z18.(1)shz=i,即=i,即e-2ie-1=0,即(e-i)=0,故而e=i,于是2pz=Lni=(2kp+)i,kÎZ.2z-ze+e2z(2)chz=0,即=0,即e=-1,从而2z=Ln(-1)=(2k+1)pi,kÎZ,所以21z=(k+)pi,kÎZ.2PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 第三章复变函数的积分1.(1)直线段的参数方程为z=(3+i)t,t由0到1,故而3+i212313126zdz=[(3+i)t]d(3+i)t=(3+i)×t=6+i.ò0ò0303(2)实轴上一段方程为z=x,x由0到3,竖直线段方程为z=3+iy,y由0到1,故而3+i31222òzdz=òxdx+ò(3+iy)d(3+iy)00033x312y1126=+i(9-y+6iy)dy=9+i(9-+3iy)=6+i0ò003033(3)虚轴上线段方程为z=iy,y由0到1,水平那一段方程为z=x+i,x由0到3,故而3+i13222òzdz=ò(iy)d(iy)+ò(x+i)d(x+i)0003i3132ix2326=-y+(x+2ix-1)dx=-+(+ix-x)=6+i0ò0303332.沿曲线y=x一段对应的参数方程为z=x(1+i),x由0到1,故而312xi211(x+ix)d(1+i)x=(1+i)(+x)=(-1+5i).ò0320622沿曲线y=x一段对应的参数方程为z=x+ix,x由0到1,故而3122212xi411(x+ix)d(x+ix)=(1+i)x(1+2ix)dx=(1+i)(+x)=(-1+5i).ò0ò032063.见课本参考答案.zzz|z|14.(1)òdz=òdz=òdz=2òdz=2×2pi=4pi.|z||z|zzz|z|=2|z|=2|z|=2|z|=2zzz|z|1(2)òdz=òdz=òdz=4òdz=4×2pi=8pi|z||z|zzz|z|=4|z|=4|z|=4|z|=415.(1)函数f(z)=的奇点z=2在单位圆C:|z|=1的外部,即在C围成的闭圆域上解析,故而z-21òdz=0.z-2CPDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 12(2)函数f(z)=在C内有两个奇点——方程2z+2z+1=0的一对共轭复根,记作z与202z+2z+1z,则由复合闭路定理及柯西积分公式有0111ò2dz=òdzC2z+2z+12C(z-z0)(z-z0)-1-11(z-z)1(z-z)00=òdz+òdz2z-z2z-zC10C201-11-1=×2pi×(z-z)+×2pi×(z-z)000022=0其中C与C分别为C内包含z与z两条互不相交的简单闭曲线.12001注:上述问题也可以用留数计算.由于z与z为函数f(z)=的两个一阶极点,故而0022z+2z+1111dz=dzò2ò2z+2z+12(z-z)(z-z)CC001=×2pi[Res(f(z),z)+Res(f(z),z)]0021-1-1=×2pi[(z-z)+(z-z)]00002=0本章的其他积分问题也都可以用留数来计算.11(3)函数f(z)=在C内解析,故而òdz=0.coszcoszC1(4)函数f(z)=在C内有唯一奇点z=0,它是一阶极点,由留数定理得sinz11òdz=2piRes(f(z),0)=2pi=2pi.sinz(sinz)¢Cz=0注:本题由柯西积分公式计算如下,1j(z)òdz=òdz=2pij(0)=2pi,sinzzCCìz/sinz,z¹0其中j(z)=í为复平面上的解析函数,这一点由级数理论可知.î1,z=0PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 6.(1)圆C包含点z=2,zez2故dz=2pie|=2pei.òz=2z-2C(2)圆C包含点z=a但不包含z=-a,故-1dz(z+a)-1p=dz=2pi(z+a)|=i.ò22òz=az-az-aaCC(3)圆C包含点z=i但不包含z=-i,故zz-1ee(z+i)z-1idz=dz=2pie(z+i)|=pe=p(cos1+isin1).ò2òz=iz+1z-iCC(4)圆C不包含z=3,故zòdz=0.z-3C(5)圆C包含点z=±i但不包含z=±2i,故11111dz=dz-dzò22ò2ò2(z+1)(z+4)3z+13z+4CCC1é(z+i)-1(z-i)-1ù=êòdz+òdzú-03êëC1z-iC2z+iúû1-1-1=[(2i)+(-2i)]3=0其中C与C分别为C内包含z与z两条互不相交的简单闭曲线.1200p(6)圆C包含点z=,故而2sinz2pidz=(sinz)¢p=0.òp(2-1)!z=C(z-)222(7)圆C包含点z=1,故而ze2pizdz=(e)¢¢=peiò(z-1)3(3-1)!z=1C注:以上计算依赖于柯西积分公式或高阶导数公式.pi21pi1pi17.(1)sinzdz=(1-cos2z)dz=pi-sin2z|=(p-sh2p)iò-pi2ò-pi4-pi2PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion ii-z-z(2)ò(z-i)edz=ò(i-z)de00i-zi-z=e(i-z)|0-òed(i-z)0i-z=-i+ò0edz=-i-e-z|i0=1-cos1+i(sin1-1)i1+tanzi12i1212(3)dz=(1+tanz)dtanz=(tanz+tanz)|=-(tan1+tan1+th1)+ith1.ò1cos2zò121228.(1)圆C包含点z=-1与点z=-2i,故而43z1z(+)dz=4dz+3dz=4×2pi+3×2pi×(z)¢|=14pi.ò2òò2z=-2iz+1(z+2i)z+1(z+2i)CCC(2)圆C包含点z=±i,故而-2-22z2z(z+i)2z(z-i)dz=dz+dzò22ò2ò2(z+1)(z-i)(z+i)CC1C2d-2d-2=2pi×2z(z+i)+2pi×2z(z-i)dzdzz=iz=-i=0其中C与C分别为C内包含i与-i两条互不相交的简单闭曲线.12(3)圆C包含点z=0,故而cosz2pidz=(cosz)¢¢|=-pi.ò3z=0z2!C(4)长方形C包含点z=i,故而1òdz=2piz-1C(5)圆C包含点z=a,故而ze2pizadz=(e)¢¢|=peiò3z=a(z-a)2!C11.分三种情况讨论:(1)C不包含a和-a;(2)C包含a但不包含-a;(3)C包含a和-a.PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 第四章级数¥¥¥nnnn2.årcosnq+iårsinnq=å(rcosnq+rsinnq)n=1n=1n=1¥¥iqnnz=å(re)=åz=n=1n=11-z2z(1-z)z-|z|==22|1-z||1-z|2rcosq+isinq-r=22(1-rcosq)+(rsinq)2rcosq-r+isinq=21-2rcosq+r比较等式两端的实部与虚部即证.¥n¥i14.(1)首先,å=å是调和级数,发散.其次,由于n=1nn=1n¥n¥k¥k-1i(-1)(-1)å=å+iå,n=1nk=12kk=12k-1¥k¥k-1ì1üì1ü(-1)(-1)而数列íý与íý单调减少趋于零,由莱布尼茨定理知交错级数å与å都收敛,î2kþî2k-1þk=12kk=12k-1¥n¥nii从而级数å收敛.综上,级数å条件收敛.n=1nn=1n¥ni11(2)完全类似于(1)可知级数å条件收敛.这里要注意的是,由于>,故由正项级数的比较n=2lnnlnnn¥1判别法,级数å收敛.n=2lnnnn¥n¥æö¥æö(6+5i)616161(3)ån=åçç÷÷,这是等比级数,由于<1,故级数åçç÷÷收敛,即级数n=18n=1è8ø8n=1è8ø¥n(6+5i)ån绝对收敛.n=18¥¥¥cosin11-nné11n1enù(4)ån=ån×(e+e)=åê×()+×()ún=12n=122n=1ë22e22û¥¥¥11n1encosin级数å×()与å×()都是等比级数,分别是发散和收敛的,因此级数ån发散.n=122en=122n=12PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion ¥n5.(1)不正确.例如,级数åz收敛圆域为|z|<1,在对应的收敛圆周|z|=1上处处发散.n=0(2)不正确.根据定理4.8(3),知幂级数的和函数在收敛圆域内处处解析.(3)不正确.例如,函数f(z)=z在z=0处连续,但不可导,所以不能在其邻域内展开成泰勒级数.¥n6.不行.因为如果幂级数åcn(z-2)在z=0处收敛,则其收敛半径R³|0-2|=2,而|3-2|n=0=1<2,故幂级数必在z=3处收敛.pu1/nn7.(1)R=lim=lim=1.pn®¥un®¥1/(n+1)n+12nnu(n!)/n(1+1/n)n(2)R=lim=lim=lim=e×0=0.n®¥un®¥[(n+1)!]2/(n+1)n+1n®¥n+1n+1111(3)R=lim=lim=.n®¥nn®¥n|u|n1+i2¥piπ/ninnuen(4)题目有误,应该是åez.收敛半径R=lim=limiπ/(n+1)=lim1=1.n=1n®¥un®¥en®¥n+1iii1-1uncos(1/n)(5)ch=(en+en)=cos,收敛半径R=lim=lim=lim1=1.n2nn®¥un®¥cos[1/(n+1)]n®¥n+1(6)lnin=ln|in|+iargin=lnn+iargin,则有22limlnin=lim(lnn)+(argin)=¥,n®¥n®¥1n从而收敛半径R=lim=limnlnin=¥.n®¥n|u|n®¥¥¥nnnn8.证明:任取zÎC,|z|1,则幂n=1n=1¥¥n级数åcnz在点z=1处绝对收敛,即级数åcn收敛,这与条件矛盾.因此R=1.n=1n=1¥¥¥1n113nn3n11.(1)因为=åz,|z|<1,所以3=3=å(-z)=å(-1)z,R=1.1-zn=01+z1-(-z)n=0n=0p+2kp1i注:收敛半径的确定参见P67推论4.1.这里函数有三个奇点,满足z3=-1,即z=e3,31+zk=0,1,2.它们到0的距离都是1.¥¥¥112nn2n-2zn2n-1(2)2=2=å(-z)=å(-1)z,等式两端求导得,22=å(-1)×2nz,1+z1-(-z)n=0n=0(1+z)n=1¥¥1n-12n-2n2n即22=å(-1)×nz=å(-1)(n+1)z,R=1.(1+z)n=1n=0¥2n¥22n¥4nnz2n(z)nz(3)因为cosz=å(-1),所以cosz=å(-1)=å(-1),R=+¥.n=0(2n)!n=0(2n)!n=0(2n)!¥n¥n¥n¥2n-1zz1z-z1z1(-z)z(4)因为e=å,所以shz=(e-e)=å-å=å,R=+¥n=0n!22n=0n!2n=0n!n=1(2n-1)!¥¥z+12nn(5)=1-=1-2åz=-1-2åz,R=1.z-11-zn=0n=1¥2n¥2nz22z21iz2-iz21(1+i)z2(1-i)z21[(1+i)z][(1-i)z](6)esinz=e×(e-e)=(e-e)=(å-å)2i2i2in=0n!n=0n!¥nn[(1+i)-(1-i)]2n=åz,R=+¥n=02n!iz(7)令f(z)=ez-1,两端求导可知,函数f(z)满足微分方程(1)2()()0z-f¢z+fz=.方程两端求n阶2(n+1)(n)(n-1)(n)导数,由莱布尼茨公式得(z-1)f(z)+2n(z-1)f(z)+n(n-1)f(z)+f(z)=0.令(n+1)(n)(n-1)z=0得,f(0)+(1-2n)f(0)+n(n-1)f(0)=0.已知f(0)=1,f¢(0)=-1,故有f¢¢(0)=f¢¢¢(0)=-1,……,所以PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion z11z-123e=1-z-z-z+LL,R=12!3!zz-1收敛半径R=1是因为f(z)=e有唯一奇点z=1.1zzzz(8)sin=sin(1+)=sin1cos+cos1sin,利用sinz,cosz与e的关系并结合题(7)1-z1-z1-z1-z的结论可得函数的幂级数展开式.¥¥n-1111nnan(9)(az+b)=×=å(-az/b)=å(-1)n+1z,R=|b/a|.b1+az/bbn=0n=0b¥¥z-11z-11z-1z-1nn-11n12.(1)=(z-1)×=×=å(-)=å(-1)n(z-1),z+12+(z-1)21+(z-1)/22n=02n=12z-1函数有唯一奇点z=-1,它到点z=1的距离为2,即收敛半径R=2.0z+1z21211111(2)=-=-=×-×(z+1)(z+2)z+2z+14+(z-2)3+(z-2)22-z32-z1-1-43¥¥¥12-zn12-znn11n=å()-å()=å(-1)(2n+1-n+1)(z-2),R=3.2n=043n=03n=023z函数的两个奇点z=-1与z=-2到点z=2的距离分别是3和4,所以R=3.0(z+1)(z+2)¥¥¥111nn-1n(3)2=-()¢=-()¢=-(å(z+1))¢=å-n(z+1)=å-(n+1)(z+1),zz1-(z-(-1))n=0n=1n=0R=1.n¥éù111113(z-z0)(4)==×=åêú4-3z4-3z0-3(z-z0)4-3z01-3(z-z0)4-3z0n=0ë4-3z0û4-3z0¥n3n410=ån+1(z-1-i),R=-(1+i)=.n=0(1-3i)332(5)这里只给出函数在z=p/4的泰勒展式的前四项,tanz|=1,(tanz)¢|=secz|=2,0z=p/4z=p/4z=p/42224(tanz)¢¢|=2secztanz|=4,(tanz)¢¢¢|=4secztanz+2secztanz|=16,故z=p/4z=p/4z=p/4z=p/4PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 242163tanz=1+(z-p/4)+(z-p/4)+(z-p/4)+L1!2!3!283p=1+2(z-p/4)+2(z-p/4)+(z-p/4)+L,R=.34tanz的所有奇点z=kp+p/2中到点z=p/4的最短距离为p/4,故R=p/4.0¥¥z1z12nn2n+1(6)arctanz=òdz=òå(-z)dz=å(-1)z,R=1.01+z20n=0n=02n+115.不正确.解析函数展开成洛朗级数一定要注意成立的条件.事实上,通过计算幂级数的收敛半径可知,当且仅当|z|<1时,z234=z+z+z+z+L,1-z而当且仅当1<|z|<+¥时,z111=1++++L23z-1zzz所以题中结论不成立.-116.(1)在圆环域1<|z|<2内,z/2<1,|z|<1,所以111z+2=(-)22(z+1)(z-2)5z-2z+11111111=(-×-z××-2××)2-22-2521-z/2z1+zz1+z¥n¥¥11z1n-2n2n-2n=(-ån-å(-1)z-2å(-1)z)52n=02zn=0zn=0¥n¥¥1zn-2n-1n-2n-2=(-ån+1-å(-1)z-å(-1)×2z)5n=02n=0n=023121211zzz=(L++-------L)4325zzzz24816(2)在圆环域0<|z|<1内,¥¥¥¥1111n1n-1n-2n2=()¢=(åz)¢=(ånz)¢=ånz=å(n+2)z.z(1-z)z1-zzn=0zn=1n=1n=-1在圆环域0<|z-1|<1内,PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion ¥¥¥111111nn-2nn2=2×=2×=2å(1-z)=å(1-z)=å(-1)(z-1)z(1-z)(1-z)z(1-z)1-(1-z)(1-z)n=0n=0n=-2.(3)在圆环域0<|z-1|<1内,¥¥¥1111nn-1n=-×=-å(z-1)=å-(z-1)=å-(z-1).(z-1)(z-2)z-11-(z-1)z-1n=0n=0n=-1-1在圆环域1<|z-2|<+¥内,|(z-2)|<1¥¥111111-nn-n-2=×=2×-1=2å(2-z)=å(-1)(z-2)(z-1)(z-2)z-21-(2-z)(z-2)1-(2-z)(z-2)n=0n=0-11z-11111-zz-1(4)利用题11(7).在圆环域1<|z|<+¥内,e=e=1---+.23z2!z3!z1(5)由于函数f(z)=有两个孤立奇点0与i,距离为1,所以f(z)在以i为中心的两个圆环域2z(z-i)0<|z-i|<1与0<|z-i|<+¥内都是解析的.在圆环域0<|z-i|<1内,由于|(z-i)/i|<1,所以111111=×(-)¢=×(-×)¢2z(z-i)z-izz-ii1+(z-i)/i¥¥n-1¥n-111z-in11n(z-i)(-1)nn-2=×(-å(-))¢=×(-å(-1)n×n)=ån+1(z-i)z-iin=0iz-iin=1in=1i-1在圆环域1<|z-i|<+¥内,由于|i(z-i)|<1,所以111111=×(-)¢=×(-×)¢2-1z(z-i)z-izz-iz-i1+i(z-i)¥¥11-1n1×-n-1n--n-1¢=×(-å[-i(z-i)])¢=(å(1)i(zi))z-iz-in=0z-in=0¥¥1nn-n-2nn-n-3=×å(-1)i(n+1)(z-i)=å(-1)i(n+1)(z-i)z-in=0n=0¥n(-1)2n+1(6)由于在整个复平面上sinz=åz在圆环域0<|z-1|<+¥内,n=0(2n+1)!¥n¥n-11-1(-1)-(2n+1)(-1)-(2n+1)sin=sin(1-z)=å(1-z)=å(z-1).1-zn=0(2n+1)!n=0(2n+1)!(z-1)(z-2)62-1(7)=1+-.在圆环域3<|z|<4内,|z/4|<1,|3z|<1,故而(z-3)(z-4)z-4z-3PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion (z-1)(z-2)626121=1+-=1-×-×-1(z-3)(z-4)z-4z-341-z/4z1-3z¥¥¥¥3n2-1n3n2-n-1=1-å(z/4)-å(3z)=1-å2n+1z-ånz2n=0zn=0n=02n=03-1-1在圆环域4<|z|<+¥内,|4z|<1,|3z|<1,故而(z-1)(z-2)626121=1+-=1+×-×-1-1(z-3)(z-4)z-4z-3z1-4zz1-3z¥¥¥6-1n2-1n2n+12-n-1=1+å(4z)-å(3z)=1+å(3×2-n)zzn=0zn=0n=031222218.(1)显然,=z(z+1)=z(z+i)(z-i)有一阶零点z=0与两个二阶零点z=±i,故它们分f(z)别是函数f(z)的一阶极点和二阶极点.(2)因为sinz-31315-2112=z(z-z+z-L)=z-+z-L,0<|z|<+¥,3z3!5!3!5!sinz所以z=0是函数f(z)=的二阶极点.3zz-1(3)z=0与z=±2i分别是函数f(z)=的一阶极点和二阶极点.2z(z+4)(4)解方程cosz+sinz=0得,z=z=kp-p/4,kÎZ.由于kk(cosz+sinz)¢|=-sinz+cosz|=(-1)2¹0z=zkz=zk11所以z=kp-p/4,kÎZ为函数=cosz+sinz的一阶零点,从而为函数f(z)=的kf(z)cosz+sinz一阶极点.(5)由于1111z-2ie=1++++L,0<|z-2i|<+¥231!(z-2i)2!(z-2i)3!(z-2i)1z-2i所以z=2i为函数f(z)=e的本性奇点.11(6)类似于(5),把函数f(z)=cos在0<|z+i|<+¥内展开成洛朗级数知,函数f(z)=cosz+iz+iPDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 有本性奇点z=2i.1zzz(7)=e-1有零点z=z=2kpi,而(e-1)¢|=e|=1¹0,故而z=z=2kpi为函数f(z)kz=zkz=zkk11的一阶零点,从而是函数f(z)=的一阶极点.zf(z)e-12z2212141614161819(1)因为z(e-1)=z[(1+z+z+z+L)-1]=z+z+z+L,所以z=01!2!3!1!2!3!22z为函数z(e-1)的四阶零点.m注:z=z0为函数f(z)的m阶零点是指f(z)=(z-z0)j(z),其中j(z)在点z0处解析且j(z0)¹0,mm+1m+2这等价于f(z)=c(z-z)+c(z-z)+c(z-z)+L,c¹0.m0m+10m+20m336313313513736115121(2)6sinz+z(z-6)=6(z-(z)+(z)-(z)+L)+z(z-6)=z-z+L3!5!7!5!7!336这表明z=0为函数6sinz+z(z-6)的15阶零点.12141214(3)1-cosz=1-(1-z+z-L)=z-z-L,这表明z=0为函数1-cosz的2阶零点.2!4!2!4!PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 第五章留数理论及其应用11211zzz2.说法不正确.例如,由于e=1+++L,所以有Res(e,0)=1,但是Res(e,0)=2.21!z2!zz+15.(1)z=0与2是函数f(z)=的一阶极点,故2z-2zz+11Res(f(z),0)==-,2(z-2z)¢2z=0z+13Res(f(z),2)==.2(z-2z)¢2z=2也可以这样计算:z+1z+11Res(f(z),0)=limz×=lim=-,2z®0z-2zz®0z-22z+1z+13Res(f(z),2)=lim(z-2)×=lim=.z®2z2-2zz®2z2注意第一种做法的限制:要求奇点z=0与2不是分子z+1的零点.2z1-e(2)孤立奇点z=0既是函数f(z)=分母又是分子的零点,在z=0的去心邻域0<|z|<¥展开成4z洛朗级数较简单:2z2341-e111213142222=[1-(1+×2z+×(2z)+×(2z)+×(2z)+L]=-----L4432zz1!2!3!4!1!z2!z3!z4!324因此,Res(f(z),0)=-=-.3!341+z(3)函数f(z)=有两个三阶极点z=±i.23(z+1)²²44é31+zùé1+zù3Res(f(z),i)=limê(z-i)×23ú=limê3ú=-iz®ië(z+1)ûz®ië(z+i)û8²²44é31+zùé1+zù3Res(f(z),-i)=limê(z+i)×23ú=limê3ú=iz®-ië(z+1)ûz®-ië(z-i)û8注:计算较复杂,需要耐心仔细计算.zp(4)函数f(z)=有无穷多个一阶极点z=kp+,kÎZ,故kcosz2PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion zzk+1pRes(f(z),z)===(-1)(kp+),kÎZ.k(cosz)¢-sinz2z=zkz=zk1(5)函数f(z)=cos有本性奇点z=0,由于z111cos=1-+-L,0<|z|<¥24z2!z4!z所以Res(f(z),0)=c=0.-121(6)函数f(z)=zsin有孤立奇点z=0,由于z21211111zsin=z(-+-L)=z-+-L,0<|z|<¥353z1!z3!z5!z3!z5!z11所以Res(f(z),0)=c=-=-.-13!61(7)函数f(z)=有孤立奇点z=kp(kÎZ),其中z=0与z=kp(kÎZ{0})分别为二k0kzsinz阶极点和一阶极点,d2dzsinz-zcoszsinz-zcoszRes(f(z),0)=limzf(z)=lim=lim=lim=0,22z®0dzz®0dzsinzz®0sinzz®0zz其中第四个等号是因为lim=1,而最后一个等式需要用洛比达法则计算.z®0sinzk11(-1)Res(f(z),z)===(kÎZ{0}).k(zsinz)¢sinz+zcoszkpz=zkz=zk注:kÎZ{0}表示k为不等于零的整数.z-zshze-e1(8)函数f(z)==有一阶极点z=(k+)pi(kÎZ),z-zkchze+e2z-zz-ze-ee-eRes(f(z),z)===1,kÎZ.kz+-z¢z-z(ee)e-ez=zkz=zk1(9)函数f(z)=有孤立奇点z=2kpi(kÎZ),其中z=0与z=2kpi(kÎZ{0})分zk0kz(e-1)PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 别为二阶极点和一阶极点,zzzzz(2)¢(e-1)-zee-e-ze-z1Res(f(z),0)=limzf(z)=lim=lim=lim=-,z2zzzz®0z®0(e-1)z®02(e-1)ez®02(e-1)2这里极限的计算用到了洛比达法则——第三个等号处.111Res(f(z),z)===(kÎZ{0}).kzzz[z(e-1)]¢(e-1+ze)2kpiz=zkz=zksinz36.(1)函数f(z)=在圆|z|=与|z|=1的内部都只有一个可去奇点z=0,故而z2sinzsinzòdz=òdz=Res(f(x),0)=0.zz|z|=3/2|z|=12ze(2)函数f(z)=在圆|z|=2内有一个孤立奇点z=1,它是二级极点,所以2(z-1)2z2ze1dé2eù2z2ò2dz=2piRes(f(z),1)=2pilimê(z-1)×2ú=2pilim2e=4pie(z-1)(2-1)!z®1dzë(z-1)ûz®1|z|=21-cosz3(3)函数f(z)=在圆|z|=内只有一个孤立奇点z=0,mz21-cosz-m121412-m14-mf(z)==z[1-(1-z+z-L)]=z-z-L,0<|z|<¥.mz2!4!2!4!1-cosz当m£2时,z=0是函数f(z)=的可去奇点,故有mz1-coszdz=2piRes(f(z),0)=0.òm3z|z|=21-cosz当m>2时,z=0是函数f(z)=的m-2级极点,故有mzì0,m=2k1-coszï+òmdz=2piRes(f(z),0)=ík-12pi,k=Zz(-1),m=2k+13ï|z|=î(2k)!2+注:Z表示正整数集合.(4)函数f(z)=tanz在闭圆域|z-2i|£1上解析,所以òtanzdz=0.|z-2i|=1PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion z-ze-ep补充:函数f(z)=thz=在圆|z-2i|=1内只有一个孤立奇点z=i,它是一阶极点,所以z-ze+e2z-zpe-ethzdz=2piRes(f(z),i)=2pi=2pi.òz+-z¢2(ee)p|z-2i|=1z=2(5)见课本P97例5.6.1(6)当1<|a|<|b|时,函数f(z)=在闭圆域|z|£1上解析,所以f(z)dz=0.nnò(z-a)(z-b)|z|=1当|a|<1<|b|时,函数f(z)在单位圆内只有一个孤立奇点z=a,它是n阶极点,所以òf(z)dz=2piRes(f(z),a)|z|=1n-11dn=2pi×lim(z-a)f(z)n-1(n-1)!z®adzn-12pid-n=lim(z-b)n-1(n-1)!z®adz2pi-2n+1=lim(-n)(-n-1)L(-2n+2)(z-b)(n-1)!z®an-12pi(2n-2)!1-2n=(-1)(a-b)2[(n-1)!]当|a|<|b|<1时,函数f(z)在单位圆内有两个孤立奇点z=a与z=b,它们是n阶极点,所以òf(z)dz=2pi[Res(f(z),a)+Res(f(z),b)]|z|=1n-12pi(2n-2)!1-2nn-12pi(2n-2)!1-2n=(-1)(a-b)+(-1)(b-a)[]2[]2(n-1)!(n-1)!=015z8.(1)被积函数f(z)=在C的内部有六个孤立奇点(-1的两个二次方根与-2的四2243(z+1)(z+2)个四次方根),记作z,k=1,2,L,6,由留数定理,k156z11ò2243dz=2piåRes(f(z),zk)=-2piRes(f(z),¥)=2piRes(2f(),0).C(z+1)(z+2)k=1zz111因为z=0为函数f()=的一阶极点,所以22243zzz(1+z)(1+2z)PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 11111Res(f(),0)=limz×f()=lim=1,z2zz®0z2zz®0(1+z2)2(1+2z4)3从而15zdz=2pi×1=2pi.ò2243(z+1)(z+2)C31zz(2)函数f(z)=e在C的内部有两个孤立奇点0与-1,故1+z31z11z.edz=2pi[Res(f(z),0)+Res(f(z),-1)]=-2piRes(f(z),¥)=2piRes(f(),0)ò21+zzzCz11e因为z=0为函数f()=的四阶极点,所以24zzz(1+z)3111dé411ù1Res(f(),0)=limz×f()=-,z2z3!z®0dz3êëz2zúû3从而31z12z.òedz=2pi×(-)=-pi1+z33C11注:Res(f(),0)也可以通过将函数在z=0的去心邻域0<|z|<1内展开成洛朗级数而求得,2zzz11e11121314234f()==(1+z+z+z+z+L)×(1-z+z-z+z-L)244zzz(1+z)z1!2!3!4!11213142343利用幂级数的乘法知,(1+z+z+z+z+L)×(1-z+z-z+z-L)中z的系数为1!2!3!4!11111×(-1)+×1+×(-1)+×1=-1!2!3!311-111111从而f()的洛朗展开式中z的系数为1×(-)=,即Res(f(),0)=-.22zz33zz32nz(3)函数f(z)=在C的内部有n个孤立奇点(-1的n个n次方根),记作z,k=1,2,L,n,故nk1+z2nnz11òndz=2piåRes(f(z),zk)=-2piRes(f(z),¥)=2piRes(2f(),0).C1+zk=1zzPDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 因为在z=0的去心邻域0<|z|<1内有1111n2n3n11n-22n-2f()==×(1-z+z-z+L)=-+z-z+L22+nn2+n2+n2zzz(1+z)zzz1111所以,当n=1时,Res(f(),0)=c=1;当n¹1时,Res(f(),0)=c=0.因此,2-12-1zzzz2n0,n¹1zìdz=íònC1+zî2pi,n=19.(1)类似于课本P101例5.9.2-122psinq[(z-z)/2i]1(2)dq=×dzò0a+bcosqòa+b(z+z-1)/2iz|z|=1221(z-1)=-dzò222iz(bz+2az+b)|z|=1221(z-1)=-dzò22ibz(z-z)(z-z)|z|=1121=-òf(z)dz2ib|z|=122222a-b-a12a-b其中z,z为bz+2az+b=0的两个根,z==,|z|<1,z-z=,121112bzb22az+z=-.单位圆内函数f(z)有一个二阶极点z=0与一个一阶极点z=z,121b222d24z(z-1)(z-z1)(z-z2)-(z-1)(z-z1+z-z2)2aRes(f(z),0)=lim(zf(z))=lim=-,2z®0dzz®0[(z-z)(z-z)]b1222222222(z-1)(z-1)z(z-z)2a-b1112Res(f(z),z)=lim(z-z)f(z)=lim===z-z=1122212z®z1z®0z(z-z)z(z-z)z(z-z)b2112112因此,22psinq12p22dq=-×2pi×[Res(f(z),0)+Res(f(z),z)]=(a-a-b).ò0a+bcosq2ib1b(4)与(5)类似于课本P102例5.11.PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 第六章保形映射az+b-dw+b若w=,则z=cz+dcw-a-iw-i-i(w+1)(w-1)-i(ww-w+w-1)4.(1)z===.22w-1|w-1||w-1|22记w=u+iv,则-i(ww-w+w-1)=-2v+i(1-u-v).因此Rez>0且Imz>0等价于2222-2v>0且1-u-v>0,即v<0且u+v<1,即Imw<0且|w|<1.因此,区域D被映射成区域(Imw<0)I(|w|<1).-2w-i(-2w-i)(iw-2)(-2w-i)(iw-2)(2iww+4w-w+2i)(2)z====.222iw-2|iw-2||iw-2||iw-2|225记w=u+iv,则2iww+4w-w+2i=3u+2i(u+v+v+1).因此|z|<1且Imz<0等价于2-2w-i22553<1且u+v+v+1<0,即|w|<1且|w+i|<.因此,区域D被映射成区域iw-224453(|w|<1)I(|w+i|<).442ww(w-1)|w|-w222(3)z===.记w=u+iv,则|w|-w=(u+v-u)-iv.因此22w-1|w-1||w-1|p22-v00,-v>0且00,即Imw<0且|w-(1-i)|>.因此,区域D被映射成区域2212(Imw<0)I(|w-(1-i)|>).22z-1-1-1w-011-z5.:=:,即w=i.由于单位圆|z|=1上的三点1,i,-1分别映射成实轴上的z-i-1-iw-111+z-w+i-w+i三点0,1,¥,所以函数将单位圆映射成实轴.(或者这样解释:z=.|z|=1等价于=1,w+iw+iPDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion 即w-i=w+i,这表示所有到点i与-i距离相等的点构成的集合,这正是实轴.)又由于沿单位圆的路径1®i®1左侧为|z|<1,相应地,沿实轴的路径0®1®¥左侧则为上半平面.因此,函数将|z|<1映射成上半平面.-dw+b8.首先ad-bc¹0,否则函数为常数函数不满足要求.因为z=,所以|z|=1等价于cw-a-dw+bbaba=1,即|d||w-|=|c||w-|,仅当|d|=|c|时,等式表示直线,即点与连线的垂直平分cw-adcdc线.(容易看出,当d或c等于零时,函数将圆映射成圆.)10.11.利用交比确定即可.PDFcreatedwithpdfFawww.pdffactory.comctoryProtrialversion'