信号系统习题解答.doc 68页

'《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育出版社67 目录第1章习题解析2第2章习题解析6第3章习题解析16第4章习题解析23第5章习题解析31第6章习题解析41第7章习题解析49第8章习题解析5567 第1章习题解析1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c)(d)题1-1图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。1-2给定题1-2图示信号f(t)，试画出下列信号的波形。[提示：f(2t)表示将f(t)波形压缩，f()表示将f(t)波形展宽。](a)2f(t-2)(b)f(2t)(c)f()(d)f(-t+1)题1-2图解以上各函数的波形如图p1-2所示。67 图p1-21-3如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。SRSLSC题1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。67 题1-4图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x(t)，由于且故有即1-5已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解设T为系统的运算子，则可以表示为不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则故有显然即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-6判断下列方程所表示的系统的性质。(1)(2)67 (3)(4)解(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。1-7试证明方程所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明不失一般性，设输入有两个分量，且则有相加得即可见即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-8若有线性时不变系统的方程为若在非零f(t)作用下其响应，试求方程的响应。解因为f(t)®，由线性关系，则由线性系统的微分特性，有故响应67 第2章习题解析2-1如图2-1所示系统，试以uC(t)为输出列出其微分方程。题2-1图解由图示，有又故从而得2-2设有二阶系统方程在某起始状态下的0+起始值为试求零输入响应。解由特征方程l2+4l+4=0得l1=l2=-2则零输入响应形式为67 由于yzi(0+)=A1=1-2A1+A2=2所以A2=4故有2-3设有如下函数f(t)，试分别画出它们的波形。(a)f(t)=2e(t-1)-2e(t-2)(b)f(t)=sinpt[e(t)-e(t-6)]解(a)和(b)的波形如图p2-3所示。图p2-32-4试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。题2-4图67 解(a)f(t)=e(t)-2e(t-1)+e(t-2)(b)f(t)=e(t)+e(t-T)+e(t-2T)2-5试计算下列结果。(1)td(t-1)(2)(3)(4)解(1)td(t-1)=d(t-1)(2)(3)(4)2-6设有题2-6图示信号f(t)，对(a)写出f¢(t)的表达式，对(b)写出f²(t)的表达式，并分别画出它们的波形。题2-6图解(a)f¢(t)=d(t-2)，t=2-2d(t-4)，t=4(b)f²(t)=2d(t)-2d(t-1)-2d(t-3)+2d(t-4)67 图p2-62-7如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。题2-7图解由图(a)有即当uS(t)=d(t)，则冲激响应则电压冲激响应对于图(b)RC电路，有方程67 即当iS=d(t)时，则同时，电流2-8设有一阶系统方程试求其冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)。解因方程的特征根l=-3，故有当h(t)=d(t)时，则冲激响应阶跃响应2-9试求下列卷积。(a)d(t)*2(b)e(t+3)*e(t-5)(c)te-t×e(t)*d¢(t)解(a)由d(t)的特点，故d(t)*2=2(b)按定义e(t+3)*e(t-5)=考虑到t<-3时，e(t+3)=0；t>t-5时，e(t-t-5)=0，故e(t+3)*e(t-5)=也可以利用迟延性质计算该卷积。因为67 e(t)*e(t)=te(t)f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)故对本题，有e(t+3)*e(t-5)=(t+3-5)e(t+3-5)=(t-2)e(t-2)两种方法结果一致。(c)te-t×e(t)*d¢(t)=[te-te(t)]¢=(e-t-te-t)e(t)2-10对图示信号，求f1(t)*f2(t)。题2-10图解(a)先借用阶跃信号表示f1(t)和f2(t)，即f1(t)=2e(t)-2e(t-1)f2(t)=e(t)-e(t-2)故f1(t)*f2(t)=[2e(t)-2e(t-1)]*[e(t)-e(t-2)]因为e(t)*e(t)==te(t)故有f1(t)*f2(t)=2te(t)-2(t-1)e(t-1)-2(t-2)e(t-2)+2(t-3)e(t-3)读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。67 (b)根据d(t)的特点，则f1(t)*f2(t)=f1(t)*[d(t)+d(t-2)+d(t+2)]=f1(t)+f1(t-2)+f1(t+2)结果见图p2-10(b)所示。图p2-102-11试求下列卷积。(a)(b)解(a)因为，故(b)因为，故2-12设有二阶系统方程试求零状态响应解因系统的特征方程为l2+3l+2=0解得特征根l1=-1，l2=-2故特征函数67 零状态响应=2-13如图系统，已知试求系统的冲激响应h(t)。题2-13图解由图关系，有所以冲激响应即该系统输出一个方波。2-14如图系统，已知R1=R2=1W，L=1H，C=1F。试求冲激响应uC(t)。题2-14图解由KCL和KVL，可得电路方程为67 代入数据得特征根l1,2=-1±j1故冲激响应uC(t)为2-15一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f(t)=e(t)时，全响应y1(t)=3e-3t×e(t)；当输入f(t)=-e(t)时，全响应y2(t)=e-3t×e(t)，试求该系统的冲激响应h(t)。解因为零状态响应e(t)®s(t)，-e(t)®-s(t)故有y1(t)=yzi(t)+s(t)=3e-3t×e(t)y2(t)=yzi(t)-s(t)=e-3t×e(t)从而有y1(t)-y2(t)=2s(t)=2e-3t×e(t)即s(t)=e-3t×e(t)故冲激响应h(t)=s¢(t)=d(t)-3e-3t×e(t)2-16若系统的零状态响应y(t)=f(t)*h(t)试证明：(1)(2)利用(1)的结果，证明阶跃响应证（1）因为y(t)=f(t)*h(t)67 由微分性质，有y¢(t)=f¢(t)*h(t)再由积分性质，有（2）因为s(t)=e(t)*h(t)由（1）的结果，得67 第3章习题解析3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题3-1图解对于周期锯齿波信号，在周期(0，T)内可表示为系数所以三角级数为3-2求周期冲激序列信号的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？解冲激串信号的复系数为67 所以因Fn为常数，故无收敛性。3-3设有周期方波信号f(t)，其脉冲宽度t=1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若t压缩为0.2ms，其带宽又为多少？解对方波信号，其带宽为Hz，当t1=1ms时，则当t2=0.2ms时，则3-4求题3-4图示信号的傅里叶变换。题3-4图解(a)因为f(t)=为奇函数，故67 或用微分定理求解亦可。(b)f(t)为奇函数，故若用微分-积分定理求解，可先求出f¢(t)，即f¢(t)=d(t+t)+d(t-t)-2d(t)所以又因为F1(0)=0，故3-5试求下列信号的频谱函数。(1)(2)解(1)(2)3-6对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为67 题3-6图证因为f(t)=(0，|t|>t则3-7试求信号f(t)=1+2cost+3cos3t的傅里叶变换。解因为1«2pd(w)2cost«2p[d(w-1)+d(w+1)]3cos3t«3p[d(w-3)+d(w+3)]故有F(w)=2p[d(w)+d(w-1)+d(w+1)]+3p[d(w-3)+d(w+3)]3-8试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f2(t)的频谱函数。67 题3-8图解由于f1(t)的A=2，t=2，故其变换根据尺度特性，有再由调制定理得3-9试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。(1)f(t)=Acos(w0t)*e(t)(2)f(t)=Asin(w0t)e(t)解（1）因为所以由时域卷积定理67 （2）因为由频域卷积定理3-10设有信号f1(t)=cos4ptf2(t)=试求f1(t)f2(t)的频谱函数。解设f1(t)«F1(w)，由调制定理而故3-11设有如下信号f(t)，分别求其频谱函数。(1)(2)解(1)因故67 (2)因故3-12设信号f1(t)=试求f2(t)=f1(t)cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解因故幅度频谱见图p3-12。5050|F2(w)|图p3-1267 第4章习题解析4-1如题4-1图示RC系统，输入为方波u1(t)，试用卷积定理求响应u2(t)。题4-1图解因为RC电路的频率响应为而响应u2(t)=u1(t)*h(t)故由卷积定理，得U2(w)=U1(w)*H(jw)而已知，故反变换得4-2一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f(t)信号时，求相应的输出y(t)。题4-2图67 解因为输入f(t)为周期冲激信号，故所以f(t)的频谱当n=0，±1，±2时，对应H(jw)才有输出，故Y(w)=F(w)H(jw)=2p[2d(w)+d(w-2p)+d(w+2p)]反变换得y(t)=2(1+cos2pt)4-3设系统的频率特性为试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解冲激响应，故而阶跃响应频域函数应为所以阶跃响应4-4如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H(jw)。题4-4图67 解由图可知输出取上式的傅氏变换，得故频率特性4-5设信号f(t)为包含0~wm分量的频带有限信号，试确定f(3t)的奈奎斯特采样频率。解由尺度特性，有即f(3t)的带宽比f(t)增加了3倍，即Dw=3wm。从而最低的抽样频率ws=6wm。故采样周期和采样频率分别为4-6若电视信号占有的频带为0~6MHz，电视台每秒发送25幅图像，每幅图像又分为625条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点？解设采样点数为x，则最低采样频率应为所以4-7设f(t)为调制信号，其频谱F(w)如题图4-7所示，cosw0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x(t)可表示为x(t)=A[1+mf(t)]cosw0t式中，m为调制系数。试求x(t)的频谱，并大致画出其图形。67 F(w)题4-7图解因为调幅信号x(t)=Acosw0t+mAf(t)cosw0t故其变换式中，F(w)为f(t)的频谱。x(t)的频谱图如图p4-7所示。X(w)图p4-74-8题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H1(jw)、H2(jw)如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。F(w)题4-8图67 题4-8图解由调制定理知而x(t)的频谱又因为所以它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设wC>w2。F1(w)F2(w)X(w)Y(w)图p4-84-9如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F(w)和系统特性H1(jw)、H2(jw)67 均给定，试画出y(t)的频谱。F(w)H1(jw)H2(jw)题4-9图解设，故由调制定理，得从而它仅在|w|=(30~50)内有值。再设则有即F3(w)是F2(w)的再频移。进而得响应的频谱为其结果仅截取-20a0a3故系统稳定。6-10如题6-10图示反馈系统，为使其稳定，试确定K值。题6-10图67 解该系统的H(s)为从必要条件考虑，应当K>0，再由a1a2>a0a3考虑，应满足K<9，故当0