弹性力学简明教程 课后习题答案.doc 9页

'《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章　习题的提示与答案　　2－1　是　　2－2　是　　2－3　按习题2－1分析。　　2－4　按习题2－2分析。　　2－5　在的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。　　2－6　同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。　　2－7　应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。　　2－8　在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。　　2－9　在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。　　2－10　参见本章小结。　　2－11　参见本章小结。　　2－12　参见本章小结。　　2－13　注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足　　（1）平衡微分方程，　　（2）相容方程，　　（3）应力边界条件（假设)。　　2－14　见教科书。　　2－15　见教科书。　　2－16　见教科书。　　2－17　取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。　　2－18　见教科书。　　2－19　提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。第三章　习题的提示与答案　　3－1　本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： 　　（1）校核相容条件是否满足，　　（2）求应力，　　（3）推求出每一边上的面力 从而得出这个应力函数所能解决的问题。　　3－2　用逆解法求解。由于本题中  l>>h,  x=0,l   属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。　　3－3　见3-1例题。　　3－4　本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：主要边界：所以在 边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力； 上边界有向下的法向面力q。次要边界：  x=0面上无剪切面力作用； 但其主矢量和主矩在 x=0面上均为零。因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。　　3－5　按半逆解法步骤求解。　　（1）可假设　　（2）可推出 　　（3）代入相容方程可解出f、，得到 　　（4）由  求应力。　　（5）主要边界x=0,b上的条件为 次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为读者也可以按或的假设进行计算。　　3－6　本题已给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即而在次要边界 y=0上，已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替：　　3－7　见例题2。　　3－8　同样，在 的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。　　3－9　本题也应先考虑对称性条件进行简化。　　3－10　应力函数中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。　　3－11　见例题3。　　3－12　见圣维南原理。　　3－13　m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。　　3－14　见教科书。　　3－15　严格地说，不成立。第四章　习题的提示和答案　　4－1　参见§4-1，§4-2。　　4－2　参见图4-3。　　4－3　采用按位移求解的方法，可设代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求的基本方程。　　4－4　按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下，，只有为基本未知函数，且它们仅为的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)，(2)相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。 　　4－5　参见§4-3。　　4－6　参见§4-3。　　4－7　参见§4-7。　　4－8　见例题1。　　4－9　见例题2。　　4－10　见答案。　　4－11　由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。　　4－12　见提示。　　4－13　内外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变。　　4－14　为位移边界条件。　　4－15　求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。　　4－16　求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。　　4－17　求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。　　4－18　见例题3。　　4－19　见例题4。第五章　习题提示和答案 　　5－1　参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。　　5－2　参见书中的方程。　　5－3　注意对称性的利用，取基点A如图。答案见书中。　　5－4　注意对称性的利用,并相应选取基点A。答案见书中。　　5－5　注意对称性的利用，本题有一个对称轴。　　5－6　注意对称性的利用，本题有二个对称轴。　　5－7　按位移求微分方程的解法中，位移应满足：(1) 上的位移边界条件，(2) 上的应力边界条件，(3)区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。　　5－8　在拉伸和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。在扭转和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。　　5－9　对于书中图5-15的问题，可假设对于书中图5-16的问题中，y 轴是其对称轴，x 轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，为满足全部约束边界条件，应包含公共因子。此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为x和y的奇函数，v应为x和y的偶函数。　　5－10 答案见书中。　　5－11　在u,v 中各取一项,并设时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入后,上两式方程是解出 位移分量的解答为应力分量为第六章　习题的提示和答案　　6－1　提示：分别代入的公式进行运算。　　6－2　（3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书              中答案。　　6－3　求i结点的连杆反力时，可应用公式                       为对围绕i结点的单元求和。　　6－4　求支座反力的方法同上题。　　6－5　单元的劲度矩阵k，可采用书中P.124式（g）的结果，并应用公式求               出整体劲度矩阵的子矩阵。　　6－6　求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。　　6－7　求劲度矩阵元素可参见P.124式（g）的结果，再求出整体劲度矩阵元素               答案见书中。　　6－8　当单元的形状和局部编号与书中图6－10相同时，可采用P.124式（g）                 的单元劲度矩阵。　　答案：中心线上的上结点位移下结点位移　　6－9　能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。第七章　习题的提示和答案 　　7－1　答案：　　7－2　提示：   原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。　　7－3　见本书的叙述。　　7－4　空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。　　7－5　对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为     的函数。在列方程时应考虑它们的贡献。第八章　习题的提示和答案　　8－1　提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设)。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。　　8－2　提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设      若为多连体，还应满足位移单值条件。由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为 l,m,n ，边界面为任意斜面，受到法向压力q 作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。 　　8－3　见§8-2的讨论。　　8－4　从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。 　　8－5　为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的，并作如下代换         ，然后从o→a 对积分。　　8－6　引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是　　（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）的坐标系， 代入并积分，再应用部分积分得到， 。　　（2）求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，　　8－7　题中已满足边界条件再由便可求出切应力及扭角等。　　8－8　题中能满足两个圆弧处的边界条件然后，相似于上题进行求式解为的两倍。　　8－9　分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由，得出代入后进行比较即可得出。　　8－10　参见§8-8的讨论。第九章　习题提示和答案　　9－1　挠度w应满足弹性曲面的微分方程，x =0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件， 。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。　　9－2　在重三角级数中只取一项可以满足           的弹性曲面微分方程，并可以求出系数m。而四个简支边的条件已经满足。   关于角点反力的方向、符号的规定，可参见§9－4中的图9－5。　　9－3　本题中无横向荷载，q =0，只有在角点B有集中力F的作用。注意w=mxy应满足：弹性曲面的微分方程，x =0和y =0的简支边条件, x =a和y =b的自由边条件，以及角点的条件（见图9－5中关于角点反力的符号规定）。   在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题，作为其解答的一部分。读者可参考§9－6中图9-9的例题。　　9－4　本题中也无横向荷载，q =0，但在边界上均有弯矩作用。x=0,a  是广义的简支边，其边界条件是而y=0,b为广义的自由边，其边界条件是将w=f (x)代入弹性曲面微分方程，求出f (x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。　　9－5　参见§9－7及例题1，2。　　9－6　应用纳维解法，取w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数中，其中对荷载的积分只有在的区域有均布荷载作用，应进行积分；而其余区域，积分必然为零。　　9－7　对于无孔圆板，由的挠度和内力的有限值条件，得出书中§9－9式(d)的解中，，然后再校核简支边的条件，求出。   求最大值时，应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。　　9－8　本题也是无孔圆板，由有限值条件，取。相应于荷载              的特解，可根据书中§9－9的式(c)求出。然后再校核的固定边的条件。    求最大值时，应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。　　9－9　由，代入及的公式，两边相比便可得出等用等表示的表达式。   由，将w对x,y的导数转换为对的导数。然后再与式(a)相比，便可得出等用挠度表示的公式。　　9－10　参见上题，可以用类似的方法出。'