例题和习题解析高一数学寒假课程(答案).doc 56页

'寒假课程说明·高一数学第一讲集合及其应用一、例题解析和参考答案【例1】解析：根据，得，，但，由元素的互异性.∴.答案：C又例：答案：a≠0，±1，3，±【例2】错解分析：根据为直线上的点集，为单位圆上的点集，∴中元素的个数是2，选C.解析：根据，得，为数集，为单位圆上的点集，∴.答案：A又例：解析：显然都是坐标平面内的点集，抛物线与圆有三个交点，即集合有３个元素，∴有8个子集.答案：D【例3】解析：∵⊆（∪），（∩）⊆，又∵∪＝∩，∴⊆，故选A.答案：A又例：解析：∵＝，＝，∴⊆U.答案：B.【例4】解析：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A且－3∈B，将－3代入方程：x2＋ax－12＝0中，得a＝－1，从而A＝{－3，4}.将－3代入方程x2＋bx＋c＝0，得3b－c＝9.∵A∪B＝{－3，4}，∴A∪B＝A，∴BA.∵A≠B，∴BA，∴B＝{－3}.∴方程x2＋bx＋c＝0的判别式△＝b2－4c＝0，∴由①得c＝3b－9，代入②整理得：（b－6）2＝0，∴b＝6，c＝9.56 寒假课程说明·高一数学故a＝－1，b＝6，c＝9.【例5】解析：A＝{x|y＝}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝2x2}＝{y|y≥0}，∴A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝[0,2]，因此A×B＝（2，＋∞），故选A.答案：A【例6】解析：（1）由已知得：log2（3－x）≤log24，∴，解得－1≤x＜3，∴A＝{x|－1≤x＜3}.由≥1，得（x＋2）（x－3）≤0，且x＋2≠0，解得－2＜x≤3.∴B＝{x|－2＜x≤3}.（2）由（1）可得∁UA＝{x|x＜－1或x≥3}，故（∁UA）∩B＝{x|－2＜x＜－1或x＝3}.又例:解析：由题意易得：B＝（0，＋∞），∁RB＝（－∞，0]，所以A∩∁RB＝{y|－2≤y≤0}.答案：A【例7】解析：∵A＝{x|x2－6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}.（1）当a＝0时，B＝，不合题意.当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，应满足即≤a≤2，当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，应满足即a∈.∴当AB时，≤a≤2.（2）要满足A∩B＝，当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤或a≥4；当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥，∴a＜0时成立，当a＝0时，B＝，A∩B＝也成立.综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝.（3）要满足A∩B＝{x|3＜x＜4}，显然a＞0且a＝3时成立，∵此时B＝{x|3＜x＜9}，而A∩B＝{x|3＜x＜4}，故所求a的值为3.又例:解析：集合A是方程mx2－2x＋3＝0在实数范围内的解集.（1）∵A是空集，∴方程mx2－2x＋3＝0无解.∴△＝4－12m＜0，即m＞.（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2－2x＋3＝0只有一解.若m＝0，方程为－2x＋3＝0，只有一个解x＝；若m≠0，则△＝0，即4－12m＝0，m＝.56 寒假课程说明·高一数学∴m＝0或m＝.（3）∵A中含有两个元素，∴方程mx2－2x＋3＝0有两解，满足，即，∴m＜且m≠0.二、课后训练参考答案1.答案：D解析：当m＝0时，Q＝P；当m≠0时，由QP知，x＝＝1或x＝＝－1，得m＝1或m＝－1.2.答案：B解析：由题意得M∩N＝{4，5}，M∪N＝{2，3，4，5，6，7}＝U，（∁UN）∪M＝{3，4，5，7}≠U，（∁UM）∩N＝{2，6}≠N，综上所述，选B.3.答案：C4.a＝15.答案：D解析：依题意，结合韦恩图分析可知，集合A∩B的元素个数是m－n，选D.6.答案：A解析：B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－1≤x＜2}.7.答案：C解析：2011（A∪B），即2011A且2011B，故选C.8.答案：B解析：P＝{x|log2x＜1}＝（0，2），Q＝{x||x－2|＜1}＝（1，3），则P－Q＝（0，1].第二讲函数的解析式、定义域和值域一、例题解析和参考答案56 寒假课程说明·高一数学【例1】解析：方法一（配凑法）∵＝，∴＝＝．方法二（换元法）设，则，于是＝，即＝．又例:错解分析：∵＝，∴＝，.定义域是函数的一个要素，没有考虑定义域的变化，所求函数出错．解析：∵＝，又∵，有，∴＝，.再例:错解分析：令，于是＞1，＞0；，＜0．将代入，得＝，∴＝（＞1，＞0；，＜0）．在＞0，≠1，＞0的条件下，．解析：令，，将代入，得＝∴＝（＞0，，）．【例2】解析：由，，．得　并且，，不能同时等于1或－1，所以所求函数为：＝或＝或＝56 寒假课程说明·高一数学或＝或＝或＝.又例:解析：设＝，则＝，＝，由＝，得．比较系数及常数项，得，∴，．∴＝．再例:解析：依题意，得，即．∴．又由，得．∵∈N+，∴，．∴＝1或＝2．又＝2，故当＝1时，＝0，不符合题意；当＝2时，＝2．∴．【例3】解析：∵　　……①将用代之，得……②由①，②得．又例：解析：方法一：由＝1，令＝，得，∴＝.方法二：令＝0，得，56 寒假课程说明·高一数学∴＝．【例4】解析：这个函数是两项之和，由第一项有：，由第二项有：，，取两者之交集，得所求函数的定义域为．又例:解析：（1）要使函数有意义，必须有，即．应填：．（2）要使函数有意义，必须有≥0，∴，即．应填：．再例：解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填：．【例5】解析：由，有得的定义域为．应填：．又例:错解分析：由≥０对全体实数都成立，得，即．∴的取值范围是0＜≤4．故选A．解析：由≥0对全体实数都成立，得当＝0时，1≥0，对全体实数都成立；当≠0时，，即　．∴的取值范围是0≤≤4．故选B．再例：解析：由题意知时，恒成立．（1）当且时，有＝1，此时＝1，56 寒假课程说明·高一数学显然对时，恒成立．（2）当时，有，解不等式组得．综上知，当时，使得有意义的的取值范围是[1，9]．【例6】解析：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设，配方得．利用二次函数的相关知识得，从而得出所求函数的值域为　．又例：解析：由绝对值知识及二次函数值域的求法易得，∴，∴．再例：解析：观察分子、分母中均含有项，可先变形后再采取分析法．．由≥0，有≥，0＜≤，－≤－＜0，－≤1－＜1，∴所求函数的值域为．【例7】解析：由题意知，把原函数变形为当时，满足题意；当时，因，所以，即．56 寒假课程说明·高一数学∵，∴1和3是方程的两个实根，由韦达定理解得．又例：解析：（1）当＝时，＝＝＝，∵函数在上是增函数，∴≥＞０，∴在上是增函数，于是≥≥∴＝≥＝，所以的最小值为.（2）＞0即为＞0，又，∴＞恒成立．而当时，≤－3，∴＞－3．二、课后训练参考答案1．答案：D解析：由，知，令，得，∴，故选D．2．答案：D解析：＝＝＝7，故选D．3．答案:A解析:∵＝.∴＝＝，整理比较系数得＝3.4．解析：（1）令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是．56 寒假课程说明·高一数学（2）因为的定义域为，即．故函数的定义域为下列不等式组的解集，，即．即两个区间与的交集，比较两个区间左、右端点，知（i）当时，的定义域为；（ii）当时，的定义域为；（iii）当或时，上述两区间的交集为空集，此时不能构成函数．5．解析：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为，即方程无实根．①当≠0时，需恒成立，解得；②当＝0时，方程变为3＝0恒无实根．综上的取值范围是．6．解析：（1）证明：＝；又．∴．56 寒假课程说明·高一数学（2）∵＝＋＝１，又∵＝＝＝＝．∴＝1－＝1＋＝．7．解析：方法一:由于本题的分子、分母均为关于的二次形式，因此可以考虑使用判别式法．将原函数变形为，整理得，显然，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△，∴函数的值域为．方法二：将函数式变形为＝．∵≥2，0＜≤，∴≤＜2．∴函数的值域为．8．解析：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意　从而得：变形得，即：．56 寒假课程说明·高一数学9．解析：∵＝＝＋＋1－＝(＋1)＋＋1－2＝≥1．∴当＝0时等号成立，＝1．10．解析：令，，，于是，有(，，且，即，由直线方程斜截式纵截距的几何意义，，．第三讲函数的基本性质一、例题解析和参考答案【例1】错解分析：（1）∵.显然有＝，∴为偶函数.（2）∵，于是≠且≠－.∴为非奇非偶函数.解析：（1）∵的定义域为≥０，即－1≤＜1.定义域不是关于原点对称的数集，∴为非奇非偶函数.（2）∵的定义域为且≠０，即－1＜＜1且≠0，此时.56 寒假课程说明·高一数学∴，∴为奇函数.又例:解析：（1）∵≥0，即－1≤≤1.此时，∴，为奇函数.（2）当＞0，－＜0时，＝，＝，＝－；当＜0，－＞0时，＝，＝，＝－；∴为奇函数.（3）∵的定义域为.此时函数化为＝0，.∴既是奇函数又是偶函数.【例2】解析：函数定义域为R，又＝.∴为偶函数.又例：解析：∵＋＝＋＝＝＝0∴为奇函数.再例：解析：∵≤，∴要分＞0与＜0两类讨论.（i）当＞0时，由，函数的定义域为，∵≥0，∴，为奇函数；56 寒假课程说明·高一数学（ii）当＜0时，由，函数的定义域为，∵≤0，∴，既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】错解分析：设，　∴为函数的单调递减区间；为函数的单调递增区间.又为的减函数，∴为函数的单调递增区间；为函数的单调递减区间.解析：设，由得函数的定义域为，区间和分别为函数的单调递减区间和单调递增区间.又，根据复合函数的单调性的规则，得区间和分别为函数的单调递增区间和单调递减区间.又例：解析：在定义域内任取＜，∴＝，∵＞＞0，∴－＜0，－＜0，只有当＜＜－或－＜＜时函数才单调.当＜＜－或－＜＜时＞0.∴（－，＋∞）和（－∞，－）都是函数的单调减函数区间.【例4】解析：（1）依题意，对一切，有，即.56 寒假课程说明·高一数学∴　对一切成立，　则，即.∵，∴.（2）设，则，由，得，，∴，即，∴在上为增函数.又例：解析：是上的偶函数且在上为减函数.∴由，有，即，解得≤－1或≥2.再例：解析：由二次函数的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由＝，知＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小.∴即,∴－2＜＜0.【例5】解析：在R上任取、，设＜，∴＜，∵是R上的增函数，且＝1，56 寒假课程说明·高一数学∴当＜5时0＜＜1，而当＞5时＞1；①若＜＜5，则0＜＜＜1，∴0＜＜1，∴＜0，∴＜；②若＞＞5，则＞＞1，∴＞1,∴＞0，∴＞.综上，在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.又例：解析：（Ⅰ）设，则所以函数是奇函数.（Ⅱ）令，则即，解得：＝0.于是有.所以.因此，函数是周期函数，并且有一个周期为4.【例6】解析：方法一：显然≠0，由于函数＝在上是增函数，56 寒假课程说明·高一数学则当＞0时，不恒成立，因此＜0.当＜0时，函数在上是减函数，因此，当时，取得最大值，故恒成立等价于在上的最大值小于零，即，解，得＜－1.于是实数的取值范围是.方法二：显然≠0，由于函数＝在上是增函数，则当＞0时，不恒成立，因此＜0.若＝＜0恒成立，因为，＜0，则需＞0恒成立，设函数，则在时为增函数，于是时，取得最小值.解，得＜－1.于是实数的取值范围是.方法三：显然≠0，由于函数＝在上是增函数，则当＞0时，不恒成立，因此＜0.因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，56 寒假课程说明·高一数学于是，即，解，得＜－1.于是实数的取值范围是.又例：解析：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设，由，得，又，，要使在区间上是增函数，只需.即恒成立，∴解得.二、课后训练参考答案1.答案：A2.答案：A3.答案：B解析：由条件，，即，由此解得，，所以，，所以选B.4.答案：D5.答案：A6.答案：D56 寒假课程说明·高一数学解析：由函数为偶函数知的图像关于直线对称，又函数在上为减函数知在上是增函数，由而可以比较大小.7.答案：1解析：∵＝为奇函数，∴＝0，故＝1.8.答案：－269.答案：10.解析：由，知，因为，所以是偶函数.11.解析：（Ⅰ）令，（Ⅱ）令令∴为偶函数.（Ⅲ）∴（1）∵在上是增函数，∴（1）等价于不等式组：解得∴56 寒假课程说明·高一数学∴x的取值范围为第四讲基本初等函数一、例题解析和参考答案【例1】解析：∵＜0，其他各数都大于零，故最小；又∵＝1，＝2，∴1＜＜＜2＜＝8，对于与，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数＝为减函数，∴＜.于是有.又例:解析：（1）∵＞1，0＜＜1，＜0，∴＜＜.（2）∵，.又函数＝为减函数，∴0＞＞.∴＜.再例：解析：∵0＜＜＜1，又函数＝为减函数，＝在（0,1）上为增函数，∴＜＜，故选D.【例2】解析：∵＝＝，又，当＞1时，，，为的增函数.∴函数的最大值为56 寒假课程说明·高一数学当0＜＜1时，，，为的增函数.∴函数的最大值为综上得，.又例：解析：（1）由，得的定义域为，　　记＝＝－（－1）2＋4，对称轴为＝1.∴的增区间为（－1，1】，减为区间【1，3）.（2）∵＝－（－1）2＋4≤4，∴当＝1时有最大值＝1.【例3】解析：由，得，即，由为减函数，∴.故所求定义域为.选A.又例：解析：由，即　，当＞１时，是增函数，于是　，∴＞１.当０＜＜１时，是减函数，于是　，∴０＜＜.综上可知的取值范围是＞１或０＜＜.再例：解析：由，得＞0，即.∴或（舍去）.当＞时,；56 寒假课程说明·高一数学当＜时，；当＝时，不等式无解.【例4】解析：由，得，而函数，即在上是增函数，在上是减函数.又是减函数，∴单调递增区间是.又例：解析：显然的定义域是.设，则.∴的单调递增区间为有＝是的减函数，∴的单调递减区间为.再例：解析：由题意，有，即，∴＝，.【例5】解析：由－1≠0得≠0.故函数定义域｛｜≠0｝是关于原点对称的点集.又＝，－，∴＝－.所以函数＝是奇函数.又例：解析：（1）设，∈R，且＜，则＝（56 寒假课程说明·高一数学由于指数函数在R上是增函数，且＜，所以＜，即－＜0，又由2x＞0得＋1＞0，＋1＞0，所以＜0.即.因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，为增函数.（2）若为奇函数，则＝－，即，变形得：，解得＝1.所以当＝1时，为奇函数.【例6】解析：方法一：当＞1时，－＝－－＝－＞0，∴＞.当0＜＜1时，－＝+＝＞0，∴＞.综上所述，在题设条件下，总有＞.方法二：∵＝＝＝＝＞＝1.∴＞.又例：解析：原不等式可化为，即等价于，即，解得：，56 寒假课程说明·高一数学所以原不等式的解集为｛︱｝.【例7】解析：（1）＝＝又∵∴＝.（2）∵＝，＝，∴.又例：解析:（1），∴为奇函数.（2）＋－　　　　　　　　　　　　＝－＝－＝0.∴为奇函数.二、课后训练参考答案1.C.　　　2.C.　　3.A.4.C.5.D.6.C.7.8.109.解析：（1）对定义域内的任意恒成立，∴，当，无意义，舍去，，（2）∵，∴定义域为，56 寒假课程说明·高一数学而，①当时，在上都是减函数；②当时，在上都是增函数；（3），∵，∴.（4）上为减函数，∴命题等价于，即，解得.10.解析：记，（1）恒成立，，∴的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的值域为∴命题等价于，∴的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，，56 寒假课程说明·高一数学∴的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是方程的两根，即的值为2；（5）由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.∵的值域是，∴命题等价于；即的值为±1；（6）命题等价于：，即，得的取值范围是.第五讲函数图像的变换一、例题解析和参考答案【例1】错解分析：错解一：由≥0，得≥1，即≥1，故选B.错误在于误将等同于，做出误判≥0.错解二：没注意，而默认为，故选Ｃ.解析：考虑，当时，为减函数，淘汰B、Ｃ.当时，，故选A.又例：解析：由≥0，得≥1，故选A.56 寒假课程说明·高一数学【例2】技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由，可知B、C、D满足；又，可知A、C满足.故选C.又例：解析：将函数中的用代之，即可得到函数，所以将函数的图象向右平移3个单位即可得到函数的图象，故选D.【例3】解析：若记，则，由于与的图象关于直线＝1对称，∴选B.【例4】解析：保留函数在轴上方的图象，将其在轴下方的图像翻折到轴上方区即可得到函数的图象.通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且.可知，所以，，从而，即，又＞0，所以.故选A.又例：解析：因为函数是偶函数，所以曲线关于轴对称.当≥0时，＝，其图象如下：aOxya56 寒假课程说明·高一数学由直线与曲线有四个交点，得，解得.故的取值范围是.再例：解析：因为定义在上的奇函数，满足，所以，函数图象关于直线对称，且，再由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[－2，0]上也是增函数.如图所示，那么方程(＞0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知所以.-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【例5】解析：方法一（排除法）：若≤0，则函数的定义域不为R，与图象信息定义域为不符，故排除掉A、B.取＝1，＝，此函数当＝±1时，取得极值，与所给图形不符，排除C.选D.方法二：显然为奇函数，又＞0，＜0，即＜0，解得－1＜＜2.又取得最大值时，＝＞1，∴＞1，∴1＜＜2.故选D.【例6】错解分析：函数的图象如图.56 寒假课程说明·高一数学Ｏ１2令，得或.∴，又，∴长度的最大值为；最小值为.故所求最大值与最小值的差为.解析：函数的图象如上图.令，得或.∴长度的最大值为；最小值为.故所求最大值与最小值的差为.又例:解析：由图易得，∴取特殊点，.即，∴.故选A.【例7】分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出，的图像，根据图像确定的值。解析：令，，在同一个坐标系中作出其图象，56 寒假课程说明·高一数学x-330（-2，）y因的解集为区间，且－＝2，结合图象知＝3、＝1，即直线与圆的交点坐标为.∴∴=.二、课后训练参考答案1.B2.B3.D4.B5.C解析：由题意知函数是三个函数，，中的较小者，作出三个函数在同一坐标系下的图象，可知A（4，6）为函数图象的最高点.故选C.6.答案：2解析：利用数形结合，分别作出函数与函数的图像，观察两图象有几个交点，交点的横坐标即为原方程的实数解.7.答案：.8.答案：.9.答案：解析：方程的曲线为半圆，为过（2，4）的直线.数形结合即得到答案.10.解析（1）曲线的方程为；（2）在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，56 寒假课程说明·高一数学∴.代入曲线的方程，得的方程：.即可知点在曲线上.反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上.因此，曲线与关于点对称.（3）因为曲线与有且仅有一个公共点，∴方程组　有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，∴，即得，因为，所以.第六讲函数与方程一、例题解析和参考答案例1.答案：和解析：由题意，得，解得.∴，令，很容易得到其零点为和.例2.答案：3解析：因，又显然有两个实数根，故共三个零点.例3.答案：①②解析：∵，，即，∴在内有一个实根．56 寒假课程说明·高一数学由图中知，方程在上只有一个实根，所以②正确；又∵，由图知在上没有实数根，所以③不正确；又∵，，即，所以在上必有一个实根，又，∴在上也有一个实根．∴在上有两个实根，④不正确；由且在上是增函数，∴在上没有实根．∴⑤不正确．并且由此可知①也正确．例4.答案：解析：设函数且）和函数，则由函数（且）有两个零点，知函数且）与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，函数的图象过点，而直线所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.例5.解析：（1）当时，满足题意．当时，设.若要方程两根都小于1，只要综上，方程的根都小于1时，（2）设，若方程的两个实根都小于，则有56 寒假课程说明·高一数学若方程的两个根一个大于，另一个小于，则有，∴．若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为，∴，∴．综上，方程至少有一实根小于时，．例6．解析：（1）∵，，∴，．由得，因为，所以两函数、的图象必交于不同的两点；（2）设，，则．∵，，∴，∴（，）．例7解析：设，，①若在区间上有一解，∵，则应有，又∵，∴解得.②若在区间上有两解，则，即，解得由①②可知..一、课后训练参考答案1.答案：解析：设，，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案.2.或56 寒假课程说明·高一数学3.解析：∵f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知，∴，∴f（x）＝x2－x－6.∵不等式af（－2x）>0，即－（4x2＋2x－6）>0⇔2x2＋x－3<0，故解集为4.答案：3解析：作出函数与函数的图象，发现它们恰有个交点.5.解析：（1）设，其图象为开口向上的抛物线．若要其与轴的两个交点在点的两侧，只需，即，∴．（2）设则方程两个根都在上等价于：∴．（3）设，则方程一个根在上，另一根在上等价或．6.解析：当时，，显然在上没有零点，所以.令，解得56 寒假课程说明·高一数学①当时，恰有一个零点在上；②当，即时，在上也恰有一个零点.③当在上有两个零点时，则或解得或.综上所求实数的取值范围是或.7.解析：∵有且仅有一个零点，即方程仅有一个实根．设，则.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴，当m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1（不合题意，舍去），∴2x＝1，解得x＝0符合题意．当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f（x）有两个零点或没有零点．∴这种情况不符题意．综上可知：m＝－2时，f（x）有唯一零点，该零点为x＝0.第七讲函数的综合应用一、例题解析和参考答案【例1】解析：由条件，，由此解得，.所以，，故选B又例：解析：因为是R上的奇函数，所以是R上的偶函数，从而是偶函数，故选A.56 寒假课程说明·高一数学【例2】解析：单调递减且值域为(0，1]，单调递增且值域为（－∞，1），有两个不同的实根，则实数的取值范围是（0，1）.又例：解析：显然，问题转化为求方程的解.由函数，得，∴.故选A.再例:解析：由，得；由，得，∴.故选B.【例3】解析：∵＞0，∴，即.故选C.又例：解析：∵≤2时，0≤≤1；又≤2时，＞1.∴满足≤2的的取值范围是[0，＋），故选D.再例:解析：由解得，故，选A.【例4】解析：（1）①若，即.当＝1时，，定义域为R，适合；当＝－1时，，定义域不为R，不符合.②若，记为二次函数.定义域为R，∴对恒成立.∴；∴综合①、②得的取值范围.（2）命题等价于不等式的解集为[－2，1]，显然.∵且、是方程的两根，56 寒假课程说明·高一数学∴，解得的值为＝2.又例：解析：由于是增函数，∴等价于　≥……①（1）当≥1时，＝2，∴①式恒成立.（2）当－1＜＜1时，＝2，①式化为2≥，即≤＜1.（3）当≤－1时，＝－2，①式无解.综上的取值范围是.再例：解析：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立.当时函数取得最小值，所以，即，解得或【例5】解析：（1）∵，∴，即.∴，即的定义域为.（2）∵，∴，∴为奇函数.（3）当＞1时，＞0，则，即，，∴，∴.因此，当＞1时，使的的取值范围为（0，1）.56 寒假课程说明·高一数学当时，由，有，则，解得.因此，当时，使的的取值范围为（－1，0）.又例：解析：（1）由＞0且，得＞0，∴函数的定义域为.（2）由＞0，知当＞1时，＞1；当时，＜1且＞0.【例6】解析：（Ⅰ）由于在闭区间[0，7]上，只有，故.若是奇函数，则，矛盾.所以不是奇函数.由，从而知函数是以为周期的函数.若是偶函数，则.又，从而.由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有.所以，这与前面的结论矛盾.所以，函数是非奇非偶函数.（Ⅱ）由第（Ⅰ）小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，且.由于函数是以为周期的函数，故.56 寒假课程说明·高一数学所以在区间[－2000，2000]上，方程共有个解.在区间[2000，2010]上，方程有且只有两个解.因为，所以，在区间[2000，2005]上，方程有且只有两个解.在区间[－2010，－2000]上，方程有且只有两个解.因为，所以，在区间[－2005，－2000]上，方程无解.又例：解析：偶函数满足，得的周期为4.又偶函数当时，，得时，.当时，，＝＝.综上所述，方程个解。【例7】解析：如图所示，AB＝2R，C、D在⊙O的半圆周上设腰长AD＝BC＝，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽△ABD.ＡＢＣＤ2RE∴即∴所以即再由解得56 寒假课程说明·高一数学∴周长与腰长的函数式为：，定义域为：.又例：解析：如图设，则CD弧长＝，于是AD，因此，再由解之得.即函数式是：，定义域是：.二、课后训练参考答案1.Ｃ2.D3.Ｂ4.解析（1）∵，于是，有，，解之，，.（2）∵，∴，.5.（1）在[－1，1]上是增函数，证明（略）（2）不等式的解为[，－1）.6.解析：（1）∵＝；又.∴.（2）∵＝＋＝１，又∵＝＝＝＝.56 寒假课程说明·高一数学∴＝1－＝1＋＝.7.答案：（1）.（2）8.解析：设每天从报社买进份（250≤≤400），则每月可销售（20＋10×250）份，退回报社10（x－250）份，又知卖出的报纸每份获得利润为0.08元，退回的报纸每份亏损0.08元.依题意，每月获得的利润为∵在区间[250，400]上是增函数.∴x=400时，取得最大值，最大值为720.第八讲三角函数一、例题解析和参考答案例1、答案：－8解析：r＝＝，∵sinθ＝－，∴sinθ＝＝＝－，解得y＝－8.跟踪训练：答案：B解析：解法1：在角θ终边上任取一点P（a，2a）（a≠0），则r2＝2＝a2＋（2a）2＝5a2，∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.例2、答案：D56 寒假课程说明·高一数学解析：，当是第二象限角时，；当是第四象限角时，.例3、答案：解析：∵，∴例4、答案：解析：因为为第二象限的角，又，所以，，所以变式训练：答案：D　解析：因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝，sin2α＝1－cos2α＝，∵α∈，∴cosα＝，sinα＝，tanα＝＝，故选D.例5、答案：C解析：例6、答案：B解析：∵∴例7、答案：A解析：由已知得，所以.变式训练：答案：56 寒假课程说明·高一数学解法一：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.π＜α+β＜，∴sin（α－β）=∴sin2α=sin［（α－β）+（α+β）］=sin（α－β）cos（α+β）+cos（α－β）sin（α+β）解法二：∵sin（α－β）=，cos（α+β）=－，∴sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α－β）=－，sin2α－sin2β=2cos（α+β）sin（α－β）=－，∴sin2α=例8、答案：D　解析：因为＝＝＝2tanα＝6，故选D.例9、答案：D解析：例10、答案：962解析：因为所以；观察可得，，所以m–n+p=962.二、课后训练参考答案1.【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.2.【答案】D【解析】因为，所以，，所以，56 寒假课程说明·高一数学又，所以，，选D.3.【答案】A【解析一】，故选A【解析二】，故选A4.【答案】.【解析】∵为锐角，即，∴.∵，∴∴.∴.∴.5.【解析】（Ⅰ）由，得，∴，于是.（Ⅱ）由，得.又∵，56 寒假课程说明·高一数学∴由得，，所以.6.【解析】.由于函数在中的最大值为，最小值为，故当时取得最大值，当时取得最小值.7.【解析】由已知条件及三角函数的定义可知，，因为，为锐角，所以=，因此，（Ⅰ）tan（）=（Ⅱ），所以∵为锐角，∴，∴=.8.【解析】（Ⅰ）由得，故在定义域为56 寒假课程说明·高一数学（Ⅱ）因为，且是第四象限的角，所以故.9.【解法一】由已知得：由已知条件可知于是故，将代入上式，得即为所求.【解法二】由已知条件可知，则，所以原式可化为，即，又，，，以下同解法一.56 寒假课程说明·高一数学10.【解析】（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是故.解法二：由题设得，即又sin2x+cos2x=1，从而25sin2x-5sinx-12=0，解得sinx=或sinx=.因为，所以.（Ⅱ）因为，故，，所以.第九讲三角函数一、例题解析和参考答案例1.答案：D例2.答案：A.解析：由题意知，所以解析式为，经验证可知它的一个对称中心为.例3.答案：A.解析：，∴T=π，ymax=1例4.答案：D.56 寒假课程说明·高一数学解析：因为，例5.答案：A.解析：看向量a=的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B、C、D.例6.答案：C解析：法一：∵函数的一个单调递增区间为，又函数是以π为周期的函数，∴函数的单调递增区间为（k∈Z）.当k=1时，函数的一个单调增区间为.故选C.法二：作出函数的图象，由图易知的一个单调增区间为.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A、B两个选择支的端点值相等，而选择支D的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A、B、D，故选C.56 寒假课程说明·高一数学例7.答案：=3例8.答案：解析：由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是.例9.答案：解析“线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=.故线段P1P2的长为.二、课后训练参考答案1.答案：A2.答案：C3.答案：4.答案：199解析：方程sinx=的实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数，∵|sinx|≤1∴||≤1，|x|≤100л当x≥0时，如下图，此时两线共有100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x≤0时，也有100个交点，原点是重复计数的，所以只有199个交点.5.解析：y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的.又∵u=为减函数，∴由2k-≤u≤2k+（k∈Z），得-2k-≤x≤-2k+（k∈Z）.即（k∈Z）为y=2sin的递减区间.56 寒假课程说明·高一数学由2k+≤u≤2k+（k∈Z），得2k+≤-x≤2k+（k∈Z），解得-2k-≤x≤-2k-（k∈Z），即（k∈Z）为y=2sin的递增区间.综上可知：y=2sin的递增区间为（k∈Z）；递减区间为（k∈Z）.6.解析：由题意知cos2x≠0，得2x≠k+，解得x≠（k∈Z）.所以的定义域为.又==cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴是偶函数.显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠，k∈Z.∴-sin2x≠-.所以原函数的值域为.7.解析：（Ⅰ）.因此，函数的最小正周期为.（Ⅱ）解法一：因在区间上增，在区间上减，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为.解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：56 寒假课程说明·高一数学yxO由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为.8.解析：（Ⅰ）.故的最大值为；最小正周期.（Ⅱ）由得，，故.又由得，故，解得.从而.9.解析：（1）y===2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4，但cosx≠1，∴y＜4，且ymin=-，当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为.（2）令t=sinx+cosx，则有t2=1+2sinxcosx，即sinxcosx=.有y=f（t）=t+=.又t=sinx+cosx=sin，∴-≤t≤.故y=f（t）=（-≤t≤），从而知：f（-1）≤y≤f（），即-1≤y≤+.即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx56 寒假课程说明·高一数学=2=2cos.∵≤1，∴该函数值域为［-2，2］.10.解析：（1）f（x）=0，即a=sin2x－sinx=（sinx－）2－∴当sinx=时，amin=－，当sinx=－1时，amax=2，∴a∈[，2]为所求.（2）由1≤f（x）≤得∵u1=sin2x－sinx++4≥4u2=sin2x－sinx+1=≤3∴3≤a≤4.11.解析：（Ⅰ）.又，，即.（Ⅱ），，且，，即的取值范围是.12.解析：令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，而f（x）=g（t）=2at2－2at+a+b=2a（t－）2+b.当a＞0时，则解之得a=6，b=－5.当a＜0时，则解之得a=－6，b=1.第十讲平面向量及其应用56 寒假课程说明·高一数学一、例题解析和参考答案例1.答案：C解析：A项，∵|a|＝1，|b|＝＝，∴|a|≠|b|；B项，∵a·b＝1×＋0×＝；C项，∵a－b＝（1，0）－＝，∴（a－b）·b＝·＝－＝0；D项，∵1×－0×≠0，∴a不平行b.例2.答案：解析：由得：，，.例3.答案：B解析：由角平分线的性质得||＝2||，即有＝＝（－）＝（a－b）.从而＋＝b＋（a－b）＝a＋b.故选B.例4.答案：解析：|a－b|＝＝＝＝.例5.答案：6解析：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，得平行四边形的边长为2和4，故λ+μ=2+4=6.例6.解析：①=（1，0）+3（2，1）=（7，3），∴==.②k=k（1，0）－（2，1）=（k－2，－1）.设k=λ（），即（k－2，－1）=λ（7，3），∴.故k=时，它们反向平行.56 寒假课程说明·高一数学例7.解析：=2×1×=1.∵与垂直，∴（）=0∴2k=－5.例8.答案：解析：如图，数形结合知β=，α＝，|AB|＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°，设∠ABC＝θ，由正弦定理知＝，∴|α|＝sinθ≤，当θ＝90°时取最大值.∴|α|∈.二、课后训练参考答案参考答案：1.解析：，，故.2.解析：a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2），∴a＋b＝（1，m－1），又（a＋b）∥c，∴2＋m－1＝0，∴m＝－1.3.解析：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图所示的坐标系.56 寒假课程说明·高一数学由OA=2，，所以，易求，设.4.解析：设向量与的夹角θ，有cosθ===－∴在方向上的投影=｜｜cosθ=×（－）=－5.解析：令，则.，∴，∴，∴.6.解析：由题意，，且与的夹角为，所以，，，，同理可得.而，设为与的夹角，则.7.解析：设点D的坐标为（x，y），∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥又∵C、B、D三点共线，∴∥又=（x－2，y－1），=（－6，－3），=（x－3，y－2）∴解方程组，得x=，y=56 寒假课程说明·高一数学∴点D的坐标为（，），的坐标为（－，）.8.解析：不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有9.解析：所求五个力的合力为，如图所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上.由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同.10.解析：＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2e1＋ke2＝λ（e1－4e2）于是可得，解得k＝－8.11.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a.∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2即c·b＝a·c＝b·a，故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0.·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0，∴⊥，⊥，56 寒假课程说明·高一数学∴点O是△ABC的垂心.12.解析：设，，，，因为是△的重心，故，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（ⅰ），故；（ⅱ），那么，当与重合时，，当位于中点时，，故，故但因为与不能重合，故13.解析：56'