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'信号分析与处理课后习题答案第五章快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us，每次复加需要10us，用来就散N=1024点的DFT，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT计算呢？（2）照这样计算，用FFT计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？解：分析：直接利用DFT计算：复乘次数为N2，复加次数为N(N-1)；利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为；（1）直接DFT计算：复乘所需时间复加所需时间所以总时间FFT计算：复乘所需时间复加所需时间所以总时间为（2）假设计算两个N长序列和的卷积计算过程为如下：第一步：求，；所需时间为第二步：计算，共需要N次复乘运算所需时间为第三步：计算，所需时间为所以总时间为容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N的有限长实序列，为x(n)的2N点得DFT。15 （1）试设计用一次N点FFT完成计算的高效算法；（2）若已知，试设计用一次N点IFFT实现x(n)的2N点IDFT运算。解：本题的解题思路就是DIT-FFT思想。（1）分析2N点的FFT，如下在始于分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N长的实序列x1(n)和x2(n);X1(n)=x(2n),n=0,1,…,N-1X2(n)=x(2n+1),n=0,1,…,N-1根据DIT-FFT的思想，只要球的x1(n)和x2(n)的N电DFT，再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点的DFT。因为x1(n)和x2(n)均为实序列，所以根据DFT的共轭对称性，可以用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。具体方法如下：令y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFT[y(n)],k=0,1,…,N-1则X1(k)=DFT[x1(n)]=Yep(k)=0.5[Y(k)+Y*(N-k)]X2(k)=DFT[jx2(n)]=Yop(k)=0.5[Y(k)-Y*(N-k)]2N点得DFT[x(n)]=X(k)可由X1(k)和X2(k)得到这样，通过一次N点FFT计算就完成了计算2N点DFT。当然由Y(k)求x1(k)和X2(k)需要相对小的额外计算量。（2）分析2N点的IFFT变换，如下与(1)相同，设X1(n),x2(n),X1(k),X2(k);n,k=0,1,…,N-1则应满足关系式由上式可解出由以上分析可得出计算过程如下:由X(k)计算出X1(k)和X2(k),即由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k)Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中Yep(k)=X1(k)，Yop(k)=jX2(k),进行N点IFFT得到15 由DFT的共轭对称性知由x1(n)和x2(n)合成x(n)3.请给出16点时域抽选输入倒序、输出顺序基2-FFT完整计算流图，注意及其p值得确定。解：15 第6章无限长冲激响应（IIR）数字滤波器1.设系统的差分方程为请画出该系统的直接型、级联型和并联型结构。解：（1）直接-I型结构：（2）直接-II型结构：（3）级联型结构：（4）并联型结构15 2设系统的系统函数为试画出该系统的级联型结构。解：3设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求系统函数。解：（1）求阶数。15 带入的计算公式得：，所以取=5（2）求归一化系统函数。由阶数=5直接查表可得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为：（3）去归一化，由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。，因此带入的值即可。4设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求系统函数。解：（1）确定滤波器技术指标：，，，（2）求阶数和15 ，为满足指标要求，取（3）求归一化系统函数：其中，极点可由下式求出：（4）将去归一化，求得实际滤波器系统函数。15 其中。因为，所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。带入即可得到相应结果。5模拟滤波器的系统函数为，试分别采用冲激响应不变法和双线性变换法将其转换成数字滤波器。解：（1）冲激响应不变法（设抽样间隔为）可以求出的极点为：所以（2）双线性变换法（设抽样间隔为）6假设某模拟滤波器系统函数是一个低通滤波器，并且有15 ，数字滤波器的通带中心位于下面哪种情况？说明原因。（1）；（2）；（3）除0和以外的某一频率（带通）。解：方法1：按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案为（2）。方法2：找出对应于的数字频率的对应值即可。令，对应于，应有，则对应的不是模拟低通滤波器；令，对应，应有，则，即对应，将模拟低通中心频率映射到处，所以答案为（2）。方法3：直接根据双线性变换法设计公式及模拟域低通到高通频率变换公式求解。双线性变换设计公式为：15 当时，，这时，如果为低通，则亦为低通。如果将变换为高通滤波器：则可将用双线性变换法变成数字高通：这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器通带中心位于，故答案为（2）。7设计数字低通滤波器，要求通带内频率低于0.2时，允许幅度误差在1dB之内，频率在0.3~的阻带衰减大于10dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，采用冲激响应不变法进行转换，抽样间隔为。解：本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：，，采用冲激响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：，，（1）求滤波器的阶数及归一化系统函数15 取。所以其归一化低通原型为：将部分分式展开：其中系数为：，，（2）去归一化求的相应的模拟滤波器系统函数我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以由式求的3dB截止频率。，其中。（3）用冲激不变法将转换成数字滤波器系统函数：15 8设计数字高通滤波器，要求通带截止频率，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率，阻带衰减不小于11dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计。解：（1）确定数字高通滤波器技术指标：，，（2）确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，所以进行预畸变校正求模拟高通边界频率（假定采样间隔）：，，（3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。高通归一化边界频率为（本题）：低通指标为：，，（4）设计归一化低通：15 ，取查表得归一化低通为：（5）频率变换，求模拟高通：（6）用双线性变换法将转换成：第7章FIR数字滤波器1.设系统的系统函数为，试分别画出它的直接型结构和级联型结构。解：（1）直接型，如图7-1-a（2）级联型，如图7-1-b15 2.已知FIR滤波器的单位冲激响应为（1）N=6时，；（2）N=7时，；分别说明它们的幅度函数、相位函数各有什么特点。解：（1）由所给的取值可知，满足，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：由于为偶数（情况2），所以幅度特性关于点奇对称。（2）由所给的取值可知，满足，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：由于为奇数（情况3），所以幅度特性关于两点奇对称。3.设FIR滤波器的系统函数为求其幅度函数和相位函数，并画出其直接型的结构图。解：由的，本题中的h（n）是实序列且关于（N-1）/2偶对称，所以系统满足第一类线性相位条件。其幅度函数为其相位函数为15 15'